Herramienta gráfica para el aprendizaje del algoritmo simplex

Herramienta gráfica para el aprendizaje del algoritmo simplexVictoria Fernández, Izaskun Urdangarin, Ana ZelaiaDpto. de Ciencia de la Computación e IAFacultad de InformáticaUniversidad del País Vascovictoria.fernandez@ehu.es, izaskunu@hotmail.com, ana.zelaia@ehu.esResumenGran parte de los contenidos de InvestigaciónOperativa, dentro de las titulaciones deInformática, consiste en el estudio de algoritmosde programación lineal. El trabajo quepresentamos muestra una herramienta gráficaconstruida para el aprendizaje del algoritmosimplex. Dicha aplicación puede ser utilizadatanto por el profesorado en el aula como por elalumnado de forma autónoma, ya que dispone deuna interfaz gráfica de manejo sencillo.1. MotivaciónEn las titulaciones de Ingeniería Técnica enInformática de Sistemas e Ingeniería Informáticade nuestro centro se imparte como asignaturaobligatoria en el segundo curso la InvestigaciónOperativa. La mayoría de los tópicos estudiadosen esta asignatura son de programación lineal.La programación lineal es una técnica exactade resolución de problemas lineales deoptimización con restricciones. Un modelo de estetipo surge en distintos contextos prácticos en laformulación de un sistema real. Aunque modelosde este tipo fueron estudiados anteriormente, seatribuye el desarrollo de la programación lineal aGeorge B. Dantzig, que en 1949 publicó elmétodo simplex, primer método construido pararesolver problemas de estas características.La programación lineal se basa en dosresultados importantes. El primero de ellos es queel conjunto de soluciones factibles es un conjuntoconvexo con un número finito de puntosextremos, y que la solución óptima se encuentraen uno de los puntos extremos. Por tanto, essuficiente calcular dichos puntos para poder daruna solución al problema. Sin embargo, paraproblemas grandes, sería muy costoso considerartodos los puntos extremos, y de ahí la importanciadel método simplex que reduce significativamenteel número de puntos a chequear. El segundoresultado es el que establece que existe unacorrespondencia biunívoca entre el conjunto depuntos extremos y el de soluciones factiblesbásicas del sistema de restricciones en formaestándar. Precisamente, podremos observar que elalgoritmo simplex va de una solución factiblebásica (punto extremo) a otra (punto extremoadyacente) que da a la función a optimizar unvalor mejor hasta conseguir el óptimo, sinnecesidad de recorrer todas las soluciones básicasfactibles [1] [2] [4].En nuestra experiencia como docentes hemosido observando la dificultad que el alumnado tienepara comprender estos resultados teóricos,convirtiéndose en muchos casos el proceso deresolución en una sucesión de cálculosincomprensibles. Una manera de hacercomprensible el proceso consiste en realizar lasolución gráfica de modelos lineales. Cuando elmodelo consta de solo dos variables, cada una delas restricciones del modelo puede serrepresentada como un semiespacio en el plano y lafunción a optimizar como una recta dibujada enfunción del valor de z. Resolver un problemalineal de dos variables gráficamente significadesplazar la función a optimizar sobre los puntosque pertenecen simultáneamente a todos lossemiespacios, hasta alcanzar el valor óptimo paraz.Es evidente que la resolución gráfica deproblemas lineales no es un método práctico,debido al elevado número de variables de losproblemas lineales que surgen en la práctica. Sinembargo, su utilización resulta de gran ayuda a lahora de interpretar la resolución algebraica. Todoslos textos de programación lineal que conocemosdedican una parte a la solución gráfica de modeloslineales que sirve para familiarizar al alumnadocon los distintos tipos de soluciones: única,múltiples, no acotada, infactibilidad. Pero enninguno de ellos hemos visto que se resuelva almismo tiempo gráficamente y algebraicamente un

532 Recursos docentesmodelo lineal para poder observar lacorrespondencia biunívoca que existe entre elconjunto de puntos extremos y el conjunto desoluciones factibles básicas. En las clasesmagistrales solemos resolver un ejerciciosimultáneamente desde ambos puntos de vista,pero se ha visto que el tiempo que se le puedededicar en el aula a este tipo de ejercicios esinsuficiente. Además, trabajar con gráficas en lapizarra resulta poco atractivo para el alumnado.Por ello, con el objetivo de paliar lasdeficiencias observadas, se pensó que sería degran ayuda utilizar algún software de apoyoadecuado. En realidad, hay abundante softwaredisponible para resolver modelos lineales (ver porejemplo [3] y [5]), pero no hemos encontradoninguno que muestre gráficamente elprocedimiento algorítmico, como hacemos en estaaplicación.Además de las motivaciones expresadas,valoramos importante el haber desarrollado laherramienta en los dos idiomas en los que laasignatura se imparte en nuestro centro: euskara ycastellano.2. La aplicaciónLa aplicación informática que presentamos hasido diseñada específicamente para trabajar con elalgoritmo simplex y dispone de una interfaz deusuario/a sencilla y cómoda de manejar. Lapantalla principal (Figura 1) nos muestra las dospartes principales de las que consta la aplicación:repaso de conceptos teóricos y solución demodelos lineales.Figura 1. Pantalla principalQueremos destacar que la integración de losconceptos teóricos en la aplicación resulta muyatractiva para el alumnado, dado que en todomomento puede realizar consultas tanto paraobservar el algoritmo simplex, como paracomprender los cálculos realizados sobre la tabla.Esto le proporciona una gran autonomía en elaprendizaje de la programación lineal.Pero, sin duda, la aportación más importantede la aplicación que presentamos es poderobservar gráficamente el recorrido del algoritmosimplex en la búsqueda de la solución óptima paraun modelo lineal con dos variables. Esto permitecomprobar que a cada solución factible básica dela tabla le corresponde un punto extremo en laregión de factibilidad. Observémoslo a través deun ejemplo (ver Figura 2).Figura 2. Ejemplo de modelo linealComo el modelo introducido tiene sólo dosvariables, la aplicación muestra automáticamentela tabla del simplex y la gráfica que lecorresponde. Así, en la Figura 3 se puede observarla tabla inicial, y la representación gráfica quecorresponde a dicha tabla. Las rectas delimitansemiespacios y la zona sombreada corresponde alconjunto de soluciones del problema. La recta queaparece marcada en negro representa la función aoptimizar. Se puede observar que en estarepresentación gráfica dicha recta pasa por elpunto extremo x1=0, x2=0, que es el puntoextremo que corresponde a la solución factiblebásica de la tabla. Concretamente, en esa soluciónlas variables x1 y x2 toman el valor cero por no

