Etapa 3 La mecanica y el entorno

pedagogia.01.ded

Libro del tercer semestre del Bachillerato UANL

ETAPA

3

CINEMÁTICA:

MOVIMIENTO CIRCULAR

TD&IS Training Distribution and Integrated Services


CONTENIDO CONCEPTUAL:

• Desplazamiento lineal y angular

• El radián, la revolución y el grado sexagesimal

como medidas angulares

• Velocidad lineal y angular

• Periodo y frecuencia

• Fuerza y aceleración centrípeta

CONTENIDO

PROCEDIMENTAL:

• Efectúa una analogía entre las magnitudes

lineales y las magnitudes angulares,

TD&IS Training Distribution reconociendo and Integrated las Services equivalencias y los factores de

conversión pertinentes.

• Aplica la primera y segunda leyes de Newton

para visualizar que el movimiento circular

uniforme es un movimiento acelerado.

• Calcula desplazamientos angulares a partir de

distancias lineales y viceversa.

• Calcula velocidades angulares la relación

entre desplazamiento angular y el tiempo

transcurrido y también a partir de velocidades

lineales, y viceversa.

• Calcula la aceleración centrípeta a partir de la

velocidad angular o de la velocidad lineal.

• Aplica la segunda ley de Newton para el cálculo

de la fuerza centrípeta.

• Relaciona la velocidad angular con la frecuencia

y el periodo de objetos que presentan un

movimiento circular uniforme.

• Utiliza simuladores (TIC) para obtener datos

experimentales de las magnitudes angulares.


126 La Mecánica y el Entorno

Introducción

En general se podría decir que en el entorno existen tantos movimientos circulares

como rectilíneos, por ejemplo, las manecillas del reloj, las llantas de las bicicletas,

patines y automóviles; la mayoría de los juegos mecánicos, las herramientas

como el taladro, la pulidora, etc. Se podría decir que un objeto gira cuando el

eje de rotación está dentro del cuerpo, y que da vuelta cuando el eje está afuera

del cuerpo, como ejemplo tenemos que la Tierra gira sobre su eje, generando el

día y la noche, y que además da vueltas al Sol cada determinado tiempo, dando

lugar a las estaciones del año.

Cada partícula formadora de un cuerpo sólido que gira sobre su propio eje describe

trayectorias circulares en torno al centro de rotación. Por ejemplo, en la

Tierra, nosotros, pequeñas partículas que vivimos en el planeta, nos encontramos

circulando alrededor de su eje.

El movimiento circular es un movimiento en dos dimensiones que relacionaremos

con lo estudiado en otras etapas: el movimiento rectilíneo. En este sentido, a

partir TD&IS de coordenadas Training Distribution rectangulares, and se Integrated hará una correlación Servicescon

la terminología

de cantidades angulares del movimiento circular para el estudio de la rotación de

los cuerpos rígidos.


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 127

3.1. Desplazamiento lineal y angular

En el entorno no solo existen movimientos rectilíneos, sino que también se pueden

observar objetos que giran, rodean y rotan, como el ventilador de techo o la canasta

de la lavadora, los cuales describen movimientos circulares.

Consideremos una partícula que viaja por una trayectoria circular, como se muestra

en la figura 3.1. En un instante dado, la posición de la partícula (P) podría indicarse

con las coordenadas cartesianas x y y, lo que se enuncia como P(x,y), pero también

podría indicarse con las coordenadas polares r y y . La distancia r se extiende desde

el origen hasta el punto P (radio de un círculo), y el ángulo θ indica la amplitud entre

el eje x y la línea r, que comúnmente se mide en sentido antihorario a partir del eje x.

y

r

P

(x, y)

o

(r, θ)

θ

x

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Figura 3.1

Si utilizamos las ecuaciones trigonométricas para relacionar las coordenadas rectangulares

(x, y) y las coordenadas angulares o polares (r, θ), tendríamos…

x = r cosθ

y = r senθ

Si r es la misma para cualquier punto de un círculo dado, entonces, se dice que

r es constante y lo que cambia con el tiempo para un movimiento circular es θ, a

lo que podemos decir que el movimiento circular se puede describir con una sola

coordenada angular (θ) que cambia con el tiempo. Esta magnitud física se denomina

desplazamiento angular y se define como el ángulo descrito por un cuerpo que se

encuentra en movimiento circular.

De manera análoga al movimiento rectilíneo, se puede decir que el desplazamiento

angular de una partícula en una trayectoria circular es…

∆θ = θ – θ o


128 La Mecánica y el Entorno

Si en todos los casos se considera que θ o = 0° tendremos que ∆θ = θ. Una de las

unidades que se utiliza comúnmente para expresar el desplazamiento angular es el

grado sexagesimal (°); y es conocido que en un círculo completo existen 360°.

En términos de describir el movimiento circular tangencialmente,

se tiene que relacionar el desplazamiento

angular con la longitud del arco s, como se

muestra en la figura 3.2. La longitud del arco (s) es la

distancia recorrida a lo largo de una trayectoria circular;

nota que, si se suman todas las distancias s, se

obtendrá la circunferencia.

Teniendo en cuenta lo anterior, vamos a introducir otra

Figura 3.2

unidad de medida de desplazamiento angular. Esta se

conoce con el nombre de radián. Un radián se define como un ángulo formado en el

centro de un círculo por un arco de circunferencia cuya longitud mide lo mismo que

el radio del círculo.

