Regla de Tres.

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIASEMILLERO DE MATEMÁTICAS NIVEL 11TALLER Nº 7 PROPORCIONALIDAD REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTARESEÑA HISTÓRICA:BEREMIZ, el matemático del libro El hombre que Calculaba, decía que podía explicar con lasmedidas del rostro de una mujer si era hermosa o no. Decía: puedo explicar esa relación curiosade un modo elemental y simple:Dada una magnitud AB (en este caso representada por un segmento de recta), podemos dividirlopor la mitad, o en dos partes desiguales. La división en dos partes desiguales puede hacerse deuna infinidad de maneras diferentes. Entre estas divisiones de AB en partes desiguales, ¿habráalguna preferible a todas las otras?Consideremos el segmento AB dividido en dos partes desiguales:Admitamos que esas partes desiguales admiten la siguiente relación:“El segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la parte menor”. La proporción esla siguiente:Segmentototal Partemayor= Aproximadamente igual a 1.618Partemayor PartemenorEsta notable división se llama división áurea o división en media y extrema razón.En el rostro femenino considerado “matemáticamente Hermoso”, la línea C a la altura de los ojosdivide a la longitud total de AB, en media y extrema razón, siendo AB la longitud del rostro.Hasta hoy no se consiguió descubrir la razón de ser o el porque de esa belleza. Los matemáticosque llevaran hasta muy lejos sus estudios y observaciones, exponen varios y curiosos ejemplosque constituyen elocuentes demostraciones para el principio de esa división, que los romanosllamaban “divina proporción”.El titulo en la primera página de una obra divide, en general, la medida total de la página en mediay extrema razón. Lo mismo sucede con la línea de los ojos, que divide, en las personas bienproporcionadas, la medida total del rostro en media y extrema razón. Se observa también en laspartes en que las falanges dividen los dedos de la mano. La división en media y extrema razón sepuede hallar también en la música, el pintura, en la escultura y en la arquitectura.TEORÍARAZON:La razón entre dos cantidades a y b es el cociente indicado entre ellas y la representamos por: baAntes de comparar dos cantidades debemos expresarlas en la misma unidad de medida.PROPORCION:Una proporción es una igualdad de dos razones.a c4 1La proporción = se lee “a es a b como c es a d”, por ejemplo: = se lee “ 4 es a 8 comob d8 21 es a 2”.a y d se llaman extremos de la proporción.b y c se llaman medios de la proporción.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES:En toda proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios.a c3 6= ⇒ a ⋅ d = b ⋅ c ; ejemplo: = ⇒ 3⋅4 = 2 ⋅ 6 .b d2 4MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES:Consideremos dos magnitudes A y B así:A: Es el área en m 2 de un piso para embaldosar.B: Es el numero de obreros necesarios para embaldosar el piso en un día.Si duplicamos el área del piso, se duplicará el número de obreros necesarios para embaldosarlo.DEFINICON: Dos magnitudes se llaman DIRECTAMENTE PROPORCIONALES, cuando estánrelacionadas de un modo que al duplicar, triplicar etc., una de ellas, la otra también se duplica, setriplica, etc. Por lo tanto en el ejemplo anterior A y B son magnitudes directamente proporcionales.En el ejemplo: Si tenemos a 1 m 2 de piso para embaldosar y necesitamos b 1 obreros y si a a 2 m 2 depiso le corresponden b 2 obreros para embaldosarlos, entonces se tiene la proporción:a1b =1a2b2MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES:Un vehículo, con velocidad constante, recorre una distancia determinada en t horas, si duplicamosla velocidad, recorrerá la misma distancia en la mitad del tiempo.DEFINICION: Dos magnitudes se llaman INVERSMENTE PROPORCIONALES, si al multiplicaruna de ellas por n, la cantidad correspondiente de la otra queda dividida por n.En el ejemplo anterior, si con una velocidad constante V 1 recorre una distancia d en t 1 horas y conotra velocidad constante V 2 se demora t 2 horas, tenemos que: V 1 t 1 = V 2 t 2 , de donde:V1t =2 ( La velocidad es inversamente proporcional al tiempo)V t21BIBLIOGRAFÍA:• Malba Tahan: El hombre que Calculaba. Panamericana Editorial. Bogotá. 1994.• Chica, Jaime. Del Valle, Jesús. Y otros. Matemáticas (Colección Camino a la Universidad).Editorial Universidad de Antioquia. 1992.• Uribe, Julio: Matemáticas Básicas operativas. Susaeta ediciones. 1990.• Guarín, Hugo; Londoño, Nelson y otros. Matemática moderna estructurada. Libro 2.Editorial Norma. Bogotá.GLOSARIO: Razón. Proporción, Medios, Extremos, Proporción directa, Proporción inversa,segmento áureo, Media y extrema razón.

