vigasdef

Fórmulas de deformación de vigas
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Simbolo Magnitud Unidades
E·I Rigidez a flexión N·m 2 , Pa·m 4
y Deflexión, deformación, flecha m
Pendiente, giro -
x Posición del punto de estudio (distancia desde el origen) m
L Longitud de la viga (sin vano lateral) m
M Momento flector, flector, momento aplicado N·m
P Carga puntual, carga concentrada N
w Carga distribuida N/m
R Reacción N
V Esfuerzo cortante, cortante N
Viga simple apoyada - Carga uniforme en todo el vano
w0
x 3 2 3
Deflexión yAB
( L 2Lx
x )
24EI
4
5w L
L
0
yMAX
para x
384EI
2
w0
3 2 3
Pendiente AB
( L 6Lx
4x
)
24EI
3
w0
L
A
B
24EI
w0
x
Momento M
AB
( L x)
2
2
w0
L
L
M
MAX
para x
8
2
w0
Cortante VAB
( L 2x)
2
w0L
Reacciones RA
RB
2

Viga simple apoyada - Carga uniforme en la mitad del vano
w0x
3
2 3
Deflexión yAC
(9L
24Lx
16x
)
384EI
w0L
3
2 2 3
yCB
(8x
24Lx
17L
x L )
384EI
w0
3
2 3
Pendiente AC
(9L
72Lx
64x
)
384EI
w0L
2
2
CB
(24x
48Lx
17L
)
384EI
3
3
3wL
wL
A
128EI
7
B
384EI
w0
2 w0
2
Momento M
AC
(3Lx
4x
) M
CB
( L Lx)
8
8
w0
w0L
Cortante VAC
(3L
8x)
VCB
8
8
VA R A
VB
RB
3w
Reacciones
0
L w0L
RA
RB
8
8
Viga simple apoyada - Carga uniforme parcial en un lado
Deflexión:
w0
x 4 3 2 2 2 2
2 3
yAC
( a 4a
L 4a
L 2a
x 4aLx
Lx )
24LEI
2
w0a
2 2 2
2 3
yCB
( a
L 4L
x a x 6Lx
2x
)
24LEI
Pendiente:
w0
4 3 2 2 2 2
2 3
AC
( a 4a
L 4a
L 6a
x 12aLx
4Lx
)
24LEI
2
w0a
2 2
2
CB
(4L
a 12Lx
6x
)
24LEI
Momento:
2
w0
2
2 w
M
AC
( a x 2aLx
Lx )
0a
M
CB
( L x)
2L
2L
Cortante:
2
w0
2
w
VAC
( a 2aL
2Lx)
0a
VCB
VC
VB
2L
2L
2
w0a
w a
Reacciones RA
(2L
a)
R
2L
0
B
2L

Viga simple apoyada - Carga uniforme parcial
3
3
RA
x
RA
x w0
Deflexión y x
y ( x a
6 EI
6EI
24EI
3
RB(
L x)
( L x)
yDB
6EI
L
2
2
RAx
RAx
w0
Pendiente: CD ( x a)
2EI
2EI
6EI
2
RB(
L x)
DB
2EI
L
Momento M
w0
2
AC
RA
x M
CD
RA
x ( x a)
2
M (
DB
RB L x)
Cortante VAC
VA
VC
RA
V (
CD
RA
w0 x a)
VDB
VD
VB
RB
w0b
w0b
Reacciones RA
(2c
b)
RB
(2a
b)
2L
2L
Siendo:
3
2
2
w0b
L 6EI
3RBc
L 3RAL(
a b)
6LEI
3
4
3
2
3
4w0ab
3w0b
8RA
( a b)
12RBc
L 8RBc
24EI
4
AC CD
) x
3
AC
Viga simple apoyada - Cargas uniformes parciales distintas a cada lado
2
w1
x
Momento M
AC
RA
x
2
2
w1a
w ( )
M
CD
RA
x (2x
a)
2
L x
M
DB
RB
( L x)
2
2
Cortante:
VAC
RA
w1
x VCD
RA
w1a
V
(
DB
RB
w2 L x)
Reacciones:
2
2
w1a
(2L
a)
w2c
w2c(2L
c)
w1a
RA
RB
2L
2L

