Etapa 3 La mecanica y el entorno

ETAPA
3
CINEMÁTICA:
MOVIMIENTO CIRCULAR
TD&IS Training Distribution and Integrated Services

CONTENIDO CONCEPTUAL:
• Desplazamiento lineal y angular
• El radián, la revolución y el grado sexagesimal
como medidas angulares
• Velocidad lineal y angular
• Periodo y frecuencia
• Fuerza y aceleración centrípeta
CONTENIDO
PROCEDIMENTAL:
• Efectúa una analogía entre las magnitudes
lineales y las magnitudes angulares,
TD&IS Training Distribution reconociendo and Integrated las Services equivalencias y los factores de
conversión pertinentes.
• Aplica la primera y segunda leyes de Newton
para visualizar que el movimiento circular
uniforme es un movimiento acelerado.
• Calcula desplazamientos angulares a partir de
distancias lineales y viceversa.
• Calcula velocidades angulares la relación
entre desplazamiento angular y el tiempo
transcurrido y también a partir de velocidades
lineales, y viceversa.
• Calcula la aceleración centrípeta a partir de la
velocidad angular o de la velocidad lineal.
• Aplica la segunda ley de Newton para el cálculo
de la fuerza centrípeta.
• Relaciona la velocidad angular con la frecuencia
y el periodo de objetos que presentan un
movimiento circular uniforme.
• Utiliza simuladores (TIC) para obtener datos
experimentales de las magnitudes angulares.

126 La Mecánica y el Entorno
Introducción
En general se podría decir que en el entorno existen tantos movimientos circulares
como rectilíneos, por ejemplo, las manecillas del reloj, las llantas de las bicicletas,
patines y automóviles; la mayoría de los juegos mecánicos, las herramientas
como el taladro, la pulidora, etc. Se podría decir que un objeto gira cuando el
eje de rotación está dentro del cuerpo, y que da vuelta cuando el eje está afuera
del cuerpo, como ejemplo tenemos que la Tierra gira sobre su eje, generando el
día y la noche, y que además da vueltas al Sol cada determinado tiempo, dando
lugar a las estaciones del año.
Cada partícula formadora de un cuerpo sólido que gira sobre su propio eje describe
trayectorias circulares en torno al centro de rotación. Por ejemplo, en la
Tierra, nosotros, pequeñas partículas que vivimos en el planeta, nos encontramos
circulando alrededor de su eje.
El movimiento circular es un movimiento en dos dimensiones que relacionaremos
con lo estudiado en otras etapas: el movimiento rectilíneo. En este sentido, a
partir TD&IS de coordenadas Training Distribution rectangulares, and se Integrated hará una correlación Servicescon
la terminología
de cantidades angulares del movimiento circular para el estudio de la rotación de
los cuerpos rígidos.

Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 127
3.1. Desplazamiento lineal y angular
En el entorno no solo existen movimientos rectilíneos, sino que también se pueden
observar objetos que giran, rodean y rotan, como el ventilador de techo o la canasta
de la lavadora, los cuales describen movimientos circulares.
Consideremos una partícula que viaja por una trayectoria circular, como se muestra
en la figura 3.1. En un instante dado, la posición de la partícula (P) podría indicarse
con las coordenadas cartesianas x y y, lo que se enuncia como P(x,y), pero también
podría indicarse con las coordenadas polares r y y . La distancia r se extiende desde
el origen hasta el punto P (radio de un círculo), y el ángulo θ indica la amplitud entre
el eje x y la línea r, que comúnmente se mide en sentido antihorario a partir del eje x.
y
r
P
(x, y)
o
(r, θ)
θ
x
TD&IS Training Distribution and Integrated Services
Figura 3.1
Si utilizamos las ecuaciones trigonométricas para relacionar las coordenadas rectangulares
(x, y) y las coordenadas angulares o polares (r, θ), tendríamos…
x = r cosθ
y = r senθ
Si r es la misma para cualquier punto de un círculo dado, entonces, se dice que
r es constante y lo que cambia con el tiempo para un movimiento circular es θ, a
lo que podemos decir que el movimiento circular se puede describir con una sola
coordenada angular (θ) que cambia con el tiempo. Esta magnitud física se denomina
desplazamiento angular y se define como el ángulo descrito por un cuerpo que se
encuentra en movimiento circular.
De manera análoga al movimiento rectilíneo, se puede decir que el desplazamiento
angular de una partícula en una trayectoria circular es…
∆θ = θ – θ o

128 La Mecánica y el Entorno
Si en todos los casos se considera que θ o = 0° tendremos que ∆θ = θ. Una de las
unidades que se utiliza comúnmente para expresar el desplazamiento angular es el
grado sexagesimal (°); y es conocido que en un círculo completo existen 360°.
En términos de describir el movimiento circular tangencialmente,
se tiene que relacionar el desplazamiento
angular con la longitud del arco s, como se
muestra en la figura 3.2. La longitud del arco (s) es la
distancia recorrida a lo largo de una trayectoria circular;
nota que, si se suman todas las distancias s, se
obtendrá la circunferencia.
Teniendo en cuenta lo anterior, vamos a introducir otra
Figura 3.2
unidad de medida de desplazamiento angular. Esta se
conoce con el nombre de radián. Un radián se define como un ángulo formado en el
centro de un círculo por un arco de circunferencia cuya longitud mide lo mismo que
el radio del círculo.
Un radián es una importante relación entre la longitud del arco circular, s, y el radio
del círculo, r. Vemos entonces que el ángulo en radianes es el cociente de dos longitudes:
Tanto la longitud del arco s como el radio de la circunferencia r son magnitudes de
longitud,
TD&IS Training
y cuando estas
Distribution
miden exactamente
and Integrated
lo mismo,
Services
entonces el ángulo que se
genera es de 1 radián.
¿Cuántas veces cabe un radián en una circunferencia completa y cuál es su equivalencia
en grados?
Para obtener una relación entre radianes y grados, se tendrá que considerar la distancia
total de un círculo en grados, es decir, θ = 360°. Asimismo, recordemos que el
perímetro de un círculo está dado por s = 2π r, dado que tenemos:
(1)
-1
1
-1
θ
s
1
Sustituimos en ambos lados de la ecuación θ y s:
Por lo que obtenemos:
Esta relación será útil para realizar fácilmente las conversiones entre ángulos y radianes.
Por lo que, al despejar 1 radián en grados, obtenemos:
1 radián = 57.3˚

Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 129
Es importante hacer notar que en este tipo de operaciones
es necesario utilizar cuatro cifras significativas
para redondear al siguiente dígito de peso,
además de utilizar el valor completo de π en la calculadora.
Se puede ver en la tabla 3.1 las equivalencias
más comunes entre radianes y grados, expresadas
en términos de π para mayor facilidad e
identificación.
Otra forma de transformar de grados a radianes es…
Tabla 3.1 Medidas
equivalentes en grados y
radianes
Grados
Radianes
360° 2 π
270°
180° π
90°
60°
57.3° 1
45°
30°
EJEMPLO 3.1
Considera un sistema de riego circular que tiene una longitud máxima 200 m desde
el pivote central hasta el final del brazo (figura 3.3). Se le han colocado diversos
aspersores para el TD&IS riego del Training terreno, cada Distribution uno de ellos and instalado Integrated a 3.6 Services m uno del
otro hasta llegar a 54 m en el extremo desde del pivote central. Si solo se desea
irrigar un cuarto del total de la circunferencia del terreno, ¿qué distancia recorren
el primer y el último aspersor para ese tramo?
Solución
Consideremos que, de ¼ de circunferencia partiendo de una referencia (figura 3.4),
se puede determinar el ángulo del segmento que se regará, que es de 90°.
Datos:
r 1 = 3.6 m (primer aspersor)
Figura 3.3
r 14 = 54 m (último aspersor)
θ = 90° =
radianes
B
Incógnitas:
s 1 = ?
r
θ
A
s 14 = ?
Figura 3.4

130 La Mecánica y el Entorno
¿Qué vamos hacer? Calcular la longitud del arco (s) que recorre cada aspersor utilizando la distancia de
cada aspersor desde el pivote central hasta su ubicación sobre el brazo.
¿Cómo lo vamos hacer? Se tendrá que encontrar la distancia utilizando la ecuación 1 y los datos proporcionados.
Procedimiento:
Utilizamos la ecuación 1:
Despejando s, tenemos:
Sustituyendo para cada valor de r:
s = θ · r
Interpretación del resultado:
El primer aspersor riega la tierra recorriendo una distancia de 5.655 m, y el último aspersor, ubicado a
54 m del pivote central, recorre una distancia de 87.823 m, ambos desde su referencia hasta cubrir solo
¼ de la circunferencia del TD&IS terreno Training (figura 3.4); Distribution es decir, ambos and aspersores Integrated (y Services también los demás) tuvieron
exactamente el mismo desplazamiento angular, pero diferente desplazamiento lineal.
y
3.2. Velocidad lineal y angular
0
B ,t
f
r
θ f
θ i
A ,t i
x
Con anterioridad se ha descrito el concepto de velocidad relacionado con
el movimiento rectilíneo, el cual se define como la razón de cambio de
posición con el tiempo (v = Δx/Δt). De manera análoga, se puede decir
que, si una partícula o un objeto se desplaza en una trayectoria circular
∆θ (figura 3.5) en un intervalo de tiempo Δt, definirá la razón de rotación,
a lo que llamaremos velocidad angular y se utilizará la letra del
alfabeto griego omega (ω) para representarla:
(2)
En resumen, la velocidad angular es la magnitud de desplazamiento angular
divida entre el tiempo que se tardó en recorrer dicho ángulo. Las
unidades de la velocidad angular en el sistema internacional están dadas
en radianes por segundo, pero también se puede escribir s -1 , dado que el
radián es una unidad adimensional.

Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 131
Recuerda que, en muchos casos, consideramos el desplazamiento
angular inicial como θ i = 0, así como también t i = 0, por lo que la
ecuación (2) se puede escribir simplemente como…
(x)
(x)
Como vemos, la velocidad angular y el desplazamiento angular están
relacionadas, sin embargo, la velocidad angular es considerada
una magnitud vectorial. Para determinar la dirección del vector velocidad
angular, se utiliza la regla de la mano derecha (figura 3.6),
donde se colocan los dedos de la mano derecha siguiendo el sentido
de giro, y el pulgar extendido apuntará hacia a donde se dirige
el vector velocidad angular. El movimiento circular solo tiene dos
sentidos: a favor o en contra de las manecillas del reloj.
(x)
(+)
(-)
(x)
(x)
(x)
a)
b)
EJEMPLO 3.2
Un automóvil se desplaza por una carretera en las
montañas que tiene diversas curvas debido a la topografía
del lugar, y una de esas curvas tiene un
ángulo de 180° (figura 3.7). El auto toma la curva;
luego, avanzó hasta terminarla en un tiempo de 5s.
¿Qué velocidad angular llevó al transitar la curva?
Solución
Primero, identificamos los datos que tenemos:
Datos:
θ f = 180°
θ i = 0°
∆t = 5s
Incógnita:
TD&IS Training Distribution and Integrated Services
Figura 3.6. Regla de la mano derecha: al cerrar los dedos
de la mano derecha en la dirección del movimiento circular
que sigue el objeto, el pulgar apuntará en la dirección
del vector de la velocidad. Los signos positivos y negativos
del sentido o dirección se muestran en las figuras a) y b).
ω = ?
¿Qué vamos a hacer? Calcular la velocidad angular que lleva el carro en su trayectoria de la curva.
¿Cómo lo vamos hacer? Se tendrán que realizar las conversiones para cada uno de los ángulos y, luego, se
sustituirán los datos en la ecuación 2.

