Capâ¢tulo 4- Funciones
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<strong>Funciones</strong>4A Conceptos de funciones4-1 Cómo representar relaciones4-2 Relaciones y funcionesLaboratorio La prueba de la línea verticalLaboratorio Hacer un modelo de lasrelaciones de variables4-3 Cómo escribir funciones4-4 Cómo representar funcionesLaboratorio Relacionar las reglas defunciones, tablas y gráficas4B Aplicar funciones4-5 Diagramas de dispersión y líneasde tendenciaLaboratorio Interpretar diagramas dedispersión y líneas de tendencia4-6 Sucesiones aritméticasCLAVE: MA7 ChProjIguana cornuda de Texasen el Parque NacionalGuadalupe Mountains226 Capítulo 4
VocabularioElige el término de la izquierda que corresponde a cada definición de la derecha.1. valor absolutoA. una letra usada para representar un valor que puede cambiar2. expresión algebraica3. valor de entrada4. valor de salida5. eje xB. el valor generado para yC. un grupo de números, símbolos y variables con una omás operacionesD. la distancia de un número desde cero en la recta numéricaE. la recta numérica horizontal en el plano cartesianoF. un valor que sustituye a xPares ordenadosRepresenta gráficamente cada punto en el mismo plano cartesiano.6. (-2, 4) 7. (0, -5) 8. (1, -3) 9. (4, 2)10. (3,-2) 11. (-1, -2) 12. (-1, 3) 13. (-4, 0)Tablas de funciónGenera pares ordenados para cada función para x =-2, -1, 0, 1, 2.14. y =-2x - 1 15. y = x + 1 16. y =-x 217. y = 1 _2 x + 2 18. y = (x + 1)2 19. y = (x - 1) 2Resolver ecuaciones de varios pasosResuelve cada ecuación. Comprueba tu respuesta.20. 17x - 15 = 12 21. -7 + 2t = 7 22. -6 = _ p 3 + 923. 5n - 10 = 35 24. 3r - 14 = 7 25. 9 = _ x 2 + 126. -2.4 + 1.6g = 5.6 27. 34 - 2x = 12 28. 2 (x + 5) =-8Resolver para una variableResuelve cada ecuación para la variable indicada.29. A =la para a 30. V =lah para a 31. A = bh para h32. C = 2πr para r 33. I = Cit para C 34. V = 1 _3 lah para h <strong>Funciones</strong> 227
Vocabulario/Key VocabularyConexiones de vocabulariocorrelacióndiagrama dedispersióndominiofunciónrangorelaciónvariable dependientevariableindependientecorrelationscatter plotdomainfunctionrangerelationdependent variableindependent variableConsidera lo siguiente para familiarizarte con algunos delos términos de vocabulario del capítulo. Puedes consultarel capítulo, el glosario o un diccionario si lo deseas.1. ¿Qué significa la palabra dependiente? ¿Qué crees que esverdadero sobre el valor de una variable dependiente?2. Una función es un tipo especial de relación y notaciónes un método de escritura. ¿Qué supones quesignifica notación de función?3. La palabra correlación significa “relación”. ¿Quépuede significar que dos conjuntos de datos esténsin correlación?4. ¿Qué significa que dos personas tienen algo encomún? Si la diferencia es la respuesta a un problemade resta, ¿qué significará que una lista de númerostenga una diferencia común?Álgebra I TEKSA.1.A Bases de las funciones* describir cantidadesdependientes e independientes en relaciones funcionalesA.1.B Bases de las funciones* … utilizar conjuntos de datospara determinar relaciones funcionales entre lascantidadesA.1.C Bases de las funciones* describir las relaciones funcionalesque existen en situaciones dadas y escribir ecuaciones …para responder a preguntas que surgen de esas situacionesA.1.D Bases de las funciones* representar las relacionesentre cantidades usando … tablas, gráficas, diagramas,descripciones con palabras, [y] ecuaciones …A.2.B Bases de las funciones* identificar dominios y rangosmatemáticos y determinar valores razonables de dominioy rango para situaciones dadas,tanto continuas comodiscretasA.2.C Bases de las funciones* interpretar situaciones según lasgráficas dadas o crear situaciones que coincidan con lasgráficas dadasA.2.D Bases de las funciones* … hacer e interpretar diagramasde dispersión (incluyendo el reconocimiento … correlación… ), y modelar [y] hacer predicciones … en situacionesdadasA.3.B Bases de las funciones* buscar patrones y representargeneralizaciones algebraicamenteA.4.C Bases de las funciones* relacionar la notación deecuación con la notación de función, como y = x + 1 y f(x) = x + 1Lecc.4-1Lecc.4-24-2LabdeÁlg4-3LabdeÁlgLecc.4-3★Lecc.4-44-4LabdeTéc★ ★ ★ ★★Lecc.4-54-5LabdeTéc★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★★ ★ ★ ★★★★Lecc.4-6★★ ★ ★ ★★228 Capítulo 4* Los conocimientos y destrezas están descritos en detalle en las páginas TX28 a TX35.
Estrategia de lectura: Lee e interpreta símbolos matemáticosEs esencial que puedas interpretar los símbolos matemáticos a medida que lees cada sección dellibro de texto.Símbolos matemáticos comuneses mayor que≥es mayor queo igual araíz cuadrada| x |valor absolutode x≠no es igual aDebes ser capaz de convertir los símbolos en palabras...Con símbolos3 (_12) x - 1 = 2125x + 6 ≥ 17⎪x⎥ > 14√ 60 + x ≤ 40Con palabrasTres por el cociente de x y 12, menos 1 es igual a 21.Veinticinco por x más 6 es mayor que o igual a 17.El valor absoluto de x es mayor que 14.La raíz cuadrada de la suma de 60 y x es menor que o igual a 40.. . . y las palabras en símbolos.Con palabrasLa altura del cobertizo mide al menos 9 pies.La distancia es como máximo una décima de milla.El silo contiene más de 600 pies cúbicos de maíz.Con símbolosh ≥ 9 piesd ≤ 0.1 mic > 600 p ies 3InténtaloConvierte los símbolos en palabras.1. x ≤ √ 10 2. ⎪x⎥ + 2 > 45 3. -5 ≤ x < 8 4. -6 - _ 1 5 x =-32Convierte las palabras en símbolos.5. Quedan menos de 15 segundos. 6. La tasa del impuesto es del 8.25 por ciento del costo.7. Ann contó mas de 100 monedas 8. Joe puede gastar al menos $22 pero no más de $30.de un centavo.<strong>Funciones</strong> 229
4-1Cómo representarrelacionesTEKS A.2.C Bases de las funciones: interpretar situaciones según las gráficas dadaso crear situaciones que coincidan con las gráficas dadas. Ver también A.1.D, A.1.EObjetivosRelacionar gráficas simplescon situacionesRepresentar gráficamenteuna relaciónVocabulariográfica continuagráfica discreta¿Quién lo usa?Los cardiólogos pueden usar gráficas paraanalizar los latidos del corazón de suspacientes. (Ver Ejemplo 2)Las gráficas se pueden usar para ilustrar muchassituaciones. Por ejemplo, las tendencias que semuestran en los cardiogramas pueden servir al médicopara ver cómo funciona el corazón del paciente.Para relacionar una gráfica con una situación dada,usa palabras clave en la descripción.EJEMPLO 1 Relacionar gráficas con situacionesLa temperatura del aire fue constante durante varias horas al principio deldía y luego subió continuamente durante varias horas. La temperaturapermaneció igual la mayor parte del día y bajó bruscamente al atardecer.Elige la gráfica que mejor represente esta situación.TemperaturaGráfica ATemperaturaGráfica BTemperaturaGráfica CTiempoTiempoTiempoPaso 1 Lee las gráficas de izquierda a derecha para mostrar el paso del tiempo.Paso 2 Haz una lista de las palabras clave en orden y decide en qué gráfica semuestra cada palabra.Palabras clave Descripción del segmento… Gráficas…Fue constante Horizontal Gráficas A y BSubió continuamente Inclinado hacia arriba Gráficas A y BPermaneció igual Horizontal Gráfica BBajó bruscamente Inclinado hacia abajo Gráfica BPaso 3 Elige la gráfica en la que se muestrentodas las frases clave en orden.horizontal, inclinado hacia arriba,horizontal, inclinado hacia abajoLa gráfica B es la correcta.TemperaturaTiempo1. La temperatura del aire aumentó continuamente durantevarias horas y luego se mantuvo constante. Al final del día,la temperatura aumentó levemente otra vez y luego bajóbruscamente. De las gráficas anteriores, elige la que mejorrepresente esta situación.230 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
Como viste en el Ejemplo 1, algunas gráficas son líneas o curvas conectadas quese llaman gráficas continuas. Algunas gráficas son sólo puntos separados y sellaman gráficas discretas.La gráfica sobre la asistencia de público a un parquetemático es un ejemplo de una gráfica discreta. Estáformada por puntos separados porque cada año esdistinto y las personas se cuentan en números cabalessolamente. Los valores entre los números cabales no seincluyen porque no significan nada en esta situación.PersonasAsistencia de públicoal parque temáticoEJEMPLO 2 Trazar gráficas para distintas situacionesCuando traces ointerpretes unagráfica, presta muchaatención a los rótulosde cada eje.AñosTraza una gráfica para cada situación. Indica si la gráfica es continua o discreta.A Simón vende velas para recaudar dinero para el baile de la escuela. Por cadavela que vende, la escuela obtiene $2.50. Tiene 10 velas para vender.Cantidad ganada ($)252015105Ganancias de Simón012345678910Velas vendidasLa gráfica es discreta.La cantidad ganada (eje y) aumenta en$2.50 por cada vela que Simón vende(eje x).Como Simón sólo puede vender velasenteras o ninguna, la gráfica son 11puntos separados.B Mientras Angelique hace ejercicios en una cinta de andar, se controla suritmo cardíaco. Cuando camina, el ritmo de su corazón se mantiene igual.A medida que acelera el paso, su ritmo cardíaco aumenta a velocidadconstante. Cuando empieza a correr, el ritmo aumenta más rápidamente yse mantiene alto mientras corre. A medida que disminuye el paso, su ritmocardíaco se hace más lento y vuelve a su ritmo normal.A medida que el tiempo pasa durante su sesión de ejercicios (de izquierda aderecha en el eje x), el ritmo cardíaco (eje y) hace lo siguiente:• se mantiene igual,• aumenta a velocidad constante,• aumenta más rápidamente(más pronunciado que elsegmento anterior),• se mantiene alto,• se hace más lento,• y luego vuelve a su ritmo normal.La gráfica es continua.Ritmo cardíacoRitmo cardíaco de AngeliqueyTiempoxTraza una gráfica para cada situación. Indica si la gráfica escontinua o discreta.2a. Jamie toma un curso de 8 semanas para aprender a escribira máquina. Al final de cada semana, hace un examen parahallar la cantidad de palabras que puede escribir por minuto.Jaime progresa cada semana.2b. Henry empieza a vaciar un tanque de agua cuando abre unaválvula. Después abre otra válvula. Luego, cierra la primeraválvula y deja la segunda válvula abierta hasta vaciar el tanque.4-1 Cómo representar relaciones 231
En ambas gráficas se muestra una relación sobre un niño que se desliza por untobogán. La gráfica A representa la distancia desde el suelo a la que está el niño enrelación con el tiempo. La gráfica B representa la velocidad del niño en relación conel tiempo.Distancia desdeel sueloGráfica AVelocidadGráfica BTiempoTiempoEJEMPLO 3 Escribir situaciones para gráficasEscribe una situación posible para la siguiente gráfica.Nivel del aguaTiempoPaso 1 Identifica los rótulos.Eje x: tiempo Eje y: nivel del aguaPaso 2 Analiza las secciones.A medida que pasa el tiempo, el nivel delagua hace lo siguiente:• aumenta constantemente,• se mantiene sin cambios,• y luego disminuye constantemente.Situación posible:Se llena con agua una regadera. Luego se deja un rato mientras se plantan lasflores. El agua de la regadera se vacía después sobre las flores que se plantaron.3. Escribe una situación posiblepara la gráfica dada.Pizzas compradasEstudiantesRAZONAR Y COMENTAR1. Una gráfica que relaciona edad con altura ¿debe ser continua o discreta?Explica.2. Da un ejemplo de una situación que incluya un segmento horizontalal graficarla.3. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. Escribe unejemplo de palabras clave que sugieran los segmentos dados en unagráfica. Ya tienes un ejemplo de cada segmento.Palabras clave para lossegmentos de la gráficaaumentadisminuyese mantieneigual232 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
4-1EjerciciosTAKS Grado 8, Obj. 2, 6Grados 9 a 11, Obj. 1, 2, 10CLAVE: MA7 4-1CLAVE: MA7 Parent*(Disponible sólo en inglés)PRÁCTICA GUIADAVocabulario Aplica el vocabulario de esta lección para responder a cada pregunta.1. Una gráfica ? está formada por líneas o curvas conectadas. (continua o discreta)2. Una gráfica ? está formada sólo por puntos separados. (continua o discreta)VER EJEMPLO 1pág. 230Elige la gráfica que mejor represente cada situación.3. Una persona alterna entre correr y caminar.4. Una persona aumenta la velocidad gradualmente hasta un ritmo de carrera constante.5. Una persona camina, aumenta gradualmente la velocidad hasta correr y luego disminuyeel paso hasta volver a caminar.Gráfica AGráfica BGráfica CVelocidadVelocidadVelocidadTiempoTiempoTiempoVER EJEMPLO 2pág. 2316. Maxine compra páginas adicionales para su álbum de fotos. En cada página se puedencolocar 8 fotos. Traza una gráfica en la que se muestre la cantidad máxima de fotos queMaxine puede agregar a su álbum si compra 1, 2, 3 ó 4 páginas adicionales. Indica si lagráfica es continua o discreta.VER EJEMPLO 3pág. 232Escribe una situación posible para cada gráfica.7.8.9.VelocidadAlturaCaloríasTiempoEdadPorcionesPráctica independientePara los VerEjercicios Ejemplo10–12 113 214–16 3TEKSTAKSPráctica de destrezaspág. S10Práctica de aplicaciónpág. S31PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMASElige la gráfica que mejor represente cada situación.10. Se iza una bandera en un mástil rápidamente al principio y luego más despacio alacercarse a la parte superior del mástil.11. Se iza una bandera con movimientos bruscos, con el método de jalar con una mano yluego con la otra.12. Se iza una bandera a una velocidad constante.Altura de la banderaGráfica ATiempoAltura de la banderaGráfica BTiempoAltura de la banderaGráfica CTiempo4-1 Cómo representar relaciones 233
13. Durante seis meses, un cachorro aumentó de peso a ritmo constante. Traza una gráficaen la que se ilustre el peso del cachorro durante ese periodo. Indica si la gráfica escontinua o discreta.Escribe una situación posible para cada gráfica.14.15.Distancia desdela casaTiempoCostoTiempo16.Visitantesdel parqueDíasDeportesWillie Shoemaker, unjockey nacido en Fabans,Texas, en 1931, ganó 8833carreras, un récord mundialque mantuvo hasta 1999.Su triunfo en el KentuckyDerby en 1976 fue unade las victorias másmemorables en carrerasde caballos.17. Recopilación de datos Usa una calculadora de gráficas y un detector de movimientopara hacer lo siguiente.a. En un plano cartesiano, dibuja una gráfica en la que relaciones la distancia recorridadesde un punto de partida caminando a distintas velocidades y tiempos.b. Usa el detector de movimiento como el punto de partida y aléjate caminando parahacer una gráfica en la calculadora de gráficas que se relacione con la que dibujaste.c. Compara las velocidades a las que caminaste con cada cambio de inclinación enla gráfica.18. Deportes En la gráfica se muestra la velocidad de uncaballo durante y después de una carrera. Usa la gráfica paradescribir los cambios de ritmo del caballo durante la carrera.VelocidadCarrera de caballos19. Tiempo libre Empiezas a subir el sendero de unamontaña a las 10 am. Acampas durante la noche y luegocomienzas a caminar de regreso por el mismo senderoal mismo ritmo a las 10 am de la mañana siguiente. EnTiempoel mismo conjunto de ejes, representa gráficamente larelación entre la distancia desde la cima de la montaña y el momento del día de la subiday la bajada. ¿Qué representa el punto de intersección de las gráficas?20. Razonamiento crítico Supongamos que trazaste una gráfica de la relación entrela velocidad y el tiempo de la caída de un ladrillo desde lo alto de un edificio. Luegotrazaste una gráfica de la relación entre la velocidad y el tiempo de una pelota que rodócuesta abajo de una colina y que luego se detuvo. ¿En qué se parecerían las gráficas? ¿Enqué se diferenciarían?21. Escríbelo Describe una situación de la vida real que se pueda representar medianteuna gráfica con puntos separados. Luego describe una situación de la vida real que sepueda representar mediante una gráfica conectada.22. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS de lapágina 260.Una piscina rectangular con unaprofundidad de 4 pies en todas suspartes se llena a un ritmo constante.a. Traza una gráfica para mostrar laprofundidad del agua a medida queaumenta con el paso del tiempo.b. En el dibujo se muestra la vista lateralde otra piscina. Si la piscina se llena aun ritmo constante, traza una gráficapara mostrar la profundidad del agua a medida que aumenta con el paso del tiempo.234 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
23. ¿Qué situación NO se representaría mediante una gráfica con puntos separados?la cantidad de dinero ganado según la cantidad de barras de cereal vendidasla cantidad de visitantes por día a una tienda de comestibles en una semanala cantidad de té helado en la jarra de un restaurante durante la hora del almuerzoel costo total de comprar 1, 2 ó 3 CD en una tienda de música24. ¿Qué situación es la que mejor se representa en la gráfica?Un surfista de nieve comienza al pie de la colina ytoma un elevador para esquiadores hasta la cima.Un crucero viaja a ritmo constante desde el puertohasta su destino.Un objeto que cae desde el último piso de un edificiogana velocidad a un ritmo rápido antes de llegar al suelo.VelocidadTiempoUn maratonista comienza con ritmo constante y corre más rápido al final de lacarrera, antes de detenerse en la línea de llegada.25. Respuesta breve Marla participa en un triatlón que consiste en pruebas de natación,ciclismo y carrera. La gráfica de la velocidad de Marla durante el triatlón ¿sería unagráfica conectada o de puntos separados? Explica.DESAFÍO Y EXTENSIÓNA continuación se muestran tres floreros y tres gráficas que representan la altura delagua a medida que se vierte en cada florero a un ritmo constante. Relaciona cada florerocon la gráfica correspondiente.A B C26.27.28.AlturaAlturaAlturaTiempoTiempoTiempoPRÁCTICA GUIADAEvalúa cada expresión. (Lección 1-4)329. -230. 4 4 31. ( 1 _Genera pares ordenados para cada función para x =-2, -1, 0, 1 y 2. Representagráficamente los pares ordenados y describe el patrón. (Lección 1-8)32. y = x - 2 33. 2x + y = 1 34. y = ⎪x - 1⎥ 35. y = x 2 + 2Representa cada relación con una ecuación y luego resuélvela. (Lección 2-1)36. 11 sumado a un número es igual a 3. 37. Cinco menos que un número es igual a -2.3) 24-1 Cómo representar relaciones 235
ObjetivosIdentificar funcionesHallar el dominio y elrango de relacionesy funcionesVocabulariorelacióndominiorangofunción4-2Relaciones yfuncionesTEKS A.1.B Bases de las funciones: reunir y anotar datos y utilizar conjuntosde datos para determinar relaciones funcionales entre las cantidades.Ver también A.1.D,A.1.E, A.2.B¿Para qué sirve?Puedes usar una relación para mostrarlas posiciones finales y los puntajes enuna prueba de atletismo.En la Lección 4-1, viste relacionesrepresentadas mediante gráficas.Las relaciones también se puedenrepresentar mediante un conjunto depares ordenados llamados una relación.En el sistema de puntaje de las gráficas para responder, por el primer lugar obtienes10 puntos, por el segundo lugar obtienes 8 puntos, por el tercer lugar obtienes 6puntos y por el cuarto lugar obtienes 4 puntos. Este sistema de puntajees una relación; por lo tanto, se puede mostrar como pares ordenados,⎧⎨⎩ (1, 10), (2, 8), (3, 6), (4, 4)⎫ ⎬ . También puedes mostrar relaciones de otras maneras,⎭como con tablas, gráficas o diagramas de correspondencia.EJEMPLO 1 Mostrar representaciones múltiples de relacionesExpresa la relación del sistema de puntaje de la prueba de atletismo, ⎨⎧ (1, 10) ,⎩(2, 8) , (3, 6) , (4, 4) ⎫ ⎬ , como una tabla, como una gráfica y como un diagramade correspondencia. ⎭TablaPuntaje de la pruebade atletismoLugarPuntos1 102 83 64 4Diagrama de correspondenciaLugar1234Puntos10864Escribe todos losvalores de x debajode “Lugar” y todoslos valores de ydebajo de “Puntos”Puntos108642GráficaPuntaje de la pruebade atletismo01 2 3 4 5LugarUsa los valores de x e ypara marcar lospares ordenados.Escribe todos los valores de x debajo de“Lugar” y todos los valores de y debajo de“Puntos”. Dibuja una flecha desde cada valorde x hacia su valor de y correspondiente.236 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>⎧ 1. Expresa la relación ⎨⎩ (1, 3) (2, 4) , (3, 5) ⎬⎫ ⎭como una tabla, comouna gráfica y como un diagrama de correspondencia.El dominio de una relación es el conjunto de las primeras coordenadas (o valores dex) de los pares ordenados. El rango de una relación es el conjunto de las segundascoordenadas (o valores de y) de los pares ordenados. El dominio del sistema depuntaje de la prueba de atletismo es {1, 2, 3, 4}. El rango es {5, 3, 2, 1}.
