Informe de Métodos Experimentales II - Zeth - Universidad de Chile

Universidad de ChileFacultad de CienciasDepartamento de FísicaInforme de MétodosExperimentales II“Péndulos acoplados (Segunda Parte)”Pablo MoyaCristian FaríasProf: Germán KremerAyud: Marco Suárez

Índice1. Introducción 22. Objetivos 33. El Montaje Experimental 44. Marco Teórico 65. Datos 105.1. Datos base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2. Datos obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106. Análisis de datos 126.1. Experimento 2: Variación de la masa de la varilla, m p . . . . . 177. Conclusiones 218. Bibliografía 221

1. IntroducciónMuchas veces en Física el desarrollo de un tema o la introducción deteoría nueva se basa en trabajos y teorías anteriores. Dada esta situación nospreguntamos si acaso mucha de la física que hoy estudiamos se debe solo altrabajo de unas pocas personas o es el resultado de hasta siglos de investigaciony trabajo de muchos científicos e investigadores.¿A que viene todo esto?. La respuesta es que este trabajo en particularesta basado en el informe anterior y se puede ver como una extensión deltrabajo anterior. De hecho, mucha de la física que utilizamos en este experimentoestá explicada en el marco teórico anterior, y en este caso dichodesarrollo esta destinado a pulir y explicar un poco mejor el trabajo teóricode la entrega anterior.Recapitulemos un poco. Este trabajo y el anterior están dedicados al estudiode péndulos acoplados mediante una bombilla adosada a los hilos dedichos objetos. El objetivo del trabajo anterior fue principalmente, ademásde entender la física del sistema, medir y relacionar el traspaso de energíaentre los péndulos con la posición de la bombilla que los acopla. En este caso,el objetivo fundamental, ya habiendo resuelto en alguna medida el problemateórico con el estudio del Lagrangiano del sistema, es ver que otras variablesinfluyen en ese traspaso de energía.En el informe anterior, concluimos que la energía de cada péndulo teníauna forma oscilatoria con frecuencia de oscilación igual a la del péndulo asociadoa ella. Lo que sigue es volver a revisar y observar el sistema para verque se logra concluir en este caso.2

2. Objetivos1. Obtener un modelo de movimiento de los péndulos.2. Estudiar la relación existente entre la masa de un onjeto acoplador, conel período de oscilación de los péndulos.3. Estudiar la conexión existente entre la variación de las amplitudes inicialesy las amplitudes de los péndulos.3

3. El Montaje ExperimentalSe montó un experimento con las siguientes característicasSe dispuso dos péndulos bifilares, cada uno con una esfera metálica, demasa m, ambas. Además, se fijaron 2 bombillas (b) entre ambos péndulos(como se aprecia en la figura 1). Luego de revisar bien la simetría del péndulo,comenzó a probarse el sistema de medición (sonar (A (S)) conectado víauna interfase (I) a un computador equipado con software “Pasco” c○.Después de ubicar bien el sonar se dejaron los dos péndulos en su posiciónde equilibrio, y revisando que las bombillas (b) no se deslizaran por loshilos se le dió una amplitud inicial a sólo uno de los dos péndulos, dejando elotro quieto. Luego, al momento de soltar el sistema, se comenzó a medir conel sonar. Esta situación se repitió en variadas ocasiones, registrando datospara distintas posiciones iniciales de la m 1 ; y, luego, fijando dicha amplitudinicial, pues se varió la masa de la bombilla, adosándole partes de lapiz bic,de indéntica masa entre ellas.Cabe decir que los largos de los hilos, y los ángulos se midieron con unahuincha de medir, con un error asociado de 0,5[mm]. Además, las masas de4

las esferas se midieron con una balanza electrónica graduada en gramos, conun error asociado de 0,05[g].5

