Teoría de errores - ETSI Topografia (UPM)

Según las causas que los provocan Errores graves o groseros Son debidos a imperfeccionesen los sentidos del observadoro a distracciones o tendenciasnerviosas en el momento de laobservación Errores instrumentales Debidos al equipo utilizado Errores teóricos Debidos a deficienciasen la teoría en que se basanlas observacionesEsta clasificación no se prestaconvenientemente a un estudiomatemático de los errores Según los efectos que producen Errores constantes Producen el mismo efectosobre todas las observacionesde una serie de medidas Ej.: error en la orientaciónde un instrumento Errores sistemáticos Son aquellos que siempre que serealice una observación de unamisma magnitud en idénticascondiciones se presentan con elmismo valor y en el mismo sentido Errores aleatorios Influyen de manera irregulary varían en magnitud y signode una observación a otra

-Tipos:-errores de escritura-errores de lectura-interpretaciones erróneas de las lecturas-Etc.-Interpretación estadística: Las observaciones conerrores graves no pertenecen a la muestraaleatoria( y por tanto no siguen distribuciones detipo Normal)

-Detección y eliminación de estos errores antes del procesado, pueslos Métodos de Ajuste basado en los Mínimos Cuadrados no soncapaces de detectarlos.-Algunos métodos:-realizar múltiples lecturas-comprobar su consistencia-utilizar técnicas distintas-incrementar el número de observaciones-En general se utilizan tests estadísticos sobre los datos paradetectarlos( por ejemplo el Test de Baarda, muy utilizado en Topografíay Fotogrametría) Veamos un ejemplo de una posible metodología paradetectarlos(ejercicio propuesto)

!"-Su comportamiento viene determinado por algún sistema“determinístico” cuya expresión funcional es conocida.-Métodos a utilizar:-calibrado de instrumentos-procedimientos de observación-procesado de los datos-Interpretación estadística: Afectan a todas las observacionesdel mismo modo.Parámetro de localización de la distribución: µ (media)-Otra causa de su existencia: Elección incorrecta del modelofuncional Inconsistencia con las observaciones

Valor y signo permanecen constantes: Error sistemático constante- Ejemplo: ¿Errores sistemáticos en las Fotocoordenadas en unfotograma aéreo?-Origen de los errores s. en Topografía, Fotogrametría, Geodesia:-Causas físicas-Factores instrumentales-Limitaciones de la observación humana-Causas físicas: Temperatura, humedad y cambios de presión observaciones angulares y de distancia-Factores instrumentales: imperfecciones de construcción odesajustes en su utilización

-Tratamiento de los errores sistemáticos en el modelo funcional:Aplicación de sus efectos(si se conocen) sobre las observaciones apriori del ajusteSe consideran variables desconocidas durante el proceso de ajusteSe consideran como observaciones, con un valor a priori.Ejemplos:1)Medida clásica de distancias:-diferencia de temperatura entre el momento de la calibración y el deobservación-tensión aplicada en la cinta-extremos a diferentes alturas-corrección por catenaria

2)Técnicas electrónicas o electro-ópticas:-cambios en la densidad del aire variación de la frecuencia-centrado imperfecto del instrumento-la señal no sigue exactamente una línea recta en supropagación (factores ambientales) Precisión = + a, b : Parámetros del distanciómetrod la distancia medida3)Observación angulares (horizontales y verticales):-centrado imperfecto del círculo horizontal-graduaciones no uniformes en los círculos-eje horizontal del telescopio ⊥ eje vertical del instrumento-eje del telescopio || eje del nivel de burbuja

Métodos de reducción del efecto de los errores sistemáticossobre las observacionesEstablecer la ley de aparición del error y corregir lasobservacionesEjemplo:Una vez realizada la calibración de un distanciómetro utilizandoun patrón de medida de distancias, se obtiene una expresión deltipo: Corrección = F(Longitud, temperatura, presión,etc)Establecer un programa de observaciones de tal forma que loserrores no actúen de forma unilateralEjemplos:-En la observación de direcciones acimutales : lecturasdiametralmente opuestas para eliminar el efecto de laexcentricidad.

Observaciones geodésicas: Realizadas en horas diurnas ynocturnas durante un periodo de tiempo prolongado , con elobjetivo de debilitar la influencia de la refracción.Redes de nivelación : Cálculo de los desniveles directos einversos para minimizar el efecto de los errores sistemáticosproducidos por una determinación no demasiado precisa delCoeficiente de Refracción.Metodología especial en la elaboración o tratamiento de losdatos:Ejemplo histórico : En el siglo XVII y bajo la dirección delastrónomo Cassini comienza la construcción del ObservatorioAstronómico de París. Era necesario determinar el meridiano deParís y por ello la latitud : ϕ PARIS

Observaciones realizadas : Distancias cenitales de un conjunto deestrellas a su paso por el meridiano(z*), y de este modo calcular lalatitud utilizando la fórmula:ϕ = δ* - z*donde δ* = declinación de la estrella(buscadas en el catálogo deestrellas del año)