EJEMPLO 2 Hallar el dominio y rango de una relaciónDa el dominio y el rango de la relación. D: 1 ≤ x ≤ 3 R: 2 ≤ y ≤ 4El dominio es todos los valoresde x del 1 al 3, inclusive.El rango es todos los valores de ydel 2 al 4, inclusive. Da el dominio y el rango de cada relación.2a.2b.x y1 14 48 1Una función es un tipo especial de relación que forma un par con cada valor deldominio y un solo un valor del rango.EJEMPLO 3 Identificar funcionesDa el dominio y el rango de cada relación. Indica si cada relación es unafunción. Explica.AViaje de estudioEstudiantes xAutobuses y75 268 2125 3Cuando hay unacantidad finita devalores en un dominioo rango, haz una listade los valores dentrode las llaves.BD: ⎧ ⎨⎩ 75, 68, 125 ⎫ ⎬ Aunque 2 está dos veces en el rango, se escribe sólo una⎭ vez cuando das el rango.R: ⎧ ⎨⎩ 2, 3 ⎫ ⎬⎭Esta relación es una función. Cada valor de dominio forma un par con unsolo valor de rango.Usa las flechas para determinar qué valores deldominio corresponden a cada valor del rango.D: ⎧ ⎨⎩ 7, 9, 12, 15 ⎫ ⎬⎭R: ⎨⎧ ⎩ -7, -1, 0⎫ ⎬⎭Esta relación no es una función. Cada valor del dominio no tiene solamenteun valor del rango. El valor 7 del dominio forma un par con los valores -1y 0 del rango.4- 2 Relaciones y funciones 237
Da el dominio y el rango de cada relación. Indica si la relación es una función.Explica.CyPara hallar el dominioy el rango de unagráfica, puede ser útildibujar líneas para verlos valoresde x e y. D: -4 ≤ x ≤ 4 R: -4 ≤ y ≤ 4x 4 0 0 -4y 0 4 -4 0Dibuja líneaspara ver losvalores deldominio ydel rango.2-2 0-2DominioPara comparar los valores deldominio y del rango, haz una tablacon los puntos de la gráfica.2xRangoEsta relación no es una función porque hay varios valores del dominio quetienen más de un valor del rango. Por ejemplo, el valor 0 del dominio formapares con 4 y -4.Da el dominio y el rango de cada relación. Indica si la relaciónes una función y explica.⎧ 3a. ⎨⎩ (8, 2) , (-4, 1) , (-6, 2) , (1, 9) ⎬⎫ ⎭3b.432-5-4-3<strong>Funciones</strong>Decido si una lista de pares ordenados es una función observando los valoresde x. Si son todos diferentes, entonces es una función.Eric DawsonEscuela SuperiorBoone(1, 6), (2, 5), (6, 5), (0, 8)Todos los valores de x sondiferentesFunción(5, 6), (7, 2), (5, 8), (6, 3)Hay valores de x iguales condiferentes valores de yNo es una funciónRAZONAR Y COMENTAR1. Describe cómo indicar si un conjunto de pares ordenados es una función.2. ¿Se puede representar una función con la gráfica de un segmento de rectavertical? Explica.3. ORGANÍZATE Copia y completael organizador gráfico y explicaUna relación . . .cuándo una relación es unafunción y cuándo no es una función.es una función si... no es una función si...238 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
4-2EjerciciosTAKS Grado 8, Obj. 2, 3, 6Grados 9 a 11, Obj. 1, 2, 4, 9, 10CLAVE: MA7 4-2CLAVE: MA7 Parent*(Disponible sólo en inglés)PRÁCTICA GUIADAVocabulario Aplica el vocabulario de esta lección para responder a cada pregunta.1. Usa un diagrama de correspondencia para mostrar una relación que no es una función.2. El conjunto de valores de x para una relación también es el ? . (dominio o rango)VER EJEMPLO 1pág. 236VER EJEMPLO 2pág. 237VER EJEMPLO 3pág. 237Expresa cada relación como una tabla, como una gráfica y como un diagramade correspondencia.3. ⎧ ⎨⎩ (1, 1) , (1, 2)⎫ ⎬⎭5. ⎧ ⎨⎩ (-1, 1) , (-3, 3) , (5, -5) , (-7, 7)⎫ ⎬⎭Da el dominio y el rango de cada relación.⎧ 7. ⎨⎩ (-5, 7) , (0, 0) , (2, -8), (5, -20) ⎬⎫ ⎭9.x 3 5 2 8 6y 9 25 4 81 364.6.⎧ ⎨2) , ( -3, _ 1 3) , ( -4, _ 1⎩ (-1, 1) , ( -2, _ 1⎧⎨⎩ (0, 0) , (2, -4), (2, -2)⎫ ⎬⎭4) ⎫ ⎬⎭⎧ 8. ⎨⎩ (1, 2) , (2, 4) , (3, 6) , (4, 8) , (5, 10) ⎬⎫ ⎭10. Varios pasos Da el dominio y el rango de cada relación. Indica si la relación es unafunción. Explica.⎧ 11. ⎨⎩ (1, 3) , (1, 0) , (1, -2), (1, 8) ⎬⎫ ⎭13.x -2 -1 0 1 2y 1 1 1 1 1 ⎧ 12. ⎨⎩ (-2, 1) , (-1, 2) , (0, 3) , (1, 4) ⎬⎫ ⎭14.Práctica independientePara los VerEjercicios Ejemplo15–16 117–18 219–20 3TEKSTAKSPráctica de destrezaspág. S10Práctica de aplicaciónpág. S31PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMASExpresa cada relación como una tabla, como una gráfica y como un diagramade correspondencia.⎧ 15. ⎨⎩ (-2, -4), (-1, -1), (0, 0) , (1, -1), ( 2, -4)⎫ ⎬⎭16. ⎨⎧ ⎩ (2, 1) , ( 2, _ 12) , (2, 2) , ( 2, 2 1 _2) ⎫ ⎬⎭Da el dominio y el rango de cada relación.17. 18.x y4 45 56 67 78 84- 2 Relaciones y funciones 239
Varios pasos Da el dominio y el rango de cada relación. Indica si la relación es unafunción. Explica.19.20.21. Aplicación para el consumidor Un electricista cobra una tarifa básica de $75más $50 por cada hora de trabajo. Crea una tabla en la que se muestre cuánto cobrael electricista por 1, 2, 3 y 4 horas de trabajo. Sea x la cantidad de horas e y la cantidadcobrada por x horas. ¿Esta relación es una función? Explica.22. Geometría Escribe una relación como un conjunto de pares ordenados en el cual elvalor de x represente la longitud de un lado de un cuadrado y el valor de y represente elárea del cuadrado. Usa un dominio de 2, 4, 6, 9 y 11.23. Varios pasos Crea un diagrama de correspondencia en el que se muestre la cantidadde días en 1, 2, 3 y 4 semanas. ¿Esta relación es una función? Explica.24. Nutrición En las ilustraciones se anota la cantidad de gramos de grasa y la cantidad decalorías que provienen de la grasa de las comidas seleccionadas.a. Crea una gráfica para la relación entre los gramos de grasa y las calorías de la grasa.b. ¿Esta relación es una función? Explica.HamburguesaGrasa (g): 14Grasa (Cal): 126Hamburguesacon quesoGrasa (g): 18Grasa (Cal): 162Filete de pollo asadoGrasa (g): 3.5Grasa (Cal): 31.5Filete de polloe empanadoGrasa (g): 11Grasa (Cal): 99Ensalada de tacoGrasa (g): 19Grasa (Cal): 17125. Tiempo libre Una tienda alquila canoas a $7 por el equipo y $2 por hora, con un costomáximo de $15 por día. Expresa la cantidad de horas x y el costo y como una relación enforma de tabla y halla el costo de alquiler de una canoa durante 1, 2, 3, 4 y 5 horas. ¿Estarelación es una función? Explica.26. Salud Puedes quemar alrededor de 6 calorías por minuto cuando andas en bicicleta.Sea x la cantidad de minutos que andas en bicicleta e y la cantidad de calorías quemadas.a. Escribe pares ordenados para mostrar la cantidad de calorías quemadas si andasdurante 60, 120, 180, 240 ó 300 minutos. Representa gráficamente los pares ordenados.b. Halla el dominio y el rango de la relación.c. ¿Esta gráfica representa una función? Explica.27. Razonamiento crítico En una función, ¿la cantidad de elementos del rango puede sermayor que la cantidad de elementos del dominio? Explica.28. Razonamiento crítico Indica si cada enunciado es verdadero o falso. Si es falso,explica por qué.a. Todas las relaciones son funciones. b. Todas las funciones son relaciones.240 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
29. Este problema te ayudará a resolver la Preparaciónde varios pasos para TAKS de la página 260.a. En la gráfica se muestra la cantidad de galonesde agua con los que una bomba llena unapiscina en un periodo de 5 horas. Halla eldominio y el rango de la gráfica.b. ¿La gráfica representa una función? Explica.c. Da el tiempo y el volumen como paresordenados a las 2 horas y a las 3 horas y30 minutos.Llenado de la piscina con aguaVolumen (gal)70060050040030020010001 2 3 4Tiempo (h)30. /ANÁLISIS DE ERRORES / Cuando le preguntaron a un estudiante si la relación⎧⎨⎩ (-4, 16) , (-2, 4) , (0, 0) , (2, 4) ⎬⎫ ⎭es una función, afirmó que la relación no es una funciónporque el 4 aparece dos veces. ¿Qué error cometió el estudiante? ¿Cómo le explicarías alestudiante por qué esta relación es una función?31. Escríbelo Describe una situación del mundo real mediante una relación que NO seauna función. Crea un diagrama de correspondencia para mostrar por qué la relación noes una función.32. ¿Cuál de las siguientes relaciones NO es una función?⎧⎨⎩ (6, 2), (-1, 2), (-3, 2), (-5, 2) ⎬⎫ ⎭x 3 5 7y 1 15 30-551015616263633. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es la forma correcta de describir la función⎧⎨⎫ ⎩ (-3, 2), (1, 8), (-1, 5), (3, 11) ⎬⎭ ?Dominio: {-3, 1, -1, 3}Rango: {2, 8, 5, 11}x y-3 2-1 51 83 114- 2 Relaciones y funciones 241
34. ¿Qué gráfica representa una función? 35. Respuesta desarrollada Usa la tabla para hacer lo siguiente.x -3 -1 0 1 3y 5 7 9 11 13a. Expresa la relación como pares ordenados.b. Da el dominio y el rango de la relación.c. ¿La relación representa una función? Explica tu respuesta.DESAFÍO Y EXTENSIÓN⎧36. ¿Qué valores de a hacen que la relación ⎨⎩ (a, 1) , (2, 3) , (4, 5)⎫ ⎬⎧ ⎭37. ¿Qué valores de b hacen que la relación ⎨⎩ (5, 6) , (7, 8) , (9, b) ⎬⎫ ⎭sea una función? Explica.sea una función? Explica.38. El inverso de una relación se crea intercambiando las coordenadas x e y de cada parordenado en la relación.⎧a. Halla el inverso de la siguiente relación: ⎨⎩ (-2, 5) , (0, 4) , (3, -8), (7, 5)⎫ ⎬⎭ .b. ¿La relación original es una función? ¿Por qué sí o por qué no? ¿El inverso de unarelación es una función? ¿Por qué sí o por qué no?c. El enunciado “Si una relación es una función, entonces el inverso de la relacióntambién es una función” es verdadero a veces. Da un ejemplo de una relación y suinverso en el que ambos sean funciones. Da también un ejemplo de una relación ysu inverso en el que ambos no sean funciones.PRÁCTICA GUIADA39. La razón del ancho de un rectángulo a su longitud es 3 : 4. La longitud del rectángulo es36 cm. Escribe y resuelve una proporción para hallar el ancho del rectángulo.(Lección 2-6)40. El dibujo a escala de una casa tiene una escala de 1 pulg : 16 pies. Halla la longitud realde un pasillo que mide 5__ pulg en el dibujo a escala. (Lección 2-6)841. Penny quiere beber al menos 64 onzas de agua hoy. Hasta el momento ha bebido45 onzas de agua. Escribe, resuelve y representa gráficamente una desigualdad paradeterminar cuántas onzas más de agua debe tomar Penny para alcanzar su objetivo.(Lección 3-2)42. La pizzería local vendió la siguiente cantidad de pizzas en 10 días. Traza una gráfica parala situación. Indica si la gráfica es continua o discreta. (Lección 4-1)Tiempo (días) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Pizzasvendidas5 11 2 4 8 10 3 6 12 1242 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
4-2La prueba de la línea verticalLa prueba de la línea vertical se puede usar para determinar visualmente siuna relación representada gráficamente es una función.Para usar conla Lección 4-2TEKS A.1.B Bases de las funciones: reunir y anotar datos y utilizar conjuntos de datospara determinar relaciones funcionales entre las cantidades. Ver también A.1.D, A.3.BActividad1 Observa los valores de la Tabla 1. ¿Cada valor de x forma un par con un solovalor de y? Si no es así, ¿qué valor o valores de x forman un par con másde un valor de y?2 ¿La relación es una función? Explica.3 Representa gráficamente los puntos de la Tabla 1. Dibuja una línea verticalque pase por cada punto de la gráfica. ¿Alguna línea vertical toca más deun punto?4 Observa los valores de la Tabla 2. ¿Cada valor de x forma un par con un soloun valor de y? Si no es así, ¿qué valor o valores de x forman un par con másde un valor de y?5 ¿La relación es una función? Explica.6 Representa gráficamente los puntos de la Tabla 2. Dibuja una línea vertical quepase por cada punto de la gráfica. ¿Alguna línea vertical toca más de un punto?7 ¿Cuál es el valor de x de los dos puntos que están en la misma línea vertical?¿Ese valor de x forma un par con más de un valor de y?8 Escribe un enunciado que describa cómo usar una línea vertical para indicarsi una relación es una función. Esto se llama prueba de la línea vertical.Tabla 1x y-2 -5-1 -30 -11 12 33 5Tabla 2x y-2 -31 40 51 22 33 59 ¿Por qué funciona la prueba de la línea vertical?TAKS Grado 8, Obj. 3InténtaloGrados 9 a 11, Obj. 1, 6Usa la prueba de la línea vertical para determinar si cada relación es una función. Siuna relación no es una función, anota dos pares ordenados que muestren el mismovalor de x con dos valores distintos de y.1. 2. 3. 4-2 Laboratorio de álgebra 243
4-3Para usar conla Lección 4-3Hacer un modelo de lasrelaciones de variablesPuedes usar modelos para representar una relación algebraica.Usando estos modelos, puedes escribir una expresión algebraicaque te sirva para describir y continuar patrones.TEKS A.3.B Bases de las funciones: buscar patrones y representargeneralizaciones en forma algebraica.Los siguientes diagramas representan las vistas laterales de mesas. Cada una tiene un tablero yuna base. Copia y completa la tabla usando los patrones que se muestran en los diagramas.TableroBaseNÚMERODELTÉRMINOFIGURADESCRIPCIÓN DELA FIGURAEXPRESIÓNPARA LACANTIDAD DEBLOQUESVALOR DELTÉRMINO(CANTIDAD DEBLOQUES)PARORDENADO1longitud del tablero = 4altura de la base = 14 + (2)1 6 (1, 6)longitud del tablero = 42altura de la base = 2 83longitud del tablero = 4altura de la base = 31045nInténtaloTAKS Grado 8, Obj. 2Grados 9 a 11, Obj. 21. Explica por qué debes multiplicar la altura de la base por 2.2. ¿Qué significa el par ordenado (1, 6)?3. ¿El par ordenado (10, 24) pertenece a este patrón? ¿Por qué sí o por qué no?4. ¿Qué expresión de la tabla describe cómo hallarías la cantidad total de bloques paracualquier número de término n?5. Usa tu regla para hallar el 25 to término de este patrón.244 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
4-3Cómo escribirfuncionesTEKS A.1.C Bases de las funciones: describir las relaciones funcionales que existen ensituaciones dadas y escribir ecuaciones … para responder a preguntas que surgen deesas situaciones.ObjetivosIdentificar las variablesindependientes ydependientesEscribir una ecuaciónen notación de funcióny evaluar una funciónpara los valores deentrada dadosVocabulariovariable independientevariable dependienteregla de funciónnotación de funciónVer también A.1.A, A.1.B,A.1.D, A.2.B, A.3.A, A.3.B,A.4.A, A.4.C¿Para qué sirve?Puedes usar una regla de función paracalcular cuánto dinero ganarás portrabajar cantidades específicas de tiempo.Supongamos que Tasha cuida niños y cobra$5 por hora.Tiempo trabajado (h) x 1 2 3 4Cantidad ganada ($) y 5 10 15 20La cantidad de dinero que Tasha gana es $5por la cantidad de horas que trabaja. Escribeuna ecuación usando dos variables paramostrar esta relación.La cantidad de dinero ganado es $5 por la cantidad de horas trabajadas.Tasha puede usar esta ecuación para hallar cuánto dinero ganará según la cantidadde horas que trabaje.EJEMPLO 1 Usar una tabla para escribir una ecuaciónDetermina una relación entre los valores de x e y. Escribe una ecuación.Si deseas saber más sobreescribir una ecuacióna partir de una tabla,consulta el Modelode funciones de lapágina xxv.x 1 2 3 4y -2 -1 0 1Paso 1 Anota las relaciones posibles entre los primeros valores de x e y.1 - 3 =-2 y 1 (-2) =-2Paso 2 Determina si una relación funciona con los otros valores.2 - 3 =-1 2 (-2) ≠-13 - 3 = 0 3 (-2) ≠ 04 - 3 = 1 4(-2) ≠ 1La primera relación funciona. El valor de y es 3 menos que x.Paso 3 Escribe una ecuación.y = x - 3 El valor de y es 3 menos que x.1. Determina una relación entre los valores de x e y en la relación⎧⎨⎩ (1, 3) , (2, 6) , (3, 9) , (4, 12) ⎫ ⎬ . Escribe una ecuación.⎭La ecuación del Ejemplo 1 describe una función porque por cada valor de x (valor deentrada) hay sólo un valor de y (valor de salida).4- 3 Cómo escribir funciones 245