Viga simple apoyada - Carga uniformemente creciente en todo el vano
w0
x 4 2 2 4
Deflexión yAB
(7L
10L
x 3x
)
360LEI
4
w0L
yMAX 0, 00652 para x = 0,5193L
EI
w0
4 2 2 4
Pendiente AB
(7L
30L
x 15x
)
360LEI
3
3
7w0L
w L
A
360EI
0
B
45EI
w0
2 3
Momento M
AB
( L x x )
6L
w0
2 2
Cortante VAB
( L 3x
)
6L
w0L
2w
Reacciones RA
0
L
RB
6
6
Viga simple apoyada - Carga uniformemente creciente hacia el centro
w0
x 2 2 2
Deflexión yAC (5L
4x
)
960LEI
w0
( L x)
2
2 2
yCB (5L
4( L x)
)
960LEI
4
w L
L
0
yMAX
para x
120EI
2
w0
2 2 2 2
Pendiente AC
(5L
4x
)( L 4x
)
192LEI
w0
2
2 2
2
CB
(5L
4( L x)
)( L 4( L x)
)
192LEI
3
5w0L
A
B
192EI
w0
2 3
Momento M
AC
(3L
x 4x
)
12L
w0
( L x)
2
2
M
CB
(3L
4( L x)
)
12L
w0
2 2 w0
2
2
Cortante VAC
( L 4x
) VCB
( L 4( L x)
)
4L
4L
Reacciones
R
A
R
B
w0L
4

Viga simple apoyada - Carga senoidalmente distribuida
Deflexión
4
w0
L πx
yAB
sen
π 4 EI L
4
w L
L
0
yMAX
para x
4
π EI
2
Pendiente
3
w0L
πx
w0L
AB
cos
π 3 A
B
3
EI L
π EI
Momento
2
w L πx
M 0
AB
sen
π 2 L
Cortante
w L x
V 0
π
w0L
cos V
AB A
VB
π L
w0
L
Reacciones RA
RB
π
3
Viga simple apoyada - Carga puntual en el centro
Px 2 2
Deflexión yAC
(3L
4x
)
48EI
P( L x)
2
2
yCB
(3L
4( L x)
)
48EI
3
PL
L
yMAX
yC
para x
48EI
2
Pendiente:
P 2 2 P 2
2
AC
( L 4x
) CB
(4x
8Lx
3L
)
16EI
16EI
2
PL
A
B
16EI
Px
P(
L x)
Momento M
AC
M
CB
2
2
P
P
Cortante VAC
VA
VCB
VB
2
2
P
Reacciones RA
RB
2

Viga simple apoyada - Carga puntual en cualquier punto
Pbx 2 2 2
Deflexión yAC
( L b x )
6LEI
Pa(
L x)
2 2
2
yCB
L
a ( L x)
6LEI
Pendiente:
Pb 2 2 2 Pa 2 2
AC
( L b 3x
) L a 3( L x
6LEI
6LEI
2 2
Pb(
L b ) Pa 2 2
A
B
( L a )
6LEI
6LEI
Pbx
Pa(
L x)
Momento M
AC
M
CB
L
L
Pb
Pa
Cortante V AC
V A
V CB
V B
L
L
Pb Pa
Reacciones RA
RB
L L
2
Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente
CB
)
Px
2 2
Deflexión yAC
(3aL
3a
x )
6EI
Pa
2 2
yCD
(3Lx
3x
a )
6EI
P(
L x)
2
2
yDB 3aL
3a
( L x)
6EI
Pa 2 2
L
yMAX
(3L
4a
) para x
24EI
2
P
2 2 Pa
Pendiente
AC
( aL a x ) CD
( L 2x)
2EI
2EI
P
2
2
DB aL
a ( L x)
2EI
2
P(
aL a )
A
B
2EI
Momento M
AC
Px M
CD
Pa M
DB
P(
L x)
Cortante VAC P V CD
0 VDB
P
Reacciones R R P
Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas asimétricamente
A
B
Momento M AC
RA
x M
CD
RAx
P(
x a)
M (
DB
RB L x)
Cortante VAC
RA
V R A
P VDB
R
P(
L a b)
P(
L b a)
Reacciones RA
RB
L
L
CD B

Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales desiguales situadas asimétricamente
Momento M AC
RA
x M
(
CD
RA
x P1 x a)
M (
DB
RB L x)
Cortante VAC
RA
VCD
RA
P1
VDB
RB
P1
( L a)
P2
b P2
( L b)
Pa
1
Reacciones RA
RB
L
L
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el lado derecho
Deflexión
M
0x
2 2
yAB
( L x )
6LEI
Pendiente
M
0 2 2
AB
( L 3x
)
6LEI
M
0L
A
6EI
M
0L
B
3EI
Momento
M
0x
M
AB
L
Cortante
M
V 0
AB
L
M
Reacciones R 0
M
0
A
RB
L
L
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el lado izquierdo
M
0x
2
2
Deflexión yAB
(2L
3Lx
x )
6LEI
2
M L
y 0
MAX
9 3EI
para
x
3 3
L
3
M
0 2
2
Pendiente AB
(2L
6Lx
3x
)
6LEI
M
0L
M
0L
A
B
3EI
6EI
M
0
Momento M
AB
( L x)
L
M
Cortante V 0
AB
L
M
Reacciones R 0
M
0
A
RB
L L

