ALGEBRA Y C´ALCULO RELACIONAL Bases de Datos Universidad ...

ÁLGEBRA Y CÁLCULO RELACIONALBases de DatosUniversidad de Talca, II Semestre 2005Jorge Pérez R.1

Álgebra RelacionalUn álgebra es un sistema matemático constituido por• Operandos: objetos (valores o variables) desde los cualesnuevos objetos pueden ser construidos.• Operadores: símbolos que denotan procedimientos paraconstruir nuevos objetos desde objetos dados.El álgebra relacional es un álgebra en la cual• Sus operandos son relaciones (instancias) o variables querepresentan relaciones.• Sus operadores están diseñados para hacer la tareas máscomunes que se necesitan para manipular relaciones en unabase de datos.El resultado es que el álgebra relacional se puede utilizarcomo un lenguaje de consulta.En la práctica el álgebra relacional debe ser extendida paraabarcar la mayor parte de las tareas reales que se hacen conlos datos.Estudiaremos en detalle los operadores clásicos.2

TablasEstas serán las tablas que usaremos en la mayoría de ejemplosEmpleadonombre sueldo cod dept fecha ingTorres $ 1.200.000 A1 01/01/2004Soto $ 500.000 A2 01/01/2003Pérez $ 300.000 A2 01/10/2003Figueroa $ 600.000 A1 01/03/2002Salas $ 1.500.000 A1 01/01/2002Ríos $ 2.000.000 A3 01/06/2002Campos $ 800.000 A2 01/11/2003Venegas $ 600.000 A1 01/06/2002Carcamo $ 500.000 A2 01/04/2003Gonzalez $ 2.000.000 A3 01/10/2002Departamentonombre cod dept fecha creacInformática A1 01/03/2002Marketing A2 01/01/2002Ventas A3 01/01/2001Recursos Humanos A4 01/01/2003

SelecciónOperador de selección σ, selecciona un subconjunto de lastuplas de una relación.Tuplas seleccionadas son las que satisfacen cierto predicadológico P. El predicado puede depender de los atributos de larelación y de valores constantes.El operador σ toma una relación como argumento y el resultadoes una nueva relación.Sintaxis:σ P (r)Seleccionar los datos del empleado Soto:σ nombre=Soto (empleado)nombre sueldo cod dept fecha ingSoto $ 500.000 A2 01/01/2003Los datos de los empleados con sueldo ≥ $500.000 que ingresarondurante el 2003:σ sueldo≥500000 ∧ fech ing≥1/1/2004 (empleado)nombre sueldo cod dept fecha ingSoto $ 500.000 A2 01/01/2003Campos $ 800.000 A2 01/11/2003Carcamo $ 500.000 A2 01/04/20033

ProyecciónOperador de proyección π, proyecta una relación sobre unsubconjunto de sus atributos.El operador π toma una relación como argumento y el resultadoes una nueva relación.Sintaxis:π A (r)donde A representa el conjunto de atributos sobre los quela relación r se proyectará.Ejemplo: obtener los nombres de los distintos departamentosπ nombre (departamento)nombreInformáticaMarketingVentasRecursos HumanosObtener los montos de sueldo de los empleados:π sueldo (empleado)sueldo$ 1.200.000$ 500.000$ 300.000$ 600.000$ 1.500.000$ 2.000.000$ 800.000se eliminan los repetidos! una relación es un conjunto.4

Composición de OperacionesEl resultado de cada operación es una nueva relación ⇒ sepueden aplicar operadores a los resultados de aplicacionesprevias.Por ejemplo:π A (σ P (r))σ P (π A (r))σ P1 (σ P2 (r))Obtener los nombres de los empleados que ganan más de$1.000.000.π nombre (σ sueldo>1000000 (empleado))nombreTorresSalasRíosGonzalezObtener el sueldo y la fecha de ingreso de Soto:π sueldo,fech ing (σ nombre=Soto (empleado))sueldo fecha ing$ 500.000 01/01/20035