El valor de entrada de una función es la variable independiente. El valor de salidaes la variable dependiente. El valor de la variable dependiente depende, o es unafunción, del valor de la variable independiente. Para Tasha, la cantidad que ganadepende, o es una función, de la cantidad de tiempo que trabaja.EJEMPLO 2 Identificar las variables independientes y dependientesHay varias formas dedescribir las variablesde una función.Identifica las variables independientes y dependientes en cada situación.A En el invierno, se usa más electricidad cuando la temperatura baja y se usamenos cuando la temperatura sube.La cantidad de electricidad que se usa depende de la temperatura.Dependiente: cantidad de electricidad Independiente: temperaturaVariable Variableindependiente dependienteValoresde xDominioValor deentradaxValoresde yRangoValor desalidaf (x)B El costo de envío de un paquete se basa en su peso.El costo de envío de un paquete depende de su peso.Dependiente: costo Independiente: pesoC Cuanto más rápido camina Ron, más rápido llega a su casa.El tiempo que Ron tarda en llegar a su casa depende de la velocidada la que camina.Dependiente: tiempo Independiente: velocidadIdentifica las variables independientes y dependientes encada situación.2a. Una empresa cobra $10 por hora por alquilar unmartillo neumático.2b. Camryn compra l libras de manzanas a $0.99 la libra.Una expresión algebraica que define una función es una regla de función. 5 · x enla ecuación sobre los ingresos de Tasha es una regla de función.Si x es la variable independiente e y es la variable dependiente, entonces la notaciónde función para y es f(x), que se lee “f de x,” donde f identifica la función. Cuandouna ecuación en dos variables describe una función, puedes usar la notación defunción para escribirla.La variable dependiente es una función de la variable independiente.y es una función de xy = f (x)Como y = f(x), los ingresos de Tasha, y = 5x, se pueden volver a escribir en notaciónde función sustituyendo y : f(x) = 5x por f(x). A veces verás funciones escritas con y yotras veces verás funciones escritas con f(x).EJEMPLO 3 Escribir funciones246 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>Identifica las variables independientes y dependientes. Escribe una regla ennotación de función para cada situación.A Los honorarios de una abogada son $200 por hora por sus servicios.Los honorarios dependen de cuántas horas trabaja.Dependiente: honorarios Independiente: horasSea h la cantidad de horas que la abogada trabaja.La función para los honorarios de la abogada es f (h) = 200h.
Identifica las variables independientes y dependientes. Escribe una regla ennotación de función para cada situación.B El precio de la entrada para un parque de atracciones local es $8. Cadavuelta cuesta $1.50.El costo total depende de la cantidad de vueltas dadas, más $8.Dependiente: costo total Independiente: cantidad de vueltasSea r la cantidad de vueltas dadas.La función para el costo total del parque de atracciones es f(r) = 1.50r + 8.Identifica las variables independientes y dependientes. Escribeuna regla en notación de función para cada situación.3a. Steven compra lechuga que cuesta $1.69/lb.3b. Un parque de diversiones cobra $6.00 por el estacionamientomás $29.99 por persona.Valor de entradaPuedes pensar en una función como una máquinade valores de entrada y salida. Para los ingresosde Tasha, f(x) = 5x, si das un valor de entrada x,el valor de salida será 5x.Si Tasha quisiera saber cuánto dinero ganaría sitrabajara 6 horas, podría dar el valor de entrada 6para x y hallar el valor de salida. Esto se llamaevaluar la función.FunciónEJEMPLO 4 Evaluar funcionesLas funciones sepueden identificar concualquier letra, perof, g y h son las máscomunes. f(6) se leecomo “f de 6”, y g(2)como “g de 2”.Valor de salidaEvalúa cada función para los valores de entrada dados.A Para f(x) = 5x, halla f(x) cuando x = 6 y cuando x = 7.5.f (x) = 5x f(x) = 5xf (6) = 5 (6) Sustituye x por 6. f (7.5) = 5 (7.5) Sustituye x por 7.5.= 30 Simplifica.= 37.5 Simplifica.B Para g(t) = 2.30t + 10, halla g(t) cuando t = 2 y cuando t =-5.g(t) = 2.30t + 10 g(t) = 2.30t + 10g(2) = 2.30 (2) + 10 g(-5) = 2.30 (-5) + 10= 4.6 + 10 = -11.5 + 10= 14.6 =-1.5C 1_ Para h(x) = x - 3, halla h(x) cuando x = 12 y cuando x =-8.2h(x) = _ 1 2 x - 3 h(x) = _ 1 2 x - 3h(12) = _ 1 2 (12) - 3 h(-8) = _ 12 (-8) - 3= 6 - 3 = -4 - 3= 3 =-7Evalúa cada función para los valores de entrada dados.4a. Para h(c) = 2c - 1, halla h(c) cuando c = 1 y c =-3.4b. Para g(t) = _ 1 t + 1, halla g(t) cuando t =-24 y t = 400.44- 3 Cómo escribir funciones 247
Cuando una función describe una situación del mundo real, no siempre ocurre quecualquier número real es razonable para el dominio y el rango. Por ejemplo, unnúmero que representa la longitud de un objeto no puede ser negativo y sólo losnúmeros cabales pueden representar una cantidad de personas.EJEMPLO 5 Hallar el dominio y el rango razonables de una funciónManuel ha vendido entradas por un valor de $20 para la obra teatral de laescuela. Le quedan 4 entradas por vender a $2.50 cada uno. Escribe una reglade función que describa cuánto dinero Manuel puede reunir con la venta de lasentradas. Halla un dominio y un rango razonables para la función.El dinero reunido por laventa de las entradases $2.50 por entrada máslos $20ya vendidos.f(x) = $2.50 · x + 20Si Manuel vende x entradas más, habrá reunido f(x) = 2.50x + 20 dólares.A Manuel le quedan sólo 4 entradas por vender, entonces podría vender 0, 1,2, 3 ó 4 entradas. Un dominio razonable es {0, 1, 2, 3, 4}.Sustituye estos valores en la regla de función para hallar los valores del rango.x 0 1 2 3 4f(x) 2.50(0) + 20= 202.50(1) + 20= 22.502.50(2) + 20= 252.50(3) + 20= 27.502.50(4) + 20= 30Un rango razonable para esta situación es {$20, $22.50, $25, $27.50, $30}.5. Las posiciones de un calentador son los números cabales del0 al 3. La cantidad total de vatios usados en cada posición es500 veces el número de la posición. Escribe una regla defunción para describir la cantidad de vatios usados en cadaposición. Halla un dominio y un rango razonables parala función.RAZONAR Y COMENTAR1. Cuando colocas agua en una máquina de hielo, lo que sale son cubos de hielo.Menciona otro objeto del mundo real que tenga un valor de entrada y salida.2. ¿Cómo identificas las variables independientes y dependientes enuna situación?3. Explica cómo hallar valores del dominio razonables para una función.4. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. Usa la reglay = x + 3 y el dominio {-2, -1, 0, 1, 2}.Formas de representargráficamente funcionesEcuación en notaciónde funciónTablaGráfica248 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
4-3EjerciciosTAKS Grado 8, Obj. 2, 6Grados 9 a 11, Obj. 1, 2, 10CLAVE: MA7 4-3CLAVE: MA7 Parent*(Disponible sólo en inglés)PRÁCTICA GUIADAVocabulario Aplica el vocabulario de esta lección para responder a cada pregunta.1. El valor de salida de una función es la variable ? . (independiente o dependiente)2. Una expresión algebraica que define una función es una ? . (regla de función onotación de función)VER EJEMPLO 1pág. 245VER EJEMPLO 2pág. 246VER EJEMPLO 3pág. 246VER EJEMPLO 4pág. 247VER EJEMPLO 5pág. 248Determina una relación entre los valores de x e y. Escribe una ecuación.3.x 1 2 3 4y -1 0 1 2⎧4. ⎨⎩(1, 4) , (2, 7) , (3, 10) , (4, 13) ⎫ ⎬Identifica las variables independientes y dependientes en cada situación.5. Una botella pequeña de agua cuesta $1.99 y una botella grande de agua cuesta $3.49.6. Un empleado recibe dos días de vacaciones por cada mes trabajado.Identifica las variables independientes y dependientes. Escribe una regla en notación defunción para cada situación7. Un técnico de aire acondicionado cobra a sus clientes $75 por hora.8. Una pista de patinaje sobre hielo cobra $3.50 por los patines y $1.25 por hora.Evalúa cada función para los valores de entrada dados.9. Para f(x) = 7x + 2, halla f(x) cuando x = 0 y cuando x = 1.10. Para g(x) = 4x - 9, halla g(x) cuando x = 3 y cuando x = 5.11. Para h(t) = _ 1 t - 10, halla h(t) cuando t = 27 y cuando t =-15.312. Una empresa constructora usa vigas que miden 2, 3 ó 4 metros de largo. La medida decada viga se debe convertir en centímetros. Escribe una regla de función que describa lasituación. Halla un dominio y un rango razonables para la función. (Pista: 1 m = 100 cm).⎭Práctica independientePara los VerEjercicios Ejemplo13–14 115–16 217–19 320–22 423 5TEKSTAKSPráctica de destrezaspág. S10Práctica de aplicaciónpág. S31PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMASDetermina una relación entre los valores de x e y. Escribe una ecuación.13.x 1 2 3 4y -2 -4 -6 -8⎧14. ⎨ (1, -1), (2, -2), (3, -3), (4, -4) ⎫ ⎬⎩⎭Identifica las variables independientes y dependientes en cada situación.15. Los jardineros compran fertilizante en base al tamaño del jardín.16. El costo de envolver una orden para regalo es $3 más $1 por artículo envuelto.Identifica las variables independientes y dependientes. Escribe una regla en notaciónde función para cada situación.17. Para alquilar un DVD, un cliente debe pagar $3.99 más $0.99 por cada día de retrasoen la devolución.18. Stephen cobra $25 por cada jardín en el que corta el césped.19. Un auto recorre 28 millas con un galón de gasolina.4- 3 Cómo escribir funciones 249
Evalúa cada función para los valores de entrada dados.20. Para f(x) = x 2 - 5, halla f(x) cuando x = 0 y cuando x = 3.21. Para g(x) = x 2 + 6, halla g(x) cuando x = 1 y cuando x = 2.TransporteFuerza Aérea Uno (AirForce One) se refierea dos aviones Boeing747-200B especialmenteconfigurados. La señal dellamada de radio cuandoel presidente está abordo de alguno de esosaviones o de cualquieravión de la Fuerza Aéreaes “Fuerza Aérea Uno”.22. Para f(x) = _ 2 x + 3, halla f(x) cuando x = 9 y cuando x =-3.323. Una empresa de ventas por correo cobra $5 por orden más $2 por cada artículo de laorden, hasta un máximo de 4 artículos. Escribe una regla de función que describa lasituación. Halla un dominio y un rango razonables para la función.24. Transporte El avión Fuerza Aérea Uno puede viajar a 630 millas por hora. Sea h lacantidad de horas que se viaja. La regla de función d = 630h da la distancia d en millasque el Fuerza Aérea Uno recorre en h horas.a. Identifica las variables independientes y dependientes. Escribe d = 630h ennotación de función.b. ¿Cuáles son los valores razonables para el dominio y el rango en la situación descrita?c. ¿Qué distancia puede recorrer el Fuerza Aérea Uno en 12 horas?25. Completa la tabla para g(z) = 2z - 5. 26. Completa la tabla para h(x) = x 2 + x.z 1 2 3 4g(z)x 0 1 2 327. Estimación Para f(x) = 3x + 5, estima el valor de salida cuando x =-6.89, x = 1.01y x = 4.67.28. Transporte Un automóvil recorre 30 millas con un galón de gasolina y el tanque tienecapacidad para 20 galones. Sea g la cantidad de galones de gasolina que el automóviltiene en el tanque. La regla de función d = 30g da la distancia d en millas que elautomóvil recorre con g galones.a. ¿Cuáles son los valores de dominio y de rango razonables en la situación descrita?b. ¿Qué distancia puede recorrer el automóvil con 12 galones de gasolina?29. Razonamiento crítico Da un ejemplo de una situación de la vida real para la cual eldominio razonable sea 1, 2, 3 y 4 y el rango razonable sea 2, 4, 6 y 8.30. /ANÁLISIS DE ERRORES / Rashid ahorra $150 cada mes. Quiere saber cuántohabrá ahorrado en 2 años y, para calcularlo, escribe la regla a = m + 150, donde a es lacantidad ahorrada y m es la cantidad de meses durante los que ahorra. Explica por qué laregla es incorrecta.h(x)31. Escríbelo Da una situación de la vida real que se pueda describir mediante unafunción. Explica cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente.32. Este problema te ayudará a resolver la Preparación devarios pasos para TAKS de la página 260.En la tabla se muestra el volumen v de agua que sebombea a una piscina después de t horas.a. Determina una relación entre el tiempo y el volumende agua y escribe una ecuación.b. Identifica las variables independientesy dependientes.c. Si la piscina tiene una capacidad de 10,000 galones,¿cuánto tiempo tardará en llenarse?Cantidad de agua enla piscinaTiempo (h)Volumen (gal)0 01 12502 25003 37504 5000250 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
33. Marsha compra x lapiceras a $0.70 cada una y un lápiz a $0.10. ¿Qué función da lacantidad total que Marsha gasta?c(x) = 0.70 x + 0.10 xc(x) = (0.70 + 0.10)xc(x) = 0.70 x + 1 c(x) = 0.70 x + 0.1034. Belle compra pizzas para el cumpleaños de su hija usando losprecios de la tabla. ¿Qué ecuación describe mejor la relaciónentre el costo total c y la cantidad de pizzas p?Pizzas5Costo total ($)26.25c = 26.25p c = p + 26.2510 52.50c = 5.25p c = 6p - 3.7515 78.7535. Respuesta gráfica ¿Cuál es el valor de f(x) = 5 - _ 1 x cuando x = 3?2DESAFÍO Y EXTENSIÓN36. La fórmula para convertir una temperatura de x grados Celsius a grados Fahrenheitf(x) es f(x) = 9__ x + 32. ¿Cuáles son los valores razonables del dominio y del rango cuando5conviertes en grados Fahrenheit la temperatura del agua a medida que aumenta desde 0°a 100° Celsius?37. Historia de las matemáticas En sus estudios sobre el movimiento de tres objetosen caída, Galileo Galilei descubrió que un objeto, cualquiera sea su masa, cae unadistancia d que está en relación con el cuadrado del tiempo del recorrido t en segundos.La fórmula moderna que describe el movimiento de caída libre es d = 1__2 gt 2 , donde g es laaceleración producida por la gravedad y t es el periodo de tiempo en segundos enque el objeto cae. Halla la distancia que un objeto cae en 3 segundos. (Pista: investigapara hallar la aceleración producida por la gravedad en metros por segundo elevadoal cuadrado).REPASO EN ESPIRALResuelve cada ecuación. Comprueba tu respuesta. (Lección 2-3)38. 5x + 2 - 7x =-10 39. 3(2 - y) = 15 40. _ 2 3 p - _ 1 2 = _ 1 6Halla el valor de x en cada diagrama. (Lección 2-7)41. △ ABC ∼△DEF 42. QRST ∼ LMNP Da el dominio y el rango de cada relación. Indica si la relación es una función y explica.(Lección 4-2)43. y44. x y20-224x- 3 4-1 20 01 23 -44- 3 Cómo escribir funciones 251
4-4Cómo representarfuncionesTEKS A.1.D Bases de las funciones: representar las relaciones …usando … tablas, gráficas … descripciones con palabras, [y] ecuaciones ….ObjetivosRepresentar gráficamentefunciones con undominio límiteRepresentar gráficamentefunciones con un dominiode todos números realesVer también A.2.B,A.3.A, A.4.A¿Quién lo usa?Los científicos pueden usar unafunción para sacar conclusionessobre la elevación del nivel del mar.El nivel del mar está subiendo a una tasaaproximada de 2.5 milímetros por año.Si esta tasa continúa, la función y = 2.5xpuede describir cuántos milímetros ysubirá el nivel del mar en los próximosx años.Costa actualde Florida.Una forma de comprender funciones como la anteriores representarlas gráficamente. Puedes representargráficamente una función si hallas los pares ordenadosque satisfacen la función.Posible costa de Floridaen 2400 años.EJEMPLO 1 Representar gráficamente soluciones para un dominio dadoRepresenta gráficamente cada función para el dominio dado.A -x + 2y = 6; D: {-4, -2, 0, 2}A veces es más fácilhallar primero y parasustituir los valores dex y resolver para hallarun par ordenado.Si deseas repasarcómo resolver unavariable, consulta laLección 2-5.Paso 1 Como tienes los valores del dominio, o x, halla y.-x + 2y = 6+ x−−−−−−+ x Suma x a ambos lados.−−−2y = x + 6_ 2y _2 = x + 62y = _ x 2 + _ 6 2y = _ 1 2 x + 3Como y se multiplica por 2, divide ambos lados entre 2.Vuelve a escribir ____ x + 6 como dos fracciones separadas.2Simplifica.Paso 2 Sustituye x por los valores dadosdel dominio y halla los valores de y.Paso 3 Representa gráficamentelos pares ordenados.x y = 1_ 2 x + 3 (x, y)-4 y = _ 1 (-4) + 3 = 1 (-4, 1)2-2 y = _ 1 (-2) + 3 = 2 (-2, 2)2 0 y = _ 1 (0) + 3 = 3 (0, 3)22 y = 1 _2 (2) + 3 = 4 (2, 4)252 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
