Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

Cálculo 2

REVISORES TÉCNICOS

MÉXICO

José de Jesús Ángel Ángel

Universidad Anáhuac Norte

Miguel Ángel Arredondo Morales

Universidad Iberoamericana León

Víctor Armando Bustos Peter

Instituto Tecnológico y de Estudio Superiores de Monterrey, Campus Toluca

Aureliano Castro Castro

Universidad Autónoma de Sinaloa

Javier Franco Chacón

Tecnológico de Monterrey, Campus Chihuahua

Sergio Fuentes Martínez

Universidad Anáhuac México Norte

Enrique González Acosta

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Sonora Norte

Miguel Ángel López Mariño

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Central de Veracruz

Eleazar Luna Barraza

Universidad Autónoma de Sinaloa

Tomás Narciso Ocampo Paz

Instituto Tecnológico de Toluca

Velia Pérez González

Universidad Autónoma de Chihuahua

Ignacio Ramírez Vargas

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Hidalgo

Héctor Selley


Jorge Alberto Torres Guillén

Universidad de Guadalajara

Enrique Zamora Gallardo


COLOMBIA

Petr Zhevandrov

Universidad de La Sabana

Jorge Augusto Pérez Alcázar

Universidad EAN

Liliana Barreto Arciniegas

Pontificia Universidad Javeriana

Gustavo de J. Castañeda Ramírez

Universidad EAFIT

Jairo Villegas G.

Universidad EAFIT

PERÚ

Carlos Enrique Peralta Santa Cruz

Universidad Continental de Ciencias e Ingeniería

Cálculo 2

de varias variables

Novena edición

Ron Larson

The Pennsylvania State University

The Behrend College

Bruce H. Edwards

University of Florida

Revisión técnica

Marlene Aguilar Abalo

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,

Campus Ciudad de México

José Job Flores Godoy

Universidad Iberoamericana

Joel Ibarra Escutia

Instituto Tecnológico de Toluca

Linda M. Medina Herrera

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,

Campus Ciudad de México

MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK

SAN JUAN • SANTIAGO • SÃO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL

NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO

Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos

Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez

Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Martínez

Editora de desarrollo: Ana L. Delgado Rodríguez

Supervisor de producción: Zeferino García García

Traducción: Joel Ibarra Escutia, Ángel Hernández Fernández, Gabriel Nagore Cázares, Sergio Antonio Durán Reyes

CÁLCULO 2 DE VARIAS VARIABLES

Novena edición

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,

por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2010, respecto a la novena edición en español por

McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.

A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.

Edificio Punta Santa Fe

Prolongación Paseo de la Reforma Núm. 1015, Torre A

Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe

Delegación Álvaro Obregón

C.P. 01376, México, D.F.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN 978-970-10-7134-2

Traducido de la novena edición de: Calculus. Copyright © 2010 by Brooks/Cole, a Cengage Learning Company.

All rights reserved. ISBN-13: 978-1-4390-3033-2

TI es una marca registrada de Texas Instruments, Inc.

Mathematica es una marca registrada de Wolfram Research, Inc.

Maple es una marca registrada de Waterloo Maple, Inc.

1234567890 109876543210

Impreso en China

Printed in China

C ontenido

Unas palabras de los autores

Agradecimientos

Características

ix

x

xii

CAPÍTULO 10

Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas

polares 695

10.1 Cónicas y cálculo 696

10.2 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 711

PROYECTO DE TRABAJO: Cicloides 720

10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo 721

10.4 Coordenadas polares y gráficas polares 731

PROYECTO DE TRABAJO: Arte anamórfico 740

10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares 741

10.6 Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler 750

Ejercicios de repaso 758

SP Solución de problemas 761

CAPÍTULO 11 Vectores y la geometría del espacio 763

11.1 Vectores en el plano 764

11.2 Coordenadas y vectores en el espacio 775

11.3 El producto escalar de dos vectores 783

11.4 El producto vectorial de dos vectores en el espacio 792

11.5 Rectas y planos en el espacio 800

PROYECTO DE TRABAJO: Distancias en el espacio 811

11.6 Superficies en el espacio 812

11.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas 822



CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales 833

12.1 Funciones vectoriales 834

PROYECTO DE TRABAJO: Bruja de Agnesi 841

12.2 Derivación e integración de funciones vectoriales 842

12.3 Velocidad y aceleración 850

12.4 Vectores tangentes y vectores normales 859

12.5 Longitud de arco y curvatura 869



v

vi

Contenido

CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables 885

13.1 Introducción a las funciones de varias variables 886

13.2 Límites y continuidad 898

13.3 Derivadas parciales 908

PROYECTO DE TRABAJO: Franjas de Moiré 917

13.4 Diferenciales 918

13.5 Regla de la cadena para funciones de varias variables 925

13.6 Derivadas direccionales y gradientes 933

13.7 Planos tangentes y rectas normales 945

PROYECTO DE TRABAJO: Flora silvestre 953

13.8 Extremos de funciones de dos variables 954

13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de

dos variables 962

PROYECTO DE TRABAJO: Construcción de un oleoducto 969

13.10 Multiplicadores de Lagrange 970



CAPÍTULO 14 Integración múltiple 983

14.1 Integrales iteradas y área en el plano 984

14.2 Integrales dobles y volumen 992

14.3 Cambio de variables: coordenadas polares 1004

14.4 Centro de masa y momentos de inercia 1012

PROYECTO DE TRABAJO: Centro de presión sobre una vela 1019

14.5 Área de una superficie 1020

PROYECTO DE TRABAJO: Capilaridad 1026

14.6 Integrales triples y aplicaciones 1027

14.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 1038

PROYECTO DE TRABAJO: Esferas deformadas 1044

14.8 Cambio de variables: jacobianos 1045



CAPÍTULO 15 Análisis vectorial 1057

15.1 Campos vectoriales 1058

15.2 Integrales de línea 1069

15.3 Campos vectoriales conservativos e independencia

de la trayectoria 1083

15.4 Teorema de Green 1093

PROYECTO DE TRABAJO: Funciones hiperbólicas y trigonométricas 1101

15.5 Superficies paramétricas 1102

15.6 Integrales de superficie 1112

PROYECTO DE TRABAJO: Hiperboloide de una hoja 1123

15.7 Teorema de la divergencia 1124

Contenido

vii

15.8 Teorema de Stokes 1132


PROYECTO DE TRABAJO: El planímetro 1140


Apéndice A Demostración de teoremas seleccionados A-2

Apéndice B Tablas de integración A-4

Soluciones de los ejercicios impares A-9

Índice analítico I-57

U nas palabras de los autores

¡Bienvenido a la novena edición de Cálculo! Nos enorgullece ofrecerle una nueva versión

revisada de nuestro libro de texto. Mucho ha cambiado desde que escribimos la primera

edición hace más de 35 años. En cada edición los hemos escuchado a ustedes, esto es,

nuestros usuarios, y hemos incorporado muchas de sus sugerencias para mejorar el libro.

A lo largo de los años, nuestro objetivo ha sido siempre escribir con precisión y de

manera legible conceptos fundamentales del cálculo, claramente definidos y demostrados.

Al escribir para estudiantes, nos hemos esforzado en ofrecer características y materiales que

desarrollen las habilidades de todos los tipos de estudiantes. En cuanto a los profesores, nos

enfocamos en proporcionar un instrumento de enseñanza amplio que emplea técnicas pedagógicas

probadas, y les damos libertad para que usen en forma más eficiente el tiempo

en el salón de clase.

También hemos agregado en esta edición una nueva característica denominada ejercicios

Para discusión. Estos problemas conceptuales sintetizan los aspectos clave y proporcionan

a los estudiantes mejor comprensión de cada uno de los conceptos de sección. Los ejercicios

Para discusión son excelentes para esa actividad en el salón de clase o en la preparación de

exámenes, y a los profesores puede resultarles valioso integrar estos problemas dentro de su

repaso de la sección. Éstas y otras nuevas características se unen a nuestra pedagogía probada

en el tiempo, con la meta de permitir a los estudiantes y profesores hacer el mejor uso

del libro.

Esperamos que disfrute la novena edición de Cálculo. Como siempre, serán bienvenidos

los comentarios y sugerencias para continuar mejorando la obra.

Ron Larson

Bruce H. Edwards

ix

A gradecimientos

Nos gustaría dar las gracias a muchas personas que nos ayudaron en varias etapas de este

proyecto a lo largo de los últimos 35 años. Su estímulo, críticas y sugerencias han sido invaluables.

Revisores de la novena edición

Ray Cannon, Baylor University

Sadeq Elbaneh, Buffalo State College

J. Fasteen, Portland State University

Audrey Gillant, Binghamton University

Sudhir Goel, Valdosta State University

Marcia Kemen, Wentworth Institute of Technology

Ibrahima Khalil Kaba, Embry Riddle Aeronautical University

Jean-Baptiste Meilhan, University of California Riverside

Catherine Moushon, Elgin Community College

Charles Odion, Houston Community College

Greg Oman, The Ohio State University

Dennis Pence, Western Michigan University

Jonathan Prewett, University of Wyoming

Lori Dunlop Pyle, University of Central Florida

Aaron Robertson, Colgate University

Matthew D. Sosa, The Pennsylvania State University

William T. Trotter, Georgia Institute of Technology

Dr. Draga Vidakovic, Georgia State University

Jay Wiestling, Palomar College

Jianping Zhu, University of Texas at Arlington

Miembros del Comité de Asesores de la novena edición

Jim Braselton, Georgia Southern University; Sien Deng, Northern Illinois University;

Dimitar Grantcharov, University of Texas, Arlington; Dale Hughes, Johnson County

Community College; Dr. Philippe B. Laval, Kennesaw State University; Kouok Law,

Georgia Perimeter College, Clarkson Campus; Mara D. Neusel, Texas Tech University;

Charlotte Newsom, Tidewater Community College, Virginia Beach Campus; Donald W.

Orr, Miami Dade College, Kendall Campus; Jude Socrates, Pasadena City College; Betty

Travis, University of Texas at San Antonio; Kuppalapalle Vajravelu, University of Central

Florida

x

Revisores de ediciones anteriores

Stan Adamski, Owens Community College; Alexander Arhangelskii, Ohio University; Seth

G. Armstrong, Southern Utah University; Jim Ball, Indiana State University; Marcelle

Bessman, Jacksonville University; Linda A. Bolte, Eastern Washington University; James

Braselton, Georgia Southern University; Harvey Braverman, Middlesex County College;

Tim Chappell, Penn Valley Community College; Oiyin Pauline Chow, Harrisburg Area

Community College; Julie M. Clark, Hollins University; P.S. Crooke, Vanderbilt University;

Agradecimientos

xi

Jim Dotzler, Nassau Community College; Murray Eisenberg, University of Massachusetts

at Amherst; Donna Flint, South Dakota State University; Michael Frantz, University of La

Verne; Sudhir Goel, Valdosta State University; Arek Goetz, San Francisco State University;

Donna J. Gorton, Butler County Community College; John Gosselin, University of Georgia;

Shahryar Heydari, Piedmont College; Guy Hogan, Norfolk State University; Ashok Kumar,

Valdosta State University; Kevin J. Leith, Albuquerque Community College; Douglas B.

Meade, University of South Carolina; Teri Murphy, University of Oklahoma; Darren Narayan,

Rochester Institute of Technology; Susan A. Natale, The Ursuline School, NY; Terence

H. Perciante, Wheaton College; James Pommersheim, Reed College; Leland E. Rogers,

Pepperdine University; Paul Seeburger, Monroe Community College; Edith A. Silver, Mercer

County Community College; Howard Speier, Chandler-Gilbert Community College;

Desmond Stephens, Florida A&M University; Jianzhong Su, University of Texas at Arlington;

Patrick Ward, Illinois Central College; Diane Zych, Erie Community College

Muchas gracias a Robert Hostetler, de The Behrend College, en The Pennsylvania State

University, y a David Heyd, de la misma institución, por sus importantes contribuciones a

las ediciones previas de este texto.

Una nota especial de agradecimiento a los profesores que respondieron nuestra encuesta

y a los más de dos millones de estudiantes que han usado las ediciones anteriores de la

obra.

También quisiéramos agradecer al personal de Larson Texts, Inc., que apoyó en la

preparación del manuscrito, realizó el diseño editorial, levantó la tipografía y leyó las pruebas

de las páginas y suplementos en la edición en inglés.

En el ámbito personal, estamos agradecidos con nuestras esposas, Deanna Gilbert

Larson y Consuelo Edwards, por su amor, paciencia y apoyo. Además, una nota especial de

gratitud para R. Scott O’Neil.

Si usted tiene sugerencias para mejorar este texto, por favor siéntanse con la libertad

de escribirnos. A lo largo de los años hemos recibido muchos comentarios útiles tanto de

los profesores como de los estudiantes, y los valoramos sobremanera.

Ron Larson

Bruce H. Edwards

C aracterísticas

Herramientas pedagógicas

PARA DISCUSIÓN

¡NUEVO! Los ejercicios para discusión que aparecen

ahora en cada sección sintetizan los conceptos

principales de cada una y muestran a los estudiantes

cómo se relacionan los temas. A menudo constituyen

problemas de varias partes que contienen aspectos

conceptuales y no computacionales, y que pueden

utilizarse en discusiones de clase o en la preparación

de exámenes.

Desarrollo de conceptos

11. Considerar la longitud de la gráfica de f(x) 5/x, desde

(1, 5) hasta (5, 1):

y

(1, 5)

5

4

3

2

1

1

2

3

4

(5, 1)

5

x

y

(1, 5)

5

4

3

2

1

1

2

3

4

(5, 1)

a) Estimar la longitud de la curva mediante el cálculo de

la distancia entre sus extremos, como se muestra en la

primera figura.

b) Estimar la longitud de la curva mediante el cálculo de

las longitudes de los cuatro segmentos de recta, como

se muestra en la segunda figura.

c) Describir cómo se podría continuar con este proceso

a fin de obtener una aproximación más exacta de la

longitud de la curva.

5

x

Para discusión

72. Utilizar la gráfica para responder a las siguientes preguntas.

y

B C

A

D

E

f

x

a) ¿Entre qué par de puntos consecutivos es mayor la razón

de cambio promedio de la función?

b) ¿La razón de cambio promedio de ƒ entre A y B es mayor

o menor que el la razón de cambio instantáneo en B?

c) Trazar una recta tangente a la gráfica entre los puntos

C y D cuya pendiente sea igual a la razón de cambio

promedio de la función entre C y D.

DESARROLLO DE CONCEPTOS

Los ejercicios de desarrollo de conceptos son preguntas

diseñadas para evaluar la comprensión de los estudiantes

en torno a los conceptos básicos de cada sección.

Estos ejercicios animan a los estudiantes a verbalizar y

escribir respuestas, lo que promueve habilidades de

comunicación técnica que serán invaluables en sus

futuras carreras.

AYUDAS DE ESTUDIO

Las ayudas de estudio distinguen errores comunes, indican casos especiales

que pueden provocar confusión, y amplían a conceptos importantes. Estas

ayudas proporcionan a los estudiantes información puntual, similar a los

comentarios del profesor en clase.

AYUDA DE ESTUDIO Cuando se use la

definición para encontrar la derivada de

una función, la clave consiste en volver

a expresar el cociente incremental

(o cociente de diferencias), de manera

que x no aparezca como factor del

denominador.

AYUDA DE ESTUDIO El ejemplo 3 también

se puede resolver sin hacer uso de

la regla de la cadena, si se observa que

y x 6 3x 4 3x 2 1

AYUDA DE ESTUDIO Tener en cuenta

que se puede comprobar la respuesta de

un problema de integración al derivar la

C l j l 7

EJEMPLO 1 Levantamiento de un objeto

Determinar el trabajo realizado al levantar un objeto de 50 libras a 4 pies.

Solución La magnitud de la fuerza requerida F es el peso del objeto, como se muestra en

la figura 7.48. Así, el trabajo realizado al levantar el objeto 4 pies es

W FD

Trabajo (fuerza)(distancia).

504 Fuerza 50 libras, distancia 4 pies.

200 libras-pies.

EJEMPLOS

A lo largo del texto, se trabajan ejemplos paso a

paso, que muestran los procedimientos y técnicas

para resolver problemas, y dan a los estudiantes

una comprensión amplia de los conceptos del

cálculo.

xii

Características

xiii

EJERCICIOS

La práctica hace al maestro. Los ejercicios

son con frecuencia el primer lugar que

consultan los estudiantes en un libro de

texto. Los autores han dedicado mucho

tiempo analizándolos y revisándolos; el

resultado es un completo y sólido conjunto

de ejercicios de diferentes tipos y niveles de

dificultad al final de cada sección para

considerar todos los estilos de aprendizaje

de los estudiantes.

APLICACIONES

En los ejercicios 1 y 2, utilizar el ejemplo 1 como modelo para

evaluar el límite

lím

n

n

fc i x i

i1

sobre la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones.

1. fx x, y 0, x 0, x 3

2.

4.3

(Sugerencia: Sea c i 3i 2 n 2 .)

fx 3 x,

Ejercicios

y 0,

x 0,

(Sugerencia: Sea c i i 3 n 3 .)

x 1

En los ejercicios 3 a 8, evaluar la integral definida mediante la

definición de límite.

6

3

3. 8 dx

4. x dx

2

2

1

4

5. x 3 dx

6. 4x 2 dx

1

1

2

1

7. x 2 1 dx

8. 2x 2 3 dx

1

2

“¿Cuándo usaré esto?”, los autores tratan de responder esta

pregunta de los estudiantes con ejercicios y ejemplos que se

seleccionaron con todo cuidado. Las aplicaciones se toman de

diversas fuentes: eventos actuales, datos de trabajo, tendencias

industriales, y se relacionan con una amplia gama de intereses.

Entender dónde se usa (o puede usarse) el cálculo fomenta una

comprensión más completa del material.

En los ejercicios 13 a 22, formular una integral definida que produce

el área de la región. (No evaluar la integral.)

13. f x 5

14. f x 6 3x

y

y

5

6

4

5

4

3

3

63. 2 Ciclo respiratorio El volumen V en litros de aire en los pulmones

durante un ciclo respiratorio 1 de cinco segundos se aproxima

2

1

x

x

mediante 2 1 1 2 3 4 5

1 2 3 4 el 5modelo V 0.1729t 0.1522t 2 0.0374t 3 donde

t es el tiempo en segundos. Aproximar el volumen medio de aire

en los pulmones durante un ciclo.

15. f x 4 x

16. f x x 2

64. Promedio de ventas Una compañía ajusta un modelo a los datos

y

y

de ventas mensuales de un producto de temporada. El modelo es

8

4

St 6 t 3 0 t 24

4 1.8 0.5 sen t

6 ,

4

2

donde

2

S son las ventas (en

1

miles) y t es el tiempo en meses.

a) Utilizar una herramienta de graficación para representar

ƒ(t) 0.5 sen(t6) para 0 t 24. Emplear la gráfica

para explicar por qué el valor medio de ƒ(t) es cero sobre

el intervalo.

b) Recurrir a una herramienta de graficación para representar

S(t) y la recta g(t) t4 1.8 en la misma ventana de

observación. Utilizar la gráfica y el resultado del apartado

a) para explicar por qué g recibe el nombre recta de tendencia.

65. Modelado matemático Se prueba un vehículo experimental en

una pista recta. Parte del reposo y su velocidad v (metros por segundo)

se registra en la tabla cada 10 segundos durante un minuto.

t 0 10 20 30 40 50 60

v 0 5 21 40 62 78 83

a) Emplear una herramienta de graficación para determinar un

modelo de la forma v at 3 bt 2 ct d para los datos.

318 CAPÍTULO 4 Integración

EJERCICIOS DE REPASO

4

En los ejercicios 1 y 2, utilizar la gráfica de f para dibujar una

gráfica de ƒ.

1. y

2.

f

x

En los ejercicios 3 a 8, encontrar la integral indefinida.

2

3. 4x 4.

2 x 3 dx

33x dx

5. 6. x4 4x 2 1

x4 8

dx

dx

x x

7.

3 8. 2 2x 9 sen x dx

5 cos x 2 sec 2 x dx

9. Encontrar la solución particular de la ecuación diferencial

ƒ(x) 6x cuya gráfica pasa por el punto (1, 2).

10. Encontrar la solución particular de la ecuación diferencial

ƒ(x) 6(x 1) cuya gráfica pasa por el punto (2, 1) y es

tangente a la recta 3x y 5 0 en ese punto.

Campos de pendientes En los ejercicios 11 y 12 se da una ecuación

diferencial, un punto y un campo de pendientes. a) Dibujar dos

soluciones aproximadas de la ecuación diferencial en el campo

de pendiente, una de las cuales pase a través del punto indicado.

b) Utilizar la integración para encontrar la solución particular de

la ecuación diferencial y utilizar una herramienta de graficación

para representar la solución.

dy

dy

11. 2x 4, 4, 2 12.

6, 2

dx 1 2 x2 2x,

dx

y

y

−1 5

−6

Ejercicios de repaso

x

6

−1

−2

y

f

x

7

x

una distancia de 264 pies. Encontrar la distancia en la cual

el automóvil puede llegar al reposo a partir de una velocidad

de 30 millas por hora, suponiendo la misma desaceleración

constante.

15. Velocidad y aceleración Se lanza una pelota hacia arriba

verticalmente desde el nivel del suelo con una velocidad inicial

de 96 pies por segundo.

a) ¿Cuánto tardará la pelota en alcanzar su altura máxima?

¿Cuál es la altura máxima?

b) ¿Cuándo la velocidad de la pelota es la mitad de la velocidad

inicial?

c) ¿A qué altura está la pelota cuando su velocidad es la mitad

de la velocidad inicial?

16. Modelado matemático La tabla muestra las velocidades (en

millas por hora) de dos carros sobre una rampa de acceso a una

carretera interestatal. El tiempo t está en segundos.

t 0 5 10 15 20 25 30

v 1 0 2.5 7 16 29 45 65

v 2 0 21 38 51 60 64 65

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

a) Reescribir las velocidades en pies por segundo.

b) Usar las capacidades de regresión de una herramienta de

graficación para encontrar los modelos cuadráticos para los

datos en el apartado a).

c) Aproximar la distancia recorrida por cada carro durante los

30 segundos. Explicar la diferencia en las distancias.

En los ejercicios 17 y 18, utilizar la notación sigma para escribir

la suma.

17.

1

31 1

32 1

33 . . . 1

310

18.

3 n 1 1

n 2

3

n 2 1

n 2 . . .

3

n n 1

n 2

En los ejercicios 19 a 22, utilizar las propiedades de las sumas y

el teorema 4.2 para calcular las sumas.

19. 20

2i

i1

20. 20

4i 1

i1

21. 20

i 1 2

i1

22. 12

ii 2 1

i1

23. Escribir en notación sigma a) la suma de los primeros diez enteros

impares positivos, b) la suma de los cubos de los primeros

n enteros positivos y c) 6 10 14 18 · · · 42.

24. Calcular cada suma para x 1 2, x 2 1, x 3 5, x 4 3 y

7

Los ejercicios de repaso ubicados al final de cada capítulo

proporcionan a los estudiantes más oportunidades para

practicar. Estos conjuntos de ejercicios constituyen una

revisión completa de los conceptos del capítulo y son un

medio excelente para que los estudiantes preparen un examen.

a) Graficar el arco parabólico delimitado por y 9 x 2 y

el eje x. Utilizar una integral apropiada para encontrar el

área A.

b) Encontrar la base y la altura del arco y verificar la fórmula

de Arquímedes.

c) Demostrar la fórmula de Arquímedes para una parábola

general.

8. Galileo Galilei (1564-1642) enunció la siguiente proposición

relativa a los objetos en caída libre:

El tiempo en cualquier espacio que se recorre por un cuerpo

acelerado uniformemente es igual al tiempo en el cual ese

mismo espacio se recorrería por el mismo cuerpo movién-

x

1

1. Seax x > 0.

1 t dt,

a) Encontrar L(1).

b) Encontrar L(x) y L(1).

c) Utilizar una herramienta de graficación para aproximar el valor

de x (hasta tres lugares decimales) para el cual L(x) 1.

d) Demostrar que L(x 1 x 2) L(x 1) L(x 2) para todos los

valores positivos de x 1 y x 2.

x

2. Sea Fx sen t 2 dt.

2

a) Utilizar una herramienta de graficación para completar la

tabla.

x

Fx

x

Fx

Solución de problemas

0 1.0 1.5 1.9 2.0

2.1 2.5 3.0 4.0 5.0

b) Sea Gx 1 Fx 1

x 2

x

x 22

sen t 2 dt.

Utilizar una

herramienta de graficacón para completar la tabla y estimar

lím Gx.

x2

x

Gx

1.9 1.95 1.99 2.01 2.1

c) Utilizar la definición de la derivada para encontrar el valor

exacto del límite lím Gx.

x2

En los ejercicios 3 y 4, a) escribir el área bajo la gráfica de la

función dada definida sobre el intervalo indicado como un límite.

Después b) calcular la suma del apartado a) y c) calcular el límite

tili d l lt d d l t d b)

Estos conjuntos de ejercicios al final de cada capítulo prueban las habilidades

de los estudiantes con preguntas desafiantes que retan su pensamiento.

SP

6. La aproximación gaussiana de dos puntos para f es

1

f x dx f

1

3 1 f 3 1 .

1

a) Utilizar esta fórmula para aproximar cos x dx. Encontrar

el error de la aproximación.

1

b) Utilizar esta fórmula para aproximar

1

1

1 1 x dx.

2

c) Probar que la aproximación gaussiana de dos puntos es

exacta para todos los polinomios de grado 3 o menor.

7. Arquímedes demostró que el área de un arco parabólico es igual

a del producto de la base y la altura (ver la figura).

h

b

xiv

Características

Cálculos clásicos con relevancia contemporánea

TEOREMAS

Los teoremas proporcionan el

marco conceptual del cálculo;

se enuncian claramente y se

distinguen del resto del texto

por medio de recuadros para

tener una rápida referencia

visual. Las demostraciones

más importantes muchas

veces siguen al teorema, y se

proporcionan otras más en un

apéndice.

TEOREMA 4.9

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Si una función ƒ es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una antiderivada de

ƒ en el intervalo [a, b], entonces

b

f x dx Fb Fa.

a

DEFINICIÓN DE LONGITUD DE ARCO

Sea la función dada por y f(x) que represente una curva suave en el intervalo [a, b].

La longitud del arco de f entre a y b es

b

s 1 fx 2 dx.

a

Similarmente, para una curva suave dada por x g(y), la longitud de arco de g entre

c y d es

d

s 1 gy 2 dy.La regla de L’Hôpital también puede aplicarse a los límites unilaterales, como se demuestra

en los ejemplos 6 y c

7.

EJEMPLO 6 Forma indeterminada 0 0

DEFINICIONES

Al igual que con los

teoremas, las definiciones se

enuncian claramente

utilizando palabras sencillas

y precisas; también se

separan del texto mediante

recuadros para tener una

rápida referencia visual.

NOTAS

PROCEDIMIENTOS

Los procedimientos aparecen

separados del texto para brindar una

referencia fácil. Estas líneas proporcionan

a los estudiantes instrucciones

paso a paso que les ayudarán a

resolver problemas de manera rápida

y eficiente.

Las notas proporcionan detalles adicionales acerca de los

teoremas, definiciones y ejemplos. Ofrecen una profundización

adicional o generalizaciones importantes que los estudiantes

podrían omitir

involuntariamente. Al igual

que las ayudas de estudio,

las notas resultan invaluables

para los estudiantes.

Encontrar lím

x0 sen xx .

Solución Porque la sustitución directa produce la forma indeterminada 0 0 , proceder como

se muestra abajo. Para empezar, asumir que el límite existe y es igual a y.

y lím sen xx

x0

ln y ln lím x0 sen xx

lím

x0 lnsen xx

lím

x0x lnsen x

lnsen x

lím x0 1x

lím

cot x

x0 1x 2

lím

x2

x0 tan x

lím

2x

x0 sec 2 x 0

Forma indeterminada 0 0 .

Tomar un logaritmo natural de cada lado.

Continuidad.

Forma indeterminada 0 · ().

Forma indeterminada .

Regla de L’Hôpital.

Forma indeterminada 00.

Regla de L’Hôpital.

Ahora, porque ln y 0, concluir que y e 0 1, y se sigue que

lím

x0 sen xx 1.

NOTA Al aplicar la fórmula para la longitud de arco a una curva, hay que asegurarse de que la

curva se recorra una sola vez en el intervalo de integración. Por ejemplo, el círculo dado por

x cos t y y sen t, recorre una sola vez el intervalo 0 t 2, pero recorre dos veces el intervalo

0 t 4.

■

Características

xv

Ampliar la experiencia del cálculo

ENTRADAS DE CAPÍTULO

Las entradas de capítulo proporcionan motivación inicial para

el material que se abordará en el capítulo. Además de los

objetivos, en la entrada de cada capítulo un concepto importante

se relaciona con una aplicación del mundo real. Esto

motiva a los estudiantes a que descubran la relevancia del

cálculo en la vida.

6

En este capítulo se estudiará una de las

más importantes aplicaciones del cálculo:

las ecuaciones diferenciales. El lector

aprenderá nuevos métodos para resolver

diferentes tipos de ecuaciones diferenciales,

como las homogéneas, lineales de

primer orden y de Bernoulli. Posteriormente

aplicará esas reglas para resolver

ecuaciones diferenciales en problemas

de aplicación.

En este capítulo, se aprenderá:

• Cómo generar un campo de

pendientes de una ecuación

diferencial y encontrar una solución

particular. (6.1)

Ecuaciones

diferenciales

EXPLORACIONES

Las exploraciones proporcionan a los

estudiantes retos únicos para estudiar

conceptos que no se han cubierto

formalmente. Les permiten aprender

mediante el descubrimiento e introducen

temas relacionados con los que

están estudiando en el momento. Al

explorar temas de esta manera, se

estimula a que los estudiantes piensen

de manera más amplia.

Preparación del examen Putnam

133. ¿Cuál es mayor

n n1 o n 1 n

donde n 8?

134. Demostrar que si x es positivo, entonces

log e 1 1 x > 1

EXPLORACIÓN

Converso del teorema 4.4 ¿Es verdadero el converso del teorema 4.4 ? Esto es, si

una función es integrable, ¿tiene que ser continua? Explicar el razonamiento y proporcionar

ejemplos.

Describir las relaciones entre continuidad, derivabilidad e integrabilidad. ¿Cuál

es la condición más fuerte? ¿Cuál es la más débil? ¿Qué condiciones implican otras

condiciones?

EXPLORACIÓN

Suponer que se pide encontrar una

de las siguientes integrales. ¿Cuál

elegiría? Explicar la respuesta.

a) x3 1 dx o

x 2 x 3 1 dx

b) tan3x sec 2 3x dx o

tan3x dx

DESAFÍOS DEL EXAMEN PUTNAM

Las preguntas del examen

Putnam aparecen en algunas

secciones y se toman de los

exámenes Putnam reales.

Estos ejercicios extenderán

los límites del entendimiento

de los estudiantes en relación

con el cálculo y brindarán

desafíos adicionales para

aquellos más interesados.

• Cómo usar una función exponencial

para modelos de crecimiento y

decrecimiento. (6.2)

• Como usar el método de separación

■

de variables para resolver ecuaciones

diferenciales. (6.3)

• Cómo resolver ecuaciones

diferenciales lineales de primer

orden y la ecuación diferencial de

Bernoulli. (6.4)

1 x .

Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition.

© The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

BLAISE PASCAL (1623-1662)

Pascal es bien conocido por sus

contribuciones a diversas áreas de las 1 2 3

matemáticas y de la física, así como por 100 99 98

su influencia con Leibniz. Aunque buena 101 101 101

parte de su obra en cálculo fue intuitiva y 100 101

5 050

carente del rigor exigible en las matemáticas 2

modernas, Pascal anticipó muchos

resultados relevantes.

100

i 100101 5 050.

t 1 2

PROYECTOS DE SECCIÓN

PROYECTO DE TRABAJO

Demostración del teorema fundamental

Utilizar una herramienta de graficación para representar la función

y1 sen 2 t en el intervalo 0 t . Sea F(x) la siguiente función

de x.

Los proyectos aparecen en algunas secciones y exploran a

mayor profundidad las aplicaciones relacionadas con los

temas que se están estudiando. Proporcionan una forma

interesante y entretenida para que los estudiantes trabajen

e investiguen ideas de manera conjunta.

The Granger Collection

x

Fx sen 2 tdt

0

■

Dr. Dennis Kunkel/Getty Images

Según el tipo de bacteria, el tiempo que le toma duplicar su peso al cultivo

puede variar mucho, desde varios minutos hasta varios días. ¿Cómo

usaría una ecuación diferencial para modelar la tasa de crecimiento del

peso del cultivo de una bacteria? (Vea la sección 6.3, ejercicio 84.)

Una función y f(x) es una solución de una ecuación diferencial, si la ecuación se satisface cuando y y sus derivadas

se remplazan por f(x) y sus derivadas. Una manera de resolver una ecuación diferencial es mediante los campos de

pendientes, los cuales muestran la forma de todas las soluciones de una ecuación diferencial. (Ver sección 6.1)

NOTAS HISTÓRICAS Y BIOGRAFÍAS

Las notas históricas proporcionan a los estudiantes

información sobre los fundamentos del cálculo; las

biografías les ayudan a

sensibilizar y a enseñarles

acerca de las personas que

contribuyeron a la creación

formal del cálculo.

a) Completar la tabla. Explicar por qué los valores de ƒ están creciendo.

x

Fx

0

6 3 2 23 56

LA SUMA DE LOS PRIMEROS CIEN ENTEROS

El maestro de Carl Friedrich Gauss (1777-

1855) pidió a sus alumnos que sumaran

todos los enteros desde 1 hasta 100. Cuando

Gauss regresó con la respuesta correcta muy

poco tiempo después, el maestro no pudo

evitar mirarle atónito. Lo siguiente fue lo

que hizo Gauss:

Esto se generaliza por medio del teorema

4.2, donde

. . .

. . .

. . .

100

1

101

b) Utilizar las funciones de integración de una herramienta de graficación

para representar F.

c) Emplear las funciones de derivación de una herramienta de graficación

para hacer la gráfica de F(x). ¿Cómo se relaciona esta

gráfica con la gráfica de la parte b)?

d) Verificar que la derivada de y (12)t (sen 2t)4 es sen 2 t.

Graficar y y escribir un pequeño párrafo acerca de cómo esta

gráfica se relaciona con las de los apartados b) y c).

405

xvi

Características

Tecnología integrada para el mundo actual

EJEMPLO 5 Cambio de variables

Encontrar x2x 1 dx.

Solución Como en el ejemplo previo, considerar que u 2x 1 para obtener dx

du2. Como el integrando contiene un factor de x, se tiene que despejar x en términos de

u, como se muestra.

u 2x 1 x u 12 Resolver para x en términos de u.

Después de esto, utilizando la sustitución, se obtiene

u 1

x2x 1 dx 2

du

u12

2

1 4u 32 u 12 du

INVESTIGACIONES CON SISTEMAS

ALGEBRAICOS POR COMPUTADORA

Los ejemplos a lo largo del libro se

acompañan de investigaciones que

emplean un sistema algebraico por

computadora (por ejemplo, Maple®)

para explorar de manera adicional un

ejemplo relacionado en el libro.

Permiten a los estudiantes explorar el

cálculo manipulando funciones,

gráficas, etc., y observar los resultados.

1 4 u52

52 u32

32 C

1 10 2x 152 1 6 2x 132 C.

EJERCICIOS CON HERRAMIENTAS DE GRAFICACIÓN

La comprensión con frecuencia mejora utilizando

una gráfica o visualización. Los ejercicios de

tecnología de graficación piden a los estudiantes

recurrir a una herramienta de graficación para

ayudar a encontrar una solución.

Razonamiento gráfico En los ejercicios 55 a 58, a) usar una

herramienta de graficación para representar gráficamente la

función, b) representar su función inversa utilizando la herramienta

de graficación y c) determinar si la gráfica de la relación inversa

es una función inversa. Explicar la respuesta.

55. f x x 3 x 4 56. hx x4 x 2

TECNOLOGÍA

CAS Campos de pendientes En los ejercicios 67 a 72, usar un sistema

algebraico por computadora para a) trazar la gráfica del campo

de pendientes para la ecuación diferencial y b) trazar la gráfica de

la solución que satisface la condición inicial especificada.

CAS

dy

67.

y0 4

dx 0.25y,

dy

1

68.

y0 6

dx 4 y, - 79.

80.

x

a

2 4x 13 dx

dy

1

69. 0.02y10 y, y0 2

81.

82.

dx 1 sen

dy

70.

y0 9

dx 0.2x2 y,

dy

71.

y0 1

dx 0.4y3 x, CAS En los ejercicios 33 a 40, usar un sistema algebraico por computadora

para determinar la primitiva que atraviesa el punto dado. Usar

dy

72. y0 2

dx 1 y

2 ex8 sen

4 , el sistema para hacer la gráfica de la antiderivada resultante.

5x

6x

33. 34.

2 1

6, 0

2, 1

x x

x

35. 0, 1 36.

2 x 1 dx,

2 10x 25 dx,

3

x2 x 2

3

3, 4

x x 2 4 dx,

2 2 dx, 2 2

En los ejercicios 79 a 82, usar un sistema algebraico por computadora

para encontrar la integral. Usar el sistema algebraico por

computadora para hacer la gráfica de dos antiderivadas. Describir

la relación entre las gráficas de las dos antiderivadas.

EJERCICIOS CON SISTEMAS

ALGEBRAICOS POR COMPUTADORA

¡NUEVO! De igual manera que los ejercicios con

herramientas de graficación, algunos ejercicios

pueden resolverse mejor utilizando un sistema

algebraico por computadora. Estos ejercicios son

nuevos en esta edición.

d

x 2

x 2 4x 13 dx

e x e x

2 3 dx

TECNOLOGÍA La regla de Simpson puede usarse para dar una buena aproximación

del valor de la integral en el ejemplo 2 (para n 10, la aproximación es 1.839). Al usar

la integración numérica, sin embargo, se debe estar consciente de que la regla de Simpson

no siempre da buenas aproximaciones cuando algunos de los límites de integración

están cercanos a una asíntota vertical. Por ejemplo, usando el teorema fundamental del

cálculo, se obtiene

1.99

0

A lo largo del libro, los recuadros

de tecnología dan a los estudiantes

una visión de cómo la tecnología

puede usarse para ayudar a resolver

problemas y explorar los conceptos

del cálculo. No sólo proporcionan

discusiones acerca de dónde la

tecnología tiene éxito, sino también

sobre dónde puede fracasar.

x 3

dx 6.213.

4 x2 Aplicando la regla de Simpson (con n 10) para esta integral se produce una aproximación

de 6.889.

10

En In this este chapter, capítulo you se analizarán will analyze y seand write

escribirán equations ecuaciones of conics using de cónicas their properties. usando

sus You propiedades. will also learn También how to se write aprenderá and graph

cómo parametric escribir equations y graficar and ecuaciones polar equations,

paramétricas and see how y calculus polares, can y se be verá used cómo to study se

puede these graphs. usar el cálculo In addition para to estudiar the rectangular tales

gráficas. equations Además of conics, de las you ecuaciones will also study

rectangulares polar equations de of cónicas, conics. también se

estudiarán ecuaciones polares de cónicas.

In this chapter, you should learn the


following.

■ Cómo analizar y escribir ecuaciones

■ How to analyze and write equations of

de una parábola, una elipse y una

a parabola, an ellipse, and a hyperbola.

hipérbola. (10.1)

(10.1)

■ Cómo trazar una curva representada

■ How to sketch a curve represented by

por ecuaciones paramétricas. (10.2) ■

parametric equations. (10.2)

■ Cómo usar un conjunto de ecuaciones

paramétricas para encontrar la

■ How to use a set of parametric equations

to find the slope of a tangent line to a

pendiente de una línea tangente a

curve and the arc length of a curve.

una curva y la longitud de arco

(10.3)

de una curva. (10.3)

■ How to sketch the graph of an equation

Cómo dibujar la gráfica de una ecuación

en forma polar, encontrar la

in polar form, find the slope of a tangent

line to a polar graph, and identify special

pendiente de una línea tangente a

polar graphs. (10.4)

una gráfica polar e identificar gráficas

polares to find especiales. the area of (10.4) a region

■ How

bounded by a polar graph and find the

■ Cómo encontrar el área de una

arc length of a polar graph. (10.5)

región acotada por una gráfica polar

■ How y encontrar to analyze la longitud and write de a arco polar de

equation una gráfica of a polar. conic. (10.5) (10.6)

■ Cómo analizar y escribir una ecuación

polar de una cónica. (10.6)

Cónicas,

Conics, Parametric

ecuaciones

paramétricas Equations, and y

coordenadas Polar Coordinates polares

© Chuck Savage/Corbis

Se The puede path of modelar a baseball la trayectoria hit at a particular de una pelota height de at an béisbol angle bateada with the a horizontal una alturacan

específica be modeled a using un ángulo parametric con el equations. horizontal How utilizando can a set ecuaciones of parametric paramétricas. equations ¿Cómo be

■

used puede to find usar the un minimum conjunto angle de ecuaciones at which the paramétricas ball must leave para the encontrar bat in order el ángulo for the

mínimo hit to be al a cual home la run? pelota (See debe Section salir 10.2, del bate Exercise para que 75.) el golpe sea un jonrón? (Ver

la sección 10.2, ejercicio 75.)

En In el the sistema polar coordinate de coordenadas system, polares, graphing graficar an equation una ecuación involves implica tracing trazar a curve una about curva a alrededor fixed point de called un punto the pole. fijo

llamado Consider el a polo. region Considerar bounded una by a región curve and acotada by the por rays una that curva contain y por los the rayos endpoints que contienen of an interval los puntos on the extremos curve. Youde

un can intervalo use sectors sobre of la circles curva. to Pueden approximate usarse the sectores area of circulares such a region. para aproximar In Section el 10.5, área de you tal will región. see how En la the sección limit

10.5 process se verá can be cómo used es to posible find this usar area. el proceso de límite para encontrar esta área.

695 695

696 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

10.1 Cónicas y cálculo

■

■

■

■

Entender la definición de una sección cónica.

Analizar y dar las ecuaciones de la parábola utilizando las propiedades de la parábola.

Analizar y dar las ecuaciones de la elipse utilizando las propiedades de la elipse.

Analizar y dar las ecuaciones de la hipérbola utilizando las propiedades de la hipérbola.

Secciones cónicas

Toda sección cónica (o simplemente cónica) puede describirse como la intersección de un

plano y un cono de dos hojas. En la figura 10.1 se observa que en las cuatro cónicas básicas

el plano de intersección no pasa por el vértice del cono. Cuando el plano pasa por el

vértice, la figura que resulta es una cónica degenerada, como se muestra en la figura 10.2.

Bettmann/Corbis

HYPATIA (370-415 D.C.)

Los griegos descubrieron las secciones cónicas

entre los años 600 y 300 a.C. A principios

del periodo alejandrino ya se sabía lo

suficiente acerca de las cónicas como para

que Apolonio (269-190 a.C.) escribiera una

obra de ocho volúmenes sobre el tema. Más

tarde, hacia finales del periodo Alejandrino,

Hypatia escribió un texto titulado Sobre las

cónicas de Apolonio. Su muerte marcó el

final de los grandes descubrimientos matemáticos

en Europa por varios siglos.

Los primeros griegos se interesaron

mucho por las propiedades geométricas de

las cónicas. No fue sino 1900 años después,

a principios del siglo XVII, cuando se hicieron

evidentes las amplias posibilidades de

aplicación de las cónicas, las cuales llegaron

a jugar un papel prominente en el desarrollo

del cálculo.

Circunferencia

Secciones cónicas

Figura 10.1

Punto

Cónicas degeneradas

Figura 10.2

Parábola Elipse Hipérbola

Recta

Dos rectas que se cortan

Existen varias formas de estudiar las cónicas. Se puede empezar, como lo hicieron los

griegos, definiendo las cónicas en términos de la intersección de planos y conos, o se pueden

definir algebraicamente en términos de la ecuación general de segundo grado

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.

Ecuación general de segundo grado.

PARA MAYOR INFORMACIÓN

Para conocer más sobre las actividades

de esta matemática, consultar al artículo

“Hypatia and her Mathematics” de

Michael A. B. Deakin en The

American Mathematical Monthly.

Sin embargo, un tercer método en el que cada una de las cónicas está definida como el lugar

geométrico (o colección) de todos los puntos que satisfacen cierta propiedad geométrica,

funciona mejor. Por ejemplo, la circunferencia se define como el conjunto de todos los puntos

(x, y) que son equidistantes de un punto fijo (h, k). Esta definición en términos del lugar

geométrico conduce fácilmente a la ecuación estándar o canónica de la circunferencia

(x - h) 2 +(y - k) 2 = r 2 .

Ecuación estándar o canónica de la circunferencia.

Para información acerca de la rotación de ecuaciones de segundo grado en dos variables,

ver el apéndice D.

A x Eje

Pa r aParábola

b o l a

A x

Pa r a bF o lcua

sFoco

d 2 d 2

(x, y) (x, y)

p pd F o cu 1 s

d 1 d 2 d

V e r t e x d 2

Vértice 1 d d (x, 2 y)

p

1

d 1

Di r eDirectriz

c t r i x

d

V e r t e x d 2

1

Figure Figura 10.3 10.3

Di r e c t r i x

Figure 10.3

−2

1

2

1

2

y = − x − x 2

−2

y = V

1ér − t x i − c e

x2

2

)

1

p = − V 1

2 −1,

ér t i c e

2)

1

Foco

1

p = −

1

2 −1, )

−1

2

Foco

−1

1

−1

Parabola with a vertical axis, p < 0

Figure 10.4

Parábola Parabola con with eje a vertical,

axis, p < p 0< 0

Figura Figure 10.4 10.4

1

2

)

y

−1

y

x

x

Parabolas Parábolas

SECCIÓN 10.1 Conics 10.1 and Cónicas Calculus y cálculo 697 697

A Una parabola parábola is the es el set conjunto of all points de todos x, ylos that puntos are equidistant (x, y) equidistantes from a fixed de una line recta called fija llamada

directrix directriz and y a de fixed un punto point fijo, called fuera the de focus dicha not recta, on the llamado line. The foco. midpoint El punto between medio entre

Parabolas

the

the el foco focus A parabola y and directriz the directrix is the es set el is of vértice, the all vertex, points y la and recta x, ythe que that line pasa are passing equidistant por el through foco from y the el vértice a focus fixed and es line el the called eje de

vertex la parábola. the is directrix the Obsérvese axis and of the a fixed en parabola. figura point Note called 10.3 in que the Figure la focus parábola 10.3 not on that es the simétrica a line. parabola The respecto midpoint is symmetric de between su eje.

with the respect focus to and its the axis. directrix is the vertex, and the line passing through the focus and the

vertex is the axis of the parabola. Note in Figure 10.3 that a parabola is symmetric

TEOREMA

with respect

10.1

to

ECUACIÓN

its axis.

ESTÁNDAR O CANÓNICA DE UNA PARÁBOLA

THEOREM 10.1 STANDARD EQUATION OF A PARABOLA

La forma estándar o canónica de la ecuación de una parábola con vértice

The (h, k) standard form of the equation of a parabola with vertex h, k and

THEOREM

y directriz

10.1

y k

STANDARD

p es

EQUATION OF A PARABOLA

directrix y k p is

x

The

standard

h 2 4p

x h 2 form

y k.

Eje vertical.

of the equation of a parabola with vertex h, k and

4py k.

Vertical axis

Para directrix la directriz y x k h p isp,

la ecuación es

For directrix x h p, the equation is

y xk 2 h 2 4px4py h. k.

Eje horizontal. Vertical axis

y k 2 4px h.

Horizontal axis

El foco For se directrix encuentra x en hel eje p, the a p equation unidades is (distancia dirigida) del vértice. Las

The coordenadas focus lies on the axis p units (directed distance) from the vertex. The

y

del

k

foco

Horizontal axis

coordinates of the 2 4px

son las

h.

siguientes.

focus are as follows.

h,

The

k

focus

p

Eje vertical.

lies on the axis p units (directed distance) from the vertex. The

h, k p

Vertical axis

h coordinates p, k of the focus are as follows. Eje horizontal.

h p, k

Horizontal axis

h, k p

Vertical axis

h p, k

Horizontal axis

EXAMPLE EJEMPLO 1 1Hallar Finding el the foco Focus de una of a parábola Parabola

10.1 Conics and Calculus 697

Find Hallar EXAMPLE the el focus foco of de the la 1parábola parabola Finding dada given the por Focus by y of 1 a Parabola 1

x

2 2 x2 .

1 1

Solution Solución Find the To Para focus find hallar the of the focus, el parabola foco, convert se convierte given to standard by a yla forma xby canónica completing o estándar the square. completando el

2 2 x2 .

cuadrado.

1 1

y 2 x

Write original equation.

Solution To find the focus, 2x 2

convert to standard form by completing the square.

1

1 2 x 1 1

y 2 1 2x

2 x2 x 2

Factor Reescribir out

1 1

2. la ecuación original.

y

2y 1

y 2 x

2x x

21 2x 2 2x 2

Write original equation.

x 2 Multiply each side by 2.

1

Sacar como factor. 1

y

2y 1

2 1

x 2 2x x

2x

2

Factor out

Group terms.

2.

2y 2y 1 12x x Multiplicar cada lado por 2.

2y 2 x 2 2x 2 x

2x 2 Multiply each side by 2.

1 Add and subtract 1 on right side.

x 2 2y 2y 1 1x x 2x 1 2y 2

2 2x 2x Agrupar Group términos. terms.

x 12y 2 2y 2

2 x 2 x

2 y 1 2 2x 1 Add and subtract 1 on right side.

2x 1 Write Sumar in y standard restar 1 form. en el lado derecho.

x 2 2x 1 2y 2

Comparing x 2 2x this equation 1 2ywith

2x h 2 4py k, you can conclude that

x 1 2 2 y 1

Write in standard form.

x 1 2 1

h 1, k2y 1, and

1 p Expresar en la forma estándar o canónica.

Comparing this equation with x h 2 2.

4py k, you can conclude that

Because p is negative, the parabola opens

Si se compara esta ecuación con x h 2 downward, 1 as shown in Figure 10.4. So, the

h 1, k 1, and p 4p y k, se concluye que

focus of the parabola is p units from the vertex, or2.

Because h 1, p is negative, k y p 1 2

h, k p 1, 1 the parabola opens . downward, as shown in Figure 10.4. So, the

2 .

Focus

focus of the parabola is p units from the vertex, or

Como p es negativo, la parábola se abre hacia abajo, como se muestra en la figura 10.4.

Por tanto, h, el kfoco pde la parábola 1, 1 se encuentra a p unidades del vértice, o sea

A line segment that passes

2 .

Focus

through the focus of a parabola and has endpoints on

the parabola h, k is pcalled 1, a focal 1 2. chord. The specific Foco. focal chord perpendicular to the axis

of the parabola A line segment is the latus that rectum. passes through The next the example focus of shows a parabola how to and determine has endpoints the on

length the of parabola the latus is rectum called a and focal the chord. length The of the specific corresponding focal chord intercepted perpendicular arc. to the axis

of the parabola is the latus rectum. The next example shows how to determine the

A un segmento de la recta que pasa por el foco de una parábola y que tiene sus extremos

en la parábola se le llama cuerda focal. La cuerda focal perpendicular al eje de la

length of the latus rectum and the length of the corresponding intercepted arc.

parábola es el lado recto (latus rectum). El ejemplo siguiente muestra cómo determinar

la longitud del lado recto y la longitud del correspondiente arco cortado.


EJEMPLO 2

Longitud de la cuerda focal y longitud de arco

Encontrar la longitud del lado recto de la parábola dada por

hallar la longitud del arco parabólico cortado por el lado recto.

x 2 4py.

Después,

x 2 = 4py

y

Solución Debido a que el lado recto pasa por el foco (0, p) y es perpendicular al eje y,

las coordenadas de sus extremos son x, p y x, p. Al sustituir, en la ecuación de la

parábola, y por p se obtiene

x 2 4pp

x ±2p.

Lado recto

o latus rectum

(−2p, p) (2 p , p)

(0, p)

Longitud del lado recto o latus rectum: 4p

Figura 10.5

x

Entonces, los extremos del lado recto son 2p, p y 2p, p, y se concluye que su longitud

es 4p, como se muestra en la figura 10.5. En cambio, la longitud del arco cortado es

2p

s 1 y 2 dx

2p

p

1

0 2p x 2 dx

1

2p

4p 2 x 2 dx

2

0

2p

1

2p x4p 2 x 2 4p 2 ln x 4p2 x 2 2p

1

2p 2p8p 2 4p 2 ln2p 8p 2 4p 2 ln2p

2p2 ln1 2

4.59p.

0

Emplear la fórmula

de longitud del arco.

y x2

4p

Simplificar.

Teorema 8.2.

y x

2p

Fuente de luz

en el foco

Eje

Reflector parabólico: la luz se refleja en

rayos paralelos

Figura 10.6

Una propiedad muy utilizada de la parábola es su propiedad de reflexión. En física, se

dice que una superficie es reflejante o reflectante si la tangente a cualquier punto de la

superficie produce ángulos iguales con un rayo incidente y con el rayo reflejado resultante.

El ángulo correspondiente al rayo incidente es el ángulo de incidencia, y el ángulo

correspondiente al rayo que se refleja es el ángulo de reflexión. Un espejo plano es un

ejemplo de una superficie reflejante o reflectante.

Otro tipo de superficie reflejante es la que se forma por revolución de una parábola

alrededor de su eje. Una propiedad especial de los reflectores parabólicos es que permiten

dirigir hacia el foco de la parábola todos los rayos incidentes paralelos al eje. Éste es el

principio detrás del diseño de todos los espejos parabólicos que se utilizan en los telescopios

de reflexión. Inversamente, todos los rayos de luz que emanan del foco de una linterna

con reflector parabólico son paralelos, como se ilustra en la figura 10.6.

TEOREMA 10.2

PROPIEDAD DE REFLEXIÓN DE UNA PARÁBOLA

Sea P un punto de una parábola. La tangente a la parábola en el punto P produce

ángulos iguales con las dos rectas siguientes.

1. La recta que pasa por P y por el foco

2. La recta paralela al eje de la parábola que pasa por P

SECCIÓN 10.1 Cónicas y cálculo 699

Bettmann/Corbis

NICOLÁS COPÉRNICO (1473-1543)

Copérnico comenzó el estudio del

movimiento planetario cuando se le pidió

que corrigiera el calendario. En aquella

época, el uso de la teoría de que la Tierra

era el centro del Universo, no permitía predecir

con exactitud la longitud de un año.

Elipses

Más de mil años después de terminar el periodo alejandrino de la matemática griega,

comienza un renacimiento de la matemática y del descubrimiento científico en la civilización

occidental. Nicolás Copérnico, astrónomo polaco, fue figura principal en este renacimiento.

En su trabajo Sobre las revoluciones de las esferas celestes, Copérnico sostenía

que todos los planetas, incluyendo la Tierra, giraban, en órbitas circulares, alrededor

del Sol. Aun cuando algunas de las afirmaciones de Copérnico no eran válidas, la controversia

desatada por su teoría heliocéntrica motivó a que los astrónomos buscaran un

modelo matemático para explicar los movimientos del Sol y de los planetas que podían

observar. El primero en encontrar un modelo correcto fue el astrónomo alemán Johannes

Kepler (1571-1630). Kepler descubrió que los planetas se mueven alrededor del Sol, en

órbitas elípticas, teniendo al Sol, no como centro, sino como uno de los puntos focales de

la órbita.

El uso de las elipses para explicar los movimientos de los planetas es sólo una de sus

aplicaciones prácticas y estéticas. Como con la parábola, el estudio de este segundo tipo

de cónica empieza definiéndola como lugar geométrico de puntos. Sin embargo, ahora se

tienen dos puntos focales en lugar de uno.

Una elipse es el conjunto de todos los puntos (x, y), cuya suma de distancias a dos

puntos fijos llamados focos es constante. (Ver la figura 10.7.) La recta que une a los focos

interseca o corta a la elipse en dos puntos, llamados vértices. La cuerda que une a los vértices

es el eje mayor, y su punto medio es el centro de la elipse. La cuerda a través del

centro, perpendicular al eje mayor, es el eje menor de la elipse. (Ver la figura 10.8.)

(x, y)

Foco

d 1

d 2

Foco

Vértice

Eje mayor

Foco

( h , k)

Centro

Foco

Vértice

Eje menor

Figura 10.7 Figura 10.8

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para saber más acerca de cómo “hacer explotar” una elipse

para convertirla en una parábola, consultar al artículo “Exploding the Ellipse” de Arnold Good en

Mathematics Teacher.

Si los extremos de una cuerda se atan a los

alfileres y se tensa la cuerda con un lápiz, la

trayectoria trazada con el lápiz será una

elipse

Figura 10.9

TEOREMA 10.3

ECUACIÓN ESTÁNDAR O CANÓNICA DE UNA ELIPSE

La forma estándar o canónica de la ecuación de una elipse con centro (h, k) y longitudes

de los ejes mayor y menor 2a y 2b, respectivamente, donde a > b, es

o

x h 2

a 2

x h 2

b 2

y k2

b 2 1

y k2

a 2 1.

El eje mayor es horizontal.

El eje mayor es vertical.

Los focos se encuentran en el eje mayor, a c unidades del centro, con c 2 a 2 b 2 .

La definición de una elipse se puede visualizar si se imaginan dos alfileres colocados en

los focos, como se muestra en la figura 10.9.


EJEMPLO 3

Completar cuadrados

−4

−2

(x − 1) 2 (y + 2) 2 + = 1

4 16

y

−6

Vértice

Foco

Centro

Foco

Vértice

Elipse con eje mayor vertical

Figura 10.10

2

2

4

x

Encontrar el centro, los vértices y los focos de la elipse dada por

4x 2 y 2 8x 4y 8 0.

Solución Al completar el cuadrado se puede expresar la ecuación original en la forma

estándar o canónica.

4x 2 y 2 8x 4y 8 0

4x 2 8x y 2 4y 8

4x 2 2x 1 y 2 4y 4 8 4 4

4x 1 2 y 2 2 16

x 1 2

4

Así, el eje mayor es paralelo al eje y, donde h 1,

c 16 4 23. Por tanto, se obtiene:

Escribir la ecuación original.

Centro: 1, 2

h, k.

Escribir la forma estándar o canónica.

Vértices: 1, 6 y 1, 2

h, k ± a.

Focos: 1, 2 23 y 1, 2 23

h, k ± c.

La gráfica de la elipse se muestra en la figura 10.10.

y 22

16

1

k 2,

a 4,

b 2 y

NOTA Si en la ecuación del ejemplo 3, el término constante F 8 hubiese sido mayor o igual

a 8, se hubiera obtenido alguno de los siguientes casos degenerados.

1. F 8, un solo punto, 1, 2:

x 1 2

4

y 22

16

x 1

2. no existen puntos solución: 2 y 22

F > 8,

< 0

■

4 16

0

EJEMPLO 4

La órbita de la Luna

Perigeo

Tierra

Apogeo

Luna

La Luna gira alrededor de la Tierra siguiendo una trayectoria elíptica en la que el centro

de la Tierra está en uno de los focos, como se ilustra en la figura 10.11. Las longitudes de

los ejes mayor y menor de la órbita son 768 800 kilómetros y 767 640 kilómetros, respectivamente.

Encontrar las distancias mayor y menor (apogeo y perigeo) entre el centro de

la Tierra y el centro de la Luna.

Solución Para comenzar se encuentran a y b.

2a 768,800800

a 384,400

400

2b 767,640640

b 383,820

820

Longitud del eje mayor.

Despejar a.

Longitud del eje menor.

Despejar b.

Ahora, al emplear estos valores, se despeja c como sigue.

c a 2 b 2 21,108108

La distancia mayor entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna es

Figura 10.11 a c 405,508

508 kilómetros y la distancia menor es a c 363,292

kilómetros.



Para más información acerca de

algunos usos de las propiedades de

reflexión de las cónicas, consultar el

artículo “Parabolic Mirrors, Elliptic

and Hyperbolic Lenses” de Mohsen

Maesumi en The American

Mathematical Monthly. Consultar también

el artículo “The Geometry of

Microwave Antennas” de William R.

Paezynski en Mathematics Teacher.

En el teorema 10.2 se presentó la propiedad de reflexión de la parábola. La elipse tiene

una propiedad semejante. En el ejercicio 112 se pide demostrar el siguiente teorema.

TEOREMA 10.4

PROPIEDAD DE REFLEXIÓN DE LA ELIPSE

Sea P un punto de una elipse. La recta tangente a la elipse en el punto P forma

ángulos iguales con las rectas que pasan por P y por los focos.

Uno de los motivos por el cual los astrónomos tuvieron dificultad para descubrir

que las órbitas de los planetas son elípticas es el hecho de que los focos de las órbitas

planetarias están relativamente cerca del centro del Sol, lo que hace a las órbitas ser

casi circulares. Para medir el achatamiento de una elipse, se puede usar el concepto

de excentricidad.

DEFINICIÓN DE LA EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE

La excentricidad e de una elipse está dada por el cociente

e c a .

Focos

Para ver cómo se usa este cociente en la descripción de la forma de una elipse,

obsérvese que como los focos de una elipse se localizan a lo largo del eje mayor entre los

vértices y el centro, se tiene que

0 < c < a.

En una elipse casi circular, los focos se encuentran cerca del centro y el cociente c/a es

pequeño, mientras que en una elipse alargada, los focos se encuentran cerca de los vértices

y el cociente c/a está cerca de 1, como se ilustra en la figura 10.12. Obsérvese que para

toda elipse 0 < e < 1.

La excentricidad de la órbita de la Luna es e 0.0549, y las excentricidades de las

nueve órbitas planetarias son las siguientes.

a

Mercurio:

Venus:

e 0.2056

e 0.0068

Júpiter:

Saturno:

e 0.0484

e 0.0542

c

Tierra:

e 0.0167

Urano:

e 0.0472

Marte:

e 0.0934

Neptuno:

e 0.0086

c

a) es pequeño

a

Focos

c

b) es casi 1

a

c

Excentricidad es el cociente

a .

Figura 10.12

c

a

Por integración se puede mostrar que el área de una elipse es A ab. Por ejemplo,

el área de la elipse

x 2

a y2

2 b 1 2

está dada por

a

b

A 40

a a2 x 2 dx

4b

a0

2

a 2 cos 2 d.

Sustitución trigonométrica x a sen q.

Sin embargo, encontrar el perímetro de una elipse no es fácil. El siguiente ejemplo muestra

cómo usar la excentricidad para establecer una “integral elíptica” para el perímetro de

una elipse.


EJEMPLO 5

Encontrar el perímetro de una elipse

Mostrar que el perímetro de una elipse x es

4a

2 a 2 y 2 b 2 1

2

1 e 2 sin 2 d. e c a

0

sen 2 sen 2 sen 2

Solución Como la elipse dada es simétrica respecto al eje x y al eje y, se sabe que su

perímetro C es el cuádruplo de la longitud de arco de y baa 2 x 2 en el primer

cuadrante. La función y es diferenciable (o derivable) para toda x en el intervalo 0, a

excepto en x a. Entonces, el perímetro está dado por la integral impropia

C lim lím

d

d→a

40

a

1 y 2 dx 4 1 y 2 dx 4

0

a

1 b 2 x 2

0 a 2 a 2 x 2 dx.

ÁREA Y PERÍMETRO DE UNA ELIPSE

En su trabajo con órbitas elípticas, a

principios del siglo XVII, Johannes Kepler

desarrolló una fórmula para encontrar el

área de una elipse, A ab. Sin embargo,

tuvo menos éxito en hallar una fórmula para

el perímetro de una elipse, para el cual sólo

dio la siguiente fórmula de aproximación

C a b.

Al usar la sustitución trigonométrica x a sen sin , se obtiene

2

C 4

1 b2 sin 2

a cos d

0 a

2

4

2 cos 2

a 2 cos 2 b 2 sin 2 d

0

40

4

0

2

2

a 2 1 sen sin 2 b 2 sen sin 2 d

a 2 a 2 b 2 sin sen 2 d.

Debido a que e se puede escribir esta integral como

2

C 4a

2 c 2 a 2 a 2 b 2 a 2 ,

1 e 2 sin 2 d.

0

Se ha dedicado mucho tiempo al estudio de las integrales elípticas. En general dichas

integrales no tienen antiderivadas o primitivas elementales. Para encontrar el perímetro de

una elipse, por lo general hay que recurrir a una técnica de aproximación.

EJEMPLO 6

Aproximar el valor de una integral elíptica

Emplear la integral elíptica del ejemplo 5 para aproximar el perímetro de la elipse

y

x 2

25 y2

16 1.

6

2

x2 y

+

2

25 16

= 1

sen 2 sen 2

Solución Como e 2 c 2 a 2 a 2 b 2 a 2 925, se tiene

2

C 45 1 9 sin2

d.

0 25

−6 −4 −2

Figura 10.13

−2

−6

x

2 4 6

C ≈ 28.36 unidades

Aplicando la regla de Simpson con n 4 se obtiene

C 20

28.36.

6 1 4

1 40.9733 20.9055 40.8323 0.8

Por tanto, el perímetro de la elipse es aproximadamente 28.36 unidades, como se muestra

en la figura 10.13.


Foco

Figura 10.14

(x, y)

d 2 d 1

Foco

d 2 − d 1 es constante

d 2 − d 1 = 2a

Vértice

Centro

a

c

Eje transversal

Vértice

Hipérbolas

La definición de hipérbola es similar a la de la elipse. En la elipse, la suma de las distancias

de un punto de la elipse a los focos es fija, mientras que en la hipérbola, el valor absoluto

de la diferencia entre estas distancias es fijo.

Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos (x, y) para los que el valor absoluto

de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. (Ver

la figura 10.14.) La recta que pasa por los dos focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados

vértices. El segmento de recta que une a los vértices es el eje transversal, y el

punto medio del eje transversal es el centro de la hipérbola. Un rasgo distintivo de la hipérbola

es que su gráfica tiene dos ramas separadas.

TEOREMA 10.5

ECUACIÓN ESTÁNDAR O CANÓNICA DE UNA HIPÉRBOLA

La forma estándar o canónica de la ecuación de una hipérbola con centro h, k es

o

x h 2

a 2

y k 2

a 2

y k2

b 2 1

x h2

b 2 1.

El eje transversal es horizontal.

El eje transversal es vertical.

Los vértices se encuentran a a unidades del centro y los focos se encuentran a c

unidades del centro, con c 2 a 2 b 2 .

NOTA En la hipérbola no existe la misma relación entre las constantes a, b y c, que en la elipse.

En la hipérbola, c 2 a 2 b 2 , mientras que en la elipse, c 2 a 2 b 2 .

■

Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola es determinar sus asíntotas,

como se ilustra en la figura 10.15. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se cortan

en el centro de la hipérbola. Las asíntotas pasan por los vértices de un rectángulo de

dimensiones 2a por 2b, con centro en (h, k). Al segmento de la recta de longitud 2b que

une h, k b y h, k b se le conoce como eje conjugado de la hipérbola.

TEOREMA 10.6

ASÍNTOTAS DE UNA HIPÉRBOLA

Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son

y k b x h

a

y

k b x h.

a

Eje conjugado

(h − a, k) ( h , k)

(h, k + b)

a

b

Asíntota

(h + a, k)

Si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son

y y k a x h

b

y

y k a x h.

b

Figura 10.15

(h, k − b)

Asíntota

En la figura 10.15 se puede ver que las asíntotas coinciden con las diagonales del rectángulo

de dimensiones 2a y 2b, centrado en (h, k). Esto proporciona una manera rápida

de trazar las asíntotas, las que a su vez ayudan a trazar la hipérbola.


EJEMPLO 7

Uso de las asíntotas para trazar una hipérbola

TECNOLOGÍA Para verificar la

gráfica obtenida en el ejemplo 7 se

puede emplear una herramienta de

graficación y despejar y de la ecuación

original para representar gráficamente

las ecuaciones siguientes.

y 1 4x 2 16

y 2 4x 2 16

Trazar la gráfica de la hipérbola cuya ecuación es 4x 2 y 2 16.

Solución Para empezar se escribe la ecuación en la forma estándar o canónica.

x 2

4 y 2

16 1

El eje transversal es horizontal y los vértices se encuentran en 2, 0 y 2, 0. Los

extremos del eje conjugado se encuentran en 0, 4 y 0, 4. Con estos cuatro puntos, se

puede trazar el rectángulo que se muestra en la figura 10.16a. Al dibujar las asíntotas a

través de las esquinas de este rectángulo, el trazo se termina como se muestra en la figura

10.16b.

y

y

−6

(−2, 0)

−4

6

(0, 4)

(2, 0)

4 6

x

−6

−4

6

4

x 2 y

− 2

= 1

4 16

4 6

x

−6

(0, −4)

−4

−6

a)

Figura 10.16

b)

DEFINICIÓN DE LA EXCENTRICIDAD DE UNA HIPÉRBOLA

La excentricidad e de una hipérbola es dada por el cociente

e c a .

Como en la elipse, la excentricidad de una hipérbola es e ca. Dado que en la

hipérbola c > a resulta que e > 1. Si la excentricidad es grande, las ramas de la hipérbola

son casi planas. Si la excentricidad es cercana a 1, las ramas de la hipérbola son más

puntiagudas, como se muestra en la figura 10.17.

La excentricidad

es grande

y

La excentricidad

se acerca a 1

y

Vértice

Foco

Vértice

Foco

x

Foco

Vértice

Vértice

Foco

x

e = a

c

c

e = a

c

a

c

a

Figura 10.17


La aplicación siguiente fue desarrollada durante la Segunda Guerra Mundial.

Muestra cómo los radares y otros sistemas de detección pueden usar las propiedades de

la hipérbola.

EJEMPLO 8

Un sistema hiperbólico de detección

y

Dos micrófonos, a una milla de distancia entre sí, registran una explosión. El micrófono A

recibe el sonido 2 segundos antes que el micrófono B. ¿Dónde fue la explosión?

4 000

3 000

2 000

Solución Suponiendo que el sonido viaja a 1 100 pies por segundo, se sabe que la

explosión tuvo lugar 2 200 pies más lejos de B que de A, como se observa en la figura

10.18. El lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran 2 200 pies más cercanos

a A que a B es una rama de la hipérbola x 2 a 2 y 2 b 2 1, donde

d 2

B

−2 000

−1 000

d 1

A

2 000 3 000

x

y

1 milla 5280 pies

c = = = 2640

2 2

pies.

−2 000

2 200 pies

a = = 1100

2

pies

2c 5280

d 2 d 1 2a 2200

200

Figura 10.18

Como c 2 a 2 b 2 , se tiene que

b 2 c 2 a 2

5 759 600

y se puede concluir que la explosión ocurrió en algún lugar sobre la rama derecha de la

hipérbola dada por

x 2

1,210,000 y 2

1 000 55,759,600 1.

Mary Evans Picture Library

CAROLINE HERSCHEL (1750-1848)

La primera mujer a la que se atribuyó

haber detectado un nuevo cometa fue la

astrónoma inglesa Caroline Herschel.

Durante su vida, Caroline Herschel descubrió

ocho cometas.

En el ejemplo 8, sólo se pudo determinar la hipérbola en la que ocurrió la explosión,

pero no la localización exacta de la explosión. Sin embargo, si se hubiera recibido el

sonido también en una tercera posición C, entonces se habrían determinado otras dos

hipérbolas. La localización exacta de la explosión sería el punto en el que se cortan estas

tres hipérbolas.

Otra aplicación interesante de las cónicas está relacionada con las órbitas de los

cometas en nuestro sistema solar. De los 610 cometas identificados antes de 1970, 245

tienen órbitas elípticas, 295 tienen órbitas parabólicas y 70 tienen órbitas hiperbólicas. El

centro del Sol es un foco de cada órbita, y cada órbita tiene un vértice en el punto en el

que el cometa se encuentra más cerca del Sol. Sin lugar a dudas, aún no se identifican

muchos cometas con órbitas parabólicas e hiperbólicas, ya que dichos cometas pasan una

sola vez por nuestro sistema solar. Sólo los cometas con órbitas elípticas como la del

cometa Halley permanecen en nuestro sistema solar.

El tipo de órbita de un cometa puede determinarse de la forma siguiente.

1. Elipse:

2. Parábola:

3. Hipérbola:

v < 2GMp

v 2GMp

v > 2GMp

En estas tres fórmulas, p es la distancia entre un vértice y un foco de la órbita del cometa

(en metros), v es la velocidad del cometa en el vértice (en metros por segundo),

M 1.989 10 30 kilogramos es la masa del Sol y G 6.67 10 8 metros cúbicos por

kilogramo por segundo cuadrado es la constante de gravedad.


En los ejercicios 1 a 8, relacionar la ecuación con su gráfica. [Las

gráficas están marcadas a), b), c), d), e), f), g) y h).]

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

En los ejercicios 9 a 16, hallar el vértice, el foco y la directriz de

la parábola, y trazar su gráfica.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

En los ejercicios 17 a 20, hallar el vértice, el foco y la directriz de

la parábola. Luego usar una herramienta de graficación para

representar la parábola.

17. 18.

19. 20.

En los ejercicios 21 a 28, hallar una ecuación de la parábola.

21. Vértice: (5, 4) 22. Vértice: (2, 1)

Foco: (3, 4) Foco: (2, 1)

23. Vértice: (0, 5) 24. Foco:

Directriz: y 3

Directriz:

25. 26.

27. El eje es paralelo al eje y; la gráfica pasa por (0, 3), (3, 4) y

(4, 11).

28. Directriz: extremos del lado recto (latus rectum) son

y

En los ejercicios 29 a 34, hallar el centro, el foco, el vértice y la

excentricidad de la elipse y trazar su gráfica.

29. 30.

31. 32.

33.

34.

En los ejercicios 35 a 38, hallar el centro, el foco y el vértice de la

elipse. Con ayuda de una herramienta de graficación representar

la elipse.

35.

36.

37.

38.

En los ejercicios 39 a 44, hallar una ecuación de la elipse.

39. Centro: 40. Vértices: (0, 3), (8, 3)

Foco: (5, 0)

Excentricidad:

Vértice: (6, 0)

41. Vértices: 42. Foco: (0, 9)

Longitud del eje menor: 6 Longitud del eje mayor: 22

43. Centro: 44. Centro:

Eje mayor: horizontal

Eje mayor: vertical

Puntos en la elipse:

Puntos en la elipse:

1, 6, 3, 2

3, 1, 4, 0

1, 2

0, 0

3, 1, 3, 9

In Exercises 1–8, match the equation with its graph. [The

graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), and (h).]

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

In Exercises 9–16, find the vertex, focus, and directrix of the

parabola, and sketch its graph.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.


parabola. Then use a graphing utility to graph the parabola.

17. 18.

19. 20.

In Exercises 21–28, find an equation of the parabola.

21. Vertex: 22. Vertex:

Focus:

Focus:

23. Vertex: 24. Focus:

Directrix:

Directrix:

25. 26.

27. Axis is parallel to axis; graph passes through

and

28. Directrix: endpoints of latus rectum are and

In Exercises 29–34, find the center, foci, vertices, and eccentricity

of the ellipse, and sketch its graph.

29. 30.

31. 32.

33.

34.

In Exercises 35–38, find the center, foci, and vertices of the

ellipse. Use a graphing utility to graph the ellipse.

35.

36.

37.

38.

In Exercises 39–44, find an equation of the ellipse.

39. Center: 40. Vertices:

Focus:

Eccentricity:

Vertex:

41. Vertices: 42. Foci:

Minor axis length: 6 Major axis length: 22

43. Center: 44. Center:

Major axis: horizontal

Major axis: vertical

Points on the ellipse:


1, 6, 3, 2

3, 1, 4, 0

1, 2

0, 0

0, ±9

3, 1, 3, 9

6, 0

3

4

5, 0

0, 3, 8, 3

0, 0

2x 2 y 2 4.8x 6.4y 3.12 0

x 2 2y 2 3x 4y 0.25 0

36x 2 9y 2 48x 36y 43 0

12x 2 20y 2 12x 40y 37 0

16x 2 25y 2 64x 150y 279 0

9x 2 4y 2 36x 24y 36 0

x 4 2 y 62

14

1

x 3 2

16

y 12

25

1

3x 2 7y 2 63

16x 2 y 2 16

8, 2.

0, 2

y 2;

4, 11.

3, 4,

0, 3,

y-

x

1 2 3

2

1

3

4

(4, 0)

(0, 0)

(2, 4)

y

x

−1 1

2

3

(2, 0)

(−2, 0)

(0, 4)

y

x 2

y 3

2, 2

0, 5

2, 1

3, 4

2, 1

5, 4

x 2 2x 8y 9 0

y 2 4x 4 0

y 1 6x 2 8x 6

y 2 x y 0

y 2 4y 8x 12 0

x 2 4x 4y 4 0

y 2 6y 8x 25 0

y 2 4y 4x 0

x 6 2 8y 7 0

x 5 y 3 2 0

x 2 6y 0

y 2 8x

x 2 2

9

y2

4 1

y 2

16 x2

1 1 x 2

16 y 2

16 1

x 2

4 y 2

9 1 x 2 2

16

y 12

4

1

x 4 2 2y 2

x 4 2 2y 2

y 2 4x

2

2 4 6

4

−4

−2

−2

y

y

−2

−6 2 6

−6

2

6

2

2 4 6

4

−4

−2

y

2

2 4

4

6

−4

−4

−6

−2

x

y

2

2 4

4

−4

y

y

−6

−8 2 4

−2

−4

4

6

8

706 Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates

10.1 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

0, 0

2x 2 y 2 4.8x 6.4y 3.12 0

x 2 2y 2 3x 4y 0.25 0

36x 2 9y 2 48x 36y 43 0

12x 2 20y 2 12x 40y 37 0

16x 2 25y 2 64x 150y 279 0

9x 2 4y 2 36x 24y 36 0



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.



9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.



17. 18.

19. 20.



Focus:

Focus:


Directrix:

Directrix:

25. 26.


and




29. 30.

31. 32.

33.

34.



35.

36.

37.

38.



Focus:

Eccentricity:

Vertex:








1, 6, 3, 2

3, 1, 4, 0

1, 2

0, 0

0, ±9

3, 1, 3, 9

6, 0

3

4

5, 0

0, 3, 8, 3

0, 0

2x 2 y 2 4.8x 6.4y 3.12 0

x 2 2y 2 3x 4y 0.25 0

36x 2 9y 2 48x 36y 43 0

12x 2 20y 2 12x 40y 37 0

16x 2 25y 2 64x 150y 279 0

9x 2 4y 2 36x 24y 36 0

x 4 2 y 62

14

1

x 3 2

16

y 12

25

1

3x 2 7y 2 63

16x 2 y 2 16

8, 2.

0, 2

y 2;

4, 11.

3, 4,

0, 3,

y-

x

1 2 3

2

1

3

4

(4, 0)

(0, 0)

(2, 4)

y

x

−1 1

2

3

(2, 0)

(−2, 0)

(0, 4)

y

x 2

y 3

2, 2

0, 5

2, 1

3, 4

2, 1

5, 4

x 2 2x 8y 9 0

y 2 4x 4 0

y 1 6x 2 8x 6

y 2 x y 0

y 2 4y 8x 12 0

x 2 4x 4y 4 0

y 2 6y 8x 25 0

y 2 4y 4x 0

x 6 2 8y 7 0

x 5 y 3 2 0

x 2 6y 0

y 2 8x

x 2 2

9

y2

4 1

y 2

16 x2

1 1 x 2

16 y 2

16 1

x 2

4 y 2

9 1 x 2 2

16

y 12

4

1

x 4 2 2y 2

x 4 2 2y 2

y 2 4x

2

2 4 6

4

−4

−2

−2

y

y

−2

−6 2 6

−6

2

6

2

2 4 6

4

−4

−2

y

2

2 4

4

6

−4

−4

−6

−2

x

y

2

2 4

4

−4

y

y

−6

−8 2 4

−2

−4

4

6

8





(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.



9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.



17. 18.

19. 20.



Focus:

Focus:


Directrix:

Directrix:

25. 26.


and




29. 30.

31. 32.

33.

34.



35.

36.

37.

38.



Focus:

Eccentricity:

Vertex:








1, 6, 3, 2

3, 1, 4, 0

1, 2

0, 0

0, ±9

3, 1, 3, 9

6, 0

3

4

5, 0

0, 3, 8, 3

0, 0

2x 2 y 2 4.8x 6.4y 3.12 0

x 2 2y 2 3x 4y 0.25 0

36x 2 9y 2 48x 36y 43 0

12x 2 20y 2 12x 40y 37 0

16x 2 25y 2 64x 150y 279 0

9x 2 4y 2 36x 24y 36 0

x 4 2 y 62

14

1

x 3 2

16

y 12

25

1

3x 2 7y 2 63

16x 2 y 2 16

8, 2.

0, 2

y 2;

4, 11.

3, 4,

0, 3,

y-

x

1 2 3

2

1

3

4

(4, 0)

(0, 0)

(2, 4)

y

x

−1 1

2

3

(2, 0)

(−2, 0)

(0, 4)

y

x 2

y 3

2, 2

0, 5

2, 1

3, 4

2, 1

5, 4

x 2 2x 8y 9 0

y 2 4x 4 0

y 1 6x 2 8x 6

y 2 x y 0

y 2 4y 8x 12 0

x 2 4x 4y 4 0

y 2 6y 8x 25 0

y 2 4y 4x 0

x 6 2 8y 7 0

x 5 y 3 2 0

x 2 6y 0

y 2 8x

x 2 2

9

y2

4 1

y 2

16 x2

1 1 x 2

16 y 2

16 1

x 2

4 y 2

9 1 x 2 2

16

y 12

4

1

x 4 2 2y 2

x 4 2 2y 2

y 2 4x

2

2 4 6

4

−4

−2

−2

y

y

−2

−6 2 6

−6

2

6

2

2 4 6

4

−4

−2

y

2

2 4

4

6

−4

−4

−6

−2

x

y

2

2 4

4

−4

y

y

−6

−8 2 4

−2

−4

4

6

8





(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.



9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.



17. 18.

19. 20.



Focus:

Focus:


Directrix:

Directrix:

25. 26.


and




29. 30.

31. 32.

33.

34.



35.

36.

37.

38.



Focus:

Eccentricity:

Vertex:








1, 6, 3, 2

3, 1, 4, 0

1, 2

0, 0

0, ±9

3, 1, 3, 9

6, 0

3

4

5, 0

0, 3, 8, 3

0, 0

2x 2 y 2 4.8x 6.4y 3.12 0

x 2 2y 2 3x 4y 0.25 0

36x 2 9y 2 48x 36y 43 0

12x 2 20y 2 12x 40y 37 0

16x 2 25y 2 64x 150y 279 0

9x 2 4y 2 36x 24y 36 0

x 4 2 y 62

14

1

x 3 2

16

y 12

25

1

3x 2 7y 2 63

16x 2 y 2 16

8, 2.

0, 2

y 2;

4, 11.

3, 4,

0, 3,

y-

x

1 2 3

2

1

3

4

(4, 0)

(0, 0)

(2, 4)

y

x

−1 1

2

3

(2, 0)

(−2, 0)

(0, 4)

y

x 2

y 3

2, 2

0, 5

2, 1

3, 4

2, 1

5, 4

x 2 2x 8y 9 0

y 2 4x 4 0

y 1 6x 2 8x 6

y 2 x y 0

y 2 4y 8x 12 0

x 2 4x 4y 4 0

y 2 6y 8x 25 0

y 2 4y 4x 0

x 6 2 8y 7 0

x 5 y 3 2 0

x 2 6y 0

y 2 8x

x 2 2

9

y2

4 1

y 2

16 x2

1 1 x 2

16 y 2

16 1

x 2

4 y 2

9 1 x 2 2

16

y 12

4

1

x 4 2 2y 2

x 4 2 2y 2

y 2 4x

2

2 4 6

4

−4

−2

−2

y

y

−2

−6 2 6

−6

2

6

2

2 4 6

4

−4

−2

y

2

2 4

4

6

−4

−4

−6

−2

x

y

2

2 4

4

−4

y

y

−6

−8 2 4

−2

−4

4

6

8





(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.



9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.



17. 18.

19. 20.



Focus:

Focus:


Directrix:

Directrix:

25. 26.


and




29. 30.

31. 32.

33.

34.



35.

36.

37.

38.



Focus:

Eccentricity:

Vertex:








1, 6, 3, 2

3, 1, 4, 0

1, 2

0, 0

0, ±9

3, 1, 3, 9

6, 0

3

4

5, 0

0, 3, 8, 3

0, 0

2x 2 y 2 4.8x 6.4y 3.12 0

x 2 2y 2 3x 4y 0.25 0

36x 2 9y 2 48x 36y 43 0

12x 2 20y 2 12x 40y 37 0

16x 2 25y 2 64x 150y 279 0

9x 2 4y 2 36x 24y 36 0

x 4 2 y 62

14

1

x 3 2

16

y 12

25

1

3x 2 7y 2 63

16x 2 y 2 16

8, 2.

0, 2

y 2;

4, 11.

3, 4,

0, 3,

y-

x

1 2 3

2

1

3

4

(4, 0)

(0, 0)

(2, 4)

y

x

−1 1

2

3

(2, 0)

(−2, 0)

(0, 4)

y

x 2

y 3

2, 2

0, 5

2, 1

3, 4

2, 1

5, 4

x 2 2x 8y 9 0

y 2 4x 4 0

y 1 6x 2 8x 6

y 2 x y 0

y 2 4y 8x 12 0

x 2 4x 4y 4 0

y 2 6y 8x 25 0

y 2 4y 4x 0

x 6 2 8y 7 0

x 5 y 3 2 0

x 2 6y 0

y 2 8x

x 2 2

9

y2

4 1

y 2

16 x2

1 1 x 2

16 y 2

16 1

x 2

4 y 2

9 1 x 2 2

16

y 12

4

1

x 4 2 2y 2

x 4 2 2y 2

y 2 4x

2

2 4 6

4

−4

−2

−2

y

y

−2

−6 2 6

−6

2

6

2

2 4 6

4

−4

−2

y

2

2 4

4

6

−4

−4

−6

−2

x

y

2

2 4

4

−4

y

y

−6

−8 2 4

−2

−4

4

6

8



8, 2.

0, 2

y 2;

x

1 2 3

2

1

3

4

(4, 0)

(0, 0)

(2, 4)

y

x

−1 1

2

3

(2, 0)

(−2, 0)

(0, 4)

y

x 2

2, 2

x 2 2x 8y 9 0

y 2 4x 4 0

y 1 6x 2 8x 6

y 2 x y 0

y 2 4y 8x 12 0

x 2 4x 4y 4 0

y 2 6y 8x 25 0

y 2 4y 4x 0



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.



9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.



17. 18.

19. 20.



Focus:

Focus:


Directrix:

Directrix:

25. 26.


and




29. 30.

31. 32.

33.

34.



35.

36.

37.

38.



Focus:

Eccentricity:

Vertex:








1, 6, 3, 2

3, 1, 4, 0

1, 2

0, 0

0, ±9

3, 1, 3, 9

6, 0

3

4

5, 0

0, 3, 8, 3

0, 0

2x 2 y 2 4.8x 6.4y 3.12 0

x 2 2y 2 3x 4y 0.25 0

36x 2 9y 2 48x 36y 43 0

12x 2 20y 2 12x 40y 37 0

16x 2 25y 2 64x 150y 279 0

9x 2 4y 2 36x 24y 36 0

x 4 2 y 62

14

1

x 3 2

16

y 12

25

1

3x 2 7y 2 63

16x 2 y 2 16

8, 2.

0, 2

y 2;

4, 11.

3, 4,

0, 3,

y-

x

1 2 3

2

1

3

4

(4, 0)

(0, 0)

(2, 4)

y

x

−1 1

2

3

(2, 0)

(−2, 0)

(0, 4)

y

x 2

y 3

2, 2

0, 5

2, 1

3, 4

2, 1

5, 4

x 2 2x 8y 9 0

y 2 4x 4 0

y 1 6x 2 8x 6

y 2 x y 0

y 2 4y 8x 12 0

x 2 4x 4y 4 0

y 2 6y 8x 25 0

y 2 4y 4x 0

x 6 2 8y 7 0

x 5 y 3 2 0

x 2 6y 0

y 2 8x

x 2 2

9

y2

4 1

y 2

16 x2

1 1 x 2

16 y 2

16 1

x 2

4 y 2

9 1 x 2 2

16

y 12

4

1

x 4 2 2y 2

x 4 2 2y 2

y 2 4x

2

2 4 6

4

−4

−2

−2

y

y

−2

−6 2 6

−6

2

6

2

2 4 6

4

−4

−2

y

2

2 4

4

6

−4

−4

−6

−2

x

y

2

2 4

4

−4

y

y

−6

−8 2 4

−2

−4

4

6

8





(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.



9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.



17. 18.

19. 20.



Focus:

Focus:


Directrix:

Directrix:

25. 26.


and




29. 30.

31. 32.

33.

34.



35.

36.

37.

38.



Focus:

Eccentricity:

Vertex:








1, 6, 3, 2

3, 1, 4, 0

1, 2

0, 0

0, ±9

3, 1, 3, 9

6, 0

3

4

5, 0

0, 3, 8, 3

0, 0

2x 2 y 2 4.8x 6.4y 3.12 0

x 2 2y 2 3x 4y 0.25 0

36x 2 9y 2 48x 36y 43 0

12x 2 20y 2 12x 40y 37 0

16x 2 25y 2 64x 150y 279 0

9x 2 4y 2 36x 24y 36 0

x 4 2 y 62

14

1

x 3 2

16

y 12

25

1

3x 2 7y 2 63

16x 2 y 2 16

8, 2.

0, 2

y 2;

4, 11.

3, 4,

0, 3,

y-

x

1 2 3

2

1

3

4

(4, 0)

(0, 0)

(2, 4)

y

x

−1 1

2

3

(2, 0)

(−2, 0)

(0, 4)

y

x 2

y 3

2, 2

0, 5

2, 1

3, 4

2, 1

5, 4

x 2 2x 8y 9 0

y 2 4x 4 0

y 1 6x 2 8x 6

y 2 x y 0

y 2 4y 8x 12 0

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1

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x 4 2 2y 2

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y

y

−2

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6

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2 4 6

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x

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2

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9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.



17. 18.

19. 20.



Focus:

Focus:


Directrix:

Directrix:

25. 26.


and




29. 30.

31. 32.

33.

34.



35.

36.

37.

38.



Focus:

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y 2;

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y-

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16

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1

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y

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(h)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.



9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.



17. 18.

19. 20.



Focus:

Focus:


Directrix:

Directrix:

25. 26.


and




29. 30.

31. 32.

33.

34.



35.

36.

37.

38.



Focus:

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y 2;

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y-

x

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16

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x 4 2 2y 2

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−4

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y

y

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17. 18.

19. 20.



Focus:

Focus:


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Directrix:

25. 26.


and




29. 30.

31. 32.

33.

34.



35.

36.

37.

38.



Focus:

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y 2;

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y-

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16

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1

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x 4 2 2y 2

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y

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25. 26.


and




29. 30.

31. 32.

33.

34.



35.

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38.



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y 2;

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y-

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16

y 12

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1

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x 4 2 2y 2

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y

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29. 30.

31. 32.

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34.



35.

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38.



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y 2;

4, 11.

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y-

x

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x 4 2 2y 2

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y

y

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1. 2.

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Focus:

Focus:


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Directrix:

25. 26.


and




29. 30.

31. 32.

33.

34.



35.

36.

37.

38.



Focus:

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14

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0, 2

y 2;

4, 11.

3, 4,

0, 3,

y-

x

1 2 3

2

1

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(2, 4)

y

x

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y 12

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1. 2.

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13. 14.

15. 16.



17. 18.

19. 20.



Focus:

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25. 26.


and




29. 30.

31. 32.

33.

34.



35.

36.

37.

38.



Focus:

Eccentricity:

Vertex:








1, 6, 3, 2

3, 1, 4, 0

1, 2

0, 0

0, ±9

3, 1, 3, 9

6, 0

3

4

5, 0

0, 3, 8, 3

0, 0

2x 2 y 2 4.8x 6.4y 3.12 0

x 2 2y 2 3x 4y 0.25 0

36x 2 9y 2 48x 36y 43 0

12x 2 20y 2 12x 40y 37 0

16x 2 25y 2 64x 150y 279 0

9x 2 4y 2 36x 24y 36 0

x 4 2 y 62

14

1

x 3 2

16

y 12

25

1

3x 2 7y 2 63

16x 2 y 2 16

8, 2.

0, 2

y 2;

4, 11.

3, 4,

0, 3,

y-

x

1 2 3

2

1

3

4

(4, 0)

(0, 0)

(2, 4)

y

x

−1 1

2

3

(2, 0)

(−2, 0)

(0, 4)

y

x 2

y 3

2, 2

0, 5

2, 1

3, 4

2, 1

5, 4

x 2 2x 8y 9 0

y 2 4x 4 0

y 1 6x 2 8x 6

y 2 x y 0

y 2 4y 8x 12 0

x 2 4x 4y 4 0

y 2 6y 8x 25 0

y 2 4y 4x 0

x 6 2 8y 7 0

x 5 y 3 2 0

x 2 6y 0

y 2 8x

x 2 2

9

y2

4 1

y 2

16 x2

1 1 x 2

16 y 2

16 1

x 2

4 y 2

9 1 x 2 2

16

y 12

4

1

x 4 2 2y 2

x 4 2 2y 2

y 2 4x

2

2 4 6

4

−4

−2

−2

y

y

−2

−6 2 6

−6

2

6

x

y

−1

−3 1 3

−2

1

2

2

2 4 6

4

−4

−2

y

2

2 4

4

6

−4

−4

−6

−2

x

y

2

2 4

4

−4

y

y

−6

−8 2 4

−2

−4

4

6

8





(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.



9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.



17. 18.

19. 20.



Focus:

Focus:


Directrix:

Directrix:

25. 26.


and




29. 30.

31. 32.

33.

34.



35.

36.

37.

38.



Focus:

Eccentricity:

Vertex:








1, 6, 3, 2

3, 1, 4, 0

1, 2

0, 0

0, ±9

3, 1, 3, 9

6, 0

3

4

5, 0

0, 3, 8, 3

0, 0

2x 2 y 2 4.8x 6.4y 3.12 0

x 2 2y 2 3x 4y 0.25 0

36x 2 9y 2 48x 36y 43 0

12x 2 20y 2 12x 40y 37 0

16x 2 25y 2 64x 150y 279 0

9x 2 4y 2 36x 24y 36 0

x 4 2 y 62

14

1

x 3 2

16

y 12

25

1

3x 2 7y 2 63

16x 2 y 2 16

8, 2.

0, 2

y 2;

4, 11.

3, 4,

0, 3,

y-

x

1 2 3

2

1

3

4

(4, 0)

(0, 0)

(2, 4)

y

x

−1 1

2

3

(2, 0)

(−2, 0)

(0, 4)

y

x 2

y 3

2, 2

0, 5

2, 1

3, 4

2, 1

5, 4

x 2 2x 8y 9 0

y 2 4x 4 0

y 1 6x 2 8x 6

y 2 x y 0

y 2 4y 8x 12 0

x 2 4x 4y 4 0

y 2 6y 8x 25 0

y 2 4y 4x 0

x 6 2 8y 7 0

x 5 y 3 2 0

x 2 6y 0

y 2 8x

x 2 2

9

y2

4 1

y 2

16 x2

1 1 x 2

16 y 2

16 1

x 2

4 y 2

9 1 x 2 2

16

y 12

4

1

x 4 2 2y 2

x 4 2 2y 2

y 2 4x

2

2 4 6

4

−4

−2

−2

y

y

−2

−6 2 6

−6

2

6

x

y

−4 −2

−8 2 4

−8

−6

−4

4

2

2

2 4 6

4

−4

−2

y

2

2 4

4

6

−4

−4

−6

−2

x

y

2

2 4

4

−4

y

y

−6

−8 2 4

−2

−4

4

6

8



x

2

2 4 6

4

−4

−2

y

2

2 4

4

6

−4

−4

−6

−2

x

y

x

2

2 4

4

−4

y



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.



9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.



17. 18.

19. 20.



Focus:

Focus:


Directrix:

Directrix:

25. 26.


and




29. 30.

31. 32.

33.

34.



35.

36.

37.

38.



Focus:

Eccentricity:

Vertex:








1, 6, 3, 2

3, 1, 4, 0

1, 2

0, 0

0, ±9

3, 1, 3, 9

6, 0

3

4

5, 0

0, 3, 8, 3

0, 0

2x 2 y 2 4.8x 6.4y 3.12 0

x 2 2y 2 3x 4y 0.25 0

36x 2 9y 2 48x 36y 43 0

12x 2 20y 2 12x 40y 37 0

16x 2 25y 2 64x 150y 279 0

9x 2 4y 2 36x 24y 36 0

x 4 2 y 62

14

1

x 3 2

16

y 12

25

1

3x 2 7y 2 63

16x 2 y 2 16

8, 2.

0, 2

y 2;

4, 11.

3, 4,

0, 3,

y-

x

1 2 3

2

1

3

4

(4, 0)

(0, 0)

(2, 4)

y

x

−1 1

2

3

(2, 0)

(−2, 0)

(0, 4)

y

x 2

y 3

2, 2

0, 5

2, 1

3, 4

2, 1

5, 4

x 2 2x 8y 9 0

y 2 4x 4 0

y 1 6x 2 8x 6

y 2 x y 0

y 2 4y 8x 12 0

x 2 4x 4y 4 0

y 2 6y 8x 25 0

y 2 4y 4x 0

x 6 2 8y 7 0

x 5 y 3 2 0

x 2 6y 0

y 2 8x

x 2 2

9

y2

4 1

y 2

16 x2

1 1 x 2

16 y 2

16 1

x 2

4 y 2

9 1 x 2 2

16

y 12

4

1

x 4 2 2y 2

x 4 2 2y 2

y 2 4x

2

2 4 6

4

−4

−2

−2

y

y

−2

−6 2 6

−6

2

6

2

2 4 6

4

−4

−2

y

2

2 4

4

6

−4

−4

−6

−2

x

y

2

2 4

4

−4

y

x

y

−6

−8 2 4

−2

−4

4

6

8



10.1 Ejercicios



hipérbola, y trazar su gráfica usando las asíntotas como ayuda.

45. 46.

47. 48.

49.

50.

51.

52.


hipérbola. Trazar la hipérbola y sus asíntotas con ayuda de una

herramienta de graficación.

53.

54.

55.

56.

En los ejercicios 57 a 64, hallar una ecuación de la hipérbola.

57. Vértice: 58. Vértice: (0, 4)

Asíntota: y 5x

Asíntota: y 2x

59. Vértice: 60. Vértice:

Punto de una gráfica:

Foco:

61. Centro: 62. Centro:

Vértice: Vértice: (6, 0)

Foco: Foco: (10, 0)

63. Vértices: 64. Foco: (20, 0)

Asíntota:

Asíntota:

En los ejercicios 65 y 66, hallar ecuaciones de a) las rectas tangentes

y b) las rectas normales a la hipérbola para el valor dado

de x.

65. 66.

En los ejercicios 67 a 76, clasificar la gráfica de la ecuación como

circunferencia, parábola, elipse o hipérbola.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

81. Recolector o panel de energía solar Un recolector o panel de

energía solar para calentar agua se construye con una hoja de

acero inoxidable en forma de parábola (ver la figura). El agua

fluye a través de un tubo situado en el foco de la parábola. ¿A

qué distancia del vértice se encuentra el tubo?

Figura para 81 Figura para 82

82. Deformación de una viga Una viga de 16 metros de longitud

soporta una carga que se concentra en el centro (ver la figura).

La viga se deforma en la parte central 3 centímetros. Suponer

que, al deformarse, la viga adquiere la forma de una parábola.

a) Encontrar una ecuación de la parábola. (Suponer que el origen

está en el centro de la parábola.)

b) ¿A qué distancia del centro de la viga es de 1 centímetro la

deformación producida?

83. Hallar una ecuación de la recta tangente a la parábola

en

Demostrar que la intersección de esta recta tangente

con el eje x es

84. a) Demostrar que dos rectas tangentes distintas cualesquiera a

una parábola se cortan o intersecan.

b) Ilustrar el resultado del inciso a) hallando el punto de intersección

de las rectas tangentes a la parábola

en los puntos

y

85. a) Demostrar que si dos rectas tangentes a una parábola se cortan

o intersecan en ángulos rectos, su punto de intersección

debe estar en la directriz.

b) Ilustrar el resultado del inciso a) probando que las

rectas tangentes a la parábola

en los

puntos y se cortan en ángulo recto y que el

punto de intersección se encuentra en la directriz.

3, 5 4

2, 5

x 2 4x 4y 8 0

6, 3.

0, 0

4y 0

x 2 4x

x 0 2, 0.

x x 0 .

y ax 2

3 cm

16 m

No está dibujado a escala

1 m

6 m

9x 3 2 36 4y 2 2

3x 1 2 6 2y 1 2

2xx y y3 y 2x

9x 2 9y 2 36x 6y 34 0

y 2 4y x 5

4x 2 4y 2 16y 15 0

25x 2 10x 200y 119 0


hyperbola, and sketch its graph using asymptotes as an aid.

45. 46.

47. 48.

49.

50.

51.

52.

In Exercises 53 –56, find the center, foci, and vertices of the

hyperbola. Use a graphing utility to graph the hyperbola and its

asymptotes.

53.

54.

55.

56.

In Exercises 57– 64, find an equation of the hyperbola.

57. Vertices: 58. Vertices:

Asymptotes:

Asymptotes:


Point on graph:

Foci:


Vertex:

Vertex:

Focus:

Focus:

63. Vertices: 64. Focus:

Asymptotes:

Asymptotes:

In Exercises 65 and 66, find equations for (a) the tangent lines

and (b) the normal lines to the hyperbola for the given value

of

65. 66.

In Exercises 67–76, classify the graph of the equation as a

circle, a parabola, an ellipse, or a hyperbola.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

81. Solar Collector A solar collector for heating water is

constructed with a sheet of stainless steel that is formed into

the shape of a parabola (see figure). The water will flow

through a pipe that is located at the focus of the parabola. At

what distance from the vertex is the pipe?

Figure for 81 Figure for 82

82. Beam Deflection A simply supported beam that is 16 meters

long has a load concentrated at the center (see figure). The

deflection of the beam at its center is 3 centimeters. Assume

that the shape of the deflected beam is parabolic.

(a) Find an equation of the parabola. (Assume that the origin is

at the center of the beam.)

(b) How far from the center of the beam is the deflection

1 centimeter?

83. Find an equation of the tangent line to the parabola at

Prove that the

intercept of this tangent line is

84. (a) Prove that any two distinct tangent lines to a parabola

intersect.

(b) Demonstrate the result of part (a) by finding the point

of intersection of the tangent lines to the parabola

at the points

and

85. (a) Prove that if any two tangent lines to a parabola intersect at

right angles, their point of intersection must lie on the

directrix.

(b) Demonstrate the result of part (a) by proving that the

tangent lines to the parabola

at the

points and intersect at right angles, and that

the point of intersection lies on the directrix.

3, 5 4

2, 5

x 2 4x 4y 8 0

6, 3.

0, 0

x 2 4x 4y 0

x 0 2, 0.

x-

x x 0 .

y ax 2

3 cm

16 m

Not drawn to scale

1 m

6 m

9x 3 2 36 4y 2 2

3x 1 2 6 2y 1 2

2xx y y3 y 2x

9x 2 9y 2 36x 6y 34 0

y 2 4y x 5

4x 2 4y 2 16y 15 0

25x 2 10x 200y 119 0

y 2 8y 8x 0

4x 2 y 2 4x 3 0

x 2 4y 2 6x 16y 21 0

x 4

y 2

4 x2

2 1,

x 6

x 2

9 y 2 1,

x.

y 4 2 3x

y ± 3 4x

y 2 3x

20, 0

0, 2, 6, 2

10, 0

0, 4

6, 0

0, 2

0, 0

0, 0

2, ±5

0, 5

2, ±3

2, ±3

y ±2x

y ±5x

0, ±4

±1, 0

3y 2 x 2 6x 12y 0

3x 2 2y 2 6x 12y 27 0

9x 2 y 2 54x 10y 55 0

9y 2 x 2 2x 54y 62 0

9x 2 4y 2 54x 8y 78 0

x 2 9y 2 2x 54y 80 0

y 2 16x 2 64x 208 0

9x 2 y 2 36x 6y 18 0

y 3 2

225

x 52

64

1

x 1 2

4

y 22

1

1

x 2

25 y 2

16 1

y 2 x2

9 1 10.1 Conics and Calculus 707

77. (a) Give the definition of a parabola.

(b) Give the standard forms of a parabola with vertex at

(c) In your own words, state the reflective property of a

parabola.

78. (a) Give the definition of an ellipse.

(b) Give the standard forms of an ellipse with center at

79. (a) Give the definition of a hyperbola.

(b) Give the standard forms of a hyperbola with center at

(c) Write equations for the asymptotes of a hyperbola.

80. Define the eccentricity of an ellipse. In your own words,

describe how changes in the eccentricity affect the ellipse.

h, k.

h, k.

h, k.

WRITING ABOUT CONCEPTS

4x 2 y 2 4x 3 0

x 2 4y 2 6x 16y 21 0

x 4

y 2

4 x2

2 1,

x 6

x 2

9 y 2 1,

y 4 2 3x

y ± 3 4x

y 2 3x

0, 2, 6, 2

0, 4

0, 2

0, 0

0, 0

2, ±5

0, 5

2, ±3

2, ±3

±1, 0

3y 2 x 2 6x 12y 0

3x 2 2y 2 6x 12y 27 0

9x 2 y 2 54x 10y 55 0

9y 2 x 2 2x 54y 62 0

9x 2 4y 2 54x 8y 78 0

x 2 9y 2 2x 54y 80 0



45. 46.

47. 48.

49.

50.

51.

52.



asymptotes.

53.

54.

55.

56.



Asymptotes:

Asymptotes:


Point on graph:

Foci:


Vertex:

Vertex:

Focus:

Focus:


Asymptotes:

Asymptotes:



of

65. 66.



67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.














1 centimeter?


Prove that the



intersect.



at the points

and



directrix.



at the



3, 5 4

2, 5

x 2 4x 4y 8 0

6, 3.

0, 0

x 2 4x 4y 0

x 0 2, 0.

x-

x x 0 .

y ax 2

3 cm

16 m

Not drawn to scale

1 m

6 m

9x 3 2 36 4y 2 2

3x 1 2 6 2y 1 2

2xx y y3 y 2x

9x 2 9y 2 36x 6y 34 0

y 2 4y x 5

4x 2 4y 2 16y 15 0

25x 2 10x 200y 119 0

y 2 8y 8x 0

4x 2 y 2 4x 3 0

x 2 4y 2 6x 16y 21 0

x 4

y 2

4 x2

2 1,

x 6

x 2

9 y 2 1,

x.

y 4 2 3x

y ± 3 4x

y 2 3x

20, 0

0, 2, 6, 2

10, 0

0, 4

6, 0

0, 2

0, 0

0, 0

2, ±5

0, 5

2, ±3

2, ±3

y ±2x

y ±5x

0, ±4

±1, 0

3y 2 x 2 6x 12y 0

3x 2 2y 2 6x 12y 27 0

9x 2 y 2 54x 10y 55 0

9y 2 x 2 2x 54y 62 0

9x 2 4y 2 54x 8y 78 0

x 2 9y 2 2x 54y 80 0

y 2 16x 2 64x 208 0

9x 2 y 2 36x 6y 18 0

y 3 2

225

x 52

64

1

x 1 2

4

y 22

1

1

x 2

25 y 2

16 1

y 2 x2





parabola.








h, k.

h, k.

h, k.


9x 2 y 2 36x 6y 18 0



45. 46.

47. 48.

49.

50.

51.

52.



asymptotes.

53.

54.

55.

56.



Asymptotes:

Asymptotes:


Point on graph:

Foci:


Vertex:

Vertex:

Focus:

Focus:


Asymptotes:

Asymptotes:



of

65. 66.



67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.














1 centimeter?


Prove that the



intersect.



at the points

and



directrix.



at the



3, 5 4

2, 5

x 2 4x 4y 8 0

6, 3.

0, 0

x 2 4x 4y 0

x 0 2, 0.

x-

x x 0 .

y ax 2

3 cm

16 m

Not drawn to scale

1 m

6 m

9x 3 2 36 4y 2 2

3x 1 2 6 2y 1 2

2xx y y3 y 2x

9x 2 9y 2 36x 6y 34 0

y 2 4y x 5

4x 2 4y 2 16y 15 0

25x 2 10x 200y 119 0

y 2 8y 8x 0

4x 2 y 2 4x 3 0

x 2 4y 2 6x 16y 21 0

x 4

y 2

4 x2

2 1,

x 6

x 2

9 y 2 1,

x.

y 4 2 3x

y ± 3 4x

y 2 3x

20, 0

0, 2, 6, 2

10, 0

0, 4

6, 0

0, 2

0, 0

0, 0

2, ±5

0, 5

2, ±3

2, ±3

y ±2x

y ±5x

0, ±4

±1, 0

3y 2 x 2 6x 12y 0

3x 2 2y 2 6x 12y 27 0

9x 2 y 2 54x 10y 55 0

9y 2 x 2 2x 54y 62 0

9x 2 4y 2 54x 8y 78 0

x 2 9y 2 2x 54y 80 0

y 2 16x 2 64x 208 0

9x 2 y 2 36x 6y 18 0

y 3 2

225

x 52

64

1

x 1 2

4

y 22

1

1

x 2

25 y 2

16 1

y 2 x2





parabola.








h, k.

h, k.

h, k.


x 1 2

4

y 22

1

1



45. 46.

47. 48.

49.

50.

51.

52.



asymptotes.

53.

54.

55.

56.