Un radián es una importante relación entre la longitud del arco circular, s, y el radio

del círculo, r. Vemos entonces que el ángulo en radianes es el cociente de dos longitudes:

Tanto la longitud del arco s como el radio de la circunferencia r son magnitudes de

longitud,

TD&IS Training

y cuando estas

Distribution

miden exactamente

and Integrated

lo mismo,

Services

entonces el ángulo que se

genera es de 1 radián.

¿Cuántas veces cabe un radián en una circunferencia completa y cuál es su equivalencia

en grados?

Para obtener una relación entre radianes y grados, se tendrá que considerar la distancia

total de un círculo en grados, es decir, θ = 360°. Asimismo, recordemos que el

perímetro de un círculo está dado por s = 2π r, dado que tenemos:

(1)

-1

1

-1

θ

s

1

Sustituimos en ambos lados de la ecuación θ y s:

Por lo que obtenemos:

Esta relación será útil para realizar fácilmente las conversiones entre ángulos y radianes.

Por lo que, al despejar 1 radián en grados, obtenemos:

1 radián = 57.3˚


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 129

Es importante hacer notar que en este tipo de operaciones

es necesario utilizar cuatro cifras significativas

para redondear al siguiente dígito de peso,

además de utilizar el valor completo de π en la calculadora.

Se puede ver en la tabla 3.1 las equivalencias

más comunes entre radianes y grados, expresadas

en términos de π para mayor facilidad e

identificación.

Otra forma de transformar de grados a radianes es…

Tabla 3.1 Medidas

equivalentes en grados y

radianes

Grados

Radianes

360° 2 π

270°

180° π

90°

60°

57.3° 1

45°

30°

EJEMPLO 3.1

Considera un sistema de riego circular que tiene una longitud máxima 200 m desde

el pivote central hasta el final del brazo (figura 3.3). Se le han colocado diversos

aspersores para el TD&IS riego del Training terreno, cada Distribution uno de ellos and instalado Integrated a 3.6 Services m uno del

otro hasta llegar a 54 m en el extremo desde del pivote central. Si solo se desea

irrigar un cuarto del total de la circunferencia del terreno, ¿qué distancia recorren

el primer y el último aspersor para ese tramo?

Solución

Consideremos que, de ¼ de circunferencia partiendo de una referencia (figura 3.4),

se puede determinar el ángulo del segmento que se regará, que es de 90°.

Datos:

r 1 = 3.6 m (primer aspersor)

Figura 3.3

r 14 = 54 m (último aspersor)

θ = 90° =

radianes

B

Incógnitas:

s 1 = ?

r

θ

A

s 14 = ?

Figura 3.4


130 La Mecánica y el Entorno

¿Qué vamos hacer? Calcular la longitud del arco (s) que recorre cada aspersor utilizando la distancia de

cada aspersor desde el pivote central hasta su ubicación sobre el brazo.

¿Cómo lo vamos hacer? Se tendrá que encontrar la distancia utilizando la ecuación 1 y los datos proporcionados.

Procedimiento:

Utilizamos la ecuación 1:

Despejando s, tenemos:

Sustituyendo para cada valor de r:

s = θ · r

Interpretación del resultado:

El primer aspersor riega la tierra recorriendo una distancia de 5.655 m, y el último aspersor, ubicado a

54 m del pivote central, recorre una distancia de 87.823 m, ambos desde su referencia hasta cubrir solo

¼ de la circunferencia del TD&IS terreno Training (figura 3.4); Distribution es decir, ambos and aspersores Integrated (y Services también los demás) tuvieron

exactamente el mismo desplazamiento angular, pero diferente desplazamiento lineal.

y

3.2. Velocidad lineal y angular

0

B ,t

f

r

θ f

θ i

A ,t i

x

Con anterioridad se ha descrito el concepto de velocidad relacionado con

el movimiento rectilíneo, el cual se define como la razón de cambio de

posición con el tiempo (v = Δx/Δt). De manera análoga, se puede decir

que, si una partícula o un objeto se desplaza en una trayectoria circular

∆θ (figura 3.5) en un intervalo de tiempo Δt, definirá la razón de rotación,

a lo que llamaremos velocidad angular y se utilizará la letra del

alfabeto griego omega (ω) para representarla:

(2)

En resumen, la velocidad angular es la magnitud de desplazamiento angular

divida entre el tiempo que se tardó en recorrer dicho ángulo. Las

unidades de la velocidad angular en el sistema internacional están dadas

en radianes por segundo, pero también se puede escribir s -1 , dado que el

radián es una unidad adimensional.


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 131

Recuerda que, en muchos casos, consideramos el desplazamiento

angular inicial como θ i = 0, así como también t i = 0, por lo que la

ecuación (2) se puede escribir simplemente como…

(x)

(x)

Como vemos, la velocidad angular y el desplazamiento angular están

relacionadas, sin embargo, la velocidad angular es considerada

una magnitud vectorial. Para determinar la dirección del vector velocidad

angular, se utiliza la regla de la mano derecha (figura 3.6),

donde se colocan los dedos de la mano derecha siguiendo el sentido

de giro, y el pulgar extendido apuntará hacia a donde se dirige

el vector velocidad angular. El movimiento circular solo tiene dos

sentidos: a favor o en contra de las manecillas del reloj.

(x)

(+)

(-)

(x)

(x)

(x)

a)

b)

EJEMPLO 3.2

Un automóvil se desplaza por una carretera en las

montañas que tiene diversas curvas debido a la topografía

del lugar, y una de esas curvas tiene un

ángulo de 180° (figura 3.7). El auto toma la curva;

luego, avanzó hasta terminarla en un tiempo de 5s.