Representa gráficamente cada función para el dominio dado.B f(x) = ⎪x⎥; D: {-2, -1, 0, 1, 2}Paso 1 Usa los valores del dominio dadospara hallar los valores de f (x).x f (x) = ⎪x⎥ (x, f (x))-2 f(x) = ⎪-2⎥ = 2 (-2, 2)-1 f(x) = ⎪-1⎥ = 1 (-1, 1)0 f(x) = ⎪0⎥ = 0 (0, 0)1 f(x) = ⎪1⎥ = 1 (1, 1)2 f(x) = ⎪2⎥ = 2 (2, 2)Paso 2 Representa gráficamentelos pares ordenados Representa gráficamente cada función para el dominio dado.1a. -2x + y = 3; D: {-5, -3, 1, 4}1b. f(x) = x 2 + 2; D: {-3, -1, 0, 1, 3}Si el dominio de una función son todos los números reales, se puede usar cualquiernúmero como valor de entrada. Este proceso producirá una cantidad infinitade pares ordenados que satisfacen la función. Por lo tanto, la cantidad infinita depares ordenados se representa con flechas que se dibujan en ambos “extremos” deuna línea o curva suave. Si no se da un dominio, debes suponer que el dominio sontodos los números reales.Representar gráficamente funciones usando un dominiode todos los números realesPaso 1 Usa la función para crear pares ordenados eligiendo varios valores de x.Paso 2Paso 3Marca suficiente cantidad de puntos para ver un patrón de la gráfica.Conecta los puntos con una línea o una curva suave.EJEMPLO 2 Representar funciones gráficamenteRepresenta gráficamente cada función.A 2x + 1 = yPaso 1 Elige varios valores de x ygenera pares ordenados.Paso 2 Marca suficientes puntospara ver un patrón.Cuando elijas valoresde x, asegúratede elegir valorespositivos y negativos.Es posible que nonecesites representargráficamente todoslos puntos para verel patrón.x 2x + 1 = y (x, y)-3 2(-3) + 1 = -5 (-3, -5)-2 2(-2) + 1 = -3 (-2, -3)-1 2(-1) + 1 = -1 (-1, -1)0 2(0) + 1 = 1 (0, 1)1 2(1) + 1 = 3 (1, 3)2 2(2) + 1 = 5 (2, 5)3 2(3) + 1 = 7 (3, 7) Paso 3 Los pares ordenados forman una línea. Dibuja una línea que pase portodos los puntos para mostrar todos los pares ordenados que satisfacen lafunción. Dibuja flechas en ambos “extremos” de la línea.4- 4 Cómo representar funciones 253
Representa gráficamente cada función.B y = x 2Paso 1 Elige varios valores de xy genera pares ordenados.Paso 2 Marca suficientes puntospara ver un patrón.x y = x 2 (x, y)-3 y = (-3) 2 = 9 (-3, 9)-2 y = (-2) 2 = 4 (-2, 4)-1 y = (-1) 2 = 1 (-1, 1)0 y = (0) 2 = 0 (0, 0)1 y = (1) 2 = 1 (1, 1)2 y = (2) 2 = 4 (2, 4)Paso 3 Los pares ordenados forman una gráfica casi con forma de U.Dibuja una curva suave que pase por todos los puntos para mostrar todoslos pares ordenados que satisfacen la función. Dibuja flechas en los “extremos”de la curva.CompruebaSi la gráfica es correcta, cualquier punto de la gráfica debesatisfacer la función. Elige un par ordenado de la gráfica queno estaba en tu tabla. (3, 9) está en la gráfica. Comprueba sisatisface y = x 2 .y = x 29 3 2 Sustituye los valores de x e y en la función.Simplifica.9 9 ✓ El par ordenado (3, 9) satisface la función.Representa gráficamente cada función.2a. f(x) = 3x - 2 2b. y = ⎪x - 1⎥EJEMPLO 3 Hallar valores mediante gráficasUsa una gráfica de la función f(x) = 1__ 3 x + 2 parahallar el valor de f(x) cuando x = 6. Comprueba“El valor de y es4 cuando x = 6”también se puedeescribir comof(6) = 4.tu respuesta.Ubica 6 en el eje x. Sube hasta llegar a la gráfica dela función. Luego muévete hacia la izquierda hastael eje y para hallar el valor de y correspondiente.f(x) = 4Comprueba Usa la sustitución.f (x) = _ 1 3 x + 2441_ (6) + 232 + 2Sustituye los valores de x e y en la función.Simplifica.4 4 ✓El par ordenado (4, 6) satisface la función.3. Usa la gráfica anterior para hallar el valor de x cuando f(x) = 3.Comprueba tu respuesta.254 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
Recuerda que en situaciones del mundo real tal vez tengas que limitar el dominiopara que las respuestas sean razonables. Por ejemplo, cantidades como tiempo,distancia y cantidad de personas se pueden representar mediante valores nonegativos únicamente. Cuando tanto el dominio como el rango están limitados avalores no negativos, la función se representa gráficamente sólo en el cuadrante I.EXAMPLE 4 Aplicación a la resolución de problemasRESOLUCIÓNLa función y = 2.5x describe cuántos milímetros el nivel del mar y sube en xaños. Representa gráficamente la función. Usa la gráfica para estimar cuántosmilímetros el nivel del mar subirá en 3.5 años.DE PROBLEMAS1 Comprende el problemaLa respuesta es una gráfica que se puede usar para hallar el valor de y cuandox es 3.5.Haz una lista de la información importante:• La función y = 2.5x describe cuántos milímetros sube el nivel del mar.2 Haz un planRazona: ¿Qué valores debo usar para representar gráficamente esta función?Tanto la cantidad de años durante los que el nivel del mar sube como laaltura a la que el nivel del mar sube no pueden ser negativos. Usa sólo valoresno negativos para el dominio y el rango. La función estará representadagráficamente en el cuadrante I.Para más informaciónsobre cómo hacer unatabla a partir de unaecuación o hacer unagráfica a partir deuna tabla, consultael Modelo de funciónen la página xxv.3 ResuelveElige varios valores no negativos de x para hallar valores de y.Luego representa gráficamente los pares ordenados.x y = 2.5x (x, y)0 y = 2.5 (0) = 0 (0, 0)1 y = 2.5 (1) = 2.5 (1, 2.5)2 y = 2.5 (2) = 5 (2, 5)3 y = 2.5 (3) = 7.5 (3, 7.5)4 y = 2.5 (4) = 10 (4, 10)Dibuja una línea quepase por los puntospara mostrar todoslos pares ordenadosque satisfacenesta función.Usa la gráfica para estimar el valor de y cuando x es 3.5.El nivel del mar subirá 8.75 milímetros en 3.5 años. 4 RepasaA medida que la cantidad de años aumenta, el nivel del mar también aumenta;por lo tanto, la gráfica es razonable. Cuando x está entre 3 y 4, y está entre 7.5 y10. Como 3.5 está entre 3 y 4, es razonable estimar que y sea 8.75 cuando x es 3.5.4. El flujo de lava hawaiana más rápido que se ha registradose movía a una velocidad promedio de 6 millas por hora.La función y describe la distancia y que la lava recorrió enpromedio en x horas. Representa gráficamente la función.Usa la gráfica para estimar cuántas millas la lava recorriódespués de 5.5 horas.4- 4 Cómo representar funciones 255
RAZONAR Y COMENTAR1. ¿Cómo hallas el rango de una función si el dominio son todos los números reales?2. Explica cómo usar una gráfica para hallar el valor de una función para un valor de x dado.3. ORGANÍZATE Copia y completa elorganizador gráfico. Explica cómorepresentar gráficamente una funciónpara cada situación.Representar gráficamenteuna funciónUna situación que noes del mundo realUna situación delmundo real4-4Ejercicios TAKS Grado 8, Obj. 2, 3, 6CLAVE: MA7 4-4Grados 9 a 11, Obj. 1, 2, 4, 10VER EJEMPLO 1pág. 252VER EJEMPLO 2pág. 253VER EJEMPLO 3pág. 254VER EJEMPLO 4pág. 255Práctica independientePara los VerEjercicios Ejemplo13–16 117–24 225–26 327 4TEKSTAKSPráctica de destrezaspág. S11Práctica de aplicaciónpág. S31PRÁCTICA GUIADARepresenta gráficamente cada función para el dominio dado.1. 3x - y = 1; D: {-3, -1, 0, 4} 2. f(x) =- ⎪x⎥; D: {-5, -3, 0, 3, 5}3. f(x) = x + 4; D: {-5, -3, 0, 4} 4. y = x 2 - 1; D: {-3, -1, 0, 1, 3}Representa gráficamente cada función.5. f(x) = 6x + 4 6. y = _ 1 2 x + 4 7. x + y = 08. y = ⎪x⎥ - 4 9. f(x) = 2x 2 - 7 10. y =-x 2 + 511. Usa una gráfica de la función f(x) = _ 1 x - 2 para hallar el valor de y cuando x = 2.2Comprueba tu respuesta.12. Oceanografía El fondo del océano Atlántico se expande a una tasa promedio de1 pulgada por año. La función y = x describe la cantidad de pulgadas y que el fondodel océano se expande en x años. Representa gráficamente la función. Usa la gráfica paraestimar la cantidad de pulgadas que el fondo del océano se expandirá en 10 1__2 años.PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMASCLAVE: MA7 Parent*(Disponible sólo en inglés)Representa gráficamente cada función para el dominio dado.13. 2x + y = 4; D: {-3, -1, 4, 7} 14. y = ⎪x⎥ - 1; D: {-4, -2, 0, 2, 4}15. f(x) =-7x; D: {-2, -1, 0, 1} 16. y = (x + 1) 2 ; D: {-2, -1, 0, 1, 2}Representa gráficamente cada función.17. y =-3x + 5 18. f(x) = 3x 19. x + y = 8 20. f(x) = 2x + 221. y =- ⎪x⎥ + 10 22. f(x) =-5 + x 2 23. y = ⎪x + 1⎥ + 1 24. y = (x - 2) 2 - 125. Usa una gráfica de la función f(x) =-2x - 3 para hallar el valor de y cuando x =-4.Comprueba tu respuesta.26. Usa la gráfica de la función f(x) = 1__ x + 1 para hallar el valor de y cuando x = 6.3Comprueba tu respuesta.256 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
27. Transporte Un monopatín eléctrico puede recorrer 0.25 millas por minuto. La funcióny = 0.25x describe la cantidad de millas y que el monopatín puede recorrer en x minutos.Representa gráficamente la función. Usa la gráfica para estimar la cantidad de millas queel monopatín recorre en 15 minutos.Representa gráficamente cada función.28. f(x) = x - 1 29. 12 - x - 2y = 0 30. 3x - y = 1331. y = x 2 - 2 32. x 2 - y =-4 33. 2x 2 = f (x)34. f(x) = ⎪2x⎥ - 2 35. y = ⎪-x⎥ 36. - ⎪2x + 1⎥ = y37. Halla el valor de x para que (x, 12) satisfaga y = 4x + 8.38. Halla el valor de x para que (x, 6) satisfaga y =-x - 4.39. Halla el valor de y para que (-2, y) satisfaga y =-2x 2 .Para cada función, determina si los puntos dados están en la gráfica.40. y = 7x - 2; (1, 5) y (2, 10) 41. y = ⎪x⎥ + 2; (3, 5) y (-1, 3)42. y = x 2 ; (1, 1) y (-3, -9) 43. y = _ 1 4 x - 2; ( 1, - _ 3 y (4, -1)4)44. /ANÁLISIS DE ERRORES / El estudiante A dice que (3, 2) está en la gráfica dey = 4x - 5, pero el estudiante B dice que no. ¿Quién está equivocado? Explica el error.Determina si (0, -7) , (-6, - 5__ 3) y (-2, -3) están en la gráfica de cada función.45. x + 3y =-11 46. y + ⎪x⎥ =-1 47. x 2 - y = 7Para cada función, halla tres pares ordenados que estén en la gráfica de la función.48. -6 = 3x + 2y 49. y = 1.1x + 250. y = _ 4 x551. y = 3x - 152. y = ⎪x⎥ + 6 53. y = x 2 - 554. Razonamiento crítico Representa gráficamente las funciones y = ⎪x⎥ e y =-⎪x⎥ .Describe en qué se parecen y en qué se diferencian55. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKS de lapágina 260.Se vacía una piscina que contiene 10,000 galones de agua. Cada hora, el volumen deagua de la piscina disminuye 1500 galones.a. Describe el volumen v de agua en la piscina después de h horas con una ecuación.b. ¿Cuánta agua queda en la piscina después de 1 hora?c. Crea una tabla de valores que muestre el volumen de agua en galones en la piscinaen función del tiempo en horas y representa gráficamente la función.4- 4 Cómo representar funciones 257
56. Estimación Estima el valor de y en la gráfica cuandox = 2.117.57. Escríbelo ¿Por qué una gráfica es útil para mostrar lospares ordenados que satisfacen una función? 58. ¿Qué función está representada gráficamente?2y - 3x = 2 y = 2x - 15x + y = 1 y = 5x + 859. ¿Qué par ordenado NO está en la gráfica de y = 4 - ⎪x⎥?(0, 4) (-1, 3)(4, 0) (3, -1)60. ¿Qué función tiene (3, 2) en su gráfica?2x - 3y = 12 y =-2_3 x + 4-2x - 3y = 12 y =-3_2 x + 461. ¿Qué enunciado o enunciados son verdaderos sobre la función y = x 2 + 1?I. Todos los puntos en la gráfica están por encima del origen.II. Todos los pares ordenados tienen valores de x positivos.III. Todos los pares ordenados tienen valores de y positivos.sólo I sólo II I y II I y IIIDESAFÍO Y EXTENSIÓN62. Representa gráficamente la función y = x 3 . Asegúrate de tener suficientes paresordenados para ver la forma de la gráfica.63. La temperatura de un líquido que al comienzo era de en 64° F aumenta 4° F por hora.Escribe una función que describa la temperatura del líquido con el paso del tiempo.Representa gráficamente la función para mostrar las temperaturas durante las primeras10 horas.REPASO EN ESPIRALEscribe la potencia que representa cada modelo geométrico. (Lección 1-4)64. 65. 66.Resuelve cada desigualdad y representa gráficamente las soluciones. (Lección 3-3)67. 5p -9k 69.3_4 b ≥ 15Evalúa cada función para los valores de entrada dados. (Lección 4-3)70. Para f(x) =-2x - 3, halla f(x) cuando x =-4 y cuando x = 2.71. Para h(t) = _ 2 t + 1, halla h(t) cuando t =-6 y cuando t = 9.3258 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
4-4Para usar conla Lección 4-4Relacionar las reglas defunciones, tablas y gráficasPuedes usar una calculadora de gráficas para comprender las relacionesentre reglas de funciones, tablas y gráficas.TEKS A.1.D Bases de las funciones: representar las relaciones entre cantidades usando… tablas, gráficas …ecuaciones … Ver también A.1.B, A.2.B, A.4.A, A.4.A.ActividadHaz una tabla de valores para la función f (x) = 4x + 3 cuando el dominioson todos los números reales. Luego representa gráficamente la función.CLAVE: MA7 Lab 41 Oprime y escribe la regla de función 4x + 3.2 Oprime . Asegúrate de que Indpnt: Auto y Depend:Auto estén seleccionados.3 Para ver la tabla, oprime . Los valores de x y los valoresde y correspondientes aparecen en forma de tabla. Usa las flechashacia arriba y hacia abajo para desplazarte por la gráfica.4 Para ver la tabla con la gráfica, oprime y selecciona la vistaG -T. Oprime . Asegúrate de usar la ventana estándar.5 Oprime para ver la gráfica y una tabla de valores.6 Oprime la flecha izquierda varias veces para mover el cursor.Observa que el punto en la gráfica se corresponde con los valoresde la tabla.TAKS Grado 8, Obj. 2InténtaloGrados 9 a 11, Obj. 1Haz una tabla de valores para cada función. Luego representa gráficamente la función.1. f (x) = 2x - 1 2. f (x) = 1.5x 3. f (x) = _ 1 2 x + 24. Explica la relación entre una regla de función y su tabla de valores y la gráficade la función.4- 4 Laboratorio de tecnología 259
SECCIÓN 4ATAKS Grado 8, Obj. 2, 6Grados 9 a 11, Obj. 1, 2, 10Conceptos de funciónPor el caño En la gráfica se muestrala relación entre la cantidad de horasque han pasado desde que una piscinase empezó a vaciar y la cantidad de aguaen la piscina.1. Describe con palabras la relaciónentre la cantidad de agua en lapiscina y la cantidad de horas quehan pasado desde que la piscina seempezó a vaciar.2. ¿Cuál es el dominio y el rango de la gráfica?3. Usa la gráfica para determinar cuánta aguaqueda en la piscina después de 3 horas. ¿Cuántaagua queda en la piscina después de 4 1__2 horas?4. Copia y completa la tabla.Vaciado de la piscinaTiempo (h)Volumen (gal)0 140012345675. Describe la relación entre elvolumen V y el tiempo t con unaecuación. Usa la ecuación parahallar cuánta agua queda en lapiscina después de 5.2 horas.260 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
