Etapa 1 La mecánica y el entorno

2 La Mecánica y el Entorno 

ETAPA 

1 

CINEMÁTICA: 

MOVIMIENTO 

EN UNA DIMENSIÓN 

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Etapa 1 Cinemática: movimiento en una dimensión 3 

CONTENIDO CONCEPTUAL 

• Cantidades escalares y vectoriales 

• Método de componentes para la suma de vectores 

• Movimiento rectilíneo y magnitudes físicas 

relacionadas, como modelo de partícula; sistema de 

referencia, distancia y desplazamiento; tiempo, rapidez 

y velocidad; aceleración, inercia, masa, fuerza y peso. 

• Sistemas de fuerzas en equilibrio y no equilibrio 

• Leyes de Newton 

CONTENIDO PROCEDIMENTAL 

• Identifica magnitudes relacionadas con el movimiento 

TD&IS Training Distribution de and los Integrated cuerpos presentes Servicesen 

su entorno y en la 

naturaleza, y las clasifica como magnitudes escalares 

o vectoriales para manejarlas matemáticamente de 

acuerdo con su categoría. 

• Resuelve problemas teóricos o de la vida cotidiana 

referentes al movimiento de un cuerpo. 

• Aplica modelos matemáticos, gráficos y analíticos. 

• Arma y maneja equipo de práctica de laboratorio. 

• Utiliza instrumentos para realizar mediciones. 

• Elabora e interpreta gráficas a partir de los datos 

obtenidos.


Capítulo 1. Cinemática: movimiento en una dimensión 

Introducción 

En la ciencia de la Física se manejan conceptos que representan hechos, fenómenos 

o situaciones de la naturaleza, las cuales tratamos de analizar numéricamente 

para conocer su comportamiento mediante las llamadas magnitudes 

y cantidades físicas; sin embargo, algunas de esas magnitudes presentan propiedades 

direccionales. Por ejemplo, podemos mencionar el caso de llegar a un 

lugar determinado: para hacerlo, debemos conocer la distancia que es necesario 

recorrer, así como especificar la dirección de este desplazamiento, pues, de no 

ser así, muy probablemente no llegaríamos al destino deseado. En cambio, otras 

magnitudes físicas no poseen este carácter direccional; en este sentido, antes de 

iniciar con el tema central de este capítulo, que es el de la cinemática, haremos 

una clasificación de dichos tipos de cantidades. 

1.1. Magnitudes escalares y vectoriales 

Como TD&IS recordarás, Training en Distribution el curso La ciencia and Integrated del movimiento, Services definimos y trabajamos 

con las magnitudes físicas, las cuales clasificamos como magnitudes fundamentales 

y derivadas. 

En el presente curso veremos otra clasificación de las magnitudes físicas, que se 

establece de acuerdo con la forma de trabajar con las mismas, ya que algunas de 

ellas únicamente tienen propiedades numéricas, pero otras además tienen propiedades 

direccionales. 

Las magnitudes físicas se pueden clasificar como escalares y vectoriales. 

Magnitudes escalares. Se precisan por completo mediante un valor numérico y 

una unidad de medida. Estas no tienen dirección 1 . 

Como ejemplos de magnitudes escalares tenemos la distancia, la rapidez, la masa, el 

tiempo, la temperatura y muchas otras que, con el tiempo, el estudio y la dedicación, 

aprenderás a identificar. 

Magnitudes vectoriales (o simplemente vectores). Se precisan mediante un valor 

numérico, la unidad de medición correspondiente y además una dirección 2 . 

Como ejemplos de magnitudes vectoriales están la velocidad, el desplazamiento, la 

fuerza, el impulso, la aceleración y otras que también podrás identificar a medida 

que profundices en el estudio de esta disciplina científica. 

1 Serway, Jewett, Física para ciencias e ingeniería. Vol 1., 2015, pág. 61. 

2 Serway, Jewett, Física para ciencias e ingeniería. Vol 1., 2015, pág. 61.


Pero, ¿qué tiene que ver la dirección con una magnitud física? En el estudio del 

movimiento de los cuerpos en general es importante establecer las características 

del mismo para predecir matemáticamente sus posiciones en tiempos posteriores, o 

incluso anteriores, a un tiempo llamado inicial. 

Recordemos que la cinemática estudia el movimiento de los cuerpos, es decir, trata 

de establecer sus condiciones de posición, rapidez, velocidad, aceleración y otras 

más a través del tiempo. 

De tal forma que debemos tener en cuenta la dirección de estas magnitudes vectoriales 

para obtener predicciones precisas y verdaderas de estas condiciones. 

Antes de comenzar con el estudio del movimiento en una dimensión, vamos a ver las 

características de los vectores y los métodos para sumarlos, ya que no se suman de 

la misma forma que las cantidades escalares. 

1.2. Características de las magnitudes vectoriales (vectores) 

Como se dijo antes, un vector es una magnitud física con propiedades direccionales 

y se especifica mediante un número, su unidad de medición correspondiente y la dirección 

en la que está orientado. La dirección puede ser un punto cardinal ordinario 

(norte, sur, este, oeste y sus subdivisiones), o bien, puede describirse en términos de 

ángulos sexagesimales. 

Cuando un vector se 

TD&IS 

define de 

Training 

esta forma, 

Distribution 

se dice que está 

and 

en 

Integrated 

su descripción 

Services 

de coordenadas 

polares, como en la figura 1.1. 

Coordenadas polares 

r 

60 o 

eje polar 

Figura 1.1. Coordenadas polares de un vector


Otra forma de representar un vector es por medio de coordenadas rectangulares, en 

donde se especifica su componente x y su componente y en un sistema de ejes perpendiculares, 

como se observa en la figura 1.2. 

Eje y 

(x, y) 

Eje x 

Figura 1.2. Coordenadas rectangulares de un vector 

Por lo regular, en la ciencia de la Física, cuando se tratan las cantidades vectoriales, 

se TD&IS conocen Training sus coordenadas Distribution polares, and es Integrated decir, su valor Services numérico (magnitud) y su 

dirección, esta última expresada normalmente en grados, sin embargo, para efectuar 

alguna operación numérica, como una suma o una resta de vectores, es preciso transformar 

dichas coordenadas polares a coordenadas rectangulares; luego, al obtener 

el resultado de la suma o resta, lo que se conoce como vector resultante, este se 

transforma a coordenadas polares. Veamos cómo es el procedimiento para obtener 

los componentes rectangulares de un vector. 

1.3. Componentes rectangulares de un vector 

(transformación de coordenadas polares a rectangulares) 

Ya se dijo que encontrar las componentes de un vector no es otra cosa que transformar 

sus coordenadas polares en coordenadas rectangulares. Esto se puede realizar 

utilizando la trigonometría. Consideremos el siguiente ejemplo.


EJEMPLO 1.1 

Encontrar las coordenadas rectangulares (componentes) de un vector de velocidad de 25 m/s a 60°. 

Solución 

v = 25 m/s 

θ = 60° 

v x = ? 

v y = ? 

Eje y 

v = 25 m/s 

vy = ? 

v 

vy 

θ = 60 o 

θ 

vx = ? 

Eje x 

vx 

Figura 1.3. 

Observa cómo la magnitud del vector de 25 m/s forma un triángulo rectángulo con la componente v x y con 

la línea punteada que TD&IS une la Training punta de dicha Distribution componente and x con Integrated la punta del Services vector v, tal línea es exactamente 

de la misma magnitud que la componente v y situada sobre el eje y. 

Conociendo el valor numérico del vector y su dirección, podemos utilizar las funciones trigonométricas 

básicas para calcular de la siguiente manera las componentes rectangulares del mismo: 

Por lo tanto, si despejamos las componentes x y y de las ecuaciones de coseno y seno del ángulo θ, tenemos: 

Estas son las fórmulas que utilizaremos para encontrar las componentes que buscamos. Ahora, sustituimos 

los datos de magnitud y dirección, quedando como sigue:


Es decir, el vector velocidad de 25 m/s, cuya dirección es de 60°, tiene una componente rectangular correspondiente 

al eje x, o eje horizontal, cuya magnitud es de 12.5 m/s; y además una componente correspondiente al 

eje y, o eje vertical, cuya magnitud es de 21.65 m/s. 

Eje y 

(12.5 m/s, 21.65 m/s) 

v = 25 m/s 

vy = 21.654 m/s 

θ = 60 o 

vx = 12.5 m/s 

Eje x 

Figura 1.4. 

Anteriormente hemos visto el procedimiento para obtener las coordenadas rectangulares de un vector a partir 

de sus coordenadas polares. Ahora, un vector puede tener cualquier dirección: desde 0° hasta 360°. Dichas direcciones 

se toman como punto de partida desde 0°, que es un ángulo que coincide con la parte positiva del eje 

x en el sistema de coordenadas TD&IS rectangulares Training Distribution o cartesianas. A and partir Integrated de ahí, en contrasentido Services a las manecillas 

de un reloj, los ángulos o direcciones del vector van aumentando, pasando por los 90°, 180°, 270° y llegando 

finalmente hasta los 360°; de tal forma que el sistema de coordenadas queda seccionado en cuatro regiones 

conocidas como cuadrantes, como se observa en la figura 1.5. 

Eje y 

Cuadrante II 

Cuadrante I 

Eje x 

Cuadrante III 

Cuadrante IV 

Figura 1.5. Cuadrantes de un sistema de coordenadas rectangulares 

Como se puede observar, los signos de los componentes rectangulares dependen de la dirección que tenga 

un vector. Para que practiques estas transformaciones de coordenadas, te sugerimos que resuelvas los siguientes 

ejercicios.


■ Actividad 1 Transformación de coordenadas polares a rectangulares 

Transforma las coordenadas polares de los siguientes vectores a coordenadas rectangulares (te sugerimos que 

en tu cuaderno elabores la representación gráfica de estos ejercicios). 

Núm. Vector Componente x Componente y Cuadrante 

1 340 m/s a 98° 

2 1920 N a 320° 

3 2.8 km/h a 40° 

4 15 m/s 2 a 215° 

5 75 N a 239° 

6 5.4 m/s 2 a 270° 

7 590 m/s al SE 

8 945 dinas al O 

Veamos ahora el procedimiento para convertir coordenadas rectangulares a coordenadas polares. 

1.4. Componentes polares de un vector 

(transformación de coordenadas rectangulares a polares) 

TD&IS Training Distribution and Integrated Services 

El caso inverso a transformar las coordenadas de un vector de rectangulares a polares, 

considera la utilización de una herramienta matemática muy empleada en la 

resolución de triángulos rectángulos que seguramente ya conoces. Se trata del conocido 

Teorema de Pitágoras, el cual establece lo siguiente: “La suma de los cuadrados 

de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa”. 

En el caso de los triángulos rectángulos, se les llama catetos a los lados que forman 

el ángulo recto del triángulo; y el otro lado, que es el mayor de los tres, es la hipotenusa. 

Observa la figura 1.6. 

Hipotenusa 

Cateto 

θ 

90 o 

Cateto 

Figura 1.6. Triángulo rectángulo y sus lados


Luego, escribiendo el enunciado del teorema en forma matemática, tenemos la siguiente 

fórmula: 

Además, los catetos toman diferentes nombres, que dependen del ángulo formado 

por alguno de ellos y la hipotenusa. Se le llama cateto adyacente al lado del triángulo 

que es parte de un ángulo formado por esta y la hipotenusa, y cateto opuesto al que 

se encuentra frente a dicho ángulo. Observa la figura 1.7. 

