portafolio mate

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
FACULTAD DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
CARRERA DE INGENIERIA FINANCIERA
APLICACIÓN DE MATEMÁTICA FINANCIERA
MODULO MATEMÁTICAS FINANCIERAS
AUTORES:
PILAR CORREA
PAOLA CÓRDOVA
PAOLA FIALLOS
ANDRES COLOMA
LEIDY JIMÉNEZ
SEBASTIAN PALMA
SOFÍA SALAZAR
Curso: 3ro “B” Finanzas
Docente: Ing. Danilo Lozada
Ambato – Ecuador
Octubre – Febrero
2016

MATEMATICA FINANCIERA
La matemática financiera como una herramienta cuantitativa es útil en el sector empresarial en
la toma de decisiones de recursos financieros con relación a determinados líneas de crédito y
evalúa y compara económicamente ciertos productos equipos entre otros para lograr decisiones
que relaciones la mejor o mejores posibilidades de inversión
La matemática financiera es una herramienta para evaluar el valor del dinero y el tiempo por
lo cual podrá tomar decisiones en el tiempo y términos económicos sobre la mejor alternativa
de prestamos o inversiones .
Objetivo general: aprender, comprender , y aplicar el conjunto de herramientas financieras que
se utilizan en el análisis , evaluación y tomas de decisiones sobre la conveniencia y la viabilidad
financiera.
Objetivo especifico: conocer sobre el estudio y análisis sobre aquellas operaciones en las que
intervienen el análisis de tiempo .
Formación para definir las diferentes oportunidades de alternativas de inversión y capacitación.
PROBLEMAS DEL TANTO PORCIENTO
El porcentaje o tanto por ciento se ve altamente inversa en muchos de las actividades diarias
que realizamos por lo que es posible aplicarlas a problemas que implican a este caso.
Ejemplos
Un metro de tela cuesta $3.50 a como tengo que venderlo para ganar el 30% del costo.
3.50*0.30=1,50
2.50+1.05=4.55
De los 80 litros que tenia una librería vendió el 45% a 12.50 cada litro , el 75% del resto
a $12.00y el resto a $10 ¿Cuál es el importe total de verdad?
80*0.45=36*12.50=4.50
44*0.75=33*12.00=3.96
11*10.00=1.10
4.50 +3.96+1.10=9.56
REPARTIMIENTO PROPORCIONAL

antecedente
x
a = y b = z c
Consecuente
N
x+g+z
a+b+c =x a
n
a+b+c = y b
n
a+b+c =x a
X= N∗A
a+b+c
Y= n+b
a+b+c
z= n+c
a+b+c
Repartir 650munidades en partes directamente proporcionales en 8, 12, 20, 29, 30, 31
U=
650∗8
8+12+20+29+30+31 =5200
V= 650∗12
130
W= 650∗120
130
= 7800
130 = 60
130 = 40
= 13000
130 = 100 Historia de los números
Se forma cuando el hombre se vio en la necesidad de contar objetos
Se componía con la utilización de dedos, palos. Piedras, marcas
Alfabeto universal del lenguaje de las matemáticas
Sus cuentas eran utilizando diferentes elementos o sistemas , todos según la
cultura
Los animales los compraban con piedras
Utilizaban conchas para contar los animales que mataban durante la caza
Realizaban señales en los huesos del animal o en las piernas para llevar su
recuento de los animales
Los incas utilizaban los quipus
Los egipcios utilizaban diferentes símbolos para representar los números
Los griegos utilizaban números y letras
Los romanos utilizaban un solo sistema de numeración a base de la letras
Los mayas fueron los primeros en desarrollar un sistema de numeración con
cera.

¿QUÉ ES REDONDEAR?
Redondear un número quiere decir reducir el número de cifras manteniendo un valor parecido.
El resultado es menos exacto, pero más fácil de usar.
Ejemplo
¿73 redondeando a la decena mas cercana es 70 porque 73 esta mas cerca del
70 que del 80?
¿Por qué con 5 aumentamos?
1. Piensa en los deportes deben haber la misma cantidad de jugadores en
cada equipo.
2. 0, 1,2,3 y 4 están en el equipo de abajo
3. 5, 6, 7,8 y 9 están en el equipo de arriba
4. El redondear números hace que sea trabajar con ellos mentalmente
5. Los números redondeados son solo aproximados
6. Generalmente no se pueden tener una respuesta aproximada pero que no
necesite ser exacta
7. Utiliza el redondeo para obtener una respuesta aproximada pero que no
necesite ser exacta.
Ejemplo
88 90
74 70
29 30
REDONDEAR A CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Para redondear “tantas2 cifras significativas, solo tienes que contar tantas cifras de derecha o
izquierda y redondear allí.
Ejemplo
1239 1.24
0.0165 0.017
LEYES DE LOS EXPONENTES
Los exponentes se llaman potencias o índices
El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número
Ejemplo

8 2 =8*8= 64
Reglas de los exponentes
Regla 1
Establece que en multiplicación , cuando las bases son iguales , los exponentes
se suman
Ejemplo
2 2 *2 1 =2 2+1 =2 3 =8
Regla 2
Esta regla que cuando un exponente esta afuera y otro adentro del paréntesis estos se
multiplican
Ejemplo
(2 2 ) 3=2 2*3=2 6 =64
Regla 3
Cuando hay un producto con un exponente afuera , el exponente le corresponde a cada termino
Ejemplo
(xy) 5 = x 5 y 5
Regla 4
Cuando hay una división y las bases son iguales los exponentes se restan
Ejemplo
10 5
= 10 2 105-2 =10 3 = 1000
Regla 5
Toda base con exponente cero es =1
Ejemplo
3 0 =1

