La enseñanza y aprendizaje del Álgebra Lineal en la facultad de ...

L A ENSEÑ ANZ A Y APR ENDIZAJE DEL ÁLGEBRA LINEAL EN L AF ACULTAD DE INGENI ERÍ A, UNLP.Viviana Angélica COSTA 1María Cristina V ACCHINO 21 vacosta@ing.unlp.edu.ar2 cristina.vacchino@ing.unlp.e du.arDeparta mento de Cienc ias Básicas. Facultad de Ingeniería. Univer sidad Nacional deLa Plata. 1 y 47, La Plata 1900. Buenos Aires. Arge ntina.Área temática: Innovación en la enseñanza de las Ciencias Básicas en Ingeniería.Palabras claves: Álgebra Lineal, enseñanza, aprendizaje, mejoramiento de la enseñanza,Área Básica, plan de estudios.RESUMENLos nuevos planes de estudio, implementados a partir del año 2003, han favorecido aaumentar la aprobación, disminuir la repitencia y la deserción en los primeros años de lasdistintas carreras que se dictan en la Facultad. En este trabajo se describe esencialmente elenfoque con que se enseñan actualmente los contenidos de la asignatura Matemática C(Álgebra Lineal). Se realizan comparaciones cualitativas del proceso de enseñanza yaprendizaje del Álgebra Lineal y un análisis cuantitativo de los porcentajes de aprobados,antes y después del cambio de plan que muestran el mejoramiento obtenido en el desempeñoacadémico de los alumnos. Se proponen mejoras para la asignatura Matemática C, accionesde futuros seguimientos para la misma y un reconocimiento de las virtudes del nuevo plan.

L A EN SEÑAN Z A Y AP REN DI Z AJE DE ÁL GEBRA LINE AL, EN L AF ACULTAD DE INGENI ERÍ A, UNLP.Viviana Angélica COSTA 1María Cristina V ACCHINO 21 vacosta@ing.unlp.edu.ar2 cristina.vacchino@ing.unlp.e du.arDeparta mento de Cienc ias Básicas. Facultad de Ingeniería. Univer sidad Nacional deLa Plata. 1 y 47, La Plata 1900. Buenos Aires. Arge ntina.Área temática: Innovación en la enseñanza de las Ciencias Básicas en Ingeniería.Palabras claves: Álgebra Lineal, enseñanza, aprendizaje, mejoramiento de la enseñanza,Área Básica, Plan de estudios.RESUMENLos nuevos planes de estudio, implementados a partir del año 2003, han favorecido aaumentar la aprobación, disminuir la repitencia y la deserción en los primeros años de lasdistintas carreras que se dictan en la Facultad. En este trabajo se describe esencialmente elenfoque con que se enseñan actualmente los contenidos de la asignatura Matemática C(Álgebra Lineal). Se realizan comparaciones cualitativas del proceso de enseñanza yaprendizaje del Álgebra Lineal y un análisis cuantitativo de los porcentajes de aprobados,antes y después del cambio de plan que muestran el mejoramiento obtenido en el desempeñoacadémico de los alumnos. Se proponen mejoras para la asignatura Matemática C, accionesde futuros seguimientos para la misma y un reconocimiento de las virtudes del nuevo plan.INTRODUCCIÓNLa enseñanza del álgebra lineal reviste ciertas características muy especiales. La enseñanza deobjetos como espacios vectoriales, transformaciones lineales, valores y vectores propios, etc.parte de una definición formal, sin que en la mayoría de las veces medie una motivaciónprevia similar a lo que ocurre por ejemplo, en el cálculo. En el cálculo, es frecuente motivarla enseñanza de los conceptos a partir de otros conocimientos físicos o geométricospresentados previamente, pero en el álgebra lineal, la mayor parte de los conceptos sepresentan como definiciones formales de objetos cuya existencia no tiene (en la mayoría delos casos) conexión con conocimientos previos ni argumentos geométricos o físicos quemotiven la definición presentada.Los primeros trabajos en investigación en Educación Matemática se desarrollaron sobrecálculo, pero en los últimos 20 años varios grupos de investigadores están trabajando sobre ladidáctica del álgebra lineal. La enseñanza del álgebra lineal es universalmente reconocidacomo difícil [3] cualquiera sea la orientación que se dé a la materia (matricial, axiomática,geométrica, computacional) debido a las dificultades conceptuales y al tipo de pensamientorequerido para la compresión de la asignatura. Dorier en su investigación muestra lanecesidad de los estudiantes de involucrarse a lo largo de su trabajo matemático en un análisisreflexivo de los objetos, para entender los aspectos unificadores y generalizadores de losconceptos de álgebra lineal.