SECCIÓN 4APrueba de las Lecciones 4-1 a 4-44-1 Cómo representar relacionesAElige la gráfica que mejor represente cada situación.1. Una persona hace un salto bungee desde unaplataforma alta.2. Una persona salta en un trampolín con unmovimiento constante.Tiempo3. Xander hace una prueba que vale 100 puntos. Cadapregunta vale 20 puntos. Traza una gráfica paramostrar su puntaje posible si contesta incorrectamente 1, 2, 3, 4 ó 5 preguntas.4-2 Relaciones y funcionesDa el dominio y el rango de cada relación. Indica si la relación es una función. Explica.4.5.12x -2 -2 0 2 26.03y 3 3 3 3 314AlturaBAlturaTiempo4-3 Cómo escribir funcionesDetermina una relación entre los valores de x y de y. Escribe una ecuación.7.x 1 2 3 48.x 1 2 3 4y -6 -5 -4 -3y -3 -6 -9 -129. Una impresora puede imprimir 8 páginas por minuto. Identifica las variablesindependientes y dependientes de la situación. Escribe una regla en notación de función.Evalúa cada función para los valores de entrada dados.10. Para f (x) = 3x - 1, halla f (x) cuando x = 2. 11. Para g (x) = x 2 - x, halla g (x) cuando x =-2.12. Un fotógrafo cobra una tarifa por sesión de fotografía de $15 más $3 por cada pose.Describe la situación con una ecuación. Halla un dominio y un rango razonables parahasta 5 poses.4-4 Cómo representar funcionesRepresenta gráficamente cada función para los dominios dados.⎧ 13. 2x - y = 3; D: ⎨⎫ ⎩ -2, 0, 1, 3 ⎬⎭Representa gráficamente cada función.⎧ 14. y = 4 - x 2 ; D: ⎨⎫ ⎩ -1, 0, 1, 2 ⎬⎭16. x + y = 6 17. y = ⎪x⎥ - 3 18. y = x 2 + 1⎧ 15. y = 3 - 2x; D: ⎨⎫ ⎩ -1, 0, 1, 3 ⎬⎭19. La función y = 8x representa cuántas millas y una determinada tormenta recorre en x horas.Representa gráficamente la función y estima la cantidad de millas que la tormenta recorreen 10.5 horas.¿Listo para seguir? 261
4-5Diagramas de dispersióny líneas de tendenciaTEKS A.2.D Bases de las funciones: … hacer e interpretar diagramas dedispersión … y modelar … en situaciones dadas.ObjetivosCrear e interpretardiagramas de dispersiónUsar líneas de tendenciapara hacer predicciones¿Quién lo usa?Los ecologistas pueden usardiagramas de dispersión para analizardatos sobre especies en peligro, comolos ocelotes. (Ver Ejemplo 1)Vocabulariodiagrama de dispersióncorrelacióncorrelación positivacorrelación negativasin correlaciónlínea de tendenciaEn este capítulo, has estudiado las relaciones entreconjuntos de pares ordenados o datos. La presentaciónvisual de los datos ayuda a ver las relaciones. Undiagrama de dispersión es una gráfica con puntos marcadospara mostrar una posible relación entre dos conjuntos de datos.Un diagrama de dispersión es una forma efectiva de presentaralgunos tipos de datos.EJEMPLO 1 Representar gráficamente un diagrama de dispersión a partirde los datos dadosVer también A.1.D,A.1.E, A.2.CEn la tabla se muestra la cantidad de especies que se agregaron a la lista deespecies en peligro y amenazadas en Estados Unidos durante los años dados.Representa gráficamente un diagrama de dispersión con los datos.Especies agregadas a la listaAño del calendario 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002Especies 91 79 62 11 39 10 9El punto (2000, 39) teindica que en el año2000 se agregaron39 especies a la lista.Fuente: Servicio de pesca y vida silvestre de Estados Unidos Usa la tabla para crear pares ordenadospara el diagrama de dispersión.Los valores de x representan el añodel calendario y los valores de yrepresentan la cantidad deespecies agregadas.Marca los pares ordenados.1. En la tabla se muestra la cantidad Partido 1 2 3 4de puntos que un equipo defútbol americano de una escuelaPuntaje 6 21 46 34superior anotó en los primeros cuatro partidos de la temporada.Representa gráficamente un diagrama de dispersión conlos datos.Una correlación describe una relación entre dos conjuntos de datos. Una gráficapuede mostrar la correlación entre los datos. La correlación puede servirte para analizartendencias y hacer predicciones. Hay tres tipos de correlaciones entre los datos.262 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
CorrelacionesCorrelación positiva Correlación negativa Sin correlaciónAmbos conjuntos de valoresde datos aumentan.Un conjunto de valoresde datos aumentamientras que el otroconjunto disminuye.No hay relación entre losconjuntos de datos.En la gráfica de las especies en peligro, a medida que el tiempo aumenta, lacantidad de especies agregadas disminuye. Por lo tanto, la correlación entre losdatos es negativa.EJEMPLO 2 Describir correlaciones a partir de diagramas de dispersiónDescribe la correlación que se ilustra en el diagrama de dispersión.Tiempo que se miratelevisión y puntajesde los exámenesPuntaje delos exámenesA medida que la cantidad de horas que semira televisión aumentaba, los puntajes de losexámenes disminuían.Tiempo que semira televisión (h)Hay una correlación negativa entre los dos conjuntos de datos.2. Describe la correlación quese ilustra en el diagramade dispersión. EJEMPLO 3 Identificar correlacionesIdentifica la correlación que esperarías ver entre cada par de conjuntosde datos. Explica.A la cantidad de asientos vacíos en un salón de clases y la cantidadde estudiantes sentados en la claseEsperarías ver una correlación negativa. A medida que la cantidadde estudiantes aumenta, la cantidad de asientos vacíos disminuye.B la cantidad de mascotas que una persona tiene y la cantidad de librosque esa persona leyó el año pasadoEsperarías que no hubiera ninguna correlación. La cantidad de mascotasde una persona no tiene nada que ver con cuántos libros leyó.4- 5 Diagramas de dispersión y líneas de tendencia 263
Identifica la correlación que esperarías ver entre cada par de conjuntos dedatos. Explica.C las precipitaciones mensuales y la profundidad del agua de un embalseEsperarías ver una correlación positiva. A medida que llueve, hay más aguaen el embalse.Identifica la correlación que esperarías ver entre cada par deconjuntos de datos. Explica.3a. la temperatura en Houston y la cantidad de automóvilesvendidos en Boston3b. la cantidad de miembros de una familia y la cantidad totalde su cuenta de la tienda de comestibles3c. la cantidad de veces que sacas punta a tu lápiz y la longituddel lápizEJEMPLO 4 Relacionar diagramas de dispersión con situacionesElige el diagrama de dispersión que mejor represente la relación entre lacantidad de días desde que se plantó la semilla de girasol y la altura de laplanta. Explica. Habrá una correlaciónpositiva entre la cantidadde días y la altura porquela planta crecerá todoslos días.La gráfica A tiene unacorrelación negativa; porlo tanto, es incorrecta.Ni la cantidad de díasni la altura de la plantapueden ser negativos.En la gráfica B semuestran valoresnegativos; por lotanto, es incorrecta.En esta gráfica todas lascoordenadas son positivasy la correlación es positiva,por lo tanto puederepresentar los conjuntosde datos.La gráfica C es el diagramade dispersión correcto.4. Elige el diagrama de dispersión que mejor represente la relaciónentre la cantidad de minutos desde que un pastel se ha sacadodel horno y la temperatura del horno. Explica. 264 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
Puedes representar gráficamente una función en un diagrama de dispersión paramostrar una relación en los datos. A veces la función es una línea recta. Esta línea,llamada línea de tendencia, ayuda a mostrar la correlación entre los conjuntos dedatos con más claridad. También puede ser útil para hacer predicciones basadas enlos datos.EJEMPLO 5 Aplicación a la recaudación de fondosEn el diagrama de dispersión se muestrauna relación entre la cantidad total de dinerorecaudado y la cantidad total de rollos depapel para regalo que se vendieron pararecaudar fondos en la escuela. A partir de estarelación, predice cuánto dinero se recaudarácuando se hayan vendido 175 rollos.Dibuja una línea de tendencia y úsala parahacer una predicción.Recaudación de fondosDinero recaudado ($)1200100080060040020050 100 150 200Rollos vendidosDibuja una línea que tenga aproximadamentela misma cantidad de puntos por encima ypor debajo de la línea. Tu línea puede o nopasar por los puntos de los datos.Halla el punto en la línea cuyo valor de x sea175. El valor de y correspondiente es 1200.Según los datos, $1200 es una predicción razonable de cuánto dinero serecaudará cuando se hayan vendido 175 rollos.5. Basándote en la línea de tendencia anterior, predice cuántosrollos de papel para regalo se deben vender para recaudar $500.RAZONAR Y COMENTAR1. ¿Es posible hacer una predicción basada en un diagrama de dispersión sincorrelación? Explica tu respuesta.2. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico con un diagramade dispersión, una situación del mundo real o ambos.GráficaEjemploCorrelaciónpositivaCorrelaciónnegativaLa cantidad de agua en una regaderay la cantidad de flores que se regaron.Sin correlación4- 5 Diagramas de dispersión y líneas de tendencia 265
4-5EjerciciosTAKS Grado 8, Obj. 2, 5, 6Grados 9 a 11, Obj. 1, 2, 4, 6, 10CLAVE: MA7 4-5PRÁCTICA GUIADAVocabulario Aplica el vocabulario de esta lección para responder a cada pregunta.1. Da un ejemplo de una gráfica que no sea un diagrama de dispersión.CLAVE: MA7 Parent*(Disponible sólo en inglés)2. ¿En qué se diferencia un diagrama de dispersión sin correlación de un diagramade dispersión con correlación negativa?3. ¿Una línea de tendencia siempre pasa por todos los puntos en un diagrama dedispersión? Explica.VER EJEMPLO 1pág. 263Representa gráficamente un diagrama de dispersión usando los datos dados.4.Estatua de jardín Cupido Enanito León Flamenco Fuente de los deseosAltura (pulg) 32 18 35 28 40Precio ($) 50 25 80 15 75VER EJEMPLO 2pág. 264Describe la correlación que se ilustra en cada diagrama de dispersión.5. 6. Circulación de películasAlquiler por semana40302010020 40 60 80Semanas desde el estrenoVER EJEMPLO 3pág. 264VER EJEMPLO 4pág. 265Identifica la correlación que puede haber entre cada par de conjuntos de datos. Explica.7. el volumen de agua que se vierte en un recipiente y la cantidad de espacio vacío quequeda en el recipiente8. el tamaño de los zapatos de una persona y la longitud del cabello de la persona9. la temperatura exterior y la cantidad de personas en la playaElige el diagrama de dispersión que mejor represente la relación descrita. Explica.10. la antigüedad de un automóvil y la cantidad de millas recorridas11. la antigüedad de un automóvil y su precio de venta12. la antigüedad de un automóvil y la cantidad de estados a los que se viajó yGráfica Cx266 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
VER EJEMPLO 5pág. 26613. Transporte En el diagrama dedispersión se muestra la cantidadtotal de millas que los pasajerosrecorrieron en vuelos nacionalesen Estados Unidos en el mes deabril durante los años 1997 a 2004.Basándote en esa relación, predicecuántas millas recorrerán lospasajeros en abril de 2008.Millas (miles de millones)Transporte aéreo nacional enEstados Unidos en abril52504846444240383601998 2002 2006AñoPráctica independientePara los VerEjercicios Ejemplo14 115–16 217–18 319–20 421 5TEKSTAKSPráctica de destrezaspág. S11Práctica de aplicaciónpág. S31EcologíaPRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMASRepresenta gráficamente un diagrama de dispersión con los siguientes datos.14.Hora de llegada del tren 6:45 am 7:30 am 8:15 am 9:45 am 10:30 amMejor llegadaPasajeros 160 148 194 152 64Describe la correlación que se ilustra en cada diagrama de dispersión.15. Asociación Nacional de16. Costo de las entradasAutomóviles de Carreraspara un concierto76543210 1 2 3 4 5 6 7ClasificaciónCosto de la entrada ($)70605040302010010 20 30FilaIdentifica la correlación que puede haber entre cada par de conjuntos de datos. Explica.17. la velocidad de una corredora y la distancia que puede recorrer en 10 minutos18. el año en que se fabricó un automóvil y la distancia total recorrida en millasElige el diagrama de dispersión que mejor represente larelación descrita. Explica. 19. la cantidad de clases universitarias tomadas y lacantidad de compañeros de habitación20. la cantidad de clases universitarias tomadas y lashoras de tiempo libreLa población deocelotes de Texas estádisminuyendo debido,en parte, a que se estádestruyendo su hábitat. Lapoblación de ocelotes enel Refugio de vida silvestrede Laguna Atascosase controla siguiendode 5 a 10 ocelotes porradiotelemetría por año.21. Ecología En el diagrama de dispersiónse muestra una proyección de la poblaciónpromedio de ocelotes que viven en el Refugiode vida silvestre de Laguna Atascosa, cerca deBrownsville, Texas. Basándote en esta relación,predice la cantidad de ocelotes que vivirán enel refugio de vida silvestre en 2014 si no se hacenada para controlar la población de ocelotes.Población de ocelotesOcelotes36343230282602006 2010 2014Año4- 5 Diagramas de dispersión y líneas de tendencia 267
22. Estimación A Angie le gusta armar rompecabezas.En el diagrama de dispersión se muestra la cantidadde piezas de rompecabezas y el tiempo en minutosque tardó en completar cada uno de los últimos seisrompecabezas. Usa la línea de tendencia para estimarel tiempo en minutos que Angie tardará en completarun rompecabezas de 1200 piezas.23. Razonamiento crítico Describe la correlación entrela cantidad de zapatos izquierdos y de zapatos derechosque se vendieron.24. Roma recibió invitados a comer en su casa ocho veces yha anotado la cantidad de invitados y el costo total de cada comida en la tabla.Invitados 3 4 4 6 6 7 8 8Costo ($) 30 65 88 90 115 160 150 162Tiempo (min)Finalizacióndel rompecabezas6005004003002001000400 800 1200Piezas delrompecabezasa. Representa gráficamente un diagrama de dispersión de los datos.b. Describe la correlación.c. Dibuja una línea de tendencia.d. Basándote en la línea de tendencia que dibujaste, predice el costo de una cena para11 invitados.e. ¿Y si...? Supongamos que cada costo de la tabla aumenta $5. ¿Cómo afectará estoal costo de la cena para 11 invitados?25. /ANÁLISIS DE ERRORES / Los estudiantes representaron gráficamente undiagrama de dispersión para la temperatura del agua de un baño caliente y el tiemposi no se agrega agua. ¿Qué gráfica es incorrecta? Explica el error. 26. Razonamiento crítico Si el precio de un artículo sube, ¿habrá más o menos gente quelo compre? Explica la relación y describe la correlación.27. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de variospasos para TAKS de la página 278.Juan y sus padres visitan una universidad a 205 millas de sucasa. Mientras viajan, Juan usa el odómetro del automóvil ysu reloj para controlar la distancia.a. Haz un diagrama de dispersión con este conjunto de datos.b. Describe la correlación. Explica.c. Dibuja una línea de tendencia para los datos y predice ladistancia que Juan habría recorrido si hubiera viajado auna universidad a 4 horas de distancia.Tiempo(min)Distancia(mi)0 030 2860 5890 87120 117150 148180 178210 205268 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