θ 

Hipotenusa 

Cateto opuesto 

Hipotenusa 

Cateto adyacente 

θ 

Cateto adyacente 

Cateto opuesto 


Figura 1.7. 

Es muy importante que sepas identificar los catetos opuesto y adyacente observando 

el ángulo correspondiente. 

Una vez que hemos recordado estos conceptos del triángulo rectángulo, podemos 

realizar las transformaciones de coordenadas rectangulares a polares. Veamos el siguiente 

ejemplo con atención. 

EJEMPLO 1.2 

Encuentra las coordenadas polares de un vector cuyas componentes rectangulares son v x = 96 N y v y = 72 N. 

Solución 

Tenemos las componentes rectangulares de un vector, es decir, conocemos sus coordenadas rectangulares. 

Datos: 

v x = 96 N 

v y = 72 N 

Ahora, deseamos conocer sus coordenadas polares, esto es, la magnitud del vector; para ello, aplicamos el teorema 

de Pitágoras tomando como catetos las componentes del mismo y adaptando la expresión del teorema a la 

simbología de vectores, es decir:


Sacando raíz cuadrada, obtenemos nuestro vector: 

Sin embargo, recordemos que un vector tiene dirección, la cual podremos obtener aplicando la trigonometría; 

en este caso, con la función tangente: 

En este caso, lo que deseamos conocer es la dirección, es decir, el ángulo θ, por tanto, se despeja de la expresión 

anterior: 

Entonces, se sustituyen TD&IS en la Training expresión Distribution anterior los valores and Integrated de las componentes Services x y y del vector: 

Con esto, ya hemos completado la transformación de coordenadas. Esto es, un vector cuyas coordenadas 

rectangulares son las siguientes: 

v x = 96 N y v y = 72 N 

Corresponde a un vector cuyas coordenadas polares son… 

v = 120 N a 36.86° 

Es el mismo vector expresado en sistemas de coordenadas diferentes. Te toca ahora practicar algunas transformaciones 

de coordenadas rectangulares a polares.


■ Actividad 2 Transformación de coordenadas rectangulares a polares 

De la misma forma que la actividad anterior, transforma las coordenadas rectangulares de los siguientes vectores 

a coordenadas polares. Te sugerimos dibujar la representación gráfica de estos ejercicios en tu cuaderno. 

Núm. Componente x (v x ) Componente y (v y ) 

1 -48 m/s -26 m/s 

2 230 km/h -150 km/h 

3 -64 N 86 N 

4 76 m 98 m 

5 -150 km/h -50 km/h 

6 2000 N -3000 N 

7 -33 m/s 29 m/s 

8 340 km 340 km 

Vector 

(magnitud y dirección) 

Cuadrante 

Veamos ahora el método de las componentes para la suma de vectores. 

1.5. Método de las componentes para la suma de vectores 

Las cantidades escalares no se suman o restan de la misma forma que las cantidades 


vectoriales. Para la suma o resta de estas últimas, se requiere de un procedimiento que 

toma en cuenta la dirección de los vectores para llegar al resultado correcto, comúnmente 

llamado vector resultante. 

Existen varias formas de sumar vectores, un par de ejemplos son los métodos gráficos, 

como el del triángulo o el del polígono, que seguramente conociste en la escuela 

secundaria. También existen métodos analíticos, los cuales requieren del uso de 

fórmulas y cálculos matemáticos para llegar al resultado. Nosotros nos enfocaremos 

a la descripción y aplicación del método analítico, denominado método de las componentes, 

con el cual podrás sumar cualquier cantidad de vectores. Recuerda que en 

la Física se trabaja con muchas cantidades vectoriales, por lo que es importante que 

conozcas esta forma de análisis vectorial. 

Pasos del método de las componentes: 

1. Transformar las coordenadas polares de cada uno de los vectores a coordenadas 

rectangulares, es decir, obtener con las siguientes fórmulas las componentes x y 

y de cada uno de los vectores:


2. Obtener las sumatorias de las componentes x y y con las siguientes fórmulas: 

3. Es preciso mencionar que las sumatorias de las componentes x y y obtenidas 

en el paso anterior son las componentes o coordenadas rectangulares del vector 

suma o resultante y, para obtener su magnitud, se combinan mediante el teorema 

de Pitágoras con la siguiente expresión: 

4. Una vez que hemos obtenido la magnitud del vector resultante, procedemos a 

calcular su dirección mediante la función tangente: 

Nota: en estas fórmulas utilizamos la letra v de forma genérica para representar 

cualquier vector, sin embargo, al realizar ejercicios o resolver problemas, es común 

utilizar otras letras como TD&IS la F Training para representar Distribution fuerzas, and w para Integrated representar Services pesos, a 

para representar aceleraciones, etc. Esto no modifica la esencia ni la estructura de las 

fórmulas, únicamente cambian los símbolos. 

Enseguida, resolveremos algunos ejemplos de sumas de vectores utilizando este método; 

analízalos detenidamente para que los comprendas perfectamente y puedas 

resolver algunos ejercicios posteriores. 

EJEMPLO 1.3 

Encuentra el vector resultante y su dirección de acuerdo con el siguiente sistema de vectores: 

F 1 = 65 N a Ɵ 1 = 30° 

F 2 = 70 N a Ɵ 2 = 135° 

F 3 = 50 N a Ɵ 3 = 270° 

Incógnitas: F R y Ɵ R 

Utilizaremos el método de las componentes descrito anteriormente:


1. Como una forma de visualizar el sistema de vectores, es conveniente realizar una representación gráfica 

de los mismos (figura 1.8): 

y 

F2 

F1 

270 o 135 o 30 o 

x 

F3 

Figura 1.8 

2. Utilicemos las fórmulas para obtener las componentes rectangulares de cada uno de los vectores: 

Fx = F cos θ 

Fy = F cos θ 

F 1x = 65 N cos30° = 56.3 N 


F 1y = 65 N sen30° = 32.5 N 

F 2x = 70 N cos135° = - 49.5 N 

F 2y = 70 N sen135° = 49.5 N 

F 3x = 50 N cos270° = 0 N 

F 3y = 50 N sen270° = - 50 N 

3. A continuación, se suman las componentes x para obtener (∑F x ) y las componentes y para encontrar (∑F y ). 

∑Fx = 56.3 N – 49.5 N + 0 = 6.8 N 

∑Fy = 32.5 N + 49.5 N – 50 N = 32 N 

4. Para determinar la magnitud de la resultante, se utiliza el teorema de Pitágoras.


5. Para determinar la dirección de la resultante, se utiliza la función tangente: 

6. Por lo tanto, nuestro vector resultante sería el siguiente: 

F R = 32.7 N con una dirección θ = 78° 

7. Por último, para observar gráficamente el vector resultante, utilizamos los valores de las sumatorias (∑F x y 

∑F y ) y realizamos la gráfica correspondiente (figura 1.9). 

y 

∑Fy 

FR 


∑Fx 

θ 

x 

Figura 1.9 

EJEMPLO 1.4 

Con los siguientes datos, encuentra la fuerza resultante del siguiente sistema de fuerzas. 

F 1 = 80 N a 45° 

F 2 = 70 N a 120° 

F 3 = 90 N a 210°


De nuevo, las incógnitas que se desea calcular son F R y θ R . 

Pasos que debemos seguir para la solución del problema: 

1. Dibujamos una representación gráfica del sistema de vectores: 

y 

F2 

F1 

120 o 

210 o 45 o 

x 

F3 

Figura 1.10 

2. A diferencia del ejemplo 1.3, ahora vamos a utilizar una tabla para acomodar los datos y operaciones para 

obtener las componentes x y y de cada uno de los vectores. 

Fuerza (F) Ángulo (θ) Fx = Fcos (θ) Fy = Fsen (θ) 


F 1 = 80 N θ 1 = 45̊ 80 N cos 45̊ = 56.56 N 80 N sen 45̊ = 56.56 N 

F 2 = 70 N θ 2 = 120̊ 70 N cos 120̊ = -35 N 70 N sen 120̊ = 60.6 N 

F 3 = 90 N θ 3 = 210̊ 90 N cos 210̊ = -77.9 N 90 N sen 210̊ = -45 N 

∑F x = -56.3 N 

∑F y = 72.1 N 

3. Con los resultados de las sumatorias (ΣFx y ΣFy), realizamos los cálculos correspondientes para determinar 

la magnitud de la fuerza resultante mediante el teorema de Pitágoras. 

4. Calculemos ahora la dirección de la fuerza resultante:


5. Ubiquemos el vector resultante en el sistema de coordenadas y determinemos el ángulo resultante respecto 

al eje x (figura 1.11). 

y 

FR 

∑Fy 

θ 

α 

x 

∑Fx 

Figura 1.11 

Como se puede observar, el vector resultante queda en el segundo cuadrante; y sabemos que… 

θ R = 180 - θ 

θ R = 180 - 52° = 128° 


6. Concluimos, entonces, que en el problema, expresando la fuerza resultante será… 

F R = 91.47 N con una dirección θ R = 128°


■ Actividad 3 Suma de vectores, método de las componentes 

Utilizando el método de las componentes, suma los siguientes vectores y encuentra 

el vector resultante: 

1. F 1 = 68 N a 100° F 2 = 70 N a 30° F 3 = 40 N a 320° 

a) Fuerza F Ángulo (θ) Fx = Fcos(θ) Fy = F sen(θ) 

F 1 = 

F 2 = 

F 3 = 

∑F x = ∑F y = 

b) Teorema de Pitágoras: 

c) 

d) Representación gráfica: 

TD&IS e) Vector Training resultante: Distribution and Integrated Services 

2. F 1 = 120 N a 75° F 2 = 80 N a 130° F 3 = 400 N a 220° 


F 1 = 

F 2 = 

F 3 = 

∑F x = ∑F y = 


c) 


e) Vector resultante:


3. F 1 = 190 N a 200° F 2 = 270 N a 330° F 3 = 40 N a 20° 


F 1 = 

F 2 = 

F 3 = 

∑F x = ∑F y = 


c) 


e) Vector resultante: 

4. F 1 = 30 N a 150° F 2 = 370 N a 80° F 3 = 470 N a 220° 



F 1 = 

F 2 = 

F 3 = 

∑F x = ∑F y = 


c) 


e) Vector resultante:


Con esto concluimos el tema de vectores, en el cual vimos cómo expresarlos en coordenadas 

polares y en coordenadas rectangulares, además del método de las componentes 

para efectuar sumas de vectores. El conocimiento y dominio de este método es importante, 

en particular cuando analizamos el movimiento en dos o tres dimensiones, puesto que 

las magnitudes vectoriales tendrán sus componentes en cada una de esas dimensiones. 

Vamos ahora a continuar el desarrollo de esta etapa profundizando en el tema del 

análisis del movimiento en una dimensión, siguiendo la línea temática trazada desde 

la unidad de aprendizaje “La ciencia del movimiento” del segundo semestre. 

1.6. Movimiento en una dimensión 

Después de haber conceptualizado las magnitudes básicas de la cinemática, estamos 

en condiciones de analizar el movimiento de los cuerpos en una dimensión. 

Al hablar de movimiento en una dimensión, nos referimos al movimiento que tiene 

un cuerpo cuando su trayectoria es una línea recta. También se le conoce como movimiento 

rectilíneo. 