Asymptotes:

Asymptotes:


Point on graph:

Foci:


Vertex:

Vertex:

Focus:

Focus:


Asymptotes:

Asymptotes:



of

65. 66.



67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.














1 centimeter?


Prove that the



intersect.



at the points

and



directrix.



at the



3, 5 4

2, 5

x 2 4x 4y 8 0

6, 3.

0, 0

x 2 4x 4y 0

x 0 2, 0.

x-

x x 0 .

y ax 2

3 cm

16 m

Not drawn to scale

1 m

6 m

9x 3 2 36 4y 2 2

3x 1 2 6 2y 1 2

2xx y y3 y 2x

9x 2 9y 2 36x 6y 34 0

y 2 4y x 5

4x 2 4y 2 16y 15 0

25x 2 10x 200y 119 0

y 2 8y 8x 0

4x 2 y 2 4x 3 0

x 2 4y 2 6x 16y 21 0

x 4

y 2

4 x2

2 1,

x 6

x 2

9 y 2 1,

x.

y 4 2 3x

y ± 3 4x

y 2 3x

20, 0

0, 2, 6, 2

10, 0

0, 4

6, 0

0, 2

0, 0

0, 0

2, ±5

0, 5

2, ±3

2, ±3

y ±2x

y ±5x

0, ±4

±1, 0

3y 2 x 2 6x 12y 0

3x 2 2y 2 6x 12y 27 0

9x 2 y 2 54x 10y 55 0

9y 2 x 2 2x 54y 62 0

9x 2 4y 2 54x 8y 78 0

x 2 9y 2 2x 54y 80 0

y 2 16x 2 64x 208 0

9x 2 y 2 36x 6y 18 0

y 3 2

225

x 52

64

1

x 1 2

4

y 22

1

1

x 2

25 y 2

16 1

y 2 x2





parabola.








h, k.

h, k.

h, k.




45. 46.

47. 48.

49.

50.

51.

52.



asymptotes.

53.

54.

55.

56.



Asymptotes:

Asymptotes:


Point on graph:

Foci:


Vertex:

Vertex:

Focus:

Focus:


Asymptotes:

Asymptotes:



of

65. 66.



67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.














1 centimeter?


Prove that the



intersect.



at the points

and



directrix.



at the



3, 5 4

2, 5

x 2 4x 4y 8 0

6, 3.

0, 0

x 2 4x 4y 0

x 0 2, 0.

x-

x x 0 .

y ax 2

3 cm

16 m

Not drawn to scale

1 m

6 m

9x 3 2 36 4y 2 2

3x 1 2 6 2y 1 2

2xx y y3 y 2x

9x 2 9y 2 36x 6y 34 0

y 2 4y x 5

4x 2 4y 2 16y 15 0

25x 2 10x 200y 119 0

y 2 8y 8x 0

4x 2 y 2 4x 3 0

x 2 4y 2 6x 16y 21 0

x 4

y 2

4 x2

2 1,

x 6

x 2

9 y 2 1,

x.

y 4 2 3x

y ± 3 4x

y 2 3x

20, 0

0, 2, 6, 2

10, 0

0, 4

6, 0

0, 2

0, 0

0, 0

2, ±5

0, 5

2, ±3

2, ±3

y ±2x

y ±5x

0, ±4

±1, 0

3y 2 x 2 6x 12y 0

3x 2 2y 2 6x 12y 27 0

9x 2 y 2 54x 10y 55 0

9y 2 x 2 2x 54y 62 0

9x 2 4y 2 54x 8y 78 0

x 2 9y 2 2x 54y 80 0

y 2 16x 2 64x 208 0

9x 2 y 2 36x 6y 18 0

y 3 2

225

x 52

64

1

x 1 2

4

y 22

1

1

x 2

25 y 2

16 1

y 2 x2





parabola.








h, k.

h, k.

h, k.



77. a) Dar la definición de parábola.

b) Dar las formas estándar o canónicas de una parábola con

vértice en

c) Expresar, con sus propias palabras, la propiedad de reflexión

de una parábola.

78. a) Dar la definición de elipse.

b) Dar las formas estándar o canónicas de una elipse con

centro en

79. a) Dar la definición de hipérbola.

b) Dar las formas estándar o canónicas de una hipérbola con

centro en

c) Dar las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola.

80. Definir la excentricidad de una elipse. Describir, con sus

propias palabras, cómo afectan a la elipse las variaciones en

la excentricidad.

h, k.

h, k.

h, k.

708 CAPÍTULO Chapter 10 10Conics, Cónicas, Parametric ecuaciones Equations, paramétricas and Polar y coordenadas Coordinates polares

86. Find Sobre the la gráfica point on de the x 2 graph 8y hallar of x 2

el punto 8y that más is cercano closest to al foco the

focus de la parábola. of the parabola.

87. Radio Recepción and de Television radio y televisión ReceptionEn In las mountainous áreas montañosas, areas, la

reception recepción of de radio and y televisión television suele is sometimes ser deficiente. poor. Consider Considerar

idealized un caso case idealizado where a en hill el is represented que la gráfica by the de graph la parábola of the

an

parabola y x xy 2 , representa x x 2 , una a transmitter colina, en el is punto located (1, at 1) the se localiza

1, un 1 transmisor, , and a receiver y al otro is located lado de on la the colina, other en side el of punto the hill (x 0

point

, at 0),

the se encuentra point x 0 , un 0 . receptor. What is ¿Qué the closest tan cerca the receiver de la colina can puede be to the ubicarse

while el receptor still maintaining para que la unobstructed señal se reception? obstruya?

hill

88. Modeling Modelo matemático Data The La table tabla shows siguiente the average muestra las amounts cantidades of time promedio

(in minutes) A de tiempo women (en minutos) spent watching por día television que las mujeres each day dedicaron for thea

years ver la 1999 televisión through de 1999 2005. a 2005. (Source: (Fuente: Nielsen Nielsen Media Media Research)

A Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

A 280 286 291 298 305 307 317

(a) Emplear Use the las regression funciones capabilities de regresión of de a graphing una herramienta utility to de find graficación

a model para of the hallar form un Amodelo at 2 de la bt forma c for A the at data. 2 bt Let tc

para represent los datos, the year, donde with t represente t 9 corresponding el año y t to 9 1999. corresponda

(b)

a

Use

1999.

a graphing utility to plot the data and graph the model.

b) Emplear una herramienta de graficación para representar los

(c) Find dA dt and sketch its graph for 9 t 15. What

datos y la gráfica del modelo.

information about the average amount of time women

c) Hallar spent watching dAdt y dibujar television su gráfica is given para by 9 the graph t 15. of ¿Qué the

información derivative? acerca de la cantidad promedio de tiempo que

las mujeres dedicaron a ver televisión proporciona la gráfica

89. Architecture A church window is bounded above by a

de la derivada?

parabola and below by the arc of a circle (see figure). Find the

89.

surface

Arquitectura

area of the

El ventanal

window.

de una iglesia está limitado en la

parte superior por una parábola, y en la parte inferior por el arco

de una 8 circunferencia ft

(ver la figura). Hallar el área de la superficie

del ventanal.

Parabolic

4 ft supporting cable

(60, 20)

8 pies

Cable parabólico y

Circle 4 pies de sujeción

(60, 20)

x

8 ft

radius

Radio

8 pies

de la

Figure for circunferencia 89 Figure for 91

90. Arc Length Find the arc length of the parabola 4x y 2 0

Figura over para the interval 89 0 y Figura 4. para 91

91. 90. Bridge Longitud Design de arcoA cable Hallar of la a suspension longitud de bridge arco de is la suspended parábola

(in 4x the y 2 shape 0 en of el a parabola) intervalo 0 between y 4. two towers that are 120

91. meters Diseño apart de un and puente 20 meters El cable above de the un roadway puente colgante (see figure). está The suspendido

touch (formando the roadway una parábola) midway de between dos torres the a towers. 120 metros una

cables

(a) de la Find otra an y equation a 20 metros for de the altura parabolic sobre shape la autopista. of each cable. Los cables

(b) tocan Find la autopista the length en of el the punto parabolic medio supporting entre ambas cable. torres.

92. Surface a) Hallar Area la ecuación A satellite para la signal forma receiving parabólica dish de is cada formed cable. by

revolving b) Hallar the la longitud parabola del given cable by parabólico x 2 20y about de suspensión. the y-axis. The

92. radius Área de of una the dish superficie is r feet. Un Verify receptor that the de surface una antena area satelital of the

dish se forma is given por byrevolución alrededor del eje y de la parábola

x 2 r

20y. El radio del plato es r pies. Verificar que el área de la

x

2

2superficie x del 1 plato está dx dada por

10 15 100 r2 32 1000 .

0

2

r

0

10 2 93. Investigation Sketch the dx graphs 15 100 of x2

r2 32 for p 1000.

1 1 3

4py 1 4 , 2 , 1, 2 ,

and 2 on the same coordinate axes. Discuss the change in the

93. graphs Investigación as p increases. En el mismo eje de coordenadas trazar las gráficas

de x2 4py con p 1 4 , 2 , 1, 2 , y 2. Analizar la variación

1 3

que se presenta en las gráficas a medida que p aumenta.

x 1

x

x

94. Área Area Hallar Find a una formula fórmula for the para area el área of the de shaded la región region sombreada in the

de figure. la figura.

y

y

y

x 2 2 = 4py

4

4py

4

h

x

1

1

−2 −1

−2 −1

1

1

2

2

3

3



95. Writing On page 699, it was noted that an ellipse can be

95. Redacción drawn using En two la thumbtacks, página 699 a se string señaló of que fixed se puede length trazar (greater una

elipse than the usando distance dos between alfileres, the una tacks), cuerda and de a longitud pencil. If fija the (mayor ends of a

la the distancia string are entre fastened los dos at the alfileres) tacks and y un the lápiz. string Si is los drawn extremos taut

de with la a cuerda pencil, se the sujetan path traced a los alfileres by the pencil y se tensa will be la an cuerda ellipse. con el

lápiz, la trayectoria que recorre el lápiz es una elipse.

(a) What is the length of the string in terms of a?

a) ¿Cuál es la longitud de la cuerda en términos de a?

(b) Explain why the path is an ellipse.

b) Explicar por qué la trayectoria trazada por el lápiz es una

96. Construction of a Semielliptical Arch A fireplace arch is to be

elipse.

constructed in the shape of a semiellipse. The opening is to have

96. Construcción a height of 2 feet de un at arco the center semielíptico and a width Se va of a 5 construir feet along el the arco

de base una (see chimenea figure). en The forma contractor de una draws semielipse. the outline El claro of the debe ellipse tener

2 by pies the de method altura shown en el centro in Exercise y 5 pies 95. Where de ancho should en la the base tacks (ver bela

figura). placed and El constructor what should bosqueja be the length el perfil of the de la piece elipse of string? siguiendo el

método mostrado en el ejercicio 95. ¿Dónde deben colocarse los

97. Sketch the ellipse that consists of all points x, y such that the

alfileres y cuál debe ser la longitud del trozo de cuerda?

sum of the distances between x, y and two fixed points is

97. Trazar 16 units, la elipse and the que foci consta are located de todos at los the puntos centers (x, of y) the tales two que setsla

suma of concentric de las distancias circles in entre the figure. (x, y) y To dos print puntos an enlarged fijos es 16 copy unidades,

the graph, y los focos go to se the localizan website en www.mathgraphs.com.

los centros de los dos conjuntos de

of

circunferencias concéntricas que se muestran en la figura.

16 17

13

14

15

11

12 16 17

14

15

8 9 10

12

13

7 11

5 6 8 9 10

3 7

1 2 4

5 6

3

1 2 4

1

3 2

5

4

1

3 2

9 8 7

6

5

4

11

10

9 8 7

6

14

13

12

15 11

10

17 16 14

13

12

15

17 16

98. Orbit of Earth Earth moves in an elliptical orbit with the

98. sun Órbita at one de of la Tierra the foci. La The Tierra length se of mueve half of en the una major órbita axis elíptica is

149,598,000 con el Sol en kilometers, uno de los and focos. the La eccentricity longitud de is la 0.0167. mitad del Findeje

the mayor minimum es 149 distance 598 000 (perihelion) kilómetros y and la the excentricidad maximum es distance 0.0167.

(aphelion) Hallar la distancia of Earth from mínima the sun. (perihelio) y la distancia máxima

99. Satellite (afelio) entre Orbitla The Tierra apogee y el Sol. (the point in orbit farthest from

99. Earth) Órbita and de un the satélite perigee (the El apogeo point in (el orbit punto closest de la órbita to Earth) más ofle-

jano elliptical a la Tierra) orbit y of el an perigeo Earth (el satellite punto are de la given órbita by más A and cercano P.

Show a la Tierra) that the de eccentricity la órbita elíptica of the de orbit un is satélite de la Tierra están

dados por A y P. Mostrar que la excentricidad de la órbita es

A P

e

e

A P .

A P . 100. Explorer 18 On November 27, 1963, the United States

100. launched Explorer the 18research El 27 de satellite noviembre Explorer de 1963, 18. Its Estados low and Unidos high

points lanzó above el Explorer the surface 18. Sus of puntos Earth were bajo 119 y alto miles sobre and la 123,000 superficie

miles. de la Find Tierra the fueron eccentricity 119 millas of its y elliptical 123 000 orbit. millas, respectivamente.

Hallar la excentricidad de su órbita elíptica.

x

x

elipse

103. El cometa Halley Quizás el más conocido de todos los cometas,

Halley’s el cometa Comet Halley, Probably tiene una the órbita most elíptica famous con of el all Sol comets, vés

ellipse en at un a point punto P

makes forma ángulos equal angles iguales with con lines las rectas through a tra-

P

103. en uno

and de the Pfoci y de (see los figure). focos (ver [Hint: la figura). (1) Find [Sugerencia: the slope of 1) the encontrar

tangent

la line pendiente at P, (2) de find la recta the tangente slopes of en the P, lines 2) encontrar through las P and tan-

de Halley’s sus focos. comet, Se estima has an que elliptical su distancia orbit máxima with the al sun Sol at es one de

35.29 focus. UA Its (unidad maximum astronómica distance from gentes de las rectas a través de P y cada uno de los focos y 3)

92.956 the sun 10 is 6 approximately

millas) y que

each focus, and (3) use the formula for the tangent of the angle

su 35.29 distancia AU (1 mínima astronomical es de 0.59 unit UA. 92.956 Hallar la excentricidad 10 6 miles), and usar

de

between la fórmula two lines.] de la tangente del ángulo entre dos rectas.]

la its órbita. minimum distance is approximately 0.59 AU. Find the

y

y

eccentricity of the orbit.

x 104. La ecuación de una elipse con centro en el origen puede expresarse

The equation of an ellipse with its center at the origin can be a 2 +

2 y 2

Tangent Recta

104. b 2 = 1

line tangente

written as

(x , )

(0, 10)

x 2

a y 2

P = (x 0 , y 0 ) (−a, 0)

2 a 2 1 e 2 1. β

x 2

α

(a, 0)

x

Mostrar

a y 2

2 a 2 que

1

cuando

e 2 1. e → 0, y a permanece constante, la elipse

Show se aproxima that as a e una → circunferencia.

0, with a remaining fixed, the ellipse

(0, −10)

x

(−c, (−c, 0) 0) (c, (c, 0) 0)

SECCIÓN 10.1 10.1Conics Cónicas and Calculus y cálculo 709 709

101. Explorer 55 55 El On 20 November de noviembre 20, de 1975, 1975, the Estados United Unidos States Área 108. 9x y volumen 4y 2 En 36xlos ejercicios 24y 36109 0y 110, hallar a) el área de

lanzó launched el satélite the research de investigación satellite Explorer 55. 55. Its Sus low puntos and high bajo la región limitada por la elipse, b) el volumen y el área de la

y points alto sobre above la the superficie surface de of la Earth Tierra were fueron 96 miles de 96 and millas 1865 y

1miles. 865 millas. Find the Encontrar eccentricity la excentricidad of its elliptical de su orbit. órbita elíptica.

superficie Area and Volume del sólido In generado Exercises por 109 revolución and 110, find de (a) la región the area alrededor

the region de su bounded eje mayor by (esferoide the ellipse, prolato), (b) the volume y c) el volumen and surface y el

of

área area de of the la superficie solid generated del sólido by revolving generado the por region revolución about de its la

Para CAPSTONE discusión

región major alrededor axis (prolate de su spheroid), eje menor and (esferoide (c) the volume oblato). and surface

102. Considerar the la ecuación equation

area of the

x

109.

4 y solid generated by revolving the region about its

minor axis (oblate 2

1 1 spheroid).

9x 2 4y 2 36x 24y 36 0.

Clasificar la gráfica de la ecuación como un círculo,

x

(a) Classify the graph of the equation as a circle, a parabola,

110. 109. 16 una parábola, una elipse o una hipérbola.

4 y 2

19 1

an ellipse, or a hyperbola.

x

110.

16 y 2

9 1

(b) Cambiar Change the el 4y término -term in 4y 2 the en equation la ecuación to 4ypor 2 . Classify 4y 2 . 111. Longitud de arco Usar las funciones de integración de una

111. Arc Length Use the integration capabilities of a graphing

Clasificar the graph la of gráfica the new de equation. la nueva ecuación.

herramienta de graficación para aproximar, con una precisión

utility to approximate to two-decimal-place accuracy the

de dos cifras decimales, la integral elíptica que representa el

(c) Cambiar Change el the término 9x 2 -term 9x 2 in en the la ecuación original original equation por to

4x 2 .

elliptical integral representing the circumference of the ellipse

perímetro de la elipse

Clasificar Classify the la gráfica graph of de the la nueva new equation. ecuación.

x 2

Describir una manera en que se podría cambiar la ecua-

25 y 2

(d) Describe one way you could change the original

49 1. ción equation original so para that its que graph su gráfica is a parabola. fuera una parábola.

112. Probar Prove Theorem el teorema 10.4 10.4 by mostrando showing that que la the recta tangent tangente line to a una an

x 2


100 y2

25 1. Figure for 112 Figure for 113

x 2

100 y2

25 1. 113. Geometría Geometry The El área area de of la the elipse ellipse presentada in the figure en la is figura twice es the el

La partícula abandona la órbita en el punto 8, 3 y viaja a lo doble area of del the área circle. del What círculo. is ¿Qué the length longitud of the tiene major el eje axis? mayor?

largo The particle de una recta leaves tangente the orbit a at la the elipse. point ¿En 8, qué 3punto and travels cruzará in

Conjetura

la a partícula straight line el eje tangent y? to the ellipse. At what point will the 114. Conjecture

particle cross the y-axis?

a) (a) Mostrar Show that que the la ecuación equation de of una an ellipse elipse puede can be expresarse written ascomo

106. Volumen El tanque de agua de un carro de bomberos mide 16

106. pies Volume de largo, The y water sus secciones tank a transversales fire truck is 16 son feet elipses. long, and Hallar its

x x h h 2 y k2

y k2

el cross volumen sections de agua are ellipses. que hay Find en el the tanque volume cuando of water está parcialmente

partially lleno filled como tank se as muestra shown en in la the figura. figure.

in the

a 1 a 2 1 e 2 1.

b) (b) Mediante Use a graphing una herramienta utility to graph de graficación, the ellipse representar la

elipse

105. Considerar approaches una a circle. partícula que se mueve en el sentido de las

105. manecillas Consider a del particle reloj siguiendo traveling clockwise la trayectoria on the elíptica elliptical path

x 2 2 y 32

x 2 2

4 y 32

41 e 2

4 41 e 2 1

5 pies

for e 0.95, e 0.75, e 0.5, e 0.25, and e 0.

3 pies

para e 0.95, e 0.75, e 0.5, e 0.25, y e 0.

(c) Use the results of part (b) to make a conjecture about the

c) Usar change los in resultados the shape del of the inciso ellipse b) para as e hacer approaches una conjetura 0.

acerca de la variación en la forma de la elipse a medida que

9 pies

115. Find an equation of the hyperbola such that for any point on

e se aproxima a 0.

the hyperbola, the difference between its distances from the

In Exercises 107 and 108, determine the points at which dy/dx is

En los ejercicios 107 y 108, determinar los puntos en los que 115. Hallar points 2, una 2ecuación and 10, de 2 la is hipérbola 6. tal que, para todo punto,

zero or does not exist to locate the endpoints of the major and

dy/dx es cero, o no existe, para localizar los extremos de los ejes la diferencia entre sus distancias a los puntos (2, 2) y (10, 2)

minor axes of the ellipse.

116. Find an equation of the hyperbola such that for any point on

mayor y menor de la elipse.

sea 6.

the hyperbola, the difference between its distances from the

107. 16x 2 9y 2 96x 36y 36 0

116. Hallar una ecuación de la hipérbola tal que, para todo punto, la

107. 16x 2 9y 2 points 3, 0 and 3, 3 is 2.

96x 36y 36 0

diferencia entre sus distancias a los puntos (3, 0) y

108. 9x 2 4y 2 36x 24y 36 0

(3, 3) sea 2.


117. Dibujar la hipérbola que consta de todos los puntos (x, y) tales

que la diferencia de las distancias entre (x, y) y dos puntos fijos

sea 10 unidades, y los focos se localicen en los centros de los

dos conjuntos de circunferencias concéntricas de la figura.

16 17

14

15

12

13

11

8 9 10

7

5 6

3

1 2 4

1

3 2

5

4

9 8 7

6

11

10

14

13

12

15

17 16

118. Considerar una hipérbola centrada en el origen y con eje transversal

horizontal. Emplear la definición de hipérbola para obtener

su forma canónica o estándar:

x 2

a y2

2 b 1. 2

119. Localización del sonido Con un rifle posicionado en el punto

c, 0 se dispara al blanco que se encuentra en el punto

c, 0. Una persona escucha al mismo tiempo el disparo del rifle

y el impacto de la bala en el blanco. Demostrar que la persona

se encuentra en una de las ramas de la hipérbola dada por

x 2

c 2 vs 2v2 m c 2 vm 2 1

v2 s vm

2

donde v m es la velocidad inicial de la bala y v s es la velocidad

del sonido, la cual es aproximadamente 1 100 pies por

segundo.

120. Navegación El sistema LORAN (long distance radio navigation)

para aviones y barcos usa pulsos sincronizados emitidos

por estaciones de transmisión muy alejadas una de la otra.

Estos pulsos viajan a la velocidad de la luz (186 000 millas por

segundo). La diferencia en los tiempos de llegada de estos pulsos

a un avión o a un barco es constante en una hipérbola que

tiene como focos las estaciones transmisoras. Suponer que las

dos estaciones, separadas a 300 millas una de la otra, están

situadas en el sistema de coordenadas rectangulares en

150, 0 y 150, 0 y que un barco sigue la trayectoria que

describen las coordenadas x, 75. (Ver la figura.) Hallar la

coordenada x de la posición del barco si la diferencia de tiempo

entre los pulsos de las estaciones transmisoras es 1 000

microsegundos (0.001 segundo).

−150

150

75

−75

−150

y

75

y 2

150

−10

10

8

6

4

−4

−4

−6

−8

−10


x

y

2

Espejo

4

8 10

x

121. Espejo hiperbólico Un espejo hiperbólico (como los que

usan algunos telescopios) tiene la propiedad de que un rayo de

luz dirigido a uno de los focos se refleja al otro foco. El espejo

que muestra la figura se describe mediante la ecuación

x 2 36 y 2 64 1. ¿En qué punto del espejo se reflejará

la luz procedente del punto (0, 10) al otro foco?

122. Mostrar que la ecuación de la recta tangente a

en el punto x 0 , y 0 es

123. Mostrar que las gráficas de las ecuaciones se cortan en ángulos

rectos:

x 2

a 2 2y2

x 0 a 2 x y 0 b 2 y 1.

x

y

2

a 2 b 2y2

b 1 2 b 1.

2 2

124. Demostrar que la gráfica de la ecuación

Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0

es una de las siguientes cónicas (excepto en los casos degenerados).

Cónica

a) Círculo

Condición

b) Parábola A 0 o C 0 (pero no ambas)

c) Elipse

d) Hipérbola

A C

AC > 0

AC < 0

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 125 a 130, determinar si la

afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o

dar un ejemplo que demuestre que es falsa.

125. Es posible que una parábola corte a su directriz.

126. En una parábola, el punto más cercano al foco es el vértice.

127. Si C es el perímetro de la elipse

x 2

b < a

a y 2

2 b 1, 2

entonces 2b ≤ C ≤ 2a.

x 2

a 2 y 2

b 2 1

128. Si D 0 o E 0, entonces la gráfica de y 2 x 2 Dx Ey

0 es una hipérbola.

129. Si las asíntotas de la hipérbola x 2 a 2 y 2 b 2 1 se cortan

o intersecan en ángulos rectos, entonces a b.

130. Toda recta tangente a una hipérbola sólo corta o interseca a la

hipérbola en el punto de tangencia.


131. Dado un punto P de una elipse, sea d la distancia del centro

de la elipse a la recta tangente a la elipse en P.

Demostrar que PF 1 PF 2 d 2 es constante mientras P varía

en la elipse, donde PF 1 y PF 2 son las distancias de P a los

focos F 1 y de la elipse.

F 2

132. Hallar el valor mínimo de

con 0 < u < 2 y v > 0.

u v 2 2 u 2 9 v 2

Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition.


SECCIÓN 10.2 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 711


10.2 Curvas planas y ecuaciones paramétricas

■

■

■

■

Trazar la gráfica de una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas.

Eliminar el parámetro en un conjunto de ecuaciones paramétricas.

Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una curva.

Entender dos problemas clásicos del cálculo: el problema de la tautocrona

y el problema de la braquistocrona.

18

9

y

(0, 0)

t = 0

9

Ecuación rectangular:

y = −

x 2

72

+ x

24 2, 24

18 27

t = 1

36

2 − 16

45

54

Ecuaciones paramétricas:

x = 24 2t

y = −16t 2 + 24 2t

63 72

Movimiento curvilíneo: dos variables de

posición y una de tiempo

Figura 10.19

x

Curvas planas y ecuaciones paramétricas

Hasta ahora, se ha representado una gráfica mediante una sola ecuación con dos variables.

En esta sección se estudiarán situaciones en las que se emplean tres variables para representar

una curva en el plano.

Considérese la trayectoria que recorre un objeto lanzado al aire con un ángulo de 45°.

Si la velocidad inicial del objeto es 48 pies por segundo, el objeto recorre la trayectoria

parabólica dada por

Ecuación rectangular.

como se muestra en la figura 10.19. Sin embargo, esta ecuación no proporciona toda la

información. Si bien dice dónde se encuentra el objeto, no dice cuándo se encuentra en un

punto dado (x, y). Para determinar este instante, se introduce una tercera variable t, conocida

como parámetro. Expresando x y y como funciones de t, se obtienen las ecuaciones

paramétricas

y

y x2

72 x

x 242 t

Ecuación paramétrica para x.

y 16t 2 242 t.

Ecuación paramétrica para y.

A partir de este conjunto de ecuaciones, se puede determinar que en el instante t 0, el

objeto se encuentra en el punto (0, 0). De manera semejante, en el instante t 1, el objeto

está en el punto 242, 242 16, y así sucesivamente. (Más adelante, en la sección

12.3, se estudiará un método para determinar este conjunto particular de ecuaciones

paramétricas, las ecuaciones de movimiento.)

En este problema particular de movimiento, x y y son funciones continuas de t, y a la

trayectoria resultante se le conoce como curva plana.

DEFINICIÓN DE UNA CURVA PLANA

Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces a las ecuaciones

x f t

y

y gt

se les llama ecuaciones paramétricas y a t se le llama el parámetro. Al conjunto de

puntos (x, y) que se obtiene cuando t varía sobre el intervalo I se le llama la gráfica

de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la gráfica, juntas,

es a lo que se llama una curva plana, que se denota por C.

NOTA Algunas veces es importante distinguir entre una gráfica (conjunto de puntos) y una curva

(los puntos junto con las ecuaciones paramétricas que los definen). Cuando sea importante hacer

esta distinción, se hará de manera explícita. Cuando no sea importante se empleará C para representar

la gráfica o la curva, indistintamente.

■


Cuando se dibuja (a mano) una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas,

se trazan puntos en el plano xy. Cada conjunto de coordenadas (x, y) está determinado

por un valor elegido para el parámetro t. Al trazar los puntos resultantes de valores crecientes

de t, la curva se va trazando en una dirección específica. A esto se le llama la orientación

de la curva.

EJEMPLO 1

Trazado de una curva

Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas

x t2 4

y

y t 2 ,

2 ≤ t ≤ 3.

y

Solución Para valores de t en el intervalo dado, se obtienen, a partir de las ecuaciones

paramétricas, los puntos (x, y) que se muestran en la tabla.

4

t = 1

t = 0

t = −1

2

−2

t = 2

t = −2

t = 3

4 6

x

t 2 1 0 1 2 3

x 0 3 4 3 0 5

y 1 1 1

3

0 1

2 2 2

−4

Figura 10.20


x = t 2 − 4 y y =

t

, −2 ≤ t ≤ 3

2

Al trazar estos puntos en orden de valores crecientes de t y usando la continuidad de f y de

g se obtiene la curva C que se muestra en la figura 10.20. Hay que observar las flechas sobre

la curva que indican su orientación conforme t aumenta de 2 a 3.

1

t =

2

t = 0

1

t = −

2

Figura 10.21

4

2

−2

−4

y

t = 1

t = −1

t = 2

3

4 6


3

x = 4t 2 − 4 y y = t, −1 ≤ t ≤

2

x

NOTA De acuerdo con el criterio de la recta vertical, puede verse que la gráfica mostrada en la

figura 10.20 no define y en función de x. Esto pone de manifiesto una ventaja de las ecuaciones paramétricas:

pueden emplearse para representar gráficas más generales que las gráficas de funciones. ■

A menudo ocurre que dos conjuntos distintos de ecuaciones paramétricas tienen la

misma gráfica. Por ejemplo, el conjunto de ecuaciones paramétricas

x 4t 2 4

y

y t,

1 ≤ t ≤ 3 2

tiene la misma gráfica que el conjunto dado en el ejemplo 1 (ver la figura 10.21). Sin

embargo, al comparar los valores de t en las figuras 10.20 y 10.21, se ve que la segunda

gráfica se traza con mayor rapidez (considerando t como tiempo) que la primera gráfica.

Por tanto, en las aplicaciones, pueden emplearse distintas ecuaciones paramétricas

para representar las diversas velocidades a las que los objetos recorren una trayectoria

determinada.

TECNOLOGÍA La mayoría de las herramientas de graficación cuenta con un modo

paramétrico de graficación. Se puede emplear uno de estos dispositivos para confirmar

las gráficas mostradas en las figuras 10.20 y 10.21. ¿Representa la curva dada por

x 4t2 8t

y

y 1 t,

1 2 ≤ t ≤ 2

la misma gráfica que la mostrada en las figuras 10.20 y 10.21? ¿Qué se observa respecto

a la orientación de esta curva?


Eliminación del parámetro

A encontrar la ecuación rectangular que representa la gráfica de un conjunto de ecuaciones

paramétricas se le llama eliminación del parámetro. Por ejemplo, el parámetro del conjunto

de ecuaciones paramétricas del ejemplo 1 se puede eliminar como sigue.

Ecuaciones

paramétricas

Despejar t de

una de las

ecuaciones

Sustituir en la

otra ecuación

Ecuación

rectangular

x t 2 4

y t2

t 2y

x 2y 2 4

x 4y 2 4

Una vez eliminado el parámetro, se ve que la ecuación x 4y 2 4 representa una

parábola con un eje horizontal y vértice en 4, 0, como se ilustra en la figura 10.20.

El rango de x y y implicado por las ecuaciones paramétricas puede alterarse al pasar

a la forma rectangular. En esos casos, el dominio de la ecuación rectangular debe ajustarse

de manera que su gráfica coincida con la gráfica de las ecuaciones paramétricas. En el

ejemplo siguiente se muestra esta situación.

EJEMPLO 2

Ajustar el dominio después de la eliminación

del parámetro

−2

−1

1

−1

−2

−3

y

t = 3

t = 0

1 2

t = −0.75


x =

1

, y =

t

, t > −1

t + 1 t + 1

x

Dibujar la curva representada por las ecuaciones

x 1

t 1

y

eliminando el parámetro y ajustando el dominio de la ecuación rectangular resultante.

Solución Para empezar se despeja t de una de las ecuaciones paramétricas. Por ejemplo,

se puede despejar t de la primera ecuación.

1

x

t 1

x 2 1

t 1

t 1 1 x 2

y

t

t 1 ,

t > 1

Ecuación paramétrica para x.

Elevar al cuadrado cada lado.

y

t 1 x 2 1 1 x2

x 2

Despejar t.

1

−2 −1

1 2

−1

−2

−3


y = 1 − x 2 , x > 0

Figura 10.22

x

Sustituyendo ahora, en la ecuación paramétrica para y, se obtiene

y

t

t 1

y (1 x2 )x 2

[(1 x 2 )x 2 ] 1

y 1 x 2 .

Ecuación paramétrica para y.

Sustitución de t por 1 x 2 x 2 .

Simplificar.

La ecuación rectangular, y 1 x 2 , está definida para todos los valores de x. Sin embargo,

en la ecuación paramétrica para x se ve que la curva sólo está definida para t > 1.

Esto implica que el dominio de x debe restringirse a valores positivos, como se ilustra en

la figura 10.22.


En un conjunto de ecuaciones paramétricas, el parámetro no necesariamente representa

el tiempo. El siguiente ejemplo emplea un ángulo como parámetro.

EJEMPLO 3

Emplear trigonometría para eliminar un parámetro

Dibujar la curva representada por

x 3 cos

y

y 4 sen sin ,

0

2

y

θ = π 2

al eliminar el parámetro y hallar la ecuación rectangular correspondiente.

Solución

Para empezar se despejan cos y sen de las ecuaciones dadas.

3

2

cos x 3

y 4

y sen

Despejar cos y sen .

θ = π

−4

−2

1

−1

−1

−2

1 2

θ = 0

4

x

A continuación, se hace uso de la identidad sen sin 2 cos 2 1 para formar una ecuación

en la que sólo aparezcan x y y.

cos 2 sen sin 2

1

Identidad trigonométrica.

−3

θ =

3 π 2


x = 3 cos θ, y = 4 sen θ


x 2 y

+ 2

= 1

9 16

Figura 10.23

3 x

2 y

4 2 1

3 4

x 2

9 y2

16 1

Sustituir.


En esta ecuación rectangular, puede verse que la gráfica es una elipse centrada en 0, 0,

con vértices en 0, 4 y 0, 4 y eje menor de longitud 2b 6, como se muestra en la

figura 10.23. Obsérvese que la elipse está trazada en sentido contrario al de las manecillas

del reloj ya que va de 0 a 2p.

El empleo de la técnica presentada en el ejemplo 3 permite concluir que la gráfica de

las ecuaciones paramétricas

x h a cos

y

y k b sen sin ,

0

2

es una elipse (trazada en sentido contrario al de las manecillas del reloj) dada por

x h 2

a 2

y k2

b 2 1.

La gráfica de las ecuaciones paramétricas

x h a sen sin

y

y k b cos ,

0

2

también es una elipse (trazada en sentido de las manecillas del reloj) dada por

x h 2

a 2

y k2

b 2 1.

Emplear una herramienta de graficación en modo paramétrico para elaborar las gráficas

de varias elipses.

En los ejemplos 2 y 3 es importante notar que la eliminación del parámetro es principalmente

una ayuda para trazar la curva. Si las ecuaciones paramétricas representan la

trayectoria de un objeto en movimiento, la gráfica sola no es suficiente para describir el

movimiento del objeto. Se necesitan las ecuaciones paramétricas que informan sobre la

posición, dirección y velocidad, en un instante determinado.


Hallar ecuaciones paramétricas

Los primeros tres ejemplos de esta sección ilustran técnicas para dibujar la gráfica que

representa un conjunto de ecuaciones paramétricas. Ahora se investigará el problema

inverso. ¿Cómo determinar un conjunto de ecuaciones paramétricas para una gráfica o una

descripción física dada? Por el ejemplo 1 ya se sabe que tal representación no es única.

Esto se demuestra más ampliamente en el ejemplo siguiente, en el que se encuentran dos

representaciones paramétricas diferentes para una gráfica dada.

EJEMPLO 4

Hallar las ecuaciones paramétricas

para una gráfica dada

Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de

usando cada uno de los parámetros siguientes.

a) t x b) La pendiente m dy en el punto x, y

dx

y 1 x 2 ,

Solución

a) Haciendo x t se obtienen las ecuaciones paramétricas

x t

y

y 1 x 2 1 t 2 .

b) Para expresar x y y en términos del parámetro m, se puede proceder como sigue.

y

m dy

dx 2x

Derivada de y 1 x 2 .

1

m = 0

x m 2

Despejar x.

−2

m = 2

m = −2

−1 1 2

−1

−2

x

Con esto se obtiene una ecuación paramétrica para x. Para obtener una ecuación

paramétrica para y, en la ecuación original se sustituye x por m2.

y 1 x 2

m

2

y 1 m 2 2

Escribir la ecuación rectangular original.

Sustitución de x por m2.

m = 4 −3 m = −4

Ecuación rectangular: y = 1 − x 2


m m

x = − y = 1 −

2

,

2 4

Figura 10.24

y 1 m2

4

Simplificación.

Por tanto, las ecuaciones paramétricas son

x m 2

y

y 1 m2

4 .

En la figura 10.24 obsérvese que la orientación de la curva resultante es de derecha a

izquierda, determinada por la dirección de los valores crecientes de la pendiente m. En el

inciso a), la curva tenía la orientación opuesta.

TECNOLOGÍA Para usar de manera eficiente una herramienta de graficación es

importante desarrollar la destreza de representar una gráfica mediante un conjunto de

ecuaciones paramétricas. La razón es que muchas herramientas de graficación sólo

tienen tres modos de graficación: 1) funciones, 2) ecuaciones paramétricas y 3) ecuaciones

polares. La mayor parte de las herramientas de graficación no están programadas

para elaborar la gráfica de una ecuación general. Supóngase, por ejemplo, que se quiere

elaborar la gráfica de la hipérbola x 2 y 2 1. Para hacer la gráfica de la hipérbola en

el modo función, se necesitan dos ecuaciones: y x 2 1 y y x 2 1. En el

modo paramétrico, la gráfica puede representarse mediante x sec t y y tan t.


CICLOIDES

Galileo fue el primero en llamar la atención

hacia la cicloide, recomendando que se

empleara en los arcos de los puentes. En

cierta ocasión, Pascal pasó ocho días tratando

de resolver muchos de los problemas de

las cicloides, problemas como encontrar el

área bajo un arco y el volumen del sólido de

revolución generado al hacer girar la curva

sobre una recta. La cicloide tiene tantas

propiedades interesantes y ha generado tantas

disputas entre los matemáticos que se le

ha llamado “la Helena de la geometría” y

“la manzana de la discordia”.

EJEMPLO 5

Ecuaciones paramétricas de una cicloide

Determinar la curva descrita por un punto P en la circunferencia de un círculo de radio a

que rueda a lo largo de una recta en el plano. A estas curvas se les llama cicloides.

Solución Sea el parámetro que mide la rotación del círculo y supóngase que al inicio el

punto P x, y se encuentra en el origen. Cuando P se encuentra en el origen.

Cuando P está en un punto máximo a, 2a. Cuando vuelve al eje x en

2a, 0. En la figura 10.25 se ve que APC 180 . Por tanto,

,

sen sin sen sin180 sen

sinAPC AC a BD a

cos cos180

cosAPC AP

a

0,

2, P

lo cual implica que AP a cos y BD a sen sin .


Para más información acerca de las

cicloides, consultar el artículo “The

Geometry of Rolling Curves” de John

Bloom y Lee Whitt en The American

Mathematical Monthly.

Como el círculo rueda a lo largo del eje x, se sabe que OD PD a. Además, como

BA DC a, se tiene

x OD BD a a sin sen

y BA AP a a cos .

Por tanto, las ecuaciones paramétricas son x a sen sin y y a1 cos .

2a

y

P = (x, y)

Cicloide:

x = a( θ − sen θ)

y = a(1 − cos θ)

( πa, 2a) (3πa, 2a)

a

O

A

B

Figura 10.25

θ

D

C

πa (2 πa, 0)

3π

a (4 πa, 0)

x

TECNOLOGÍA Algunas herramientas de graficación permiten simular el movimiento

de un objeto que se mueve en el plano o en el espacio. Se recomienda usar una de estas

herramientas para trazar la trayectoria de la cicloide que se muestra en la figura 10.25.

La cicloide de la figura 10.25 tiene esquinas agudas en los valores x 2n a.

Obsérvese que las derivadas x y y son ambas cero en los puntos en los que

x a sen sin

x a a cos

x2n 0

y a1 cos

y a sen sin

y2n 0

Entre estos puntos, se dice que la cicloide es suave.

2n.

DEFINICIÓN DE UNA CURVA SUAVE

Una curva C representada por x f t y y gt en un intervalo I se dice que es

suave si y son continuas en I y no son simultáneamente 0, excepto posiblemente

en los puntos terminales de I. La curva C se dice que es suave a trozos si es suave en

todo subintervalo de alguna partición de I.

f

g


A

C

El tiempo que requiere un péndulo para

realizar una oscilación completa si parte

del punto C es aproximadamente el mismo

que si parte del punto A

Figura 10.26

B

Los problemas de la tautocrona y de la braquistocrona

El tipo de curva descrito en el ejemplo 5 está relacionado con uno de los más famosos

pares de problemas de la historia del cálculo. El primer problema (llamado el problema

de la tautocrona) empezó con el descubrimiento de Galileo de que el tiempo requerido

para una oscilación completa de un péndulo dado es aproximadamente el mismo ya sea

que efectúe un movimiento largo a alta velocidad o un movimiento corto a menor velocidad

(ver la figura 10.26). Más tarde, Galileo (1564-1642) comprendió que podía emplear

este principio para construir un reloj. Sin embargo, no logró llegar a la mecánica necesaria

para construirlo. Christian Huygens (1629-1695) fue el primero en diseñar y construir

un modelo que funcionara. En su trabajo con los péndulos, Huygens observó que un

péndulo no realiza oscilaciones de longitudes diferentes en exactamente el mismo tiempo.

(Esto no afecta al reloj de péndulo porque la longitud del arco circular se mantiene

constante dándole al péndulo un ligero impulso cada vez que pasa por su punto más bajo.)

Pero al estudiar el problema, Huygens descubrió que una pelotita que rueda hacia atrás y

hacia adelante en una cicloide invertida completa cada ciclo en exactamente el mismo

tiempo.

A


JAMES BERNOULLI (1654-1705)

James Bernoulli, también llamado Jacques,

era el hermano mayor de John. Fue uno de

los matemáticos consumados de la familia

suiza Bernoulli. Los logros matemáticos de

James le han dado un lugar prominente en el

desarrollo inicial del cálculo.

B

Una cicloide invertida es la trayectoria descendente que una pelotita rodará en el tiempo más corto

Figura 10.27

El segundo problema, que fue planteado por John Bernoulli en 1696, es el llamado

problema de la braquistocrona (en griego brachys significa corto y cronos significa

tiempo). El problema consistía en determinar la trayectoria descendente por la que una

partícula se desliza del punto A al punto B en el menor tiempo. Varios matemáticos se abocaron

al problema y un año después el problema fue resuelto por Newton, Leibniz, L’Hôpital,

John Bernoulli y James Bernoulli. Como se encontró, la solución no es una recta de A

a B, sino una cicloide invertida que pasa por los puntos A y B, como se muestra en la figura

10.27. Lo sorprendente de la solución es que una partícula, que parte del reposo en cualquier

otro punto C, entre A y B, de la cicloide tarda exactamente el mismo tiempo en llegar

a B, como se muestra en la figura 10.28.

A

C

B

Una pelotita que parte del punto C tarda el mismo tiempo en llegar al punto B que una que

parte del punto A

Figura 10.28

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para ver una demostración del famoso problema de la braquistocrona,

consultar el artículo “A New Minimization Proof for the Brachistochrone” de Gary Lawlor

en The American Mathematical Monthly.


1. Considerar las ecuaciones paramétricas y

a) Construir una tabla de valores para t 0, 1, 2, 3 y 4.

b) Trazar los puntos (x, y) generados en la tabla y dibujar una

gráfica de las ecuaciones paramétricas. Indicar la orientación

de la gráfica.

c) Verificar la gráfica elaborada en el inciso b) empleando una


d) Hallar la ecuación rectangular mediante eliminación del parámetro

y dibujar su gráfica. Comparar la gráfica generada en

el inciso b) con la gráfica de la ecuación rectangular.

2. Considerar las ecuaciones paramétricas y y

2 sen .

a) Construir una tabla de valores para

b) Trazar los puntos (x, y) generados en la tabla y dibujar una

gráfica de las ecuaciones paramétricas. Indicar la orientación

de la gráfica.

c) Verificar la gráfica elaborada en el inciso b) empleando una


d) Hallar la ecuación rectangular mediante la eliminación del

parámetro y dibujar su gráfica. Comparar la gráfica generada

en el inciso b) con la gráfica de la ecuación rectangular.

e) Si se seleccionaran valores de en el intervalo

para la tabla del inciso a), ¿sería diferente la gráfica del

inciso b)? Explicar el razonamiento.

En los ejercicios 3 a 20, trazar la curva que representa las ecuaciones

paramétricas (indicar la orientación de la curva) y, eliminando

el parámetro, dar la ecuación rectangular correspondiente.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17.

18.

19.

20.

En los ejercicios 21 a 32, usar una herramienta de graficación

para trazar la curva que representa las ecuaciones paramétricas

(indicar la orientación de la curva). Eliminar el parámetro y dar

la ecuación rectangular correspondiente.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

Comparación de curvas planas

En los ejercicios 33 a 36, determinar

toda diferencia entre las curvas de las ecuaciones paramétricas.

¿Son iguales las gráficas? ¿Son iguales las orientaciones?

¿Son suaves las curvas? Explicar.

33. a) b)

c) d)

34. a) b)

c) d)

35. a) b)

36. a) b)

37. Conjetura

a) Usar una herramienta de graficación para trazar las curvas representadas

por los dos conjuntos de ecuaciones paramétricas.

b) Describir el cambio en la gráfica si se cambia el signo del

parámetro.

c) Formular una conjetura respecto al cambio en la gráfica de

las ecuaciones paramétricas cuando se cambia el signo del

parámetro.

d) Probar la conjetura con otro conjunto de ecuaciones paramétricas.

38. Redacción Revisar los ejercicios 33 a 36 y escribir un párrafo

breve que describa cómo las gráficas de curvas representadas

por diferentes conjuntos de ecuaciones paramétricas pueden

diferir aun cuando la eliminación del parámetro dé la misma

ecuación rectangular.

En los ejercicios 39 a 42, eliminar el parámetro y obtener la

forma estándar o canónica de la ecuación rectangular.

39. Recta que pasa por y

40. Circunferencia:

41. Elipse:

42. Hipérbola: y k b tan

x h a sec ,

y k b sin

x h a cos ,

x h r cos , y k r sin

x x 1 tx 2 x 1 ,

y y 1 ty 2 y 1

x 2 , y 2 :

x 1 , y 1

y 3 sint

y 3 sin t

x 4 cost

x 4 cos t

y t 3

x t 1,

y t 3

x t 1,

0 <

<

0 <

<

y 2 sin 2

y 2 sin 2

x cos

x cos

y e t

y 4 t

x 4 e 2t

x t

y 1t

y 2 sin

x 4t 2 1 t

x 2 cos

y 2e t 1

y 2e t 1

x e t

x e t y 2 cos 1

y 2t 1

x cos

x t

x e 2t ,

y e t

x e t , y e 3t x ln 2t, y t 2

x t 3 ,

y 3 ln t

x cos 3, y sin 3

x 4 sec , y 3 tan

y tan

x sec

x 3 cos , y 7 sen

x 8 cos , y 8 sen

x tan 2, y sec 2

x sec , y cos , 0 ≤

<

2,

2 <

≤

x e t , y e 2t 1

x e t , y e 3t 1

x t 1 , y t 2

x 2t,

y t 2

x 1 1 t , y t 1

x t 3, y t

t 3

x 4 t, y 8 t

x t, y t 5

x t 2 t,

y t 2 t

x t 3 ,

y t2

2

x 2t 2 , y t 4 1

x t 1, y t 2 t

y 4 t

x 4 e 2t

x

t

y

1 t

y

2 sin

x 4t 2 1 t

x

2 cos

y 2e t 1

y 2e t 1

x

e t

x e t y 2 cos 1

y 2t 1

x

cos

x

t

x e 2t , y e t


x t 3 , y 3 ln t

x cos 3 , y sin 3

x 4 sec , y 3 tan

y

tan

y 2 5 sen

x

sec

x 3 4 cos

y 5 3 sen

y 1 sen

x 2 3 cos

x 4 2 cos

y 2 sen 2

x cos ,

y 4 cos 2

x 6 sen 2 ,

x 3 cos , y 7 sen

x 8 cos , y 8 sen

x tan 2 , y sec 2

x sec , y cos , 0 < 2, 2 <

x e t , y e 2t 1

x e t , y e 3t 1

x t 1, y t 2

x 2t, y t 2

x 1

1

t , y t 1

x t 3, y t

t 3

x 4 t, y 8 t

x t, y t 5

x t 2 t, y t 2 t

x

t 3 , y

t 2

2

x 2t 2 , y t 4 1

x t 1, y t 2 x 5 4t, y 2 5t

x 2t 3, y 3t 1

2, 3 2

x, y

2 .

4

4 ,

2 , 2 sin .

y

x 4 cos 2

x, y

t 0,

y 3 t.

x

t



1. Consider the parametric equations and

(a) Construct a table of values for 1, 2, 3, and 4.

(b) Plot the points

generated in the table, and sketch a

graph of the parametric equations. Indicate the orientation

of the graph.

(c) Use a graphing utility to confirm your graph in part (b).

(d) Find the rectangular equation by eliminating the parameter,

and sketch its graph. Compare the graph in part (b) with the

graph of the rectangular equation.


(a) Construct a table of values for 0, y

(b) Plot the points



of the graph.





(e) If values of

were selected from the interval

for the table in part (a), would the graph in part (b) be

different? Explain.

In Exercises 3–20, sketch the curve represented by the

parametric equations (indicate the orientation of the curve),

and write the corresponding rectangular equation by

eliminating the parameter.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17.

18.

19.

20.

In Exercises 21–32, use a graphing utility to graph the curve

represented by the parametric equations (indicate the orientation

of the curve). Eliminate the parameter and write the

corresponding rectangular equation.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

Comparing Plane Curves

In Exercises 33–36, determine any

differences between the curves of the parametric equations. Are

the graphs the same? Are the orientations the same? Are the

curves smooth? Explain.

33. (a) (b)

(c)

(d)

34. (a) (b)

(c)

(d)

35. (a) (b)

36. (a) (b)

37. Conjecture

(a) Use a graphing utility to graph the curves represented by

the two sets of parametric equations.

(b) Describe the change in the graph when the sign of the

parameter is changed.

(c) Make a conjecture about the change in the graph of

parametric equations when the sign of the parameter is

changed.

(d) Test your conjecture with another set of parametric

equations.

38. Writing Review Exercises 33–36 and write a short paragraph

describing how the graphs of curves represented by different

sets of parametric equations can differ even though eliminating

the parameter from each yields the same rectangular equation.

In Exercises 39–42, eliminate the parameter and obtain the

standard form of the rectangular equation.

39. Line through and

40. Circle:

41. Ellipse:

42. Hyperbola: y k b tan

x h a sec ,

y k b sin

x h a cos ,


x x 1 tx 2 x 1 , y y 1 t y 2 y 1

x 2 , y 2 :

x 1 , y 1 y 3 sin t

y

3 sin t

x 4 cos t

x

4 cos t

y t 3

x t 1,

y t 3

x t 1,

0 < <

0 < <

y 2 sin 2

y 2 sin 2 x cos

x

cos

y

e t

y 4 t

x 4 e 2t

x

t

y

1 t

y

2 sin

x 4t 2 1 t

x

2 cos

y 2e t 1

y 2e t 1

x

e t

x e t y 2 cos 1

y 2t 1

x

cos

x

t

x e 2t , y e t


x t 3 , y 3 ln t

x cos 3 , y sin 3

x 4 sec , y 3 tan

y

tan

y 2 5 sen

x

sec

x 3 4 cos

y 5 3 sen

y 1 sen

x 2 3 cos

x 4 2 cos

y 2 sen 2

x cos ,

y 4 cos 2

x 6 sen 2 ,

x 3 cos , y 7 sen

x 8 cos , y 8 sen

x tan 2 , y sec 2

x sec , y cos , 0 < 2, 2 <

x e t , y e 2t 1

x e t , y e 3t 1

x t 1, y t 2

x 2t, y t 2

x 1

1

t , y t 1

x t 3, y t

t 3

x 4 t, y 8 t

x t, y t 5

x t 2 t, y t 2 t

x t 3 , y

t 2

2

x 2t 2 , y t 4 1

x t 1, y t 2 x 5 4t, y 2 5t

x 2t 3, y 3t 1

2, 3 2

x, y

2 .

4

4 ,

2 , 2 sin .

y

x 4 cos 2

x, y

t 0,

y 3 t.

x

t



2, 32



(b) Plot the points



of the graph.







(b) Plot the points



of the graph.





(e) If values of



different? Explain.





3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17.

18.

19.

20.





21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.






33. (a) (b)

(c)

(d)

34. (a) (b)

(c)

(d)

35. (a) (b)

36. (a) (b)

37. Conjecture







changed.


equations.








40. Circle:

41. Ellipse:


x h a sec ,

y k b sin

x h a cos ,


x x 1 tx 2 x 1 , y y 1 t y 2 y 1

x 2 , y 2 :

x 1 , y 1 y 3 sin t

y

3 sin t

x 4 cos t

x

4 cos t

y t 3

x t 1,

y t 3

x t 1,

0 < <

0 < <

y 2 sin 2

y 2 sin 2 x cos

x

cos

y

e t

y 4 t

x 4 e 2t

x

t

y

1 t

y

2 sin

x 4t 2 1 t

x

2 cos

y 2e t 1

y 2e t 1

x

e t

x e t y 2 cos 1

y 2t 1

x

cos

x

t

x e 2t , y e t


x t 3 , y 3 ln t

x cos 3 , y sin 3

x 4 sec , y 3 tan

y

tan

y 2 5 sen

x

sec

x 3 4 cos

y 5 3 sen

y 1 sen

x 2 3 cos

x 4 2 cos

y 2 sen 2

x cos ,

y 4 cos 2

x 6 sen 2 ,

x 3 cos , y 7 sen

x 8 cos , y 8 sen

x tan 2 , y sec 2

x sec , y cos , 0 < 2, 2 <

x e t , y e 2t 1

x e t , y e 3t 1

x t 1, y t 2

x 2t, y t 2

x 1

1

t , y t 1

x t 3, y t

t 3

x 4 t, y 8 t

x t, y t 5

x t 2 t, y t 2 t

x

t 3 , y

t 2

2

x 2t 2 , y t 4 1

x t 1, y t 2 x 5 4t, y 2 5t

x 2t 3, y 3t 1

2, 3 2

x, y

2 .

4

4 ,

2 , 2 sin .

y

x 4 cos 2

x, y

t 0,

y 3 t.

x

t



x 4 cos 2

y 1 t.

x t

sen

sen

sen

sen

sen

sen

10.2 Ejercicios



(b) Plot the points



of the graph.







(b) Plot the points



of the graph.





(e) If values of



different? Explain.





3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17.

18.

19.

20.





21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.






33. (a) (b)

(c)

(d)

34. (a) (b)

(c)

(d)

35. (a) (b)

36. (a) (b)

37. Conjecture







changed.


equations.








40. Circle:

41. Ellipse:


x h a sec ,

y k b sin

x h a cos ,


x x 1 tx 2 x 1 , y y 1 t y 2 y 1

x 2 , y 2 :

x 1 , y 1 y 3 sin t

y

3 sin t

x 4 cos t

x

4 cos t

y t 3

x t 1,

y t 3

x t 1,

0 < <

0 < <

y 2 sin 2

y 2 sin 2 x cos

x

cos

y

e t

y 4 t

x 4 e 2t

x

t

y

1 t

y

2 sin

x 4t 2 1 t

x

2 cos

y 2e t 1

y 2e t 1

x

e t

x e t y 2 cos 1

y 2t 1

x

cos

x

t

x e 2t , y e t


x t 3 , y 3 ln t

x cos 3 , y sin 3

x 4 sec , y 3 tan

y

tan

y 2 5 sen

x

sec

x 3 4 cos

y 5 3 sen

y 1 sen

x 2 3 cos

x 4 2 cos

y 2 sen 2

x cos ,

y 4 cos 2

x 6 sen 2 ,

x 3 cos , y 7 sen

x 8 cos , y 8 sen

x tan 2 , y sec 2

x sec , y cos , 0 < 2, 2 <

x e t , y e 2t 1

x e t , y e 3t 1

x t 1, y t 2

x 2t, y t 2

x 1

1

t , y t 1

x t 3, y t

t 3

x 4 t, y 8 t

x t, y t 5

x t 2 t, y t 2 t

x

t 3 , y

t 2

2

x 2t 2 , y t 4 1

x t 1, y t 2 x 5 4t, y 2 5t

x 2t 3, y 3t 1

2, 3 2

x, y

2 .

4

4 ,

2 , 2 sin .

y

x 4 cos 2

x, y

t 0,

y 3 t.

x

t





(b) Plot the points



of the graph.







(b) Plot the points



of the graph.





(e) If values of



different? Explain.





3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17.

18.

19.

20.





21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.






33. (a) (b)

(c)

(d)

34. (a) (b)

(c)

(d)

35. (a) (b)

36. (a) (b)

37. Conjecture







changed.


equations.








40. Circle:

41. Ellipse:


x h a sec ,

y k b sin

x h a cos ,


x x 1 tx 2 x 1 , y y 1 t y 2 y 1

x 2 , y 2 :

x 1 , y 1 y 3 sin t

y

3 sin t

x 4 cos t

x

4 cos t

y t 3

x t 1,

y t 3

x t 1,

0 < <

0 < <

y 2 sin 2

y 2 sin 2 x cos

x

cos

y

e t

y 4 t

x 4 e 2t

x

t

y

1 t

y

2 sin

x 4t 2 1 t

x

2 cos

y 2e t 1

y 2e t 1

x

e t

x e t y 2 cos 1

y 2t 1

x

cos

x

t

x e 2t , y e t


x t 3 , y 3 ln t

x cos 3 , y sin 3

x 4 sec , y 3 tan

y

tan

y 2 5 sen

x

sec

x 3 4 cos

y 5 3 sen

y 1 sen

x 2 3 cos

x 4 2 cos

y 2 sen 2

x cos ,

y 4 cos 2

x 6 sen 2 ,

x 3 cos , y 7 sen

x 8 cos , y 8 sen

x tan 2 , y sec 2

x sec , y cos , 0 < 2, 2 <

x e t , y e 2t 1

x e t , y e 3t 1

x t 1, y t 2

x 2t, y t 2

x 1

1

t , y t 1

x t 3, y t

t 3

x 4 t, y 8 t

x t, y t 5

x t 2 t, y t 2 t

x

t 3 , y

t 2

2

x 2t 2 , y t 4 1

x t 1, y t 2 x 5 4t, y 2 5t

x 2t 3, y 3t 1

2, 3 2

x, y

2 .

4

4 ,

2 , 2 sin .

y

x 4 cos 2

x, y

t 0,

y 3 t.

x

t





(b) Plot the points



of the graph.







(b) Plot the points



of the graph.





(e) If values of



different? Explain.





3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17.

18.

19.

20.





21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.






33. (a) (b)

(c)

(d)

34. (a) (b)

(c)

(d)

35. (a) (b)

36. (a) (b)

37. Conjecture







changed.


equations.








40. Circle:

41. Ellipse:


x h a sec ,

y k b sin

x h a cos ,


x x 1 tx 2 x 1 , y y 1 t y 2 y 1

x 2 , y 2 :

x 1 , y 1 y 3 sin t

y

3 sin t

x 4 cos t

x

4 cos t

y t 3

x t 1,

y t 3

x t 1,

0 < <

0 < <

y 2 sin 2

y 2 sin 2 x cos

x

cos

y

e t

y 4 t

x 4 e 2t

x

t

y

1 t

y

2 sin

x 4t 2 1 t

x

2 cos

y 2e t 1

y 2e t 1

x

e t

x e t y 2 cos 1

y 2t 1

x

cos

x

t

x e 2t , y e t


x t 3 , y 3 ln t

x cos 3 , y sin 3

x 4 sec , y 3 tan

y

tan

y 2 5 sen

x

sec

x 3 4 cos

y 5 3 sen

y 1 sen

x 2 3 cos

x 4 2 cos

y 2 sen 2

x cos ,

y 4 cos 2

x 6 sen 2 ,

x 3 cos , y 7 sen

x 8 cos , y 8 sen

x tan 2 , y sec 2

x sec , y cos , 0 < 2, 2 <

x e t , y e 2t 1

x e t , y e 3t 1

x t 1, y t 2

x 2t, y t 2

x 1

1

t , y t 1

x t 3, y t

t 3

x 4 t, y 8 t

x t, y t 5

x t 2 t, y t 2 t

x

t 3 , y

t 2

2

x 2t 2 , y t 4 1

x t 1, y t 2 x 5 4t, y 2 5t

x 2t 3, y 3t 1

2, 3 2

x, y

2 .

4

4 ,

2 , 2 sin .

y

x 4 cos 2

x, y

t 0,

y 3 t.

x

t



sen

sen

3


En los ejercicios 43 a 50, emplear los resultados de los ejercicios

39 a 42 para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para

la recta o para la cónica.

43. Recta: pasa por (0, 0) y (4, 7)

44. Recta: pasa por (1, 4) y (5, 2)

45. Círculo: centro: (3, 1); radio: 2

46. Círculo: centro: (6, 2); radio: 4

47. Elipse: vértices (10, 0); foco: (8, 0)

48. Elipse: vértices: (4, 7), 4, 3; foco: (4, 5), 4, 1

49. Hipérbola: vértice: ±4, 0; foco: ±5, 0

50. Hipérbola: vértice: 0, ±1; foco: 0, ±2

En los ejercicios 51 a 54, hallar dos conjuntos diferentes de ecuaciones

paramétricas para la ecuación rectangular.

51. y 6x 5 52. y 4(x 1)

53. y x 3 54. y x 2

En los ejercicios 55 a 58, encontrar un conjunto de ecuaciones

paramétricas para la ecuación rectangular que satisface la

condición dada.

51. y 2x 5, t 0 en el punto (3, 1)

56. y 4x 1, t 1 en el punto (2, 7)

57. y x 2 , t 4 en el punto (4, 16)

58. y 4 x 2 , t 1 en el punto (1, 3)

En los ejercicios 59 a 66, emplear una herramienta de graficación

para representar la curva descrita por las ecuaciones

paramétricas. Indicar la dirección de la curva e identificar todos

los puntos en los que la curva no sea suave.

59. Cicloide: x 2 sin sen, y 21 cos

60. Cicloide: x

61. Cicloide alargada: x

sin , y 1 cos

3 2 sin , y 1 3 2 cos

62. Cicloide alargada: x 2 4 sen sin , y 2 4 cos

63. Hipocicloide: x 3 cos 3 , y 3 sen sin 3

64. Cicloide corta: x 2 sen sin , y 2 cos

65. Hechicera o bruja de Agnesi: x 2 cot , y 2 sen sin 2

66. Hoja o folio de Descartes: x

3t 3t2

1 t3, y

1 t 3


67. Explicar el proceso del trazado de una curva plana dada por

ecuaciones paramétricas. ¿Qué se entiende por orientación

de la curva?

68. Asociar cada conjunto de ecuaciones paramétricas con su

gráfica correspondiente. [Las gráficas están etiquetadas a),

b), c), d), e) y f).] Explicar el razonamiento.

a) y

b)

−2

−1

2

−2

1

sen

2

x

sen

4

2

1

y

−3−2−1

1 2 3

−2

−4

x

69. Cicloide corta Un disco de radio a rueda a lo largo de una

recta sin deslizar. La curva trazada por un punto P que se encuentra

a b unidades del centro (b < a) se denomina cicloide

corta o acortada (ver la figura). Usar el ángulo para hallar un

conjunto de ecuaciones paramétricas para esta curva.

2a

Desarrollo de conceptos (continuación)

y

c) y

d)

e) y

f)

P

i)

ii)

iii) Curva de Lissajous: x 4 cos , y 2 sen sin 2

iv) Evoluta de una elipse: x cos 3 , y 2 sen sin 3

v) Evolvente o involuta de un círculo:

x cos sen y sen sin

vi) Curva serpentina: x cot , y 4 sen sin cos

θ

b

4

−1 −1

1

a

(0, a − b)

3

2

1

−3 −2 −1

−3

1 2 3 4

1

x t 2 1,

x sen sin 2 1,

( πa, a + b)

2

3

y t 2

sin ,

y sin sen 2


x

x

x

70. Epicicloide Un círculo de radio 1 rueda sobre otro círculo de

radio 2. La curva trazada por un punto sobre la circunferencia

del círculo más pequeño se llama epicicloide (ver la figura).

Usar el ángulo para hallar un conjunto de ecuaciones

paramétricas de esta curva.


afirmación es verdadera o falsa. En caso de que sea falsa, explicar

por qué o dar un ejemplo que muestre que es falsa.

71. La gráfica de las ecuaciones paramétricas x t 2 y y t 2 es la

recta y x.

72. Si y es función de t y x es función de t, entonces y es función

de x.

4

3

1

−1 −1

1

y

4

−2

−2

−3

−4

y

θ

1

4

3

2

y

1 2 3 4

cos

2

3

(x, y)

3

x

x

4

x


73. La curva representada por las ecuaciones paramétricas x t y y

cos t se pueden escribir como una ecuación de la forma y f(x).

Para discusión

74. Considerar las ecuaciones paramétricas x 8 cos t y y 8

sen t.

a) Describir la curva representada por las ecuaciones paramétricas.

b) ¿Cómo se representa la curva por las ecuaciones paramétricas

x 8 cos t 3 y y 8 sen t 6 comparada a

la curva descrita en el inciso a)?

c) ¿Cómo cambia la curva original cuando el coseno y el

seno se intercambian?

Movimiento de un proyectil En los ejercicios 75 y 76, considerar

un proyectil que se lanza a una altura de h pies sobre el suelo y a

un ángulo con la horizontal. Si la velocidad inicial es v 0 pies por

segundo, la trayectoria del proyectil queda descrita por las ecuaciones

paramétricas x v y y h v 0 sin t 16t 2 0 cos t

sen .

75. La cerca que delimita el jardín central en un parque de béisbol tiene

una altura de 10 pies y se encuentra a 400 pies del plato de home.

La pelota es golpeada por el bate a una altura de 3 pies sobre el

suelo. La pelota se aleja del bate con un ángulo de grados con la

horizontal a una velocidad de 100 millas por hora (ver la figura).

θ

3 pies

400 pies

10 pies

PROYECTO DE TRABAJO

Cicloides

En griego, la palabra cycloid significa rueda, la palabra hipocicloide

significa bajo la rueda, y la palabra epicicloide significa sobre la

rueda. Asociar la hipocicloide o epicicloide con su gráfica. [Las gráficas

están marcadas a), b), c), d), e) y f).]

Hipocicloide, H(A, B)

Trayectoria descrita por un punto fijo en un círculo de radio B que

rueda a lo largo de la cara interior de un círculo de radio A

x A B cos t B cos

A B

B t

y A B sin t B sin

A B

sen sen

B t

Epicicloide, E(A, B)

Trayectoria descrita por un punto fijo en un círculo de radio B que

rueda a lo largo de la cara exterior de un círculo de radio A

x A B cos t B cos

A B

B t

y A B sin t B sin

A B

sen sen

B t

I. H(8, 3) II. E(8, 3)

III. H(8, 7) IV. E(24, 3)

V. H(24, 7) VI. E(24, 7)

a) y

b)

x

y

x

a) Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la trayectoria

de la pelota.

b) Usar una herramienta de graficación para representar la trayectoria

de la pelota si ¿Es el golpe un home run?

c) Usar una herramienta de graficación para representar la

trayectoria de la pelota si ¿Es el golpe un home run?

d) Hallar el ángulo mínimo al cual la pelota debe alejarse del

bate si se quiere que el golpe sea un home run.

15.

23.

76. Una ecuación rectangular para la trayectoria de un proyectil es

y 5 x 0.005x 2 .

a) Eliminar el parámetro t de la función de posición del movimiento

de un proyectil para mostrar que la ecuación rectangular es

y 16 sec2 2

2

x

v 2 tan x h.

0

b) Usar el resultado del inciso a) para hallar h, v 0

y . Hallar las

ecuaciones paramétricas de la trayectoria.

c) Usar una herramienta de graficación para trazar la gráfica de

la ecuación rectangular de la trayectoria del proyectil.

Confirmar la respuesta dada en el inciso b) y dibujar la curva

representada por las ecuaciones paramétricas.

d) Usar una herramienta de graficación para aproximar la altura

máxima del proyectil y su rango.

c) y

d)

e) y

f)

x

x

Ejercicios basados en “Mathematical Discovery via Computer

Graphics: Hypocycloids and Epicycloids” de Florence S. Gordon y

Sheldon P. Gordon, College Mathematics Journal, noviembre de

1984, p. 441. Uso autorizado por los autores.

y

y

x

x

SECCIÓN 10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo 721


10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo

30

20

10

y

x = 24 2t

y = −16t 2 + 24

45°

10

20

En el momento t, el ángulo de elevación del

proyectil es , la pendiente de la recta tangente

en ese punto

Figura 10.29

y

2t

30

θ

x

■ Hallar la pendiente de una recta tangente a una curva dada por un conjunto de ecuaciones

paramétricas.

■ Hallar la longitud de arco de una curva dada por un conjunto de ecuaciones

paramétricas.

■ Hallar el área de una superficie de revolución (forma paramétrica).

Pendiente y rectas tangentes

Ahora que ya se sabe representar una gráfica en el plano mediante un conjunto de ecuaciones

paramétricas, lo natural es preguntarse cómo emplear el cálculo para estudiar estas

curvas planas. Para empezar, hay que dar otra mirada al proyectil representado por las

ecuaciones paramétricas

x 242t

y

y 16t 2 242t

como se ilustra en la figura 10.29. De lo visto en la sección 10.2, se sabe que estas ecuaciones

permiten localizar la posición del proyectil en un instante dado. También se sabe

que el objeto es proyectado inicialmente con un ángulo de 45°. Pero, ¿cómo puede encontrarse

el ángulo que representa la dirección del objeto en algún otro instante t? El teorema

siguiente responde a esta pregunta proporcionando una fórmula para la pendiente de la

recta tangente en función de t.

TEOREMA 10.7

FORMA PARAMÉTRICA DE LA DERIVADA

Si una curva suave C está dada por las ecuaciones x f t y y gt, entonces la

pendiente de C en x, y es

dy

dx

dx dydt

dxdt , dt 0.

( f(t + ∆t), g(t + ∆t))

∆y

( f(t), g(t))

∆x

x

La pendiente de la recta secante que pasa

por los puntos ft, gt y ft t,

gt t es y x.

Figura 10.30

DEMOSTRACIÓN

y gt t gt

En la figura 10.30, considérese t > 0 y sea

Como x → 0 cuando t → 0, se puede escribir

dy

dx lím lim

x→0

lím lim

t→0

y

x

y

Dividiendo tanto el numerador como el denominador entre t, se puede emplear la derivabilidad

o diferenciabilidad de f y g para concluir que

dy

dx lim gt t gtt

lím

t→0 f t t f tt

gt t gt

lím lim

t→0 t

f t t f t

lím lim

t→0 t

gt

ft

dydt

dxdt .

gt t gt

f t t f t .

x f t t f t.


EJEMPLO 1

Derivación o diferenciación y forma paramétrica

Hallar dydx para la curva dada por x sin sen t y y cos t.

AYUDA DE ESTUDIO La curva del ejemplo

1 es una circunferencia. Emplear la

fórmula

dy

dx tan t

para hallar su pendiente en los puntos

(1, 0) y (0, 1).

Solución

dy

dx dydt

dxdt sin sen t

cos t

tan t

Como dydx es función de t, puede emplearse el teorema 10.7 repetidamente para

hallar las derivadas de orden superior. Por ejemplo,

d

d 2 y

dt dy

dx

dx dx d dy

dx 2 dxdt

d

d 3 y

dx dx d d 2 y

2 dt d 2 y

2

3 dx dx

.

dxdt

Segunda derivada.

Tercera derivada.

EJEMPLO 2

Hallar pendiente y concavidad

Para la curva dada por

x t

y

y 1 4 t 2 4,

t ≥ 0

y

3

(2, 3)

t = 4

m = 8

hallar la pendiente y la concavidad en el punto 2, 3.

Solución Como

dy

dx dydt

dxdt 12t

12t t 12 32

se puede hallar que la segunda derivada es

Forma paramétrica de la

2

1

d

d 2 y

dx dt dydx

2 dxdt

d

dt t 32

dxdt

32t12

12t12 3t.

Forma paramétrica de la

segunda derivada.

−1

−1

1

2

x

En x, y 2, 3, se tiene que t 4, y la pendiente es

dy

dx 4 32 8.

x =

t

y = 1 4 (t2 − 4)

En (2, 3), donde t 4, la gráfica es cóncava

hacia arriba

Figura 10.31

Y, cuando t 4, la segunda derivada es

d 2 y

34 12 > 0

dx2 por lo que puede concluirse que en (2, 3) la gráfica es cóncava hacia arriba, como se muestra

en la figura 10.31.

Como en las ecuaciones paramétricas x f t y y gt no se necesita que y esté

definida en función de x, puede ocurrir que una curva plana forme un lazo y se corte a sí

misma. En esos puntos la curva puede tener más de una recta tangente, como se muestra

en el ejemplo siguiente.


x = 2t − πsen t

y = 2 − π cos t

y Recta tangente (t = π/2)

6

4

EJEMPLO 3

La cicloide alargada dada por

x 2t sen sin t

Una curva con dos rectas tangentes en un punto

y

y 2 cos t

se corta a sí misma en el punto (0, 2), como se ilustra en la figura 10.32. Hallar las ecuaciones

de las dos rectas tangentes en este punto.

−π

2

−2

(0, 2)

Recta tangente (t = − π /2)

Esta cicloide alargada tiene dos rectas tangentes

en el punto (0, 2)

Figura 10.32

π

x

Solución Como x 0 y y 2 cuando t ±2, y

se tiene dydx 2 cuando t 2 y dydx 2 cuando t 2. Por tanto,

las dos rectas tangentes en (0, 2) son

y 2

Recta tangente cuando t .

2 x 2

y

dy

dx dydt

dxdt

y 2

2 x.

sen sin t

2 cos t

Recta tangente cuando t .

2

Si dydt 0 y dxdt 0 cuando t t 0 , la curva representada por x f t y

y gt tiene una tangente horizontal en f t 0 , gt 0 . Así, en el ejemplo 3, la curva dada

tiene una tangente horizontal en el punto 0, 2 (cuando t 0). De manera semejante,

si dxdt 0 y dydt 0 cuando t t 0 , la curva representada por x = f(t) y y = g(t)

tiene una tangente vertical en f t 0 , gt 0 .

Longitud de arco

Se ha visto cómo pueden emplearse las ecuaciones paramétricas para describir la trayectoria

de una partícula que se mueve en el plano. Ahora se desarrollará una fórmula para determinar

la distancia recorrida por una partícula a lo largo de su trayectoria.

Recuérdese de la sección 7.4 que la fórmula para hallar la longitud de arco de una

curva C dada por y hx en el intervalo x 0 , x 1 es

s x 1

x 1

x 0

1 hx 2 dx

x 0 1 dy

Si C está representada por las ecuaciones paramétricas x f t y y gt, a ≤ t ≤ b, y

si dxdt ft > 0, se puede escribir

1

s x

1 dy

dx 2 x

dx

1

1 dydt

dxdt 2 dx

x 0

dx 2 dx.

x 0

b

dxdt

b

2

a

b

dx dt 2

dy

dt 2 dt

a dxdt2 dydt 2

a

ft 2 gt 2 dt.

dx

dt dt


TEOREMA 10.8

LONGITUD DE ARCO EN FORMA PARAMÉTRICA

Si una curva suave C está dada por x f t y y gt y C no se corta a sí misma

en el intervalo a t b (excepto quizás en los puntos terminales), entonces la

longitud de arco de C en ese intervalo está dada por

dt 2 b

dt ft 2 gt 2 dt.

b

s dx

a dt 2

dy

a

NOTA Al aplicar la fórmula para la longitud de arco a una curva, hay que asegurarse de que la

curva se recorra una sola vez en el intervalo de integración. Por ejemplo, el círculo dado por

x cos t y y sen t, recorre una sola vez el intervalo 0 t 2, pero recorre dos veces el intervalo

0 t 4.

■

En la sección anterior se vio que si un círculo rueda a lo largo de una recta, cada

punto de su circunferencia trazará una trayectoria llamada cicloide. Si el círculo

rueda sobre otro círculo, la trayectoria del punto es una epicicloide. El ejemplo

siguiente muestra cómo hallar la longitud de arco de una epicicloide.

EJEMPLO 4

Calcular la longitud de arco

−6

ARCO DE UNA CICLOIDE

La longitud de un arco de una cicloide fue

calculada por vez primera en 1658 por el

arquitecto y matemático inglés Christopher

Wren, famoso por reconstruir muchos edificios

e iglesias en Londres, entre los que se

encuentra la Catedral de St. Paul.

2

−2

−2

−6

2

x = 5 cos t − cos 5t

y = 5 sen t − sen 5t

y

t

se

incrementa

Un punto en la circunferencia pequeña es el

que traza una epicicloide en la medida que

el círculo pequeño rueda alrededor de la

circunferencia grande

Figura 10.33

x

Un círculo de radio 1 rueda sobre otro círculo mayor de radio 4, como se muestra en la

figura 10.33. La epicicloide trazada por un punto en el círculo más pequeño está dada por

x 5 cos t cos 5t

y

Hallar la distancia recorrida por el punto al dar una vuelta completa alrededor del

círculo mayor.

Solución Antes de aplicar el teorema 10.8, hay que observar en la figura 10.33 que la

curva tiene puntos angulosos en t 0 y t 2. Entre estos dos puntos, dxdt y dydt

no son simultáneamente 0. Por tanto, la porción de la curva que se genera de t 0 a

t 2 es suave. Para hallar la distancia total recorrida por el punto, calcular la longitud

de arco que se encuentra en el primer cuadrante y multiplicar por 4.

2

s 4

2

4

0

20 0

20 0

20 0

40

20 cos 2t

40

dx

0 dt 2

dy

dt 2 dt

0

2

2

2

2

5 sen sin t 5 sen sin 5t 2 5 cos t 5 cos 5t 2 dt

2 2 sen sin t sen sin 5t 2 cos t cos 5t dt

2 2 cos 4t dt

4 sen sin 2 2t dt

sen sin 2t dt

2

0

y 5 sen sin t sen sin 5t.

Forma paramétrica de la longitud de arco.


Para la epicicloide de la figura 10.33, una longitud de arco de 40 parece correcta, puesto

que la circunferencia de un círculo de radio 6 es 2r 12 37.7.


0.5 pulg

EJEMPLO 5

Longitud de una cinta magnetofónica

Una cinta magnetofónica de 0.001 pulgadas de espesor se enrolla en una bobina cuyo radio

interior mide 0.5 pulgadas y cuyo radio exterior mide 2 pulgadas, como se muestra en la

figura 10.34. ¿Cuánta cinta se necesita para llenar la bobina?

0.001 pulg

Solución Para crear un modelo para este problema, supóngase que a medida que la cinta

se enrolla en la bobina, su distancia r al centro se incrementa en forma lineal a razón de

0.001 pulgadas por revolución, o

2 pulg

r 0.001

2

2000

,

2 000

1 000 4 000

y

x = r cos θ

y = r senθ

donde está medido en radianes. Se pueden determinar las coordenadas del punto

(x, y) correspondientes a un radio dado

θ

r

(x, y)

x

x r cos

y

y r sen sin .

Al sustituir r, se obtienen las ecuaciones paramétricas

x

y y 2000 sin .

2000 cos

sen

2 2

Figura 10.34

La fórmula de la longitud de arco se puede emplear para determinar que la longitud total

de la cinta es

s

4000

4 000

1000

dx

1 000

2000

1

2000

2000

1

2000

2000 1 4

2

1 ln

2 2

1 4000 000

1

2 000

11,781 pulgadas inches

982 pies feet

4000

4 000

1000

4000

1 000

4 000

1000

1 000

d 2

dy

d 2 d

sin cos 2 cos sin 2 d

sen

2

1 d

1000

1 000

sen

Tablas de integración

(apéndice B), fórmula 26.

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre las matemáticas de una cinta magnetofónica,

consultar “Tape Counters” de Richard L. Roth en The American Mathematical Monthly.

NOTA La gráfica de r a se

llama espiral de Arquímedes. La gráfica

de r 2 000 (ejemplo 5) es

de este tipo.

■

La longitud de la cinta del ejemplo 5 puede ser aproximada si se suman las porciones

circulares de la cinta. El radio de la más pequeña es de 0.501 y el radio de la más grande

es de 2.

s 20.501 20.502 20.503 . . . 22.000

1500

1 500

20.5 0.001i

i1

2 2 15000.5 500(0.5 0.001(1 0.001150015012

500)(1 501)/2

11,786 inches pulgadas


Área de una superficie de revolución

La fórmula para el área de una superficie de revolución en forma rectangular puede usarse

para desarrollar una fórmula para el área de la superficie en forma paramétrica.

TEOREMA 10.9

ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Si una curva suave C dada por x f t y y gt no se corta a sí misma en un intervalo

a t b, entonces el área S de la superficie de revolución generada por

rotación de C, en torno a uno de los ejes de coordenadas, está dada por

b

S 2

S 2

1. gt Revolución en torno al eje x: g(t) ≥ 0.

a

dx

dt 2

dy

dt 2

dt

b

2. f t Revolución en torno al eje y: f(t) ≥ 0.

a

dx

dt 2

dy

dt 2

dt

Estas fórmulas son fáciles de recordar si se considera al diferencial de la longitud de arco

como

ds

dx

dt 2

dy

dt 2 dt.

Entonces las fórmulas se expresan como sigue.

b

S 2

1. gt ds 2.

a

b

S 2 f t ds

a

y

−1

y

3 ,

3 3

3 2 2

3

,

2

)

2

1

−1

−2

−3

)

( )

1

C

(3, 0)

Esta superficie de revolución tiene un área

The surface

de superficie

of revolution

de 9

has a surface area

of 9.

Figura 10.35

Figure 10.35

4

x

EJEMPLO 6

Hallar el área de una superficie de revolución

Sea C el arco de la circunferencia

x 2 y 2 9

que va desde 3, 0 hasta 32, 332, como se ve en la figura 10.35. Encontrar el área

de la superficie generada por revolución de C alrededor del eje x.

Solución

x 3 cos t

C se puede representar en forma paramétrica mediante las ecuaciones

y

(El intervalo para t se obtiene observando que t 0 cuando x 3 y t 3 cuando

x 32. En este intervalo, C es suave y y es no negativa, y se puede aplicar el teorema

10.9 para obtener el área de la superficie

3

S 20

3

60

3

6

0

18 cos t

3 sen sin t dt

3

18 1 2 1

3 sen sin t3 sen sin t 2 3 cos t 2 dt

sen sin t9sin sen 2 t cos 2 t dt

0

y 3 sen sin t,

0 t 3.

Fórmula para el área de una

superficie de revolución.


9.


En los ejercicios 1 a 4, hallar

1. 2.

3. 4.

En los ejercicios 5 a 14, hallar y así como la pendiente

y la concavidad (de ser posible) en el punto correspondiente

al valor dado del parámetro.

Ecuaciones paramétricas

Punto

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

En los ejercicios 15 y 18, hallar una ecuación para la recta tangente

en cada uno de los puntos dados de la curva.

15. 16.

En los ejercicios 19 a 22, a) usar una herramienta de graficación

para trazar la curva representada por las ecuaciones paramétricas,

b) usar una herramienta de graficación para hallar dxdt,

dydt y dydx para el valor dado del parámetro, c) hallar una

ecuación de la recta tangente a la curva en el valor dado del

parámetro, y d) usar una herramienta de graficación para trazar

la curva y la recta tangente del inciso c).


Parámetro

19.

20.


Parámetro

21.

22.

En los ejercicios 23 a 26, hallar las ecuaciones de las rectas tangentes

en el punto en el que la curva se corta a sí misma.

23.

24.

25.

26.

En los ejercicios 27 y 28, hallar todos los puntos de tangencia horizontal

y vertical (si los hay) a la porción de la curva que se muestra.

27. Evolvente o involuta de un círculo: 28.

x cos sen

y sen cos

En los ejercicios 29 a 38, hallar todos los puntos de tangencia

horizontal y vertical (si los hay) a la curva. Usar una herramienta

de graficación para confirmar los resultados.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

En los ejercicios 39 a 44, determinar los intervalos de t en los que

la curva es cóncava hacia abajo o cóncava hacia arriba.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

In Exercises 1– 4, find

1. 2.

3. 4.

In Exercises 5–14, find and and find the slope

and concavity (if possible) at the given value of the parameter.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

In Exercises 15–18, find an equation of the tangent line at each

given point on the curve.

15. 16.

17. 18.

y

y

In Exercises 19–22, (a) use a graphing utility to graph the curve

represented by the parametric equations, (b) use a graphing

utility to find and at the given value of the

parameter, (c) find an equation of the tangent line to the curve

at the given value of the parameter, and (d) use a graphing

utility to graph the curve and the tangent line from part (c).

19.

20.

21.

22.

In Exercises 23–26, find the equations of the tangent lines at the

point where the curve crosses itself.

23.

24.

25.

26.

In Exercises 27 and 28, find all points (if any) of horizontal and

vertical tangency to the portion of the curve shown.

27. Involute of a circle: 28.

In Exercises 29–38, find all points (if any) of horizontal and

vertical tangency to the curve. Use a graphing utility to confirm

your results.

29. 30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

In Exercises 39– 44, determine the t intervals on which the

curve is concave downward or concave upward.

39.

40.

41.

42.

43.

44. 0 < t < 2

y 2 sen t,

x 4 cos t,

0 < t <

y cos t,

x sen t,

y

ln t

x t 2 ,

y 2t ln t

x 2t ln t,

y t 2 t 3

x 2 t 2 ,

y t 3 t

x 3t 2 ,

x cos 2 , y cos

x sec , y tan

y

2 sin

x 4 cos 2 ,

y 2 sen

x 5 3 cos ,

x cos , y 2 sin 2

x 3 cos , y 3 sin

x t 2 t 2, y t 3 3t

x t 4, y t 3 3t

x t 1, y t 2 3t

x 4 t, y t 2 x

2

2

4

4

6

6

8

10

8 10 12

y

x

2

2

4

4

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−6

−4

θ

y

y

sin

cos

y 21 cos

x

cos

sin

x 2

y t 2

x t 3 6t,

x t 2 t, y t 3 3t 1

y 2t sin t

x 2 cos t,

x 2 sin 2t, y 3 sin t

3

4

x 4 cos , y 3 sin

t 1

x t 2 t 2, y t 3 3t

Parameter

Parametric Equations

t 1

x t 2, y

1

t

3

t 1

x 6t, y t 2 4

Parameter


dy/dx

dy/dt,

dx/dt,

18, 10

3, 2,

2, 0 ,

3, 3

3, 1,

0, 0 ,

y t 3 t

y t 2 2t

x t 4 2

x t 2 4

x

−1 2

1

1

6

6

5

5

4

3

4 + 3

2

, 2)

)

(2, 5)

(−1, 3)

3

y

x

−4

−2

−2

2

6

4

4

(0, 2)

2

1

2

, )

)

3

y

2 3

2

,

−

)

)

3

y 3 2 sin

y 2 sin 2 x 2 3 cos

x

2 cot

x sin , y 1 cos

4

x cos 3 , y sin 3

t 2

x t, y t 1

6

x 2 sec , y 1 2 tan

0

x cos , y 3 sin

4

x 4 cos , y 4 sen

t 0

x t 2 5t 4, y 4t

t 1

x t 1, y t 2 3t

t 1

x t, y 3t 1

t 3

x 4t, y 3t 2

Point


d 2 y/dx 2 ,

dy/dx

x 2e , y e 2

x sin 2 , y cos 2

x 3 t, y 4 t

x t 2 , y 7 6t

dy/dx.

10.3 Parametric Equations and Calculus 727


0 < t <

y cos t,

x sin t,

y ln t

x t 2 ,

y 2t ln t

x 2t ln t,

y t 2 t 3

x 2 t 2 ,


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y 2 sen t,

x 4 cos t,

0 < t <

y cos t,

x sen t,

y

ln t

x t 2 ,

y 2t ln t

x 2t ln t,

y t 2 t 3

x 2 t 2 ,

y t 3 t

x 3t 2 ,

x cos 2 , y cos

x sec , y tan

y

2 sin

x 4 cos 2 ,

y 2 sen

x 5 3 cos ,

x cos , y 2 sin 2

x 3 cos , y 3 sin

x t 2 t 2, y t 3 3t

x t 4, y t 3 3t

x t 1, y t 2 3t

x 4 t, y t 2 x

2

2

4

4

6

6

8

10

8 10 12

y

x

2

2

4

4

6

6

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8

−2

−6

−4

θ

y

y

sin

cos

y 21 cos

x

cos

sin

x 2

y t 2

x t 3 6t,

x t 2 t, y t 3 3t 1

y 2t sin t

x 2 cos t,


3

4

x 4 cos , y 3 sin

t 1

x t 2 t 2, y t 3 3t

Parameter


t 1

x t 2, y

1

t

3

t 1

x 6t, y t 2 4

Parameter


dy/dx

dy/dt,

dx/dt,

18, 10

3, 2,

2, 0 ,

3, 3

3, 1,

0, 0 ,

y t 3 t

y t 2 2t

x t 4 2

x t 2 4

x

−1 2

1

1

6

6

5

5

4

3

4 + 3

2

, 2)

)

(2, 5)

(−1, 3)

3

y

x

−4

−2

−2

2

6

4

4

(0, 2)

2

1

2

, )

)

3

y

2 3

2

,

−

)

)

3

y 3 2 sin

y 2 sin 2 x 2 3 cos

x

2 cot

x sin , y 1 cos

4

x cos 3 , y sin 3

t 2

x t, y t 1

6

x 2 sec , y 1 2 tan

0

x cos , y 3 sin

4

x 4 cos , y 4 sen

t 0

x t 2 5t 4, y 4t

t 1

x t 1, y t 2 3t

t 1

x t, y 3t 1

t 3

x 4t, y 3t 2

Point


d 2 y/dx 2 ,

dy/dx

x 2e , y e 2

x sin 2 , y cos 2

x 3 t, y 4 t

x t 2 , y 7 6t

dy/dx.



x cos 2 , y cos

x sec , y tan

y 2 sin

x 4 cos 2 ,


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y 2 sen t,

x 4 cos t,

0 < t <

y cos t,

x sen t,

y

ln t

x t 2 ,

y 2t ln t

x 2t ln t,

y t 2 t 3

x 2 t 2 ,

y t 3 t

x 3t 2 ,

x cos 2 , y cos

x sec , y tan

y

2 sin

x 4 cos 2 ,

y 2 sen

x 5 3 cos ,

x cos , y 2 sin 2

x 3 cos , y 3 sin

x t 2 t 2, y t 3 3t

x t 4, y t 3 3t

x t 1, y t 2 3t

x 4 t, y t 2 x

2

2

4

4

6

6

8

10

8 10 12

y

x

2

2

4

4

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−2

−6

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θ

y

y

sin

cos

y 21 cos

x

cos

sin

x 2

y t 2

x t 3 6t,

x t 2 t, y t 3 3t 1

y 2t sin t

x 2 cos t,


3

4

x 4 cos , y 3 sin

t 1

x t 2 t 2, y t 3 3t

Parameter


t 1

x t 2, y

1

t

3

t 1

x 6t, y t 2 4

Parameter


dy/dx

dy/dt,

dx/dt,

18, 10

3, 2,

2, 0 ,

3, 3

3, 1,

0, 0 ,

y t 3 t

y t 2 2t

x t 4 2

x t 2 4

x

−1 2

1

1

6

6

5

5

4

3

4 + 3

2

, 2)

)

(2, 5)

(−1, 3)

3

y

x

−4

−2

−2

2

6

4

4

(0, 2)

2

1

2

, )

)

3

y

2 3

2

,

−

)

)

3

y 3 2 sin

y 2 sin 2 x 2 3 cos

x

2 cot

x sin , y 1 cos

4

x cos 3 , y sin 3

t 2

x t, y t 1

6

x 2 sec , y 1 2 tan

0

x cos , y 3 sin

4

x 4 cos , y 4 sen

t 0

x t 2 5t 4, y 4t

t 1

x t 1, y t 2 3t

t 1

x t, y 3t 1

t 3

x 4t, y 3t 2

Point


d 2 y/dx 2 ,

dy/dx

x 2e , y e 2

x sin 2 , y cos 2

x 3 t, y 4 t

x t 2 , y 7 6t

dy/dx.



x cos , y 2 sin 2

x 3 cos , y 3 sin

x t 2 t 2, y t 3 3t


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y

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44. 0 < t < 2

y 2 sen t,

x 4 cos t,

0 < t <

y cos t,

x sen t,

y

ln t

x t 2 ,

y 2t ln t

x 2t ln t,

y t 2 t 3

x 2 t 2 ,

y t 3 t

x 3t 2 ,

x cos 2 , y cos

x sec , y tan

y

2 sin

x 4 cos 2 ,

y 2 sen

x 5 3 cos ,

x cos , y 2 sin 2

x 3 cos , y 3 sin

x t 2 t 2, y t 3 3t

x t 4, y t 3 3t

x t 1, y t 2 3t

x 4 t, y t 2 x

2

2

4

4

6

6

8

10

8 10 12

y

x

2

2

4

4

6

6

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8

−2

−6

−4

θ

y

y

sin

cos

y 21 cos

x

cos

sin

x 2

y t 2

x t 3 6t,

x t 2 t, y t 3 3t 1

y 2t sin t

x 2 cos t,


3

4

x 4 cos , y 3 sin

t 1

x t 2 t 2, y t 3 3t

Parameter


t 1

x t 2, y

1

t

3

t 1

x 6t, y t 2 4

Parameter


dy/dx

dy/dt,

dx/dt,

18, 10

3, 2,

2, 0 ,

3, 3

3, 1,

0, 0 ,

y t 3 t

y t 2 2t

x t 4 2

x t 2 4

x

−1 2

1

1

6

6

5

5

4

3

4 + 3

2

, 2)

)

(2, 5)

(−1, 3)

3

y

x

−4

−2

−2

2

6

4

4

(0, 2)

2

1

2

, )

)

3

y

2 3

2

,

−

)

)

3

y 3 2 sin

y 2 sin 2 x 2 3 cos

x

2 cot

x sin , y 1 cos

4

x cos 3 , y sin 3

t 2

x t, y t 1

6

x 2 sec , y 1 2 tan

0

x cos , y 3 sin

4

x 4 cos , y 4 sen

t 0

x t 2 5t 4, y 4t

t 1

x t 1, y t 2 3t

t 1

x t, y 3t 1

t 3

x 4t, y 3t 2

Point


d 2 y/dx 2 ,

dy/dx

x 2e , y e 2

x sin 2 , y cos 2

x 3 t, y 4 t

x t 2 , y 7 6t

dy/dx.



ind

2.

4.

, find and and find the slope

ossible) at the given value of the parameter.

, find an equation of the tangent line at each

curve.

16.

18.

y

y

, (a) use a graphing utility to graph the curve

e parametric equations, (b) use a graphing

and

at the given value of the

an equation of the tangent line to the curve

of the parameter, and (d) use a graphing

curve and the tangent line from part (c).

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y 2 sen t,

x 4 cos t,

0 < t <

y cos t,

x sen t,

y

ln t

x t 2 ,

y 2t ln t

x 2t ln t,

y t 2 t 3

x 2 t 2 ,

y t 3 t

x 3t 2 ,

x cos 2 , y cos

x sec , y tan

y

2 sin

x 4 cos 2 ,

y 2 sen

x 5 3 cos ,

x cos , y 2 sin 2

x 3 cos , y 3 sin

x t 2 t 2, y t 3 3t

x t 4, y t 3 3t

x t 1, y t 2 3t

x 4 t, y t 2 x

2

2

4

4

6

6

8

10

8 10 12

y

x

2

2

4

4

6

6

8

8

−2

−6

−4

θ

y

y

sin

cos

y 21 cos

x

cos

sin

x 2

y t 2

x t 3 6t,

x t 2 t, y t 3 3t 1

y 2t sin t

x 2 cos t,


3

4

x 4 cos , y 3 sin

t 1

x t 2 t 2, y t 3 3t

Parameter


t 1

1

t

3

t 1

4

Parameter

uations

dy/dx

dy/dt,

t,

18, 10

3, 2,

2, 0 ,

3, 3

,

y t 3 t

x t 4 2

x

−1 2

1

1

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6

5

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4

3

4 + 3

2

, 2)

)

(2, 5)

(−1, 3)

3

y

x

2 4

0, 2)

2

1

2

, )

)

3

y 3 2 sin

x 2 3 cos

y 1 cos

4

sin 3

t 2

t 1

6

y 1 2 tan

0

3 sin

4

4 sen

t 0

4, y 4t

t 1

t 2

3t

t 1

t 1

t 3

2

Point

uations

d 2 y/dx 2 ,

dy/dx

x 2e , y e 2

cos 2

x 3 t, y 4 t

6t

dy/dx.


rcises

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y 2 sen t,

x 4 cos t,

0 < t <

y cos t,

x sen t,

y

ln t

x t 2 ,

y 2t ln t

x 2t ln t,

y t 2 t 3

x 2 t 2 ,

y t 3 t

x 3t 2 ,

x cos 2 , y cos

x sec , y tan

y

2 sin

x 4 cos 2 ,

y 2 sen

x 5 3 cos ,

x cos , y 2 sin 2

x 3 cos , y 3 sin

x t 2 t 2, y t 3 3t

x t 4, y t 3 3t

x t 1, y t 2 3t

x 4 t, y t 2 x

2

2

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y

x

2

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θ

y

y

sin

cos

y 21 cos

x

cos

sin

x 2

y t 2

x t 3 6t,

x t 2 t, y t 3 3t 1

y 2t sin t

x 2 cos t,


3

4

x 4 cos , y 3 sin

t 1

x t 2 t 2, y t 3 3t

Parameter


t 1

x t 2, y

1

t

3

t 1

x 6t, y t 2 4

Parameter


dy/dx

dy/dt,

dx/dt,

18, 10

3, 2,

2, 0 ,

3, 3

3, 1,

0, 0 ,

y t 3 t

y t 2 2t

x t 4 2

x t 2 4

x

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3

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, 2)

)

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(−1, 3)

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x

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(0, 2)

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, )

)

3

y

2 3

2

,

−

)

)

3

y 3 2 sin

y 2 sin 2 x 2 3 cos

x

2 cot

x sin , y 1 cos

4

x cos 3 , y sin 3

t 2

x t, y t 1

6

x 2 sec , y 1 2 tan

0

x cos , y 3 sin

4

x 4 cos , y 4 sen

t 0

x t 2 5t 4, y 4t

t 1

x t 1, y t 2 3t

t 1

x t, y 3t 1

t 3

x 4t, y 3t 2

Point


d 2 y/dx 2 ,

dy/dx

x 2e , y e 2

x sin 2 , y cos 2

x 3 t, y 4 t

x t 2 , y 7 6t

dy/dx.



x

2

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y

x

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y

y 21 cos

x 2

y t 2

x t 3 6t,

x t 2 t, y t 3 3t 1

y 2t sin t

x 2 cos t,


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x 4 cos , y 3 sin

t 1

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y 2 sen t,

x 4 cos t,

0 < t <

y cos t,

x sen t,

y

ln t

x t 2 ,

y 2t ln t

x 2t ln t,

y t 2 t 3

x 2 t 2 ,

y t 3 t

x 3t 2 ,

x cos 2 , y cos

x sec , y tan

y

2 sin

x 4 cos 2 ,

y 2 sen

x 5 3 cos ,

x cos , y 2 sin 2

x 3 cos , y 3 sin

x t 2 t 2, y t 3 3t

x t 4, y t 3 3t

x t 1, y t 2 3t

x 4 t, y t 2 x

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x

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y 21 cos

x

cos

sin

x 2

y t 2

x t 3 6t,

x t 2 t, y t 3 3t 1

y 2t sin t

x 2 cos t,


3

4

x 4 cos , y 3 sin

t 1

x t 2 t 2, y t 3 3t

Parameter


t 1

x t 2, y

1

t

3

t 1

x 6t, y t 2 4

Parameter


dy/dx

dy/dt,

dx/dt,

18, 10

3, 2 ,

2, 0 ,

3, 3

3, 1 ,

0, 0 ,

y t 3 t

y t 2 2t

x t 4 2

x t 2 4

x

−1 2

1

1

6

6

5

5

4

3

4 + 3

2

, 2)

)

(2, 5)

(−1, 3)

3

y

x

−4

−2

−2

2

6

4

4

(0, 2)

2

1

2

, )

)

3

y

2 3

2

,

−

)

)

3

y 3 2 sin

y 2 sin 2 x 2 3 cos

x

2 cot

x sin , y 1 cos

4

x cos 3 , y sin 3

t 2

x t, y t 1

6

x 2 sec , y 1 2 tan

0

x cos , y 3 sin

4

x 4 cos , y 4 sen

t 0

x t 2 5t 4, y 4t

t 1

x t 1, y t 2 3t

t 1

x t, y 3t 1

t 3

x 4t, y 3t 2

Point


d 2 y/dx 2 ,

dy/dx

x 2e , y e 2

x sin 2 , y cos 2

x 3 t, y 4 t

x t 2 , y 7 6t

dy/dx.



x

−1 2

1

1

6

6

5

5

4

3

4 + 3

2

2

( , )

(2, 5)

(−1, 3)

3

y

x

−4

−2

−2

2

6

4

4

(0, 2)

2

−

3

2

( , ) 2

1

2

( , )

3 3

y

y 3 2 sin

y 2 sin 2

x 2 3 cos

x 2 cot

x

sin , y 1 cos

4

x cos 3, y sin 3

t 2

x t, y t 1

6

x 2 sec , y 1 2 tan

0

x cos , y 3 sin

4


1. 2.

3. 4.



5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.



15. 16.

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y

y







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44. 0 < t < 2

y 2 sen t,

x 4 cos t,

0 < t <

y cos t,

x sen t,

y

ln t

x t 2 ,

y 2t ln t

x 2t ln t,

y t 2 t 3

x 2 t 2 ,

y t 3 t

x 3t 2 ,

x cos 2 , y cos

x sec , y tan

y

2 sin

x 4 cos 2 ,

y 2 sen

x 5 3 cos ,

x cos , y 2 sin 2

x 3 cos , y 3 sin

x t 2 t 2, y t 3 3t

x t 4, y t 3 3t

x t 1, y t 2 3t

x 4 t, y t 2 x

2

2

4

4

6

6

8

10

8 10 12

y

x

2

2

4

4

6

6

8

8

−2

−6

−4

θ

y

y

sin

cos

y 21 cos

x

cos

sin

x 2

y t 2

x t 3 6t,

x t 2 t, y t 3 3t 1

y 2t sin t

x 2 cos t,


3

4

x 4 cos , y 3 sin

t 1

x t 2 t 2, y t 3 3t

Parameter


t 1

x t 2, y

1

t

3

t 1

x 6t, y t 2 4

Parameter


dy/dx

dy/dt,

dx/dt,

18, 10

3, 2,

2, 0 ,

3, 3

3, 1,

0, 0 ,

y t 3 t

y t 2 2t

x t 4 2

x t 2 4

x

−1 2

1

1

6

6

5

5

4

3

4 + 3

2

, 2)

)

(2, 5)

(−1, 3)

3

y

x

−4

−2

−2

2

6

4

4

(0, 2)

2

1

2

, )

)

3

y

2 3

2

,

−

)

)

3

y 3 2 sin

y 2 sin 2 x 2 3 cos

x

2 cot

x sin , y 1 cos

4

x cos 3 , y sin 3

t 2

x t, y t 1

6

x 2 sec , y 1 2 tan

0

x cos , y 3 sin

4

x 4 cos , y 4 sen

t 0

x t 2 5t 4, y 4t

t 1

x t 1, y t 2 3t

t 1

x t, y 3t 1

t 3

x 4t, y 3t 2

Point


d 2 y/dx 2 ,

dy/dx

x 2e , y e 2

x sin 2 , y cos 2

x 3 t, y 4 t

x t 2 , y 7 6t

dy/dx.



t 0


1. 2.

3. 4.



5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

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15. 16.

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y

y







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44. 0 < t < 2

y 2 sen t,

x 4 cos t,

0 < t <

y cos t,

x sen t,

y

ln t

x t 2 ,

y 2t ln t

x 2t ln t,

y t 2 t 3

x 2 t 2 ,

y t 3 t

x 3t 2 ,

x cos 2 , y cos

x sec , y tan

y

2 sin

x 4 cos 2 ,

y 2 sen

x 5 3 cos ,

x cos , y 2 sin 2

x 3 cos , y 3 sin

x t 2 t 2, y t 3 3t

x t 4, y t 3 3t

x t 1, y t 2 3t

x 4 t, y t 2 x

2

2

4

4

6

6

8

10

8 10 12

y

x

2

2

4

4

6

6

8

8

−2

−6

−4

θ

y

y

sin

cos

y 21 cos

x

cos

sin

x 2

y t 2

x t 3 6t,

x t 2 t, y t 3 3t 1

y 2t sin t

x 2 cos t,


3

4

x 4 cos , y 3 sin

t 1

x t 2 t 2, y t 3 3t

Parameter


t 1

x t 2, y

1

t

3

t 1

x 6t, y t 2 4

Parameter


dy/dx

dy/dt,

dx/dt,

18, 10

3, 2,

2, 0 ,

3, 3

3, 1,

0, 0 ,

y t 3 t

y t 2 2t

x t 4 2

x t 2 4

x

−1 2

1

1

6

6

5

5

4

3

4 + 3

2

, 2)

)

(2, 5)

(−1, 3)

3

y

x

−4

−2

−2

2

6

4

4

(0, 2)

2

1

2

, )

)

3

y

2 3

2

,

−

)

)

3

y 3 2 sin

y 2 sin 2 x 2 3 cos

x

2 cot

x sin , y 1 cos

4

x cos 3 , y sin 3

t 2

x t, y t 1

6

x 2 sec , y 1 2 tan

0

x cos , y 3 sin

4

x 4 cos , y 4 sen

t 0

x t 2 5t 4, y 4t

t 1

x t 1, y t 2 3t

t 1

x t, y 3t 1

t 3

x 4t, y 3t 2

Point


d 2 y/dx 2 ,

dy/dx

x 2e , y e 2

x sin 2 , y cos 2

x 3 t, y 4 t

x t 2 , y 7 6t

dy/dx.



t 1

x t 1, y t 2 3t

t 1

x t, y 3t 1

t 3


1. 2.

3. 4.



5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.



15. 16.

17. 18.

y

y







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44. 0 < t < 2

y 2 sen t,

x 4 cos t,

0 < t <

y cos t,

x sen t,

y

ln t

x t 2 ,

y 2t ln t

x 2t ln t,

y t 2 t 3

x 2 t 2 ,

y t 3 t

x 3t 2 ,

x cos 2 , y cos

x sec , y tan

y

2 sin

x 4 cos 2 ,

y 2 sen

x 5 3 cos ,

x cos , y 2 sin 2

x 3 cos , y 3 sin

x t 2 t 2, y t 3 3t

x t 4, y t 3 3t

x t 1, y t 2 3t

x 4 t, y t 2 x

2

2

4

4

6

6

8

10

8 10 12

y

x

2

2

4

4

6

6

8

8

−2

−6

−4

θ

y

y

sin

cos

y 21 cos

x

cos

sin

x 2

y t 2

x t 3 6t,

x t 2 t, y t 3 3t 1

y 2t sin t

x 2 cos t,


3

4

x 4 cos , y 3 sin

t 1

x t 2 t 2, y t 3 3t

Parameter


t 1

x t 2, y

1

t

3

t 1

x 6t, y t 2 4

Parameter


dy/dx

dy/dt,

dx/dt,

18, 10

3, 2,

2, 0 ,

3, 3

3, 1,

0, 0 ,

y t 3 t

y t 2 2t

x t 4 2

x t 2 4

x

−1 2

1

1

6

6

5

5

4

3

4 + 3

2

, 2)

)

(2, 5)

(−1, 3)

3

y

x

−4

−2

−2

2

6

4

4

(0, 2)

2

1

2

, )

)

3

y

2 3

2

,

−

)

)

3

y 3 2 sin

y 2 sin 2 x 2 3 cos

x

2 cot

x sin , y 1 cos

4

x cos 3 , y sin 3

t 2

x t, y t 1

6

x 2 sec , y 1 2 tan

0

x cos , y 3 sin

4

x 4 cos , y 4 sen

t 0

x t 2 5t 4, y 4t

t 1

x t 1, y t 2 3t

t 1

x t, y 3t 1

t 3

x 4t, y 3t 2

Point


d 2 y/dx 2 ,

dy/dx

x 2e , y e 2

x sin 2 , y cos 2

x 3 t, y 4 t

x t 2 , y 7 6t

dy/dx.



d 2 y/dx 2 ,

dy/dx

x 2e, y e 2

x sin 2 , y cos 2

x 3 t, y 4 t


1. 2.

3. 4.



5.

6.

7.

8.

9.

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11.

12.

13.

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15. 16.