DATOS Z ϕ 10 0 48 0 50’ 11”8 63 0 13”5 1 0 10”9 74 0 14”3 40 022 0 13”211”9 31 0 12”1 53 0 13”3 Dispersión : ¡¡¡¡¡¡ (10”9-14”3) !!!!!!! ¿Podría ocurrir que existiera un error sistemático en todas las z deforma que: error sistemático = f(z) ?Efectivamente, se comprobó que:corrección(z) = -(3”) sen z Una vez aplicadas las correcciones a todas las distancias cenitales: (10”6 , 11”4) dispersión < 1”

# *.,.*./. La teoría de errores clásica fue desarrollada por Gauss (1777 – 1855) Se refiere única y exclusivamente aa los errores accidentales Las observaciones utilizadas se suponenlibres de errores constantes y sistemáticos Esta teoría parte de la siguiente premisa:Se considera una serie de gran número de observaciones,efectuadas en idénticas condiciones y con el mismo esmeroY está basada en los siguientes postulados:1 Los distintos errores posibles se presentan con tanta mayorfrecuencia cuanto menor sea su valor absoluto2 Los errores del mismo valor absoluto pero de distinto signose presentan con igual frecuenciani=1εi=0, n→ ∞#$%$&%$'() '()* +, -

# *.,.*./. Sin embargo, en la primera exposición de su teoría(en la obra “Theoria Motus Corporum Celestium” )no aparecía el segundo postulado como se ha enunciadoAparecía con el siguiente enunciado:2’ Obtenidos por observación n valores distintos de una magnitud,siempre que todos hayan sido obtenidos en las mismas circunstanciasy con el mismo esmero, el valor más probable de la magnitudes la media aritmética de los valores observados Este postulado es consecuencia del segundo, puesto quesi x 1 , . . . x n son los valores observadoscada observación vendrá afectada de un cierto error ide forma que si llamamos x al verdadero valor resulta: i = x – x i , i = 1, . . . n#$%$&%$'() '()* +, 0

# *.La definición dada para el error verdadero presenta una dificultadinsuperable para su cálculo:No se conoce el valor verdadero de la magnitudSe introduce, por ello, el residuo que es la diferencia entre el valormás probable(lo que llamaremos valor ajustado) y el valorobservado, es decirv i = x – x in·ii = 1 i = 1x − xini = 1, . . . , nEn el caso de medidas repetidas de una misma magnitud este valormás probable coincide con la media aritmética.Entonces:Y sumando los residuos resultani = 1vi=n( x − xi) = n·x − x = 0 i = 1nnvi= 0#$%$&%$'() '()* +, 1

# *.Se demuestra que partiendo de una muestra aleatoria simplesuficientemente grandex 1 , x 2 , . . . x nY considerando los residuosLa función f toma la formaf( v )=σque corresponde a una distribuciónNormal(0,σ)2v1 −2σ· e2π2v i = x – x iSu gráfica es de la formaSiendo más puntiaguda o achatadasegún el valor de σ#$%$&%$'() '()* +, &

2 .(.Primer Estudio de los errores aleatorios en medida directa(sinconsiderar la Distribución Normal) Sean X 1 ,X 2 ,...,X n las observaciones y e 1 ,e 2 ,...,e n los erroresaleatorios presentes en dichas observacionesVeamos diferentes formas de aproximar estos errores:Error probable: Ordenados los errores de menor a mayormagnitud(sin signo), ocupa la posición central|e1| < |e2|

-Error Medio Aritmético:Media aritmética de todos los errores(sinsigno)| ei|i=1e.m.a. = ≈nnError Máximo: Establece una tolerancia para el valor de loserrorese i ≤ e maxni=1| v |n∀ i=1...nie max ≈ v maxError Medio Cuadrático: e c2eie c = 1 ≈nnn1v2in −1(Se puede demostrar: Corrección de Bessel)

• Error Medio Cuadrático de la Media Aritmética:Sean X 1...X nlas observaciones y su mediaxm 2 2 2c=1+2+ +ne = 1 e + e + ... + enm 2 2 2c 1 2 nPero no conocemos el valor exacto de los errores, pero podemosacotarlos:xe i ≤ e cEntonces:e 1 e e ... ene = 1 e + e + ... + enm 2 2 2c c c cmecn1 2e 1 2cn nec1 n= =e¿cuántas observacionesc= será recomendable hacer?n

Segundo Estudio de los errores aleatorios en medidadirecta(considerando la Distribución Normal) Ahora estudiaremos estos conceptos desde la perspectiva de la D.Normal1 f(x) =σ 2πSe denomina Módulo de precisión a la expresión:e2x−2 σ2h= y por tanto quedará:σ12f(x)=2 2 h e−h xπ

Error medio aritmético: e a∞ e a ≈ E[|X|] = ≈ =−∞| x | f(x)dx1h πσ2π e a = 0.797σError probable: ep. Es aquél que cumple lo siguiente: P[|X| < e p ] = 0.5Demostremos que:e p≈ 0.68σ

Error Medio Cuadrático: e c∞e c2 ≈ E[X 2 21] = 2 x f(x)dx ≈ 2 24h01 1ec≈h 212σ 2Error Máximo: e maxemax ≈ 4e p ≈ 4(0.68σ) ≈ 2.5σemax ≈ 2.5e c= e c ≈ σ

Las expresiones más utilizadas son finalmente:e p≈ 0.68σ ≈e a ≈ 0.797σ ≈2345e ce c