En el año 1990, dada la problemática que se presentaba del aprendizaje de Álgebra Lineal, seforma el Linear Algebra Curriculum Study Group (LACSG), conformado por: David Carlson,Charles R. Johnson, David C. Lay y A. Duane Porter, para mejorar el currículo de ÁlgebraLineal. Son ellos quienes recomiendan apartarse de la abstracción y acercarse a un curso másconcreto, basado en matrices [2].Recientemente varios grupos de investigadores están trabajando sobre la didáctica delAlgebra Lineal. Entre ellos un grupo francés integrado por Jean Luc Dorier, Aline Robert,Jacqueline Robinet, Marc Rogalski, Michele Artigue, Marlene Alves Dias, Ghislaine Chartier,un grupo canadiense con Anna Sierpinska y Joel Hillel, y en EEUU Guershon Harel, EdDubinsky.En algunas investigaciones en torno a los problemas en el aprendizaje del álgebra lineal sereporta que entre los orígenes de esas dificultades están los diversos lenguajes que se usanpara hablar de conceptos como espacios vectoriales, transformaciones lineales, matrices, etc.[4]. El uso de estos lenguajes sin articulación son, muchas veces el origen de algunas de lasdificultades para el aprendizaje de los conceptos del álgebra lineal [5]. Entre esos lenguajesestán el lenguaje abstracto, el lenguaje algebraico de R n y el lenguaje geométrico de R 2 y R 3[4]. Cada uno de estos tipos de lenguaje desarrolla, en forma correspondiente los tipos depensamiento necesarios para que un estudiante pueda entender la materia.En particular, en la Facultad de Ingeniería de la UNLP, en el año 2002 un grupo deprofesores, preocupados por lograr un mejoramiento en la enseñanza de la matemática, quese viera reflejada en un mejor rendimiento de los alumnos, comienzan a analizar lasdificultades de los alumnos en el proceso de aprendizaje de la Matemática Básica y enparticular del Álgebra Lineal. Observaron que a pesar de comenzar el curso de Álgebra contemas como lógica proposicional, tablas de verdad y teoría de conjuntos, el excesivoformalismo, la falta de madurez de los estudiantes y la imposibilidad de usar la intuicióngeométrica hacían dificultoso el aprendizaje del Álgebra Lineal. El grupo de profesoresentiende que es necesario pensar en un cambio. Finalmente a fines del año 2002 semodifican los planes de estudio con el objetivo de integrar las asignaturas de matemática conel resto de las áreas y materias, mejorar el rendimiento de los estudiantes en dichasasignaturas y disminuir la dificultad de los estudiantes en recuperar los conceptosmatemáticos en otros contextos. El esquema diseñado se basó en la organización de loscontenidos alrededor de ejes conceptuales comunes, en un cambio metodológico y en laredistribución de los recursos existentes a fin de mejorar la calidad de la enseñanza impartida[1]. Se definió así, un trayecto básico de matemática integrado por tres materias consecutivas,dos de Cálculo y la tercera que incluye los contenidos básicos de Álgebra Lineal.Esta nueva estructura nos lleva a hacer un análisis y seguimiento de las nuevas asignaturas.Utilizamos diferentes medios para hacerlo, entre ellos: encuesta a los alumnos, entrevistas adocentes, análisis de las guías impresas teórico-prácticas, análisis de los contenidos y de labibliografía utilizada y de los resultados cuantitativos (número de alumnos promocionados,recursantes y número de alumnos que sólo aprobaron trabajos prácticos), etc.En este trabajo se hace un análisis de la implementación de la asignatura Matemática C(Álgebra Lineal), a partir de la bibliografía utilizada y de los resultados cuantitativos de losaños 2004, 2005 y 2006, como número de alumnos promocionados, recursantes y número dealumnos que sólo aprobaron los trabajos prácticos. Los resultados cuantitativos obtenidos con