Regla 6
Esta es la forma de convertir un exponente negativo en positivo
Ejemplo
3 -2 =1/3 2 =1/9
TANTO POR CIENTO
‣ Un tanto por ciento o porcentaje es la cantidad que hay en cada 100 unidades . se
expresa añadiendo a la cantidad el símbolo%
‣ La palabra por ciento significa por cien , como s dividiendo algo por cien
‣ Significa una centésima parte de algo
Cómo hallar el tanto porciento
Para hallar el 24 % o el 8% o cualquier otro porcentaje alguna cantidad , puedes primero hallar
el 1 % de esa cantidad y luego multiplicar el resultado por 24 o 8 u otro número dependiendo
el porcentaje que desee sacar el tanto por ciento.
REPARTO PROPORCIONAL
‣ Es un procedimiento de calculo que permite repartir una cierta cantidad , en partes
proporcionales a otras
‣ Se dice que es reparto es simple cuando las cantidades repartidas , son proporcionales
o simples.
‣ Dependiendo de la relación que exista entre la cantidad a repartir y las partes
proporcionales , el reparto puede ser : simple diverso o simple inverso
Reparto proporcional simple directo
El reparto es directo , cuando a amyor sea el número proporcional ; más le corresponde al
beneficiario o viceversa
Repartir el numero N entre las partes proporcionales a, b, c
Donde estas se le conoce con el nombre de número es proporcionales
Sea x y z ; la cantidad buscando que le corresponde a cada número proporcional
REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE INVERSO
El reparto simple proporcional simple inverso es cuando a medida que es mayor el número
proporcional menor le corresponde en el reparto o viceversa.
Repartir el número “ N” Entre la partes proporcionales a, b,c
a
N
b
C

Donde a, b, c se les conoce con el nombre de números proporcionales
Sea x, y, z la cantidad buscada que le corresponde a cada número proporcional
RAZONES Y PROPORCIONES
Razón: es la comparación de dos magnitudes es decir objeto , personas ,etc. Una raspan
puede venir dada forma de fracción
Proporciones:Una proporción es una igualdad entre dos razones
Relación de correspondencia entre las partes y el todo o entre varias cosas relacionados
entre si en cuanto para formar una ecuación
RAZON
Es la comparación de 2
cantidades mediante operaciones
matemáticas
TIPOS DE RAZON
Si dicha comparación se realiza mediante una sustracción se llama razón aritmética.
Pero si se la realiza mediante una división se la conoce como razón geométrica
Ejemplo
Las edades de Eduardo y rene son de 48 y 12años se observo que:
1. 48-12=36 razón aritmética sustracción que 48 excede con 36 unidades a 12
2. 48/12=4 razón geométrica 48 es a 4 veces 12
Por lo tanto tenemos dos cantidades ay b
a) Antecedente
b) Consecuente

) valor de razón aritmética
k) valor de razón geométrica
PROPORCION
Es la igualdad de dos razones de una misma clase u que tienen el mismo valor
Proporción
Es la igualdad de dos
razones del mismo tipo
Proporcione geométricas: una proporción geométrica es la igualdad de dos razones
aritméticas se obtienen al dividir
Proporciones aritméticas: una proporción aritmética es la igualdad de dos razones aritméticas
o de dos diferentes
Las proporciones aritméticas se pueden representar de dos maneras:

a-b=c-d
a*b/c*d
LOGARITMOS
Etimología: inicialmente Napier llama los números artificiales a los logaritmos
Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un número que indica una proporción (logos)
y el sentido de un número y (a ritmos) significado número .
Definición: el logaritmo es ”el exponente “ por lo cual se expone una base para obtener la
potencia
La base tiene que ser positiva y distinta de 1
Formula:
Logb=x
Log: indica que se va a trabajar con logaritmos
B= esta es la base del sistema
N= este es el argumento
X= logaritmo o exponente hallado
Importancia
Facilitan la resolución de cálculos muy complejos lo que han contribuido enormemente al
avance de los ejercicios
Para medir la magnitud de los terremotos
Sirven para diferentes ramas de la ciencia y la tecnología no solo se usa en la matemática
Características
Precisión para no generar dudas
Simplicidad se puede descomponer en otros
Finitud número de operaciones debe ser infinito
Procedimiento general para resolver problemas
Propiedades de los logaritmos

El logaritmo de la base siempre es 1
El logaritmo de 1 siempre es 0
Logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos
El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del dividendo y el logaritmo divisor
El logaritmo de potencia de exponente fraccionario
Logaritmo de una potencia siempre es igual al producto del exponente por el logaritmo
de la base
Producto de logaritmos recíprocos es igual a la unidad
Reducción de potencias es igual producto de cociente de los exponentes por los
logaritmos de lavase del número en la base de la base .
Si un logaritmo tiene en su base u número una misma potencia es igual al valor de la
potencia
Si base y número es igual de un logaritmo son inversos de números enteros es igual al
logaritmo del números inverso , base inversa
PROGRESIONES ARITMETICAS
Es una sucesión en la cual cada termino se obtiene a partir del anterior sumándole una cantidad
fija que se denomina diferencia de la progresión.
Formula del termino general
An= termino general
A1=valor del termino primero
N= número de términos
D= diferencia
Ejemplo
3, 7,11, 15, 19
3
4
7=3+4
11=3+2.+4
INTERPOLACION DE TERMINOS
Consiste en intercalar varios términos entre dos dados .Los términos hallados se llaman medios
aritméticos
SUMA DE n términos consecutivos
La suma de dos términos equidistantes de dos extremos es siempre la misma.