Viga simple apoyada - Momento horario en el extremo izquierdo
M
0x
2
2
Deflexión yAB
(2L
3Lx
x )
6LEI
2
M L
0
yMAX
para x
3 3
L
9 3EI
3
M
0 2
2
Pendiente AB
(2L
6Lx
3x
)
6LEI
M
0L
A
3EI
M
0L
B
6EI
M
0
Momento M
AB
( L x)
L
M
0
Cortante VAB
L
M
0
M
Reacciones RA
R
L
0
B
L
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el centro
M
0x
2 2
Deflexión yAC
( L 4x
)
24LEI
M
0( L x)
2
2
yCB
( L 4( L x)
)
24LEI
M
0 2 2
Pendiente AC
( L 12x
)
24LEI
M
0
2 2
CB
(12( L x)
L )
24LEI
M
0 2 2 M
0 2 2
A
( L 3b
) B
( L
3a
)
6LEI
6LEI
M x
Momento M 0
M
0
AC
M
L
( )
CB
L x
L
M
Cortante V 0
M
AC
V
L
0
CB
L
M
Reacciones R 0
M
0
A
RB
L L

Viga simple apoyada - Momento antihorario en cualquier punto
M
0x
2 2 2
Deflexión yAC
( L 3b
x )
6LEI
M
0( L x)
2 2
2
yCB
( L 3a
( L x)
)
6LEI
M
0 2 2 2
Pendiente
AC
( L 3b
3x
)
6LEI
M
0 2 2
2
CB
( L
3a
3( L x)
)
6LEI
M
0 2 2 M
0 2 2
A
( L 3b
) B
( L
3a
)
6LEI
6LEI
M x
Momento M 0
M
0
AC
M
L
( )
CB
L x
L
M
Cortante V 0
M
AC
V
L
0
CB
L
M
Reacciones R 0
M
0
A
RB
L
L
Viga simple apoyada - Dos momentos distintos antihorario + horario en los extremos
x(
L x)
6LEI
Deflexión y (
M M ) x (2M
M ) L
Pendiente:
AB
6LEI
AB
1
1 2
2
( M1
M
2)(3x
2Lx)
(2M1
M
2
1
L
M
Momento M (
M M x LM
Cortante
Reacciones
AB 1 2)
M
L
M
L
1 2
VAB
M
1 2
RA
2
M
1
M
L
2 1
RB
1
2
)(2Lx
L )
Viga simple apoyada - Dos momentos distintos antihorario en los extremos
x(
L x)
6LEI
Deflexión y (
M M ) x (2M
M ) L
Pendiente:
AB
6LEI
AB
1 2
2
( M1
M
2
)(3x
2Lx)
(2M1
M
2
1
L
M1
M
L
M1
M
L
Momento M (
M M x LM
Cortante
Reacciones
AB 1 2)
2
VAB
2
RA
1
2
1
M1
M
L
2
RB
1
2
)(2Lx
L )

Viga simple apoyada - Dos momentos iguales horario + antihorario en los extremos
Deflexión
M
0x
yAB
( L x)
2EI
2
M
0L
yMAX
para
8EI
Pendiente
M
0
AB
( L 2x)
2EI
Momento M
AB
M
0
Cortante V AB
0
Reacciones R R 0
A
B
L
x
2
A
B
M
0L
2EI
Viga en voladizo - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión
w0
4 3 2 2
yAB
( x 4Lx
6L
x )
24EI
4
w0L
yMAX
yB
para x = L
8EI
Pendiente
3
w0
3 2 2 w0L
AB
( x 3Lx
3L
x)
B
6EI
6EI
Momento
w0
2
w0L
M
AB
( L x)
M
MAX
M
A
2
2
Cortante V w L x)
Reacciones
(
AB 0
R A
w0L
2
Viga en voladizo - Carga uniforme parcial en el lado empotrado
w0
2 2 3 4
Deflexión yAC
(6a
x 4ax
x )
24EI
3
w0a
yCB
(4x
a)
24EI
3
w0a
yMAX
yB
(4L
a)
24EI
w0
2
2 3
Pendiente AC
(3a
x 3ax
x )
6EI
3
w0a
CB
C
B
6EI
w0
2
Momento M
AC
( a x)
M
CB
M
C
M
B
0
2
2
w0a
M
MAX
M
A
2
Cortante V w a x)
V V V 0
Reacciones
(
AC 0
R A
w0a
CB
C
B