UniónDado que las relaciones son conjuntos de tuplas, se puedenrealizar las operaciones usuales de conjuntos como la unión.Sintaxis: usamos notación infijar 1 ∪ r 2Se deben hacer ciertas restricciones para realizar la unión:• Ambas relaciones deben tener el mismo número de atributos.• El dominio del atributo i-ésimo de cada relación debe coincidir.Obtener los nombres de los empleados que ganan mas de$1.500.000 o que trabajan en el departamento con códigoA1.π nombre (σ sueldo>1500000 (empleado) ∪ σ cod dept=A1 (empleado))nombreTorresFigueroaSalasRíosVenegasGonzalez6

DiferenciaTambién se puede usar la diferencia de conjuntos, las tuplasque están en una relación pero no en la otra.Sintaxis: usamos notación infijar 1 − r 2Para poder realizar la diferencia se deben cumplir las mismasrestricciones que para la uniónEjemplo:π nombre (alumno) − π nombre (σ carrera=Bioinformatica (alumno))Resulta en una relación que contiene a todos los nombres delos alumnos excepto de los alumnos de la carrera de Bioinformática.7

Producto CartesianoRepresenta al producto cartesiano usual de conjuntos.Combina tuplas de cualquieras dos (o más) relaciones, hacela combinación de todos con todos.Si las relaciones a operar tienen N y M tuplas de n y mcomponentes respectivamente, la relación resultante del elproducto cartesiano tiene N ×M tuplas de n+m componentes.Sintaxis: usamos notación infijar 1 × r 2No hay restricciones a los dominios de las relaciones similaresa las anteriores operaciones.Nos permite reunir datos de dos relaciones distintas.Cuidado con los nombres repetidos! se deben renombrar ciertosatributos para no tener porblemas.departamento × departamentonombre c d fec creac nombre c d fec creacInformática A1 01/03/2002 Informática A1 01/03/2002Informática A1 01/03/2002 Marketing A2 01/01/2002Informática A1 01/03/2002 Ventas A3 01/01/2001Informática A1 01/03/2002 Rec. Hum. A4 01/01/2003Marketing A2 01/01/2002 Informática A1 01/03/2002Marketing A2 01/01/2002 Marketing A2 01/01/2002Marketing A2 01/01/2002 Ventas A3 01/01/2001Marketing A2 01/01/2002 Rec. Hum. A4 01/01/2003Ventas A3 01/01/2001 Informática A1 01/03/2002Ventas A3 01/01/2001 Marketing A2 01/01/2002Ventas A3 01/01/2001 Ventas A3 01/01/2001Ventas A3 01/01/2001 Rec. Hum. A4 01/01/2003Rec. Hum. A4 01/01/2003 Informática A1 01/03/2002Rec. Hum. A4 01/01/2003 Marketing A2 01/01/2002Rec. Hum. A4 01/01/2003 Ventas A3 01/01/2001Rec. Hum. A4 01/01/2003 Rec. Hum. A4 01/01/20038

Producto Cartesiano: EjemplosObtener el nombre del departamento en el que Soto trabaja:Primero hacemos la unión cartesiana igualando un atributoσ depto.cod depto=emp.cod depto (empleado × departamento)Ahora podemos hacer la selección y proyecciónπ depto.nombre (σ emp.nombre=Soto(σ depto.cod depto=emp.cod depto (empleado × departamento)))departamento.nombreMarketing9

RenombreA veces necesitamos obtener información uniendo datos dela misma tabla.Por ejemplo, obtener los nombres de todos los empleadosque ingresaron después que Soto a la empresa.Primer intento:empleado × (σ nombre=Soto (empleado))¿Cómo nos referimos a una u otra instancia de la tablaempleado?El operador de renombre ρ soluciona el problema.El operador ρ toma una relación y entrega la misma relaciónpero con otro nombre, podemos referirnos a distintasinstancias de la misma relación.Sintaxis:ρ x (r)Volviendo al ejemplo, obtener los nombres de todos los empleadosque ingresaron después que Soto a la empresa, segundointento:empleado × (σ nombre=Soto (ρ empleado2 (empleado))Ahora podemos hacer:π empleado.nombre (σ empleado.fecha ing>empleado2.fecha ing(empleado × (σ nombre=Soto (ρ empleado2 (empleado))))10

