Informe de predicción de la evolución de la COVID-19 en Euskadi | 18 de junio de 2020

18 de junio de 2020 

Resumen 

Informe de predicción de la evolución 

de la COVID-19 en Euskadi 

BCAM - Basque Center for Applied Mathematics 

El presente documento recoge los resultados de predicción de los modelos desarrollados por 

BCAM, la UPV/EHU e Ikerbasque junto con las instituciones sanitarias de Euskadi dentro del 

grupo de trabajo BMFT - Basque Modelling Task Force COVID-19, promovido por el Departamento 

de Educación y el Departamento de Salud del Gobierno Vasco. Estas predicciones se 

realizan sobre diferentes variables de interés como el número de hospitalizaciones o muertes 

y considerando dos horizontes temporales diferentes (corto plazo hasta el 27 de junio y largo 

plazo hasta el 15 de agosto). Además se está trabajando en ofrecer predicciones en diferentes 

escenarios futuros considerando diferentes valores para la fuerza de infección. Este documento 

se irá actualizando en relación a los horizontes temporales de predicción a medida que se 

reciban nuevos datos. El texto principal recoge mayoritariamente el resultado de las predicciones. 

Al final del documento, sin embargo, se puede encontrar en un apéndice una descripción 

detallada de cada uno de los modelos utilizados así como información complementaria. 

Informe BCAM COVID-19 en Euskadi 1


Índice 

1. Introducción 3 

2. Predicciones a corto plazo: 27 de junio 5 

2.1. Ingresos por COVID-19: Predicción a corto plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

2.2. Ingresos en UCI por COVID-19: Predicción a corto plazo . . . . . . . . . . . . . . 8 

2.3. Mortalidad por COVID-19: Predicción a corto plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.4. Validación y Vigilancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.4.1. Ingresos por COVID-19: Validación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.4.2. Ingresos en UCI por COVID-19: Validación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.4.3. Mortalidad por COVID-19: Validación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

3. Predicciones a largo plazo: 15 de agosto 17 

3.1. Ingresos por COVID-19: Predicción a largo plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

3.2. Ingresos en UCI por COVID-19: Predicción a largo plazo . . . . . . . . . . . . . . 19 

3.3. Mortalidad por COVID-19: Predicción a largo plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

4. Tasa de crecimiento y factor de reproducción 21 

4.1. Tasas de crecimiento momentáneas y factor de reproducción momentáneo . . . 21 

A. Anexo 24 

A.1. Diseño de la recogida y depuración de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

A.2. Descripción de los modelos matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

A.2.1. Modelo SHARUCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

A.2.2. Modelo SEIR Bayesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

A.2.3. Modelo basado en procesos Gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

A.3. Material complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

A.3.1. Modelo SHARUCD: simulaciones y datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

A.3.2. Modelo SEIR Bayesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

B. Referencias 37 



1 INTRODUCCIÓN 

El grupo de trabajo en modelado matemático de BCAM aúna diferentes enfoques (Figura 

1) para la modelización del COVID-19. En colaboración con las autoridades clínicas y sanitarias 

en Euskadi da soporte a la toma de decisiones y proporciona a la sociedad herramientas 

matemáticas sofisticadas para conocer la evolución de la COVID-19. 

Figura 1: Infografía resumen de los enfoques de predicción de la evolución de la COVID-19. 

Antes de presentar los modelos y sus predicciones es importante destacar la complejidad 

del modelado. Esta dificultad es debida a tres factores principalmente. Un primer factor es la 

falta de suficiente evidencia científica acerca de algunos aspectos de la enfermedad como pueden 

ser, los periodos de incubación, el % de casos asintomáticos, etc. Un segundo aspecto es el 

tipo de datos del que se dispone. Por un lado, existe desconocimiento de muchos valores de interés 

como puede ser el número de infectados reales, y por otro, un mismo valor (por ejemplo, el 

número de casos positivos) puede tener un significado diferente en distintos instantes de tiempo 

debido a cambios en los protocolos clínicos. Un último factor es que las propias predicciones 

del modelo pueden afectar en la toma de decisiones y por lo tanto influir en la predicción. 

A modo resumen, los tres enfoques de modelado que se presentan en este documento son: 

Modelo estocástico tipo SHARUCD: Se trata de un modelo estocástico de tipo SHA- 

RUCD (casos susceptibles (S), casos graves propensos a la hospitalización (H), leves, subclínicos 

o asintomáticos (A), recuperados (R), pacientes ingresados en las unidades de cuidados 

intensivos (U) y los casos positivos acumulados registrados (C) que incluyen todos 

los nuevos casos positivos para cada clase de H, A, U, R, y fallecidos (D) ) (Aguiar et al. 



2020) - una extensión del conocido modelo simple SIR que se utiliza frecuentemente para 

modelar diferentes brotes de enfermedades. El enfoque determinístico se obtiene mediante 

la aproximación del campo medio y ambos se utilizan para evaluar el rendimiento 

y la precisión del modelo. El modelo se calibra utilizando los datos empíricos de Euskadi 

y los parámetros biológicos se estiman y fijan a medida que el modelo es capaz de describir 

los datos de incidencia de la enfermedad. Se calculan las tasas de crecimiento λ(t) 

a partir del modelo y de los datos y se obtienen resultados de la tasa de reproducción 

momentáneas r(t). 

Modelo epidemiológico SEIR Bayesiano: al igual que en el caso anterior este modelo es 

un modelo compartimental basado en ecuaciones diferenciales ordinarias, pero la estimación 

del modelo y sus parámetros se hace desde una perspectiva bayesiana. Los parámetros 

del modelo son ahora variables aleatorias que siguen una distribución de probabilidad. 

Mediante inferencia bayesiana, se puede actualizar el conocimiento previo (a 

priori) sobre estas variables de acuerdo a lo observado en los datos, dando como resultado 

una distribución a posteriori que combina las creencias con las observaciones y que 

permiten cuantificar la incertidumbre de las predicciones mediante los denominados intervalos 

de credibilidad. 

Modelo basado en procesos Gaussianos: en este caso el modelo considera que cada variable 

es una serie temporal, y aprende un modelo de los datos anteriores para realizar 

una predicción a corto/medio plazo. La principal característica de este modelo es que no 

considera ninguna información sobre la enfermedad, es en este sentido agnóstico, evitando 

la dependencia de diferentes parámetros de la enfermedad. 

Es importante reseñar que los tres modelos siguen aproximaciones e hipótesis de modelado 

muy diferente. El hecho de que, como se podrá ver mas adelante, coincidan en las predicciones, 

confiere a esta predicción conjunta un valor añadido de robustez. La Tabla 1 resume las 

variables analizadas en este informe por cada modelo matemático y que son descritas en las 

siguientes secciones para la comparativa de las predicciones. El modelo SHARUCD adicionalmente 

estima los casos positivos y recuperados (ver Anexos A.2 y A.3). 

Variables 

Modelo Casos Ingresos UCI Fallecimientos Recuperados Incidencia Acumulados Escenarios Desescalada Por grupo de edad 

GP ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ 

SEIR Bay. ✗ ✓ ✗ ✓ ✗ ✓ ✓ ✓ ✓ 

SHARUCD ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✗ ✓ ✓ ✗ 

Tabla 1: Resumen de las variables empleadas en las comparativas y obtenidas de cada uno de los modelos matemáticos 

propuestos. Para detalles concretos de cada modelo ver Anexo A.2. 



2 PREDICCIONES A CORTO PLAZO: 27 de junio 

En esta sección se muestran las predicciones realizadas por los diferentes modelos hasta el 

27 de junio. En todos los casos, los datos reales que se presentan son aquellos recogidos entre 

el 16 de febrero y el 13 de junio. Una descripción detallada del protocolo de recogida de datos 

(con sus fortalezas y limitaciones) se presenta en el Anexo A.1. En particular, las variables sobre 

las que se han realizado predicciones son: 

Número de ingresos hospitalarios por COVID-19. 

Número de ingresos en UCI (Unidad de Cuidados Intensivos) por COVID-19. 

Número de fallecimientos por COVID-19. 

Destacar que el motivo principal por el que las predicciones se han centrado en esas variables 

(más allá de su importancia) es que son indicadores fiables de la evolución y estado 

actual de la pandemia en Euskadi, a diferencia del número de casos positivos reportados 

que, además de no representar el número real de infectados, se ve afectado por los cambios 

en el protocolo de actuación para la realización de test. 

Para cada una de las variables descritas anteriormente se muestran dos gráficas: 

1. Incidencia diaria. Por ejemplo, en el caso de hospitalizaciones (y de manera análoga para 

el resto de variables) esta gráfica muestra el número real de nuevas hospitalizaciones 

diarias y la predicción realizada por cada uno de los modelos 1 . 

2. Incidencia acumulada. Por ejemplo, en el caso de hospitalizaciones esta gráfica muestra, 

por día, el número de hospitalizaciones acumuladas hasta la fecha y la predicción realizada 

por cada uno de los métodos 1 . 