A1=1n N=30 D=1 sn=?
S30= 30(2+29)
2
S30=465
= 30(31)
2
= 465
PROGRECIONES GEOMETRÍCAS
Razón: es una relación vinario entre magnitudes (es decir objetos , personas, estudiantes,
cucharadas, unidad) generalmente se expresa como a es ab o aib
Sucesión: una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente numerosas ) una detrás de otra
en un cierto orden
Definición: una progresión es una secuencia en la que el elemento se obtiene multiplicando el
elemento anterior por una constante denominada factor de la progresión.
FORMULAS DE UNA PROGRECION GEOMETRICA
U=a*r n-1
Donde
U= es el último termino
A= es le primer termino
R=es la razón
N=es el número de termino
Formulas para calcular el primer termino
A= U/r n.-1
R n-1 =U/a
R= n-1 √U⁄ a
SUMA DE N TERMINOS CONSECUTIVOS DE UNA PROGRECION GEOMETRICA
La suma de sn=a1+a2+a3…….+an de los números primeros términos de progresión geométrica de razón es :
sn =sumo de los términos
a1= representación del primer termino
r= razón
Formula
sn= a1(rn−1)
r−1

Interpolación de medios geométricos
Interpolar medios geométricos entre dos números es formar una progrecion geometrica cuyos
extremos sean los números dados
Interpolar 4 números geométricos entre -7y -224
A=7 U=a*r n-1
n−1
11=-224 R= √ u a
5
N=6 R=√ −224 ⁄
−7
R=2
INTERES SIMPLE
Del mismo modo que se paga un alquiler para disfrutar de la propiedad ajena hay que pagar
una cierta remuneración por el uso del dinero tomado o prestado, esta cantidad que se cancela
por la utilización del dinero ajeno se llama interés; es decir se denomina interés simple cuando
unidamente el capital original produce intereses durante el tiempo completo de la transacción.
Para obtener el interés simple de un capital (C) al interés (I) a la tasa (T) se utilizara la siguiente
expresión
C= Capital
I= Interés
T= Tiempo
Is=C*i*t
DIAS
Is= C∗i∗T
100 360
Is= C∗I∗T
36000
I. Ordinario
Is= C∗I∗T
100 365
Is= C∗I∗T
36500
I:Exacto
MESES
Is= C∗I∗T
100 12
AÑOS
Is= C∗I∗T
1200
Is= C∗I∗T
100 1
Is= C∗I∗T
100

INTERES SIMPLE EXACTO Y ORDINARIO
El interés simple exacto se calcula sobre la base de año 365 (366 año bisiesto)
El interés simple ordinario se calcula con basa al año de 360; el uso del año 360 días simplifica
algunos cálculos sin embargo aumenta el interés cobrado por el acreedor
Ejercicios
Determinar el interés exacto y ordinario sobre 2000 al 5% durante 50 días
Exacto
Is= C∗I∗T
36500
Is= 2000∗5∗50
36500
Is= C∗I∗T
3600
Ordinario
Is= 2000∗5∗50
36000
Hallar el interés simple ordinario del 7% de interés de 5500 a un tiempo de 8 meses
Datos
C=5500 Is= C∗I∗T
1200
I=7%
Is= 5500∗7∗8
1200
T=8 meses Is=25667
M=C+T
M= 5500+256.67
M= 5756.67
S=C(1+I*T)
S= 5500[1+(0.07)( 8 ⁄
12
)]
S=5500[1.047]
S= 5756.67
C= 1200∗Is
I∗T
T= 1200∗Is
C∗I
I= 1200∗Is
C∗T

CALCULO EXACTO Y APROXIMADO
CALCULO EXACTO: Es el número exacto tal y como se lo encuentra en le calendario 366500
CALCULO APROXIMADO: Se lo hace suponiendo que cada mes tiene 30 días
Ejercicios
Determinar el interés exacto y ordinario de $ 2000 al 6% del 20 de abril al 1 de julio del 2015.
I.EXACTO
I.ORDINARIO
a) Is= C∗I∗T
36500
Is= 2000∗6∗72
36500
Is=$23.67
a) Is= C∗I∗T
36000
Is= 2000∗6∗72
36000
Is=$24
FORMA EXACTA
FORMA APROXIMADA
a) Is= C∗I∗T
36500
Is= 2000∗6∗71
36500
Is=$23.34
b) Is= C∗I∗T
36000
Is= 2000∗6∗71
360
Is=$23.67
Comparar el interés simple y ordinario de $6550 al 7% del 15 de marzo del 2014 al 25 de
agosto del mismo año.
Datos
C=6550
I=7%
T=160 días
Is= ?

Is= C∗I∗T
36500
Is= 6550∗7∗160
36500
Is=200.99
Is= C∗I∗T
36000
Is= 650∗7∗166
36000
Is=203.78
ECUACIONES DE VALOR
En ciertos casos es conveniente para un deudor cambiar el conjunto de sus obligaciones por
otro diferente a las primeras. Para efectuar esta operación tanto el deudor como el acreedor
deben estar de acuerdo con la tasa de interés que ha de utilizarse en la nueva transacción y en
la fecha que se llevara a cabo la nueva transacción denominada fecha focal para lo cual se
plantea una nueva ecuación que nos permita conocer el valor restante de las nuevas
obligaciones que deben ser equivalentes a las obligaciones originales al cual se denomina
ecuación de valor.
Para encontrar la ecuación de valor, utilizaremos un diagrama o línea de tiempo para
representar las nuevas obligaciones y utilizaremos las siguientes formas de interés.
S=C(1+I*T)
C= S
1+1∗T
DESPUES
HOY
DESCUENTO SIMPLE
Llamamos descuento simple a la cantidad que se gana ala pagar o comprar de forma anticipada,
una deuda contraída sometida un tanto por ciento y en un tiempo determinado.
DESCUENTO SIMPLE A UNA TASA DE INTERES
Llamado también descuento racional o matemático es el que considera como capital al valor
actual o efectivo del documento .Si consideramos el valor actual (C)de una determinada
cantidad (S) con vencimiento en una fecha posterior ,puede este valor ser interpretado como la
cantidad que descontamos del monto a esta diferencia se lo representa así:
Dr=S-C