Formalización y Notación de ÁrbolEl álgebra relacional es un lenguaje de expresiones. Todaexpresión se puede generar a partir de las siguientes reglas:• Toda relación de la base de datos es una expresión.• Si E 1 y E 2 son expresiones entonces las siguientes tambiénson expresiones:◦ E 1 ∪ E 2◦ E 1 − E 2◦ E 1 × E 2◦ σ P (E 1 ) donde P es un predicado con atributos de E 1◦ π A (E 1 ) donde A es una lista de atributos de E 1◦ ρ x (E 1 ) donde x es el nuevo nombre de la relación E 1 .Cada expresión generada por las reglas anteriores tiene comoresultado una relación.Toda relación resultado de una expresión en el álgebra relacionalse puede ver como un árbol donde cada nodo internoestá etiquetado por una operación:• Las hojas son relaciones efectivas de la base de datos.• La relación representada por un árbol es la relación queresulta de aplicar la operación etiquetada en su raíz a lasrelación representadas por cada uno de los subárboles hijos.Por ejemplo la relación resultante deπ depto.nombre (σ emp.nombre=Soto(σ depto.cod depto=emp.cod depto (empleado × departamento)))Está representada por el siguiente árbol (en la pizarra...)A veces es más cómodo representar expresiones extensasusando árboles.11

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Operaciones Adicionales, IntersecciónLas operaciones anteriores son suficientes para definir todael algebra relacional.Algunas consultas habituales son complejas de realizar concombinaciones de operaciones simples, usamos algunos operadoresadicionales.IntersecciónLa intersección usual de conjuntos.Sintaxis: usamos notación infijar 1 ∩ r 2Se deben cumplir las mismas restricciones que en la unión ydiferencia, los atributos de la relaciones involucradas debentener los mismos dominios.La intersección se puede crear a partir de la diferencia:r 1 ∩ r 2 = r 1 − (r 1 − r 2 )Ejemplo:π nombre (alumno preg) ∩ π nombre (alumno posg)resulta en una relación que contiene los nombres de todoslos alumnos que son simultáneamente de pre y posgrado.12

Reunión Natural(Join)Hace un producto cartesiano de sus dos argumentos y realizauna selección forzando la igualdad de atributos que aparecenen ambas relaciones.Elimina repetidos (como toda operación de conjuntos).Sintaxis:r 1 ⋊⋉ r 2Ejemplo: listar todos los empleados y el nombre del departamentoen el que trabajanπ emp.nombre,dept.nombre (empleado ⋊⋉ departamento)empleado.nombreTorresSotoPérezFigueroaSalasRíosCamposVenegasCarcamoGonzalezdepartamento.nombreInformáticaMarketingMarketingInformáticaInformáticaVentasMarketingInformáticaMarketingVentas13

Join en GeneralUn forma más general de hacer Join es especificando unapropiedad de reunión.Se hace entonces un producto cartesiano de las dos relacionesy se realiza una selección forzando una propiedad másgeneral que la igualdad de atributos que aparecen en ambasrelaciones.Sintaxis:r 1 ⋊⋉ P r 2donde P es la propiedad de reunión.Ejemplo: listar todos los pares de nombres de empleados ydepartamentos tales que el empleado ingresó a la empresaen una fecha anterior a la de creación del departamentoπ emp.nombre,depto.nombre (empleado ⋊⋉ (fecha ing

Relaciones TemporalesA veces las consultas se hacen muy extensas.Una forma de simplificarlas es usando relaciones temporalesy asignándoles expresiones para usar después:r ← E asigna la expresión de álgebra relaciones E a la nuevarelación r.Ejemplo:temp ← σ sueldo>500000 (empleado ⋊⋉ departamento)π empleado.nombre,departamento.nombre (temp)El último resultado son los nombres de empleados y el departamentoen el que trabajan tales que el sueldo del empleadoes mayor a $500.000.15