¿Qué velocidad angular llevó al transitar la curva?

Solución

Primero, identificamos los datos que tenemos:

Datos:

θ f = 180°

θ i = 0°

∆t = 5s

Incógnita:

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Figura 3.6. Regla de la mano derecha: al cerrar los dedos

de la mano derecha en la dirección del movimiento circular

que sigue el objeto, el pulgar apuntará en la dirección

del vector de la velocidad. Los signos positivos y negativos

del sentido o dirección se muestran en las figuras a) y b).

ω = ?

¿Qué vamos a hacer? Calcular la velocidad angular que lleva el carro en su trayectoria de la curva.

¿Cómo lo vamos hacer? Se tendrán que realizar las conversiones para cada uno de los ángulos y, luego, se

sustituirán los datos en la ecuación 2.


132 La Mecánica y el Entorno

Procedimiento:

Se realizan las conversiones para cada uno de los ángulos:

θ f = 180° = π rad

θ i = 0° = rad

Utilizamos la ecuación 4:

Sustituimos los valores:

ω =

rad - 0 rad

5 s - 0 s

ω =

3.1416 rad

5 s

Interpretación del resultado:

El auto lleva una velocidad angular de 0.628 rad/s al transitar por la curva.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

3.3. Relación entre velocidad angular y velocidad tangencial

Dentro del movimiento circular, todas las partes que contiene el objeto se comportan

como un único punto (partícula única) que sigue la trayectoria de una circunferencia,

manteniendo una trayectoria perpendicular al radio de esta circunferencia, por lo que

la velocidad lineal también recibe el nombre de velocidad tangencial (figura 3.8).

Δs

v 1

v 2

r

Δθ

Figura 3.8


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 133

La velocidad tangencial está dada por la ecuación que ya conocemos:

Se despeja s de la ecuación 1 y nos queda:

s = r * θ

Por otro lado, despejando desde la fórmula de la velocidad angular, tenemos:

θ = ωt

Sustituyendo:

s = r * ωt

Trasponiendo t al miembro izquierdo de la igualdad, tenemos:

Por lo que podemos calcular la velocidad lineal o tangencial a partir de la velocidad

angular con la siguiente ecuación:

v = rω (3)

EJEMPLO 3.3

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Dos ciclistas recorren una pista circular y ambos dan una vuelta en el mismo tiempo (40 s); el ciclista A se

encuentra a 20 m del centro de la pista y el ciclista B se encuentra a 30 m del centro (figura 3.9). Calcula

lo siguiente:

a) El desplazamiento angular de ambos ciclistas expresado en radianes.

b) La distancia recorrida por cada uno de los ciclistas a lo largo de la trayectoria circular.

c) La velocidad angular de ambos ciclistas.

d) La velocidad tangencial de cada uno de ellos.

Solución

Identificar los datos que tenemos:

Ciclista A

Datos:

θ = 1 vuelta o revolución

∆t = 40 s

r A = 20 m

r B = 30 m

Ciclista B

Figura 3.9


134 La Mecánica y el Entorno

Incógnitas:

a) θ A = ?; θ B = ?

b) s A = ?; s B = ?

c) ω A = ?; ω B = ?

d) v A = ?; v B = ?

¿Qué vamos hacer? Primero se realizará una conversión de unidades para encontrar el desplazamiento

angular y con ese dato se podrá obtener la distancia recorrida para cada uno de los ciclistas. Utilizando la

ecuación 2, se calcula la velocidad angular que lleva cada ciclista; por último, con la ecuación 3 se obtendrá

la velocidad tangencial.

¿Cómo lo vamos hacer? Para encontrar el desplazamiento angular, lo único que haremos es una conversión

de unidades para convertir revoluciones a radianes, y, dado que ambos ciclistas recorren una sola vuelta a

la pista, entonces ambos tendrán el mismo desplazamiento angular.

Procedimiento:

a) Se realizarán las conversiones de revoluciones a radianes.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

θ A = 6.28 rad

θ B = 6.28 rad

b) Utilizamos la ecuación 1 para calcular la distancia recorrida por cada ciclista:

Se despeja y calcula s para cada ciclista:

s = θ · r

s A = (6.28 rad) (20 m)

s A = 125.66 m

s B = (6.28 rad) (30 m)

s B = 188.49 m

c) Para encontrar la velocidad angular, aplicamos la ecuación 2, recordando que ambos ciclistas recorren

el mismo desplazamiento angular:


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 135

d) Por último, aplicamos la ecuación 3 para obtener la velocidad tangencial:

v A = 3.14 m/s

Interpretación de los resultados:

v B = 4.71 m/s

a) Ambos ciclistas recorren una vuelta (1 revolución) a la pista circular, por lo tanto, ambos recorren el

mismo desplazamiento angular (2π = 6.28 rad).

b) En este caso, el desplazamiento lineal es diferente, ya que la distancia de cada ciclista hacia al centro

de la pista es diferente y, por lo tanto, el ciclista B recorre una distancia mayor (188.49 m) que el

ciclista A que se encuentra más cerca del centro (125.66 m).

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

c) Para la velocidad angular, encontramos que ambos ciclistas tienen exactamente la misma, pues ellos

recorren el mismo desplazamiento angular (6.28 rad = 1 rev) en el mismo tiempo (40 s).

d) En el caso de la velocidad tangencial, tenemos que también es diferente, ya que esta depende de la

distancia del ciclista al centro de la pista o centro de rotación, es decir, depende del radio de giro, el

cual, para el ciclista A, es de 20 m, y para el ciclista B es de 30 m, dando como resultado una mayor

velocidad angular para el ciclista B (4.71 m/s) que para el ciclista A (3.14 m/s).