Viga en voladizo - Carga uniforme parcial en el lado libre
2
w0bx
Deflexión yAC
(3L
3a
2x)
12EI
w0
4 3 2 2 3 4
yCB
( x 4Lx
6L
x 4a
x a )
24EI
w0bx
Pendiente AC
( L a x)
2EI
w0
3 2 2 3
CB
( x 3Lx
3L
x a )
6EI
w0
3 3
B
( L a )
6EI
w0b
w0
Momento M
AC
( L a 2x)
M ( L x
2
2
Cortante VAC
VA
VC
w0b
V (
CB
w0 L x)
Reacciones w b
R A 0
2
CB
)
Viga en voladizo - Carga uniforme parcial
2
w0bx
Deflexión yAC
(6a
3b
2x)
12EI
w0
4
3
2 2 3 4
yCD
( x 4( a b)
x 6( a b)
x 4a
x a )
24EI
w0
3 3
4 4
yDB
(4x[(
a b)
a ] ( a b)
a )
24EI
w0bx
Pendiente
AC
(2a
b x)
2EI
w0
3
2
2 3
CD
( x 3( a b)
x 3( a b)
x a )
6EI
w0
3 3
DB
(( a b)
a )
6EI
w0b
Momento M
AC
(2a
b 2x)
2
w0
2
M
CD
( a b x)
M
DB
M
D
M
B
0
2
Cortante VAC
VA
VC
w0b
V (
CD
w0 a b x)
VDB
VD
VB
0
Reacciones w b
R A 0

Viga en voladizo - Carga uniformemente creciente hacia el lado libre en todo el vano
2
w0
x 3 2 3
Deflexión yAB
(20L
10L
x x )
120LEI
4
11w0
L
yMAX
para x = L
120EI
w0
x 3 2 3
Pendiente
AB
(8L
6L
x x )
24LEI
3
w0L
B
8EI
w0
3 2 3
Momento M
AB
(2L
3L
x x )
6L
w0
2 2
Cortante VAB
( L x )
2L
w0L
Reacciones RA
2
Viga en voladizo - Carga uniformemente creciente hacia el lado empotrado en todo el vano
Deflexión
2
w0
x 3 2
2 3
yAB
(10L
10L
x 5Lx
x )
120LEI
4
w0L
yMAX
30EI
para x=L
Pendiente
w0
x 3 2
2 3
AB
(4L
6L
x 4Lx
x )
24LEI
3
w0L
B
24EI
Momento
w0
3
M
AB
( L x)
6L
Cortante
w0
2
VAB ( L x)
2L
w0L
Reacciones RA
2

Viga en voladizo - Carga cosenoidalmente decreciente hacia el lado libre en todo el vano
w0L
3 πx
3 3
Deflexión yAB
48L
cos 48L
3π Lx
4
3π EI 2L
2 4
w0L
y (π
3
MAX
24) para x = L
4
3π EI
w0L
2 2 2 2 πx
Pendiente AB
2π
Lx π x 8L
sen
3
π EI
2L
3
w0L
2
B
(π 8)
3
π EI
2w0L
πx
Momento M
AB
πL
πx
2L
cos
2
π
2L
2w
L x
Cortante V 0
π
AB 1
sen
π 2L
2w
Reacciones
0
L
RA
π
2
3
π x
3
Viga en voladizo - Carga puntual en el extremo libre
Deflexión
P 2 3
yAB
(3Lx
x )
6EI
3
PL
yMAX
yB
3EI
Pendiente
P
2
AB
(2Lx
x )
2EI
2
PL
MAX
B
2EI
Momento M
AB
P(
L x)
M
MAX
M
A
PL
Cortante VAB
VA
VB
P
Reacciones R P
A
Viga en voladizo - Carga puntual en cualquier punto
2
P 2 3 Pa
Deflexión yAC
(3ax
x ) yCB
(3x
a)
6EI
6EI
2
Pa
yMAX
yB
(3L
a)
6EI
P
2
Pa
Pendiente
AC
(2ax
x ) CB
C
B
2EI
2EI
Momento M P(
a x)
M M M 0
Cortante
Reacciones
M
V
AC
M
A
Pa
V V P
MAX
AC A C
VCB
VC
VB
0
R
A
P
CB
C
B
2

Viga en voladizo - Momento horario en el extremo libre
Deflexión
2
M
0x
yAB
2EI
2
M
0L
yMAX
para x = L
2EI
Pendiente
M 0
x
AB
EI
Momento M
AB
M
A
M
B
M
0
Cortante V
AB
VA
VB
0
Reacciones R A
0
Viga en voladizo - Momento horario en cualquier punto
Viga empotrada - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión
2
M x M
0
0a
yAC
yCB
(2x
a)
2EI
2EI
M
0a
yMAX
(2L
a)
para x = L
2EI
Pendiente
M 0
x
M
AC
0
a
CB
C
B
EI
EI
Momento M
AC
M
A
M
0
M
CB
M
B
0
Cortante V
AC
VA
VC
0 VCB
VC
VB
0
Reacciones R A
0
Deflexión
2
w0
x
2
yAB ( L x)
24EI
Pendiente
w0
x 2
2
AB
( L 3Lx
2x
)
12EI
Momento
w0
2
2
M
AB
( L 6Lx
6x
)
12
Cortante
w0
VAB
( L 2x)
2
Reacciones
w0L
RA
RB
2

