Electromagnetismo: Electrostática - DTIC

Electromagnetismo: Electrostática1.1 IntroducciónLa electricidad está presente en nuestras vidas cotidianas. Basta pensar en desarrollostecnológicos como la red de alumbrado eléctrico o los electrodomésticos, o en fenómenosmeteorológicos como los rayos. Además, muchos fenómenos químicos y biológicos sonfundamentalmente debidos a interacciones electromagnéticas. En este curso sentaremos las basespara el estudio de campos electromagnéticos y propagación de ondas electromagnéticas. Seestudiarán los aspectos básicos de las interacciones eléctricas y magnéticas y de los camposelectromagnéticos estáticos y dependientes del tiempo. Sin embargo, será el objetivo de cursosposteriores el estudio de la propagación de ondas electromagnéticas.1.2 Carga eléctricaAunque el desarrollo tecnológico asociado al uso de fenómenos electromagnéticos se ha dadoprincipalmente a lo largo del siglo XX, las primeras observaciones de fenómenos de atraccióneléctrica las realizaron los antiguos griegos. En este tema se definirá el campo eléctrico, qué loproduce (cargas), y cómo predecir lo que sucede cuando varias cargas interactúan (leyes). Antesde definir qué es un campo eléctrico se analizará qué lo produce.Ya en el siglo XIX, se sabía gracias a los experimentos que se habían llevado a cabo que existíanunas magnitudes escalares llamadas cargas y que poseían las siguientes propiedades:− La carga se conserva. La ley o principio de conservación de la carga es una leyfundamental de la naturaleza. La carga total de los objetos que componen un sistema nocambia. Puede transferirse carga de unos objetos a otros e incluso pueden generarse nuevascargas siempre y cuando la cantidad de cargas negativas y positivas producidas seaniguales.− La carga está cuantizada, es decir, una carga Q cualquiera puede expresarse como Nveces (N ∈ N) la carga del electrón e, Q = ± Ne (e = 1,6·10 -19 C). La unidad del sistemainternacional (SI) de carga es el culombio C. No es habitual observar la cuantización de lacarga porque N es normalmente un número grande.− La fuerza entre dos cargas puntuales varía de modo inversamente proporcional al cuadradode la distancia entre ellas.1.3. Ley de CoulombCharles Coulomb (1736-1806) estudió la fuerza ejercida por una carga sobre otra. Como escomún en física, dada una serie de fenómenos, experimentos u observaciones, se formulan leyesque los expliquen. Los resultados de los experimentos de Coulomb (y otros científicos) dieronlugar a la ley de Coulomb:La fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra está dirigida a lo largo de la línea quelas une. Es repulsiva si las cargas tienen el mismo signo y atractiva si las cargas tienen signosopuestos. La fuerza varía inversamente con el cuadrado de la distancia que separa las cargasy es proporcional al valor de cada una de ellas.

La ley de Coulomb especifica cómo se relacionan dos cargas y qué efecto tiene una sobre la otra.Su expresión matemática es:F= q q q qk r ˆ = r ˆ1 2 1 212 e 2 2r 4πε0rdonde q 1 y q 2 son las cargas puntuales, r es el módulo del vector que une ambas cargas, rˆ es elvector unitario en la dirección de la línea que une ambas cargas y k e es la constante de Coulomb.Típicamente se considera el valor k e = 8,99·10 9 N·m 2 / C 2 , aunque es necesario destacar que suvalor depende del medio material en el que se considera la interacción y el valor mencionadocorresponde al vacío. En el vacío, tomamos la permitividad del espacio libre ε 0 , cuyo valor es ε 0 =8.854·10 -12 C 2 /(N·m 2 ). Como se puede observar, la ley de Coulomb muestra claras similitudes conla ley de Gravitación Universal.GravedadElectricidadPropiedad fundamental Masa M Carga q (±) M qCAMPOg = −G rˆE = k22rer r FUERZAFg= m gFE = q 0EEn primer lugar, existen dos constantes, G y k e ( 6.67259·10 -11 N m 2 /kg 2 y 8,99·10 9 Nm 2 / C 2 ,respectivamente). Además, también existen dos magnitudes escalares que cumplen el mismopapel: masa (M) y la carga (q). Así pues, para averiguar la fuerza (magnitud vectorial) existe unamisma ecuación que relaciona la masa y la carga (magnitudes escalares) con otras magnitudesvectoriales que reciben el nombre de campos: campo gravitatorio g y campo eléctrico E .Ambos campos son directamente proporcionales a las magnitudes escalares (masa o carga) einversamente proporcionales al cuadrado de la distancia a la que consideramos el campo.Sin embargo, también existen diferencias entre ambas interacciones. Cabe destacar que la masasólo admite magnitudes con signo positivo mientras que las cargas admiten magnitudes con signopositivo y negativo. Como consecuencia, el campo gravitatorio siempre tendrá un sentido dado(atractivo), mientras que el signo del campo eléctrico dependerá del signo de las cargas.1.4. Campo eléctrico y fuerza eléctricaDel mismo modo que al estudiar el campo gravitatorio, en el estudio de la fuerza eléctrica seintroduce el campo eléctrico para evitar los problemas conceptuales que genera la acción adistancia. Así pues, el campo eléctrico debido a una carga puntual q i se define de igual maneraque el campo gravitatorio generado por una masa m i , cambiando la masa por la carga. Por tanto,una carga crea un campo eléctrico E en todo el espacio y este campo ejerce una fuerza sobre laotra carga, o dicho de otro modo, en aquella región del espacio en la que al colocar una cargaeléctrica ésta experimente una fuerza, existe un campo eléctrico. FE = q 0E qE = k ˆ er r2