Además, se presenta una tabla con las predicciones realizadas por los tres modelos entre el 14 

de junio y el 27 de junio. 

1 Aunque para la mayoría de las variables aparecerán tres predicciones diferentes (una por modelo), en algunos 

casos aparecerán menos predicciones ya que no todos los métodos predicen las mismas variables (ver Tabla 1). 



A modo resumen, las principales conclusiones que se pueden extraer de los resultados que se 

muestran son: 

El momento crítico de la pandemia en Euskadi fue, en lo que a ingresos hospitalarios se 

refiere, a finales de marzo. Es, en esas fechas, cuando se reporta un mayor número de 

nuevos ingresos hospitalarios por día. De ahí en adelante, y de manera mantenida, el número 

de nuevos ingresos hospitalarios ha ido disminuyendo. En relación a fallecimientos, 

el momento crítico es, como era de esperar, posterior, aproximadamente unas dos semanas 

después (primera semana de abril). Al igual que en el caso de las hospitalizaciones, 

desde esa fecha la tendencia es a una disminución en la mortalidad. 

En relación a la predicción a corto plazo realizada por los tres modelos, hay una concordancia 

alta entre ellos, y todos muestran un horizonte de estabilidad y control de la pandemia. 

Es importante señalar que, los resultados que se muestran (tanto a corto como a largo 

plazo) reflejan lo que los modelos predicen bajo la suposición de que se va a continuar en 

una situación similar a la actual (a fecha 13 de junio, último día de recogida de los datos 

reales empleados para alimentar los distintos modelos). 



2.1 INGRESOS POR COVID-19: PREDICCIÓN A CORTO PLAZO 

300 

Ingresos (incidencia) 

Incidencia diaria 

200 

100 

Modelo 

GP 

SEIR Bay. 

0 

mar 01 mar 15 abr 01 abr 15 may 01 may 15 jun 01 jun 15 jul 01 

Dia 

6000 

Ingresos (acumulada) 

Acumulado diario 

4000 

2000 


GP 

SEIR Bay. 

SHARUCD 

0 


Dia 

Figura 2: Predicción a corto plazo para ingresos hospitalarios incidentes y acumulados. Línea negra: observados 

hasta el 13 de junio. Línea azul y rosa: estimación puntual con datos hasta 13 de junio. Las áreas coloreadas 

representan la banda de credibilidad al 95 % (i.e., incertidumbre alrededor de la estimación puntual). A partir del 

13 de junio (línea negra vertical) la información que se muestra es la predicción puntual (e incertidumbre asociada) 

realizada por los diferentes modelos (líneas discontinuas y áreas coloreadas asociadas). GP es la abreviatura 

de Procesos Gaussianos, SEIR Bay. hace referencia al modelo SEIR Bayesiano, y SHARUCD al modelo estocástico 

tipo SHARUCD. 

Tabla 2: Predicción de ingresos hospitalarios acumulados (Media e IC 95 %) 

Junio 

14 15 16 17 18 19 20 

GP 5451 5459 5466 5471 5474 5477 5479 

(5375, 5526) (5272, 5646) (5171, 5760) (5090, 5851) (5032, 5916) (4995, 5960) (4971, 5987) 

SEIR Bay. 5420 5425 5431 5437 5442 5447 5452 

(5032, 5806) (5041, 5813) (5046, 5818) (5052, 5826) (5053, 5831) (5059, 5836) (5066, 5839) 

SHARUCD 5447 5450 5452 5455 5457 5459 5461 

(5447, 5448) (5447, 5454) (5449, 5457) (5450, 5461) (5452, 5464) (5452, 5468) (5453, 5470) 



Junio 

21 22 23 24 25 26 27 

GP 5481 5482 5483 5484 5485 5485 5486 

(4958, 6004) (4951, 6014) (4947, 6019) (4946, 6022) (4945, 6024) (4945, 6025) (4946, 6026) 

SEIR Bay. 5458 5463 5468 5472 5477 5482 5487 

(5074, 5844) (5077, 5850) (5079, 5852) (5082, 5858) (5087, 5864) (5090, 5868) (5095, 5874) 

SHARUCD 5464 5466 5468 5469 5471 5472 5474 

(5455, 5475) (5457, 5478) (5458, 5480) (5460, 5481) (5462, 5484) (5463, 5486) (5464, 5489) 

2.2 INGRESOS EN UCI POR COVID-19: PREDICCIÓN A CORTO PLAZO 

UCI (incidencia) 

40 


30 

20 

10 


GP 

0 


Dia 

600 

UCI (acumulada) 


400 

200 


GP 

SHARUCD 

0 


Dia 

Figura 3: Predicción a corto plazo para ingresos en UCI incidentes y acumulados. Línea negra: observados hasta 

el 13 de junio. Línea rosa: estimación puntual (valor esperado) con datos hasta 13 de junio. Las áreas coloreadas 




de Procesos Gaussianos (Gaussian Processes en inglés) y SHARUCD al hace referencia al modelo estocástico tipo 

SHARUCD. 



Tabla 3: Predicción de ingresos UCI acumulados (Media e IC 95 %) 

Junio 


GP 570 572 574 575 576 577 577 

(559, 581) (547, 597) (536, 611) (529, 621) (524, 628) (522, 631) (521, 634) 

SHARUCD 568 568 568 568 569 569 569 

(568, 568) (568, 570) (568, 571) (568, 571) (568, 571) (568, 572) (568, 572) 

Junio 

21 22 23 24 25 26 27 

GP 577 578 578 578 578 578 579 

(520, 635) (520, 635) (520, 636) (520, 636) (520, 636) (520, 636) (521, 637) 

SHARUCD 569 570 570 570 570 571 571 

(568, 572) (568, 573) (568, 573) (568, 574) (568, 574) (568, 574) (568, 574) 



2.3 MORTALIDAD POR COVID-19: PREDICCIÓN A CORTO PLAZO 

60 

Fallecidos (incidencia) 


40 

20 


GP 

SEIR Bay. 

0 


Dia 

Fallecidos (acumulado) 

1500 


1000 

500 


GP 

SEIR Bay. 

SHARUCD 

0 


Dia 

Figura 4: Predicción a corto plazo para fallecimientos incidentes y acumulados. Línea negra: observados hasta el 

13 de junio. Línea azul y rosa: estimación puntual (valor esperado) con datos hasta 13 de junio. Las áreas coloreadas 



realizada por los diferentes modelos (líneas discontinuas y áreas coloreadas asociadas). GP es la abreviatura de 

Procesos Gaussianos (Gaussian Processes en inglés), SEIR Bay. hace referencia al modelo SEIR Bayesiano, y SHA- 

RUCD al modelo estocástico tipo SHARUCD. 

Tabla 4: Predicción de fallecimientos acumulados (Media e IC 95 %) 

Junio 


GP 1511 1515 1518 1521 1523 1524 1525 

(1491, 1532) (1474, 1556) (1464, 1572) (1459, 1583) (1457, 1588) (1457, 1591) (1458, 1593) 

SEIR Bay. 1524 1526 1528 1530 1532 1534 1536 

(1403, 1649) (1406, 1651) (1407, 1653) (1409, 1654) (1412, 1657) (1415, 1657) (1416, 1660) 

SHARUCD 1508 1510 1511 1513 1514 1516 1517 

(1508, 1509) (1508, 1513) (1508, 1516) (1509, 1518) (1510, 1520) (1511, 1522) (1512, 1525) 



Junio 

21 22 23 24 25 26 27 

GP 1527 1527 1528 1529 1530 1530 1531 

(1459, 1594) (1460, 1595) (1460, 1596) (1461, 1597) (1462, 1598) (1462, 1598) (1463, 1599) 

SEIR Bay. 1538 1540 1542 1544 1545 1547 1549 

(1419, 1663) (1421, 1664) (1423, 1666) (1424, 1668) (1426, 1669) (1428, 1672) (1429, 1674) 

SHARUCD 1519 1520 1521 1523 1524 1525 1526 

(1513, 1526) (1513, 1527) (1515, 1529) (1516, 1531) (1516, 1533) (1517, 1535) (1518, 1537) 

2.4 VALIDACIÓN Y VIGILANCIA 

Con el objetivo de mostrar la calidad/error de las predicciones que realizan los modelos, 

se presenta en esta sección, para cada una de las variables de interés, resultados gráficos y 

numéricos de las predicciones realizadas por los modelos desde el día 15 de mayo hasta el día 

13 de junio junto con el valor real. Para que esta validación sea justa, el modelo SEIR Bayesiano 

y el basado en Procesos Gaussianos han sido estimados con los datos hasta el día 15 de mayo. 