Como conclusión, podemos decir que las magnitudes angulares no dependen del radio de giro, mientras que

las magnitudes lineales sí dependen de él, y mientras mayor sea este radio de giro, mayor será la magnitud

angular a que nos refiramos.

3.4. Frecuencia y periodo

Cuando existe un movimiento circular, también se hace referencia a dos conceptos

relacionados con este, que son frecuencia y periodo.

En general, se le llama frecuencia al número de ciclos por unidad de tiempo que

efectúa un cuerpo en movimiento vibratorio, ondulatorio, o bien, como en nuestro

caso, movimiento circular. La frecuencia se representa con la letra f.

Para el movimiento circular, la frecuencia se expresa en revoluciones o vueltas alrededor

del centro de rotación. Por su parte, las unidades de tiempo pueden ser horas,


136 La Mecánica y el Entorno

minutos, segundos o cualquier otra unidad de tiempo. Como ejemplos de frecuencias

podemos mencionar los siguientes:

• Frecuencia de rotación de la Tierra: 1 revolución/día

• Frecuencia de traslación de la Tierra: 1 revolución/año

• Frecuencia del minutero de un reloj analógico: 1 revolución/hora

• Frecuencia de un disco vinílico LP: 33 revoluciones/minuto

La frecuencia representa la cantidad de veces que se repite un evento por cada unidad

de tiempo transcurrido. Para el caso del movimiento circular, la frecuencia por

unidad de tiempo representa el número de vueltas o revoluciones que un objeto da

alrededor de un eje.

Podemos calcular la frecuencia mediante la siguiente expresión:

(4)

Veamos TD&IS el Training siguiente Distribution ejemplo: and Integrated Services

EJEMPLO 3.4

La rueda de una bicicleta gira 230 vueltas en 1.5 min (figura 3.10).

¿Cuál es la frecuencia de la rueda?

Solución

Inicialmente, identificamos los datos que tenemos.

Datos:

Núm. de revoluciones = 230 rev

t = 1.5 min

Incógnita:

Figura 3.10

f = ?

¿Qué vamos hacer? Calcular la frecuencia con la que se mueve la rueda de la bicicleta.

¿Cómo lo vamos hacer? Se realiza la sustitución de los datos y se hace la referencia a la cantidad de vueltas

que se dan por minuto.


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 137

Procedimiento:

Aplicamos la ecuación 4 sustituyendo los datos que tenemos:

f = 153.33 rev/min

f = 153.33 rpm

Interpretación del resultado:

Donde rpm significa “revoluciones por minuto”, es decir, representa el número de vueltas que la rueda da

alrededor de su eje cada minuto, o sea, 153.33 vueltas por cada minuto que transcurre.

Es importante mencionar que tanto las revoluciones como los ciclos no son unidades de medición, sino que

son términos descriptivos.

EJEMPLO 3.5

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Un disco vinílico se coloca en una tornamesa para escucharlo; el

disco efectúa 66 vueltas completas en 120 s. Determina la frecuencia

en a) rev/s, b) ciclos por segundo, c) 1/s (s -1 ) y d) Hertz.

Solución

Primero, identificamos los datos que tenemos.

Datos:

Núm. de revoluciones = 66 vueltas = 66 ciclos = 66 revoluciones

Figura 3.11

t = 120 s

Incógnita:

f = ? (en diferentes términos y unidades)

¿Qué vamos hacer? Calcular la frecuencia con el que se mueven el disco vinílico en sus diferentes términos.

¿Cómo lo vamos hacer? Se realiza la sustitución de los datos y se hace la referencia para cada término utilizando

la siguiente ecuación:


138 La Mecánica y el Entorno

Procedimiento:

Sustituimos los valores:

Frecuencia en rev/s:

Frecuencia en ciclos/s:

Frecuencia en 1/s:

Frecuencia en Hertz:

Interpretación del resultado:

La frecuencia se puede referenciar en diferentes formas, ya sea en términos descriptivos (revoluciones o ciclos)

o en unidades del sistema internacional (1/s o s -1 o Hertz). Estos discos vinílicos, que en su época fueron

muy populares, salieron a la venta con la característica de que giraban a 33 rpm (revoluciones por minuto).

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Definiremos ahora como periodo al tiempo que tarda un objeto en movimiento

circular en efectuar una revolución completa, se representa con la letra T.

Por ejemplo, se puede mencionar que la Tierra se encuentra rotando sobre su

propio eje y que lo hace en 24 horas, es decir, que tarda 24 horas en pasar nuevamente

por un punto de referencia (en Sol), por lo que su periodo es de 24 horas.

Además, de todos es conocido que la Tierra se tarda en promedio 365 días en

darle la vuelta el Sol, por lo que podemos decir que su periodo, en general, es de

un año en hacer un ciclo completo, una revolución completa.


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 139

Te sugerimos ingresar al link https://giphy.com/gifs/motion-jITxxiqdKCCbK para

observar el archivo animado de cómo un ciclo corresponde a una revolución completa,

es decir, 360° o, lo que es lo mismo, 2π (figura 3.12).