Si se tiene una serie de cargas puntuales q i en diversos puntos del espacio y se coloca una cargatestigo q 0 en un punto determinado P, la fuerza sobre dicha carga es la suma vectorial de lasfuerzas ejercidas por las cargas individuales. Puesto que cada una de estas fuerzas es proporcionala la carga q 0 , la fuerza resultante es también proporcional a q 0 . El campo eléctrico E en el puntoP se define como el valor de esta fuerza dividido por q 0 . Por tanto, cuando existe más de unacarga, el campo eléctrico producido por un sistema de cargas se obtiene sumando lascontribuciones (vectores) de los campos creados por cada una de las cargas. Esto se conoce comoel Principio de Superposición y su expresión matemática es:E =∑iEi=∑ikq ir 2 ˆiriE = E 1 + E 2 + E 3E 3E 2E 1+q 0(a)+++q 3q 1 q 2Figura 1: Ilustración del concepto de campo eléctrico – (a) Campo eléctrico en distintos puntos del espacio creado poruna carga eléctrica positiva, y (b) campo eléctrico en distintos puntos del espacio creado por una distribución de cargaseléctricas.1.5. Líneas de fuerza y superficies equipotencialesLas líneas de fuerza son una representación conveniente del campo eléctrico. El vector campoeléctrico es tangente a las líneas en cada punto e indica la dirección de la fuerza eléctricaexperimentada por una carga de prueba. Las reglas para dibujar las líneas de fuerza eléctrica sonlas siguientes:− El número de líneas que abandonan una carga positiva o entran en una carga negativa esproporcional a la carga.− Las líneas se dibujan simétricamente saliendo o entrando en la carga puntual.− Las líneas empiezan o terminan sólo en las cargas.− La densidad de líneas (número de ellas por unidad de área perpendicular a las mismas) esproporcional al valor del campo.No pueden cortarse nunca dos líneas de campo ya que E tiene una dirección única en cualquierpunto del espacio (salvo en aquellos puntos ocupados por una carga puntual).(b)

(a)(b)Figura 2: (a) Esquema de las líneas de campo eléctrico producidas por dos cargas eléctricas, una positiva y otranegativa, y (b) líneas de fuerza de dos cargas puntuales (azul negativa, amarilla positiva)Tal y como puede observarse en la Figura 2, en las proximidades de cada una de las cargas, laslíneas de campo están separadas por una misma distancia y convergen (cargas negativas) odivergen (cargas positivas) de ellas según el signo de las cargas. Por el contrario, en puntosalejados de la misma, la estructura detallada del sistema no es importante y el sistema secomporta como una única carga puntual con la carga neta del sistema.La Figura 3 muestra las superficies equipotenciales, es decir, superficies que tienen el mismovalor del campo eléctrico en cada punto de esa superficie y que se distribuyen alrededor de cargaseléctricas. Las líneas de fuerza son en todos los puntos perpendiculares a las superficiesequipotenciales. En secciones posteriores se analizara el significado de estas superficies de modomás detallado.(a)Figura 3: (a) Superficies equipotenciales de una carga puntual q, y (b) superficies equipotenciales de doscargas puntuales.En la Figura 4 se muestra un ejemplo de campo eléctrico y superficies equipotenciales en unsistema formado por varias cargas.(b)