Ejemplos
Determinar el descuento racional del día de hoy de 1500 con vencimiento de 9 meses con una
tasa de interés simple al 6%
Dr= 1500-1435
Dr= $64.59
Hallar el descuento racional en una serie de bonos que totalizaron un monto 1200 y que cuyo
vencimiento es dentro de un mes suponiendo una tasa de 9%.
C=
1200
1+(0.09)( 1 ⁄ 12)
C= 1200
10075
C=1191.07
Dr=S-C
Dr=1200-1191.07
Dr=8.93
Determinar el valor al 1 de mayo de un pagaré sin interés de $1500pagados el 15 de junio
suponiendo una tasa de interés simple ¿Cuál es su descuento racional?
S=1500 C=? Dr= ? T=15 I=0.05
C= S
1+I∗T
C=
1500
1+(0.06)( 45 ⁄ 360)
C= 1500
100625
C=1490.68
Dr=S-C
Dr=1500-1490.68
Dr=9.32

DESCUENTO SIMPLE A UNA TASA DE DESCUENTO
Denominado también como descuento bancario o comercial es el caculo considerando como
capital al valor nominal y con el que se define como tasa de descuento es decir el descuento
simple (D) sobre una cantidad (S)por (T) años a la tasa de descuento (d)esta dada por:
C=S(1-D*T)
Dr=S-C
Ejemplos
Hallar el descuento simple comercial sobre una deuda de 1500 con vencimiento en 9 meses a
una tasa de descuento del 6%.Ademas encontrar el valor presente:
S=1500 D=? T=9 meses
D=S*D*T
D=1500*0.06* 9 ⁄
12
D=67.50
C=S(1-D*T)
C=1500[1-(0.06)( 9 ⁄
12
)
C=1500(1-0.95)
C=$1432.50

DESCUENTO EN PAGARÉ
Siendo el pagaré un descuento negociable, puede ser vendido una o más veces antes de su fecha
de vencimiento .Cada uno de los compradores tendrá derecho a descontar el valor del
documento al vencimiento desde la fecha que compras hasta la fecha de vencimiento a la tasa
de descuento acordado.
Ejemplo
Se firma un pagaré de $3000 a 8 meses plazo con una tasa de interés al 4%cuales el valor de
interés en venta de este documento 5 meses antes de su vencimiento si se acuerda a una tasa de
8%?
C=3000 S=C(1*I*T)
T=8meses S=3000(1+0.04* 8 ⁄
12 )
C=S(1*D*T)
C=3080(1(0.08)( 5 ⁄
12
)
C=2977.33
S=3080
D=S*D*T
D=3080*0.08* 5 ⁄
12
D=102,67
Un pagaré por 4760.00 a 240 Días de plazo con un interés de 15% firmado el 98 de Agosto
del 2015 , fue descontado el 15 de febrero el 12% hallar el valor :
C=4760 S=C(1+I*T)
C= 240 días S=4760 (1+0.015* 240 ⁄
360)
I=15 % S=5236
D= 12 % D=S*D*T
S=? D=4760*0.012* 240 ⁄
360
D=7.93

INTERES COMPUESTO
Se refiere al beneficio del capital principal a una tasa de interés durante un cierto perdió de
tiempo, en el cual los intereses los obtenemos cada final de periodo y no se lo retiran sino que
lo añaden al capital principal por lo tanto los intereses ganados se reinvierten .
El capital aumenta periódica y el interés convertible en capital también aumenta durante el
periodo de la transacción (S).
La sume vencida al final de la transacción es conocida como monto compuesto.
La diferencia entre monto compuesto y el capital principal se le conoce como interés
compuesto.
Ic=S-C
El interés simple puede ser convertido o capitalizable anualmente ,trimestralmente
,semestralmente ,mensualmente, bimensual.
El número de veces el interés en un año se conoce como:
Frecuencia de conversión: en problemas que impliquen el interés compuesto tres conceptos son
importantes:
Tasa de interés (I),número de periodo de conversión (N) , capital (C)
Monto compuesto a interés compuesto:
S= monto
C= capital
I=interés generado
N=periodo de tiempo
S=C(1+I) n
VALOR PRESENTE: C=
S
(1+I) N o C=(1+I) n
N=
Log s=log c+ log (1+I) n
Log s =log c+n log(1+I)
Log s- log c= n log (1+I)
N=
log s−log c
log(1+I)

I=
S= C(1+I)
√ s c
n
n
= √(1 + I)
√ s c = 1 + I
n
I= √ s c
-1
S=C(1+I) n
PERIODO DE CAPITALIZACION
Anual (1)
Semestral (2)
Trimestral (4)
Mensual (12)
Bimensual (6)
Ejemplo
Por 6 años al 4 2 1 % convertible semestralmente. Halla I,N,de c.
I= 9⁄ 2 %= 0.045⁄ 2 =0.0225
N= 6 años*2=12 periodos de tiempo
Por 10 años al 7 1 2 % convertible trimestralmente
I= 7 1 2 % = 15⁄ 2
= 75%
100% =0.075=0.01375
4
N=10*4=40 periodo de pago
Del primero de enero de 1960 al primero de julio de 1971al 5% convertible
semestralmente
N=1971-1960 11 07-01 06 1-1 0
I= 5%
100% =0.05 2
=0.025 6 meses/12=0.5
N=11.5*2=23 11+0.5=11.5