28. Escríbelo Haz una encuesta entre tus compañeros de clase para hallar la cantidadde hermanos, de hermanas y de mascotas que tienen. Predice si la correlación serápositiva, negativa o si no habrá correlación. Luego representa gráficamente los datos enun diagrama de dispersión. ¿Cuál es la relación entre los dos conjuntos de datos? ¿Fuecorrecta tu predicción?29. ¿Qué gráfica es el mejor ejemplo de una correlación negativa?30. ¿Qué situación describe mejor una correlación positiva?la cantidad de precipitaciones los días viernesla altura de una vela y la cantidad de tiempo que está encendidael precio de una pizza y la cantidad de ingredientesla temperatura de una taza de chocolate caliente y el periodode tiempo antes de beberla31. Respuesta breve Escribe unasituación del mundo real para lagráfica. Explica tu respuesta.DESAFÍO Y EXTENSIÓN 32. Describe una situación en la que haya una correlación positiva. Reúne datos sobre lasituación. Haz un diagrama de dispersión para mostrar la correlación. Usa el diagramade dispersión para hacer una predicción. Repite estos pasos pero para una correlaciónnegativa y para una situación sin correlación.33. Investiga una especie en peligro o amenazada en tu estado. Reúne información sobrela población durante varios años. Haz una diagrama de dispersión con los datos quereúnas. ¿Hay una correlación positiva o negativa? Explica. Dibuja una línea de tendenciay haz una predicción sobre la población de la especie en los próximos 5 años.REPASO EN ESPIRALRepresenta cada relación con una ecuación. Luego resuelve la ecuación.(Lección 2-4)34. Cinco por un número sumado a 2 es igual al doble del número menos 4.35. Cinco por la suma de un número y 2 es igual a 8 menos que el doble del número.Resuelve cada desigualdad. (Lección 3-5)36. 4(6 + x) ≥-2x 37. 3(x - 1) > 3x 38. 2(3 - x) < 2 (1 + x)Representa gráficamente cada función. (Lección 4-4)39. y = 2x - 3 40. y =-⎪x⎥ + 3 41. y = x 2 - 44- 5 Diagramas de dispersión y líneas de tendencia 269
4-5Interpretar diagramas dedispersión y líneas de tendenciaPuedes usar una calculadora de gráficas para representar gráficamenteuna línea de tendencia en un diagrama de dispersión.Para usar conla Lección 4-5TEKS A.2.D Bases de las funciones: … hacer e interpretar diagramas de dispersióny hacer predicciones … en situaciones dadas. Ver también A.1.D, A.1.EActividadEn la tabla se muestra la dosis de un determinado medicamento en relacióncon el peso de una persona. Representa gráficamente un diagrama dedispersión con los datos. Dibuja la línea de tendencia. Luegopredice la dosis para una persona que pesa 240 libras.CLAVE: MA7 Lab 4Peso (lb) 90 100 110 125 140 155 170 180 200Dosis (mg) 20 25 30 35 40 53 60 66 751 Primero escribe los datos. Oprime y selecciona 1: Edit.En L1, escribe el primer peso. Oprime. Luego escribelos demás pesos. Usapara ir a L2. Escribe la primeradosis. Oprime. Luego escribe todas las dosis.2 Para ver el diagrama de dispersión, oprime .Selecciona Plot 1. Selecciona On, el primer tipo de diagrama y lamarca de diagrama +. Oprime . Selecciona 9: ZoomStat.Debes ver un diagrama de dispersión de los datos.3 Para hallar la línea de tendencia, oprime y selecciona elmenú CALC. Selecciona LinReg (ax+b). Oprime. Esto teda los valores de a y b en la línea de tendencia.4 Para escribir la ecuación de la línea de tendencia, oprime, luego escribe 5079441502x - 26.78767453.Oprime .5 Ahora predice la dosis cuando el peso es 240 libras. Oprime. Selecciona el menú Y-VARS y selecciona 1:Function.Selecciona 1:Y1. Escribe (240). Oprime . La dosis esaproximadamente 95 miligramos.TAKS Grado 8, Obj. 5Grados 9 a 11, Obj. 21. En la tabla se muestra el precio de una acción durante un periodo de 8 meses. Representa gráficamenteun diagrama de dispersión con los datos que se dan. Dibuja la línea de tendencia. Luego predice cuálserá el precio de una acción en el duodécimo mes.InténtaloMes 1 2 3 4 5 6 7 8Precio ($) 32 35 37 41 46 50 54 59270 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
Línea de ajuste de medianaAnálisis de datosHas aprendido sobre las líneas de tendencia. Ahora estudiarás otra líneade ajuste llamada línea de ajuste de mediana.Ver Banco de destrezas,página S73EjemploEn una tienda de alquiler de balsas, un grupo de hasta cuatro personas puedealquilar una sola balsa. En la tabla se muestra la cantidad de balsas alquiladas adistintos grupos de personas en una mañana. Halla la línea de ajuste de medianade los datos.Personas x 1 2 4 5 5 5 7 9 10 11 12 15Balsasalquiladas y1 1 1 3 4 5 4 7 5 3 4 6Alquiler de canoas1 Marca los puntos en un plano cartesiano.2 Divide los datos entre tres secciones de igual tamaño. Hallalas medianas de los valores de x y de los valores de y para cadasección. Marca los tres puntos de las medianas con una X.1 2 4 5 5 5 7 9 10 11 12 151 1 1 3 4 5 4 7 5 3 4 6Punto de la Punto de la Punto de lamediana: (3, 1) mediana: (6, 4.5) mediana: (11.5, 4.5)3 Conecta los puntos externos de las medianas, o elprimero y el tercero, con una línea.4 Dibuja suavemente una línea discontinua hacia abajodesde el punto de la mediana del medio hasta la líneaque acabas de dibujar. Marca la línea discontinuapara crear tres segmentos iguales.5 Mantén la regla paralela a la primera línea quedibujaste y desplázala hasta la marca más cercana ala línea. Dibuja la línea. Esa es la línea de ajustede mediana.TAKS Grado 8, Obj. 5Grados 9 a 11, Obj. 21. Una tarde, un gerente de un restaurante llevó lacuenta de la cantidad de personas de un grupo y eltiempo que se tardó en dar una mesa al grupo. Hallala línea de ajuste de mediana para los datos.Inténtalo2. Usa tu línea de ajuste de mediana para predecir eltiempo que se tardó en dar una mesa a un grupode 6 personas.Canoas alquiladasCanoas alquiladasCanoas alquiladas76543210Alquiler de canoas7654321 X076543210XX4 8 12PersonasXXX4 8 12PersonasAlquiler de canoasXXX4 8 12PersonasPersonas x 3 7 8 8 10 12Tiempo deespera y(min)1 5 3 9 6 6Rumbo a TAKS 271
4-6SucesionesaritméticasTEKS A.3.B Bases de las funciones: buscar patrones y representargeneralizaciones en forma algebraica. Ver también A.1.C, A.1.E, A.3.AObjetivosReconocer y continuaruna sucesión aritméticaHallar un término dadode una sucesión aritméticaVocabulariosucesióntérminosucesión aritméticadiferencia común¿Para qué sirve?Puedes calcular la distancia quete separa de la caída de un rayomediante una sucesión aritmética.Durante una tormenta, puedes estimar aqué distancia cayó un rayo si cuentas lacantidad de segundos desde el momentoen que ves un relámpago hasta que oyesel trueno.Cuando haces listas de los tiempos y las distancias en orden, cada lista formauna sucesión. Una sucesión es una lista de números que con frecuencia formanun patrón. Cada número de una sucesión es un término.Tiempo (s) 1 2 3 4 5 6 7 8Distancia (mi) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6+ 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2Observa que en la sucesión de distancia, puedes hallar el siguiente término sumando0.2 al término anterior. Cuando los términos de una sucesión difieren entre sí porel mismo número distinto de cero d, la sucesión es una sucesión aritmética y d esla diferencia común. Por lo tanto, las distancias de la tabla forman una sucesiónaritmética con una diferencia común de 0.2.EJEMPLO 1 Identificar sucesiones aritméticasLos tres puntos alfinal de una sucesiónse llaman elipsis.Significan que lasucesión continúa y sepueden leer como “yasí sucesivamente”.Determina si cada sucesión es una sucesión aritmética. Si es así, halla ladiferencia común y los siguientes tres términos de la sucesión.A 12, 8, 4, 0, …Paso 1 Halla la diferencia entre los términos sucesivos.12, 8, 4, 0, …Puedes sumar -4 a cada término para hallar el- 4 - 4 - 4término siguiente. La diferencia común es -4.Paso 2 Usa la diferencia común para hallar los siguientes tres términos.12, 8, 4, 0, -4, -8, -12- 4 - 4 - 4La sucesión es una sucesión aritmética con una diferencia común de -4.Los siguientes tres términos son -4, -8, -12.B 1, 4, 9, 16, …Halla la diferencia entre los términos sucesivos.1, 4, 9, 16, …La diferencia entre términos sucesivosno es la misma.+ 3 + 5 + 7Esta sucesión no es una sucesión aritmética.272 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
Determina si cada sucesión es una sucesión aritmética. Si es así,halla la diferencia común y los siguientes tres términos.1a. -_3 4 , -1 _4 , 1_4 , 3_4 , … 1b. 2_3 , 1_3 , - _ 1 3 , - _ 2 3 , …1c. -4, -2, 1, 5, … 1d. 4, 1, -2, -5, …Los términos de una sucesión suelen representarse con la variable a. La variablea 9 , que se lee “a sub 9,” es el noveno término de la sucesión. Para designar cualquiertérmino, o el enésimo término, de una sucesión, se escribe a n , donde n puede sercualquier número.1 2 3 4… n ← Posición↓ ↓ ↓ ↓3, 5, 7, 9… ← Términoa 1 a 2 a 3 a 4 a nLa sucesión anterior empieza con 3. La diferencia común d es 2. Puedes usar elprimer término y la diferencia común para escribir una regla para hallar a n .Con palabras Con números En álgebra1er término2do término3er término4 to término⋮Enésimotérmino33 + (1)2 = 53 + (2)2 = 73 + (3)2 = 9⋮3 + (n - 1)2a 1a 1 + 1da 1 + 2da 1 + 3d⋮a 1 + (n - 1)dEl patrón de la tabla muestra que para hallar el enésimo término, debes sumar elprimer término al producto de (n - 1) y la diferencia común.Hallar el enésimo término de una sucesión aritméticaEl enésimo término de una sucesión aritmética con la diferencia común d y elprimer término a 1 esa n = a 1 + (n - 1)d.EJEMPLO 2 Hallar el enésimo término de una sucesión aritméticaHalla el término que se indica de cada sucesión aritmética.A 22 do término: 5, 2, -1, -4, …Paso 1 Halla la diferencia común.5, 2, -1, -4, … La diferencia común es -3.- 3 - 3 - 3Paso 2 Escribe una regla para hallar el 22 do término.a n = a 1 + (n - 1)d Escribe la regla para hallar el enésimo término.a 22 = 5 + (22 - 1)(-3)= 5 + (21)(-3)= 5 - 63=-58Sustituye a 1 por 5, n por 22 y d por -3.Simplifica la expresión entre paréntesis.Multiplica.Suma.El 22 do término es -58.4- 6 Sucesiones aritméticas 273
Halla el término que se indica de cada sucesión aritmética.B 15 to término: a 1 = 7 ; d = 3a n = a 1 + (n - 1)da 15 = 7 + (15 - 1)3= 7 + (14)3= 7 + 42= 49El 15 to término es 49.Escribe la regla para hallar el enésimo término.Sustituye a 1 por 7, n por 15 y d por 3.Simplifica la expresión entre paréntesis.Multiplica.Suma.Halla el término que se indica de cada sucesión aritmética.2a. 60 mo término: 11, 5, -1, -7, …2b. 12 mo término: a 1 = 4.2; d = 1.4EJEMPLO 3 Aplicación a los viajesEl odómetro de un automóvil indica 60,473. Cada día, el automóvil recorre54 millas. ¿Qué indicará el odómetro 20 días después?Paso 1 Determina si la situación es aritmética.La sucesión para la situación es aritmética porque la lectura del odómetroaumentará 54 millas por día.Paso 2 Halla d, a 1 y n.Como la lectura del odómetro aumentará 54 millas por día, d = 54.Como la lectura del odómetro es 60,473 millas, a 1 = 60,473.Como quieres hallar la lectura en el odómetro 20 días después, deberáshallar el 21 er término de la sucesión, por lo tanto, n = 21.Paso 3 Halla la lectura del odómetro para a n .a n = a 1 + (n - 1)dEscribe la regla para hallar el enésimo término.a 21 = 60,473 +(21 - 1)54= 60,473 + (20)54= 60,473 + 1080= 61,553Sustituye a 1 por 60,473, d por 54 y n por 21.Simplifica la expresión entre paréntesis.Multiplica.Suma.El odómetro indicará 61,553 millas 20 días después.3. Cada vez que un camión se detiene, descarga 250 libras de sucarga. Empezó con un cargamento de 2000 libras. ¿Cuántopesará el cargamento después de la quinta parada?RAZONAR Y COMENTAR1. Explica cómo determinar si una sucesión es aritmética.2. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico con los pasos parahallar el enésimo término de una sucesión aritmética.274 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
4-6EjerciciosTAKS Grado 8, Obj. 2, 5, 6Grados 9 a 11, Obj. 2, 4, 10CLAVE: MA7 4-6PRÁCTICA GUIADACLAVE: MA7 Parent*(Disponible sólo en inglés)1. Vocabulario Cuando tratas de hallar el enésimo término de una sucesión aritmética,primero debes conocer la ? . (diferencia común o sucesión)VER EJEMPLO 1pág. 272VER EJEMPLO 2pág. 273VER EJEMPLO 3pág. 274Varios pasos Determina si cada sucesión es una sucesión aritmética. Si es así, halla ladiferencia común y los siguientes tres términos.2. 2, 8, 14, 20, … 3. 2.1, 1.4, 0.7, 0, …4. 1, 1, 2, 3, … 5. 0.1, 0.3, 0.9, 2.7, …Halla el término indicado de cada sucesión aritmética.6. 21 er término: 3, 8, 13, 18, … 7. 18 vo término: a 1 =-2; d =-38. Envíos Embalar y enviar un artículo cuesta $5 por los materiales usados y $0.75 porcada libra que pesa el paquete. ¿Cuál es el costo de enviar un paquete de 12 libras?Práctica independientePara los VerEjercicios Ejemplo9–12 113–14 215 3TEKSTAKSPráctica de destrezaspág. S11Práctica de aplicaciónpág. S31PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMASVarios pasos Determina si cada sucesión es una sucesión aritmética. Si es así, hallala diferencia común y los siguientes tres términos.9. -1, 10, -100, 1,100, … 10. 0, -2, -4, -6, …11. -22, -31, -40, -49, … 12. 0.2, 0.5, 0.9, 1.1, …Halla el término que se indica de cada sucesión aritmética.13. 31 er término: 1.40, 1.55, 1.70, … 14. 50 mo término: a 1 = 2.2 ; d = 1.115. Viajes Rachel se asoció a un programa de viajero frecuente y recibió 3000 millas deregalo. Gana 1300 millas cada vez que compra un pasaje de ida y vuelta. ¿Cuántas millashabrá acumulado después de 5 viajes de ida y vuelta?Halla la diferencia común de cada sucesión aritmética.16. 0, 6, 12, 18, … 17. _ 1 2 , 3_4 , 1, _ 5 , …418. 107, 105, 103, 101, …19. 7.9, 5.7, 3.5, 1.3, … 20. _ 1 5 , 2_5 , 3_5 , 4_ , …521. 4.25, 4.32, 4.39, 4.46, …Halla los siguientes cuatro términos en cada sucesión aritmética.22. -4, -7, -10, -13, … 23. _ 1 8 , 0, -1 _8 , -1 _, …424. 505, 512, 519, 526, …25. 1.8, 1.3, 0.8, 0.3 … 26. _ 2 3 , 4_3 , 2, _ 8 , …327. -1.1, -0.9, -0.7, -0.5Halla el término dado de cada sucesión aritmética.28. 5, 10, 15, 20, …; 17 mo término 29. 121, 110, 99, 88, …; 10 mo término30. -2, -5, -8, -11, …; 41 er término 31. -30, -22, -14, -6, …; 20 mo término32. Razonamiento crítico ¿Es aritmética la sucesión 5a - 1, 3a - 1, a - 1, -a - 1, …?Si no lo es, explica por qué. Si lo es, halla la diferencia común y los siguientestres términos.4- 6 Sucesiones aritméticas 275