(a)Figura 4: (a) Líneas de fuerza en un sistema de cargas puntuales (azules negativas), y (b) superficiesequipotenciales de un sistema de cargas puntuales (azules negativas)(b)1.6. Potencial eléctrico y energía eléctrica en distribuciones de cargadiscretasa) Trabajo y energíaCuando sobre un cuerpo que se mueve actúa una fuerza, en general, ésta realiza un trabajo. Eltrabajo depende de la trayectoria que siga el cuerpo salvo que se trate de fuerzas conservativas.El trabajo que realizan las fuerzas conservativas es independiente de la trayectoria que siga elcuerpo y sólo depende de las posiciones inicial y final del mismo.El trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo que sigue una determinada trayectoria es: W = lim F ⋅∆ l = F ⋅dl∑∆li→0iii∫CEste tipo de integrales se conocen como integrales de camino. En el caso de fuerzasconservativas, se verifica que el trabajo que realiza la fuerza si la trayectoria es cerrada (buclecerrado) es nulo ya que los puntos inicial y final coinciden. Matemáticamente esto se expresa pormedio de una integral cerrada: ∫ F⋅ dl = 0El trabajo se mide en Joules (1 J = 1 N·m) en el SI.De igual modo que el concepto de energía potencial es de gran utilidad en el estudio de lamecánica, es posible definir la energía potencial en el caso de campos electroestáticos, así comola función potencial eléctrico. El concepto de energía potencial tiene sentido cuando se trabajacon fuerzas conservativas (como es el caso tanto de la fuerza gravitatoria como eléctrica).En general, los cuerpos sometidos a campos de fuerzas conservativos tienen una propiedad quedenominamos energía potencial. La energía potencial cambia de valor cuando el cuerpo cambia

de posición. La variación de la energía potencial cuando un cuerpo se desplaza del punto A alpunto B se define como:∆ U = U − U = − ⋅ dlBAB∫ FALa energía potencial U de un cuerpo situado en un punto determinado del espacio se define comola variación ∆U que se produciría si el cuerpo se desplazase desde un punto de referencia (queelegimos por conveniencia) hasta el punto en cuestión. Por tanto, si elegimos dos puntos dereferencia diferentes, el valor de U varía. Sin embargo, los valores de ∆U que se obtienen cuandose calcula el incremento de energía potencian entre los puntos A y B no varían. Por tanto, es ladiferencia de energía potencial ∆U lo que tiene sentido físico. Teniendo en cuenta estadefinición, podemos introducir el concepto de superficie equipotencial. Las superficiesequipotenciales se caracterizan porque una partícula que se encuentra en cualquiera de suspuntos tiene la misma energía potencial.Si conocemos la energía potencial U en todos los puntos del espacio, podemos determinar lacomponente de la fuerza F en cualquier dirección calculando la derivada direccional de U.Cuando un vector es tal que su componente en una dirección es igual a la derivada direccional deuna función en aquella dirección, se dice que este vector es el gradiente de esta función. Estacondición se cumple entre la fuerza F conservativa y la energía potencial. Matemáticamente: F = −∇Udonde utilizamos el operador gradiente que en coordenadas cartesianas se expresa como:ˆ∂i ˆ∂j kˆ∂∇ = + +∂x ∂y ∂zSe puede demostrar que el gradiente de la energía potencial es perpendicular a las superficiesequipotenciales, lo que quiere decir que F , además de ser perpendicular a éstas, está orientadoen el mismo sentido que las energías potenciales decrecientes.b) Potencial eléctrico y energía potencial eléctricaDel mismo modo que una cuerpo de masa m en presencia del campo gravitatorio g tiene unaenergía potencial, una carga puntual q en presencia de un campo E creado por otras cargastambién tiene una energía potencial. La variación de energía potencial electrostática de una cargapuntual que se desplaza del punto A al punto B es el trabajo necesario que se ha de realizar encontra del campo para llevar esta carga del punto A al punto B sin alterar su energía cinética.La diferencia del potencial eléctrico entre dos puntos A y B se define como:V V VB Fd B d∆ =B−A= −∫⋅ l = − ⋅Aq∫ E lA0

La diferencia de potencial representa la cantidad de trabajo realizado por unidad de carga paramover una carga de prueba desde A a B, sin cambiar su energía cinética. El potencial eléctrico nodebe confundirse con la energía eléctrica potencial, aunque ambas cantidades están relacionadaspor medio de la expresión:∆ U = q 0· ∆ VLa unidad del Sistema Internacional del potencial eléctrico es el voltio (V): 1volt = 1joules/coulomb (1 V=1 J/C). Es habitual expresar la energía potencial eléctrica en electrón-voltios(eV) cuya relación con los joules viene dada por la expresión:1 eV = (1.6·10 -19 C)· (1 V) = 1.6·10 -19 JTal y como se ha visto, el potencial eléctrico está relacionado con el campo eléctrico. En lasiguiente figura se ilustra la relación entre la diferencia de potencial y las líneas de campo.Figura 5: (a) Una carga q la cual se mueve en la dirección de un campo eléctrico constanteE . (b) Una masa m que semueve en la dirección de un campo gravitacional constante g .En particular, la diferencia de potencial eléctrico, considerando el campo eléctrico E constante, secalcula como:V V V B d B∆ = − = − E⋅ l = − E d l = − E ⋅ d