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44. 0 < t < 2

y 2 sen t,

x 4 cos t,

0 < t <

y cos t,

x sen t,

y

ln t

x t 2 ,

y 2t ln t

x 2t ln t,

y t 2 t 3

x 2 t 2 ,

y t 3 t

x 3t 2 ,

x cos 2 , y cos

x sec , y tan

y

2 sin

x 4 cos 2 ,

y 2 sen

x 5 3 cos ,

x cos , y 2 sin 2

x 3 cos , y 3 sin

x t 2 t 2, y t 3 3t

x t 4, y t 3 3t

x t 1, y t 2 3t

x 4 t, y t 2 x

2

2

4

4

6

6

8

10

8 10 12

y

x

2

2

4

4

6

6

8

8

−2

−6

−4

θ

y

y

sin

cos

y 21 cos

x

cos

sin

x 2

y t 2

x t 3 6t,

x t 2 t, y t 3 3t 1

y 2t sin t

x 2 cos t,


3

4

x 4 cos , y 3 sin

t 1

x t 2 t 2, y t 3 3t

Parameter


t 1

x t 2, y

1

t

3

t 1

x 6t, y t 2 4

Parameter


dy/dx

dy/dt,

dx/dt,

18, 10

3, 2,

2, 0 ,

3, 3

3, 1,

0, 0 ,

y t 3 t

y t 2 2t

x t 4 2

x t 2 4

x

−1 2

1

1

6

6

5

5

4

3

4 + 3

2

, 2)

)

(2, 5)

(−1, 3)

3

y

x

−4

−2

−2

2

6

4

4

(0, 2)

2

1

2

, )

)

3

y

2 3

2

,

−

)

)

3

y 3 2 sin

y 2 sin 2 x 2 3 cos

x

2 cot

x sin , y 1 cos

4

x cos 3 , y sin 3

t 2

x t, y t 1

6

x 2 sec , y 1 2 tan

0

x cos , y 3 sin

4

x 4 cos , y 4 sen

t 0

x t 2 5t 4, y 4t

t 1

x t 1, y t 2 3t

t 1

x t, y 3t 1

t 3

x 4t, y 3t 2

Point


d 2 y/dx 2 ,

dy/dx

x 2e , y e 2

x sin 2 , y cos 2

x 3 t, y 4 t

x t 2 , y 7 6t

dy/dx.



dy/dx.

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen 2

10.3 Ejercicios


1. 2.

3. 4.



5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.



15. 16.

17. 18.

y

y







19.

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39.

40.

41.

42.

43.

44. 0 < t < 2

y 2 sen t,

x 4 cos t,

0 < t <

y cos t,

x sen t,

y

ln t

x t 2 ,

y 2t ln t

x 2t ln t,

y t 2 t 3

x 2 t 2 ,

y t 3 t

x 3t 2 ,

x cos 2 , y cos

x sec , y tan

y

2 sin

x 4 cos 2 ,

y 2 sen

x 5 3 cos ,

x cos , y 2 sin 2

x 3 cos , y 3 sin

x t 2 t 2, y t 3 3t

x t 4, y t 3 3t

x t 1, y t 2 3t

x 4 t, y t 2 x

2

2

4

4

6

6

8

10

8 10 12

y

x

2

2

4

4

6

6

8

8

−2

−6

−4

θ

y

y

sin

cos

y 21 cos

x

cos

sin

x 2

y t 2

x t 3 6t,

x t 2 t, y t 3 3t 1

y 2t sin t

x 2 cos t,


3

4

x 4 cos , y 3 sin

t 1

x t 2 t 2, y t 3 3t

Parameter


t 1

x t 2, y

1

t

3

t 1

x 6t, y t 2 4

Parameter


dy/dx

dy/dt,

dx/dt,

18, 10

3, 2,

2, 0 ,

3, 3

3, 1,

0, 0 ,

y t 3 t

y t 2 2t

x t 4 2

x t 2 4

x

−1 2

1

1

6

6

5

5

4

3

4 + 3

2

, 2)

)

(2, 5)

(−1, 3)

3

y

x

−4

−2

−2

2

6

4

4

(0, 2)

2

1

2

, )

)

3

y

2 3

2

,

−

)

)

3

y 3 2 sin

y 2 sin 2 x 2 3 cos

x

2 cot

x sin , y 1 cos

4

x cos 3 , y sin 3

t 2

x t, y t 1

6

x 2 sec , y 1 2 tan

0

x cos , y 3 sin

4

x 4 cos , y 4 sen

t 0

x t 2 5t 4, y 4t

t 1

x t 1, y t 2 3t

t 1

x t, y 3t 1

t 3

x 4t, y 3t 2

Point


d 2 y/dx 2 ,

dy/dx

x 2e , y e 2

x sin 2 , y cos 2

x 3 t, y 4 t

x t 2 , y 7 6t

dy/dx.



sen t


Longitud de arco

En los ejercicios 45 a 48, dar una integral que

represente la longitud de arco de la curva en el intervalo dado.

No evaluar la integral.


Intervalo

45.

46.

47.

48.

Longitud de arco

En los ejercicios 49 a 56, hallar la longitud de

arco de la curva en el intervalo dado.


Intervalo

53.

54.

55.

56.

Longitud de arco

En los ejercicios 57 a 60, hallar la longitud de

arco de la curva en el intervalo

57. Perímetro de una hipocicloide:

58. Circunferencia de un círculo:

59. Arco de una cicloide:

60. Evolvente o involuta de un círculo:

61. Trayectoria de un proyectil La trayectoria de un proyectil se

describe por medio de las ecuaciones paramétricas

y

donde x y y se miden en pies.

a) Utilizar una herramienta de graficación para trazar la trayectoria

del proyectil.

b) Utilizar una herramienta de graficación para estimar el

alcance del proyectil.

c) Utilizar las funciones de integración de una herramienta de

graficación para aproximar la longitud de arco de la trayectoria.

Comparar este resultado con el alcance del proyectil.

62. Trayectoria de un proyectil Si el proyectil del ejercicio 61 se

lanza formando un ángulo

con la horizontal, sus ecuaciones

paramétricas son

y

Usar una herramienta de graficación para hallar el ángulo que

maximiza el alcance del proyectil. ¿Qué ángulo maximiza la

longitud de arco de la trayectoria?

63. Hoja (o folio) de Descartes Considerar las ecuaciones paramétricas

y

a) Usar una herramienta de graficación para trazar la curva

descrita por las ecuaciones paramétricas.

b) Usar una herramienta de graficación para hallar los puntos de

tangencia horizontal a la curva.

c) Usar las funciones de integración de una herramienta de

graficación para aproximar la longitud de arco del lazo cerrado.

(Sugerencia: Usar la simetría e integrar sobre el intervalo

64. Hechicera o bruja de Agnesi Considerar las ecuaciones paramétricas

y

a) Emplear una herramienta de graficación para trazar la curva

descrita por las ecuaciones paramétricas.

b) Utilizar una herramienta de graficación para hallar los puntos

de tangencia horizontal a la curva.

c) Usar las funciones de integración de una herramienta de

graficación para aproximar la longitud de arco en el intervalo

65. Redacción

a) Usar una herramienta de graficación para representar cada

conjunto de ecuaciones paramétricas.

b) Comparar las gráficas de los dos conjuntos de ecuaciones

paramétricas del inciso a). Si la curva representa el movimiento

de una partícula y t es tiempo, ¿qué puede inferirse

acerca de las velocidades promedio de la partícula en las

trayectorias representadas por los dos conjuntos de ecuaciones

paramétricas?

c) Sin trazar la curva, determinar el tiempo que requiere la

partícula para recorrer las mismas trayectorias que en los

incisos a) y b) si la trayectoria está descrita por

y

66. Redacción

a) Cada conjunto de ecuaciones paramétricas representa el movimiento

de una partícula. Usar una herramienta de graficación

para representar cada conjunto.

Primera partícula

Segunda partícula

b) Determinar el número de puntos de intersección.

c) ¿Estarán las partículas en algún momento en el mismo lugar

al mismo tiempo? Si es así, identificar esos puntos.

d) Explicar qué ocurre si el movimiento de la segunda partícula

se representa por

0 t 2.

y 2 4 cos t,

x 2 3 sin t,

Arc Length

In Exercises 45–48, write an integral that represents

the arc length of the curve on the given interval. Do not

evaluate the integral.

45.

46.

47.

48.

Arc Length

In Exercises 49–56, find the arc length of the curve

on the given interval.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

Arc Length


on the interval

57. Hypocycloid perimeter:

58. Circle circumference:

59. Cycloid arch:

60. Involute of a circle:

61. Path of a Projectile The path of a projectile is modeled by the

parametric equations

and

where and are measured in feet.

(a) Use a graphing utility to graph the path of the projectile.

(b) Use a graphing utility to approximate the range of the

projectile.

(c) Use the integration capabilities of a graphing utility to

approximate the arc length of the path. Compare this result

with the range of the projectile.

62. Path of a Projectile If the projectile in Exercise 61 is

launched at an angle

with the horizontal, its parametric

equations are

and

Use a graphing utility to find the angle that maximizes the

range of the projectile. What angle maximizes the arc length of

the trajectory?

63. Folium of Descartes Consider the parametric equations

and

(a) Use a graphing utility to graph the curve represented by the

parametric equations.

(b) Use a graphing utility to find the points of horizontal

tangency to the curve.


approximate the arc length of the closed loop.

Hint: Use

symmetry and integrate over the interval

64. Witch of Agnesi Consider the parametric equations

and





(c) Use the integration capabilities of a graphing utility

to approximate the arc length over the interval

65. Writing

(a) Use a graphing utility to graph each set of parametric

equations.

(b) Compare the graphs of the two sets of parametric equations

in part (a). If the curve represents the motion of a particle

and is time, what can you infer about the average speeds

of the particle on the paths represented by the two sets of

parametric equations?

(c) Without graphing the curve, determine the time required for

a particle to traverse the same path as in parts (a) and (b) if

the path is modeled by

and

66. Writing

(a) Each set of parametric equations represents the motion of a

particle. Use a graphing utility to graph each set.

(b) Determine the number of points of intersection.

(c) Will the particles ever be at the same place at the same

time? If so, identify the point(s).

(d) Explain what happens if the motion of the second particle

is represented by

0 t 2 .

y 2 4 cos t,

x 2 3 sin t,

0 t 2

0 t 2

y

3 cos t

y

4 sin t

x

4 sin t

x

3 cos t

Second Particle

First Particle

y 1 cos 1 2t .

x

1

2t

sin 1 2t

t

0 t

0 t 2

y 1 cos 2t

y 1 cos t

x 2t sin 2t

x t sin t

4 2.

2 2 .

y 4 sin2 ,

x

4 cot

0 t 1.

y

4t 2

1 t 3.

x

4t

1 t 3

y 90 sin t 16t 2 .

x 90 cos t

y

x

y 90 sin 30 t 16t 2

x

90 cos 30 t

x cos sin , y sin cos

x a sin , y a 1 cos

x a cos , y a sin

x a cos 3 , y a sin 3

[0, 2 ].

1 t 2

x t, y

t 5

10

1

6t 3 0 t 1

x t, y 3t 1

0 t

1

2

x arcsen t, y ln 1 t 2 0 t

2

x e t cos t, y e t sen t

1 t 0

x t 2 1, y 4t 3 3

1 t 4

x 6t 2 , y 2t 3 0 t 2

x t 2 , y 2t

1 t 3

x 3t 5, y 7 2t

Interval


0 t

y t cos t

x t sen t,

2 t 2

y 2t 1

x e t 2,

1 t 5

y 4t 3

x ln t,

1 t 3

y 2t 32

x 3t t 2 ,

Interval



y 3 cos t

y 4 sin t

x 4 sin t

x 3 cos t

y 1 cos 1 2 t.

x 1 2 t sin1 2 t 0 ≤ t ≤

0 ≤ t ≤ 2

y 1 cos2t

y 1 cos t

x 2t sin2t

x t sin t

Arc Length




45.

46.

47.

48.

Arc Length



49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

Arc Length


on the interval



59. Cycloid arch:




and




projectile.







equations are

and



the trajectory?


and







Hint: Use



and







65. Writing


equations.









and

66. Writing







is represented by

0 t 2 .

y 2 4 cos t,

x 2 3 sin t,

0 t 2

0 t 2

y

3 cos t

y

4 sin t

x

4 sin t

x

3 cos t

Second Particle

First Particle

y 1 cos 1 2t .

x

1

2t

sin 1 2t

t

0 t

0 t 2

y 1 cos 2t

y 1 cos t

x 2t sin 2t

x t sin t

4 2.

2 2 .

y 4 sin2 ,

x

4 cot

0 t 1.

y

4t 2

1 t 3.

x

4t

1 t 3

y 90 sin t 16t 2 .

x 90 cos t

y

x

y 90 sin 30 t 16t 2

x

90 cos 30 t


x a sin , y a 1 cos

x a cos , y a sin


[0, 2 ].

1 t 2

x t, y

t 5

10

1

6t 3 0 t 1

x t, y 3t 1

0 t

1

2


2


1 t 0

x t 2 1, y 4t 3 3

1 t 4

x 6t 2 , y 2t 3 0 t 2

x t 2 , y 2t

1 t 3

x 3t 5, y 7 2t

Interval


0 t

y t cos t

x t sen t,

2 t 2

y 2t 1

x e t 2,

1 t 5

y 4t 3

x ln t,

1 t 3

y 2t 3 2

x 3t t 2 ,

Interval



Arc Length




45.

46.

47.

48.

Arc Length



49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

Arc Length


on the interval



59. Cycloid arch:




and




projectile.







equations are

and



the trajectory?


and







Hint: Use



and







65. Writing


equations.









and

66. Writing







is represented by

0 t 2 .

y 2 4 cos t,

x 2 3 sin t,

0 t 2

0 t 2

y

3 cos t

y

4 sin t

x

4 sin t

x

3 cos t

Second Particle

First Particle

y 1 cos 1 2t .

x

1

2t

sin 1 2t

t

0 t

0 t 2

y 1 cos 2t

y 1 cos t

x 2t sin 2t

x t sin t

4 2.

2 2 .

y 4 sin2 ,

x

4 cot

0 t 1.

y

4t 2

1 t 3.

x

4t

1 t 3

y 90 sin t 16t 2 .

x 90 cos t

y

x

y 90 sin 30 t 16t 2

x

90 cos 30 t


x a sin , y a 1 cos

x a cos , y a sin


[0, 2 ].

1 t 2

x t, y

t 5

10

1

6t 3 0 t 1

x t, y 3t 1

0 t

1

2


2


1 t 0

x t 2 1, y 4t 3 3

1 t 4

x 6t 2 , y 2t 3 0 t 2

x t 2 , y 2t

1 t 3

x 3t 5, y 7 2t

Interval


0 t

y t cos t

x t sen t,

2 t 2

y 2t 1

x e t 2,

1 t 5

y 4t 3

x ln t,

1 t 3

y 2t 3 2

x 3t t 2 ,

Interval



y 4 sin 2 ,

x 4 cot

rcises 45–48, write an integral that repreof

the curve on the given interval. Do not

l.

rcises 49–56, find the arc length of the curve

l.

rcises 57–60, find the arc length of the curve

imeter:

nce:

le:

ile

The path of a projectile is modeled by the

ions

and

e measured in feet.

ng utility to graph the path of the projectile.

ing utility to approximate the range of the

gration capabilities of a graphing utility to

the arc length of the path. Compare this result

e of the projectile.

ectile

If the projectile in Exercise 61 is

angle


and

utility to find the angle that maximizes the

ectile. What angle maximizes the arc length of


and







Hint: Use



and







65. Writing


equations.









and

66. Writing







is represented by

0 t 2 .

y 2 4 cos t,

x 2 3 sin t,

0 t 2

0 t 2

y

3 cos t

y

4 sin t

x

4 sin t

x

3 cos t

Second Particle

First Particle

y 1 cos 1 2t .

x

1

2t

sin 1 2t

t

0 t

0 t 2

y 1 cos 2t

y 1 cos t

x 2t sin 2t

x t sin t

4 2.

2 2 .

y 4 sin2 ,

x

4 cot

0 t 1.

y

4t 2

1 t 3.

x

4t

1 t 3

y 90 sin t 16t 2 .

y 90 sin 30 t 16t 2

t


a sin , y a 1 cos

x a cos , y a sin


].

1 t 2

1

6t 3 0 t 1

t 1

0 t

1

2

ln 1 t 2 0 t

2

e t sen t

1 t 0

4t 3 3

1 t 4

t 3 0 t 2

1 t 3

7 2t

Interval

tions

0 t

y t cos t

2 t 2

2t 1

1 t 5

t 3

1 t 3

2t 3 2

Interval

tions

0 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates

y 4t 2

1 t 3.

x

4t

1 t 3

y 90 sin t 16t 2 .

x 90 cos t

y 90 sin 30t 16t 2

x 90 cos 30t

x cos

sin , y sin

cos

x a sin , y a1 cos

x a cos , y a sin


[0, 2].

Arc Length




45.

46.

47.

48.

Arc Length



49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

Arc Length


on the interval



59. Cycloid arch:




and




projectile.







equations are

and



the trajectory?


and







Hint: Use



and







65. Writing


equations.









and

66. Writing







is represented by

0 t 2 .

y 2 4 cos t,

x 2 3 sin t,

0 t 2

0 t 2

y

3 cos t

y

4 sin t

x

4 sin t

x

3 cos t

Second Particle

First Particle

y 1 cos 1 2t .

x

1

2t

sin 1 2t

t

0 t

0 t 2

y 1 cos 2t

y 1 cos t

x 2t sin 2t

x t sin t

4 2.

2 2 .

y 4 sin2 ,

x

4 cot

0 t 1.

y

4t 2

1 t 3.

x

4t

1 t 3

y 90 sin t 16t 2 .

x 90 cos t

y

x

y 90 sin 30 t 16t 2

x

90 cos 30 t


x a sin , y a 1 cos

x a cos , y a sin


[0, 2 ].

1 t 2

x t, y

t 5

10

1

6t 3 0 t 1

x t, y 3t 1

0 t

1

2


2


1 t 0

x t 2 1, y 4t 3 3

1 t 4

x 6t 2 , y 2t 3 0 t 2

x t 2 , y 2t

1 t 3

x 3t 5, y 7 2t

Interval


0 t

y t cos t

x t sen t,

2 t 2

y 2t 1

x e t 2,

1 t 5

y 4t 3

x ln t,

1 t 3

y 2t 32

x 3t t 2 ,

Interval



x t, y t 5

10 1

6t 3

Arc Length




45.

46.

47.

48.

Arc Length



49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

Arc Length


on the interval



59. Cycloid arch:




and




projectile.







equations are

and



the trajectory?


and







Hint: Use



and







65. Writing


equations.









and

66. Writing







is represented by

0 t 2 .

y 2 4 cos t,

x 2 3 sin t,

0 t 2

0 t 2

y

3 cos t

y

4 sin t

x

4 sin t

x

3 cos t

Second Particle

First Particle

y 1 cos 1 2t .

x

1

2t

sin 1 2t

t

0 t

0 t 2

y 1 cos 2t

y 1 cos t

x 2t sin 2t

x t sin t

4 2.

2 2 .

y 4 sin2 ,

x

4 cot

0 t 1.

y

4t 2

1 t 3.

x

4t

1 t 3

y 90 sin t 16t 2 .

x 90 cos t

y

x

y 90 sin 30 t 16t 2

x

90 cos 30 t


x a sin , y a 1 cos

x a cos , y a sin


[0, 2 ].

1 t 2

x t, y

t 5

10

1

6t 3 0 t 1

x t, y 3t 1

0 t

1

2


2


1 t 0

x t 2 1, y 4t 3 3

1 t 4

x 6t 2 , y 2t 3 0 t 2

x t 2 , y 2t

1 t 3

x 3t 5, y 7 2t

Interval


0 t

y t cos t

x t sen t,

2 t 2

y 2t 1

x e t 2,

1 t 5

y 4t 3

x ln t,

1 t 3

y 2t 3 2

x 3t t 2 ,

Interval



x t, y 3t 1

Arc Length




45.

46.

47.

48.

Arc Length



49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

Arc Length


on the interval



59. Cycloid arch:




and




projectile.







equations are

and



the trajectory?


and







Hint: Use



and







65. Writing


equations.









and

66. Writing







is represented by

0 t 2 .

y 2 4 cos t,

x 2 3 sin t,

0 t 2

0 t 2

y

3 cos t

y

4 sin t

x

4 sin t

x

3 cos t

Second Particle

First Particle

y 1 cos 1 2t .

x

1

2t

sin 1 2t

t

0 t

0 t 2

y 1 cos 2t

y 1 cos t

x 2t sin 2t

x t sin t

4 2.

2 2 .

y 4 sin2 ,

x

4 cot

0 t 1.

y

4t 2

1 t 3.

x

4t

1 t 3

y 90 sin t 16t 2 .

x 90 cos t

y

x

y 90 sin 30 t 16t 2

x

90 cos 30 t


x a sin , y a 1 cos

x a cos , y a sin


[0, 2 ].

1 t 2

x t, y

t 5

10

1

6t 3 0 t 1

x t, y 3t 1

0 t

1

2


2


1 t 0

x t 2 1, y 4t 3 3

1 t 4

x 6t 2 , y 2t 3 0 t 2

x t 2 , y 2t

1 t 3

x 3t 5, y 7 2t

Interval


0 t

y t cos t

x t sen t,

2 t 2

y 2t 1

x e t 2,

1 t 5

y 4t 3

x ln t,

1 t 3

y 2t 3 2

x 3t t 2 ,

Interval



x arcsin t, y ln1 t 2

Arc Length




45.

46.

47.

48.

Arc Length



49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

Arc Length


on the interval



59. Cycloid arch:




and




projectile.







equations are

and



the trajectory?


and







Hint: Use



and







65. Writing


equations.









and

66. Writing







is represented by

0 t 2 .

y 2 4 cos t,

x 2 3 sin t,

0 t 2

0 t 2

y

3 cos t

y

4 sin t

x

4 sin t

x

3 cos t

Second Particle

First Particle

y 1 cos 1 2t .

x

1

2t

sin 1 2t

t

0 t

0 t 2

y 1 cos 2t

y 1 cos t

x 2t sin 2t

x t sin t

4 2.

2 2 .

y 4 sin2 ,

x

4 cot

0 t 1.

y

4t 2

1 t 3.

x

4t

1 t 3

y 90 sin t 16t 2 .

x 90 cos t

y

x

y 90 sin 30 t 16t 2

x

90 cos 30 t


x a sin , y a 1 cos

x a cos , y a sin


[0, 2 ].

1 t 2

x t, y

t 5

10

1

6t 3 0 t 1

x t, y 3t 1

0 t

1

2


2


1 t 0

x t 2 1, y 4t 3 3

1 t 4

x 6t 2 , y 2t 3 0 t 2

x t 2 , y 2t

1 t 3

x 3t 5, y 7 2t

Interval


0 t

y t cos t

x t sen t,

2 t 2

y 2t 1

x e t 2,

1 t 5

y 4t 3

x ln t,

1 t 3

y 2t 3 2

x 3t t 2 ,

Interval



x e t cos t, y e t sin t

Arc Length




45.

46.

47.

48.

Arc Length



49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

Arc Length


on the interval



59. Cycloid arch:




and




projectile.







equations are

and



the trajectory?


and







Hint: Use



and







65. Writing


equations.









and

66. Writing







is represented by

0 t 2 .

y 2 4 cos t,

x 2 3 sin t,

0 t 2

0 t 2

y

3 cos t

y

4 sin t

x

4 sin t

x

3 cos t

Second Particle

First Particle

y 1 cos 1 2t .

x

1

2t

sin 1 2t

t

0 t

0 t 2

y 1 cos 2t

y 1 cos t

x 2t sin 2t

x t sin t

4 2.

2 2 .

y 4 sin2 ,

x

4 cot

0 t 1.

y

4t 2

1 t 3.

x

4t

1 t 3

y 90 sin t 16t 2 .

x 90 cos t

y

x

y 90 sin 30 t 16t 2

x

90 cos 30 t


x a sin , y a 1 cos

x a cos , y a sin


[0, 2 ].

1 t 2

x t, y

t 5

10

1

6t 3 0 t 1

x t, y 3t 1

0 t

1

2


2


1 t 0

x t 2 1, y 4t 3 3

1 t 4

x 6t 2 , y 2t 3 0 t 2

x t 2 , y 2t

1 t 3

x 3t 5, y 7 2t

Interval


0 t

y t cos t

x t sen t,

2 t 2

y 2t 1

x e t 2,

1 t 5

y 4t 3

x ln t,

1 t 3

y 2t 3 2

x 3t t 2 ,

Interval



sen

arcsen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen 2

sen t,

sen

Arc Length




45.

46.

47.

48.

Arc Length



49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

Arc Length


on the interval



59. Cycloid arch:




and




projectile.







equations are

and



the trajectory?


and







Hint: Use



and







65. Writing


equations.









and

66. Writing







is represented by

0 t 2 .

y 2 4 cos t,

x 2 3 sin t,

0 t 2

0 t 2

y

3 cos t

y

4 sin t

x

4 sin t

x

3 cos t

Second Particle

First Particle

y 1 cos 1 2t .

x

1

2t

sin 1 2t

t

0 t

0 t 2

y 1 cos 2t

y 1 cos t

x 2t sin 2t

x t sin t

4 2.

2 2 .

y 4 sin2 ,

x

4 cot

0 t 1.

y

4t 2

1 t 3.

x

4t

1 t 3

y 90 sin t 16t 2 .

x 90 cos t

y

x

y 90 sin 30 t 16t 2

x

90 cos 30 t


x a sin , y a 1 cos

x a cos , y a sin


[0, 2 ].

1 t 2

x t, y

t 5

10

1

6t 3 0 t 1

x t, y 3t 1

0 t

1

2


2


1 t 0

x t 2 1, y 4t 3 3

1 t 4

x 6t 2 , y 2t 3 0 t 2

x t 2 , y 2t

1 t 3

x 3t 5, y 7 2t

Interval


0 t

y t cos t

x t sen t,

2 t 2

y 2t 1

x e t 2,

1 t 5

y 4t 3

x ln t,

1 t 3

y 2t 3 2

x 3t t 2 ,

Interval



SECCIÓN

10.3

10.3

Parametric

Ecuaciones

Equations

paramétricas

and Calculus

y cálculo

729

729


10.3 Parametric Equations and 10.3 CalculusParametric 729Equations and

Área Surface de una Area superficie In Exercises En los ejercicios 67–70, write 67 a 70, an dar integral una integral

that 84. 84. Área Surface de una Areasuperficie A portion Una of a porción sphere of de radius una esfera r is removed de radio byr

Surface represents que represente

Areathe In area el

Exercises of área the de surface la

67–70,

superficie generated write

generada

an by integral revolving por revolución

Surface de la Area curva In alrededor Exercises del 67–70, eje Surface x. Usar write una Area an herramienta integral In Exercises that de 67–70, 84. Surface write la esfera. an Area El integral vértice portion del that cono of forma sphere 84. un Surface of ángulo radius Area 2. is Hallar removed A portion el área by of a sphere of ra

that the 84. Surface

se cutting elimina

Area out cortando a circular A portion

un cone cono

of a with circular

sphere its con

of vertex radius

vértice at rthe is

en

removed center el centro of by the de

represents curve about the the area x-axis. of the Use surface a graphing generated utility by to revolving approximate the cutting sphere. out The a circular vertex of cone the cone with its forms vertex an angle at the of center 2 . Find of the the

graficación represents the para area aproximar of the surface la integral. represents generated the by revolving area of the thesurface generated cutting de superficie out by revolving circular eliminada cone the de la with esfera. its vertex cutting at out the a center circular of cone the with its vertex

curve the integral. about the x-axis. Use a graphing utility to approximate sphere. surface The area vertex removed of the from cone the forms sphere. an angle of 2. Find the

curve about the x-axis. Use graphing curve utility about to the approximate x-axis. Use a graphing sphere. utility The to vertex approximate of the cone forms sphere. an angle The of vertex 2 . Find of the cone forms an

the integral. Ecuaciones paramétricas 1059997_1003.qxp 9/2/08 Intervalo 3:50 PM Page 729surface area removed from the sphere.

the integral. Parametric Equations the integral.

Área Area surface

En In los Exercises area

ejercicios

removed 85 85 and from

y 86, the

hallar find sphere. the el

surface area área de of area the la

removed

región. region. (Usar

from (Use the sphere.

67. 67. xParametric y t 2 0 t 4

Parametric x 4t, 3t, yEquations

t 2

Interval

Parametric Interval 0 tEquations

4

Area el the resultado In Interval Exercises of del Exercise ejercicio 85 and 83.) 83.) 86, find the area of the region. (Use

Area In Exercises 85 and 86, find Area the area In of Exercises the region. 85 and (Use86, find the area

67. x

68. 67. 68.

x 1 3t,

3t, 1 y t 2

0 t 4

the result of Exercise y t 3 67. x 3t,

y 3

t 2 the 85. 85. result x 0 of sin Exercise t 83.)

y t 3

0 t 3

4 83.) 86. 86. the xresult cot of Exercise 83.)

4 t2 ,

x 2 sin

x 2 cot

4 t2 ,

sen 2

1

68. x

y t 3

10 t 3

85. x

68.

68. x y t 3

0 t 3

85. x 2 sin 2

86. x 2

69.

4 t2 ,

85. yy 2 2 sin

sin sin sen sin 2 2 86.

cot

t2 2

tan tan

86. xy y2 2 cot sen sin sin

4 t2 ,

2

69. x x cos cos 2 , 2 , y y cos cos

0 0≤

≤

y 2 sin

2

sin 2 2 tan

y 2 sin

tan

y sin 2 sin 2

2

2

0 < 00 < <

2 tan

y 2

69. x cos

69.

cos 10.3 Parametric Equations and

70.

2 2 , y cos

0

2 cos 69. x cos 2 , y2

cos

0 0 < 0 < <

70. x yy

x

sensin , y y

cos 0 0≤

≤

2 2

0 < 0 <

yy

2 2

2

y

70. x sin , y cos 0

y

y

70.

sin cos 70. x sin , y cos 0

2

22

Área Surface de una Area superficie In Exercises En los 71–76, ejercicios Surface find the 71 Area a area 76, of In encontrar the Exercises surface el 67–70, write an integral 2 that 84. Surface Area A portion of a sphere of ra

2

área de la superficie generada por revolución represents de the la area curva of alrededor

de cada uno de los ejes dados. curve Surface find the about Area area the of In the x-axis. Exercises surface Use 71–76, a graphing find the utility area 1to of approximate the surface sphere. The vertex of the cone forms an

xx

1

the surface generated by 11revolving the cutting out 112

Surface generated Areaby revolving In Exercises the 71–76, curve about find the each area given of the axis. surface

a circular cone with its vertex

Surface Area In Exercises 71–76,

generated by revolving the curve about each given axis.

1

x

generated 71. x 2t, by revolving y 3t, the 0 curve t 3, about generated the integral. each a) given by eje revolving xaxis.

b) the eje ycurve about each given axis.

−2 −2 −1 −1 11 22

−2 surface −2 −1 −1 area removed 11

22

from the sphere.

x

71. x

71. 72. x x 2t,

2t, y 3t,

3t, 4 0 2t, t 0 3,

3, t 71. 2, a)

xParametric a) a) eje

2t, eje eje x yx b)

Equations 3t, b) b) eje

0eje eje y

ty

3, −2 a) −1 −1 −1

Interval eje x 1b)

eje 2 y

−2 −1 −1 −1

1 2

−2 −1

Area −2 −2In −1 −1 Exercises 185 and 2 86, find the −2area

−

72. x t, y 4 2t, 0 t 2, a)

72.

t, 2t,

2, 72.

−1

67. x a) 3t,

eje y y 4t b) 2t, 2eje 0 t 2, a) 0eje −1 −2 −2 xt 4 b) eje y

−1

the result of −2 −2

73. 0

eje y

Exercise 83.)

2 ,

eje x b) eje y

−1

−1

x 5 cos , y 5 sen ,

−2

−2

73. x 5

73. 1

−2

68.

x 5 cos y t 3

0 t 3

85. x 2 sin 2

86. x 2

4 t2 , , y 5 sen , 0

eje y

Áreas 2 de , −2

−2

73. 1cos 74. x

sen eje 3 t , y 5 sen , 0

eje y

3 , y t 1, 1 t 2, eje 2 ,

y

CAS Areas of Simple Closed Curves In Exercises 87–92, use a

1

CAS curvas cerradas simples En los ejercicios 87 a 92, usar

74. 1

y 2 sin y 2

un sistema algebraico por computadora y el resultado 2 tan

74. 75. x

x 3 t a 3 3 , cos y 3 , t y 1,

1, a sen 1 3 t , 02,

eje y

74. eje x

3 1 t 2, eje y

Areas of Simple Closed del ejercicio

83 para 0

Curves In Exer

69.

cos t , 3 , eje y x

CAS

t 1,

Areas computer of Simple algebra Closed system Curves and the In result Exercises of Exercise 87–92, 83 to use match a

CAS Areas of Simple Closed Curves CAS In Exercises 87–92, use 75.

2 , y cos

75. 76. x the closed curve with its area. (These exercises were based on

x a a cos

cos cos 3 3 , , y a b sen

sen 3 3 ,

0 75. x 2 ,

a , eje

cos 3 x

computer algebra

, y a sen 3 , 0 , eje relacionar

system

x 2 la curva

and the

cerrada

result of

computer 0 con

Exercise

su algebra < área.

83

(Estos

to match

eje computer algebra system and the result of Exercise 83 system match ejercicios

and the result 0 < of E

the “The closed Surveyor’s

fueron

curve

adaptados

with Area its area. Formula,”

del

(These by

artículo

exercises Bart Braden,

the closed “The curve Surveyor’s

were 2 based College

with its Area

on

76. x the closed curve with its area. (These exercises were based on area. (These exer

76.

a) a eje cos

cos x , y b) eje b sen sen y , 0 2 ,

76. x a cos , y b sen , 0 “The Mathematics 2 ,

70.

Formula”

Surveyor’s Journal,

de Bart

Area

Braden

Formula,” September

en publicación

by 1986, Bart pp. Braden, y 335–337, sin , y cos “The Surveyor’s 0 Area Formula,” “The by Bart Surveyor’s Braden, septiembre

College by

a) eje x b) eje y

Area College Formula,” de by Ba

a) eje b) eje a) eje x b) eje y Mathematics permission of

1986 del College

Journal, the

Mathematics

2author.)

September

Mathematics Journal, September Journal,

1986,

Mathematics 1986, pp. 335-337,

pp. 335–337,

pp. Journal, 335–337, con autorización

by


September by 1986,

permission 2

8

del

of

autor.)

the author.) 3

Surface Area In Exercises 71–76,

permission

find the area

of the

of the

author.)

surface

permission of the author.)

WRITING

WRITING 77. Give the ABOUT

ABOUT parametric CONCEPTS

CONCEPTS

(a) 3 ab (b) 8 a (c) 2 a


form of the WRITING derivative. ABOUT CONCEPTS

2

2

8

3

1

generated by revolving the curve about each given axis.

3

77. Give the parametric form of the derivative.

(a) 8

3

77. Give the parametric form of the (a) (d) 3

77. Give the parametric form of the derivative.

derivative.

ab

ab

ab (b)

(b) (e) 8 2 a

8a 2

2 ab (c)

(c)

(f) 2a

2 6 a

(a) 2 a 2

3 ab (b) 8 a 2 (c) 2 a 2

77. In Dar Exercises la forma 78 paramétrica and 79, mentally de la derivada. determine dy/dx.

(d) x

71. x 2t, y 3t, 0 t 3, (d) ab

ab (e) a) eje x(e) 2ab

2 ab (f)

b)

eje y (f)

6a

6 a (d) 2

2

87. Ellipse: 0 t 2 88. Astroid: ab (e) 2 ab (f) 6 a −2 −1 0 t 1 2 2

2

−2 −

En In Exercises

In 78. Exercises los xejercicios 78 and

t, 78 y and 783

y 79,

79, 79, mentally

mentally determinar determine

79. determine In x mentalmente dy/dx.

Exercises t, ydy/dx.

6t 78 dy/dx. and 5 79, mentally determine dy/dx.

72. x t, y 4 2t, 0 t 87. 2,

−1

87. Ellipse:

Ellipse: Elipse: x a) b eje cos 0 x t t b) 2

eje y 88.

88. Astroid:

87. Astroid: Astroide: xEllipse: a cos 0 0 3 t t 2

78. x t,

y 3

79.

x t,

t, y 6t 5

t 2 88. Astroid

78.

80. Give

t,

the integral formula

79.

for arc 78. t, x t, 6t y 3

79. x t,

−2

73.

length

x 5

in

cos

parametric

, y 5

form. x

sen , 0

eje y

2 ,

y 6t 5

y b a cos

cos sin t

t

x

yx a a cos

cos b sin cos 3

3 3 t

t

80. Dar la fórmula integral para la longitud de arco en forma

x a

80. y

80. Give the integral formula for arc length 80. Give in 1

74. x 3 t parametric the integral form. formula for arc length in sin parametric t form.

y sin a sin 3 y

81. paramétrica. Give Give the the integral formula formulas for arc the length areas in parametric of the surfaces form. of y a sin

sen

t

y a sin

sen 3 3 t

tt

y a

revolution formed when a smooth curve C

3 , is yrevolved t 1, about 1 t 2, eje y y

ay

CAS Areas of Simple y

y y Closed Curves In Exer

81.

81. Dar Give

Give las the

the fórmulas integral

integral integrales formulas for

formulas for para the

the 81. las areas

areas áreas of

Give of de the

the the superficies surfaces of

integral surfaces formulas of de for the areas of the surfaces of

a

75. x a cos 3 , y a sen 3 , 0 , eje x

computer algebra system and the result of E

revolución revolution (a) the x-axis formed

revolution formed generadas

and when (b)

when por

the a smooth smooth revolución

y-axis.

curve

curve revolution de C

una is revolved

is revolved curva formed suave about

about when C

a

a smooth curve C is revolved about

a

the closed a

curve with its area. (These exer

alrededor (a) the x-axis (a) the x-axis a) del and

and eje (b)

(b) x the

the y b) y-

y- del axis.

axis. eje 76. y. x (a) a the cos x-axis , yand b (b) sen the , y-0axis.

2 ,

“The Surveyor’s Area xFormula,” by Ba

a) eje x b) eje y

b

a

CAPSTONE

Mathematics Journal, x September 1986,

b x

x

permission of the author.) b

a

CAPSTONE

CAPSTONE

82. (a) Sketch a graph of a curve CAPSTONE

WRITING defined by the ABOUT parametric

Para discusión

CONCEPTS

8

3

82. (a) Sketch equations a graph x of gta and curve y defined ft such

82. (a) Sketch graph of curve defined 77. 82. Give

by

(a) by Sketch the

the that

the parametric dx dt > 0

parametric a graph form of a curve of the defined derivative. by the parametric

(a) 3 ab (b) 8 a 2 (c) 2 a 2

82. a) Dibujar equations and dyla dt gráfica x < 0gt

for de and una all real ycurva numbers ft definida such t. that por las dxecuacio-

nes and

dt > 0

equations gt and ft such equations that dx xdt gt

and y 89. ftCardioid: such that 0dx tdt > 20

90. (d) Deltoid: ab 0 (e) t 2 ab 2 (f) 6 a 2

(b) and Sketch paramétricas dy dt

dy dt a < graph 0 for x for of all

all a real g(t)

real curve numbers y

numbers In defined y

Exercises

f(t) t.

t. and by de

dy the 78

manera

dt and parametric < 79,

que

0 for mentally real numbers determine t. dy/dx.

dxdt equations > 0 y dydt x gt < 0 para and ytodos ft los such números that reales dx dt t. 89.

< 0 89. Cardioid:

Cardioid: Cardioide: x 2a cos 0 0 t ≤

t t a cos ≤

2

2 2t 90.

90. Deltoid:

87. 89. Deltoid: Deltoide: xEllipse: Cardioid: 2a cos 0 0 0tt t a 2

t cos 2 22t

(b) Sketch a graph of a curve defined by the parametric

88. 90. Astroid Deltoid

(b) Sketch graph of curve defined 78. (b) x by Sketch t, the y parametric a 3graph of a curve 79. xdefined t, yby the 6t parametric

b) Dibujar and dy dt < 0 for all real numbers t.

5

equations la gráfica x gtde and una ycurva ft definida such that por las dxecuacio-

nes and paramétricas dy dt < 0 for xall real g(t) numbers y y f(t) t. de manera que y y

y

dt < 0

x x b 2a cos t a cos equations gt and ft such equations that dx xdt gt

and y ft

y 2a

such

2a 2a cos

cos sin t

that

t a

dx a cos

dt

cos sin 2t

<

2t 2t x

0

y 2a

2a 2a cos

cos sin t t a a cos

cos sin 2t

2t 2t 2t

x a 2a

and dy dt for all real numbers 80. Give t. and the dy integral dt < formula 0

all for real arc numbers length

2a

2a in sin

t. parametric sin sen

t t

a sin

sin sen

2t

form. 2t 2t

y y 2a

2a sin

a 2a sin sen

t

sin sin tt a

t sin

sin sen a 2t

sin 2t 2t 2t

y a 2a

dxdt < 0 y dydt < 0 para todos los números reales t.

y

y

y

y

y

83. Use integration by substitution to 81. show Give that the if yintegral is a continuous formulas for the areas of the surfaces of

83. Use function integration of x by on substitution the interval to a show x revolution

that b, if where y is

formed

a xcontinuous

fwhen t anda smooth curve C is revolved about

a

83. Mediante Use integration integración by substitution por sustitución to 83. show Use mostrar (a) that integration the if x- que is axis si continuous and by y substitution es (b) una the y-axis.

to show that if y is a continuous

function y g t of , then x on the interval a x b, where x f t and

x

función function continua of de the x en interval el intervalo afunction ≤ b, x ≤where b, of donde

on x the ft and interval y a x b, where xa

f t and

y b g t , then t entonces then

2

x

y gt,

y g t , then

x

a x x

y dx gt f t dt

a

b

t a b

b

a

t t 1

CAPSTONE

b

t 2

2

2

a

y dx

dx

t

gt

gt

gtft f t dt

dt

y dx gt f t dt

a

t

a

where f t 1 t 1

1 a, f t 2 b, and both 82. ag

(a) and Sketch f are t 1

continuous a graph of on a curve defined by the parametric

donde where t y tanto como equations son continuas x gtenand y ft such that dx dt > 0

where 1 , t 2 f .

f t t 11 a,

1 a,

f ft t 2 2 b,

2 b,

b, and both g and f are continuous on

and both where and and

f are t 1 dy

continuous

dt

a,

<

f t

0 2 for

on

all

b, and

real

both

numbers

g and

t.

f are continuous on

tt 1 ,

1 t 2 . .

2 t 1 , t 2 .

89. Cardioid: 0 t 2 90. Deltoid

(b) Sketch a graph of a curve defined by the parametric

equations x gt and y ft such that dx dt < 0

x 2a cos t a cos 2t x 2a

and dy dt < 0 for all real numbers t.

y 2a sin t a sin 2t y 2a

sin ,

cos

f

y




y

91. Reloj de arena: 0 ≤ t ≤ 2 92. Lágrima: 0 ≤ t ≤ 2

91. Hourglass: 0 t 2 92. Teardrop: 0 ≤ t ≤ 2

y

91. Hourglass: sen sin 2t 0 t 2 92. Teardrop: x 2a cos 0 ≤ t t a ≤ sen sin 2 2t

y

x a sin 2t

x 2a cos t a sin 2t

1

1

x a sen sin t2t

x y 2a b cos sen sin t a sin 2t

y b sin t

y b sin t

1

y b sin yt

y b sin y

r

y

yt

r θ

x

b y

y

rr

θ

b

b

P x

b

rθ

b

P x

b

r P

x

x


a

a

x

a

a


x 100. Evolvente o involuta de un círculo La figura muestra un segmento

de of cuerda a Circle sujeto The a un figure círculo shows de a radio piece 1. of La string cuerda tiedes

100. Involute justo a circle lo suficientemente of with a Circle a radius The larga of figure one para unit. shows llegar The a piece al string lado of is opuesto string just long tied del

a

a


100. Involute

to enough círculo. a circle to Encontrar reach with a the radius el opposite área of que one side se unit. of cubre the The circle. cuando string Find is la just cuerda the long arease

Centroide

In En Exercises los ejercicios 93 and 9394, y find 94, the hallar centroid el centroide of the region de la enough that desenrolla is covered to reach en sentido when the opposite the contrario string side is al unwound de of las the manecillas circle. counterclockwise.

Find del the reloj. area

región Centroid bounded limitada by In the Exercises por graph la gráfica 93 of and the de 94, parametric las find ecuaciones the centroid equations paramétricas of the and region they

that is covered when the string is unwound counterclockwise.

101. (a) Usar Use a una graphing herramienta utility to de graph graficación the curve para given trazar by la curva

los bounded coordinate ejes de by coordenadas. axes. the (Use graph the (Usar of result the el of parametric resultado Exercise del 83.) equations ejercicio and 83.) the

101. (a) dada Use pora graphing utility to graph the curve given by

coordinate axes. (Use the result of Exercise 83.)

1 t

93. 94.

x

2

93. 94.

x

20 ≤ ≤ Volumen En los ejercicios 95 y 96, hallar el volumen del sólido

t 20.

1 t , y 2t

2 1 t , 20 t 20.

1 t , y 2t

x t, y 4 t

x 4 t, y t

x t, y 4 t

x 4 t, y t

2 1 t , 2 2 In Exercises 95 and 96, find the of the solid (b) Describir Describe la the gráfica graph y and confirmar la your respuesta result analytically. en forma analítica.

generado Volume formed by por In revolving Exercises revolución the 95 en region and torno 96, bounded al find eje the x by de volume la the región graphs of the limitada of solid the (b) Describe the graph and confirm your result analytically.

por formed la gráfica by revolving de las the ecuaciones region bounded dadas. (Usar by the el graphs resultado of the del

(c) Discuss the speed at which the curve is traced as t

given equations about the x-axis. (Use the result of Exercise 83.) (c)

ejercicio 83.)

Analizar Discuss la the velocidad speed at a which la cual the se traza curve la is curva traced cuando as t

given equations about the x-axis. (Use the result of Exercise 83.)

increases from 20 to 20.

t

95. x 6 cos , y 6 sen

aumenta increases de from 20 a 20 20. to 20.

102. Tractrix A person moves from the origin along the positive

95.

6 cos , y 6 sen

96. x cos , y 3 sin , a > 0

102. y- Tractrix Tractriz axis pulling Una A person a persona weight moves at se the mueve from end the of desde a origin 12-meter el origen along rope. a the lo Initially, positive largo del

96.

x cos , , y 3 sen

sin , , a > 0

y- the eje axis weight y positivo pulling is located a tirando weight at un at the peso the point end atado of 12, a al 012-meter extremo . rope. de una Initially, cuerda

97. Cycloid Use the parametric equations

the de 12 weight metros is located de largo. at Inicialmente, the point 12, el 0 peso . está situado en el

97. 97. Cicloide Cycloid Use Emplear the parametric las ecuaciones equations paramétricas

(a) In Exercise 96 of Section 8.7, it was shown that the path

(a) punto In 12, Exercise 0. 96 of Section 8.7, it was shown that the path

x a sin and y a 1 cos , a > 0

of the weight is modeled by the rectangular equation

x a a sen sin sin yand

y y a1a 1 cos cos , a , > a 0> 0

a) En of the el ejercicio weight is 96 modeled la sección by the 8.7 rectangular se mostró equation que la trayectoria

y del 12 peso ln 12

12 144 x2

para to answer responder the following. lo siguiente.

se describe

144

mediante la 144 siguiente x ecuación

to answer the following.

rectangular y 12 ln x

2

x2

a) (a) Hallar Find

dydx dx and y d 2 dydx 2 y dx 2 .

2 .

144 x

x

2

(a) Find dy dx and d 2 y dx 2 .

b) (b) Hallar Find the las ecuaciones equation of de the la tangent recta tangente line at en the el point punto where

where 0 < x

en el

y 12 ln

que

12 12. 144 Use a graphing x 2 utility to graph the

x 144 x2

(b) Find the equation of the tangent line at the point where

where 0 < x 12. Use a graphing utility to graph the

6.

rectangular equation.

6.

rectangular equation.

c) (c) Localizar Find all points todos (if los any) puntos of horizontal (si los hay) tangency.

(b)

de tangencia horizontal.

donde Use a graphing 0 < x ≤ utility 12. Usar to graph una herramienta the parametric de equations graficación

(c) Find all points (if any) of horizontal tangency.

(b) para Use representar a graphing utility la ecuación to graph rectangular. the parametric equations

(d) Determine where the curve is concave upward or concave

b) Usar una herramienta de graficación para trazar la gráfica

d)

(d)

Calcular

Determine

dónde

where

es la

the

curva

curve

cóncava

is concave

hacia

upward

arriba

or

y dónde

concave

x 12 sech

es

de

x

las

12

ecuaciones

sech t

t and y t 12 tanh

paramétricas

and y t 12 tanh t

t

downward.

12

12

cóncava

downward.

hacia abajo.

12

12

(e) Find the length of one arc of the curve.

where t 0. How

e)

(e)

Hallar

Find the

la longitud

length of

de

one

un

arc

arco

of

de

the

la

curve.

curva.

where x 12 sech How t does this graph compare with

does y this ygraph t compare 12 tanh with t the graph

98. Use the parametric equations

in part t (a)? 0.

the graph

12 Which graph (if either) do you 12 think is a

98.

98.

Emplear

Use the parametric

las ecuaciones

equations

paramétricas

in part (a)? Which graph (if either) do you think is a

donde

better representation

t ≥ 0. Comparar

of the

esta

path?

1

gráfica con la del inciso a).

x t 2 3 and y 3t

¿Qué gráfica (si hay alguna) representa mejor la trayectoria?

y y 3t 1 better representation of the path?

1

x t 2 33

and y 3t 3 t3

(c) Use the parametric equations for the tractrix to verify that

3 t3 3 t3

(c) Use the parametric equations for the tractrix to verify that

c) Emplear the distance las ecuaciones from the y-paramétricas intercept of the de tangent la tractriz line para to the verificar

point que of tangency la distancia independent la intersección of the con location el eje of y de thela

para to answer los incisos the following.

to answer the following.

the distance from the y-intercept of the tangent line to (a) Use a graphing

siguientes.

utility to graph the curve on the interval

is independent of the location of the

recta point tangente of tangency. al punto de tangencia es independiente de

(a) Emplear Use 3 a graphing tuna 3. herramienta utility to de graph graficación the curve para on trazar the la interval curva

point of tangency.

la ubicación del punto de tangencia.

en el 3 intervalo t 3. 3 ≤ t ≤ 3.

True or False? In Exercises 103 and 104, determine whether

(b) Find dy dx and d 2 y dx 2 .

True (b) Hallar Find dydx and y d 2 ydx 2 .

¿Verdadero or False? o falso? In Exercises En los ejercicios 103 and 103 104, y 104, determine determinar whether

dx d 2 y dx 2 .

the statement is true or false. If it is false, explain why or give si la

(c) Find the equation of the tangent line at the point 3, 8 the afirmación statement es is verdadera true or false. o falsa. If it Si is es false, falsa, explain explicar why por or qué giveo

(c) Hallar Find the la ecuación equation de of la the recta tangent tangente line at en the el punto point 3, 8 3 . an example that shows it is false.

3 3. .

(d) Find the length of the curve.

an dar example un ejemplo that que shows demuestre it is false. que es falsa.

(d) Hallar Find the la longitud length of de the la curve.

(e) Find the surface area

curva.

103. If x ft and y gt, then d 2 y dx 2 g t f t .

generated by revolving the curve 103. If Si x

ft

f tand y y y gt, gt, entonces then d 2 yddx 2 ydx 2 2 g tgtft.

f t .

(e) Hallar Find about el the área x-axis. surface de la area superficie generated generada by revolving por revolución the curve de la

104. The curve given by x t 3 , y t 2 has a horizontal tangent at

104. The La curva curve dada given por by x t tiene una tangente horizontal

en origin el origen because puesto dy dt que dydt 0 when t0

cuando 0. t 0.

99. Evolvente Involute the endpoint of o involuta a PCircle of a string de The círculo that involute is held La of evolvente taut a circle as it is o is unwound involuta described from by un 105. Recording Cinta de grabación Tape Another Otro method método you que could se puede use usar to solve para

curva about en the torno x-axis. al eje x.

the origin because dy dt 3 , y0

when t 2

has t a 0. horizontal tangent at

99. Involute of a Circle The involute of a circle is described by the

círculo the a spool endpoint está that descrita does P of a not string por turn that el (see extremo is figure). held taut PShow de as una it that is unwound cuerda a parametric que fromse

105. Recording Example Tape Another method you could use to solve

solucionar 5 el is ejemplo to find 5 es area encontrar of the reel el área with del an carrete inner radius con un

mantiene a representation spool that tensa does of mientras the not involute turn se (see desenrolla isfigure). de Show un carrete that a que parametric no gira Example of 5 is to find the area of the reel with inner radius

radio 0.5 interior inch and de an 0.5 outer pulgadas radius y un of radio 2 inches, exterior and de then 2 pulgadas, use the

(ver representation la figura). of Mostrar the involute que la issiguiente es una representación of 0.5 inch and an outer radius of 2 inches, and then use the

y después usar la fórmula para el área del rectángulo cuyo

paramétrica

x r cos

de la

sin

evolvente o

and

formula for the area of the rectangle where the width is 0.001

involuta

y r sin cos .

x r cos sin and y r sin cos .

formula inch. for the area of the rectangle where the width is 0.001

ancho Use es de this 0.001 method pulgadas. to determine Utilizar how este much método tape para is required determinar

fill cuánta the reel. cinta se necesita para llenar el carrete.

inch. Use this method to determine how much tape is required

x rcos sen y y rsin sen

to

to fill the reel.

6.

sin

cos .

SECCIÓN 10.4 Coordenadas polares y gráficas polares 731


10.4 Coordenadas polares y gráficas polares

■

■

■

■

■

Comprender el sistema de coordenadas polares.

Expresar coordenadas y ecuaciones rectangulares en forma polar y viceversa.

Trazar la gráfica de una ecuación dada en forma polar.

Hallar la pendiente de una recta tangente a una gráfica polar.

Identificar diversos tipos de gráficas polares especiales.

O

r = distancia dirigida

Coordenadas polares

Figura 10.36

θ = ángulo dirigido

P = (r, θ)

Eje

polar

Coordenadas polares

Hasta ahora las gráficas se han venido representando como colecciones de puntos (x, y) en

el sistema de coordenadas rectangulares. Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas

han estado en forma rectangular o en forma paramétrica. En esta sección se estudiará un

sistema de coordenadas denominado sistema de coordenadas polares.

Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado

polo (u origen), y a partir de O se traza un rayo inicial llamado eje polar, como se

muestra en la figura 10.36. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas

polares (r, ), como sigue.

r distancia dirigida de O a P

ángulo dirigido, en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje

—

polar hasta el segmento OP

La figura 10.37 muestra tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Obsérvese que

en este sistema es conveniente localizar los puntos con respecto a una retícula de circunferencias

concéntricas cortadas por rectas radiales que pasan por el polo.

π

2

θ =

π

3

π

( 2,

3)

π

2

π

2

π

1 2 3

0

π

2 3

0

π

2 3

0

3π

2

3π

2

θ = −

π

6

π

( 3, −

6)

3π

2

θ =

11π

6

11π

( 3,

6 )

a)

Figura 10.37

b) c)

COORDENADAS POLARES

El matemático al que se le atribuye haber

usado por primera vez las coordenadas

polares es James Bernoulli, quien las introdujo

en 1691. Sin embargo, ciertas evidencias

señalan la posibilidad de que fuera Isaac

Newton el primero en usarlas.

En coordenadas rectangulares, cada punto x, y tiene una representación única. Esto

no sucede con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas r, y r, 2

representan el mismo punto [ver los incisos b) y c) de la figura 10.37]. También, como r

es una distancia dirigida, las coordenadas r, y r, representan el mismo

punto. En general, el punto r, puede expresarse como

o

r, r,

r, r,

2n

2n 1

donde n es cualquier entero. Además, el polo está representado por 0, , donde es

cualquier ángulo.


Transformación (o cambio) de coordenadas

y

Polo θ

(Origen)

r

x

(r, θ)

(x, y)

y

Eje polar

(eje x)

x

Para establecer una relación entre coordenadas polares y rectangulares, se hace coincidir

el eje polar con el eje x positivo y el polo con el origen, como se ilustra en la figura 10.38.

Puesto que x, y se encuentra en un círculo de radio r, se sigue que r 2 x 2 y 2 . Para

r > 0, la definición de las funciones trigonométricas implica que

tan y cos x y sin y x ,

r , sen

r .

Si r < 0, estas relaciones también son válidas, como se puede verificar.

Relación entre coordenadas polares y rectangulares

Figura 10.38

TEOREMA 10.10 TRANSFORMACIÓN (O CAMBIO) DE COORDENADAS

Las coordenadas polares r, de un punto están relacionadas con las coordenadas

rectangulares x, y de ese punto como sigue.

1. x r cos 2. tan y x

y

y r sen sin

r 2 x 2 y 2

(r, θ) = (2, π)

2

1

−2 −1

(x, y) = (−2, 0)

−1

−2

θ ( ,

π

3 )

(r, ) =

1

2

6

(x, y) = (

3

,

3

2 2 )

Para pasar de coordenadas polares a

rectangulares, se hace x r cos y

y r sen .

Figura 10.39

x

EJEMPLO 1

a) Dado el punto

Transformación (o cambio) de coordenadas polares

a rectangulares

x r cos 2 cos 2

Por tanto, las coordenadas rectangulares son x, y 2, 0.

b) Dado el punto

x 3 cos

r, 2, ,

r, 3, 6,

6 3 2

Por tanto, las coordenadas rectangulares son

Ver la figura 10.39.

y

y

y r sen sin 2 sen sin 0.

y 3 sen sin

6 3

2 .

x, y 32, 32.

EJEMPLO 2

Transformación (o cambio) de coordenadas

rectangulares a polares

θ ( ,

3π

2 )

(r, ) =

4

(x, y) = (−1, 1)

−2

−1

2

1

y

(r, θ ) = ( 2 , π 2)

(x, y) = (0, 2)

1 2

Para pasar de coordenadas rectangulares a

polares, se toma tan

y

r x 2 y 2 .

Figura 10.40

yx

x

a) Dado el punto del segundo cuadrante x, y 1, 1,

tan y x 1

Como se eligió en el mismo cuadrante que x, y, se debe usar un valor positivo

para r.

r x 2 y 2

1 2 1 2

2

Esto implica que un conjunto de coordenadas polares es

b) Dado que el punto x, y 0, 2 se encuentra en el eje y positivo, se elige y

r 2, y un conjunto de coordenadas polares es r, 2, 2.


3

4 .

r, 2, 34.

2


π

2

Gráficas polares

Una manera de trazar la gráfica de una ecuación polar consiste en transformarla a coordenadas

rectangulares para luego trazar la gráfica de la ecuación rectangular.

π

1 2 3

0

EJEMPLO 3

Trazado de ecuaciones polares

3π

2

a) Círculo: r 2

π

2

π 3π

2

b) Recta radial:

π

2

π 3π

2

−9 9

6

−6

Espiral de Arquímedes

Figura 10.42

1 2 3 0

1 2 3 0

c) Recta vertical: r sec

Figura 10.41

3

Describir la gráfica de cada ecuación polar. Confirmar cada descripción transformando la

ecuación a ecuación rectangular.

a) r 2 b) c) r sec

3

Solución

a) La gráfica de la ecuación polar r 2 consta de todos los puntos que se encuentran a

dos unidades del polo. En otras palabras, esta gráfica es la circunferencia que tiene su

centro en el origen y radio 2. (Ver la figura 10.41a.) Esto se puede confirmar utilizando

la relación r 2 x 2 y 2 para obtener la ecuación rectangular

x 2 y 2 2 2 .


b) La gráfica de la ecuación polar consta de todos los puntos sobre la semirrecta

que forma un ángulo de 3 con el semieje x positivo. (Ver la figura 10.41b.) Para

confirmar esto, se puede utilizar la relación tan yx para obtener la ecuación rectangular

y 3 x.


c) La gráfica de la ecuación polar r sec no resulta evidente por inspección simple, por

lo que hay que empezar por pasarla a la forma rectangular mediante la relación

r cos x.

r sec

r cos 1

x 1

3

Ecuación polar.


Por la ecuación rectangular se puede ver que la gráfica es una recta vertical. (Ver la

figura 10.41c.)

TECNOLOGÍA Dibujar a mano las gráficas de ecuaciones polares complicadas

puede ser tedioso. Sin embargo, con el empleo de la tecnología, la tarea no es difícil. Si

la herramienta de graficación que se emplea cuenta con modo polar, usarlo para trazar

la gráfica de las ecuaciones de la serie de ejercicios. Si la herramienta de graficación no

cuenta con modo polar, pero sí con modo paramétrico, se puede trazar la gráfica de

r f expresando la ecuación como

x f cos

y f sen sin .

Por ejemplo, la gráfica de r 1 2 que se muestra en la figura 10.42 se generó con una

herramienta de graficación en modo paramétrico. La gráfica de la ecuación se obtuvo

usando las ecuaciones paramétricas

x 1 cos

2

y 1 sen sin

2

con valores de que van desde hasta 4. Esta curva es de la forma r a y se

denomina espiral de Arquímedes.

4


EJEMPLO 4

Trazado de una gráfica polar

NOTA Una forma de bosquejar la

gráfica de r 2 cos 3 a mano, es elaborar

una tabla de valores.

0

6

3

Si se amplía la tabla y se representan

los puntos gráficamente se obtiene la

curva mostrada en el ejemplo 4. ■

2

2

r 2 0 2 0 2

3

Dibujar la gráfica de r 2 cos 3.

Solución

Para empezar, se expresa la ecuación polar en forma paramétrica.

y

Tras experimentar un poco, se encuentra que la curva completa, la cual se llama curva

rosa, puede dibujarse haciendo variar a desde 0 hasta , como se muestra en la figura

10.43. Si se traza la gráfica con una herramienta de graficación, se verá que haciendo variar

a desde 0 hasta 2, se traza la curva entera dos veces.

x 2 cos 3 cos

π

2

y 2 cos 3 sen sin

π

2

π

2

π

1 2

0

π

1 2

0

π

1 2

0

3π

2

3π

2

3π

2

0 ≤

≤

6

0 ≤

≤

3

0 ≤

≤

2

π

2

π

2

π

2

π

1 2

0

π

1 2

0

π

1 2

0

3π

2

0 ≤ ≤ 2

3

Figura 10.43

0 ≤

3π

2

≤ 5

6

0 ≤

≤

3π

2

Usar una herramienta de graficación para experimentar con otras curvas rosa (estas

curvas son de la forma r a cos n o r a sen sin n. Por ejemplo, las curvas que se muestran

en la figura 10.44 son otros dos tipos de curvas rosa.

r = 2 sen 5θ

2

r = 0.5 cos 2θ

π

2

−3 3

0.2 0.3 0.4

0

Curvas rosa

Figura 10.44

−2

Generada con Mathematica


r = f( θ)

π

2

Recta tangente

(r, θ)

Pendiente y rectas tangentes

Para encontrar la pendiente de una recta tangente a una gráfica polar, considerar una función

diferenciable (o derivable) r f . Para encontrar la pendiente en forma polar, se

usan las ecuaciones paramétricas

x r cos f cos

y

Mediante el uso de la forma paramétrica de dydx dada en el teorema 10.7, se obtiene

dy

dx dyd

dxd

f cos f sin sen

f sen sin f cos

con lo cual se establece el teorema siguiente.

y r sen sin f sen sin .

π

3π

2

Recta tangente a una curva polar

Figura 10.45

0

TEOREMA 10.11 PENDIENTE EN FORMA POLAR

Si f es una función diferenciable (o derivable) de , entonces la pendiente de la

recta tangente a la gráfica de r f en el punto r, es

dy

dx dyd f cos f sen sin

f sen sin f cos

dxd

siempre que en r, . (Ver la figura 10.45.)

dxd 0

En el teorema 10.11 se pueden hacer las observaciones siguientes.

dy

dx

1. Las soluciones 0 dan una tangente horizontal, siempre que 0.

dx

dy

2. Las soluciones 0 dan una tangente vertical, siempre que 0.

Si y simultáneamente son 0, no se puede extraer ninguna conclusión respecto

a las rectas tangentes.

dyd

dxd

d

d

d

d

EJEMPLO 5

Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales

Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales a r sen sin , 0 ≤

≤

.

( )

π

π

2

( 1,

π

2)

(0, 0) 1

2

3π

2

( )

2

,

3π

2

, π 2 4

2 4

Rectas tangentes horizontales y verticales a

r sen

Figura 10.46

0

Solución

y

Para empezar se expresa la ecuación en forma paramétrica.

x r cos sen sin cos

y r sen sin sen sin sen sin sen sin 2

Después, se derivan x y y con respecto de

dx

cos 2 sen sin 2 cos 2 0

d

dy

2 sen sin cos sen sin 2 0

d

y se iguala a 0 cada una de las derivadas.

0,

4 , 3

4

Por tanto, la gráfica tiene rectas tangentes verticales en 22, 4 y 22, 34, y

tiene rectas tangentes horizontales en 0, 0 y 1, 2, como se muestra en la figura

10.46.

2


EJEMPLO 6

Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales

π

(4, π)

( 3,

2π

3 )

( 3,

4π

3 )

π

2

3π

2

( 1,

π

3)

( 1,

5π

3 )

Rectas tangentes horizontales y verticales

de r 21 cos

Figura 10.47

0

Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales a la gráfica de r 21 cos .

Solución Se usa y r sin sen,

se deriva y se iguala a 0.

y r sen sin 21 cos sen sin

dy

21 cos cos sin sensin sen

d

Por tanto, cos 1 2 y cos 1, y se concluye que cuando

43, y 0. De manera semejante, al emplear x r cos , se tiene

dx

2 sin sen 4 cos sin sen 2 sin sen2 cos 1 0.

d

22 cos 1cos 1 0

x r cos 2 cos 2 cos 2

Por tanto, sen q = 0 o cos 1 2dyd , y se concluye que 0 cuando q = 0, , /3 y

5/3. A partir de estos resultados y de la gráfica que se presenta en la figura 10.47, se concluye

que la gráfica tiene tangentes horizontales en (3, 2/3) y (3, 4/3), y tangentes verticales

en (1, /3), (1, 5/3) y (4, ). A esta gráfica se le llama cardioide. Obsérvese que

cuando q = 0 ambas derivadas ( y ) son cero (es decir, se anulan). Sin embargo,

esta única información no permite saber si la gráfica tiene una recta tangente horizontal

o vertical en el polo. Pero a partir de la figura 10.47 se puede observar que la gráfica

tiene una cúspide (o punto anguloso o cuspidal) en el polo.

dyd

dyd

dxd

dyd 0

23,

El teorema 10.11 tiene una consecuencia importante. Supóngase que la gráfica de

r f pasa por el polo cuando y f 0. Entonces la fórmula para dydx se

simplifica como sigue.

dy

dx f sen sin f cos

f sen sin 0

f cos f sin f cos 0 sen sin

tan

sen

cos

Por tanto, la recta

es tangente a la gráfica en el polo, 0, .

f( θ) = 2 cos 3θ

π

2

TEOREMA 10.12 RECTAS TANGENTES EN EL POLO

Si f 0 y f 0, entonces la recta es tangente a la gráfica de

r f . en el polo.

π

2

0

El teorema 10.12 es útil porque establece que los ceros de r f pueden usarse para

encontrar las rectas tangentes en el polo. Obsérvese que, puesto que una curva polar puede

cruzar el polo más de una vez, en el polo puede haber más de una recta tangente. Por ejemplo,

la curva rosa

3π

2

Esta curva rosa tiene, en el polo, tres rectas

tangentes 6, 2, y

56

Figura 10.48

f 2 cos 3

tiene tres rectas tangentes en el polo, como se ilustra en la figura 10.48. En esta curva,

f 2 cos es 0 cuando es 6, 2, y 56. La derivada ƒ() 6 sen

no es 0 en estos valores de .

3


Gráficas polares especiales

Varios tipos importantes de gráficas tienen ecuaciones que son más simples en forma polar

que en forma rectangular. Por ejemplo, la ecuación polar de un círculo de radio a y centro

en el origen es simplemente r a. Más adelante se verán las ventajas que esto tiene. Por

ahora, se muestran abajo algunos tipos de gráficas cuyas ecuaciones son más simples en

forma polar. (Las cónicas se abordan en la sección 10.6.)

Caracoles

r a ± b cos

r a ± b sen sin

a > 0, b > 0

π

π

2

0

π

π

2

0

π

π

2

0

π

π

2

0

3π

2

3π

2

3π

2

3π

2

a

b < 1

Caracol con lazo

interior

a

b 1

Cardioide (forma

de corazón)

1 < a b < 2

Caracol con hoyuelo

a

b ≥ 2

Caracol convexo

Curvas Rose Curves rosa

n pétalos si n es impar

2n pétalos si n es par

n ≥ 2

π

π

2

n = 3

0

π

π

2

n = 4

0

π

π

2

a

0

π

π

2

a

0

3π

2

a

3π

2

a

3π

2

n = 5

3π

2

n = 2

Círculos y lemniscatas

r a cos

Curva rosa

π

π

2

3π

2

r a cos

Círculo

n

a

0

r a cos

Curva rosa

π

π

2

3π

2

r a sen sin

Círculo

n

a

0

r a sen sin

Curva rosa

π

π

2

3π

2

n

r 2 a 2 sen sin

Lemniscata

a

2

0

r a sen sin

Curva rosa

π

2

π

a

3π

2

r 2 a 2 cos

Lemniscata

n

2

0

TECNOLOGÍA Las curvas rosa descritas arriba son de la forma r a cos n

o r a sen sin n, donde n es un entero positivo mayor o igual a 2. Usar una herramienta

de graficación para trazar las gráficas de r a cos n o r a sen sin n con valores no

enteros de n. ¿Son estas gráficas también curvas rosa? Por ejemplo, trazar la gráfica de

r cos 2 3, 0 ≤ ≤ 6.

Gráfica generada con Maple

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre curvas rosa y otras curvas relacionadas

con ellas, ver el artículo “A Rose is a Rose...” de Peter M. Maurer en The American

Mathematical Monthly. La gráfica generada por computadora que se observa al lado izquierdo, es

resultado de un algoritmo que Maurer llama “La rosa”.


En los ejercicios 1 a 6, representar gráficamente el punto dado

en coordenadas polares y hallar las coordenadas rectangulares

correspondientes.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

En los ejercicios 7 a 10, emplear la función ángulo de una herramienta

de graficación para encontrar las coordenadas rectangulares

del punto dado en coordenadas polares. Representar gráficamente

el punto.

7. 8.

9. 10.

En los ejercicios 11 a 16, se dan las coordenadas rectangulares de

un punto. Localizar gráficamente el punto y hallar dos conjuntos

de coordenadas polares del punto con

11. (2, 2) 12. (0, 6)

13. 14.

15. 16.

En los ejercicios 17 a 20, emplear la función ángulo de una

herramienta de graficación para hallar un conjunto de coordenadas

polares del punto dado en coordenadas rectangulares.

17. 18.

19. 20.

21. Represente gráficamente el punto (4, 3.5) si el punto está dado

a) en coordenadas rectangulares y b) en coordenadas polares.

22. Razonamiento gráfico

a) En una herramienta de graficación, seleccionar formato de

ventana para coordenadas polares y colocar el cursor en

cualquier posición fuera de los ejes. Mover el cursor en sentido

horizontal y en sentido vertical. Describir todo cambio

en las coordenadas de los puntos.

b) En una herramienta de graficación, seleccionar el formato de

ventana para coordenadas polares y colocar el cursor en

cualquier posición fuera de los ejes. Mover el cursor en sentido

horizontal y en sentido vertical. Describir todo cambio

en las coordenadas de los puntos.

c) ¿Por qué difieren los resultados obtenidos en los incisos a) y

b)?

En los ejercicios 23 a 26, hacer que corresponda la gráfica con su

ecuación polar. [Las gráficas están etiquetadas a), b), c) y d).]

a) b)

c) d)

23. 24.

25. 26.

En los ejercicios 27 a 36, transformar la ecuación rectangular a

la forma polar y trazar su gráfica.

29. 30.

31. y 8 32.

33.

34.

35.

36.

En los ejercicios 37 a 46, pasar la ecuación polar a la forma rectangular

y trazar su gráfica.

37. r 4 38. r 5

39. 40.

41. 42.

43. 44.


para representar la ecuación polar. Hallar un intervalo

para en el que la gráfica se trace sólo una vez.

47. r 2 5 cos 48. r 3(1 4 sen )

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. Pasar la ecuación

a la forma rectangular y verificar que sea la ecuación de un

círculo. Hallar el radio y las coordenadas rectangulares de su

centro.

r 2h cos k sin

r 2 1

r 2 4 sin 2

r 3 sin 5

2

r 2 cos 3

2

r

2

4 3 sin

r

2

1 cos

r 4 3 cos

r 2 sin

In Exercises 1–6, plot the point in polar coordinates and find

the corresponding rectangular coordinates for the point.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

In Exercises 7–10, use the angle feature of a graphing utility to

find the rectangular coordinates for the point given in polar

coordinates. Plot the point.

7. 8.

9. 10.

In Exercises 11–16, the rectangular coordinates of a point are

given. Plot the point and find two sets of polar coordinates for

the point for

11. 12.

13. 14.

15. 16.


find one set of polar coordinates for the point given in rectangular

coordinates.

17. 18.

19. 20.

21. Plot the point if the point is given in (a) rectangular

coordinates and (b) polar coordinates.

22. Graphical Reasoning

(a) Set the window format of a graphing utility to rectangular

coordinates and locate the cursor at any position off the

axes. Move the cursor horizontally and vertically. Describe

any changes in the displayed coordinates of the points.

(b) Set the window format of a graphing utility to polar




(c) Why are the results in parts (a) and (b) different?

In Exercises 23–26, match the graph with its polar equation.

[The graphs are labeled (a), (b), (c), and (d).]

(a)

(b)

(c)

(d)

23. 24.

25. 26.

In Exercises 27–36, convert the rectangular equation to polar

form and sketch its graph.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35.

36.

In Exercises 37– 46, convert the polar equation to rectangular


37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

In Exercises 47–56, use a graphing utility to graph the polar

equation. Find an interval for

over which the graph is traced

only once.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. Convert the equation

to rectangular form and verify that it is the equation of a circle.

Find the radius and the rectangular coordinates of the center of

the circle.

r 2h cos k sin

r 2 1

r 2 4 sin 2

r 3 sin 5

2

r 2 cos 3

2

r

2

4 3 sin

r

2

1 cos

r 4 3 cos

r 2 sin

r 31 4 cos

r 2 5 cos

r cot csc

r sec tan

r 2 csc

r 3 sec

5

6

r

r 5 cos

r 3 sin

r 5

r 4

x 2 y 2 2 9x 2 y 2 0

y 2 9x

xy 4

3x y 2 0

x 12

y 8

x 2 y 2 2ax 0

x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 9

x 2 y 2 9

r 2 sec

r 31 cos

r 4 cos 2

r 2 sin

π

2

0

4

π

2

0

2 4

π

2

4, 3.5

0, 5

7 4, 5 2

32, 32

3, 2

3, 3

1, 3

4, 2

3, 4

0, 6

2, 2

0

< 2.

9.25, 1.2

4.5, 3.5

2, 116

7, 54

3, 1.57

2, 2.36

0, 76

4, 34

2, 53

8, 2



r 2 csc

r 3 sec

5

6

r

r 5 cos

r sin

x 2 y 2 2 9x 2 y 2 0

y 2 9x

xy 4

3x y 2 0

x 10

x 2 y 2 2ax 0

x 2 y 2 a 2 r 2 sec

r 31 cos

r 4 cos 2

r 2 sin

0

1 3

π

2

0

2

1

π

2

0

4

π

2

0

2 4

π

2

0, 5



1. 2.

3. 4.

5. 6.




7. 8.

9. 10.



the point for

11. 12.

13. 14.

15. 16.



coordinates.

17. 18.

19. 20.















(a)

(b)

(c)

(d)

23. 24.

25. 26.



27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35.

36.



37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.




only once.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.




the circle.

r 2h cos k sin

r 2 1

r 2 4 sin 2

r 3 sin 5

2

r 2 cos 3

2

r

2

4 3 sin

r

2

1 cos

r 4 3 cos

r 2 sin

r 31 4 cos

r 2 5 cos

r cot csc

r sec tan

r 2 csc

r 3 sec

5

6

r

r 5 cos

r 3 sin

r 5

r 4

x 2 y 2 2 9x 2 y 2 0

y 2 9x

xy 4

3x y 2 0

x 12

y 8

x 2 y 2 2ax 0

x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 9

x 2 y 2 9

r 2 sec

r 31 cos

r 4 cos 2

r 2 sin

π

2

0

4

π

2

0

2 4

π

2

4, 3.5

0, 5

7 4, 5 2

32, 32

3, 2

3, 3

1, 3

4, 2

3, 4

0, 6

2, 2

0

< 2.

9.25, 1.2

4.5, 3.5

2, 116

7, 54

3, 1.57

2, 2.36

0, 76

4, 34

2, 53

8, 2



32, 32

3, 2

3, 3



1. 2.

3. 4.

5. 6.




7. 8.

9. 10.



the point for

11. 12.

13. 14.

15. 16.



coordinates.

17. 18.

19. 20.















(a)

(b)

(c)

(d)

23. 24.

25. 26.



27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35.

36.



37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.




only once.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.




the circle.

r 2h cos k sin

r 2 1

r 2 4 sin 2

r 3 sin 5

2

r 2 cos 3

2

r

2

4 3 sin

r

2

1 cos

r 4 3 cos

r 2 sin

r 31 4 cos

r 2 5 cos

r cot csc

r sec tan

r 2 csc

r 3 sec

5

6

r

r 5 cos

r 3 sin

r 5

r 4

x 2 y 2 2 9x 2 y 2 0

y 2 9x

xy 4

3x y 2 0

x 12

y 8

x 2 y 2 2ax 0

x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 9

x 2 y 2 9

r 2 sec

r 31 cos

r 4 cos 2

r 2 sin

π

2

0

4

π

2

0

2 4

π

2

4, 3.5

0, 5

7 4, 5 2

32, 32

3, 2

3, 3

1, 3

4, 2

3, 4

0, 6

2, 2

0

< 2.

9.25, 1.2

4.5, 3.5

2, 116

7, 54

3, 1.57

2, 2.36

0, 76

4, 34

2, 53

8, 2



4, 2

3, 4

0 ≤

< 2.



1. 2.

3. 4.

5. 6.




7. 8.

9. 10.



the point for

11. 12.

13. 14.

15. 16.



coordinates.

17. 18.

19. 20.















(a)

(b)

(c)

(d)

23. 24.

25. 26.



27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35.

36.



37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.




only once.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.




the circle.

r 2h cos k sin

r 2 1

r 2 4 sin 2

r 3 sin 5

2

r 2 cos 3

2

r

2

4 3 sin

r

2

1 cos

r 4 3 cos

r 2 sin

r 31 4 cos

r 2 5 cos

r cot csc

r sec tan

r 2 csc

r 3 sec

5

6

r

r 5 cos

r 3 sin

r 5

r 4

x 2 y 2 2 9x 2 y 2 0

y 2 9x

xy 4

3x y 2 0

x 12

y 8

x 2 y 2 2ax 0

x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 9

x 2 y 2 9

r 2 sec

r 31 cos

r 4 cos 2

r 2 sin

π

2

0

4

π

2

0

2 4

π

2

4, 3.5

0, 5

7 4, 5 2

32, 32

3, 2

3, 3

1, 3

4, 2

3, 4

0, 6

2, 2

0

< 2.

9.25, 1.2

4.5, 3.5

2, 116

7, 54

3, 1.57

2, 2.36

0, 76

4, 34

2, 53

8, 2





1. 2.

3. 4.

5. 6.




7. 8.

9. 10.



the point for

11. 12.

13. 14.

15. 16.



coordinates.

17. 18.

19. 20.















(a)

(b)

(c)

(d)

23. 24.

25. 26.



27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35.

36.



37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.




only once.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.




the circle.

r 2h cos k sin

r 2 1

r 2 4 sin 2

r 3 sin 5

2

r 2 cos 3

2

r

2

4 3 sin

r

2

1 cos

r 4 3 cos

r 2 sin

r 31 4 cos

r 2 5 cos

r cot csc

r sec tan

r 2 csc

r 3 sec

5

6

r

r 5 cos

r 3 sin

r 5

r 4

x 2 y 2 2 9x 2 y 2 0

y 2 9x

xy 4

3x y 2 0

x 12

y 8

x 2 y 2 2ax 0

x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 9

x 2 y 2 9

r 2 sec

r 31 cos

r 4 cos 2

r 2 sin

π

2

0

4

π

2

0

2 4

π

2

4, 3.5

0, 5

7 4, 5 2

32, 32

3, 2

3, 3

1, 3

4, 2

3, 4

0, 6

2, 2

0

< 2.

9.25, 1.2

4.5, 3.5

2, 116

7, 54

3, 1.57

2, 2.36

0, 76

4, 34

2, 53

8, 2



2, 116



1. 2.

3. 4.

5. 6.




7. 8.

9. 10.



the point for

11. 12.

13. 14.

15. 16.



coordinates.

17. 18.

19. 20.















(a)

(b)

(c)

(d)

23. 24.

25. 26.



27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35.

36.



37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.




only once.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.




the circle.

r 2h cos k sin

r 2 1

r 2 4 sin 2

r 3 sin 5

2

r 2 cos 3

2

r

2

4 3 sin

r

2

1 cos

r 4 3 cos

r 2 sin

r 31 4 cos

r 2 5 cos

r cot csc

r sec tan

r 2 csc

r 3 sec

5

6

r

r 5 cos

r 3 sin

r 5

r 4

x 2 y 2 2 9x 2 y 2 0

y 2 9x

xy 4

3x y 2 0

x 12

y 8

x 2 y 2 2ax 0

x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 9

x 2 y 2 9

r 2 sec

r 31 cos

r 4 cos 2

r 2 sin

π

2

0

4

π

2

0

2 4

π

2

4, 3.5

0, 5

7 4, 5 2

32, 32

3, 2

3, 3

1, 3

4, 2

3, 4

0, 6

2, 2

0

< 2.

9.25, 1.2

4.5, 3.5

2, 116

7, 54

3, 1.57

2, 2.36

0, 76

4, 34

2, 53

8, 2



3, 1.57

2, 2.36

0, 76



1. 2.

3. 4.

5. 6.




7. 8.

9. 10.



the point for

11. 12.

13. 14.

15. 16.



coordinates.

17. 18.

19. 20.















(a)

(b)

(c)

(d)

23. 24.

25. 26.



27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35.

36.



37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.




only once.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.




the circle.

r 2h cos k sin

r 2 1

r 2 4 sin 2

r 3 sin 5

2

r 2 cos 3

2

r

2

4 3 sin

r

2

1 cos

r 4 3 cos

r 2 sin

r 31 4 cos

r 2 5 cos

r cot csc

r sec tan

r 2 csc

r 3 sec

5

6

r

r 5 cos

r 3 sin

r 5

r 4

x 2 y 2 2 9x 2 y 2 0

y 2 9x

xy 4

3x y 2 0

x 12

y 8

x 2 y 2 2ax 0

x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 9

x 2 y 2 9

r 2 sec

r 31 cos

r 4 cos 2

r 2 sin

π

2

0

4

π

2

0

2 4

π

2

4, 3.5

0, 5

7 4, 5 2

32, 32

3, 2

3, 3

1, 3

4, 2

3, 4

0, 6

2, 2

0

< 2.

9.25, 1.2

4.5, 3.5

2, 116

7, 54

3, 1.57

2, 2.36

0, 76

4, 34

2, 53

8, 2





1. 2.

3. 4.

5. 6.




7. 8.

9. 10.



the point for

11. 12.

13. 14.

15. 16.



coordinates.

17. 18.

19. 20.















(a)

(b)

(c)

(d)

23. 24.

25. 26.



27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35.

36.



37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.




only once.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.




the circle.

r 2h cos k sin

r 2 1

r 2 4 sin 2

r 3 sin 5

2

r 2 cos 3

2

r

2

4 3 sin

r

2

1 cos

r 4 3 cos

r 2 sin

r 31 4 cos

r 2 5 cos

r cot csc

r sec tan

r 2 csc

r 3 sec

5

6

r

r 5 cos

r 3 sin

r 5

r 4

x 2 y 2 2 9x 2 y 2 0

y 2 9x

xy 4

3x y 2 0

x 12

y 8

x 2 y 2 2ax 0

x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 9

x 2 y 2 9

r 2 sec

r 31 cos

r 4 cos 2

r 2 sin

π

2

0

4

π

2

0

2 4

π

2

4, 3.5

0, 5

7 4, 5 2

32, 32

3, 2

3, 3

1, 3

4, 2

3, 4

0, 6

2, 2

0

< 2.

9.25, 1.2

4.5, 3.5

2, 116

7, 54

3, 1.57

2, 2.36

0, 76

4, 34

2, 53

8, 2





1. 2.

3. 4.

5. 6.




7. 8.

9. 10.



the point for

11. 12.

13. 14.

15. 16.



coordinates.

17. 18.

19. 20.















(a)

(b)

(c)

(d)

23. 24.

25. 26.



27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35.

36.



37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.




only once.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.




the circle.

r 2h cos k sin

r 2 1

r 2 4 sin 2

r 3 sin 5

2

r 2 cos 3

2

r

2

4 3 sin

r

2

1 cos

r 4 3 cos

r 2 sin

r 31 4 cos

r 2 5 cos

r cot csc

r sec tan

r 2 csc

r 3 sec

5

6

r

r 5 cos

r 3 sin

r 5

r 4

x 2 y 2 2 9x 2 y 2 0

y 2 9x

xy 4

3x y 2 0

x 12

y 8

x 2 y 2 2ax 0

x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 9

x 2 y 2 9

r 2 sec

r 31 cos

r 4 cos 2

r 2 sin

π

2

0

4

π

2

0

2 4

π

2

4, 3.5

0, 5

7 4, 5 2

32, 32

3, 2

3, 3

1, 3

4, 2

3, 4

0, 6

2, 2

0

< 2.

9.25, 1.2

4.5, 3.5

2, 116

7, 54

3, 1.57

2, 2.36

0, 76

4, 34

2, 53

8, 2



sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

10.4 Ejercicios



1. 2.

3. 4.

5. 6.




7. 8.

9. 10.



the point for

11. 12.

13. 14.

15. 16.



coordinates.

17. 18.

19. 20.





(c)

(d)

23. 24.

25. 26.



27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35.

36.



37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44. r 2 csc

r 3 sec

5

6

r

r 5 cos

r 3 sin

r 5

r 4

x 2 y 2 2 9x 2 y 2 0

y 2 9x

xy 4

3x y 2 0

x 12

y 8

x 2 y 2 2ax 0

x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 9

x 2 y 2 9

r 2 sec

r 31 cos

r 4 cos 2

r 2 sin

π

2

4, 3.5

0, 5

7 4, 5 2

32, 32

3, 2

3, 3

1, 3

4, 2

3, 4

0, 6

2, 2

0

< 2.

9.25, 1.2

4.5, 3.5

2, 116

7, 54

3, 1.57

2, 2.36

0, 76

4, 34

2, 53

8, 2



1059997_1004.qxp 9/2/08 3:51 PM Page 738



1. 2.

3. 4.

5. 6.




7. 8.

9. 10.



the point for

11. 12.

13. 14.

15. 16.



coordinates.

17. 18.

19. 20.















(a)

(b)

(c)

(d)

23. 24.

25. 26.



27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35.

36.



37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.




only once.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.




the circle.

r 2h cos k sin

r 2 1

r 2 4 sin 2

r 3 sin 5

2

r 2 cos 3

2

r

2

4 3 sin

r

2

1 cos

r 4 3 cos

r 2 sin

r 31 4 cos

r 2 5 cos

r cot csc

r sec tan

r 2 csc

r 3 sec

5

6

r

r 5 cos

r 3 sin

r 5

r 4

x 2 y 2 2 9x 2 y 2 0

y 2 9x

xy 4

3x y 2 0

x 12

y 8

x 2 y 2 2ax 0

x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 9

x 2 y 2 9

r 2 sec

r 31 cos

r 4 cos 2

r 2 sin

π

2

0

4

π

2

0

2 4

π

2

4, 3.5

0, 5

7 4, 5 2

32, 32

3, 2

3, 3

1, 3

4, 2

3, 4

0, 6

2, 2

0

< 2.

9.25, 1.2

4.5, 3.5

2, 116

7, 54

3, 1.57

2, 2.36

0, 76

4, 34

2, 53

8, 2




10.4 Polar Coordinates and Polar Graphs 739

10.4 Polar Coordinates and Polar Graphs 739

58. Fórmula para la distancia

58. Distance Formula

58. a) Distance Verificar Formula que la fórmula para la distancia entre dos puntos

(a)

r

Verify

y dados en coordenadas polares es

(a) Verify 1 , 1

that

r

that 2 , 2

the Distance Formula for the distance between

the two points the Distance r 1 , Formula for the distance between

1 and r 2 ,

the d two rpoints 12 r 22

r 1 , 2r 1 1

and r 2

r 2 , in polar coordinates is

cos1 2

2 in polar coordinates is

2.

d r2 1 r

2

2 2r 1 r 2 cos 1 2

b) Describir las posiciones de los puntos, en .

d r2 1 r

2

2 2r 1 r 2 cos relación uno con

1 2

(b) otro, Describe .

si 1 Simplificar la fórmula de distancia para

(b) este Describe caso. ¿Es the the 2. positions of the points relative to each other

for positions la simplificación of the points lo que relative se esperaba? to each Explicar other

1

por for qué. 1 2 .

2 . Simplify the Distance Formula for this case. Is

the simplification Simplify what the you Distance expected? Formula Explain. for this case. Is

the simplification what you expected? Explain.

c) (c) Simplificar Simplify the la fórmula Distance de Formula distancia for si 11 ¿Es

(c) la Simplify simplificación the Distance lo que se Formula esperaba? for

22 Explicar 1 2 por 90 90 90. . Is the

simplification what you expected? Explain. qué. . Is the

simplification what you expected? Explain.

d) (d) Elegir Choose dos two puntos points en on el the sistema polar coordinate de coordenadas system polares and find y

(d) encontrar Choose the distance two la distancia points between on entre the them. polar ellos. Then coordinate Luego choose elegir system different representaciones

the representations distance polares between diferentes of the them. same para Then los two choose mismos points different and dos apply puntos polar the y

and find polar

aplicar representations Distance la fórmula Formula of para again. the la same distancia. Discuss two the Analizar points result. and el resultado. apply the

Distance Formula again. Discuss the result.

En In los Exercises ejercicios 59– 59 62, a use 62, the usar result el resultado of Exercise del 58 ejercicio to approximate 58 para

aproximar In the Exercises distance la 59– distancia between 62, use the entre the two result los points dos of Exercise puntos in polar descritos 58 coordinates.

approximate en coordenadas

the distance polares. between the two points in polar coordinates.

59. 1, 5 59. 1, 5 60. 8, 7

60. 8, 7 5,

6 , 4, 5,

6 , 4, 3

4 ,

3

4 ,

61. 2, 0.5 , 7, 1.2

62. 4, 2.5 , 12, 1

61. 2, 0.5,

, 7, 1.2

62. 4, 2.5,

, 12, 11

In Exercises 63 and 64, find dy/dx and the slopes of the tangent

En In lines Exercises los

shown

ejercicios 63 on and the

63 y 64, graph

64, find hallar

of dy/dx the

dy/dx

polar and y the equation.

las pendientes slopes of the de tangent las rectas

tangentes shown on que the se graph muestran of the en polar las gráficas equation. de las ecuaciones

lines

polares. 63. r 2 3 sin

64. r 21 sin

63. r 2 3 sin

64. r 21 sin

63. sen sin π

64.

21 sen sin π

π

π 2 5, π 2

π π

π

2 5,

2

5,

π

( )

)

2

2

(2, 0)

2

(2, 0) 0

1 (2, 2 0) 3

7π

0

3, 1 2 3

3π

7π

3,

6

3,

7π

( )

)

−1,

3π

6

−1,

2

−1,

3π

( )

)

2

0

(2, π)

2 3

3π

0

4,

(2, π)

2 3

3π

4,

2

(2, 4,

3π

( )

)

2

In Exercises 65– 68, use a graphing utility to (a) graph the polar

En In equation, Exercises los ejercicios (b) 65– draw 68, 65 a use the 68, a tangent usar graphing una line herramienta utility at the to given (a) graph de value graficación the of polar , and y

a) equation, (c) trazar find dy/dx la (b) gráfica draw at the the de given la tangent ecuación value line of polar, at . the Hint: b) given dibujar Let value the la of recta increment , and tangente

(c) between find en dy/dx el the valor values at the dado of given de equal , value y c) hallar of

/24..

dy/dx Hint: en Let el the valor increment dado de

. between Sugerencia: the values Tomar of incrementos equal /24. de iguales a /24.

65. r 31 cos , 66. r 3 2 cos , 0

65. r 31 31 cos , , 2

66.

r 3 2 cos , , 0

2

67. r 3 sin ,

68. r 4,

67. r 3 sen

sin , , 3

68.

r 4, 4

3

4

En

In

los

Exercises

ejercicios

69 and

69 y

70,

70,

find

hallar

the

los

points

puntos

of horizontal

de tangencia

and

horizontal

vertical

In Exercises 69 and 70, find the points of horizontal and vertical

tangency

y vertical

(if

(si

any)

los

to

hay)

the

a

polar

la curva

curve.

polar.

tangency (if any) to the polar curve.

69.

69. r

1

sin sen

sin

70.

70.

r

a

sin sen

sin

69. r 1 sin

70. r a sin

En In los Exercises ejercicios 71 71 and y 72, 72, hallar find the los points puntos of de horizontal tangencia tangency horizontal

In (if Exercises

(si any) los to hay) the 71

a polar and curva

72, curve. find

polar.

the points of horizontal tangency

(if any) to the polar curve.

71. 71. r 2 csc csc 3

72. 72.

r a sin sen sin cos cos 2

2

71. r 2 csc 3

72. r a sin cos 2

En In los Exercises ejercicios 73–76, a 76, use usar a graphing una herramienta utility to de graficación graph the polar para

representar In equation Exercises and la 73–76, ecuación find all use points polar a graphing y of hallar horizontal utility todos tangency. los to puntos graph de the tangencia

equation horizontal. and find all points of horizontal tangency.

polar

73. r 4 sin cos 2 73. r 4 sin cos 2 2

74. r 3 cos 2 sec

sen

74. r

3 cos 22 sec

)

)

)

)

)

)

)

)

75.

75. r

2

csc

csc

5

76.

76.

r

2 cos

cos3

3

2

2

En

75.

los

r

ejercicios

2 csc

77

5

a 84, dibujar

76.

la

r

gráfica

2 cos

de

3

la ecuación

2

polar

y

In

hallar

Exercises

las tangentes

77–84, sketch

en el polo.

a graph of the polar equation and

In find Exercises the tangents 77–84, at sketch the pole. a graph of the polar equation and

find 77. the r tangents 3 sen sin at the pole. 78. r 5 cos

77. r 5 sin

78. r 5 cos

77. 79. rr 5 21 sin sen sin 78. 80. rr 5 31 cos cos

79. r 21 sin

80. r 31 cos

79. 81. rr 21 2 cos sin 3

80. 82. rr sin 31sen

cos 5

81. r 4 cos 3

82. r sin 5

81. 83. rr 4 3 cos sen sin 32

82. 84. rr 3 sin cos 52

83. r 3 sin 2

84. r 3 cos 2

En 83. los r ejercicios 3 sin 2 85 a 96, trazar 84. la gráfica r 3 cos de la 2 ecuación polar.

In Exercises 85–96, sketch a graph of the polar equation.

In 85. Exercises r 8 85–96, sketch a graph 86. of rthe 1 polar equation.

87.

85. r

41

8

cos 88.

86.

r

1

sen sin

85. r 8

86. r 1

89.

87. r

3

41

2 cos

cos

90.

88.

r

5

1

4

sin

sin sen

87. r 41 cos

88. r 1 sin

89. r 3 2 cos

90. r 5 4 sin

6

89. 91. rr 3 csc 2 cos

90. 92. rr 5 4 sin

2 sen sin 6

91. r 3 csc

92. r

3 cos

91. 92.

93. r 2

94. r 1 6

r 3 csc

r 2 sin 3 cos

2 sin 3 cos

1

93. r 2

94. r 1

93. 95. rr 2 2

4 cos 2

94. 96. rr 2 4 sin sen

95. r 2 4 cos 2

96. r 2 4 sin

En 95. los r 2 ejercicios 4 cos 2 97 a 100, usar 96. una rherramienta 2 4 sin de graficación

para In Exercises representar 97–100, la ecuación use a graphing y mostrar utility que la to recta graph dada the es equation

una

Exercises and de show la 97–100, gráfica. that the use given a graphing line is an utility asymptote graph of the graph. equa-

In asíntota

tion and show that the given line is an asymptote of the graph.

Nombre Name of de Graph la gráfica Polar Ecuación Equation polar Asymptote Asíntota

Name Concoide of Graph

97. Conchoid

Polar r Equation

r 2 2 sec sec

Asymptote

x x 1 1

97. Conchoid

98. Concoide Conchoid

98. Conchoid

99. Espiral Hyperbolic hiperbólica spiral

99. Hyperbolic Estrofoide spiral

100. Strophoid

r

r

r

r

r

r

r2 2sec

2 csc csc

r2 csc

2 2

r2

2 cos 2 cos 2 sec 2 sec

x y 1

y 1 1

y y 1

y 2

2

y x 2

x 2 2

100. Strophoid

r 2 cos 2 sec x 2

Desarrollo WRITING ABOUT de conceptos

CONCEPTS


101. Describir Describe the las differences diferencias between entre el the sistema rectangular de coordenadas coordinate

101. Describe the differences between the rectangular coordinate

rectangulares system and the y el polar sistema coordinate de coordenadas system. polares.

system and the polar coordinate system.

102. Dar Give las the ecuaciones equations para for the pasar coordinate de coordenadas conversion rectangulares

rectangular a coordenadas to polar polares coordinates y viceversa. and vice versa.

from

102. Give the equations for the coordinate conversion from

rectangular to polar coordinates and vice versa.

103. ¿Cómo How are se the determinan slopes of las tangent pendientes lines de determined rectas tangentes in polar en

103. How are the slopes of determined in polar

coordenadas coordinates? polares? What are ¿Qué tangent son lines las rectas at the tangentes pole and en howel

coordinates? What are tangent lines at the pole and how

polo are they y cómo determined? se determinan?

are they determined?

Para discusión

CAPSTONE

CAPSTONE

104. Describir Describe las the gráficas graphs of de the las following siguientes polar ecuaciones equations. polares.

104. Describe the graphs of the following polar equations.

a) r 7

b) r 2 7

a) r 7

b) r 2 7

7

7

c) r 7

d) r 7

c) r cos

d) r sen

e) r cos 7 cos f) r sen 7 sen

e) r 7 cos f) r 7 sen

105. Trazar la gráfica de r sin en el intervalo dado.

105. Sketch the graph of r 4

sen

sin over each interval.

105. Sketch the graph of r 4

a) b) c)

2 ≤ ≤

2 ≤ sin over each interval.

0 ≤ ≤

≤

(a) 0 2 (b) (c) 2

(a) 0 2 (b) 2

(c) 2 2

106. Para pensar 2 Utilizar una 2 herramienta graficadora 2 para representar

About la ecuación It Use polar a graphing r 61 utility cos to graph the para polara)

equation r 61 cos for (a) 0, (b) 4,

2

106. Think About It Use a graphing utility to graph the polar

106. Think

equation b) r 61 cos y c) for (a) Usar 0, las (b) gráficas para

and (c) 2. Use the graphs to describe the effect of 4, the

and describir (c) el efecto 2. Use del ángulo the graphs . Escribir to describe la ecuación the effect como of the función

de . sen Write para the equation el inciso as c). a function of sin for part

angle . Write the equation as a function of sin for part (c).

angle (c).

0,

4,

2.



107. Verificar que si la curva correspondiente a la ecuación polar

r f gira un ángulo , alrededor del polo, entonces la

107.

ecuación

Verify

de

that

la

if

curva

the curve

girada

whose

es r

polar

f

equation

.

is r f is

rotated about the pole through an angle , then an equation for

108. La

the

forma

rotated

polar

curve

de una

is r

ecuación

f

de

.

una curva es r f sin sen.

Comprobar que la forma se convierte en

108. The polar form of an equation of a curve is r f sin . Show

a) r f cos si la curva gira 2 radianes alrededor del

that the form becomes

polo en sentido contrario a las manecillas del reloj.

b) (a) r r fsin fsen

cos si la if curva the gira curve radianes is rotated alrededor counterclockwise del polo

en sentido 2 radians contrario about a the las manecillas pole. del reloj.

c) (b) r r fcos f sin

la if curva the curve gira 32 is rotated radianes counterclockwise

alrededor del

polo radians en sentido about contrario the pole. a las manecillas del reloj.

(c) r f cos if the curve is rotated counterclockwise 32

En los ejercicios

radians

109

about

a 112,

the pole.

usar los resultados de los ejercicios

107 y 108.

109. In Dar Exercises la ecuación 109–112, del caracol use the rresults 2 of sen sin Exercises después 107 de and girar 108. la

cantidad indicada. Utilizar una herramienta de graficación para

109. Write an equation for the limaçon r 2 sin after it has

representar el giro del caracol.

been rotated by the given amount. Use a graphing utility to

a) graph the b) rotated c) limaçon. d)

4 2

2

110. Dar (a) una ecuación (b) para la (c) curva rosa (d) r 2 sen sin 2 después de

4 2

2

girar la cantidad dada. Verificar los resultados usando una herramienta

Write de an graficación equation for para the representar rose curve el rgiro 2 de sin la curva 2 after rosa. it has

110.

been rotated by the given amount. Verify the results by using

a) a graphing b) utility c) to graph the d) rotated rose curve.

6 2 3

111. Dibujar (a) la gráfica (b) de cada (c) ecuación. (d)

6 2 3

111. a) Sketch r 1 the sen sin graph of b) each r equation.

1 sen sin

112. Demostrar (a) r 1que la sin tangente (b) del rángulo 1 sin 0 2) entre

la recta radial y la recta tangente en el punto r, en la gráfica

112. Prove that the tangent of the angle 2 between

de r f (ver la figura) está dada por tan rdrd.

the radial line and the tangent line at the point r, on the

graph π of r f (see figure) is given by tan

2

Curva π polar: Recta tangente

r 2= f( θ )

Polar curve ψ Tangent line

r = f( θ)

Recta radial

ψ

P = (r, θ ) Radial line

θ P = (r, θ)

O

0

A

O

θ

Eje polar

0

A

Polar axis

En los ejercicios 113 a 118, usar los resultados del ejercicio 112

para In Exercises hallar el ángulo 113–118, use entre the las result rectas of radial Exercise y tangente 112 to find a la the

gráfica angle en el between valor indicado the radial de . and Usar tangent una herramienta lines to the de graph graficación

the indicated para representar value of la . ecuación Use a graphing polar, de la utility recta to radial graph y la the

for

recta polar tangente equation, en el the valor radial indicado line, de and . Identificar the tangent el line ángulo for . the

indicated value of . Identify the angle .

Ecuación polar Valor de

Polar Equation Value of

113. r 21 cos

113. r 21 cos

114. r 31 cos

114. r 31 cos

115. r 2 cos 3

115. r 2 cos 3

116. r 4 sen sin 2

116. r 4 sin 2

6

117. r

117. r 1 cos

6

1 cos

118. r 5

118. r 5

2

2

3

3

34

34

4

4

6

6

23

23

6

6

4

0

4

rdrd.


afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o

True or False? In Exercises 119–122, determine whether the

dar un ejemplo que muestre que es falsa.

statement is true or false. If it is false, explain why or give an

119. example Si r 1 , that 1 y shows r 2 , 2 it is representan false. el mismo punto en el sistema

de coordenadas polares, entonces r 1 r 2 .

120.

119.

Si

If

r,

r

1 1 , 1

y r,

and

2

r

representan 2 , 2 represent

el mismo

the same

punto

point

en el

on

sistema

the polar

de

coordenadas

coordinate system,

polares,

then

entonces r 1 r 1 2 . 2 2n para algún entero

If r, n. 1 and r, 2 represent the same point on the polar

120.

121. Si coordinate x > 0, entonces system, el then punto

1 x,

2y

en 2n el sistema for some de integer coordenadas

If x > rectangulares 0, then the (o point cartesianas) x, y on the puede rectangular representarse coordinate me-

n.

121.

diante system r, can en be represented el sistema de by r, coordenadas on the polares, coordinate donde

r system, x 2 where

y 2 y r x 2 y 2 and

122. 122. Las The ecuaciones polar polares equations r sen r sin 2 y 2, r sen r sin 2 tienen 2, and la

misma r sin2 gráfica. all have the same graph.

Arte Anamorphic anamórfico Art

arctanyx.

El Anamorphic arte anamórfico art appears parece distorsionado, distorted, but when pero cuando the art se is viewed ve desde from un

particular a particular punto point de vista or is o viewed con un dispositivo with a device como such un espejo as a mirror, pareceit

que appears está normal. to be normal. Usar las Use siguientes the anamorphic transformaciones transformations anamórficas

r r y y 1616

y and

3

4 ≤ ≤ 3

8 x, 3

4 3

8 x,

4 4

para to sketch dibujar the la imagen transformed polar transformada polar image of de the la gráfica rectangular rectangular. graph.

Cuando When the se observa reflection la reflexión (in a cylindrical (en un mirror espejo centered cilíndrico at centrado the pole) enof

el each polo) polar de una image imagen is viewed polar from desde the el polar eje polar, axis, el the espectador viewer will ve see la

imagen the original rectangular rectangular original. image.

a) (a) y y 3

3b) (b) x x 2 2c) (c) y yx x5

d) 5 x(d)

2 xy 2 y 5 2 5 5 2 2 5 2

Tomado From the de Millington-Barnard Collection of of Scientific Apparatus, ca 1855 ca

1855 The University The University of Mississippi of Mississippi Museum, Museum, Oxford, Oxford, Mississippi Mississippi.

PROYECTO S E C T I ODE N TRABAJO P R O J E C T

arctanyx.

Este This ejemplo example de of arte anamorphic anamórfico art es is de from la Colección the Millington-Barnard

Barnard Collection en la at Universidad the University de of Mississippi. Cuando When se the observa reflection el reflejo of

de the la “pintura transformed polar”transformada “polar painting” en is el viewed espejo, in el the espectador mirror, the ve viewer el arte

distorsionado sees the distorted en sus art proporciones in its proper adecuadas. proportions.

■ FOR FURTHER INFORMATION For more information on

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre

anamorphic art, see the article “Anamorphisms” by Philip Hickin in

arte anamórfico, consultar al artículo “Anamorphisms” de Philip

the Mathematical Gazette.

Hickin en Mathematical Gazette.

SECCIÓN 10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares 741


10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares

■

■

■

■

Hallar el área de una región limitada por una gráfica polar.

Hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares.

Hallar la longitud de arco de una gráfica polar.

Hallar el área de una superficie de revolución (forma polar).

θ

r

El área de un sector circular es

Figura 10.49

a)

π

2

β

A 1 2r 2 .

r = f( θ)

α

0

Área de una región polar

El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar se asemeja al del área de una

región en el sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas), pero en lugar de rectángulos

se usan sectores circulares como elementos básicos del área. En la figura 10.49,

1

obsérvese que el área de un sector circular de radio r es 2r 2 , siempre que esté dado en

radianes.

Considérese la función dada por r f, donde f es continua y no negativa en el

intervalo ≤ ≤ . La región limitada por la gráfica de f y las rectas radiales y

se muestra en la figura 10.50a. Para encontrar el área de esta región, se hace una

partición del intervalo , en n subintervalos iguales

0 < 1 <

A continuación, se aproxima el área de la región por medio de la suma de las áreas de los

n sectores, como se muestra en la figura 10.50b.

Radio Radius del i-ésimo of ith sector fi

Ángulo Central central angle del i-ésimo of ith sector

Tomando el límite cuando n → se obtiene

1

A lím lim

n→ 2 n

fi 2

i1

2

1 f 2 d

2 < . . . <

A n

lo cual conduce al teorema siguiente.

n1 <

n .

n

i1 1 2 fi 2

π

2

β

θ

n − 1

r = f( θ)

θ

2

θ

1

α

0

TEOREMA 10.13 ÁREA EN COORDENADAS POLARES

Si f es continua y no negativa en el intervalo , , 0 < ≤ 2, entonces el

área de la región limitada (o acotada) por la gráfica de r f entre las rectas radiales

y está dada por

A 1 f

2

2 d

1 r 0 < ≤ 2.

2

2 d.

b)

Figura 10.50

NOTA La misma fórmula se puede usar para hallar el área de una región limitada por la gráfica

de una función continua no positiva. Sin embargo, la fórmula no es necesariamente válida si f toma

valores tanto positivos como negativos en el intervalo , .

■


EJEMPLO 1

Encontrar el área de una región polar

r = 3 cos 3θ

π

2

El área de un pétalo de la curva rosa que se

encuentra entre las rectas radiales

y

es 34.

Figura 10.51

6

6

3

0

Encontrar el área de un pétalo de la curva rosa dada por r 3 cos 3.

Solución En la figura 10.51 se puede ver que el pétalo al lado derecho se recorre a medida

que aumenta de 6 a 6. Por tanto, el área es

Fórmula para el área en

A

2

1 r 2 d

2

1 6

3 cos 3 2 d

coordenadas polares.