Además de la necesaria validación de las predicciones realizadas por los diferentes modelos, 

otro de los objetivos de realizar una monitorización y vigilancia como la que se muestra en las 

gráficas siguientes (con predicciones realizadas con cuatro semanas de antelación) es detectar 

discrepancias entre la tendencia en la evolución de la pandemia predicha por los modelos y los 

datos reales. La existencia de grandes cambios entre ambos cifras, las predicciones y los valores 

reales, puede entenderse como un posible cambio de tendencia en la evolución de la pandemia 

que permita elevar una alarma a los servicios sanitarios. 

Indicar que el modelo SHARUCD es capaz de describir los datos utilizando un único conjunto 

de parámetros. El modelo se calibra utilizando los datos empíricos del País Vasco y los parámetros 

biológicos se estiman y fijan ya que el modelo es capaz de describir la incidencia de la 

enfermedad durante la fase exponencial de la epidemia (del 4 al 27 de marzo de 2020) para 

cada clase dinámica. La incertidumbre acerca de los parámetros se cuantifican con funciones 

de verosimilitud (1). Los parámetros del modelo y las condiciones iniciales se muestran en el 

Anexo A.2. En particular, para los resultados que se muestran en esta Sección, el modelo modelo 

SHARUCD tiene una única función de control, aquella incluida cuando se inició el confinamiento 

(escenario ”sin cambios”). Aunque los datos todavía están dentro de los intervalos de 

confianza, debido a las medidas de desescalada iniciadas el 4 de mayo, notamos que la media 

de las realizaciones estocásticas sobrestima ligeramente el número de casos. Se debe introducir 

ahora una nueva función de control para evaluar el efecto del levantamiento gradual del 

confinamiento. Para describir mejor cuantitativamente los últimos datos y obtener una mejor 

correspondencia visual con la media de las realizaciones estocásticas, en los resultados que se 

muestran se ha ajustado el valor final de la fuerza de infección β 2 en la función de control para 

el escenario ”sin cambios”(de 0,25 a 0,225). Los datos de hospitalizaciones y fallecimientos en- 



cajan bien con la media, pero los ingresos en UCI están ahora ligeramente subestimados (ver 

A.2). 

Como se puede observar en todos los casos hay una concordancia alta entre las predicciones 

realizadas por los diferentes modelos y los datos observados con posterioridad. Sin 

embargo, y como era de esperar, los modelos han sido incapaces de predecir los rebrotes 

surgidos en los últimos días. Esto contribuye a que las predicciones porporcionadas por 

los modelos en los últimos días no hayan sido tan precisas como en las fechas anteriores. 

2.4.1 INGRESOS POR COVID-19: VALIDACIÓN 

300 



200 

100 


GP 

SEIR Bay. 

0 

mar 01 mar 15 abr 01 abr 15 may 01 may 15 jun 01 jun 15 

Dia 

6000 



4000 

2000 


GP 

SEIR Bay. 

SHARUCD 

0 


Dia 

Figura 5: Error en las predicciones para ingresos hospitalarios incidentes y acumulados. Línea negra: observados 

hasta el 13 de junio. Línea azul, rosa y naranja: estimación puntual (valor esperado) con datos hasta 15 de mayo. 

Las áreas coloreadas representan la banda de credibilidad al 95 % (i.e., incertidumbre alrededor de la estimación 

puntual). A partir del 15 de mayo (línea negra vertical) la información que se muestra es la predicción puntual (e 

incertidumbre asociada) realizada por los diferentes modelos (líneas discontinuas y áreas coloreadas asociadas) 

y los datos observados con posterioridad. GP es la abreviatura de Procesos Gaussianos (Gaussian Processes en 

inglés), SEIR Bay. hace referencia al modelo SEIR Bayesiano, y SHARUCD al modelo estocástico tipo SHARUCD. 



Tabla 5: Datos reales y predicción de ingresos hospitalarios acumulados (Media e IC 95 %) 

Mayo 

Junio 

31 1 2 3 4 5 6 

Reales 5378 5383 5392 5394 5398 5399 5403 

GP 5356 5359 5361 5363 5365 5367 5368 

(4546, 6166) (4549, 6169) (4551, 6171) (4553, 6173) (4555, 6175) (4557, 6177) (4559, 6178) 

SEIR Bay. 5352 5358 5364 5370 5376 5382 5388 

(4940, 5797) (4950, 5808) (4956, 5822) (4966, 5840) (4967, 5854) (4973, 5865) (4977, 5881) 

SHARUCD 5360 5368 5372 5376 5380 5383 5386 

(4172, 6427) (4174, 6433) (4177, 6437) (4183, 6440) (4188, 6445) (4190, 6450) (4195, 6458) 

Junio 

7 8 9 10 11 12 13 

Reales 5408 5413 5419 5421 5429 5435 5442 

GP 5370 5372 5373 5374 5375 5377 5378 

(4560, 6180) (4562, 6182) (4563, 6183) (4564, 6184) (4565, 6185) (4567, 6187) (4568, 6188) 

SEIR Bay. 5394 5399 5405 5411 5417 5423 5428 

(4983, 5888) (4983, 5904) (4986, 5932) (4990, 5939) (4992, 5960) (4996, 5991) (4996, 6004) 

SHARUCD 5392 5393 5397 5399 5402 5402 5407 

(4196, 6459) (4198, 6464) (4202, 6467) (4207, 6472) (4211, 6473) (4213, 6476) (4215, 6477) 



2.4.2 INGRESOS EN UCI POR COVID-19: VALIDACIÓN 


40 


30 

20 

10 


GP 

0 


Dia 


1000 


750 

500 

250 


GP 

SHARUCD 

0 


Dia 

Figura 6: Error en las predicciones para ingresos en UCI incidentes y acumulados. Línea negra: observados hasta 

el 13 de junio. Línea rosa y naranja: estimación puntual (valor esperado) con datos hasta 15 de mayo. Las áreas 

coloreadas representan la banda de credibilidad al 95 % (i.e., incertidumbre alrededor de la estimación puntual). A 

partir del 15 de mayo (línea negra vertical) la información que se muestra es la predicción puntual (e incertidumbre 

asociada) realizada por los diferentes modelos (líneas discontinuas y áreas coloreadas asociadas). GP es la abreviatura 

de Procesos Gaussianos (Gaussian Processes en inglés), y SHARUCD hace referencia al modelo estocástico 

tipo SHARUCD. 

Tabla 6: Datos reales y predicción de ingresos UCI acumulados acumulados (Media e IC 95 %) 

Mayo 

Junio 

31 1 2 3 4 5 6 

Reales 558 558 560 561 563 563 563 

GP 550 550 550 550 550 551 551 

(138, 962) (135, 966) (132, 968) (131, 970) (129, 972) (129, 973) (128, 973) 

SHARUCD 547 547 547 547 548 548 549 

(436, 648) (437, 648) (437, 648) (438, 650) (438, 651) (438, 651) (439, 651) 

Junio 

7 8 9 10 11 12 13 

Reales 563 565 566 566 567 567 568 

GP 551 551 551 551 551 551 551 

(128, 974) (127, 974) (127, 974) (127, 975) (127, 975) (127, 975) (127, 975) 

SHARUCD 549 549 549 549 549 549 551 

(439, 652) (439, 652) (440, 653) (440, 653) (440, 653) (440, 653) (440, 654) 



2.4.3 MORTALIDAD POR COVID-19: VALIDACIÓN 

60 



40 

20 


GP 

SEIR Bay. 

0 


Dia 


1500 


1000 

500 


GP 

SEIR Bay. 

SHARUCD 

0 


Dia 

Figura 7: Error en las predicciones para fallecimientos incidentes y acumulados. Línea negra: observados hasta 

el 13 de junio. Línea azul, rosa y naranja: estimación puntual (valor esperado) con datos hasta 15 de mayo. Las áreas 

coloreadas representan la banda de credibilidad al 95 % (i.e., incertidumbre alrededor de la estimación puntual). 

A partir del 15 de mayo (línea negra vertical) la información que se muestra es la predicción puntual (e incertidumbre 

asociada) realizada por los diferentes modelos (líneas discontinuas y áreas coloreadas asociadas) y los datos 

observados con posterioridad. GP es la abreviatura de Procesos Gaussianos (Gaussian Processes en inglés), SEIR 

Bay. hace referencia al modelo SEIR Bayesiano, y SHARUCD al modelo estocástico tipo SHARUCD. 