Figura 6: Diferencia de potencial entre dos puntos debido a una carga puntual Q. En la Fig. 6 d l = ds, si tenemos en cuenta que el campo eléctrico es el creado por una partículacon carga Q, la diferencia de potencial se calcula a partir de la siguiente expresión:B Q B Q Q ⎛ 1 1 ⎞∆ V = V ˆB− VA= −∫r ⋅ ds = − drA 2 24πε A0r ∫ = ⎜ − ⎟4πε 0r 4πε0 ⎝ rBrA⎠donde se ha considerado que:rˆ ⋅ds = ds·cosθ = drEn particular, el potencial eléctrico generado por la carga Q en un punto del espacio a unadistancia r de la misma, se define como:QV ( r) = 4 πε r0que es equivalente a tomar la distancia A en el infinito, o dicho de otro modo, a definir elpotencial cero a una distancia infinita de la carga.c) Relación entre campo eléctrico, potencial eléctrico, fuerza eléctrica y energía potencialeléctrica.En el apartado anterior hemos relacionado el campo eléctrico y el potencial eléctrico mediante laecuación.V V V B d B ∆ = − = − E⋅ l = − E ⋅ d l ⋅cosθBA∫A∫Ade forma análoga a como habíamos relacionado la energía potencial eléctrica que adquiere unapartícula cargada cuando una fuerza electrostática realiza trabajo sobre ella.∆ U = U − U = − ⋅ dlBAB∫ FA

Del mismo modo que es posible obtener estas magnitudes escalares (∆U y ∆V) a partir de lasmagnitudes vectoriales (F y E), es posible recuperar las variables vectoriales si conocemos lasvariables escalares. Esto, de hecho, nos permite trabajar con campos escalares y recuperar loscampos vectoriales cuando lo necesitemos. De este modo, la complejidad de los cálculos sereduce notablemente.Podemos pensar que siempre que tenemos una carga (o una distribución de cargas) se genera uncampo eléctrico o un potencial eléctrico y éstos están relacionados como se indica en losesquemas. Estos esquemas destacan que es indistinto pensar en términos de uno u otro ya queambos están relacionados. Del mismo modo, la fuerza eléctrica y el campo eléctrico se relacionanmediante la carga de forma análoga a como lo hacen el potencial y la energía potencial. Podemospensar que una carga, o una distribución de cargas, generan un campo eléctrico en todos lospuntos del espacio y otra carga (q en el esquema) siente el efecto del campo, es decir, la fuerza.Del mismo modo, una partícula cargada genera un campo escalar de potenciales. Al colocar unacarga en un punto (q en el esquema), ésta adquiere una energía potencial. Estos conceptos sepueden entenderse claramente si pensamos en términos de la fuerza gravitatoria y el potencialgravitatorio. Una partícula con masa M (por ejemplo la Tierra) da lugar a un campo gravitatorio(g) que siente otra partícula con masa m (por ejemplo cada uno de nosotros) de modo queadquirimos un peso P = mg (es decir, sentimos el efecto del campo gravitatorio). Del mismomodo, podemos pensar en un potencial gravitatorio ∆V g , de modo que cuando colocamos unamasa a una altura h, ésta adquiere una energía potencial ∆V g = E p = mgh. Los esquemas que sepresentan a continuación indican cómo podemos pasar de unas magnitudes a otras. − F⋅dF ⎯⎯⎯→∆∫ lU↑ ↑E ⎯⎯⎯→∆∫V F = q ⋅ E ∆ Up= q ⋅ ∆V − E⋅dld) Potencial eléctrico y energía potencial debidos de un sistema de cargas puntualesEl mismo criterio de tomar el potencial nulo en el infinito se puede adoptar cuando se estudia unsistema de cargas si éste tiene un tamaño finito. En ese caso, el potencial debido a un sistema decargas puntuales q i se obtiene como la suma del potencial correspondiente a cada carga puntual.Por tanto:1 qi qiV ( r) = ke4∑ = ∑πε r r r0iiipiF ←⎯⎯ ⎯ ∆UF =−∇UE↓ ↓qE ←⎯⎯⎯ ∆Vp∆V= F= ∆UqE=−∇VppDel mismo modo, la energía potencial electrostática del sistema formado por un conjunto decargas puntuales es igual al trabajo necesario para transportar las cargas desde una separacióninfinita a sus posiciones finales y es independiente del orden con que las cargas son transportadasa tales posiciones. A distancias suficientemente grandes, cualquier distribución de carga presentaun comportamiento equivalente al de una carga puntual con la carga neta q de la distribución.