el nuevo plan de estudios son comparados con los datos obtenidos antes del cambio de plan.Esto sirve de base para la elaboración de hipótesis acerca de como se enseña ahora elÁlgebra Lineal en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de La Plata, yproponer propuestas de mejoramiento y de seguimiento de la materia.ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE ALGEBRA LINEAL EN LA FACULTAD DEINGENIERÍA - UNLPComo se enseñaba Álgebra Lineal antes del cambio de plan de estudiosSe hace un análisis de la forma de enseñar el Álgebra antes del cambio de plan de estudios,examinando los temas que se dictaban, en qué contexto se lo hacía, cómo era el rendimientoacadémico de los alumnos y como estaba organizada la currícula en general (Tabla 1).Sintéticamente los contenidos de la asignatura Álgebra del plan de estudios de 1988 son:Lógica proposicional - Números complejos – Polinomios - Matrices, sistemas de ecuacioneslineales, matriz inversa, determinantes, rango - Espacios vectoriales - Transformacioneslineales - Autovalores y autovectores de una transformación lineal.La materia Álgebra, se dictaba en el primer semestre de todas las carreras de Ingeniería enparalelo con Geometría Analítica y Análisis Matemático I. El aprendizaje y rendimientoacadémico de los alumnos en Álgebra con este plan de estudios no era muy bueno. Algunosalumnos desertaban, otros recursaban la materia varias veces hasta alcanzar su aprobación ylos candidatos a aprobar no alcanzaban a completar el programa. Es muy probable que el bajorendimiento de los alumnos se debía a la ubicación de la materia en el plan de estudio, y quela mayor parte de los conceptos se presentaban como definiciones formales de objetos sinconexión con conocimientos previos ni argumentos geométricos o físicos que motivaran lostemas y sumado a que los alumnos que ingresan a la universidad no cuentan con losconocimientos previos para alcanzar el nivel de abstracción que se requiere para elaprendizaje del álgebra lineal. El alumno al cursar en el mismo semestre las asignaturas deÁlgebra, Geometría Analítica y Análisis Matemático I, no lograba entender las distintasrepresentaciones (algebraica, abstracta y geométrica) de un mismo objeto, generando esto unproblema de aprendizaje. En general los estudiantes no tenían dificultad en resolver sistemasde ecuaciones lineales y en trabajar con las operaciones entre matrices, pero los conceptos deespacios vectoriales, transformaciones lineales e independencia lineal les resultaban muyconfusos. No lograban una comprensión conceptual de estos temas y les resultaba imposibleaplicarlos a otros contextos. Hay otros factores que seguramente influyeron en el bajorendimiento de los estudiantes, como las clases numerosas de más de un centenar de alumnosy la metodología de la enseñanza que se aplicaba: clases magistrales dadas por un profesorseguidas de clases prácticas con docentes auxiliares a cargo, donde el alumno trabajaba enforma individual consultando los ejercicios prácticos.Como se enseña ahora Álgebra LinealEl Plan de estudios 2002 comenzó a implementarse a partir del año 2003 en todas lascarreras de Ingeniería y en particular Matemática C en el año 2004. Los contenidos deMatemática, a partir del 2002, se organizaron en un trayecto básico estructurado según ejescomunes (Tabla 1).