6

NOTA Para hallar el área de la región comprendida dentro de los tres pétalos de la curva rosa del

ejemplo 1, no se puede simplemente integrar entre 0 y 2. Si se hace así, se obtiene 92, que es

el doble del área de los tres pétalos. Esta duplicación ocurre debido a que la curva rosa es trazada

dos veces cuando aumenta de 0 a 2.

■

2

9 6

9 sen sin 6

4

6

9 4

6

3

4 .

6

1 cos 6

2

6

6

6

d

Identidad

trigonométrica.

EJEMPLO 2

Hallar el área limitada por una sola curva

Hallar el área de la región comprendida entre los lazos interior y exterior del caracol

r 1 2 sen sin .

=

5

6

2

2

=

6

3

r = 1 − 2 sen

El área entre los lazos interior y exterior es

aproximadamente 8.34

Figura 10.52

0

Solución En la figura 10.52, obsérvese que el lazo interior es trazado a medida que

aumenta de 6 a 56. Por tanto, el área comprendida por el lazo interior es

A 1

2

1 r 2 d

2

1

2

1

2

1

56

6

56

6

56

1 4 sin 4

6

1 cos 2

sen

2

1 56

6

2 1 3 4 cos sin 2 56

sen

1 2 2 33

1 2 sen sin 2 d

1 4 sin sen 4 sen sin 2 d

3 4 sen sin 2 cos 2 d

6

2 d

Fórmula para el área en


Identidad

trigonométrica.

Simplificación.

33

2 .

De manera similar, se puede integrar de 56 a 136 para hallar que el área de la región

comprendida por el lazo exterior es A 2 2 332. El área de la región comprendida

entre los dos lazos es la diferencia entre y A 1 .

A A 2 A 1 2 33

2 33

2 33 8.34

A 2



Para más información sobre el uso de

la tecnología para encontrar puntos de

intersección, consultar el artículo

“Finding Points of Intersection of

Polar-Coordinate Graphs” de Warren

W. Esty en Mathematics Teacher.

Puntos de intersección de gráficas polares

Debido a que un punto en coordenadas polares se puede representar de diferentes maneras,

hay que tener cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas. Por ejemplo,

considérense los puntos de intersección de las gráficas de

r 1 2 cos

y

mostradas en la figura 10.53. Si, como se hace con ecuaciones rectangulares, se trata de

hallar los puntos de intersección resolviendo las dos ecuaciones en forma simultánea, se

obtiene

r 1 2 cos

1

1 2 cos

cos 0

2 , 3

2 .

r 1

Primera ecuación.

Sustitución de r 1 de la segunda ecuación en la primera ecuación.

Simplificación.

Despejar .

Los puntos de intersección correspondientes son 1, 2 y 1, 32. Sin embargo, en la

figura 10.53 se ve que hay un tercer punto de intersección que no apareció al resolver

simultáneamente las dos ecuaciones polares. (Ésta es una de las razones por las que es

necesario trazar una gráfica cuando se busca el área de una región polar.) La razón por la

que el tercer punto no se encontró es que no aparece con las mismas coordenadas en ambas

gráficas. En la gráfica de r 1, el punto se encuentra en las coordenadas 1, , mientras

que en la gráfica de r 1 2 cos , el punto se encuentra en las coordenadas 1, 0.

El problema de hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares se puede comparar

con el problema de encontrar puntos de colisión de dos satélites cuyas órbitas alrededor

de la Tierra se cortan, como se ilustra en la figura 10.54. Los satélites no colisionan

mientras lleguen a los puntos de intersección en momentos diferentes (valores de ). Las

colisiones sólo ocurren en los puntos de intersección que sean “puntos simultáneos”, puntos

a los que llegan al mismo tiempo (valor de ).

NOTA Puesto que el polo puede representarse mediante 0, , donde es cualquier ángulo, el

polo debe verificarse por separado cuando se buscan puntos de intersección.

■

Caracol: r 1 2 cos

2

Círculo:

r 1

1

0

Tres puntos de intersección: 1, 2,Las trayectorias de los satélites pueden cruzarse sin

1, 0, 1, 3 2

causar colisiones

Figura 10.53

Figura 10.54


EJEMPLO 3

Hallar el área de la región entre dos curvas

Hallar el área de la región común a las dos regiones limitadas por las curvas siguientes.

r 6 cos

r 2 2 cos

Circunferencia.

Cardioide.

Cardioide

Círculo:

r = −6 cos

Figura 10.55

2

3

4

3

Círculo

2

Cardioide:

r = 2 − 2 cos

0

Solución Debido a que ambas curvas son simétricas respecto al eje x, se puede trabajar

con la mitad superior del plano (o semiplano superior), como se ilustra en la figura 10.55.

La región sombreada en gris se encuentra entre la circunferencia y la recta radial

Puesto que la circunferencia tiene coordenadas 0, 2 en el polo, se puede

integrar entre 2 y 23 para obtener el área de esta región. La región sombreada en rojo

está limitada por las rectas radiales y y la cardioide. Por tanto, el área de

esta segunda región se puede encontrar por integración entre 23 y . La suma de estas

dos integrales da el área de la región común que se encuentra sobre la recta radial

23.

Región entre la circunferencia

y la recta radial

A

2 1 23

22

23

18 cos 2

2

9

9

2

3 3

4

5

2

7.85

23

2

6 cos 2 d 1 2

23

d 1 2

23

1 cos 2 d

23

Región entre la cardioide

y las rectas radiales

sen sin 2

9

2 23

2

3 sen sin 2

4 sen sin

2

2 3 2 23 3

Por último, multiplicando por 2 se concluye que el área total es 5.

23

23

23

y

2 2 cos 2 d

4 8 cos 4 cos 2 d

3 4 cos cos 2 d

23

4

.

NOTA Para verificar que el resultado obtenido en el ejemplo 3 es razonable, adviértase que el área

de la región circular es r 2 9. Por tanto, parece razonable que el área de la región que se encuentra

dentro de la circunferencia y dentro de la cardioide sea 5.

■

Para apreciar la ventaja de las coordenadas polares al encontrar el área del ejemplo 3,

considérese la integral siguiente, que da el área en coordenadas rectangulares (o cartesianas).

32

0

A

2

21 2x x 2 2x 2 dx x 2 6x dx

4

32

Emplear las funciones de integración de una herramienta de graficación para comprobar

que se obtiene la misma área encontrada en el ejemplo 3.


NOTA Cuando se aplica la fórmula

de la longitud de arco a una curva

polar, es necesario asegurarse de que la

curva esté trazada (se recorra) sólo una

vez en el intervalo de integración. Por

ejemplo, la rosa dada por r cos 3

está trazada (se recorre) una sola vez

en el intervalo 0 ≤ ≤ , pero está

trazada (se recorre) dos veces en el

intervalo 0 ≤ ≤ 2.

■

Longitud de arco en forma polar

La fórmula para la longitud de un arco en coordenadas polares se obtiene a partir de la fórmula

para la longitud de arco de una curva descrita mediante ecuaciones paramétricas.

(Ver el ejercicio 89.)

TEOREMA 10.14

LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA POLAR

Sea f una función cuya derivada es continua en un intervalo ≤ ≤ . La longitud

de la gráfica de r f, desde hasta es

s f 2 f 2 d

d 2 d.

r2

dr

EJEMPLO 4

Encontrar la longitud de una curva polar

r = 2 − 2 cos θ

π

2

Encontrar la longitud del arco que va de a en la cardioide

r f 2 2 cos

que se muestra en la figura 10.56.

0

2

Figura 10.56

1

0

Solución Como f 2sen

sin , se puede encontrar la longitud de arco de la siguiente

manera.

s

0

22

1 cos

0

22 2 sen sin2 2

0 2 d

4 sen sin

2 d

8 cos

81 1

16

2

0

f 2 f 2 d

2 2 cos 2 2 sin sen 2 d

2

2

2

2 2

0

d

Fórmula para la longitud de arco

de una curva polar.

Simplificación.


sen sin para 0 ≤ ≤ 2.

2 ≥ 0

En el quinto paso de la solución, es legítimo escribir

2 sen sin 2 2 2 sen sin2 (2)

en lugar de

2sen sin 2

2 2 sen sin2

(2)

porque sen sin2 ≥ 0 para 0 ≤

≤ 2.

NOTA Empleando la figura 10.56 se puede ver que esta respuesta es razonable mediante comparación

con la circunferencia de un círculo. Por ejemplo, un círculo con radio 2 tiene una circunfe-

5

rencia de

■

5 15.7.


Área de una superficie de revolución

La versión, en coordenadas polares, de las fórmulas para el área de una superficie de revolución

se puede obtener a partir de las versiones paramétricas dadas en el teorema 10.9,

usando las ecuaciones x r cos y y r sen sin .

NOTA Al aplicar el teorema 10.15,

hay que verificar que la gráfica de

r f se recorra una sola vez en el

intervalo ≤ ≤ . Por ejemplo, la

circunferencia dada por r cos se

recorre sólo una vez en el intervalo

0 ≤ ≤ .

■

TEOREMA 10.15

ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Sea f una función cuya derivada es continua en un intervalo a ≤ ≤ b. El área de la

superficie generada por revolución de la gráfica de r = f(), desde hasta = b,

alrededor de la recta indicada es la siguiente.

S 2

S 2

1. sen

Alrededor del eje polar.

2. Alrededor de la recta .

2

f sin f 2 f 2 d

f cos f 2 f 2 d

EJEMPLO 5

Hallar el área de una superficie de revolución

Hallar el área de la superficie obtenida por revolución de la circunferencia r ƒ()

cos alrededor de la recta como se ilustra en la figura 10.57.

π

2

2,

2

r = cos θ

1

0

0

Toro

a)

Figura 10.57

b)

Solución Se puede usar la segunda fórmula dada en el teorema 10.15 con f( )

sen . Puesto que la circunferencia se recorre sólo una vez cuando aumenta de 0 a ,

se tiene

S 2

20

20

0

cos 2

d

1 cos 2 d

sin sen2

2

f cos f 2 f 2 d

cos cos cos 2

0

2

.

sin 2

sen

d

Fórmula para el área de una

superficie de revolución.




10.5 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 4, dar una integral que represente el área de

la región sombreada que se muestra en la figura. No evaluar la

integral.

1. r 4 sen

2. r cos 2

π

2

π

2

En los ejercicios 25 a 34, hallar los puntos de intersección de las

gráficas de las ecuaciones.

25. r 1 cos

26. r 31 sen sin

r 1 cos

π

2

r 31 sen sin

π

2

1

0

1

0

3 5

0

1 2 3

0

3. r 3 2 sen

4.

π

2

r 1 cos 2

π

2

27. r 1 cos

28.

r 1 sen sin

r 2 3 cos

r cos

1 2 3 4

0

1 2

0

π

2

1

0

π

2

1

0

En los ejercicios 5 a 16, hallar el área de la región.

5. Interior de r 6 sen

6. Interior de r 3 cos

7. Un pétalo de r 2 cos 3

8. Un pétalo de r 4 sen 3

9. Un pétalo de r sen 2

10. Un pétalo de r cos 5

11. Interior de r 1 sen

12. Interior de r 1 sen (arriba del eje polar)

13. Interior de r 5 2 sen

14. Interior de r 4 4 cos

15. Interior de r 2 4 cos 2

16. Interior de r 2 6 sen 2


para representar la ecuación polar y encontrar el área de la

región indicada.

17. Lazo interior de r 1 2 cos

18. Lazo interior de r 2 4 cos

19. Lazo interior de r 1 2 sen

20. Lazo interior de r 4 6 sen

21. Entre los lazos de r 1 2 cos

22. Entre los lazos de r 2 (1 2 sen )

23. Entre los lazos de r 3 6 sen

1

24. Entre los lazos de r 2 cos

29. r 4 5 sen sin

30. r 1 cos

r 3 sen sin

31. r

32.

2

r 2

33. r 4 sen sin 2

34. r 3 sin sen

r 1

En los ejercicios 35 y 36, emplear una herramienta de graficación

para aproximar los puntos de intersección de las gráficas

de las ecuaciones polares. Confirmar los resultados en forma

analítica.

35. r 2 3 cos

36. r 31 cos

r sec

2

Redacción En los ejercicios 37 y 38, usar una herramienta de

graficación para hallar los puntos de intersección de las gráficas

de las ecuaciones polares. En la ventana, observar cómo se van

trazando las gráficas. Explicar por qué el polo no es un punto de

intersección que se obtenga al resolver las ecuaciones en forma

simultánea.

37. r cos

38. r 4 sen sin

r 2 3 sen sin

r 3 cos

r 2

r 2 csc

r

4

6

1 cos

r 21 sen sin



para representar las ecuaciones polares y hallar el área de

la región dada.

39. Interior común a r 4 sen sin 2 y r 2

40. Interior común a r 31 cos sin y r 231 cos sin

41. Interior común a r 3 2 sen sin y r 3 2 sin sen

42. Interior común a r 5 3 sin sen

y r 5 3 cos

43. Interior común a r 4 sin sen

y r 2

44. Interior común de r 2 cos y r 2 sen

45. Interior r 2 cos y exterior r 1

46. Interior r 3 sen y exterior r 1 sen


47. En el interior de r a1 cos y en el exterior de r a cos

48. En el interior de r 2a cos y en el exterior de r a

49. Interior común a r a1 cos y r a sen sin

50. Interior común a r a cos y a r a sen donde a > 0

51. Radiación de una antena La radiación proveniente de una

antena de transmisión no es uniforme en todas direcciones. La

intensidad de la transmisión proveniente de una determinada

antena se describe por medio del modelo r a cos 2 .

a) Transformar la ecuación polar a la forma rectangular.

b) Utilizar una herramienta de graficación para trazar el modelo

con a 4 y a 6.

c) Hallar el área de la región geográfica que se encuentra entre

las dos curvas del inciso b).

52. Área El área en el interior de una o más de las tres circunferencias

entrelazadas r 2a cos , r 2a sen sin , y r a está

dividida en siete regiones. Hallar el área de cada región.

53. Conjetura Hallar el área de la región limitada por

para n 1, 2, 3, . . . Con base en los resultados formular una

conjetura acerca del área limitada por la función cuando n es par

y cuando n es impar.

54. Área Dibujar la estrofoide

Transformar estas ecuaciones a coordenadas rectangulares (o

cartesianas). Encontrar el área comprendida en el lazo.

En los ejercicios 55 a 60, hallar la longitud de la curva sobre el

intervalo indicado.

Ecuación polar

Intervalo

55. r 8 0 2

56. r a 0 2

57. r 4 sen 0 2

58.

r a cosn

r sec 2 cos ,

r 2a cos

59. r 1 sen sin

60. r 81 cos

2 <

2 ≤

0 ≤

0 ≤

<

2 .

≤

≤ 2

≤ 2

2

En los ejercicios 61 a 66, utilizar una herramienta de graficación

para representar la ecuación polar sobre el intervalo dado.

Emplear las funciones de integración de una herramienta de

graficación para estimar la longitud de la curva con una precisión

de dos decimales.

61. r 2, 0 ≤ ≤

62. r sec , 0 ≤ ≤

2

3

63. r 1 , ≤ ≤ 2 64. r e, 0 ≤ ≤

65. r sen sin3 cos , 0 ≤ ≤

66. r 2 sen sin2 cos , 0 ≤ ≤

En los ejercicios 67 a 70, encontrar el área de la superficie generada

por revolución de la curva en torno a la recta dada.

Ecuación polar Intervalo Eje de revolución

67. r 6 cos

0 ≤ ≤ Eje polar

2

68.

r a cos

69. r e a

0 ≤ ≤

2

2

70. r a1 cos 0 ≤ ≤ Eje polar

En los ejercicios 71 y 72, usar las funciones de integración de una

herramienta de graficación para estimar, con una precisión de

dos cifras decimales, el área de la superficie generada por revolución

de la curva alrededor del eje polar.

0 ≤

71. r 4 cos 2, 0 ≤ ≤ 72. r , 0 ≤

4


≤

2

2

73. Explicar por qué para encontrar puntos de intersección de

gráficas polares es necesario efectuar un análisis además

de resolver dos ecuaciones en forma simultánea.

74. ¿Cuál de las integrales da la longitud de arco de r 3(1 –

cos 2 )? Decir por qué las otras integrales son incorrectas.

a)

b)

c)

d)

3

0

4

120

3

2

0

2

60

1 cos 2 2 4 sen sin 2 2 d

1 cos 2 2 4 sen sin 2 2

1 cos 2 2 4 sin sen

2 2

1 cos 2 2 4 sen sin 2 2

75. Dar las fórmulas de las integrales para el área de una superficie

de revolución generada por la gráfica de r f

alrededor a) del eje x y b) del eje y.

d

d

d

≤

CAPSTONE Para discusión

CAPSTONE

76. For Para each cada polar ecuación equation, polar, sketch dibujar its su graph, gráfica, determine determinar theel

intervalo that que traces traza the la gráfica graph only sólo once, una vez and y encontrar find the area el área of

76. For each polar equation, sketch its graph, determine the

the de region la región bounded acotada by por the la graph gráfica using utilizando a geometric una formula

interval that traces the graph only once, find the area fórmula of

and geométrica integration.

the region bounded e integración. by the graph using a geometric formula

and (a) rintegration.

10 cos

(b) r b) 5 r sin 5 sen

(a) r 10 cos (b) r 5 sin

77. Área de la superficie de un toro Hallar el área de la superficie

del toro Area generado of a Torus por revolución Find the surface de la circunferencia area of the torus r 2

77. Surface

generated alrededor by de revolving la recta r the 5 circle sec . given by r 2 about the line

77. Surface Area of a Torus Find the surface area of the torus

r 5 sec .

78. generated Área de la by superficie revolving de the un circle torogiven Hallar by rel área 2 about de la the superficie

del 5 sec toro Area . generado of a Torus por revolución Find the surface de la circunferencia area of the torus r a

line

78. rSurface generated torno a by la revolving recta r the b sec circle , donde given 0 by < r a < a about b. the line

78. Surface Area of a Torus Find the surface area of the torus

r b sec , where 0 < a < b.

79. generated Aproximación by revolving de un área the circle Considerar given by la rcircunferencia a about the rline

8

79. rApproximating cos b . sec , where Area 0 < Consider a < b. the circle r 8 cos .

79. Approximating (a) Hallar Find the el area área Area of del the círculo. Consider circle. the circle r 8 cos .

(a) (b) Find Completar Complete the area the la of tabla table the dando giving circle. las the áreas areas

A de of the los sectors sectores of circulares

circle entre between y los and valores the values de dados of in en the la tabla. table.

the

(b) Complete the table giving the areas A of the sectors of the

circle between and the values of in the table.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

A

(c) Emplear Use the table la tabla in part del inciso (b) to approximate b) para aproximar the values los valores of for de

1

para los cuales el sector circular contiene 4, 1 3

which the sector of the circle composes 4, 1 2, and y 4

del of the área

(c) Use the table in part (b) to approximate the 2,

values of for

total de area la of circunferencia.

the circle.

1 3

which the sector of the circle composes 4, 1 2, and 4 of the

(d) total Usar Use area una a graphing herramienta of the circle. utility de graficación to approximate, para aproximar, to two decimal con una

precisión places, the de angles dos cifras for decimales, which the los sector ángulos of the para circle los

(d) Use a graphing 1 3

1 3

cuales composes el sector 4, 1 utility to approximate,

circular contiene 4, 1 to two decimal

and 4 of the total area 2, of y 4the del circle. área total de la

places, the angles 2,

for which the sector of the circle

(e)

circunferencia.

Do the results 1 of part 3

composes (d) depend on the radius of the circle?

4, 1 2, and 4 of the total area of the circle.

e) ¿Dependen Explain. los resultados del inciso d) del radio del círcu-lo?

(e) Do the results of part (d) depend on the radius of the circle?

80. Approximate

Explicar la

Area

respuesta.

Explain. Consider the circle r 3 sin .

80.

(a)

Área

Find

aproximada

the area of the

Dado

circle.

el círculo r 3 sen sin .

80. Approximate Area Consider the circle r 3 sin .

(b)

a) Hallar

Complete

el área

the

de

table

la circunferencia

giving the areas

correspondiente.

(a) Find the area of the circle. A of the sectors of the

b) Completar circle between la tabla dando the las values áreas of de in los the sectores table. circulares

comprendidos entre y los valores de dados en

(b) Complete the table giving the areas A of the sectors of the

circle between and the values of in the table.

la tabla. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

A

A

0 0

0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

0

0

0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

A

(c) Use the table in part (b) to approximate the values of for

1 1 1

which the sector of the circle composes and of the

(c) Utilizar Use the la table tabla in del part inciso (b) to b) approximate para aproximar the 8,

values 4,

los valores of 2 for de

total area of the circle.

1

1 1 1

para los cuales el sector circular representa 8 , 4 , 1

which the sector of the circle composes 8, 4, and y 2 2del of área the

(d) total Use de area a graphing la of circunferencia.

the circle. utility to approximate, to two decimal

d ) Usar places, una the herramienta angles de for graficación which the para sector aproximar, of the con circle

(d) Use a graphing una

1 1 utility 1 to approximate, to two decimal

precisión composes de 8, dos 4, and cifras 2 of decimales, the total area los of ángulos the circle.

places, the angles for which para los que

1 1 1

81. What el conic sector section circular does representa the following 8 , 4 ,

the sector of the circle

1 1 1

composes

y 2polar del área equation total represent? del círculo.

8, 4, and 2 of the total area of the circle.

81. 81. What r¿Qué a conic sin sección section cónica b cos does representa the following la siguiente polar equation ecuación represent? polar?

r sin cos

82. rArea a sin sen

Find the b cos area of the circle given by r sin cos .

82. Check Área Hallar your result el área by del converting círculo dado the por polar r sen sin equation cos to.

82. Area Find the area of the circle given by r sin cos .

rectangular Comprobar form, el resultado then using transformando the formula for la the ecuación area of polar a circle. a la

Check your result by converting the polar equation to

83. Spiral forma of rectangular Archimedes y usando The después curve represented la fórmula by para the el equation área del

rectangular form, then using the formula for the area of a circle.

rcírculo.

a, where a is a constant, is called the spiral of

83. Spiral of Archimedes The curve represented by the equation

83. Archimedes. Espiral Arquímedes La curva representada por la ecuación

r a, where a is a constant, is called the spiral of

r a, donde a es una constante, se llama espiral de Arquímedes.

Archimedes.


10.5 Area and Arc Length in Polar Coordinates 749

10.5 Area and Arc Length in Polar Coordinates 749

(a)

a)

Use

Emplear

a graphing

una herramienta

utility to

de

graph

graficación

r ,

para

where

trazar la gráfica

de donde ≥

0.

What happens

r ,

to the graph

0.

of

¿Qué

r a

ocurre

as a increases?

con la gráfica

What

de

(a) Use r a a graphing a medida que utility a aumenta? to graph ¿Qué r pasa , where si ≤ 0? 0.

happens if 0?

b)

What

Determinar

happens

los

to

puntos

the graph

de la

of r

espiral

a

r

as

a increases?

a a > 0,

What

≥

(b)

0,

happens Determine

en los que

if the

la points

curva

0? on the spiral r a a > 0, 0,

where the curve crosses

cruza

the

el

polar

eje polar.

axis.

(b)

c)

Determine

Hallar la longitud

the points

de

on

r

the

sobre

spiral

el

r

intervalo

a a >

0

0,

≤

≤ 0,

(c) Find the length of over the interval

2.

where the curve crosses r the polar axis. 0 2.

d) Hallar el área bajo la curva r para

≤ ≤

(d) area under the curve for

2.

(c) Find the length of r over the r interval

0 0

2.

2.

84.

84.

Logarithmic

Espiral logarítmica La curva descrita por la ecuación r

(d)

ae

Find b Spiral The represented by the equation

r ae

, b, donde

the area

where

a y

under

a

b

and

son

the

b

constantes,

curve r

are constants,

se denomina

for 0

is called a

espiral 2.

logarithmic

logarítmica.

La figura Spiralsiguiente The curve muestra represented la gráfica by the de equation r e6

84. Logarithmic

spiral. The figure shows the graph of r

,

e6

,

r ae ≤ where ≤ 2. a and

Find

Hallar b are

the

el

area

área constants,

of

de

the

la

shaded

zona is called sombreada. a logarithmic

b, 2.

region.

spiral. The π figure shows the graph of r e6

,

π

22.

Find the area of the shaded region.

2

2

2

2

π

2

85. La mayor de las circunferencias mostradas en la figura siguiente

larger es circle la gráfica in the de figure r 1. is Hallar the graph la ecuación of r 1.

85. The polar Find para thela

polar circunferencia equation of menor the smaller de manera circle que such las that áreas the sombreadas shaded regions

85. The larger circle in the figure is the graph of r 1. Find the sean

are iguales. equal.

polar equation of the smaller circle such that the shaded regions

are equal. π π

2 2

π

2

0

0

86. 86. Folium Hoja (o of folio) Descartes de Descartes A curve Una called curva the folium llamada of hoja Descartes (o folio)

can de be Descartes represented puede by representarse the parametric por equations medio de las ecuaciones

86. Folium paramétricas of Descartes A curve called the folium of Descartes

x can x be 3t represented 3t

by the parametric

and y

3t2 equations

y y 1 3t2

1 t 3. t 3.

x 1 t 3

(a) 3t and y

3t2

Convert 1 t 3 the parametric equations 1 t 3. to polar form.

a) Convertir las ecuaciones paramétricas a la forma polar.

(a) (b)

b) Convert Sketch the

Dibujar the graph

la gráfica parametric of the

de la equations polar equation

ecuación to polar polar from

del form. part (a).

inciso a).

(b) (c)

c) Sketch Use a graphing

Emplear the una graph utility

herramienta of the to polar approximate

de equation the

graficación from area

para part enclosed

aproximar (a). by

el

the loop of the curve.

(c) Use área a comprendida graphing utility en el to lazo approximate de la curva. the area enclosed by

True or the False? loop of In the Exercises curve. 87 and 88, determine whether the

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 87 y 88, determinar si la


True afirmación or False? es verdadera In Exercises o falsa. 87 and Si 88, es falsa, determine explicar whether por qué the o

example that shows it is false.

statement dar un ejemplo is true que or false. demuestre If it is que false, es falsa. explain why or give an

example 87. If f that > 0shows for all it is and false. g < 0 for all , then the graphs of

87. Si f > 0 para todo y g < 0 para todo , entonces las

r f and r g do not intersect.

87. If gráficas f > 0de for r all fand y rg g < 0no for se all cortan. , then the graphs of

88. If f g for and 32, then the graphs of

88. r Si f f and

g r para g do not intersect. y 32, entonces las gráficas de

r f and r g have at least four points of intersection.

88. If rf f g y r for g tienen cuando menos 32, cuatro then the puntos graphs de intersección.

f

of

89.

r

Use the formula

and r

for

g

the

have

arc length

at least

of

four

a curve

points

in parametric

of intersection.

form

89. to Usar derive la fórmula the formula para for la longitud the arc length de arco of de a polar una curva curve. en forma

89. Use

paramétrica

the formula

para

for

obtener

the arc length

la fórmula

of a curve

de la

in

longitud

parametric

de arco

form

de

to

una

derive

curva

the

polar.

formula for the arc length of a polar curve.

1 t 3 0

0

1 2 3 0

1 2 3

0

1 2 3

0, 2,

0, 2,

0, 2,


10.6 Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler

■

■

Analizar y dar las ecuaciones polares de las cónicas.

Entender y emplear las leyes del movimiento planetario de Kepler.

EXPLORACIÓN

Representación gráfica de cónicas

En una herramienta de graficación

elegir el modo polar e introducir

ecuaciones polares de la forma

o

r

a

1 ± b cos

a

r

.

1 ± b sen sin

Si a 0, la gráfica será una cónica.

Describir los valores de a y b

que generan parábolas. ¿Qué valores

generan elipses? ¿Qué valores

generan hipérbolas?

Ecuaciones polares de las cónicas

En este capítulo se ha visto que las ecuaciones rectangulares de elipses e hipérbolas

adquieren formas simples cuando sus centros se encuentran en el origen. Sin embargo,

existen muchas aplicaciones importantes de las cónicas en las cuales resulta más conveniente

usar uno de los focos como punto de referencia (el origen) del sistema de coordenadas.

Por ejemplo, el Sol se encuentra en uno de los focos de la órbita de la Tierra; la

fuente de luz en un reflector parabólico se encuentra en su foco. En esta sección se verá

que las ecuaciones polares de las cónicas adoptan formas simples si uno de los focos se

encuentra en el polo.

El teorema siguiente usa el concepto de excentricidad, definido en la sección 10.1,

para clasificar los tres tipos básicos de cónicas. En el apéndice A se da una demostración

de este teorema.

TEOREMA 10.16

CLASIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS DE ACUERDO

CON LA EXCENTRICIDAD

Sean F un punto fijo (foco) y D una recta fija (directriz) en el plano. Sean P otro

punto en el plano y e (excentricidad) el cociente obtenido al dividir la distancia de P

a F entre la distancia de P a D. El conjunto de todos los puntos P con una determinada

excentricidad es una cónica.

1. La cónica es una elipse si 0 < e < 1.

2. La cónica es una parábola si e 1.

3. La cónica es una hipérbola si e > 1.

Directriz

π

2

Directriz

π

2 Directriz

π

2

Q

P

F = (0, 0)

0

Q

P

F = (0, 0)

0

P′

Q

Q′

P

0

F = (0, 0)

Elipse: 0 < e < 1

PF

PQ < 1

Figura 10.58

Parábola: e 1

PF PQ

Hipérbola: e > 1

PF

PQ PF > 1

PQ

En la figura 10.58, obsérvese que en todos los tipos de cónicas el polo coincide con el

punto fijo (foco) que se da en la definición. La ventaja de esta ubicación se aprecia en la

demostración del teorema siguiente.

SECCIÓN 10.6 Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler 751

TEOREMA 10.17

ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS

La gráfica de una ecuación polar de la forma

r

ed

1 ± e cos

o

ed

r

1 ± e sen sin

es una cónica, donde e > 0 es la excentricidad y es la distancia entre el foco, en

el polo, y la directriz correspondiente.

d

P = (r, θ)

r

θ

d

F = (0, 0)

Q

0

DEMOSTRACIÓN La siguiente es una demostración de r ed1 e cos con d > 0.

En la figura 10.59, considérese una directriz vertical que se encuentra d unidades a la

derecha del foco F (0, 0). Si P (r, ) es un punto en la gráfica de r

ed(1 e cos ), se puede demostrar que la distancia entre P y la directriz es

PQ d x d r cos r1 e cos

e

r cos r e .

Figura 10.59

Directriz

Como la distancia entre y el polo es simplemente el radio entre es

PFPQ r re P

PF e r , PF PQ

e y, de acuerdo con el teorema 10.16, la gráfica de la ecuación

debe ser una cónica. Las demostraciones de los otros casos son similares.

Los cuatro tipos de ecuaciones que se indican en el teorema 10.17 se pueden clasificar

como sigue, siendo d > 0.

a) Directriz horizontal arriba del polo:

b) Directriz horizontal abajo del polo:

c) Directriz vertical a la derecha del polo:

ed

d) Directriz vertical a la izquierda del polo: r

1 e cos

La figura 10.60 ilustra estas cuatro posibilidades en el caso de una parábola.

r

r

r

ed

1 e sin

ed

1 e sin

ed

1 e cos

y

y

y

y

Directriz

y = d

Directriz

x = d

Directriz

x = −d

x

x

x

x

Directriz

y = − d

r = ed

1 + e sen θ

r = ed

1 − e sen θ

r = ed

1 + e cos θ

r = ed

1 − e cos θ

a)

b) c) d)

Los cuatro tipos de ecuaciones polares para una parábola

Figura 10.60


EJEMPLO 1

Determinar una cónica a partir de su ecuación

x = − 15

2

Directriz

π

2

(3, π ) (15, 0)

5 10

15

r = 3 − 2 cos θ

0

La gráfica de la cónica es una elipse con

e 2 3 .

Figura 10.61

15

Dibujar la gráfica de la cónica descrita por r

.

3 2 cos

Solución

r

Para determinar el tipo de cónica, reescribir la ecuación como sigue

15

3 2 cos

5

.

1 23 cos


Por tanto, la gráfica es una elipse con e 2 3 . Se traza la mitad superior de la elipse localizando

gráficamente los puntos desde hasta como se muestra en la figura

10.61. Luego, empleando la simetría respecto al eje polar se traza la mitad inferior de la

elipse.

0

,

Dividir el numerador y el

denominador entre 3.

En la elipse en la figura 10.61, el eje mayor es horizontal y los vértices se encuentran

en (15, 0) y 3, . Por tanto, la longitud del eje mayor es 2a 18. Para encontrar la longitud

del eje menor, se usan las ecuaciones e ca y b 2 a 2 c 2 para concluir que

b 2 a 2 c 2 a 2 ea 2 a 2 1 e 2 .

Elipse.

Como e 2 3 , se tiene

b 2 9 2 1 2 3 2 45

lo cual implica que b 45 35. Por tanto, la longitud del eje menor es 2b 65.

Un análisis similar para la hipérbola da

b 2 c 2 a 2 ea 2 a 2 a 2 e 2 1.

Hipérbola.

EJEMPLO 2

Trazar una cónica a partir de su ecuación polar

Directriz

32

y =

5

3π

(−16,

2

(

4, π 2

)

)

π

2

4 8

r = 32

3 + 5 sen θ

a = 6

b = 8

La gráfica de la cónica es una hipérbola

con e 5 3.

Figura 10.62

0

Trazar la gráfica de la ecuación polar

Solución

Se divide el numerador y el denominador entre 3 y se obtiene

323

r

.

1 53 sen sin

Como e 5 la gráfica es una hipérbola. Como d 32 la directriz es la recta

y 32 3 > 1,

5 ,

5 . El eje transversal de la hipérbola se encuentra en la recta y los vértices

se encuentran en

r, 4,

2

y

r, 16, 3

2 .

Dado que la longitud del eje transversal es 12, puede verse que a 6. Para encontrar b, se

escribe

b 2 a 2 e 2 1 6 2 5 3 2 1 64.

32

r .

3 5 sin sen

2,

Por tanto, b 8. Por último, se usan a y b para determinar las asíntotas de la hipérbola

y obtener la gráfica que se muestra en la figura 10.62.


π


JOHANNES KEPLER (1571-1630)

Kepler formuló sus tres leyes a partir de la

extensa recopilación de datos del astrónomo

danés Tycho Brahe, así como de la observación

directa de la órbita de Marte.

Sol

π

2

Tierra

0

Leyes de Kepler

Las leyes de Kepler, las cuales deben su nombre al astrónomo alemán Johannes Kepler, se

emplean para describir las órbitas de los planetas alrededor del Sol.

1. Todo planeta se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol.

2. Un rayo que va del Sol al planeta barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales.

3. El cuadrado del periodo es proporcional al cubo de la distancia media entre el planeta

y el Sol.*

Aun cuando Kepler dedujo estas leyes de manera empírica, más tarde fueron confirmadas

por Newton. De hecho, Newton demostró que todas las leyes pueden deducirse de un conjunto

de leyes universales del movimiento y la gravitación que gobiernan los movimientos

de todos los cuerpos celestes, incluyendo cometas y satélites. Esto se muestra en el ejemplo

siguiente con el cometa que debe su nombre al matemático inglés Edmund Halley

(1656-1742).

EJEMPLO 3

Cometa Halley

El cometa Halley tiene una órbita elíptica, con el Sol en uno de sus focos y una excentricidad

e 0.967. La longitud del eje mayor de la órbita es aproximadamente 35.88 unidades

astronómicas (UA). (Una unidad astronómica se define como la distancia media entre la

Tierra y el Sol, 93 millones de millas.) Hallar una ecuación polar de la órbita. ¿Qué tan cerca

llega a pasar el cometa Halley del Sol?

Figura 10.63

3π

2

Cometa

Halley

Solución

Utilizando un eje vertical, se puede elegir una ecuación de la forma

ed

r

1 e sen sin .

Como los vértices de la elipse se encuentran en y la longitud del eje

mayor es la suma de los valores r en los vértices, como se observa en la figura 10.63. Es

decir,

2a 0.967d

1 0.967 0.967d

1 0.967

35.88 27.79d.

Por tanto, d 1.204 y ed 0.9671.204 1.164. Usando este valor en la ecuación se

obtiene

1.164

r

1 0.967 sen sin

donde r se mide en unidades astronómicas. Para hallar el punto más cercano al Sol (el

foco), se escribe c ea 0.96717.94 17.35. Puesto que c es la distancia entre

el foco y el centro, el punto más cercano es

a c 17.94 17.35

0.59 AU UA

55,000,000 millas.

2

2a 35.88

32,

* Si se usa como referencia la Tierra, cuyo periodo es 1 año y cuya distancia media es 1 unidad

astronómica, la constante de proporcionalidad es 1. Por ejemplo, como la distancia media de Marte

al Sol es D 1.524 UA, su periodo P está dado por D 3 P 2 . Por tanto, el periodo de Marte es

P 1.88.


La segunda ley de Kepler establece que cuando un planeta se mueve alrededor del Sol,

un rayo que va del Sol hacia el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Esta ley también

puede aplicarse a cometas y asteroides con órbitas elípticas. Por ejemplo, la figura

10.64 muestra la órbita del asteroide Apolo alrededor del Sol. Aplicando la segunda ley de

Kepler a este asteroide, se sabe que cuanto más cerca está del Sol mayor es su velocidad,

ya que un rayo corto debe moverse más rápido para barrer la misma área que barre un rayo

largo.

Sol

Sol

Sol

Un rayo que va del Sol al asteroide barre áreas iguales en tiempos iguales

Figura 10.64

EJEMPLO 4

El asteroide Apolo

El periodo del asteroide Apolo es de 661 días terrestres, y su órbita queda descrita aproximadamente

por la elipse

Apolo

Figura 10.65

Sol

π

2

θ = π

2

θ = −

2

π

1

Tierra

0

r

1

9

1 59 cos 9 5 cos

donde r se mide en unidades astronómicas. ¿Cuánto tiempo necesita Apolo para moverse

de la posición dada por a como se ilustra en la figura 10.65?

Solución Para empezar se encuentra el área barrida cuando aumenta de 2 a 2.

A 1 r Fórmula para el área de una gráfica polar.

2

2 d

2

2

1 2

9

2 9 5 cos 2 d

2,

Usando la sustitución u tan2, analizada en la sección 8.6, se obtiene

A

112 81 5 sin

18

2

sen 56 tan2

arctan

9 5 cos 56 14

0.90429.

2

Como el eje mayor de la elipse tiene longitud 2a 8128 y la excentricidad es e 59,

se encuentra que b a1 e 2 956. Por tanto, el área de la elipse es

Área de la elipse

ab 81

5656 9 5.46507.

Como el tiempo requerido para recorrer la órbita es 661 días, se puede aplicar la segunda

ley de Kepler para concluir que el tiempo t requerido para moverse de la posición

a la posición está dado por

2

2

t área del segmento elíptico 0.90429

661 área de la elipse 5.46507

lo cual implica que

t 109 días.

10.6 Ejercicios


Razonamiento gráfico En los ejercicios 1 a 4, usar una herramienta

de graficación para representar la ecuación polar cuando

a) e 1, b) e 0.5, y c) e 1.5. Identificar la cónica.

1. Graphical

2e

2e

r Reasoning In Exercises 2. r 1–4, use a graphing

utility 1to graph e cos the polar equation when 1(a)

e cos 1, (b) e 0.5,

and (c) e 2e1.5.

Identify the conic. 2e

3. r

4. r

1 e sin sen

1 e sen sin

2e

2e

5. 1. Redacción r Considerar la ecuación 2. polar r

1 e cos

1 e cos

4

2e .

2e

3. r

sin sen

4. r

1 e sin

1 e sin

5. Writing a) Usar una Consider herramienta the polar de graficación equation para representar la ecuación

con e 0.1, e 0.25, e 0.5, e 0.75, y e 0.9.

Identificar 4

r

la . cónica y analizar la variación en su forma cuando

1 e →e sin 1 y e → 0 .

(a) b) Usar Use a una graphing herramienta utility de to graph graficación the equation para representar for e 0.1, la

ecuación e 0.25, cuando e 0.5, e e 1. 0.75, Identificar and e la 0.9. cónica. Identify the conic

c) Usar and discuss una herramienta the change de in graficación its shape as para e → representar 1 and e la → ecuación

0 .

(b) Use

cuando

a graphing

e 1.1,

utility

e

to

1.5,

graph

y e

the

2. Identificar

equation

la

for

cónica

e 1.

y

analizar

Identify

la

the

variación

conic.

en su forma a medida que e → 1

y e → .

(c) Use a graphing utility to graph the equation for e 1.1,

6. Considerar

e 1.5,

la ecuación

and e

polar

2. Identify the conic and discuss the

change 4in its shape

r

.

as e → 1 and e → .

6. Consider 1 the 0.4 polar cos equation

a) Identificar 4 la cónica sin elaborar la gráfica de la ecuación.

r

.

b) Sin 1 elaborar 0.4 cos la gráfica de las ecuaciones polares siguientes,

describir la diferencia de cada una con la ecuación polar de

(a)

arriba.

Identify the conic without graphing the equation.

(b) Without graphing

4

the following

4

polar equations, describe

rhow each differs from , rthe polar equation above.

1 0.4 cos 1 0.4 sen sin

4

4

c) Verificar r en forma gráfica , r los resultados del inciso b).

1 0.4 cos 1 0.4 sin

En los ejercicios 7 a 12 hacer corresponder la ecuación polar con

(c) Verify the results of part (b) graphically.

su gráfica. [Las gráficas están etiquetadas a), b), c), d), e) y f).]

In Exercises 7–12, match the polar equation with the correct

a) graph. [The

πgraphs are labeled (a), b) (b), (c), (d),

π

(e), and (f).]

3π

c) π 2

d)

2

(c)

π

(d)

2


e) π

f)

2


(a)

π

π

π

π

2

3π

2

π

2

3π

2

3π

2

3

3

0

0

0

2 4 6

0

2 4 6

(b)

π

π

π

π

π

2

2

3π

2

π

2

3π

2

3π

2

π

2

3π

2

4 6

4 6

0

0

0

1 3 4

0

1 3 4

Kepler’s Laws 755

10.6 Polar Equations of Conics and Kepler’s Laws 755

(e)

π

π

π

2

3π

2

1 3

1 3

0

0

6

2

7. r

8. r

1 cos

2 cos

3π

3π

32

22

9. r

10. r

1 62 sen sin

1 2sen

sin

7. r

8. r

1 6cos

2 cos 2

11. r

12. r

2 sen

sin 3

2 23 cos

9. r

10. r

1 2 sin

1 sin

En los ejercicios 6 13 a 26, hallar la excentricidad 2

11. r

12. r

y la distancia del

polo a la 2directriz sin de la cónica. Después 2trazar 3 cos e identificar la

gráfica. Usar una herramienta de graficación para confirmar los

resultados. In Exercises 13–26, find the eccentricity and the distance from

the pole to the directrix of the conic. Then sketch and identify

the graph. Use 1 a graphing utility to confirm your 1 results.

13. r

14. r

1 1cos

1 1sen

13. r

14. r

1 cos 4

1 4sen

15. r

16. r

1 sen 4

1 4cos

15. r

16. r

1 6sen

1 cos

17. r

2 6cos

17. r

2 10 cos

18. r

5 10 4 sen

18. r

19.

2 5 sen4 sen 4

20. 19. r 23 sen 2 cos 4 6

20. r 3 2 cos 5 6

21.

1 52 cos

21. r

1 62 cos

22. r

3 76sen

22. r

3 73

sen

23. r

2 63

sen

23. r

2 68

sen

24. r

1 48

cos

24. r

1 4300

cos

25. r

12 3006 sen

25. r

12 180 6 sen

26. r

15 3.75 180 cos

26. r

15 3.75 cos

En In Exercises los ejercicios 27– 30, 27 a use 30, a usar graphing una herramienta utility to graph de graficación the polar

para equation. representar Identify la the ecuación graph and polar. find Identificar its eccentricity. la gráfica.

27. r

3

15

28. r

4 2 sen

2 8 sen

29. r

10

6

30. r

1 cos

6 7 cos

(f)

π

π

π

2

π

2

3π

2

1 2

1 2

0

0

1059997_1006.qxp 9/8/08 3:40 PM Page 756

1059997_1006.qxp 9/8/08 3:40 PM Page 756


En los ejercicios 31 a 34, usar una graficadora para representar

la cónica. Describir en qué difiere la gráfica de la del ejercicio



indicado. 756 Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates 51. Clasificar las cónicas de acuerdo con su excentricidad.

14

52. Identificar cada cónica.

31. r

(Ver ejercicio 15.)

In 1 Exercises sen sin 31–34, 4 use a graphing utility to graph the conic. WRITING 5 ABOUT CONCEPTS5

In Exercises

Describe

31–34,

how the

use

graph

a graphing

differs

utility

from

to

the

graph

graph

the

in the

conic.

indicated WRITING a) r

b) r

6

32. (Ver ejercicio 16.)

51. Classify

1ABOUT 2 cos

the

CONCEPTS

conics by their

10

eccentricities.

sin

Describe r exercise.

how the 4

sen

graph differs from the graph in the indicated

1 cos 3

51. Classify the conics

52. Identify

5 by their eccentricities.

exercise.

each conic.

5

c) r

d) r

6 4

52. Identify 3each 3 conic. cos

1 3 sen sin 4

33. r 31. r 4

(Ver ejercicio (See Exercise 17.) 15.)

5

5

31. r 2 cos 1 sin 6 4 (See Exercise 15.)

53. Describir (a) qué r pasa 5

(b) r

1

con

2 cos

la distancia entre la 5directriz 10 sin

y el centro

de una 1 elipse 2 cos si los focos permanecen 10 fijos sin y e se apro-

1 sin 4

(a) r

(b) r

6 4

34. r 32. r 4

(Ver ejercicio (See Exercise 22.) 16.)

5

5

32. r 3 7 sen sin 1 cos23

3(See Exercise 16.)

xima a (c) 0. r 5

(d) r 5

1 cos 3

(c) r 3 3 cos (d) r 1 3 sin 4

6

3 3 cos

1 3 sin 4

35. Dar 33. la ecuación r 6 de la elipse que se obtiene (See Exercise al girar 6 17.) radianes

53. Describe what happens to the distance between the directrix

33. r 2 cos 6(See Exercise 17.)

53. Describe

en sentido de las manecillas del reloj la elipse

and

what

the

happens

center of

to

an

the

ellipse

distance

if

between

the foci remain

the directrix

2 cos 6

fixed and e

6

and the

34. r

(See Exercise 22.)

approaches

center of an

0.

ellipse if the foci remain fixed and e

34. rr

85

6

3

.

7 sin 2 (See 3 Exercise 22.)

Para approaches discusión 0.

85 3 53 7 cos sin

2 3

35. Write the equation for the ellipse rotated 6 radian clockwise

54. Explicar en qué difiere la gráfica de cada cónica de la grá-

36. 35. Dar Write la ecuación the

from

equation

the

de

ellipse

la for parábola the ellipse que rotated se obtiene 6al radian girar 4 clockwise radianes

from en the sentido ellipse contrario a las manecillas del reloj la parábola

fica 54. de Explain r how the . graph of each conic differs from the graph

CAPSTONE

CAPSTONE 4

8

54. Explain how 1the graph sen sin

4

of each conic differs from the graph

r92

8 .

of r 4

8 5 cos

.

1 sin

4

rr

. .

of a) r

. b) r

18 sen sin 5 cos

1 sin

cos

1 sen sin

36. Write the equation for the parabola rotated 4 radian

4

4

(a) r

(b) r

36. Write

counterclockwise

the equation for

from

the

the

parabola

parabola

rotated 4 radian

4

4 4

(a) c) rr

1 cos d) (b) r r

1 sin

En los counterclockwise ejercicios 37 a 48, from hallar the parabola una ecuación polar de la cónica

1 cos

1 1 sen sin sin 4

4

4

con foco en el polo. (Por 9 conveniencia, la ecuación de la directriz

(c) r 4

(d) r 4

r 9 .

(c) r 1 cos (d) r 1 sin 4

está dada r en forma 1 . rectangular.)

sin

1 cos

1 sin 4

1 sin

x

55. Demostrar que la ecuación polar de 2

es

Cónica Excentricidad Directriz

a y2

In Exercises 37–48, find a polar equation for the conic with its

2 b 1

x 2 In Exercises

focus at

37–48,

the pole.

find

(For

a polar

convenience,

equation for

the

the

equation

conic with

for the

its

directrix

is given in rectangular form.)

r 2

2 that the polar equation for 2 y 2

37. Parábola

55. Show

b e 1

x 1

x 1 is

focus at the pole. (For convenience, the equation for the directrix

Parábola is given in rectangular e 1form.)

1 e 2 cos 2 a

55. Show that the polar . equation for 2 y 2

a 2 1bis

2 Elipse.

38.

2 b 2

y 1

b

Conic

Eccentricity Directrix

r 2 2

. Ellipse

39. Elipse

e 1 b

Conic

Eccentricity

1 e 2 cos 2 x

2

yDirectrix

1

r

56. Demostrar 2 2

. Ellipse

que la ecuación polar de 2

37. Parabola e 1

x 3

1 e 2 cos 2 es

a y2

40. 37. Elipse Parabola

2 b 1 2

38. Parabola

ee 3 1

4 e 1

yx23

y 4

x

56. Show that

41. Hipérbola

b

r 2

2 the polar equation for 2 y 2

1 is

38. Parabola e 1

1

y 4

x

39. Ellipse e 2

.

a 2 b 2

e x 1

56. Show that the polar equation for 2 y 2

1 is

1 2

y 1

Hipérbola.

1 e 2 cos 2 a

2 b 2

39. Ellipse

e

3

42. Hipérbola 40. Ellipse e 3 2

y 1

e

y 2

b

r 2

23

4

x 1

2 . Hyperbola

40. Ellipse

e

b

1 e

41. Hyperbola

2 cos

e 2

x 1

r 2

4

y 2

2 . 2 Hyperbola

En los ejercicios

1 e

41. Hyperbola

2 cos

e 2

57 a 60, usar los resultados de los ejercicios 55

3

x 1

2

Cónica 42. Hyperbola Vértice 3 o e vértices 2

x 1

y 56 para In Exercises dar la forma 57–60, polar use de the la ecuación results of de Exercises la cónica.

42. Hyperbola e

55 and 56 to

2

x 1

In Exercises

43. ParábolaConic

Vertex or Vertices

57. Elipse:

write

foco

the

57–60,

polar

use

en (4,

form

the

0); vértices

of

results

the

en

equation

of Exercises

(5, 0), 5,

of

the conic.

55 and 56 to

Conic Vertex 1, 2or Vertices

write the polar form of the equation of the conic.

58. Hipérbola: 57. Ellipse: foco focus en (5, at 0); (4, vértices 0); vertices en (4, at 0), (5, 4, 0), 5,

43. Parabola 1,

44. Parábola 5,

57. Ellipse: focus at (4, 0); vertices at (5, 0), 5,

43. Parabola 1, 2

x

59.

2 58.

45. Elipse

9 y2 Hyperbola:

44. Parabola

16 1 focus at (5, 0); vertices at (4, 0), 4,

2

58. Hyperbola: focus at (5, 0); vertices at (4, 0), 4,

2, 0, 8, 5,

x

59.

2 y

44. Parabola 5,

2

x 1

45. Ellipse

2, 0 , 8,

60.

2

46. Elipse

4 9 16

45. Ellipse

y2 1

2,

x

46. Ellipse 2 , 3

59.

2 y 2

1

2, 0 , 8,

4, 60.

2

2, 2

, 4, 3 9 16

x y

4

2 1

46. Ellipse

2 2

60.

2

2, , 4, 3 y

3

47. Hipérbola

En los ejercicios 61 a 64, usar las funciones de integración de una

47. Hyperbola 1, 2 , 1, 9, 3 3

2

herramienta In Exercises de graficación 61–64, use para the integration estimar con capabilities una precisión of a graphing de

2 , 9, 3 4

2 1

2 2

47. Hyperbola 1, 3 2

In Exercises

dos cifras utility

61–64,

decimales to approximate

use the integration

el área de to la two región decimal

capabilities

limitada places

of a

por the

graphing

la gráfica area of the

48. Hipérbola 48. Hyperbola 2, 0,

2 , 9, 3 10, 2, 00

2

, 10, 0

utility

de la ecuación region

to approximate

bounded polar. by

to

the

two

graph

decimal

of the

places

polar

the

equation.

area of the

48. Hyperbola 2, 0 , 10, 0

region bounded by the graph of the polar equation.

49. Encontrar 49. Find la a ecuación polar equation para la for elipse the ellipse con foco with (0, focus 0), excentricidad

0, 0 , eccentricity

3

9

49. 1

61. r

62. r

Find

de

a polar

2 , y and directriz

equation

a directrix en

for

r

the

at r4 ellipse

sec 4 . sec

with

.

focus 0, 0 , eccentricity

3

9

1

61. r 2 cos 62. r 4 cos

2, and a directrix at r 4 sec .

2 cos

4 cos

50. Find a polar equation for the hyperbola with focus 0, 0 , eccentricity

2

3

50. Encontrar Find a polar ecuación para una hipérbola con foco (0, 0), excentricidatricity

2, de and 2 y a directriz directrix en at

r 8 8 csc . .

3 2 sen

6 5

63. r

64. r

equation

2, and a

for

directrix

the hyperbola

at r

with

8 csc

focus

.

0 , eccen-

2

3

63. r 3 2 sen 64. r 6 5 sen

sen


65. Explorer 18 El 27 de noviembre de 1963, Estados Unidos

lanzó el Explorer 18. Sus puntos bajo y alto sobre la superficie

de la Tierra fueron aproximadamente 119 millas y 123 000

millas, respectivamente (ver la figura). El centro de la Tierra es

el foco de la órbita. Hallar la ecuación polar de la órbita y hallar

la distancia entre la superficie de la Tierra y el satélite cuando

(Tomar como radio de la Tierra 4 000 millas.)

60.

90°

Explorer 18

66. Movimiento planetario Los planetas giran en órbitas elípticas

con el Sol como uno de sus focos, como se muestra en la

figura.

π

2

r

r

Sol

60°

Tierra

Planeta

θ

a) Mostrar que la ecuación polar de la órbita está dada por

r 1 e2 a

1 e cos

donde e es la excentricidad.

b) Mostrar que la distancia mínima (perihelio) entre el Sol y el

planeta es r a1 e y que la distancia máxima (afelio) es

r a1 e.

En los ejercicios 67 a 70, usar el ejercicio 66 para hallar la

ecuación polar de la órbita elíptica del planeta, así como las distancias

en el perihelio y en el afelio.

67. Tierra a 1.496 10 8 kilómetros

e 0.0167

68. Saturno a 1.427 10 9 kilómetros

e 0.0542

69. Neptuno a 4.498 10 9 kilómetros

e 0.0086

70. Mercurio a 5.791 10 7 kilómetros

e 0.2056

a

a

0


0


CAS

71. Movimiento planetario En el ejercicio 69 se encontró la ecuación

polar para la órbita elíptica de Neptuno. Usar la ecuación y

un sistema algebraico por computadora.

a) Aproximar el área que barre un rayo que va del Sol al planeta

cuando aumenta de 0 a /9. Emplear este resultado para

determinar cuántos años necesita Neptuno para recorrer este

arco, si el periodo de una revolución alrededor del Sol es de

165 años.

b) Por ensayo y error, aproximar el ángulo tal que el área

barrida por un rayo que va del Sol al planeta cuando

aumenta de a sea igual al área encontrada en el inciso

a) (ver la figura). ¿Barre el rayo un ángulo mayor o menor

que el del inciso a), para generar la misma área? ¿A qué se

debe?

α − π

π

2

c) Aproximar las distancias que recorrió el planeta en los

incisos a) y b). Usar estas distancias para aproximar la cantidad

promedio de kilómetros al año que recorrió el planeta en

los dos casos.

72. Cometa Hale-Bopp El cometa Hale-Bopp tiene una órbita

elíptica con el Sol en uno de sus focos y una excentricidad

de e 0.995. La longitud del eje mayor de la órbita es aproximadamente

500 unidades astronómicas.

a) Hallar la longitud del eje menor.

b) Hallar la ecuación polar de la órbita.

c) Hallar distancias en el perihelio y en el afelio.

En los ejercicios 73 y 74, sea r 0 la distancia del foco al vértice más

cercano, y r 1 la distancia del foco al vértice más lejano.

73. Mostrar que la excentricidad de una elipse puede expresarse

como

e r 1 r 0

. Después mostrar que

r 1 r 0

74. Mostrar que la excentricidad de una hipérbola puede expresarse

como

e r 1 r 0

. Después, mostrar que

r 1 r 0

En los ejercicios 75 y 76, mostrar que las gráficas de las ecuaciones

dadas se cortan en ángulo recto.

ed

75. r

y

1 sen sin

θ =

π

9

0

ed

r

1 sen sin

c

d

76. r

y r

1 cos 1 cos

r 1

r 0

1 e

1 e .

r 1

r 0

e 1

e 1 .


10 Ejercicios de repaso

En los ejercicios 1 a 6, hacer corresponder la ecuación con su

gráfica. [Las gráficas están etiquetadas a), b), c), d), e) y f).]

a) y

b)

c) y

d)

−4

e) y

f)

−4

−2

−2

4

2

−2 2 4

−2

−4

4

2

−4

4

−4

1. 4x 2 y 2 4

2. 4x 2 y 2 4

3. y 2 4x

4. y 2 4x 2 4

5. x 2 4y 2 4

6. x 2 4y

En los ejercicios 7 a 12, analizar la ecuación y trazar su gráfica.

Emplear una herramienta de graficación para confirmar los

resultados.

7. 16x 2 16y 2 16x 24y 3 0

8. y 2 12y 8x 20 0

9. 3x 2 2y 2 24x 12y 24 0

10. 5x 2 y 2 20x 19 0

11. 3x 2 2y 2 12x 12y 29 0

12. 12x 2 12y 2 12x 24y 45 0

En los ejercicios 13 y 14, hallar una ecuación de la parábola.

13. Vértice: 0, 2; directriz: x 3

14. Vértice: (2, 6); foco: (2, 4)

2

4

2 4

−2 2 4

−2

En los ejercicios 15 y 16, hallar la ecuación de la elipse.

15. Vértices: (5, 0) 7, 0; focos: (3, 0) (5, 0)

16. Centro: 0, 0; puntos solución: (1, 2), (2, 0)

x

x

x

−12

−4

−2

−8

4

−4

6

4

2

y

y

−4

4

−4

y

2 4

x

x

x

En los ejercicios 17 y 18, hallar la ecuación de la hipérbola.

17. Vértice: (7, 0); foco: (9, 0)

18. Foco: 0, ±8; asíntotas: y ±4x

En los ejercicios 19 y 20, usar una herramienta graficadora para

aproximar al perímetro de la elipse.

x x

19. 2

20.

2

4 y2

9 y2

4 1 25 1

21. Una recta es tangente a la parábola y x 2 2x 2 y perpendicular

a la recta y x 2. Hallar la ecuación de la recta.

22. Una recta es tangente a la parábola 3x 2 y x 6 y perpendicular

a la recta 2x y 5. Hallar la ecuación de la recta.

23. Antena satelital La sección transversal de una gran antena

parabólica se modela por medio de la gráfica de

y x2

100 ≤ x ≤ 100.

200 ,

El equipo de recepción y transmisión se coloca en el foco.

a) Hallar las coordenadas del foco.

b) Hallar el área de la superficie de la antena.

24. Camión de bomberos Considerar un camión de bomberos con

un tanque de agua que mide 16 pies de longitud, cuyas secciones

transversales verticales son elipses que se describen por la

ecuación

x 2

16 y2

9 1.

a) Hallar el volumen del tanque.

b) Hallar la fuerza ejercida sobre el fondo del tanque cuando

está lleno de agua. (La densidad del agua es 62.4 libras por

pie cuadrado.)

c) Hallar la profundidad del agua en el tanque si está lleno a

de su capacidad (en volumen) y el camión se encuentra sobre

un terreno nivelado.

d) Aproximar el área en la superficie del tanque.

En los ejercicios 25 a 32, trazar la curva representada por las

ecuaciones paramétricas (indicar la orientación de la curva) y

dar las ecuaciones rectangulares correspondientes mediante la

eliminación del parámetro.

25. x 1 8t, y 3 4t

26. x t 6, y t 2

27. x e t 1, y e 3t

28. x e 4t , y t 4

29. x 6 cos , y 6 sen

30. x 2 5 cos t, y 3 2 sen t

31. x 2 sec , y 3 tan

32. x 5 sen sin 3 , y 5 cos 3

Review Exercises 759

En los ejercicios 33 a 36, hallar una representación paramétrica En los ejercicios 53 y 54, a) usar una

Review

herramienta

Exercises

de graficación

759

Review Exercises 759 Review Exer

de la recta o cónica.

para trazar la curva representada por las ecuaciones paramétricas,

b) usar una herramienta de graficación para hallar dx/dq,

33. In Exercises Recta: pasa 33–36, por 2, find 6 a parametric y 3, 2 representation of of the line

In Exercises 53 and 54, (a) use a graphing utility to to graph the

In Exercises 33–36, find parametric

In Exercises

representation

33–36, find

of

a

the

parametric

line

representation In dy/dq Exercises y dy/dx53 para of

and

the line

54, (a) use y In c) usar Exercises

graphing una herramienta 53

utility

and

to

54, graph

(a) de use graficación

represented

the

or In graphing util

34. or

Exercises conic.

conic.

33–36, find a parametric representation of the line curve In

Circunferencia: centro en (4, or 5); conic. radio 3

curve

Exercises represented 53 and by

para trazar to la by

54, the

recta the

(a) use parametric

tangente parametric

a graphing equations, curve a represented la curva equations,

utility to (b) cuando by

(b)

graph use

the use

the a

parametric equati

35. or conic.

Elipse: centro en 3, 4;

2,

longitud del

3, curve graphing

eje mayor horizontal 8 y

graphing

represented utility to find utility to find

by dx/d dx/d

the parametric , dy/d , and dy/dx

to dy/d

graphing and utility

dy/dx

equations, for

for

(b) /6,

to find to dx/d

/6,

use and

,

and

a

33. Line: passes through 2, 6 and 3, 2

33. Line: passes through 2, 53. 54.

longitud del eje menor 6

33.

and

Line:

3, dy/d , and dy/dx f

passes through 2, 6 and 3,

(c) graphing

2

use x a cot graphing x 2 sin at 4,

sen

(c) use graphing

utility to find utility utility

dx/d to graph

to graph

, dy/d the

(c) use

the

, and tangent

a

tangent

dy/dx for line to the

graphing

line

utility

to the

/6, curve

to

curve

and

34. 33. Circle: Line: passes center through at 4, 2, 5; 6radius and 3, 2

graph the tangent l

34. Circle: center at 4, 5;

36. Hipérbola: vértice en

34.

radius

foco

Circle: (c) when

en

center at 4, 5; radius 3 when

use a graphing /6.

y sen sin /6.

utility to graph the tangent line to the curve

when y 2/6.

cos 2

35. 34. Ellipse: Circle: center at at 4, 3, 3, 0, 4 ±4; 5;

;

horizontal radius 3

major 0, ±5

axis of of length 8 and

when

/6.

35. Ellipse: center of at 3, horizontal

35. Ellipse:

major

center

axis

at

of length

3, 4 ; horizontal

and 53. major x axis cot

of length 8 and 54.

x 2 sin

35. minor Ellipse: axis Longitud de arco En los ejercicios 53. 55 y 56, hallar la longitud de54.

37. Motor

minor axis

center of length

rotatorio

of length

at 3, 6

El 4 ; horizontal major axis of length 8 and 53. cot

54.

x

cot

sin

motor rotatorio minor fue axis inventado of length por 6 Felix 53. x 2 s

at 0, at 0, yx

sin cot 2

54. yx 2 cos sin

36. Hyperbola: minor axis of vertices length at 6 0, ±4 ; foci at 0, ±5

arco de la sin curva en el intervalo que se indica.

Wankel en década de los cincuenta. 36. Hyperbola: Contiene vertices un rotor at que es un

y sin 2

cos

36. Hyperbola: vertices at 0, ±4 foci at 0, ±5

y 2 co

0, ±4 ; foci at 0, y±5

sin 2

y 2 cos

36. Hyperbola: vertices at 0, ±4 ; foci at 0, ±5

triángulo equilátero modificado. El rotor se mueve en una cámara

Arc 55. x

Length

rcos

In

Exercises sen

55 and Arc

56.

56, Length

x

find 6

the cos

arc In Exercises

length of of the

37. Rotary Engine The rotary engine was developed by Felix

Arc Length

In Exercises 55 and 56, find the arc length

55

of the

37. and 56, find the a

que, Rotary en dos Engine dimensiones, The It rotary es un 37. epitrocoide. engine

Rotary was

Engine Usar developed una is The herramienta

by

rotary

Felix

engine

curve Arc

curve was

Length

developed

on the given

y on rsin the sengiven In

by

Exercises interval.

interval. Felix

55 and 56, find the arc length of the

37. Wankel Rotary curve on y the 6 sen sin given interval.

de Wankel

Engine the 1950s.

graficación in the para 1950s.

The It

trazar It

rotary features la features

engine a rotor,

cámara Wankel que rotor,

was which

in describen in which

developed is a modified

the 1950s. las is ecuaciones modified

by Felix

It in features a rotor, curve which

on the is

given

a modified

interval.

equilateral Wankel paramétricas.

0 ≤ ≤

0 ≤ ≤

equilateral

in triangle.

triangle.

the 1950s. The

is The

It rotor

rotor

features moves

moves

a rotor, in a chamber equilateral in chamber

which is that,

triangle. that,

a modified in two 55. x r cos sin 56. x 6 cos

The to in rotor

two

moves

55.

in a chamber cos

that, in

sin

two 55.

56.

x r cos cos

dimensions, equilateral sin 56. x 6 cos

x dimensions,

triangle. is epitrochoid.

cos 3 is an epitrochoid.

The rotor moves Use a

5 cos Use

dimensions, graphing

graphing

a chamber utility is

utility

that, to

an epitrochoid.

to

in graph

graph

two 55. xy r cos sin cos sin 56. xy

6 cos sin

the dimensions, chamber Use a graphing utility to graph

the chamber

is modeled

modeled

an epitrochoid. by the parametric

by the parametric

Use a graphing equations

Área de una superficie En los ejercicios y r sin 57 y 58, cos hallar el área y 6 sin

the chamber

equations

utility to graph

sin cos

sin

y

modeled by the parametric equations 0 r sin cos

0y

6 sin

the chamber modeled by the parametric equations

de la superficie generada por revolución 0

de la curva en torno 0

yx cos 3 5 cos

cos cos

0

0

x cos 3 5 cos

a) al eje x y b) al eje y.

of y x cos 3 5 cos

Surface Area In Exercises 57 and 58, find the area of the

and sen sin 3 5 sen sin .

Surface Area In Exercises 57

Surface and 58,

Area

find In

the Exercises

area of 57

the

and 58, find

and

surface Surface generated

and

surface 57. x generated

Area In by

t,

3t, by

Exercises revolving

0revolving 57 the

≤ t ≤ 2surface the

and curve

curve

58, find about

generated

about

the (a)

by

(a)

area the

revolving

the

of x-axis

-axis

the

and

the curve abou

38. Curva y sin serpentina 3 5 sin Considerar .

and surface (b) the

las ecuaciones paramétricas and (b) the

generated y-axis.

-axis.

by revolving the curve about (a) the x-axis

sin sin y sin 3 5 sin .

and (b) the y-axis.

x y 2 sin cot 3

y y 5 sin 4 sen sin .

cos , 0 < <

.

and

58.

(b)

the t, 2 cos

y

-axis.

,

y 2 sin sen

,

0 ≤ ≤

38. Serpentine Curve Consider the parametric equations

57. x t, y 3t, 0 t 2 2

38.

a) Serpentine

Usar una Curve

herramienta Consider graficación 38. Serpentine the parametric trazar Curve

equations

57.

t,

3t,

la curva. Consider the parametric equations

57. x t, y 3t, 0 t 2

38. Serpentine x 2 cot and

cot and

Curve y 4 Consider sin cos ,

sin cos Área

En los ejercicios 59 y 60, hallar el área de la región.

b) Eliminar el parámetro para to mostrar

x

the 0 < parametric < .

2 cot

que la

and

equations

57. x t, y 3t, 0 t 2

ecuación

y 4 sin

rectangular

de la curva serpentina es (a)

cos , 0 58. < x< 2 . cos , y 2 sin , 0

(a) x Use 2 cot a graphing and y utility 4 sin to cos graph , 0 the < curve. < .

58.

cos sin 58.

x 2 cos 2 , y 2 sin , 0

(a) Use graphing utility to graph the

4 Use

curve.

58. x 2 cos , y 2 sin , 0

x 2 a ygraphing 8x. utility to graph the 59. curve.

2

(b) (a) Use Eliminate a graphing the utility parameter to graph to to show the curve.

x 3 sen sin

60.

x 2

that the rectangular

cos of

(b) Eliminate of the parameter to

(b)

show

Eliminate is

that the

the rectangular Area In Exercises 59 and 60, find the area of the region.

(b) equation Eliminate of parameter to show ythat 2 the cos rectangular

Area yIn Exercises sen sin 59 and 60, find the area of t

En los ejercicios

equation

39

of

the serpentine

the

a 48,

serpentine

parameter curve

a) hallar

curve

to show is 4

Area In Exercises 59 and 60, find the area of the region.

dy/dxequation is

y that x

los puntos 2 of 2 the y rectangular 8x.

the de serpentine

8x.

tangen-curvcia horizontal, b) eliminar el parámetro cuando 2 y 8x.

59. x 3 sin

60. x 2 cos

Area

is 4 In

x 2 Exercises 59 and 60, find

y 8x.

the area of the region.

equation of the serpentine curve is 4 x

of sea 59. posible y

59. x 0 3 ≤

≤

60. x 2 cos

c) trazar la curva representada In por Exercises las ecuaciones 39–48, paramétricas.

(a) find dy/dx and all points 2 ≤ sin

60.

cos

In Exercises 39–48, (a) find dy/dx and all points of horizontal

≤

In Exercises 39–48, (a) find

dy/dx

and all points of horizontal 59. x

y 32 sin cos

of horizontal 2

60.

yx

sin 2 cos

tangency, In cos

y

2 cos

sin

y sin

tangency,

Exercises (b) (b)

39–48, eliminate eliminate

(a) find the the

dy/dx parameter

parameter

and all where

tangency, (b)

where

points possible,

eliminate

possible,

of horizontal and

the

and

parameter where

y 2 cos

possible, and

y sin

(c) tangency, sketch the y

y

(c) sketch the

(b) curve

curve

eliminate represented

represented

the parameter by the parametric

(c)

by

sketch

the parametric

where possible, equations.

the curve represented

equations.

and

by the parametric equations.

0

0

(c) sketch the curve represented 4t by the parametric 6, equations.

2 2

39. 40. x t 6, y t 4

2 32

39. 5t, 4t

39.

40.

x 2 5t,

6,

y 1 2

0

x 2 5t, y 1 4t

2

2 y 2

4t 40. x t 6, y t 3

2

y

39. x 2 y2

1

41. 2t 1

41. x

1

1

41.

42.

x

42. x

4

3

t , t2

y 2t 3 t , y

2t 42. x

4

3

t , y 5t, 2t y 1 3 4t 40. x t t , 6, y

y t 2

y

y

1

1

t2

t2

t2

41. x

42. x

34

23

t , 1

3

x

2

1

y 2t 3 t , y t2

2t −3 −2 −1 1 2 3

43. 2t 3

2

43. x

44. x 2t 1 1

2t 1 1

x

−1

43.

44.

x

2t 44. x 2t 1

43. x 2t 44. x 2t 2t 1

−3 −2 −1 1 1 2 3

x

−1

−3 −2 −1

1 −2

2t −1

1 1

1

−3 −2 −1 1 2 3

2t

1

−3 1 −2 −1−2

−3

−3 −2 −1

x

−1

y

1

x

−3 −2 −1 −1

x

y

y 2t

−1

t y

−1

−2

2

2 1 2t

t

2t

t 2

2

2 1 2t

−3 −2 −1 1 2 3

−3 −2 −1 1 2 3

2t

2t

t 2 −3 −2 −1 −1

x

2t −1

−3 −2 −1

−2 −1

y

y

−2 1 2 3

45.

x 5t 2

cos 2t

t 2 2t

−3 −2 −1−2

1 2 3

−1−3

−2

−2 −1

−3 −2

45.

cos

45. x 5 cos

−2

−3

45. x En los ejercicios 61 a 64, representar gráficamente −2 el punto

−3

y 53 cos 4 sen

−2

−3

sen

y 3 4 sen

en coordenadas polares y hallar in las coordenadas rectangula-

46. xy 10 3 cos 4 sen


46.

10 cos

46. x 10 cos

In res Exercises correspondientes 61–64, plot al the punto. point

In Exercises polar coordinates of 61–64, plot

and

the point

find

in polar coord

46.

x

the corresponding rectangular coordinates of the point.

y 10 cos

In

the

Exercises

corresponding

61–64,

rectangular

plot the point

the

coordinates polar coordinates

corresponding

of the

rectangular

point.

and find

sen

10 sen

coordinates of th

y 10 sen

the corresponding

47. x cos 5, 47.

cos 3

3

47. x cos 3

61. 5, 3 rectangular coordinates of the point.

y 10 sen

61. 5, 47. x y 4 cos sen 3

2

61. 5, 3 sen 3

3

61. 5, 3 y 4 sen 3

2

48.

xy e4 6, 48.

t sen 3

2

t

62. 6, 7 48. x e t

62. 6, 7 62. 6, 48. x

6

y e t

t

t

62. 6, 7 6

y e t

63. 3, 3, 1.56 6

y e 63. 3, 1.56

t

of 63. 3, 1.56

En In los Exercises ejercicios 49–52, a find 52, hallar points todos (if los any) puntos of horizontal (si los hay) and de

2, In Exercises 49–52, to find points In Exercises (if any)

49–52,

of horizontal

find to all

and 64. 63. 2, 3, 1.56 2.45

points (if 64. any) of 2, horizontal 2.45 and

tangencia In vertical tangency horizontal to the y vertical curve. Use a la a curva. graphing Usar utility una herramienta

vertical your

to confirm

64. 2, 2.45

vertical

Exercises tangency

49–52,

to the

find

curve.

all points

vertical

Use graphing

(if any) of

tangency

utility

horizontal

to the

to

curve.

confirm

and 64. 2, 2.45

Use a graphing utility to confirm

of your de graficación results.

results.

tangency para to the confirmar curve. Use los a resultados. graphing utility to confirm In Exercises 65–68, the rectangular coordinates of a point are

your results.

In En Exercises los ejercicios 65–68, a the 68, se rectangular dan In las Exercises coordenadas of coordinates 65–68, rectangulares of

the point

rectangular of are de coordinate

your

49.

results.

t,

2t given. In Plot the point and find two sets of polar coordinates of the

x 5 t, y 2t

49.

given.

Exercises

un punto. Plot Representar the

65–68,

point and

the rectangular gráficamente find two

given.

sets

coordinates

Plot

of el punto polar

the point

coordinates

of a point

y hallar and dos find

of

are

pares two

the

t,

2t 2

2

sets of polar co

2,

2t 49. x 5 t, y 2t 2

point given. for 0 < 2 .

point de coordenadas for

Plot the point

polares and find two sets of polar coordinates of the

50. 49. x 5t 2, t, y 2t t del punto point para for 0 < 2 .

50.

2,

3 2

3 2t

2t

50. x t 2, y t 3 2t

point 4, for

0 < 2 .

0, 51. 50.

x 65. 4, 4

66. 0, 7

t2 2, 2 sen y , t 3 y 2t 1 cos

65. 4, 51.

65.

66.

4,

0,

4

sen 66. 0, 7

51.

cos

x 2 2 sen , y 1 cos

1, 3, 52. 51.

67. 65. 4, 1, 34

68. 66. 0, 3, 7

x

3

2 2 sen cos ,

y 12 sen cos 2

67. 1, 52.

67.

68.

1, 3

3, cos sen 68. 3,

52.

52.

x 2 2 cos , y 2 sen 2 67. 1, 3

68. 3, 3

x 2 2 cos , y 2 sen 2

/6,

sin

cos


/6.


En los ejercicios 69 a 76, pasar la ecuación polar a la forma rectangular.

69. r 3 cos

70. r 10

1

71. r 21 cos 72. r

2 cos

73. r 2 cos 2

74. r 4 sec

75. r 4 cos 2 sec 76.

En los ejercicios 77 a 80, transformar la ecuación rectangular a

la forma polar.

77. x 2 y 2 2 ax 2 y 78.

79. 80.

En los ejercicios 81 a 92, trazar la gráfica de la ecuación polar.

81. r 6 82.

83. r sec

84. r 3 csc

85. r 21 cos 86. r 3 4 cos

87. r 4 3 cos

88. r 4

89. r 3 cos 2

90. r cos 5

91. r 2 4 sen sin 2 2

92. r 2 cos 2


para representar la ecuación polar.

3

93. r

94. r 2 sin sen

cos 2

cos 4

95. r 4 cos 2 sec 96. r 4sec cos

En los ejercicios 97 y 98, a) hallar las tangentes en el polo,

b) hallar todos los puntos de tangencia horizontal y vertical, y

c) usar una herramienta de graficación para representar la

ecuación polar y dibujar una recta tangente a la gráfica en

97. r 1 2 cos

98. r 2 4 sen sin 2

En los ejercicios 99 y 100, mostrar que las gráficas de las ecuaciones

polares son ortogonales en el punto de intersección. Usar

una herramienta de graficación para confirmar los resultados.

99. r 1 cos

100. r a sin sen

r 1 cos


101. Un pétalo de r 3 cos 5

102. Un pétalo de r 2 sen 6

103. Interior de r 2 cos

104. Interior de r 51 sen sin

105. Interior de r 2 4 sen sin 2

3

x 2 y 2 4x 0

x x 2 y 2 arctan y x 2 y 2 a 2 arctan y 2 a

x 2 2

106. Interior común a r 4 cos y r 2

4

12

r a cos

3

/6.

107. Encontrar los puntos de intersección de las gráficas de r 1

cos y r 1 sen .

108. Encontrar los puntos de intersección de las gráficas de r 1

sen y r 3 sen .


para representar la ecuación polar. Dar una integral para encontrar

el área de la región dada y usar las funciones de integración

de una herramienta de graficación para aproximar el valor de la

integral con una precisión de dos cifras decimales.

109. Interior de r sen sin cos 2

110. Interior de r 4 sen sin 3

111. Interior común de r 3 y r 2 18 sen sin 2

112. Región limitada por el eje polar r e

para 0 ≤

En los ejercicios 113 y 114, hallar la longitud de la curva sobre el

intervalo dado.

113.

Ecuación polar

r a1 cos

Intervalo

114. r a cos 2

2 ≤ ≤

2

En los ejercicios 115 y 116, dar una integral que represente el

área de la superficie generada por revolución de la curva en

torno a una recta dada. Usar una herramienta de graficación

para aproximar la integral.

Ecuación polar Intervalo Eje de revolución

115. r 1 4 cos 0 ≤ ≤ Eje polar

2

116. r 2 sen sin

0 ≤ ≤

2 2

En los ejercicios 117 a 122, trazar e identificar la gráfica. Usar

una herramienta de graficación para confirmar los resultados.

2

2

117. r

118. r

1 sen sin

1 cos

6

4

119. r

120. r

3 2 cos

5 3 sin sen

4

8

121. r

122. r

2 3 sen sin

2 5 cos

En los ejercicios 123 a 128, hallar la ecuación polar de la recta o

cónica con su foco en el polo.

123. Círculo 124. Recta

Centro: 5, 2

Punto solución: (0, 0)

Punto solución: (0, 0

Pendiente: 3

125. Parábola 126. Parábola

Vértice: 2,

Vértice: 2, 2

127. Elipse 128. Hipérbola

Vértices: 5, 0, 1,

0 ≤

≤

≤

Vértices: 1, 0, 7, 0

Solución de problemas 761

P.S. Problem Solving 761

SP

P.S.


PROBLEM SOLVING

1.

1.

Considerar

Consider the

la

parabola

parábola

x x2 y la cuerda focal y 3 2

4y

4y

and the focal chord y 4 3 4x x 1. 1.

a)

(a)

Dibujar

Sketch

la

the

gráfica

graph

de

of

la

the

parábola

parabola

y

and

la cuerda

the focal

focal.

chord.

b)

(b)

Mostrar

Show that

que

the

las

tangent

rectas tangentes

lines to the

a la

parabola

parábola

at

en

the

los

endpoints

extremos

de

of

la

the

cuerda

focal

focal

chord

se

intersect

cortan en

at

ángulo

right angles.

recto.

c)

(c)

Mostrar

Show that

que

the

las

tangent

rectas tangentes

lines to the

a la

parabola

parábola

at

en

the

los

endpoints

extremos

de

of

la

the

cuerda

focal

focal

chord

se

intersect

cortan en

on

la

the

directriz

directrix

de

of

la

the

parábola.

parabola.

2.

2.

Considerar

Consider the

la

parabola

parábola

x 2

4py

4py

and

y una

one

de

of

sus

its

cuerdas

focal chords.

focales.

a)

(a)

Mostrar

Show that

que

the

las

tangent

rectas tangentes

lines to the

a la

parabola

parábola

at

en

the

los

endpoints

extremos

de

of

la

the

cuerda

focal

focal

chord

se

intersect

cortan en

at

ángulos

right angles.

rectos.

b)

(b)

Mostrar

Show that

que

the

las

tangent

rectas tangentes

lines to the

a la

parabola

parábola

at

en

the

los

endpoints

extremos

de

of

la

the

cuerda

focal

focal

chord

se

intersect

cortan en

on

la

the

directriz

directrix

de

of

la

the

parábola.

parabola.

3.

3.

Demostrar

Prove Theorem

el teorema

10.2, Reflective

10.2, la

Property

propiedad

of

de

a Parabola,

reflexión

as

de

shown

una

parábola,

in the figure.

como se ilustra en la figura.

y

P

F

x

4. Consider the hyperbola

4. Considerar la hipérbola

x 2

xa y2

2

a y2 b 1 2

2 b 1 2

with foci F 1 and F 2 , as shown in the figure. Let T be the tangent

con line focos at a point F 1 y FM

2 , on como the se hyperbola. ilustra en Show la figura. that Sea incoming T la recta rays tangente

light en aimed un punto at one M focus de la hipérbola. are reflected Mostrar by a que hyperbolic los rayos mirror de luz

of

incidente toward the en other un foco focus. son reflejados por un espejo hiperbólico

hacia el otro foco.

y

y

y

M

F 1

F 1

b

b

T aM

T a

F 2

F 2

y

A

Aθ

O

x

θ

O

B

P B

P

a c

a c

x


5. Figura Consider para a circle 4 of radius a tangent Figura to the para y-axis 5 and the line

x 2a, as shown in the figure. Let A be the point where the

5. Considerar segment OBun intersects círculo con the circle. radio aThe tangente cissoid al of eje Diocles y y a consists la recta

xof all 2a, points como Pse such ilustra that en OPla figura. AB. Sea A el punto en el cual el

segmento (a) Find a OB polar corta equation el círculo. of the La cissoid. cisoide de Diocles consiste de

todos los puntos P tales que OP AB.

(b) Find a set of parametric equations for the cissoid that does

a) Hallar not contain una ecuación trigonometric polar de functions. la cisoide.

b) (c) Hallar Find a un rectangular conjunto de equation ecuaciones of the paramétricas cissoid. para la cisoide

que no contengan funciones trigonométricas.

c) Hallar la ecuación rectangular de la cisoide.

6. Considerar the la region región bounded limitada by por the la ellipse elipse xx 2 a 2 a 22 yy 2 b 2 b 22 1, 1,

with con excentricidad

eccentricity e e ca.

ca.

(a) Mostrar Show that que the el area área of de the la región region es is ab. ab.

(b) Mostrar Show that que the el solid volumen (oblate del spheroid) sólido (esferoide generated oblato) by revolving generado

the por region revolución about the de minor la región axis en of the torno ellipse al eje has menor a volume de la

elipse of V es

V 4and 2

4 2

b3 b3a y surface el área area de la ofsuperficie es

(c) Show that the solid (prolate spheroid) generated by

c) Comprobar que el volumen del sólido (esferoide prolato)

revolving the region about the major axis of the ellipse has a

generado por revolución de la región alrededor del eje mayor

volume of V 4ab

de la elipse es V 4ab 2 3 2 and a surface area of

3 y el área de la superficie es

7. The curve given by the parametric equations

7. La curva descrita por las ecuaciones paramétricas

y yt t1 t2

xt and yt t1 t2

xt 1 t2

1 t t2

2

1 t 2

is called

1

a

strophoid.

t 2

1 t 2

(a) se denomina Find a rectangular estrofoide. equation of the strophoid.

(b) a) Hallar Find a una polar ecuación equation rectangular of the strophoid. de la estrofoide.

(c) b) Hallar Sketch una a graph ecuación of the polar strophoid. de la estrofoide.

(d) c) Trazar Find the una equations gráfica de of la the estrofoide. two tangent lines at the origin.

(e) d) Hallar Find the la ecuación points on de the las graph dos rectas at which tangentes the tangent el origen. lines are

horizontal.

e) Hallar los puntos de la gráfica en los que las rectas tangentes

8. Find son a rectangular horizontales. equation of the portion of the cycloid given by

the parametric equations x a sin and y a1 cos ,

8. Hallar una ecuación rectangular para la porción de la cicloide

0 , as shown in the figure.

dada por las ecuaciones paramétricas x a( sen ) y y a

(1 cos y ), 0 ≤ ≤ , como se muestra en la figura.

y

2a

2a

O

S 2a 2 b2

e ln 1 e

1 e .

S 2b 2 2

S 2b 2 2 ab ab e

e

x

O

aπ

9. Consider the cornu spiral given by

t

t

9. Considerar

and yt

la espiral de Cornu dada

sin

por u xt cos u 2

2

0 2 du.

0

(a)

t

y yt sin u xt Use a

t

graphing

cos u 2

2

0 2 du.

0 2 du utility to graph the spiral over the interval

t .

sen

(b) Show that the cornu spiral is symmetric with respect to the

a) Usar origin. una herramienta de graficación para representar la espiral

en el intervalo ≤ t ≤

(c) Find the length of the cornu spiral

.

from t 0 to t a. What

b) Mostrar is the length que la of espiral the spiral cornu from es tsimétrica to respecto t ? al origen.

c) Hallar la longitud de la espiral cornu desde t 0 hasta t a.

¿Cuál es la longitud de la espiral desde t hasta t ?

aπ

2 du x

arcsin e.

arcsen arcsin e.


10. Una partícula se mueve a lo largo de la trayectoria descrita

por las ecuaciones paramétricas x 1t y y sen sin tt, con

1 ≤ t < , como se muestra en la figura. Hallar la longitud de

esta trayectoria.

y

11. Sean a y b constantes positivas. Hallar el área de la región del

primer cuadrante limitada por la gráfica de la ecuación polar

12. Considerar el triángulo rectángulo de la figura.

a) Mostrar que el área del triángulo es

b) Mostrar que

c) Usar el inciso b) para deducir la fórmula para la derivada de

la función tangente.


13. Determinar la ecuación polar del conjunto de todos los puntos

r, , el producto de cuyas distancias desde los puntos 1, 0 y

1, 0 es igual a 1, como se observa en la figura.

14. Cuatro perros se encuentran en las esquinas de un cuadrado con

lados de longitud d. Todos los perros se mueven en sentido contrario

al de las manecillas del reloj a la misma velocidad y en

dirección al siguiente perro, como se muestra en la figura. Hallar

la ecuación polar de la trayectoria de un perro a medida que se

acerca en espiral hacia el centro del cuadrado.

d

d

α

1

−1

r ab

a sen sin b cos ,

1

tan

d

0

0 ≤

d

≤

sec 2 d.

1

2 .

A 1 2

1

(−1, 0) (1, 0)

−1 1

−1

y

x

0

sec 2 d.

x

15. Un controlador de tráfico aéreo ubica a la misma altitud dos

aviones que vuelan uno hacia el otro (ver la figura). Sus trayectorias

de vuelo son 20° y 315°. Un avión está a 150 millas del

punto P con una velocidad de 375 millas por hora. El otro se

encuentra a 190 millas del punto P con una velocidad de 450

millas por hora.

190 millas

a) Hallar ecuaciones paramétricas para la trayectoria de cada

avión donde t es tiempo en horas, y t 0 corresponde al

instante en que el controlador de tráfico aéreo localiza a los

aviones.

b) Emplear el resultado del inciso a) para expresar la distancia

entre los aviones como función de t.

c) Usar una herramienta de graficación para representar la función

del inciso b). ¿Cuándo será mínima la distancia entre los

aviones? Si los aviones deben conservar una distancia entre

ellos de por lo menos tres millas, ¿se satisface este requerimiento?

16. Usar una herramienta de graficación para trazar la curva que se

muestra abajo. La curva está dada por

r e cos

2 cos 4 sen sin 5

12 .

¿Sobre qué intervalo debe variar

y

20°

150 millas

45°

P

para generar la curva?

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre esta

curva, consultar el artículo “A Study in Step Size” de Temple H. Fay

en Mathematics Magazine.

17. Usar una herramienta de graficación para representar la ecuación

polar r cos 5 n cos , para 0 ≤ < y para los

enteros desde n 5 hasta n 5. ¿Qué valores de n producen

la porción de la curva en forma de “corazón”? ¿Qué valores de

n producen la porción de la curva en forma de “campana”? (Esta

curva, creada por Michael W. Chamberlin, fue publicada en The

College Mathematics Journal.)

x

11 En

This

este

chapter

capítulo

introduces

se introducen

vectors

los

and

vectores

the

three-dimensional

y el sistema de

coordinate

coordenadas

system.

tridimensional.

This Vectors chapter are

Los

used introduces vectores

to represent vectors se usan

lines and para

and the

three-dimensional representar

planes, and are

rectas

also coordinate y

used

planos,

to represent

y system. también

Vectors para

quantities

representar are such used as to cantidades

force represent and velocity.

como lines and fuerza

The

planes, y

three-dimensional

velocidad. and are El also sistema

coordinate used de to coordenadas represent system is used

quantities tridimensional

to represent such surfaces as se force utiliza

such and para

as velocity. ellipsoids

representar The and

three-dimensional superficies

elliptical cones.

como

Much

elipsoides coordinate of the

y

material system conos is elípticos.

used

to in represent the

Gran

remaining

parte surfaces chapters

del such material as relies ellipsoids en

on

los

an

capítulos

and

elliptical understanding

restantes cones. of

se Much this

fundamenta

system. of the material en el

in entendimiento the remaining de chapters este sistema. relies on an

understanding En

In this

este

chapter,

capítulo, of you this se aprenderá:

should system. learn the

following.

In ■ this Cómo chapter, escribir you vectores, should learn realizar the operaciones

■

following. How to write

vectoriales

vectors,

básicas

perform

y representar

basic

vector operations,

vectores de

and

manera

represent ■

gráfica.

■ How vectors write

(11.1)

graphically. vectors, (11.1) perform basic

vector operations, and represent ■

■ How to plot points in a three-dimensional

■ vectors Cómo determinar graphically. puntos (11.1)

coordinate system and analyze

en un

vectors

sistema

■ How in space.

de to coordenadas plot (11.2) points in tridimensional a three-dimensional y

coordinate analizar vectores system en and el analyze espacio. vectors (11.2)

■ How to find the dot product of two

■ in

vectors

Cómo space. encontrar (11.2)

(in the plane

el producto

or in space).

escalar

(11.3)

■ How de dos to vectores find the dot (en product el plano of y two en el

■ How

espacio).

to find

(11.3)

the cross product of two

vectors (in the plane or in space). (11.3)

vectors (in space). (11.4)

■ How Cómo to encontrar find the cross el producto vectorial of twode

■ How

dos vectores

to find equations

(en el espacio).

of lines

(11.4)

and planes

vectors (in space). (11.4)

in space, and how to sketch their graphs.

■ How (11.5)

Cómo to encontrar find equations las ecuaciones of lines and deplanes

in rectas space, y planos and how en to el sketch espacio, their y cómo graphs.

■ How

dibujar

to recognize

sus gráficas.

and

(11.5)

write equations

(11.5)

of cylindrical and quadric surfaces and

■ How of

Cómo

surfaces to reconocer recognize of revolution. and y escribir write (11.6) equations ecuaciones

of de cylindrical superficies and cilíndricas quadric surfaces y cuadráticas and

■ How

y las

to

superficies

use cylindrical

de revolución.

and spherical

of surfaces of revolution. (11.6) (11.6)

coordinates to represent surfaces in

■ How space.

Cómo to (11.7)

utilizar use cylindrical coordenadas and spherical cilíndricas

coordinates y esféricas to para representar surfaces superficies in

space. en el espacio. (11.7) (11.7)

Vectors Vectores and y la the geometría

Vectors and the

Geometry del espaciof Space

Geometry of Space

Mark Hunt/Hunt Stock

Two Dos remolcadores tugboats are pushing están empujando ocean liner, un barco as shown trasatlántico, above. Each como boat se muestra is exerting en la

Mark Hunt/Hunt Stock

■ a foto. force Cada of 400 barco pounds. ejerce What una fuerza is the resultant de 400 libras. force on ¿Cuál the es ocean la fuerza liner? resultante (See en el

Two Section barco tugboats trasatlántico? 11.1, are Example pushing (Ver 7.) la an sección ocean liner, 11.1, as ejemplo shown above. 7.) Each boat is exerting

■ a force of 400 pounds. What is the resultant force on the ocean liner? (See

Section 11.1, Example 7.)

v

v

u

u

v

u

u

v

u

u

u + v

u + v

v

v

Vectors indicate quantities that involve both magnitude and direction. In Chapter 11, you will study operations of vectors

in the plane and in space. You will also learn how to represent vector operations geometrically. For example, the graphs

Los shown Vectors vectores above indicate indican represent quantities cantidades vector that addition involve que implican in both the magnitude plane. tanto magnitud and direction. como dirección. In Chapter En 11, el you capítulo will study 11 se operations estudiarán of vectors operaciones

in the plane de vectores and in en space. el plano You will y en also el espacio. learn how También to represent aprenderá vector operations cómo representar geometrically. operaciones For example, de vectores the graphs de

manera shown above geométrica. represent Por vector ejemplo, addition las gráficas in the plane. que se muestran arriba representan adición de vectores en el plano.

763 763

763

764 CAPÍTULO 11 Vectores y la geometría del espacio

11.1 Vectores en el plano

■ Expresar un vector mediante sus componentes.

■ Realizar operaciones vectoriales e interpretar los resultados geométricamente.

■ Expresar un vector como combinación lineal de vectores unitarios estándar o canónicos.

■ Usar vectores para resolver problemas de fuerza o velocidad.

P

Punto

inicial

PQ

Q

Punto

final

Un segmento de recta dirigido

Figura 11.1

Segmentos de recta dirigidos equivalentes

Figura 11.2

Las componentes de un vector

Muchas cantidades en geometría y física, como el área, el volumen, la temperatura, la

masa y el tiempo, se pueden caracterizar por medio de un solo número real en unidades de

medición apropiadas. Estas cantidades se llaman escalares, y al número real se le llama

escalar.

Otras cantidades, como la fuerza, la velocidad y la aceleración, tienen magnitud y

dirección y no pueden caracterizarse completamente por medio de un solo número real.

Para representar estas cantidades se usa un segmento de recta dirigido, como se muestra

en la figura 11.1. El segmento de recta dirigido PQ \

tiene como punto inicial P y como

punto final Q y su longitud (o magnitud) se denota por PQ \ . Segmentos de recta dirigidos

que tienen la misma longitud y dirección son equivalentes, como se muestra en la

figura 11.2. El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos que son equivalentes a

un segmento de recta dirigido dado PQ \ es un vector en el plano y se denota por v PQ \ .

En los libros, los vectores se denotan normalmente con letras minúsculas, en negrita, como

u, v y w. Cuando se escriben a mano, se suelen denotar por medio de letras con una flecha

sobre ellas, como → u , → v y → w .

Es importante notar que un vector en el plano se puede representar por medio de

muchos segmentos de recta dirigidos diferentes, todos apuntando en la misma dirección y

todos de la misma longitud.

EJEMPLO 1

Representación de vectores por medio

de segmentos de recta dirigidos

4

3

2

1

y

(1, 2) (3, 2)

R

P (0, 0)

1

v

Los vectores u y v son iguales

Figura 11.3

2

u

3

(4, 4)

Q

4

S

x

Sea v el vector representado por el segmento dirigido que va de (0, 0) a (3, 2), y sea u el

vector representado por el segmento dirigido que va de (1, 2) a (4, 4). Mostrar que v y u

son equivalentes.

Solución Sean P(0, 0) y Q(3, 2) los puntos inicial y final de v, y sean R(l, 2) y

S(4, 4) los puntos inicial y final de u, como se muestra en la figura 11.3. Para mostrar que

PQ \

y RS \

tienen la misma longitud se usa la fórmula de la distancia.

Longitud de PQ \

.

Longitud de RS \

.

Los dos segmentos tienen la misma dirección, porque ambos están dirigidos hacia la

derecha y hacia arriba sobre rectas que tienen la misma pendiente.

y

PQ \ 3 0 2 2 0 2 13

RS \ 4 1 2 4 2 2 13

Pendiente de

PQ \ 2 0

3 0 2 3

Pendiente de RS \ 4 2

4 1 2 3

Como PQ \ y RS \

tienen la misma longitud y la misma dirección, se concluye que los dos

vectores son equivalentes. Es decir, v y u son equivalentes.

SECCIÓN 11.1 Vectores en el plano 765

4

3

2

1

(0, 0)

P

y

v

(v 1 , v 2 )

Q

v = 〈v 1 , v 2 〉

1 2 3 4

Posición estándar de un vector

Figura 11.4

x

El segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen a menudo se considera

el representante más adecuado de un conjunto de segmentos de recta dirigidos equivalentes

como los que se muestran en la figura 11.3. Se dice que esta representación de v está en la

posición canónica o estándar. Un segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen

puede representarse de manera única por medio de las coordenadas de su punto final

Qv 1 , v 2 , como se muestra en la figura 11.4.

DEFINICIÓN DE UN VECTOR EN EL PLANO MEDIANTE SUS COMPONENTES

Si v es un vector en el plano cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto final es

v 1 , v 2 , entonces el vector v queda dado mediante sus componentes de la siguiente

manera

v v 1 , v 2 .

Las coordenadas v 1 y v 2 son las componentes de v. Si el punto inicial y el punto

final están en el origen, entonces v es el vector cero (o vector nulo) y se denota por

0 0, 0.

Esta definición implica que dos vectores u u 1 , u 2 y v v 1 , v 2 son iguales si y sólo

si u 1 v 1 y u 2 v 2 .

Los procedimientos siguientes pueden usarse para convertir un vector dado mediante

un segmento de recta dirigido en un vector dado mediante sus componentes o viceversa.

1. Si Pp 1 , p 2 y Qq 1 , q 2 son los puntos inicial y final de un segmento de recta dirigido,

el vector v representado por , dado mediante sus componentes, es v 1 , v 2

PQ\

q 1 p 1 , q 2 p 2 . Además, de la fórmula de la distancia es posible ver que la longitud

(o magnitud) de v es

v q 1 p 1 2 q 2 p 2 2

v 12 v 22 .

Longitud de un vector.

2. Si v v 1 , v 2 , v puede representarse por el segmento de recta dirigido, en la posición

canónica o estándar, que va de P0, 0 a Qv 1 , v 2 .

A la longitud de v también se le llama la norma de v. Si v 1, v es un vector unitario.

Y v 0 si y sólo si v es el vector cero 0.

Q (−2, 5)

6

4

y

EJEMPLO 2

Hallar las componentes y la longitud de un vector

Hallar las componentes y la longitud del vector v que tiene el punto inicial (3, 7) y el

punto final (2, 5).

−6 −4 −2 2 4 6

−2

v

−4

−6

−8

P (3, −7)

Vector v dado por medio de sus componentes:

v 5, 12

Figura 11.5

x

Solución Sean P3, 7 p 1 , p 2 y Q2, 5 q 1 , q 2 . Entonces las componentes

de v v 1 , v 2 son

v 1 q 1 p 1 2 3 5

v 2 q 2 p 2 5 7 12.

Así, como se muestra en la figura 11.5, v 5, 12, y la longitud de v es

v 5 2 12 2

169

13.


Operaciones con vectores

DEFINICIÓN DE LA SUMA DE VECTORES Y DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

1 v

− 3 v

v 2 2v −v 2

La multiplicación escalar por un vector v

Figura 11.6

Sean u u 1 , u 2 y v v 1 , v 2 vectores y sea c un escalar.

1. La suma vectorial de u y v es el vector u v u 1 v 1 , u 2 v 2 .

2. El múltiplo escalar de c y u es el vector cu cu 1 , cu 2 .

3. El negativo de v es el vector

v 1v v 1 , v 2 .

4. La diferencia de u y v es

u v u v u 1 v 1 , u 2 v 2 .

Geométricamente, el múltiplo escalar de un vector v y un escalar c es el vector que

tiene c veces la longitud de v, como se muestra en la figura 11.6. Si c es positivo, cv tiene

la misma dirección que v. Si c es negativo, cv tiene dirección opuesta.

La suma de dos vectores puede representarse geométricamente colocando los vectores

(sin cambiar sus magnitudes o sus direcciones) de manera que el punto inicial de uno coincida

con el punto final del otro, como se muestra en la figura 11.7. El vector u v, llamado

el vector resultante, es la diagonal de un paralelogramo que tiene u y v como lados

adyacentes.

v

u

u

u + v

u + v

u

v

v


Para hallar u v,

Figura 11.7

1) hacer coincidir el punto

inicial de v con el punto

final de u, o bien

2) hacer coincidir el punto

inicial de u con el punto

final de v

WILLIAM ROWAN HAMILTON (1805-1865)

Algunos de los primeros trabajos con vectores

fueron realizados por el matemático

irlandés William Rowan Hamilton.

Hamilton dedicó muchos años a desarrollar

un sistema de cantidades semejantes a vectores

llamados cuaterniones. Aunque

Hamilton estaba convencido de las ventajas

de los cuaterniones, las operaciones que

definió no resultaron ser buenos modelos

para los fenómenos físicos. No fue sino hasta

la segunda mitad del siglo XIX cuando el

físico escocés James Maxwell (1831-1879)

reestructuró la teoría de los cuaterniones de

Hamilton dándole una forma útil para la

representación de cantidades como fuerza,

velocidad y aceleración.

La figura 11.8 muestra la equivalencia de las definiciones geométricas y algebraicas

de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar y presenta (en el extremo derecho)

una interpretación geométrica de u v.

(ku 1 , ku 2 )

(u 1 + v 1 , u 2 + v 2 )

(u 1, u 2 )

ku

u + v

ku 2 −v

u

u 2

(u 1 , u 2 )

u u − v

u

u 2

(v 1, v 2 )

v v 2 u + (−v)

v

u 1

v 1 u 1 ku 1

Suma vectorial

Figura 11.8

Multiplicación escalar

Sustracción de vectores


EJEMPLO 3

Operaciones con vectores

Dados v 2, 5 y w 3, 4, encontrar cada uno de los vectores.

1

a) 2v b) w v c) v 2w

Solución

1

2 v 1 22, 1 25 1, 5 2

a)

b) w v w 1 v 1 , w 2 v 2 3 2, 4 5 5, 1

c) Usando 2w 6, 8, se tiene

v 2w 2, 5 6, 8

2 6, 5 8

4, 13.

La suma de vectores y la multiplicación por un escalar comparten muchas propiedades

con la aritmética ordinaria, como se muestra en el teorema siguiente.

TEOREMA 11.1

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES

Sean u, v y w los vectores en el plano, y sean c y d escalares.

1. u v v u

Propiedad conmutativa.

2. Propiedad asociativa.

u v w u v w

3. u 0 u

Propiedad de la identidad aditiva.

4. u u 0

Propiedad del inverso aditivo.

5.

6.

cdu cdu

c du cu du

Propiedad distributiva.

7. cu v cu cv

Propiedad distributiva.

8. 1u u, 0u 0

DEMOSTRACIÓN La demostración de la propiedad asociativa de la suma de vectores utiliza

la propiedad asociativa de la suma de números reales.

u v w u 1 , u 2 v 1 , v 2 w 1 , w 2

Asimismo, la demostración de la propiedad distributiva de la multiplicación escalar

depende de la propiedad distributiva para los números reales.

c du c du 1 , u 2

u 1 v 1 , u 2 v 2 w 1 , w 2

u 1 v 1 w 1 , u 2 v 2 w 2

u 1 v 1 w 1 , u 2 v 2 w 2

u 1 , u 2 v 1 w 1 , v 2 w 2 u v w

c du 1 , c du 2

cu 1 du 1 , cu 2 du 2

cu 1 , cu 2 du 1 , du 2 cu du

Las otras propiedades pueden demostrarse de manera similar.


Cualquier conjunto de vectores (junto con un conjunto de escalares) que satisfaga las

ocho propiedades dadas en el teorema 11.1 es un espacio vectorial.* Las ocho propiedades

son los axiomas del espacio vectorial. Por tanto, este teorema establece que el conjunto

de vectores en el plano (con el conjunto de los números reales) forma un espacio vectorial.


TEOREMA 11.2

LONGITUD DE UN MÚLTIPLO ESCALAR

Sea v un vector y sea c un escalar. Entonces

c v c v .

c es el valor absoluto de c.

EMMY NOETHER (1882-1935)

La matemática alemana Emmy Noether

contribuyó a nuestro conocimiento de los

sistemas axiomáticos. Noether generalmente

se reconoce como la principal matemática de

la historia reciente.


Para más información acerca de Emmy

Noether, ver el artículo “Emmy

Noether, Greatest Woman

Mathematician” de Clark Kimberling

en The Mathematics Teacher.

DEMOSTRACIÓN

Como cv cv 1 , cv 2 , se tiene que

cv cv 1 , cv 2 cv 1 2 cv 2 2

c 2 v 12 c 2 v 2

2

c 2 v 12 v 22

c v 1 2 v 2

2

c v .

En muchas aplicaciones de los vectores, es útil encontrar un vector unitario que tenga

la misma dirección que un vector dado. El teorema siguiente da un procedimiento para

hacer esto.

TEOREMA 11.3

VECTOR UNITARIO EN LA DIRECCIÓN DE v

Si v es un vector distinto de cero en el plano, entonces el vector

u

v

v 1

v v

tiene longitud 1 y la misma dirección que v.

DEMOSTRACIÓN Como 1 v es positivo y u 1 v v, se puede concluir que u tiene la

misma dirección que v. Para ver que u 1, se observa que

u

1

v v

1

v v

1

v v

1.

Por tanto, u tiene longitud 1 y la misma dirección que v.

Al vector u del teorema 11.3 se le llama un vector unitario en la dirección de v. El proceso

de multiplicar v por para obtener un vector unitario se llama normalización de v.

1 v

* Para más información sobre espacios vectoriales, ver Elementary Linear Algebra, 6a. ed., por

Larson, Edwards y Falvo (Boston: Houghton Mifflin Company, 2009).


EJEMPLO 4

Hallar un vector unitario

y

v

Hallar un vector unitario en la dirección de v 2, 5 y verificar que tiene longitud 1.

Solución

Por el teorema 11.3, el vector unitario en la dirección de v es

v

v 2, 5

2 2 5 1

2 29 2, 5 2

29 , 5

29 .

Este vector tiene longitud 1, porque

2

29 2

5

29 2

4

29 25

29 29

29 1.

u

u + v

Desigualdad del triángulo

Figura 11.9

x

Generalmente, la longitud de la suma de dos vectores no es igual a la suma de sus longitudes.

Para ver esto, basta tomar los vectores u y v de la figura 11.9. Considerando a u

y v como dos de los lados de un triángulo, se puede ver que la longitud del tercer lado es

u v , y se tiene

u v ≤ u v .

La igualdad sólo se da si los vectores u y v tienen la misma dirección. A este resultado se

le llama la desigualdad del triángulo para vectores. (En el ejercicio 91, sección 11.3, se

pide demostrar esto.)

Vectores unitarios canónicos o estándar

A los vectores unitarios 1, 0 y 0, 1 se les llama vectores unitarios canónicos o estándar

en el plano y se denotan por

i 1, 0

y

j 0, 1

Vectores unitarios canónicos o estándar.

2

1

y

j = 〈0, 1〉

i = 〈1, 0〉

1

Vectores unitarios canónicos o estándar i y j

Figura 11.10

2

x

como se muestra en la figura 11.10. Estos vectores pueden usarse para representar

cualquier vector de manera única, como sigue.

Al vector v v 1 i v 2 j se le llama una combinación lineal de i y j. A los escalares v 1

y v 2 se les llama las componentes horizontal y vertical de v.

EJEMPLO 5

Expresar un vector como combinación lineal

de vectores unitarios

Sea u el vector con punto inicial 2, 5 y punto final 1, 3, y sea v 2i j. Expresar

cada vector como combinación lineal de i y j.

a) u b) w 2u 3v

Solución

a)

b)

v v 1 , v 2 v 1 , 0 0, v 2 v 1 1, 0 v 2 0, 1 v 1 i v 2 j

u q 1 p 1 , q 2 p 2

1 2, 3 5

3, 8 3i 8j

w 2u 3v 23i 8j 32i j

6i 16j 6i 3j

12i 19j


1

−1 cos θ

1

−1

y

u

θ

(cos θ, sen θ)

senθ

Ángulo desde el eje x positivo hasta el

vector u

Figura 11.11

x

Si u es un vector unitario y es el ángulo (medido en sentido contrario a las manecillas

del reloj) desde el eje x positivo hasta u, el punto final de u está en el círculo unitario,

y se tiene

u cos , sin sen cos i sen sin j

Vector unitario.

como se muestra en la figura 11.11. Además, cualquier vector distinto de cero v que forma

un ángulo con el eje x positivo tiene la misma dirección que u y se puede escribir

v v cos , sen sin v cos i v sen sin j.