4. Marco TeóricoSi bien podemos resolver este problema por análisis de fuerzas, dichoprocedimiento sería realmente engorroso, razón por la cual usaremos otrométodo, que sería el utilizar el lagrangiano de un sistema con varios gradosde libertad, como es el caso de un sistema de osciladores acoplados.El lagrangiano L de un sistema viene del principio de mínima acción deHamilton adopta, para un sistema, esta formaL = T − Udonde T es la suma de energías cinéticas de dicho sistema, y U, la sumade las energías potenciales del sistema.Consideremos nuestro sistema: tenemos que los dos péndulos tienen energíacinética, pero no son los únicos; también la varita (la bombilla en este caso)tiene una energía del mismo tipo asociada. Como se ve que, si solo se movieraun péndulo, la velocidad de la bombilla sería proporcional a dicha velocidad,y que, con el tiempo, el otro péndulo comienza a moverse, entonces, como lavelocidad de dicha vara es oscilante, pues debería ser proporcional a la restade las variaciones de los ángulos θ 1 y θ 2 , es decir, v p , la velocidad de la pajita(o bombilla, como se le quiera llamar) esv p = √ K ( θ˙1 − θ ˙ )2luego, si situamos nuestro cero de la energía potencial encima de la pajita,además de situar el cero de nuestro eje coordenado en el mismo lugar, conlos positivos de ˆx apuntando hacia la derecha de la figura 1, y los positivosde ŷ apuntando hacia arriba de la misma figura, entonces, podemos plantearque el lagrangiano del sistema esL = 1 2 ml2 (˙ θ 12+ ˙ θ 22 ) + 1 2 m pK ( ˙ θ 1 − ˙ θ 2) 2+ mgl(cos(θ1 ) + cos(θ 2 ))donde m p es la masa de la pajita.Más tarde, definimos el siguiente operadord ∂Ldt ∂ṗ − ∂L∂q = 0 (1)6

donde p y q son las variables de un sistema.Ahora, si desarrollamos la ecuación (1), como depende de θ 1 ,θ 2 , θ˙1 , θ˙2 ,obtenemos dos ecuaciones(d ∂Ldt ∂ ˙ddt)− ∂L = 0θ 1 ∂θ 1( ) ∂L∂θ ˙ − ∂L = 02 ∂θ 2Luego, entonces, luego de hacer las derivaciones correspondientes, obtenemosdos ecuaciones de movimientoml 2 ¨θ1 + m p K ( ¨θ1 − ¨θ 2)+ mgl sin(θ1 ) = 0 (2)ml 2 ¨θ2 − m p K ( ¨θ1 − ¨θ 2)+ mgl sin(θ2 ) = 0 (3)Pero esto es el caso ideal, donde no hay roce, el cual no corresponde a larealidad; entonces, nos vemos obligados a introducir otro término a nuestrasecuaciones anteriores; dicho término es la fuerza de roce; que es proporcionala la velocidad de las masas; es decir, tenemosF rθ1 = −2γl 2 ˙ θ 1F rθ2 = −2γl 2 ˙ θ 2Ahora, si linealizamos esto, haciendo θ 1 , θ 2 mucho menores que 1; y sumamos(2) con (3), y luego restamos (2) con (3), obteniéndoml ( 2 ¨θ1 + ¨θ) (2 − 2γl2θ˙1 + θ ˙ )2 + mgl(θ1 + θ 2 ) = 0(ml 2 + 2m p K ) ( ¨θ1 − ¨θ) (2 − 2γl2θ˙1 − θ ˙ )2 + mgl(θ1 − θ 2 ) = 0Pero estas ecuaciones son dos ecuaciones de oscilador armónico amortiguado;y, en efecto, si consideramos η 1 = θ 1 − θ 2 , y η 2 = θ 1 + θ 2 , tenemosml 2 ¨η 2 − 2γlη˙2 + mglη 2 = 0 (4)[2mp K + ml 2] ¨η 1 − 2γlη˙1 + mglη 1 = 0 (5)7