Figura 3.12

1 ciclo

2 ciclos

π

2

+

π




0 180 o

360 o 540 o 720 o

θº

π


-

1 T

2T


2

Tanto la frecuencia como el periodo son recíprocos uno del otro y se relacionan con

la siguiente fórmula:

La frecuencia también puede relacionarse con la velocidad tangencial. En el caso del

movimiento circular TD&IS uniforme, Training la velocidad Distribution tangencial se and puede Integrated escribir como… Services

(5)

Es decir, se trata de la distancia recorrida de 2π r (una revolución) alrededor de un

círculo de radio r, dividida entre el tiempo de un periodo (T). Recordando que en

términos de velocidad angular se tiene:

Sustituyendo:

Por lo que nos queda:

Sustituyendo la fórmula de frecuencia:

Por lo que nos queda:

ω = 2π f (6)

Estas fórmulas están describiendo la velocidad angular en términos de periodo y de frecuencia

respectivamente, recordando que las unidades de la velocidad angular son rad/s.


140 La Mecánica y el Entorno

EJEMPLO 3.6

Si se tiene un CD-ROM que está girando a 2 500 rpm.

¿Cuál será su frecuencia y periodo? ¿Cuál será su velocidad angular?

Solución

Primero, identificamos los datos que tenemos. En este ejemplo ya nos dan el dato de frecuencia:

Datos:

f = 2500 rpm

Incógnitas:

f = ?

T = ?

ω = ?

¿Qué vamos hacer? Obtener la frecuencia y el periodo con el que gira el CD-ROM, así como calcular la

velocidad angular.

¿Cómo lo vamos resolver? Dado que ya contamos con la frecuencia, únicamente la convertimos a revoluciones

por segundo, y, posteriormente, calculamos el periodo.

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Procedimiento:

Llevamos a cabo la conversión de unidades:

Despejando T y sustituyendo en la ecuación 5:


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 141

Se aplica ahora la ecuación 6 y se calcula la velocidad angular con la frecuencia en rps:

ω = (2π)(41.67

rev s )

Interpretación del resultado:

La velocidad angular del CD ROM es de 261.8 rad/s.

3.5. Fuerza y aceleración centrípeta

En la etapa 1 de este curso se analizó el movimiento en una dimensión y se definió

la aceleración como el cambio en la velocidad (o la rapidez) de un cuerpo respecto

al tiempo durante su movimiento, es decir, la razón de cambio de la velocidad. Por

su lado, en el movimiento circular uniforme la velocidad del objeto no cambia en

su magnitud, pues siempre es la misma, pero sí existe un cambio en la dirección del

movimiento, por lo que podemos decir que este tipo de movimiento es acelerado

(figuras 3.13 y 3.14). TD&IS Training Distribution and Integrated Services

ΔV

V 2

= V 1

+ΔV

V 2

V 3

V 1

V 1

V 2

ΔV

V 3 = V 2 +ΔV

La velocidad es diferente porque

cambia la dirección

V ₁≠

V ₂≠

V₃

Figura 3.13


142 La Mecánica y el Entorno

v

v

R

R

v

v

Δv

Figura 3.14

El movimiento circular, ya sea uniforme o no uniforme, se puede explicar desde el

punto de vista de la primera y segunda leyes de Newton.

La primera ley de Newton establece que el movimiento natural de un cuerpo debe

ser en línea recta y con velocidad constante, esto quiere decir que la velocidad no

debe cambiar de magnitud ni de dirección; sin embargo, en el movimiento circular,

el objeto que gira cambia se dirección constantemente, por lo que debe haber algo

que provoque ese cambio.

Por TD&IS otra parte, Training la segunda Distribution ley de Newton and Integrated establece que, Services cuando un cuerpo no está en

equilibrio, entonces está acelerado.

En una trayectoria circular, la aceleración apunta directamente hacia el centro del

círculo; a esta se le llama aceleración centrípeta, la cual se dirige radialmente hacia

el centro de rotación y es la que provoca

V el movimiento en una trayectoria circular

1

y no en forma recta.

r

Δθ Δs

V

2

La magnitud de la aceleración centrípeta

puede deducirse de los pequeños triángulos

sombreados de la figura 3.15 si se

tiene en cuenta que el intervalo de tiempo

para la distancia recorrida es muy pequeño

(casi tendiendo a cero), por lo que…

Si tenemos que…


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 143

Sustituyendo:

Reacomodando los términos:

Obtenemos la aceleración centrípeta en términos de velocidad tangencial, que es…

(7)

Si queremos la aceleración centrípeta en términos de velocidad angular, se utiliza la

ecuación 3 para sustituir la velocidad tangencial:

(3)

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

(8)


144 La Mecánica y el Entorno

EJEMPLO 3.7

Si se tiene en cuenta un CD que gira a 500 rpm y que su diámetro es de 12 cm, encuentra la aceleración

centrípeta y la velocidad tangencial. Si se desplaza una partícula en el extremo durante 3 s, encuentra la

distancia recorrida.

Solución

Identificamos los datos que tenemos.

Datos:

f = 500 rpm

d = 12 cm, por lo tanto, r = 6 cm

t = 3 s

Incógnitas:

a c = ?

v = ?

s = ?, para t = 3 s

¿Qué vamos hacer? Encontrar la aceleración centrípeta utilizando las ecuaciones para el movimiento circular

uniforme y la velocidad. TD&IS Si pasan Training 3 s con Distribution esa velocidad, and se podrá Integrated encontrar Services la distancia que recorre una

partícula ubicada al extremo del centro del CD.

¿Cómo lo vamos hacer? Calculando la velocidad angular del CD a partir de la frecuencia, pasando a SI la

distancia del radio del CD y encontrando la aceleración con la que gira el CD. Posteriormente, encontrando

la velocidad y utilizando este dado para hallar el desplazamiento a los 3 s.