Nos remitiremos, en el caso del movimiento acelerado, al análisis de situaciones con 

aceleración constante, ya sea en el plano horizontal o en el plano vertical. 

Algunos autores hacen una distinción del movimiento rectilíneo en dos tipos, a saber: 

1. El movimiento rectilíneo uniforme, aquel en el que el cuerpo se mueve a velocidad 

y rapidez Training constantes; Distribution y and Integrated TD&IS Services 

2. El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, aquel en el que el cuerpo se 

mueve en línea recta con aceleración constante. 

Sin embargo, pensamos que dicha distinción o clasificación es innecesaria, puesto 

que la esencia de la Física es describir y explicar la mayor cantidad de hechos con 

la menor cantidad de leyes o modelos matemáticos. La forma en que vamos a tratar 

este tema resulta mucho más accesible a la comprensión y el entendimiento del estudiante 

de nivel medio superior. 

1.6.1. Posición, distancia y desplazamiento en una dimensión 

Para determinar la posición de un cuerpo, nuestro sistema de referencia será un 

eje (horizontal o vertical) con divisiones que representen los valores de distancia a 

partir del origen de dicho sistema; es decir, un eje de coordenadas, como se muestra 

en la figura 1.12. 

-5 

-4 

-3 

-2 

-1 

0 1 2 3 4 5 

Figura 1.12


En dicho sistema de referencia, el cuerpo ocupará diferentes posiciones durante el 

movimiento, pero debemos indicar cuál es la posición inicial y cuál es la posición 

final. Ten en cuenta que dichas posiciones pueden estar en cualquiera de los puntos 

del eje de coordenadas: en el origen (posición 0), en el lado positivo o en el negativo. 

Recuerda también que estamos representando distancias o desplazamientos de 

un objeto, que se miden en unidades de longitud como metros o centímetros, por 

mencionar solo algunos. 

EJEMPLO 1.5 

Un muchacho monta su patineta cuando se encuentra a 45 m a la izquierda de su casa y luego se mueve en 

línea recta hasta llegar a un punto situado a 20 m a la derecha de su casa. 

¿Qué distancia recorrió? ¿Cuánto se desplazó? 

CASA 


-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 

Posición en metros con respecto a la casa 

Solución 

Figura 1.13 

Datos: 

Posición inicial: x i 

= -45 m (45 m a la izquierda de la casa) 

Posición final: x f = 20 m (20 m a la derecha de la casa) 

¿Cómo lo vamos a resolver? Para calcular la distancia recorrida, vamos a obtener la diferencia entre la 

posición final y la posición inicial de la siguiente manera: 

Distancia recorrida = x f - x i 

Distancia recorrida = 20 m - (- 45 m) 

Distancia recorrida = 65 m


Para encontrar el desplazamiento, calculamos la diferencia entre la posición final y la posición inicial, teniendo 

en cuenta la dirección del movimiento: 

Desplazamiento = 

Desplazamiento = 20 m - ( -45 m) 

Desplazamiento = 65 m hacia la derecha 

Interpretación del resultado: 

Observa que, al considerar que el movimiento sigue una trayectoria recta, el valor de la distancia recorrida 

coincide con la magnitud del desplazamiento. Esto se cumplirá siempre, aun en movimientos a intervalos, 

con la condición de que sean todos en la misma dirección. En este caso, tuvimos que la distancia recorrida 

fue de 65 m y el desplazamiento fue de 65 m hacia la derecha de su posición inicial. 

Como ya vimos en temas anteriores, se utiliza el símbolo ∆ (delta) para representar un cambio, incremento 

o diferencia entre una cantidad final y una cantidad inicial. También podemos utilizar ese símbolo para representar 

la distancia recorrida o el desplazamiento: 

∆ x = distancia recorrida = x f - x i 

∆ x = desplazamiento = 

Sin embargo, en muchas ocasiones se tiene que la posición inicial del cuerpo bajo análisis está en el origen 

del sistema de coordenadas TD&IS (x i = 0). Training Cuando eso Distribution sucede: and Integrated Services 

∆ x = distancia recorrida = x f 

y 

∆ x = desplazamiento = 

1.7. Ecuaciones del movimiento rectilíneo 

Cuando se analiza el movimiento de un objeto en una dimensión, el problema fundamental 

consiste en determinar, a partir de su posición inicial, la posición o posiciones 

en el futuro. Para resolverlo, se requiere de la comprensión y el manejo de las 

siguientes variables: 

x i = posición inicial 

x f = posición final 

v i = velocidad inicial 

v f = velocidad final 

a = aceleración 

t = intervalo que transcurre en el cambio de posición


Todos los cálculos que tienen que ver con las variables que describen dicho movimiento 

se pueden hacer con las siguientes dos ecuaciones, que tomaremos como 

base; posteriormente, veremos de dónde proceden: 

1. Ecuación de la posición 

2. Ecuación de la velocidad 

(ecuación 1) 

(ecuación 2) 

Debes desarrollar la capacidad de interpretar los datos con que cuentas y aplicar 

las ecuaciones anteriores de acuerdo con dichos datos. Se pueden reconocer algunos 

casos comunes, a saber: 

• cuando el cuerpo parte del origen del sistema de coordenadas (x i = 0), 

• cuando el cuerpo parte del reposo, la velocidad inicial es cero (v i = 0), 

• cuando la velocidad es constante (a = 0). 

Veamos algunos ejemplos. 

EJEMPLO 1.6 


Un conductor viaja a una velocidad constante de 43.2 km/h al pasar por un crucero (x i = 0), y a partir de ahí 

sigue conduciendo en línea recta durante dos minutos más. ¿Cuál es su posición respecto al crucero al final 

de ese tiempo? 

Solución 

¿Qué tenemos que hacer? Determinar la posición del automovilista respecto al crucero al término de 

2 minutos. 

¿Cómo lo vamos a resolver? Aplicando la ecuación de la posición, considerando que se mueve a velocidad 

constante durante 2 minutos. 

Datos: 

x i 

= 0 

v i 

= 43.2 km/h 

a = 0 

Incógnita: 

x f = ? 

t = 2 minutos


Antes de aplicar la ecuación del movimiento, tenemos que transformar todos los datos a unidades consistentes, 

es decir, a unidades del Sistema Internacional de Unidades (SI); en este caso, la velocidad y el tiempo: 

Ahora, aplicamos la ecuación de la posición (ecuación 1): 

En este ejemplo, la posición inicial es x i = 0. Como el automovilista viaja a velocidad constante, la aceleración 

es igual a cero (a = 0); entonces, sustituyendo los datos, tenemos que… 

x f = 1440 m con respecto al crucero 


En este ejercicio, estamos ante un caso de movimiento rectilíneo con velocidad constante y el automovilista 

avanzó casi un kilómetro y medio en esos dos minutos de tiempo transcurrido. 


EJEMPLO 1.7 

Un lanzador arroja la bola con una rapidez de 95 mi/h al receptor que se encuentra a 18 m del home. 

¿Cuánto tarda la bola en llegar al receptor? 

Solución 

¿Qué tenemos que hacer? Calcular el tiempo que viaja la bola de béisbol desde que el lanzador la arroja 

hasta que el receptor la atrapa. 

¿Cómo lo vamos a resolver? Aplicando la ecuación de la posición, considerando que la bola se mueve a 

velocidad constante, es decir, aceleración igual a cero, y tomando la posición del lanzador como x i = 0. 

Datos: 

x i = 0 

v i = 95 mi/h 

x f = 18 m 

a = 0 

Incógnita: 

t = ?


Al igual que en el ejemplo anterior, tenemos que transformar los datos a unidades del SI; en este caso, solamente 

la velocidad de la bola: 

Aplicamos la ecuación de la posición (6). En este ejercicio es más conveniente simplificarla antes de sustituir 

los datos, como se ve enseguida. 

Como x i = 0 y a = 0, se eliminan el primero y el último término, y tenemos que… 

y despejando el tiempo, nos queda… 

Sustituimos los datos en la ecuación despejada: 



Al simplificar la ecuación de posición, nos queda una expresión que matemáticamente es muy sencilla 

de utilizar para despejar la incógnita (el tiempo). El resultado es lógico, dado que la velocidad es alta y la 

distancia que debe recorrer la bola es pequeña. Por lo tanto, esta tarda menos de medio segundo en llegar al 

receptor. Si el bateador no reacciona a tiempo, le marcarían probablemente un strike. 

Directrices que te ayudarán a dar solución a los problemas: 

• Identifica todos los datos que tengas (las unidades de medida te darán buena idea 

de lo que representan). 

• Un dibujo de la situación que el ejercicio plantea es de gran ayuda para encontrar 

la solución. 

• Convierte los datos a unidades de un solo sistema de medida. El más utilizado es 

el Sistema Internacional (SI). 

• Si lo que vas a calcular es la posición final (x f ) o la velocidad final (v f ), es mejor 

que trabajes con las ecuaciones completas y sustituyas todos los datos en ellas 

para luego realizar las operaciones necesarias y obtener el resultado (o incógnita). 

Si lo que vas a calcular es alguna de las variables que se encuentran en el 

miembro derecho de alguna de las dos ecuaciones, es más conveniente simplifi-


carla primero, realizar el despeje de la incógnita correspondiente y, hecho esto, 

sustituir los datos que tengas en la o las ecuaciones ya despejadas. 

• Nunca olvides que en Física los datos numéricos representan cantidades físicas 

concretas; por lo tanto, los resultados que obtengas también tienen una representación 

real que debe incluir sus unidades de medición. Si vas a calcular la 

posición, el resultado debe expresarse en unidades de longitud. Si vas a calcular 

rapidez o velocidad, el resultado debe estar en unidades de velocidad; y así debes 

hacerlo con las demás variables de la cinemática, como el tiempo, la aceleración 

y la velocidad final. 

• Haz una interpretación de los resultados; es decir, que las cantidades que obtengas 

sean lógicamente correctas aplicando el sentido común. 

EJEMPLO 1.8 

En las Olimpiadas de Londres 2012, el corredor jamaiquino Usain Bolt 

rompió el récord de velocidad en los 100 m planos con un tiempo de 9.58 

segundos. Considerando que partió del reposo, contesta lo siguiente: 

a) ¿Cuál fue su aceleración? 

b) ¿A qué velocidad cruzó la meta? 

Solución 


En este caso, la posición inicial es cero. Consideramos que el corredor tuvo una aceleración constante 

durante toda la carrera (lo cual es una simplificación para resolver este ejemplo, pues, en realidad, la aceleración 

difícilmente es constante en este tipo de competencias). 

¿Qué tenemos que hacer? Calcular la aceleración del corredor y la velocidad final. 

¿Cómo lo vamos a resolver? Aplicando las ecuaciones de la posición (ecuación 1) y de la velocidad 

(ecuación 2). 

Datos: 

x i = 0 

v i = 0 

x f = 100 m 

t = 9.58 s 

Incógnitas: 

a = ? 

v f = ?