132 La Mecánica y el Entorno
Procedimiento:
Se realizan las conversiones para cada uno de los ángulos:
θ f = 180° = π rad
θ i = 0° = rad
Utilizamos la ecuación 4:
Sustituimos los valores:
ω =
rad - 0 rad
5 s - 0 s
ω =
3.1416 rad
5 s
Interpretación del resultado:
El auto lleva una velocidad angular de 0.628 rad/s al transitar por la curva.
TD&IS Training Distribution and Integrated Services
3.3. Relación entre velocidad angular y velocidad tangencial
Dentro del movimiento circular, todas las partes que contiene el objeto se comportan
como un único punto (partícula única) que sigue la trayectoria de una circunferencia,
manteniendo una trayectoria perpendicular al radio de esta circunferencia, por lo que
la velocidad lineal también recibe el nombre de velocidad tangencial (figura 3.8).
Δs
v 1
v 2
r
Δθ
Figura 3.8

Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 133
La velocidad tangencial está dada por la ecuación que ya conocemos:
Se despeja s de la ecuación 1 y nos queda:
s = r * θ
Por otro lado, despejando desde la fórmula de la velocidad angular, tenemos:
θ = ωt
Sustituyendo:
s = r * ωt
Trasponiendo t al miembro izquierdo de la igualdad, tenemos:
Por lo que podemos calcular la velocidad lineal o tangencial a partir de la velocidad
angular con la siguiente ecuación:
v = rω (3)
EJEMPLO 3.3
TD&IS Training Distribution and Integrated Services
Dos ciclistas recorren una pista circular y ambos dan una vuelta en el mismo tiempo (40 s); el ciclista A se
encuentra a 20 m del centro de la pista y el ciclista B se encuentra a 30 m del centro (figura 3.9). Calcula
lo siguiente:
a) El desplazamiento angular de ambos ciclistas expresado en radianes.
b) La distancia recorrida por cada uno de los ciclistas a lo largo de la trayectoria circular.
c) La velocidad angular de ambos ciclistas.
d) La velocidad tangencial de cada uno de ellos.
Solución
Identificar los datos que tenemos:
Ciclista A
Datos:
θ = 1 vuelta o revolución
∆t = 40 s
r A = 20 m
r B = 30 m
Ciclista B
Figura 3.9

134 La Mecánica y el Entorno
Incógnitas:
a) θ A = ?; θ B = ?
b) s A = ?; s B = ?
c) ω A = ?; ω B = ?
d) v A = ?; v B = ?
¿Qué vamos hacer? Primero se realizará una conversión de unidades para encontrar el desplazamiento
angular y con ese dato se podrá obtener la distancia recorrida para cada uno de los ciclistas. Utilizando la
ecuación 2, se calcula la velocidad angular que lleva cada ciclista; por último, con la ecuación 3 se obtendrá
la velocidad tangencial.
¿Cómo lo vamos hacer? Para encontrar el desplazamiento angular, lo único que haremos es una conversión
de unidades para convertir revoluciones a radianes, y, dado que ambos ciclistas recorren una sola vuelta a
la pista, entonces ambos tendrán el mismo desplazamiento angular.
Procedimiento:
a) Se realizarán las conversiones de revoluciones a radianes.
TD&IS Training Distribution and Integrated Services
θ A = 6.28 rad
θ B = 6.28 rad
b) Utilizamos la ecuación 1 para calcular la distancia recorrida por cada ciclista:
Se despeja y calcula s para cada ciclista:
s = θ · r
s A = (6.28 rad) (20 m)
s A = 125.66 m
s B = (6.28 rad) (30 m)
s B = 188.49 m
c) Para encontrar la velocidad angular, aplicamos la ecuación 2, recordando que ambos ciclistas recorren
el mismo desplazamiento angular:

Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 135
d) Por último, aplicamos la ecuación 3 para obtener la velocidad tangencial:
v A = 3.14 m/s
Interpretación de los resultados:
v B = 4.71 m/s
a) Ambos ciclistas recorren una vuelta (1 revolución) a la pista circular, por lo tanto, ambos recorren el
mismo desplazamiento angular (2π = 6.28 rad).
b) En este caso, el desplazamiento lineal es diferente, ya que la distancia de cada ciclista hacia al centro
de la pista es diferente y, por lo tanto, el ciclista B recorre una distancia mayor (188.49 m) que el
ciclista A que se encuentra más cerca del centro (125.66 m).
TD&IS Training Distribution and Integrated Services
c) Para la velocidad angular, encontramos que ambos ciclistas tienen exactamente la misma, pues ellos
recorren el mismo desplazamiento angular (6.28 rad = 1 rev) en el mismo tiempo (40 s).
d) En el caso de la velocidad tangencial, tenemos que también es diferente, ya que esta depende de la
distancia del ciclista al centro de la pista o centro de rotación, es decir, depende del radio de giro, el
cual, para el ciclista A, es de 20 m, y para el ciclista B es de 30 m, dando como resultado una mayor
velocidad angular para el ciclista B (4.71 m/s) que para el ciclista A (3.14 m/s).
Como conclusión, podemos decir que las magnitudes angulares no dependen del radio de giro, mientras que
las magnitudes lineales sí dependen de él, y mientras mayor sea este radio de giro, mayor será la magnitud
angular a que nos refiramos.
3.4. Frecuencia y periodo
Cuando existe un movimiento circular, también se hace referencia a dos conceptos
relacionados con este, que son frecuencia y periodo.
En general, se le llama frecuencia al número de ciclos por unidad de tiempo que
efectúa un cuerpo en movimiento vibratorio, ondulatorio, o bien, como en nuestro
caso, movimiento circular. La frecuencia se representa con la letra f.
Para el movimiento circular, la frecuencia se expresa en revoluciones o vueltas alrededor
del centro de rotación. Por su parte, las unidades de tiempo pueden ser horas,

