1.3 Introducción a la combinatoria

) ( 22)( ) ( 2 20 1( ) ( ) ( 3 3 30 1 2) ( 33)y haciendo los cálculos:. . .11 11 2 11 3 3 1. . .Entre las propiedades que tienen los números binomiales, destacaremos estas tres:• Verifican esta fórmula de recurrencia, válida si 1 ≤ r ≤ n − 1:( ( ) ( )n n − 1 n − 1= + .r)r − 1 rEn el triángulo, esta fórmula indica que cada número binomial es igual a lasuma de los dos que tiene encima.• La suma de los números binomiales que tienen índice superior n es 2 n :n∑( ) ( ( ( n n n n= + + . . . + = 2i 0)1)n)n .i=0Es decir, los números de cada fila del triángulo de Pascal suman 2 n :1 = 2 0 , 1 + 1 = 2 1 1 + 2 + 1 = 2 2 , 1 + 3 + 3 + 1 = 2 3 . . .• Finalmente, señalaremos que la simetría que tienen los números binomialesrespecto del eje vertical del triángulo de Pascal se debe a esta identidad:( ( )n n= .r)n − rCombinaciones con repeticiónLas combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k son las muestrasno ordenadas de k elementos, entre los cuales puede haber repeticiones, elegidosentre los n elementos.Su número es CR n,k = ( )n+k−1k =(n+k−1)!k!(n−1)! .Ejemplo 14. Hay CR 4,2 = ( ) (4+2−12 = 5)2 = 10 combinaciones con repetición dedos elementos tomados del conjunto {a, b, c, d}, que son estas:aa ab ac ad bb bc bd cc cd dd5