REGLA DE TRES SIMPLE1. Cuál es el precio de 340 Kg de café a 178dólares 85 kilosA. $145B. $268C. $712D. $44,52. Sabiendo que 162 litros de vino cuestan324 dólares,¿cuál es el valor de 285 litros dela misma calidad?.A. $144,2B. $420C. $285D. $5703. Para hacer una obra, 28 obreros hanempleado 45 días. ¿Cuántos días emplearánpara hacer otra obra semejante a la anterior15 obreros?A. 84B. 45C. 63D. 1104. Dos individuos arriendan una finca. Elprimero ocupa los 5/11 de la finca y paga$6.000 bolívares de alquiler al año. ¿Cuántopaga de alquiler el segundo?A. 7.200 BsB. 5.000 BSC. 2.700 BsD. 2.600 Bs5. Una casa es de dos hermanos. La partedel primero, que es los 5/13 de la casa, estáavaluada en 15.300 bolívares. Hallar el valorde la parte del otro hermano.A. 29.380B. 25.300C. 24.480D. 9.562,56. Un grupo de obreros emplea 14 días,trabajando 8 horas diarias, en realizar ciertaobra. Si hubieran trabajado una hora menosal día, ¿En cuántos días habrán terminado laobra?A. 12.25 DB. 16 DC. 18 DD. 11.5 D7. Nueve hombres pueden hacer una obra en5 días. ¿Cuántos hombres más harían faltapara hacer la obra en un día? ¿Cuántoshombres menos para hacerla en 15 días?A. 2.25 y 27B. 45 y 3C. 36 y 6D. 45 y 68. Ganando $3.15 en cada metro de tela,¿Cuántos metros se han vendido si laganancia ha sido $945?A. 300 mB. 645 mC. 315 mD. 945 m39. Un obrero tarda 125días en hacer 7/12 deuna obra. ¿Cuánto tiempo necesitará parapoder terminar la obra?A. 18 DB. 3 DC. 9 DD. 12 D10. A la velocidad de 30 Km por hora, un1automóvil emplea 8 horas en ir de una4ciudad a otra. ¿Cuánto tiempo menos sehubiera tardado si la velocidad hubiera sidoel triple?A. 24,71B. 52C. 11/4D. 15/411. Dos piezas de paño de la misma calidadcuestan, un $450 y otra $300. si la primeratiene 15M más que la segunda, ¿Cuál es lalongitud de cada pieza?A. 45m y 30mB. 55m y 5 mC. 25m y 10mD. 30m y 15m

12. Una fuente da 120 decalitros de agua en10 minutos. ¿Cuántos litros más dará en112 minutos?12A. 250B. 350C. 1.200D. 14513. Una guarnición de 1.300 hombres tienevíveres para 4 meses. Si se quiere que losvíveres duren 10 días mas, ¿cuántoshombres habrá que rebajar de la guarnición?A. 1.200B. 100C. 1.400D. 1.25014. Un ganadero compra 1.140 reses con lacondición de recibir 13 por cada 12 quecompre. ¿Cuántas reses debe recibir?A. 1.235B. 1.400C. 1.350D. 1.15015. Al vender cierto número de caballos por$4.500 gano $6 en cada $100. ¿Cuánto mecostaron los caballos?A. 4.230B. 3.450C. 1.350D. 4.35016. Al vender cierto número de caballos por$960 pierdo $8 en cada $100. ¿Cuánto mecostaron los caballos?A. $1.130B. $1.036.80C. $1.450D. $2.45017. Dos números están es la relación de 5 a3. Si el mayor es 655, ¿Cuál es el menor?A. 325B. 225C. 393D. 23218. Dos números están en relación de 19 a17. Si el menor es 289 ¿Cuál es el mayor?A. 289B. 323C. 232D. 98219. Se han empleado 8 días para cavar unazanja. Si la dificultad de otro terreno guardacon la dificultad del anterior la relación de 4 a3, ¿Cuántos días llevaría cavar una zanjaigual en el nuevo terreno?A. 62B. 1031C. 123D. d. 12420. Un grupo de 15 hombres se comprometea terminar en 14 días cierta obra. Al cabo de9 días sólo han hecho los 3/7 de la obra;¿con cuantos hombres tendrán que serreforzados para terminar la obra en el tiempofijado?A. 24B. 23C. 19D. 21REGLA DE TRES COMPUESTA1. Una guarnición de 500 hombres tienenvíveres para 20 días a razón de 3 racionesdiarias. ¿Cuántas raciones diarias tomaracada hombre si se quiere que los víveresduren 5 días más?A. 1/5B.235C.435D.2252. Ocho hombres han cavado en 20 días unazanja de 50 m de largo, 4m de ancho y 2 mde profundidad. ¿En cuanto tiempo hubierancavado la zanja 6 hombres menos?A. 5 díasB. 5/4 díasC. 50 díasD. 80 días