Tabla 7: Datos reales y predicción de fallecimientos acumulados (Media e IC 95 %) 

Mayo 

Junio 

31 1 2 3 4 5 6 

Reales 1452 1457 1465 1472 1478 1486 1489 

GP 1458 1461 1463 1465 1467 1469 1471 

(1317, 1600) (1319, 1602) (1321, 1604) (1323, 1606) (1325, 1608) (1327, 1610) (1329, 1612) 

SEIR Bay. 1458 1460 1463 1465 1468 1470 1472 

(1338, 1580) (1340, 1581) (1343, 1583) (1344, 1588) (1348, 1590) (1349, 1594) (1352, 1596) 

SHARUCD 1479 1482 1485 1489 1492 1494 1496 

(1168, 1783) (1171, 1787) (1172, 1792) (1174, 1797) (1178, 1798) (1182, 1799) (1184, 1799) 



Junio 

7 8 9 10 11 12 13 

Reales 1491 1495 1499 1504 1506 1506 1508 

GP 1472 1474 1475 1477 1478 1479 1480 

(1331, 1614) (1332, 1615) (1334, 1617) (1335, 1618) (1336, 1619) (1338, 1621) (1339, 1622) 

SEIR Bay. 1474 1477 1479 1481 1483 1485 1487 

(1353, 1599) (1355, 1603) (1358, 1607) (1359, 1609) (1360, 1613) (1361, 1616) (1363, 1619) 

SHARUCD 1499 1501 1502 1504 1506 1508 1511 

(1184, 1801) (1185, 1806) (1188, 1808) (1190, 1809) (1192, 1811) (1192, 1813) (1192, 1816) 



3 PREDICCIONES A LARGO PLAZO: 15 de agosto 

En esta sección se muestran las predicciones realizadas por los modelos hasta el 15 de agosto. 

Las variables sobre las que se han realizado predicciones son las mismas que las descritas 

en la Sección 2 (Predicción a corto plazo). Las Secciones 3.1 - 3.3 describen los resultados (ingresos, 

ingresos en UCI y mortalidad) en un escenario donde se supone que se continúa en una 

situación similar a la de fecha 13 de junio (último día de recogida de los datos reales empleados 

para alimentar los distintos modelos). 

Para ese escenario, las conclusiones no cambian en relación a las descritas anteriormente 

en la predicción a corto plazo (27 de junio): situación de estabilidad y control de la pandemia. 

Los resultados que se muestran en esa sección deben interpretarse con la debida cautela, 

ya que éstos reflejan lo que los modelos predicen bajo la suposición de que se va continuar 

en una situación similar a la actual (a fecha 13 de junio, último día de recogida de los 

datos reales empleados para alimentar los distintos modelos). Los modelos desarrollados 

permiten la simulación de diferentes escenarios a largo plazo, en los que se produzca un 

incremento de la fuerza de contagio, en lo que el grupo de BCAM en COVID-19 está trabajando 

actualmente. 



3.1 INGRESOS POR COVID-19: PREDICCIÓN A LARGO PLAZO 

300 



200 

100 


GP 

SEIR Bay. 

0 

mar 01mar 15 abr 01 abr 15 may 01may 15 jun 01 jun 15 jul 01 jul 15 ago 01 ago 15 

Dia 

6000 



4000 

2000 


GP 

SEIR Bay. 

SHARUCD 

0 

mar 01mar 15 abr 01 abr 15 may 01may 15 jun 01 jun 15 jul 01 jul 15 ago 01ago 15 

Dia 

Figura 8: Predicción a largo plazo para ingresos hospitalarios incidentes y acumulados. Línea negra: observados 

hasta el 13 de junio. Línea azul y rosa: estimación puntual (valor esperado) con datos hasta 13 de junio. Las áreas 

coloreadas representan la banda de credibilidad al 95 % (i.e., incertidumbre alrededor de la estimación puntual). 

A partir del 13 de junio (línea negra vertical) la información que se muestra es la predicción puntual (e incertidumbre 

asociada) realizada por los diferentes modelos (líneas discontinuas y áreas coloreadas asociadas). GP es 

la abreviatura de Procesos Gaussianos (Gaussian Processes en inglés), SEIR Bay. hace referencia al modelo SEIR 

Bayesiano, y SHARUCD al modelo estocástico tipo SHARUCD. 

Informe BCAM COVID-19 en Euskadi 18


3.2 INGRESOS EN UCI POR COVID-19: PREDICCIÓN A LARGO PLAZO 


40 


30 

20 

10 


GP 

0 

mar 01 mar 15 abr 01 abr 15 may 01 may 15 jun 01 jun 15 jul 01 jul 15 ago 01 ago 15 

Dia 

600 



400 

200 


GP 

SHARUCD 

0 


Dia 

Figura 9: Predicción a largo plazo para ingresos en UCI incidentes y acumulados. Línea negra: observados hasta 

el 13 de junio. Línea rosa: estimación puntual (valor esperado) con datos hasta 13 de junio. Las áreas coloreadas 




de Procesos Gaussianos (Gaussian Processes en inglés), y SHARUCD hace referencia al modelo estocástico tipo 

SHARUCD. 

Informe BCAM COVID-19 en Euskadi 19


3.3 MORTALIDAD POR COVID-19: PREDICCIÓN A LARGO PLAZO 

60 



40 

20 


GP 

SEIR Bay. 

0 

mar 01mar 15 abr 01 abr 15 may 01may 15 jun 01 jun 15 jul 01 jul 15 ago 01 ago 15 

Dia 


1500 


1000 

500 


GP 

SEIR Bay. 

SHARUCD 

0 


Dia 

Figura 10: Predicción a largo plazo para fallecimientos incidentes y acumulados. Línea negra: observados hasta 

el 13 de junio. Línea azul y rosa: estimación puntual (valor esperado) con datos hasta 13 de junio. Las áreas coloreadas 

representan la banda de credibilidad al 95 % (i.e., incertidumbre alrededor de la estimación puntual). A partir 

del 13 de junio (línea negra vertical) la información que se muestra es la predicción puntual (e incertidumbre asociada) 


de Procesos Gaussianos (Gaussian Processes en inglés), SEIR Bay. hace referencia al modelo SEIR Bayesiano, 

y SHARUCD al modelo estocástico tipo SHARUCD. 



4 TASA DE CRECIMIENTO Y FACTOR DE REPRODUCCIÓN 

La tasa de crecimiento exponencial inicial λ de una epidemia es una medida importante que 

se desprende directamente de los datos comúnmente utilizados para inferir el número básico 

de reproducción r, a menudo llamado R 0 . Mientras que la tasa de crecimiento momentánea se 

obtiene directamente de los datos continuos, el factor de reproducción momentáneo depende 

de la noción de un tiempo de generación γ −1 . Las tasas de crecimiento momentáneas y el factor 

de reproducción momentáneo obtenidas por el modelo SHARUCD se analizan a continuación. 

4.1 TASAS DE CRECIMIENTO MOMENTÁNEAS Y FACTOR DE REPRODUC- 

CIÓN MOMENTÁNEO 

Las tasas de crecimiento momentáneo y las cifras de reproducción momentánea se calculan 

con los datos disponibles, del 4 de marzo al 14 de junio de 2020, que se muestran en la Fig. 

11. Si bien no nos hacemos responsables del valor absoluto de r(t) ya que está ligado a muchos 

supuestos internos, período de recuperación, suavizado y aproximaciones, que no son válidos 

para los parámetros dependientes del tiempo, el comportamiento del umbral es independiente 

de esas incertidumbres e indica claramente que el brote está bajo control o no, cuando las 

estimaciones están por debajo o por encima de 1 (2). 

Actualmente, la tasa de crecimiento de los casos positivos probados es positiva. Sólo esta 

medición indicaría que el número de nuevos casos está aumentando. También se estima que la 

tasa de reproducción r(t) está por encima del umbral de comportamiento de r=1, y se necesita 

un seguimiento cuidadoso del desarrollo del brote. Sin embargo, el aumento de la capacidad de 

ensayo, que permite la identificación de casos leves/sintomáticos, está influyendo en el comportamiento 

de la tasa de reproducción. Además, se identificó un brote aislado en un hospital, 

lo que también contribuyó al cambio en el comportamiento de la proporción de reproducción. 

También pueden evaluarse medidas complementarias de las tasas de crecimiento de diferentes 

variables, como la hospitalización, los ingresos en la unidad de cuidados intensivos (UCI) 

y los fallecidos, ya que los datos se reúnen y definen de manera coherente. Los fallecidos, los 

hospitalizados y los ingresos en la UCI han cruzado el umbral de la tasa de crecimiento y han 

pasado a ser positivos hace una semana, mientras que la tasa de los casos positivos seguía siendo 

inferior a 1, lo que equilibra el comportamiento general de la transmisión de la enfermedad 

evaluada a través de las tasas de crecimiento y el número de reproducción en combinación. Por 

el momento, la tasa de reproducción está disminuyendo. Aunque los números son bajos, este 

comportamiento debe ser monitorizado. 



momentary growth rate λ(t) 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-0.1 

positive cases (OBI - PCR+ only) 

momentary reproduction ratio R(t) 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

with γ=2 (upper) and with γ=7 (lower) 

with γ=4 

-0.2 

0 

a) 

2020-03-04 



















2020-05-19 








b) 




























Figura 11: a) Estimación de la tasa de crecimiento a partir de los datos sobre casos infectados probados positivos, 

y b) factor de reproducción a partir de los mismos datos. 