Basándonos en la definición de energía potencial a partir del trabajo realizado en contra delcampo electrostático, vamos a derivar la expresión de la energía potencial eléctrica de un sistemade cargas eléctricas. Para ello, se considera el trabajo realizado por un agente externo para traer lacarga q 2 desde el infinito a P dado el campo generado por q 1 , cuya expresión es W 2 = q 2 V 1 . Debedestacarse que no es necesario realizar trabajo para llevar la primera carga W 1 = 0 cuando el restode cargas se encuentran originalmente a distancia infinita. Como q 1 es una carga puntual, tenemosqueV1q4πεr1= ,0 12de modo que la energía potencial viene dada por:Uq1 ⋅ q2= W =4πεr12 20 12Si aumentamos el número de cargas, tal y como se indica en la siguiente ilustración, el trabajonecesario para añadir una tercera carga es :q ⎛ q qW2 = q3 ⋅ ( V1 + V2) = ⎜ +4πε⎝ r r3 1 20 13 23⎞⎟⎠La energía potencial de la configuración de 3 cargas, es entonces:U= W + W =1 ⎛ q ⋅qq ⋅q +q+⋅q⎞= U + U + U⎝⎠1 2 1 3 2 32 3 ⎜⎟ 12 13 234πε0r12 r13 r23Para un sistema de N cargas, la expresión generalizada de la energía potencial es:UN N1 qi⋅ q4πε = = r>= ∑∑0 i 1 j 1 ijj ijEs necesario destacar que la energía potencial de una partícula en un campo generado pordistintas partículas cargadas es distinta a la energía potencial del sistema que contiene a todas laspartículas. Por definición, la energía potencial electrostática del sistema es igual al trabajonecesario para transportar las cargas desde una separación infinita a sus posiciones finales,mientras que la energía potencial de una de las cargas en el sistema se calcula a partir delpotencial que generan las otras en el punto donde tenemos la partícula. Por supuesto, en el cálculo

de la energía potencial del sistema, tenemos en cuenta cuál es la energía potencial de cada una delas partículas en presencia de las otras a medida que vamos configurando el sistema.1.7 Campo eléctrico en distribuciones de carga continuasHasta ahora sólo hemos calculado el campo eléctrico y la fuerza eléctrica para cargas puntuales,sin embargo en los siguientes apartados vamos a trabajar con distribuciones de carga continua.Para ello seguiremos utilizando la Ley de Coulomb, pero debe prestarse especial atención a cómorepresentar las cargas continuas.Figura 7: Distribución de carga continuaEn primer lugar es necesario explicar qué se entiendepor una distribución de carga continua. La Figura 7ilustra un ejemplo de una distribución de carga continuaconfinada en el objeto azul. La distribución de carga secaracteriza a partir de incrementos o “pequeños trocitos”de carga que se simbolizan con ∆q. Al igual que en elcaso de las cargas puntuales, nos interesa calcular elcampo eléctrico y la fuerza de esta distribución decarga. De este modo, debe calcularse la contribución alcampo eléctrico y a la fuerza eléctrica de cada elementode carga ∆q sobre un punto P. Si se suman todos losincrementos de la carga en un sumatorio, se obtiene lacarga total. En general, si se trata de una distribucióncontinua, se utiliza una integral para sumar losincrementos de carga (en general sería un volumen), que si son lo suficientemente pequeños serepresentan por medio de diferenciales (dq).∑Q = ∆qii→ ∫VdqPara calcular el campo eléctrico creado por una distribución continua de carga se tienen en cuentatodos los campos eléctricos creados por los incrementos de carga ∆q. De modo que con laanterior equivalencia: ∆q∆ E = k rer ˆ 2a) Densidad de carga→ dE=dqk ˆ er r2Las distribuciones de carga pueden disponerse formando líneas, superficies o volúmenes. Eshabitual definir en tales casos los conceptos de densidad lineal de carga ( λ ), densidad superficialde carga ( σ ), y densidad volúmica de carga (ρ ), de modo que el elemento diferencial de carga secaracteriza por:dq = λ ⋅ dldq = σ ⋅ dSdq = ρ ⋅ dV