Viga empotrada - Carga uniforme en la mitad del vano
Deflexión )
12
4
(
24
A
A
2
0
2
AC
M
x
R
x
w
EI
x
y
EI
Lx
LR
M
LR
M
L
EI
x
R
x
LR
M
y
6
)
3(2
)
(3
6
)
3(
B
B
B
B
2
3
B
2
B
B
CB
Pendiente )
6
3
(
6
A
A
2
0
AC
M
x
R
x
w
EI
x
)
(2
)
2(
2
1
B
B
B
B
2
B
CB
LR
M
L
x
LR
M
x
R
EI
Momento
2
2
0
A
A
AC
x
w
M
x
R
M
B
B
CB )
( M
x
L
R
M
Cortante
x
w
R
V 0
A
AC
B
CB
R
V
Reacciones
L
M
M
L
w
R
B
A
0
A
8
3
L
M
M
L
w
R
B
A
0
B
8
Siendo
192
11
2
0
A
L
w
M
192
5
2
0
B
L
w
M
Viga empotrada - Carga uniforme parcial en un lado
Deflexión )
12
4
(
24
A
A
2
0
2
AC
M
x
R
x
w
EI
x
y
EI
Lx
LR
M
LR
M
L
EI
x
R
x
LR
M
y
6
)
3(2
)
(3
6
)
3(
B
B
B
B
2
3
B
2
B
B
CB
Pendiente )
6
3
(
6
A
A
2
0
AC
M
x
R
x
w
EI
x
)
(2
)
2(
2
1
B
B
B
B
2
B
CB
LR
M
L
x
LR
M
x
R
EI
Momento
2
2
0
A
A
AC
x
w
M
x
R
M
B
B
CB )
( M
x
L
R
M
Cortante
x
w
R
V 0
A
AC
B
CB
R
V
Reacciones
L
M
M
L
a
b
L
w
R
B
A
0
A
2
)
(
L
M
M
L
a
w
R
B
A
2
0
B
2
Siendo )
3
8
(6
12
2
2
2
2
0
A
a
La
L
L
w a
M
)
3
(4
12 2 3
0
B
a
L
L
w a
M

Viga empotrada - Carga uniforme parcial
Deflexión )
(3
6
A
A
2
AC
x
R
M
EI
x
y
2
A
3
A
4
0
CD 12
4
)
(
24
1
x
M
x
R
a
x
w
EI
y
EI
Lx
LR
M
LR
M
L
EI
x
R
x
LR
M
y
6
)
3(2
)
(3
6
)
3(
B
B
B
B
2
3
B
2
B
B
DB
Pendiente )
(2
2
A
A
AC
x
R
M
EI
x
x
M
x
R
a
x
w
EI
A
2
A
3
0
CD 6
3
)
(
6
1
)
(2
)
2(
2
1
B
B
B
B
2
B
DB
LR
M
L
x
LR
M
x
R
EI
Momento
x
R
M
M
A
A
AC
2
)
(
2
0
A
A
CD
a
x
w
M
x
R
M
)
B (
B
DB
x
L
R
M
M
Cortante
A
AC
R
V )
0 (
A
CD
a
x
w
R
V
B
DB
R
V
Reacciones
L
M
M
b
b
c
w
R
2
2
2
)
2
( B
A
0
A
L
M
M
b
b
a
w
R
2
2
2
)
2
( B
A
0
B
Siendo
2
2
2
0
A )
)(2
3
(6
)
3
6
(2
24
b
c
b
a
b
c
L
b
L
w b
M
2
2
2
0
B )
)(2
3
(6
)
3
6
(2
24
b
a
b
c
b
a
L
b
L
w b
M
Viga empotrada - Carga puntual en el centro
Deflexión )
4
(3
48
2
AC
x
L
EI
Px
y
)
(4
48
)
(
2
CB
L
x
EI
x
L
P
y
Pendiente )
2
(
8
AC
x
L
EI
Px
)
2
3
(
8
2
2
CB
x
Lx
L
EI
P
Momento )
4
(
8
AC
x
L
P
M
)
4
(3
8
CB
x
L
P
M
Cortante
2
AC
P
V
2
CB
P
V
Reacciones
2
B
A
P
R
R