EJEMPLO 6

Escribir un vector de magnitud y dirección dadas

El vector v tiene una magnitud de 3 y forma un ángulo de 30 6 con el eje x positivo.

Expresar v como combinación lineal de los vectores unitarios i y j.

Solución Como el ángulo entre v y el eje x positivo es se puede escribir lo

siguiente.

v v cos i v sen sin j

3 cos

6 i 3 sen sin 6 j

33

2 i 3 2 j

Aplicaciones de los vectores

6,

Los vectores tienen muchas aplicaciones en física e ingeniería. Un ejemplo es la fuerza.

Un vector puede usarse para representar fuerza porque la fuerza tiene magnitud y dirección.

Si dos o más fuerzas están actuando sobre un objeto, entonces la fuerza resultante

sobre el objeto es la suma vectorial de los vectores que representan las fuerzas.

EJEMPLO 7

Hallar la fuerza resultante

Dos botes remolcadores están empujando un barco, como se muestra en la figura 11.12.

Cada bote remolcador está ejerciendo una fuerza de 400 libras. ¿Cuál es la fuerza resultante

sobre el barco?

y

400 cos(−20°)

F −20°

2

400

F 400 1

20°

400 cos(20°)

400 sen(−20°)

400 sen(20°)

Fuerza resultante sobre el barco ejercida

por los dos remolcadores

Figura 11.12

x

Solución Usando la figura 11.12, se pueden representar las fuerzas ejercidas por el

primer y segundo botes remolcadores como

F 1 400cos 20, sen sin 20

400 cos20i 400 sen sin20j

F 2 400cos20, sen sin20

400 cos20i 400 sen sin20j.

La fuerza resultante sobre el barco es

F F 1 F 2

400 cos20i 400 sen sin20j 400 cos20i 400 sen sin20j

800 cos20i

752i.

Por tanto, la fuerza resultante sobre el barco es aproximadamente 752 libras en la dirección

del eje x positivo.


y

N

En levantamientos topográficos y en la navegación, un rumbo es una dirección que

mide el ángulo agudo que una trayectoria o línea de mira forma con una recta fija nortesur.

En la navegación aérea, los rumbos se miden en el sentido de las manecillas del reloj

en grados desde el norte.

v 1

a) Dirección sin viento

W

120°

S

E

x

EJEMPLO 8

Hallar una velocidad

Un avión viaja a una altitud fija con un factor de viento despreciable, y mantiene una

velocidad de 500 millas por hora con un rumbo de 330°, como se muestra en la figura

11.13a. Cuando alcanza cierto punto, el avión encuentra un viento con una velocidad de

70 millas por hora en dirección 45° NE (45° este del norte), como se muestra en la figura

11.13b. ¿Cuáles son la velocidad y la dirección resultantes del avión?

Solución

Usando la figura 11.13a, representar la velocidad del avión (solo) como

v 1 500 cos120i 500 sen sin120j.

y

La velocidad del viento se representa por el vector

v 2

Viento

v 1

v

W

θ

N

S

E

v 2 70 cos45i 70 sen sin45j.

La velocidad resultante del avión (en el viento) es

v v 1 v 2

500 cos120i 500 sen sin120j 70 cos45i 70 sen sin45j

200.5i 482.5j.

Para encontrar la velocidad y la dirección resultantes, escribir v v cos i sen sin j.

Como v 200.5 2 482.5 2 522.5, se puede escribir

b) Dirección con viento

Figura 11.13

x

v 522.5

200.5

522.5 i 482.5

522.5 j

522.5, cos112.6i sen

sin112.6j.

La nueva velocidad del avión, alterada por el viento, es aproximadamente 522.5 millas por hora

en una trayectoria que forma un ángulo de 112.6° con el eje x positivo.

11.1 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 4, a) dar el vector v mediante sus componentes

y b) dibujar el vector con su punto inicial en el origen.

En los ejercicios 5 a 8, hallar los vectores u y v cuyos puntos inicial

y final se dan. Mostrar que u y v son equivalentes.

1. y

2.

(5, 4)

4

3

v

2 (1, 2)

1

x

1 2 3 4 5

−1

3. y

4.

2

x

−4 −2 2 4

v

(−4, −3) (2, −3)

−6

y

4 (3, 4)

3

2

v

1

x

−1 1 2 4 5 6

−2 (3, −2)

y

4

(−1, 3)

v

2

(2, 1)

1

x

−2 −1 1 2

5. u: 3, 2 , 5, 6

6. u:

v:

7. u: 0, 3 , 6, 2

8. u:

v:

1, 4 , 3, 8

3, 10 , 9, 5

10, 13 , 25, 10

En los ejercicios 9 a 16, se dan los puntos inicial y final de un vector

v. a) Dibujar el segmento de recta dirigido dado, b) expresar

el vector mediante sus componentes, c) expresar el vector como

la combinación lineal de los vectores unitarios estándar i y j y d)

dibujar el vector con el punto inicial en el origen.

Punto Punto Punto Punto

inicial final inicial final

9. 2, 0 5, 5 10.

v:

v:

4, 6

4, 0 , 1, 8

2, 1 , 7, 7

4, 1 , 11, 4

3, 6

11. 8, 3 6, 1 12. 0, 4 5, 1


Punto Punto Punto Punto

inicial final inicial final

13. 6, 2 6, 6 14. 7, 1

15. 16.

3 2 , 4 3

En los ejercicios 17 y 18, dibujar cada uno de los múltiplos

escalares de v.

17.

v 3, 5

En los ejercicios 19 a 22, usar la figura para representar gráficamente

el vector.

y

u

1 2 , 3

a) 2v b) 3v c) d)

18. v 2, 3

1

2 v

19. u

20. 2u

21. u v

22. u 2v

2

En los ejercicios 23 y 24, hallar a) 3 u, b) v u,

y c) 2u 5v.

23. u 4, 9

24. u 3, 8

v 2, 5

v 8, 25

En los ejercicios 25 a 28, hallar el vector v donde u 2, 1 y

w 1, 2. Ilustrar geométricamente las operaciones vectoriales.

25. v 3 2 u

26. v u w

27. v u 2w

28. v 5u 3w

En los ejercicios 29 y 30 se dan el vector v y su punto inicial.

Hallar el punto final.

29. v 1, 3; punto inicial: (4, 2)

30. v 4, 9; punto inicial: (5, 3)

v

7

2 v

En los ejercicios 31 a 36, encontrar la magnitud de v.

En los ejercicios 37 a 40, hallar el vector unitario en la dirección

de v y verificar que tiene longitud 1.

x

0.12, 0.60

2

3 v

a) 4v b) c) 0v d) 6v

31. v 7i

32. v 3i

33. v 4, 3

34. v 12, 5

35. v 6i 5j

36. v 10i 3j

37. v 3, 12

38. v 5, 15

3

2, 5 2

39. v

40. v 6.2, 3.4

3, 1

0.84, 1.25

En los ejercicios 41 a 44, hallar lo siguiente.

a) u b) v c)

d)

u

u e)

v

v f )

u v

u v

u v

41. u 1, 1

42. u 0, 1

v 1, 2

v 3, 3

43. u 1, 1 2

44. u 2, 4

v 2, 3

v 5, 5

En los ejercicios 45 y 46, representar gráficamente u, v y u + v.

Después demostrar la desigualdad del triángulo usando los vectores

u y v.

v 1, 2

u 4,

45. u 2, 1, v 5, 4 46. u 3, 2,

55. u 1, u 0 56.

u 0

En los ejercicios 47 a 50, hallar el vector v de la magnitud dada

y en la misma dirección que u.

Magnitud Dirección

47. v 6 u 0, 3

48. v 4 u 1, 1

49. v 5 u 1, 2

50. v 2 u 3, 3

En los ejercicios 51 a 54, hallar las componentes de v dadas su

magnitud y el ángulo que forma con el eje x positivo.

51. v 3, 0 52. v 5, 120

53. v 2, 150 54. v 4, 3.5

En los ejercicios 55 a 58, hallar las componentes de u + v dadas

las longitudes de u y v y los ángulos que u y v forman con el eje

x positivo.

v 3, v 45 v 2, v 60

57. u 4 58. u 5, u 0.5

v 1, v 2 v 5, v 0.5


59. Explicar, con sus propias palabras, la diferencia entre un

escalar y un vector. Dar ejemplos de cada uno.

60. Describir geométricamente las operaciones de suma de vectores

y de multiplicación de un vector por un escalar.

61. Identificar la cantidad como escalar o como vector. Explicar

el razonamiento.

a) La velocidad en la boca de cañón de un arma de fuego.

b) El precio de las acciones de una empresa.

62. Identificar la cantidad como escalar o como vector. Explicar

el razonamiento.

a) La temperatura del aire en un cuarto.

b) El peso de un automóvil.


En los ejercicios 63 a 68, hallar a y b tales que v au bw,

donde u 1, 2 y w 1, 1.

63. v 2, 1

64. v 0, 3

65. v 3, 0

66. v 3, 3

67. v 1, 1

68. v 1, 7

En los ejercicios 69 a 74, hallar un vector unitario a) paralelo y

b) normal a la gráfica de f en el punto dado. Después representar

gráficamente los vectores y la función.

74.

Función

69. f x x 2

70. f x x 2 5

71. f x x 3

72. f x x 3

73. f x 25 x 2

f x tan x

Punto

En los ejercicios 75 y 76, expresar v mediante sus componentes,

dadas las magnitudes de u y de u + v y los ángulos que u y u + v

forman con el eje x positivo.

75. u 1, 45

76. u 4, 30

u v 2, 90

77. Programación Se dan las magnitudes de u y v y los ángulos

que u y v forman con el eje x positivo. Escribir un programa

para una herramienta de graficación que calcule lo siguiente.

a) u v b) u v

c) El ángulo que u v forma con el eje x positivo

d) Utilizar el programa para encontrar la magnitud y la dirección

de la resultante de los vectores indicados.

Para discusión

y

32

v

45

20°

−50°

3, 9

1, 4

1, 1

2, 8

3, 4

4 , 1

En los ejercicios 79 y 80, usar una herramienta de graficación

para encontrar la magnitud y la dirección de la resultante de los

vectores.

u

u v 6, 120

78. Los puntos inicial y final del vector v son (3, –4) y (9, 1),

respectivamente.

a) Escribir v en forma de componentes.

b) Escribir v como la combinación lineal de los vectores

unitarios estándar i y j.

c) Dibujar v con su punto inicial en el origen.

d) Encontrar la magnitud de v.

x

79. y

80.

81. Fuerza resultante Fuerzas con magnitudes de 500 libras y

200 libras actúan sobre una pieza de la máquina a ángulos de

30° y 45°, respectivamente, con el eje x (ver la figura). Hallar

la dirección y la magnitud de la fuerza resultante.

30°

−45°

110°

200 libras


82. Análisis numérico y gráfico Fuerzas con magnitudes de 180

newtons y 275 newtons actúan sobre un gancho (ver la figura).

El ángulo entre las dos fuerzas es de grados.

a) Si hallar la dirección y la magnitud de la fuerza

resultante.

b) Expresar la magnitud M y la dirección de la fuerza resultante

en funciones de , donde 0 180.

c) Usar una herramienta de graficación para completar la tabla.

30,

F 1

F 3

2.5 2

33°

3

−125°

F 2

M

500 libras

x

x

d) Usar una herramienta de graficación para representar las dos

funciones M y .

e) Explicar por qué una de las funciones disminuye cuando

aumenta mientras que la otra no.

83. Fuerza resultante Tres fuerzas de magnitudes de 75 libras,

100 libras y 125 libras actúan sobre un objeto a ángulos de 30°,

45° y 120°, respectivamente, con el eje x positivo. Hallar la

dirección y la magnitud de la fuerza resultante.

84. Fuerza resultante Tres fuerzas de magnitudes de 400 newtons,

280 newtons y 350 newtons, actúan sobre un objeto a

ángulos de 30°, 45° y 135°, respectivamente, con el eje x positivo.

Hallar la dirección y la magnitud de la fuerza resultante.

85. Para pensar Considerar dos fuerzas de la misma magnitud

que actúan sobre un punto.

a) Si la magnitud de la resultante es la suma de las magnitudes

de las dos fuerzas, hacer una conjetura acerca del ángulo

entre las fuerzas.

F 2

3

2

F 3

y

4

200°

y

140°

180 N

θ

x

−10°

F 1

275 N

0 30 60 90 120 150 180

x

774 CAPÍTULO Chapter 11 11 Vectors Vectores and y the la Geometry geometría del of Space espacio

(b) Si If la the resultante de of las the fuerzas forces es is

0, hacer make una a conjecture conjetura about acerca

the del angle ángulo between entre las the fuerzas. forces.

(c)¿Puede Can the ser magnitude la of de the la resultante be mayor greater que than la suma the sum de

las of magnitudes the magnitudes las of dos the fuerzas? two forces? Explicar Explain.

respuesta.

86. Razonamiento Graphical Reasoning gráfico Considerar two dos forces fuerzas F 1

F 1 20, 20, 0 0 andy

F 2 10 cos , sen .

(a) Hallar Find F 1 F 2 . .

(b) Determinar Determine la the magnitude of la the resultante como as a function función de of . .

Usar Use una a herramienta graphing utility de graficación to graph para the representar function la función

0 para < 02 ≤ . < 2.

(c) Usar Use la the gráfica graph en in el part inciso (b) b) to para determine determinar the el range rango of de the la

for

función. function. ¿Cuál What es is su its máximo maximum y con and qué for valor what de value se of obtiene? does

¿Cuál it occur? es su What mínimo is its y minimum con qué valor and de for what se obtiene? value of does

d) Explicar it occur? por qué la magnitud de la resultante nunca es 0.

87. Tres (d) Explain de los vértices why the de magnitude un paralelogramo of the resultant son (1, is never 2), (3, 0. 1) y

87. (8, Three 4). Hallar vertices las of tres a parallelogram posibilidades para are el 1, cuarto 2 , 3, vértice 1 , and (ver 8, 4 la.

figura). Find the three possible fourth vertices (see figure).

6

5

4

3

2

1

−4 −3−2−1 −2 −1

y

(1, 2)

(3, 1)

(8, 4)

1

2

3

4

5

6

7 8 9 10

88. Usar Use vectors vectores to para find encontrar the points los of trisection puntos de of trisección the line segment del segmento

with endpoints de recta con 1, 2puntos and terminales 7, 5 . (1, 2) y (7, 5).

Tensión Cable Tension de un cable In Exercises En los ejercicios 89 and 89 90, y use 90, usar the figure la figura to

para determine determinar the tension la tensión in each en cable cada supporting cable que sostiene the given la load. carga

dada.

89. 90.

89. 90.

1 in. 2 in.

A 50° 30° B

A

10 pulg 20 pulg

50° 30°

B

A

B

C

A

B

C

24 in.

3000 lb

24 pulg

3 000

libras

C

C

5000 lb

5 000

libras

91. Projectile Motion A gun with a muzzle velocity of 1200 feet

91. Movimiento per second is de fired un proyectil at an angle Un of 6arma above con the una horizontal. velocidad en Find la

boca the vertical de cañón and de horizontal 1 200 pies components por segundo of se the dispara velocity. a un ángulo

Shared de 6° Load sobre la To horizontal. carry a 100-pound Encontrar cylindrical las componentes weight, hori-

two

92.

zontal workers y vertical lift on the de la ends velocidad. of short ropes tied to an eyelet on the

92. Carga top center compartida of the cylinder. Para llevar One rope una pesa makes cilíndrica a 20 angle de 100 away libras,

from dos the trabajadores vertical and sostienen the other makes los extremos a 30 angle de unas (see sogas figure). cortas

(a) atadas Find each a un rope’s aro en tension el centro if de the la resultant parte superior force is del vertical. cilindro.

Una soga forma un ángulo de 20° con la vertical y la otra forma

(b) Find the vertical component of each worker’s force.

un ángulo de 30° (ver la figura).

a) Hallar la tensión de cada soga si la fuerza resultante es vertical.

b) Hallar la componente vertical de la fuerza de cada trabajador.

x

20° 30°

100 100 libras lb

WO

Figure Figura for para 92 92 Figure Figura for para 93 93

N N

S S

E E

100 100 km/hr

900 900 km/hr

32° 32° 45° 45°

93. Navigation Navegación A Un plane avión is vuela flying en with dirección a bearing 302°. of Su 302 velocidad . Its

speed con respecto with respect al aire to es the de 900 air is kilómetros 900 kilometers por hora. per El hour. viento Thea

wind la altitud at the del avión plane’s viene altitude del suroeste is from a 100 the kilómetros southwest por at 100 hora

kilometers (ver la figura). per ¿Cuál hour (see es la figure). verdadera What dirección is the true del direction avión y cuál of

the es su plane, velocidad and what respecto is its al speed suelo? with respect to the ground?

94. Navigation Navegación A Un plane avión flies vuela at a una constant velocidad groundspeed constante of de 400

miles millas per por hour hora hacia due east el este, and respecto encounters al suelo, a 50-mile-per-hour

y se encuentra

wind con un from viento the de northwest. 50 millas por Find hora the proveniente airspeed and del compass noroeste.

direction Encontrar that la velocidad will allow relativa the plane al aire to maintain y el rumbo its que groundspeed permitirán

and al avión eastward mantener direction. su velocidad respecto al suelo y su dirección

hacia el este.


statement ¿Verdadero is o true falso? or false. En los If ejercicios it is false, 95 explain a 100, why determinar or give si anla

example afirmación that es shows verdadera it is false. o falsa. Si es falsa, explicar por qué o


95. If u and v have the same magnitude and direction, then u and

95. Si y v tienen la misma magnitud y dirección, entonces u y v

v are equivalent.

son equivalentes.

96. If u is a unit vector in the direction of v, then v v u.

96. Si es un vector unitario en la dirección de v, entonces

v u.

97.

97.

If

Si

u

ai

ai

bj

bj

is

es

a

un

unit

vector

vector,

unitario,

then a 2 entonces

b 2 a

1. 2 b 2 1.

98. If Si v ai ai bj bj 0,

0, then entonces a a b.

99. If Si a b,

b, then entonces ai ai bj bj 2a.

2a.

100. If Si u

and y v tienen v have la the misma same magnitude pero but direcciones opposite directions, opuestas,

then entonces u uv v0.

0.

101. Demostrar que u (cos q)i (sen q)j y v (sen q)i (cos q)j

101. Prove that u cos i sen j and v sen i cos j

son vectores unitarios para todo ángulo q.

are unit vectors for any angle .

102. Geometría Usando vectores, demostrar que el segmento de

102. Geometry

recta que une

Using

los puntos

vectors,

medios

prove that

de dos

the

lados

line segment

de un triángulo

joining

the

es paralelo

midpoints

y mide

of two

la

sides

mitad

of

de

a

longitud,

triangle is

del

parallel

tercer

to,

lado.

and onehalf

the length of, the third side.

103. Geometría Usando vectores, demostrar que las diagonales de

103. Geometry un paralelogramo Using se vectors, cortan a prove la mitad. that the diagonals of a

104.

parallelogram

Demostrar que

bisect

el vector

each

w

other.

u v v u corta a la mitad

104. Prove el ángulo that entre the uvector y v. w u v v u bisects the angle

105. between Considerar u and el vector v. u x, y. Describir el conjunto de todos

105. Consider los puntos the x, vector y tales uque u x, y .

Describe 5. the set of all points

x, y such that u 5.

PUTNAM Preparación EXAM del CHALLENGE examen Putman

106. A coast artillery gun can fire at any angle of elevation

106. Un

between

arma

0

de

and

artillería

90 in

de

a

costa

fixed

puede

vertical

ser

plane.

disparada

If air

a

resistance

cualquier

ángulo

is neglected

de elevación

and the

entre

muzzle

0° y

velocity

90° en un

is

plano

constant

vertical

v

fijo.

0 ,

Si

determine

se desprecia

the

la

set

resistencia

H of points

del

in

aire

the

y la

plane

velocidad

and above

en la boca

the

de

horizontal

cañón es

which

constante

can be

hit.

v 0 , determinar el conjunto H de

puntos en el plano y sobre la horizontal que puede ser golpeado.

This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition.

© The Mathematical Association of America. All rights reserved.

Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Prize Competition.


SECCIÓN 11.2 Coordenadas y vectores en el espacio 775

11.2 Coordenadas y vectores en el espacio

■ Entender el sistema de coordenadas rectangulares tridimensional.

■ Analizar vectores en el espacio.

■ Utilizar vectores tridimensionales para resolver problemas de la vida real.

x

Plano xz

z

Plano xy

Plano yz

Sistema de coordenadas tridimensional

Figura 11.14

y

Coordenadas en el espacio

Hasta este punto del texto ha interesado principalmente el sistema de coordenadas

bidimensional. En buena parte de lo que resta del estudio del cálculo se emplea el sistema

de coordenadas tridimensional.

Antes de extender el concepto de vector a tres dimensiones, se debe poder identificar

puntos en el sistema de coordenadas tridimensional. Se puede construir este

sistema trazando en el origen un eje z perpendicular al eje x y al eje y. La figura 11.14

muestra la porción positiva de cada eje de coordenadas. Tomados por pares, los ejes

determinan tres planos coordenados: el plano xy, el plano xz y el plano yz. Estos

tres planos coordenados dividen el espacio tridimensional en ocho octantes. El primer

octante es en el que todas las coordenadas son positivas. En este sistema tridimensional,

un punto P en el espacio está determinado por una terna ordenada (x, y, z)

donde x, y y z son:

x distancia dirigida que va del plano yz a P

y distancia dirigida que va del plano xz a P

z distancia dirigida que va del plano xy a P

En la figura 11.15 se muestran varios puntos.

z

−8

(2, −5, 3)

−4

−2

6

5

4

3

2

1

−6

−5

−4

−3

(−2, 5, 4)

z

z

3

4

5

6

x

(3, 3, −2)

(1, 6, 0)

Los puntos en el sistema de coordenadas tridimensional se

representan por medio de ternas ordenadas

Figura 11.15

8

y

x

Sistema

dextrógiro

Figura 11.16

y

y

Sistema

levógiro

x

Un sistema de coordenadas tridimensional puede tener orientación levógira

o dextrógira. Para determinar la orientación de un sistema, se puede imaginar de pie

en el origen, con los brazos apuntando en dirección de los ejes x y y positivo y el eje

z apuntando hacia arriba, como se muestra en la figura 11.16. El sistema es dextrógiro

o levógiro dependiendo de qué mano queda apuntando a lo largo del eje x. En este

texto, se trabaja exclusivamente con el sistema dextrógiro.


z

P

d

(x 2

, y 2

, z 2

)

Q

⎜z 2

− z 1 ⎜

Muchas de las fórmulas establecidas para el sistema de coordenadas bidimensional

pueden extenderse a tres dimensiones. Por ejemplo, para encontrar la distancia entre dos

puntos en el espacio, se usa dos veces el teorema pitagórico, como se muestra en la figura

11.17. Haciendo esto, se obtiene la fórmula de la distancia entre los puntos x 1 , y 1 , z 1 y

x 2 , y 2 , z 2 .

x

(x 1

, y 1

, z 1

)

y

(x 2

, y 2

, z 1

)

d x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2

Fórmula de la distancia.

(x 2

− x 1

) 2 + (y 2

− y 1

) 2

Distancia entre dos puntos en el espacio

Figura 11.17

EJEMPLO 1 Distancia entre dos puntos en el espacio

La distancia entre los puntos 2, 1, 3 y 1, 0, 2 es

d 1 2 2 0 1 2 2 3 2

1 1 25

27

33.

Fórmula de la distancia.

z

(x, y, z)

r

(x 0

, y 0

, z 0

)

Una esfera con centro en x 0 , y 0 , z 0 y radio r está definida como el conjunto de todos

los puntos x, y, z tales que la distancia entre x, y, z y x 0 , y 0 , z 0 es r. Se puede usar la

fórmula de la distancia para encontrar la ecuación canónica o estándar de una esfera de

radio r, con centro en x 0 , y 0 , z 0 . Si x, y, z es un punto arbitrario en la esfera, la ecuación

de la esfera es

x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 r 2

Ecuación de la esfera.

x

Figura 11.18

y

como se muestra en la figura 11.18. El punto medio del segmento de recta que une a los

puntos x 1 , y 1 , z 1 y x 2 , y 2 , z 2 tiene coordenadas

x 1 x 2

2

, y 1 y 2

, z 1 z 2

2 2 .

Regla del punto medio.

EJEMPLO 2

Ecuación de una esfera

Hallar la ecuación canónica o estándar de la esfera que tiene los puntos (5, –2, 3) y

(0, 4, –3) como extremos de un diámetro.

Solución

Según la regla del punto medio, el centro de la esfera es

5 0

2 , 2 4 , 3 3

2

2 5 2 , 1, 0 .

Según la fórmula de la distancia, el radio es

r 0 5 2 2 4 1 2 3 0 2

97

4 97

2 .

Por consiguiente, la ecuación canónica o estándar de la esfera es

x 5 2 2 y 1 2 z 2 97

4 .

Regla del punto medio.

Ecuación de la esfera.


Vectores en el espacio

z

v

〈0, 0, 1〉

〈v 1

, v 2

, v 3

〉

En el espacio los vectores se denotan mediante ternas ordenadas v v 1 , v 2 , v 3 . El vector

cero se denota por 0 0, 0, 0. Usando los vectores unitarios i 1, 0, 0,

j 0, 1, 0, y k 0, 0, 1 en la dirección del eje positivo z, la notación empleando los

vectores unitarios canónicos o estándar para v es

x

〈1, 0, 0〉

i

k

j

〈0, 1, 0〉

y

v v 1 i v 2 j v 3 k

como se muestra en la figura 11.19. Si v se representa por el segmento de recta dirigido de

P p 1 , p 2 , p 3 a Qq 1 , q 2 , q 3 , como se muestra en la figura 11.20, las componentes de v se

obtienen restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final,

como sigue

v v 1 , v 2 , v 3 q 1 p 1 , q 2 p 2 , q 3 p 3

Los vectores unitarios canónicos o estándar

en el espacio

Figura 11.19

VECTORES EN EL ESPACIO

z

Q(q 1

, q 2

, q 3

)

P(p 1

, p 2

, p 3

) v

x

v = 〈q 1

− p 1

, q 2

− p 2

, q 3

− p 3

〉

Figura 11.20

y

Sean u u 1 , u 2 , u 3 y v v 1 , v 2 , v 3 vectores en el espacio y sea c un escalar.

1. Igualdad de vectores: u v si y sólo si u 1 v 1 , u 2 v 2 , y u 3 v 3 .

2. Expresión mediante las componentes: Si v se representa por el segmento de recta

dirigido de P p 1 , p 2 , p 3 a Qq 1 , q 2 , q 3 , entonces

3. Longitud:

v v 1 , v 2 , v 3 q 1 p 1 , q 2 p 2 , q 3 p 3 .

4. Vector unitario en la dirección de v:

5. Suma de vectores:

v v 12 v 22 v 3

2

v

v v 1 v 1 , v 2 , v 3 ,

v u v 1 u 1 , v 2 u 2 , v 3 u 3

6. Multiplicación por un escalar: cv cv 1 , cv 2 , cv 3

v 0

NOTA Las propiedades de la suma de vectores y de la multiplicación por un escalar dadas en el

teorema 11.1 son también válidas para vectores en el espacio.

■

EJEMPLO 3

Hallar las componentes de un vector en el espacio

Hallar las componentes y la longitud del vector v que tiene punto inicial 2, 3, 1 y punto

final 0, 4, 4. Después, hallar un vector unitario en la dirección de v.

Solución

El vector v dado mediante sus componentes es

v q 1 p 1 , q 2 p 2 , q 3 p 3 0 2, 4 3, 4 1

lo cual implica que su longitud es

v 2 2 7 2 3 2 62.

El vector unitario en la dirección de v es

u

2, 7, 3

v

v 1

62 2, 7, 3 2

62 , 7

62 , 3

62 .


y

Recordar que en la definición de la multiplicación por un escalar se vio que múltiplos

escalares positivos de un vector v distinto de cero tienen la misma dirección que v, mientras

que múltiplos negativos tienen dirección opuesta a la de v. En general, dos vectores

distintos de cero u y v son paralelos si existe algún escalar c tal que u cv.

u

u = 2v

w = −v

DEFINICIÓN DE VECTORES PARALELOS

v

w

x

Dos vectores distintos de cero u y v son paralelos si hay algún escalar c tal que

u cv.

Vectores paralelos

Figura 11.21

Por ejemplo, en la figura 11.21, los vectores u, v y w son paralelos porque u 2v y

w v.

EJEMPLO 4

Vectores paralelos

El vector w tiene punto inicial 2, 1, 3 y punto final 4, 7, 5. ¿Cuál de los vectores

siguientes es paralelo a w?

a) u 3, 4, 1

b) v 12, 16, 4

Solución Empezar expresando w mediante sus componentes.

w 4 2, 7 1, 5 3 6, 8, 2

a) Como u 3, 4, 1 1 2 6, 8, 2 1 2 w, se puede concluir que u es paralelo

a w.

b) En este caso, se quiere encontrar un escalar c tal que

x

z

P

(1, −2, 3) 4

2

(2, 1, 0)

8

6

Q

2

(4, 7, −6)

Los puntos P, Q y R están en la misma

recta

Figura 11.22

4

R

6

8

y

Como no hay un c para el cual la ecuación tenga solución, los vectores no son paralelos.

EJEMPLO 5

Uso de vectores para determinar puntos colineales

Determinar si los puntos P1, 2, 3, Q2, 1, 0, y R4, 7, 6 son colineales.

Solución Los componentes de PQ \

y PR \

son

y

12, 16, 4 c6, 8, 2.

12 6c → c 2

16

8c → c 2

4 2c → c 2

PQ \ 2 1, 1 2, 0 3 1, 3, 3

PR \ 4 1, 7 2, 6 3 3, 9, 9.

Estos dos vectores tienen un punto inicial común. Por tanto, P, Q y R están en la misma

recta si y sólo si PQ \

y PR \

son paralelos. PQ \

y PR \

son paralelos ya que PR \ 3 PQ \ , como

se muestra en la figura 11.22.


EJEMPLO 6

Notación empleando los vectores unitarios

canónicos

a) Expresar el vector v 4i 5k por medio de sus componentes.

b) Hallar el punto final del vector v 7i j 3k, dado que el punto inicial es

P2, 3, 5.

Solución

a) Como falta j, su componente es 0 y

v 4i 5k 4, 0, 5.

b) Se necesita encontrar Qq tal que v PQ \

1 , q 2 , q 3

7i j 3k. Esto implica que

q 1 2 7, q 2 3 1, y q 3 5 3. La solución de estas tres ecuaciones es

q 1 5, q 2 2, y q 3 8. Por tanto, Q es (5, 2, 8).

Aplicación

EJEMPLO 7

Magnitud de una fuerza

P (0, 0, 4)

Q 1

(0, −1, 0)

x

Figura 11.23

z

( , )

Q 3

3 −

1

, 0 2 2

( , )

Q 3 1 2 , 0 2 2

y

Una cámara de televisión de 120 libras está colocada en un trípode, como se muestra en la

figura 11.23. Representar la fuerza ejercida en cada pata del trípode como un vector.

Solución Sean los vectores F 1 , F 2 , y F 3 las fuerzas ejercidas en las tres patas. A partir de

la figura 11.23, se puede determinar que las direcciones de F 1 , F 2 , y F 3 son las siguientes.

PQ \ 1 0 0, 1 0, 0 4 0, 1, 4

PQ \ 2 3

2 0, 1 2 0, 0 4 3

2 , 1 2 , 4

PQ \ 3 3 2 0, 1 2 0, 0 4 3 2 , 1 2 , 4

Como cada pata tiene la misma longitud, y la fuerza total se distribuye igualmente entre

las tres patas, se sabe que F 1 F 2 F 3 . Por tanto, existe una constante c tal que

F 1 c0, 1, 4, y

F 2 c 3

2 , 1 2 , 4 ,

F 3 c 3 2 , 1 2 , 4 .

Sea la fuerza total ejercida por el objeto la dada por

el hecho que

F 0, 0, 120.

Entonces, usando

F F 1 F 2 F 3

se puede concluir que F 1 , F 2 , y F 3 tienen todas una componente vertical de 40. Esto

implica que c4 40 y c 10. Por tanto, las fuerzas ejercidas sobre las patas

pueden representarse por

F 1 0, 10, 40

F 2 53, 5, 40

F 3 53, 5, 40.


780 Chapter 11 Vectors and the Geometry of Space


Ejercicios

11.2 11.2 Exercises Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.


En los ejercicios 1 y 2, aproximar las coordenadas de los puntos.

In Exercises 1 and 2, approximate the coordinates of the points.

In 1. Exercises 1 zand 2, approximate 2. the coordinates z of the points.

B

1. 2.

z

5

1. 2.

z B

B

5 B

5

3

−2

4 3 2

A

4

y

−2

−2

−2

−2

4 5

3

5

4

2

4

3

−2 −3−4

3

−2 −3−4

2

−2

2

−2 −3−4

−3−4

1

2

y

A −2

x

x

1

1

2

y

A

y

A

x

2

x

En los ejercicios 3 a 6, representar los puntos en el mismo sistema

In Exercises de coordenadas

3–6, plot tridimensional.

the points on the same three-dimensional

In Exercises 3–6, plot the points the same three-dimensional

coordinate system.

coordinate 3. a) 2, 1,

system.

3 b) 1, 2, 1

3. (a) 2, 1, 3

(b)

4. 3 1, 2, 1

3. (a) 3, 2, 2, 1, 3

5 (b)

1, 2, 4, 2 2, 1

4. (a) 3, 2, 5

(b)

5. 5, 2

5, 4. (a) (b) 3 3, 2, 5

3 2, 4, 2, 2

2, 4, 2 2

5. (a) 5, 2, 2

(b)

5, 2, 2

6. 5. (a) 0, 5, 4, 2, 5 2

(b)

4, 5, 0, 2, 5 2

6. (a) 0, 4, 5

(b)

4, 0, 5

6. (a) 0, 4, 5

(b)

4, 0, 5

En los ejercicios 7 a 10, hallar las coordenadas del punto.

In Exercises 7–10, find the coordinates of the point.

In Exercises 7–10, find the coordinates of the point.

7. El punto se localiza tres unidades detrás del plano yz, cuatro

7. The point is located three units behind the yz-

plane, four units

7. unidades The point a is la located derecha three del units plano behind xz y cinco the yz-

unidades plane, four arriba units

del

to the right of the xz-

plane, and five units above the xy-

plane.

plano to the xy. right of the xz-

plane, and five units above the xy-

plane.

8. The point is located seven units in front of the yz-

plane, two

8. El The punto point se is localiza located seven siete unidades units in front delante of the del yz-

plano plane, yz, two

dos

units to the left of the xz-

plane, and one unit below the xy-

plane.

unidades units to the a left la izquierda of the xz-

plane, del plano and one xz y unit una below unidad the debajo xy-

plane.

del

9. plano The point xy. is located on the x-

axis, 12 units in front of the

9. The point is located on the x-

axis, 12 units in front of the

yz-

plane.

9. El yz-

punto plane.

se localiza en el eje x, 12 unidades delante del plano yz.

10. The point is located in the yz-

plane, three units to the right of

10. El The punto point se is localiza located en in el the plano yz-

plane, yz, tres three unidades units a to la the derecha right del of

the xz-

plane, and two units above the xy-

plane.

plano the xz-

xz plane, y dos and unidades two units arriba above del the plano xy-

plane. xy.

11. Think About It What is the z-

coordinate of any point in the

11. Para Think pensar About It ¿Cuál What es is la the coordenada z-

coordinate z de of todo any point punto in en the

el

xy-

plane?

plano xy-

plane?

xy?

12. Think About It What is the x-

coordinate of any point in the

12. Para Think pensar About It ¿Cuál What es is la the coordenada x-

coordinate x de of todo any point punto in en the

el

yz-

plane?

plano yz-

plane?

yz?

In Exercises 13–24, determine the location of a point

x, y, z

En In Exercises los ejercicios 13–24, a determine 24, determinar the location la localización of a point

de un x, punto y, z

that satisfies the condition(s).

(x, that y, satisfies z) que satisfaga the condition(s).

la(s) condición(es).

13. z 6

14.

y 2

13. z 6

14.

y 2

15. x 3

16.

z 15. x 3

16.

z 5 5 2

2

17. y < 0

18. x > 0

17. y < 0

18.

x > 0

19. 19. y y 3

20.

3

20.

x x > > 4

4

21. xy > 0, z 3 22. xy < 0,

z 4

21. xy > 0,

z 3

22.

xy < 0,

z 4

23. xyz < 0

24.

xyz > 0

23. xyz < 0

24.

xyz > 0

In Exercises 25–28, find the distance between the points.

En In Exercises los ejercicios 25–28, a find 28, the hallar distance la distancia between entre the los points.

puntos.

25.

0, 0, 0,

4, 2, 7

25.

0, 0, 0,

4, 2, 7

26.

2, 3, 2,

2, 5, 2

26.

2, 3, 2,

2, 5, 2

27.

1, 2, 4,

6, 2, 2

27.

1, 2, 4,

6, 2, 2

28.

2, 2, 3,

4, 5, 6

28.

2, 2, 3,

4, 5, 6

En los ejercicios 29 a 32, hallar las longitudes de los lados del

triángulo In Exercises con 29–32, los vértices find que the lengths se indican, of the y determinar sides of the si triangle

el triángulo

with es the un indicated triángulo vertices, rectángulo, and determine un triángulo whether isósceles, the o triangle

ningu-

In Exercises 29–32, find the lengths of the sides of the with the indicated vertices, and determine whether the triangle

na is a de right ambas triangle, cosas. an isosceles triangle, or neither.

is a right triangle, an isosceles triangle, or neither.

29.

0, 0, 4, 2, 6, 7, 6, 4, 8

29.

0, 0, 4, 2, 6, 7, 6, 4, 8

30.

3, 4, 1, 0, 6, 2, 3, 5, 6

30.

3, 4, 1, 0, 6, 2, 3, 5, 6

31.

1, 0, 2, 1, 5, 2, 3, 1, 1

31.

1, 0, 2, 1, 5, 2, 3, 1, 1

32.

4, 1, 1, 2, 0, 4, 3, 5, 1

32.

4, 1, 1, 2, 0, 4, 3, 5, 1

33. Para

Think pensar

About It El triángulo

The triangle del ejercicio

in Exercise 29 se

29 traslada

is translated

cinco

33. Think unidades About hacia It arriba The a triangle lo largo in del Exercise eje z. Determinar 29 is translated

five units upward along the z-

axis. Determine the coordinates las coordenadas

units del upward triángulo along trasladado. the z-

axis. Determine the coordinates of

the translated triangle.

the Para translated pensartriangle.

34. Think About It El triángulo

of

five The triangle del

in ejercicio

Exercise 30

30 se

is traslada

translated

tres

34. Think unidades About a la derecha It The a triangle largo in del Exercise eje y. Determinar 30 is translated

three units to the right along the

y-

axis. Determine the las

coordi-

coordenadas

units del to triángulo the right trasladado. along the

y-

axis. Determine the coordinates

of the translated triangle.

nates of the translated triangle.

En los ejercicios 35 y 36, hallar las coordenadas del punto medio

three In Exercises 35 and 36, find the coordinates of the midpoint of

In del Exercises segmento 35 de and recta 36, que find une the los coordinates puntos. of the midpoint of

the line segment joining the points.

the 35.

line

5, 9,

segment

7, 2,

joining

3, 3

the points.

36. 4, 0, 6, 8, 8, 20

35. 5, 9, 7, 2, 3, 3

36.

4, 0, 6, 8, 8, 20

35. 5, 9, 7, 2, 3, 3

36.

4, 0, 6, 8, 8, 20

En los ejercicios 37 a 40, hallar la ecuación estándar de la esfera.

In Exercises 37– 40, find the standard equation of the sphere.

In 37.

Exercises

Centro:

37–

0, 2,

40,

5

find the standard

38. Centro:

equation

4,

of

1,

the

1

sphere.

37. Center: 0, 2, 5

38. Center:

4, 1, 1

37. Center: Radio: 0, 2 2, 5

38. Center:

Radio: 4, 5

1, 1

Radius: 2 Radius: 5

39. Radius: Puntos terminales 2 de un diámetro: Radius: (2, 0, 0), 5

(0, 6, 0)

39. Endpoints of a diameter:

2, 0, 0, 0, 6, 0

39. 40. Endpoints Centro: (3, of a 2, diameter:

4), tangente 2, 0, al 0, plano 0, yz 6, 0

40. Center: 3, 2, 4,

tangent to the yz-

plane

40. En

Center:

los ejercicios

3, 2,

41

4,

a

tangent

44, completar

to the yz-plane

el cuadrado para dar la

ecuación In Exercises de la 41– esfera 44, complete en forma the canónica square to o write estándar. the equation Hallar of

el

In Exercises 41– 44, complete the square to write the equation of

centro the sphere y el radio. in standard form. Find the center and radius.

the sphere in standard form. Find the center and radius.

41.

x 41.

x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 2x 6y 8z 1 0

2 2x 6y 8z 1 0

42.

x 42.

x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 9x 2y 10z 19 0

2 9x 2y 10z 19 0

43.

9x 43.

9x 2 9y 2 9y 2 9z 2 9z 2 6x 18y 1 0

2 6x 18y 1 0

44.

4x 44.

4x 2 4y 2 4y 2 4z 2 4z 2 24x 4y 8z 23 0

2 24x 4y 8z 23 0

En In Exercises los ejercicios 45–48, a describe 48, describir the solid el sólido satisfying que satisface the condition.

la condición.

In Exercises 45–48, describe the solid satisfying the condition.

45. x 45. x 2 y

45. 2 2 z y

2 2 36 46. x z

2 36 46.

x 2 y

≤ 36 46. x 2 2 z 2 y

y 2 2 2 z

z 2 > 4

2 > 4

47.

x > 4

47.

x 2 y

47.

2 2 z y

2 2 z

2 < 4x 6y 8z 13

< 4x 6y 8z 13

48.

x < 6y 8z 13

48.

x 2 y

48. x 2 2 z 2 y

y 2 2 2 z

z 2 > 4x 6y 8z 13

2 > 4x 6y 8z 13

> 4x 6y 8z 13

In Exercises 49–52, (a) find the component form of the vector v,

In En Exercises los ejercicios 49–52, a (a) 52, find a) encontrar the component las componentes form of the del vector vector v,

(b) write the vector using standard unit vector notation, and (c) v,

(b) escribir write the el vector utilizando using standard la notación unit vector del vector notation, unitario and estándar

y c) the dibujar vector el with vector its con initial su punto point at inicial the origin.

en el origen.

(c)

sketch the vector with its initial point at the origin.

sketch 49. 50.

49. z

50.

z

6

4

2 (2, 4, 3)

(4, 0, 3)

6

4

2

v (0, 5, 1)

(4, 2, 1)

v

y

6

4

2 4 6

y

6

6

x

x


51. z

52.

2

4

6

x

6

4

2

En los ejercicios 53 a 56, hallar las componentes y la magnitud

del vector v, dados sus puntos inicial y final. Después hallar un

vector unitario en la dirección de v.

Punto inicial

53. 3, 2, 0

54. 4, 5, 2

55. 4, 3, 1

56. 1, 2, 4

(0, 3, 3)

v

(3, 3, 0)

4

Punto final

4, 1, 6

1, 7, 3

5, 3, 0

2, 4, 2

En los ejercicios 57 y 58 se indican los puntos inicial y final de un

vector v. a) Dibujar el segmento de recta dirigido, b) encontrar

las componentes del vector, c) escribir el vector usando la notación

del vector unitario estándar y d) dibujar el vector con su

punto inicial en el origen.

57. Punto inicial: 1, 2, 3 58. Punto inicial: 2, 1, 2

Punto final: 3, 3, 4

Punto final: 4, 3, 7

En los ejercicios 59 y 60, se dan el vector v y su punto inicial.

Encontrar el punto final.

59. v 3, 5, 6

60.

Punto inicial: 0, 6, 2

Punto inicial: 0, 2, 5 2

En los ejercicios 61 y 62, hallar cada uno de los múltiplos escalares

de v y representar su gráfica.

61. v 1, 2, 2

62. v 2, 2, 1

a) 2v b) v

a) v b) 2v

3

1

5

c) 2 v d) 0v

c) 2 v d) 2 v

En los ejercicios 63 a 68, encontrar el vector z, dado que u

1, 2, 3, v 2, 2, 1 y w 4, 0, 4.

12i 9k

63. z u v

64. z u v 2w

65. z 2u 4v w 66. z 5u 3v 1 2 w

67. 2z 3u w

68. 2u v w 3z 0

69. 70. z 1 2 i 2 3 j 3 4 k

En los ejercicios 69 a 72, determinar cuáles de los vectores son

paralelos a z. Usar una herramienta de graficación para confirmar

sus resultados.

a) 6, 4, 10

a) 6i 4j 9k

b) 3 , 10 3

b) i 4 3 j 3 2 k

c) 6, 4, 10

c)

d) 1, 4, 2 3

d) 4 i j 9 8 k

6

y

2

4

6

x

6

4

2

z

(2, 3, 4)

v

4

(2, 3, 0)

v 1, 2 3 , 1 2

6

y

71. z tiene el punto inicial 1, 1, 3 y el punto final 2, 3, 5.

a) 6i 8j 4k b) 4j 2k

72. z tiene el punto inicial 5, 4, 1 y el punto final 2, 4, 4.

a) 7, 6, 2

b) 14, 16, 6

En los ejercicios 73 a 76, usar vectores para determinar si los

puntos son colineales.

73. 0, 2, 5, 3, 4, 4, 2, 2, 1

74. 4, 2, 7, 2, 0, 3, 7, 3, 9

75. 1, 2, 4, 2, 5, 0, 0, 1, 5

76. 0, 0, 0, 1, 3, 2, 2, 6, 4

En los ejercicios 77 y 78, usar vectores para demostrar que los

puntos son vértices de un paralelogramo.

77. 2, 9, 1, 3, 11, 4, 0, 10, 2, 1, 12, 5

78. 1, 1, 3, 9, 1, 2, 11, 2, 9, 3, 4, 4

En los ejercicios 79 a 84, hallar la longitud de v.

79. v 0, 0, 0

80. v 1, 0, 3

81. v 3j 5k

82. v 2i 5j k

83. v i 2j 3k

84. v 4i 3j 7k

En los ejercicios 85 a 88, hallar un vector unitario a) en la dirección

de v y b) en la dirección opuesta a u.

85. v 2, 1, 2

86. v 6, 0, 8

87. v 3, 2, 5

88. v 8, 0, 0

89. Programación Se dan las componentes de los vectores u y v.

Escribir un programa para una herramienta de graficación donde

el resultado es a) las componentes de u v, b) u v,

c) u, y d) v. e) Ejecutar el programa para los vectores

u 1, 3, 4 y v 5, 4.5, 6.

Para discusión

90. Considerar dos vectores distintos de cero u y v, y sean s y t

números reales. Describir la figura geométrica generada por

los puntos finales de los tres vectores tv, u + tv y su + tv.

En los ejercicios 91 y 92, determinar los valores de c que satisfacen

la ecuación. Sea u i 2j 3k y v 2i 2j k.

91. cv 7

92. cu 4

En los ejercicios 93 a 96, encontrar el vector v con la magnitud

dada y en dirección de u.

93. 10

94. 3

3

2

Magnitud

Dirección

u 0, 3, 3

u 1, 1, 1

95.

u 2, 2, 1

96. 7 u 4, 6, 2


En los ejercicios 97 y 98, dibujar el vector v y dar sus componentes.

97. v está en el plano yz, tiene magnitud 2 y forma un ángulo de

30° con el eje y positivo.

98. v está en el plano xz, tiene magnitud 5 y forma un ángulo de

45° con el eje z positivo.

En los ejercicios 99 y 100, usar vectores para encontrar el punto

que se encuentra a dos tercios del camino de P a Q.

99. P4, 3, 0, Q1, 3, 3 100. P1, 2, 5,

Q6, 8, 2

101. Sean u i j, v j k, y w au bv.

a) Dibujar u y v.

b) Si w 0, demostrar que tanto a como b deben ser cero.

c) Hallar a y b tales que w i 2j k.

d) Probar que ninguna elección de a y b da w i 2j 3k.

102. Redacción Los puntos inicial y final del vector v son

x 1 , y 1 , z 1 y x, y, z. Describir el conjunto de todos los puntos

x, y, z tales que v 4.

c) Representar en la herramienta de graficación el modelo del

inciso a) y determinar las asíntotas de su gráfica.

d) Comprobar analíticamente las asíntotas obtenidas en el

inciso c).

e) Calcular la longitud mínima que debe tener cada cable, si un

cable está diseñado para llevar una carga máxima de 10 libras.

110. Para pensar Suponer que cada cable en el ejercicio 109 tiene

una longitud fija L a, y que el radio de cada disco es r

pulgadas. Hacer una conjetura acerca del límite lim T 0

lím y justificar

la respuesta.

r 0 →a

111. Diagonal de un cubo Hallar las componentes del vector unitario

v en la dirección de la diagonal del cubo que se muestra

en la figura.

z

L 20 25 30 35 40 45 50

T

100

z


103. Un punto en el sistema de coordenadas tridimensional

tiene las coordenadas x 0 , y 0 , z 0 . Describir qué mide cada

una de las coordenadas.

104. Dar la fórmula para la distancia entre los puntos x 1 , y 1 , z 1

y x 2 , y 2 , z 2 .

105. Dar la ecuación canónica o estándar de una esfera de radio

r, centrada en x 0 , y 0 , z 0 .

106. Dar la definición de vectores paralelos.

107. Sean A, B y C los vértices de un triángulo. Encontrar

AB \ BC \ CA \ .

108. Sean r x, y, z y r 0 1, 1, 1. Describir el conjunto de

todos los puntos x, y, z tales que r r 0 2.

109. Análisis numérico, gráfico y analítico Los focos en un auditorio

son discos de 24 libras y 18 pulgadas de radio. Cada disco

está sostenido por tres cables igualmente espaciados de L pulgadas

de longitud (ver la figura).

x


112. Cable de sujeción El cable de sujeción de una torre de 100

pies tiene una tensión de 550 libras. Usar las distancias mostradas

en la figura, y dar las componentes del vector F que represente

la tensión del cable.

113. Soportes de cargas Hallar la tensión en cada uno de los cables

de soporte mostrados en la figura si el peso de la caja es

de 500 newtons.

45 cm

65 cm

x

D

v

⏐ v ⏐ = 1

A

z

C

70 cm

y

B

60 cm

y

115 cm

D

x

−50

75

18 pies

B

6 pies

C

y

A

8 pies

10 pies

L

18 pulg

a) Expresar la tensión T de cada cable en función de L. Determinar

el dominio de la función.

b) Usar una herramienta de graficación y la función del inciso

a) para completar la tabla.


114. Construcción de edificios Un muro de hormigón es sostenido

temporalmente en posición vertical por medio de cuerdas

(ver la figura). Hallar la fuerza total ejercida sobre la clavija en

posición A. Las tensiones en AB y AC son 420 libras y 650

libras.

115. Escribir una ecuación cuya gráfica conste del conjunto de puntos

Px, y, z que distan el doble de A0, 1, 1 que de

B1, 2, 0.

SECCIÓN 11.3 El producto escalar de dos vectores 783

11.3 El producto escalar de dos vectores

■ Usar las propiedades del producto escalar de dos vectores.

■ Hallar el ángulo entre dos vectores usando el producto escalar.

■ Hallar los cosenos directores de un vector en el espacio.

■ Hallar la proyección de un vector sobre otro vector.

■ Usar los vectores para calcular el trabajo realizado por una fuerza constante.

EXPLORACIÓN

Interpretación de un producto

escalar En la figura se muestran varios

vectores en el círculo unidad.

Hallar los productos escalares de varios

pares de vectores. Después

encontrar el ángulo entre cada par

usado. Hacer una conjetura sobre la

relación entre el producto escalar de

dos vectores y el ángulo entre los

vectores.

120°

90°

60°

El producto escalar

Hasta ahora se han estudiado dos operaciones con vectores —la suma de vectores y el producto

de un vector por un escalar— cada una de las cuales da como resultado otro vector.

En esta sección se presenta una tercera operación con vectores, llamada el producto

escalar. Este producto da como resultado un escalar, y no un vector.

DEFINICIÓN DE PRODUCTO ESCALAR

El producto escalar de u u 1 , u 2 y v v 1 , v 2 es

u v u 1 v 1 u 2 v 2 .

El producto escalar de u u 1 , u 2 , u 3 y v v 1 , v 2 , v 3 es

u v u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 .

150°

180°

30°

0°

NOTA El producto escalar de dos vectores recibe este nombre debido a que da como resultado un

escalar; también se le llama producto interno de los dos vectores.

■

210°

240°

270°

300°

330°

TEOREMA 11.4 PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

Sean u, v y w vectores en el plano o en el espacio y sea c un escalar.

u v v u

1. Propiedad conmutativa.

u v w u v u w

2. Propiedad distributiva.

cu v cu v u cv

3.

4. 0 v 0

5. v v v 2

DEMOSTRACIÓN

Entonces

Para demostrar la primera propiedad, sea u u 1 , u 2 , u 3 y v v 1

, v 2

, v 3

.

u v u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3

v 1 u 1 v 2 u 2 v 3 u 3

v u.

Para la quinta propiedad, sea v v 1 , v 2 , v 3 . Entonces

2

v v v 12 v 22 v 3

2

v 12 v 22 v 3 2

v 2 .

Se dejan las demostraciones de las otras propiedades al lector.



EJEMPLO 1 Cálculo de productos escalares

EXAMPLE 1 Finding Dot Products

Dados u 2, 2, v 5, 8, y w 4, 3, encontrar

a)

Given

u

u

v

2, 2,

b) u

v

vw

5, 8, and w 4, 3, find each of the following.

a. u

c)

v

2v

b. u

d) w

2 vw

c. u 2v d. w 2

Solución

Solution

a)

a. u 2, 2 5, 8 25 28 6

v 2, 2 5, 8 25 28 6

b) b. u u

vw vw 64, 64, 3 3 24, 24, 18 18

c) c. u 2v 2v 2u 2u v v 26 26 12

12 Teorema Theorem 11.4.

d) d. w w 2 w w

4, 3 4, 3

44 44 33 33

25

Teorema Theorem 11.4.

Sustituir Substitute w4, por 4, 3 for 3w.

.

Definición Definition of del dot producto escalar.

Simplificar. Simplify.

Observar Notice that que the el resultado of part del (b) inciso is a b) vector es una quantity, cantidad whereas vectorial, the mientras results of que the los other resultados

three de parts los otros are scalar tres incisos quantities. son cantidades escalares.

■

v − u

v − u

u

u

θ

θ

Origin

Origen

The angle between two vectors

Figure El ángulo 11.24entre dos vectores

Figura 11.24

v

v

Angle Between Two Vectors

Ángulo entre dos vectores

The angle between two nonzero vectors is the angle , 0 , between their

El

respective

ángulo

standard

entre dos

position

vectores

vectors,

distintos

as shown

de cero

in

es

Figure

el ángulo

11.24.

,

The

0 ≤

next

≤

theorem

, entre sus

respectivos

shows how

vectores

to find this

en

angle

posición

using

canónica

the dot

o

product.

estándar,

(Note

como

that

se muestra

the angle

en

between

la figura

the

11.24.

El

zero

siguiente

vector and

teorema

another

muestra

vector is

cómo

not defined

encontrar

here.)

este ángulo usando el producto escalar.

(Observar que el ángulo entre el vector cero y otro vector no está definido aquí.)

THEOREM 11.5 ANGLE BETWEEN TWO VECTORS

TEOREMA 11.5 ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES

If is the angle between two nonzero vectors u and v, then

Si es el ángulo entre dos vectores distintos de cero u y v, entonces

cos u v

u

cos u v v

.

u v .

PROOF Consider the triangle determined by vectors u, v, and v u, as shown in

Figure 11.24. By the Law of Cosines, you can write

DEMOSTRACIÓN Considerar el triángulo determinado por los vectores u, v y v u, como

se muestra v u en 2 la figura u 2 11.24. v 2 Por 2u la ley v de cos los . cosenos, se puede escribir

Using

v

the

u

properties 2 u 2 of

the

v

dot 2

product,

2u v

the

cos

left

.

side can be rewritten as

v u

Usando las propiedades 2 v u

del

v u

producto escalar, el lado izquierdo puede reescribirse como

v u v v u u

v u 2 v u v u

v v u v v u u u

v u v v u u

v 2 2u v u 2

v v u v v u u u

and substitution back into the Law of Cosines yields

v 2 2u v u 2

v 2 2u v u 2 u 2 v 2 2u v cos

y sustituyendo en la

2u

ley de los cosenos se obtiene

v 2u v cos

v 2 2u v u 2 u 2 v 2 2u v cos

cos u v

2u v 2u u v v .

cos

cos

u v

u v .

■


Si el ángulo entre dos vectores es conocido, reescribiendo el teorema 11.5 en la forma

u v u v cos

Forma alternativa del producto escalar.

se obtiene una manera alternativa de calcular el producto escalar. De esta forma, se puede

ver que como u y v siempre son positivos, u v y cos siempre tendrán el mismo

signo. La figura 11.25 muestra las orientaciones posibles de los dos vectores.

u

Dirección

opuesta

θ

v

cos 1

Figura 11.25

u v < 0

u θ

v

2 < <

1 < cos < 0

u v = 0

u

θ

v

2

cos 0

u v > 0

u

θ

v

0 < < 2

0 < cos < 1

Misma

dirección

u

0

v

cos 1

De acuerdo con el teorema 11.5, se puede ver que dos vectores distintos de cero forman

un ángulo recto si y sólo si su producto escalar es cero; entonces se dice que los dos

vectores son ortogonales.

DEFINICIÓN DE VECTORES ORTOGONALES

Los vectores u y v son ortogonales si u v 0.

NOTA Los términos “perpendicular”, “ortogonal” y “normal” significan esencialmente lo mismo:

formar ángulos rectos. Sin embargo, es común decir que dos vectores son ortogonales, dos rectas o

planos son perpendiculares y que un vector es normal a una recta o plano dado.

■

De esta definición se sigue que el vector cero es ortogonal a todo vector u, ya que

0 u 0. Si 0 ≤ ≤ , entonces se sabe que cos 0 si y sólo si Por tanto,

se puede usar el teorema 11.5 para concluir que dos vectores distintos de cero son ortogonales

si y sólo si el ángulo entre ellos es 2.

2.

EJEMPLO 2

Hallar el ángulo entre dos vectores

Si u 3, 1, 2, v 4, 0, 2, w 1, 1, 2, y z 2, 0, 1, hallar el ángulo

entre cada uno de los siguientes pares de vectores.

a) u y v b) u y w c) v y z

Solución

a) cos u v

u v 12 0 4

8

1420 2145 4

70

b)

c)

Como u v < 0,

radianes.

70 2.069

cos u w

u w 3 1 4

146 0

84 0

Como u w 0, u y w son ortogonales. Así,

cos v z

v z 8 0 2 10

205 100 1

Por consiguiente,

arccos 4

.

2.

Observar que v y z son paralelos, con v 2z.


Cosenos directores

z

k

γ

α

β

v

j

y

En el caso de un vector en el plano, se ha visto que es conveniente medir su dirección en

términos del ángulo, medido en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde el eje x

positivo hasta el vector. En el espacio es más conveniente medir la dirección en términos

de los ángulos entre el vector v distinto de cero y los tres vectores unitarios i, j y k, como

se muestra en la figura 11.26. Los ángulos , y son los ángulos de dirección de v, y

cos , cos y cos son los cosenos directores de v. Como

v i v i cos v cos

i

y

x

Ángulos de dirección

Figura 11.26

v i v 1 , v 2 , v 3 1, 0, 0 v 1

se sigue que cos v 1 v. Mediante un razonamiento similar con los vectores unitarios

j y k, se tiene

cos v 1

v

es el ángulo entre v e i.

cos v 2

v

cos v 3

v .

es el ángulo entre v y j.

es el ángulo entre v y k.

Por consiguiente, cualquier vector v distinto de cero en el espacio tiene la forma normalizada

v

v v 1

v i v 2

v j v 3

v k cos i cos j cos k

y como vv es un vector unitario, se sigue que

cos 2 cos 2 cos 2 1.

EJEMPLO 3

Cálculo de los ángulos de dirección

Hallar los cosenos y los ángulos directores del vector v 2i 3j 4k, y mostrar que

cos 2 cos 2 cos 2 1.

α = ángulo entre v e i

β = ángulo entre v y j

γ = ángulo entre v y k

z

x

4

3

2

1

4

3

2

1

α

γ

1

β

Ángulos de dirección dev

Figura 11.27

v = 2i+ 3j + 4k

2

3

4

y

Solución Como v 2 2 3 2 4 2 29, se puede escribir lo siguiente.

cos v 1

v 2

29

cos v 2

v 3

29

cos v 3

v 4

29

Ángulo entre v e i.

Ángulo entre v y j.

Ángulo entre v y k.

Además, la suma de los cuadrados de los cosenos directores es

cos 2 cos 2 cos 2 4

29 9

29 16

29

Ver figura 11.27.

29

29

1.

68.2

56.1

42.0

w 1

w w 1

w 1 1 1

w 2

F

Proyecciones y componentes vectoriales


Projections and Vector Components

11.3 11.3 The 11.3 The Dot Dot Product The Product Dot of Product Two of Two Vectors of of Vectors Two Vectors 787

787

787

Ya

Projections se han visto aplicaciones

and and Vector en las

Components

que se suman dos vectores para obtener un vector resultante.

Muchas aplicaciones en la física o en la ingeniería plantean el problema inverso:

descomponer You You have have You already un already have vector seen already seen dado applications seen en la applications suma in de in which dos which in componentes in two which two vectors vectors two are vectoriales. vectors are added added are to El added to produce ejemplo produce to to a

produce físico

resultant siguiente resultant vector. permitirá vector. Many vector. Many comprender applications Many applications la utilidad in in physics physics de in in este and physics and procedimiento.

engineering and engineering pose pose the the pose reverse

reverse

the reverse

a aa

problem—decomposing Considerar problem—decomposing una lancha a given sobre a given vector una a a vector given rampa into vector into inclinada, the the sum into sum of the como two of sum two vector se of of muestra vector two components. vector la figura components. The

11.28. The

The

La following fuerza following Fphysical debida example physical a la gravedad enables example enables empuja you enables you to la see to lancha you see the to the to usefulness hacia see the abajo usefulness of this of de this la procedure.

of rampa of this y procedure. contra la

rampa. Consider Estas dos Consider a boat a fuerzas, boat on a a on an boat wan inclined on y on an an son inclined ortogonales; ramp, as as se shown les llama in in Figure las componentes 11.28. The force vecto-

F

due

1

inclined w 2 , ramp, ramp, as shown as shown in Figure in Figure 11.28. 11.28. The The force

force F

due

F due

riales to gravity to gravity de to F. to pulls gravity pulls the the pulls boat boat down

the down

boat the the down ramp ramp the and and ramp against

against

and the against the ramp. ramp. the These These ramp. two These two forces,

forces,

two w forces,

w 1

w 1 11

and

and w and are w 2 , 2 ,

are orthogonal—they are called are called the vector the vector components of of of F. F.

F 2 ,

ware 2 , orthogonal—they are called the vector components of

F.

F.

w 1 w 2 Componentes vectoriales de F.

F F w w F 11 w 22 Vector Vector components of F of of FF

1 w 2

Las fuerzas 1 w w 1 y w 2 Vector components of

F

2 ayudan a analizar el efecto de la gravedad sobre la lancha. Por ejemplo,

The The wforces representa The forces la fuerza 11

and necesaria w 22

help you para analyze impedir the que effect la lancha of of gravity se deslice on on the hacia boat. abajo For example,

1

forces w 1

wand 1 and w 2

whelp 2 help you you analyze analyze the the effect effect of gravity of gravity on on the the boat. boat. For For example,

por

la w rampa, w 1 wmientras 11 indicates the que force the force representa necessary to la keep fuerza to to the keep boat que the deben from boat rolling soportar from rolling down los the neumáticos. down ramp, the ramp, whereas

1 indicates the force necessary to keep the boat from rolling down the ramp, whereas

indicates w 22

indicates the the force force the that that force the the tires that tires must the must tires withstand.

must withstand.

w w 2

La fuerza debida a la w 2

gravedad w 2

FF

2 empuja 2 la

F

F

w 2

w 2

lancha contra la rampa y hacia abajo por

The la The force rampa force due The due to force gravity to gravity due to pulls to pulls gravity the the boat

pulls boat the the boat

Figura against the against 11.28 ramp the the and ramp down and the down ramp. the the ramp. DEFINICIÓN DEFINITIONS PROYECCIÓN

OF OF Y PROJECTION DE LAS

AND

COMPONENTES AND VECTOR VECTORIALES

against the ramp and down the ramp.

DEFINITIONS OF PROJECTION AND VECTOR COMPONENTS

COMPONENTS

Figure Figure 11.28

Figure 11.28

11.28

Let u

and u v

be vu

nonzero vv

vectors. Moreover, u let wu 1 u w 2 w , u 1 w 11 w

2 ,

1

w 2 , 2 ,

1 w 2 ,

where w 1

wis

1

wparallel 2 es parallel ortogonal parallel v

, and v, a and to v, to w vcomo v, w, and is se w 2

muestra 2 is is orthogonal en to la v, figura as to to shown v, v, as 11.29. as shown in in Figure 11.29.

2

is 2 orthogonal to v,

as shown in Figure in Figure 11.29.

11.29.

w w w 11 u u

u

v vv

1 1 u

v

u

u

largo v,

and v, de and is v, denoted v, is y and denoted se is denota is by

denoted by w por w by w

1

by 1 proj w 11 proy v u.

proj v

u. v u. v u.

1 proj v u.

2. 2. w ww 2

2 u uw 22 w 1

u 1 is called w 11 the vector of u

u

2 u w 1 is called the vector component of u

orthogonal to v. to v.

θ es agudo

θ es obtuso

is acute.

is acute. is is acute.

is obtuse

is obtuse is is obtuse

w u

u

2

w uu

uu

w

w 2 2

u

u

2

w u

u

w w 2

2

w 2

2 2 2

θ

θ θθ

θ

θ

v

θ θθ

v

θ

v

v vv

w v vv

w 1 v

w w 1

w

w 1 1 1

w w 1

1

1 1 1

w 1

proy

w 1 v

u la proyección de u en v componente vectorial de u en dirección de v

w componente proj w 1 1 v u

vectorial v u v u

projection

de of ortogonal u onto of ofuv

u a onto

vvector

vector component of u along of ofuuv

alongv

v

12

proj v u

projection of u onto v

vector component of u along v

Figura w w 2 11.29

vector w 2 2

vector component of u of ofuu orthogonal to v to to vv

2 vector component of u orthogonal to v

Figure Figure 11.29

Figure 11.29

11.29

y

y y y

(5, (5, 10) 10)

10 10

(5, 10)

(5, 10)

10 10

8

8 88

(8, 6)

(8, 6)

uu

(−3, 4) 4)

u

(−3, 4)

u

(−3, 4)

4

4 44

(4, 3)

(4, 3) (4, (4, 3) 3)

w 22

vv

w w2

2 v

2 2

v w w 2

1 1 1

2

w 1

x

−4 −4−2

−2 −4 −4 −2 −22 2 4 42 26 64 48

86 6 88

−2

−2 −2 −2

u u w wu 1

u 12

1 w

1 2 2 1

w 2

w 2

Figure Figura Figure 11.30

Figure

11.30

11.30

Sean Let u y v and Let vectores be and nonzero distintos be be nonzero vectors. de cero. vectors. Moreover, Sea Moreover, let let let donde where es paralelo where is wa 1

visy

1. 1. A 1. w 1 is se 1. called is 1. le called llama is the is called the projection la proyección the projection of of de onto onto of of en or onto the or o la the vector componente vector the component vector vectorial component of of along

de along of u of a u

along

2. A 2. 2. se le llama is is called la componente the vector vectorial component de of of u ortogonal orthogonal a v. to to v. v.

EJEMPLO 4 Hallar la componente vectorial de of u ortogonal a to v

EXAMPLE EXAMPLE 4 4Finding 4 a Finding Vector a Vector a Component Vector Component of of u Orthogonal u of u Orthogonal to to v

v to vv

Encontrar Find Find the the vector Find la vector componente the component vector component del of vector u of u 5, of de of 5, 10

u 10 that 5, that is 10 orthogonal is that que is is es orthogonal ortogonal v v 4, to a to 4, 3, v v 3, given 4, given 3, that

that dado given that

que 1

wproy 1 v

u v 8, 6 y6

and

(8, 6)

1 proj v u 8, 6

(8, w 6) 1 w 1 proj proj v u v u 8, 8, 6

6 and

and

u u 5, 5, 10 u 10 5, w 10 w 1 w 121 .

w 2 . 2 .

1 w 2 .

Solución Solution Solution Because Como u u Because u w 1 u 2 ,

donde 11 w 2 , 21

,

es where paralelo w 1 is is a parallel v, se sigue to to v, v, que it it follows w 2 es la that compo-

w 2 is is the

1 w 1 w 2 ,

wwhere 2 , where w 1

wis 1 parallel is parallel 1 to v,

to it v, follows it follows that that w 2

wis 2 the

is the 2

nente vector vector vectorial component de component uof ortogonal uof orthogonal u

of of a u

v. orthogonal Por to v.

to tanto, So, v. So, to you to se v. you v. tiene have

So, have

you have

Check to to see that w is to v, as in Verificar Check Check to que see to see

wthat that

2 es w ortogonal

w 2 is 22

is orthogonal to v, as shown in Figure 11.30. 2

is orthogonal a v, como to v,

to

se as v,

muestra shown as shown in en Figure in

la

Figure

figura 11.30. 11.30.

11.30.

■

■

■

w w 2 uw 22 w u 1 w 2 u w 1 11 5, 5, 10 10 5, 8, 10 8, 6

6 8, 6 6

3, 3, 4.

4. 3, 4.

w 1


Del ejemplo 4, se puede ver que es fácil encontrar la componente vectorial w 2 una vez

que se ha hallado la proyección w 1

de u en v. Para encontrar esta proyección, se usa el producto

escalar como establece el teorema siguiente, el cual se demuestra en el ejercicio 92.

NOTA Ver la diferencia entre los términos

“componente” y “componente

vectorial”. Por ejemplo, usando los vectores

unitarios canónicos o estándar con

u u 1 i u 2 j, u 1 es la componente de

u en la dirección de i y u 1 i es la componente

vectorial de u en la dirección i. ■

z

TEOREMA 11.6

PROYECCIÓN UTILIZANDO EL PRODUCTO ESCALAR

Si u y v son vectores distintos de cero, entonces la proyección de u en v está dada

por

proy proj

u v

v u v 2v.

La proyección de u en v puede expresarse como un múltiplo escalar de un vector unitario

en dirección de v. Es decir,

u v

v 2v u v

v v

v k v

v

k u v

v

u cos .

Al escalar k se le llama la componente de u en la dirección de v.

u

w 2

4

2

EJEMPLO 5

Descomposición de un vector

en componentes vectoriales

u = 3i − 5j + 2k

v = 7i + j − 2k

x

8

6

v

u w 1 w 2

Figura 11.31

−2

−4

w 1

2

y

Hallar la proyección de u en v y la componente vectorial de u ortogonal a v de los vectores

u 3i 5j 2k y v 7i j 2k mostrados en la figura 11.31.

Solución

La proyección de u en v es

w 1

u v

v 2v 12

14

7i j 2k

54 9 i 2 9 j 4 9 k.

La componente vectorial de u ortogonal a v es el vector

w 2 u w 1 3i 5j 2k

14

9 i 2 9 j 4 9 k 13

9 i 47

9 j 22

9 k.

EJEMPLO 6

Cálculo de una fuerza

Una lancha de 600 libras se encuentra sobre una rampa inclinada 30°, como se muestra en

la figura 11.32. ¿Qué fuerza se requiere para impedir que la lancha resbale cuesta abajo

por la rampa?

v w 1

30°

F

w 1 = proy v (F)

Figura 11.32

Solución Como la fuerza debida a la gravedad es vertical y hacia abajo, se puede representar

la fuerza de la gravedad mediante el vector F 600j. Para encontrar la fuerza

requerida para impedir que la lancha resbale por la rampa, se proyecta F en un vector unitario

v en la dirección de la rampa, como sigue.

v cos 30i sen

sin 30j 3

Vector unitario en la dirección de la rampa.

2 i 1 2 j

Por tanto, la proyección de F en v está dada por

w 1 proj

F v

proy v

F

v 2v F vv 600 1 2 v 300 3

2 i 1 2 j .

La magnitud de esta fuerza es 300, y por consiguiente se requiere una fuerza de 300 libras

para impedir que la lancha resbale por la rampa.

SECCIÓN 11.3 11.3 The El producto Dot Product escalar of de Two dos Vectors vectores 789 789

P

F

Trabajo Work = ⎜⎜= F

⎜⎜F⎜⎜⎜⎜PQ⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ PQ

a) (a) La Force fuerza acts actúa along a lo the largo line de of motion. la recta de

movimiento

P

P

F F

θ θ

proy proj PQ PQ F F

P

F

Q Q

Q Q

Trabajo Work = ⎜⎜proy = ⎜⎜proj PQ F PQ ⎜⎜⎜⎜ F⎜⎜⎜⎜PQ⎜⎜

(b) Force acts at angle with the line of motion.

b) Figure La fuerza 11.33 actúa formando un ángulo q con

la recta de movimiento

Figura 11.33

Trabajo Work

El trabajo The work W Wrealizado done by por the constant una fuerza force constante F acting Falong que actúa the line a lo of motion largo de of la an recta object de

movimiento is given by de un objeto está dado por

W magnitude of forcedistance F \

W(magnitud magnitude fuerza)(distancia)

of forcedistance F PQ

\

como as se shown muestra in Figure en la figura 11.33(a). 11.33a. If the Si constant la fuerza force constante F is not F no directed está dirigida along a the lo largo line of de

la recta motion, de movimiento, you can see from se puede Figure ver 11.33(b) en la figura that 11.33b the work que Wel done trabajo by realizado the force is W por la

fuerza es

W proj PQ

\F PQ \ cos F PQ \ F PQ \ .

W proy proj PQ

\F PQ \ cos F PQ \ F PQ \ .

This notion of work is summarized in the following definition.

Esta noción de trabajo se resume en la definición siguiente.

DEFINITION OF WORK

DEFINICIÓN DE TRABAJO

The work W done by a constant force F as its point of application moves

El trabajo along W the realizado vector PQ por \

is una given fuerza by constante either of Fthe a following. medida que su punto de aplicación

se mueve a lo largo del vector PQ \

está dado por las siguientes expresiones.

1. W proj PQ

\FPQ \ Projection form

1. W proy proj PQ

\F PQ \ En forma de proyección.

2. W F PQ \

Dot product form

2. W F PQ \

En forma de producto escalar.

EJEMPLO EXAMPLE 7 Cálculo 7 Finding de trabajo Work

12 12 pies ft

proy proj P PQ PQ FF

Q

60° 60°

F

12 12 pies ft

Figura Figure 11.34

Para To cerrar close una a sliding puerta door, corrediza, a person una pulls persona a tira rope de with una a cuerda constant con force una of fuerza 50 pounds constante at

de 50 a constant libras y angle un ángulo of 60, constante as shown de in 60°, Figure como 11.34. se muestra Find the en work la figura done 11.34. in moving Hallar theel

trabajo door realizado 12 feet to al its mover closed la position. puerta 12 pies hacia la posición en que queda cerrada.

Solución

Solution

Usando

Using

una

a projection,

proyección,

you

se

can

puede

calculate

calcular

the

el

work

trabajo

as follows.

como sigue.

W W

proy proj

proj

PQ

\F PQ

\FPQ \

Projection form for work

Forma de proyección para el trabajo.

PQ\

cos60

cos60

F

F

PQ

PQ \

\

1 1

2 5012 2 5012

300

300

foot-pounds libras-pie foot-pounds

■

11.3 11.3 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

Ejercicios

En In Exercises los ejercicios 1–8, 1 find a 8, (a) hallar u v, a) (b) uv,

u, b) (c) uu u,

2 , (d) c) u vv, d)

(u and · v)v (e) y ue)

2v. u 2v.

In Exercises 11–18, find the angle between the vectors.

En los ejercicios 11 a 18, calcular el ángulo entre los vectores.

11. u 1, 1, v 2, 2 12. u 3, 1, v 2, 1

11. u 1, 1, v 2, 2 12. u 3, 1, v 2, 1

u 2 ,

1. u 3, 4, v 1, 5 2. u 4, 10, v 2, 3

3. u 6, 4, v 3, 2 4. u 4, 8, v 7, 5

5. u 2, 3, 4, v 0, 6, 5 6. u i, v i

7. u 2i j k

8. u 2i j 2k

v i k

v i 3j 2k

En In Exercises los ejercicios 9 and 9 y 10, 10, find calcular u v. u v.

9. 9. u u 8, 8, v v 5, 5, y and el ángulo the angle entre between u y v ues

and 3. v is 3.

10. u u 40, v v 25, y and el ángulo the angle entre between u y v ues

and 56. v is 56.

13.

u 3i j,

v 2i 2i 4j

14.

u cos

3

v cos

3

6 sen

6 i sin

6 6 j

sen

3

4 i sin 3

15. u 1, 1, 1, 1 1

16.

u 3i 2j k

v 2, 2, 1, 1 1

v 2i 3j

17. u 3i 4j

18.

u 2i 3j k

v 2j 2j 3k

v i 2j k

In

En

Exercises

los ejercicios

19–26,

19

determine

a 26, determinar

whether

si

u and

u y v are

son

orthogonal,

ortogonales,

parallel,

paralelos

or

o

neither.

ninguna de las dos cosas.

19.

19.

u

4,

4,

0,

0,

v

1,

1,

1

1

u

2,

2,

18,

18,

4 j

20.

20.

v

3 2, 2 , 1 6

1 6


21. u 4, 3

22. u 3 i 2j

v

v 2i 4j

23. u j 6k

24. u 2i 3j k

v i 2j k

25. u 2, 3, 1

26. u cos , sen , 1

v 1, 1, 1

En los ejercicios 27 a 30, se dan los vértices de un triángulo. Determinar

si el triángulo es un triángulo agudo, un triángulo

obtuso o un triángulo recto. Explicar el razonamiento.

En los ejercicios 31 a 34, encontrar los cosenos directores de u y

demostrar que la suma de los cuadrados de los cosenos directores

es 1.

31. u i 2j 2k

32. u 5i 3j k

33. u 0, 6, 4

34. u a, b, c

En los ejercicios 35 a 38, encontrar los ángulos de dirección del

vector.

35. u 3i 2j 2k 36. u 4i 3j 5k

37. u 1, 5, 2

38. u 2, 6, 1

En los ejercicios 39 y 40, usar una herramienta de graficación

para encontrar la magnitud y los ángulos de dirección de la

resultante de las fuerzas F 1 y F con puntos iniciales en el origen.

39. F 1 50 lb

10, 5, 3

2

Se dan la magnitud y el punto final de cada vector.

Vector Magnitud Punto final

F 2

80 lb

12, 7, 5

40. F 1

300 N

100 N

20, 10, 5

5, 15, 0

F 2

1

2 , 2

3

27. 1, 2, 0 , 0, 0, 0 , 2, 1, 0

28. 3, 0, 0 , 0, 0, 0 , 1, 2, 3

29. 2, 0, 1 , 0, 1, 2), 0.5, 1.5, 0

30. 2, 7, 3 , 1, 5, 8 , 4, 6, 1

41. Cables que soportan una carga Una carga es soportada por

tres cables, como se muestra en la figura. Calcular los ángulos

de dirección del cable de soporte OA.

(−4, −6, 10)

B

(4, −6, 10)

C

x

O

z

300 libras

(0, 10, 10)

A

42. Cables que soportan una carga La tensión en el cable OA del

ejercicio 41 es 200 newtons. Determinar el peso de la carga.

y

1

v 2i j k

v sen , cos , 0

En los ejercicios 43 a 50, a) encontrar la proyección de u sobre v

y b) encontrar la componente del vector de u ortogonal a v.

43. u 6, 7 , v 1, 4

44. u 9, 7 , v 1, 3

45. u 2i 3j, v 5i j

46. u 2i 3j, v 3i 2j

47. u 0, 3, 3 , v 1, 1, 1

48. u 8, 2, 0 , v 2, 1, 1

49. u 2i j 2k, v 3j 4k

50. u i 4k, v 3i 2k


51. Definir el producto escalar de los vectores u y v.

52. Dar la definición de vectores ortogonales. Si los vectores no

son paralelos ni ortogonales, ¿cómo se encuentra el ángulo

entre ellos? Explicar.

53. Determinar cuál de las siguientes expresiones están definidas

para vectores distintos de cero u, v y w. Explicar el razonamiento.

a) u v w b) u vw

c) u v w d) u v w

54. Describir los cosenos directores y los ángulos de dirección de

un vector v.

55. Dar una descripción geométrica de la proyección de u en v.

56. ¿Qué puede decirse sobre los vectores u y v si a) la proyección

de u en v es igual a u y b) la proyección de u en v es

igual a 0?

57. ¿Si la proyección de u en v tiene la misma magnitud que la

proyección de v en u, ¿se puede concluir que u v?

Explicar.

Para discusión

58. ¿Qué se sabe acerca de , el ángulo entre dos vectores distintos

de cero u y v, si

a) u v 0? b) u v > 0? c) u v < 0?

59. Ingresos El vector u 3 240, 1 450, 2 235 da el número de

hamburguesas, bocadillos de pollo y hamburguesas con queso,

respectivamente, vendidos en una semana en un restaurante de

comida rápida. El vector v 1.35, 2.65, 1.85 da los precios (en

dólares) por unidad de los tres artículos alimenticios. Encontrar el

producto escalar u · v y explicar qué información proporciona.

60. Ingresos Repita el ejercicio 59 después de incrementar los

precios 4%. Identificar la operación vectorial usada para incrementar

los precios 4%.

61. Programación Dados los vectores u y v mediante sus componentes,

escribir un programa para una herramienta de graficación

que calcule a) u, b) v, y c) ángulo entre u y v.

62. Programación Con el programa escrito en el ejercicio 61

encontrar el ángulo entre los vectores u 8, 4, 2 y

v 2, 5, 2.


63. Programación Dados los vectores y mediante sus componentes,

escribir un programa para herramienta de graficación

que calcule las componentes de la proyección de

en

64. Programación Usar el programa escrito en el ejercicio 63

para encontrar la proyección de en si y

Para pensar

En los ejercicios 65 y 66, usar la figura para determinar

mentalmente la proyección de u en v (se dan las coordenadas

de los puntos finales de los vectores en la posición estándar).

Verificar los resultados analíticamente.

En los ejercicios 67 a 70, encontrar dos vectores en direcciones

opuestas que sean ortogonales al vector u. (Las respuestas no son

únicas.)

71. Fuerza de frenado Un camión de 48 000 libras está estacionado

sobre una pendiente de 10° (ver la figura). Si se supone

que la única fuerza a vencer es la de la gravedad, hallar a) la

fuerza requerida para evitar que el camión ruede cuesta abajo y

b) la fuerza perpendicular a la pendiente.


72. Cables que soportan una carga Calcular la magnitud de la

proyección del cable OA en el eje z positivo como se muestra en

la figura.

73. Trabajo Un objeto es jalado 10 pies por el suelo, usando una

fuerza de 85 libras. La dirección de la fuerza es 60° sobre la horizontal

(ver la figura). Calcular el trabajo realizado.


74. Trabajo Un coche de juguete se jala ejerciendo una fuerza de

25 libras sobre una manivela que forma un ángulo de 20° con la

horizontal (ver la figura). Calcular el trabajo realizado al jalar el

coche 50 pies.

75. Trabajo Un carro se remolca usando una fuerza de 1 600 newtons.

La cadena que se usa para jalar el carro forma un ángulo de

25° con la horizontal. Encontrar el trabajo que se realiza al

remolcar el carro 2 kilómetros.

76. Trabajo Se tira de un trineo ejerciendo una fuerza de 100 newtons

en una cuerda que hace un ángulo de 25° con la horizontal.

Encontrar el trabajo efectuado al jalar el trineo 40 metros.

¿Verdadero o falso?

En los ejercicios 77 y 78, determinar si la

declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o


77. Si y entonces

78. Si y son ortogonales a entonces es ortogonal a

79. Encontrar el ángulo entre la diagonal de un cubo y una de sus

aristas.

80. Encontrar el ángulo entre la diagonal de un cubo y la diagonal

de uno de sus lados.

En los ejercicios 81 a 84, a) encontrar todos los puntos de intersección

de las gráficas de las dos ecuaciones; b) encontrar los

vectores unitarios tangentes a cada curva en los puntos de intersección

y c) hallar los ángulos (0° £ q £ 90°) entre las curvas en

sus puntos de intersección.

81.

82.

83.

84.

85. Usar vectores para demostrar que las diagonales de un rombo

son perpendiculares.

86. Usar vectores para demostrar que un paralelogramo es un rectángulo

si y sólo si sus diagonales son iguales en longitud.

87. Ángulo de enlace Considerar un tetraedro regular con los vértices

(k, 0, k) y donde es un número

real positivo.

a) Dibujar la gráfica del tetraedro.

b) Hallar la longitud de cada arista.

c) Hallar el ángulo entre cada dos aristas.

d) Hallar el ángulo entre los segmentos de recta desde el centroide

a dos de los vértices. Éste es el ángulo

de enlace en una molécula como o cuya estructura

es un tetraedro.

88. Considerar los vectores y

donde a > b. Calcular el producto escalar de los vectores

y usar el resultado para demostrar la identidad

89. Demostrar que

90. Demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz

91. Demostrar la desigualdad del triángulo

92. Demostrar el teorema 11.6.

u v ≤ u v.

u v 2 u 2 v 2 2u v.

63. Programming Given vectors and in component form,

write a program for a graphing utility in which the output is the

component form of the projection of

onto

64. Programming Use the program you wrote in Exercise 63 to

find the projection of onto for and

Think About It

In Exercises 65 and 66, use the figure to

determine mentally the projection of onto (The coordinates

of the terminal points of the vectors in standard position are

given.) Verify your results analytically.

65. 66.

In Exercises 67–70, find two vectors in opposite directions that

are orthogonal to the vector

(The answers are not unique.)

67. 68.

69. 70.

71. Braking Load A 48,000-pound truck is parked on a slope

(see figure). Assume the only force to overcome is that due to

gravity. Find (a) the force required to keep the truck from

rolling down the hill and (b) the force perpendicular to the hill.


72. Load-Supporting Cables Find the magnitude of the projection

of the load-supporting cable onto the positive axis as

shown in the figure.

73. Work An object is pulled 10 feet across a floor, using a force

of 85 pounds. The direction of the force is

above the

horizontal (see figure). Find the work done.


74. Work A toy wagon is pulled by exerting a force of 25 pounds

on a handle that makes a

angle with the horizontal (see

figure in left column). Find the work done in pulling the wagon

50 feet.

75. Work A car is towed using a force of 1600 newtons. The

chain used to pull the car makes a

angle with the horizontal.

Find the work done in towing the car 2 kilometers.

76. Work A sled is pulled by exerting a force of 100 newtons on

a rope that makes a

angle with the horizontal. Find the work

done in pulling the sled 40 meters.

True or False?

In Exercises 77 and 78, determine whether the



77. If and then

78. If and are orthogonal to then is orthogonal to

79. Find the angle between a cube’s diagonal and one of its edges.

80. Find the angle between the diagonal of a cube and the diagonal

of one of its sides.

In Exercises 81–84, (a) find all points of intersection of the

graphs of the two equations, (b) find the unit tangent vectors to

each curve at their points of intersection, and (c) find the angles

between the curves at their points of intersection.

81.

82.

83.

84.

85. Use vectors to prove that the diagonals of a rhombus are

perpendicular.

86. Use vectors to prove that a parallelogram is a rectangle if and

only if its diagonals are equal in length.

87. Bond Angle Consider a regular tetrahedron with vertices

and where is a positive

real number.

(a) Sketch the graph of the tetrahedron.

(b) Find the length of each edge.

(c) Find the angle between any two edges.

(d) Find the angle between the line segments from the centroid

to two vertices. This is the bond angle for a

molecule such as or where the structure of the

molecule is a tetrahedron.

88. Consider the vectors and

where

Find the dot product of the

vectors and use the result to prove the identity

89. Prove that

90. Prove the Cauchy-Schwarz Inequality

91. Prove the triangle inequality

92. Prove Theorem 11.6.

u v u v .

u v u v .

u v 2 u 2 v 2 2u v.

cos cos cos sen sen

.

> .

v cos , sen , 0 ,

u cos , sen , 0

PbCl 4 ,

CH 4

k 2, k 2, k 2

k

0, k, k ,

k, 0, k ,

k, k, 0 ,

0, 0, 0 ,

y x 3 1

y 1 2 x,

y x 2 1

y 1 x 2 ,

y x 13

y x 3 ,

y x 13

y x 2 ,

0 90

w.

u

v

w,

v

u

v w.

u 0,

u v u w

25

25

20

20°

60°

10 ft

85 lb

Not drawn to scale

60

z-

OA

(−5, −5, 20)

(10, 5, 20)

y

x

z

1000 kg

A

B

C

O

(5, −5, 20)

Weight = 48,000 lb

10°

10

u 4, 3, 6

u 3, 1, 2

u 9i 4j

u

1

4 i

3

2 j

u.

(4, 6)

(3, −2)

u

v

y

−2 4 6

−2

2

4

6

−4 2 4 6

2

4

6

(−2, −3)

(4, 6)

u

v

y

v.

u

v 1, 3, 4 .

u 5, 6, 2

v

u

v.

u

v

u

11.3 The Dot Product of Two Vectors 791




onto



Think About It





65. 66.




67. 68.

69. 70.











above the







50 feet.






a rope that makes a



True or False?




77. If and then









81.

82.

83.

84.


perpendicular.





real number.









where



89. Prove that




u v u v .

u v u v .

u v 2 u 2 v 2 2u v.

cos cos cos sen sen

.

> .

v cos , sen , 0 ,

u cos , sen , 0

PbCl 4 ,

CH 4

k 2, k 2, k 2

k

0, k, k ,

k, 0, k ,

k, k, 0 ,

0, 0, 0 ,

y x 3 1

y 1 2 x,

y x 2 1

y 1 x 2 ,

y x 13

y x 3 ,

y x 13

y x 2 ,

0 90

w.

u

v

w,

v

u

v w.

u 0,

u v u w

25

25

20

20°

60°

10 ft

85 lb

Not drawn to scale

60

z-

OA

(−5, −5, 20)

(10, 5, 20)

y

x

z

1000 kg

A

B

C

O

(5, −5, 20)

Weight = 48,000 lb

10°

10

u 4, 3, 6

u 3, 1, 2

u 9i 4j

u

1

4 i

3

2 j

u.

(4, 6)

(3, −2)

u

v

y

−2 4 6

−2

2

4

6

−4 2 4 6

2

4

6

(−2, −3)

(4, 6)

u

v

y

v.

u

v 1, 3, 4 .

u 5, 6, 2

v

u

v.

u

v

u





onto



Think About It





65. 66.




67. 68.

69. 70.











above the



74. Work A toy wagon is pul


figure in left column). Find

50 feet.

75. Work A car is towed us

chain used to pull the car m

Find the work done in towi

76. Work A sled is pulled by

a rope that makes a

ang

done in pulling the sled 40

True or False?

In Exercises

statement is true or false. If


77. If and

78. If and are orthogonal to

79. Find the angle between a c

80. Find the angle between the


In Exercises 81–84, (a) find

graphs of the two equations, (

each curve at their points of in

between the cu

81.

82.

83.

84.

85. Use vectors to prove tha

perpendicular.

86. Use vectors to prove that a

only if its diagonals are eq

87. Bond Angle Consider a

real number.

(a) Sketch the graph of the

(b) Find the length of each

(c) Find the angle between

(d) Find the angle between

to two

molecule such as

molecule is a tetrahedr

88. Consider the vecto

wher

vectors and use the result t

89. Prove that

90. Prove the Cauchy-Schwar

91. Prove the triangle inequalit


u v 2 u

cos cos cos

v cos , sen , 0 ,

CH 4

k 2, k 2, k 2

k, 0, k ,

k, k, 0 ,

0, 0, 0 ,

y x 3

y 1 2 x,

y x 2 1

y 1 x 2 ,

y x 1 3

y x 3 ,

y x 13

y x 2 ,

0 90

v

u

u

u v u w

25

20°

60°

10 ft

85 lb

Not drawn to scale

60

z-

OA

(−5, −5, 20)

(10, 5, 20)

y

x

z

1000 kg

A

B

C

O

(5, −5, 20)

Weight = 48,000 lb

10°

10

u 4, 3, 6

u 3, 1, 2

u 9i 4j

u

1

4 i

3

2 j

u.

(4, 6)

(3, −2)

u

v

y

−2 4 6

−2

2

4

6

−4 2 4 6

2

4

6

(−2, −3)

(4, 6)

u

v

y

v.

u

v 1, 3, 4 .

u 5, 6, 2

v

u

v.

u

v

u

11.3 The Dot P




onto



Think About It





65. 66.




67. 68.

69. 70.











above the







50 feet.






a rope that makes a



True or False?




77. If and then









81.

82.

83.

84.


perpendicular.





real number.









where



89. Prove that




u v u v .

u v u v .

u v 2 u 2 v 2 2u v.

cos cos cos sen sen

.

> .

v cos , sen , 0 ,

u cos , sen , 0

PbCl 4 ,

CH 4

k 2, k 2, k 2

k

0, k, k ,

k, 0, k ,

k, k, 0 ,

0, 0, 0 ,

y x 3 1

y 1 2 x,

y x 2 1

y 1 x 2 ,

y x 13

y x 3 ,

y x 13

y x 2 ,

0 90

w.

u

v

w,

v

u

v w.

u 0,

u v u w

25

25

20

20°

60°

10 ft

85 lb

Not drawn to scale

60

z-

OA

(−5, −5, 20)

(10, 5, 20)

y

x

z

1000 kg

A

B

C

O

(5, −5, 20)

Weight = 48,000 lb

10°

10

u 4, 3, 6

u 3, 1, 2

u 9i 4j

u

1

4 i

3

2 j

u.

(4, 6)

(3, −2)

u

v

y

−2 4 6

−2

2

4

6

−4 2 4 6

2

4

6

(−2, −3)

(4, 6)

u

v

y

v.

u

v 1, 3, 4 .

u 5, 6, 2

v

u

v.

u

v

u


PbCl 4 ,

CH 4

k2, k2, k2

k

0, k, k,

k, k, 0,

0, 0, 0,

y x 3 1

y 1 2 x,

y x 2 1

y 1 x 2 ,

y x 13

y x 3 ,

y x 13

y x 2 ,

w.

u v

w,

v

u

v w.

u 0,

u v u w

20°

60°

10 pies

85 libras


(−5, −5, 20)

(10, 5, 20)

y

x

z

1 000 kg

A

B

C

O

(5, −5, 20)

Peso = 48 000 libras

10°

v 1, 3, 4.

u 5, 6, 2

v

u

v.

u

v

u




onto



Think About It





65. 66.




67. 68.

69. 70.











above the







50 feet.






a rope that makes a



True or False?




77. If and then









81.

82.

83.

84.


perpendicular.





real number.









where



89. Prove that




u v u v .

u v u v .

u v 2 u 2 v 2 2u v.

cos cos cos sen sen

.

> .

v cos , sen , 0 ,

u cos , sen , 0

PbCl 4 ,

CH 4

k 2, k 2, k 2

k

0, k, k ,

k, 0, k ,

k, k, 0 ,

0, 0, 0 ,

y x 3 1

y 1 2 x,

y x 2 1

y 1 x 2 ,

y x 13

y x 3 ,

y x 13

y x 2 ,

0 90

w.

u

v

w,

v

u

v w.

u 0,

u v u w

25

25

20

20°

60°

10 ft

85 lb

Not drawn to scale

60

z-

OA

(−5, −5, 20)

(10, 5, 20)

y

x

z

1000 kg

A

B

C

O

(5, −5, 20)

Weight = 48,000 lb

10°

10

u 4, 3, 6

u 3, 1, 2

u 9i 4j

u

1

4 i

3

2 j

u.

(4, 6)

(3, −2)

u

v

x

y

−2 4 6

−2

2

4

6

−4 2 4 6

2

4

6

(−2, −3)

(4, 6)

u

v

x

y

v.

u

v 1, 3, 4 .

u 5, 6, 2

v

u

v.

u

v

u





onto



Think About It





65. 66.




67. 68.

69. 70.











above the







50 feet.






a rope that makes a



True or False?




77. If and then









81.

82.

83.

84.


perpendicular.





real number.









where



89. Prove that




u v u v .

u v u v .

u v 2 u 2 v 2 2u v.

cos cos cos sen sen

.

> .

v cos , sen , 0 ,

u cos , sen , 0

PbCl 4 ,

CH 4

k 2, k 2, k 2

k

0, k, k ,

k, 0, k ,

k, k, 0 ,

0, 0, 0 ,

y x 3 1

y 1 2 x,

y x 2 1

y 1 x 2 ,

y x 1 3

y x 3 ,

y x 1 3

y x 2 ,

0 90

w.

u

v

w,

v

u

v w.

u 0,

u v u w

25

25

20

20°

60°

10 ft

85 lb

Not drawn to scale

60

z-

OA

(−5, −5, 20)

(10, 5, 20)

y

x

z

1000 kg

A

B

C

O

(5, −5, 20)

Weight = 48,000 lb

10°

10

u 4, 3, 6

u 3, 1, 2

u 9i 4j

u

1

4 i 3

2 j u.

(4, 6)

(3, −2)

u

v

y

−2 4 6

−2

2

4

6

−4 2 4 6

2

4

6

(−2, −3)

(4, 6)

u

v

y

v.

u

v 1, 3, 4 .

u 5, 6, 2

v

u

v.

u

v

u


n vectors and in component form,

graphing utility in which the output is the

he projection of

onto

the program you wrote in Exercise 63 to

of onto for and

ercises 65 and 66, use the figure to

projection of onto (The coordinates

f the vectors in standard position are

ts analytically.

66.

two vectors in opposite directions that

ctor


68.

70.

,000-pound truck is parked on a

slope

the only force to overcome is that due to

force required to keep the truck from

and (b) the force perpendicular to the hill.

Figure for 72

bles

Find the magnitude of the projection

ng cable onto the positive axis as

pulled 10 feet across a floor, using a force

direction of the force is

above the

). Find the work done.

Figure for 74





50 feet.






a rope that makes a



True or False?




77. If and then









81.

82.

83.

84.


perpendicular.





real number.









where



89. Prove that




u v u v .

u v u v .

u v 2 u 2 v 2 2u v.

cos cos cos sen sen

.

> .

v cos , sen , 0 ,

u cos , sen , 0

PbCl 4 ,

CH 4

k 2, k 2, k 2

k

0, k, k ,

k, 0, k ,

k, k, 0 ,

0, 0, 0 ,

y x 3 1

y 1 2 x,

y x 2 1

y 1 x 2 ,

y x 13

y x 3 ,

y x 13

y x 2 ,

0 90

w.

u

v

w,

v

u

v w.

u 0,

u v u w

25

25

20

20°

scale

60

z-

OA

(−5, −5, 20)

(10, 5, 20)

y

x

z

1000 kg

A

B

C

O

(5, −5, 20)

0 lb

10

u 4, 3, 6

u 9i 4j

u.

(4, 6)

(3, −2)

u

v

y

−2 4 6

−2

2

4

6

v.

u

u 5, 6, 2

v

u

v.

u

v

u



11.4 El producto vectorial de dos vectores en el espacio

■ Hallar el producto vectorial de dos vectores en el espacio.

■ Usar el producto escalar triple de tres vectores en el espacio.

El producto vectorial

EXPLORACIÓN

Propiedad geométrica del producto

vectorial Se muestran abajo tres

pares de vectores. Usar la definición

para encontrar el producto vectorial

de cada par. Dibujar los tres

vectores en un sistema tridimensional.

Describir toda relación entre

los tres vectores. Usar la descripción

para escribir una conjetura

acerca de u, v y u v.

a)

u 3, 0, 3, v 3, 0, 3

z

En muchas aplicaciones en física, ingeniería y geometría hay que encontrar un vector en

el espacio ortogonal a dos vectores dados. En esta sección se estudia un producto que da

como resultado ese vector. Se llama producto vectorial y se define y calcula de manera

más adecuada utilizando los vectores unitarios canónicos o estándar. El producto vectorial

debe su nombre a que da como resultado un vector. Al producto vectorial también se le

suele llamar producto cruz.

DEFINICIÓN DE PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES EN EL ESPACIO

Sean u u 1 i u 2 j u 3 k y v v 1 i v 2 j v 3 k vectores en el espacio. El producto

cruz de u y v es el vector

u v u 2 v 3 u 3 v 2 i u 1 v 3 u 3 v 1 j u 1 v 2 u 2 v 1 k.

b)

c)

−3

3

x

u 0, 3, 3, v 0, 3, 3

−3 −2

v

1

2

3

−2

x

−3

u 3, 3, 0, v 3, 3, 0

−3 −2

v

2

x

3

2

u 1

1

−3

v

3

2

z

−3

−2

1 2 3

−3

−2

u

1 2 3

3

2

1

−3

z

−3

−2

y

y

1 2

u 3

y

NOTA Asegurarse de ver que esta definición sólo aplica a vectores tridimensionales. El producto

vectorial no está definido para vectores bidimensionales.

■

Una manera adecuada para calcular u v es usar determinantes con expansión de

cofactores. (Esta forma empleando determinantes 3 3 se usa sólo para ayudar a recordar

la fórmula del producto vectorial, pero técnicamente no es un determinante porque las

entradas de la matriz correspondiente no son todas números reales.)

i j k

u v u Put Poner “ u“u” ” in en Row la fila 2. 2.

Put Poner “ v” “v” in en Row la fila 3. 3.

1 u 2 u 3

v 1 v 2 v 3

i j k i j k i j k

u 1 u 2 u i 3 u 1

u 2 u j 3 u 1 u 2 u k 3

v

1 v 2 v

u 2 u 3

3

v

v 2 v i

1 v u 1 u 3

2 v

3 v 1 v j

3

v u 1 u 2

1 v 2 v 3

3 v 1 v k

2

u 2 v 3 u 3 v 2 i u 1 v 3 u 3 v 1 j u 1 v 2 u 2 v 1 k

Notar el signo menos delante de la componente j. Cada uno de los tres determinantes

2 2 se pueden evaluar usando el modelo diagonal siguiente.

y g

a b

d

ad bc

c

Aquí están un par de ejemplos.

2 4

21 43 2 12 14

3 1

4 0

43 06 12

6

3

SECCIÓN 11.4 El producto vectorial de dos vectores en el espacio 793

NOTACIÓN PARA LOS PRODUCTOS ESCALAR

Y VECTORIAL

La notación para el producto escalar y para

el producto vectorial la introdujo el físico

estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-

1903). A comienzos de la década de 1880,

Gibbs construyó un sistema para representar

cantidades físicas llamado “análisis vectorial”.

El sistema fue una variante de la

teoría de los cuaterniones de Hamilton.

EJEMPLO 1

Hallar el producto vectorial

Dados u i 2j k y v 3i j 2k, hallar cada uno de los siguientes productos

vectoriales.

a) u v b) v u c) v v

Solución

a) u v

b)

v u

i

1

3

i

3

1

j

2

1

j

1

2

k

1

2

2 1

3i 5j 7k

1 1

1 2

2

i 3 1

2

1

j 3 1

1 4i 3 2j 6 1k

k

2

1

2 i 1 3

4 1i 2 3j 1 6k

3i 5j 7k

1

2 j 1 3

2

1 k

1

2 k

c)

Notar que este resultado es el negativo del obtenido en el inciso a).

i j k

v v 3 1

0

3 1 2

Los resultados obtenidos en el ejemplo 1 sugieren algunas propiedades algebraicas

interesantes del producto vectorial. Por ejemplo, u v v u, y v v 0. Estas

propiedades, y algunas otras, se presentan en forma resumida en el teorema siguiente.

TEOREMA 11.7

PROPIEDADES ALGEBRAICAS DEL PRODUCTO VECTORIAL

Sean u, v y w vectores en el espacio, y sea c un escalar.

1. u v v u

2. u v w u v u w

3. cu v cu v u cv

4. u 0 0 u 0

5. u u 0

6. u v w u v w

DEMOSTRACIÓN Para demostrar la propiedad 1, sean u u 1 i u 2 j u 3 k y v = v 1

i +

v 2

j + v 3

k. Entonces,

y

u v u 2 v 3 u 3 v 2 i u 1 v 3 u 3 v 1 j u 1 v 2 u 2 v 1 k

v u v 2 u 3 v 3 u 2 i v 1 u 3 v 3 u 1 j v 1 u 2 v 2 u 1 k

la cual implica que u v v u. Las demostraciones de las propiedades 2, 3, 5 y 6

se dejan como ejercicios (ver ejercicios 59 a 62).


Observar que la propiedad 1 del teorema 11.7 indica que el producto vectorial no es conmutativo.

En particular, esta propiedad indica que los vectores u v y v u tienen longitudes

iguales pero direcciones opuestas. El teorema siguiente da una lista de algunas otras de

las propiedades geométricas del producto vectorial de dos vectores.

NOTA De las propiedades 1 y 2

presentadas en el teorema 11.8 se

TEOREMA 11.8 PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DEL PRODUCTO VECTORIAL

desprende que si n es un vector unitario

Sean u y v vectores distintos de cero en el espacio, y sea el ángulo entre u y v.

ortogonal a u y a v, entonces

1. u v es ortogonal tanto a u como a v.

u v ± u vsen

sinn. ■

2.

3.

u v u v sen sin

u v 0 si y sólo si u y v son múltiplos escalares uno de otro.

4. u v área del paralelogramo que tiene u y v como lados adyacentes.

v

θ

⎜⎜ v ⎜⎜ sen θ

u

Los vectores u y v son los lados adyacentes

de un paralelogramo

Figura 11.35

DEMOSTRACIÓN

sigue que

Para la propiedad 2, observar que como

u v sen sin u v1 cos 2

u v

u v2

1

u 2 v 2

u 2 v 2 u v 2

u 12 u 22 u 32 v 12 v 22 v 32 u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 2

u 2 v 3 u 3 v 2 ) 2 u 1 v 3 u 3 v 1 2 u 1 v 2 u 2 v 1 2

u v.

cos u vu v,

Para demostrar la propiedad 4, ir a la figura 11.35 que es un paralelogramo que tiene

u como lados adyacentes. Como la altura del paralelogramo es v sen sin , el área es

Área = (base)(altura)

= u v sen θ

= u×

v .

se

v y

Las demostraciones de las propiedades 1 y 3 se dejan como ejercicios (ver ejercicios 63

y 64).

Tanto u v como v u son perpendiculares al plano determinado por u y v. Una

manera de recordar las orientaciones de los vectores u, v, y u v es compararlos con los

vectores unitarios i, j y k i j, como se muestra en la figura 11.36. Los tres vectores u,

v y u v forman un sistema dextrógiro, mientras que los tres vectores u, v y v u forman

un sistema levógiro.

k = i × j

u × v

j

v

i

Plano xy

u

Plano determinado

por u y v

Sistemas dextrógiros

Figura 11.36


EJEMPLO 2

Utilización del producto vectorial

z

(−3, 2, 11)

Hallar un vector unitario que es ortogonal tanto a

12

u i 4j k

como a

v 2i 3j.

(1, −4, 1)

x

4

u

2

10

8

6

4

2

u × v

−4

2

(2, 3, 0)

El vector u v es ortogonal tanto a u

como a v

Figura 11.37

v

4

y

Solución El producto vectorial u v, como se muestra en la figura 11.37, es ortogonal

tanto a u como a v.

0

i j k

u v 1 4 1

Producto vectorial.

2 3

3i 2j 11k

Como

u v 3 2 2 2 11 2 134

un vector unitario ortogonal tanto a u como a v es

u v

u v 3

134 i 2

134 j 11

134 k.

NOTA En el ejemplo 2, notar que se podría haber usado el producto vectorial v u para formar

un vector unitario ortogonal tanto a u como a v. Con esa opción, se habría obtenido el negativo del

vector unitario encontrado en el ejemplo.

■

EJEMPLO 3

Aplicación geométrica del producto vectorial

Mostrar que el cuadrilátero con vértices en los puntos siguientes es un paralelogramo y

calcular su área.

A 5, 2, 0

C 2, 4, 7

B 2, 6, 1

D 5, 0, 6

D = (5, 0, 6)

x

6

8

6

2

z

A = (5, 2, 0)

C = (2, 4, 7)

El área del paralelogramo es aproximadamente

32.19

Figura 11.38

2

4

6

B = (2, 6, 1)

y

Solución En la figura 11.38 se puede ver que los lados del cuadrilátero corresponden a

los siguientes cuatro vectores.

AB \ 3i 4j k

AD \ 0i 2j 6k

CB \ 0i 2j 6k AD \

Por tanto, AB \ es paralelo a CD \

y AD \

es paralelo a CB \

, y se puede concluir que el

cuadrilátero es un paralelogramo con AB \ y AD \

como lados adyacentes. Como

6

i j k

AB \ AD \ 3 4 1 Producto vectorial.

0 2

26i 18j 6k

el área del paralelogramo es

AB \ AD \ 1036 32.19.

CD \ 3i 4j k AB \

¿Es el paralelogramo un rectángulo? Para decidir si lo es o no, se calcula el ángulo entre

los vectores AB \

y AD \ .


M

En física, el producto vectorial puede usarse para medir el momento M de una fuerza

F respecto a un punto P, como se muestra en la figura 11.39. Si el punto de aplicación

de la fuerza es Q, el momento de F respecto a P está dado por

M PQ \ F.

Momento de F respecto a P.