136 La Mecánica y el Entorno
minutos, segundos o cualquier otra unidad de tiempo. Como ejemplos de frecuencias
podemos mencionar los siguientes:
• Frecuencia de rotación de la Tierra: 1 revolución/día
• Frecuencia de traslación de la Tierra: 1 revolución/año
• Frecuencia del minutero de un reloj analógico: 1 revolución/hora
• Frecuencia de un disco vinílico LP: 33 revoluciones/minuto
La frecuencia representa la cantidad de veces que se repite un evento por cada unidad
de tiempo transcurrido. Para el caso del movimiento circular, la frecuencia por
unidad de tiempo representa el número de vueltas o revoluciones que un objeto da
alrededor de un eje.
Podemos calcular la frecuencia mediante la siguiente expresión:
(4)
Veamos TD&IS el Training siguiente Distribution ejemplo: and Integrated Services
EJEMPLO 3.4
La rueda de una bicicleta gira 230 vueltas en 1.5 min (figura 3.10).
¿Cuál es la frecuencia de la rueda?
Solución
Inicialmente, identificamos los datos que tenemos.
Datos:
Núm. de revoluciones = 230 rev
t = 1.5 min
Incógnita:
Figura 3.10
f = ?
¿Qué vamos hacer? Calcular la frecuencia con la que se mueve la rueda de la bicicleta.
¿Cómo lo vamos hacer? Se realiza la sustitución de los datos y se hace la referencia a la cantidad de vueltas
que se dan por minuto.

Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 137
Procedimiento:
Aplicamos la ecuación 4 sustituyendo los datos que tenemos:
f = 153.33 rev/min
f = 153.33 rpm
Interpretación del resultado:
Donde rpm significa “revoluciones por minuto”, es decir, representa el número de vueltas que la rueda da
alrededor de su eje cada minuto, o sea, 153.33 vueltas por cada minuto que transcurre.
Es importante mencionar que tanto las revoluciones como los ciclos no son unidades de medición, sino que
son términos descriptivos.
EJEMPLO 3.5
TD&IS Training Distribution and Integrated Services
Un disco vinílico se coloca en una tornamesa para escucharlo; el
disco efectúa 66 vueltas completas en 120 s. Determina la frecuencia
en a) rev/s, b) ciclos por segundo, c) 1/s (s -1 ) y d) Hertz.
Solución
Primero, identificamos los datos que tenemos.
Datos:
Núm. de revoluciones = 66 vueltas = 66 ciclos = 66 revoluciones
Figura 3.11
t = 120 s
Incógnita:
f = ? (en diferentes términos y unidades)
¿Qué vamos hacer? Calcular la frecuencia con el que se mueven el disco vinílico en sus diferentes términos.
¿Cómo lo vamos hacer? Se realiza la sustitución de los datos y se hace la referencia para cada término utilizando
la siguiente ecuación:

138 La Mecánica y el Entorno
Procedimiento:
Sustituimos los valores:
Frecuencia en rev/s:
Frecuencia en ciclos/s:
Frecuencia en 1/s:
Frecuencia en Hertz:
Interpretación del resultado:
La frecuencia se puede referenciar en diferentes formas, ya sea en términos descriptivos (revoluciones o ciclos)
o en unidades del sistema internacional (1/s o s -1 o Hertz). Estos discos vinílicos, que en su época fueron
muy populares, salieron a la venta con la característica de que giraban a 33 rpm (revoluciones por minuto).
TD&IS Training Distribution and Integrated Services
Definiremos ahora como periodo al tiempo que tarda un objeto en movimiento
circular en efectuar una revolución completa, se representa con la letra T.
Por ejemplo, se puede mencionar que la Tierra se encuentra rotando sobre su
propio eje y que lo hace en 24 horas, es decir, que tarda 24 horas en pasar nuevamente
por un punto de referencia (en Sol), por lo que su periodo es de 24 horas.
Además, de todos es conocido que la Tierra se tarda en promedio 365 días en
darle la vuelta el Sol, por lo que podemos decir que su periodo, en general, es de
un año en hacer un ciclo completo, una revolución completa.

Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 139
Te sugerimos ingresar al link https://giphy.com/gifs/motion-jITxxiqdKCCbK para
observar el archivo animado de cómo un ciclo corresponde a una revolución completa,
es decir, 360° o, lo que es lo mismo, 2π (figura 3.12).
Figura 3.12
1 ciclo
2 ciclos
π
2
+
π
2π
3π
4π
0 180 o
360 o 540 o 720 o
θº
π
2π
-
1 T
2T
3π
2
Tanto la frecuencia como el periodo son recíprocos uno del otro y se relacionan con
la siguiente fórmula:
La frecuencia también puede relacionarse con la velocidad tangencial. En el caso del
movimiento circular TD&IS uniforme, Training la velocidad Distribution tangencial se and puede Integrated escribir como… Services
(5)
Es decir, se trata de la distancia recorrida de 2π r (una revolución) alrededor de un
círculo de radio r, dividida entre el tiempo de un periodo (T). Recordando que en
términos de velocidad angular se tiene:
Sustituyendo:
Por lo que nos queda:
Sustituyendo la fórmula de frecuencia:
Por lo que nos queda:
ω = 2π f (6)
Estas fórmulas están describiendo la velocidad angular en términos de periodo y de frecuencia
respectivamente, recordando que las unidades de la velocidad angular son rad/s.

140 La Mecánica y el Entorno
EJEMPLO 3.6
Si se tiene un CD-ROM que está girando a 2 500 rpm.
¿Cuál será su frecuencia y periodo? ¿Cuál será su velocidad angular?
Solución
Primero, identificamos los datos que tenemos. En este ejemplo ya nos dan el dato de frecuencia:
Datos:
f = 2500 rpm
Incógnitas:
f = ?
T = ?
ω = ?
¿Qué vamos hacer? Obtener la frecuencia y el periodo con el que gira el CD-ROM, así como calcular la
velocidad angular.
¿Cómo lo vamos resolver? Dado que ya contamos con la frecuencia, únicamente la convertimos a revoluciones
por segundo, y, posteriormente, calculamos el periodo.
TD&IS Training Distribution and Integrated Services
Procedimiento:
Llevamos a cabo la conversión de unidades:
Despejando T y sustituyendo en la ecuación 5:

Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 141
Se aplica ahora la ecuación 6 y se calcula la velocidad angular con la frecuencia en rps:
ω = (2π)(41.67
rev s )
Interpretación del resultado:
La velocidad angular del CD ROM es de 261.8 rad/s.
3.5. Fuerza y aceleración centrípeta
En la etapa 1 de este curso se analizó el movimiento en una dimensión y se definió
la aceleración como el cambio en la velocidad (o la rapidez) de un cuerpo respecto
al tiempo durante su movimiento, es decir, la razón de cambio de la velocidad. Por
su lado, en el movimiento circular uniforme la velocidad del objeto no cambia en
su magnitud, pues siempre es la misma, pero sí existe un cambio en la dirección del
movimiento, por lo que podemos decir que este tipo de movimiento es acelerado
(figuras 3.13 y 3.14). TD&IS Training Distribution and Integrated Services
ΔV
V 2
= V 1
+ΔV
V 2
V 3
V 1
V 1
V 2
ΔV
V 3 = V 2 +ΔV
La velocidad es diferente porque
cambia la dirección
V ₁≠
V ₂≠
V₃
Figura 3.13

142 La Mecánica y el Entorno
v
v
R
R
v
v
Δv
Figura 3.14
El movimiento circular, ya sea uniforme o no uniforme, se puede explicar desde el
punto de vista de la primera y segunda leyes de Newton.
La primera ley de Newton establece que el movimiento natural de un cuerpo debe
ser en línea recta y con velocidad constante, esto quiere decir que la velocidad no
debe cambiar de magnitud ni de dirección; sin embargo, en el movimiento circular,
el objeto que gira cambia se dirección constantemente, por lo que debe haber algo
que provoque ese cambio.
Por TD&IS otra parte, Training la segunda Distribution ley de Newton and Integrated establece que, Services cuando un cuerpo no está en
equilibrio, entonces está acelerado.
En una trayectoria circular, la aceleración apunta directamente hacia el centro del
círculo; a esta se le llama aceleración centrípeta, la cual se dirige radialmente hacia
el centro de rotación y es la que provoca
V el movimiento en una trayectoria circular
1
y no en forma recta.
r
Δθ Δs
V
2
La magnitud de la aceleración centrípeta
puede deducirse de los pequeños triángulos
sombreados de la figura 3.15 si se
tiene en cuenta que el intervalo de tiempo
para la distancia recorrida es muy pequeño
(casi tendiendo a cero), por lo que…
Si tenemos que…

Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 143
Sustituyendo:
Reacomodando los términos:
Obtenemos la aceleración centrípeta en términos de velocidad tangencial, que es…
(7)
Si queremos la aceleración centrípeta en términos de velocidad angular, se utiliza la
ecuación 3 para sustituir la velocidad tangencial:
(3)
TD&IS Training Distribution and Integrated Services
(8)

144 La Mecánica y el Entorno
EJEMPLO 3.7
Si se tiene en cuenta un CD que gira a 500 rpm y que su diámetro es de 12 cm, encuentra la aceleración
centrípeta y la velocidad tangencial. Si se desplaza una partícula en el extremo durante 3 s, encuentra la
distancia recorrida.
Solución
Identificamos los datos que tenemos.
Datos:
f = 500 rpm
d = 12 cm, por lo tanto, r = 6 cm
t = 3 s
Incógnitas:
a c = ?
v = ?
s = ?, para t = 3 s
¿Qué vamos hacer? Encontrar la aceleración centrípeta utilizando las ecuaciones para el movimiento circular
uniforme y la velocidad. TD&IS Si pasan Training 3 s con Distribution esa velocidad, and se podrá Integrated encontrar Services la distancia que recorre una
partícula ubicada al extremo del centro del CD.
¿Cómo lo vamos hacer? Calculando la velocidad angular del CD a partir de la frecuencia, pasando a SI la
distancia del radio del CD y encontrando la aceleración con la que gira el CD. Posteriormente, encontrando
la velocidad y utilizando este dado para hallar el desplazamiento a los 3 s.
Procedimiento:
Se convierte la frecuencia a revoluciones por segundo:
Se calcula la velocidad angular:

Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 145
Se aplica la ecuación 8 para calcular la aceleración centrípeta:
Para encontrar de velocidad tangencial, se utiliza la ecuación 5:
Se sustituyen los datos:
v = rw
Recordando la ecuación:
Se despeja la distancia s:
Se sustituyen los datos:
s = 9.425 m
TD&IS Training Distribution and Integrated Services
Interpretación del resultado:
La aceleración centrípeta del CD es de 164.49 m/s 2 y la partícula ubicada a 6 cm del centro del CD recorre
9.425 m a lo largo de una trayectoria circular con una velocidad lineal de 3.142 m/s.
Todos los objetos que giran en una trayectoria curva tienen un movimiento acelerado,
es decir, presentan aceleración, que, como ya vimos, se llama aceleración
centrípeta. Este movimiento acelerado requiere, por lo tanto, una fuerza dirigida
hacia el centro de rotación. A dicha fuerza se le llama fuerza centrípeta, que significa
“buscando el centro”; de esta manera, tenemos que la fuerza centrípeta siempre es
perpendicular a la dirección del movimiento. ¿Cómo se obtiene?
Por la segunda ley del movimiento de Newton tenemos que…
F c = ma c
Sustituyendo la ecuación de aceleración centrípeta en función de la velocidad tangencial,
tenemos que…
(9)
O, por otro lado, podemos utilizar la ecuación de la aceleración centrípeta en función
de la velocidad angular; en dicho caso, tenemos que…
(10)

146 La Mecánica y el Entorno
EJEMPLO 3.8
Una persona gira una piedra de 350 g con una cuerda de 60 cm de longitud atada a ella con una frecuencia
de 50 rpm (figura 3.16). Determina la fuerza centrípeta que se ejerce sobre la piedra.
Solución
Primero, identificamos los datos que tenemos.
Datos:
m = 350 gr = 0.35 kg
r = 60 cm = 0.6 m
n = 50 rpm
Incógnita:
F C = ?
Fuerza centrípeta (Fc)
¿Qué vamos hacer? Encontrar la fuerza centrípeta utilizando las ecuaciones para el movimiento circular
uniforme.
¿Cómo lo vamos hacer? Convirtiendo la velocidad en radianes por segundo y, posteriormente, encontrando
la aceleración para obtener la fuerza centrípeta.
Procedimiento:
Calculemos primero la velocidad
TD&IS
angular
Training
de
Distribution
la piedra:
and Integrated Services
Calculemos ahora la aceleración centrípeta utilizando la ecuación 9:
Calculemos ahora la fuerza centrípeta:
a c = (5.23 rad/s) 2 (0.6 m)
a c = 16.45 m/s 2
Interpretación del resultado:
La persona ejerce una fuerza de 5.76 N para que la piedra gire a 50 rpm con una aceleración de 16.45 m/s 2 .

Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 147
Ahora, en el siguiente ejemplo, podemos calcular todo lo que hemos visto:
EJEMPLO 3.9
La Tierra, con una masa de 6×1024 kg y un radio aproximado de 6 375 km, gira sobre su propio eje
(rotación) (figura 3.17). Determina el periodo, frecuencia, velocidad angular, velocidad tangencial, aceleración
y fuerza centrípeta.
Solución
Identificamos los datos que tenemos.
Datos:
m = 6×10 24 Kg
r = 6 375 km
Incógnitas:
T = ?
f = ?
ω = ?
v = ?
a c =?
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F c = ?
¿Qué vamos hacer? Pensar en una estrategia para ir poco a poco encontrando los valores para cada incógnita
utilizando las ecuaciones del movimiento circular.
¿Cómo lo vamos hacer? Partiremos con datos generales que todos conocemos, como el tiempo que tarda la
Tierra en girar en su propio eje, que es de 24 horas. Este dato lo convertiremos en segundos y utilizaremos
fórmulas del tema para encontrar la frecuencia. Con el dato del radio de la Tierra, encontraremos la velocidad
angular. Para conocer la velocidad tangencial, utilizaremos los datos del periodo y el radio de la Tierra.
Posteriormente, se encontrará la aceleración para así obtener el dato de la fuerza centrípeta.
Procedimiento:
Recordemos que la Tierra se tarda en girar en su propio eje 24 horas, por lo que es necesario convertirlo en
segundos para determinar el periodo de rotación:

148 La Mecánica y el Entorno
De la siguiente manera, este dato se transforma en frecuencia de rotación:
f = 1.15 × 10 -5 Hz
Podemos utilizar la ecuación 7 con la frecuencia, o bien, se puede usar el dato del periodo para encontrar
la velocidad angular:
ω = 2πf ω = 2π (1.15 × 10 -5 )
ω = 7.27 × 10 -5 rad/s
Se puede observar que, con ambas ecuaciones, se llega al mismo resultado.
Calculemos ahora la velocidad tangencial de un punto en el ecuador:
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Podemos encontrar la aceleración centrípeta:
Ahora, para la fuerza centrípeta, tenemos:
a c = 0.0299 m/s 2
F c = 2.02 ×10 23 N

Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 149
Interpretación del resultado:
La fuerza centrípeta que se ejerce de la Tierra hacia el centro de su eje de rotación es de 2.02 × 10 23 N cada
día con una frecuencia de rotación de 1.15 × 10 -5 Hz y con una aceleración angular de 0.0299 m/s 2 .
Para concluir este tema, recordemos que la fuerza centrípeta es la que provoca que un cuerpo que gira en
torno a un eje de rotación no siga una trayectoria recta. Esta puede ser la tensión de una cuerda, la fricción
entre las llantas de un automóvil y el pavimento, la gravedad, etc. Pero, ¿cómo aplica la tercera ley de
Newton en el movimiento circular? Esta ley establece que “para toda fuerza de acción hay una fuerza de
reacción igual y opuesta”. A la reacción de la fuerza centrípeta se le conoce como fuerza centrífuga y está
dirigida en dirección contraria, es decir, hacia afuera del centro de rotación. En realidad, la fuerza centrífuga
es una fuerza aparente, a veces llamada pseudo fuerza, ya que su efecto “centrífugo” se debe a la inercia del
movimiento del cuerpo, pues no debemos olvidar que la primera ley de Newton establece que el movimiento
de un cuerpo debe ser rectilíneo y uniforme.
■ Actividad 1 Movimiento circular uniforme
Resuelve los siguientes ejercicios utilizando las ecuaciones del movimiento circular uniforme.
Ejercicio 1
Procedimiento
Se hace girar un trompo que tiene un diámetro en lo más ancho
(6 cm) durante 4 s; este lleva una rapidez constante de 1.96 m/s.
Encuentra la aceleración centrípeta y la distancia recorrida.
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Datos
Fórmula(s)
Resultado e interpretación

150 La Mecánica y el Entorno
Ejercicio 2
El “brinca-brinca” es un juguete que consiste en una pelota unida a
una cuerda y a su otro extremo con un círculo que se introduce en
el pie; al empezar a girar, la pelota describe un círculo. Teniendo
en cuenta que el largo de la cuerda mide 1.2 m y lleva una rapidez
constante de 5.3 m/s, determina la aceleración centrípeta, la
velocidad angular, el periodo y la frecuencia de la pelota.
Procedimiento
Datos
Fórmula(s)
Resultado e interpretación
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Ejercicio 3
Una revolvedora es una máquina que tiene las siguientes
medidas: diámetro de la olla, 87 cm; diámetro de la boca, 52 cm.
Si su velocidad es de 37 rpm, encuentra la aceleración centrípeta,
la velocidad tangencial y la distancia recorrida de una partícula
pegada a la pared de la olla a 5 min de que esté funcionando.
Procedimiento
Datos
Fórmula(s)
Resultado e interpretación

Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 151
Ejercicio 4
Mercurio, con una masa de 3.285 × 1023 kg, gira alrededor del
Sol (centro a centro) con un radio aproximado de 57.91 × 106
km. Si tarda 88 días terrestres en hacer el giro. Determinar el
periodo, frecuencia, velocidad angular, velocidad tangencial,
aceleración y fuerza centrípeta.
Procedimiento
Datos
Fórmula(s)
Resultado e interpretación
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Ejercicio 5
La Estación Espacial Internacional (ISS, por sus siglas en
inglés) es una plataforma de 420 ton, en la que se lleva a cabo
investigación multidisciplinaria. Se encuentra ubicada a unos
408 km de la superficie de la Tierra y en un día realiza 16 vueltas
completas con una velocidad promedio de 7.67 km/s.
Determina el periodo, frecuencia, velocidad angular, aceleración
y fuerza centrípeta.
Procedimiento
Datos
Fórmula(s)
Resultado e interpretación

152 La Mecánica y el Entorno
Preguntas conceptuales del mcu
1. ¿A qué se le llama movimiento circular uniforme?
2. ¿De qué manera se representa el movimiento circular en la vida cotidiana?
3. ¿Cuántos tipos de movimiento circular existen? Descríbelos.
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4. Describe la diferencia entre velocidad angular y velocidad lineal.
5. ¿Cuántas clases de velocidades hay en el movimiento circular uniforme? ¿Cuáles son sus magnitudes?
6. ¿Cuál es la causa por la cual una piedra que hacemos girar mediante una cuerda sale tangencialmente y
no radialmente al soltarse la cuerda?

Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 153
7. Dos ciclistas recorren una pista circular en la posición mostrada en la figura figura
3.18. ¿Cuál de ellos tendrá la mayor velocidad angular? ¿Cuál tendrá la mayor
aceleración centrípeta? Justifica tu respuesta.
8. Una mosca está parada en un disco que gira junto con ella (figura 3.19). Los vectores
V 1 y V 2 representan dos magnitudes de este tipo de movimiento. Describe cada
uno de ellos y justifica tu respuesta.
V 1
V 2
Fuerza centrípeta (Fc)
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9. Una persona gira en movimiento circular una piedra atada a una cuerda, como
se muestra en la ella figura 3.20. Si la cuerda llegara a reventarse. ¿Qué fuerza hará
que la piedra salga en línea recta: la fuerza centrípeta, la fuerza centrífuga o ninguna
de ellas? Justifica tu respuesta.
B
10. Dos corredores, A y B, recorren una pista circular en la posición que se muestra
en la figura 3.21. El corredor A lleva una velocidad angular de 0.03 rad/s y el corredor
B, una velocidad angular de 0.02 rad/s. ¿Cuál de ellos tiene un mayor periodo?
Según su posición relativa respecto al centro de la pista, ¿cuál llevaría la mayor
velocidad tangencial? Justifica tus respuestas.
A