Viga empotrada - Carga puntual en cualquier punto
2 2
Pb x
Deflexión yAC
(3aL
3ax
bx)
3
6EIL
2
2
Pa ( L x)
yCB
(3bx
aL ax)
3
6EIL
2
Pb x
Pendiente
AC
(2aL
3ax
bx)
3
2EIL
2
Pa ( L x)
2
CB
x(3b
a)
L
3
2EIL
2
Pb x
Momento M
AC
( aL 3ax
bx)
3
L
2
Pa
M ( 2
CB
L bL Lx 2bx)
3
L
2
2
Pb
Pa
Cortante VAC
( L 2a)
V ( 2 )
3
CB
L b
3
L
L
2
2
Pb
Pa
Reacciones RA
( L 2a)
R ( 2 )
3
B
L b
3
L
L
Viga empotrada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente
2
Px
2
Deflexión yAC
(3aL
3a
Lx)
6EIL
2
Pa
2
yCD
(3Lx
3x
aL)
6EIL
2
P( L x)
2
yDB
(3aL
3a
L(
L x))
6EIL
2
Px
2
Pa
Pendiente
AC
(2aL
2a
Lx)
CD
( L 2x)
2EIL
2EIL
P( L x)
2
DB
2aL
2a
L(
L x)
2EIL
P
2
Momento M
AC
( Lx aL a )
L
2
Pa
M P
CD
L
( 2
2
M
)
DB
L Lx La a
L
Cortante VAC P V CD
0 VDB
P
Reacciones R R P
A
B

Viga empotrada - Momento antihorario en el centro
2
M
0x
Deflexión yAC
(2x
L)
8LEI
M
0 2 3 2 3
yCB
(5Lx
2x
4L
x L )
8LEI
M
0x
M
0
2 2
Pendiente
AC
(3x
L)
CB
(10Lx
6x
4L
)
4LEI
8LEI
M
0
M
0
Momento M
AC
(6x
L)
M
CB
(5L
6x)
4L
4L
M
Cortante V 3 0
AB
2L
M
Reacciones R 3 0
3M
R
0
A B
2L
2 L
Viga empotrada - Momento antihorario en cualquier punto
Deflexión:
2
2
M
0bx
M
0a(
L x)
yAC
(2aL
2ax
bL)
y
(2 )
2L 3 CB
bx aL
3
EI
2L EI
Pendiente:
M
0bx
M
0a( L x)
2
AC
(2aL
3ax
bL)
( 3 )
3
CB
L bx
3
L EI
L EI
Momento:
M
0b
M
0a
M
AC
(2aL
6ax
bL)
M (6 4 )
3
CB
bx bL aL
3
L
L
6M
0ab
Cortante VAB
3
L
6M
0ab
6M
0ab
Reacciones RA
R
3
B
3
L
L
M
0b
M
0a
Siendo M
A
(2a
b)
M (2 )
2
B
b a
2
L
L
Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión
2
w0
x 2
2
yAB
(3L
5Lx
2x
)
48EI
Pendiente
w0
x 2
2
AB
(6L
15Lx
8x
)
48EI
Momento
w0
2
2
M
AB
( L 5Lx
4x
)
8
Cortante
w0
VAB
(5L
8x)
8
Reacciones
5w
0
L 3w
RA
0
L
RB
8
8

Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial en el lado empotrado
Deflexión:
3
4 3
8RBL(
L x)
2w0L(
a x)
w0a
( L x)(
L 3b)
yAC
48EIL
3 3
8RBL(
L x)
w0a
( L x)(
L 3b)
yCB
48EIL
Pendiente:
2
3 3
24RBL(
L x)
8w0L(
a x)
w0a
( L 3b)
AC
48EIL
2 3
24RBL(
L x)
w0a
( L 3b)
CB
48EIL
2
2RB(
L x)
w0
( a x)
Momento M
AC
M
B
)
2
(
CB
R L x
Cortante V R
w a x)
V R
(
AC
B 0 CB B
w L b)
a 2M
Reacciones RA
2L
2 2
w0
( L b)
a
Siendo M
A
2
8L
0 ( A
R
B
2
w0a
M
2L
2 A
Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial en el lado apoyado
2
x
Deflexión yAC
( RA
x 3M
A
)
6EI
3
4
4RBL(
L x)
w0L(
L x)
yCB
24EIL
2
2
w0b
( L x)(
bL 3ab
6a
)
48EIL
x
Pendiente AC
( RA
x 2M
A
)
2EI
2
3 2
2
3RBL(
L x)
w0L(
L x)
w0b
( bL 3ab
6a
)
CB
6EIL
48EIL
2R
( ) ( )
Momento M
AC
RA
x M
B
L x w0
L x
A M
CB
2
Cortante VAC
RA
V
(
CB
RB
w0 L x)
2
w0b
2M
Reacciones R
A
w a b b M
A
R
( 0
2 ) 2
A
B
2L
2L
2
w0b
2
Siendo M
A
(2
L b)(
L a)
b
2
16L
2