Para obtener el valor de la aceleración, aplicamos la ecuación de la posición, ya que contamos con los datos 

necesarios: posición inicial, velocidad inicial, posición final y tiempo. La simplificamos antes de sustituir 

los datos y eliminamos el primero y el segundo términos, ya que tienen un valor de cero. 

x 

1 

f 

= x i 

+ v t + at 2 

i 2 

x f 

= 1 at 2 

2 

Luego, se despeja la aceleración de la ecuación simplificada, quedando… 

a = 2x f 

t 2 

Y ahora se sustituyen los datos en la ecuación despejada: 

Para obtener la velocidad a la que Bolt cruzó la meta, aplicamos ahora la ecuación de la velocidad (ecuación 

2) y sustituimos datos: 


Interpretación de los resultados: 

El resultado de la aceleración nos indica que el corredor Usain Bolt cambió la magnitud de su velocidad en 

2.18 m/s durante cada uno de los 9.58 s que duró la carrera, de tal manera que él ya había alcanzado una 

velocidad de 20.88 m/s al cruzar la meta.


EJEMPLO 1.9 

Un avión comercial aterriza a una velocidad de 150 km/h y tarda 1.4 minutos en llegar al reposo total. 

Considerando que la aceleración (desaceleración) es constante, responde lo siguiente: 

a) ¿Cuál fue su desaceleración? 

b) ¿Qué distancia recorrió desde que tocó tierra hasta que se detuvo? 

Solución 

¿Qué vamos a hacer? Calcular la aceleración del avión y la distancia que recorre desde que toca tierra hasta 

detenerse (posición final). 

¿Cómo lo vamos a resolver? Aplicando las ecuaciones de la posición (ecuación 1) y de la velocidad (ecuación 

2), considerando como posición inicial el punto donde el avión tocó tierra (x i = 0) y como posición final 

la distancia a la que se detuvo (x f ). 

Datos: 

x i = 0 

v i = 150 km/h 

t = 1.4 minutos 

v f = 0 

Incógnitas: 


a = ? 

x f = ? 

De nuevo, convertimos los datos (la velocidad inicial y el tiempo) a unidades consistentes: 

En este ejercicio aplicamos, primero, la ecuación de la velocidad para calcular la aceleración, ya que contamos 

con los datos necesarios (v i , v f y t). Cuando despejamos la aceleración de la fórmula, queda de la 

siguiente manera:


Ahora, se sustituyen los datos en la ecuación: 

Luego, aplicamos la ecuación de la posición y sustituimos los datos para encontrar la posición final: 

Interpretación de los resultados: 

Como vemos, este es un caso de movimiento “retardado”, es decir, aquel cuya aceleración es negativa, ya 

que el avión, al aterrizar, emplea los frenos para disminuir su velocidad hasta llegar al estado de reposo, 

recorriendo para ello 

TD&IS 

un total 

Training 

de 1771.56 

Distribution 

m. 

and Integrated Services 

■ Actividad 4 Movimiento en una dimensión 

I. Investiga en otros libros de Física o en internet lo que en la cinemática representan 

los siguientes casos de combinaciones de los vectores de velocidad y 

aceleración. Menciona un ejemplo de la vida diaria para cada uno de ellos. 

v 

a 

v 

a 

v 

a 

v 

a


II. En equipos de tres personas, resuelvan los siguientes ejercicios usando las dos 

ecuaciones de la cinemática; para ello, es necesario asignar roles que sirvan de 

guía a los integrantes. Se busca que sean grupos heterogéneos en conocimiento, 

en los que sus miembros se apoyen mutuamente. Recuerden aplicar las ecuaciones 

de la cinemática. 

1. Un cohete sale disparado verticalmente desde la plataforma de lanzamiento hacia 

arriba con una aceleración neta de 20 m/s 2 . Si la atmósfera tiene un espesor 

aproximado de 100 km, y considerando que la aceleración sea constante… 

a) ¿cuál es el tiempo que le toma al cohete abandonar la atmósfera? 

b) ¿qué velocidad alcanza el cohete en ese momento? 

2. La ficha técnica del automóvil Golf GTI de última generación establece que 

tiene una aceleración de 0 a 100 km/h en 6.2 s. 

a) ¿Cuál es su aceleración expresada en m/s 2 ? 

b) ¿Cuál es la distancia que recorre el auto en el tiempo en que acelera de 

0 a 100 km/h? 

3. Una camioneta sin tapa trasera en la caja avanza con una velocidad de 60 

km/h sobre una calle recta y, al pasar por un bache, deja caer un bulto que 

transportaba en la caja. El bulto tarda 4 s en detenerse. Calcula… 

a) la aceleración (desaceleración) del bulto. 

b) la distancia recorrida por el bulto desde que cayó hasta que se detuvo. 


4. Desde un avión que se encuentra a 10000 pies de altura, se suelta una caja 

con suministros para una aldea. El paracaídas tarda 8 s en abrir y desciende 

a velocidad constante hasta llegar al suelo. Suponiendo que la aceleración 

al saltar es de 10 m/s 2 y que se mueve en línea recta verticalmente hacia 

abajo sin resistencia del aire, determina lo siguiente: 

a) La velocidad que alcanza la caja en el momento en que se abre el paracaídas. 

b) La distancia que recorre en ese lapso de tiempo. 

c) El tiempo que tarda en llegar al suelo desde que se lanzó del avión. 

5. Una persona que se encuentra a 50 m de un taxi estacionado en la avenida corre 

con una rapidez constante de 3.7 m/s para alcanzarlo, pero, cuando pasan 2.5 

s, otro hombre que está a 30 m del mismo vehículo se dispone a alcanzarlo 

acelerando a 0.4 m/s2. ¿Cuál de los dos hombres llegará primero al taxi? 

1.8. Análisis gráfico del movimiento en una dimensión 

Otra forma de describir el movimiento en una dimensión es el análisis gráfico. Este 

consiste en interpretar, a partir de una gráfica, los cambios de posición o de velocidad 

de un cuerpo al moverse de un punto a otro. 

Estudiaremos tres gráficas fundamentales para analizar y describir el movimiento. 

Estas son las gráficas de… 

• posición contra tiempo,


• velocidad contra tiempo, 

• aceleración contra tiempo. 

¿Por qué estas gráficas? Cuando se realiza un análisis gráfico, es necesario especificar 

qué variables vamos a observar; es decir, cómo se comportan. Entonces, lo que nos 

interesa en cinemática es conocer la posición adquirida por el cuerpo, cómo se comporta 

su velocidad y cuál es su aceleración. Todos estos cambios suceden a través del 

tiempo; es por ello que en todas esas gráficas la variable independiente es el tiempo. 

El tiempo transcurre y los cuerpos que se mueven y que queremos estudiar cambian 

o no de posición, cambian o no de velocidad y aceleran o no aceleran. A estas variables 

que analizamos se les llama variables dependientes, pues cambian al pasar el 

tiempo; de acuerdo con el tiempo transcurrido, adquirirán una posición, una velocidad 

y una aceleración determinadas. Las variables independientes, por regla, se grafican 

en el eje horizontal, y las variables dependientes, por lo tanto, en el eje vertical. 

1.8.1. Gráfica de posición contra tiempo (x vs t) 

Consideremos una gráfica de posición contra tiempo de un ratón que se desplaza por 

una tubería recta; tenemos los siguientes datos: 

Tabla 1.1 Posición y tiempo 

Posición (x) metros Tiempo (t)segundos 

0 0 


4 1 

8 2 

12 3 

16 4 

20 5 

Para elaborar la gráfica, se requiere la observación y el registro de los datos de la 

posición que va tomando el ratón al transcurrir el tiempo. Es común elaborar una 

tabla de registro con los datos recolectados por observación. 

Enseguida, se grafican los pares ordenados y se obtiene la gráfica que discutiremos 

a continuación. 

Posición ( x ) en metros 

20 

16 

12 

8 

4 

0 1 2 3 4 5 6 

Posición ( t ) en segundos 

Figura 1.15


¿Qué información podemos obtener de la gráfica de posición contra tiempo? 

• La posición del cuerpo en diferentes momentos 

• El tiempo que tarda en llegar a una posición dada 

• La magnitud de la velocidad del cuerpo 

• Predecir la posición en momentos distintos de los datos recolectados 

(extrapolación) 

En este ejemplo, podemos contestar preguntas como las siguientes: 

a) ¿Qué posición tenía el ratón cuando el tiempo era de 3.5 s? 

En la gráfica, nos movemos en el eje del tiempo hasta la posición de 3.5 s y, 

enseguida, de forma paralela al eje de la posición hasta llegar a la línea. A continuación, 

nos movemos en forma horizontal hasta el eje de la posición para ver 

en qué posición se encontraba el ratón en ese momento, que es 14 m. 

b) ¿En qué momento el ratón había avanzado 18 m? 

Ahora, procedemos en forma inversa, es decir, nos movemos por el eje de la 

posición hasta llegar a 18 m y en forma horizontal hasta llegar a la línea. Luego, 

descendemos en forma paralela al eje de tiempo para encontrar el momento en 

que ocupaba esa posición, que es 4.5 s. 


c) ¿Cuál fue la rapidez o la magnitud de la velocidad del ratón en el intervalo de 

2 a 4 s? 

En este caso, utilizamos los datos de la gráfica recordando que la rapidez se 

obtiene dividiendo la distancia recorrida entre el tiempo transcurrido. Los datos 

son los siguientes: 

x f = 16 m 

x i = 8 m 

t = 4 s 

t i = 2 s 

v = ? 

Sustituimos datos:


La rapidez o magnitud de la velocidad del ratón era de 4 m/s en ese intervalo de 

tiempo. 

d) ¿Qué posición tendrá el ratón en el sexto segundo? 

En este caso, haremos una extrapolación, ya que el sexto segundo no forma parte 

de los datos originales de la tabla ni de la gráfica. Aquí podemos prolongar la 

recta obtenida suponiendo que seguirá con la misma tendencia del movimiento 

anterior y, como hicimos en el inciso a), encontramos que la posición en el sexto 

segundo es 24 m. 

En este ejemplo, la gráfica obtenida fue una línea recta partiendo del origen del sistema 

de ejes posición-tiempo. Una gráfica como esta tiene la particularidad de que, 

si obtenemos la magnitud de la velocidad en cualquiera de los diferentes intervalos 

de tiempo, tal como lo hicimos en el inciso c), obtendremos exactamente la misma 

rapidez; razón por la cual podemos decir que el cuerpo se desplaza con velocidad 

constante o uniforme. 

■ Actividad 5 Análisis gráfico del movimiento en una dimensión 

Tomando como base la gráfica del ejemplo anterior, calcula la velocidad del ratón en 

los siguientes intervalos: 

a) de 0 a 2 s 

b) de 3 a 4 s 

c) de 4 a 5 s 

d) de 0 a 5 s 


¿Cuál es la conclusión acerca de los resultados anteriores? 

Es importante reflexionar sobre lo que se ha hecho al resolver este ejemplo: como en 

este tipo de movimiento, podemos describir gráficamente muchos otros de diferentes 

cuerpos y obtener conclusiones similares bajo las mismas condiciones; ahí radica 

la riqueza de los métodos de la Física: hacer generalizaciones utilizando los mismos 

principios que rigen los fenómenos estudiados. 

Ahora, pasemos a estudiar la gráfica de velocidad contra tiempo.


1.8.2. Gráfica de velocidad contra tiempo (v vs. t) 

Ahora, se estudiará la gráfica de velocidad contra tiempo (v vs. t). Al igual que en 

la anterior, cuando se construye una gráfica, la variable que se menciona en primer 

término es siempre la variable dependiente; en este caso, la velocidad. Como se 

estableció antes, esta se representa en el eje vertical. La siguiente variable es la independiente, 

es decir, el tiempo; a la que le corresponde el eje horizontal. 

¿Qué información nos brinda esta gráfica? 