La Asignatura Matemática C, es del tercer semestre de todas las carreras de Ingeniería.Sintéticamente sus contenidos son: Series numéricas y de funciones - Matrices, sistemas deecuaciones lineales, matriz inversa, determinante, rango - Espacios vectoriales, bases,dimensión - Transformaciones lineales - Autovalores y autovectores de una transformaciónlineal - Diagonalización de matrices - Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden ysistemas de ecuaciones diferenciales - Álgebra Lineal Numérica: Teoría de errores.Aproximación de raíces de ecuaciones no lineales. Matrices y operaciones relacionadas sobreun computador. Sistemas de ecuaciones lineales. Método de Jacobi y Gauss-Seidel.Plan 1988 Plan 2002Semestre Área matemática Trayecto Matemático Contenidos1 Algebra Matemática ADiferenciación en una y variasvariables.Análisis Matemático IGeometría Analítica2 Análisis Matemático II Matemática BIntegración en una y variasvariables. Ecuaciones diferencialesordinarias de primer orden.3 Análisis Matemático III Matemática CSeries numéricas y funcionales,álgebra lineal, sistemas lineales deecuaciones diferenciales ordinarias.Tabla 1: Comparación de los trayectos de Matemática en ambos planes de estudioSe produjeron los siguientes cambios en la enseñanza de Álgebra, a saber:• La asignatura Matemática C es del tercer semestre (2do. Año) y se dicta después de doscursos intensivos de Cálculo en una y varias variables: Esto hace que los alumnos yaposean una metodología de trabajo y sean capaces de relacionar y conectar conconocimientos previos.• La materia contempla lo analítico y lo numérico como un todo.• Se incorporaron a la asignatura más temas y aplicaciones.• Se utiliza como bibliografía los libros de “Álgebra Lineal” de autores como Stanley I.Grossman, David Poole, David C Lay; que siguen las recomendaciones dadas por elgrupo Linear Algebra Curriculum Study Group.• Se utilizan herramientas tecnológicas, como ser la utilización de software matemático,para mejorar la comprensión y visualización de algunos conceptos.• Se enfatiza en las relaciones que hay entre los conceptos de la misma asignatura comotambién de asignaturas anteriores.• La transición hacia la abstracción es suave. Se comienza estudiando R 2 y R 3 tratando derecuperar conceptos vistos en las materias de cálculo para luego pasar a R n en detalle ypor último, a espacios más generales. Similarmente se tratan las transformacioneslineales y autovalores.• Se da importancia a la conceptualización, a las aplicaciones del Álgebra Lineal y a lasgráficas (rotaciones, proyecciones y reflexiones en R 2 y R 3 ).• Sólo se demuestran los resultados más importantes.No solo se produjeron cambios en la ubicación temporal de la materia en la currícula deestudios y en sus contenidos, sino también hubo cambios en el diseño de las aulas y en lametodología de enseñanza, concibiendo la clase como un lugar de estudio interactivo con

ibliografía y herramientas computacionales en el aula, el docente como guía del aprendizajey el alumno como constructor de su propio conocimiento. La estrategia de trabajo en el aulaes grupal. En el aula ocurren la mayoría de las tareas docentes: se enseña, se experimentandistintas estrategias para lograr un mejor aprendizaje, se unifican criterios entre losintegrantes del equipo docente, se evalúa, se corrigen los errores y se rescatan los conceptosaprendidos correctamente.COMPARACIÓN CUANTITATIVA DE LOS DATOS RELEVADOS Y CAMBIOSPRODUCIDOS ANTE EL CAMBIO DE PLANEn esta sección se hace un análisis comparativo, del rendimiento académico de los alumnosantes y después del cambio de plan en la asignatura Álgebra. En las Figura 1 y 2, serepresenta mediante un diagrama de barras el porcentaje de aprobados en la asignatura. Sepuede observar que en el año 2002 crece notablemente