Del treinta de septiembre de 1947 al 30 de marzo de 1963al 3%comvertible
mensualmente
N= 1963-1947 15 03-09 06 30 -30 0
I= 35 = 0.03
= 0.02 6 meses
= 0.5
112 12
15+o.5*12=186
Una cierta cantidad es invertida al 8% convertible trimestralmente del 10 de octubre de
1954 al 10 de enero de 1962.Hallar la tasa de interés ,por periodo de conversión y el
número de periodo.
N=1962-1954 7 01-10 3 10-10 0
3 meses
12
= 0.25
I= 8
= 0.08
= 0.02 7,25*4=29
100 4
Acumular $2500 por 6 años al 5% convertible trimestralmente
S=C(1+I) n
I= 0.05
4
= 0.0125 N=6*4=24
S=2500(1+0.0125) 24
S=2500(1.34751)
S=$3368.38
En que tiempo el monto de 2500 será 3500 al 6% convertible trimestralmente
N=
N=
log s−log c
log(1+I)
log 3500−loog 2500
N= 22.6
log (1+0.015)
I= 0.06
4 = 0.015
Hallar el monto compuesto de : $750 por 6 años al4% convertible semestralmente por
logaritmos
S=C(1+I) n
Log s= log c+ log (1+I) n
Log s= log c+ n log (1+I)
Logs=log750+ 12log(1.02)
Log s= 2.9783
S= SHIF log (2.9783)
S= $951.26

A que tasa de nominal convertible mensualmente el monto de 2000 será 2650 en 6 años
n
I= √ s c
72
I= √ 2650
2000
6*12=72
I= 0.0039*100*12=4.7
TASA NOMINAL Y EFECTIVA
Se conoce como tasa nominal, al interés que se capitaliza más de una vez al año. Se
trata de un valor de transferencia utilizada en las operaciones financieras que suele ser
fijado por las autoridades para regular préstamos y depósitos.
Se la representa con la letra (J).
Las tasas efectivas son indicadores que ayudan a los inversionistas y asesores a tomar
la mejor decisión para invertir sus capitales. La tasa de interés ganado en un año se lo
conoce como tasa efectiva anual, representando con la letra (I)
La tasa efectiva en cambio es el interés real que una persona paga en un crédito compra
en un depósito.
FORMULAS
TASA NOMINAL
J=k [ (1+i)-1]
TASA EFECTIVA
J= k[(1+I) 1/k -1]
I=( 1+j
k ) k -1
J= tasa nominal I= tasa efectiva K= periodo de tiempo
Ejercicios
hallar el tipo de interés ,equivalente a una tasa nominal del 6% capitalizable
trimestralmente
I=( 1+j
k )k -1
I=( 1+0.08
4
) 4 -1
I=(1.08243216)-1

I=0.0824*100%
I=8.24
Para una tasa del 19% que se capitaliza cada trimestre. determine la tasa efectiva
anual.
I=( 1+j
k )k -1
I=[( 1+0.19
6
) 6 ]-1
I=(1.0316) 6 -1
I=0.2056*100%
I=20.56%
Hallar la tasa nominal capitalizable trimestralmente equivalente a una tasa de interés
efectivo del 6%.
J=k[(1+I) 1/k -1]
J=4[1+0.06) 1/4 -1]
J=4[(1.06) 1/4 -1]
J=0.0586*100%
J=5.86%
Hallar la tasa nominal convertible mensualmente, equivalente al 6% convertible
semestralmente.
J=k[(1+I) 2/12 -1]
J=2[(1+0.06) 2/12 -1]
J=2(0.00975)
J=0.01951*100
J=1.95%
Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente al 5% convertible semestralmente.
J=k[(1+I) 1/k -1]
J=2[(1+0.05) 2/4 -1]
J=0.094*100%
J=4.94
A que tasa de nominal convertible mensualmente, el monto de $2000 será $2650 en 6
años
S=C(1+I) n
n
I= √ s c
-1

72
I= √ 2650
-1
2000
72
I= √1.325-1
I=(1.003916)-1
I=0.3916*12
I=4.68%
DEPRECIACION DE ACTIVOS
Es la pérdida del valor no recuperado con el valor que sufren los activos y se deben a
diferentes factores que causan su inutilidad, obligando al remplazo de un activo. Al
terminar la vida útil de un activo debe ser reemplazado invirtiéndose para ello un valor
que recibe el nombre de costa de reemplazo .Cuando el activo a dejado de ser útil
siempre conserva un valor ya sea como chatarra o material de desecho este valor
residual recibe el valor de salvamente .Por lo tanto el proceso de deterioro de un bien y
por ende la disminución en la vida útil de un activo será:
Vehículo: 5 años
Maquinaria: 10 años
Edificio: 20 años
Computador: 3 años
Los diferentes métodos ha emplearse en la depreciación de un activo son:
A) Método de línea recta
B) Método por unidades de producción
C) Método de la suma de dígitos
D) Método de la tasa fija
METODO DE LINEA RECTA
Es el más simple y utilizado de los métodos este consiste en que la depreciación anual es la
misma para toda la vida útil de una activo de acuerdo con esto se reservan partes iguales de
modo que al terminar la vida útil del activo se tenga un fondo de reserva que sumando el valor
del salvamento o valor residual.
La fórmula a emplearse en este método es la siguiente:
Depre= Ca−Vr
n
Ca= precio original del activo
Vr= valor residual
N= vida útil de activo

Ejemplos
Se adquirió un activo en $150000con una vida útil de 10 años y un valor residual de 10
%obtenga la depreciación anual y exponga el cuadro de depreciación
Depre= 150000−1500
10
Depre=$ 13500.00
Años Depreciación anual Depreciación Valor contable
acumulada
1 ------------------------ ------------------------- 150000
-
2 13500.00 13500.00 136500.00
3 13500.00 27000.00 123000.00
4 13500.00 40500.00 109500
5 13500.00 54000.00 96000
6 13500.00 67500.00 82500
7 13500.00 81000.00 69000
8 13500.00 94500.00 55500
9 13500.00 108000.00 2850.0
10 13500.00 121500.00 15000
La empresa Andina S.A. desea depreciar una maquinaria en $35000con un valor
residual del 10 %
Depre= Ca−Vr
n
Depre= 35000−3500
10
Depre= 3150
Años Depreciación anual
Depreciación Valor contable
acumulada
0 ------------------------------------------ ------------------------- 35000.00
1 3150 3150 31850.00
2 3150 6300 28700.00
3 3150 9450 25550.00
4 3150 12600 22400.00
5 3150 15750 19250.00
6 3150 18900 16100.00
7 3150 22050 12950.00
8 3150 25200 9800.00
9 3150 28350 6650.00
10 3150 31500 3500.00