33. Tiempo libre En la ilustración de la derecha semuestran los precios de una pista de karts.a. Explica por qué la relación descrita en el volantepodría ser una sucesión aritmética.b. Halla el costo de 1, 2, 3 y 4 vueltas. Escribe una reglapara hallar el enésimo término de la sucesión.c. ¿Cuánto costarían 15 vueltas?d. ¿Y si...? Después de 9 vueltas, obtienes la 10 magratis. ¿Seguirá siendo aritmética la sucesión? Explica.Licencia: $7Cada vuelta: $2Teoría delos númerosHalla el término dado de cada sucesión aritmética.34. 2.5, 8.5, 14.5, 20.5, …; 30 m o término 35. 189.6, 172.3, 155, 137.7, …; 18 vo término36. 1 _4 , 3_4 , 5_4 , 7_4 , …; 15to término 37. 2 _3 , 11_12 , 7_6 , 17_12 , …; 25to términoLos números de Fibonacciocurren con frecuencia enla naturaleza. La cantidadde pétalos de muchasflores son números de lasucesión de Fibonacci. Dospétalos en una flor sonraros, pero 3, 5 y hasta34 pétalos son comunes.38. Teoría de los números La sucesión 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, ... es una sucesión famosallamada sucesión de Fibonacci. Después de los primeros dos términos, cada términoes la suma de los dos anteriores.a. Escribe los primeros 10 términos de la sucesión de Fibonacci. ¿Es aritmética lasucesión de Fibonacci? Explica.b. Observa que el tercer término es divisible entre 2. ¿Son también divisibles entre 2 el 6 toy 9 no términos? ¿Qué conclusión puedes sacar sobre cada tercer término? ¿Por qué esverdadero esto?c. ¿Puedes hallar algún otro patrón?(Pista: observa cada 4 to y 5 to término).Fila 139. Entretenimiento Los asientos de unaFila 2sala de conciertos están dispuestos segúnel patrón que se muestra en la figura.Fila 3a. La cantidad de asientos en las filasFila 4forma una sucesión aritmética. Escribeuna regla para la sucesión aritmética.b. ¿Cuántos asientos hay en la 15 ta fila?c. Una entrada cuesta $40. Supongamos que todos los asientos en las primeras 10 filasestán ocupados. ¿Cuáles son los ingresos totales por esos asientos?d. ¿Y si...? Se agrega una silla en cada fila. Escribe la nueva regla de la sucesiónaritmética y halla los nuevos ingresos totales por las 10 primeras filas.40. Escríbelo Explica cómo hallar la diferencia común de una sucesión aritmética. ¿Cómopuedes determinar si la sucesión aritmética tiene una diferencia común positiva o unadiferencia común negativa?41. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para TAKSde la página 278.Juan viaja para visitar universidades. Observa los indicadores demillas a lo largo del camino. Anota cada 10 minutos lo quemuestra el indicador. Su padre conduce a una velocidad constante.a. Copia y completa la tabla.b. Escribe la regla de la sucesión.c. ¿Qué representa la diferencia común?d. Si esta sucesión continúa, halla el indicador de millascorrespondiente al intervalo de tiempo 10.Intervalo Indicadorde tiempo de millas1 5202 5093 498456276 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
42. ¿Cuáles son los tres siguientes términos de la sucesión aritmética -21, -12, -3, 6, … ?9, 12, 15 15, 24, 33 12, 21, 27 13, 20, 2743. ¿Cuál es la diferencia comúnde los datos anotados enla segunda columna?-1.8 2.81.8 -3.6Altitud (pies) Punto de ebullición del agua (°F)1000 210.22000 208.43000 206.644. ¿Cuál de las siguientes sucesiones NO es aritmética?-4, 2, 8, 14, … 9, 4, -1, -6, … 2, 4, 8, 16, …1__3 , 1 1__ 3 , 2 1__ 3 , 3 1__ 3 , …DESAFÍO Y EXTENSIÓN45. El primer término de una sucesión aritmética es 2 y la diferencia común es 9. Hallados términos consecutivos de la sucesión que sumen 355. ¿Qué posiciones ocupanlos términos en la sucesión?46. El 60 mo término de una sucesión aritmética es 106.5 y la diferencia común es 1.5.¿Cuál es el primer término de la sucesión?47. Atletismo Verona entrena para una maratón. La primera parte de su programade entrenamiento se muestra en la siguiente tabla.Sesión 1 2 3 4 5 6Distancia que corre (mi) 3.5 5 6.5 8 9.5 11a. Si Verona continúa con este patrón, ¿en qué sesión de entrenamiento correrá26 millas? ¿Es su entrenamiento una sucesión aritmética? Explica.b. Si Verona comienza el programa de entrenamiento un lunes y corre cadatres días, ¿qué día llegará a las 26 millas?REPASO EN ESPIRAL48. Los tres lados de un triángulo se representan con x, x + 3 y x + 5. El perímetro deltriángulo es 35 unidades. Halla x. (Lección 2-3)49. La longitud de un rectángulo es 2 y el ancho se representa con x + 4. El área delrectángulo es 40 unidades cuadradas. Halla x. (Lección 2-3)Resuelve cada desigualdad compuesta y representa gráficamente las soluciones.(Lección 3-6)50. 4 < 2n + 6 ≤ 20 51. t + 5 > 7 Ó 2t - 8 < -12Describe la correlación que se ilustra en cada diagrama de dispersión. (Lección 4-5)52. 53.4- 6 Sucesiones aritméticas 277
SECCIÓN 4BTAKS Grado 8, Obj. 1, 2, 5, 6Grados 9 a 11, Obj. 1, 2, 10Aplicar funcionesVisitas universitarias Myra ayuda a su hermano a planear unavisita a una universidad que queda a 10 horas de su casa. Para eso,crea una tabla en la que anota los tiempos y distancias de viajeaproximados desde su casa.1. Crea un diagrama de dispersión con los datos.2. Dibuja una línea de tendencia en los datos.3. Basándote en la línea de tendencia, ¿cuántas millashabrán recorrido después de 5 horas4. Si el hermano de Myra decide visitar unauniversidad que queda a 13 horas de su casa,¿cuántas millas más, aproximadamente, tendránque recorrer?5. Para hallar la velocidad promedio de todo el viaje,cambio en la distanciahalla ________________ entre el par ordenadocambio en el tiempoinicial y el par ordenado final. Incluye las unidades.Tiempo (h) Distancia (mi)0 02 1233 1904 2076 3558 47210 657278 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
SECCIÓN 4BPrueba de las Lecciones 4-5 a 4-64-5 Diagramas de dispersión y líneas de tendenciaEn la tabla se muestra el tiempo que tardandistintas personas en leer una cantidadde páginas dada.Páginas leídasTiempo (min)210615620815830102510301. Representa gráficamente un diagrama de dispersión con los datos.2. Describe la correlación que se ilustra en el diagrama de dispersión.Elige el diagrama de dispersión que mejor represente la relación descrita. Explica.3. cantidad de entradas de cine vendidas y cantidad de asientos disponibles4. cantidad de entradas de cine vendidas y cantidad de ventas en concesión5. cantidad de entradas de cine vendidas y duración de la película 6. En el diagrama de dispersiónse muestran las ventas anualesestimadas de una cadena detiendas de electrodomésticos yaparatos electrónicos para losaños del 2004 al 2009. Basándoteen esta relación, predice las ventasanuales de 2012. 4-6 Sucesiones aritméticasDetermina si cada sucesión es una sucesión aritmética. Si es así, halla la diferencia común ylos siguientes tres términos.7. 7, 3, -1, -5, … 8. 3, 6, 12, 24, … 9. -3.5, -2, -0.5, 1, …Halla el término que se indica de la sucesión aritmética.10. 31 er término: 12, 7, 2, -3, … 11. 22 mo término: a 1 = 6; d = 412. Sin resistencia del aire, un objeto caería 16 pies durante el primer segundo, 48 pies duranteel segundo segundo, 80 pies durante el tercer segundo, 112 pies durante el cuarto segundoy así sucesivamente. ¿Cuántos pies caería el objeto durante el noveno segundo?¿Listo para seguir? 279
Vocabulariocorrelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262correlación negativa . . . . . . . . . 263correlación positiva . . . . . . . . . . 263diagrama de dispersión . . . . . . 262diferencia común . . . . . . . . . . . . 272dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237gráfica continua . . . . . . . . . . . . . 231gráfica discreta . . . . . . . . . . . . . . 231línea de tendencia . . . . . . . . . . . 266notación de función . . . . . . . . . 246rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236regla de función . . . . . . . . . . . . . 246relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272sucesión aritmética . . . . . . . . . . 272sin correlación . . . . . . . . . . . . . . . 263término . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272variable dependiente . . . . . . . . 246variable independiente . . . . . . 246Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.1. El conjunto de coordenadas x de los pares ordenados de una relación es el/la ? . −−−−−2. Si un conjunto de valores de datos aumenta a medida que otro conjunto de valores dedatos disminuye, se puede decir que la relación tiene un(a) ? . −−−−−3. Una sucesión es una lista ordenada de números en la que cada número es un(a) ? . −−−−−4-1 Cómo representar relaciones (págs. 230–235)TEKS A.1.D, A.1.E, A.2.CEJEMPLOSTraza una gráfica para cada situación. Indica si lagráfica es continua o discreta.■ Un parquímetro tiene un límite de 1 hora. Elcosto es $0.25 por 15 minutos y la máquinaacepta sólo monedas de 25 centavos. La gráfica es discreta.Como la máquina sóloacepta monedas de 25centavos, la gráfica noestá conectada.■ Ian compró una taza de café. Al principio, lotomó a sorbos lentamente. A medida que se fueenfriando, lo bebió más rápido. Como el últimosorbo se enfrió, lo tiró.A medida que pasaba eltiempo, el café se tomóa sorbos lentamente, sebebió más rápidamente, yluego se tiró.EJERCICIOSTraza una gráfica para cada situación. Indica si lagráfica es continua o discreta.4. Una chica caminaba hacia su casa a un ritmoconstante. Luego se detuvo para conversar con unaamiga. Cuando su amiga se fue, corrió el resto delcamino hasta su casa.5. Se lanza una pelota desde una ventana de unsegundo piso y la pelota rebota hasta detenerse en elpatio de abajo.6. Janson estaba en el segundo piso cuando recibióuna llamada para asistir a una reunión en el sextopiso. Subió por las escaleras. Después de la reunión,tomó el elevador hasta el primer piso.Escribe una situación posible para cada gráfica.7.8. La gráfica es continua.280 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
4-2 Relaciones y funciones (págs. 236–242)TEKS A.1.B, A.1.D, A.1.E, A.2.BEJEMPLOS■ Expresa la relación {(2, 15) , (4, 12) , (5, 7) , (7, 2)}como una tabla, como una gráfica y como undiagrama de correspondencia.xTablay2 154 125 77 2Gráfica EJERCICIOSExpresa cada relación como una tabla, como unagráfica y como un diagrama de correspondencia.9. {(-1, 0) , (0, 1) , (2, 1)}10. {(-2, -1) , (-1, 1) , (2, 3) , (3, 4)}Da el dominio y el rango de cada relación.11. {(-4, 5) , (-2, 3) , (0, 1) , (2, -1)}12. {(-2, -1) (-1, 0) , (0, -1), (1, 0) , (2, -1)}13.x 0 1 4 1 4y 0 -1 -2 1 2Diagrama de correspondencia14.Da el dominio y el rango de cada relación. Indicasi la relación es una función. Explica.■ x y-3 0D: {-3, -2, -1}Da el dominio y el rango de cada relación. Indica sila relación es una función. Explica.15. {(-5, -3) , (-3, -2) , (-1, -1) , (1, 0)}-2 0-1 1R: {0, 1}16.La relación es una función porque cada valordel dominio forma un par con un solo valordel rango.■D: {1, 2}R: {-5, -4, 4}La relación no es una función porque un valor deldominio forma par con dos valores del rango.■ D: -4 ≤ x ≤ 4R: -2 ≤ y ≤ 6La relación es unafunción porquecada valor de xforma un par conun solo valor de y.17.x 1 2 3 4 1y 3 2 1 0 -118. Un estacionamiento local cobra $5.00 la primerahora más $1.50 por cada hora o fracción de horaadicional. Escribe una relación como un conjunto depares ordenados en el que el valor de x represente lacantidad de horas y el valor de y represente el costopor x horas. Usa un dominio de 1, 2, 3, 4, 5. ¿Es unafunción esta relación? Explica.19. Un entrenador de béisbol lleva a su equipo a tomarhelados. En cada automóvil pueden viajar cuatroestudiantes. Crea un diagrama de correspondenciapara mostrar la cantidad de automóviles necesariospara transportar a 8, 10, 14 y 16 estudiantes. ¿Es unafunción esta relación? Explica.Guía de estudio: Repaso 281
4-3 Cómo escribir funciones (págs. 245–251)EJEMPLOSEJERCICIOSTEKS A.1.A, A.1.B, A.1.C, A.1.D,A.2.B, A.3.A, A.3.B, A.4.A, A.4.C■ Determina una relación entre los valores de x yde y de la tabla. Escribe una ecuación.¿Qué relacionesx 1 2 3 4 son posibles entrey -3 -6 -9 -12los valores de xy los valores de y?1- 4 =-3 1(-3) =-32- 4 ≠-6 ✗ 2(-3) =-6 ✓3(-3) =-9 ✓4 (-3) =-12 ✓Escribey =-3xuna ecuación.Identifica las variables independientes ydependientes. Escribe una regla en notación defunción para la situación.■ Nia gana $5.25 por hora.El salario de Nia depende de la cantidadde horas que trabaja.Dependiente: salarioIndependiente: horasSea h la cantidad de horas que Nia trabaja.La función del salario de Nia es f (h) = 5.25h.Determina la relación entre los valores de x y de y.Escribe una ecuación.20. x 1 2 3 4y -6 -5 -4 -321. {(1, 9) , (2, 18) , (3, 27) , (4, 36)}Identifica las variables independientes y dependientes.Escribe una regla en notación de función parala situación.22. Un panadero gasta $6 en los ingredientes de cadatorta que prepara.23. Tim comprará el doble de CD que Raúl.Evalúa cada función para los valores de entrada dados.24. Para f (x) =-2x + 4, halla f (x) cuando x =-5.25. Para g(n) =-n 2 - 2, halla g(n) cuando n =-3.26. Para h(t) = 7 - ⎪t + 3⎥ , halla h(t) cuando t =-4y cuando t = 5.4-4 Cómo representar funciones (págs. 252–258)TEKS A.1.D, A.2.B, A.3.A, A.4.AEJEMPLOS■ Representa gráficamente la función y = 3x - 1.Paso 1 Elige varios valores de x para generarpares ordenados.EJERCICIOSRepresenta gráficamente cada función para el dominio{-2, -1, 1, 2}.27. 4x + y = 2 28. y = (1 - x) 2x y = 3x - 1 yRepresenta cada función.-1 y = 3 (-1) - 1 = -4 -429. 3x - y = 1 30. y = 2 - ⎪x⎥0 y = 3 (0) - 1 = -1 -131. y = x 2 - 6 32. y = ⎪x + 5⎥ + 11 y = 3 (1) - 1 = 2 22 y = 3 (2) - 1 = 5 5Paso 2 Marcasuficientes puntoscomo para verun patrón.Paso 3 Dibuja unalínea por los puntospara mostrar todoslos pares ordenadosque satisfacenesta función. 33. La función y = 6.25x describe la cantidad dedinero y que Peter gana después de x horas.Representa gráficamente la función. Usa lagráfica para estimar cuánto dinero Peter ganadespués de 7 horas.282 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
4-5 Diagramas de dispersión y líneas de tendencia (págs. 263–270)TEKS A.1.D, A.1.E,A.2.C, A.2.D■ En la gráfica se muestra la cantidad de dinerode una cuenta de ahorros. Basándote en estarelación, predice cuánto dinero habrá en lacuenta en el mes 7. EJEMPLOS Basándote en los datos, $90 es unapredicción razonable.Dibuja unalínea que tengaaproximadamente lamisma cantidad depuntos por encimay por debajo de ella.La línea puede o nopasar por todos lospuntos de los datos.Halla el punto en lalínea cuyo valor dex es 7.EJERCICIOS34. En la tabla se muestra el valor de un automóvil enlos años que se indican. Representa gráficamenteun diagrama de dispersión con los datos dados.Describe la correlación que se ilustra en eldiagrama de dispersión.Año 2000 2001 2002 2003Valor (miles de $) 28 25 23 2035. En la gráfica se muestra el resultadode una encuesta de 2003-2004 sobre eltamaño de una clase en los grados dados. Basándote en esta relación, predice el tamaño de la clase de 9 no grado. 4-6 Sucesiones aritméticas (págs. 272–277)TEKS A.1.C, A.1.E, A.3.A, A.3.BEJEMPLOS■ Determina si la sucesión es aritmética. Si esasí, halla la diferencia común y los siguientestres términos.-8, -5 ,-2 , 1,…Paso 1 Halla la diferencia entre lostérminos sucesivos.-8, -5, -2, 1,… La diferenciacomún es 3.+ 3 + 3 + 3Paso 2 Usa la diferencia común para hallar lossiguientes tres términos.-8, -5, -2, 1, 4, 7, 10+ 3 + 3 + 3■ Halla el término que se indica de la sucesiónaritmética. 18 vo término: a 1 =-4; d = 6a n = a 1 + (n - 1)d Escribe la regla.a 18 = -4 + (18 - 1)6 Sustituye.= -4 + (17)6 Simplifica.= -4 + 102 Simplifica.= 98El 18 mo término es 98.EJERCICIOSDetermina si cada sucesión es aritmética. Si es así, hallala diferencia común y los siguientes tres términos.36. 20, 14, 8, 2,… 37. -15, -12, -9, -4,…38. 5, 4, 2, -1,… 39. -8, -5.5, -3, -0.5,…Halla el término de la sucesión aritmética que se indica.40. el 31 er término: -15, -11, -7, -3,…41. el 24 to término: a 1 = 7; d =-342. 17 mo término: a 1 =-20; d = 2.543. Marie tiene $180 en una cuenta de ahorros. Planeadepositar $12 por semana. Suponiendo que no retiranada de su cuenta, ¿cuál será el saldo dentro de20 semanas?44. En la tabla se muestra la temperatura a las alturasdadas sobre el nivel del mar. Halla la temperaturaa 8000 pies sobre el nivel del mar.Altura sobre el nivel delmar (millares de pies)1 2 3 4Temperatura (° C) 30 23.5 17 10.5Guía de estudio: Repaso 283