Procedimiento:

Se convierte la frecuencia a revoluciones por segundo:

Se calcula la velocidad angular:


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 145

Se aplica la ecuación 8 para calcular la aceleración centrípeta:

Para encontrar de velocidad tangencial, se utiliza la ecuación 5:

Se sustituyen los datos:

v = rw

Recordando la ecuación:

Se despeja la distancia s:

Se sustituyen los datos:

s = 9.425 m

TD&IS Training Distribution and Integrated Services

Interpretación del resultado:

La aceleración centrípeta del CD es de 164.49 m/s 2 y la partícula ubicada a 6 cm del centro del CD recorre

9.425 m a lo largo de una trayectoria circular con una velocidad lineal de 3.142 m/s.

Todos los objetos que giran en una trayectoria curva tienen un movimiento acelerado,

es decir, presentan aceleración, que, como ya vimos, se llama aceleración

centrípeta. Este movimiento acelerado requiere, por lo tanto, una fuerza dirigida

hacia el centro de rotación. A dicha fuerza se le llama fuerza centrípeta, que significa

“buscando el centro”; de esta manera, tenemos que la fuerza centrípeta siempre es

perpendicular a la dirección del movimiento. ¿Cómo se obtiene?

Por la segunda ley del movimiento de Newton tenemos que…

F c = ma c

Sustituyendo la ecuación de aceleración centrípeta en función de la velocidad tangencial,

tenemos que…

(9)

O, por otro lado, podemos utilizar la ecuación de la aceleración centrípeta en función

de la velocidad angular; en dicho caso, tenemos que…

(10)


146 La Mecánica y el Entorno

EJEMPLO 3.8

Una persona gira una piedra de 350 g con una cuerda de 60 cm de longitud atada a ella con una frecuencia

de 50 rpm (figura 3.16). Determina la fuerza centrípeta que se ejerce sobre la piedra.

Solución

Primero, identificamos los datos que tenemos.

Datos:

m = 350 gr = 0.35 kg

r = 60 cm = 0.6 m

n = 50 rpm

Incógnita:

F C = ?

Fuerza centrípeta (Fc)

¿Qué vamos hacer? Encontrar la fuerza centrípeta utilizando las ecuaciones para el movimiento circular

uniforme.

¿Cómo lo vamos hacer? Convirtiendo la velocidad en radianes por segundo y, posteriormente, encontrando

la aceleración para obtener la fuerza centrípeta.

Procedimiento:

Calculemos primero la velocidad

TD&IS

angular

Training

de

Distribution

la piedra:

and Integrated Services

Calculemos ahora la aceleración centrípeta utilizando la ecuación 9:

Calculemos ahora la fuerza centrípeta:

a c = (5.23 rad/s) 2 (0.6 m)

a c = 16.45 m/s 2

Interpretación del resultado:

La persona ejerce una fuerza de 5.76 N para que la piedra gire a 50 rpm con una aceleración de 16.45 m/s 2 .


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 147

Ahora, en el siguiente ejemplo, podemos calcular todo lo que hemos visto:

EJEMPLO 3.9

La Tierra, con una masa de 6×1024 kg y un radio aproximado de 6 375 km, gira sobre su propio eje

(rotación) (figura 3.17). Determina el periodo, frecuencia, velocidad angular, velocidad tangencial, aceleración

y fuerza centrípeta.

Solución

Identificamos los datos que tenemos.

Datos:

m = 6×10 24 Kg

r = 6 375 km

Incógnitas:

T = ?

f = ?

ω = ?

v = ?

a c =?

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F c = ?

¿Qué vamos hacer? Pensar en una estrategia para ir poco a poco encontrando los valores para cada incógnita

utilizando las ecuaciones del movimiento circular.

¿Cómo lo vamos hacer? Partiremos con datos generales que todos conocemos, como el tiempo que tarda la

Tierra en girar en su propio eje, que es de 24 horas. Este dato lo convertiremos en segundos y utilizaremos

fórmulas del tema para encontrar la frecuencia. Con el dato del radio de la Tierra, encontraremos la velocidad

angular. Para conocer la velocidad tangencial, utilizaremos los datos del periodo y el radio de la Tierra.

Posteriormente, se encontrará la aceleración para así obtener el dato de la fuerza centrípeta.

Procedimiento:

Recordemos que la Tierra se tarda en girar en su propio eje 24 horas, por lo que es necesario convertirlo en

segundos para determinar el periodo de rotación:


148 La Mecánica y el Entorno

De la siguiente manera, este dato se transforma en frecuencia de rotación:

f = 1.15 × 10 -5 Hz

Podemos utilizar la ecuación 7 con la frecuencia, o bien, se puede usar el dato del periodo para encontrar

la velocidad angular:

ω = 2πf ω = 2π (1.15 × 10 -5 )

ω = 7.27 × 10 -5 rad/s

Se puede observar que, con ambas ecuaciones, se llega al mismo resultado.

Calculemos ahora la velocidad tangencial de un punto en el ecuador:

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Podemos encontrar la aceleración centrípeta:

Ahora, para la fuerza centrípeta, tenemos:

a c = 0.0299 m/s 2

F c = 2.02 ×10 23 N


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 149

Interpretación del resultado:

La fuerza centrípeta que se ejerce de la Tierra hacia el centro de su eje de rotación es de 2.02 × 10 23 N cada

día con una frecuencia de rotación de 1.15 × 10 -5 Hz y con una aceleración angular de 0.0299 m/s 2 .