0.6 

0.5 

hospitalized cases (OBI - PCR+ only) 

0.6 

0.5 

ICUs admissions (OBI - PCR+ only) 


of various variables 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-0.1 



0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-0.1 

-0.2 

-0.2 

-0.3 

a) 

0.6 

0.5 




























deceased cases (OBI - PCR+ only) 

b) 

0.6 

0.5 




























recovered cases (’Altas Vivos’ OBI - PCR+ only) 



0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-0.1 



0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-0.1 

-0.2 

-0.2 

c) 




























d) 




























Figura 12: Estimación de la tasa de crecimiento de diversas variables. En a) la tasa de crecimiento de las hospitalizaciones 

(rojo) b) la tasa de crecimiento de la UCI (morado). En c) tasa de crecimiento para fallecidos (negro) y 

d) tasa de crecimiento para recuperados (verde). 

Las tasas de crecimiento momentáneas de las diversas variables pueden utilizarse para apoyar 

la interpretación del comportamiento del umbral estimado de r(t), ya que para cualquier 

período de recuperación supuesto γ −1 , los resultados obtenidos para las diversas variables son 

los mismos, cambiando sólo cuando se consideran los diferentes conjuntos de datos. La figura 

13a) muestra el comportamiento de tres variables que están sincronizadas en Euskadi, I cum , 

C H , y C U . También cruzan el umbral a una tasa de crecimiento negativa el 1 de abril de 2020, 



confirmando la tendencia observada para r(t) obtenida al considerar solamente los datos de 

I cum . Los casos recuperados y fallecidos, que se muestran en la Figura 13b), siguen 1-2 semanas 

después, debido al retraso entre el inicio de los síntomas, la hospitalización y finalmente la 

muerte, alcanzando una tasa de crecimiento negativa el 7 y el 11 de abril de 2020, respectivamente. 



0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-0.1 

positive cases (OBI - PCR+ only) 

hospitalized cases (OBI - PCR+ only) 

ICUs admissions (OBI - PCR+ only) 



0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-0.1 

deceased cases (OBI - PCR+ only) 

recovered cases (’Altas Vivos’ OBI - PCR+ only) 

-0.2 

-0.2 

a) 




























b) 




























Figura 13: Estimación de la tasa de crecimiento de diversas variables. En a) la tasa de crecimiento de los casos 

positivos (amarillo), las hospitalizaciones (rojo) y la UCI (morado). En b) tasa de crecimiento para recuperados 

(verde) y fallecidos (negro). Los dos grupos se pueden distinguir de forma clara. 



A 

ANEXO 

A.1 DISEÑO DE LA RECOGIDA Y DEPURACIÓN DE LOS DATOS 

El estudio es observacional y prospectivo. Se recoge información de datos de incidencia diarios 

agregados por edad de: test realizados, casos positivos, ingresos hospitalarios e ingresos 

en UCI por COVID-19, altas hospitalarias y altas de UCI, recuperados y mortalidad (en UCI, en 

hospital o en la comunidad) de individuos con COVID-19. 

Procedencia de los datos de laboratorio y criterios de inclusión de sujetos: 

Tests realizados: nº total de tests validados por fecha a diario desde la Subdirección de 

Sistemas de Información de Osakidetza. Se establece un criterio de test único por paciente 

y día. 

Positivos: nº total de test positivos validados por fecha a diario desde el Departamento 

de Salud. Se establece un criterio de positivo único por paciente y día. 

En ambos casos se recogen el número de test realizados y casos positivos hasta las 0:00 

horas de cada día. Hasta el día 5/4/2020 todos los casos positivos son por test tipo PCR. A partir 

del 6/4/2020 se empiezan a combinar las pruebas mediante test tipo PCR y test rápidos. En los 

datos que se muestran es este documento (y por tanto aquellos con los que se han ajustado los 

modelos) solo se consideran aquellos individuos con resultado positivo por PCR. 

Los datos de ingresos hospitalarios proceden del sistema de explotación de datos de Osakidetza, 

utilizando la herramienta Oracle Business Intelligence Enterprise Edition (OBIEE) y se 

han definido los siguientes criterios de inclusión de sujetos: 

Ingresos hospitalarios desde el 15 de febrero de 2020 de pacientes con un test positivo 

por PCR validado antes o durante el alta hospitalaria (se excluyen los ingresos con un 

resultado positivo posterior al alta). 

Considerar como un único ingreso cuando se trata de traslados de un centro a otro. 

Tratar de incluir ingresos ocasionados por COVID-19. Para ello se consideran únicamente 

ingresos en los servicios de cada hospital que se han comunicado como algún servicio 

o sección a priori relacionado con las especialidades encargadas de atender a estos pacientes, 

criterios del grupo de investigación. 

Ingresos en UCI: sujetos que durante su estancia hospitalaria han pasado por alguno de 

los servicios identificados por cada hospital como responsables de cuidados críticos, según 

consta en la Subdirección de Sistemas de Información de Osakidetza. 

En el caso de los ingresos en UCI, un mismo sujeto puede tener varios episodios de ingreso 

en UCI, los cuales se contabilizan como uno solo en el computo de datos agregados, 

pero no así, en la estimación de duración de estancia en UCI. 

Se excluyen por tanto aquellos sujetos ingresados por otros motivos que han desarrollado 

la enfermedad durante su estancia hospitalaria (ingresados con COVID-19, pero no por 

COVID-19) 



Los datos de mortalidad y la fecha de fallecimiento se obtienen también de OBIEE, tanto 

para sujetos fallecidos en el hospital como para sujetos fallecidos en la comunidad. 

La labor de extracción y depuración de datos es realizada por personal de la Subdirección de 

Asistencia Sanitaria en colaboración con personal de las Unidades de Investigación de varios 

hospitales de Osakidetza. 

Variables 

Por una parte, los datos que se recogen son datos agregados en forma de incidencias. La 

población se estratifica en nueve grupos de edad (0 − 9, 10 − 19, ... , 70 − 79, 80+) y los datos se 

recogen por día (hasta las 0.00 horas). 

Individuos en la población a estudio por edad. 

Número de casos positivos nuevos confirmados de COVID-19 por edad y día. 

Número de ingresos hospitalarios nuevos por COVID-19 por edad y día. 

Número de fallecimientos totales por COVID-19 por edad y día. 

Número de ingresos en UCI nuevos por COVID-19 por edad y día. 

Número de altas hospitalarias (vivos) de sujetos que han estado ingresados por COVID- 

19 por edad y día (excluidos traslados). 

Número de fallecimientos en el hospital por COVID-19 por edad y día. 

Número de altas de UCI (vivos) de sujetos que han estado ingresados en la UCI por COVID- 

19 por edad y día. 

Número de fallecimientos en la UCI por COVID-19 por edad y día. 

Todos estos datos se recogen tanto a nivel de Comunidad Autónoma (CA), como a nivel de 

Organización Sanitaria Integrada (OSI). Asimismo, los datos se recogen también agregados por 

sexo y nivel de morbilidad dentro de la estratificación previamente mencionada. Para el nivel 

de morbilidad se utilizan los cuatro estratos en los que se clasifica a los habitantes de la CAPV 

según sus necesidades sanitarias previstas para 2020 (fuente: estratificación de riesgo de la 

CAPV 2020). 

Por otra parte, se requiere información sobre parámetros y/o distribuciones de 

Periodo de incubación del virus. 

Tiempo durante el cual una persona es infecciosa. 

Tiempo desde que una persona es infecciosa hasta que es ingresada. 

Tiempo desde ingreso hasta muerte. 

Duración de la estancia hospitalaria de sujetos ingresados por COVID-19. 

Duración de la estancia en UCI de sujetos ingresados por COVID-19. 

Duración de la estancia hospitalaria pre-UCI de sujetos ingresados posteriormente en 

UCI por COVID-19. 

Duración de la estancia hospitalaria post-UCI de sujetos ingresados en UCI por COVID- 



19 que han sido dados de alta (vivos) de la UCI. 

Por el momento estas distribuciones y/o sus parámetros han sido estimados de información 

global disponible de los datos del País Vasco o mediante la literatura. 

Además, la interpretación de los resultados obtenidos del modelo requiere información sobre 

aspectos de control de la pandemia, tales como: 

La estimación del porcentaje de la población sintomática (con síntomas leves) no testada. 

El protocolo de actuación para la realización de test y aislamiento de los casos detectados, 

tanto sintomáticos leves como ingresados. 

Las medidas de contención aplicadas a la población y periodo en vigor de las mismas. 

Limitaciones 

Una de las limitaciones en el proceso de recogida de datos es la posible pérdida de las hospitalizaciones 

debidas a COVID-19 y fallecimiento (o recuperación) en individuos cuya secuencia 

temporal de test, ingreso y fallecimiento (o recuperación) no haya seguido la secuencia utilizada 

en las búsquedas realizadas en OBIEE. Se han establecido varios mecanismos para minimizar 

estas pérdidas en el caso de las hospitalizaciones: 

Todas las búsquedas en OBIEE son realizadas por la misma persona para evitar diferencias 

de criterio. 