MÉTODO POR UNIDADES PRODUCIDAS
Este método es utilizado principalmente para depreciar maquinaria .Determinar la
depreciación de cada periodo basándose en el número de cantidades producidas o el
tiempo trabajado en eses periodo.
En base al ejercicio anterior suponiendo que las unidades son la siguientes.
Año1 480000
Año2 480000
Año3 400000
Año4 390000
Año5 380000
Año6 370000
Año7 360000
Año8 350000
Año9 340000
Año10 330000
Método : alícuota= Ca−Vr
U
Alícuota= 35000−3500
3880
= 0.00818556701
Años
Unidades
producidas
Gastos
depreciación
Depreciación
acumulada
0 35000
1 480000 3896.91 3896.91 31105.09
2 480000 3896.91 7793.82 27206.18
3 400000 3247.42 11041.24 23958.76
4 390000 3166.24 14207.48 20192.52
5 380000 3085.05 17292.53 17703.47
6 370000 3003.87 20296.40 14703.60
7 360000 2922.68 23219.08 11780.82
8 350000 2841.49 26060.57 8939.43
9 340000 2700.31 28820.88 6179.12
10 330000 2679.12 31500.00 3500
3830.000
Valor contable
Una empresa realiza una depreciación de una maquinaria de $100000 su valor
residual es 10% y las unidades producidas distribuidas de la siguiente manera:
1) 150000
2) 149000
3) 130000
4) 125000
5) 120000

6) 115000
7) 110000
8) 105000
9) 100000
10) 950000
Alícuota= CA−Vr
U
Alícuota= 100000−10000
1199000
Alícuota=0.07506255
Años
Unidades Gasto
Depreciación Pago contable
producidas depreciación acumulada
0 100000
1 150000 11259.38 11259.38 88740.62
2 140000 11184.32 22443.70 77556.30
3 130000 9758.13 32201.83 67798.17
4 125000 9382.82 41584.65 58415.35
5 120000 99007.51 50592.16 49407.84
6 115000 8632.19 59224.35 40775.65
7 110000 8256.88 67481.23 32518.77
8 105000 7881.57 75362.80 24637.20
9 100000 7506.26 82869.06 17130.94
10 95000 7130.94 90000.00 10000
METODOS POR SUMA DE DIGITOS
Es más complejo que los anteriores pero es más funcional .E l valor de la depreciación
anual es una cantidad decreciente de cada año de vida útil del activo ,es necesario
calcular con la siguiente formula:
Deprec=Ca − Vr( a b )
Una compañía constructora compró un activo en $240000.calcule la depreciación
anual suponiendo la vida útil de 8 años con un valor de salvamento de $74000.
Deprec=240000-74000( 8 36 )
Deprec=166000( 7 36 )
Vid útil
1+2+3+4+5+6+7+8=36

AÑOS
DEPRECIACIÓN
ANUAL
DEPRECIACIÓN
ACUMULADA
VALOR
CONTABLE
0 ----------------------- ----------------------- 240000.00
-----
-----
1 36888.89 36888.89 203111.11
2 32277.78 69166.67 170833.33
3 27666.67 96833.34 143166.66
4 23055.56 119888.90 120111.10
5 18444.44 13833.34 101666.66
6 13833.33 152166.67 87833.33
7 9222.22 161388.89 78611.11
8 4611.11 166000.00 74000.00
La sociedad limitada adquiere un equipo de computación 2100.00 con una vida útil de
tres años residual del 6%
Dep=2100-126( 3 6 )
Dep=2100-126( 3 6 )
Dep=987
Años Depreciación anual Depreciación Valor contable
acumulada
0 ------------------------- ------------------------- 2100
-----
----
1 987 987.00 1113
2 658 1645.00 455
3 329 1974.00 126
Una cooperativa ha decidido adquirir un barco para la captura de atún ,su costo es de
$575000 y su valor desecho al cobro de 25 años de vida útil esperada será de
$5000.00,aplique el método de suma de dígitos
Deprec=575000-5000( 115
325 )
Deprec=201692.31
25 + 24 + 23 + 22 + 21
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 … … 175 = 115
325

Años Depreciación anual Depreciación Valor contable
acumulada
0 -------------------- ------------------------- 575000.00
1 42092.31 43846.15 531153.85
2 42092.31 85938.46 489001.54
3 40338.46 126276.92 448723.08
4 38584.62 164861.54 410138.46
5 36830.77 201692.31 373307.69
MÉTODO DE TASA FIJA
Consiste en añadir cada año por depreciación un porcentaje fijo del valor con el que asegura el
activo, para hacer el valor en libros decrecientes, al aplicar la hoja la depreciación también
resulta decreciente .es decir se asigna un porcentaje de depreciación para el valor en libros que
había por cada año por el archivo fijo .
En este método aplicamos la siguiente formula:
1−n
D= √ vr
ca
Ejemplo
Obtenga la depreciación anual de un activo que costo $150000 tiene 25000 como valor residual
y 8 años de vida útil, calcule la depreciación acumulada y el cuadro de depreciación.
1−8
D= √ 25000
150000
D= 0.2006608328
Años Depreciación anual Depreciación Valor contable
acumulada
0 ------------------------- ------------------------- 150000.00
----
1 30099.12 30099.12 110900.88
2 24059.41 54158.53 95841.47
3 19231.63 73390.16 76609.84
4 15372.59 88762.75 61237.25
5 12287.92 101050.67 48949.33
6 9822.21 110872.88 39127.12
7 7851.28 118724.16 31275.84
8 6275.84 125000.00 25000.00