Luego, dividiendo por los término de ¨η 2 y ¨η 1 ; (4) y (5) nos quedancon ɛ 2 = γ mly ω 2 2 = g lcon ɛ 1 =¨η 2 − 2ɛ 2 η˙2 + ω2η 2 2 = 0 (6)[] []γlmgl¨η 1 − 2η˙2m p K + ml 2 1 +η2m p K + ml 2 1 = 0 (7)γl2m pK+ml 2 y ω 2 1 =mgl2m pK+ml 2Entonces, si usamos como Ansatzη i (t) = Ae Γ itpara todo i = 1, 2, 3, ...Una vez que introducimos esta “solución” en nuestras ecuaciones (6) y (7),resultan las sgtes. soluciones para el caso ɛ i > ω i con i = 1, 2, y η i (0) = η 0 ,η˙i (0) = 0⎡(√ )⎡η 1 (t) = θ 0 e −ɛ 1t ⎣cos ω1 2 − ɛ 2 1t + ⎣√⎡⎡(√ )η 2 (t) = θ 0 e −ɛ 2t ⎣cos ω2 2 − ɛ 2 2t + ⎣ɛ 1⎤⎦ sinω1 2 − ɛ 2 1⎤ɛ 2√ ⎦ sinω2 2 − ɛ 2 2Pero, como η 1 = θ 1 − θ 2 , y η 2 = θ 1 + θ 2 , se tiene(√ω 2 1 − ɛ 2 1t) ⎤ ⎦(√ω 2 2 − ɛ 2 2t) ⎤ ⎦θ 1 (t) = 1 2 (η 1(t) + η 2 (t))θ 2 (t) = 1 2 (η 2(t) − η 1 (t))De esta formaθ 1 (t) = θ 02⎡⎛⎡⎣⎝e −ɛ 1t ⎣cos+⎛⎝e −ɛ 2t⎡⎣cos⎛(√ )ω1 2 − ɛ 2 1 + ⎝⎛(√ )ω2 2 − ɛ 2 2t +8⎞ɛ(√1√ ⎠ sin ωω1 2 − ɛ 2 1 2 − ɛ1t) ⎤ ⎞2 ⎦⎠ +1⎞ɛ(√⎝ 2√ ⎠ sin ωω2 2 − ɛ 2 2 2 − ɛ2t) ⎤ ⎞⎤2 ⎦⎠⎦2t

yθ 2 (t) = θ 02⎡⎛⎡⎣⎝e −ɛ 2t ⎣cos+⎛⎝e −ɛ 1t⎡⎣cos⎛(√ )ω2 2 − ɛ 2 2 + ⎝⎛(√ )ω1 2 − ɛ 2 1t +⎞ɛ(√2√ ⎠ sin ωω2 2 − ɛ 2 2 2 − ɛ2t) ⎤ ⎞2 ⎦⎠ +2⎞ɛ(√⎝ 1√ ⎠ sin ωω1 2 − ɛ 2 1 2 − ɛ1t) ⎤ ⎞⎤2 ⎦⎠⎦1tResulta claro que, al tener las ecuaciones de movimiento, y de posiciónv/s tiempo, hemos resuelto todo el problema; y tenemos toda la información,de nuestro sistema, a nuestra disposición. De esta forma, hemos concluido elmarco teórico.9

5. Datos5.1. Datos baseLos datos base de nuestro experimento, es decir, los datos tomados antesde comenzar cualquier clase de medición de la acción propia del experimento,sonCaso 1: Variación de las amplitudes inicialesMasa m de los péndulosLargo entre barrasAltura H de las barrasLargo L de la cuerdaLargo dx 0 lanzamiento 1x 0 lanzamiento 2x 0 lanzamiento 3x 0 lanzamiento 4Masa bombillas, m p0,011080 ± 0,00005[kg]0,1860 ± 0,0005[m],739 ± 0,0005[m]0,6420 ± 0,0005[m]0,1190 ± 0,0005[m]0,0250 ± 0,0005[m]0,0500 ± 0,0005[m]0,0600 ± 0,0005[m]0,0750 ± 0,0005[m]0,00030 ± 0,00005[kg]Caso 2: Variaciones con las masas de las bombillasMasa m de los péndulosLargo entre barrasAltura H de las barrasLargo L de la cuerdaLargo dx 0m p lanzamiento 1m p lanzamiento 2m p lanzamiento 30,011080 ± 0,00005[kg]0,1860 ± 0,0005[m],739 ± 0,0005[m]0,6420 ± 0,0005[m]0,1190 ± 0,0005[m]0,0500 ± 0,0005[m]0,00030 ± 0,00005[kg]0,00360 ± 0,00005[kg]0,00690 ± 0,00005[kg]5.2. Datos obtenidosLos datos obtenidos son varias tablas con aproximadamente 700 datoscada una, y, realmente, el ponerlas aquí consideramos que sería un malgastode tiempo, tinta, hojas, y, además, entorpecería la lectura del informe. Debidoa esto no pondremos las tablas en el informe, pero, ciertamente están,10