este número. Es muy probable que estehecho se deba a que a partir de ese año los alumnos que ingresaban a cursar el primer año detodas las carreras de Ingeniería lo hacían (y lo siguen haciendo) luego de haber realizadodurante un mes un Curso de Nivelación con aprobación obligatoria, produciendo unmejoramiento en el rendimiento de los alumnos.Porcentaje de AprobadosPlan anteriorPorcentaje de AprobadosPlan nuevo100100%9090%8080%7070%64,96%%60504760%50%54,44%44,28%48,75%403020312919 2023 2440%30%20%31,13%32,88%1010%01996 1997 1998 1999 2000 2001 20020%PS 2004 SS 2004 PS2005 SS2005 PS2006 SS2006Figura 1 Figura 2En la Figura 3, se grafica el promedio del porcentaje de aprobados, el mínimo y el máximo deestos valores según el plan de estudios, y es notable observar como el porcentaje de aprobadosha aumentado con el plan nuevo. A partir de 2002 con diferencias en los diferentes períodos ycomisiones se logra aumentar la cifra de aprobados en un 20% en promedio.Cabe también mencionar que se realizaron encuestas de opinión a los alumnos en los años2005 y 2006 sobre su aprendizaje y entrevistas a algunos docentes, que luego de ser evaluadaspermitieron sugerir algunos cambios en la asignatura con el objetivo de mejorarla.

Porcentaje de Aprobados según el Plan1008060402006447462719 31Plan 1988 Plan 2002Figura 3MáximoMínimoPromedioCONCLUSIONESDe todo lo expuesto, se desprende que el nuevo plan de estudios, la nueva metodología detrabajo en clase, la nueva conformación y equipamiento en las aulas y la mejor relacióndocente-alumno han posibilitado mejorar el rendimiento académico de los alumnos.Igualmente hay varios puntos en los que se debe trabajar para mejorar el proceso deenseñanza y aprendizaje:• Optimizar la integración de la totalidad de los contenidos de la nueva asignatura.• Desarrollar actividades que favorezcan que el alumno relacione aún más cada uno de lostemas del Álgebra Lineal con el Álgebra Lineal Numérica• Desarrollar talleres con software matemático, para que los alumnos trabajen con lacomputadora en las clases y se sientan incentivados a usar la tecnología• Proponer distintas actividades para los alumnos recursantes, se sientan estimulados acontinuar con sus estudios y no desertar.• Realizar entrevistas a los docentes de otras asignaturas de años superiores a la misma paraobtener información acerca de los temas que necesitan de la materia y cómo los utilizan.• Definir indicadores que midan el rendimiento de los alumnos para mejorar la calidad de laenseñanza y aprendizaje y por ende mejorar la implementación del Plan 2002.REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS[1] Bucari, N., Abate, S., Melgarejo A.; “Un cambio en la enseñanza de las Matemáticas enlas carreras de Ingeniería de la UNLP: propuesta, criterios y alcance”, Anales del IVCongreso Argentino de Enseñanza de la Ingeniería, Buenos Aires. Argentina. 2004.[2] Carlson D., Johnson C.R., Lay D.C.y Duane Porter A., The Linear Algebra CurriculumStudy Group Recommendations for the First Course in Linear Algebra, en Resources forTeaching Linear Algebra, MAA Notes, volumen 42, Mathematica Association of America,1997.[3] Dorier J.L, Teaching Linear Algebra at University, en Li, Ta Tsien (ed.) et al.,Proceedings of the international congress of mathematicians, ICM 2002, Pequín, China, 20-28de agosto de 2002. Vol. III: Invited lectures. Beijing: Higher Education Press. 875-884. 2002.[4] Hillel J., Modes of Description and the Problem of Representation in Linear Algebra. inJ-L. Dorier (Ed.), On the Teaching of Linear Algebra, Kluwer Academic Publishers,Dordrecht, pp 191–207. 2000.[5] Sierpinska A, Trgalova J., Hillel J., Dreyfus T., Teaching and Learning Linear Algebrawith Cabri. Research Forum paper, Proceedings del PME 23, Haifa University, Israel, Vol 1,119–134. 1999.