ANUALIDADES
Una anualidad es una sucesión de pagos, depósitos o retiros, generalmente iguales que se
realizan en periodos regulares de tiempo con interés compuesto .El término anualidad no
implica que las rentas o pagos tengan que ser anuales, sino que se da a cualquier servicio de
pagos iguales en todos los casos con intervalos regulares de tiempo.
Las anualidades son muy familiares en la vida diaria como: abonos semanales, pagos de rentas
mensuales, sueldos, seguro social, hipotecas, primas de seguro de vida, jubilaciones, entre
otros.
ELEMENTOS DE UNA ANUALIDAD
En una anualidad interviene los siguientes elementos :
Renta: significa que es el pago, deposito, o retiro que se realiza periódicamente.
Renta anual: suma de los pagos hechos en cada año.
Periodo de pago: es el tiempo que transcurre entre un pago a otro.
Tasa: es el tipo de interés que se fija en la operación.
ANUALIDAD ANTICIPADA
Una anualidad anticipada es si los pagos se realizan al comenzar cada periodo , cabe señalar
cualquier anualidad se resuelve aplicando la formula pertinente. El monto de una anualidad
anticipada aplicamos la siguiente formula.
S=R(1+I) (1∗I)
I
− 1 n
Ejercicios
En el banco de Guayaquil, Ricardo tiene una cuenta de ahorros en la cual deposito la
suma de $25.00 al principio de cada año; cuanto tendrá al final de 8 años si el banco le
rreconoce una tasa de interés del 3%.
S=R(1+I) (1+I)n −1
I
S=250(1+0.03) (1+I)8 −1
0.03
S=$2.289.78

Años Renta Interés Incremento de Saldo
valor
0 250 ------------------- ------------------- 250.00
-
-
1 250 7.5 257,50 507.50
2 250 15.23 265.23 772.73
3 250 23.18 273.18 1045.91
4 250 31.37 281.37 1327.28
5 250 39.82 289.82 1617.10
6 250 48.51 298.51 1915.61
7 250 57.47 307.47 2223.08
8 -------------------
--
66.69 -------------------
--
2289.78
La corporación favorita reserve $5600 para crear un fondo para una futura expansión si
este fondo gana el 4%cual será el monto al termino del décimo año.
S=R(1+I) (1+I)n −1
I
S=5600(1+0.04) (1+0.04)10 −1
0.04
S=69923.57
Periodo Renta Interés Incremento de Saldo
valor
0 5600 ------------------- ------------------- 5600.00
-
--
1 5600 224.00 5824.00 11424.00
2 5600 456.96 6056.96 17480.96
3 5600 699.24 6299.24 23780.20
4 5600 951.21 6551.21 30331.41
5 5600 1213.26 6813.26 37144.67
6 5600 1485.79 7085.79 44230.46
7 5600 1769.22 7369.22 51599.68
8 5600 2963.99 7663.99 59263.67
9 5600 2370.55 7970.55 67234.22
10 -------------------
-
2689.37 -------------------
--
69923.54

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
A= R(1+I) 1−(1+I)n
I
Una compañía alquila un terreno de $ 4000 mensuales y propone al propietario debe
pagar el alquiler anual con la tasa del 12% capitalizable mensualmente. Hallar el valor
presente y realizar el cuadro de interpretación
A=R(1+I) 1−(1+I)−n
I
A=4000(1+0.01) 1−(1+0.01)−12
0.01
A= 46470.51
Periodo Renta Interés Disminución de Saldo
valor
0 ------------------ ---------------- --------------- 45470.51
1 4000 ------------------- 4000.00 41470.51
-
2 4000 414.71 3585.29 37885.22
3 4000 378.85 3621.15 34254.07
4 4000 342.64 3657.36 30606.71
5 4000 306.07 3693,93 26912.78
6 4000 269.13 3730.87 23181.91
7 4000 231.82 3768.18 19413.73
8 4000 194.14 3805.86 156607.87
9 4000 156.08 3843.92 11703.95
10 4000 117.64 38882,36 7881.59
11 4000 78.82 3921.18 3960.41
12 4000 39.60 3960.40 0.01
Anualidad vencida
Se puede definir como el valor acumulado de una serie de rentas, cubiertas al final de cada
periodo de pago tomado como fecha focal al término de la anualidad es decir la fecha del
ultimo pago.
S=R= (1+I)n −1
I
Ejemplo
Roberto deposita al final de cada mes $1000.00 al 5% de interés durante 5 meses cuanto
retira al final de 5 mes.
S= R (1+I)n −1
I
S=1000 (1+0.05)5 −1
0.05
S=5525.63125

Periodo Renta Interés Incremento de Saldo
valor
1 1000 ----------------- ------------------ 1000
---
----
2 1000 50 1050 2050
3 1000 102.50 1102.50 3152.50
4 1000 1157.63 1167.63 4310.13
5 1000 1215.51 1215.51 5524.63
Una persona paga un televisor con $100 al final de cada semestre durante 5 años.
S=R 100(1+0.06)10 −1
0.06
S= 1318.08
Periodo Renta Interés Incremento de Saldo
valor
1 100 ------------------- ---------------- 100
2 100 6 106 206
3 100 12.36 112.36 318.36
4 100 19.10 119.10 437.46
5 100 26.25 126.25 563.71
6 100 33.82 133.82 697.53
7 100 41.85 141.85 839.39
8 100 50.36 150.36 989.74
9 100 59.38 159.38 1149.12
10 100 68.95 168.95 1318.07
Juan desea depositar hoy en el banco que paga4% de interés mensual dinero suficiente
para cumplir el pago del alquiler de $500 mensual, cuanto tendrá que producir.
A=R 1−(1+I)−n
I
A=500 1−(1+0.04)−4
0.04
A= 1814,95
Periodo Renta Interés Disminución Saldo
de valor
0 500 ------------------- ------------------ 1814.95
--
1 500 72,814.95 427.40 143.05
2 500 55.601387.55 444.50 943.05
3 500 37.72 462.28 480.77
4 500 19.23 480.77 0000