Para concluir este tema, recordemos que la fuerza centrípeta es la que provoca que un cuerpo que gira en

torno a un eje de rotación no siga una trayectoria recta. Esta puede ser la tensión de una cuerda, la fricción

entre las llantas de un automóvil y el pavimento, la gravedad, etc. Pero, ¿cómo aplica la tercera ley de

Newton en el movimiento circular? Esta ley establece que “para toda fuerza de acción hay una fuerza de

reacción igual y opuesta”. A la reacción de la fuerza centrípeta se le conoce como fuerza centrífuga y está

dirigida en dirección contraria, es decir, hacia afuera del centro de rotación. En realidad, la fuerza centrífuga

es una fuerza aparente, a veces llamada pseudo fuerza, ya que su efecto “centrífugo” se debe a la inercia del

movimiento del cuerpo, pues no debemos olvidar que la primera ley de Newton establece que el movimiento

de un cuerpo debe ser rectilíneo y uniforme.

■ Actividad 1 Movimiento circular uniforme

Resuelve los siguientes ejercicios utilizando las ecuaciones del movimiento circular uniforme.

Ejercicio 1

Procedimiento

Se hace girar un trompo que tiene un diámetro en lo más ancho

(6 cm) durante 4 s; este lleva una rapidez constante de 1.96 m/s.

Encuentra la aceleración centrípeta y la distancia recorrida.

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Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


150 La Mecánica y el Entorno

Ejercicio 2

El “brinca-brinca” es un juguete que consiste en una pelota unida a

una cuerda y a su otro extremo con un círculo que se introduce en

el pie; al empezar a girar, la pelota describe un círculo. Teniendo

en cuenta que el largo de la cuerda mide 1.2 m y lleva una rapidez

constante de 5.3 m/s, determina la aceleración centrípeta, la

velocidad angular, el periodo y la frecuencia de la pelota.

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

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Ejercicio 3

Una revolvedora es una máquina que tiene las siguientes

medidas: diámetro de la olla, 87 cm; diámetro de la boca, 52 cm.

Si su velocidad es de 37 rpm, encuentra la aceleración centrípeta,

la velocidad tangencial y la distancia recorrida de una partícula

pegada a la pared de la olla a 5 min de que esté funcionando.

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 151

Ejercicio 4

Mercurio, con una masa de 3.285 × 1023 kg, gira alrededor del

Sol (centro a centro) con un radio aproximado de 57.91 × 106

km. Si tarda 88 días terrestres en hacer el giro. Determinar el

periodo, frecuencia, velocidad angular, velocidad tangencial,

aceleración y fuerza centrípeta.

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación

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Ejercicio 5

La Estación Espacial Internacional (ISS, por sus siglas en

inglés) es una plataforma de 420 ton, en la que se lleva a cabo

investigación multidisciplinaria. Se encuentra ubicada a unos

408 km de la superficie de la Tierra y en un día realiza 16 vueltas

completas con una velocidad promedio de 7.67 km/s.

Determina el periodo, frecuencia, velocidad angular, aceleración

y fuerza centrípeta.

Procedimiento

Datos

Fórmula(s)

Resultado e interpretación


152 La Mecánica y el Entorno

Preguntas conceptuales del mcu

1. ¿A qué se le llama movimiento circular uniforme?

2. ¿De qué manera se representa el movimiento circular en la vida cotidiana?

3. ¿Cuántos tipos de movimiento circular existen? Descríbelos.

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4. Describe la diferencia entre velocidad angular y velocidad lineal.

5. ¿Cuántas clases de velocidades hay en el movimiento circular uniforme? ¿Cuáles son sus magnitudes?

6. ¿Cuál es la causa por la cual una piedra que hacemos girar mediante una cuerda sale tangencialmente y

no radialmente al soltarse la cuerda?


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 153

7. Dos ciclistas recorren una pista circular en la posición mostrada en la figura figura

3.18. ¿Cuál de ellos tendrá la mayor velocidad angular? ¿Cuál tendrá la mayor

aceleración centrípeta? Justifica tu respuesta.

8. Una mosca está parada en un disco que gira junto con ella (figura 3.19). Los vectores

V 1 y V 2 representan dos magnitudes de este tipo de movimiento. Describe cada

uno de ellos y justifica tu respuesta.

V 1

V 2

Fuerza centrípeta (Fc)

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9. Una persona gira en movimiento circular una piedra atada a una cuerda, como

se muestra en la ella figura 3.20. Si la cuerda llegara a reventarse. ¿Qué fuerza hará

que la piedra salga en línea recta: la fuerza centrípeta, la fuerza centrífuga o ninguna

de ellas? Justifica tu respuesta.

B

10. Dos corredores, A y B, recorren una pista circular en la posición que se muestra

en la figura 3.21. El corredor A lleva una velocidad angular de 0.03 rad/s y el corredor

B, una velocidad angular de 0.02 rad/s. ¿Cuál de ellos tiene un mayor periodo?

Según su posición relativa respecto al centro de la pista, ¿cuál llevaría la mayor

velocidad tangencial? Justifica tus respuestas.

A


154 La Mecánica y el Entorno

Preguntas de opción múltiple

1. En el movimiento circular uniforme…

a) los vectores posición, velocidad y aceleración cambian con el tiempo.

b) el vector velocidad es constante y la posición es variable.

c) el vector velocidad y la aceleración son constantes y la posición es variable.

d) los vectores posición, velocidad y aceleración son constantes.