P

F

PQ

Q

La magnitud del momento M mide la tendencia del vector PQ \

al girar en sentido contrario

al de las manecillas del reloj (usando la regla de la mano derecha) respecto a un eje en dirección

del vector M.

El momento de F respecto a P

Figura 11.39

x

P

z

60°

F

Una fuerza vertical de 50 libras se aplica en

el punto Q

Figura 11.40

Q

y

EJEMPLO 4

Una aplicación del producto vectorial

Se aplica una fuerza vertical de 50 libras al extremo de una palanca de un pie de longitud

unida a un eje en el punto P, como se muestra en la figura 11.40. Calcular el momento de

esta fuerza respecto al punto P cuando

60.

Solución Si se representa la fuerza de 50 libras como F 50k y la palanca como

PQ \ cos60j sen sin60k 1 2 j 3

2 k

el momento de F respecto a P está dado por

i j k

M PQ \ F 1 3

0

25i.

2 2

0 0 50

La magnitud de este momento es 25 libras-pie.

Momento de F respecto a P.

NOTA En el ejemplo 4, notar que el momento (la tendencia de la palanca a girar sobre su eje) depende

del ángulo . Cuando el momento es 0. El momento es máximo cuando ■

2,

0.

El triple producto escalar (o producto mixto)


Para ver cómo el producto vectorial se

usa para modelar el momento de un

brazo de robot de un transbordador

espacial, ver el artículo “The Long

Arm of Calculus” de Ethan Berkove y

Rich Marchand en The College

Mathematics Journal.

Dados vectores u, v y w en el espacio, al producto escalar de u y v w

u v w

se le llama triple producto escalar, como se define en el teorema 11.9. La demostración

de este teorema se deja como ejercicio (ver ejercicio 67).

TEOREMA 11.9

EL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

Para u u 1 i u 2 j u 3 k, v v 1 i v 2 j v 3 k, y w w 1 i w 2 j w 3 k, el triple

producto escalar está dado por

u 1 u 2 u 3

u v w v 1 v 2 v . 3

w 1 w 2 w 3

NOTA El valor de un determinante se multiplica por 1 si se intercambian dos de sus filas.

Después de estos dos intercambios, el valor del determinante queda inalterado. Por tanto, los triples

productos escalares siguientes son equivalentes.

u v w v w u w u v

■


v × w

Si los vectores 11.4 u, v y The w no Cross están Product en el of mismo Two Vectors plano, in el Space triple producto 797 escalar

u v w) puede usarse para determinar el volumen del paralelepípedo (un poliedro, en

el que todas sus caras son paralelogramos) con u, v × y ww

como aristas adyacentes, como seIf the vectors

v × w

If muestra the vectors en la u, figura v, and 11.41. w do Esto not se lie establece in the same en el plane, teorema the siguiente. triple scalar product u v w) can b

u

u v w) can be used to determine the volume of the parallelepiped (a polyhedron, all of whose faces

all of whose faces are parallelograms) with u, v, and w as adjacent edges, as shown in Figure 11.41. Thi

Figure 11.41.

TEOREMA

This

11.10

is established

INTERPRETACIÓN

in the following

GEOMÉTRICA

theorem.

DEL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

u

u

El volumen V de un paralelepípedo con vectores u, v y w como aristas adyacentes THEOREM 11.

THEOREM está dado 11.10 por

w

GEOMETRIC PROPERTY OF THE TRIPLE SCALAR PRODUCT

v

The volume V

The volume V V u of a v parallelepiped w . with vectors u, v, and w as adjacent edges

is given by

⏐proy v×w u ⏐

is given by

w

v

V u

Área wde la base v v w

V u v

En

w

la

.

Volumen de paralelepípedo

DEMOSTRACIÓN figura 11.41 se observa ⎜⎜proj

que v × w u⎜⎜

⎜⎜proj v × w

u⎜⎜

u v w

Area of base v w

Area of base Figura v11.41

w

v w área de la base

Volume of parallelepiped u v w PROOF In Figur

Volume of parallelepiped u v w PROOF In Figure 11.41, note that

Figure 11.41

y

v w ar

Figure 11.41

v w area of base

proy proj altura de paralelepípedo.

and

vw u

and

proj

Por consiguiente, el volumen es

v w u

proj v w u height of parallelepiped.

Therefore, the vol

Therefore,

VV the

(altura)(área heightarea

volume is

de la of base) base proy proj

vw uv w

V height

u v w

V height area of base proj v

w u v w v w

v w

u v w

v w

v

w u v w .

u v w .

EJEMPLO 5 Cálculo de un volumen por medio

EXAMPLE 5

EXAMPLE 5 Volume

del triple

by the

producto

Triple Scalar

escalar

Product

z

Find the volum

z

Find Calcular the volume el volumen of the del parallelepiped paralelepípedo mostrado shown (3, −5, 1) in en Figure la (3, figura 1, 1) 11.42 2

having que tiene u 3i 5j k

z

u

(3, −5, 1) (3, 1, 1) 2

u 3i 5j k, v 2j 2k y and w w 3i 3i j j k como k as adjacent aristas adyacentes. edges. 1

(3, u −5, 1) (3, 1, 1)

Solution By The

2

u 1

Solution By Theorem 11.10, you have

w

1

Solución Por el teorema 11.10, se tiene

3 y

V u v

w

v

3 y

V u v

V u v w

w Triple scalar product

v w

x 6

3 5

Triple producto escalar.

x 6

v 3 y 3 5 1

1

(0, 2, −2)

0 2

x 6 (0, 2, −2)

0 32

52

1

The parallelepiped has a volume of 36.

3 1

(0, 2, −2)

The parallelepiped has a volume of 36.

3 01

21

2

Figure 11.42

Figure 11.42 El paralelepípedo tiene un volumen de 36

3 1

3 2 3

2

1

2 1 2

1

5 0 2

1

5 3

0 1 2

1

1 0 3 2 2

1

Figura 11.42

3

3

1 0 1 2

1

34 5

34 56 1 6

3

36.

36. 34 56 16

36.

A natural con

A natural consequence of Theorem 11.10 is that the volume of the parallelepiped is 0 if and only if t

is 0 if and only if the three vectors are coplanar. That is, if the vectors u u

Una consecuencia natural del teorema 11.10 es que el volumen 1 , u 2 , u

del 3 , v v 1 , v 2 , v 3 , a

v v

paralelepípedo

1 , v 2 , v

es 3 , and w w

0 si y sólo 1

, w

si 2 , w

los 3 have the same initial point, they lie in the same plane if and only

plane if and only if

tres vectores son coplanares. Es decir, si los vectores

u u 1 , u 2 , u 3 , v v y w w tienen el mismo punto inicial, se

encuentran en el mismo plano si y sólo si

1 , v 2 , v 3 ,

u 1 u 2 u 3

u v w v 1 v 2 v

3

1

, w 2 , w 3

u 1 u 2 u 3

u v w

u v w v 1 v 2 v 3 0.

w 1 w 2 w 3

3 0.

w 1 w 2 w


11.4 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 6, calcular el producto vectorial de los vectores

unitarios y dibujar su resultado.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

En los ejercicios 7 a 10, calcular a) b) v u y c)

En los ejercicios 11 a 16, calcular u v y probar que es ortogonal

tanto a u como a v.

Para pensar

En los ejercicios 17 a 20, usar los vectores u y v

mostrados en la figura para dibujar en un sistema dextrógiro un

vector en la dirección del producto vectorial indicado.

17. 18.

19. 20.


para encontrar u v y un vector unitario ortogonal a u

y a v.

25. Programación Dadas las componentes de los vectores u y v,

escribir un programa para herramienta de graficación que calcule

y

26. Programación Usar el programa escrito en el ejercicio 25 para

encontrar y para y

Área

En los ejercicios 27 a 30, calcular el área del paralelogramo

que tiene los vectores dados como lados adyacentes. Usar

un sistema algebraico por computadora o una herramienta de

graficación para verificar el resultado.

27. 28.

29. 30.

Área

En los ejercicios 31 y 32, verificar que los puntos son los

vértices de un paralelogramo, y calcular su área.

Área

En los ejercicios 33 a 36, calcular el área del triángulo con

los vértices dados. (Sugerencia:

es el área del triángulo

que tiene u y v como lados adyacentes.)

37. Momento Un niño frena en una bicicleta aplicando una fuerza

dirigida hacia abajo de 20 libras sobre el pedal cuando la

manivela forma un ángulo de 40° con la horizontal (ver la figura).

La manivela tiene 6 pulgadas de longitud. Calcular el

momento respecto a P.


38. Momento La magnitud y la dirección de la fuerza sobre un

cigüeñal cambian cuando éste gira. Calcular el momento sobre

el cigüeñal usando la posición y los datos mostrados en la figura.

39. Optimización Una fuerza de 56 libras actúa sobre la llave inglesa

mostrada en la figura que se encuentra en la página siguiente.

a) Calcular la magnitud del momento respecto a O evaluando

Usar una herramienta de graficación para representar

la función de q que se obtiene.

b) Usar el resultado del inciso a) para determinar la magnitud

del momento cuando

c) Usar el resultado del inciso a) para determinar el ángulo

cuando la magnitud del momento es máxima. ¿Es la respuesta

lo que se esperaba? ¿Por qué sí o por qué no?

In Exercises 1–6, find the cross product of the unit vectors and

sketch your result.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

In Exercises 7–10, find (a) (b) and (c)

7. 8.

9. 10.

In Exercises 11–16, find

and show that it is orthogonal to

both

and

11. 12.

13. 14.

15. 16.

Think About It In Exercises 17–20, use the vectors and

shown in the figure to sketch a vector in the direction of the

indicated cross product in a right-handed system.

17. 18.

19. 20.

In Exercises 21–24, use a computer algebra system to find

and a unit vector orthogonal to

and

21. 22.

23. 24.

25. Programming Given the vectors and in component form,

write a program for a graphing utility in which the output is

and


find and for and

Area

In Exercises 27–30, find the a

that has the given vectors as adjace

algebra system or a graphing utility t

27. 28.

29. 30.

Area

In Exercises 31 and 32, verif

vertices of a parallelogram, and find i

31.

32.

Area

In Exercises 33–36, find the ar

given vertices. Hint:

is the a

and

as adjacent sides.

33.

34.

35.

36.

37. Torque A child applies the brakes

downward force of 20 pounds on

makes a

angle with the horizont

6 inches in length. Find the torque a

Figure for 37

Fig

38. Torque Both the magnitude and th

a crankshaft change as the cranksh

on the crankshaft using the position a

39. Optimization A force of 56 poun

shown in the figure on the next pag

(a) Find the magnitude of the mom

Use a graphing uti

function of

(b) Use the result of part (a) to dete

moment when

(c) Use the result of part (a) to dete

magnitude of the moment is ma

you expected? Why or why not?

45 .

.

OA \ F .

40

A 1, 2, 0 , B 2, 1, 0 , C 0, 0, 0

A 2, 7, 3 , B 1, 5, 8 , C 4, 6,

A 2, 3, 4 , B 0, 1, 2 , C 1, 2, 0

A 0, 0, 0 , B 1, 0, 3 , C 3, 2, 0

v

u

1

2 u v

A 2, 3, 1 ,B 6, 5, 1,C 7, 2, 2 ,

A 0, 3, 2 ,B 1, 5, 5 ,C 6, 9, 5 ,D 5

v

v 1, 2, 3

u

u 3, 2, 1

v

v j k

u

u

j

v 3, 8, 5 .

u 2, 6, 10

u

v

u

v

u v .

u

v

v

u

v 1.5i 6.2k

v 0.4i 0.8j 0.2k

u 0.7k

u 3i 2j 5k

v 10, 12, 2

v 2.5, 9, 3

u 8, 6, 4

u 4, 3.5, 7

v.

u

u v

u u v

v

u

v

u

u

v

y

v

u 6

4 3 2 1 6

4

5

2

3

1

z

v

u

v 2i j k

v 2i j k

u i 6j

u i j k

v 5, 3, 0

v 1, 2, 1

u 10, 0, 6

u 2, 3, 1

v 0, 1, 0

v 2, 5, 0

u 1, 1, 2

u 12, 3, 0

v.

u

u v

v 1, 5, 1

v 1, 1, 5

u 3, 2, 2

u 7, 3, 2

v 2i 3j 2k

v 3i 2j 5k

u 3i 5k

u 2i 4j

v v.

v u,

u v,

k

i

i

k

k

j

j

k

i

j

j

i



CAS

1053714_1104.qxp 10/27/08 11:46 AM Page 798


sketch your result.

1. 2.

3. 4.

5. 6.


7. 8.

9. 10.



both

and

11. 12.

13. 14.

15. 16.




17. 18.

19. 20.



and

21. 22.

23. 24.



and


find and for and

Area

In Exercises 27–30, find the area of the parallelogram

that has the given vectors as adjacent sides. Use a computer

algebra system or a graphing utility to verify your result.

27. 28.

29. 30.

Area

In Exercises 31 and 32, verify that the points are the

vertices of a parallelogram, and find its area.

31.

32.

Area

In Exercises 33–36, find the area of the triangle with the


is the area of the triangle having

and

as adjacent sides.

33.

34.

35.

36.

37. Torque A child applies the brakes on a bicycle by applying a

downward force of 20 pounds on the pedal when the crank

makes a

angle with the horizontal (see figure). The crank is

6 inches in length. Find the torque at


38. Torque Both the magnitude and the direction of the force on

a crankshaft change as the crankshaft rotates. Find the torque

on the crankshaft using the position and data shown in the figure.

39. Optimization A force of 56 pounds acts on the pipe wrench

shown in the figure on the next page.

(a) Find the magnitude of the moment about

by evaluating

Use a graphing utility to graph the resulting

function of

(b) Use the result of part (a) to determine the magnitude of the

moment when

(c) Use the result of part (a) to determine the angle

when the

magnitude of the moment is maximum. Is the answer what


45 .

.

OA \ F .

O

0.16 ft

2000 lb

60°

P.

40

A 1, 2, 0 , B 2, 1, 0 , C 0, 0, 0

A 2, 7, 3 , B 1, 5, 8 , C 4, 6, 1

A 2, 3, 4 , B 0, 1, 2 , C 1, 2, 0

A 0, 0, 0 , B 1, 0, 3 , C 3, 2, 0

v

u

1

2 u v

A 2, 3, 1 ,B 6, 5, 1,C 7, 2, 2 ,D 3, 6, 4

A 0, 3, 2 ,B 1, 5, 5 ,C 6, 9, 5 ,D 5, 7, 2

v 1, 2, 0

v 1, 2, 3

u 2, 1, 0

u 3, 2, 1

v j k

v j k

u i j k

u

j

v 3, 8, 5 .

u 2, 6, 10

u

v

u

v

u v .

u

v

v

u

v 1.5i 6.2k

v 0.4i 0.8j 0.2k

u 0.7k

u 3i 2j 5k

v 10, 12, 2

v 2.5, 9, 3

u 8, 6, 4

u 4, 3.5, 7

v.

u

u v

u u v

v

u

v

u

u

v

y

v

u 6

4 3 2 1 6

4

5

2

3

1

z

v

u

v 2i j k

v 2i j k

u i 6j

u i j k

v 5, 3, 0

v 1, 2, 1

u 10, 0, 6

u 2, 3, 1

v 0, 1, 0

v 2, 5, 0

u 1, 1, 2

u 12, 3, 0

v.

u

u v

v 1, 5, 1

v 1, 1, 5

u 3, 2, 2

u 7, 3, 2

v 2i 3j 2k

v 3i 2j 5k

u 3i 5k

u 2i 4j

v v.

v u,

u v,

k

i

i

k

k

j

j

k

i

j

j

i



CAS

OA \ F.

0.16 pie

2 000 libras

60°

40°

P

6 pulg

F = 20

libras

1

2 u v

v 1, 2, 0

v 1, 2, 3

u 2, 1, 0

u 3, 2, 1

v j k

v j k

u i j k

u j

v 3, 8, 5.

u 2, 6, 10

u v

u v

u v.

u v

u u v

v u

v u

u v

x

y

v

u 4 6

4 3 2 1 6

4

5

2

3

1

z

v v.

u v,

k i

i k

k j

j k

i j

j i


sketch your result.

1. 2.

3. 4.

5. 6.


7. 8.

9. 10.



both

and

11. 12.

13. 14.

15. 16.




17. 18.

19. 20.



and

21. 22.

23. 24.



and


find and for and

Area




27. 28.

29. 30.

Area



31.

32.

Area




and

as adjacent sides.

33.

34.

35.

36.



makes a










by evaluating


function of


moment when


when the



45 .

.

OA \ F .

O

0.16 ft

2000 lb

60°

P.

40

A 1, 2, 0 , B 2, 1, 0 , C 0, 0, 0

A 2, 7, 3 , B 1, 5, 8 , C 4, 6, 1

A 2, 3, 4 , B 0, 1, 2 , C 1, 2, 0

A 0, 0, 0 , B 1, 0, 3 , C 3, 2, 0

v

u

1

2 u v

A 2, 3, 1 ,B 6, 5, 1,C 7, 2, 2 ,D 3, 6, 4

A 0, 3, 2 ,B 1, 5, 5 ,C 6, 9, 5 ,D 5, 7, 2

v 1, 2, 0

v 1, 2, 3

u 2, 1, 0

u 3, 2, 1

v j k

v j k

u i j k

u

j

v 3, 8, 5 .

u 2, 6, 10

u

v

u

v

u v .

u

v

v

u

v 1.5i 6.2k

v 0.4i 0.8j 0.2k

u 0.7k

u 3i 2j 5k

v 10, 12, 2

v 2.5, 9, 3

u 8, 6, 4

u 4, 3.5, 7

v.

u

u v

u u v

v

u

v

u

u

v

y

v

u 6

4 3 2 1 6

4

5

2

3

1

z

v

u

v 2i j k

v 2i j k

u i 6j

u i j k

v 5, 3, 0

v 1, 2, 1

u 10, 0, 6

u 2, 3, 1

v 0, 1, 0

v 2, 5, 0

u 1, 1, 2

u 12, 3, 0

v.

u

u v

v 1, 5, 1

v 1, 1, 5

u 3, 2, 2

u 7, 3, 2

v 2i 3j 2k

v 3i 2j 5k

u 3i 5k

u 2i 4j

v v.

v u,

u v,

k

i

i

k

k

j

j

k

i

j

j

i



CAS


sketch your result.

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both

and

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Area




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Area



31.

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Area




and

as adjacent sides.

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by evaluating


function of


moment when


when the



45 .

.

OA \ F .

O

0.16 ft

2000 lb

60°

P.

40

A 1, 2, 0 , B 2, 1, 0 , C 0, 0, 0

A 2, 7, 3 , B 1, 5, 8 , C 4, 6, 1

A 2, 3, 4 , B 0, 1, 2 , C 1, 2, 0

A 0, 0, 0 , B 1, 0, 3 , C 3, 2, 0

v

u

1

2 u v

A 2, 3, 1 ,B 6, 5, 1,C 7, 2, 2 ,D 3, 6, 4

A 0, 3, 2 ,B 1, 5, 5 ,C 6, 9, 5 ,D 5, 7, 2

v 1, 2, 0

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u 3, 2, 1

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v

u

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u

v

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u v

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v 2, 5, 0

u 1, 1, 2

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u

u v

v 1, 5, 1

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u 2i 4j

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u v,

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i

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Area




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Area




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2000 lb

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A 1, 2, 0 , B 2, 1, 0 , C 0, 0, 0

A 2, 7, 3 , B 1, 5, 8 , C 4, 6, 1

A 2, 3, 4 , B 0, 1, 2 , C 1, 2, 0

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v

u

1

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A 2, 3, 1 ,B 6, 5, 1,C 7, 2, 2 ,D 3, 6, 4

A 0, 3, 2 ,B 1, 5, 5 ,C 6, 9, 5 ,D 5, 7, 2

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u 2, 1, 0

u 3, 2, 1

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u 2, 6, 10

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u

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u

v

v

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v 1.5i 6.2k

v 0.4i 0.8j 0.2k

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v 10, 12, 2

v 2.5, 9, 3

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v.

u

u v

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u

u v

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u 3, 2, 2

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i

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Area




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A 1, 2, 0 , B 2, 1, 0 , C 0, 0, 0

A 2, 7, 3 , B 1, 5, 8 , C 4, 6, 1

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v

u

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v

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v.

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u v

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v

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Area




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A 1, 2, 0 , B 2, 1, 0 , C 0, 0, 0

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u

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Area




27. 28.

29. 30.

Area



31.

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Area




and

as adjacent sides.

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P.

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A 2, 7, 3 , B 1, 5, 8 , C 4, 6, 1

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A 0, 3, 2 ,B 1, 5, 5 ,C 6, 9, 5 ,D 5, 7, 2

v 1, 2, 0

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u v

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v 1, 2, 1

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u

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i

i

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j

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CAS

SECCIÓN 11.4 11.4 El producto The Cross vectorial Product de of of dos Two vectores Vectors en in el in Space espacio 799

11.4 The Cross Product of Two Vectors in Space 799

11.4 The Cross Product of Two Vectors in Space 7

Volumen

En los ejercicios 47 y encontrar el volumen of del

180 libras lb

In Exercises 47 and 48, find the volume of the

F F

180 lb

paralelepípedo parallelepiped with que tiene the given vértices vertices.

dados (ver las figuras).

B B

θ θθ

Volume In Exercises 47 and 48, find the volume of the

A

F

180 lb

Volume In Exercises 47 and 48, find the volume of

F

180 lb

47. parallelepiped 0, 0, 0, 0, 0 ,, 3, 3, with 0, 0, 0 , the , 0, 0, given 5, 5, 1 ,, vertices. 2, 2, 0, 0, 5

18 18 18 pulg in.

B θ

parallelepiped with the given vertices.

A

B θ

3, 5, , 5, 0, , 2, 5, , 5, 5, θ

3, 5, 1 5, 0, 5 2, 5, 6 5, 5, 6

θθ

FF

12 pulg 12 12 in.

A

47. 0, 0, 0 , 3, 0, 0 , 0, 5, 1 , 2, 0, 5

18 in.

47. 0, 0, 0 3, 0, 0 , 0, 5, 1 , 2, 0, 5

18 in.

48.

0, 3, 0, 0, 5, 0, 01 ,, 0, 5, 0, 4, 0, 4, 05 ,, 2, 3, 5, 3, 0, 60, 0 , , 5, , 5, 1, 61, 1, 1, 5

30° 30°

θ F 12 in.

3, 5, 1 5, 0, 5 , 2, 5, 6 , 5, 5, 6

θ F 12 in.

48. 0, 3, 0, 3, 4, 04, , 0 0, ,, 4, 1, 01, 5, , 5, 5 3, ,, 0, 4, 04, 1, , 1, 5 1, ,, 1, 4, 54, 5, 5, 5

O

48. 0, 0, 0 , 0, 4, 0 , 3, 0, 0 , 1, 1, 5

30°

15 pulg 15 15 in.

A A

30°

49. Si If If u3, 4, v 0 , 0

y1, u 5, 5 v ,

3, 4,

0, 0, 4, 1,

0 ,

¿qué what 5 ,

1,

se

5,

can puede 4, 5,

5 ,

you 5concluir 4,

conclude 1, 5 ,

acerca about

4, 5,

de

5

u

O

y v?

Figura Figure para for 39 39 O Figura Figure para for 40 40

15 in. A

and

v?

15 in. 49. If uA

v 0 y u v 0, what can you conclude about u

50. 50. Identificar Identify the los dot 49.

productos products If u

vectoriales that v are 0 yequal. u v

que Explain 0,

son iguales. your what

Explicar reasoning.

can you conclude abou

el

40. 40. Figure Optimización Optimization for 39

Figure Una A force fuerza of of

for 39de 180 180 Figure pounds libras for actúa acts 40 sobre on the Figure el soporte bracket

and v?

for 40 razonamiento. (Assume u, u, v, v, and (Suponer and w

are v?

que nonzero u, v vectors.) y w son vectores distintos de

mostrado shown in in en the la figure.

figura.

50. Identify the dot products that are equal. Explain your reasoning.

40. Optimization A force of 180 pounds acts on the bracket

40. Optimization A force of 180 pounds acts on the

a) cero.) 50. Identify the dot products that are equal. Explain your reasoni

bracket

a) u v w

b) b) v w u

a) (a) Determinar Determine el the vector vector \

AB AB \

\

y and el the vector vector F Fque representing representa the

(Assume u, v, and w are nonzero vectors.)

shown the figure.

la

(Assume u, v, and w are nonzero vectors.)


fuerza. force. (F ( F( estará will be en in in términos terms of of de .) .)

c)

.)

a) c) u u v v w

w

d) b) d) uv w w u v

(a) Determine the vector AB \

and the vector F representing the

a) u v w

b) v w u

(a) Determine the vector AB \

and the vector representing the

b) (b) Calcular Find the la magnitude del of of the momento moment respecto about

a by A evaluando evaluating

F e) e) u w v

f f ))

w v u

force. ( F will be in terms of .) A

c) u v w

d) u w v

force. ( will be in terms of .)

c) u v w

d) u w v

\ F

AB AB \

\

F. F ..

g) g) u v w

h) h)

u v

(b) Find the magnitude of the moment about A by evaluating e) u w v

f ) w v u

(b) Find the magnitude of the moment about by evaluating e) u w v

f ) w v u

c) (c) Usar Use A

AB el \

the resultado F . of of del part inciso (b) to to b) determine para determinar the magnitude la magnitud of of the

AB \ g) u v w

h) w u v

del moment momento when

cuando 30 ..

F .

WRITING g) u ABOUT v w CONCEPTS

h) w u v

(c) Use the result of part (b) to determine the magnitude of the

(c) Use the result of part (b) to determine magnitude of the

d) (d) Usar Use el the resultado of of del part inciso (b) to to b) determine para determinar the angle

el when ángulo

the

51. Define the cross product of of vectors u

and

v. v.

moment when 30 .


when 30 .


cuando magnitude la magnitud of of the moment del momento is is maximum. es máxima. At that A angle, ese ángulo, what

Desarrollo 52. State the geometric de conceptos

properties of of the cross product.

(d) Use the result of part (b) determine the angle when the

51. Define the cross product of vectors u and v.

¿cuál is is the es relationship relación (d) entre between Use the los result the vectores vectors of part F y F

(b) to ¿Es determine \

lo Is que it the se angle when 51. Define the cross product of vectors u and v.

AB and \ ? AB \ ?

Is it what

magnitude of the moment is maximum. At that angle, what 51. 53. 52. Definir If State If the the magnitudes el geometric producto of of vectorial properties two vectors de of los are the vectores doubled, cross product. u y how v. will the

esperaba? you expected? ¿Por qué Why sí magnitude o or or por why qué not?

of no? the moment is maximum. At that angle, what 52. State the geometric properties of the cross product.

is the relationship between the vectors F and AB

magnitude of of the cross product of of the vectors change? Explain.

\

? Is it what 52.

is the relationship between the vectors F and AB \ ?

53. Dar

Is it

If

what

the las magnitudes propiedades of geométricas two vectors del are producto doubled, vectorial. how will the

e) (e) Usar Use you una expected? a herramienta graphing Why utility de or why graficación to to not? graph para the representar function for la función

la magnitud of del momento respecto a A para 0° £ . q 53. Si magnitude las magnitudes of the cross

the

53. If the magnitudes of two vectors are doubled, how will th


£

magnitude

de product dos vectores of the vectors

of the cross

se duplican, change?

product of

¿cómo Explain.

magnitude of the moment about A for 0 180 . Find

the vectors

se

change? Explain

(e) Use a graphing utility graph the function for the

180°. the zero Hallar of of el the cero (e) function Use de la a función in in graphing the given el utility domain. dominio to Interpret dado. graph Inter-

the

modificará la magnitud del producto vectorial de los vectores?

Explicar.

function CAPSTONE

for the

magnitude of the moment about A for 0 180 . Find

pretar meaning el significado of of the zero magnitude del in in cero the context en of el the contexto of moment of the problem. del about problema. A for 0 180 . Find

the zero of the function in the given domain. Interpret the CAPSTONE

54. The vertices of of a triangle in in space are

x 1 , 1 , y 1 , 1 , zz 11 ,,

x 2 , 2 , y 2 , 2 , zz 22 ,,

the zero of the function in the given domain. Interpret the

CAPSTONE

En los ejercicios 41 a 44, calcular

meaning of the .

3 , 3 , z 3 .

to In Exercises meaning 41–44, of the find zero u in v the w context . of the problem.

and x 3 , y 3 , z 3 . Explain how to find a vector perpendicular

u

zero

.

in the context of the problem.

v w

Para

54. The

to to the discusión

vertices of a triangle in space are x

triangle.

54. The vertices of a triangle 1 , y 1 , z

in 1 , x

space 2 , y

are 2 , z

x 2 ,

1 y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z

and x 2

41. In Exercises u

ii

41–44, find u v 42. w . u 1, 1, 1, 1, 1

3 , y 3 , z 3 . Explain how to find a vector perpendicular

and x Explain how to find a vector perpendicula

41. In Exercises 41–44, 42. find u v w .

3 , y 3 , z 3 .

u i

u 1, 1, 1

54. Los to the vértices triangle. de un triángulo en el espacio son x j

2, 1, to the triangle.

1 , y 1 , z 1 ,

41. v

v

u j

j

i

42. v

41. u i v

u 2,

2,

1, 1,

1,

1, 0

0

1

x 2 , y 2 , z 2 , y x 3 , y 3 , z 3 . Explicar cómo encontrar un vector

42. u 1, 1, 1

w

k

w 0, 0, 0, 0, 1

True perpendicular or or False?

In al Exercises triángulo.

55–58, determine whether the

w

v

k

j

v j w

v

0,

2,

0,

1,

1

0

v 2, 1, 0 statement is is true or false. If If it it is is false, explain why or give an

43. u 2, 0, 2, 0, 43. u

w

2,

k2, 0, 1

44. u

0, 1 w k 44. u

w 2,

2,

0, 0,

0,

0, 0

0

1


w 0, 0, 1 ¿Verdadero example that o falso? shows True it it En is or is false.

los False? ejercicios In Exercises 55 a 58, determinar 55–58, determine si la whether

v 0, 0, 3, 3, 0

v 1, 1, 1, 1, 1


43.

v

u

0,

2,

3,

0,

0

1

44.

43. 44.

declaración es verdadera statement o falsa. is true Si or es false. falsa, If explicar it is false, por explain qué o why or give

u 2, 0, 1 v

u

1,

2,

1,

0,

1

0

u 2, 0, 0 55. example It It is is that possible shows to to it find is false. the cross product of of two vectors in in a

w 0, 0, 0, 2, dar un ejemplo que example demuestre that shows que es it falsa. is false.

w

v

0,

0, 0,

0,

3, 0,

1

01

w

v 0, 3, 0 w

v

0,

1, 0,

2,

1, 2,

2

12

v 1, 1, 1 two-dimensional coordinate system.

55. It is possible to find the cross product of two vectors in a

Volume

w In 0, Exercises 0, 1

55. Es posible encontrar 55. It el is producto possible vectorial find the de dos cross vectores product en of un two vectors in

w45 and 0, 46, 0, 1use the w triple 0, 2, scalar 2 product w 0, to to 2, 2 56. If two-dimensional If u

and v

are vectors coordinate space system. that are nonzero and nonparallel,

Volumen find the volume En los of of ejercicios the parallelepiped 45 y 46, having usar el adjacent triple producto edges

u, u, sistema then

u de v coordenadas v two-dimensional u. u. bidimensional. coordinate system.

Volume In Exercises 45 and 46, use the triple scalar product to 56. If u and v are vectors in space that are nonzero and nonparallel,

escalar v, v, and

w. para encontrar Volume el volumen In Exercises del paralelepípedo 45 and 46, use que the triple tiene scalar 56. 57. product Si If If u y tov 0

son and vectores u56. vIf uen and u el vw,

espacio are then

vectors vque in w. son space distintos that are de nonzero cero y and nonparal

find the volume of the parallelepiped having adjacent edges u, then u v v u.

como aristas adyacentes find the u, volume v y w. of the parallelepiped having adjacent edges no paralelos, u, entonces then u v v u.

45. v,

and u w. ii jj

46.

u 1, 1, 3, 3, 1

58. If If 0, 0, u v u w,

and u v u w,

then

v w.

v, and w.

57. If u 0 and u v u w, then v w.

45. u 46.

57. Si y u 57. v If u w, 0 and entonces u vv uw.

w, then v w.

v ijj jk

uv 1, 0, 0, 3, 6, 6, 1

45. u i j

46. u 1, 3, 61

45. u i j

46. u 1, 3, 1 58. In 58. Exercises If u 0,

Si 0, 59–66, u v

58. prove u w,

If u w, the and

y 0, uproperty u u v

v uof of uthe w,

w,

and entonces cross then

u product.

v w.

v v uw.

w, then v w.

w j i i k

vw 0, 6, 4, 4, 6

v j k

v 0, 6, 60, 0, 4

w i k v j k w 4, 0, 4 v 0, 6, 6 En 59. In Exercises los u ejercicios v 59–66, w u

In Exercises a prove 66, v demostrar the property u w

z

59–66, la prove propiedad of the cross

the property del product. producto

w i zk

w zz

4, 0, 4

of the cross product.

w i k

w 4, 0, 4vectorial.

60.

c u v cu v u cv

z

z

59. u v w u v u w

z

z

59. u v w u v u w

22

z

66

v

z 59. 61. 60.

uc u v u v 0w cu u v v u u cv w

6 4 v

60. c u v cu v u cv

2

4

60. 62. 61.

cu v v w cuu vv uw

2

6 v

u u 0

cv

v

2

422

6

u

v

61. u u 0

w

4

4 61. 63. 62.

u u v is orthogonal w0

u to vto both w u

and

v. v.

v

y

62. u v w u v w

4 u

y

w v

6

y

8

v

4 2 6 2 62. 64. v w 0

if if and u only v if if wu

and v

are scalar multiples of of each

1w

1

y

u

u

2 w 4 w

8

63. u v is orthogonal to both u and v.

2

6

y u

63. u v is orthogonal to both u and v.

22

y

8 y

other.

1 u 2

x

4 6

y

w

8

63. 64. u y ves ortogonal 0 if and only tanto if a u

and como v are a v. scalar multiples of each

4

x

6

y

8

64. u v 0

if and only if u

and v are scalar multiples of ea

2x

1 u 2

w

65. Prove that u v u v if u and v are orthogonal.

2

1 u 2

w 64. uother.

v 0 si y sólo other. si u y v son múltiplos escalares uno del otro.

x

2

66. that

u w u w v u v w.

x

x

65. 65. Demostrar Prove that que u

65. uv Prove vu that u v if

uv

u and si v u vy are vu son orthogonal.

vortogonales.

if u and v are orthogonal.

67. 66. Demostrar Prove Prove Theorem that

uque

66. u11.9.

v Prove vw that wu u u wv wvu w u v w.

u vw. w v u v w.

67.

67.

Demostrar

Prove Theorem

el teorema

11.9.

11.9.


30.


11.5 Rectas y planos en el espacio

■ Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para una recta en el espacio.

■ Dar una ecuación lineal para representar un plano en el espacio.

■ Dibujar el plano dado por una ecuación lineal.

■ Hallar las distancias entre puntos, planos y rectas en el espacio.

P(x 1 , y 1 , z 1 )

x

z

PQ = tv

Q(x, y, z)

v = 〈a, b, c〉

La recta L y su vector de dirección v

Figura 11.43

L

y

Rectas en el espacio

En el plano se usa la pendiente para determinar una ecuación de una recta. En el espacio

es más conveniente usar vectores para determinar la ecuación de una recta.

En la figura 11.43 se considera la recta L a través del punto Px 1 , y 1 , z 1 y paralela al

vector v a, b, c. El vector v es un vector de dirección o director de la recta L, y a, b

y c son los números de dirección (o directores). Una manera de describir la recta L es

decir que consta de todos los puntos Qx, y, z para los que el vector PQ \

es paralelo a v.

Esto significa que PQ \ es un múltiplo escalar de v, y se puede escribir a PQ \ t v, donde

t es un escalar (un número real).

PQ \ x x 1 , y y 1 , z z 1 at, bt, ct t v

Igualando los componentes correspondientes, se obtienen las ecuaciones paramétricas de

una recta en el espacio.

TEOREMA 11.11

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA RECTA EN EL ESPACIO

Una recta L paralela al vector v a, b, c y que pasa por el punto Px 1 , y 1 , z 1 se

representa por medio de las ecuaciones paramétricas

x x 1 at,

y y 1 bt,

y

z z 1 ct.

z

Si todos los números directores a, b y c son distintos de cero, se puede eliminar el

parámetro t para obtener las ecuaciones simétricas (o cartesianas) de la recta.

(1, −2, 4)

−4

4

2

−2

−4

x x 1

a

EJEMPLO 1

y y 1

b

z z 1

c

Ecuaciones simétricas.

Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas

x

4

2

L

2

4

v = 〈2, 4, −4〉

El vector v es paralelo a la recta L

Figura 11.44

y

Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta L que pasa por el punto

1, 2, 4 y es paralela a v 2, 4, 4.

Solución Para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta, se usan las

coordenadas x 1 1, y 1 2, y z 1 4, y los números de dirección a 2, b 4 y

c 4 (ver figura 11.44).

x 1 2t,

Ecuaciones paramétricas.

Como a, b y c son todos diferentes de cero, un conjunto de ecuaciones simétricas es

x 1

2

y 2

4

y 2 4t,

z 4

4 .

z 4 4t

Ecuaciones simétricas.

SECCIÓN 11.5 Rectas y planos en el espacio 801

Ni las ecuaciones paramétricas ni las ecuaciones simétricas de una recta dada son únicas.

Así, en el ejemplo 1, tomando t = 1 en las ecuaciones paramétricas se obtiene el punto

(3, 2, 0). Usando este punto con los números de dirección a 2, b 4 y c 4 se

obtiene un conjunto diferente de ecuaciones paramétricas

x 3 2t, y 2 4t, y z 4t.

EJEMPLO 2

Ecuaciones paramétricas de una recta

que pasa por dos puntos

Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos

2, 1, 0 y 1, 3, 5.

z

Solución Se empieza por usar los puntos P2, 1, 0 y Q1, 3, 5 para hallar un vector

de dirección de la recta que pasa por P y Q, dado por

v PQ \ 1 2, 3 1, 5 0 3, 2, 5 a, b, c.

Usando los números de dirección a 3, b 2 y c 5 junto con el punto P2, 1, 0, se

obtienen las ecuaciones paramétricas

x 2 3t, y 1 2t, y z 5t.

P

n

NOTA Como t varía sobre todos los números reales, las ecuaciones paramétricas del ejemplo 2

determinan los puntos (x, y, z) sobre la recta. En particular, hay que observar que t 0 y t 1 dan

los puntos originales 2, 1, 0 y 1, 3, 5.

■

Q

y

n · PQ = 0

x

El vector normal n es ortogonal a todo vector

PQ \

en el plano

Figura 11.45

Planos en el espacio

Se ha visto cómo se puede obtener una ecuación de una recta en el espacio a partir de un

punto sobre la recta y un vector paralelo a ella. Ahora se verá que una ecuación de un

plano en el espacio se puede obtener a partir de un punto en el plano y de un vector normal

(perpendicular) al plano.

Considerar el plano que contiene el punto Px 1 , y 1 , z 1 y que tiene un vector normal

distinto de cero n a, b, c, como se muestra en la figura 11.45. Este plano consta de

todos los puntos Qx, y, z para los cuales el vector PQ \

es ortogonal a n. Usando el producto

vectorial, se puede escribir

n PQ \ 0

a, b, c x x 1 , y y 1 , z z 1 0

ax x 1 by y 1 cz z 1 0

La tercera ecuación del plano se dice que está en forma canónica o estándar.

TEOREMA 11.12

ECUACIÓN CANÓNICA O ESTÁNDAR DE UN PLANO EN EL ESPACIO

El plano que contiene el punto x 1 , y 1 , z 1 y tiene un vector normal n a, b, c

puede representarse en forma canónica o estándar, por medio de la ecuación

ax x 1 b y y 1 cz z 1 0.

Reagrupando términos, se obtiene la forma general de la ecuación de un plano en el espacio.

ax by cz d 0

Forma general de la ecuación de un plano en el espacio.


Dada la forma general de la ecuación de un plano, es fácil hallar un vector normal al

plano. Simplemente se usan los coeficientes de x, y y z para escribir n a, b, c.

EJEMPLO 3

Hallar una ecuación de un plano

en el espacio tridimensional

(2, 1, 1)

2

x

5

4

3

2

1

z

−2

(−2, 1, 4)

−3

Un plano determinado por u y v

Figura 11.46

v

2

u

3

4

(0, 4, 1)

5

y

Hallar la ecuación general del plano que contiene a los puntos 2, 1, 1,

2, 1, 4.

(0, 4, 1) y

Solución Para aplicar el teorema 11.12 se necesita un punto en el plano y un vector que

sea normal al plano. Hay tres opciones para el punto, pero no se da ningún vector normal.

Para obtener un vector normal, se usa el producto vectorial de los vectores u y v que van

del punto (2, 1, 1) a los puntos (0, 4, 1) y (2, 1, 4), como se muestra en la figura 11.46.

Los vectores u y v dados mediante sus componentes son

así que

u 0 2, 4 1, 1 1 2, 3, 0

v 2 2, 1 1, 4 1 4, 0, 3

n u v

3

i j k

2 3 0

4 0

9i 6j 12k

a, b, c

es normal al plano dado. Usando los números de dirección para n y el punto

x 1 , y 1 , z 1 2, 1, 1, se puede determinar que una ecuación del plano es

ax x 1 b y y 1 cz z 1 0

9x 2 6 y 1 12z 1 0

9x 6y 12z 36 0

3x 2y 4z 12 0.

Forma canónica o estándar.

Forma general.

Forma general simplificada.

NOTA En el ejemplo 3, verificar que cada uno de los tres puntos originales satisfacen la ecuación

3x 2y 4z 12 0.

■

n 1

θ

n 2

Dos planos distintos en el espacio tridimensional o son paralelos o se cortan en una

recta. Si se cortan, se puede determinar el ángulo 0 ≤ ≤ 2 entre ellos a partir del

ángulo entre sus vectores normales, como se muestra en la figura 11.47. Específicamente,

si los vectores n 1 y n 2 son normales a dos planos que se cortan, el ángulo q entre los vectores

normales es igual al ángulo entre los dos planos y está dado por

θ

cos n 1 n 2

n 1 n 2 .

Por consiguiente, dos planos con vectores normales y son

n 1

Ángulo entre dos planos.

n 2

Ángulo q entre dos planos

Figura 11.47

1. perpendiculares si n 1 n 2 0.

2. paralelos si n 1 es un múltiplo escalar de n 2 .


EJEMPLO 4

Hallar la recta de intersección de dos planos

Plano 2

θ

Recta de

intersección

z

Plano 1

y

Hallar el ángulo entre los dos planos dados por

x 2y z 0

Ecuación de plano 1.

2x 3y 2z 0

Ecuación de plano 2.

y hallar las ecuaciones paramétricas de su recta de intersección (ver figura 11.48).

x

Solución Los vectores normales a los planos son n 1 1, 2, 1 y n 2 2, 3, 2. Por

consiguiente, el ángulo entre los dos planos está determinado como sigue.

Figura 11.48

cos n 1 n 2

n 1 n 2

6

617

6

102

0.59409

n 1

n 2

Coseno del ángulo entre y .

53.55.

Esto implica que el ángulo entre los dos planos es

La recta de intersección de

los dos planos se puede hallar resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones lineales

que representan a los planos. Una manera de hacer esto es multiplicar la primera ecuación

por 2 y sumar el resultado a la segunda ecuación.

x 2y z 0

2x 3y 2z 0

2x 4y 2z 0

2x 3y 2z 0

7y 4z 0

y 4z

7

Sustituyendo y 4z7 en una de las ecuaciones originales, se determina que

Finalmente, haciendo t z7, se obtienen las ecuaciones paramétricas

x z7.

x t,

y 4t,

y

z 7t

Recta de intersección.

lo cual indica que 1, 4 y 7 son los números de dirección de la recta de intersección.

Hay que observar que los números de dirección del ejemplo 4 se pueden obtener a partir

del producto vectorial de los dos vectores normales como sigue.

i j k

n 1 n 2 1 2 1

2 3 2

2 3

1

2 i 1 2

i 4j 7k

1

2 j 1 2

2

3 k

Esto significa que la recta de intersección de los dos planos es paralela al producto vectorial

de sus vectores normales.


Trazado de planos en el espacio

Si un plano en el espacio corta uno de los planos coordenados, a la recta de intersección

se le llama la traza del plano dado en el plano coordenado. Para dibujar un plano en el

espacio, es útil hallar sus puntos de intersección con los ejes coordenados y sus trazas en

los planos coordenados. Por ejemplo, considerar el plano dado por

3x 2y 4z 12.

Ecuación del plano.

Se puede hallar la traza xy, haciendo z 0 y dibujando la recta

3x 2y 12

Traza xy-

en el plano xy. Esta recta corta el eje x en (4, 0, 0) y el eje y en (0, 6, 0). En la figura 11.49

se continúa con este proceso encontrando la traza yz y la traza xz, y sombreando la región

triangular que se encuentra en el primer octante.

z

z

z

(0, 0, 3)

(0, 0, 3)

(0, 6, 0)

y

(0, 6, 0)

y

(0, 6, 0)

y

(4, 0, 0)

(4, 0, 0)

(4, 0, 0)

x

traza xy z 0:

traza yz x 0:

3x 2y 12

2y 4z 12

Trazas del plano 3x 2y 4z 12

Figura 11.49

x

x

traza xz y 0:

3x 4z 12

x

1

( 2 , 0, 0 )

z

(0, 0, 1)

Plano: 2x + z = 1

El plano 2x z 1 es paralelo al eje y

Figura 11.50

y

Si en una ecuación de un plano está ausente una variable, como en la ecuación

2x z 1, el plano debe ser paralelo al eje correspondiente a la variable ausente, como

se muestra en la figura 11.50. Si en la ecuación de un plano faltan dos variables, éste es

paralelo al plano coordenado correspondiente a las variables ausentes, como se muestra

en la figura 11.51.

x

z

d

( −

a , 0, 0 )

y

x

z

( )

0, −

d

, 0

b

y

x

z

d

( 0, 0, − c )

El plano ax d 0 es El plano by d 0 es

El plano cz d 0 es

paralelo al plano yz

paralelo al plano xz

paralelo al plano xy

Figura 11.51

y


Q

n

proy n PQ

P

D =

⎜⎜ proy n PQ⎜⎜

La distancia de un punto a un plano

Figura 11.52

D

Distancias entre puntos, planos y rectas

Esta sección concluye con el análisis de dos tipos básicos de problemas sobre distancias

en el espacio.

1. Calcular la distancia de un punto a un plano.

2. Calcular la distancia de un punto a una recta.

Las soluciones de estos problemas ilustran la versatilidad y utilidad de los vectores en la

geometría analítica: el primer problema usa el producto escalar de dos vectores, y el

segundo problema usa el producto vectorial.

La distancia D de un punto Q a un plano es la longitud del segmento de recta más

corto que une a Q con el plano, como se muestra en la figura 11.52. Si P es un punto

cualquiera del plano, esta distancia se puede hallar proyectando el vector PQ \ . sobre el vector

normal n. La longitud de esta proyección es la distancia buscada.

TEOREMA 11.13

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

La distancia de un punto a un plano Q (no en el plano) es

PQ \

D proy proj n PQ \

n

n

donde P es un punto en el plano y n es normal al plano.

Para encontrar un punto en el plano dado por ax by cz d 0 a 0, se hace

y 0 y z 0. Entonces, de la ecuación ax d 0, se puede concluir que el punto

da, 0, 0 está en el plano.

EJEMPLO 5

Calcular la distancia de un punto a un plano

Calcular la distancia del punto Q1, 5, 4 al plano dado por

3x y 2z 6.

Solución Se sabe que n 3, 1, 2 es normal al plano dado. Para hallar un punto en

el plano, se hace y 0 y z 0, y se obtiene el punto P2, 0, 0. El vector que va de P a

Q está dado por

PQ \ 1 2, 5 0, 4 0

1, 5, 4.

Usando la fórmula para la distancia dada en el teorema 11.13 se tiene

D PQ \

n

n

1, 5, 4 3, 1, 2

9 1 4

3 5 8

14

16

14 .

Distancia de un punto a un plano.

NOTA El punto P que se eligió en el ejemplo 5 es arbitrario. Seleccionar un punto diferente en el

plano para verificar que se obtiene la misma distancia.

■


Del teorema 11.13 se puede determinar que la distancia del punto Qx 0 , y 0 , z 0 al plano

dado por ax by cz d 0 es

o

D ax 0 x 1 by 0 y 1 cz 0 z 1

a 2 b 2 c 2

D ax 0 by 0 cz 0 d

a 2 b 2 c 2


donde Px 1 , y 1 , z 1 es un punto en el plano y d ax 1 by 1 cz 1 .

EJEMPLO 6

Encontrar la distancia entre dos planos paralelos

3x − y + 2z − 6 = 0

z

3

Encontrar la distancia entre los dos planos paralelos dados por

3x y 2z 6 0 y 6x 2y 4z 4 0.

−6

x

(2, 0, 0)

D

6x − 2y + 4z + 4 = 0

La distancia entre los planos paralelos es

aproximadamente 2.14

Figura 11.53

2

y

Solución Los dos planos se muestran en la figura 11.53. Para hallar la distancia entre los

planos, elegir un punto en el primer plano, digamos (x 0

, y 0

, z 0

) = (2, 0, 0). Después, del

segundo plano, se puede determinar que a 6, b 2, c 4 y d 4, y concluir que la

distancia es

D ax 0 by 0 cz 0 d


a 2 b 2 c 2

62 20 40 4

6 2 2 2 4 2

16

56 8

14 2.14.

La fórmula para la distancia de un punto a una recta en el espacio se parece a la de la

distancia de un punto a un plano, excepto que se reemplaza el producto vectorial por

la magnitud del producto vectorial y el vector normal n por un vector de dirección para la

recta.

TEOREMA 11.14

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EN EL ESPACIO

La distancia de un punto Q a una recta en el espacio está dada por

D PQ\ u

u

donde u es un vector de dirección para la recta y P es un punto sobre la recta.

P

θ

u

Punto

Q

D = ⎜⎜PQ⎜⎜ sen θ

Recta

Distancia de un punto a una recta

Figura 11.54

DEMOSTRACIÓN En la figura 11.54, sea D la distancia del punto Q a la recta dada.

Entonces D PQ \ sin sen,

donde es el ángulo entre u y PQ \ . Por el teorema 11.8, se tiene

u PQ \ sen sin u PQ \ PQ \ u.

Por consiguiente,

u

D PQ \ sen sin PQ\ .

u


11.5 11.5 Lines Lines and and Planes Planes in in Space Space 807 807

z

z

z

6

D

6

5

D

5

Q = (3, −1, 4) 3

Q = (3,

(3,

−1,

−1,

4)

4)

3

2

−2 2

−2

−2

1

2

3

4

1

2 1

−1

x

3

4

−1 1

−1

x

−2

−2

−2

2

2

3

3

4

4

5

5

y

y

La distancia del punto Q a la recta es

The The distance between the the point point Q

and and the the

6 line is

2.45.

line is 6 2.45. 2.45.

Figura Figure Figure 11.55 11.55

EJEMPLO 7 Hallar la distancia de un punto a una recta

EXAMPLE 7 Finding the Distance Between a Point and a Line

Hallar la distancia del punto Q3, 1, 4 a la recta dada por

Find the the distance between the the point

Q 3, 3, 1, 1, 4

and and the the line line given by by

x 2 3t, y 2t, y z 1 4t.

x 2 3t, 3t, y 2t, 2t, and and z 1 4t. 4t.

Solución Solution Usando Using los the the números direction de dirección numbers 3, 3, 22,

2, y 4, and and se 4, sabe 4, you you que know un vector that that de a direction

dirección

de la vector recta for for es the the line line is is

u u 3, 2, 3, 3, 4. 2, 2, 4 ..

Vector Direction

Direction de dirección vector

vector de for

for la line

line recta.

Para To To determinar find find a point un on on punto the the line, en line, la let let recta, t se 0

and hace and obtain

t 0 y se obtiene

P P 2, 0, 2, 2, 1. 0, 0, 1 ..

Punto Point

Point sobre on

on la the

the recta. line

line

Así, So, So,

PQ \ PQ \

PQ \ 3 3 2, 1 2 ,, 1 0, 40, 0, 4 1 1 5, 1, 5, 5, 3 1, 1, 3

y se and and puede you you formar can can form el producto the the cross vectorial product

4

i i

j j

k k

PQ \ PQ \

PQ \

u u

5 51

1

3 3

2i 2i 2i11j11j 7k 7k 7k2, 11, 2, 2, 11, 7. 11, 7. 7.

3 32

2

4

Por Finally, último, using usando Theorem el teorema 11.14, 11.14, you you se can can encuentra find find the the que distance la distancia to to be be es

D PQ \

PQ \

u u

D

PQ\ u u

174 174 174

29 29 29

6 6 2.45. 2.45.

Ver figura See

See

Figure

Figure 11.55. 11.55.

11.55.

11-5 11.5 Exercises Ejercicios

See

See

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for

for

worked-out

worked-out

solutions

solutions

to

to

odd-numbered

odd-numbered

exercises.

exercises.

En In In Exercises los Exercises ejercicios 1 and and 1 y 2, 2, the the la figura figure figure muestra shows shows the the la graph graph gráfica of of de a line una line given given recta

dada by by the the por parametric las ecuaciones equations. paramétricas. (a) (a) Draw Draw an an a) arrow arrow Dibujar on on una the the line line flecha to to

sobre indicate indicate la recta its its orientation. para indicar To To print print su dirección. an an enlarged enlarged b) Hallar copy copy of of las the the coordenadas

de dos puntos, P y Q, en la recta. Determinar el vector PQ \ graph, graph,

go go to to the the website website www.mathgraphs.com. (b) (b) Find Find the the coordinates

.

¿Cuál of two es points, la relación and entre on las the componentes line. del vector the vector y los coeficientes

What What is de is the the t en relationship las ecuaciones between between paramétricas? the the components ¿Cuál es of of la the the razón vector vector de

PQ \

of two points, P

and Q, Q, on the line. Determine the vector PQ \ ..

esta and and relación? the the coefficients c) Determinar of of tt

the the las parametric coordenadas equations? de todos Why Why los puntos is is this this

de true? true? intersección (c) (c) Determine con los the the planos coordinates coordenados. of of any any points points Si la of recta of intersection

no corta

awith uno the de the los coordinate planos coordenados, planes. planes. If If the explicar the line line por does does qué. not not intersect intersect a

plane, explain why.

1.

coordinate

x 1 3t

plane, explain why.

2. x 2 3t

1. 1. yx 21 t3t

3t

2. 2. yx 2 3t 3t

zy 2 5t tt

zy 12

t

z 2 5t 5tz

z 1 tt

z

z

z

x

y

x

y

x

y

y

z

z

In En In Exercises Exercises los ejercicios 3 and and 3 4, y 4, 4, determine determinar whether whether si cada each each punto point point yace lies lies sobre on on the the la

line. recta. line.

3. 3. x 2 t, t, y 3t, 3t, z 4 tt

a) a) 0, 0, 6, 6, 6

b) b) 2, 2, 3, 3, 5

4. x 3

y 7

4.

z 2

2 8

a) a) 7, 7, 23, 23, 0

b) b) 1, 1, 1, 1, 3) 3)

In En In Exercises Exercises los ejercicios 5–10, 5–10, 5 a find find 10, hallar sets sets of of conjuntos (a) (a) parametric de a) ecuaciones equations equations paramétricas

(b) symmetric y b) ecuaciones equations equations of of simétricas the the line line through through de la recta the the point por point el parallel parallel punto pa-

to to

and and

(b)

the ralela the given given al vector vector o or or recta line line (if dado (if possible). possible). (si es posible). (For (For each each (Para line, line, cada write write recta, the the

direction escribir direction los numbers numbers números as as de integers.) integers.) dirección como enteros.)

Point Punto Point

5. 5.

0, 0, 0, 0, 0

0

6. 6.

0, 0, 0, 0, 0

0

7. 7.

2, 2, 0, 0, 33

8. 8. 3, 0, 3, 0, 22

9. 9. 1, 0, 1, 0, 11

x

10. 10.

3, 3, 5, 5, 44

Parallel Paralela Parallel to to a

v 3, 3, 1, 1, 5

v 2, 2, 5 2, 2, 11

v 2i 2i 4j 4j 2k 2k

v 6j 6j 3k 3k

x 3t, 2t, t

3 3t, y 5 2t, z 7 7 t

x 1

y 1

2 z 3

3 2

808 CAPÍTULO Chapter 11 11 Vectors Vectores and y the la geometría Geometry del of espacio Space


808 808 Chapter 11 11 Vectors and and the the Geometry of of Space

In Exercises 11–14, find sets of (a) parametric equations and (b)

En

symmetric

los ejercicios 11 a 14, hallar conjuntos de a) ecuaciones

equations of the line through the two points (if pos-

paramétricas

In Exercises 11–14,

y b) ecuaciones

find sets of

simétricas

(a) parametric

de la recta

equations

que pasa

and (b)

por

los In

sible). (For dos puntos each line, (si find

write es posible). sets of

the (a)

direction (Para numbers cada recta, as integers.)

symmetric

In Exercises

equations

11–14, find

of the

sets

line

of (a)

through

parametric

the two

equations escribir and

points (if

and (b)

possible).

los (b)

números de 2

symmetric 11. 5, (For 3, each

equations dirección 2 line, ,

of 3, write

como the enteros.) line the two (if pos-

3, of 2 3,

3, 1the the

line

direction

through 12.

0, numbers 4, the 3 , two 1, points

as 2, integers.) 5

(if possible).

(For line, the as 13. 7,

(For 2,

each 6 ,

line, 3, 11. 5, 3, 3 , 0,

write 3 , 6

the direction 14.

0, 0,

numbers 25 , 10,

as 10,

integers.)

0

2

12. 0, 4, 1, 2, 11. 5, 3, 2 , 2

11. 5, 3, 2 , 3, 2 3, 1 12. 0, 4, 3 , 1, 2, 5

13. In Exercises 7, 2, 15–22, 3, 2 3, 0, find 3, 1 12. 0, 4, 3 , 1, 2, 5

a set of 14.

parametric 0, 0, 25 10, equations 10, of the

13. 13. 7, 2, 6 , 3, 0, 6 14. 0, 0, 25 , 10, 10, 0

line. 7, 2, 6 , 3, 0, 6 14. 0, 0, 25 , 10, 10, 0

En In Exercises los ejercicios 15–22, a find 22, hallar set un of parametric conjunto de equations ecuaciones of paramétricas

line.

the

In In 15. Exercises The line de passes

la 15–22, through find

recta.

find a a set the set point of of parametric 2, 3, 4

and equations is parallel of of to the

the

the

line. line. xz

-plane and the

yz

-plane.

15. La The recta line pasa passes por through el punto the (2, point 3, 4) 2, y es 3, paralela and is al parallel plano xz to the

15.

y al

15. 16. plano xz

The line

-plane

line line yz. and

passes passes the

through through the

yz-plane.

the the point point 2, 2, 3, 3, 4, 445, and and 2

is and is parallel is parallel to to the the to

xz xz the -plane xy

-plane and and the and the

yz yz the -plane.

-plane.

16. La The recta line pasa passes por through el punto the (4, point 5, 2) y 4, es 5, paralela and is al parallel plano xyto

16.

y

16. 17. al the

The plano xy

line -plane

passes yz. and the

through the

yz-plane.

the point point 2, 4, 3, 4, 5, 45, 2and 2

and and is is perpendicular

is parallel to to

the the to xy the xy

-plane and given and the the by

yz yz 3x -plane. 2y z 6.

17. La The recta line pasa passes por through el punto the (2, 3, 4) 2, y 3, es perpendicular and is perpendicular

17.

al plano

17. 18. dado to

The the

line por plane

passes 3x given

through the 2y by

z3x the point 6. 2y

point 2, 2, 4, 3,

6.

3, 5, 442

and and and is is is is perpendicular

to to to the the plane given by by

3x 3xx 2y 2y 2y zz z 6. 6. 5.

18. La The recta line passes pasa por through el punto the (4, point 5, 2) 4, y 5, es perpendicular and is perpendicular

18.

al plano

18. 19. dado to

The line

the

line line por plane

passes passes xgiven through through the

2yby

z the the point point 5, 4, 5. 2y 4, 5,

5.

5, 3, 2

2 and and 4

is and is perpendicular is parallel to

to to v the the 2, plane 1, given 3 .

by by xx 2y 2y zz 5. 5.

19. La The recta line passes pasa through por el the punto point (5, 5, 3, 3, 4) and y es is parallel paralela to

19.

a

19. 20. The line 2, passes 1, 3.

through the the point 5, 5, 1, 3, 3, 4, 443

and and is is is parallel to to to

vv 2, 5i 2, 1, 1, j. j. 33 ..

20. La The recta line passes pasa through por el the punto point (1, 1, 4, 4, 3) and y es is parallel paralela to

20.

a

20. 21. The line

5i

line passes j.

through the the the point point 2, 1, 1, 1, 4, 4, 2 and 33

and and is parallel is is parallel to to the to

vvline

5i x5i j. j. t, t, y 1 t, t, z 2 t. t.

21. La The recta line passes pasa por through el punto the point (2, 1, 2, 2) 1, y es and paralela is parallel a la to recta the

21. 21. 22. xline

The line

t,

line line passes passes y t,

through through the

1 t, z 2 t,

the the point point 2,

2, 1,

t. t.

1, 6, 220, and and 8 is and is parallel is parallel to to the the to

line line the xline

x x t, t, y5y 12t,

1 y t, t, zz 4 222t,

t. zt.

0.

22. La The recta line passes pasa por through el punto the (6, point 0, 8) 6, y 0, es paralela and parallel a la recta to

22. 22. The line the 6, 0, 8 and is to

In Exercises xthe The line

line

5 passes

2t, 23–26, y through

4 2t, find the the 2t, coordinates z point

0. 2t,

6, of 0.

0, a 8

the line

point and Pis on parallel the line to

x 5 2t, y 4 2t, z 0.

and the a vector line x v

parallel 5 2t,

to y the line. 4 2t, z 0.

En In Exercises los ejercicios 23–26, find a 26, the hallar coordinates las coordenadas of point de un on punto the line

In find the of a on the lineP

sobre and

In 23.

Exercises x la vector 3 recta 23–26, t, t,

y parallel y find

un vector 1 the

the 2t,

coordinates

v paralelo line. z 2

of a point

P on the and and a v

the line. a la recta.

24.

x

a vector

4t,

v

y

parallel 5 t,

to the

t, z

line.

4 3t

23.

t,

1 2t,

2

23. 23. xx 337

t, t, y yy6

11 2t, 2t, zz 2x2

3

y

z 3

24. 25. 4t,

t,

z

2

3t

24. x 26.

24. x 4

4t, 4t, yy 2

55 t, t, zz 44 3t 3t 5

8

6

x 3

25. 26. 26. y 5 8 z x 7 y 6

x 3 y z 3

25. In 3

Exercises x 7

27–30, y 6

determine z 2 if if any 26.

of x the 3

lines y

are z parallel 3

25. 4 2

z 2 26.

5 8 6 6

or

identical. 4 2

5 8 6

In Exercises 27–30, determine if any of the lines are parallel or

En In los ejercicios a 30, determinar if any si of algunas the de are las rectas son or

identical.

In 27.

Exercises L 1 :

x 627–30, 3t,

determine y 2 if 2t, any of z the 5 lines 4t

are parallel or

paralelas identical. o idénticas.

L 2 27.

:

x 6t, y 2 4t, z 13 8t

3t,

2t,

4t

27. 27.

L 1 : 13 :

:

xx 6610 3t, 3t, 6t, yy y 232 2t, 4t, 2t,

z 575 4t 8t 4t

6t,

4t,

13 8t

L 2 : 24 :

:

xx 6t, 6t, 4yy 6t, 22 y4t,

4t, 3zz 4t, 13 13z 8t 8t 5 6t

10 6t,

4t,

8t

28.

L 3 : 31 :

:

xx 10 10 3 2t, 6t, 6t, y y 336t,

4t, 4t, z zz1 772t

8t 8t

6t,

4t,

6t

L 4 : 42 28.

:

:

xx 144 2t, 6t, 6t, yyy 331 4t, 4t,

z

z 3t 55 6t 6t

2t,

6t,

2t

28. 28.

L 1 : 13 :

:

xx 33 12t,

2t, 2t, yy y 6t, 6t, 3 zz10t,

11z 2t 2t1 4t

2t,

t,

3t

L 2 : 24 t,

:

:

xx 115 2t, 2t,

yy 111 t, t, t, zzz

83t

3t 3t

2t,

10t,

4t

L 3 : x 8

1 y 2t, 5

y z 3 9

10t, z 1 4t

29.

3 : x 1 2t, y 3 10t, z 1 4t

L 2t,

t,

3t

4 : 1 L x 4

5 2t, 2y 1 3

4 : x 5 2t, y 1 t, t, zz 88 3t 3t

29.

x 29.

87

y 54

z 96

29. 1 : 2 x 8 y 5 z 9

L 1 ::

442

21

2 335

x 74

y 41

z 618

2 : 3 x 7 y 4 z 6

L 2 ::

22

8

114

55

6

18

x 42

y 13

z 18 4

3 : 4 x 4 y 1 z 18

L 3 ::

882

441

1.5

66

x 2 y 3 z 4

4 :

x 2 y 3 z 4

L 4 :

1.5

22

11

1.5 1.5

CAS

CAS

CAS CAS

x 3

y 2

z 2

30.

L 1 :

2

1

2

30.

x 31

y 21

z 23

30.

1 : 2 x 3 y 2 z 2

30. L 1 ::

224

112

224

x 12

y 1

z 3

2 : 3 x 1 y 1 z 3

L 2 ::

441

20.5

2 441

x 23

y 1

z 32

3 : 4 x 2 y 1 z 3

L 3 ::

0.5

112

0.5 0.5 4

11

1

x 3 y 1 z 2

En

In Exercises los 4 :

x 3

ejercicios 31–34, y 31 determine 1 z 2

L a 34, determinar whether si

the las

lines

rectas intersect, se cortan,

and y

if

4 :

2 4 1

si if

es

so, así,

find hallar

the 2

point el punto

of 4

intersection 1

de intersección

and the

y el

cosine coseno

of del

the ángulo

angle de

of

In Exercises 31–34, determine whether the lines intersect, and if

In intersección.

intersection.

so,

In find

Exercises the point

31–34, of

determine intersection

whether the

and the

the cosine

lines of

intersect, and

the angle

and if

of

if

so,

intersection.

so, 31. find find x the

the

4t 4t

point

2, 2, of yof

intersection

3, 3,

z and tt and

1the cosine of of the the angle of of

intersection.

31.

x 2s 2s 2, 2,

y 2s 2s 3, 3,

z s 1

4t 3,

31.

31. 32.

x x 4t

3t 4t 3t 2,

2,

1, 1, yy y

3,

3, 4t 4t z

z1, 1, z t

t 2t 2t 1

1

2s 2,

2s 3,

4

x

32.

x 2s

3s 2s 3s 2,

3t

1, 2, 1, 1, y y 2s 2s 2s 2s

4t

4, 4, 3, 3,

1, z z s z s 2t

s 1

1

32. 32. x x 3s y 3t 3t 2

1,

1,

1 1, y y 4t 2s 1,

4t x1, 1, zz1

2t 2t 44

z 3

33.

z 1,

4, y 2

x x3

3s 3s 1

1, 1, yy 2s 2s 4, 4, z z4

ss 11

33

33.

3 x

y 2

1, x 1

z 3

33. 34. x

2y 2y 2

x 3

z 2

z 1,

z x 3, 3, 1

y 2y 5z 3

33.

3 3

1

6 z 1,

4

2 y 2

3 1

4

33

4

34. x 2 y 2

3, x 3

z 2

34. En In Exercises x 2

los ejercicios 35 y and 2

35 y z36, use usar 3, a computer x 3

un sistema y algebraico 5 system z 2

34.

por computadora

the pair para

3 6

z 3,

2

y 5 to graph

4

3of intersecting representar

6 lines gráficamente and 2

find el the par point de rectas of intersection.

4

que cortan

Exercises y hallar 35 el punto and 36, de use intersección.

computer algebra system to graph

In

In 35 and 36, use a to the

In 35.

Exercises

pair x of 2t intersecting

35 3, and y 36, 5t lines

use 2, a

and z computer

find t the 1

algebra

point of

system

intersection.

to graph

the

35. the pair pair

of

2t 3, y 5t 2, z

and

t

find

the

1

of x

of

2s

intersecting

7, y s

lines

8,

and

z

find

2s

the

1

point of intersection.

35.

2t 3, 5t 2, 35. 35. 36.

x x 2s 2t 2t 2t 3, 1, y7, y y5t 5t s4t 2, 2, 8, z10, z z z t2s t t

1

1

2s 7, 8, 2s 36. x x 2t2s 2s 5s 1, y7, 12, y4t yy ss3s 8, 8, 10, zz11, z 2s z 2st

112s 4

36.

2t 1, 4t 10, 36. 36. x x 5s 2t 2t 1, y12, y y 4t 4t3s 10, 10, 11, zz z 2s tt

4

Cross Product

5s 12, In Exercises 3s 11, 37 and 38, 2s(a) find x 5s 12, y 3s 11, z 2s 4

the coordinates

Producto of three x vectorial points 5s 12, P,

Q, y

En and 3s los ejercicios R11, in z the 37 plane, 2s y 38, and 4

a) hallar determine las coordenadas

Product de \

tres In puntos Exercises \ P, Q y 37 R and en \ el 38, plano, (a) \ find y determinar the coordinates

vectors PQ \

and In PR \ . (b) Find 37 PQ \

the

Cross

and 38, PR \

(a).

find What the is the relation-

los vectores

three of

Cross Product

PQ \

points y PR \ . b) P,

In

Hallar Q,

Exercises and PQ 37 \

in and

PR the \ . ¿Cuál plane,

38, (a) es and

find the

la relación determine

coordinates

entre the

of ship between the P, Q, components and the of the cross and product and the the

of three points P, Q, and R in the plane, and determine the

las

vectors componentes PQ \

and del PR \ producto (b) Find vectorial PQ \ PR y \ What los coeficientes is the relation-

coefficients

PQ \

and

of the

PR

equation \

. (b) of

PQ

the plane? \

PR \ .

Why is

is

this

the

true?

ship the of the and the

de la

ship

vectors

ecuación between

PQ \

and

del plano? the

PR \

components

. (b) Find PQ \

¿Cuál es la of razón? the

PR \

cross

. What

product

is the

and

relationship

37. 4x between 3y of the

the

coefficients

the 6z equation

components 6

of the

of

plane? 38.

the 2x cross

Why 3y product

this 4z true? 4

and the

37. coefficients 4x 3y

of of

the the 6z 6

of the

38.

2x 3y

is 4z

this

z equation of the plane? Why zis this true? 4

37. 4x 3y 6z z

38. 2x 3y

z

4z 37. 37. 4x 4x 3y 3y 6z 6z 66

38. 38. 2x 2x 3y 3y 4z 4z 44

zz

y

y

x

y

x

y

x

y

x

y

yy

xx

xx

In Exercises 39 and 40, determine whether the plane passes

through each point.

In En Exercises los ejercicios 39 and 39 y 40, 40, determine determinar whether si el plano the pasa plane por passes

In cada

through

In 39.

punto.

Exercises x each 2y 39 point.

39 4zand 140, 0

determine whether the the plane passes

through a)

each 7, 2,

point.

1)

b)

5, 2, 2

39.

2y 4z 39. 39. 40.

xx2x 2y 2yy 4z 4z 3z 116 00

a) 7, 2, 1) b) 5, 2, a) a) a) 3, 7, 7, 6, 2, 2, 2

1) 1) b) b)

b)

5, 5, 2, 1, 2, 25, 2

1

40. 2x 3z 40. 40. 2x 2x yy 3z 3z 66 00

a) 3, 6, b) 1, 5, a) a) 3, 3, 6, 6, 22

b) b) 1, 1, 5, 5, 11

zz

En los ejercicios 41 a 46, hallar una ecuación del plano que pasa

In

por In el Exercises punto y es 41–46, perpendicular find an an al equation of

vector o of of recta the dado.

plane passing

In through

Exercises the point

41–46, perpendicular

find an equation to

to to the given

of the vector

plane or or line.

passing

through the point perpendicular to the given vector or line.

Punto

a

Point

Perpendicular to

to

to

Point

1,

1,

3,

3, Perpendicular j

to

41.

1, 3, 41.

0,

1, 3,

0,

1,

1, 7

n

j

42.

0, 1, 42.

3,

0,

3,

2,

2, 1, 4

n

2i

k

43.

3, 2, 2i 2i 3j

3j 3j 43.

0,

3,

0,

0,

2,

0, 2

n 2i 3i

3j

3i

2k

k

44.

0, 0, 3i 2k

44. 0, 1,

0,

1,

4,

0

4, x

n 3i 2t,

2k

45.

1, 4, 2t, y t,

t, t, z 2t

2t

2t

45. 1, 4, 0

x

x 1 2t, y z

5 t, z 3 2t

3,

3, 2,

2, y 46. 3, 2, x 1

z 3

46. 3, 2, 2

y 2

4

3

In

En In Exercises los ejercicios 47–58, a find an

58, an hallar equation of

una ecuación

of of the plane.

In Exercises 47–58, find an equation of the plane. del plano.

47. 47. El The plano plane que passes pasa through 0,

por (0, 0,

0, 0, 0,

0),

0, 0, (2, ,

2,

0,

2, 2, 0,

3)

0, 0, y ,

(3, and 3,

–1, 5).

3, 3, 1,

1, 1, .

47.

48. The

El plane

plano passes

que through

pasa 3,

0, 0,

por (3, –1,

3,

1,

0

2),

1, ,

(2, ,

2, 2,

0,

1,

2,

1,

3

5)

1, ,

y ,

and

(1,2, 1,

3,

–2).

1,

2,

1, 5

2, .

48. The plane passes through 3, 1, 2, 1, and

1, 2, 2.

48.

49. The

El plane

plano passes

que through

pasa 1,

3,

por (1, 2,

1,

2,

1,

3),

2, (3, ,

2 3,

, 2,

2,

3,

2,

1,

1)

2, y ,

5

(1, , and 1, 1,

2,

2,

1,

2,

2).

2, 2.

49. The plane passes through 1, 2, 3, 2, and

1, 2, .

49.

50. The

El plane

plano passes

que through

pasa por 1, 2,

el punto 3 , 3,

(1, 1,

2,

2, 3)

1,

2,

1

y

2, , and

es paralelo is

is 1, 2, 2

al to

.

50. The plane passes through the point 1, 2, and is parallel

plano yz.

to

to

50. The the

yz-

plane.

passes through the point 1, 2, 3 and is parallel to

El plano que pasa por el punto (1, 2, 3) y es paralelo al plano xy.

the yz-

plane.

51. The plane passes through the point 1,

1, 1, 2,

2, 2, and is

is is parallel to

to

to

52. 51. El The the plano xy-

plane. contiene passes el through eje y y forma the point un ángulo 1, 2, 3de and 6is con parallel eje to x

positivo.

the

xy-plane.

52. The plane contains the y-

y-

y-

axis and makes an an angle of

of of with

53. 52. El The the plano positive

plane contiene contains x-

x-

x-

axis. las the rectas y-axis dadas and por makes an angle of 6 with

x the positive

1

x 2

y

3 y 1 z 2

2

y x-axis.

53. The plane contains 4 z

the lines given by

by

53. The plane contains the lines given by

x 4 1 .

x y z y z

x

54. El plano 1

and x

pasa por el punto (2, 2, 1) 2 y

y contiene 1 z

la recta .

2

y 4 z and

dada por

2

3 4 1 .

54. x

The

2 y plane 4

1 passes z. through the point 2,

2, 2, 2,

2, 2, and contains the

54. The line given

plane by

by

passes through the point 2, 2, 1 and contains the

line given by

x

55. El y

plano pasa z. por los puntos (2, 2, 1) y (1, 1, 1) y es perpendicular

x

y 4

z.

al plano z. 2x 3y z 3.

z.

2 1

56. 55. El The plano plane pasa passes por los through puntos the (3, points 2, 1) y 2,

2, 2, (3, 2,

2, 2, 1, 5) and y es 1,

1, 1, perpendicular

The and is

1,

1, 1, 55.

is is

plane al perpendicular plano passes 6x through to to to 7y the the 2z plane points 2x 10.

2x

2, 3y 3y

2, 1z and 3.

3.

3.

1, 1, 1

57. El and plano is perpendicular pasa por los puntos

to the plane

(1, 2,

2x 1) 3,

3y

3, y 2,

2, (2, z 5, 6)

3.

56. The plane passes through the points 3, and y 3,

3,

es 3, 1,

1,

parale-

1, 56. lo The and al is

is

eje is

plane perpendicular x. passes through to

to to the plane

the points 6x 6x 7y 7y

3, 2, 2z 1

2z

and

10.

3, 1, 5

58. El and plano is perpendicular pasa por los puntos

to the plane

(4, 2,

6x

1) y 1,

1, (3,

7y

2,

2, 5,

2z 7) y

10.

57. The plane passes through the points 1, 2, and es paralelo 2,

2, 2, 5,

5, 5, 57. al The and eje is

is is

plane z.

parallel

passes to

to to the

through x-

x-

x-

axis.

the points 1, 2, 1 and 2, 5, 6

58. and The is parallel plane to the

passes x-axis.

through the points 4,

4, 4, 2,

2, 2, and 3,

3, 3, 5,

5, 5, En 58. los The and ejercicios is

is is

plane parallel

passes 59 to

to to y the 60, through z-

z-

z- representar axis.

the points gráficamente 4, 2, 1 and la recta 3, y 5, hallar

los and puntos is parallel de intersección to the z-axis.

(si los hay) de la recta con los planos

7

xy, In In xz Exercises y yz. 59 59 and 60, sketch graph of

of of the line and find the

In points

Exercises (if (if any)

59 where

and 60, the line

sketch intersects

a graph the

of xy

xy

the -,

-, -, xz

xz

line -,

-, -, and

and yz

yz

yz

find -planes.

the

59. points x (if 1 any) 2t, where y 2 the line 3t, intersects z 4 the xyt

-, xz-, and yz-planes.

59. x 2

2t,

2t, y 60. y 1 z 3 3t,

3t, z t

59.

x

x 3

1 2t, y z

2 2

3t, z 4 t

60. y x 2

z 3

60. y 1

3

2

En In los ejercicios a 64, hallar una ecuación del plano que con-

In Exercises 61– 64, find an equation of

of of the plane that

tiene In todos los puntos equidistantes de los puntos dados

contains

Exercises all all the 61– points

64, that

find are equidistant

equation from

of the the given

plane points.

that

contains all the points that are equidistant from the given points.

61. 2,

2, 2, 2,

2, 2, ,

0,

0, 0, 2,

2, 2, 62. 1,

1, 1, 0,

0, 0, ,

2,

2, 2, 0,

0, 0, 1)

1)

1)

61. 2, 63. 3,

2,

3, 3, 1,

0

1, 1, ,

,

0, 6,

2, 2

6, 6, 2,

2, 2, 62. 1, 64. 5,

0,

5, 5, 1,

2 ,

1, 1, 3 3, ,

2, 0,

2,

1)

2, 2, 1,

1, 1, 63. 3, 1, 2 , 6, 2, 4 64. 5, 1, 3, 2, 1, 6

CAS

CAS


11.5 Lines and Planes in

in in Space 809

11.5 Lines and Planes in Space 809

En los ejercicios 65 a 70, determinar si los planos son paralelos,

In ortogonales, In Exercises o 65–70, ninguna determine las dos whether cosas. Si the no planes son ni are paralelos parallel, ni

In ortogonales, orthogonal,

Exercises or 65–70,

hallar or neither.

determine If

el ángulo If If de they

whether intersección.

are neither

planes parallel

are parallel,

nor

orthogonal, orthogonal, find

or the

neither. angle of

of of

If intersection.

they are neither parallel nor

65. orthogonal, 5x 3y find z the angle of intersection. 66. 3x y 4z 65. 5x 5x 3y 4y 3y z

7z 66. 3x 3x y

9x 4z

3y 4z 12z 65. x

5x

67. 4y

3y 7z

z

3y 4

66. 3x

6z 9x

y 68. 3x 3y

4z

2y 3

4y 7z 9x 3y

z 12z x

x 3y

4y

5x 6z

7z

y 1

z 3x

9x 2y

3y 4y z

12z

2z 4

67. 3y 6z 68.

3x 2y 67. 5x

x 3y

69. y 5y z

6z

4

68.

x

3x 70.

4y

2y

2x 2z

z

z 7

5x 4y 2z x

5x 5y

y

5x z

z

25y 4

5z 3

2x

x 4y z

4x 2z 0

69. 5y 70.

2x y 69. 8z 10

5x

x 5y z 5z

1

70.

4x

2x y

z 8z

1

5x 25y 5z 4x 8z 10

10

5x 25y 5z 3

4x y 8z 10

In En In Exercises los ejercicios 71–78, a sketch 78, marcar graph toda of

of of intersección the plane and y dibujar label any la

gráfica In intercepts.

Exercises del plano. 71–78, sketch a graph of the plane and label any

intercepts.

71. 4x 4x 2y 2y 6z 6z 12

12

72. 3x 3x 6y 6y 2z 2z 71. 2x

4x y

2y 3z

6z 12

72.

2x

3x y

6y z

2z 6

73. 2x 3z 74.

2x 73. x

2x z

y 3z 4

74.

2x

2x y

y z 4

75. 76.

2x 75. x

x z 6

76.

z

2x y 8

77. 78.

77. x 5

78. z 8

In En In Exercises los ejercicios 79–82, a use 82, usar computer un sistema algebra algebraico system to

to to por graph compu-

the

In tadora plane.

Exercises 79–82, use a computer algebra system to graph the

para representar gráficamente el plano.

plane.

79. 2x 2x y

z 80. x

3z 3z 79. 2x 5x

5x

y

4y

z

6z

6

8

80.

x 3z 3

81. 4y 6z 82.

2.1x 4.7y z 3

81. 5x 4y 6z 8 82. 2.1x 4.7y z 3

In In En Exercises los ejercicios 83–86, a determine if

86, determinar

if if any of

si

of of algunos the planes de los are planos parallel

or In son

or Exercises

paralelos identical.

83–86, determine if any of the planes are parallel

or identical. o idénticos.

83. 1 :

6y 17

1 :

2x y 3z 1 15x 6y 24z 17 84.

1 2x 3z 83. P 1 2 :

: 15x 5x

6y 2y

24z 8z 17 84.

P 1 2 :

:

3x

2x 5y

y 3z 2z

8

2 5x 2y 8z 2 3x 5y 2z P 3 : 2 :

6x

5x 4y

2y 4z

8z 6

P 2 3 :

:

8x

3x 4y

5y 2z 6

3 6x 4y 4z 3 8x 4y 12z P 4 : 3 :

3x

6x 2y

4y 2z

4z 9

P 3 4 :

: 8x 4x

4y 2y

12z 6z

5

11

4 3x 2y 2z 4 4x 2y 6z 11

P 1 : 4 :

3x

3x 2y

2y 5z

2z 10

4 P 4 : 4x 2y 6z 11

85.

1 3x 2y 5z 10

85.

P 1 2 :

: 3x 6x

2y 4y

5z 10

2 6x 4y 10z P 3 : 2 :

3x

6x 2y

4y 5z

10z 5

3 3x 2y 5z P 4 : 3 :

3x 2y 5z 8

4 75x 50y 125z 250

P 1 : 4 : 75x 50y 125z

86.

250

27

1 60x 90y 30z 27

86.

P 1 2 :

:

6x

60x 9y

90y 3z

30z 27

2 6x 9y 3z P 3 : 2 : 6x 9y 3z 2

3 20x 30y 10z P 4 : 3 :

20x 12x 30y 18y 6z

10z 6z 9

4 P 4 : 12x 18y 6z 5

In In Exercises 87– 90, describe the family of

of of planes represented by

by

En In the

Exercises los equation, ejercicios 87– where

90, 87 cdescribe a is

is 90, is any describir the real family number. a la of familia planes de represented planos representada

the equation, por la where ecuación, c is any donde real c number. es cualquier número real.

87. x y z c

88. x y c

87. 89. cy

by

x y cy z

z c

88.

90. x

x cz

y c

cz cz 89. cy z 0

90.

x cz 0

In In Exercises 91 91 and 92, (a) find the angle between the two

In En planes,

Exercises

los ejercicios and (b)

91 find

and 91 y set

92, of

92, of of

(a) a) parametric

find the angle

encontrar equations

between el ángulo for entre the

the of

los line

two

dos of

of

planes, of

planos intersection

and (b)

y b) hallar of of the

find un planes.

a set of parametric equations for the line of

conjunto de ecuaciones paramétricas de la

intersection of the planes.

recta de intersección de los planos.

91. 3x 3x 2y 2y z 92. 6x 6x 3y 3y z 91.

91. x

3x 3x 4y 2y 4y 2y 2z z 2z 7

92. 6x 92. 6xx 3y 3y y 5z z 5

5z x 4y 2z 0

x y 5z 5

4y 2z x 5z



810 810 Chapter Chapter 11 11 Vectors Vectors and and the the Geometry Geometry of Space of Space

r 11 Vectors and the Geometry of Space

In Exercises 93–96, find the point(s) of intersection (if any) of WRITING ABOUT CONCEPTS (continued)

the plane and the line. Also determine whether the line lies in

In En los ejercicios a 96, hallar el o los puntos de intersección (si 115. Describe a method for determining when two planes

the In Exercises plane. Exercises 93–96, 93–96, find find the the point(s) point(s) of intersection of intersection (if (if any) any) of of

6, find the point(s) los hay) of del intersection plano y la recta. (if any) Investigar of además si la recta se halla

WRITING Desarrollo WRITING ABOUT ABOUT de conceptos CONCEPTS (continued) (continuación)

(continued)

the the plane plane and and the the line. line. Also Also determine determine whether WRITING whether the the line ABOUT line lies lies in CONCEPTS in a 1 (continued) x b 1 y c 1 z d 1 0 and

line. Also determine en el plano. whether the line lies 1in

y 32 z 1

115. 115.

115. Describe a method for determining

115. Describe Describe

when two planes

93.

x 1 a 1 x b 1 y c 1 z d 1 0 and

1 y 32 z 1 2 y 32 z 1

a

Describir a method a method

2 x b 2 y

un

c

método for for determining determining

2 z d

para

2 0

determinar when when

cuándo two two planes planes

the the

93. plane. plane.

dos planos

2x 2y z 12, x

2 1 2

a 1 xa 1 xb 2x 2y z 12,

are a 1 x(a) 1 yb 1 yc bparallel 1 y 1 zc 1 zd c 1 zand 1

d 1 0 and 0 and

1 1 y y

1

32 32z z

2

1 1

d 1 (b) 0perpendicular. y a 2 x b 2 y Explain c 2 z d 2 your 0

93. 93. 2x 2x 2y 2yz z12,

x12,

x 1x

y z 3

a

12, x 94. 2x 3y 5,

a 2 x b 2 y c 2 z d 2 0

2 1 2 x 1

94.

y are (a) parallel and (b) perpendicular. Explain your

x 1 y z 3

4 2 z 3

reasoning.

2 xa 2 x b 2 yb 2 y c 2 zc 2 z d 2

d 2 0 0

2 2 1 1 2 2

4 2 6

2x 3y 5,

116.

are

son are

Let

(a)

a) (a)

L and

parallel

paralelos parallel

L be nonparallel

and

y and b)

(b)

perpendiculares. (b) perpendicular. Explicar

lines that do not

Explain Explain el

intersect.

your

razonamiento.

your

x x 1 1 y y z z

6

3 3

1 2

Is

1

94. 94. 2x 2x 3y 3y 5, 5,

reasoning. reasoning.

5, 95. 2x 3y 10, 4 4 2

reasoning.

4 2 6

x 1

95.

y 2

1 6 z6

3

it possible to find a nonzero vector v such that v is

2x 3y 10,

3

116. Let L 1 and L 2 be nonparallel lines that do not intersect. Is

x 1 y 1

3 2 z 3

116. 116. Let

Sean

perpendicular Let L

L 1 y L 2 rectas paralelas que no se cortan. ¿Es posible

hallar un vector v distinto de cero tal que v sea perpen-

1 and L 1 and L 2 be Lto 2 nonparallel be both nonparallel L 1 and lines L 2 ? lines Explain that that do do not your not intersect. reasoning. intersect. Is Is

x x 1 1 y y 1 1

95. 95. 2x 2x 3y 3y 10, 10, x 4 y z z 32

3

it possible to find a nonzero 117.

it

Find

possible it possible

vector an vequation to find find

such that of

a

vthe nonzero a nonzero

is plane

vector vector

with x-intercept

v such v such that that

a, 0,

v

0

is v is

0,

96. 5x z 3y 3 17, 3 3

3 2

x 4

96.

y 2

1

2

,

2 3

perpendicular to both L 1 and L 2 ? Explain your reasoning.

x 4 y 1 z 2 2 3 z 5 2

perpendicular a ambos

y-intercept 0,

to

b,

both to Lboth 1 y

0 , and

L

L 2 ? Explicar el razonamiento.

1 and L

z 1 and

-intercept

L 2 ? LExplain 2 ? Explain

0, 0,

your your

c . (Assume

reasoning. reasoning.

a,

5x 3y 17, x x 4 4 y y 1 1 z z

5

2 2

Hallar una ecuación del plano con intersección en x (a, 0),

96. 96. 5x 5x 3y 3y 17, 17,

117. 117. Find b, Find and an can equation are equation nonzero.) of of the the plane plane with with x-intercept

x-intercept

a, 0, 00, , 0 ,

7, In Exercises 97–100, find 2 the 2 distance 3 3between 117. 5 5 Find the point an equation and the of the plane ywith intersección y-intercept x-intercept

0, b,

en 0, 0 b, a, y

, 0 and

(0, , 0 and b,

z,

0) z-intercept e intersección

0, 0, 0, c 0, . c (Assume

en . (Assume z (0, 0,

a,

c). a,

2 plane. En 3los ejercicios 5 97 a 100, hallar la distancia del y-intercept punto al 0, plano. b, 0 , and z-intercept b,

(Suponer

and b, and 0, c are 0, c c are que

nonzero.) . (Assume nonzero.) a, b y c son a, distintos de cero.)

In Exercises In Exercises 97–100, 97–100, find find the the distance distance between between the b, the and point point c are and nonzero.) and the the

0, find the distance plane. 97. plane. 0, between 0, 0 the point and the 98. 0, 0, 0

CAPSTONE

2x 3y z 12

5x y z 9

118. Para Match discusión the equation or set of equations with the description

97. 97. 0, 0, 0, 00, 0

98. 98. 0, 0, 0, 00, 0

CAPSTONE

99. 98. 2, 8, 0, 40, 0

100. 1, CAPSTONE

3, 1

it represents.

Encontrar la correspondencia entre la ecuación o conjunto

2x 2x 3y 3yz z12

12

5x 5xy yz z9

9

118. 118. Match Match

12

2x 5x y y z z 5 9

3x 118. 4y Match 5z the 6 equation or set of equations (a) Set

the the

with of

equation equation

the parametric

or set set

description equations

of equations of equations

of a

with with

line

the the description description

de ecuaciones que cumple con la descripción indicada.

99. 99. 2, 8, 2, 48, 4

100. 100. 1, 3, 1, 3, 1 1

it represents. it represents.

100. 1, 3, 1

it represents.

(b) a) Conjunto Set of symmetric de ecuaciones equations paramétricas of a line de una recta

In En Exercises los 2x 2x ejercicios y y101–104, z z5

a 5verify 104, verificar that the que 3xtwo los 4y planes dos 4y planos son paralelos,

y

5

3x

hallar

4y

la distancia

5z 6

(a)

5zare Set

6

of

parallel, 6

(a) (a) Set Set of parametric of parametric equations equations of a of line a line

parametric equations (c) of a Standard line equation of a plane in space

and find the distance between entre the ellos. planes.

(b)

b) (b) Conjunto

Set Set of symmetric of de symmetric ecuaciones

equations equations simétricas

of a of line a de line una recta

In In Exercises Exercises 101–104, 101–104, verify verify that that the the two two planes planes (b) are Set are parallel, of symmetric parallel, equations (d) of a General line form of an equation of a plane in space

104, verify that 101. the xx two 3y 3y planes 4z 4z are 10 10 parallel, 102.

4x 4x 4y 4y (c) 9z 9z Standard 7

(c)

c) (c) Ecuación

Standard Standard estándar

equation equation de

of

un

a of plane

plano a plane in

en

space in el space espacio

and and find find the the distance distance between between the the planes. planes.

7 equation of a plane i) in space x 6 2 y 1 3 z 1

nce between the planes.

xx 3y 3y 4z 4z 6

6

4x 4x 4y 4y(d) 9z 9z General 18

(d)

d) (d) Forma

General General general

form form of

de

an of la

equation an ecuación equation of

de

a of un

plane a plano plane in

en

space in el space espacio

18

101. 101. x x 3y 3y 4z 4z 10 10 102. 102. 4x 4x 4y 9z 9z 7 7 form of an equation ii) of a 2xplane 7yin space 5z 10 0

10 103. 102. 3x 4x 6y 4y 6y 7z 9z 7z 17

1 104.

2x 2x 4z 4z i)

4

i) i) x x 6 62 2 y y 1 1 3 3z 1z 1

4

x x 3y 3y 4z 4z 6 6

4x 4x 4y 4y 9z 9z x 186182 y 1 3 iii) z 1x 4 7t, y 3 t, z 3 3t

6

6x 6x4x 12y 12y 4y14z 14z 9z 25

18 25 2x 2x 4z 4zii)

10

ii) ii) 2x 2x 7y 7y 5z 5z 10 10 0 0

10

103. 103. 3x 3x 6y 6y 7z 7z 1 1 104. 104. 2x 2x 4z 4 2x 4 7y 5z 10 0 iv) 2(x 1) (y 3) 4(z 5) 0

7z 1 104. 2x 4z 4

iii) iii) x x 4 47t, 7t, y y 3 3 t, zt, z 3 33t

3t

In Exercises 6x 6x 12y105–108, 14z 14zfind 25 25 the distance 2x 2x between 4z 4z iii) 10 the x10point 4 and 7t, y 3 t, z 3 3t

14z 25 En los ejercicios 2x 4z 105 10a 108, hallar la distancia del punto a la recta iv) iv) 2(x 2(x 1) 1) (y (y 3) 3) 4(z 4(z 5) 5) 0 0

the line given by the set of parametric equations. iv) 2(x 1) (y 3) 4(z 5) 0

In

dada In Exercises Exercises por medio

105–108, 105–108, del conjunto

find find the the de

distance

ecuaciones distance between between paramétricas.

the the point point and and 119. Describe and find an equation for the surface generated by all

108, find the the 105. distance the 1, 5, between 2; x 4t point 2, and y 3, z t 1

119. Describir y hallar una ecuación para la superficie generada por

105. line line

1, given given

5, 2; by by the the

x set set

4t of parametric of parametric

2, y 3, equations. equations.

z t 1

points x, y, z that are four units from the point 3, 2, 5 .

he set of parametric

106. 1,

equations.

2, 4 ; x 2t, y t 3, 2t 2

119. 119. todos los puntos (x, y, z) que están a cuatro unidades del punto

106. 1, 2, 4; x 2t, y t 3, 119. z Describe 2t 2 and find an equation 120.

Describe Describe

for Describe

and and

3, the 2, surface and

find find

5. generated find

an

an

equation an equation

equation

for for

by all for

the the

the

surface surface

surface

generated generated

generated

by by all all

by

105. 105. 1, 5, 1, 5, 2; 2; x x 4t 4t 2, 2, y y 3, 3, z z t t1

1

points points

x 4t 2, 107. y 3, 2, z1, 3 ; t x 1 1 t, y 2 t, z

107. 2, 1, 3; x 1 t, y 2 t, z

points 2t

2t

x, y, z that are four units all from points

x, y, x, zy, the point x,

that z that

y, 3, z

are are

that

four four

2, 5 . are

units units

four

from from

units

the the point point

from

3, 3,

the

2, 52, plane

. 5 .

106. 106. 1, 1, 2, 42, ; 4 ; x x 2t, 2t, y yt t3, 3, z z 2t 2 2

120. 120. Describe 4xDescribir Describe 3y and y zand hallar find 10. find an una an equation ecuación equation for para for the la the surface superficie surface generated generated generada by por by

x 2t, y 108. t 3, 4, z 1, 52t;

x2

3, y 1 3t,

108. 4, 1, 5; x 3, y 1 3t,

120. z 1

z

Describe t

1 t

and find an equation for todos the los surface puntos generated x, y, z que by

107. 107. 2, 2, 31, ; 3 ; x x 1 1 t, t, y y 2 2 t, t, z z 2t 2t

están a cuatro unidades del plano

x 1 t, y 2 t, z 2t

all points x, y, z that 121.

all all

are four Modeling

points points

units Data

x, y, x, zy, z

from Per

that that the capita

are are

plane consumptions

four four units units from from

(in gallons)

the the plane plane

of

In Exercises 109 and 110, verify that the lines 4xare 3y parallel, z and

4x 4x

10.

different

3y 3y

types

z z

of

10. 10.

108. 108. 4, 4, 1, 51, ; 5 ; x x 3, 3, y y 1 13t,

3t, z z 1 1 t t

milk in the United States from 1999 through

x 3, y find 1En los the 3t, ejercicios distance z 1 between 109 t y 110, them. verificar que las rectas son paralelas 121. 121. Modeling 2005 Modelado Modeling are shown Data matemático Data in Per the Per capita table. capita Los Consumptions consumos consumptions per of (in cápita flavored (in gallons) (en gallons) galones) milk, of of

In y Exercises In hallar Exercises la distancia 109 109 and and 110, entre 110, verify ellas. verify that that the 121. the lines lines Modeling are are parallel, parallel, Dataand

and Per capita consumptions different de diferentes (in tipos gallons) de leche of

plain different reduced-fat types types of milk, of milk in and the in plain the United United en light Estados States and States skim from Unidos from milks 1999 1999 are desde through represented

2005 are by are shown the shown variables in the in the table. x, table. y, en and la Consumptions tabla. z, respectively. El of consumo flavored of flavored (Source: de milk, milk, leche

through 1999

nd 110, verify find 109. find that the L 1 the :

distance x distance lines 2 are between t, between parallel, y them. 3 them. and 2t, z 4 tdifferent types of milk in the United 2005 hasta States 2005 from se 1999 muestran through

etween them. 109.

L

L 1 :

x

x

3t,

2

y

t, y

1

3

6t,

2t,

z 4

z 4

3t

2005 t are shown in the table. Consumptions descremada of y flavored semidescremada, milk,

2 :

plain U.S. plain Department reduced-fat reduced-fat milk, of milk, Agriculture) and and plain plain light leche light and and skim reducida skim milks milks en are grasas are representesented

by by the the variables variables x, y, x, and y, and z, respectively. z, respectively. (Source: (Source:

repre-

y la

109. 109. L 1 L:

L

x 3t, y 1 6t, z 4 3t plain reduced-fat milk, and plain light leche and entera skim milks se representa are represented

by the variables x, y, and

por las variables x, y y z, respectivamente.

z, respectively. (Fuente: U.S. (Source:

t, y 3 110. 2t, zL 2 : x 1 : x 2 2 t, t, y y 3 32t,

2t, z z 4 4 t t

1 : x4 3t

6t, y 2 9t, z 1 12t

110. L 2 L:

L

x 3 6t, y 2 9t, z 1 12t

Department of Agriculture)

y 1 6t, z L4 1 : x 2 : x 3t, 3t, y y 1 16t,

6t, z z 4 43t

3t

x 3t 1 4t,

3 6t, z

AñoU.S. U.S. Department Department

1999 2000of Agriculture) of Agriculture)

2001 2002 2003 2004 2005

2 :

U.S. 8t Department of Agriculture)

110. 110. L 1 L:

L

x 1 4t, y 3 6t, z 8t

6t, y 2 9t, 2 : x 1 : x 3 36t,

6t, y y 2 29t,

9t, z z 1 1 12t 12t

z 1 12t

Año x 1999 1.4 2000 1.4 2001 1.4 2002 1.6 2003 1.6 2004 1.7 2005 1.7

WRITING L 2 : L Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 2 : x

ABOUT 1 14t,

4t,

CONCEPTS

y y 3 36t,

6t, z z 8t 8t

4t, y 3 6t, z 8t

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

111.

Desarrollo

Give the parametric

de conceptos

equations and the symmetric equations xy x 1.4 7.31.4 1.4 7.11.4 1.4 7.01.4 1.6 7.01.6 1.6 6.91.6 1.7 6.91.7 1.7 6.91.7

WRITING WRITING x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

OUT CONCEPTSof a line

ABOUT ABOUT

in space. CONCEPTS

Describe what is required to find these

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

111. 111. 111. Give equations. Dar Give the las the parametric ecuaciones parametric equations paramétricas equations and and the y the

rametric equations and the symmetric equations

ylas symmetric symmetric ecuaciones 7.3

equations equations simétricas

de una recta en el espacio. Describir qué se requiere

y y 7.3 7.3 7.1 7.1 7.0 7.0 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9 6.9 6.9 6.9

7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

space. Describe 112.

of

what Give

a of line a line

para

is required the standard

space. in space. Describe Describe

hallar estas

to find equation

what what

ecuaciones.

these of a plane

is required is required

in space.

to find to find

Describe

these these

z z

equations.

what is required to find this equation.

z 6.2 6.1 5.9 5.8 A model

6.2 6.2

5.6for the

6.1 6.1

5.5 data

5.9 5.9

is 5.6 given

5.8 5.8

by 0.92x

5.6 5.6

1.03y

5.5 5.5

z

5.6 5.6

equations.

0.02.

112. 112. 112. Dar la ecuación estándar de un plano en el espacio. Describir

qué

(a) Un Complete modelo para a fourth los datos row está in dado the table por using the model to

andard equation 113.

Give Give

of a Describe

the the standard standard

plane in a space. method

equation equation

se requiere

Describe of finding

of a of

the

plane a plane

line

in

of

space. in space.

intersection

Describe Describe

of

A model A what para hallar esta ecuación. A model for the data is given by 0.92x approximate

for for the the data data

1.03y z for

is

z the

given is given

0.02. given

by by

values

0.92x 0.92x

of x

1.03y 1.03y

and y. Compare

z z0.02.

0.02.

what the

ired to find this equation. two planes.

is required is required to find to find this this equation. equation.

(a) (a) Complete approximations Complete a fourth a fourth with row the row in actual the in the table values table using of using z. the the model model to to

113. 113. 113. Describir un método de hallar la recta de (a) intersección Complete a entre fourth row in the a) table Hacer using un cuarto the model renglón to de la tabla usando el modelo para

method of finding 114.

Describe Describe

the Describe

a

dos

line

planos.

of each

method a method

intersection surface

of finding of finding

of given

the the

by

line line

the

of

equations

intersection of intersection

x

of of

a,

two approximate z for the given values (b)

approximate approximate

According aproximar of x and y. to

z for z for Compare this

the the

con model,

given given

los valores theany values values

increases

of xof and x

dados de in

y.

x y consumption

Compare y. Compare the the

two y. Comparar oflas

y

planes. planes.

b, and z c.

approximations

114. Describir toda superficie dada por las ecuaciones approximations a, with the actual values two aproximaciones types of z. of milk

with with

con will

the los have

actual actual

valores what

values values

effect

of

reales on

z. of z.

de the z. consumption

114. 114. Describe Describe each each surface surface given given by by the the equations equations x xa,

a,

ach surface given by

y

the

b y

equations z x a,

(b) (b) According

(b) According to this model, any increases b)

of According

Según

the third to

in este

type? this to this model, model, any any increases increases consumption in consumption of of

y y b, and b, and z zc.

c.

consumption modelo, cualquier of incremento en el consumo de

z c.

two two types types of milk of milk will will have have what what effect effect on the on the consumption consumption

two types of milk will have what effect dos tipos on the de consumption leche tendrá ¿qué efecto en el consumo del tercer

of the of the third third type? type?

of the third type?

tipo?


122. Diseño industrial Un colector en la parte superior de un

montacargas de grano canaliza el grano a un contenedor. Hallar

122. el Mechanical ángulo entre Design dos lados The adyacentes. figure shows a chute at the top of a

grain elevator of a combine that funnels the grain into a bin.

8 pulg

Find 8 pulgthe angle between two adjacent sides.

8 in.

6 pulg

8 in.

6 pulg

8 pulg

8 in.

123. Distancia Dos insectos se arrastran 6 in. a lo largo de rectas diferentes

en el espacio.

6 in.

En el instante t (en minutos), el primer

123. insecto Distance está Two en el insects punto are (x, crawling y, z) sobre along la recta different x lines 6 t, in

y three-space. 8 t, zAt time 3 t. t (in También, minutes), en el the instante first insect t, el segundo is at the

insecto point x, está y, en z on el punto the line (x, x y, z) 6 sobre t, y la 8recta

t, xz 13 t, t.

y Also, 2 at t, time z t, the 2t. second insect is at the point x, y, z on the

Suponer line x que 1 las t, distancias y 2 t, se zdan 2t. en pulgadas.

a) Assume Hallar that la distancia distances entre are given los dos in inches. insectos en el instante

(a) t Find 0. the distance between the two insects at time t 0.

b) (b) Usar Use una a graphing herramienta utility de graficación to graph the para distance representar between la distancia

insects entre from los tinsectos 0

tdesde

10. t 0 hasta t 10.

the

c) (c) Usando Using la the gráfica graph del from inciso part b), (b), ¿qué what se puede can concluir you conclude acerca

about de la distancia the distance entre between los insectos? the insects?

d) (d) ¿Qué How tanto close se to acercan each other los insectos? do the insects get?

11.5 Lines and Planes in Space 811

124. Hallar la ecuación estándar de la esfera con el centro en

(3, 2, 4) que es tangente al plano dado por 2x 4y 3z 8.

125. 124. Hallar Find the el punto standard de intersección equation of del the plano sphere 3x with center y 4z3, 7 2, con 4

la that recta is tangent que pasa to por the plane (5, 4, given 3) y by que 2xes perpendicular 4y 3z 8. a este

125.

plano.

Find the point of intersection of the plane 3x y 4z 7

126. Mostrar and the que line el through plano 5, 2x 4, 3 y 3z that is 4 perpendicular es paralelo a la to recta this

xplane.

2 2t, y 1 4t, z 4, y hallar la distancia entre

126.

ambos.

Show that the plane 2x y 3z 4 is parallel to the line

127. Hallar x 2el punto 2t, y de 1 intersección 4t, z de 4, la and recta find que the pasa distance por

(1, between 3, 1) them. y (3, 4, 2), y el plano dado por x y z 2.

128. 127. Hallar Find the un conjunto point of intersection de ecuaciones of paramétricas the line through de la 1, recta 3, que 1

pasa and 3, por 4, el punto 2, and (1, the 0, plane 2) y given es paralela by x al y plano z dado 2. por

128.

x

Find

y

a

set

z

of

parametric

5, y perpendicular

equations

a

for

la

the

recta

line

x

passing

t, y

through

1 t,

z

the

1

point

t.

1, 0, 2 that is parallel to the plane given by

x y z 5, and perpendicular to the line x t,

¿Verdadero

y 1

o

falso?

t, z 1

En

los

t.

ejercicios 129 a 134, determinar si la


dar True un or ejemplo False? que In pruebe Exercises que 129–134, es falsa. determine whether the

129. statement Si v is a true

1 i bor 1 j false. c 1 k If es it cualquier is false, vector explain en el why plano or dado give por an

example a 2 x that b 2 yshows c 2 z it is dfalse.

2 0, entonces a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0.

130. 129. Todo If v par a 1 de i rectas b 1 j en cel 1 kespacio is any o vector se cortan in the o son plane paralelas. given by

131. Dos

a 2 x

planos

b 2 y

en

c

el 2 z

espacio

d 2

o

0,

se

then

cortan

a 1 a

o 2

son

b 1 paralelos.

b 2 c 1 c 2 0.

132. 130. Si Every dos rectas two lines L 1 y in L 2 space son paralelas are either a intersecting un plano P, or entonces parallel. L 1 y

131. LTwo 2 son planes paralelas. in space are either intersecting or parallel.

133. 132. Dos If two planos lines perpendiculares L 1 and L 2

parallel a un tercer to a plano plane P, en then el espacio L 1 and son L 2

paralelos. are parallel.

134. 133. Un Two plano planes y una perpendicular recta en el to espacio a third se plane intersecan space o are son parallel. paralelos.

134. A plane and a line in space are either intersecting or parallel.

PROYECTO S E C T I ODE N TRABAJO P R O J E C T

Distancias Distances en in Space el espacio

En You esta have sección learned se han two visto distance dos fórmulas formulas para distancia, in this section—the la distancia

de distance un punto between a un plano, a point y la distancia and a plane, de un and punto the a distance una recta. between En estea

proyecto point and se estudiará a line. In un this tercer project problema you de will distancias, study a la third distancia distance de

dos problem—the rectas que se distance cruzan. between Dos rectas two en skew el espacio lines. son Two oblicuas lines in space si no

son areparalelas skew if they ni se are cortan neither (ver parallel la figura). nor intersecting (see figure).

a) (a) Considerar las the siguientes following dos two rectas lines in en space. el espacio.

L 1 L: 1

x: x 4 4 5t, 5t, y y 5 5 5t, 5t, z z 1 1 4t4t

L 2 L: 2

x: x 4 4 s, s, y y6 6 8s, 8s, z z 7 7 3s3s

i) (i) Mostrar Show that que these estas lines rectas are no not son parallel. paralelas.

ii) Mostrar que estas rectas no se cortan, y por consiguiente

las rectas se cruzan.