Se ha establecido un canal de comunicación constante entre la persona que realiza las 

búsquedas y profesionales de Osakidetza que trabajan en la codificación y el manejo de 

datos. 

Se mantiene una comunicación constante con el personal de los hospitales para conocer 

los cambios en el manejo de pacientes con COVID-19 en cada centro. 

Otra limitación es la existencia de varios episodios de ingreso en un mismo sujeto, reingresos 

por COVID-19. Se podría establecer un máximo de días entre el test positivo y el ingreso, 

lo cual aún no se ha hecho. 

En el caso de los fallecimientos, los criterios son claros para el fallecimiento intra-hospitalario. 

Sin embargo, los datos relativos a las personas fallecidas en la comunidad se recogen con cierto 

retraso. Por esa razón, el número de fallecimientos diario se actualiza hacia atrás en el tiempo 

cada vez que se reciben los datos diarios. 

Finalmente, otra limitación es que estos datos solo incluyen sujetos ingresados por COVID- 

19 en hospitales públicos, los ingresos en centros privados no están recogidos en OBIEE. 



A.2 DESCRIPCIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS 

A.2.1 

MODELO SHARUCD 

Los modelos del tipo SHARUCD son una extensión del conocido modelo SIR (susceptibleinfectado-recuperado). 

Se consideran las versiones del modelo SHARUCD como procesos estocásticos 

para poder comparar con los datos disponibles, que a menudo son ruidosos, e incluir 

las fluctuaciones de la población, ya que a veces tenemos números relativamente bajos de infectados 

en las diversas clases. La versión estocástica puede formularse a través de las ecuaciones 

principales aplicadas en epidemiología de forma genérica utilizando las densidades de 

todas las variables. La versión determinista del modelo refinado viene dado por un sistema de 

ecuaciones diferenciales para todas las clases, incluyendo la clases de registro de casos acumulativos 

C H , C A , C R y C U por 

d 

dt S = −β S (H + ϕA + ϱN) 

N 

d 

dt H = η(1 − ν)β S (H + ϕA + ϱN) − (γ + µ)H 

N 

d 

dt A = (1 − η)β S (H + ϕA + ϱN) − γA 

N 

d 

R 

dt 

= γ(H + U + A) (1) 

d 

dt U = νηβ S (H + ϕA + ϱN) − (γ + µ)U 

N 

d 

dt C H = ηβ S (H + ϕA + ϱN) 

N 

d 

dt C A = ξ · (1 − η)β S (H + ϕA + ϱN) 

N 

d 

dt C R = γ(H + U + ξA) 

d 

dt C U = νηβ S (H + ϕA + ϱN) 

N 

d 

D 

dt 

= µ(H + U) 

Para un tamaño de población constante N, los individuos susceptibles (S) se infectan con el 

SARS-CoV-2. Con la proporción η, los individuos se convierten en casos graves que requieren 

hospitalización (H), siempre detectados por medio de una prueba PCR positiva o doble prueba 

con una primera prueba rápida de anticuerpos, aunque hasta ahora no era muy específica, y 

una posterior prueba de PCR más específica, con probabilidad 1 − η los individuos desarrollan 

una infección leve/sintomática, que se detecta con un ratio ξ (∈ [0, 1]). Los individuos hospitalizados 

severos transmiten la enfermedad con una tasa de infección de beta mientras que los 

casos leves/asintomáticos transmiten la enfermedad con una tasa de infección de ϕβ. Esta diferencia 

en la transmisión es razonable si se asume que, una vez hospitalizados, los individuos 

están aislados y ya no transmitirán tanto como los casos leves/asintomáticos, a menudo sin ser 

detectados y con mayor movilidad. Las personas infectadas pueden recuperarse con una tasa 



de recuperación de γ, sin embargo, las personas gravemente hospitalizadas también podrían 

ser admitidas en las instalaciones de la UCI, con una tasa de ν, o fallecer antes de ser admitidas 

en UCI, con una tasa de mortalidad por la enfermedad mu. Los individuos admitidos en la UCI 

podrían eventualmente recuperarse con una tasa de recuperación de γ o fallecer con una tasa 

de mortalidad por la enfermedad µ. 

El modelo se calibra utilizando los datos empíricos del País Vasco y se estiman y fijan los 

parámetros biológicos ya que el modelo es capaz de describir la incidencia de la enfermedad 

durante la fase exponencial de la pandemia para cada clase dinámica. Las incentidumbres de 

los parámetros se cuantifican con funciones de probabilidad. β es la tasa de infección y ϕ es la 

proporción que describe la contribución de las infecciones asintomáticas/leve a la fuerza de la 

infección. γ es la tasa de recuperación, µ la tasa de mortalidad inducida por la enfermedad y ν 

la tasa de hospitalización en la UCI. η es la proporción de susceptibles de ser infectados, desarrollar 

síntomas severos y ser hospitalizados, mientras que 1 − η es la proporción de susceptibles 

de ser infectados y desarrollar una enfermedad leve o asintomática. ξ es la proporción 

de individuos infectados leves o asintomáticos detectados a través de pruebas. ϱ es la tasa de 

importación necesaria para describir la fase introductoria de las pandemias y para el presente 

estudio, asumimos que ϱ es mucho menor que los otros términos aditivos de la fuerza de la infección, 

dadas las fuertes inseguridades de observación en los datos recogidos al principio del 

brote. 

A.2.2 

MODELO SEIR BAYESIANO 

El modelo empleado en este caso es el propuesto en Hauser et al. (2020), pero adaptado a la 

estimación tanto de mortalidad como de ingresos hospitalarios en Euskadi. Tal y como se indica 

en el paper de Althaus et al. (2020) (referimos al lector a dicho trabajo para más detalles), se 

trata de un modelo SEIR (Susceptible-Expuesto-Infectado-Recuperado) estratificado por edad, 

con una distinción entre infecciones sintomáticas y asintomáticas. La población se estratifica 

en nueve grupos de edad (0-9 años, 10-19 años, . . ., 70-79 años, más de 80 años). La población 

de cada grupo de edad k se divide en cinco compartimentos: susceptible (S k ), en incubación 

o expuesto (E k ), infectado con síntomas (I k ), infectado y asintomático (A k ), y recuperados y 

fallecidos (R k ) (ver Figura 14). El número de individuos en cada compartimento se escala según 

la población total de Euskadi(2.188.017 habitantes en 2019), de modo que la suma de todos los 

compartimentos es 1. 



τ(1 − ψ) 

A k 

µ 

λ k 

S k E k 

I k 

τψ 

µ 

R k 

Figura 14: Modelo SEIR (Fuente: Hauser et al. 2020). 

En relación a la dinámica de la infección (ver Figura 14) la fuerza de la infección λ k depende 

del número de individuos infecciosos en cada clase de edad y la tasa de contagio/infección 

por contacto con un individuo infeccioso β. Además, el modelo incluye una función tiempodependiente 

f(t) para dar cuenta tanto de (a) la reducción de la transmisibilidad tras la introducción 

de medidas de control el 15 de Marzo de 2020; como de (b) el posible incremento de la 

transmisibilidad tras el inicio de la desescalada el 4 de Mayo de 2020. La fuerza de la infección 

λ k se expresa, por tanto, como: 

∑ 9 

l=1 

λ k (t) = f(t)βS k (t) 

I l(t) 

. 

N 

Con respecto al resto de parámetros, después del período de incubación (1/τ), una proporción 

de personas infectadas desarrollan síntomas y se vuelven infecciosas, mientras que las restantes 

permanecen asintomáticas y no transmiten la enfermedad. Después de un período de 1/µ, 

los individuos son identificados y aislados, y por lo tanto dejan de ser infecciosos. La dinámica 

de la infección es controlada por 4 parámetros (ver Figura 14): {β, τ, ψ, µ}. Nótese que el 

modelo supone que los individuos susceptibles pueden infectarse por contacto con individuos 

infectados con síntomas de cualquier otro grupo de edad. Es decir, asume que tanto los individuos 

en incubación como los asintomáticos no son infecciosos. Para corregir dicha limitación, 

a la hora de estimar el modelo se ha considerado una proporción de sintomáticos alta (80 %, 

i.e. valor ψ ≈ 0,80 en la Figura 14). Además, se ha realizado un análisis de sensibilidad considerando: 

(1) diferentes proporciones de sintomáticos; y (2) que los sintomáticos transmiten 

la enfermedad. Los resultados del análisis de sensibilidad muestran que el modelo es robusto 

respecto a dichas especificaciones a la hora de estimar ingresos hospitalatios y fallecimientos 

(nuestro objetivo). Para el resto de parámetros (fijos) que controlan la dinámica de la infección, 

en los resultados que se muestran en este informe se ha considerado: τ = 1/5,95 días (basado 

en la bibliografía) y µ = 1/5,4 días (basado en el reporte de individuos positivos en Euskadi). 