ANUALIDAD DIFERIDA
En una anualidad diferida existe un contrato de crédito por mutuo acuerdo , el pago de
las rentas empieza después de vencimiento de unen o varios periodos de renta o bien
existen circunstancias que obliguen a que el primer periodo de pago empiecen en fecha
futura , es decir que la fecha inicial de la anualidad no coincide con la fecha del primer
pago, a ese tiempo entre el inicio de una obligación y el inicio de una fecha de pago se
conoce como tiempo diferido .
Una anualidad es aquella cuyo plazo comienza después de transcurrido un periodo de
tiempo
Las formulas a emplearse para hallar el valor presente y futuro de esta anualidad son:
Presente:
A=R(1+I) -k1−(1+I)−n
1
Futuro:
S=R (1+i)n −1
I
Ejercicio
La familia quintana tiene una hija , que dentro de 3 años ingresa a la universidad , es
una auditora estudiante . a la familia quintana , cuando tendrá que depositas hay una
cuenta que produce un interés del 10% si se supone que no perderá ningún curso en el
colegio y la universidad opta una renta anual de $1200.
R R R
R R
K=2
0 1 2 3 4 5 6 7
K=2 N=5
A=R(1+I) -k1−(1+I)−n
I
Valor presente
A=1200(1+0.1) -21−(1+0.1)−5
0.10
R=A*I
A= $3758.69 R= (1+I) -k [1-(1+I) —n ]
Valor futuro
R=35695.64
S=R (1+I)n −1
0.1

S= 1200 (1+0.1)5 −1
0.1
S= $7326.12
Un padre de familia deposita $100000 en un fondo que abona el 6% anual al cumplir
su hijo 10 años con la finalidad de que al cumplir los 18 años pueda retirar cada año
durante 5 años una renta anual que garantice sus estudios universitarios. hallar el
importante que retirara.
R=
R=
A∗I
(1+I) −k [1−(1+I) −n
100000∗0.06
(1+0.06) −7 [1−(1+0.06) −5
R=35635.64
Amortizaciones
La amortización es un término económico y contable, referido al proceso de distribución en el
tiempo de un valor duradero. Adicionalmente se utiliza como sinónimo de depreciación en
cualquiera de sus métodos. Se emplea referido a dos ámbitos diferentes casi opuestos: la
amortización de un activo y la amortización de un pasivo. En ambos casos se trata de un valor,
con una duración que se extiende a varios periodos o ejercicios, para cada uno de los cuales se
calculan una amortización, de modo que se reparte ese valor entre todos los periodos en los que
permanece.
Amortizar es el proceso financiero mediante el cual se extingue, gradualmente, una deuda por
medio de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes.
En las amortizaciones de una deuda, cada pago o cuota que se entrega sirve para pagar los
intereses y reducir el importe de la deuda.
Amortización financiera
Desde el punto de vista financiero, se entiende por amortización, el reembolso gradual de una
deuda. La obligación de devolver un préstamo recibido de un banco es un pasivo, cuyo importe
se va reintegrando en varios pagos diferidos en el tiempo. La parte del capital prestado (o
principal) que se cancela en cada uno de esos pagos es una amortización. Los métodos más
frecuentes para repartir el importe en el tiempo y segregar principal de intereses son el sistema
Francés, Alemán y el Americano. Todos estos métodos son correctos desde el punto de vista
contable y están basados en el concepto de interés compuesto. Las condiciones pactadas al
momento de acordar el préstamo determinan cual de los sistemas se utilizará.
El sistema Francés consiste en determinar una cuota fija. Mediante el cálculo apropiado
del interés compuesto se segrega el principal (que será creciente) de los intereses
(decrecientes).

En el sistema alemán, o sistema de cuota de amortización fija, la amortización de capital
es fija, por lo tanto los intereses y la cuota total serán decrecientes. Se caracteriza porque
el interés se paga de forma anticipada en cada anualidad.
El sistema Americano establece una sola amortización única al final de la vida del
préstamo. A lo largo de la vida del préstamo solo se pagan intereses. Al no haber pagos
intermedios de capital, los intereses anuales son fijos. En si son el contrario de la
depreciación.
Métodos de amortización
Existen varios métodos de cálculo de la amortización, de los activos inmovilizados (cuotas
fijas, crecientes, decrecientes,...). Se trata de técnicas aritméticas para repartir un importe
determinado, el valor a amortizar, en varias cuotas, correspondientes a varios periodos.
Al tratar los diferentes métodos amortizativos debemos hacer referencia de forma previa a
algunos conceptos relativos a las formas de calcular la amortización
Vida útil: la vida útil de un activo es el número de años de duración del mismo.
Base de amortización: es la diferencia entre el valor de adquisición del activo y su valor
residual.
Tipo de amortización: es el porcentaje que se aplica sobre la base amortizable para
calcular la amortización anual.
R=
S∗i
1(1+i) -n
. La vida útil de un cierto equipo industrial que acaba de ser adquirido por una compañía
es de 5 años. Con el fin de reemplazarlo al final de este tiempo, la compañía establece
un fondo de amortización efectuando depósitos anuales en una cuenta bancaria que
paga el 9.6% anual. Si se estima que el equipo costará $ 42,740 , halle el valor del
depósito y elabore la tabla de capitalización Intereses generados $ 677.44

Talleres