• La velocidad del cuerpo en diferentes tiempos 

• El tiempo que le toma al cuerpo alcanzar una velocidad determinada 

• La aceleración del cuerpo 

• La distancia recorrida en un tiempo dado 

• La velocidad del cuerpo en momentos distintos de los registrados (suponiendo 

que se comporta de la misma forma) 

EJEMPLO 1.10 

Consideremos el caso del récord olímpico en la competencia de 200 m planos que consiguió el atleta Usain 

Bolt en Londres 2012. Él logró recorrer esa distancia en un tiempo impresionante de 19.19 s. Para nuestro 

análisis, supongamos que TD&IS la carrera Training se llevó a Distribution cabo en una pista and recta Integrated y que la aceleración Services de Bolt fue constante 

durante los 200 m. La tabla de velocidad contra tiempo es la siguiente: 

Tabla 1.2 Velocidad y tiempo de Usain Bolt 

Velocidad ( v ) metros 

Tiempo ( t )segundos 

0 0 

2.17 2 

4.34 4 

6.52 6 

8.69 8 

10.86 10 

13.03 12 

15.21 14 

17.38 16 

19.55 18 

21.72 20


La gráfica correspondiente es la siguiente: 

25 

20 

Velocidad (m/s) 

15 

10 

5 

0 

0 

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 

Tiempo (s) 

Figura 1.16 

Con esta gráfica responderíamos a preguntas como… 

a) ¿Qué velocidad tenía Bolt en el tercer segundo? 

De la misma forma en que obtuvimos la posición en la gráfica de x vs. t; moviéndonos sobre el eje de tiempo 

hasta los 3 s, intersecando la línea de la gráfica y buscando en el eje de la velocidad, que es 3.26 m/s. 


b) ¿En qué instante adquirió Bolt una velocidad de 15 m/s? 

Partimos ahora del eje de la velocidad en 15 m/s y buscamos el tiempo que corresponde a 13.8 s. 

c) ¿Con qué aceleración se movió Usain en el intervalo de 0 a 2 s? 

Recordamos la definición de la aceleración, y con los datos de la gráfica tenemos: 

v i = 0 

v f = 2.17 m/s 

t i = 0 s 

t f = 2 s 

a = ? 

Sustituimos datos:


Su aceleración fue de 1.087 m/s 2 . Esto significa que su velocidad cambió 1.087 m/s en cada uno de los segundos 

de ese intervalo de 0 a 2 s. De aquí podríamos deducir que, dado que la gráfica es una línea recta, 

tenemos elementos suficientes para afirmar que dicha aceleración sería la misma en cualquier otro intervalo, 

lo cual no sucedería si la forma de la gráfica fuera una curva. 

d) ¿Qué distancia recorrió Bolt desde el inicio hasta el segundo 14? 

En la gráfica de velocidad contra tiempo podemos determinar la distancia recorrida obteniendo el área bajo 

la gráfica, que en este caso es un triángulo rectángulo cuya base es el tiempo de 14 s y la altura es la velocidad 

correspondiente a ese tiempo, 15.21 m/s. 

t = 14 s 

v = 15.21 m/s 

x = área bajo la gráfica (triángulo rectángulo) 

x = 106.47 m 


25 

20 


15 

10 

5 

0 

0 

Área=(Base X altura) /2 

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 

Tiempo (s) 

Figura 1.17. 


Por lo tanto, Bolt recorrió 106.47 m desde el inicio hasta el catorceavo segundo. Así, también podemos determinar 

la distancia en cualquier otro intervalo.


Repasando lo realizado hasta ahora, tenemos que, cuando la gráfica de velocidad 

contra tiempo es una recta inclinada, se trata de un caso de movimiento con aceleración 

constante, conocido también como movimiento rectilíneo uniformemente 

acelerado. 

Piensa ahora en lo siguiente, ¿qué interpretación le daríamos a la gráfica si fuera una 

línea recta horizontal y paralela al eje de tiempo, como la mostrada en la figura 1.18? 

Tal gráfica representaría el movimiento de un cuerpo cuya velocidad no varía con 

el tiempo, pues la recta es horizontal, lo que nos dice que la velocidad siempre tiene 

el mismo valor; caso diferente al ejemplo del atleta Bolt, cuya gráfica v vs. t es una 

recta inclinada (con pendiente positiva), lo que indica que la velocidad toma valores 

crecientes a medida que el tiempo avanza. Como ejercicio mental, imagina cómo 

sería la gráfica v vs. t para un cuerpo cuya velocidad va disminuyendo conforme 

transcurre el tiempo. Coméntalo con tu profesor. 

Velocidad 


Tiempo 

Figura 1.18 

1.8.3. Gráfica de aceleración contra tiempo (a vs. t) 

Otra de las gráficas de movimiento rectilíneo es la de aceleración contra tiempo 

(a vs. t). Para analizar esta gráfica, recordemos que, de acuerdo con los fines de este 

curso, solamente estamos estudiando casos de movimiento rectilíneo con aceleración 

constante. Esta puede ser igual a cero cuando el cuerpo se mueve con rapidez 

constante, o bien, la aceleración puede ser positiva si el objeto aumenta su velocidad 

al pasar el tiempo; o también puede ser negativa en el caso de que la velocidad del 

cuerpo disminuya con el paso del tiempo. 

Retomemos los dos ejemplos anteriores: el del movimiento de un ratón por una 

tubería recta y el del atleta Usain Bolt en la competencia olímpica de 200 m planos. 

Gráfica de aceleración contra tiempo (a vs. t) para un ratón que se mueve por 

una tubería recta 

En ese ejemplo llegamos a la conclusión de que el ratón se mueve con rapidez constante 

(recuerda que, en el movimiento rectilíneo, la rapidez toma el mismo valor que 

la velocidad, por lo que podemos hablar indistintamente de una o de otra) y al calcularla 

obtuvimos un valor de 4 m/s. Un cuerpo que se mueve con velocidad o rapidez


constante no sufre cambios en la misma y, por ello, su aceleración es nula (cero), de 

tal forma que la gráfica a vs. t para este caso es la siguiente (fig. 1.19): 

Aceleración (m/s 2 ) 

0 

Tiempo (s) 

Figura 1.19 

Como vemos, la línea obtenida es una recta horizontal que coincide con el eje de 

tiempo, ya que, al ser nula la aceleración, el cuerpo no cambiará su velocidad en 

ningún momento. 

Gráfica de aceleración contra tiempo (a vs. t) para el caso del atleta Usain Bolt 

en la competencia de 200 m planos de Londres 2012 


Aquí tenemos una situación diferente: el atleta, como sabemos, partió de la meta desde 

el reposo (v i = 0) y, al llegar a la meta, alcanzó una rapidez de v f = 20.88 m/s 

(figura 1.20); es decir, si consideramos la aceleración constante, su velocidad cambió 

uniformemente durante la carrera. En el ejemplo se obtuvo dicha aceleración y su 

valor era de 1.087 m/s 2 . Entonces, tomamos ese valor de aceleración para realizar la 

gráfica, que es la siguiente: 

Aceleración (m/s 2 ) 

1.0 

0.5 

0 

Tiempo (s) 

1.087 

Figura 1.20 

Al moverse con aceleración constante, se mantendrá siempre en el mismo valor al 

transcurrir el tiempo desde el inicio hasta el término de la carrera, en 1.087 m/s 2 .


¿Qué información podemos extraer de esta figura? 

• El cambio de velocidad en intervalos establecidos como el área bajo la gráfica; 

un rectángulo, en este caso. 

Concluimos el tema del análisis gráfico del movimiento rectilíneo diciendo que has adquirido 

pautas generales que pueden aplicarse a otros contextos y escenarios de movimiento 

rectilíneo con velocidad constante o movimiento rectilíneo con aceleración 

constante. Te corresponde ahora poner en práctica los conocimientos adquiridos en esta 

importante etapa del curso, desarrollando las actividades de competencias que te presentamos 

enseguida y, más adelante, resolviendo los ejercicios de la autoevaluación. 

■ Actividad 6 Posición, velocidad y aceleración 

Para cada uno de los siguientes casos, completa la gráfica correspondiente de posición 

contra tiempo, velocidad contra tiempo y aceleración contra tiempo, e indica claramente 

cuál variable representa cada uno de los ejes. Haz todas las suposiciones necesarias. 

1. Grafica el movimiento de un barco de papel que se deja en la corriente de un 

río en un tramo recto y que avanza sobre el agua con velocidad constante, desde 

una posición inicial x i = 0 hasta una posición final de x f = 40 m, en un intervalo 

de tiempo de 20 s (figura 1.21). 

Gráfica x vs. t Gráfica v vs. t Gráfica a vs. t 


Figura 1.21 

2. Grafica el movimiento de un avión que parte del reposo desde la sección inicial 

de la pista hasta que despega; este recorre 1200 m en 30 s con aceleración constante 

(figura 1.22). 


Figura 1.22


3. Grafica el movimiento de un automóvil que viaja a una velocidad inicial de 

15 m/s, se aproxima a un semáforo en luz roja a 45 m (x f = 0) y aplica el freno 

uniformemente hasta que se detiene por completo (figura 1.23). 


Figura 1.23 

4. Grafica el movimiento de una patrulla que viaja con velocidad constante de 10 

m/s durante 5 s desde una posición inicial de 20 m y que, después, aumenta su 

velocidad uniformemente durante otros 5 s hasta alcanzar una posición final de 

120 m (figura 1.24). 



Figura 1.24 

5. Responde las siguientes preguntas respecto a la gráfica (figura 1.25). 

a) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo en el segmento A-B? 

b) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo en el segmento B-C? 

c) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo en el segmento C-D? 

d) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo en el segmento D-E? 

e) ¿Cuál es la velocidad media desde la posición A hasta la posición E? 

x (m) 

30 

C 

D 

20 

10 

B 

E 

0 

A 

10 

20 30 40 50 

t (s) 

Figura 1.25


6. De acuerdo con la figura 1.26, contesta las preguntas. 

a) ¿Cuál es la aceleración del cuerpo en el intervalo de 0 a 5 s? 

b) ¿Cuál fue el desplazamiento del cuerpo en ese mismo intervalo de tiempo? 

c) ¿Cuál es la aceleración del cuerpo en el intervalo de 5 a 9 s? 

d) ¿Cuál fue el desplazamiento del cuerpo en ese mismo intervalo de tiempo? 

e) ¿Cuál fue el desplazamiento total del cuerpo en el intervalo de tiempo de 0 a 9 s? 

v (m/s) 

20 

5 9 

t (s) 

Figura 1.26 

7. Con base en la figura 1.27, calcula lo que se te pide. 

a) ¿Cuál es la aceleración del cuerpo en el intervalo de 0 a 125 s? 

b) ¿Cuál es la aceleración del cuerpo en el intervalo de 125 a 250 s? 

c) ¿Cuál fue el desplazamiento total de 0 a 250 s? 


v (m/s) 

100 

125 

250 

t (s) 

Figura 1.27 

¿SABÍAS QUE… 

Se venden viajes a Marte 

… a raíz del éxito que se ha tenido con la llegada de los Explorers, 

se han programado viajes tripulados a Marte y muchas 

personalidades adineradas del mundo han reservado ya sus 

lugares. 

Del mismo modo, Estados Unidos ha anunciado que pronto 

podrá hombres en la Luna en cápsulas parecidas a las que se 

utilizaron en la década de 1960. 