Cálculo Relacional de TuplasEl cálculo relacional de tuplas es un lenguaje no procedural.Con el álgebra relacional damos un procedimiento para unaexpresión.π A1 ,B 1(σ A1 =v(r A ⋊⋉ r B ))En el cálculo relacional de tuplas especificamos la informacióndeseada sin dar un procedimiento para obtenerla.{t|P(t)}Este último conjunto representa a la relación de todas lastuplas t que cumplen la propiedad lógica P.Supongamos que necesitamos sólo los nombres de los empleadosque tienen sueldo mayor a $500.000.En álgebra relacional usamos el operador π para obtenersólo los nombres. En el cálculo relacional de tuplas debemosusar la construcción existe “∃”:∃ t ∈ r(Q(t))que significa: “existe una tupla t en la relación r que cumpleel predicado Q(t)”.Ejemplo: obtener los nombres de los empleados que tienensueldo mayor a $500.000.{t | ∃s ∈ empleado (t[nombre] = s[nombre]∧ s[sueldo] > 500000}Se lee: “el conjunto de todas las tuplas tales que existe unatupla s en la relación empleado para la cual los valores de ty s son iguales en el atributo nombre y el valor de s en elatributo sueldo es mayor que 500000”.La variable de tupla t se define sólo en el atributo nombre, esel único atributo cuantificado. El resultado es una relacióncon sólo un atributo.16

Cálculo Relacional de Tuplas: EjemplosSupongamos que necesitamos los datos de todos los empleadosdel departamento de Marketing y no sabemos el códigodel departamento.En álgebra relacional usamos el operador ⋊⋉ para obtener losdatos de ambas tablas.En el cálculo relacional de tuplas debemos usar también laconstrucción existe:{t | t ∈ empleado ∧ ∃s ∈ departamento (s[cod depto] =t[cod depto] ∧ s[nombre] = marketing}Se lee: “el conjunto de todas las tuplas t de la relaciónempleado tales que existe una tupla s en la relación departamentopara la cual los valores de t y s son iguales en el atributocod depto y el valor de s en el atributo nombre es marketing”.¿Cómo expresamos consultas del tipo “los nombres de todoslos alumnos que no son de bioinformática, suponiendo quecontamos con las relaciones alumno y alumno bioinformatica?Necesitamos el operador lógico de negación “¬”.{t | ∃s ∈ alumno (s[nombre] = t[nombre])∧ ¬∃u ∈ alumno bioinformatica (u[nombre] = t[nombre])}Se lee: “el conjunto de todas las tuplas t tales que existeuna tupla s en la relación alumno que comparte el atributonombre con t y NO existe una tupla u en la relaciónalumno bioinformatica que comparta el atributo nombre cont”.17

Cálculo Relacional de Tuplas: Ejemplos (cont.)En general podemos usar “casi” cualquier expresión lógicapara seleccionar tuplas.Podemos usar las construcciones para todo “∀”, implica que“⇒”, etc.{t | ∃s ∈ depatamento (s[nombre] = t[nombre] ∧∀u ∈ empleado (u[cod depto] = s[cod depto] ⇒ u[sueldo] >500000))}Se lee: “el conjunto de todas las tuplas t tales que, existeuna tupla s en la relación departamento con la que comparteel atributo nombre y que para toda tupla u en la relaciónempleado, si u comparte el atributo cod depto con s entoncesel valor del atributo sueldo de u es mayor que 500000.En este conjunto están los nombres de los departamentoscuyos empleados tienen todos un sueldo mayor a $500.000.¿Cómo hacemos esta consulta en álgebra relacional?¿Por qué “casi” todas las expresiones lógicas? ¿Qué resultade la siguiente consulta?{t | ¬(t ∈ empleado)}¡Resulta una relación con un número infinito de tuplas!¡Tuplas que ni siquiera se encuentran en nuestra base dedatos!No aceptamos entonces este tipo de consultas, aceptamossólo consultas seguras.Una consulta {t | P(t)} es segura si el resultado son valoresque pertenecen a dom(P), donde dom(P) es la unión de losdominios de todas las relaciones que aparecen en P.{t | ¬(t ∈ empleado)} no es segura{t | t ∈ alumno ∧ ¬(t ∈ alumno bioinformatica)} si es segura.18