y pueden ser pedidas a alguno de los alumnos que firman el presente informe.11

6. Análisis de datosExperimento 1: Variaciones de la posición inicialLos gráficos de los datos tienen formas bien definidas, es intentaremosaproximarlos. Si lo conseguimos hacer bien, pues sabremos que nuestro modelofunciona.Si consideramos l como (L − d) cos(α), donde α es el ángulo que se substiendedesde un péndulo hasta la mitad de la distancia entre las barras,denominamos λ = 2m p K y, además, consideramos nuestras ecuaciones deposición en función del tiempo, que obtuvimos cuando impusimos las condicionesde borde, obtenemos los siguientes gráficos.Figura 2: Gráfico de posición v/s tiempo para el lanzamiento 1, con surespectiva aproximación, tomada con θ 0 = 0,0278[rad], con una constanteλ = −0,00657, y con una constante de roce γ = 0,000312

Figura 3: Gráfico de posición v/s tiempo para el lanzamiento 2, con surespectiva aproximación, para θ 0 = 0,06[rad], λ = −0,0657, y γ = 0,0002.La línea rara al principio de los datos experimentales corresponde a datosmal tomados; más bien, a la mano de alguno de los dos personajesfirmantes de este informe, que no la sacaron a tiempo.13

Figura 4: Gráfico de posición v/s tiempo para el lanzamiento 3, con surespectiva aproximación, para θ 0 = 0,073[rad], λ = −0,006657, yγ = 0,0001.14

Figura 5: Gráfico de posición v/s tiempo para el lanzamiento 4, con surespectiva aproximación, para θ 0 = 0,085[rad], λ = −0,00657, y γ = 0,0002En general, las aproximaciones están “decentes”: al principio están muybien, pero después comienzan a desfazarse; la verdad es que desconocemosla razón por lo cual esto ocurre, ya que, si analizamos las aproximacioneshechas en el informe pasado, cuyo marco teórico fue muy similar a este, notaremosque los de dicho informe eran mucho mejores; de pronto podría serel roce, pero lo descartamos, ya que, probando números y probando númerosen una tabla en gnumeric, notamos que sólo afecta el decrecimiento de lasamplitudes de las oscilaciones. Sin embargo, podemos notar que el error esmuy pequeño, sobre todo si consideramos la escala de los mismos gráficos.En definitiva, podemos decir que nuestro modelo se apega a la realidad,no del todo, pero lo hace bastante bien.15

Veamos entonces la relación existente entre los λ obtenidos, contra lasamplitudes iniciales. Tenemos una tabla de este estiloTabla 1θ 0 por lanzamiento λ por lanzamiento0.0278 -0.00660.06 -0.00660.073 -0.00660.085 -0.0066Tabla 1: Comparación θ 0 contra λ, por lanzamiento; los lanzamientos vanen orden correlativo.Notamos, de inmediato, que no depende de la posición inicial el valor deλ; cosa prevista por nuestro modelo teórico. No ocurre lo mismo con las amplitudesiniciales, que, resulta claro al ver los gráficos, varía junto con θ 0 , peroeso está previsto por nuestro modelo, y, de hecho, por las aproximaciones,notamos que los valores de las amplitudes de oscilación están dadas por nuestrasecuaciones de posición en función del tiempo, y se cumplen bastante bien.De la misma forma, y por la contundencia de nuestra aproximación, notamosque las variaciones de energía vienen dadas porE = 1 2 m((L − d) cos(α))2 (˙ θ 12+ ˙ θ 22 ) ++ 1 2 m pK ( ˙ θ 1 − ˙ θ 2) 2− mg((L − d) cos(α))(cos(θ1 ) + cos(θ 2 ))Y, de inmediato, notamos la forma en la cual se transfiere la energía deun péndulo a otro viene dada por la ecuación recien escrita, es decir, si consideramoslo que son θ 1 (t) y θ 2 (t), tenemos que la energía de cada péndulo porseparado dependerá de senos y cosenos, es decir, su energía será oscilatoria, locual es esperable, ya que las velocidades de ambos péndulos son oscilatorias,y sus posiciones también lo son; lo que implicaría un comportamiento comoel que se ve en las ecuaciones.16