) Cálculo del campo eléctrico en el eje x de un anillo uniforme de cargaSi realizamos una representación esquemática del problema, tenemos la siguiente ilustración.Supondremos que inicialmente conocemos que la cantidad de carga del anillo, es decir, de ladistribución continua de carga es Q.Figura 8: Esquema del anillo cargado de radio a e ilustración de lascomponentes del campo eléctrico sobre el eje x.En primer lugar, es importante destacar que todas las componentes perpendiculares del campoeléctrico se cancelan porque el anillo tiene un elemento simétrico para cada dq. De manera que seobtiene por simetría:E ⊥= 0Se asume que el anillo es una distribución lineal de carga, con lo cual cada diferencial de carga sepuede expresar como el producto de la densidad lineal de carga por el diferencial de longitud. Deeste modo, el diferencial de carga puede expresarse en función del radio del anillo (a) y deldiferencial del ángulo ( d ϕ ). La distancia entre el diferencial de carga y el punto donde se calculael campo eléctrico viene dada por r, y se calcula por medio del teorema de Pitágoras aplicado altriángulo formado por el radio a y la distancia del punto P hasta el centro del anillo x.dq = λ ⋅ dl = λ ⋅ ( a ⋅ dϕ)2r = a +x2La ecuación que caracteriza el campo eléctrico para el diferencial de carga es: rˆdE= kedq2rr= kedq3rRecordemos que no hace falta calcular el diferencial del campo eléctrico en ambos ejes ya quepor simetría sólo es necesario calcularlo sobre el eje x.dEx =xkedq3rDe otro modo, se puede sustituir el vector desplazamiento r por x, que resulta de calcular laproyección en el eje x. Como puede comprobarse, el resultado es el mismo en ambos casos.

dEcosθxr1rd ⋅ = k dq ⋅ =x e2= E xk dqe 3rFinalmente, para encontrar el campo eléctrico total debemos sumar (integrar) las contribucionesde todos los campos eléctricos sobre el eje x. Dado que tanto x como r son constantes en laintegral, sólo es necesario integrar los diferenciales de carga. En el caso que nos ocupa, éste es unpaso que se puede obviar ya que la carga total es un dato del problema-x xEx = ∫ dEx= ∫ kedq= ke⋅ ∫ dq33r rdq = 2πλadϕ = λa∫2π∫ ∫dϕ = λa2π= Q00Sustituyendo el valor obtenido en la expresión del campo eléctrico en un punto del eje x, seobtiene:Exx= keQ3rE = k Qe= k Qxe2 2( a + x )322 2( a + x )ix32Del mismo modo que al resolver el problema de cargas puntuales se indicó la necesidad deinterpretar geométricamente los resultados es, en general, muy útil analizar los resultadosobtenidos de la resolución de problemas en los límites. Puesto que estas situaciones describennormalmente problemas más sencillos (para los que se conoce el resultado), la verificación de losresultados obtenidos de este modo indirecto es una forma de validar los cálculos. En particular, eneste ejemplo, en el caso en el que a tiende a cero se obtiene el campo creado por una cargapuntual.lim Ea →0x= k Qex2( x )32=k Qex21.8. Ley de Gauss: Concepto de flujo eléctrico y cálculo del campoeléctrico en distribuciones con un alto grado de simetríaFinalmente, se va a mostrar un método más sencillo para calcular el campo eléctrico que norequiere el uso directo de la ley de Coulomb (de mayor complejidad cuando se tratandistribuciones continuas de carga). A cambio, será necesario un alto grado de simetría para querealmente se pueda aplicar otro procedimiento que facilite los cálculos. Esta nueva ley esconocida como la ley de Gauss.a) Flujo eléctricoLa ley de Gauss relaciona el campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga netaincluida dentro de la superficie. Esta ley permite calcular fácilmente los campos eléctricos que