3. Una calle de 50 metros de largo y 8 metrosde ancho se halla pavimentada con 20.000adoquines. ¿Cuántos adoquines seránnecesarios para pavimentar otra calle deldoble de largo y cuyo ancho es los ¾ delancho interior?A. 45.000B. 19.200C. 3.750D. 30.0004. Diez hombres, trabajando en laconstrucción de un puente, hacen 3/5 de laobra en 8 días. Si se retiran 8 hombres,¿Cuánto tiempo emplearan los restantespara terminar la obra?A. 162B. 263C. 601D. 535. Dos hombres han cobrado 350 bolivarespor un trabajo realizado por los dos. Elprimero trabajó durante 20 días a razón de 9horas diarias y recibió 150 bolívares.¿Cuántos días a razón de 6 horas diarias,trabajó el segundo?A. 19 díasB. 40 díasC. 45 díasD. 35 días6. 2 gallinas ponen dos huevos en dos días;10 gallinas. ¿Cuántos huevos ponen 10días?A. 2 huevosB. 10 huevosC. 100 huevosD. 50 huevos7. Se emplean 14 hombres en hacer 45 m deuna obra, trabajando durante 20 días.¿Cuánto tiempo empleará la mitad de esoshombres en hacer 16 m de la misma obra,habiendo en esta obra triple dificultad que enla anterior?A. 201B. 383C. 452D. 4238. ocho niños se comen 8 biscochos en 8minutos. ¿Cuántos niños son necesariospara comerse 2 biscochos en 2 minutos?A. 2 niñosB. 4 niñosC. 8 niñosD. 6 niños9. 15 hombres han sembrado en 20 días unterreno de 50 km de largo por 15 km deancho. ¿En cuanto tiempo hubieransembrado el mismo terreno 6 hombresmenos?A. 33B. 321C. 333D. 3110. Un parqueadero de 300 m de largo y 160m de ancho se halla pavimentado con 35.000adoquines. ¿Cuántos adoquines seránnecesarios para pavimentar otra calle deldoble de largo y cuyo ancho es la mitad delancho anterior?A. 35.000B. 2.500C. 32.140D. 8.43011. 12 hombres han sembrado en 15 días unterreno de 30 km de largo por 15 km deancho. ¿En cuanto tiempo hubieransembrado otro terreno de 22 km de largo por11 km. De ancho 4 hombres menos?A. 14.5B. 9C. 12.1D. 8.312. Tres hombres han cobrado $ 15.300 porun trabajo hecho por los tres, trabajandodurante 23 días. ¿Cuánto cobrarán 5hombres por hacer el trabajo en 15 días?A. 16.630,4B. 15.480,3C. 10.421D. 7.594,5

13. Una guarnición de 700 hombres tienenvíveres para 30 días a razón de 3 racionesdiarias. ¿Cuántas raciones diarias deberátomar una guarnición de 400 hombres si sequiere que los víveres duren 5 días más?A. 3.5B. 4.5C. 7D. 614. Un automóvil invierte 8 horas pararecorrer una distancia de 240 km a unavelocidad de 30 km/h. ¿Cuánto tiempo segastará para recorrer una distancia de 420km, a una velocidad de 14 km/h?A. 7.5 horasB. 15 horasC. 12 horasD. 30 horas315. Una piscina se gasta 340m de aguapara llenarla en un tiempo de 3 horas,utilizando 4 mangueras. ¿Cuántasmangueras se necesitan para llenar la mitadde la piscina con 2 horas?A. 3B. 18C. 16D. 916. 8 hombres, trabajando en la construcciónde un puente hacen 5/8 de la obra en 12días. Si se añaden 3 hombres más. ¿Cuántotiempo empleará la nueva cantidad dehombres para terminar la obra?A. 5.2B. 3 ½C. 7.7D. 8.417. Dos hombres han gastado $ 780 en unnegocio hecho por ambos. El primero invirtió$350 y trabajó durante 23 días a razón de 9horas. ¿Cuántos días a razón de 6 horasdiarias, trabajó el segundo?A. 18B. 42.4C. 35D. 24.718. Un grupo de 9 hombres se comprometena terminar en 14 días cierta obra. Al cabo de11 días sólo han hecho la mitad de la obra.¿Cuántos hombres tendrán que serreforzados para terminar la obra en el tiempofijado?A. 18B. 24C. 33D. 1919. Un grupo de 9 hombres secomprometieron a terminar en 14 días ciertaobra. Al cabo de 11 días sólo han hecho lamitad de la obra. Si se agregan 5 hombresmás para terminar la obra, en cuanto tiempolo harán?A. 4B. 5C. 9D. 720. Siete hombres han cavado en 20 díasuna zanja de 30m de largo y 2 deprofundidad. ¿En cuanto tiempo hubierancavado otra zanja de 20x3x3, 2 hombresmenos?A. 21B. 15C. 9D. 36