La estimación del modelo se hace desde una perspectiva Bayesiana, y se ha adaptado, a la 

situación y objetivos en Euskadi, el código proporcionado por los autores originales. En relación 

a los datos con los que se estima el modelo, en nuestro caso son los ingresos hospitalarios 

y la mortalidad por día y grupo de edad. En relación a ésto, señalar que según las indicaciones 

para la realización del test diagnóstico para la detección del virus descritas en el protocolo de 

vigilancia epidemiológica, en las primeras semanas de la pandemia el test se realizaba preferen- 



temente a individuos con síntomas severos. Sin embargo, en las últimas semanas estas indicaciones 

han cambiado, ampliandose el ámbito de realización del test también a individuos con 

síntomas leves. Por ello, el número de casos positivos no solo es una infra-representación del 

número real de infectados, sino que dicha infra-representación ha cambiado a lo largo del tiempo. 

Por ello, en la verosimilitud del modelo solo se incorpora la información relativa a ingresos 

hospitalarios y mortalidad por día y edad. Finalmente indicar que los ingresos hospitalarios se 

calculan sobre los casos incidentes en el grupo de sintomáticos y la mortalidad se calcula en base 

a dichos ingresos hospitalarios. En ambos casos el modelo tiene en cuenta que puede haber 

un retraso. 

A.2.3 

MODELO BASADO EN PROCESOS GAUSSIANOS 

Un proceso Gaussiano (GP) es un proceso estocástico definido por una colección de variables 

aleatorias, tal que cualquier conjuto de variables aleatoria finita sigue una distribución 

Gaussiana multivariable. Puede interpretarse como una distribución sobre funciones, y cada 

muestra es una función. 

Los GPs están definidos por una función de media m(x) y una función de covarianza que 

depende del kernel semidefinido positivo k(x, x ′ ). Por tanto, un GP se representa de la siguiente 

manera: 

asumiendo que x ∈ R d . 

f(x) ∼ GP (m(x), k(x, x ′ )) 

En este caso, se utiliza un modelo bayesiano y se obtiene su distribución a posteriori a partir 

de un conjunto de datos de entrenamiento. La distribución conjunta de los resultados de entrenamiento 

f = (f 1 , f 2 , ..., f n ) (donde f i ∈ R, i ∈ {1, ..., n} y n ∈ N) y los resultados del conjunto 

de test f ∗ = (f n+1 , f n+2 , ..., f n+n∗ ) están dados por: 

[ ] ( [ ]) 

f 

K(X, X) K(X, X∗ ) 

∼ N M(X ∗ ), 

f ∗ K(X ∗ , X) K(X ∗ , X ∗ ) 

donde N(µ, Σ) es una distribución Gaussiana multivariable, X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) (x i ∈ R i , i ∈ 

1, ..., n y n ∈ N) corresponde al conjunto de datos de entrenamiento y X ∗ = (x n+1 , x n+2 , ..., x n+n∗ ) 

al conjunto de datos de test. K(X, X ∗ ) es la matriz de covarianzas n × n ∗ para cada par (X, X ∗ ). 

La distribución Gaussiana predictiva se obtiene de la distribución condicionada dado el conjunto 

de datos de entrenamiento y el conjunto de test de entrada: 

f ∗ |X ∗ , X, f ∼N ( ˆM(X ∗ ), ˆK(X ∗ , X ∗ )) 

ˆM(X ∗ ) =M(X ∗ ) + K(X ∗ , X)K(X, X) −1 f 

ˆK(X ∗ , X ∗ ) =K(X ∗ , X ∗ ) − K(X ∗ , X)K(X, X) −1 K(X, X ∗ ) 

De cara a modelar de forma adecuada los datos, se consideran diferentes funciones de media 

como información a priori para el modelo, que son las siguientes: 

Informe BCAM COVID-19 en Euskadi 30 

(2)


Función logística 

L 

m(x) = 

1 + e −k(x−x 0) 

donde L es el valor máximo de la curva, k es la tasa de crecimiento de la curva y x 0 es el 

punto medio de la curva sigmoide. 

Función Gompertz 

m(x) = ae −be−cx 

donde a es el valor máximo de la curva, b establece el desplazamiento a lo largo del eje x, 

y c es la tasa de crecimiento. 

Para seleccionar los parámetros de estas medias a priori m(·), se divide el conjunto de datos 

en dos. Con el primero de ellos se aprenden los valores de los parámetros recorriendo un intervalo 

de posibles candidatos, y se seleccionan aquellos que minimicen el error de predicción 

del segundo conjunto, el de validación. Una vez se han optimizado los parámetros, procedemos 

a aprender un nuevo modelo con todo el conjunto de datos. Aquí el objetivo es ajustar los hiperparámetros 

del kernel k(·, ·) maximizando la verosimilitud marginal. En particular, se han 

utilizado el kernel exponencial cuadrátrico y el kernel Matern 52: 

Kernel exponencial cuadrático: 

k SE (x, x ′ ) = θ0 2 exp 

(− ||x − ) 

x′ || 2 

+ θ n 

donde θ 0 es el parámetro de amplitud, θ l de longitud y θ n de ruido. 

Kernel Matern 52: 

k M52 (x, x ′ ) = θ 2 0 

( 

1 + √ 5 ||x − x′ || 

θ l 

+ 5 3 

2θ 2 l 

||x − x ′ || 2 

donde θ 0 es el parámetro de amplitud, θ l de longitud y θ n de ruido. 

θ 2 l 

) ( 

exp − √ 5 ||x − ) 

x′ || 

+ θ n 

θ l 

Entre todos los modelos que se aprenden, el modelo final seleccionado para realizar la predicción 

es aquel de máxima verosimilitud. 

Mencionar que se trata de un modelo principalmente agnóstico que se basa en los datos de 

los que se dispone y que no utiliza ningún parámetro relativo a la enfermedad. Es por ello que 

utilizando una media a priori adecuada, el modelo permite realizar la estimación de cualquier 

conjunto de datos de interés, en este caso, de ingresos en UCI, hospitalizaciones y mortalidad. 

A.3 MATERIAL COMPLEMENTARIO 

En esta sección se incluyen análisis de los modelos matemáticos que son complementarios 

a las comparativas mostradas en el informe. 

A.3.1 

MODELO SHARUCD: SIMULACIONES Y DATOS 

En buena concordancia, el modelo refinado describe bien las hospitalizaciones, los ingresos 

en la UCI y la mortalidad, que coinciden con la mediana de las 200 realizaciones estocásticas. 



La incidencia acumulada de los casos positivos reportados sigue, en cambio, el rango más alto 

de las realizaciones estocásticas. En este caso, la desviación observada entre las simulaciones 

del modelo y los datos puede explicarse debido a la creciente capacidad a la hora de hacer pruebas 

desde el 22 de marzo de 2020, seguido de la introducción de pruebas rápidas como herramienta 

de detección en las residencias de ancianos y para los trabajadores de salud pública de 

primera línea (datos disponibles el 6 de abril). Así, es de esperar que se detecten más casos, incluyendo 

infecciones subclínicas y eventualmente individuos asintomáticos. El modelo actual 

(sin la retroalimentación de las pruebas) no puede describir cuantitativamente estos cambios, 

y necesitaría más refinamientos y parametrizaciones. La incidencia acumulada de altas hospitalarias 

(vivas) (puntos negros), que se utiliza como aproximación de las personas recuperadas 

(notificadas) que han necesitado ser hospitalizadas a causa de COVID-19, siguen el rango más 

bajo de las realizaciones estocásticas asociadas a las personas recuperadas. En la figura 15e) 

se presentan las simulaciones del modelo para el acumulado de los recuperados, considerando 

solamente H + U. En la figura 15f) se presentan las simulaciones del modelo el acumulado 

recuperado considerando H + U + ξA. Para describir cuantitativamente los datos disponibles, 

se necesita una nueva transición para registrar la proporción de individuos recuperados que 

dieron positivo sin ser ingresados en el hospital. 

Los parámetros del modelo y las condiciones iniciales se muestran en el cuadro 8, donde β 

es la tasa de infección y ϕ es la relación que describe la contribución de las infecciones asintomáticas/leve 

a la fuerza de la infección. γ es la tasa de recuperación, µ es la tasa de mortalidad 

inducida por la enfermedad y ν es el ratio de pacientes hospitalizados en la UCI. η es la proporción 

de susceptibles a ser infectados, desarrollar síntomas severos y ser hospitalizados, mientras 

1 − η es la proporción de susceptibles a ser infectados y desarrollar una enfermedad leve 

o asintomática. ξ es la proporción de individuos infectados leves o asintomáticos detectados a 

través de pruebas.ϱ es la tasa de importación necesaria para describir la fase de introducción 

de las epidemias y para el presente estudio, asumimos que ϱ es mucho más pequeño que otros 

términos aditivos de la fuerza de infección, dadas las fuertes inseguridades de observación en 

los datos recogidos al principio del brote. 

Para completar el sistema y poder describir la fase inicial de introducción de la epidemia, se 

debe incluir también un término de importación ϱ en la fuerza de la infección. 