2. El tiempo que demora un objeto en completar una vuelta en un movimiento circular se llama…

a) periodo.

b) frecuencia.

c) frecuencia angular.

d) velocidad lineal.

3. Para un movimiento circular uniforme, el objeto debe experimentar una aceleración dirigida. ¿Cuál es?

a) Radial hacia adentro

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b) Radial hacia afuera

c) Tangencial a la trayectoria

d) Perpendicular al radio de la curva

4. El peralte de las carreteras ayuda a disminuir…

a) la velocidad de los autos.

b) el esfuerzo de las llantas.

c) la aceleración.

d) el peso del auto.

5. Un juego mecánico de la feria consta de una plataforma giratoria de 8 m de diámetro y gira con un

periodo de 2 s. La velocidad de una persona que se encuentra a 3 m del centro es…

a) 1.5 m/s

b) 9.42 m/s

c) 4.0 m/s

d) 37.7 m/s


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 155

6. Respecto a la pregunta anterior:

a) todas las personas a bordo tienen la misma velocidad angular, aunque se encuentren a diferentes

distancias del centro.

b) entre más cerca del centro esté la persona, menos demora en dar una vuelta.

c) entre más cerca esté del centro, mayor velocidad tendrá.

d) entre más lejos esté del centro, más demorará en dar una vuelta.

7. Si la velocidad de un auto es 20 m/s, la frecuencia de sus ruedas de 50 cm es…

a) 10 Hz

b) 6.34 Hz

c) 0.002 Hz

d) 0.4 Hz

8. Imagina que haces girar tu brazo extendido. ¿Qué parte tendrá mayor velocidad angular: el codo o la

mano?

a) El codo

b) La mano

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c) Las dos por igual

d) Ninguna de las anteriores

9. ¿Cómo dibujarías el vector velocidad en un movimiento circular uniforme?

a) Apuntando hacia el centro de la curvatura

b) Hacia afuera

c) El vector forma un ángulo de 90° con el radio de giro en el punto de la trayectoria

d) No se puede dibujar

10. ¿Por qué existe aceleración en un movimiento circular uniforme?

a) Porque cambia la dirección y el sentido del vector velocidad, aunque no cambie el módulo.

b) Porque cambia la dirección del vector velocidad, aunque no cambie el sentido ni el módulo.

c) Porque cambia el sentido del vector velocidad, aunque no cambie el módulo ni la dirección.

d) Ninguna es cierta.


156 La Mecánica y el Entorno

Problemas de movimiento circular

1. Un cuerpo en rotación tiene una frecuencia de 50 rev/min.

a) ¿Cuál es su velocidad angular en rad/s?

b) ¿Cuál es su desplazamiento angular en radianes al transcurrir 2.5 s?

2. Una rueda de alfarero gira con una frecuencia de 0.35 rev/s. Determina su velocidad angular en radianes

por segundo.

3. Una bicicleta con ruedas de 66 cm de diámetro viaja a una velocidad de 16 m/s. ¿Cuál es la velocidad

angular de las ruedas de esta bicicleta?

4. Las hélices de un helicóptero giran a 120 rpm,

a) ¿cuál es su velocidad angular en radianes por segundo?

b) Si el diámetro de la hélice es de 5 m, ¿cuál es la velocidad tangencial en el extremo de la misma?

5. ¿Cuál es la velocidad tangencial de un disco LP en su perímetro? El diámetro del disco es de 12 pulgadas

y su frecuencia es de 33.3 rpm.

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6. Una partícula que gira por una trayectoria circular da 18 vueltas en 4 s. Determina…

a) la velocidad angular.

b) el desplazamiento angular en 1.5 s.

c) el tiempo necesario para girar un ángulo de 900°.

7. Marte, con una masa de 6.42 × 10 21 kg, tiene un radio promedio de 3 370 km y tarda 1.0257 días terrestres

en girar sobre su eje. Determina…

a) el periodo de rotación.

b) la frecuencia de rotación.

c) la velocidad angular.

d) su velocidad tangencial en la superficie en m/s y km/h.

e) la aceleración centrípeta.

f) la fuerza centrípeta.


Etapa 3 Cinemática: movimiento circular 157

8. La Luna, con una masa de 7.36 × 10 22 kg, órbita alrededor de nuestro planeta a una distancia promedio

de 3.84 × 10 8 m y tarda 27.32 días terrestres en orbitar alrededor de la Tierra. Determina…

a) el periodo de traslación.

b) la frecuencia de traslación.

c) la velocidad angular alrededor de la Tierra.

d) la velocidad tangencial alrededor de la Tierra en m/s y km/h.

e) la aceleración centrípeta.

f) la fuerza centrípeta.

9. Un volante de 30 cm de radio posee una velocidad tangencial de 17.5 m/s. Encuentra…

a) ¿cuál es su velocidad angular?

b) ¿cuál es su frecuencia en rpm?

10. Un automóvil de 750 kg toma una curva de 45 m de radio a una velocidad de 90 km/h. Calcula la fuerza

centrípeta.

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11. La fuerza centrípeta de un automóvil es de 20000 N al tomar una curva de 30 m de radio con una velocidad

de 80 km/h. ¿Cuál es la masa del automóvil?

12. Un cuerpo de 450 g se encuentra rotando en un plano horizontal a la velocidad de 6 m/s. Si el radio de

giro es de 60 cm, calcula…

a) el periodo.

b) la aceleración centrípeta.

c) la fuerza centrípeta.

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