Para saber más, te sugerimos visitar: 

http://www20minutos.es/noticia/127557/0/NASA/proyecto/marte/


1.9. Análisis del movimiento en una dimensión desde el punto de 

vista de las leyes de Newton 

El estudio del movimiento de los cuerpos se profundiza aún más cuando lo relacionamos 

con las causas que lo generan, es decir, cuando explicamos el movimiento con 

base en las leyes que se han establecido a lo largo de los años por personajes como 

Galileo Galilei e Isaac Newton, quienes pasaron gran parte de su existencia tratando de 

comprender el comportamiento de los cuerpos cuando se mueven. 

Como vimos en La ciencia del movimiento, Newton enunció sus tres leyes describiendo 

este fenómeno a través de las fuerzas que actúan sobre los cuerpos. Aquí las 

reproducimos una vez más: 

Primera ley de Newton: “Todo cuerpo permanecerá en estado de reposo o de 

movimiento rectilíneo uniforme, a menos que una fuerza externa actúe sobre él”. 

Segunda ley de Newton: “Cuando un cuerpo se encuentra bajo la acción de una 

fuerza neta no balanceada, la aceleración producida es directamente proporcional 

a la fuerza, e inversamente proporcional a la masa del cuerpo”. 

Tercera ley de Newton: “A toda fuerza de acción, corresponde otra fuerza igual y 

contraria llamada reacción”. 

¿Cómo relacionamos el estudio de la cinemática que hemos visto en el 

movimiento TD&IS Training en una Distribution dimensión con and las Integrated leyes de Newton? Services 

Consideremos la primera ley escribiéndola de otra forma: 

“El vector velocidad de un objeto permanecerá constante, si y solo sí la fuerza neta 

(o resultante) que actúa sobre él es igual a cero”. 

Esto significa que, cuando la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es igual 

a cero, su velocidad permanece constante o uniforme sin importar la magnitud de 

la velocidad, incluso cuando su velocidad es cero (estado de reposo). Nota que esto 

no significa que el cuerpo se encuentre libre de fuerzas, ya que esta condición es 

prácticamente imposible o, por lo menos, es muy difícil hallar un cuerpo en el universo 

entero sobre el que no actúe ningún tipo de fuerza. Lo que sí significa es que 

la fuerza neta de todas las que se ejercen sobre él es cero. Esta condición es la que 

habíamos denominado estado de equilibrio, puede ser estado de equilibrio estático 

cuando el cuerpo permanece en reposo, o bien, estado de equilibrio dinámico, que 

se verifica cuando el cuerpo se desplaza con velocidad constante, recordando que 

velocidad constante implica aceleración cero. 

Veamos ahora la relación con la segunda ley de Newton escribiéndola de esta otra manera: 

“Cuando una fuerza neta diferente de cero actúa sobre un objeto, su velocidad cambia, 

es decir, el objeto está acelerado y esta aceleración es directamente proporcional 

a la fuerza neta e inversamente proporcional a la masa del mismo.” 

Observemos que, en este caso, la fuerza neta o resultante que actúa sobre el cuerpo 

no es igual a cero, y lo que establece la segunda ley de Newton, en estas condiciones,


es que el cuerpo se mueve con un movimiento acelerado, lo cual significa que el 

cuerpo no se encuentra en equilibrio. 

Los siguientes ejemplos te darán una mejor idea de la relación que existe entre la 

cinemática y las leyes del movimiento de los cuerpos. 

EJEMPLO 1.11 

Se acelera un automóvil de 800 kg a partir del reposo hasta alcanzar una velocidad de 16 m/s en 3 s. 

¿De qué magnitud es la fuerza que se debe aplicar para producir esta aceleración? 

Solución 

¿Qué tenemos que hacer? Obtener la fuerza necesaria para que el carro se acelere. 

¿Cómo lo vamos a resolver? Determinando la aceleración del carro para que obtengamos la fuerza necesaria. 

Datos: 

m = 800 kg 

v i = 0 

v f = 16 m/s 

t = 3 s 

Incógnita: 


F = ? 

Obtendremos la aceleración generada por el automóvil con la fórmula: 

Despejemos la aceleración de la fórmula: 

Sustituyamos los valores y realicemos las operaciones: 

Utilicemos esta aceleración y la segunda ley de Newton para encontrar la fuerza necesaria 


La fuerza necesaria para acelerar el auto es…


Ejemplo 1.12 

Un automóvil que viaja a 25 m/s a lo largo de un camino recto y plano se detiene uniformemente en 

una distancia de 50 m. Si el automóvil pesa 9200 N, ¿cuál es la magnitud de la fuerza para detener el 

automóvil? 

Solución 

¿Qué tenemos que hacer? Obtener la fuerza necesaria para que el automóvil se detenga. 

¿Cómo lo vamos a resolver? Determinando el tiempo necesario, la aceleración y la masa que necesita el 

automóvil para detenerse, esto para luego obtener la fuerza necesaria para dicho movimiento. 

Datos: 

w = 9200 N 

v i = 25 m/s 

v f = 0 

x i = 0 

x f = 50 m 

Incógnita: 

F = ? 


Para obtener la fuerza hay que calcular primero la aceleración mediante el siguiente procedimiento: 


Pero como la velocidad final es cero, simplificamos la expresión anterior quedando: 

Ahora se sustituye en la ecuación de la posición sabiendo que x i = 0 

Se simplifica eliminando el cuadrado del tiempo y efectuando la suma algebraica:


Con lo cual podemos obtener el tiempo de detención del automóvil y luego la aceleración: 

Calculemos la masa del automóvil con la siguiente fórmula: 

Despejemos m de la fórmula: 

Sustituyamos valores y realicemos operaciones: 


Utilicemos esta aceleración y la segunda ley de Newton para encontrar la fuerza necesaria: 


La fuerza necesaria para detener el auto es… 

F = - 5866.8 N 

El signo negativo de la fuerza indica que se está aplicando en dirección opuesta al movimiento.


Ejemplo 1.13 

Calcula la distancia que recorrerá un cuerpo de 5 kg de masa partiendo del reposo cuando sobre este actúa 

una fuerza constante de 4 N durante 10 s. 

Solución 

¿Qué tenemos que hacer? Obteniendo la distancia que recorre el cuerpo durante 10 s. 

¿Cómo lo vamos a resolver? Determinando la aceleración del cuerpo para después encontrar la distancia 

que recorre. 

Datos: 

m = 5 kg 

v i = 0 

F = 4 N 

t = 10 s 

Incógnita: 

x = ? 

Obtendremos la aceleración del objeto con la fórmula: 




Obtendremos la distancia recorrida por el objeto con la fórmula: 



La distancia recorrida por el objeto es de 40 m.


■ Actividad 7 Aplicación de la segunda ley de Newton 

Resuelve los siguientes problemas utilizando la segunda ley de Newton y las fórmulas de la cinemática: 

Problema 

1. ¿Cuál debe ser la fuerza necesaria para detener 

en una distancia de 25 m un objeto de 30 kg que 

se mueve inicialmente a 20 m/s? 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 

Resultado e interpretación 


Problema 

2. Determina la aceleración y la velocidad que 

obtiene un automóvil de 600 kg que se mueve a 

10 m/s al recibir un empuje mediante una fuerza 

de 6000 N durante 3 s. 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 

Resultado e interpretación


Problema 

3. Un automóvil que viaja a 70 km/h a lo largo de 

un camino recto y plano se detiene uniformemente 

en una distancia de 80 m. Si el automóvil pesa 

8500 N, ¿qué fuerza se necesita para detener al 

automóvil? 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 

Resultado e interpretación 


Problema 

4. Calcula la distancia que recorrerá un cuerpo de 

8 kg que se mueve a 15 m/s cuando sobre este 

actúa una fuerza constante de 30 N durante 8 s. 

Procedimiento 

Datos 

Fórmula(s) 

Resultado e interpretación


Actividades y ejercicios complementarios 

1. Elabora en tu cuaderno un glosario con el significado de todos los conceptos, términos, leyes y principios 

estudiados a lo largo de esta etapa. Recuerda que el glosario debe estar escrito en orden alfabético. 

2. Elabora una sección de comentarios. Esta consiste en que anotes en tu cuaderno las características que 

te resultaron más relevantes de un tema y que te sirvieron para comprenderlo mejor. Procura abarcar 

todos los temas vistos en la etapa. 

Análisis de conceptos 

Contesta las siguientes preguntas y explica tus respuestas. 

1. Observando el movimiento de un jugador de futbol se demostró que durante el partido recorrió, aproximadamente, 

13 km. ¿Cómo nombrar la magnitud recorrida: módulo del desplazamiento o camino recorrido? 

2. Un navegante, al determinar la posición del barco por la mañana, descubrió que se encontraba en un punto 

distante 100 m al sur del punto en el cual estaba la noche anterior. ¿Qué expresa este número: el valor del 

desplazamiento o la longitud de la trayectoria? 


3. Un chofer de taxi, al concluir su trabajo, observó que el contador de kilómetros de su auto indicaba un 

aumento de 300 km respecto al día anterior. ¿Qué representa este aumento: la longitud de la trayectoria o 

el módulo del desplazamiento? 

4. Una persona se encuentra en el interior de un automóvil cuyo velocímetro indica 90 km/h. ¿Con qué velocidad 

esta persona observaría... 

a) …un automóvil que viaja a su lado en el mismo sentido a 90 km/h? 

b) …un poste situado en la acera de la calle? 

5. ¿Qué registra el velocímetro de un automóvil: una cantidad vectorial o escalar?


6. Supón que te encuentras exactamente en el polo norte de la Tierra, luego caminas 100 km hacia el sur, 

50 km hacia el oeste y por último 100 km al norte. ¿En qué lugar terminarías? 

7. La rapidez del sonido en el aire, en promedio, es de 340 m/s. Durante la próxima tormenta eléctrica, prueba 

a estimar la distancia entre tu posición y un rayo, midiendo el tiempo que transcurre entre tu observación 

del relámpago y el sonido del trueno. Puedes hacer caso omiso del tiempo en que la luz del rayo llega 

hacia ti, ¿por qué? 

8. ¿Qué indica la pendiente de una gráfica de desplazamiento contra tiempo? 

9. ¿Qué cantidad representa el área bajo la gráfica de velocidad contra tiempo? 

10. Si una gráfica de velocidad contra tiempo es una línea recta paralela al eje del tiempo, ¿qué puedes decir 

respecto a la velocidad? 


11. Para las siguientes combinaciones de signos y valores para la velocidad y la aceleración de una partícula 

respecto al eje x (una dimensión), describe qué es lo que hace la partícula en cada caso y cita un ejemplo 

real para un motociclista en un eje x unidimensional, considerando el este como la dirección positiva. 

Velocidad Aceleración Descripción y ejemplo de la vida real 

+ + 

+ – 

+ 0 

– + 

– – 

– 0 

0 + 

0 – 

12. Moy manejó su automóvil alrededor de la manzana a velocidad constante. ¿El enunciado es verdadero o 

falso?


13. ¿Puede la velocidad de un objeto estar alguna vez en dirección diferente de la dirección de su aceleración? 

14. ¿Puede un objeto tener rapidez constante y, sin embargo, tener velocidad variable? 

15. ¿Puede un objeto tener rapidez variable y, sin embargo, tener velocidad constante? 

