Axiomas de f. utilidad (1/4) –French–

Axiomas de f. utilidad (1/4)–French–Relación en A de preferencia débil: a b: “a al menos tan preferidacomo b”; “a es preferido o indiferente a b” (a ≻ b ó a ∼ b)• A1) Las preferencias en A forman un orden débil:• es transitiva• es completa: a b, b a, o ambos–facilitarle tarea–• Son consistentes: a ∼ b ⇔ a b y b a . Y a ≻ b ⇔ b ̸ a• Implica• ≻ es orden estricto (asimétrica y transitiva)• ∼ es de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva)• Si a ∼ b y b ≻ c ⇒ a ≻ c• Si a ≻ b y b ∼ c ⇒ a ≻ c• Alguna de las sentencias a ≻ b, a ∼ b, b ≻ a son ciertas.– p.1

Axiomas de f. utilidad (2/4)–French–• A2) No trivialidad: Para el decisor es x 1 ≻ x n–sí importa premio–• A3) Reducción de loterías compuestas: Seanl =< q 1 , l 1 ; q 2 , l 2 ; . . . ; q n , l n > con l i =< p i1 , x 1 ; p i2 , x 2 ; . . . ; p in , x n > ∀i yl ′ =< p 1 , x 1 ; p 2 , x 2 ; . . . ; p n , x n > con p j = q 1 p 1j + q 2 p 2j + . . . + q n p nj ∀j–e.d. lotería simple obtenida de la compuesta al aplicar Th Prob total–Entonces l ∼ l ′Preferencias dependen sólo de los premios últimos y sus Ps de obtenerlos;no importa cuántos mecanismos aleatorios haya para generar esas PsEj:⎛⎞3/20 1/4 3/5⎝ ⎠x 1 x 2 x 3∼⎛ ⎞1/5 1/5 3/5⎝ ⎠ con l1 =l 1 x 2 x 3⎛ ⎞3/4 1/4⎝ ⎠x 2x 1Implica x i ∼< 0, x 1 ; 0, x 2 ; . . .;1, x i ; . . .;0, x n > (lot. degenerada).– p.2

Axiomas de f. utilidad (3/4)–French–• A4) Sustitución: Sean a, b ∈ A tal que a ∼ b y sean l, l ′ ∈ A simples ocompuestas tal que l =< . . . ; p, a; . . . > y l ′ =< . . . ; p, b; . . . >Entonces l ∼ l ′Si 2 elem. de A son indiferentes, no importa obtener uno u otro en una loteríaNotación: < p, x 1 ; 0, x 2 ; . . .;1 − p, x n > x 1 px n (lot. de referencia)• A5) Experim. referencia: x 1 px n ∈ A, ∀p ∈ [0, 1] (visualizar con rueda)⇒ A = X ∪ L∪ {lot. ref.} y {loterías donde sustituimos susresultados por premios/lot.ref de A que ∼ a ese resultado}A es mayor que L, pero menor que el conjunto de todas lasloterías finitamente compuestas• A6) Monotonía: x 1 px n x 1 p ′ x n ⇔ p ≥ p ′ .– p.3

Axiomas de f. utilidad (4/4)–French–• A7) Continuidad: ∀x i ∈ X existe p i ∈ [0, 1] tal que x i ∼ x 1 p i x n• Lógico:⎛⎞⎝ p = 0.9999 1 − p ⎠50 0• Crítica⎛1: Hay premios⎞x i ⎛para⎞los que ∄p i :⎝ p = 1 1 − p ⎠ ≻ ⎝ 1 ⎠50 muerte 10≻⎛ ⎞⎝ 1 ⎠ pero al revés si p = 0.000110pero siempre al revés para otras pSin emb., con p i pequeño sí deberíamos (P(tener accidente)>10 −30 y lo hacemos; y pagamos!)• Crítica 2: Difícil obtener exactamente p i ⇒ sigue laindiferencia para p i ± 10 −4 !Sin embargo, análisis de sensibilidad + imprecisión.– p.4

Existencia de uSi preferencias cumplen A1-A7, entonces existe una función de utilidadu(·) sobre X que representa segúnx i x j ⇔ u(x i ) ≥ u(x j ) para cada x i , x j ∈ Xy dadas l 1 =< r 1 , x 1 ; r 2 , x 2 ; . . . ; r n , x n > y l 2 =< q 1 , x 1 ; q 2 , x 2 ; . . . ; q n , x n >l 1 l 2 ⇔ ∑ ni=1 r iu(x i ) ≥ ∑ ni=1 q iu(x i ) para cada l 1 , l 2 ∈ A• u(·) es una función de valor ordinal sobre X para cada decisor• Eu sirve para representar las preferencias del decisor sobre lasloterías.– p.5