Viga empotrada / apoyada - Carga uniforme parcial
Deflexión )
3
(
6
A
A
2
AC
M
x
R
EI
x
y
EIL
b
a
b
c
b
a
b
L
b
x
L
w b
EI
c
x
L
w
x
L
R
y
96
)
)(2
3(2
)
(2
3
2
)
(
24
)
(
)
(
4
2
2
2
0
4
0
3
B
CD
EIL
b
a
b
c
b
a
b
L
b
x
L
w b
EI
x
L
R
y
96
)
)(2
3(2
)
(2
3
2
)
(
6
)
(
2
2
2
0
3
B
DB
Pendiente )
2
(
2
A
A
AC
M
x
R
EI
x
EIL
b
a
b
c
b
a
b
L
b
w b
EI
c
x
L
w
x
L
R
96
)
)(2
3(2
)
(2
3
2
6
)
(
)
(
3
2
2
2
0
3
0
2
B
CD
EIL
b
a
b
c
b
a
b
L
b
w b
EI
x
L
R
96
)
)(2
3(2
)
(2
3
2
2
)
(
2
2
2
0
2
B
DB
Momento
A
A
AC
M
x
R
M
2
)
(
)
(
2
2
0
B
CD
c
x
L
w
x
L
R
M
)
B (
DB
x
L
R
M
Cortante
A
AC
R
V B
0
CD )
( R
c
x
L
w
V
B
DB
R
V
Reacciones
L
M
b
c
w b
R
2
2
)
2
( A
0
A
L
M
b
b
a
w
R
2
2
)
2
0 ( A
B
Siendo
2
2
0
A
16
)
)(2
2
(2
)
)(2
(2
L
b
b
a
b
c
L
b
b
a
b
c
w
M

Viga empotrada / apoyada - Carga puntual en el centro
Deflexión:
2
Px
P( L x)
2
2
yAC
(9L
11x)
yCB
(3L
5( L x)
)
96EI
96EI
Pendiente:
Px
P 2
2
AC
(6L
11x)
CB
(4L
10Lx
5x
)
32EI
32EI
P
5P
Momento M
AC
(3L
11x)
M
CB
( L x)
16
16
11P
5P
Cortante VAC
VCB
16
16
11P
5P
Reacciones RA
RB
16
16
Viga empotrada / apoyada - Carga puntual en cualquier punto
2
Pbx 3 2 2 2
Deflexión yAC
(3L
3b
L 3L
x b x)
3
12EIL
2
Pa ( L x)
2
2
yCB
(3bL
(2L
b)(
L x)
)
3
12EIL
Pbx 3 2 2 2
Pendiente
AC
(2L
2b
L 3L
x b x)
3
4EIL
2
Pa 3 2
2 2
CB
(2L
4L
x 2bLx
2Lx
bx )
3
4EIL
Momento:
2
Pb 3 2 2 2 Pa
M
AC
( L b L 3L
x b x)
3
M
CB
( L x)(2L
b)
2L
2L
3 2
Pb 2 2 Pa
Cortante VAC
(3L
b )
3
VCB
(2L
b)
2L
2L
3
2
Pb 2 2 Pa
Reacciones RA
(3L
b )
3
RB
(2L
b)
2L
2L
3

Viga empotrada / apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas simétricamente
Deflexión:
)
3
(3
2
)
)(
2
3
(3
12
2
2
2
2
2
2
AC
L
aL
a
L
x
L
L
aL
a
EIL
Px
y
2
2
2
2
2
2
2
3
CD
12
2
)
)(
(
3
12
)
)
(
6
)
)(
(3(
EIL
a
L
x
L
a
L
L
Pa
EIL
x
L
L
x
L
a
L
Pa
y
)
(
3
)
)(
2
3
(3
12
)
( 2
2
2
2
2
DB
a
L
aL
x
L
L
a
aL
EIL
x
L
P
y
Pendiente:
)
3
(3
4
)
3
)(2
2
3
(3
12
2
2
2
2
2
AC
L
aL
a
L
x
L
L
aL
a
EIL
Px
)
(
)
(
4
)
)(
3(
4
2
2
2
2
CD
a
L
L
x
L
L
x
L
a
L
EIL
Pa
)
(
)
)(
2
3
(3
4
2
2
2
2
2
DB
a
L
aL
x
L
L
a
aL
EIL
P
Momento
)
3
3
(2
3
3
2
2
2
2
2
2
AC
a
aL
L
x
aL
L
a
L
P
M
2
2
CD 2
)
)(
3(
2
L
x
L
a
L
L
Pa
M
)
2
3
(3
2
)
( 2
2
2
DB
L
a
aL
L
x
L
P
M
Cortante )
3
3
(2
2
2
2
2
AC
a
aL
L
L
P
V
2
CD
2
)
(
3
L
a
L
Pa
V
)
2
3
(3
2
2
2
2
DB
L
a
aL
L
P
V
Reacciones )
3
3
(2
2
2
2
2
A
a
aL
L
L
P
R
)
3
2
(3
2
2
2
2
B
aL
L
a
L
P
R