16. Si la velocidad de una partícula es diferente de cero, ¿puede ser que su aceleración sea igual a cero? 

17. Si la velocidad de una partícula es cero, ¿puede ser que su aceleración sea igual a cero? 

18. Si un automóvil está viajando hacia el norte, ¿puede ser que su aceleración sea hacia el sur? 


19. Si la gráfica de posición contra tiempo para un objeto muestra una pendiente cuyo valor es igual a cero, 

¿qué representa dicha pendiente? ¿Cómo describiríamos el movimiento de este cuerpo? 

20. ¿Qué indica la pendiente de una gráfica de velocidad contra tiempo? 

21. ¿Qué cantidad representa el área bajo la gráfica velocidad contra tiempo? 

22. ¿Qué cantidad representa el área bajo la gráfica aceleración contra tiempo? 

23. Si una gráfica de velocidad contra tiempo es una línea recta paralela al eje del tiempo, ¿qué puedes decir 

respecto a la aceleración?


Preguntas 

Responde subrayando en cada caso la opción correcta. 

1. Si un móvil con movimiento rectilíneo uniforme recorre 60 m en 12 s, 25 m los recorrió en… 

a) 6 s. 

b) 5 s. 

c) 4 s. 

d) 4.5 s. 

2. Si un móvil con movimiento rectilíneo uniforme recorre en 8 s 40 m, en 4.5 s recorrió… 

a) 17.5 m. 

b) 27.5 m. 

c) 20.5 m. 

d) 22.5 m. 

3. La pendiente en el gráfico v vs. t (velocidad contra tiempo) que muestra la velocidad de un móvil en 

función del tiempo representa… 

a) el desplazamiento realizado por el móvil. 

b) el tiempo transcurrido. TD&IS Training Distribution and Integrated Services 

c) la aceleración del móvil. 

d) la velocidad del móvil. 

4. Si un móvil se desacelera, significa que… 

a) su desplazamiento es negativo. 

b) la distancia que recorre en cada segundo es cada vez menor. 

c) la distancia que recorre en cada segundo es cada vez mayor. 

d) la distancia que recorre cada segundo es la misma. 

5. Un móvil se acelera a razón de 4 m/s 2 , esto significa que el móvil… 

a) recorre 4 m cada segundo. 

b) tarda 4 s en recorrer 1 m. 

c) su velocidad cambia 4 m/s cada segundo. 

d) recorre 4 m cada s 2 .


6. Un cuerpo que se desplaza con aceleración constante debe experimentar cambios en… 

a) la velocidad. 

b) la masa. 

c) la aceleración. 

d) el peso. 

7. La rapidez de un cuerpo que se mueve en línea recta con aceleración positiva constante aumenta proporcionalmente 

respecto a… 

a) la distancia recorrida. 

b) el tiempo transcurrido. 

c) el desplazamiento realizado. 

d) el cuadrado de la distancia recorrida. 

8. Un ratón corre a lo largo de un túnel recto y angosto. Si su gráfica velocidad contra tiempo (v vs. t) es 

una recta paralela al eje del tiempo, la aceleración es… 

a) constante y diferente de cero. 

b) cero. 

c) variable. 

d) negativa. 


Problemas 

1. Un avión vuela con una rapidez de 998 km/h. ¿Qué distancia en m recorre en 30 segundos? 

2. La luz proveniente del Sol tarda 8.3 minutos en llegar a la Tierra. Si la velocidad de la luz es de 30 × 10 8 , 

¿cuál es la distancia de la Tierra al Sol en m/s y km/h? 

3. Calcula el tiempo en segundos que tardará un tren en recorrer 3 km en línea recta hacia el sur con una 

velocidad de 90 km/h. 

4. En un parque de béisbol, la distancia de la loma de lanzar al plato es de 18.5 m. Si el pitcher puede lanzar 

la pelota a razón de 40 m/s, y considerando esta velocidad como constante, ¿cuánto tiempo tarda la 

pelota en llegar al plato? 

5. En una carretera cuya velocidad máxima permitida es de 70 km/h se ha instalado una cámara que toma 

32 imágenes por segundo para determinar la rapidez de los vehículos. Si un automóvil cuya longitud es 

2.50 m ocupa 5 imágenes en su movimiento total ante la cámara, ¿está infringiendo la ley? ¿A qué velocidad 

va?


6. En la línea de producción de una maquiladora de ropa se coloca una banda transportadora por donde 

va pasando la ropa; por su lado, cada uno de los operadores realiza un proceso diferente en las prendas, 

como coserlas, pegar botones, etc. Si la banda debe moverse con una rapidez de 0.5 m/s y cada 

operador tarda 12 s en realizar su trabajo, ¿a qué distancia se debe colocar un operador de otro para 

realizar su labor a tiempo? Si los rodillos de la banda transportadora miden 18 cm de diámetro, ¿cuál 

debe ser la rapidez con la que deben girar para que la banda se mueva con la rapidez requerida? 

7. Dos carros marchan en un mismo punto: uno a 60 km/h y otro a 80 km/h. (fig. 1.28) ¿A qué distancia se 

encontrarán uno del otro al cabo de 50 minutos si viajan en el mismo sentido? 

Figura 1.28. 

8. Dos trenes parten de dos ciudades (A y B) distantes entre sí 400 km con velocidades de 100 km/h y 70 

km/h, respectivamente , figura 1.29. Determina cuándo se encontrarán y a qué distancia de A estarán si 

ambos parten al mismo tiempo y se mueven uno hacia el otro. 


Figura 1.29.


9. Un automóvil marcha a 30 m/s por una carretera paralela a la vía del tren (figura 1.30). ¿Cuántos segundos 

tardará el auto en pasar a un tren de 300 m de largo que marcha a 16.6 m/s en la misma dirección y sentido? 

Análisis gráfico del MRU 

Figura 1.30. 

10. La siguiente tabla se obtuvo midiendo las distancias y los tiempos en que un carrito recorre un riel sin 

fricción. Con la ayuda de papel milimétrico o una computadora con Excel obtén la gráfica, la pendiente y la 

ecuación de la misma. 


Prueba x (cm) t (s) 

1 24 5.71 

2 36 8.57 

3 48 11.43 

4 60 14.28 

5 72 17.14 

11. Un carrito de baterías se mueve en línea recta recorriendo 6 m cada 2 s. Calcula su velocidad y completa 

la tabla de datos. 

Tabla de datos 

Tiempo (s) 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 

Posición (cm) 0.0 6.0 12.0 18.0 24.0 30.0 


a) Traza la gráfica de posición contra tiempo para el movimiento descrito. 

b) Construye la gráfica de velocidad contra tiempo. 

c) ¿Qué tipo de movimiento caracterizan a estas gráficas?


12. Una partícula se mueve a lo largo de una recta y ocupa las siguientes posiciones en varios instantes: 


Tiempo (s) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 

Posición (cm) 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 


a) Utiliza los datos de la tabla para construir una gráfica de posición contra tiempo. 

b) ¿Qué representa la pendiente de la recta? 

c) Completa la tabla y construye una gráfica de velocidad contra tiempo del movimiento de la partícula 

durante los primeros 5 s. 

d) Calcula el área bajo la gráfica anterior y la distancia recorrida en los primeros 5 s. 

e) ¿A qué conclusiones llegas sobre las dos gráficas? 

13. La figura 1.31 es una gráfica de posición contra tiempo para un objeto en movimiento. 


Tiempo (s) 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 


Posición (cm) 0.0 6.0 12.0 18.0 24.0 30.0 


a) Describe el movimiento del cuerpo. 

b) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo? 

c) ¿Qué representa el valor de x (la posición) en la gráfica? 

Posición (m) 

10.0 

8.0 

6.0 

4.0 

2.0 

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 

Tiempo (s) 

Figura 1.31


14. La figura 1.32 es una gráfica de la distancia total recorrida por un perro en una pradera. 

x (m) 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

1 

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 

t (s) 

Figura 1.32 

a) ¿Cuál es la velocidad del perro en los primeros 2 segundos? 

b) ¿Qué se puede decir del desplazamiento del perro en cualquier momento? 

c) ¿Cuál fue la TD&IS distancia Training total recorrida? Distribution and Integrated Services 

d) En qué intervalo de tiempo se movió con mayor rapidez? 

15. En la figura 1.33 se muestra la gráfica de posición vs. tiempo del movimiento de tres cuerpos (1, 2 y 3) con 

diferentes velocidades. Las rectas correspondientes a los cuerpos 2 y 3 muestran que estos se mueven en la 

dirección del eje x y en el mismo sentido, en este caso, el sentido adoptado como positivo. 

x (m) 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

-1 

Cuerpo 2 v 2 

Cuerpo 1 v 1 

Cuerpo 2 v 3 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

t (s) 

-2 

Figura 1.33


a) ¿En qué sentido se mueve el cuerpo 1? 

b) Usando la gráfica de la figura 1.33 encuentra la distancia entre los cuerpos 1 y 3 en el instante de 2 s. 

c) ¿Cuáles son las magnitudes de las velocidades de los cuerpos 1, 2 y 3 en un tiempo de 3 segundos?? 

16. La figura 1.34 muestra la gráfica de la posición en función del tiempo de dos autos (1 y 2) que viajan por 

una misma carretera. 

x (km) 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

A 

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 

2 

1 

t (h) 

Figura 1.34 

a) En relación con el comienzo de la carretera (x = 0 km), ¿cuál es la posición del auto 1 en t = 0? 


b) Determina las velocidades de los dos autos en t = 2 horas. 

c) ¿Qué significado físico tiene el punto de intersección A? 

d) Determina las velocidades de los dos autos en el punto A. 

17. La figura 1.35 muestra la gráfica de la posición en función del tiempo de dos autos (1 y 2) que viajan por 

una misma carretera. 

x (km) 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

A 

1 

2 

0 

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 

t (h) 

Figura 1.35


a) ¿Qué distancia recorren cada uno de los autos en t = 2 horas? 

b) Determina la magnitud de la velocidad de los dos autos en t = 2 horas. 

c) ¿Cómo son las magnitudes de cada uno de los autos? ¿Por qué? 

d) En el instante t = 0, ¿cuáles son las posiciones de los autos 1 y 2? 

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 

1. La velocidad de despegue de un avión es de 300 km/h . Si la longitud de la pista es de 1500 m… 

a) ¿qué aceleración debe producir el motor? 

b) ¿cuánto tardará el avión en despegar? 

2. ¿Qué aceleración desarrollará un automóvil en una distancia de 1000 m si los recorre en 10 s y parte 

del reposo? ¿Qué velocidad tendrá al cabo de los 10 segundos.? 

3. Un autobús parte del reposo y se mueve con una aceleración constante de 5.0 m/s 2 . Encuentra su rapidez y la 

distancia recorrida después de transcurridos 4 segundos.. 

4. Una caja se desliza hacia abajo sobre un plano con aceleración uniforme. Parte del reposo y alcanza 

una rapidez de 2.7m/s en 3 s. Encuentra la aceleración y la distancia a la que se mueve en los primeros 

6 segundos. TD&IS Training Distribution and Integrated Services 

5. Un cuerpo que se acelera a 2 m/s 2 va, en cierto instante, a una velocidad de 20 m/s. Si parte del reposo, 

¿cuánto tiempo ha sido acelerado? ¿Qué distancia recorre en ese tiempo? 