XII Jornadas de Enseñanza Universitaria de la Informática 533ser básicas. El valor de la función en este punto esz=0.Progresivamente, en las Figuras 4, 5 y 6 lafunción objetivo aparece desplazada en el sentidode la optimización, pasando por los valores z=30,z=140 y z*=210, respectivamente. Las flechas delas figuras muestran el recorrido de puntosextremos. Las soluciones factibles básicascorrespondientes a cada uno de ellos se puedenencontrar en las respectivas tablas. En la Figura 6se observa el punto extremo óptimo y en la tablala solución factible básica óptima x1*=10, x2*=6.De esta manera, la interpretación del procesoalgebraico de resolución resulta más intuitiva y degran ayuda para lograr una completa comprensióndel algoritmo simplex.Hay que decir que la aplicación no se limita aresolver modelos de dos variables. Así, cuandoel/la usuario/a introduce un modelo de másvariables, se pueden ver las tablas de cadaiteración, repasar los cálculos realizados, etc. perosin solución gráfica.La aplicación presentada ha sido desarrolladaen el entorno JDeveloper 9.0.3 [6] para lossistemas operativos Windows 2000, Windows XPy Linux. Se ha creado el archivo simplex.jar quese puede ejecutar disponiendo de un interprete deJava. De la página web de la asignatura se puededescargar el fichero simplex.jar y se encuentraninstrucciones más detalladas para su ejecución(http://www.sc.ehu.es/ccwikera/principal.html).Figura 3. Tabla inicial del simplex y su correspondiente representación gráficaFigura 4. Primera iteración del simplex y su correspondiente representación gráfica

534 Recursos docentesFigura 5. Segunda iteración del simplex y su correspondiente representación gráficaFigura 6. Tabla óptima del simplex y su correspondiente representación gráfica3. Conclusiones y futuras líneas detrabajoLa aplicación ha sido desarrollada por la alumnaIzaskun Urdangarin como proyecto fin de carreraen Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas.Se ha utilizado por primera vez en el laboratoriodurante el curso 05-06 y ha tenido una buenaacogida por parte del alumnado. Aunque nodisponemos todavía de datos objetivos comopodrían ser las calificaciones de lascorrespondientes preguntas de examen, hemospodido observar, tanto en las clases magistralescomo en las tutorías y laboratorios, que unimportante porcentaje del alumnado ha llegado acomprender con más facilidad los conceptosestudiados en las clases teóricas.Esta primera experiencia nos ha permitidotanto a nosotras como al alumnado detectarposibles mejoras a la aplicación. Entre ellas,permitir a el/la usuario/a la elección manual depivote, así como el cálculo de los puntos extremosde la solución gráfica, la construcción de la formaestándar del modelo, etc. En concreto en laselección manual del pivote, una elección erroneapermitirá observar a el/la usuario/a que o bienretrocede a un punto extremo anterior (empeora) obien la solución básica correspondiente seríainfactible (fuera de la región).

XII Jornadas de Enseñanza Universitaria de la Informática 535Teniendo en cuenta la buena acogida por partedel alumnado, en nuevos proyectos fin de carreraestamos planteando el desarrollo de aplicacionesgráficas para el simplex dual, algoritmos deramificación y acotación y para las técnicas deanálisis de sensibilidad. El objetivo final esconseguir un software para programación linealque permita al alumnado abordar de formabastante autónoma el aprendizaje de estastécnicas, evitando el excesivo cálculo y pudiendodedicar las clases magistrales al desarrollo ycomprensión de los aspectos teóricos.Referencias[1] Bazaraa, M.S., Jarvis, J.J. and Sherali, H.D.,Linear Programming and Network Flows.John Wiley & Sons, Inc., 1990.[2] Calvert, J.E. and Voxman, W.L., Linearprogramming. Harcourt Brace JovanovichInc., 1989.[3] Chang, Y. QSB+ Quantitative Systems forBusiness Plus. Prentice Hall, 1994.[4] Ríos Insua, S.. Investigación Operativa.Optimización. Centro de Estudios RamónAreces, 1988.[5] Scharage, L. Lindo. An OptimizationModeling System. The Scientific Press, 1991.[6] Tutoriales de Java:http://www.cica.es/formacion/JavaTut,http://java.sun.com/docs/books/tutorial