6.1. Experimento 2: Variación de la masa de la varilla,m pSi juntásemos los tres gráficos que obtenemos de los datos experimentales,tenemos lo siguienteFigura 6: Comparación de los 3 gráficos posición v/s tiempo; notamos que,si bien son muy parecidos, no son iguales, al menos en lo concerniente alperíodo de oscilación. Unos tienen su centro “mas arriba” que otros, esto,debido a ciertos cambios que se hicieron en la posición del radar con el quese midió.Luego, si realizamos las aproximaciones de los gráficos (basándonos ennuestro modelo teórico), obtenemos lo sgte17

Figura 7: Gráfico de posición v/s tiempo para el lanzamiento 1, con surespectiva aproximación, para θ 0 = 0,06[rad], λ = −0,00657, y γ = 0,0001.18

Figura 8: Gráfico de posición v/s tiempo para el lanzamiento 2, con surespectiva aproximación, para θ 0 = 0,06[rad], λ = −0,00645, y γ = 0,000219

Figura 9: Gráfico de posición v/s tiempo para el lanzamiento 3, con surespectiva aproximación, para θ 0 = 0,06[rad], λ = −0,0063, y γ = 0,0003Obviamente, λ depende de m p , a medida que m p es mayor, entonces λ esmayor, es decir, el acoplamiento es mayor a medida que m p crece, justo comohabíamos previsto en nuestro modelo teórico. De esto se infiere que hay unmenor traspaso de energía a medida que el acoplamiento aumenta.Luego, tenemos que la frecuencia angular (que se relaciona directamentecon el período de oscilación), guarda relación con la suma de ɛ 2 y ω 2 , para elcaso de una frecuencia angular; y con la suma ɛ 2 1 + ω 2 1 en el otro caso. Luego,como nuestro modelo se ha ajustado bastante bien a la realidad, entoncespodemos dejar estas relaciones como ciertas, ya que el error porcentual de laaproximación de nuestro modelo es inferior al 2 %.20

7. ConclusionesPodemos mencionar que el modelo funciona, y que, al momento de incluirel roce, el problema de las amplitudes se resuelve, sin embargo,el problema del desfase es algo que sigue sin explicación, al menos porparte de nosotros.La relación de que, a mayor masa, mayor acoplamiento, es algo ciertamenteinteresante; pero, ¿qué pasaría si la masa del objeto acopladorfuera muy grande en comparación a las masas de los péndulos?, es unapregunta aún mas interesante; que podría tener como respuesta “el sistemano se movería”, lo cual es algo extraño.Es muy interesante el caso en el cual la varilla no tuviese masa. . . ¿qué ocurriría?es algo para lo cual podemos especular mucho, pero no sabemosdar una respuesta; el modelo está fundado sobre el hecho de que lavarilla tiene masa, y funciona para esos casos, pero. . . ¿si la varilla notuviese masa?Es algo notable el hecho de que este experimento, quizás mas que respuestaspara muchas cosas, nos deja con varias preguntas, y con muchasotra ideas por desarrollar, y que podría serlo en algún futuro.De todas formas, hay un conocimiento que es muy importante (y quetambién nació de un pequeño acto obsesivo por intentar conocer todo),y que es el lagrangiano de un sistema; es absolutamente sorprendentela forma en que un experimento nos obliga a investigar e investigar másacerca de algo, más allá de los límites a los cuales uno pensaba llegar.Finalmente, consideramos que los objetivos de este experimento se hancumplido, aunque no tanto por el “pruebe y corrija” que habríamos tenidosin un modelo analítico al cual atarnos, pero si por el modelo que,hemos averiguado, existe, aunque vaya mas allá de los que “deberíamossaber”.21

8. BibliografíaMećanica, Landau, Editorial Reverté, 1965.Apuntes del alumno Pablo Moya, del curso de Mecánica II, dictado porVíctor Muñoz, el año 2003, en su segundo semestre.Experimentación: Una Introducción a la Teoría de Mediciones y el Diseñode Experimentos, D.C. Baird, Editorial Prentice Education.22