Viga empotrada / apoyada - Momento horario en cualquier punto
2
M
0x
2
2 2
Deflexión: y 2b
L ( L x)(
L b )
AC
3
4EIL
M
0a( L x)
3
2 2
yCB
4L
(( L x)
3L
)( L b)
3
4EIL
M
0x
2
2 2
Pendiente AC
4b
L (2L
3x)(
L b )
3
4EIL
M
0a
3
2
CB
4
L 3( L b)(
x 2Lx)
3
4EIL
M
0 2
2 2
Momento M
AC
2b
L ( L 3x)(
L b )
3
2L
3M
0a
M
CB
( L b)(
L x)
3
2L
3M
0a
Cortante VAB
( L b)
3
2L
3M
0a
3M
0a
Reacciones RA
( L b)
R ( )
3
B
L b
3
2L
2L
Viga empotrada / apoyada - Momento horario en el lado apoyado
Deflexión
Pendiente
Momento
Cortante
Reacciones
y
M
V
R
AB
AB
AB
AB
A
2
M
0x
( L x)
4EIL
M
0x(2L
3x)
4EIL
M ( 0
L 3x)
2L
3M
0
2L
3M
0
M
R
2L
B
2L
3 0

Viga con vano lateral - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión
w0
x 4 2 2 3 2 2 2 2
yAB
( L 2L
x Lx 2a
L 2a
x )
24LEI
w0
x1
2 3 2
2 3
yBC
(4a
L L 6a
x1
4ax1
x1
)
24EI
Pendiente
w0
4 2 2 3 2 2 2 2
AB
( L 6L
x 4Lx
2a
L 6a
x )
24LEI
w0
2 3 2
2 3
BC
(4a
L L 12a
x1
12ax1
4x1
)
24EI
Momento
w0
x 2
2 w0
2
M
AB
( L Lx a ) M
BC
( a x1
)
2L
2
Cortante
w0
2
2
VAB
( L 2Lx
a ) V
0
)
2L
BC
w a x1
w0
2 2 w0
2
Reacciones RA
( L a ) RB ( L a)
2L
2L
Siendo x x L
1
Viga con vano lateral - Carga uniforme sobre el saliente
2
w0a
x 2 2
Deflexión yAB
( L x )
12LEI
w0
x1
2 2
2
yBC
(4a
L 6a
x1
4ax1
x
24EI
2
w0a
2 2
Pendiente AB
( L 3x
)
12LEI
w0
2 2
2 3
BC
( a L 3a
x1
3ax1
x1
)
6EI
2
w a x w
0
0
Momento M
AB
M ( a x
2L
2
2
w0a
Cortante VAB
V
0
)
2L
( BC
w a x1
2
w a w L a a
0
Reacciones RA
R
(2 0
)
B
2L
2L
Siendo x x L
1
3
1
2
BC 1)
)

Viga con vano lateral - Carga puntual en el extremo saliente
Viga con vano lateral - Carga puntual entre los apoyos
Pax 2 2 Px1
2
Deflexión yAB
( L x ) yBC
(2aL
3ax1
x1
)
6LEI
6EI
Pa 2 2 P
2
Pendiente
AB
( L 3x
) BC
(2aL
6ax1
3x1
)
6LEI
6EI
Pax
Momento M
AB
M
BC
P( a x1)
L
Pa
Cortante VAB
VBC
P
L
Pa
P(
L a)
Reacciones RA
RB
L
L
Siendo x x L
1
Deflexión
Pbx 2 2 2
yAC
( L b x )
6LEI
Pa( L x)
2 2
yCB
(2Lx
a x )
6LEI
Pabx1
yBD
( L a)
6LEI
Pb 2 2 2
Pendiente
AC
( L b 3x
)
6LEI
Pa 2
2 2 Pab(
L a)
CB
(2L
6Lx
a 3x
)
BD
6LEI
6LEI
Momento
Pbx Pa
M
AC
M
CB
( L x)
L
L
M BD
0
Cortante
Pb
Pa
VAC
VCB
L
L
V BD
0
Pb
Pa
Reacciones RA
RB
L
L
Siendo x x L
1
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