6. En un tubo de imágenes típico para televisión a color los electrones se mueven 40 cm desde la pistola de 

electrones hasta la pantalla, chocando con ella con una rapidez de 8 × 10 7 m/s. ¿Cuál es la aceleración de 

los electrones? y ¿qué tiempo les toma a los electrones recorrer los 40 cm si parten del reposo? 

7. La velocidad de un vehículo se incrementó uniformemente de 6 m/s a 20 m/s al recorrer una distancia de 

70 m en línea recta. Calcula la aceleración y el tiempo transcurrido. 

8. Un automóvil acelera uniformemente mientras pasa por dos puntos marcados que están separados 30 m. 

El tiempo que tarda en recorrer la distancia es de 4 s y su rapidez en el primer punto marcado es de 5 m/s. 

Calcula la aceleración y la rapidez al llegar al segundo punto marcado. 

9. Un aeroplano parte del reposo y acelera sobre el piso antes de elevarse, recorriendo 600 m en 12 s. Calcula 

la aceleración y la rapidez al final de los 12 s. 

10. Un auto viajando a una velocidad de 72 km/h es frenado a fondo y se detiene en un tiempo de 5 s. Determina 

su aceleración y la distancia que recorre antes de detenerse. 

11. El velocímetro de un auto marca 45 km/h cuando se aplican los frenos. Si el auto se detiene en 2.8 s, ¿cuál 

es la aceleración? y ¿cuál es la distancia recorrida?


12. Un tren que viaja a 30 m/s frena uniformemente hasta detenerse en 44 s. Determina la aceleración y la 

distancia recorrida hasta que se detiene. 

13. Un auto que se mueve a 13 m/s frena uniformemente a razón de 2 m/s por cada segundo durante 6 s. Encuentra 

su rapidez al final de los 6 s y la distancia recorrida en ese tiempo. 

14. ¿Cuánto tiempo invierte un automóvil, viajando a 90 km/h, en detenerse si su aceleración negativa es 

de 4 m/s 2 ? 

15. Un camión viajando inicialmente a 60 km/h va frenando con una aceleración negativa de 2 m/s 2 . Determina 

cuánto tiempo invierte en detenerse y qué distancia recorre en ese tiempo. 

16. La siguiente es una lista o ficha técnica del nuevo auto Seat Ibiza “Bocanegra”, publicada en la sección 

“Automotriz” del periódico El Norte: 

Vista rápida 

Carrocería tipo: Hatchback 3 puertas, 4 plazas 

Precio: 297 mil 500 pesos 

Motor: L4 TSI Turbocargador, supercargador, inyección directa de combustible 

Desplazamiento: 1.4 L 

Potencia: 150 hp 

Par motor: 220 Nm 

Transmisión: DSC 7 velocidades con mandos al volante 


Tracción: Delantera 

Suspensión: Delantera McPherson, barra estabilizadora; trasera eje autoportante, barra estabilizadora 

Frenos: Disco ventilado en las 4 ruedas, antibloqueo y distribución de fuerza de frenado 

Rines y llantas: 215/40 R17 

Equipo de seguridad activa y pasiva 

Bolsas de aire frontales y laterales 

Control de estabilidad y tracción (XDS) 

Frenos de disco en las 4 ruedas con abs 

Desempeño 

0-100 km/h: 7.2 s 

Velocidad máxima: 212 km/h 

Consumo mixto aproximado: 15 km/l 

Puntos a favor 

Diseño exterior 

Desempeño del motor 

Está bien equipado 

Puntos en contra 

Precio elevado 

Algunos plásticos interiores 

Pronto llegará el Audi Al (misma plataforma y tren motriz) a menor precio.


Preguntas 

a) Teniendo en cuenta los datos de la sección “Desempeño”, calcula la aceleración de este auto en m/s2. 

b) Considerando esa misma aceleración como constante, ¿cuánto tiempo le tomaría a este auto alcanzar su 

velocidad máxima? 

c) ¿Qué distancia recorre el auto cuando acelera desde el reposo hasta llegar a los 100 km/h? 

d) ¿Qué distancia recorre el auto cuando acelera desde el reposo hasta alcanzar su velocidad máxima? 

17. Un automóvil de la marca Audi modelo TT Quattro puede acelerar de 0 a 100 km/h en 6.4 s. Calcula la 

aceleración de ese automóvil en m/s 2 . 

a) ¿Qué distancia recorrerá en 3 s? 

b) Si la velocidad máxima que puede alcanzar el TT Quattro es de 243 km/h, ¿cuánto tiempo tardará en 

llegar a esa velocidad tope suponiendo que su aceleración sea siempre la misma? 

18. El fabricante de automóviles de la marca Volkswagen especifica en una de sus pruebas que el modelo Jetta 

puede frenar de 80 km/h a 0 recorriendo una distancia de 28.7 m. Calcula la aceleración de frenado con los 

datos anteriores, en m/s 2 . 

Una vez que calcules la aceleración de frenado, determina la distancia recorrida por el Jetta y el tiempo 

transcurrido cuando frena hasta el reposo, con las siguientes velocidades iniciales: 

a) 100 km/h 


b) 120 km/h 

c) 150 km/h 

d) 180 km/h 

Comenta en clase con tu maestro y tus compañeros los resultados anteriores y sobre los riesgos de 

manejar a altas velocidades. 

19. Un cuerpo se mueve durante 3 s con MRUA recorriendo 45 m. Deja entonces de acelerar y durante 3 s 

recorre 72 m con velocidad constante. Calcula la velocidad inicial y la aceleración. 

20. Un tranvía que parte del reposo se mueve durante 15 s con aceleración de 1m/s 2 . Se suprime la corriente 

eléctrica y continúa moviéndose durante 10 s desacelerado a causa de la fricción, con una aceleración de 

0.05 m/s 2 . Finalmente, se aplican los frenos y se detiene en 5 s. Calcula la distancia total recorrida.


21. Un camión se mueve a 144 km/h acercándose a un automóvil que se traslada en la misma dirección a 

72 km/h. Cuando la separación entre los dos vehículos es de 20 m, el conductor del camión aplica los frenos. 

Determina… 

a) cuál será el tiempo que tarda el camión en alcanzar al automóvil, suponiendo que puede disminuir 

su velocidad con una desaceleración de 6 m/s 2 y que la velocidad del automóvil no cambia. 

b) cuál es la distancia que recorre el automóvil en ese tiempo. 

144 Km/h 

20 m 

72 Km/h 

22. Un automóvil parte del reposo con una aceleración de 1.2 m/s 2 en el momento en que la luz del semáforo 

cambió a verde. En ese TD&IS instante, Training un camión Distribution que se mueve con and velocidad Integrated constante Services de 30 m/s se encuentra 

a 45 m del mismo semáforo. 

a) ¿Alcanzará el camión al automóvil? 

b) Si esto sucede, ¿a qué distancia y en qué tiempo? 

30 m/s 45m 0 Km/h


Análisis gráfico del MRUA 

23. Completa los valores de la siguiente tabla de datos para un objeto que parte del reposo y describe un movimiento 

rectilíneo uniformemente acelerado. 

t (s) 

x (m) 

0 0 

1 0.4 

2 1.6 

3 3.6 

4 6.4 

5 10.0 

6 14.4 

a) Construye la gráfica de posición contra tiempo (x vs. t). 

b) Traza la gráfica de velocidad contra tiempo (v vs. t), calcula la pendiente para dos intervalos y determina 

el área bajo la recta. 

c) Construye la gráfica de aceleración contra tiempo (a vs. t). 

d) Calcula la TD&IS distancia Training recorrida y Distribution la aceleración and del Integrated objeto con las Services fórmulas correspondientes y compáralas 

con los resultados de los incisos b) y c). 

24. En la figura 1.39 están representadas las gráficas que muestran las velocidades del movimiento de dos 

cuerpos (A y B). 

a) ¿Cuál de los dos cuerpos parte del reposo (v o = 0)? 

b) ¿Cuáles son las magnitudes de las velocidades de los cuerpos A y B en t = 6 s? 

c) Determina la aceleración para cada uno de los cuerpos desde t 1 = 0 s hasta t 2 = 6 s. 

v (m/s) 

8 

6 

B 

A 

4 

2 

0 

2 4 6 8 10 

t (s)


Figura 1.39 

25. En la figura 1.40 están representadas las gráficas de la velocidad en función del tiempo que muestran las 

velocidades del movimiento de tres cuerpos. 

a) ¿Qué características tiene el movimiento de cada uno de ellos? 

b) ¿Qué se puede decir acerca de las velocidades del movimiento de los cuerpos en los instantes que corresponden 

a los puntos A y B? 

c) Determina la aceleración de cada uno de estos cuerpos. 

v (m/s) 

7 

6 

3 

5 

4 

2 

3 

A 

B 

1 

2 

1 

t (s) 

TD&IS Training 0 1Distribution 2 3 5 and 6 Integrated 7 Services 

Figura 1.40 

26. Utilizando las gráficas de las velocidades de tres cuerpos (figura 1.41), realiza las siguientes tareas: 

a) Determina la aceleración de cada uno de los cuerpos. 

b) ¿En qué coinciden y en qué se diferencian los movimientos representados por las líneas de color rojo 1 y 2? 

v (m/s) 

7 

6 

3 

2 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

1 

2 

3 

1 

4 5 6 7 

t (s) 

Figura 1.41


27. En la figura 1.42, se muestran las gráficas de las velocidades del movimiento de tres cuerpos, según estas 

gráficas… 

a) determina qué significan los segmentos 0A, 0B y 0C sobre los ejes de coordenadas. 

b) determina las aceleraciones con las cuales se mueven los cuerpos. 

c) determina en qué coinciden y en qué se diferencian los movimientos representados por las líneas de 

color rojo 1 y 2. 

v (m/s) 

Cuerpo 1 

7 

6 

B 

Cuerpo 2 

5 

4 

3 

2 

A 

1 

0 

1 

C 

Cuerpo 2 

2 3 4 5 6 7 

t (s) 

Figura 1.42 

28. Analiza la la gráfica de la figura 1.43 de velocidad contra tiempo para un auto en movimiento rectilíneo 


y contesta las preguntas en clase con tus compañeros y tu maestro. Para resolver esta actividad, es conveniente 

que relaciones los conceptos teóricos de la cinemática con las ecuaciones del MRUA y también 

relacionarlos con los conceptos de geometría (áreas) y matemáticos (pendiente de una recta) vistos en otras 

unidades de aprendizaje. 

25 


20 

10 

3 

5 

15 20 25 30 35 

Tiempo (s) 

Figura 1.43 

a) ¿Cuál es la aceleración del auto en el intervalo de 0 a 5 s? 

b) Calcula la distancia recorrida por el auto en ese mismo intervalo de tiempo. 

c) ¿Cuál es la aceleración del auto en el intervalo de 5 a 10 s?, ¿qué tipo de movimiento tiene el auto 

en ese tiempo?


d) Determina la distancia recorrida por el auto en ese intervalo de 5 a 10 s. 

e) Explica de manera verbal lo que sucede en el intervalo de 15 a 20 s y también en el intervalo de 20 a 25 s. 

f ) ¿Qué tipo de movimiento presenta el auto en el siguiente intervalo de tiempo de 25 a 30 s? 

g) Calcula de nuevo la aceleración y la distancia recorrida para ese intervalo. 

h) Calcula ahora la aceleración del auto en el último intervalo de 30 a 34 s. 

i) Ahora, determina la distancia total recorrida por el auto desde el inicio de su recorrido. 

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Etapa 1 La mecánica y el entorno

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