Cálculo Relacional de DominiosEs un lenguaje de consulta sobre el modelo relacional noprocedural.A diferencia del cálculo relacional de tuplas, consulta acercavalores del dominio de los atributos de las relaciones, no delas tuplas de éstas.Una consulta en cálculo relacional de dominios es de la siguienteforma:{< x 1 , x 2 , . . . , x n > | P(x 1 , x 2 , . . . , x n )}dónde x 1 , x 2 , . . . , x n se llaman variables de dominio y P es unafórmula proposicional sobre las variables del dominio.Ejemplo: Obtener el nombre, el código y la fecha de creaciónde los departamentos creados después del 2003{< a, b, c > | < a, b, c >∈ departamento ∧ c > 1/1/2003}Ejemplo: Obtener el nombre de los empleados que ganan$800.000{< n > | ∃a, b, c(< n, a, b, c >∈ empleado ∧ c = 800000)}Ejemplo: Obtener los nombres de los empleados y de losdepartamentos en los que trabajan{< e, d > | ∃a, b, c, f (< e, a, b, c >∈ empleado ∧< d, a, f >∈ departamento}A veces es más simple representar consultas para atributosespecíficos en el cálculo de dominios que en el cálculo detuplas.También existe una noción muy similar de consultas segurasen el cálculo de tuplas. Las consultas que se salen del dominiono son seguras.19

Álgebra vs Cálculo RelacionalEl cálculo relacional nos entrega dos lenguajes de consultaen una base de datos bajo el modelo relacional.A veces se hace mucho más “natural” expresar consultas enun lenguaje de cálculo relacional que con el álgebra relacional.Ventaja: se expresa “lo que se quiere” sin necesitar explicarcómo obtenerlo (sin especificar un procedimiento).Resultado muy importante:El álgebra relacional, el cálculo relacional de tuplas y elcálculo relacional de dominios tienen el mismo poderexpresivo ⇒ pueden responder el mismo tipode consultas en una base de datos relacional.20

Modificación de la Base de DatosHasta ahora hemos visto como obtener información desde laBase de Datos.Es necesario entregar herramientas para poder alterar el estadode la Base de Datos.Eliminación, Inserción, Actualización son algunas de las tareasnecesarias, usaremos el álgebra relacional.EliminaciónUsamos el operador de diferencia (−) y asignación (←)r ← r − Edonde r es una relación y E una expresión del álgebra relacional.Eliminar los datos de Sotoempleado ← empleado−σ nombre=Soto (empleado)Eliminar todos los empleados del departamento de Marketingr 1 ←σ dep.nombre=Marketing (empleado ⋊⋉ departamento)r 2 ←π emp.nombre,sueldo,emp.cod depto,fech ing (r 1 )empleado ← empleado − r 2nombre sueldo cod dept fecha ingTorres $ 1.200.000 A1 01/01/2004Figueroa $ 600.000 A1 01/03/2002Salas $ 1.500.000 A1 01/01/2002Ríos $ 2.000.000 A3 01/06/2002Venegas $ 600.000 A1 01/06/2002Gonzalez $ 2.000.000 A3 01/10/200221

Modificación de la Base de Datos (cont.)InserciónUsamos el operador de uniónr ← r ∪ Edonde r es una relación y E una expresión del álgebra relacional.Agregar el departamento de Finanzas con código A5 y fechade creación 5/8/2004departamento ← departamento ∪ {(Finanzas,A5,5/8/2004)}nombre cod dept fecha creacInformática A1 01/03/2002Marketing A2 01/01/2002Ventas A3 01/01/2001Recursos Humanos A4 01/01/2003Finanzas A5 05/08/2004ActualizaciónA veces queremos cambiar el valor de algún atributo de unatupla sin cambiarla entera. Podría hacerse una eliminación einserción, pero resulta engorrosos muchas veces.Usamos un nuevo operador δ (no reasignamos!):δ A←E (r)que representa el hecho de cambiar el atributo A por la expresiónmatemática E en la relación r.Subir el sueldo de todos los empleados en %10 si su sueldoactual es mayor que $1.000.000 y en %20 si es menorδ sueldo←sueldo∗1,1 (σ sueldo≥1000000 (empleado))δ sueldo←sueldo∗1,2 (σ sueldo