154 La Mecánica y el Entorno
Preguntas de opción múltiple
1. En el movimiento circular uniforme…
a) los vectores posición, velocidad y aceleración cambian con el tiempo.
b) el vector velocidad es constante y la posición es variable.
c) el vector velocidad y la aceleración son constantes y la posición es variable.
d) los vectores posición, velocidad y aceleración son constantes.
2. El tiempo que demora un objeto en completar una vuelta en un movimiento circular se llama…
a) periodo.
b) frecuencia.
c) frecuencia angular.
d) velocidad lineal.
3. Para un movimiento circular uniforme, el objeto debe experimentar una aceleración dirigida. ¿Cuál es?
a) Radial hacia adentro
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b) Radial hacia afuera
c) Tangencial a la trayectoria
d) Perpendicular al radio de la curva
4. El peralte de las carreteras ayuda a disminuir…
a) la velocidad de los autos.
b) el esfuerzo de las llantas.
c) la aceleración.
d) el peso del auto.
5. Un juego mecánico de la feria consta de una plataforma giratoria de 8 m de diámetro y gira con un
periodo de 2 s. La velocidad de una persona que se encuentra a 3 m del centro es…
a) 1.5 m/s
b) 9.42 m/s
c) 4.0 m/s
d) 37.7 m/s

Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 155
6. Respecto a la pregunta anterior:
a) todas las personas a bordo tienen la misma velocidad angular, aunque se encuentren a diferentes
distancias del centro.
b) entre más cerca del centro esté la persona, menos demora en dar una vuelta.
c) entre más cerca esté del centro, mayor velocidad tendrá.
d) entre más lejos esté del centro, más demorará en dar una vuelta.
7. Si la velocidad de un auto es 20 m/s, la frecuencia de sus ruedas de 50 cm es…
a) 10 Hz
b) 6.34 Hz
c) 0.002 Hz
d) 0.4 Hz
8. Imagina que haces girar tu brazo extendido. ¿Qué parte tendrá mayor velocidad angular: el codo o la
mano?
a) El codo
b) La mano
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c) Las dos por igual
d) Ninguna de las anteriores
9. ¿Cómo dibujarías el vector velocidad en un movimiento circular uniforme?
a) Apuntando hacia el centro de la curvatura
b) Hacia afuera
c) El vector forma un ángulo de 90° con el radio de giro en el punto de la trayectoria
d) No se puede dibujar
10. ¿Por qué existe aceleración en un movimiento circular uniforme?
a) Porque cambia la dirección y el sentido del vector velocidad, aunque no cambie el módulo.
b) Porque cambia la dirección del vector velocidad, aunque no cambie el sentido ni el módulo.
c) Porque cambia el sentido del vector velocidad, aunque no cambie el módulo ni la dirección.
d) Ninguna es cierta.

156 La Mecánica y el Entorno
Problemas de movimiento circular
1. Un cuerpo en rotación tiene una frecuencia de 50 rev/min.
a) ¿Cuál es su velocidad angular en rad/s?
b) ¿Cuál es su desplazamiento angular en radianes al transcurrir 2.5 s?
2. Una rueda de alfarero gira con una frecuencia de 0.35 rev/s. Determina su velocidad angular en radianes
por segundo.
3. Una bicicleta con ruedas de 66 cm de diámetro viaja a una velocidad de 16 m/s. ¿Cuál es la velocidad
angular de las ruedas de esta bicicleta?
4. Las hélices de un helicóptero giran a 120 rpm,
a) ¿cuál es su velocidad angular en radianes por segundo?
b) Si el diámetro de la hélice es de 5 m, ¿cuál es la velocidad tangencial en el extremo de la misma?
5. ¿Cuál es la velocidad tangencial de un disco LP en su perímetro? El diámetro del disco es de 12 pulgadas
y su frecuencia es de 33.3 rpm.
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6. Una partícula que gira por una trayectoria circular da 18 vueltas en 4 s. Determina…
a) la velocidad angular.
b) el desplazamiento angular en 1.5 s.
c) el tiempo necesario para girar un ángulo de 900°.
7. Marte, con una masa de 6.42 × 10 21 kg, tiene un radio promedio de 3 370 km y tarda 1.0257 días terrestres
en girar sobre su eje. Determina…
a) el periodo de rotación.
b) la frecuencia de rotación.
c) la velocidad angular.
d) su velocidad tangencial en la superficie en m/s y km/h.
e) la aceleración centrípeta.
f) la fuerza centrípeta.

Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 157
8. La Luna, con una masa de 7.36 × 10 22 kg, órbita alrededor de nuestro planeta a una distancia promedio
de 3.84 × 10 8 m y tarda 27.32 días terrestres en orbitar alrededor de la Tierra. Determina…
a) el periodo de traslación.
b) la frecuencia de traslación.
c) la velocidad angular alrededor de la Tierra.
d) la velocidad tangencial alrededor de la Tierra en m/s y km/h.
e) la aceleración centrípeta.
f) la fuerza centrípeta.
9. Un volante de 30 cm de radio posee una velocidad tangencial de 17.5 m/s. Encuentra…
a) ¿cuál es su velocidad angular?
b) ¿cuál es su frecuencia en rpm?
10. Un automóvil de 750 kg toma una curva de 45 m de radio a una velocidad de 90 km/h. Calcula la fuerza
centrípeta.
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11. La fuerza centrípeta de un automóvil es de 20000 N al tomar una curva de 30 m de radio con una velocidad
de 80 km/h. ¿Cuál es la masa del automóvil?
12. Un cuerpo de 450 g se encuentra rotando en un plano horizontal a la velocidad de 6 m/s. Si el radio de
giro es de 60 cm, calcula…
a) el periodo.
b) la aceleración centrípeta.
c) la fuerza centrípeta.