Elige la gráfica que mejor represente cada situación. 1. Una persona camina sin prisa, se detiene y luegocontinúa caminando.2. Una persona trota, luego corre y luego vuelve a trotar.Da el dominio y el rango de cada relación. Indica si la relación es una función. Explica.3.x -2 1 0 1 34.y 3 2 1 0 -1 5. Cada juego de bolos cuesta $3 más $2.50 por el alquiler de los zapatos. Identifica las variablesindependientes y dependientes. Escribe una regla en notación de función para la situación.Evalúa cada función para los valores de entrada dados.6. Para f (x) =-3x + 4, halla f (x) cuando x =-2. 7. Para f(x) = 2 x 2 , halla g(x) cuando x =-3.8. Un grabador cobra una tarifa de $10 más $6 por cada línea de grabado. Describe la situación conuna función. Halla un dominio y un rango razonables para la función de hasta 8 líneas.Representa gráficamente cada función para el dominio dado.9. 3x + y = 4; D: {-2, -1, 0, 1, 2} 10. y = ⎪x - 1⎥ ; D: {-3, 0, 1, 3, 5} 11. y = x 2 - 1; D: {-2, -1, 0, 1, 2}Representa gráficamente cada función.12. y = x - 5 13. y = x 2 - 5 14. y = ⎪x⎥ + 315. La función y = 30x describe la cantidad de interés y ganado en una cuenta de ahorros en x años. Representagráficamente la función. Usa la gráfica para estimar la cantidad total de interés ganado en 7 años.En la tabla se muestran las posibles recomendaciones para la cantidad de horas que losniños deben dormir por día.16. Representa gráficamente un diagrama de dispersióncon los datos.17. Describe la correlación que se ilustra en el diagramade dispersión.18. Predice cuántas horas de sueño necesita un chico de 16 años.Determina si cada sucesión es una sucesión aritmética. Si es así, halla la diferenciacomún y los siguientes tres términos.Edad (años) 1 2 3 4 5 14Sueño necesario (h) 14 13 12 12 11 919. 11, 6, 1, -4,… 20. -4, -3, -1, 2,… 21. 7, 21, 30, 45,…Halla el término que se indica de la sucesión aritmética.22. 32 do término: 18, 11, 4, -3,… 23.24 to término: a 1 = 4; d = 624. En su nuevo trabajo, Mandy tiene un salario inicial de $16,000 y aumentos anualesde $800. ¿Cuánto ganará durante su quinto año de trabajo?284 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
ENFOQUE EN ACTPara responder a las preguntas del examen de matemáticasACT no es necesario que uses una calculadora, pero puedestener una para usarla en el examen. Asegúrate de quesea una calculadora que esté en la lista de calculadoraspermitidas para el examen ACT.Te recomendamos que tomes el tiempo que te lleva hacereste examen de práctica. Deberías tardar aproximadamente6 minutos en terminar.Cuando hagas el examen, puedes sentirtemás seguro si tienes una calculadora que yaconoces. Si ya tienes una, asegúrate de quesea una de las permitidas. Si planeas usaruna nueva, asegúrate de practicar con esacalculadora antes del examen.1. El equipo de fútbol compra nuevos uniformes.Pagaron una cantidad fija por única vez de$50.00 y $23.50 por cada uniforme. ¿Cuál de lassiguientes opciones describe mejor el costo totalC de los uniformes para j jugadores?(A) C = 23.j(B) C = 50j(C) C = 73.50j(D) C = 23.50j + 50(E) C = 50j + 23.502. En la relación dada, ¿qué valor del dominiocorresponde al valor del rango -2?{(-1, 2) , (-2, 4) , (2, 5) , (0, -2) , (2, 0)}(F) -2(G) 0(H) 2(J) 4(K) 53. Evalúa h(x) = _ 1 2 (5 - 6x) + 9x cuando x = _ 2 3 .(A)9_2(B)13_2(C) 74. ¿Cuál es el séptimo término de la sucesiónaritmética -4, -1, 2 …?(F) 5(G) 10(H) 11(J) 14(K) 175. ¿ La gráfica de qué función se muestra debajo?(A) y =-3x - 5(B) y =- _ 1 3 x - _ 5 3 (C) y =-5x - 3(D) y = 3x - 5(E) y = 5x + 36. ¿Cuál de las siguientes relaciones NO esuna función?(F) {(0, 1) , (1, 2) , (2, 3) , (3, 4)}(G) {(1, 2) , (2, 2) , (3, 3) , (4, 3)}(H) {(0, 2) , (2, 4) , (4, 1) , (1, 3)}(J) {(1, 3) , (4, 2) , (2, 0) , (3, 4)}(K) {(0, 2) , (1, 3) , (4 ,3) , (1, 2)}(D) _ 192(E)23_2Práctica para el examen de ingreso a la universidad 285
Opción múltiple: Usa métodos múltiplesMuchos problemas de matemáticas se pueden resolver usando más de un método. Sinotas que tu respuesta a un problema de opción múltiple es una de las opciones dadas,usa otro método para comprobar tu respuesta. Si las respuestas son distintas, entonces esprobable que hayas cometido un error típico de ese tipo de problema.TAKS Grado 8, Obj. 2Grados 9 a 11, Obj. 2, 63_ ¿Cuál es el valor de f (x) = x - 1 cuando x = 8?41 5 6 17Selecciona un método para evaluar la función cuando x = 8.f (8) = _ 3 (8) - 1 Sustituye 8 por x.4f (8) = 6 - 1Simplifica.f (8) = 5 5 es la opción B.Selecciona otro método para comprobar tu respuesta.Representa gráficamente la función y = 3 _4 x - 1.¿Cuál es el valor de y cuando x = 8?Cuando x = 8, y = 5Las respuestas son las mismas. La respuesta correcta es la opción B.¿Qué función tiene (-2, 3) en su gráfica?2x - y =-1 -2x + 2y = 1 y =-2x - 1 y = 2x + 1Selecciona un método: sustituye -2 por x e 3 por y por 3 en cada ecuación.-2(-2) - (3) -1 -2(-2) + 2 (3) 1 3 -2(-2) -1 3 2 (-2) + 1-4 - 3 -1 4 + 6 1 3 4 - 1 3 -4 + 1-7 ≠-1 10 ≠ 1 3 = 3 3 ≠-3Selecciona otro método para comprobar tu respuesta.Representa gráficamente la opción H: y =-2x - 1¿Está (-2, 3) en la gráfica?Para ambos métodos, la respuesta es la misma: H.La respuesta correcta es la opción H. 286 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
TAKSLas pesonas que escriben el examen incluyenopciones con elementos de distracción entrelas partes de opción múltiple. Los elementos dedistracción son opciones incorrectas que se basan enerrores comunes de los estudiantes. ¡Ten cuidado!Incluso si la respuesta que calculaste es una de lasopciones, puede que no sea la respuesta correcta.Siempre comprueba tu trabajo cuidadosamente.C¿Qué par ordenado NO está en la gráfica de lafunción y =- 1__ 2 x + 4?(2, 3) (4, 2)(-2, 6) (-4, 6)Lee cada punto del examen y responde a laspreguntas siguientes.A¿Cuál de las siguientes sucesiones NOes aritmética?-4, 2, 8, 14, … 2, 4, 8, 16, …1_4 , 2 _ 1 , 4 _ 1 , 6 _ 1 , … 4 4 49, 4, -1, -6, …1. Explica cómo se usan las diferencias comunespara responder a esta pregunta.2. Describe otro método que puedas usar pararesolver este problema. Luego explica cómo lopuedes usar para comprobar tu respuesta.BEn la gráfica se muestra la función y = 2x - 4.¿Cuál es el valor de y cuando x = 2? -2 10 85. Describe el método que usarías para resolvereste problema.6. Explica otro método que puedas usar pararesolver este problema. Luego explica cómolo puedes usar para comprobar tu respuesta.DConsidera la función f (x) =-2x + 5.¿Cuánto es f (-6) ?-17 7-7 177. Explica cómo evaluarías esta función.8. ¿Cómo podrías usar la representación gráficapara comprobar tu respuesta?9. Las opciones F, G y H son elementos dedistracción. ¿Qué errores comunes secometieron para generar estas expresiones?E¿Cuáles son los tres términos siguientes en lasucesión aritmética -34, -26, -18, -10, …?-2, 6, 14 4, 12, 20-4, 4, 12 10, 18, 243. Explica cómo se usa la gráfica para responder ala pregunta.4. Describe otro método que puedas usar paracomprobar tu respuesta.10. Describe dos métodos que puedes usar paradeterminar los tres términos siguientes dela sucesión.11. Explica qué harías a continuación si obtuvierasrespuestas distintas con cada método.Ayuda para TAKS 287
CLAVE: MA7 TestPrepTAKS Grado 8, Obj. 1, 2, 5, 6Grados 9 a 11, Obj. 1, 2, 4, 5, 9, 10EVALUACIÓN ACUMULATIVA, CAPÍTULOS 1– 4Opción múltiple1. Halla el valor de ⎪a⎥ - b 2 cuando a =-3 y b =-5.-28 -7-22 42. Benito tiene x manzanas. Corta cada manzana enmitades y da cada mitad a un caballo distinto. ¿Quéexpresión representa la cantidad de caballos queBenito alimenta?x · 1_2x ÷ _ 1 2x · 1 _ 1 2x ÷ 1 _ 1 23. Si el valor de a 5 es positivo, entonces ¿qué opciónes verdadera?a es positivo.a es negativo.a 5 es impar.a 5 es par.4. Halla el valor de __ 2a si 4 - a =-6.31_501_2a8107. ¿Qué enunciado se representa con 3f + 2 > -16?Dos sumado a 3 por f es al menos -16.Tres por la suma de f y 2 es como máximo -16.La suma de 2 y 3 por f es más que -16.El producto de 3f y 2 es no más que -16.8. Jo Ann necesita al menos 3 libras de duraznospara una receta. En el mercado, calcula que tienesuficiente dinero para comprar 5 libras comomáximo. ¿En qué gráfica se muestran todas lascantidades posibles de libras de duraznos que Jo Annpuede comprar para que alcancen para su receta? 9. Un pájaro vuela desde el suelo hasta la copa de unárbol, se queda ahí y canta durante un rato, luegobaja hasta una mesa de picnic para comer migas yvuela nuevamente a la copa del árbol para cantarotro rato. ¿Qué gráfica representa mejoresta situación?5. Hay 36 flores en un ramo. Dos tercios de las floresson rosas. Un cuarto de las rosas son rojas. ¿Quéporcentaje del ramo son rojas rojas?9% 25%16 2 _3 % 66 2 _3 %6. Un árbol grande se debe plantar a una distancia deal menos 70 pies de una línea de electricidad. ¿Quédesigualdad muestra la cantidad aceptable de pies xentre un árbol grande y una línea de electricidad?x < 70 x > 70x ≤ 70 x ≥ 7010. ¿Qué relación NO es una función?{(1, -5) , (3, 1) , (-5, 4) , (4, -2)}{(2, 7) , (3, 7) , (4, 7) , (5, 8)}{(1, -5) , (-1, 6) , (1, 5) , (6, -3)}{(3, -2) , (5, -6) , (7, 7) , (8, 8)}288 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
TAKSSi es posible, usa la misma calculadora que tieneshabitualmente en tu clase de matemáticas. Unexamen con tiempo limitado no es el mejor lugarpara descubrir dónde están los botones y cómofuncionan. Cambia las pilas justo antes del examen.Si tus pilas se agotan, te pueden dar una calculadorade reemplazo que tal vez no conozcas.PREPARACIÓN PARA EL EXAMENESTANDARIZADORespuesta breve17. A continuación se representa gráficamenteuna función.11. En la siguiente gráfica se muestra una función. ¿Cuál es el dominio de la función?x ≥ 0x ≥-60 ≤ x ≤ 6-6 ≤ x ≤ 612. ¿Qué situación describe mejor unacorrelación negativa?la velocidad de un corredor y el tiempo quetarda en correr una carrerala cantidad de manzanas en una bolsa y elpeso de la bolsa de manzanasel tiempo que lleva reparar un auto y lacantidad de la facturala cantidad de personas de una casa y lacantidad de correspondencia en el buzón13. ¿Qué opción es una solución dex + 1 ≤ 3__ 2 Y x - 1 ≥ - 5__4 ?3_21_3-_1 3-_3 2¿Cuál es el dominio y el rango de la función?18. Rory hizo un pentágono cortando dos triángulosde un trozo de cartón cuadrado como se muestraen la figura.8 pulg3 pulg3 pulg16 pulg¿Cuál es el área del pentágono? Muestra tu trabajoo explica cómo obtuviste la respuesta.19. El gerente de un nuevo restaurante necesita comomáximo 12 camareros. Ya ha contratado a 7.a. Escribe y resuelve una desigualdad paradeterminar cuántos camareros más puedecontratar el gerente.b. Representa gráficamente las soluciones de ladesigualdad que resolviste en la parte a.20. Estudia la siguiente sucesión.18, 24.5, 31, 37.5, 44,…a. ¿Puede ser aritmética esta sucesión? Explica.b. Halla el 100 mo término de la sucesión. Muestratu trabajo.Respuesta gráfica14. ¿Cuál es el valor de x cuando3(x + 7) - 6x = 4 - (x + 1) ?15. Para h(x) = x 3 + 2x, halla h(4) .16. La compañía telefónica Walkie Talkie cobra $18.00mensuales por el servicio telefónico básico y $0.15por minuto de llamadas de larga distancia. Lacompañía Arena Calls cobra $80.00 por mes sinninguna tarifa por llamadas de larga distancia. ¿Cuáles la cantidad mínima de minutos de llamadas delarga distancia para la cual el costo de Walkie Talkiees mayor que el costo de Arena Calls?Respuesta desarrollada21. En la tabla se muestra x yuna relación.2 12a. Expresa la relacióncomo un diagrama3 15de correspondencia.3 18b. ¿La relación es una función?Explica por qué sí o por5 40qué no.c. Escribe una situación posiblede la vida real para esta relación.6 64Evaluación acumulativa, Capítulos 1–4 289
TEXASTAKS Grado 8, Obj. 6Grados 9 a 11, Obj. 10UvaldeFort StocktonPrograma de seguridad en áreasde descanso de TexasEl Departamento de Transporte de Texas se encarga de construirpuestos en áreas apartadas de las carreteras para que losconductores puedan descansar. Estas instalaciones promuevenla seguridad en las carreteras ya que ayudan a los conductoresa combatir la fatiga, una de las principales causas de accidentesgraves. Algunos puestos destacan la historia de la región e incluyenreferencias a los indígenas nativos, los soldados buffalo, loscamiones que transportan madera o las marcas de ganado locales.Elige una o más estrategias para resolver cada problema.1. Hay al menos 2 bebederos, o fuentes para beber agua, en cadaárea de descanso. Define una variable y representa la cantidadde bebederos de cada área de descanso con una desigualdad.2. Los conductores de las carreteras rurales de Texas puedenhallar al menos un área de descanso cada 150 millas. Escribeuna relación como un conjunto de pares ordenados en el que cada valor de xrepresente la cantidad de millas recorridas y cada valor de y represente la cantidadde áreas de descanso que se pasaron. Usa un dominio de 300, 450, 600, 750.3. Una familia va en automóvil hacia el este desde Van Horn en dirección a FortStockton. Se detienen a 4 millas de Van Horn en un área de descanso y luego enel área de descanso de West Pecos County, 26 millas al oeste de Fort Stockton.La distancia entre Van Horn y Fort Stockton nosupera las 120 millas. Escribe una desigualdad quepueda usarse para hallar la distancia entre las dosáreas de descanso. Resuelve tu desigualdad.4. Un mosaico en honor a los soldados buffalo decorauna de las paredes del área de descanso de WestPecos County. En el pueblo cercano, Fort Stockton,se hallaba el fuerte que alojaba al novenoregimiento de caballería de Estados Unidos, unregimiento de tropas afroamericanas del ejército dela posguerra civil. El mosaico mide como máximo12 pies de ancho y 6 pies de alto. Los azulejoscuadrados miden 1 pulgada de ancho y 1 pulgadade alto. Representa la cantidad de azulejos quecomponen el mosaico con una desigualdad.290 Capítulo 4 <strong>Funciones</strong>
Miel de UvaldeLa miel de guajillo de Texas proviene deabejas que se alimentan de la flor blanca delguajillo. Este arbusto crece principalmenteen la zona de arbustos del sur de Texas.La miel de guajillo es una miel suave y decolor claro que se llevó a Europa en grandescantidades hace más de cien años. En aquelentonces, el pueblo de Uvalde, en Texas, sehizo conocido como “la capital mundial dela miel”.Estrategias Problemde Solving resoluciónde Strategies problemasDibujar un diagramaHacer un modeloCalcular y poner a pruebaTrabajar en sentido inversoHallar un patrónHacer una tablaResolver un problemamás sencilloUsar el razonamiento lógicoUsar un diagrama de VennHacer una lista organizadaElige una o más estrategias para resolver cada problema.1. La miel recibe un tratamiento térmico para prolongarsu tiempo de conservación. Uno de los tratamientoshabituales consiste en calentar la miel a 170° F durante2 minutos, enfriarla rápidamente a 130° F, y mantenerlaa esa temperatura por un largo periodo de tiempo.Dibuja una gráfica para esta situación.Usa la tabla para los Ejercicios 2 y 3.2. ¿Cuántas calorías tiene una taza de miel?(Pista: 4 cdas = 1__4 tz)3. ¿Aproximadamente cuántas cucharadas de miel demaple se necesitarían para igualar la cantidad decalorías de 7 cucharadas de miel? Redondea a lacucharada más cercana.4. Se estima que la distancia totalque recorren las abejas paraproducir 1 libra de mieles 50,000 millas. Escribeuna regla en notación defunción que relacionela distancia recorridacon las libras de mielproducidas. Identifica lasvariables independientey dependiente.EndulzanteMelaza de cañade azúcarCalorías (por cda)43Azúcar granulada 46Miel de maple 50Jarabe de maíz 57Miel 64Resolución de problemas en lugares 291
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