(ii) Show that these lines do not intersect, and therefore are

skew lines.

iii) Mostrar que las dos rectas están en planos paralelos.

iv) (iii) Hallar Show la that distancia the two entre lines los lie planos in parallel paralelos planes. del inciso

(iv) iii). Find Ésta the es distance la distancia between entre the las parallel rectas planes que se from cruzan part

originales. (iii). This is the distance between the original skew

b) Usar el lines. procedimiento del inciso a) para encontrar la distancia

Use entre the las procedure rectas. in part (a) to find the distance between

(b)

Lthe lines.

1 : x 2t, y 4t, z 6t

LL 1 : x 2t, y 4t, z 6t

2 : x 1 s, y 4 s, z 1 s

L 2 : x 1 s, y 4 s, z 1 s

c) (c) Usar Use el the procedimiento procedure in del part inciso (a) to a) find para the encontrar distance la between distancia

the entre lines. las rectas.

L 11 :: x 3t, 3t, y 2 t, t, z 1 1 tt

L 22 :: x 1 4s, y 2 2 s, s, z 3 3 3s 3s

d) (d) Desarrollar Develop a una formula fórmula for para finding encontrar the distance la distancia between de the las

rectas skew oblicuas. lines.

L 11 :: x x 11 a 11 t, t, y y 11 b 11 t, t, z z 11 c 11 tt

L 22 :: x x 22 a 22 s, s, y y 22 b 22 s, s, z z 22 c 22 s

L 1

L 2


11.6 Superficies en el espacio

■ Reconocer y dar las ecuaciones de superficies cilíndricas.

■ Reconocer y dar las ecuaciones de superficies cuádricas.

■ Reconocer y dar las ecuaciones de superficies de revolución.

Superficies cilíndricas

z

Las primeras cinco secciones de este capítulo contienen la parte vectorial de los conocimientos

preliminares necesarios para el estudio del cálculo vectorial y del cálculo en el

espacio. En ésta y en la próxima sección, se estudian superficies en el espacio y sistemas

alternativos de coordenadas para el espacio. Ya se han estudiado dos tipos especiales de

superficies.

x

Cilindro circular recto:

x 2 + y 2 = a 2

y

1. Esferas: x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 r 2 Sección 11.2.

2. Planos: ax by cz d 0

Sección 11.5.

Un tercer tipo de superficie en el espacio son las llamadas superficies cilíndricas, o

simplemente cilindros. Para definir un cilindro, considerar el familiar cilindro circular

recto mostrado en la figura 11.56. Se puede imaginar que este cilindro es generado por una

recta vertical que se mueve alrededor del círculo x 2 y 2 a 2 que se encuentra en el

plano xy. A este círculo se le llama curva directriz (o curva generadora).

Las rectas generatrices son paralelas al eje z

Figura 11.56

DEFINICIÓN DE UN CILINDRO

Sea C una curva en un plano y sea L una recta no paralela a ese plano. Al conjunto

de todas las rectas paralelas a L que cortan a C se le llama un cilindro. A C se le

llama la curva generadora (o la directriz) del cilindro y a las rectas paralelas se

les llama rectas generatrices.

Recta generatriz

que corta a C

z

Curva

directriz C

NOTA Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que C se encuentra en uno de los tres planos

coordenados. En este texto se restringe la discusión a cilindros rectos, es decir, a cilindros cuyas (rectas)

generatrices son perpendiculares al plano coordenado que contiene a C, como se muestra en la

figura 11.57.

■

x

Cilindro: las rectas generatrices cortan a C

y son paralelas a la recta dada

Figura 11.57

y

La ecuación de la (curva) directriz del cilindro circular recto mostrado en la figura

11.56 es

x 2 y 2 a 2 .

Ecuación de la curva directriz en el plano xy.

Para encontrar una ecuación del cilindro, hay que observar que se puede generar cualquiera

de las (rectas) generatrices fijando los valores de x y y y dejando que z tome todos los valores

reales. En este caso, el valor de z es arbitrario y, por consiguiente, no está incluido en

la ecuación. En otras palabras, la ecuación de este cilindro simplemente es la ecuación de

su curva generadora o directriz.

x 2 y 2 a 2

Ecuación de un cilindro en el espacio.

ECUACIÓN DE UN CILINDRO

La ecuación de un cilindro cuyas rectas generatrices son paralelas a uno de los ejes

coordenados contiene sólo las variables correspondientes a los otros dos ejes.

SECCIÓN 11.6 Superficies en el espacio 813

EJEMPLO 1

Trazado de cilindros

Trazar la superficie representada por cada una de las ecuaciones.

a) z y 2 b) z sen x,

Solución

0 ≤ x ≤ 2

a) La gráfica es un cilindro cuya directriz, z y 2 , es una parábola en el plano yz. Las generatrices

del cilindro son paralelas al eje x, como se muestra en la figura 11.58a.

b) La gráfica es un cilindro generado por la curva del seno en el plano xz. Las generatrices

son paralelas al eje y, como se muestra en la figura 11.58b.

La directriz C está

en el plano yz

z

La directriz C está

en el plano xz

z

1

π

y

y

x

x

Cilindro: z = y 2

Cilindro: z = sen x

a) Las generatrices son paralelas al eje x

Figura 11.58

b) Las generatrices son paralelas al eje y

AYUDA DE ESTUDIO En la tabla de las

páginas 814 y 815 se muestra sólo una

de las varias orientaciones posibles de

cada superficie cuádrica. Si la superficie

está orientada a lo largo de un eje

diferente, su ecuación estándar cambiará

consecuentemente, como se ilustra

en los ejemplos 2 y 3. El hecho de

que los dos tipos de paraboloides tengan

una variable elevada a la primera

potencia puede ser útil al clasificar las

superficies cuádricas. Los otros cuatro

tipos de superficies cuádricas básicas

tienen ecuaciones que son de segundo

grado en las tres variables.

Superficies cuádricas

El cuarto tipo básico de superficies en el espacio son las superficies cuádricas. Éstas son

los análogos tridimensionales de las secciones cónicas.

SUPERFICIES CUÁDRICAS

La ecuación de una superficie cuádrica en el espacio es una ecuación de segundo

grado en tres variables. La forma general de la ecuación es

Ax 2 By 2 Cz 2 Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J 0.

Hay seis tipos básicos de superficies cuádricas: elipsoide, hiperboloide de una

hoja, hiperboloide de dos hojas, cono elíptico, paraboloide elíptico y paraboloide

hiperbólico.

A la intersección de una superficie con un plano se le llama la traza de la superficie

en el plano. Para visualizar una superficie en el espacio, es útil determinar sus trazas en

algunos planos elegidos inteligentemente. Las trazas de las superficies cuádricas son cónicas.

Estas trazas, junto con la forma canónica o estándar de la ecuación de cada superficie

cuádrica, se muestran en la tabla de las páginas 814 y 815.


z

Elipsoide

x 2

a 2 y2

b 2 z2

c 2 1

Traza xz

z

Traza yz

Traza

Plano

x

y

Elipse

Elipse

Elipse

Paralelo al plano xy

Paralelo al plano xz

Paralelo al plano yz

La superficie es una esfera si

a b c 0.

x

Traza xy

y

Hiperboloide de una hoja

z

x 2

a 2 y2

b 2 z2

c 2 1

z

Traza

Plano

Elipse

Hipérbola

Hipérbola




x

y

El eje del hiperboloide corresponde

a la variable cuyo coeficiente

es negativo.

Traza xy

x

y

Traza xz

Traza yz

z

Hiperboloide de dos hojas

z 2

c 2 x2

a 2 y2

b 2 1

Traza yz

z

Traza xz

Traza

Plano

x

y

Elipse

Hipérbola

Hipérbola




El eje del hiperboloide corresponde

a la variable cuyo coeficiente es

positivo. No hay traza en el plano

coordenado perpendicular a este

eje.

x

Paralela al

plano xy

No hay

traza xy

y


z

Cono elíptico

x 2

a 2 y2

b 2 z2

c 2 0

z

Traza xz

Traza

Plano

x

y

Elipse Paralelo al plano xy

Hipérbola Paralelo al plano xz

Hipérbola Paralelo al plano yz

El eje del cono corresponde a la

variable cuyo coeficiente es negativo.

Las trazas en los planos coordenados

paralelos a este eje son rectas

que se cortan.

x

Traza xy

(un punto)

y

Paralelo al

plano xy

Traza yz

Paraboloide elíptico

z

Traza

z x2

a y2

2 b 2

Plano

Traza yz

z

Traza xz

Elipse

Parábola

Parábola




El eje del paraboloide corresponde a

la variable elevada a la primera

potencia.

Paralelo al

plano xy

x

y

x

Traza xy

(un punto)

y

Paraboloide hiperbólica

z

z y2

b 2 x2

a 2

Traza yz

z

Traza

Plano

x

y

Hipérbola

Parábola

Parábola




El eje del paraboloide corresponde

a la variable elevada a la primera

potencia.

x

Traza xz

Paralelo al

plano xy

y


Para clasificar una superficie cuádrica, se empieza por escribir la superficie en la

forma canónica o estándar. Después, se determinan varias trazas en los planos coordenados

o en planos paralelos a los planos coordenados.

EJEMPLO 2

Trazado de una superficie cuádrica

y 2 z 2 z

− = 1

4 1

y 2 x 2

3

−

4 3

2

1

4 3 2 1 2

x

Hiperboloide de dos hojas:

Figura 11.59

y 2 x 2

− − z

4 3

2 = 1

= 1

y

Clasificar y dibujar la superficie dada por 4x 2 3y 2 12z 2 12 0.

Solución

Se empieza por escribir la ecuación en forma canónica o estándar.

4x 2 3y 2 12z 2 12 0

x 2

3 y2

4 z2 1 0

y 2

4 x2

3 z2


Dividir entre 12.


1 1

De la tabla en las páginas 814 y 815 se puede concluir que la superficie es un hiperboloide

de dos hojas con el eje y como su eje. Para esbozar la gráfica de esta superficie, conviene

hallar las trazas en los planos coordenados.

y

Traza xy z 0:

2

x

Traza xz y 0: 2

Traza yx x 0:

4 x2

3 1

3 z2

1 1

y 2

4 z2

1 1

La gráfica se muestra en la figura 11.59.

Hipérbola.

No hay traza.

Hipérbola.

EJEMPLO 3

Trazado de una superficie cuádrica

Paraboloide elíptico:

x = y 2 + 4z 2

−4

2

z

Clasificar y dibujar la superficie dada por x y 2 4z 2 0.

Solución Como x está elevada sólo a la primera potencia, la superficie es un paraboloide.

El eje del paraboloide es el eje x. En la forma canónica o estándar, la ecuación

es

x = y 2 x = 4z 2

2

4

y

x y 2 4z 2 .

Algunas trazas útiles son las siguientes.


10

x

y 2

4

+

z 2

1

= 1

Traza xy z 0:

x y 2

Traza xz y 0:

x 4z 2

y

Paralelo al plano yz x 4: 2

4 z2

1 1

Parábola.

Parábola.

Elipse.

Figura 11.60

La superficie es un paraboloide elíptico, como se muestra en la figura 11.60.

Algunas ecuaciones de segundo grado en x, y y z no representan ninguno de los tipos

básicos de superficies cuádricas. He aquí dos ejemplos.

x 2 y 2 z 2 0

x 2 y 2 1

Un único punto.

Cilindro recto circular.


En el caso de una superficie cuádrica no centrada en el origen, se puede formar la

ecuación estándar completando cuadrados, como se muestra en el ejemplo 4.

(x − 2) 2 (y + 1) 2 (z − 1) 2

+ + = 1

4 2 4

3

z

EJEMPLO 4 Una superficie cuádrica no centrada en el origen

Clasificar y dibujar la superficie dada por

x 2 2y 2 z 2 4x 4y 2z 3 0.

5

x

(2, −1, 1)

−1

Un elipsoide centrado en 2, 1, 1

Figura 11.61

1

y

Solución

Al completar el cuadrado de cada variable se obtiene:

x 2 4x 2 y 2 2y z 2 2z 3

x 2 4x 4 2 y 2 2y 1 z 2 2z 1 3 4 2 1

x 2 2 2y 1 2 z 1 2 4

x 2 2

4

y 12

2

En esta ecuación se puede ver que la superficie cuádrica es un elipsoide centrado en el

punto (2, 1, 1). Su gráfica se muestra en la figura 11.61.

z 12

4

1

TECNOLOGÍA Un sistema algebraico por computadora puede ayudar a visualizar

una superficie en el espacio.* La mayoría de estos sistemas algebraicos por computadora

crean ilusiones tridimensionales dibujando varias trazas de la superficie y aplicando

una rutina de “línea oculta” que borra las porciones de la superficie situadas

detrás de otras. Abajo se muestran dos ejemplos de figuras que se generaron con Mathematica.

z

z

x

y

Creado con Mathematica

x

y

Creado con Mathematica

Paraboloide elíptico

x y 2

2 z2

2

Paraboloide hiperbólico

z y 2

16 x 2

16

Usar una herramienta de graficación para representar una superficie en el espacio

requiere práctica. En primer lugar, se debe saber lo suficiente sobre la superficie en

cuestión para poder especificar que dé una vista representativa de la superficie. También,

a menudo se puede mejorar la vista de una superficie girando los ejes. Por ejemplo, se

observa que el paraboloide elíptico de la figura se ve desde un punto más “alto” que el

utilizado para ver el paraboloide hiperbólico.

* Algunas graficadoras 3-D requieren que se den las superficies mediante ecuaciones paramétricas.

Para un análisis de esta técnica, ver la sección 15.5.


Superficies de revolución

Sección

circular

(x, y, z)

x

Figura 11.62

z

Curva generadora

o directriz

y = r(z)

rz ()

(0, 0, z)

(0, r(z), z)

y

El quinto tipo especial de superficie que se estudiará se llama superficie de revolución.

En la sección 7.4 se estudió un método para encontrar el área de tales superficies. Ahora

se verá un procedimiento para hallar su ecuación. Considerar la gráfica de la función

radio

y rz

Curva generadora o directriz.

en el plano yz. Si esta gráfica se gira sobre el eje z, forma una superficie de revolución,

como se muestra en la figura 11.62. La traza de la superficie en el plano z z 0 es un

círculo cuyo radio es rz 0 y cuya ecuación es

x 2 y 2 rz 0 2 .

Traza circular en el plano: z z 0 .

Sustituyendo z 0 por z se obtiene una ecuación que es válida para todos los valores de z. De

manera similar, se pueden obtener ecuaciones de superficies de revolución para los otros

dos ejes, y los resultados se resumen como sigue.

SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Si la gráfica de una función radio r se gira sobre uno de los ejes coordenados,

la ecuación de la superficie de revolución resultante tiene una de las formas siguientes.

1. Girada sobre el eje x: y 2 z 2 rx 2

2. Girada sobre el eje y: x 2 z 2 ry 2

3. Girada sobre el eje z: x 2 y 2 rz 2

EJEMPLO 5

Hallar una ecuación para una superficie de revolución

a) Una ecuación para la superficie de revolución generada al girar la gráfica de

y 1 z

Función radio.

z

Superficie:

x 2 + z 2 = 1 y

9

3

en torno al eje z es

x 2 y 2 rz 2

x 2 y 2

1

z 2 .

Girada en torno al eje z.

Sustituir r(z) para 1/z.

b) Para encontrar una ecuación para la superficie generada al girar la gráfica de

en torno al eje y, se despeja x en términos de y. Así se obtiene

9x 2 y 3

x

y

x 1 3 y 32 r y.

Función radio.

Por tanto, la ecuación para esta superficie es

Curva generadora

o directriz

9x 2 = y 3

x 2 z 2 ry 2

x 2 z 2 1 3 y32 2

x 2 z 2 1 9 y3 .

Girada en torno al eje y.

Sustituir

1

3 y32

para ry.

Ecuación de la superficie.

Figura 11.63

La gráfica se muestra en la figura 11.63.


La curva generadora o directriz de una superficie de revolución no es única. Por ejemplo,

la superficie

x 2 z 2 e 2y

puede generarse al girar la gráfica de x e y en torno al eje y o la gráfica de

sobre el eje y, como se muestra en la figura 11.64.

z e y

z

Superficie:

x 2 + z 2 = e −2y

z

Curva generadora o directriz

en el plano yz

z = e −y

y

y

x

x

Curva generadora o directriz

en el plano xy

x = e −y

Figura 11.64

EJEMPLO 6

Hallar una directriz para una superficie de revolución

Hallar una directriz y el eje de revolución de la superficie dada por

x 2 3y 2 z 2 9.

Directriz en el

plano xy

x = 9 − 3y 2

z

Directriz en el

plano yz

z = 9 − 3y 2

Solución Se sabe ahora que la ecuación tiene una de las formas siguientes.

x 2 y 2 rz 2

y 2 z 2 rx 2

x 2 z 2 ry 2

Girada en torno al eje z.

Girada en torno al eje x.

Girada en torno al eje y.

Como los coeficientes de y son iguales, se debe elegir la tercera forma y escribir

x 2

z 2

y

x 2 z 2 9 3y 2 .

El eje y es el eje de revolución. Se puede elegir una directriz de las trazas siguientes.

x

x 2 9 3y 2

z 2 9 3y 2

Traza en el plano xy.

Traza en el plano yz.

Figura 11.65

Superficie:

x 2 + 3y 2 + z 2 = 9

Por ejemplo, usando la primer traza, la directriz es la semielipse dada por

x 9 3y 2 . Directriz.

La gráfica de esta superficie se muestra en la figura 11.65.


11.6 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 6, asociar la ecuación con su gráfica. [Las

gráficas están marcadas a), b), c), d), e) y f).]

c) d)

z

a) z

b)

6

4

3

2

z

y

x

c) z

d)

−5

x

3

4

e) z

f)

2

4

3

2

1

5 6

y

3

y

4

4

4 4

5

x −3

x

x

1. 2

2. 15x 2 4y 2 15z 2 4

9 y2

16 z2

9 1

3. 4x 2 y 2 4z 2 4 4. y 2 4x 2 9z 2

5. 4x 2 4y z 2 0 6. 4x 2 y 2 4z 0

En los ejercicios 7 a 16, describir y dibujar la superficie.

17. Para pensar Las cuatro figuras son gráficas de la superficie

cuádrica z x 2 y 2 . Asociar cada una de las cuatro gráficas con

el punto en el espacio desde el cual se ve el paraboloide. Los cuatro

puntos son (0, 0, 20), (0, 20, 0), (20, 0, 0) y (10, 10, 20).

a) z

b)

y

7. y 5

8. z 2

5

y

x

2

4

2

x

z

4

2

z

− 3

9. y 2 z 2 9

10. x 2 z 2 25

11. x 2 y 0

12. y 2 z 6

13. 4x 2 y 2 4

14. y 2 z 2 16

15. z sen y 0

16. z e y 0

z

3

2

6

y

4

y

CAS

CAS

Figuras para 17

18. Usar un sistema algebraico por computadora para representar

gráficamente el cilindro y 2 z 2 4 desde cada punto.

a) 10, 0, 0

b) 0, 10, 0

x

c) 10, 10, 10

En los ejercicios 19 a 32, identificar y dibujar la superficie cuádrica.

Usar un sistema algebraico por computadora para confirmar

su dibujo.

y x

19. 20.

2 y 2 z

x 2 2

z 2

1

4

2 1

16 25 25

21. 16x 2 y 2 16z 2 4 22. 8x 2 18y 2 18z 2 2

y

23. 4x 24. z 2 x 2

2 y 2 z 2 1

2 1

4

25. x 2 y z 2 0

26. z x 2 4y 2

27. x 2 y 2 z 0

28. 3z y 2 x 2

y

29. z 2 x 2

2 30. x 2 2y 2 2z

9

2

31. 16x 2 9y 2 16z 2 32x 36y 36 0

32. 9x 2 y 2 9z 2 54x 4y 54z 4 0


para representar gráficamente la superficie. (Sugerencia:

Puede ser necesario despejar z y considerar dos ecuaciones

al representar gráficamente la superficie.)

33. z 2 cos x

34. z x 2 0.5y 2

35. z 2 x 2 7.5y 2 36. 3.25y x 2 z 2

2

37. x 2 y 2 2

38. x 2 y 2 e

z

z

39. z 10 xy

40. z

41. 6x 2 4y 2 6z 2 36 42. 9x 2 4y 2 8z 2 72

En los ejercicios 43 a 46, dibujar la región limitada por las gráficas

de las ecuaciones.

x

x

8 x 2 y 2

y

x

y

43. z 2x 2 y 2 , z 2

44. z 4 x 2 , y 4 x 2 , x 0,

45. x 2 y 2 1, x z 2, z 0

46. z 4 x 2 y 2 , y 2z, z 0

y 0,

z 0


En los ejercicios 47 a 52, hallar una ecuación para la superficie

de revolución generada al girar la curva en el plano coordenado

indicado sobre el eje dado.

Ecuación de la curva Plano coordenado Eje de revolución

47. z 2 4y

Plano yz Eje y

48. z 3y

Plano yz Eje y

49. z 2y

Plano yz Eje z

50. 2z 4 x 2 Plano xz Eje x

51. xy 2

Plano xy Eje x

52. z ln y

Plano yz Eje z

En los ejercicios 53 y 54, hallar una ecuación de una directriz

dada la ecuación de su superficie de revolución.

53. x 2 y 2 2z 0 54. x 2 z 2 cos 2 y


55. Dar la definición de un cilindro.

56. ¿Qué es la traza de una superficie? ¿Cómo encuentra una

traza?

57. Identificar las seis superficies cuádricas y dar la forma estándar

de cada una.

64. El conjunto de todos los puntos equidistantes del punto (0, 0, 4)

y del plano xy.

65. Geografía Debido a las fuerzas causadas por su rotación, la

Tierra es un elipsoide oblongo y no una esfera. El radio ecuatorial

es de 3 963 millas y el radio polar es de 3 950 millas. Hallar

una ecuación del elipsoide. (Suponer que el centro de la Tierra

está en el origen y que la traza formada por el plano z 0 corresponde

al ecuador.)

66. Diseño de máquinas La parte superior de un buje de caucho,

diseñado para absorber las vibraciones en un automóvil, es la

superficie de revolución generada al girar la curva z 1 2 y2 1

0 ≤ y ≤ 2 en el plano yz en torno al eje z.

a) Hallar una ecuación de la superficie de revolución.

b) Todas las medidas están en centímetros y el buje es fijo en el

plano xy. Usar el método de capas para encontrar su volumen.

c) El buje tiene un orificio de 1 centímetro de diámetro que pasa

por su centro y en paralelo al eje de revolución. Hallar el volumen

del buje de caucho.

67. Determinar la intersección del paraboloide hiperbólico z =

y 2 b 2 – x 2 a 2 con el plano bx ay z 0. (Suponer a, b > 0.)

68. Explicar por qué la curva de intersección de las superficies

x 2 3y 2 2z 2 2y 4 y 2x 2 6y 2 4z 2 3x 2 se

encuentra en un plano.

Para discusión

58. ¿Qué representa la ecuación z x 2 en el plano xz? ¿Qué

representa en el espacio?

En los ejercicios 59 y 60, usar el método de las capas para encontrar

el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie

de revolución y sobre el plano xy.

59. La curva z 4x x 2 en el plano xz se gira en torno al eje z.

60. La curva z sen sin y 0 ≤ y ≤ en el plano yz se gira en torno

al eje z.

En los ejercicios 61 y 62, analizar la traza cuando la superficie

z 1 2 x2 1 4 y2



dar un ejemplo que pruebe su falsedad.

69. Una esfera es un elipsoide.

70. La directriz de una superficie de revolución es única.

71. Todas las trazas de un elipsoide son elipses.

72. Todas las trazas de un hiperboloide de una hoja son hiperboloides.

73. Para pensar Abajo se muestran tres tipos de superficies

“topológicas” clásicas. La esfera y el toro tienen “interior” y

“exterior”. ¿Tiene la botella de Klein interior y exterior?

Explicar.

se corta con los planos indicados.

61. Hallar las longitudes de los ejes mayor y menor y las coordenadas

del foco de la elipse generada cuando la superficie es cortada

por los planos dados por

a) z 2 y b) z 8.

62. Hallar las coordenadas del foco de la parábola formada cuando

la superficie se corta con los planos dados por

a) y 4 y b) x 2.

En los ejercicios 63 y 64, hallar una ecuación de la superficie que

satisface las condiciones e identificar la superficie.

63. El conjunto de todos los puntos equidistantes del punto (0, 2, 0)

y del plano y 2.

Esfera

Botella de Klein

Toro

Botella de Klein


11.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas

■ Usar coordenadas cilíndricas para representar superficies en el espacio.

■ Usar coordenadas esféricas para representar superficies en el espacio.

Coordenadas

rectangulares:

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

x

x

Figura 11.66

θ

y

z

Coordenadas cilíndricas:

r 2 = x 2 + y 2

y

tan θ =

x

z = z

r

P

(x, y, z)

(r, θ, z)

y

Coordenadas cilíndricas

Ya se ha visto que algunas gráficas bidimensionales son más fáciles de representar en coordenadas

polares que en coordenadas rectangulares. Algo semejante ocurre con las superficies

en el espacio. En esta sección se estudiarán dos sistemas alternativos de coordenadas

espaciales. El primero, el sistema de coordenadas cilíndricas, es una extensión de las

coordenadas polares del plano al espacio tridimensional.

EL SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS

En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en el espacio se representa

por medio de una terna ordenada r, , z.

1. r, es una representación polar de la proyección de P en el plano xy.

2. z es la distancia dirigida de r, a P.

Para convertir coordenadas rectangulares en coordenadas cilíndricas (o viceversa), hay que

usar las siguientes fórmulas, basadas en las coordenadas polares, como se ilustra en la figura

11.66.

Cilíndricas a rectangulares:

x r cos ,

y r sen sin ,

z z

Rectangulares a cilíndricas:

r 2 x 2 y 2 ,

tan y x ,

z z

Al punto (0, 0, 0) se le llama el polo. Como la representación de un punto en el sistema de

coordenadas polares no es única, la representación en el sistema de las coordenadas cilíndricas

tampoco es única.

(x, y, z) = (−2 3, 2, 3)

z

P

EJEMPLO 1

Conversión de coordenadas cilíndricas

a coordenadas rectangulares

4

−4

3

−3

2

−2

1

r

−1

1

1

θ 2

x

−1

5π

(r, θ, z) = ( 4, , 3

6 )

Figura 11.67

3

4

z

y

Convertir el punto

Solución

y 4 sin sen

5

z 3.

r, , z 4, 5

6 , 3

a coordenadas rectangulares.

Usando las ecuaciones de conversión de cilíndricas a rectangulares se obtiene

x 4 cos 5

6 4 3 2 23

6 4 1 2 2

co-

Por tanto, en coordenadas rectangulares, el punto es x, y, z 23, 2, 3,

mo se muestra en la figura 11.67.

SECCIÓN 11.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas 823

3

2

z

( x, y, z) = (1, 3, 2)

r = 2

EJEMPLO 2

Conversión de coordenadas rectangulares

a coordenadas cilíndricas

Convertir el punto x, y, z 1,3, 2 a coordenadas cilíndricas.

x

1

z = 2

1 π

2

3

θ =

3

2

3

( ) ( )

π

( r, θ, z) = 2, , 2 o −2, 4 π

, 2

3 3

Figura 11.68

y

Solución

tan 3

z 2

Usar las ecuaciones de conversión de rectangulares a cilíndricas.

r ±1 3 ±2

Hay dos posibilidades para r y una cantidad infinita de posibilidades para . Como se

muestra en la figura 11.68, dos representaciones adecuadas del punto son

2, 3 , 2

4

2, 3 , 2 .

n arctan 3

r > 0 y en el cuadrante I.

r < 0 y

en el cuadrante III.

3 n

Las coordenadas cilíndricas son especialmente adecuadas para representar superficies

cilíndricas y superficies de revolución en las que el eje z sea el eje de simetría, como se

muestra en la figura 11.69.

x 2 + y 2 = 9

r = 3

z

x 2 + y 2 = 4z

r = 2 z

z

x 2 + y 2 = z 2 x 2 + y 2 − z 2 = 1

r = z

r 2 = z 2 + 1

z

z

x

y

x

y

x

y

x

y

Cilindro

Figura 11.69

Paraboloide Cono Hiperboloide

Los planos verticales que contienen el eje z y los planos horizontales también tienen ecuaciones

simples de coordenadas cilíndricas, como se muestra en la figura 11.70.

z

Plano

vertical:

θ = c

z

Plano

horizontal:

z = c

x

θ = c

y

y

x

Figura 11.70


Rectangular:

x 2 + y 2 = 4z 2

3

z

Cilíndrica:

r 2 = 4z 2

EJEMPLO 3


a coordenadas cilíndricas

Hallar una ecuación en coordenadas cilíndricas para la superficie representada por cada

ecuación rectangular.

6

x

4

4 6

y

a)

b)

x 2 y 2 4z 2

y 2 x

Solución

Figura 11.71

a) Según la sección anterior, se sabe que la gráfica de x 2 y 2 4z 2 es un cono “de dos

hojas” con su eje a lo largo del eje z, como se muestra en la figura 11.71. Si se sustituye

x 2 y 2 por r 2 , la ecuación en coordenadas cilíndricas es

x 2 y 2 4z 2 Ecuación rectangular.

r 2 4z 2 .

Ecuación cilíndrica.

b) La gráfica de la superficie y 2 x es un cilindro parabólico con rectas generatrices

paralelas al eje z, como se muestra en la figura 11.72. Sustituyendo y 2 por r 2 sen 2 q y

x por r cos q, se obtiene la ecuación siguiente en coordenadas cilíndricas.

x

Rectangular:

y 2 = x

4

Figura 11.72

Cilíndrica:

r = csc θ cot θ

z

2

1

2

y

rr sen sin 2

r 2 sen sin 2

y 2 x

r cos

cos 0

cos 0

r sin sen 2 r cos

sen sin 2

r csc cot


Sustituir y por r sen q y x por r cos q.

Agrupar términos y factorizar.

Dividir cada lado entre r.

Despejar r.


Hay que observar que esta ecuación comprende un punto en el que r 0, por lo cual

nada se pierde al dividir cada lado entre el factor r.

La conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas es más sencilla

que la conversión de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares, como se muestra

en el ejemplo 4.

Cilíndrica:

r 2 cos 2 θ + z 2 + 1 = 0

3

z

EJEMPLO 4

Conversión de coordenadas cilíndricas

a coordenadas rectangulares

Hallar una ecuación en coordenadas rectangulares de la superficie representada por la

ecuación cilíndrica

r 2 cos 2 z 2 1 0.

Solución

x

3

2

Rectangular:

y 2 − x 2 − z 2 = 1

Figura 11.73

−1

−2

−3

2

3

y

r 2 cos 2

r 2 cos 2

r 2 cos 2 z 2 1 0

sen 2 z 2 1 0

sen 2

sin 2

r 2 sin 2 z 2 1

x 2 y 2 z 2 1

y 2 x 2 z 2 1



Sustituya r cos q por x y r sen q por y.


Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje se encuentra a lo largo del eje y, como se muestra

en la figura 11.73.


Coordenadas esféricas

z

80° O

40° N

Meridiano

cero

y

En el sistema de coordenadas esféricas, cada punto se representa por una terna ordenada:

la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera coordenadas son ángulos.

Este sistema es similar al sistema de latitud-longitud que se usa para identificar puntos

en la superficie de la Tierra. Por ejemplo, en la figura 11.74 se muestra el punto en la

superficie de la Tierra cuya latitud es 40° Norte (respecto al ecuador) y cuya longitud es

80° Oeste (respecto al meridiano cero). Si se supone que la Tierra es esférica y tiene un

radio de 4 000 millas, este punto sería

(4 000, 80°, 50°).

Ecuador

x

Radio 80° en el sentido 50° hacia abajo

de las manecillas del Polo Norte

del reloj, desde el

meridiano cero

Figura 11.74

EL SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS

En un sistema de coordenadas esféricas, un punto P en el espacio se representa

por medio de una terna ordenada , , .

1. es la distancia entre P y el origen,

2. es el mismo ángulo utilizado en coordenadas cilíndricas para r ≥ 0.

3. es el ángulo entre el eje z positivo y el segmento de recta OP \ , 0 ≤

≥ 0.

Hay que observar que la primera y tercera coordenadas, r y f, son no negativas.

r es la letra minúscula ro, y f es la letra griega minúscula fi.

≤ .

z

r = ρ sen φ = x 2 + y 2

La relación entre coordenadas rectangulares y esféricas se ilustra en la figura 11.75.

Para convertir de un sistema al otro, usar lo siguiente.

Esféricas a rectangulares:

z

O

φ

ρ

P

( ρ, θ, φ)

(x, y, z)

x

Rectangulares a esféricas:

sen sin cos , y sen sin sen sin ,

z

cos

x

θ

y

r

x

y

2

x 2 y 2 z 2 ,

tan y x ,

arccos

z

x 2 y 2 z 2

Coordenadas esféricas

Figura 11.75

Para cambiar entre los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas, usar lo siguiente.

Esféricas a cilíndricas r ≥ 0:

r 2 2

sen sin 2 ,

,

z

cos

Cilíndricas a esféricas r ≥ 0:

r 2 z 2 ,

,

arccos

z

r 2 z 2


El sistema de coordenadas esféricas es útil principalmente para superficies en el espacio

que tiene un punto o centro de simetría. Por ejemplo, la figura 11.76 muestra tres

superficies con ecuaciones esféricas sencillas.

z

z

z

φ = c

c

y

x

x

θ = c

y

x

y

Esfera:

ρ = c

Semiplano vertical:

θ = c

Semicono:

φ = c

( 0 < c < π 2 )

Figura 11.76

EJEMPLO 5


a coordenadas esféricas

Hallar una ecuación en coordenadas esféricas para la superficie representada por cada una

de las ecuaciones rectangulares.

a) Cono: x 2 y 2 z 2

b) Esfera: x 2 y 2 z 2 4z 0

Rectangular:

x 2 + y 2 + z 2 − 4z = 0

Esférica:

ρ = 4 cos φ

z

4

−2

1

2

1

2 y

x

Figura 11.77

Solución

a) Haciendo las sustituciones apropiadas de x, y y z en la ecuación dada se obtiene lo siguiente.

2

sen sin 2 cos 2 2

sen sin 2 sen sin 2 2

cos 2

2

sen sin 2 cos 2 sen 2 2

cos 2

≥ 0.

La ecuación representa el semicono superior, y la ecuación representa

el semicono inferior.

b) Como 2

x 2 y 2 z 2 y z cos , la ecuación dada tiene la forma esférica siguiente.

2

4 cos 0

se obtiene la ecuación esfé-

Descartando por el momento la posibilidad de que

rica

4 cos 0

o

Hay que observar que el conjunto solución de esta ecuación comprende un punto en el

cual de manera que no se pierde nada al eliminar el factor . La esfera representada

por la ecuación se muestra en la figura 11.77.

0,

4

x 2 y 2 z 2

sin 2

2

sen sin 2 2

cos 2

sen sin 2

1

cos 2

tan 2 1

4 cos

4 cos 0

4 cos .

0,

o

4 or 34

34

.


En los ejercicios 1 a 6, convertir las coordenadas cilíndricas del

punto en coordenadas rectangulares.

En los ejercicios 7 a 12, convertir las coordenadas rectangulares

del punto en coordenadas cilíndricas.

En los ejercicios 13 a 20, hallar una ecuación en coordenadas

cilíndricas de la ecuación dada en coordenadas rectangulares.


rectangulares de la ecuación dada en coordenadas cilíndricas y

dibujar su gráfica.

En los ejercicios 29 a 34, convertir las coordenadas rectangulares

del punto en coordenadas esféricas.

En los ejercicios 35 a 40, convertir las coordenadas esféricas del

punto en coordenadas rectangulares.


esféricas de la ecuación dada en coordenadas rectangulares.

En los ejercicios 49 a 56, encontrar una ecuación en coordenadas

rectangulares de la ecuación dada en coordenadas esféricas y

dibujar su gráfica.

En los ejercicios 57 a 64, convertir las coordenadas cilíndricas


En los ejercicios 65 a 72, convertir las coordenadas esféricas del

punto en coordenadas cilíndricas.


o una herramienta de graficación para convertir las coordenadas

del punto de un sistema a otro, entre los sistemas de

coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas.

11.7 Ejercicios

1. 2.

3. 4.

5. 6. 0.5, 4 3, 8

4, 7 6, 3

6, 4, 2

3, 4, 1

2, , 4

7, 0, 5

7. 8.

9. 10.

11. 12.

I E i 13 20 fi d i i li d i l di

2 3, 2, 6

1, 3, 4

3, 3, 7

2, 2, 4

2 2, 2 2, 4

0, 5, 1

Exercises


CAS

In Exercises 1–6, convert the point from cylindrical coordinates

to rectangular coordinates.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

In Exercises 7–12, convert the point from rectangular coordinates

to cylindrical coordinates.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

In Exercises 13–20, find an equation in cylindrical coordinates

for the equation given in rectangular coordinates.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

In Exercises 21–28, find an equation in rectangular coordinates

for the equation given in cylindrical coordinates, and sketch its

graph.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.


to spherical coordinates.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

In Exercises 35– 40, convert the point from spherical coordinates


35. 36.

37. 38.

39. 40.

In Exercises 41–48, find an equation in spherical coordinates


41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.


for the equation given in spherical coordinates, and sketch its

graph.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.



57. 58.

59. 60.

61. 62.

63. 64.

In Exercises 65–72, convert the point from spherical coordinates


65. 66.

67. 68.

69. 70.

71. 72.

In Exercises 73–88, use a computer algebra system or graphing

utility to convert the point from one system to another among

the rectangular, cylindrical, and spherical coordinate systems.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88. 8, 6,

3, 3 4, 3

8.25, 1.3, 4

3.5, 2.5, 6

2, 11 6, 3

5, 3 4, 5

0, 5, 4

5 2, 4 3, 32

3 2, 3 2, 3

3, 2, 2

7.5, 0.25, 1

20, 2 3, 4

10, 0.75, 6

5, 9, 8

6, 2, 3

4, 6, 3

Esféricas

Cilíndricas

Rectangulares

7, 4, 3 4

8, 7 6, 6

5, 5 6,

6, 6, 3

18, 3, 3

36, ,

2

4, 18, 2

10, 6, 2

4, 2, 3

12, , 5

4, 3, 4

4, 6, 6

2, 2 3, 2

4, 2, 4

3, 4, 0

4, 4, 0

4 csc sec

csc

2 sec

4 cos

2

6

3

4

5

x 2 y 2 z 2 9z 0

x 2 y 2 2z 2 x 13

x 2 y 2 16

x 2 y 2 3z 2 0

x 2 y 2 z 2 49

z 6

y 2

6, , 2

5, 4, 3 4

9, 4,

12, 4, 0

12, 3 4, 9

4, 6, 4

1, 2, 1

3, 1, 2 3

2, 2, 4 2

2, 2 3, 4

4, 0, 0

4, 0, 0

r

2 cos

r

2 sen

z r 2 cos 2

r 2 z 2 5

r

1

2 z

6 z 2

r 3

x 2 y 2 z 2 3z 0

y 2 10 z 2 x 2 y 2 8x

y x 2 z x 2 y 2 11

x 2 y 2 z 2 17

x 9

z 4

2 3, 2, 6

1, 3, 4

3, 3, 7

2, 2, 4

2 2, 2 2, 4

0, 5, 1

0.5, 4 3, 8

4, 7 6, 3

6, 4, 2

3, 4, 1

2, , 4

7, 0, 5

11.7 Cylindrical and Spherical Coordinates 827


CAS



1. 2.

3. 4.

5. 6.



7. 8.

9. 10.

11. 12.



13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.



graph.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.



29. 30.

31. 32.

33. 34.



35. 36.

37. 38.

39. 40.



41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.



graph.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.



57. 58.

59. 60.

61. 62.

63. 64.



65. 66.

67. 68.

69. 70.

71. 72.




73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88. 8, 6,

3, 3 4, 3

8.25, 1.3, 4

3.5, 2.5, 6

2, 11 6, 3

5, 3 4, 5

0, 5, 4

5 2, 4 3, 32

3 2, 3 2, 3

3, 2, 2

7.5, 0.25, 1

20, 2 3, 4

10, 0.75, 6

5, 9, 8

6, 2, 3

4, 6, 3

Esféricas

Cilíndricas

Rectangulares

7, 4, 3 4

8, 7 6, 6

5, 5 6,

6, 6, 3

18, 3, 3

36, ,

2

4, 18, 2

10, 6, 2

4, 2, 3

12, , 5

4, 3, 4

4, 6, 6

2, 2 3, 2

4, 2, 4

3, 4, 0

4, 4, 0

4 csc sec

csc

2 sec

4 cos

2

6

3

4

5

x 2 y 2 z 2 9z 0

x 2 y 2 2z 2 x 13

x 2 y 2 16

x 2 y 2 3z 2 0

x 2 y 2 z 2 49

z 6

y 2

6, , 2

5, 4, 3 4

9, 4,

12, 4, 0

12, 3 4, 9

4, 6, 4

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CAS



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2, 2, 4 2

2, 2 3, 4

4, 0, 0

4, 0, 0

r

2 cos

r

2 sen

z r 2 cos 2

r 2 z 2 5

r

1

2 z

6 z 2

r 3

x 2 y 2 z 2 3z 0

y 2 10 z 2 x 2 y 2 8x

y x 2 z x 2 y 2 11

x 2 y 2 z 2 17

x 9

z 4

2 3, 2, 6

1, 3, 4

3, 3, 7

2, 2, 4

2 2, 2 2, 4

0, 5, 1

0.5, 4 3, 8

4, 7 6, 3

6, 4, 2

3, 4, 1

2, , 4

7, 0, 5



CAS



1. 2.

3. 4.

5. 6.



7. 8.

9. 10.

11. 12.



13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.



graph.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.



29. 30.

31. 32.

33. 34.



35. 36.

37. 38.

39. 40.



41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.



graph.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.



57. 58.

59. 60.

61. 62.

63. 64.



65. 66.

67. 68.

69. 70.

71. 72.




73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88. 8, 6,

3, 3 4, 3

8.25, 1.3, 4

3.5, 2.5, 6

2, 11 6, 3

5, 3 4, 5

0, 5, 4

5 2, 4 3, 32

3 2, 3 2, 3

3, 2, 2

7.5, 0.25, 1

20, 2 3, 4

10, 0.75, 6

5, 9, 8

6, 2, 3

4, 6, 3

Esféricas

Cilíndricas

Rectangulares

7, 4, 3 4

8, 7 6, 6

5, 5 6,

6, 6, 3

18, 3, 3

36, ,

2

4, 18, 2

10, 6, 2

4, 2, 3

12, , 5

4, 3, 4

4, 6, 6

2, 2 3, 2

4, 2, 4

3, 4, 0

4, 4, 0

4 csc sec

csc

2 sec

4 cos

2

6

3

4

5

x 2 y 2 z 2 9z 0

x 2 y 2 2z 2 x 13

x 2 y 2 16

x 2 y 2 3z 2 0

x 2 y 2 z 2 49

z 6

y 2

6, , 2

5, 4, 3 4

9, 4,

12, 4, 0

12, 3 4, 9

4, 6, 4

1, 2, 1

3, 1, 2 3

2, 2, 4 2

2, 2 3, 4

4, 0, 0

4, 0, 0

r

2 cos

r

2 sen

z r 2 cos 2

r 2 z 2 5

r

1

2 z

6 z 2

r 3

x 2 y 2 z 2 3z 0

y 2 10 z 2 x 2 y 2 8x

y x 2 z x 2 y 2 11

x 2 y 2 z 2 17

x 9

z 4

2 3, 2, 6

1, 3, 4

3, 3, 7

2, 2, 4

2 2, 2 2, 4

0, 5, 1

0.5, 4 3, 8

4, 7 6, 3

6, 4, 2

3, 4, 1

2, , 4

7, 0, 5



CAS



1. 2.

3. 4.

5. 6.



7. 8.

9. 10.

11. 12.



13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.



graph.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.



29. 30.

31. 32.

33. 34.



35. 36.

37. 38.

39. 40.



41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.



graph.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.



57. 58.

59. 60.

61. 62.

63. 64.



65. 66.

67. 68.

69. 70.

71. 72.




73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88. 8, 6,

3, 3 4, 3

8.25, 1.3, 4

3.5, 2.5, 6

2, 11 6, 3

5, 3 4, 5

0, 5, 4

5 2, 4 3, 32

3 2, 3 2, 3

3, 2, 2

7.5, 0.25, 1

20, 2 3, 4

10, 0.75, 6

5, 9, 8

6, 2, 3

4, 6, 3

Esféricas

Cilíndricas

Rectangulares

7, 4, 3 4

8, 7 6, 6

5, 5 6,

6, 6, 3

18, 3, 3

36, ,

2

4, 18, 2

10, 6, 2

4, 2, 3

12, , 5

4, 3, 4

4, 6, 6

2, 2 3, 2

4, 2, 4

3, 4, 0

4, 4, 0

4 csc sec

csc

2 sec

4 cos

2

6

3

4

5

x 2 y 2 z 2 9z 0

x 2 y 2 2z 2 x 13

x 2 y 2 16

x 2 y 2 3z 2 0

x 2 y 2 z 2 49

z 6

y 2

6, , 2

5, 4, 3 4

9, 4,

12, 4, 0

12, 3 4, 9

4, 6, 4

1, 2, 1

3, 1, 2 3

2, 2, 4 2

2, 2 3, 4

4, 0, 0

4, 0, 0

r

2 cos

r

2 sen

z r 2 cos 2

r 2 z 2 5

r

1

2 z

6 z 2

r 3

x 2 y 2 z 2 3z 0

y 2 10 z 2 x 2 y 2 8x

y x 2 z x 2 y 2 11

x 2 y 2 z 2 17

x 9

z 4

2 3, 2, 6

1, 3, 4

3, 3, 7

2, 2, 4

2 2, 2 2, 4

0, 5, 1

0.5, 4 3, 8

4, 7 6, 3

6, 4, 2

3, 4, 1

2, , 4

7, 0, 5

828 CAPÍTULO Chapter 11 11 Vectors Vectores and y the la geometría Geometry del of espacio

Space

En In

los Exercises

ejercicios 89–94,

89 a 94, match

asociar the

la equation

ecuación (written

(dada en in

términos

terms of

de cylindrical

coordenadas or spherical

cilíndricas coordinates)

o esféricas) with

con its

su graph.

gráfica. [The

[Los graphs

gráficos

are labeled

se marcan (a),

a), (b),

b), (c),

c), (d),

d), (e),

y and

f).]

(f).]

(a)

(b)

a) π

b)

π

3

4

4

z

z

3

−3 −2

−3 −2

1 2

y

3

x

3 2 3 2 1 2

y

3

x

(c)

z

(d)

c) z

d)

5

5

5

5

5

y

y

5

x

(e)

z

(f)

e) z

f)

z

z

2

3

2

3

1

1

−2

−2

y

2

2

y

2

π

2

−2

x π

4

−2

2

1

y

x 4

2

2

x 1

2

y

x

4 sec

4 sec

89. r 5

90.

89. r 5

90.

4

4

91. 92.

91. 92.

4

4

93. r

93. r 2 z

94.

2 z

94.


95. Give the equations for the coordinate conversion from


rectangular to cylindrical coordinates and vice versa.

95. 96. Dar Explain las ecuaciones why in spherical para la coordinates conversión the de coordenadas graph of rec-

is

tangulares a half-plane a coordenadas and not an entire cilíndricas plane. y viceversa.

96. 97. Explicar Give the por equations qué en las for coordenadas the coordinate esféricas conversion la gráfica from de

q rectangular = c es un semiplano to spherical y no coordinates un plano entero.

and vice versa.

97. Dar las ecuaciones para la conversión de coordenadas rectangulares

a coordenadas esféricas y viceversa.

CAPSTONE

98. (a) For constants a,

b,

and c,

describe the graphs of the

Para discusión

equations r a,

and z c

in cylindrical

coordinates.

98. a) Dadas las constantes a, b y c, describir las gráficas de las ecua-

(b)

ciones For

r constants

a,

a,

b,

y z and

c

c,

en describe

coordenadas the

cilíndricas.

graphs of the

equations and in spherical

b) Dadas las constantes a, b y c, describir las gráficas de las

coordinates.

ecuaciones y en coordenadas esféricas.

5

5

3 2 z

b,

b,

a,

b,

a, b,

2

2

−4

−4

4

4

x

x

z

z

5

5

5

5

x

c

z

z

c

y

4

y

4

5

y

y

5

c

En In Exercises

los ejercicios 99–106,

99 a convert

106, convertir the rectangular

la ecuación equation

rectangular to an

a

una equation

ecuación in (a)

en cylindrical

coordenadas coordinates

cilíndricas y and

b) en (b)

coordenadas

spherical

esféricas.

coordinates.

99. x 2 y 2 z 2 25

100.

4x 2 y 2 z 2

101. x 2 y 2 z 2 2z 0

102.

x 2 y 2 z

103. x 2 y 2 4y

104.

x 2 y 2 36

105. x 2 y 2 9

106.

y 4

En In los Exercises ejercicios 107–110, a 110, sketch dibujar the el sólido solid that que tiene has la the descrip-

given

ción description dada en in coordenadas cylindrical coordinates.

cilíndricas.

107.

0

2, 0 r 2, 0 z 4

108.

2

2, 0 r 3, 0 z r cos

109.

0

110.

0

2, 0 r a, r z a

2, 2 r 4, z 2 r 2 6r 8

En In los Exercises ejercicios 111–114, a 114, sketch dibujar the el solid sólido that que tiene has la the descrip-

given

ción description dada en in coordenadas spherical coordinates. esféricas.

111.

0

112.

0

113.

0

114.

0

2, 0

6, 0

a sec

2, 4

2, 0

1

2,

0

2,

0

2

,

0

2,

1

3

Para Think pensar

About En It los In ejercicios Exercises 115 115–120, a 120, hallar find las inequalities desigualdades

that

que describe describen the al solid, sólido, and y especificar state the el coordinate sistema de system coordenadas

used.

utilizado. Position Posicionar the solid on al sólido the coordinate en el sistema system de coordenadas such that en the el

que inequalities las desigualdades are as simple sean as tan possible. sencillas como sea posible.

115. Un A cube cubo with con each cada edge arista 10 de centimeters 10 centímetros longde largo.

116. Una A cylindrical capa cilíndrica shell 8 de meters 8 metros long de with longitud, an inside 0.75 diameter metros de of

diámetro 0.75 meter interior and an y outside un diámetro diameter exterior of 1.25 de 1.25 meters metros.

117. Una A spherical capa esférica shell with con inside radios and interior outside y exterior radii of de 4 inches 4 pulgadas

and

y 66 inches, pulgadas, respectively respectivamente.

118. El The sólido solid que that queda remains después after a de hole perforar 1 inch in un diameter orificio de is drilled 1 pulgada

through de diámetro the center a of través a sphere del 6 centro inches de in una diameter esfera de 6 pulgadas

de diámetro.

119. The solid inside both x 2 y 2 z 2 9

and

119. El sólido dentro tanto de x 2 y 2 z 2 9 como de

x 3 2 2 y 2 9 4

x 3 2 2 y 2 9 4.

120. The solid between the spheres x 2 y 2 z 2 4

and

120. El x 2 sólido y 2

entre z 2 las

9,

esferas and inside

x 2 y the 2 cone

z 2 = z

4 2 y

x 2 x

2

y 2 y

2

z 2 = 9, y

dentro del cono z 2 x 2 y 2 .

True or False?

In Exercises 121–124, determine whether the

¿Verdadero statement is o falso?

true or En false. los If ejercicios it is false, 121 explain a 124, determinar why or give si an la

declaración example that es shows verdadera it is false. o falsa. Si es falsa, explicar por qué o

dar un ejemplo que pruebe que es falsa.

121. In cylindrical coordinates, the equation r z

is a cylinder.

121. 122. En The coordenadas equations cilíndricas, and la x 2 ecuación y 2 r z 2 = z es 4 un represent cilindro.

the

122. Las same ecuaciones surface. y x 2 y 2 z 2 4 representan la

123. misma The cylindrical superficie.

coordinates of a point x, y, z

are unique.

123. 124. Las The coordenadas spherical coordinates cilíndricas of de a un point punto x, y, (x, zy, are z) unique. son únicas.

124. Las coordenadas esféricas de un punto (x, y, z) son únicas.

125. 125.

Identificar Identify the

la curve

curva of

de intersection

intersección of

de the

las surfaces

superficies (in cylindrical

(en coordenadas

coordinates)

cilíndricas) z sin

z

and

sen r

q

y 1.

r 1.

126. 126.

Identificar Identify the

la curve

curva of

de intersection

intersección of

de the

las surfaces

superficies (in spherical

(en coordenadas

coordinates)

esféricas) and

y

4.

4.

2

2

2 sec

2 sec



En los ejercicios 1 y 2, sean y v PR \ , a) escribir u y v

en la forma de componentes, b) escribir u como combinación lineal

de vectores i y j unitarios estándar, c) encontrar la magnitud

de v y d) encontrar 2u + v.

1. P 1, 2, Q 4, 1, R 5, 4

2. P 2, 1, Q 5, 1, R 2, 4

En los ejercicios 21 y 22, determinar si u y v son ortogonales,

paralelos, o ninguna de las dos cosas.

21. u 7, 2, 3

22. u 4, 3, 6

v 1, 4, 5

En los ejercicios 23 a 26, hallar el ángulo

v 16, 12, 24

entre los vectores.

u PQ \ .

En los ejercicios 3 y 4, encontrar las componentes del vector v

23.

dada su magnitud y el ángulo que forma con el eje x positivo.

3. v 8, 60 1

4. v 2 , 225

24.

5. Hallar las coordenadas del punto en el plano xy cuatro unidades

a la derecha del plano xz y cinco unidades detrás del plano yz.

6. Hallar las coordenadas del punto localizado en el eje y y siete

unidades a la izquierda del plano xz.

En los ejercicios 7 y 8, determinar la localización de un punto

(x, y, z) que satisface la condición.

7. yz > 0

8. xy < 0

u 5 cos 3 4 i sen 3 4 j

v 2 cos 2 3 i sen 2 3 j

u 6i 2j 3k, v i 5j

25. u 10, 5, 15 , v 2, 1, 3

26. u 1, 0, 3 , v 2, 2, 1

27. Hallar dos vectores en direcciones opuestas que sean ortogonales

al vector u 5, 6, 3.

28. Trabajo Un objeto es arrastrado 8 pies por el suelo aplicando

una fuerza de 75 libras. La dirección de la fuerza es de 30° sobre

la horizontal. Encontrar el trabajo realizado.

En los ejercicios 9 y 10, hallar la ecuación estándar de la esfera.

9. Centro: 3, 2, 6; diámetro: 15

10. Puntos terminales de un diámetro: (0, 0, 4), (4, 6, 0)

En los ejercicios 11 y 12, completar el cuadrado para dar la

ecuación de la esfera en forma canónica o estándar. Hallar el

centro y el radio.

11. x 2 y 2 z 2 4x 6y 4 0

12. x 2 y 2 z 2 10x 6y 4z 34 0

En los ejercicios 13 y 14 se dan los puntos inicial y final de un

vector, a) dibujar el segmento de recta dirigido, b) encontrar la

forma componente del vector, c) escribir el vector usando

notación vectorial unitaria estándar y d) dibujar el vector con su

punto inicial en el origen.

13. Punto inicial: 2, 1, 3 14. Punto inicial: 6, 2, 0

Punto terminal: 4, 4, 7

Punto terminal: 3, 3, 8

En los ejercicios 15 y 16, utilizar vectores para determinar si los

puntos son colineales.

15. 3, 4, 1, 1, 6, 9, 5, 3, 6

16. 5, 4, 7, 8, 5, 5, 11, 6, 3

En los ejercicios 29 a 38, sea

w < >

< > v < > u 3, 2, 1 , 2, 4, 3 ,

1, 2, 2 .

29. Probar que u u u 2 .

30. Hallar el ángulo entre u y v.

31. Determinar la proyección de w sobre u.

32. Calcular el trabajo realizado al mover un objeto a lo largo del

vector u si la fuerza aplicada es w.

33. Determinar un vector unitario perpendicular al plano que contiene

a v y a w.

34. Mostrar que

u v v u.

35. Calcular el volumen del sólido cuyas aristas son u, v y w.

36. Mostrar que u v w u v u w.

37. Calcular el área del paralelogramo con lados adyacentes u y v.

38. Calcular el área del triángulo con lados adyacentes v y w.

39. Momento Las especificaciones para un tractor establecen que

7

el momento en un perno con tamaño de cabeza de 8 de pulgada

no puede exceder 200 pies-libras. Determinar la fuerza máxima

F que puede aplicarse a la llave de la figura.

y

17. Hallar un vector unitario en la dirección de u 2, 3, 5.

18. Hallar el vector v de magnitud 8 en la dirección 6, 3, 2.

En los ejercicios 19 y 20, sean u PQ \ y v PR \ , Hallar a) las

componentes de u y de v, b) u · v y c) v v.

19. P 5, 0, 0, Q 4, 4, 0, R 2, 0, 6

20. P 2, 1, 3, Q 0, 5, 1, R 5, 5, 0

2 pies

50°

7

8 pulg

70°

F


40. Volumen Usar el producto escalar triple para encontrar el volumen

del paralelepípedo que tiene aristas adyacentes u 2i j,

v 2j k, y w j 2k.

En los ejercicios 41 y 42, hallar el conjunto de a) ecuaciones

paramétricas y b) ecuaciones simétricas de la recta a través de

los dos puntos. (Para cada recta, dar los números directores

como enteros.)

41. 3, 0, 2, 9, 11, 6 42. 1, 4, 3,

En los ejercicios 43 a 46, a) hallar un conjunto de ecuaciones

paramétricas para la recta, b) encontrar un conjunto de ecuaciones

simétricas para la recta y c) dibujar una gráfica de la

recta.

43. La recta pasa por el punto (1, 2, 3) y es perpendicular al plano xz.

44. La recta pasa por el punto (1, 2, 3) y es paralela a la recta dada

por x y z.

45. La intersección de los planos 3x 3y 7z 4 y

x y 2z 3

46. La recta pasa por el punto (0, 1, 4) y es perpendicular a

u 2, 5, 1 y v 3, 1, 4.

En los ejercicios 47 a 50, encontrar una ecuación del plano.

47. El plano pasa por

(3, 4, 2), (3, 4, 1) y (1, 1, 2).

48. El plano pasa por el punto 2, 3, 1 y es perpendicular a

n 3i j k.

49. El plano contiene las rectas dadas por

x 1

2 y z 1

y

x 1

2 y 1 z 2.

50. El plano pasa por los puntos (5, 1, 3) y (2, 2, 1) y es perpendicular

al plano 2x y z 4.

51. Hallar la distancia del punto (1, 0, 2) al plano 2x 3y

6z 6.

52. Hallar la distancia del punto (3, 2, 4) al plano 2x 5y z

10.

53. Hallar la distancia de los planos 5x 3y z 2 y 5x 3y

z 3.

54. Hallar la distancia del punto 5, 1, 3 a la recta dada por

x 1 t, y 3 2t, y z 5 t.

En los ejercicios 55 a 64, describir y dibujar la superficie.

55. x 2y 3z 6

56. y z 2

57. y 1 2 z

58. y cos z

8, 10, 5

x

59.

2

16 y2

9 z2 1

60. 16x 2 16y 2 9z 2 0

x

61.

2

16 y2

9 z2 1

x

62.

2

25 y2

4 z2

100 1

63. x 2 z 2 4

64. y 2 z 2 16

65. Hallar una ecuación de una directriz de la superficie de revolución

y 2 z 2 4x 0.

66. Encontrar una ecuación de la curva generadora de la superficie

de revolución x 2 2y 2 z 2 3y.

67. Determinar una ecuación para la superficie de revolución generada

al rotar la curva z 2 2y en el plano yz alrededor del eje y.

68. Encontrar una ecuación para la superficie de revolución generada

al rotar la curva 2x 3z 1 en el plano xz alrededor del eje x.

En los ejercicios 69 y 70, convertir las coordenadas rectangulares

del punto a a) coordenadas cilíndricas y b) coordenadas esféricas.

69. 22, 22, 2

70.

En los ejercicios 71 y 72, convertir las coordenadas cilíndricas


71. 100,

72.

6 , 50

En los ejercicios 73 y 74, convertir las coordenadas esféricas del

punto en coordenadas cilíndricas.

73.

74.

25, 4 , 3

4

12, 2 , 2

3

En los ejercicios 75 y 76, convertir la ecuación rectangular a una

ecuación en a) coordenadas cilíndricas y b) coordenadas esféricas.

75. x 2 y 2 2z

76. x 2 y 2 z 2 16

3

4 , 3 4 , 33

2

81, 5

6 , 273

En los ejercicios 77 y 78, expresar en coordenadas rectangulares

la ecuación dada en coordenadas cilíndricas y dibujar su gráfica.

77. r 5 cos

78. z 4

En los ejercicios 79 y 80, expresar en coordenadas rectangulares

la ecuación dada en coordenadas esféricas y dibujar su gráfica.

79. 80.

4

3 cos


SP


1. Utilizando vectores, demostrar la ley de los senos: Si a, b y c son

los tres lados del triángulo de la figura, entonces

sen A

a

c

A

B

sen B

b

b

a

sen C

c .

C

x

2. Considerar la función f x t 4 1 dt.

0

a) Usar una herramienta de graficación para representar la función

en el intervalo 2 x 2.

b) Hallar un vector unitario paralelo a la gráfica de f en el punto

(0, 0).

c) Hallar un vector unitario perpendicular a la gráfica de f en el

punto (0, 0).

d) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la

gráfica de f en el punto (0, 0).

3. Utilizando vectores, demostrar que los segmentos de recta que

unen los puntos medios de los lados de un paralelogramo forman

un paralelogramo (ver la figura).

4. Utilizando vectores, demostrar que las diagonales de un rombo

son perpendiculares (ver la figura).

5. a) Hallar la distancia más corta entre el punto Q2, 0, 0 y la

recta determinada por los puntos P 1 0, 0, 1 y P 2 0, 1, 2.

b) Hallar la distancia más corta entre el punto Q2, 0, 0 y el segmento

de recta que une los puntos P 1 0, 0, 1 y P 2 0, 1, 2.

6. Sea P 0 un punto en el plano con vector normal n. Describir el conjunto

de puntos P en el plano para los que n PP \ 0 es el ortogonal

a n PP \ 0.

7. a) Hallar el volumen del sólido limitado abajo por el paraboloide

z x 2 y 2 y arriba por el plano z 1.

b) Hallar el volumen del sólido limitado abajo por el paraboloide

elíptico z x2

y arriba por el plano z k,

a y2

2 b 2

donde k > 0.

c) Mostrar que el volumen del sólido del inciso b) es igual a la

mitad del producto del área de la base por la altura (ver la

figura).

8. a) Usar el método de los discos para encontrar el volumen de la

esfera x 2 y 2 z 2 r 2 .

b) Hallar el volumen del elipsoide

9. Dibujar la gráfica de cada ecuación dada en coordenadas esféricas.

a) r 2 sen f

b) r 2 cos f

10. Dibujar la gráfica de cada ecuación dada en coordenadas cilíndricas.

a) r 2 cos

b)

x

z

z r 2 cos 2

11. Demostrar la propiedad siguiente del producto vectorial.

u v w z u v zw u v wz

12. Considerar la recta dada por las ecuaciones paramétricas

x t 3,

Base

Altura

y 1 2t 1,

z 2t 1

y el punto 4, 3, s para todo número real s.

y

x 2

a 2 y2

b 2 z2

c 2 1.

a) Dar la distancia entre el punto y la recta como una función

de s.

b) Usar una herramienta de graficación para representar la

función del inciso a). Usar la gráfica para encontrar un

valor de s tal que la distancia entre el punto y la recta sea

mínima.

c) Usar el zoom de una herramienta de graficación para amplificar

varias veces la gráfica del inciso b). ¿Parece que la gráfica

tenga asíntotas oblicuas? Explicar. Si parece tener asíntotas

oblicuas, encontrarlas.




13. Una pelota que pesa 1 libra sujetada por una cuerda a un poste

13. A es tetherball lanzada en weighing dirección 1 opuesta pound is al pulled poste outward por una fuerza from the horizontal

a u que horizontal hace que force la cuerda u until forme the rope un ángulo makes de an q grados angle con of el

pole

by

degrees poste (ver with la the figura). pole (see

u

figure).

(a) Determinar Determine the la tensión resulting resultante tension in en the la rope cuerda and y the la magnitud magnitude

u of cuando u when 30 .

de u 30 .

(b) Dar Write la the tensión tension T deT

Tla in cuerda the rope y la and magnitud the magnitude u como of u

ufun-

ciones functions de q. of Determinar . Determine

as

. los the dominios domains de of las the funciones. functions.

(c) Usar Use a una graphing herramienta utility de to graficación complete the para table. completar la tabla.

(d) Usar Use una a graphing herramienta utility de graficación to graph the para two representar functions las for dos

funciones 0 para 60 .

0 60 . 0 60 .

(e) Comparar Compare T

and y u u a as medida increases.

T u que se aumenta.

(f) f ) Hallar Find (if(si possible) es posible) lím lím T y lím u .

lím

T

¿Son los resultados

what lo que you se expected? esperaba? Explain.

→ T y u . Are the

→ 2 2→lím2

→ u 2 .

results → 2 → 2

Explicar.

θ

θ

θ

θ

u

u

θ

11 libra lb

θ

1 lb

Figure Figura for para 13 13 Figura Figure para for 14 14

14. A Una loaded barcaza barge cargada is being es remolcada towed by two por tugboats, dos lanchas and remolcadoras, the magnitude

y la of magnitud the resultant de la is resultante 6000 pounds es de directed 6 000 libras along dirigidas the axis a oflo

the largo barge del eje (see de figure). la barcaza Each (ver towline la figura). makes Cada an angle cuerda of de

degrees remolque with forma the un axis ángulo of the de barge. q grados con el eje de la barcaza.

(a) Hallar Find the la tension tensión in de the las towlines cuerdas del if remolque 20 . si

20 .

(b) Dar Write la the tensión tension T en T of cada each cuerda line as como a function una función of . Determine

the domain el dominio of the de function. la

de q.

T

.

Determinar función.

(d) Usar Use a una graphing herramienta utility de to graficación graph the tension para representar function. la función

Explain tensión. why the tension increases as increases.

(e)

15. Consider e) Explicar the por qué vectors la tensión u aumenta cos a , sen medida , 0 que and q aumenta. v

15. Considerar cos , sen los , 0 vectores , where

u cos , sen , 0 v

u > cos . Find , sen sin the , cross 0 y product v cos of , the sen

cos , sen , 0 , >

vectors , 0, donde and use > the . result

.

Hallar to el prove producto the identity vectorial de los vectores

y usar el resultado para demostrar la identidad

sen sen cos cos sen .

sen sen sen sen cos cos cos cos sen sen sin . .

sin sin

30.

0 10 20 30 40 50 60

0 10 20 30 40 50 60

T

T

u

u

20.

(c) Usar Use a una graphing herramienta utility de to graficación complete the para table. completar la tabla.

10 20 30 40 50 60

10 20 30 40 50 60

T

T

16. Los Ángeles se localiza a 34.05° de latitud Norte y 118.24° de

16. Los longitud Angeles Oeste, is located y Río de at 34.05 Janeiro, North Brasil, latitude se localiza and 118.24 a 22.90°

West de latitud longitude, Sur and y 43.23° Rio de Janeiro,

34.05

de longitud Brazil Oeste is located (ver at

118.24

la 22.90 figura).

South Suponer latitude que and la Tierra 43.23 es West esférica longitude y tiene (see un figure). radio Assume

22.90

de 4 000

that

South

millas. Earth

latitude

is spherical

and 43.23

and has

West

a radius

longitude

of 4000

(see figure).

miles.

Assume

that Earth is spherical and has a radius of 4000 miles.

z

z rMeridiano

m

z meridian

cero

r m

meridian

y y

y

Los Los Angeles

Los Angeles

Ángeles

x

x

x

Equator

Equator

Ecuador

Rio Río de de Janeiro

Rio de Janeiro

Janeiro

(a) Find Hallar the las spherical coordenadas coordinates esféricas for the para location la ubicación of each de city. cada

(a)

ciudad.

Find the spherical coordinates for the location of each city.

(b) Find the rectangular coordinates for the location of each

(b)

b) city. Hallar

Find the

las

rectangular

coordenadas

coordinates

rectangulares

for the

para

location

la ubicación

of each

de

cada

city.

(c) Find the ciudad. angle (in radians) between the vectors from the

(c)

c) center Hallar

Find the

of el Earth ángulo

angle

to

(in

(en the

radians)

radianes) two cities.

between

entre los

the

vectores

vectors

del

from

centro

the

de

la

center

Tierra

of

a

Earth

cada

to

ciudad.

the two cities.

(d) Find the great-circle distance s between the cities.

(d)

d) Hallar

Find

Hint: s

the

la distancia r

great-circle

s del círculo

distance

máximo

s between

entre las

the

ciudades.

cities.

(Sugerencia:

Hint: s r

(e) Repeat parts s(a)–(d) r.) for the cities of Boston, located at

(e)

e) 42.36 Repetir

Repeat

North los

parts

incisos

(a)–(d)

latitude a) a

for

d) and con

the

71.06 las

cities

ciudades West

of Boston, longitude, Boston,

located

localizada

and

at

Honolulu,

42.36

a 42.36°

North

located latitud

latitude Norte 21.31

and

y 71.06°

71.06

North longitud latitude

West longitude,

Oeste, and 157.86 y Honolulu,

and

West

Honolulu,

longitude. localizada

located

a 21.31°

at 21.31

latitud

North

Norte

latitude

y 157.86°

and 157.86

longitud

Oeste.

West longitude.

17. Consider the plane that passes through the points P, R, and S.

17.

17. Show

Consider

Considerar that

the

the el

plane

distance plano

that

que from

passes

pasa a point por

through

los Q

puntos

the

this

points

plane P, R

P,

is y S.

R,

Mostrar

and S.

Show

que la

that

distancia

the distance

de un punto

from a

Q

point

a este

Q

plano

to this

es

plane is

u v w

Distance u

Distancia Distance u v v w

Distance u v w

u

u

v

v

where u PR \ , v PS \ , and w PQ \ .

where

donde

u

PR \

PR

, \ ,

v

PS \

PS

,

\ , y

and

w

w

PQ

PQ \

\

.

.

18. Show that the distance between the parallel planes

18.

18. ax

Show

Mostrar by

that

que czla the

distancia d

distance

entre

between

los planos

the

paralelos

parallel planes

ax

ax

by

by

cz

cz

d 1 0 and ax by cz d 1 1

0

and

y ax

ax

by

by

cz

cz

d

d 2 0 is

2 2 0

0

es

is

d

Distance d 1 d

Distance

Distance

d 1

1

Distancia

d 2

a 2 b 2 2 d 2 c . 2

a

a 2 2

b 2 b 2

c . 2 c . 2

19. Show that the curve of intersection of the plane z 2y and the

19.

19. cylinder

Show

Mostrar

that

xque 2 the

la y

curve 2 curva 1

of

is de

intersection

an intersección ellipse.

of

del

the

plano

plane

z

z

2y

2y

y

and

el cilindro

x 2

the

cylinder x 2 y 2

y 2 1 es

1

una

is an

elipse.

ellipse.

20. Read the article “Tooth Tables: Solution of a Dental Problem

20.

20. by

Read

Leer Vector el

the

artículo

article

Algebra” “Tooth

“Tooth

by Gary Tables:

Tables:

Hosler Solution

Solution

Meisters of

of

a

a

Dental in

Dental

Mathematics Problem

Problem

by

Magazine.

by

Vector

Vector

Algebra”

Algebra”

(To view de

by

Gary

Gary

this Hosler

Hosler

article, Meisters

Meisters

go to

in

en the

Mathematics

Mathematics website

www.matharticles.com.)

Magazine.

Magazine.

(To view

Then

this

write

article,

a paragraph

go to the

explaining

website

how

www.matharticles.com.)

vectors and vector algebra

Then

can

write

be used

a paragraph

in the construction

explaining

of

how

dental

vectors

inlays.

and vector algebra can be used in the construction

of dental inlays.

12

Funciones vectoriales

Vector-Valued Functions

En This este chapter capítulo introduces se introduce the concept el concepto of

de vector-valued funciones vectoriales. functions. También Vector-valued

pueden functions emplearse can be used para to estudiar study curvas curves en in

el the plano plane y and en el in espacio. space. These Esas funciones functions

también can also pueden be used usarse to study para the estudiar motion elof

movimiento an object along de un a curve. objeto a lo largo de

una curva.


En following. este capítulo, se aprenderá:

■ How Cómo to analizar analyze y and bosquejar sketch una a space curva

curve en el espacio represented representada by a vector-valued por una

function. función vectorial. How apply Cómo the aplicar concepts los of

limits conceptos and de continuity límites y to continuidad vector-valued a

functions. las funciones (12.1) vectoriales. (12.1)

■ How Cómo to derivar differentiate e integrar and funciones integrate

vector-valued vectoriales. (12.2) functions. (12.2)

■ How Cómo to describir describe la the velocidad velocity yand

acceleration aceleración asociada associated con with una a función vectorvalued

vectorial function y cómo and usar how una to función use a

vector-valued vectorial para function analizar el to movimiento analyze

projectile de proyectiles. motion. (12.3) (12.3)

■ How to find tangent vectors and normal

Cómo encontrar vectores tangentes y

vectors. (12.4)

vectores normales. (12.4)

■ How to find the arc length and curvature

■ of Cómo a curve. encontrar (12.5) la longitud de arco y

la curvatura de una curva. (12.5)

■

Jerry Driendl/Getty Images

Una A Ferris rueda wheel de la is fortuna constructed está construida using the usando basic principles los principios of a básicos bicycle wheel. de una You bicicleta. can

■ use Se puede a vector-valued usar una función function vectorial analyze para the analizar motion el of movimiento a Ferris wheel, de una including rueda de its la

position fortuna, incluidas and velocity. su posición (See P.S. y velocidad. Problem Solving, (Ver solución Exercise de 14.) problemas, ejercicio 14.)

v(0)

v(1)

v(0)

a(1)

v(1)

v(2)

v(0)

a(2)

a(1)

v(1) v(1) v(2) v(2)

v(0) v(0)

v(3) v(3)

a(2) a(2)

a(3) a(3)

a(1) a(1)

a(0)

a(0)

a(0)

a(0) a(0)

Una

A vector-valued

función vectorial

function

mapea

maps

números

real numbers

reales

to

a

vectors.

vectores.

You

Se

can

puede

use

usar

a vector-valued

una función

function

vectorial

to

para

represent

representar

the motion

el

movimiento

of a particle

de

along

una

a

partícula

curve. In

a

Section

lo largo

12.3,

de una

you

curva.

will

En

use

la

the

sección

first and

12.3

second

se usarán

derivatives

la primera

of a position

y segunda

vector

derivadas

to

de

find

un

a

vector

particle’s

de posición

velocity and

para

acceleration.

encontrar la velocidad y aceleración de una partícula.

833 833

834 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales

834 Chapter 12 Vector-Valued Functions

12.1 Funciones vectoriales

12.1 Vector-Valued Functions

■

■

Analizar y dibujar una curva en el espacio dada por una función vectorial.

Extender Analyze and los conceptos sketch a space de límite curve y continuidad given by a vector-valued a funciones vectoriales. function.

Extend the concepts of limits and continuity to vector-valued functions.

Curvas en el espacio y funciones vectoriales

Space Curves and Vector-Valued Functions

En la sección 10.2 se definió una curva plana como un conjunto de pares ordenados

In ft, Section gt junto 10.2, con a plane sus ecuaciones curve was paramétricas defined as the set of ordered pairs ft, gt

together with their defining parametric equations

x f t y y gt

x ft and y g t

donde f y g son funciones continuas de t en un intervalo I. Esta definición puede extenderse

where de f manera and g are natural continuous al espacio functions tridimensional of t

an como interval sigue. I. Una This curva definition en el can espacio be C

es extended un conjunto naturally de todas three-dimensional las ternas ordenadas space as f t, follows. gt, ht A space junto curve con Csus is ecuaciones the set

paramétricas of all ordered triples ft, gt, ht

together with their defining parametric equations

x fft,

t,

y gt, gt,

yand

z z

hth t

donde where ƒ, f, g,

y and h son h are funciones continuous continuas functions de tof en t un on intervalo an I. I.

Antes Before de looking ver ejemplos at examples de curvas of en space el espacio, curves, se a introduce new type un of nuevo function, tipo called de función, a

llamada vector-valued función function, vectorial. is Este introduced. tipo de función This type asigna of function vectores maps a números real numbers reales. to

vectors.

r(t 0 )

x

r(t 0 )

r(t 0 )

r(t 0 )

y

r(t 1 )

y

r(t 1 )

r(t 1 )

r(t 1 )

Curve in a plane

z

r(t 2 )

r(t C 2 )

Curva en un plano

Curve in space

r(t 2 )

z

Curva en el espacio

r(t 2 ) C

x

Cy

Curve x C is traced out by the terminal point

of position vector r t .

Figure La curva 12.1C es trazada por el punto final

del vector posición r(t)

Figura 12.1

C

x

y

DEFINICIÓN

DEFINITION

DE

OF

FUNCIÓN

VECTOR-VALUED

VECTORIAL

FUNCTION

Una

A function

función

of

de

the

la forma

form

rt

r t

f ti

f t

i

gtj

Plano.

gtj

Plane

o

or

rt

r t

f ti

f t

i

gtj

gtj

htk Espacio.

htk Space

es

is

una

a vector-valued

función vectorial,

function,

donde

where

las funciones

the component

componentes

functions

ƒ,

f,

g

g,

y h

and

son

h

funciones

are

del

real-valued

parámetro

functions

t. Algunas

of the

veces,

parameter

las funciones

t. Vector-valued

vectoriales

functions

se denotan

are sometimes

como

rt

denoted

f t,

as r

gt

t

o rt

f t

, g

t

f t,

or

gt,

r t

ht.

f t , gt, ht .

Técnicamente, una curva en el plano o en el espacio consiste en una colección de puntos

y ecuaciones paramétricas que la definen. Dos curvas diferentes pueden tener la misma

Technically, a curve in the plane or in space consists of a collection of points and

the defining parametric equations. Two different curves can have the same graph. For

gráfica. Por ejemplo, cada una de las curvas dadas por

instance, each of the curves given by

r t sen t i cos t j

y

r t sen t 2 i cos t 2 j

has the unit circle as its graph, but these equations do not represent the same curve—

tiene como gráfica el círculo unidad o unitario, pero estas ecuaciones no representan la

because the circle is traced out in different ways on the graphs.

misma curva porque el círculo está trazado de diferentes maneras.

Be sure you see the distinction between the vector-valued function r and the

Es importante asegurarse de ver la diferencia entre la función vectorial y las funciones

reales ƒ, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r(t) es un vector, mien-

real-valued functions f, g, and h. All are functions of the real variable t, but r t is a

vector, whereas f t , g t , and h t are real numbers for each specific value of t .

tras que ƒ(t), g(t) y h(t) son números reales (para cada valor específico de t).

Vector-valued functions serve dual roles in the representation of curves. By

Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas.

letting the parameter t represent time, you can use a vector-valued function to

Tomando como parámetro t, que representa el tiempo, se puede usar una función vectorial

para representar el movimiento a lo largo de una curva. O, en el caso más general, se

represent motion along a curve. Or, in the more general case, you can use a vectorvalued

function to trace the graph of a curve. In either case, the terminal point of the

puede usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el

position vector r t coincides with the point x, y or x, y, z on the curve given by the

punto final del vector posición r(t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada

parametric equations, as shown in Figure 12.1. The arrowhead on the curve indicates

por las ecuaciones paramétricas, como se muestra en la figura 12.1. La punta de flecha

the curve’s orientation by pointing in the direction of increasing values of t.

en la curva indica la orientación de la curva apuntando en la dirección de valores crecientes

de t.

SECCIÓN 12.1 Funciones vectoriales 835

y

A menos que se especifique otra cosa, se considera que el dominio de una función

vectorial r es la intersección de los dominios de las funciones componentes ƒ, g y h. Por

ejemplo, el dominio de rt ln tit

1 t j tk es el intervalo 0, 1.

z

(4, 0, 4 π )

4π

2

1

−3 −1 1 3

r(t) = 2 cos ti − 3 sen tj

La elipse es trazada en el sentido de las

manecillas del reloj a medida que t aumenta

de 0 a 2

Figura 12.2

x

Cilindro:

x 2 + y 2 = 16

EJEMPLO 1

Trazado de una curva plana

Dibujar la curva plana representada por la función vectorial

rt 2 cos ti 3 sen sin tj, 0 ≤ t ≤ 2.

Función vectorial.

Solución A partir del vector de posición r(t), se pueden dar las ecuaciones paramétricas

x 2 cos t y y 3 sen t. Despejando cos t y sen t y utilizando la identidad cos 2 t

sen 2 t 1 se obtiene la ecuación rectangular

x 2


2 y 2

2 3 1. 2

La gráfica de esta ecuación rectangular es la elipse mostrada en la figura 12.2. La curva

está orientada en el sentido de las manecillas del reloj. Es decir, cuando t aumenta de 0 a

2, el vector de posición r(t) se mueve en el sentido de las manecillas del reloj, y sus puntos

finales describen la elipse.

EJEMPLO 2

Trazado de una curva en el espacio

Dibujar la curva en el espacio representada por la función vectorial

rt 4 cos ti 4 sen sin tj tk,

0 ≤ t ≤ 4.

Función vectorial.

(4, 0, 0)

x

4

r(t) = 4 cos ti + 4 sen tj + tk

A medida que t crece de 0 a 4, se

describen dos espirales sobre la hélice

Figura 12.3

y

Solución De las dos primeras ecuaciones paramétricas x 4 cos t y y 4 sen t, se

obtiene

x 2 y 2 16.


Esto significa que la curva se encuentra en un cilindro circular recto de radio 4, centrado

en el eje z. Para localizar en este cilindro la curva, se usa la tercera ecuación paramétrica

z t. En la figura 12.3, nótese que a medida que t crece de 0 a 4, el punto x, y, z sube

en espiral por el cilindro describiendo una hélice. Un ejemplo de una hélice de la vida real

se muestra en el dibujo inferior de la izquierda.

En los ejemplos 1 y 2 se dio una función vectorial y se pidió dibujar la curva correspondiente.

Los dos ejemplos siguientes se refieren a la situación inversa: hallar una función

vectorial para representar una gráfica dada. Claro está que si la gráfica se da en forma

paramétrica, su representación por medio de una función vectorial es inmediata. Por ejemplo,

para representar en el espacio la recta dada por

x 2 t,

y 3t

y

z 4 t

se usa simplemente la función vectorial dada por

rt 2 ti 3tj 4 tk.

En 1953 Francis Crick y James D.

Watson descubrieron la estructura de

doble hélice del ADN.

Si no se da un conjunto de ecuaciones paramétricas para la gráfica, el problema de representar

la gráfica mediante una función vectorial se reduce a hallar un conjunto de ecuaciones

paramétricas.



836 836 836Chapter Chapter 12 Vector-Valued

EJEMPLO

Functions

3

12 12 Vector-Valued Functions

Representación de una gráfica mediante

una función vectorial

y

Representar la parábola y x mediante una función vectorial.

EXAMPLE

EXAMPLE EXAMPLE 3

3 Representing

Representing 2 1

3 Representing a Graph

a Graph

Graph a by

by

Graph by a Vector-Valued

a Vector-Valued

by a Vector-Valued Function

Function

Function

t = −2 y

5

t = 2 Solución Aunque hay muchas maneras de elegir el parámetro t, una opción natural es

y y y

Represent the parabola given by y

Represent tomar Represent the the parabola Entonces the parabola given given by given by y y by xse 2 x y 2 1

tiene x 2 by a vector-valued function.

2 1 by by a vector-valued 1

by a vector-valued function.

function.

4

x t. y t 2 1

t = −2 5

t = 2

Solution Although there are many ways to choose the parameter t, a natural choice

t = t −2 = −2 t = −25

5 5 t = t 2= 2 t = 2 Solution Solution Although Although there there are there are many many are ways many ways to ways to choose to choose the the parameter the parameter t, Función a t, natural t, vectorial. a natural choice choice choice

3

is to rt let x t. Then t 2 y 1j.

is is to to let let is to let t. xThen t. y Then t 2 t

x t.

y 2 1

t 2 and you have

4

2 1 and and you 1you and have have you have

4

t = −1 4

2

4

t = 1

Nótese rt en la ti figura 12.4 la orientación obtenida con esta elección particular de parámetro.

Si se rt rt hubiera ti rt ti elegido t 2 t

t ti 2 1j.

2 como t 2 Vector-valued function

3

1j. 1j. parámetro

1j.

, la curva hubiera estado Vector-valued orientada Vector-valued function function en dirección

Note opuesta. in Figure 12.4 the orientation produced by this particular choice of parameter.

function

3

x t

3 3

t = −1 t 2= 0 y = x 2 + 1

t = 1

Note Note in Note in Figure Figure in 12.4 Figure 12.4 the the 12.4 orientation the orientation produced produced by by this this by particular this particular choice choice of choice of parameter.

of parameter.

t = t −1 = −1 t 2= −1 2 2t = t 1= 1 t = 1

Had you chosen x t as the parameter, the curve would have been oriented in the

x Had Had you you Had chosen

you chosen x t t xas as the t the parameter, as the parameter, the the curve curve the would curve would have would have been been have oriented been oriented in in the thein the

−2 −1 1

opposite direction.

y = opposite EJEMPLO opposite 4 direction.

y = x 2 direction.

Representación de una gráfica mediante

t = 0 t = y 0= y x= 2 x 2 2

t = 0

x 2 + 1

t = 0

+ 1+ 1 + 1

Hay muchas maneras de parametrizar x esta

x x

una función vectorial

gráfica. −2 −1 Una de ellas 1es tomar 2 x

x t

−2 −2 −1 −1 −2 −1 1 1 2 21

2 EXAMPLE

EXAMPLE

Dibujar EXAMPLE la gráfica 4

4 Representing

Representing

C 4representada Representing a por Graph

a Graph

Graph la a intersección by

by

Graph by a Vector-Valued

a Vector-Valued

by a del Vector-Valued semielipsoide Function

Function

Function

There Figura are many 12.4ways to parametrize this

There There are are There many many are ways ways many to to parametrize ways to parametrize this this

graph. One way is to let x t.

this Sketch the space curve C represented by the intersection of the semiellipsoid

graph. graph. One graph. One way way is One to is way to let let xis to t. let t. x t. Sketch Sketch xthe Sketch 2 the space space the curve space curve Ccurve

represented C represented by by the the intersection by the intersection of of the the semiellipsoid of the semiellipsoid

Figure 12.4

Figure Figure 12.4 Figure 12.4 12.4

x 2 x 2

2 x 2

z 0

y el cilindro 12 parabólico

y 2

24 z2

4 1, 12 2

24 z2

1, z 0

12 y 2

24 z2

4 1, z 0

12 y 2

z ≥ 0

12 y 2

24 z2

24 4 1, z2

4 1, y x 2 . Después, hallar una función vectorial que represente la

gráfica. and the parabolic cylinder y

and and the the and parabolic the parabolic cylinder

cylinder y x 2 x

.

yThen, 2 . Then,

Then, x 2 find a vector-valued function to represent the

2 . find Then, find a vector-valued find a vector-valued function function to to represent to represent the the the

graph.

graph. graph. graph.

Solución En la figura 12.5 se muestra la intersección de las dos superficies. Como en el

Solution The intersection of the two surfaces is shown in Figure 12.5. As in

Solution ejemplo Solution 3, The The una intersection opción The intersection natural of of the para the of two two el the surfaces parámetro two surfaces is is shown shown x is t. shown in Con in Figure Figure esta in Figure 12.5. opción, 12.5. As 12.5. As se inusa inAs lain

Example 3, a natural choice of parameter is x t. For this choice, you can use the

Example ecuación Example 3, dada 3, a natural y3, a xnatural choice para choice obtener of choice of parameter of parameter is Entonces is x t. is t. For x For this t. this For choice, this choice, you you can can you use use can the the use the

given equation y 2

given given equation given equation y x 2 x to y 2 y

to obtain 2 to obtain x 2 y

obtain to yobtain t 2 t

.

y 2 2 t

. Then, 2 .

Then, t 2 it follows that

. it Then, follows it it follows that that that

z 2 z 2

2 z 2

4 1 x2

12 y 2

24 1 t 2

12 t 4

24 24 2t 2 t 4

6 t2 4 t 2

.

x2

12 2

24 2

12 4

24 24 2t 2 4

6 t2 4 2 4 1 x2

12 y 2

24 1 t 2

12 t 4

24 24 2t 2 t 4

6 t2 4 t 2

4 1 x2

12 y 2

24 1 t 2

12 t 4

24 24 2t 2 t 4

6 t2 4 t 2

.

24

24 .

24 24 24 24 24 24

NOTE Curves in space can be specified Because the curve lies above the xy-plane, you should choose the positive square root

NOTE NOTE Curves NOTE Curves in Curves in space space in can space can be be specified can be specified Because Como Because la the curva the curve curve the se lies encuentra curve lies above above lies the sobre above the xy-

xy-

plane, el the plane, plano xy-you plane, xy, you should hay should you que choose should elegir choose the para the positive z the la raíz positive square square cuadrada root square root positiva.

for z and Así and for se zobtain and obtienen the obtain the following las the ecuaciones following parametric paramétricas parametric equations.

equations. siguientes.

root

in various NOTA ways. Las curvas For instance, en el espacio the curve pueden

Example especificarse 4 is described varias as the maneras. for in in various various in ways. various ways. For ways. For instance, For instance, the the curve

for z and obtain the following parametric equations.

curve the curve

in

in in Example in Example 4 is described is 4 is described as as the the as the

intersection Por ejemplo, of two la curva surfaces del in ejemplo space. 4 se

intersection intersection of of two two surfaces of two surfaces in space. space. in space.

y and z

6 4 t 2

x t, y t 2 , and

6 2 4 2 and z 6 t 2 4 t 2

x x t,

t, y y t 2 and z

t,

2 ,

6 t 2 4 t 2

x t, y t 2 ,

describe como la intersección de dos

6

6

superficies en el espacio.

6

■

The resulting vector-valued function is

The La The resulting función The resulting vectorial vector-valued vector-valued resultante function es function is is is

rt ti

rt ti t 2 j

6 4 t 2

rt ti 2 6 2 4 2 rt ti t 2 t

j 2 j

6

6 t 2 t

4 2 4

t 2 t

2

k, 2 Vector-valued function

k, k, 2

t

2 k, t

2.

6

2 2.

2. t Vector-valued 2. Función Vector-valued vectorial. function function function

6

6

Note that the k-component of rt implies 2 From the points 2, 4, 0

Note (Obsérvese Note that Note that the the que that k-component el the componente k-component of of rt krt

de implies of r(t) rtimplica implies 2

t

2 t

2.

2 2.

2. tFrom From 2.the From De the points los points the puntos 2, points 2, 4, (2, 2, 4, 0 04, 4, 0) 0

and 2, 4, 0 shown in Figure 12.5, you can see that the curve is traced as t increases

and y and (2, 2, 2, 4, and 4, 0) 4, 02, que 0 shown shown 4, se 0muestran in shown in Figure Figure in en 12.5, Figure 12.5, la figura you 12.5, you can 12.5, can you see see can that ve that see the que the that curve la curve curva the is curve is traced es traced trazada is as traced as t increases a medida t increases que t

from 2 to 2.

from crece from 2 from de 2 to 2 to 2. 2 2. a 2. to 2.

z

z

Parabolic cylinder z z z

Parabolic Cilindro Parabolic parabólico cylinder cylinder cylinder

C: x = t

(0, 0, 2)

C: C: C: x = x x = t

t

(0, (0, C: x = t

(0, 0, 2) 0, 2) (0, 0, 2)

2

2)

y = y

y = t 2 =

t 2 t 2 t y = t 2 2 2

2 2 2

(6

(6 + t+ 2 + t 2 (6 + t 2 )(4 − t 2 )

z =

)(4

)(4 )(4 − t− 2 − t 2 t 2 )

z =

)

Ellipsoid

z =

(6 t )

2 ) 6

t 2 )

Ellipsoid Elipsoide Ellipsoid Ellipsoid

z = 6 66

6

Curve in

Curve Curva Curve in

space

Curve en in in

space el space espacio space

(−2, 4, 0)

4

(−2, (−2, (−2, 4, 4, 0) 4, 0) (−2, 0) 4, 0)

4 4

4

x

(2, 4, 0)

(2, (2, (2, 4, 4, 0) 5

4, 0) 0) (2, 4, 50)

y

5

y5y

y

The curve C is the intersection of the semiellipsoid and the parabolic cylinder.

The La The curve curva curve The Cis es curve the is la the intersección intersection C

is the intersection of del the of semielipsoide the semiellipsoid of the semiellipsoid y el and cilindro and the the parabolic and parabólico

the parabolic cylinder.

cylinder.

Figure 12.5

Figure Figura Figure 12.5 Figure 12.5

12.5

■

■ ■

■

SECCIÓN 12.1 Funciones vectoriales 837

Límites y continuidad

Muchas de las técnicas y definiciones utilizadas en el cálculo de funciones reales se

pueden aplicar a funciones vectoriales. Por ejemplo, las funciones vectoriales se pueden

sumar y restar, multiplicar por un escalar, tomar su límite, derivarlas, y así sucesivamente.

La estrategia básica consiste en aprovechar la linealidad de las operaciones vectoriales y

extender las definiciones en una base, componente por componente. Por ejemplo, para

sumar o restar dos funciones vectoriales (en el plano), se tiene

r 1 t r 2 t f 1 ti g 1 tj f 2 ti g 2 tj

Suma.

f 1 t f 2 ti g 1 t g 2 tj

r 1 t r 2 t f 1 ti g 1 tj f 2 ti g 2 tj

Resta.

f 1 t f 2 ti g 1 t g 2 tj.

De manera similar, para multiplicar y dividir una función vectorial por un escalar se tiene

crt c f 1 ti g 1 tj

Multiplicación escalar.

rt

c

cf 1 ti cg 1 tj

f 1ti g 1 tj

,

c

f 1t

c

i g 1t

c

j.

c 0

División escalar.

Esta extensión, componente por componente, de las operaciones con funciones reales a

funciones vectoriales se ilustra más ampliamente en la definición siguiente del límite de

una función vectorial.

DEFINICIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

r(t) − L

r(t)

L

O

1. Si r es una función vectorial tal que rt f ti gtj, entonces

lim lím rt Plano.

t→a

lím

lim f t

t→a

i lím

lim gt

t→a

j

siempre que existan los límites de f y g cuando t → a.

2. Si r es una función vectorial tal que rt f ti gtj htk, entonces

lim lím rt

t→a

lim lím

f t

t→a

i lim lím gt

t→a

j lim lím

t→a ht k

siempre que existan los límites de f, g y h cuando t → a.

Espacio.

L

O

Si rt tiende al vector L cuando t → a, la longitud del vector rt L tiende a 0. Es

decir,

r(t)

rt L → 0

cuando

t → a.

A medida que t tiende a a, r(t) tiende al

límite L. Para que el límite L exista, no es

necesario que r(a) esté definida o que r(a)

sea igual a L

Figura 12.6

Esto se ilustra de manera gráfica en la figura 12.6. Con esta definición del límite de una

función vectorial, se pueden desarrollar versiones vectoriales de la mayor parte de los teoremas

del límite dados en el capítulo 1. Por ejemplo, el límite de la suma de dos funciones

vectoriales es la suma de sus límites individuales. También, se puede usar la orientación

de la curva r(t) para definir límites unilaterales de funciones vectoriales. La definición

siguiente extiende la noción de continuidad a funciones vectoriales.


838 Chapter 12 Vector-Valued Functions DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Una función vectorial r es continua en un punto dado por t a si el límite de rt

cuando t → a existe y

DEFINITION OF CONTINUITY OF A VECTOR-VALUED FUNCTION

lím lim rt ra.

A vector-valued t→a function r is continuous at the point given by t a if the

Una limit función of rt exists vectorial as tr→es continua a and en un intervalo I si es continua en todos los

puntos

lim

del

rt

intervalo.

ra.

t→a

A vector-valued function r is continuous on an interval I if it is continuous

at De every acuerdo point con in the esta interval. definición, una función vectorial es continua en t a si y sólo si

cada una de sus funciones componentes es continua en t a.

From this definition, it follows that a vector-valued function is continuous at

tEJEMPLO a if and 5only Continuidad if each of its component de funciones functions vectoriales is continuous at t a.

Analizar la continuidad de la función vectorial

EXAMPLE 5 Continuity of Vector-Valued Functions

rt ti aj a 2 t 2 k a es una constante.

Discuss the continuity of the vector-valued function given by

cuando rtt ti 0. aj a 2 t 2 k a is a constant.

z

z

16 16

at t 0.

Solución Cuando t tiende a 0, el límite es

Solution As t approaches 0, the limit is

lím lim rt

t→0

lim lím t

t→0

i lim lím a

t→0

j lím lim a 2 t 2

t→0

k

lim rt

t→0

lim t

0i t→0

aj i

lim a

a t→0 2 k j lim a 2 t 2

t→0

k

0i aj a 2 k

aj 2 k.

aj a 2 k.

Because

Como

a = −4

a = −4

14

12

10

14

12

10

a = 4

a = 4

r0 0i aj a 2 k

aj a 2 k

you se concluye can conclude que r es that continua r is continuous en t 0. Mediante at t 0. un By razonamiento similar reasoning, similar, you se concluye can

conclude que la función that the vectorial vector-valued r es continua function en todo r is valor continuous real de at t. all real-number values

of t.

■

−4

−4

2

4

x

8

6

4

2

4

x

2

8

6

4

2

y

4

a = 0

a = 0

a = −2

a = −2

a = 2

a = 2

For Para each value todo a, ofla a, curva the curve representada represented

by the por vector-valued la función vectorial function

rt) rt ti t iaj a ja 2 a 2 t 2 k

tis 2 k a parabola.

Figure es una 12.7 parábola

Figura 12.7

4

y

For each value of a, the curve represented by the vector-valued function in

Example Para 5, cada a, la curva representada por la función vectorial del ejemplo 5,

rt rt ti aj a a 2 t 2 k k a

is es a una constant. constante.

is es a una parabola. parábola. You Uno can se think puede of imaginar each parabola cada as una the de intersection estas parábolas of the como vertical la intersección plane

ydel plano a and vertical the hyperbolic y a con paraboloid el paraboloide hiperbólico

y 2 2

x 2 2

z

as shown in Figure 12.7.

como se muestra en la figura 12.7.

TECHNOLOGY Almost any type of three-dimensional sketch is difficult to do by

hand, TECNOLOGÍA but sketching Casi curves cualquier in space tipo is especially de dibujo difficult. tridimensional The problem es difícil is in trying hacerlo a

to mano, create pero the trazar illusion curvas of en three el espacio dimensions. es especialmente Graphing difícil. utilities El use problema a variety consiste of en

techniques crear la impresión to add “three-dimensionality” de tres dimensiones. Las to graphs herramientas of space de curves: graficación one way usan is diversas to

show técnicas the para curve dar on la a “impresión surface, as de in tres Figure dimensiones” 12.7. en gráficas de curvas en el espacio:

una manera es mostrar la curva en una superficie, como en la figura 12.7.

SECCIÓN 12.1 12.1 Vector-Valued

Funciones vectoriales Functions

839

839

[Las graphs gráficas are labeled están marcadas (a), (b),(c), (c), a), and b), (d).] c) y d).]

11

1. r t

t 1 i t

1. r t

t 1 i t

22 jj 3tk a) a) z z

b) b)

z z

12.1 Exercises Ejercicios See See www.CalcChat.com for for worked-out solutions to to odd-numbered exercises.

En In In los Exercises ejercicios 1–8, 1 a find 8, the hallar the domain el dominio of of the the de vector-valued la función vectorial.

function. In En In Exercises los ejercicios 21–24, a match 24, asociar the the equation cada ecuación with its its con graph. su gráfica.

[The

2. 2. rt rrt t 44 4 t 2 t 2 i i t 2 t j j 6tk

44

44

3. 3. rt rrt t ln ln ti ti ee t jj tk tk

22

22

4. 4. rt rrt t sen

sin sin ti ti 44 cos cos tj tj tk tk

yy

5. 5. rt rrt t Ft Ft t Gt Gt t donde

where

−2 −2 2 2

−2 −2

yy

x

2

4

x 2 2

4

2

Ft Ft t cos cos ti ti sen

sin sin tj tj t t t k, k, Gt Gt t cos cos ti ti sen

sin sin tj tj

xx

6. 6. rt rrt t Ft Ft t Gt Gt t donde where

Ft Ft t ln ln ti ti 5tj 5tj 3t 3t 2 k, k, Gt Gt t i i 4tj 4tj 3t 3t 2 k

c) c) z z

d) d) z z


where

11

Ft Ft t sen

sin sin ti ti cos cos tj, tj, Gt Gt t sen

sin sin tj tj cos cos tk tk


where

44

22

Ft Ftt t3 3 i i tj tj tk, tk, Gt t t 3

1

G t 3

1

t t i i

t 2k

1

t 1 j t 2 1

t 1 j t 2 k

xx

11

yy

22

xx

44

yy

En

In In los Exercises ejercicios 9–12, 9 a 12, evaluate evaluar

(if (if (si es possible) posible)

the the la función vector-valued vectorial

en cada valor dado de t.

21.

21. rrt rtt ti ti ti 2tj 2tj t at of

t

function at each given value of

k, k, k, 2 22 ≤ ttt ≤ 2

2

t. t.

9. rt rt costi sintj k, 1 ≤ t ≤ 9.

22. 22. rrt t t ti i t j t t 1j

k, 1 t 1

1

r t 2 t sen

t j t 2 k, 1 t 1

1

9. r t 2 2 i i t t 11j

j

23.

a) r1 b) r0 c) rs 1

23. rrt rtt ti ti ti t t 2 j j e e 0.75t 0.75t k, k, k, 2 22 ≤ t t ≤ 2

2

(a) (a) rr11

(b) (b) rr00

(c) (c) rrs s 11

2t

d)

(d)

r2 t r2

24.

rt ti ln tj 2t 2t

(d) rr22 t t rr22

24. rrtt ti ti ln ln tj tj

≤ t ≤ 0.1 t 5

3 k, 0.1 t 5

3 k,

10.

10. 10. rt

rrt t cos

cos cos ti

ti ti 22 sen sin

sin sin tj

tj tj

25. Para pensar Las cuatro figuras siguientes son gráficas de la

a)

(a)

r0 b)

(b)

r4 c)

25. 25. Think About It It The four figures below are are

(c)

función vectorial rt 4 cos ti 4 sin tj t graphs

Asociar cada

d) r6 t r6

k.

of of the the

(a) rr00

(b) rr 44

(c) rr

vector-valued function rrt t 44 cos cos senti ti 44 sin sin tj tj t t44k.

k.

(d) (d) rr 66 t t rr 66

una de las gráficas con el punto en el espacio desde el cual se ve

11. rt ln ti Match each of of the the four graphs with the the point in in space from

11

la hélice. Los cuatro puntos son

11.

0, 0, 20, 20, 0, 0, (20, 0, 0)

the is are

20 ,

r t ln ti

t j

which the helix is viewed. The four points are

20 ,

11. r t ln ti

t j 3tk

y 20, 20,

10, 0, 020, 0 ,,

10. 20, 20, 0, 0, 00 ,,

and 10, 10, 20, 20, 10 10 . .

a)

(a) (a) r2

rr22

b)

(b) (b) r3

rr 33

c)

(c) (c) rt

r

r t t4

44

(a) (a)

z z

(b) (b)

z z

d)

a) z

b)

z

(d) (d) r1

rr1 t 1 t t r1

rr11

12.

12. 12. rt

rrtt t

t t i i t 32 t 32 jj e t4 e t k

a)

(a) (a) r0

rr00

b)

(b) (b) r4

rr44

c)

(c) (c) rc

rr

cc 2

22

d)

(d) (d) r9

rr9 t 9 t t r9

rr99

xx

x

En In In los Exercises ejercicios 13 13 13 and y 14, 14, find hallar rrt t rt . . .

y

yy

Generated by by Mathematica

y

14. 13. 13.

by rtr rtt t t t i i 3tj 3tj 4tk

Generated by Mathematica



13. 14. 14. rtr rt t sen

sin sin 3ti 3ti cos cos 3tj 3tj tk tk

(c) (c)

(d) (d) z z

c) d)

z

En In In los Exercises ejercicios 15–18, a represent 18, representar the the line el segmento from de recta Pto to Qdesde

by by aa

P vector-valued hasta Q mediante function una and función by by a a set set vectorial of of parametric y mediante equations. un conjunto

de ecuaciones paramétricas.

yy

15. 15. P0, 0, 0, 0, 00 , , Q3, 3, 1, 1, 22

16. 16.

P0, 0, 2, 2, 11 , , Q4, 4, 7, 7, 22

y

15. 17. 17.

P(0, 2, 0, 2, 5, 0), 5, Q 33 (3, , , Q( Q( 1, 2) 1, 1, 4, 4, 99

16. P (0, 2, 1), Q (4, 7, 2)

17. 18. 18.

P(2, 1, 1, 6, 5, 6, 8), 3), 8), QQ 3, (1, 3, 2, 4, 2, 559)

yy

18. P (1, 6, 8), Q (3, 2, 5)

xx

y

Generated by Think About It It In In Exercises 19 19 and 20, 20, find Is the

xby Mathematica

Generated by by Mathematica

rrt t ut t . . Is the



Para result pensar a a vector-valued En los ejercicios function? 19 Explain. y 20, hallar rt ut. ¿Es el 26. 26. Sketch the the three graphs of of the the vector-valued function

resultado una función vectorial? 11

Explicar.

19. 19. rrt t 3t 3t 11i

i 4t 4t 33 jj 4k, 4k,

utt t 2 t 2 i i 8j 8j t 3 t 3 k

26. rDibujar rtt ti ti

tres tj gráficas

tj 2k 2kas de

as la

viewed

función from

vectorial

each point.

rt ti tj 2k

19. 20. 20. rt rrt t 3t 33 cos 1i t, t, 22 sin sin 1 4tt, 3 t, jt t 4k 2, 2, ,

utut t 4 4 tsin 2 sin i t, t, 8j6 6 cos t 3 t, kt, t 2 t 2

(a) vistas (a) 0, 0, desde 0, 0, 20 20los (b) puntos. (b) 10, 10, 0, 0, 00

(c) (c) 5, 5, 5, 5, 55

20. rt 3 cos t, 2 sin sent, t 2,

ut 4 sen sin t, 6 cos t, t 2 a) 0, 0, 20 b) 10, 0, 0 c) 5, 5, 5

r


840 CAPÍTULO Chapter 12 12 12Vector-Valued Funciones Functions vectoriales

In 840 Exercises Chapter 27–42, 12 sketch Vector-Valued the curve represented Functions by the vectorvalued

En In In Exercises

function


and sketch

give the

a 42, dibujar the

orientation

the curve la represented

of the curve.

curva representada by by the the vector-

por la

función valued function vectorial t and y dar la orientación the de la of curva. the 27. r t

28. r t 5 t i tj

4 i and t give 1 j

the orientation of the curve.

In Exercises 27–42, sketch the curve represented by the vectorvalued

27. 27. rrt

function t t

29. t t 3 28. r t 5 t i tj

4 i t 2t 1 j 28. r t 5

30.

t 2 t i t 2 tj

4 i and t j

1 give j the orientation of the curve.

t j

31. 29. 29. rt t tcos 3 t

27. r t

i 3 i t 2 j 2 j3 sin j 32. 30. 28. 30.

rt r tt 2 ttcos 2 5t 2 ti ti tt i

i 2 t sin t 2 t 2 tj

tj

tjt tj

j

33.

31. r 3 4 i t 1 j

31. r cos cos sec ii i 332 sin sen

sin tan jj

jj

32. rt

32. r t 2 2 cos cos ti ti 2 2 sin sen

sin tj tj

29.

34.

34.

33.

r r t t 2 t

3 cos 3 i

sec 3 i

t

ti 2 j

i 2 sin tan 3 j

30.

tj rt r t

2

t

cos 2

j

3 ti

t i

2

t

33. r 3 sec i 2 tan j

sen sin 2 3 tj

t j

31.

35. 34.

rt r t

cos

t 2 t

i

cos 3 11i tii

3 sin

4t

j

sin 3 tj 22j j

32.

2t

r

t

33k

2 cos ti 2 sin tj

34. r t 2 cos 3 ti 2 sin 3 tj

k

33.

36. 35.

rt r ti

3

sec

2t

i

t

1 i5 5j

2 tan

j

4t 3tk

j

35. r t t 1 i 4t 22j j 2t 2t 33k

34.

37. 36.

rt r t 2

2

ti cos

cos ti 3 ti

2t 2

2

36. r t ti 2t 55 sin sen

sin

j tj 3

tj

j 3tk 3tk

tk

35. r t t 1 i 4t 2 j 2t 3 k

38. 37. 37.

r t ti 22 cos cos 3 ti cos ti tj 22 sin sin 3 tj tj sen tk tk

36. r t ti 2t 5 j 3tk

39.

39. 38. 38.

rt r t

2 ti ti sin

sin 3 ti

ti 3 cos cos 2 tj tj cos

cos 3 tj

tj 3 sen sen

e tk tk t t k

37. r t 2

sen

cos ti 2 40.

40. 39.

rt

t 3 sin tj tk

39. r t 22 isin sin ti 2tj

2tj ti 2 22tk

cos cos tj tj e

2tk e t t k

38. r t ti 3

41.

41. 40.

t 2 3

rt t,

t, ti 2 , 2 3 t cos tj

40. r t t 2 3

3

3 sen tk

i 2tj

2tk

39. r t 2 sin 2tk

42.