Cuidado con el orden!!!nombre sueldo cod dept fecha ingTorres $ 1.320.000 A1 01/01/2004Soto $ 600.000 A2 01/01/2003Pérez $ 360.000 A2 01/10/2003Figueroa $ 720.000 A1 01/03/2002Salas $ 1.650.000 A1 01/01/2002Ríos $ 2.200.000 A3 01/06/2002Campos $ 960.000 A2 01/11/2003Venegas $ 720.000 A1 01/06/2002Carcamo $ 600.000 A2 01/04/2003Gonzalez $ 2.200.000 A3 01/10/2002

VistasHasta ahora hemos operado al nivel conceptual, directamentecon las tablas de la base de datos. Muchas veces es mejorque ciertos usuarios tenga acceso a ciertos datos o vistas delos datos.Por ejemplo en una aplicación para fijar reuniones, los empleadosdeben poder ver los nombres de los empleados y losdepartamentos a los que pertenecen pero no sus sueldos.π emp.nombre,emp.cod dept,dept.nombre (empleado ⋊⋉ departamento)Para crear una vista usaremos conceptualmente la sentenciacreate view de la siguiente forma:create view v as Edónde v es el nombre de la vista a crear y E es una expresiónde consulta.Una vista puede usarse como cualquier relación efectiva dela base de datos, pero cuidado una vista NO es una nuevarelación, es simplemente una forma abreviada de referirse auna consulta. La vista se instancia cada vez que nos referimosa ella.Ejemplo:create view importantes asπ nombre,cod dept (σ sueldo≥1000000 (empleado))importantesnombre cod deptTorres A1Salas A1Ríos A3Gonzalez A323

Actualización de Vistas y Valores NulosLas vistas son útiles para consultar datos, pero presentanproblemas para actualizaciones.Por ejemplo, si escribimosimportantes ← importantes ∪ {(Gomez,A4)}implica una actualización de la relación empleado pero sinespecificar ni sueldo ni fecha de ingreso. Existen entoncesdos posibilidades:• Rechazar la inserción y gatillar un error.• Insertar la tupla (Gomez,null,A4,null) en la relación empleadoEl valor ‘null’ representa un valor nulo, desconocido o que noexiste. Todas las comparaciones que implican ‘null’ son pordefinición falsas (esto último tendrá implicancias prácticasimportantes).Un problema importante de la anterior actualización es que,a pesar de que la relación empleado tiene una nueva tuplanombre sueldo cod dept fecha ingTorres $ 1.200.000 A1 01/01/2004Soto $ 500.000 A2 01/01/2003Pérez $ 300.000 A2 01/10/2003Figueroa $ 600.000 A1 01/03/2002Salas $ 1.500.000 A1 01/01/2002Ríos $ 2.000.000 A3 01/06/2002Campos $ 800.000 A2 01/11/2003Venegas $ 600.000 A1 01/06/2002Carcamo $ 500.000 A2 01/04/2003Gonzalez $ 2.000.000 A3 01/10/2002Gomez null A4 nullLa vista importantes no cambia24

Actualización de Vistas (cont.)El siguiente es el reultado de la vista importantes antes ydespués de la inserción si se ingresan valores nulos para losatributos no especificados.importantesnombre cod deptTorres A1Salas A1Ríos A3Gonzalez A3importantes ← importantes ∪ {(Gomez,A4)}importantesnombreTorresSalasRíosGonzalezcod deptA1A1A3A3El tema de actualización sobre vistas es muy interesante desdeel punto de vista teórico y aun hay investigación en el áreaprincipalmente por el crecimiento de necesidades de integraciónde información.Una posible solución al problema sería haber insertado datos(mínimos) adicionales al ingresar la nueva tupla en la vista demanera de obtener el resultado deseado, o sea, haber insertadola tupla con atributo (Gomez, 1000000, A4, null) pero¿cómo podemos tomar esta decisión automáticamente?... uninteresante tema para estudiar...25