Para este estudio, asumimos que ϱ es mucho más pequeño que otros términos aditivos de 

la fuerza de la infección, dadas las fuertes inseguridades de observación en los datos recogidos 

al principio del brote, cuando ϱ sería lo más importante. 



Positive cases (I cum (t)) 

20000 

15000 

10000 

5000 

increasing 

testing 

capacity 

March 22 

rapid 

tests 

introduced 

April 6 

no testing feedback 

PCR+ only 

Hospitalization (C H (t)) 

8000 

7000 

6000 

5000 

4000 

3000 

2000 

1000 

0 

0 

a) 




























b) 




























1000 

2500 

800 

2000 

Intensive Care Units (C U (t)) 

600 

400 

200 

Deceased (D(t)) 

1500 

1000 

500 

0 

0 

c) 




























d) 




























10000 

recovered notified H+U+ξ A 

discharges alive H+U 

10000 

recovered notified H+U 

discharges alive H+U 

8000 

8000 

Recovered (C R (t)) 

6000 

4000 

Recovered (C R (t)) 

6000 

4000 

2000 

2000 

0 

0 

e) 




























f) 




























Figura 15: Conjunto de realizaciones estocásticas del ajuste del modelo SHARUCD. El promedio de las realizaciones 

estocásticas con una solo medida de control para las medidas de confinamiento implementadas se muestra 

en azul claro. El modelo debe ahora ser evaluada con una segunda función de control para describir la dinámica 

del levantamiendo gradual de las medidas de confinamiento. a) Casos positivos acumulados en las pruebas I cum (t) 

(PCR+ only), b) cumulative hospitalized cases C U (t), c) Ingresos UCI acumulados C U (t), d) Casos de fallecimientos 

acumulados D(t). Usando los datos de . a ltas hospitalarias con vida”, igualamos en e) las simulaciones para las 

recuperaciones acumuladas de CR(t) por H + U + ξA. En f) trazamos las simulaciones para las recuperaciones 

acumuladas de CR(t) por H + U solamente. 



Parámetros, 

variables y Descripción Valores 

condiciones iniciales 

N tamaño de la población 2,2 × 10 6 

H(t 0 ) enfermedad severa y hospitalizados 54,0 

A(t 0 ) enfermedad leve y asintomática 80,0 

U(t 0 ) pacientes UCI 10,0 

R(t 0 ) recuperados 1,0 

C H (t 0 ) recuperados H(t 0 ) 54,0 

C A (t 0 ) recuperados A(t 0 ) 40,0 

C U (t 0 ) recuperados U(t 0 ) 10,0 

C R (t 0 ) recuperados R(t 0 ) 1,0 

D(t 0 ) fallecidos 1,0 

β tasa de infección 3,25 · γ 

ϕ 

tasa de infecciones leves/sintomáticas 

que contribuyen a la fuerza de la infección 1,6 

γ tasa de recuperación 0,05d −1 

µ tasa de mortalidad provocada por la enfermedad 0,02d −1 

ν tasa de hospitalizados UCI 0,1 

η proporción de hospitalizaciónn 0,4 

ξ Proporción de síntomas leves/ asintomáticos 0,4 

ρ parámetro de importación − 

Tabla 8: Parámetros del modelo y valores de las condiciones iniciales. 

A.3.2 

MODELO SEIR BAYESIANO 

Como complemento a los resultados mostrados en la Sección 2.4, en esta sección se muestran, 

desagregados por grupos de edad, los resultados obtenidos del ajuste del modelo SEIR 

Bayesiano con datos hasta el 15 de mayo y predicción hasta el 13 de junio, y se superponen los 

datos observados hasta el 13 de junio. La Figura 16 muestra los resultados para ingresos hospitalarios. 

Los resultados referidos a fallecidos se muestran en la Figura 17. Como se puede 

observar, en ambos casos hay una buena concordancia entre las predicciones realizadas por el 

modelo y los datos observados con posterioridad. 




2.0 

1.5 

1.0 

0.5 

0−9 10−19 20−29 

3 

6 

2 

4 

1 

2 


0.0 

15 

10 

5 

0 

60 

0 

feb 15mar 01mar 15abr 01abr 15may 01 may 15jun 01jun 15 feb 15mar 01mar 15abr 01abr 15may 01 may 15jun 01jun 15 feb 15mar 01mar 15abr 01abr 15may 01 may 15jun 01jun 15 

30−39 40−49 50−59 

40 

30 

20 

10 

0 


60−69 70−79 80+ 

100 

80 

60 

0 

40 

20 

0 

75 

Grupo de edad 

(años) 

0−9 

10−19 

20−29 

30−39 

40−49 

50−59 

60−69 

70−79 

80+ 

40 

20 

40 

20 

50 

25 

0 

0 


Dia 

20 


0−9 10−19 20−29 

30 

0 

80 

15 

10 

5 

20 

10 

60 

40 

20 


0 

200 

150 

100 

50 

0 

1250 

0 

feb 15mar 01 mar 15abr 01abr 15may may 01 15jun 01jun 15 feb 15mar 01 mar 15abr 01abr 15may may 01 15jun 01jun 15 feb 15mar 01 mar 15abr 01abr 15may may 01 15jun 01jun 15 

30−39 40−49 50−59 

400 

200 

0 


60−69 70−79 80+ 

0 

750 

500 

250 

0 


(años) 

0−9 


20−29 

30−39 

40−49 

50−59 

60−69 

70−79 

80+ 

1000 

750 

500 

250 

1000 

500 

1500 

1000 

500 

0 

0 


Dia 

0 

Figura 16: Ingresos hospitalarios incidentes y acumulados por grupo de edad. Línea negra: observados hasta el 

13 de junio. Líneas color: estimación puntual (valor esperado) con datos hasta 15 de mayo. Las áreas coloreadas representan 

la banda de credibilidad al 95 % (i.e., incertidumbre alrededor de la estimación puntual). A partir del 15 

de mayo (línea negra vertical) la información que se muestra es la predicción puntual (e incertidumbre asociada) 

realizada por el modelo (líneas discontinuas y áreas coloreadas asociadas) y los datos observados con posterioridad. 



Mortalidad (incidencia) 

1.00 

0−9 10−19 20−29 

1.00 

1.00 

0.75 

0.75 

0.75 

0.50 

0.50 

0.50 

0.25 

0.25 

0.25 


0.00 

1.00 

0.75 

0.50 

0.25 

0.00 

0.00 


30−39 40−49 50−59 

2.0 

1.5 

1.0 

0.5 

0.0 


60−69 70−79 80+ 

0.00 

3 

2 

1 

0 


(años) 

0−9 


20−29 

30−39 

40−49 

50−59 

60−69 

70−79 

80+ 

6 

4 

2 

15 

10 

5 

40 

30 

20 

10 

0 

0 


Dia 

5 

Mortalidad (acumulada) 

0−9 10−19 20−29 

5 

0 

10.0 

4 

3 

2 

1 

4 

3 

2 

1 

7.5 

5.0 

2.5 


0 

9 

6 

3 

0 

100 

50 

0 


30−39 40−49 50−59 

20 

15 

10 

5 

0 


60−69 70−79 80+ 

1200 

300 

200 

100 

0.0 

40 

30 

20 

10 

0 

900 

600 

300 


(años) 

0−9 


20−29 

30−39 

40−49 

50−59 

60−69 

70−79 

80+ 

0 

0 


Dia 

0 

Figura 17: Mortalidad incidente y acumulada por grupo de edad. Línea negra: observados hasta el 13 de junio. 

Líneas color: estimación puntual (valor esperado) con datos hasta 15 de mayo. Las áreas coloreadas representan la 

banda de credibilidad al 95 % (i.e., incertidumbre alrededor de la estimación puntual). A partir del 15 de mayo (línea 

negra vertical) la información que se muestra es la predicción puntual (e incertidumbre asociada) realizada por el 

modelo (líneas discontinuas y áreas coloreadas asociadas) y los datos observados con posterioridad. 



B 

REFERENCIAS 

Referencias 

[1] Aguiar M, Millan Ortuondo E, Bidaurrazaga Van-Dierdonck J, Mar J, Stollenwerk N. 

(2020). Modeling COVID 19 in the Basque Country: from introduction to control measure 

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[2] Aguiar M, Bidaurrazaga Van-Dierdonck J, Stollenwerk N. (2020). Reproduction 

ratio and growth rates: measures for an unfolding pandemic. 

https://medrxiv.org/cgi/content/short/2020.05.18.20105528v1 

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[4] Du Z, Xu X, Wu Y, Wang L, Cowling BJ, Ancel Meyers L. Serial Interval of COVID-19 

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https://doi.org/10.1101/2020.03.04.20031104). 

[6] Williams CK, Rasmussen CE. Gaussian processes for machine learning. Cambridge, MA: 

MIT press; 2006.

Informe de predicción de la evolución de la COVID-19 en Euskadi | 18 de junio de 2020

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