esultan de las distribuciones simétricas de carga. En este curso se introducirá la ley de Gausshaciendo uso de las propiedades de las líneas de campo. La ley de Gauss relaciona el número delíneas de fuerza que atraviesa una superficie cerrada con la carga en el interior de la misma. Lamagnitud matemática que define el número de líneas de fuerza que atraviesa una superficie recibeel nombre de flujo eléctrico.Se define el flujo eléctrico ( ΦE), que atraviesa una superficie perpendicular al campo como elproducto del campo eléctrico que la atraviesa por el área. Puesto que la intensidad del campo esproporcional al número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie, el flujo eléctrico es portanto proporcional al número de líneas de fuerza que atraviesan el área.Las líneas anteriores pueden formularse matemáticamentecomo: Φ = E· A = E· n ˆA = E ⋅ AEdonde la superficie se ha representado por medio de unvector unitario normal a la misma (nˆ ), que por convenioapunta hacia fuera de la superficie, y cuya magnitud es elárea de la superficie (A).Sin embargo, en general el campo eléctrico no esperpendicular a la superficie sino que forma un ciertoángulo con la ésta. En este caso, la expresión anterior seconvierte en: Φ = E· A = E ⋅A cosθ = E AEndonde E = E·nˆnes el componente de E perpendicular ala superficie. Finalmente, el caso más general, viene dadocuando la superficie que se considera es curvada. En laFigura 10 se muestra un ejemplo en el que además lasuperficie es cerrada.Si se toma un diferencial de esta superficie cerrada ycurvada ( ∆ A i) es posible definir un vector que representaeste pequeño incremento de superficie y que esperpendicular a la misma: ∆ A = ∆An ˆiiFigura 9: (a) Ilustración de un campoeléctrico que atraviesa una superficie deárea A perpendicular al mismo, y (b)ilustración de un campo eléctrico queatraviesa una superficie de área A que noes perpendicular al mismo.

De este modo, el flujo que atraviesa este incremento deárea es: ∆Φ = E · ∆ A = E ⋅∆A cos θE i i i iFigura 10: Superficie curvada en la que existeun campo eléctrico.El flujo total se encuentra sumando todos los flujosasociados a los pequeños incrementos de área. Cuandolos incrementos son muy pequeños, es decir, cuando setienen diferenciales, el flujo eléctrico se define como: Φ = lim E · ∆ A = E· dA∑E i i∆Ai→0∫∫Sb) Ley de GaussConsideremos una carga puntual Q ubicada en el centro de una esfera de radio R tal y como seilustra en la Figura 11. Por la ley de Coulomb, tenemos que esta carga crea un campo eléctrico encada uno de los puntos situados a distancia R, igual a:En =kQrˆ2RSi se sustituye esta última expresión en la ecuaciónque permite el cálculo del flujo a través de laesfera, se obtiene: Φ = lim E · ∆ A = E· dA=∑E i i∆Ai→0k= d = Q R = Q k =∫∫2EnA 4π 4π2RS1 Q= Q4π=4πεε0 0∫∫SFigura 11: Campo eléctrico creado por una cargapuntualdonde k e se ha expresado como1ke= , y ε0recibe el nombre de permitividad del espacio4πε0libre que tiene como valor ε 0 = 8,85·10 -12 C 2 /Nm 2 2. Además se ha considerado que 4πR es el áreade una esfera. Como puede observarse, el resultado sólo depende de la carga interna a lasuperficie de radio R y de la permitividad del medio. Además cabe destacar que el resultado esindependiente del radio. De este modo, la ley de Gauss se resume en la siguiente fórmulaQΦE= ∫∫ E· dA=εSint0donde la carga que se debe tomar es la carga que encierra la superficie de integración escogida.

El número neto de líneas de fuerza que atraviesacualquier superficie que encierra las cargas esproporcional a la carga encerrada dentro de lasuperficie y es el mismo independientemente delradio y, por tanto, de la superficie que se escoja.Figura 12: El flujo eléctrico es siempre el mismoindepen-dientemente del radio y, por tanto, de lasuperficie.1) Cálculo del campo eléctrico creado por una superficie (distribución continua superficial decarga con densidad superficial σ )Si se considera un plano infinito (o muy grande para poder obviar el efecto de los bordes), sepuede construir una superficie de Gauss también, tal y como se ilustra en la Figura 13.(a)(b)Figura 13: (a) Campo eléctrico creado por una superficie con una densidad superficial de carga σ, (b) esquema de laselección de una superficie de Gauss para el cálculo del campo eléctrico generado por una superficie infinita.Tal y como se puede observar, se tienen tres superficies. El producto escalar entre el camposeléctrico y el vector normal a las superficie se anula en la superficie lateral. De este modo, sólo setiene flujo en ‘las tapas’ del cilindro. En este caso, el cálculo del flujo a través de cada superficiepuede realizarse a partir de las siguientes ecuaciones: Φ = ∫∫ E · d A = ∫∫ E · d A + ∫∫ E · d A + ∫∫ E · d A = E ∫∫ dA + E ∫∫ dA + 0 =E n nS S1 S 2 S 3 S1 S 2= E A + E A = A(E + E )1 1 2 2 1 2Si se supone además que A 1 = A 2 , y que el campo eléctrico es el mismo en ambas superficies, setiene la siguiente expresión para el flujo eléctrico:

Φ = A(E + E ) = 2AEE1 2Si se aplica la ley de Gauss paraaveriguar el valor del campo eléctrico,se tiene:QintAE 2A 4πkQσ ⋅= = =zεint0ε0Aislando el campo eléctrico:zEzσ=2ε0N/Cque también puede expresarse enrelación al vector unitario en ladirección z, es decir kˆ :Figura 14: Gráfica del módulo del campo eléctrico en función de ladistancia (z) a la distribución continua superficial de carga.⎧ σ⎪ kˆ2ε0E =z ⎨ σ⎪−kˆ⎪⎩2ε0⎫z > 0⎪⎬N/Cz < 0⎪⎪⎭2) Cálculo del campo eléctrico generado por un alambre infinito (distribución de carga lineal)con densidad lineal λEn este apartado se utilizará la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico generado por unalambre infinito. Es importante destacar que el problema sólo se simplifica si el alambre esconsiderado infinito, o muy largo frente a los puntos donde se va a calcular el campo eléctrico, yaque sólo así no habrá un cambio de campo eléctrico debido al efecto de los bordes. En este caso,por simetría, el campo eléctrico será perpendicular al elemento de carga en todos los puntos delalambre. De este modo, la elección ideal de la superficie es una superficie cilíndrica que rodee elalambre, tal y como se muestra en la Figura 15.Figura 15: Distribución lineal de carga (alambre) y construcción de superficies que la rodean.

La superficie cilíndrica puede dividirse en tres superficies: dos ‘tapas’ (S 1 y S 2 ) , es decir,secciones perpendiculares al campo eléctrico creado por la distribución y una superficie lateral S 3. Por tanto, el cálculo del número de líneas de campo eléctrico que atraviesan estas superficies selleva a cabo resolviendo tres integrales de superficie. Como el campo eléctrico es perpendicular alas superficies A 1 y A 2 , su producto escalar será 0, y por tanto no se tiene flujo en las ‘tapas’ delcilindro. Sin embargo, en la superficie lateral del cilindro el campo eléctrico y la superficie sonparalelos. Además, el campo eléctrico tiene el mismo valor en cada punto de la superficie, de estemodo, la magnitud del campo se puede sacar de la integral, y sólo es necesario calcular la integralde la superficie, es decir, sumar todos los pequeños elementos de superficie. Así pues, el flujoeléctrico es: Φ = E· dA = E· dA + E· dA + E· dA= 0 + 0 + E dA = E 2πrL ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫E n nS S1 S 2 S3 S 3donde 2πRL representa el área lateral del cilindro. Si se considera la ley de Gauss, sabemos queel flujo neto a través de cualquier superficie es igual a:Qint= 4 π kQintε0Si se igualan las dos expresiones que se han obtenido para el flujo, se puede determinar el valordel campo eléctrico.EQ λL= ,ε εint2πRL= 4πkQ=n int00de donde se deduce que:λE n= N / C2πRε 0Obtenemos el campo eléctrico de un alambre (una distribución lineal infinita de carga) a unadistancia R que responde al comportamiento ilustrado en la Figura 16.Figura 16: Representación del módulo del campo eléctrico en función de la distancia entre lalínea de carga y el punto donde se calcula el campo.3) Cálculo del campo eléctrico creado por una corteza esféricaEn primer lugar, es necesario explicar qué se entiende por corteza esférica. Intuitivamente, setiene una corteza esférica en casos como la piel de cuero de un balón o de una pelota de tenis en

cuyo interior se tiene aire. En el caso que nos va a ocupar en este tema, en el interior de la cortezase tiene el vacío. La distribución de carga en el caso de la corteza esférica es simétrica y puedeexpresarse como:σ =Qintπ4 R2Figura 17: Campo eléctrico creado por una corteza esféricaEs conveniente resolver el problema considerando dos regiones distintas, tal y como se ilustra enla Figura 18:Figura 18: Superficies gaussianas para encontrar el campo eléctrico para los casos (a) r < a y (b) r > a, respectivamente.Caso r < aPuesto que no existe carga en el interior de la corteza esférica, la superficie de Gauss noencerrará ninguna carga y, por tanto, el campo eléctrico en su interior será nulo.Caso r > aSi se considera la ley de Gauss y se toma como superficie de Gauss una esfera, se tiene:QΦ = E dA = d = d = r = = kQ∫∫ ∫∫ ∫∫2 intE· E· A En· A En4π 4πS S Sε0intQue también puede expresarse en función de la densidad de carga superficial:Q kQ σ ⋅ a σ ⋅ ar N C r N C2 2intintE ˆn( ) = = = / ⇒ E ( ) /2 2 2 n= u2 r4π ε0r r ε0· r ε0·r