42. 41. 41.

rt r t cos

cos t, t, t 2 tt , 2 , 2 ti

2 3 t 3 sin

sin

t,

t,

sin

sin

t

t cos

cos

t,

t,

t

3 t 2 cos tj e t k

3

40. r t t 2 sen3

i 2tj

sen t

2tk

42. 42. r t cos cos tt t t sin sin t, t, sin sin tt t t cos cos t, t, t

CAS In Exercises 43–46, use a computer algebra t system to graph the

CAS En 41. los r tejercicios t, t 2 , 43 2 3 a 46, usar un sistema algebraico por computadora

In 42. In Exercises r ta fin cos 43–46, de representar t use t use sin a t, a computer sin gráficamente t t cos algebra t, t la system función to to vectorial graph the thee

identificar vector-valued la 1curva function común. and the 43. r t

vector-valued function t 3

and identify the common curve.

CAS CAS

2 t and identify 3

2 i tj

1

43. r t

2 t 3

rt 2 i tj

t 2 3 2 t the common curve.

CAS In Exercises 43–46, use a computer 2 k algebra system to graph the

43. vector-valued 1

r t

2 t function 2 i tj and 3identify 3

44. r t ti

3

44.

ti

2 t 1

rt 3

t 1

2 2 t 2 k the common curve.

j

2 t 2 k

1

43. r t 3

44. r t ti

2 j

2 t 2 2 t 1

2 t 3

2 i 2 tj

j

3 2 45. r t sin ti

cos 2 t k

t 2 k

t 1

2 t j 1

3

45.

sin ti

2 cos t 1

2 t j 1

2 cos t 3

rt

3

2 cos t 3

k

3

2

44. r t ti 3

45. r t sin ti

3

46.

2 sin ti2 cos 2 cos t 1

tj2 t j 1

2 sin tk

2 cos t 3

sen 2 t 1

2 j

2 t 2 k

2 k

2

3

46.

CAS Think 45. 46. rt rr t

About t

2 sin It ti 22 In sin

sen sin Exercises ti ti 22 cos cos 47 tj tj and 2 2

48, 2 sin

use sin tk

a tk

2 cos t 1

2 t j 1

sen2 cos computer t 3

algebra k

2

system to graph the vector-valued function r t . For each u t ,

CAS CAS Think

Para pensar

About It It En

In

los In Exercises

ejercicios 47 47 and

y and 48,

48, 48, usar

use use un

a a computer

sistema algebraico

algebra

CAS 46. r t 2 sin ti 2 cos tj 2 sin tk

make

system

a conjecture about the transformation (if any) of the

por computadora

to to graph the the fin

vector-valued de representar

function

gráficamente

rrt t . . For For each

la función

u t t , ,

CAS graph

make Think of r t . Use a computer algebra system to verify your

vectorial a About a conjecture It In Exercises

rt. Para

about cada

the the 47

ut,

transformation and 48, use a computer

conjeturar sobre

(if (if any) algebra

la

of

transformación

of of to rrgraph (si

of the the

conjecture.

graph system t t . . Use

la Use the

hay)

a a computer vector-valued de la gráfica

algebra function

de

system

rt.

r t .

Usar

to to For verify each

un sistema

your

u t ,

1

47. conjecture. make

algebraico r t

a conjecture

2 por cos computadora ti 2

about

sin tj

the transformation (if any) of the

para 2tk verificar la conjetura.

graph of r t . Use a computer algebra 1 system to verify your

1

47.

1

conjecture. 47. (a) rrt t 22 cos cos 2 ti cos ti t 22 sin sin 1 itj

tj 2 sin

47. rt 2 cos ti 2 sin tj 1 2tk

2tk

(b)

1

(a)

t 2 cos tit 21 sin i tj tj 2tk

sen

1

(a) u t 2 cos t 1 i 2 2tk

1sin tj tj 2tk

47. a) r tut 2 2cos ti t 2 sin 1i tj 2 sin tj 1 2tk

(c)

2

(b)

cos tit i 2 2 sin sin

sen 2tk

tj t 2tk j

tk 1

(b) u t 2 cos ti 2 sin tj 2tk 2 t k

1

(d) b) (a) ut u t 12cos cos tit 21 sin tj 2tk 1

(c)

1

(c)

u t 2ti 2 cos cos2 sin t ti itj sen i 2 sin tj

22 sin 2 sin cos ttk

2tk

tjj

2 t (e) c) ut 21costi 1 2 sintj 1

(d)

1 2 t k

(b) u t 2 ti 2 sin

(d)

u t

62ti ti

2ti 22 sin sin 6 tj sin sentj 2tk

tj 22 cos cos 2tk

tk 2tk

48. rd)

1

(e) t ut ti 1 1

(c) u t 2 cos

2ti t6 1 t i 2 sin

(e) u t 6 cos j cos

2 ti ti 2t sin 3 ktj 66 sin

sin

2 tj tj

cos 1t j

sen tk 2 t k

1

2tk

(d) u t

2tk

48. (a) e) r tut u t ti 6 ti2ti cos t 2 1

j ti t

2t 3 1

48. r t ti t 2 12 sin tj 2

j 2t 3 k6 2sin j tj 1 2 t cos sen

3 2tk k

1

(e) u t 6 cos ti

48. (b) (a)

t t 2 1

rt ti t 2 ti 2 j tj

1 2t 3 16 sin tj

(a) u t ti t 2 k2t 22 3 1

jk

j 2 t 3 2 t 2tk

k 3 48. r t ti t

(c)

a) (b)

t 2 1

ut ti

ti 2 1

j

i t

t 2 2 (b) u t t 2 1

i tj j 2t 3 k

tj 2j 2t 2t 3 k 3 1 4

2t 3 k

(a) u t ti t (d)

b) (c)

ti t 2 1

ut t 2 i tj 2 1

j

1 1

(c) u t ti t 2 12 j

j 8t

2t 2t 3 3 k

2t 33

2

44 t 3 k

k

(b) u t t

(e)

c) (d)

2 1

i tj

tit i 2 1

ut ti t 2 j t

8t 3 2t 2 1

(d) u t ti t 2 12t j 8t 3 j

3 k

3 k 2 t

4k

3 k

(c) u t ti t 2 1

j 2t 3

(e)

d)

(e) u t t i i t 2 1

In Exercises ut 49–56, ti t 2 j represent 1 t j 2 t 3 8t 3 k

2 14 k

j 2 t

the plane 3 k

(d) u t ti t 2 1

j 8t 3 k

curve by a vectorvalued

In

function. (There are

In Exercises e)

ut ti 49–56, represent t 2 many

j 1 correct

2t the the 3 plane

answers.)

(e) u t t i t 2 1

j 2 tk

3 k curve by by a a vector-

49. valued y function. x 5 (There are are many 50. correct 2x answers.) 3y 5 0

En In los Exercises ejercicios 49–56, a 56, representar the plane curva curve plana by por a vectorvalued

49. una yy función function. xx 52 5

2 52.

medio

51. 49. de vectorial. (There are (Hay many muchas 50. 50. correct

y2x 2x 4

respuestas 3y answers.) 3yx 2 55correctas.)

00

51. 51. y x

x 2

5

2 22 52.

52. y

2x

y 4

4 x

3y

x 2

49. y x 5

50. 2x 3y 2

5 0

51. y xx 2 2 22 52.

y 4 x 22

53. x 2 y 2 25

54.

x 2

y 2

x 2 2 y 2 4

53. 53. x

55. x 2 2 yy 2 2 25

25

54. x

1

54. x x

56.

2

x 22 2 2 2 y 1y 2 2 4

4

16

x 55. 4

y 2

9

x 56.

2 16

55. 2 2

y 2

1

16 y y2

2

x

56.

2 y 2

53. x 1

16

2 y

4

2 125

54. x 2

99

16

2 y 2 4

In Exercises 57 and 58, find vector-valued functions 16 forming the

x

boundaries 55. 2 y 2

x

of the region in the figure. 56.

2 y

1

2

State the interval 1

In

En In Exercises

for the

los 16 ejercicios 457 57 and and 57

58, 58, y

find

58, hallar

vector-valued funciones 9 functions 16vectoriales forming que

the

describan

los límites

the

parameter

boundaries

of

of

each

of the the region

function.

de la región

in in the the figure.

en la figura.

State the

Dar the interval el intervalo

for for the the correspondiente

Exercises y of of 57 each and

57. parameter In

al parámetro

function.

58, find vector-valued

de cada 58. función. y functions forming the

boundaries of y = the x 2 region in the figure. State the interval for the

57. 57. 5 y

y

58. 12 y

parameter of each function.

58.

y

4 y y = = x x 2 2 10 x 2 + y 2 = 100

5

5

12

8

12

57. 3 y

58. y

4

10

4

6

10 x x 2 2 + + y y 2 2 = = 100

100

2 y = x 2 8

3

4

8

35

12

1

2

6

6

24

10

2

45° x 2 + y 2 = 100

x

4

84

x

13

1 1 2 3 4 5

2

62

2 45° 4

45° 6 8 10 12

2

x

x

4

x

x

2

4

6

8

10

12

In Exercises 1 11 22

33

44

55

2 4 6 8 10 12

59–66, sketch the space curve 2 represented 45° by the

x

x

intersection

In In Exercises

of the surfaces. Then represent the curve by a

1 259–66, 3 4 sketch 5 the the space curve 2 represented 4 6 8 10 12by by the the

vector-valued

intersection En los ejercicios of

function

of the the 59 surfaces. a using 66, dibujar the

Then

given la represent curva parameter. en the el the espacio curve by representada

In Exercises

by a a

vector-valued Surfaces

por la 59–66, function intersección sketch using de the the las space given superficies. curve parameter.

Parameter

represented Después representar

intersection la curva of por the medio surfaces. de una Then función represent vectorial the curve usando by a el

by the

59.

parámetro vector-valued

zSurfaces

x 2 dado.

y 2 function

, x y

using

0

the given parameter.

xParameter

t

60. 59. 59.

zz x x 2

Superficies

2 yy 2 , 2 , zxx 4yy 00

xx

2 ttcos t

Surfaces

Parámetro

60.

2 2 cos t

z 4

Parameter

61. 60. xz 2 xy 22 y4, 2 , z 4x 2 x 2 sin cos tt

59. z x 62. 61. 4xx 2 2 y 4y

y 2 2 2 , x y 0

x t

61. x 2 y 2 4,

4, z 2 z 16, xx 2 sin 2 x z 2 zx t2 sin t

60. z x 63. 62. x 2 4x 2 y 2 y 2

4y

2 z 2 , z 4

x 2 cos t

62. 4x 2 4y 2 2 zz 2 2 4, 16, 16, x xz x z z 22 xzz

1tt

sin t

61. x 64. 63.

2 y

x 2 y 2 4, z x

2 z

2 10, 2 x 2 sin sen t

63. x 2 y 2 z 2 4, 4, xx zyz 2

4

x

x 21 1 sin sin t t

62. 4x 65. 64.

2 4y 2 z 2 z

2 4, 2 y 2 16, x z 2

10, z 2 x 4

2 z t

64. x 2 y 2 z 2 10, x yy 44

x t 22first sin sin octant t

63. x 66. 65.

2 y 2 yz 2 z

2 z4, 2 2 4, x z 2 x 1 sin sen t

65. x 2 z 2 y

y16, 2 t first 2 zxy z 2 2 4

4

x

t first octant

64. x 2 y 2 z 2 10, x y 4

x 2 sen sin t

66.

67.

66. x Show 2 2 yy that 2 2 zz the 2 2 16,

vector-valued 16, xy xy 4 x

t first first octant

65. x 2 z 2 4, y 2 z 2 4

function x

t (primer first octant octante)

67. 66. 67. rShow x t 2 that y ti that 2 the the 2t z 2 vector-valued cos 16, tj xy 2t sin function 4

tk x

t (primer first octant octante)

67. Mostrar que la función vectorial

67. lies r

Show rtton ti the that ti cone the

2t 2t cos

vector-valued cos 4xtj 2 tj y2t 2 2t sin sin zfunction

2 tk.

tkSketch the curve.

68. Show lies

rt ti 2t cos tj 2t sin tk

lies on on that the the the cone

vector-valued 4x 4x 22 yy 2 sen

r t ti 2t cos tj 2t 2 sin

function zz 2 tk . 2 . Sketch the the curve.

68. 68. rShow se t encuentra ethat t cos the the en ti vector-valued el cono e t sin 4xtj 2 function ey 2 t k

z 2 . Dibujar la curva.

lies on the cone 4x 2 y 2 z 2 . Sketch the curve.

68. Mostrar que la función vectorial

68. lies r

Show rtton ethe that e t t cos cone the cos ti

vector-valued ti z 2 eex t 2t sin sin tj ytj 2 function . Sketch ee t k t the curve.

lies

rt e t cos ti e t sin tj e t k

In Exercises lies on on the the cone

69–74, z

find z 22 x

the x 2 sen

r t e t cos ti e t 2 sin y

limit tjy 2 . 2 . Sketch

(if e the

it t kexists).

the curve.

se encuentra en el cono z 2 x 2 y 2 . Dibujar la curva.

69. In In Exercises lím lies ti on the 69–74, cos cone tj find z 2 sen tk xthe 2 limit y 2 . (if Sketch (if it it exists).

the curve.

t→

69. En In 69. Exercises lím los límejercicios ti ti cos cos 2tj tj a 74, sen evaluar tk el límite.

70. lím t→ 3ti

t→2 t 2 1 j sen tk 1

t→

69–74, find the

t k limit (if exists).

2

70. 69.

2

70. lím lím

lím 3ti

3ti

cos tj

t→2 t 2 j 1

1 cos

71. lím t t t→2

t

2 t

i 3tj

2 1 j sen

1

tk

t k

k

t→0 2

1

t

70. lím 3ti

71.

1 cos cos t t

71. lím lím t 2 t→2 t 2 i

t→0

i t3tj

2 k

72. lím t→0

ln t1 j 1

t k

t i

t

t→1 t 2 1 j t 1

1 cos t t1 k

71. lím t ln

72.

ln t t

72. lím

2 i 3tj

lím t t i i

t→1 t 2 1 j 1

sen t

73. lím e t 1 t→1 t t

i

2 1 j 1 k

t→0 t

j e

t→0 t

t t 1 k

k

ln t

72. lím sen

73.

sen t t

73. lím lím ee t t i

i t i jj

ee t→0

1t

t→0

74. lím e t i

t→ t j t

t t→1 t 2 1 j 1

kt

1 k

sen t t

1

2 1 k

73. lím e 1

74. 74. lím lím

t i

e t t i i

t→ t j t

t 2 1 t→

j j et

t→0 t

t k

t 2 1 k

1

74. lím e t i

t→ t j t

t 2 1 k

y 2

SECCIÓN 12.1 12.1Vector-Valued Funciones Functions vectoriales 841

En In los Exercises ejercicios 75–80, a 80, determine determinar the el interval(s) (los) intervalo(s) on which en que the En In Exercises los ejercicios 89 and 89

12.1

y 90, dos two

Vector-Valued

partículas particles travel viajan

Functions

along a largo the space de

841

las

la vector-valued función vectorial function es continua. is continuous.

curvas curves de r tespacio and ur(t) t . y A u(t). collision Una colisión will occur ocurrirá at en the el point punto of de

intersección si ambas partículas están en P al mismo tiempo.

rt ti intersection P if both particles are at P at the same time. Do the

In Exercises 75–80, 1

rt t i t j ¿Colisionan las partículas? ¿Se intersecan sus trayectorias?

t j determine the interval(s) on which the In Exercises 89 and 90, two particles travel along the space

75. r t ti

76. r t t i t 1 j particles collide? Do their paths intersect?

vector-valued function t j is continuous.

curves r t and u t . A collision will occur at the point of

77. rt r t ti ti arcsen t 1k

intersection P if both particles are at P at the same time. Do the

1

arcsin tj t 1 k

89. r t) t 2 i 9t 20)j t 2 k

75. rt 2e t i e t 76.

particles collide? Do their paths intersect?

78.

r

r

t

t

ti

2e t r t t i t 1 j

ti j e j t j lnt t 1k 1 k

u t) 3t 4 i t 2 j 5t 4 k

77.

79. rrt rtt

ti ee t , t , arcsin tt 2 , 2 , tan tj tt

t 1 k

80. rt r t 8, 8, t, t, t 33 t

89. 90. rr(t t) t 2 tii t 2 9t j t20)j 3 k t 2 k

78. r t 2e t i e t ut) t) 3t 2t 4 i 3 i t 2 j 8tj 5t 12t 4 k 2 k

j ln t 1 k


79. Desarrollo r t e t , t 2 , de tan tconceptos

80. r t 8, t, 3 t

90.

Para Think

r(t

pensar About

ti

It

t

En 2 j

los In

t 3 ejercicios Exercises

k

91 y and 92, dos 92, partículas two particles viajan travel

81. Consider the vector-valued function

a lo

81. Considerar la función vectorial

largo along u t) de the las space curvas 2t curves 3de i espacio r8tj t and r(t) 12t u t y . u(t). 2 k

WRITING r t tABOUT 2 i t CONCEPTS

3 j tk.

Si r(t) y u(t) se intersecan, ¿colisionarán las partículas?

rt t 2 i t 3j tk.

Think 91. If About r and Itu tIn intersect, Exercises will 91 the and particles 92, two collide? particles travel


Write a vector-valued function s t that is the specified along 92. Si If the the las space partículas particles curves collide, colisionan, r t do and their ¿se u t intersecan paths . r t) and sus utrayectorias t intersect? r(t) y

rDar transformation t una t 2 i función t of 3vectorial

r. j tk. st que sea la transformación

u(t)?

especificada de r.

91. If r t) and u t intersect, will the particles collide?

(a) A vertical translation three units upward


Write a vector-valued function s t that is the specified ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 93 a 96, determinar si la

a) Una traslación vertical tres unidades hacia arriba

92. statement If the particles is true collide, or false. do If their it is paths false, r explain t) and uwhy t intersect? or give an

transformation (b) A horizontal of r. translation two units in the direction of the declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o


b) Una negative traslación x-axishorizontal dos unidades en dirección del

(a) A vertical translation three units upward

True dar un or ejemplo False? que In pruebe Exercises que 93–96, es falsa. determine whether the

(c) eje A xhorizontal negativo translation five units in the direction of the statement 93. If f, g, is and true hor are false. first-degree If it is false, polynomial explain functions, why or give then an the

(b) horizontal translation two units in the direction of the 93. Si ƒ, g y h son funciones polinomiales de primer grado, entonces

c) Una positive traslación y-axishorizontal cinco unidades en dirección del example curve that given shows by xit is ft, false. y gt, and z h t is a line.

negative x-axis

la curva dada por x f t, y g(t) y z ht es una recta.

82. State eje ythe positivo definition of continuity of a vector-valued 94. If the curve given by x ft, y gt, and z h t is a line,

(c) A horizontal translation five units in the direction of the 93. 94. If Si f, la g, curva and hdada are por first-degree x f t, polynomial y g(t) y zfunctions, ht es then una recta, the

82. Dar function. la definición Give an de example continuidad of a vector-valued para una función function vectorial. that

then f, g, and h are first-degree polynomial functions of t.

positive y-axis

curve entonces given ƒ, gby y xh

son ft, funciones y gt, polinomiales and z hde t primer is a line. grado de t.

Dar is defined un ejemplo but not de continuous una función at tvectorial 2. que esté definida 95. Two particles travel along the space curves r t) and u t). The

82. State pero no the sea definition continua en of t continuity 2. of a vector-valued 94. 95. If Dos the partículas curve given viajan by xa través ft, de y las gt, curvas and de zespacio h t is r(t) a y line, u(t).

intersection of their paths depends only on the curves traced out

function. Give an example of a vector-valued function that

then La intersección f, g, and h are de first-degree sus trayectorias polynomial depende functions sólo de of las t. curvas

by r t and u t), while collision depends on the parameterizations.

is defined but not continuous at t 2.

95. Two trazadas particles por r(t) travel y u(t) along en tanto the space la colisión curves depende and de la parametrización.

The vector-valued function r t t

CAS 83. The outer edge of a playground slide is in the shape of a helix of

r t) u t). The

CAS 83. El borde exterior de una resbaladilla tiene forma de una hélice de

96.

intersection of their paths depends only on 2 i t sin t j t cos t k

radius 1.5 meters. The slide has a height of 2 meters and makes

the curves traced out

1.5 metros de radio. La resbaladilla tiene una altura de 2 metros

lies on the paraboloid x y

96. by La r tfunción and u t), vectorial while collision rt 2 depends t 2 z

i 2 .

one complete revolution from top to bottom. Find a vectorvalued

hace outer function una edge revolución of for a playground the helix. completa Use slide a is computer desde in the arriba shape algebra of hacia a system helix abajo. of to 96. The cuentra vector-valued en el paraboloide function x ry 2 t zt 22 . i t sin t j t cos t k

t on sen sin the t j parameterizations.

t cos t k se en-

CAS 83. The y

radius Encontrar graph 1.5 your meters. una function. función The (There slide vectorial has are a para many height la correct hélice. of 2 meters answers.) Usar and un sistema makes Slies E on C Tthe I Oparaboloid N P RxO JyE 2 C zT

2 .

one algebraico complete por revolution computadora from para top graficar to bottom. la función. Find a (Existen vectorvalued

muchas function respuestas for correctas.) the helix. Use a computer algebra system to PROYECTO DE TRABAJO

CAPSTONE

Witch of Agnesi

graph your function. (There are many correct answers.)

S E C T I O N P R O J E C T

84. Which of the following vector-valued functions represent

In

Para discusión

Bruja Section de 3.5, Agnesi you studied a famous curve called the Witch of

the same graph?

CAPSTONE

Witch Agnesi. In of this Agnesi project you will take a closer look at this function.

En la sección 3.5 se estudió una curva famosa llamada bruja de

84. Which ¿Cuál a) r tde of las the siguientes 3 cos t

following funciones 1)i 5 sen

vector-valued vectoriales t 2 j

functions representa 4k

la

Consider a circle of radius a centered on the y-axis at 0, a . Let

Agnesi. En este proyecto se profundiza sobre esta función.

the misma b) same r tgráfica?

In Section 3.5, you studied a famous curve called Witch of

graph? 4i 3 cos t 1)j 5 sen t 2)k

A be a point on the horizontal line y 2a, let O be the origin, and

Agnesi. Considérese In this project un círculo you will de radio take a closer centrado look en at el this punto function. (0, a) del

a) c) rrt t 33 cos cos t t 11)i i 55 sen sen t t 22j j 4k 4k

let B be the point where the segment OA intersects the circle. A

eje y. Consider Sea A un a circle punto of en radius la recta centered horizontal on ythe 2a, axis Oat

el origen Let y B

point P is on the Witch of Agnesi a if P lies on y- the horizontal 0, a . line

b) d) rrt t 4i 3 cos 32t cos t1 i 1)j 5 sen 5 sen 2t t 2 j2)k

4k

Ael be punto a point donde the el segmento horizontal OA corta y el 2a, círculo. let O be Un the punto origin, P está anden

through B and on the vertical line through A.

la bruja de Agnesi si P se encuentra en la recta horizontal a través de

c) r t 3 cos t 1 i 5 sen t 2 j 4k

let B be the point where the segment OA intersects the circle. A

point B(a) y Show en P la is recta that the

on the vertical point

Witch a A

of través is traced

Agnesi de A. out by the vector-valued function

if P lies on the horizontal line

d) r t 3 cos 2t 1 i 5 sen 2t 2 j 4k

85. Let r t and u t be vector-valued functions whose limits exist through a) Mostrar r A

B and que 2a on cot el the punto vertical i A2aj,

está line descrito 0 through < < por A.

la función vectorial

as t → c. Prove that

(a) Show

rwhere A

that

2a is the the cot

point angle i

A is

2aj, that traced OA0 makes out

<

by

<

the with vector-valued the positive x- function axis.

85. Sean Let limr rt rt

tand y ut u t funciones be vector-valued lim rvectoriales t limfunctions ucuyos t . límites whose existen limits exist cuando

Demostrar que

t→c t→c t→c

(b) rShow 0 < <

donde A that 2a the cot point i B2aj,

is traced out by the vector-valued function

es el ángulo formado por OA con el eje x positivo.

as t → c. Prove that

86. Let r t and u t be vector-valued functions whose limits exist b) Mostrar where r B que is a the sin el angle 2punto i that Ba está 1OAdescrito cos makes 2 j, with por 0 la the < función positive < vectorial . x-axis.

lim

lím as t rt ut lím rt lím

ut.

t→c r→ t c. Prove u t that lim

t→c r t lim

t→c u t .

(b) (c) Show Combine that the point B is traced out by the vector-valued function

r B a the sen sin 2i results a1 of parts cos (a) 2j, and 0 (b) <

find the vector-

B

86. Sean Let limr rt rt

tand y ut u t tfunciones be vector-valued lim r vectoriales t lim ufunctions t cuyos . límites whose existen limits exist cuando

as t → c.

Prove Demostrar that que

c) Combinar utility to graph los resultados this curve de for los aincisos 1. a) y b) para hallar la fun-

t→c t→c t→c

rvalued function a sin 2 ir

afor 1 the cos Witch 2 j, of 0 Agnesi. < < Use . a graphing

87. Prove that if r is a vector-valued function that is continuous at (c) Combine ción vectorial the r() results para of la parts bruja (a) de Agnesi. and (b) Usar to find una the herramienta vectorvalued

de graficación function para r representar lim r and lim

lim

lím c, then rt r t r

ut is t continuous lim

lím rt r t at c.

lím lim

ut.

t→c t→c t→c u t .

(d) Describe the limits

for the Witch esta curva of Agnesi. r para

.

→0

→ Use a a 1. graphing

utility to graph this curve for

87. 88.

Prove Demostrar Verify that

that if que the

r is si converse

a rvector-valued es una of función Exercise

function vectorial 87 is not

that continua true by

is continuous en finding c, entonces

vector-valued

a (e) Eliminate the parameter

at d) Describir los límites lim lím r a and 1. determine

y lím lim r. the rectangular

→0 →

c, then r es is continuous continua function en r such

at c. that r is continuous at c but r equation of the Witch

c.

(d) Describe the limits

and lim

e) Eliminar el parámetro lim of Agnesi. Use a

r

y determinar

→

la r graphing

ecuación . utility to graph

→0

is not continuous at c.

this function for a 1 and compare your graph rectangular with that de

88. Verify Verificar that que the el converse recíproco of de Exercise lo que se 87 afirma is not true en el by ejercicio finding 87 a (e) Eliminate the parameter and determine the rectangular

la obtained bruja de in Agnesi. part (c). Usar una herramienta de graficación para

vector-valued no es verdad encontrando function r such una función that r vectorial is continuous r tal que at c r but sea r equation of the Witch of Agnesi. Use a graphing utility to graph

representar esta función para a 1 y comparar la gráfica con la

is continua not continuous en c pero at rc.

no sea continua en c.

this function for a 1 and compare your graph with that

obtenida en el inciso c).

obtained in part (c).

< .


12.2 Derivación e integración de funciones vectoriales

■

■

Derivar una función vectorial.

Integrar una función vectorial.

Derivación de funciones vectoriales

En las secciones 12.3 a 12.5 se estudian varias aplicaciones importantes que emplean

cálculo de funciones vectoriales. Como preparación para ese estudio, esta sección está

dedicada a las mecánicas de derivación e integración de funciones vectoriales.

La definición de la derivada de una función vectorial es paralela a la dada para funciones

reales.

DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

La derivada de una función vectorial r se define como

rt t rt

rt lím lim

t→0 t

para todo t para el cual existe el límite. Si r(t) existe, entonces r es derivable en t.

Si r(t) existe para toda t en un intervalo abierto I, entonces r es derivable en el intervalo

I. La derivabilidad de funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados

considerando límites unilaterales.

NOTA Además de la notación rt, otras notaciones para la derivada de una función vectorial son

D d dr

y

dt .

t rt,

dt rt, ■

z

r(t)

x

Figura 12.8

r(t + ∆t) − r(t)

r′(t)

r(t + ∆t)

y

La diferenciación de funciones vectoriales puede hacerse componente por componente.

Para ver esto, considérese la función dada por

rt f ti gtj.

Aplicando la definición de derivada se obtiene lo siguiente.

rt t rt

rt lim lím

t→0 t

f t ti gt tj f ti gtj

lím lim

t→0 t

lim lím

t→0

lím lim

t→0

fti gtj

f t t f t

t i gt t gt

t j

f t t f t

t

i lim

lím

t→0

gt t gt

t j

Este importante resultado se enuncia en el teorema de la página siguiente. Nótese que la

derivada de la función vectorial r es también una función vectorial. En la figura 12.8 se ve

que rt es un vector tangente a la curva dada por rt y que apunta en la dirección de los

valores crecientes de t.

SECCIÓN 12.2 Derivación e integración de funciones vectoriales 843

TEOREMA 12.1 DERIVACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES

1. Si rt f ti gtj, donde ƒ y g son funciones derivables de t, entonces

rt fti gtj.

Plano.

2. Si rt f ti gtj htk, donde ƒ, g y h son funciones derivables de t,

entonces

rt fti gtj htk.

Espacio.

6

y

r(t) = ti + (t 2 + 2)j

EJEMPLO 1

Derivación de funciones vectoriales

5

4

r′(1)

Para la función vectorial dada por r(t) ti (t 2 2)j, encontrar r(t). Entonces bosquejar

la curva plana representada por r(t) y las gráficas de r(1) y r(1).

3 (1, 3)

r(1)

1

−3 −2 −1 1 2 3

Figura 12.9

x

Solución

Derivar cada una de las componentes base para obtener

r(t) i 2tj

Derivada.

Del vector de posición r(t), se pueden escribir las ecuaciones paramétricas x t y

y t 2 2. La ecuación rectangular correspondiente es y x 2 2. Cuando t 1,

r(1) i 3j y r(1) i 2j. En la figura 12.9, r(1) se dibuja iniciando en el origen, y

r(1) se dibuja en el punto final de r(1).

Derivadas de orden superior de funciones vectoriales se obtienen por derivación sucesiva

de cada una de las funciones componentes.

EJEMPLO 2

Derivadas de orden superior

Para la función vectorial dada por rt cos ti sen

sin tj 2tk, hallar

a) rt b) rt

c) rt rt d) rt rt

Solución

a) rt sin sen ti cos tj 2k

Primera derivada.

b) rt cos ti sen sin tj 0k

cos ti sen sin tj

Segunda derivada.

c) rt rt sen sin t cos t sen sin t cos t 0 Producto escalar.

0

i j k

d) rt rt sin sen t cos t 2

Producto vectorial.

cos t sin sen t

cos t 2

sin t 0 i sin t 2

cos t 0 j sin t cos t

t

sen

sen

sen

cos t sin sen

k

2 sen sin ti 2 cos tj k

En el inciso c) nótese que el producto escalar es una función real, no una función vectorial.


La parametrización de la curva representada por la función vectorial

rt f ti gtj htk

es suave en un intervalo abierto I si f, g, y son continuas en I y rt 0 para todo

valor de t en el intervalo I.

h

EJEMPLO 3

Intervalos en los que una curva es suave

Hallar los intervalos en los que la epicicloide C dada por

−6

t = π

−4

−2

6

4

2

−2

−4

−6

y

t = π 2

r(t) = (5 cos t − cos 5t)i + (5 sen t − sen 5t)j

2

t = π 2 3

t = 0

4

t = 2π

La epicicloide no es suave en los puntos en

los que corta los ejes

Figura 12.10

6

x

rt 5 cos t cos 5ti 5 sen sin t sen sin 5tj, 0 ≤ t ≤ 2

es suave.

Solución

La derivada de r es

rt 5 sen sin t 5 sen sin 5ti 5 cos t 5 cos 5tj.

En el intervalo 0, 2, los únicos valores de t para los cuales

rt 0i 0j

son t 0, 2, , 32, y 2. Por consiguiente, se concluye que C es suave en los intervalos

0,

y

2 , , 3

3

2 , 2

2 , , 2 ,


NOTA En la figura 12.10, nótese que la curva no es suave en los puntos en los que tiene cambios

abruptos de dirección. Tales puntos se llaman cúspides o nodos.

■

La mayoría de las reglas de derivación del capítulo 2 tienen sus análogas para funciones

vectoriales, y varias de ellas se dan en el teorema siguiente. Nótese que el teorema

contiene tres versiones de “reglas del producto”. La propiedad 3 da la derivada del producto

de una función real w y por una función vectorial r, la propiedad 4 da la derivada

del producto escalar de dos funciones vectoriales y la propiedad 5 da la derivada del producto

vectorial de dos funciones vectoriales (en el espacio). Nótese que la propiedad 5 sólo

se aplica a funciones vectoriales tridimensionales, porque el producto vectorial no está

definido para vectores bidimensionales.

TEOREMA 12.2

PROPIEDADES DE LA DERIVADA

Sean r y u funciones vectoriales derivables de t, w una función real derivable de t y c

un escalar.

1. D t cr t cr t

2. D t r t ± u t r t ± u t

3. D t w t r t w t r t w t r t

4. D t r t u t r t u t r t u t

5. D t r t u t r t) u t r t u t

6. D t r w t r w t w t

7. Si r t r t c, entonces r t r t 0.


EXPLORACIÓN

Sea r(t) cos ti sen tj. Dibujar

la gráfica de rt. Explicar por qué

la gráfica es un círculo de radio 1

centrado en el origen. Calcular

r4 y r4. Colocar el vector

r4 de manera que su punto inicial

esté en el punto final de

r4. ¿Qué se observa? Mostrar

que rt rt es constante y que

rt rt 0 para todo t. ¿Qué

relación tiene este ejemplo con la

propiedad 7 del teorema 12.2?

DEMOSTRACIÓN

rt f 1 ti g 1 tj

Para demostrar la propiedad 4, sea

y

donde f 1 , f 2 , g 1 , y son funciones derivables de t. Entonces,

rt ut f 1 tf 2 t g 1 tg 2 t

y se sigue que

D t rt ut f 1 tf 2t f 1

Las demostraciones de las otras propiedades se dejan como ejercicios (ver ejercicios

77 a 81 y ejercicio 84).

EJEMPLO 4

g 2

Para las funciones vectoriales

Aplicación de las propiedades de la derivada

rt 1 i j ln tk

t

f 1 t)f 2t g 1 tg 2t f 1

rt ut rt ut.

y

ut f 2 ti g 2 tj

tf 2 t g 1 tg

2 t g 1 tg

2 t

tf 2 t g 1 tg 2 t

ut t 2 i 2tj k

hallar

a) D t rt ut y b)

D t ut ut.

Solución

a) Como rt 1 y ut 2ti 2j, se tiene

t i 1 2 t k

D t rt ut rt ut rt ut

1

t i j ln tk 2ti 2j

1 t 2 i 1 t k t 2 i 2t j k

2 2 1 1 t

3 1 t .

b) Como ut 2ti 2j y ut 2i, se tiene

D t ut ut ut ut ut

0

ut

i j k

t 2 2t 1 0

2 0

2t 1

0 2

0i 2j 4tk

2j 4tk.

0 i t2

1

0 j t2 2

2t

0 k

NOTA Hacer de nuevo los incisos a) y b) del ejemplo 4 pero formando primero los productos

escalar y vectorial y derivando después para comprobar que se obtienen los mismos resultados. ■


Integración de funciones vectoriales

La siguiente definición es una consecuencia lógica de la definición de la derivada de una

función vectorial.

DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

1. Si rt f ti gtj, donde f y g son continuas en a, b, entonces la integral

indefinida (o antiderivada) de r es

rt dt f t dt i gt dt j

Plano.

y su integral definida en el intervalo a ≤ t ≤ b es

b

a

b

rt dt f t dt i

a

a

b

gt dt j.

2. Si rt f ti gtj htk, donde f, g y h son continuas en a, b, entonces la

integral indefinida (o antiderivada) de r es

rt dt f t dt i gt dt j ht dt k

Espacio.

y su integral definida en el intervalo a ≤ t ≤ b es

b

a

b

b

rt dt f t dt i gt dt j

a

a

a

b

ht dt k.

La antiderivada de una función vectorial es una familia de funciones vectoriales que

difieren entre sí en un vector constante C. Por ejemplo, si rt es una función vectorial

tridimensional, entonces al hallar la integral indefinida rt dt, se obtienen tres constantes

de integración

ft dt Ft C 1 , gt dt Gt C 2 , ht dt Ht C 3

donde Ft f t, Gt gt, y Ht ht. Estas tres constantes escalares forman un

vector como constante de integración,

rt dt Ft C 1 i Gt C 2 j Ht C 3 k

Fti Gtj Htk C 1 i C 2 j C 3 k

Rt C

donde Rt rt.

EJEMPLO 5

Integración de una función vectorial

Hallar la integral indefinida

t i 3j dt.

Solución

Integrando componente por componente se obtiene

t i 3j dt t2

i 3tj C.

2


El ejemplo 6 muestra cómo evaluar la integral definida de una función vectorial.

EJEMPLO 6

Integral definida de una función vectorial

Evaluar la integral

1

0

Solución

1

0

1

rt dt t 3 i 1

0 t 1 j et k dt.

1

rt dt 0

1

t 13 dt i

3 4 i ln 2j 1 1 e k

0

1

1

t 1 dt j e t dt k

3

4 t 43 1 i

0 ln t 1 1 j

0 e t 1 k

0

0

Como ocurre con las funciones reales, se puede reducir la familia de primitivas de una

función vectorial a una sola primitiva imponiendo una condición inicial a la función

vectorial r. , como muestra el ejemplo siguiente.

r

EJEMPLO 7

La primitiva de una función vectorial

Hallar la primitiva de

rt cos 2ti 2 sen sin tj 1

1 t k 2

que satisface la condición inicial r0 3i3 i 2j k.

Solución

rt rt dt

cos 2t dt i 2 sen sin t dt j

1

sen

2 sin 2t C 1 i 2 cos t C 2j arctan t C 3 k

Haciendo t 0 usando el hecho que r0 3i 2j k, se tiene

r0 0 C 1 i 2 C 2 j 0 C 3 k

3i 2j k.

Igualando los componentes correspondientes se obtiene

1

1 t 2 dt k

C 1 3,

2 C 2 2,

y

C 3 1.

Por tanto, la primitiva que satisface la condición inicial dada es

rt

1

sen

2 sin 2t 3 i 2 cos t 4j arctan t 1k.

En los ejercicios 1 a 8, dibujar la curva plana representada por

la función vectorial y dibujar los vectores y para el

valor dado de

Colocar los vectores de manera que el punto inicial

de esté en el origen y el punto inicial de esté en el

punto final de ¿Qué relación hay entre y la curva?

En los ejercicios 9 y 10, a) dibujar la curva en el espacio representada

por la función vectorial, y b) dibujar los vectores

y

para el valor dado de

9.

10.

En los ejercicios 11 a 22, hallar

En los ejercicios 23 a 30, hallar a) r(t), b) r(t) y c) r(t) r(t).

En los ejercicios 31 y 32 se dan una función vectorial y su

gráfica. La gráfica también muestra los vectores unitarios

y

Hallar estos dos vectores unitarios

e identificarlos en la gráfica.


En los ejercicios 33 a 42, hallar el (los) intervalo(s) abierto(s) en

que la curva dada por la función vectorial es suave.

33. 34.

35.

36.

37.

38.

39. 40.

41.

42.

En los ejercicios 43 y 44, usar las propiedades de la derivada

para encontrar lo siguiente.

a) b) c)

d) e) f)

43.

44.

En los ejercicios 45 y 46, hallar a) y b)

en dos diferentes formas.

i) Hallar primero el producto y luego derivar.

ii) Aplicar las propiedades del teorema 12.2.

45.

46.

En los ejercicios 47 y 48, hallar el ángulo entre y en función

de t. Usar una herramienta de graficación para representar

Usar la gráfica para hallar todos los extremos de la función.

Hallar todos los valores de t en que los vectores son ortogonales.

47. 48. rt t 2 i tj

rt 3 sin ti 4 cos tj

t.

rt

rt

ut j tk

rt cos ti sin tj tk,

ut t 4 k

rt ti 2t 2 j t 3 k,

D t [rt ut]

D t [rt ut]

ut 1 t i 2 sin tj 2 cos tk

rt ti 2 sin tj 2 cos tk,

rt ti 3tj t 2 k, ut 4ti t 2 j t 3 k

t > 0

D t [ rt) ],

D t [rt ut]

D t [3rt ut]

D t [r(t ut]

rt

rt

rt t i t 2 1j 1 4 tk

rt ti 3tj tan tk

rt e t i e t j 3tk

rt t 1i 1 t j t2 k

rt

2t

8 t 3 i 2t2

8 t 3 j

r 2 sin i 1 2 cos j

r sin i 1 cos j

r 2 cos 3 i 3 sin 3 j

rt 1

t 1 i 3tj

rt t2 i t 3 j

In Exercises 1–8, sketch the plane curve represented by the

vector-valued function, and sketch the vectors and for

the given value of

Position the vectors such that the initial

point of is at the origin and the initial point of is at the

terminal point of

What is the relationship between

and the curve?

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

In Exercises 9 and 10, (a) sketch the space curve represented by

the vector-valued function, and (b) sketch the vectors

and

for the given value of

9.

10.


11. 12.

13. 14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.


23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

In Exercises 31 and 32, a vector-valued function and its graph

are given. The graph also shows the unit vectors

and

Find these two unit vectors and identify them

on the graph.

31.

32.


In Exercises 33–42, find the open interval(s) on which the curve

given by the vector-valued function is smooth.

33. 34.

35.

36.

37.

38. 39.

40. 41.

42.

In Exercises 43 and 44, use the properties of the derivative to

find the following.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

43.

44.

In Exercises 45 and 46, find (a) and

(b)

in two different ways.

(i) Find the product first, then differentiate.

(ii) Apply the properties of Theorem 12.2.

45.

46.

In Exercises 47 and 48, find the angle between and as

a function of Use a graphing utility to graph Use the

graph to find any extrema of the function. Find any values of

at which the vectors are orthogonal.

47. 48. r t t 2 i tj

r t 3 sin ti 4 cos tj

t

t .

t.

r t

r t

u t j tk

r t cos ti sin tj tk,

u t

t 4 k

r t ti 2t 2 j t 3 k,

D t [r t u t ]

D t [r t u t ]

u t

1

t i 2 sin tj 2 cos tk

r t ti 2 sin tj 2 cos tk,

r t ti 3tj t 2 k, u t 4ti t 2 j t 3 k

t > 0

D t [ r t ],

D t [r t u t ]

D t [3r t u t ]

D t [r t u t ]

r t

r t

r t t i t 2 1 j

1

4tk

r t ti 3tj tan tk

r t e t i e t j 3tk

r t t 1 i

1

t j

t2 k

r t

2t

8 t 3 i 2t 2

8 t 3 j

r 2 sin i 1 2 cos j

r sin i 1 cos j


r t

1

t 1 i 3tj

r t t2 i t 3 j

y

x

z

2

2 1 1

2

y

z

1

1

1

t 0 1

4

r t

3

2 ti t 2 j e t k,

t 0 1

4

r t cos t i sen t j t 2 k,

r t 0 / r t 0 .

r t 0 / r t 0

r t

e t , t 2 , tan t

r t cos t t sen t, sen t t cos t, t

r t ti 2t 3 j 3t 5 k

r t

1

2 t 2 i tj

1

6t 3 k

r t 8 cos ti 3 sen tj


r t t 2 t i t 2 t j

r t

t 3 i

1

2t 2 j

r t r t .

r t ,

r t ,

r t arcsen t, arccos t, 0

r t

t sen t, t cos t, t

r t

t 3 , cos 3t, sen 3t

r t e t i 4j 5te t k

r t 4 t i t 2 t j ln t 2 k

r t a cos 3 ti a sen 3 tj k

r t

1

t i 16tj t 2

2 k

r t 6ti 7t 2 j t 3 k

r t t cos t, 2 sen t

r t

2 cos t, 5 sen t

r t t i 1 t 3 j

r t t 3 i 3tj

r t .

t 0 2

r t ti t 2 j

3

2k,

t 0 3

2

r t 2 cos ti 2 sin tj tk,

t 0 .

r t 0 r t 0

t 0 0

r t e t , e t ,

t 0 0

r t e t , e 2t ,

t 0 2

r t) 3 sen ti 4 cos tj,

t 0 2

r t cos ti sen tj,

t 0 1

r t 1 t i t 3 j,

t 0 2

r t

t 2 i

1

t j, t 0 1

r t ti t 2 1 j,

t 0 2

r t t 2 i tj,

r t 0

r t 0 .

r t 0

r t 0 t 0 .

r t 0

r t 0





the given value of



terminal point of


and the curve?

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.



and


9.

10.


11. 12.

13. 14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.


23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.



and


on the graph.

31.

32.




33. 34.

35.

36.

37.

38. 39.

40. 41.

42.


find the following.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

43.

44.


(b)




45.

46.





47. 48. r t t 2 i tj


t

t .

t.

r t

r t

u t j tk


u t

t 4 k


D t [r t u t ]

D t [r t u t ]

u t

1




t > 0

D t [ r t ],

D t [r t u t ]

D t [3r t u t ]

D t [r t u t ]

r t

r t

r t t i t 2 1 j

1

4tk

r t ti 3tj tan tk

r t e t i e t j 3tk

r t t 1 i

1

t j

t2 k

r t

2t

8 t 3 i 2t 2

8 t 3 j

r 2 sin i 1 2 cos j

r sin i 1 cos j


r t

1

t 1 i 3tj

r t t2 i t 3 j

y

z

2

2 1 1

2

x

y

z

1

1

1

t 0 1

4

r t

3

2 ti t 2 j e t k,

t 0 1

4


r t 0 / r t 0 .

r t 0 / r t 0

r t

e t , t 2 , tan t



r t

1

2 t 2 i tj

1

6t 3 k



r t t 2 t i t 2 t j

r t

t 3 i

1

2t 2 j

r t r t .

r t ,

r t ,


r t

t sen t, t cos t, t

r t





r t

1

t i 16tj t 2

2 k



r t

2 cos t, 5 sen t

r t t i 1 t 3 j

r t t 3 i 3tj

r t .

t 0 2

r t ti t 2 j

3

2k,

t 0 3

2


t 0 .

r t 0 r t 0

t 0 0

r t e t , e t ,

t 0 0

r t e t , e 2t ,

t 0 2


t 0 2

r t cos ti sen tj,

t 0 1

r t 1 t i t 3 j,

t 0 2

r t

t 2 i

1

t j, t 0 1

r t ti t 2 1 j,

t 0 2

r t t 2 i tj,

r t 0

r t 0 .

r t 0

r t 0 t 0 .

r t 0

r t 0



rt 0 / rt 0 .

rt 0 / rt 0

rt.

t 0 2

rt ti t 2 j 3 2k,

t 0 3

2

rt 2 cos ti 2 sin tj tk,

t 0 .

rt 0

rt 0

rt 0

rt 0 .

rt 0

rt 0

t 0 .

rt 0

rt 0


sen

sen

sen

12.2 Ejercicios



the given value of



terminal point of


and the curve?

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.



and


9.

10.


11. 12.

13. 14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.


23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.



and


on the graph.

31.

32.




33. 34.

35.

36.

37.

38. 39.

40. 41.

42.


find the following.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

43.

44.


(b)




45.

46.





47. 48. r t t 2 i tj


t

t .

t.

r t

r t

u t j tk


u t

t 4 k


D t [r t u t ]

D t [r t u t ]

u t

1




t > 0

D t [ r t ],

D t [r t u t ]

D t [3r t u t ]

D t [r t u t ]

r t

r t

r t t i t 2 1 j

1

4tk

r t ti 3tj tan tk

r t e t i e t j 3tk

r t t 1 i

1

t j

t2 k

r t

2t

8 t 3 i 2t 2

8 t 3 j

r 2 sin i 1 2 cos j

r sin i 1 cos j


r t

1

t 1 i 3tj

r t t2 i t 3 j

y

z

2

2 1 1

2

y

z

1

1

1

t 0 1

4

r t

3

2 ti t 2 j e t k,

t 0 1

4


r t 0 / r t 0 .

r t 0 / r t 0

r t

e t , t 2 , tan t



r t

1

2 t 2 i tj

1

6t 3 k



r t t 2 t i t 2 t j

r t

t 3 i

1

2t 2 j

r t r t .

r t ,

r t ,


r t

t sen t, t cos t, t

r t





r t

1

t i 16tj t 2

2 k



r t

2 cos t, 5 sen t

r t t i 1 t 3 j

r t t 3 i 3tj

r t .

t 0 2

r t ti t 2 j

3

2k,

t 0 3

2


t 0 .

r t 0 r t 0

t 0 0

r t e t , e t ,

t 0 0

r t e t , e 2t ,

t 0 2


t 0 2

r t cos ti sen tj,

t 0 1

r t 1 t i t 3 j,

t 0 2

r t

t 2 i

1

t j, t 0 1

r t ti t 2 1 j,

t 0 2

r t t 2 i tj,

r t 0

r t 0 .

r t 0

r t 0 t 0 .

r t 0

r t 0





the given value of



terminal point of


and the curve?

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.



and


9.

10.


11. 12.

13. 14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.


23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.



and


on the graph.

31.

32.




33. 34.

35.

36.

37.

38. 39.

40. 41.

42.


find the following.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

43.

44.


(b)




45.

46.





47. 48. r t t 2 i tj


t

t .

t.

r t

r t

u t j tk


u t

t 4 k


D t [r t u t ]

D t [r t u t ]

u t

1




t > 0

D t [ r t ],

D t [r t u t ]

D t [3r t u t ]

D t [r t u t ]

r t

r t

r t t i t 2 1 j

1

4tk

r t ti 3tj tan tk

r t e t i e t j 3tk

r t t 1 i

1

t j

t2 k

r t

2t

8 t 3 i 2t 2

8 t 3 j

r 2 sin i 1 2 cos j

r sin i 1 cos j


r t

1

t 1 i 3tj

r t t2 i t 3 j

y

z

2

2 1 1

2

y

z

1

1

1

t 0 1

4

r t

3

2 ti t 2 j e t k,

t 0 1

4


r t 0 / r t 0 .

r t 0 / r t 0

r t

e t , t 2 , tan t



r t

1

2 t 2 i tj

1

6t 3 k



r t t 2 t i t 2 t j

r t

t 3 i

1

2t 2 j

r t r t .

r t ,

r t ,


r t

t sen t, t cos t, t

r t





r t

1

t i 16tj t 2

2 k



r t

2 cos t, 5 sen t

r t t i 1 t 3 j

r t t 3 i 3tj

r t .

t 0 2

r t ti t 2 j

3

2k,

t 0 3

2


t 0 .

r t 0 r t 0

t 0 0

r t e t , e t ,

t 0 0

r t e t , e 2t ,

t 0 2


t 0 2

r t cos ti sen tj,

t 0 1

r t 1 t i t 3 j,

t 0 2

r t

t 2 i

1

t j, t 0 1

r t ti t 2 1 j,

t 0 2

r t t 2 i tj,

r t 0

r t 0 .

r t 0

r t 0 t 0 .

r t 0

r t 0





the given value of



terminal point of


and the curve?

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.



and


9.

10.


11. 12.

13. 14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.


23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.



and


on the graph.

31.

32.




33. 34.

35.

36.

37.

38. 39.

40. 41.

42.


find the following.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

43.

44.


(b)




45.

46.





47. 48. r t t 2 i tj


t

t .

t.

r t

r t

u t j tk


u t

t 4 k


D t [r t u t ]

D t [r t u t ]

u t

1




t > 0

D t [ r t ],

D t [r t u t ]

D t [3r t u t ]

D t [r t u t ]

r t

r t

r t t i t 2 1 j

1

4tk

r t ti 3tj tan tk

r t e t i e t j 3tk

r t t 1 i

1

t j

t2 k

r t

2t

8 t 3 i 2t 2

8 t 3 j

r 2 sin i 1 2 cos j

r sin i 1 cos j


r t

1

t 1 i 3tj

r t t2 i t 3 j

y

z

2

2 1 1

2

y

z

1

1

1

t 0 1

4

r t

3

2 ti t 2 j e t k,

t 0 1

4


r t 0 / r t 0 .

r t 0 / r t 0

r t

e t , t 2 , tan t



r t

1

2 t2 i tj

1

6 t3 k



r t t 2 t i t 2 t j

r t

t 3 i

1

2t 2 j

r t r t .

r t ,

r t ,


r t

t sen t, t cos t, t

r t





r t

1

t i 16tj t 2

2 k



r t

2 cos t, 5 sen t

r t t i 1 t 3 j

r t t 3 i 3tj

r t .

t 0 2

r t ti t 2 j

3

2k,

t 0 3

2


t 0 .

r t 0 r t 0

t 0 0

r t e t , e t ,

t 0 0

r t e t , e 2t ,

t 0 2


t 0 2

r t cos ti sen tj,

t 0 1

r t 1 t i t 3 j,

t 0 2

r t

t 2 i

1

t j, t 0 1

r t ti t 2 1 j,

t 0 2

r t t 2 i tj,

r t 0

r t 0 .

r t 0

r t 0 t 0 .

r t 0

r t 0





the given value of



terminal point of


and the curve?

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.



and


9.

10.


11. 12.

13. 14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.


23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.



and


on the graph.

31.

32.




33. 34.

35.

36.

37.

38. 39.

40. 41.

42.


find the following.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

43.

44.


(b)




45.

46.





47. 48. r t t 2 i tj


t

t .

t.

r t

r t

u t j tk


u t

t 4 k


D t [r t u t ]

D t [r t u t ]

u t

1




t > 0

D t [ r t ],

D t [r t u t ]

D t [3r t u t ]

D t [r t u t ]

r t

r t

r t t i t 2 1 j

1

4tk

r t ti 3tj tan tk

r t e t i e t j 3tk

r t t 1 i

1

t j

t2 k

r t

2t

8 t 3 i 2t 2

8 t 3 j

r 2 sin i 1 2 cos j

r sin i 1 cos j


r t

1

t 1 i 3tj

r t t2 i t 3 j

y

z

2

2 1 1

2

y

z

1

1

1

t 0 1

4

r t

3

2 ti t 2 j e t k,

t 0 1

4


r t 0 / r t 0 .

r t 0 / r t 0

r t

e t , t 2 , tan t



r t

1

2 t 2 i tj

1

6t 3 k



r t t 2 t i t 2 t j

r t

t 3 i

1

2t 2 j

r t r t .

r t ,

r t ,


r t

t sen t, t cos t, t

r t





r t

1

t i 16tj t 2

2 k



r t

2 cos t, 5 sen t

r t t i 1 t 3 j

r t t 3 i 3tj

r t .

t 0 2

r t ti t 2 j

3

2k,

t 0 3

2


t 0 .

r t 0 r t 0

t 0 0

r t e t , e t ,

t 0 0

r t e t , e 2t ,

t 0 2


t 0 2

r t cos ti sen tj,

t 0 1

r t 1 t i t 3 j,

t 0 2

r t

t 2 i

1

t j, t 0 1

r t ti t 2 1 j,

t 0 2

r t t 2 i tj,

r t 0

r t 0 .

r t 0

r t 0 t 0 .

r t 0

r t 0



sen

sen

sen

sen

sen

12.2 SECCIÓN Differentiation 12.2 Derivación and Integration e integración of Vector-Valued de funciones Functions vectoriales 849

12.2 Differentiation and Integration of Vector-Valued Functions 849

En In Exercises los ejercicios 49–52, a use 52, the usar definition la definición of the de derivative la derivada to para find In En Exercises los ejercicios 77–84, a prove 84, demostrar the property. la propiedad. In each case, En todos assume los

hallar rt. rt.

r, casos, u, and suponer v are differentiable que r, u y v son vector-valued funciones vectoriales functions derivables of t in space, de

In Exercises 49–52, use the definition of the derivative

t, que w es una función derivable de t, y que c es un escalar.

49. 50. rt t i 3 to find In w is Exercises a differentiable 77–84, real-valued prove the property. function of In t, each and ccase, is a assume

rt. 49. rt rt 3t 3t 2i 2i 1 1 t2 t 2 j j

t j 2tk r, u, and v are differentiable vector-valued functions of t in space,

w77.

is Da t differentiable crt crtreal-valued function of t, and c is a scalar.

51.

49. 50. rt rt t 3t t 2 , 0,

i 2t

2i 3 1 t 2 j

52. rt 0, sin sen t, 4t

77.

t crt crt

50.

t i 3 t j 2tk

78. D t rt ± ut rt ± ut

51. rt t

En los ejercicios 2 , 0, 2t

53 ta j 60, 2tk 52. rt 0, sin t, 4t

79. D

hallar la integral indefinida.

78.

t wtrt wtrt wtrt

t rt ± ut rt ± ut

51. rt t

53. 2 80. D

, 2t

52. rt 0, sin t, 4t

79.

t rt ut rt ut rt ut

In Exercises 53–60, find the indefinite integral.

54.

t wtrt wtrt wtrt

2ti j k dt

4t 3 i 6tj 4t k dt 81. D

80.

t rwt rwtwt

t rt ut rt ut rt ut

In Exercises 53–60, find the indefinite integral.

53.

55.

1

56. ln ti 1 j k

t i j t 54.

82. D

t dt

81.

t rt rt rt rt

2ti j k dt

32 k

4t t rwt rwtwt

dt

53. 54.

82.

t rt rt rt rt

3 i 6tj 4t k dt

83. D t rt ut vt rt ut vt

2ti j k dt

4t

57. 3 i 6tj 4t k dt

55. 56.

rt

83. D

2t 1i 4t 3 j 3t k

t rt ut vt rt

ut vt rt ut

1

dt

ln ti 1 j k vt

t ut vt

Si rt rt es una constante, entonces rt rt 0.

55. 56.

rt ut vt rt ut i j t 32 k dt

ln ti

85. Movimiento de una partícula Una partícula se mueve en el

58. 1 t dt

1

j k vt

t i j t t dt

84. If rt rt is a constant, then rt rt 0.

32 k dt

57.

e 2t 1i 4t t i sin tj cos tk dt

84. If rt rt is a constant, then rt rt 0.

57.

plano xy a lo largo de la curva representada por la función vec-

3 j 3t k

sen dt

85. Particle Motion A particle moves in the xy-plane along the

2t 1i 4t 3 j 3t k dt

curve represented by the vector-valued function

58. e torial rt t sin ti 1 cos tj.

59.

2

sec ti 1

60. e t sin ti e t cos tj dt

1 t j dt

85. Particle Motion A particle moves in the xy-plane along the

2 curve Usar represented una herramienta by de the graficación vector-valued para representar functionr.

58.

t i sin tj cos tk dt

rt t sin ti sen 1 cos tj.

sen

e t i sin tj cos tk dt

(a) Use a graphing utility to graph r. Describe the curve.

59. rtDescribir sin la ti curva. 1 cos tj.

En los ejercicios

sec2 ti 1 60. e

61 a 66, evaluar la integral definida.

(a) b) Hallar Use a graphing los valores utility mínimo to graph y máximo r. Describe de rthe y curve. .

59. 60.

t sin ti e t cos tj dt

1

1

2

sec ti

1

86. (b) Movimiento Find the minimum de una partícula and maximum Una values partícula of se mueve and en el

61.

1 t j dt 2 (b) Find the minimum and maximum values of r and .

e

8ti tj k dt 62.

t sin ti e t cos tj dt

1 t j dt 2 86. Particle Motion A particle moves in the yz-plane along the

In Exercises 61– 66, evaluate the definite integral.

r .

ti t 3 j t 3 k dt

curve represented by the vector-valued function

86. Particle plano yzMotion a lo largo A de particle la curva moves representada in the por -plane función along vectorial

rtrepresented 2 cos tj by 3 sin the tk. vector-valued function

the

0 1

1 1

rt 2 cos tj 3 sin tk.

yz

In Exercises 61– 66, evaluate the definite integral.

61. 2

curve

63.

8ti tj k dt 62. ti t

a cos ti a sen sin tj k dt 1

rt a) Describir 2 cos la tjcurva.

3 sin tk.

61. 0

62.

3 j t 3 k dt

sen

(a) Describe the curve.

01

1

2

8ti tj k dt

ti t 3 j t 3 k dt

(b) Find the minimum and maximum values of r and r.

63.

(a) b) Hallar Describe los the valores curve.

0

a cos ti a sin tj k dt

mínimo y máximo de r y r.

64.

4

1

02


sec t tan ti tan tj 2 sen sin t cos tk dt

87. (b) Considerar Find the la minimum función vectorial and maximum values of r and r.

63.

4 a cos ti a sin tj k dt

rt e

0

87. Consider t sin ti e

the vector-valued t cos tj.

64. 0

function

sec t tan ti tan tj 2 sin t cos tk dt

rt e t sen sin ti e t cos tj.

02

4

3

rt Show that e

65. 64. ti e 66.

t sin rtti and rt e t cos are tj. always perpendicular to each other.

2 sec t jt tan te ti t k dt

tan tj 2 sin 3 ti t cos tk t 2 j dt

Mostrar que rt y rt son siempre perpendiculares a cada uno.

0

0

65. ti e 66.

Show that rt and rt are always perpendicular to each other.

2

3

En 65. los t j te t k dt

ti t

ejercicios ti e 67 a 72, hallar rt 66. para 2 j dt

CAPSTONE

0

0

ti las condiciones t dadas. Para discusión

t j te t k dt

2 j dt

88. Investigation Consider the vector-valued function

CAPSTONE

In Exercises 0 67–72, find rt for the given 0 conditions.

rt ti 4 t Investigación Considerar 2 j.

la función vectorial r(t)

67. rt 4e 2t i 3e t 88. Investigation the vector-valued function

j, r0 2i

In 67. Exercises rt 4e67–72, 2t i 3e find

t j, rt r0for the 2i given conditions.

(a) (4 Sketch t 2 )j. the graph

rt ti 4 t 2 of rt. Use a graphing utility to verify

j.

rt 3t 6t k, r0 i 2j

your graph.

68. rt 3t Trazar la gráfica de r(t). Usar una herramienta de graficación

Sketch

67. rt 4e 2 2t j 6t

i 3e t k, r0 i 2j

j, r0 2i

(a) Sketch the graph of rt. Use a graphing utility to verify

(b) rt 32j, r0 6003i r0 your graph. para the vectors verificar r1, su gráfica. r1.25, and r1.25 r1 on

69. rt 32j,

68. rt 3t 2 r0 6003i 600j, r0 0

j 6t k, r0 i 2j

the graph in part (a).

Trazar los vectores r(1), r(1.25) y r(1.25) r(1) sobre la

70.

69. rt rt

rt4 4 32j,

cos tj tj

r0 3

sen

sin

6003i tk, r0 r0

600j, 3k,

r0 r0 r0

04j

4j

(b) Sketch the vectors r1, r1.25, and r1.25 r1 on

(c) gráfica Compare en the el inciso vector a). r(1 with the vector

71.

71.

70. rt rt

rt te

te

4 t2 icos tj t j 3 sin k, tk, r0 r0 1 2 i 3k, j the graph in part (a).

t2 i e t j k, r0 1 2i j k

r0 4j

(c) Comparar r1.25

Compare the el vector r(1) r(1 con with el the vector vector

71. 72.

rt te t2

72. rt 1 1 i

r1 2i

1 t i e t 1 j 2 t j k, 1

2 t k, r0 r1 1 2ij k

1 r1.25

72. rt 1 t i 1 2 t j 1 r1 .

2

r1 2i

1 t i 1 2 t j 1 t k, 1.25 1

r1 .

2 t k, 1.25 1



73. State the definition of the derivative of a vector-valued

Desarrollo WRITING ABOUT de conceptos

CONCEPTS

statement ¿Verdadero is o true falso? or false. En los If ejercicios it is false, 89 explain a 92, determinar why or give si anla

function. Describe how to find the derivative of a vectorvalued

la function derivada and de give una its función geometric vectorial. interpretation. Describir cómo statement

True

declaración

or False?

es verdadera

In Exercises

o falsa.

89–92,

Si es

determine

falsa, explicar

whether

por qué

the

73. State the definition of the derivative of a vector-valued

example that shows it false.

o

73. Definir dar un ejemplo

is true

que

or

muestre

false. If

que

it is

es

false,

falsa.

explain why or give an

function. Describe how to find the derivative of a vectorvalued

function and give its geometric interpretation.

74. hallar How do la you derivada find the de integral una función of a vector-valued vectorial y dar function? su interpretación

geométrica.

89. its Si una derivative partícula vector se mueve is always a lo tangent largo de to una the esfera sphere. centrada en el

example 89. If a particle that shows moves it is along false. a sphere centered at the origin, then

75. The three components of the derivative of the vector-valued

74. How do you find the integral of a vector-valued function? 89. If origen, a particle entonces moves su along vector a sphere derivada centered es siempre at the tangente origin, then a la

74. ¿Cómo function se uencuentra are positive la integral at t t de una función vectorial? 90. The definite integral of a vector-valued function is a real number.

0 . Describe the behavior of u

its esfera. derivative vector is always tangent to the sphere.

75. The three components of the derivative of the vector-valued

75. Las at t tres t 0 . componentes de la derivada de la función vectorial

u son positivas en t t 0 . 0 .

91. rt rt

d

function u are positive at t t Describe the behavior of u 90. The La integral definite definida integral of de a una vector-valued función vectorial function es is un a real número number. real.

76. The z-component of the derivative Describir of el the comportamiento

vector-valued

dt

at t t d

de u en 0 .

t t 0 .

91.

function u is 0 for t in the domain of the function. What 92. If rt

dt

rt r and u are rt rt differentiable vector-valued functions of t, then

76. The z-component of the derivative of the vector-valued

76. La does componente this information z de la imply derivada about de the la función graph of vectorial u? u es

D t rt ut rt ut.

function u is 0 for t in the domain of the function. What

0 para t en el dominio de la función. ¿Qué implica esta información

acerca de la gráfica de u?

92. If Si rrand y u son are differentiable funciones vectoriales vector-valued derivables functions de t, of entonces t, then

does this information imply about the graph of u?

D t rt rt ut ut rt rt ut. ut.

r

r

r


12.3 Velocidad y aceleración

■

■

Describir la velocidad y la aceleración relacionadas con una función vectorial.

Usar una función vectorial para analizar el movimiento de un proyectil.

EXPLORACIÓN

Exploración de velocidad

Considérese el círculo dado por

rt cos ti sin sentj.

Usar una herramienta de graficación

en modo paramétrico para representar

este círculo para varios valores

de w. ¿Cómo afecta w a la

velocidad del punto final cuando se

traza la curva? Para un valor dado

de w, ¿parece ser constante la

velocidad? ¿Parece ser constante la

aceleración? Explicar el razonamiento.

2

−3 3

−2

Velocidad y aceleración

Ahora se combina el estudio de ecuaciones paramétricas, curvas, vectores y funciones vectoriales

a fin de formular un modelo para el movimiento a lo largo de una curva. Se

empezará por ver el movimiento de un objeto en el plano. (El movimiento de un objeto en

el espacio puede desarrollarse de manera similar.)

Conforme un objeto se mueve a lo largo de una curva en el plano, la coordenada x y

la coordenada y de su centro de masa es cada una función del tiempo t. En lugar de utilizar

ƒ y g para representar estas dos funciones, es conveniente escribir x xt y y yt. Por

tanto, el vector de posición rt toma la forma

rt xti ytj.

Vector de posición.

Lo mejor de este modelo vectorial para representar movimiento es que se pueden usar la

primera y la segunda derivadas de la función vectorial r para hallar la velocidad y la aceleración

del objeto. (Hay que recordar del capítulo anterior que la velocidad y

la aceleración son cantidades vectoriales que tienen magnitud y dirección.) Para

hallar los vectores velocidad y aceleración en un instante dado t, considérese un punto

Qxt t, yt t que se aproxima al punto Pxt, yt a lo largo de la curva C dada

por rt xti ytj, como se muestra en la figura 12.11. A medida que t → 0, la

dirección del vector PQ \ (denotado por r) se aproxima a la dirección del movimiento en

el instante t.

r

lím lim

t lim lím

t→0

t→0

r rt t rt

r rt t rt

t t

rt t rt

t

Si este límite existe, se define como el vector velocidad o el vector tangente a la curva

en el punto de P. Nótese que éste es el mismo límite usado en la definición de rt. Por

tanto, la dirección de rt da la dirección del movimiento en el instante t. La

magnitud del vector rt

rt xti ytj xt 2 yt 2

da la rapidez del objeto en el instante t. De manera similar, se puede usar rt para hallar

la aceleración, como se indica en las definiciones siguientes.

y

Vector velocidad

en el instante t

y

Vector velocidad

en el instante t

∆t → 0

C

P

∆r

Q

r(t)

r(t + ∆t)

x

x

Conforme t → 0, r se aproxima al vector velocidad

t

Figura 12.11

SECCIÓN 12.3 Velocidad y aceleración 851

DEFINICIONES DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Si x y y son funciones de t que tienen primera y segunda derivadas y r es una función

vectorial dada por rt xti ytj, entonces el vector velocidad, el vector aceleración

y la rapidez en el instante t se definen como sigue.

Velocidad Velocity vt rt xti ytj

Acceleration Aceleración at rt xti ytj

Rapidez Speed vt rt xt 2 yt 2

Para el movimiento a lo largo de una curva en el espacio, las definiciones son similares.

Es decir, si rt xti ytj ztk, entonces

Velocidad Velocity vt rt xti ytj ztk

Acceleration Aceleración at rt xti ytj ztk

Rapidez Speed vt rt xt 2 yt 2 zt 2 .

EJEMPLO 1

Hallar la velocidad y la aceleración

a lo largo de una curva plana

NOTA En el ejemplo 1, nótese que

los vectores velocidad y aceleración

son ortogonales en todo punto y en

cualquier instante. Esto es característico

del movimiento con rapidez constante.

(Ver ejercicio 57.)

■

Hallar el vector velocidad, la rapidez y el vector aceleración de una partícula que se mueve

a lo largo de la curva plana C descrita por

rt 2 sen sin t 2 i 2 cos t 2 j.

Solución

El vector velocidad es

Vector posición.

vt rt cos t 2 i sen sin t 2 j.

Vector velocidad.

La rapidez (en cualquier instante) es

Círculo: x 2 + y 2 = 4

2

y

rt cos t 2 2 sen

t sin2 2 1.

El vector aceleración es

at rt 1 sen

2 sin t 2 i 1 2 cos t 2 j.

Rapidez.

Vector aceleración.

−2

−1

1

−1

−2

a(t)

r(t) = 2 sen t t

2

i + 2 cos 2

j

1

v(t)

La partícula se mueve alrededor del círculo

con rapidez constante

Figura 12.12

2

x

Las ecuaciones paramétricas de la curva del ejemplo 1 son

x 2 sen sin t 2

y

Eliminando el parámetro t, se obtiene la ecuación rectangular

x 2 y 2 4.


Por tanto, la curva es un círculo de radio 2 centrado en el origen, como se muestra en la

figura 12.12. Como el vector velocidad

vt cos t 2 i sen sin t 2 j

y 2 cos t 2 .

tiene una magnitud constante pero cambia de dirección a medida que t aumenta, la partícula

se mueve alrededor del círculo con una rapidez constante.


v(0)

−3

r(t) = (t 2 − 4)i + tj

a(0)

−2

4

3

1

−1 1

−1

−3

−4

y

2

a(2)

3

x = y 2 − 4

En todo punto en la curva, el vector

aceleración apunta a la derecha

Figura 12.13

y

Sol

a

4

v(2)

En todo punto de la órbita del cometa, el

vector aceleración apunta hacia el Sol

Figura 12.14

x

x

EJEMPLO 2

Dibujo de los vectores velocidad

y aceleración en el plano

Dibujar la trayectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva plana dada por

rt t 2 4i t j

Vector posición.

y hallar los vectores velocidad y aceleración cuando t 0 y t 2.

Solución Utilizando las ecuaciones paramétricas x t 2 4 y y t, se puede determinar

que la curva es una parábola dada por x y 2 4, como se muestra en la figura 12.13.

El vector velocidad (en cualquier instante) es

vt rt 2t i j

y el vector aceleración (en cualquier instante) es

at rt 2i.

Vector velocidad.


Cuando t 0, los vectores velocidad y aceleración están dados por

v(0) 2(0)i j j y a(0) 2i.


v(2) 2(2)i j 4i j y a(2) 2i.

Si el objeto se mueve por la trayectoria mostrada en la figura 12.13, nótese que el vector

aceleración es constante (tiene una magnitud de 2 y apunta hacia la derecha). Esto

implica que la rapidez del objeto va decreciendo conforme el objeto se mueve hacia el vértice

de la parábola, y la rapidez va creciendo conforme el objeto se aleja del vértice de la

parábola.

Este tipo de movimiento no es el característico de cometas que describen trayectorias

parabólicas en nuestro sistema solar. En estos cometas, el vector aceleración apunta siempre

hacia el origen (el Sol), lo que implica que la rapidez del cometa aumenta a medida

que se aproxima al vértice de su trayectoria y disminuye cuando se aleja del vértice. (Ver

figura 12.14.)

EJEMPLO 3

Dibujo de los vectores velocidad

y aceleración en el espacio

Dibujar la trayectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva en el espacio C dada

por

Curva:

r(t) = ti + t 3 j + 3tk, t ≥ 0

rt t i t 3 j 3tk, t ≥ 0 Vector posición.

y hallar los vectores velocidad y aceleración cuando t 1.

z

6

(1, 1, 3)

4

2

v(1)

a(1)

C

10

y

Solución Utilizando las ecuaciones paramétricas x t y y t 3 , se puede determinar

que la trayectoria del objeto se encuentra en el cilindro cúbico dado por y x 3 . Como

z 3t, el objeto parte de 0, 0, 0 y se mueve hacia arriba a medida que t aumenta, como

se muestra en la figura 12.15. Como rt t i t 3 j 3tk, se tiene

vt rt i 3t 2 j 3k Vector velocidad.

y

2

4

x

Figura 12.15

at rt 6tj.



v(1) r(1) i 3j 3k y a(1) r(1) 6j .


Hasta aquí se ha tratado de hallar la velocidad y la aceleración derivando la función

de posición. En muchas aplicaciones prácticas se tiene el problema inverso, hallar la función

de posición dadas una velocidad o una aceleración. Esto se demuestra en el ejemplo

siguiente.

EJEMPLO 4

Hallar una función posición por integración

Un objeto parte del reposo del punto P(1, 2, 0) y se mueve con una aceleración

at j 2k


donde at se mide en pies por segundo al cuadrado. Hallar la posición del objeto después

de t 2 segundos.

Solución A partir de la descripción del movimiento del objeto, se pueden deducir las

condiciones iniciales siguientes. Como el objeto parte del reposo, se tiene

v0 0.

Como el objeto parte del punto x, y, z 1, 2, 0, se tiene

r0 x0i y0j z0k

1i 2j 0k

i 2j.

Para hallar la función de posición, hay que integrar dos veces, usando cada vez una de las

condiciones iniciales para hallar la constante de integración. El vector velocidad es

vt at dt j 2k dt

tj 2tk C

Curva:

r(t) = i +

z

( )

t 2 + 2 j + t 2 k

2

donde C C 1 i C 2 j C 3 k. Haciendo t 0 y aplicando la condición inicial

se obtiene

v0 C 1 i C 2 j C 3 k 0 C 1 C 2 C 3 0.

Por tanto, la velocidad en cualquier instante t es

vt tj 2tk.

Vector velocidad.

Integrando una vez más se obtiene

v0 0,

6

C

rt vt dt tj 2tk dt

6

x

4

2

4

2

r(2)

(1, 2, 0)

t = 0

(1, 4, 4)

t = 2

El objeto tarda 2 segundos en moverse del

punto (1, 2, 0) al punto (1, 4, 4) a lo largo

de C

Figura 12.16

6

y

donde C C 4 i C 5 j C 6 k. Haciendo t 0 y aplicando la condición inicial r(0) i

2j, se tiene

r0 C 4 i C 5 j C 6 k i 2j

Por tanto, el vector posición es

rt i

t 2

t 2

2 j t 2 k C

2 2 j t 2 k.

Vector posición.

C 4 1, C 5 2, C 6 0.

La posición del objeto después de t 2 segundos está dada por r2 i 4j 4k,



Movimiento de proyectiles

y v 0 = velocidad inicial

v(t 1 )

v 0 = v(0)

a

a

a

Altura inicial

Figura 12.17

v(t 2 )

x

Ahora ya se dispone de lo necesario para deducir las ecuaciones paramétricas de la trayectoria

de un proyectil. Supóngase que la gravedad es la única fuerza que actúa sobre un

proyectil después de su lanzamiento. Por tanto, el movimiento ocurre en un plano vertical

que puede representarse por el sistema de coordenadas xy con el origen correspondiente a

un punto sobre la superficie de la Tierra (figura 12.17). Para un proyectil de masa m, la

fuerza gravitatoria es

F mgj

Fuerza gravitatoria.

donde la constante gravitatoria es g 32 pies por segundo al cuadrado, o 9.81 metros por

segundo al cuadrado. Por la segunda ley del movimiento de Newton, esta misma fuerza

produce una aceleración a at, y satisface la ecuación F ma. Por consiguiente, la

aceleración del proyectil está dada por ma mgj, lo que implica que

a gj.

Aceleración del proyectil.

EJEMPLO 5

Obtención de la función de posición de un proyectil

Un proyectil de masa m se lanza desde una posición inicial

Hallar su vector posición en función del tiempo.

con una velocidad inicial v 0 .

Solución Se parte del vector aceleración at gj y se integra dos veces.

r 0

vt at dt g j dt gt j C 1

rt vt dt gtj C 1 dt 1 2 gt 2 j C 1 t C 2

Se puede usar el hecho de que v0 v 0 y r0 r 0 para hallar los vectores constantes C 1

y C 2 . Haciendo esto se obtiene C 1 v 0 y C 2 r 0 . Por consiguiente, el vector posición es

rt 1 2 gt 2 j t v 0 r 0 .

Vector posición.

⎜⎜ v 0 ⎜⎜ = v 0 = rapidez inicial

⎜⎜r 0 ⎜⎜ = h = altura inicial

y

v 0

yj

θ

xi

h r 0

x = ⎜⎜v 0 ⎜⎜cos

θ

y = ⎜⎜v 0 ⎜⎜ sen θ

Figura 12.18

x

En muchos problemas sobre proyectiles, los vectores constantes r 0 y v 0 no se dan

explícitamente. A menudo se dan la altura inicial h, la rapidez inicial v 0

y el ángulo con

que el proyectil es lanzado, como se muestra en la figura 12.18. De la altura dada, se puede

deducir que r 0 hj. Como la rapidez da la magnitud de la velocidad inicial, se sigue que

v 0 v 0 y se puede escribir

v 0 x i y j

v 0 cos i v 0 sen sin j

v 0 cos i v 0 sin senj.

Por tanto, el vector posición puede expresarse en la forma

rt 1 Vector posición.

2 gt 2 j t v 0 r 0

1 2 gt 2 j tv 0 cos i tv 0

sen sin j hj

v 0 cos ti h v 0 sin t 1 2 gt 2 j.

sen


TEOREMA 12.3 FUNCIÓN DE POSICIÓN DE UN PROYECTIL

Despreciando la resistencia del aire, la trayectoria de un proyectil lanzado de una

altura inicial h con rapidez inicial v 0 y ángulo de elevación se describe por medio

de la función vectorial

rt v 0 cos ti h v 0 sin t 1 2 gt 2 j

sen

donde g es la constante de la gravedad.

EJEMPLO 6

La trayectoria de una pelota de béisbol

Figura 12.19

45°

3 pies

300 pies

10 pies

Una pelota de béisbol es golpeada 3 pies sobre el nivel del suelo a 100 pies por segundo y

con un ángulo de 45° respecto al suelo, como se muestra en la figura 12.19. Hallar la altura

máxima que alcanza la pelota de béisbol. ¿Pasará por encima de una valla de 10 pies de

altura localizada a 300 pies del plato de lanzamiento?

Solución Se tienen dados h 3, v 0 100, y Así, tomando pies por

segundo al cuadrado se obtiene

rt 100 cos

502 ti 3 502 t 16t 2 j

vt rt 502 i 502 32tj.

La altura máxima se alcanza cuando

yt 502 32t 0

lo cual implica que

t 252

16

2.21 segundos.

Por tanto, la altura máxima que alcanza la pelota es

y 3 502

252

16 16 252

16 2

649

8

81 pies. feet.

La pelota está a 300 pies de donde fue golpeada cuando

300 xt 502 t.

Despejando t de esta ecuación se obtiene

altura de la pelota es

y 3 502 32 1632 2 t 32 4.24

303 288

15 pies. feet.

4 t i 3

100 sen sin

Por consiguiente, la pelota pasará sobre la valla de 10 pies.

45.

4 t 16t 2 j g 32

Altura máxima cuando t 2.21 segundos.

segundos. En este instante, la

Altura cuando t 4.24 segundos.

n

it



d

e


12.3 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 10, el vector posición r r describe la trayectoria

de un objeto que se xy mueve en el plano xy. Dibujar una gráfica

de la trayectoria y dibujar los vectores velocidad y aceleración

Position

en el

Function

punto dado.

Point

Función r t 3ti posición t 1 j

Punto 3, 0

1.

2.

rt r t 3ti 6 tt i 1j tj

rt r t 6 t 2 i ti tj tj

3, 3, 0 3

3, 4, 3 2

3. rt r t tti 2 i tj t 2 4 j 4, 1, 2 3

4. rrt t ti t 2 i t 3 tj

2 4 j 1, 1, 31

5. r t t 2 1

r t 4

i t 3 t 3 1j

i tj

1, 3, 12

6.

1

rrt

t 24t 3 cos ti 1 i 2 tj sin tj 3, 22, 2

7.

8.

9.

10.

rt r t 23 cos ti ti 2 sen sin tj tj

rt r t 3 tcos ti sin t, 21 sin sencos tj t

rt r t te , sen sin e t t, 1 cos t

rt e t , e t

2,2 3, 0

3, , 0 2

, 1, 2 1

1, 1

En los ejercicios 23 a 28, usar la función aceleración dada para

determinar los vectores velocidad y posición. Después hallar la

tposición 2. en el instante t 2.

23. at t i j k

vv0 0 0,

rr00 0

24. at t 2i 3k

v0 0 4j,

rr0 0 0

25. at t tj tk

v1 1 5j,

rr11 0

26. a t 32k

27.

28.

v 0 3i 2j k,

a t cos ti sen tj

v 0 j k,

a(t) e t i 8k

r 0

v 0 2i 3j k,

r 0 5j 2k

i

r 0 0

r

e

l

e

e

d

f

l.

n

e

d

e

e

t

e

e

En los ejercicios 11 a 20, el vector posición r describe la trayectoria

de un objeto que se mueve en el espacio. Hallar velocidad, rapidez

y raceleración t ti 5tj del objeto. 3tk

r t 4ti 4t j 2tk

t 1

11. rtt ti ti 5tj t 2 j 3tk

2

12.

rtt 4ti 3ti 4t tjj 2tk

4 t 2 k

2 k

t 1

13. t ti t 2 j

r t ti tj 9 14. r t 3ti tj

4 t 2 k

2 k t 2 k

r t t

15. r t ti 2 i tj 2t

tj 9 3 2 k

t 2 k

r t

16. r t t 2 4t, 3 cos t, 3

i tj 2t 3 sen 2 t

k

r(t 2 cos t, 2 sen t, t

17. r t 4t, 3 cos t, 3 sen t

2

r t e

18. r(t 2 t cos t, e

cos t, 2 sen t sen t,

t, t 2 e t

19.

rtt

eln t cos t, 1 t, e t sen t, e t

20. r t ln t, 1 t , t4

t , t4

Aproximación lineal En

r t

los ejercicios 21 y 22 se dan la gráfica

de

t

la

t 0 función vectorial rt y un vector tangente a la gráfica en

t t 0 .

a) Hallar un conjunto

t t 0 .

de ecuaciones paramétricas para la recta

tangente a la gráfica en t t 0 .

r t 0 0.1 .

b) Utilizar r t las t, ecuaciones t 2 , 1 de t la recta para aproximar rt 0 0.1.

4 t 3 , 0 1

21. rt r t t, t, t25 2 , 1 4 t3 , t 2 , t 0

25 1 t 2 , t 0 3

22. rt t,25 t 2 ,25 z t 2 , t 0 3

−2

1

1, −1,

4) 2

1 y

1 x

1, −1, 2

1 y

4

x

)

( )

z

2

2

−2

5z

5

2

2

4

2

2 6

4

6


z

(3, 4, 4)

(3, 4, 4)

y

6

y

6

x

x

Movimiento de proyectiles En los ejercicios 29 a 44, usar el modelo

para el movimiento de un proyectil, suponiendo que no hay

resistencia del aire.

29. Hallar la función vectorial de la trayectoria de un proyectil lanzado

desde una altura de 10 pies sobre el suelo con 30 una velocidad

inicial de 88 pies por segundo y con un ángulo de 30° sobre

la horizontal. Usar una herramienta de graficación para representar

la trayectoria del proyectil.

30. Determinar la altura máxima y el alcance de un proyectil disparado

desde una altura de 3 pies sobre 45 el nivel del suelo con

velocidad inicial de 900 pies por segundo y con un ángulo de

45° sobre la horizontal.

45

31. Una pelota de béisbol es golpeada 3 pies sobre el nivel del suelo,

se aleja del bate con un ángulo de 45° y es cachada por un jardinero

a 3 pies sobre el nivel del suelo y a 300 pies del plato de

lanzamiento. ¿Cuál es la rapidez inicial de la pelota y qué altura

alcanza?

32. Un jugador de béisbol en segunda base lanza una pelota al

jugador de primera base a 90 pies. La pelota es lanzada desde 5

pies sobre el nivel del suelo con una velocidad inicial de 50 millas

por hora y con un ángulo de 15° con la horizontal. ¿A qué

altura cacha la pelota el jugador de primera base?

33. Eliminar el parámetro t de la función de posición para el movimiento

de un proyectil y mostrar que la ecuación rectangular es

16 sec2

y

2

x

v 2 tan x h.

0

34. La trayectoria de una pelota la da la ecuación rectangular

y x 0.005x 2 .

Usar el resultado del ejercicio 33 para hallar la función de posición.

Después hallar la velocidad y la dirección de la pelota en

el punto en que ha recorrido 60 pies horizontalmente.


35. Modelo matemático La trayectoria de una pelota lanzada por

un jugador de béisbol es videograbada y después se analiza la

grabación con una cuadrícula que cubre la pantalla. La cinta se

detiene tres veces y se miden las posiciones de la pelota. Las

coordenadas son aproximadamente (0, 6.0), (15, 10.6) y (30,

13.4). (La coordenada x mide la distancia horizontal al jugador

en pies y la coordenada y mide la altura en pies.)

a) Usar una herramienta de graficación para hallar un modelo

cuadrático para los datos.

b) Usar una herramienta de graficación para representar los

datos y la gráfica del modelo.

c) Determinar la altura máxima de la pelota.

d) Hallar la velocidad inicial de la pelota y el ángulo al que fue

lanzada.

36. Una pelota de béisbol es golpeada desde una altura de 2.5 pies

sobre el nivel del suelo con una velocidad inicial de 140 pies por

segundo y con un ángulo de 22° sobre la horizontal. Usar una

herramienta de graficación para representar la trayectoria de la

pelota y determinar si pasará sobre una valla de 10 pies de altura

localizada a 375 pies del plato de lanzamiento.

37. El Rogers Centre en Toronto, Ontario, tiene una cerca en su campo

central que tiene 10 pies de altura y está a 400 pies del plato de lanzamiento.

Una pelota es golpeada a 3 pies sobre el nivel del suelo

y se da el batazo a una velocidad de 100 millas por hora.

a) La pelota se aleja del bate formando un ángulo de 0 con

la horizontal. Dar la función vectorial para la trayectoria de

la pelota.

b) Usar una herramienta de graficación para representar la función

vectorial para 0 10, 0 15, 0 20, y 0 25.

Usar las gráficas para aproximar el ángulo mínimo requerido

para que el golpe sea un home run.

c) Determinar analíticamente el ángulo mínimo requerido para

que el golpe sea un home run.

38. El mariscal de campo de un equipo de fútbol americano lanza un

pase a una altura de 7 pies sobre el campo de juego, y el balón de

fútbol lo captura un receptor a 30 yardas a una altura de 4 pies.

El pase se lanza con un ángulo de 35° con la horizontal.

a) Hallar la rapidez del balón de fútbol al ser lanzado.

b) Hallar la altura máxima del balón de fútbol.

c) Hallar el tiempo que el receptor tiene para alcanzar la posición

apropiada después de que el mariscal de campo lanza el

balón de fútbol.

39. Un expulsor de pacas consiste en dos bandas de velocidad variable

al final del expulsor. Su función es lanzar las pacas a un

camión. Al cargar la parte trasera del camión, una paca debe lanzarse

a una posición 8 pies hacia arriba y 16 pies detrás del

expulsor.

a) Hallar la velocidad inicial mínima de la paca y el ángulo

correspondiente al que debe ser lanzada de la expulsora.

b) La expulsora tiene un ángulo fijo de 45°. Hallar la velocidad

inicial requerida.

40. Un bombardero vuela a una altitud de 30 000 pies a una velocidad

de 540 millas por hora (ver la figura). ¿Cuándo debe lanzar

la bomba para que pegue en el blanco? (Dar la respuesta en términos

del ángulo de depresión del avión con relación al blanco.)

¿Cuál es la velocidad de la bomba en el momento del impacto?

30 000 pies

Figura para 40

41. Un disparo de un arma con una velocidad de 1 200 pies por

segundo se lanza hacia un blanco a 3 000 pies de distancia.

Determinar el ángulo mínimo de elevación del arma.

42. Un proyectil se lanza desde el suelo con un ángulo de 12° con la

horizontal. El proyectil debe tener un alcance de 200 pies. Hallar

la velocidad inicial mínima requerida.

43. Usar una herramienta de graficación para representar la trayectoria

de un proyectil para los valores dados de y v 0 . En cada caso, usar

la gráfica para aproximar la altura máxima y el alcance del proyectil.

(Suponer que el proyectil se lanza desde el nivel del suelo.)

a) v 0 66 ftsec pies/s b)

v 0 146 pies/s ftsec

c) v 0 66 ftsec pies/s d)

v 0 146 ftsec pies/s

e) v 0 66 ftsec pies/s ƒ)

v 0 146 ftsec pies/s

44. Hallar el ángulo con el que un objeto debe lanzarse para tener a)

el alcance máximo y b) la altura máxima.

10,

45,

60,

540 mph

10,

45,

60,

Movimiento de un proyectil En los ejercicios 45 y 46, usar el

modelo para el movimiento de un proyectil, suponiendo que no

hay resistencia. [at 9.8 metros por segundo al cuadrado. ]

45. Determinar la altura y el alcance máximos de un proyectil disparado

desde una altura de 1.5 metros sobre el nivel del suelo

con una velocidad inicial de 100 metros por segundo y con un

ángulo de 30° sobre la horizontal.

46. Un proyectil se dispara desde el nivel del suelo con un ángulo

de 8° con la horizontal. El proyectil debe tener un alcance de 50

metros. Hallar la velocidad mínima necesaria.

Movimiento cicloidal En los ejercicios 47 y 48, considerar el

movimiento de un punto (o partícula) en la circunferencia de un

círculo que rueda. A medida que el círculo rueda genera la cicloide

rt bt sen sin ti b1 cos tj, donde es la velocidad

angular constante del círculo y b es el radio del círculo.

47. Hallar los vectores velocidad y aceleración de la partícula. Usar

los resultados para determinar los instantes en que la rapidez de

la partícula será a) cero y b) máxima.

48. Hallar la velocidad máxima de un punto de un neumático de

automóvil de radio 1 pie cuando el automóvil viaja a 60 millas por

hora. Comparar esta velocidad con la velocidad del automóvil.

Movimiento circular En los ejercicios 49 a 52, considerar una

partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria circular de

radio b descrita por r(t) b cos ti b sen tj donde dudt

es la velocidad angular constante.

49. Hallar el vector velocidad y mostrar que es ortogonal a rt.

858 CAPÍTULO 85812 Chapter Funciones 12vectoriales

Vector-Valued Functions

Vector-Valued 858 Functions Chapter 12 Vector-Valued Functions

50. a) Mostrar que 50. la rapidez (a) Show de la that partícula the speed es b. of the particle is b . 59. Investigación 59. Un Investigation objeto sigue una A particle trayectoria moves elíptica on an elliptical dada path given

ed of the particle 50. is (a) b) b Usar Show . una that herramienta the speed (b) Use of de the a 59. graficación particle graphing Investigation is utility b en . modo in A parametric paramétrico particle moves mode on 59. to an graph Investigation elliptical por la

the

función path given A vectorial particle the by vector-valued rt moves 6 on cos an function

elliptical 3 sen sin r tj. tpath 6 given cos ti by 3 sin tj.

utility in parametric (b) para mode Use representar a to graphing el the utility círculo circle in para for parametric b the vector-valued 6. 6. Try Probar mode different distintos to

function

graph values valores of the

r t.

Does 6 cos the the ti graphing a) vector-valued Hallar 3 sin tj. vt, vt, function (a) y Find at. r vt t , 6 vcos t , ti and a3 sin t . tj.

ry different values of de circle . Does . ¿Dibuja for the bgraphing

6. la Try herramienta utility different draw values (a) de the graficación Find circle of v.

Does t faster , más v the t for , rápido graphing and greater a los t values . of (a) ? b) Find Usar vuna t , herramienta v t ,(b) and Use ade t a . graficación graphing utility para completar to complete la the tabla. table.

rcle faster for greater values círculos utility of draw para ? 51. the los circle Find

valores faster the

mayores

acceleration for greater de ?

(b) Use values a vector graphing of and ? utility show to that complete its direction the (b) table. Use isa graphing utility to complete the table.

vector and 51. 51. show Find Hallar that the el its vector acceleration direction aceleración always is vector toward y mostrar and the show que center that su of dirección its the direction circle. es siempre

hacia el centro del círculo.

4 2 3

is

t 0

2

ter of the circle.

t 0

always toward the 52. center Show of that the the circle. magnitude of the acceleration vector 2 is b

t 0

2 .

2 4 2 3

52. Mostrar que la del vector aceleración es

t 0

ude of the acceleration 52. Show vector that the is bmagnitude 2 .

b2

of the acceleration vector is b4.

2 . 2 3

Rapidez 4 2 3

Circular Motion In Exercises 53 and 54, use the results of

Speed

ercises 53 and Circular Movimiento 54, use Motion the circular results In Exercises Exercises En oflos 49–52. ejercicios 53 and 5354, Speed y 54, use usar the los results resultados

de los 49–52. ejercicios 49 a 52.

tores velocidad (c) y aceleración Graph the para elliptical los valores path and de t the dados velocity en la and accelerat

of c) Representar Speed gráficamente la trayectoria elíptica y los vec-

Exercises

53. A stone weighing 1 pound is attached to a two-foot string tabla and del inciso b).

Una piedra que pesa 1 libra se ata

(c)

a

Graph

un cordel

the elliptical

de dos pies

path

de

and the velocity (c) Graph and the acceleration elliptical vectors path and at the velocity values of and t given acceleration in the table in part (b).

ound is attached 53. to A a stone two-foot weighing string 1 and is pound whirled is attached horizontally to a (see two-foot figure). string The and string will break under

d) Usar los resultados de los incisos b) y c) para describir la

largo y se hace girar horizontalmente (ver

vectors

la figura).

at the values

El cordel

of t

se

given in the table vectors in part at the (b).

y (see figure). The is string whirled will horizontally break under a force (see figure). of 10 pounds. The string Find will the break maximum underspeed the stone can values (d) Use of tthe given results the of table parts in (b) part and (b). (c) to describe the geome

relación geométrica entre los vectores velocidad y aceleración

cuando la rapidez de la partícula aumenta y cuando

. Find the maximum a romperá force speed of con the 10 stone una pounds. fuerza can attain Find de without 10 the libras. maximum (d) breaking Use Hallar the speed la results the velocidad the string. of stone parts máxima

Use que Fwithout la ma, piedra breaking where puede m 32. alcanzar the string. sin que Use se Frompa ma, el where cordel.

relationship between the velocity and acceleration vectors

can Use (b) and F (c) ma, to (d) describe where Use the the results geometric of parts relationship (b) and (c) between to describe the velocity the geometric and acceleration vect

1

ing the string. attain

disminuye.

(Usar 1

m 32. donde m 1 .

relationship between the velocity and acceleration vectors when the speed of the particle is increasing, and when i

F ma, when the speed of the particle is increasing, when and the when speed it of isthe decreasing.

32 particle is increasing, and when it is

decreasing.

decreasing.

Para discusión CAPSTONE

1 lb

1 libra CAPSTONE

30 mphCAPSTONE

1 lb

60. Considerar una 60. partícula Consider que a se particle mueve moving sobre una on trayectoria an elliptical path describe

1 lb

2 ft

30 mph

60. Consider 30 a particle mph moving on an elliptical 60. Consider elíptica path a descrita described particle por by moving r t on a an cos elliptical t i b path sen described t j, where donde d dt is th

ft

2 pies ft

by r t a cos t i b sen t j, where by r td

dt a cos es is la the t velocidad iconstant b sen angular t j, where velocity. constante. d dt is the

constant angular velocity.

constant a) Encontrar angular el velocity. vector (a) Find velocidad. the velocity ¿Cuál vector. es la What rapidez is the de speed la of the particle

(a) Find the velocity vector. What is the speed (a) Find partícula? of the the particle? velocity (b) vector. Find What the acceleration is the speed of vector the particle? and show that its directio

300 pies

(b) Find the acceleration vector and show (b) b) that Find Encontrar its the direction acceleration vector is aceleración vector always and toward y show demostrar the that center its que direction of su the dirección

always está toward siempre the hacia center el centro of the de ellipse. la elipse.

ellipse.

300 pies

300 is pies always toward the center of the ellipse. is


Figure Figure for Figura 54 for

para

53

53 Figura

Figure for

para

54

54

54. A 3400-pound automobile is negotiating a circular interchange WRITING ABOUT CONCEPTS

obile is negotiating 54.

54.

A

Un a 3400-pound circular automóvil interchange de

automobile

3 400 of radius libras

is negotiating 300 está WRITING tomando feet 30 a circular

una miles ABOUT curva per interchange

circular hour CONCEPTS (see de figure). Desarrollo

WRITING Assuming de conceptos

ABOUT 61. CONCEPTS

In your own words, explain the difference between th

30 miles per hour of

300 (see radius

pies figure). de

300

radio Assuming feet

a

at the 30

30

millas roadway miles

por

per

hora

hour

(ver

(see

la

figure).

figura).

Assuming

Supuesto

the

que

roadway

la carretera

is level,

está nivelada,

find the

hallar

61.

is level,

In

force

la

between

fuerza

your

find

own

the

necesaria

words,

force between

the tires and

entre

explain

the

the

los

the

tires

difference 61. 61. and

In Con the

your las between own propias words, the palabras, velocity explain explicar of the an object la difference diferencia and its between entre speed. la velocidad

notde of un an objeto object and its speed.

the

find the force between the tires and road the such that the

road

neumáticos

such that

y el

the

pavimento

car stays

para

on the

que

velocity

car stays

circular

el automóvil

of an

on

object

the circular

path and

mantenga

and its

path

does not

la

speed.

and does

velocity

r stays on the circular path and does skid. not (Use F ma, where m 3400 32. ) Find the angle at

62. What y su rapidez. is known about the speed of an object if the angl

where m 3400 skid.

trayectoria 32. ) Find (Use the F

circular angle ma, which sin

where at derrapar. the

62.

m roadway 3400

(Usar What

32.

Fshould is

)

known Find

ma,

the be donde about

banked angle

mthe at

speed so that

of 62. 62.

no

an What object

lateral

¿Qué is se if known conoce the angle about acerca between the de speed la the rapidez velocity of an de object un and objeto acceleration if the si angle ángulo

entre is the los (a) velocity vectores acute and and velocidad (b) acceleration obtuse? y aceleración vectors es is (a) agudo acute y

vectors is (a) acut

should be banked which

3 400/32.) so that the

Hallar

roadway no lateral el frictional ángulo

should

de force be

peralte

banked is

between

exerted necesario the

so on that

para the

velocity

no tires que

lateral

ninguna

the fuerza automobile. force

of

and

the

acceleration

automobile.

vectors between

rted on the tires of frictional

de fricción

is exerted

lateral

on the

sea

tires

ejercida and (b)

of the

sobre obtuse?

automobile.

los neumáticos and b) obtuso? (b) obtuse? 63. Consider a particle that is moving on the pat

del automóvil. 55. Shot-Put Throw 63. Consider The path a of particle a shot thrown that at is an moving angle 63. 63. Consider Redacción is

the a Considerar particle path r 1 t that una x tpartícula is i moving ytj que se ztk. on mueve the sobre pathla

e path of a shot 55. thrown Shot-Put Lanzamiento at Throw angle de peso The is path La trayectoria of a shot r 1 thrown tde un xobjeto at t ian angle ytj lanzado isztk.

con r 1

trayectoria t x t ir 1

1 t ytj (a) xti Discuss ztk. ytjany changes ztk. in the position, velocity, or accele

un ángulo es r t v

1

0 cos (a) t i Discuss h any v 0 sin changes t in

1

2 gt2 the position, j

(a) velocity, a) Discuss Analizar or acceleration

any todo changes cambio ation in en the of la position, the posición, particle velocity, velocidad if its position or acceleratioración

by the of de the vector-

la particle partícula if valued its si su position function posición is given está r by the vector-

o acele-

is given by the vecto

h v 0 sin t r t v 0 cos t i h v

rt 2 gt2 j

v 0 cos t i

0 sin t

h v 0 sin t 2 1 gt2 of jthe particle if its position is given

sen

2

2 t dada r 1

por 2t . la función

vectorial function r 2 (b) t r 2 t Generalize r 1 2t. r 1 2t . the results for the position functio

where v gt2 j

0 is the initial valued speed, function h is the initial r 2 t height, r 1 2t . t is the time valued

speed, h is the initial where height, v is the initial speed, h is the initial height, t is the time

donde 0

t is the time

seconds, and g

v 0 es la rapidez inicial, h es la (b)

is

altura Generalize

the acceleration

inicial, t the

due

es el results

to gravity.

tiempo

en segundos y g es la aceleración r

for the

Verify

(b) position that

Generalize Generalizar function los the resultados results r 3 t for a rla 1

función the t . position posición function

he acceleration due in to seconds, gravity. and Verify g is that the the shot acceleration will remain due to gravity. Verify that

in

3 debida t

the air

r

for

1 a la t

a

.

total of

gravedad.

r 3 t t r 1 t. t .

the air for a total the of shot will remain in the air for a total 2 of

Verificar que el objeto permanecerá v en el aire

in 2 2gh v t 0 sin v 0 sin 2 2gh

seconds

2 v t 0 sin v 0 sin 2 2gh

64. When t 0, an object is at the point 0, 1 and has a veloc

seconds sen sen

g

seconds

g

64. When segundos t 0, an object is at the point 64. 0,

64. When 1 and

Cuando t has

t 0,

a

0, an velocity

un object vector

objeto is está at vthe 0

en point i.

el punto 0, 1It (0, and moves

1) y has tiene a with velocity an acceleration

and will travel

un vector

vector a horizontal v 0 distance i. of It moves with vector an acceleration

velocidad v 0v(0) i. aof

t

i. It Se moves sin ti

mueve con with cos t j.

aceleración an Show acceleration that the path

a(t) sen ti of the object is a cir

ontal distance of and y recorrerá will travel una a distancia horizontal horizontal distance a of tde

v

2 sin ti cos t j. Show that the path aof cos t the

t j. sin object

Mostrar ti is a cos circle.

0 cos

2gh

que t j. la Show trayectoria that the del path objeto of the es object un círculo. is a circle.

sin

2gh v 2

pies.

sin feet.

True or False? In Exercises 65–68, determine whether

0 cos

g

sin feet.

2gh

sin sin

2

2

feet.


g

2 True or False? In Exercises

v

2

sen sen

0 65–68, determine whether statement the is true or false. If it is false, explain why or give

v

2

v

2

0 statement 0 is true or false. If it is false, statement

¿Verdadero explain is why o

true

falso? or or give false.

En an los

If it

ejercicios

is false, explain

65 a 68,

why

determinar

or give an

si la

56. Shot-Put Throw A shot is thrown from a height of h 6 feet example that shows it is false.

56. Lanzamiento de peso Un peso es lanzado desde una altura de declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o

shot is thrown 56. from Shot-Put a height Throw of h 6A feet with shot an is initial thrown

example speed from

that of a height vshows of

it feet is false.

0 45 h per 6 feet second and example at an angle that shows it is false.

h 6 pies con rapidez inicial v pies por segundo y con dar un ejemplo que 65. pruebe The acceleration que es falsa. of an object is the derivative of the speed.

f v feet per with second an initial and at speed an angle of v feet 0

per

45

0 45

of 0

42.5 45 second and at angle

of

un ángulo de

with the horizontal.

con la

65.

with

horizontal.

The acceleration

the horizontal.

Find the

Hallar

total time

el

of

tiempo

an

Find

object

the total

of travel

total

is the

time

65. derivative

of travel

The acceleration of the speed. of an object is the derivative of the speed.

horizontal. Find the total 42.5 time of travel and the total distance traveled.

66. The velocity of an object is the derivative of the position.

de recorrido y la distancia horizontal recorrida.

65. La aceleración de un objeto es la derivada de la rapidez.

al distance traveled.

66. The velocity of an object is the derivative

and the total horizontal distance traveled.

66. The of velocity the position. of an object is the derivative of the position.

57. Prove that if an object is traveling at a constant speed, its

67. The velocity vector points in the direction of motion.

57. Demostrar que si un objeto se mueve con rapidez constante, sus

66. La velocidad de un objeto es la derivada de la posición.

ect is traveling 57. at Prove a constant that if speed, an object velocity its

67. The velocity vector points in the direction

is traveling and acceleration at a constant vectors speed, are orthogonal. its

67. The of velocity motion. vector 68. If points a particle in the moves direction along of motion. a straight line, then the velocity

tion vectors are orthogonal. vectores velocidad y aceleración son ortogonales.

67. El vector velocidad apunta en la dirección de movimiento.

velocity and acceleration 58. Prove vectors that

68.

an are If

object

a orthogonal. particle

moving

moves

in a

along

straight

a straight

line at 68. line,

a If constant

then a particle the velocity moves and along acceleration a straight vectors line, are then orthogonal. the velocity and

moving in a 58. Demostrar que un objeto que se mueve en línea recta a velocidad

constante tiene aceleración nula.

los vectores velocidad y aceleración son ortogonales.

68. Si una partícula se mueve a lo largo de una línea recta, entonces

58. straight Prove line that at an a constant

acceleration vectors are orthogonal.

object speed moving has an in acceleration a straight line of 0. at a constant

acceleration vectors are orthogonal.

tion of 0. speed has an acceleration of 0.

42.5

2

SECCIÓN 12.4 Vectores tangentes y vectores normales 859

12.4 Vectores tangentes y vectores normales

■

■

Hallar un vector unitario tangente en un punto a una curva en el espacio.

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración.

Vectores tangentes y vectores normales

En la sección precedente se vio que el vector velocidad apunta en la dirección del

movimiento. Esta observación lleva a la definición siguiente, que es válida para cualquier

curva suave, no sólo para aquellas en las que el parámetro es el tiempo.

DEFINICIÓN DEL VECTOR UNITARIO TANGENTE

Sea C una curva suave en un intervalo abierto I, representada por r. El vector unitario

tangente Tt en t se define como

Tt rt rt 0.

rt ,

Como se recordará, una curva es suave en un intervalo si es continua y distinta de

cero en el intervalo. Por tanto, la “suavidad” es suficiente para garantizar que una curva

tenga vector unitario tangente.

r

EJEMPLO 1

Hallar el vector unitario tangente

y

Hallar el vector unitario tangente a la curva dada por

rt ti t 2 j

cuando t 1.

4

Solución La derivada de rt es

−2

−1

3

2

1

T(1)

1 2

r(t) = ti + t 2 j

x

Por tanto, el vector unitario tangente es

Cuando

rt i 2tj.

Tt rt

rt

Tt

1

i 2tj.

1 4t2 Derivada de rt.

Definición de .

Sustituir rt.

t 1, el vector unitario tangente es

La dirección del vector unitario tangente

depende de la orientación de la curva

Figura 12.20

T1

1 i 2j

5


NOTA En el ejemplo 1, hay que observar que la dirección del vector unitario tangente depende de

la orientación de la curva. Por ejemplo, si la parábola de la figura 12.20 estuviera dada por

rt t 2i t 2 2 j,

aunque T1 también representaría el vector unitario tangente en el punto 1, 1, apuntaría en dirección

opuesta. Tratar de verificar esto.

■


La recta tangente a una curva en un punto es la recta que pasa por el punto y es paralela

al vector unitario tangente. En el ejemplo 2 se usa el vector unitario tangente para

hallar la recta tangente a una hélice en un punto.

EJEMPLO 2

Hallar la recta tangente a una curva en un punto

Hallar Tt y hallar después un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente

a la hélice dada por

rt 2 cos ti 2 sen sin tj tk

en el punto

2,2,

4 .

−3

Curva:


x

3

6

5

z

π

( 2, 2,

4)

Recta

tangente

La recta tangente a una curva en un punto

está determinada por el vector unitario

tangente en el punto

Figura 12.21

C

3

y

Solución La derivada de rt es rt 2 sen sin ti 2 cos tj k, lo que implica que

rt 4 sen sin 2 t 4 cos 2 t 1 5. Por consiguiente, el vector unitario tangente es

Tt rt

rt

Vector unitario tangente.

En el punto 2,2, 4, t 4 y el vector unitario tangente es

T

4

Usando los números directores a 2, b 2, y c 1, y el punto (x 1

, y 1

, z 1

)

se obtienen las ecuaciones paramétricas siguientes (dadas con el pará-

2,2, 4,

metro s).

1 2 sen sin ti 2 cos tj k.

5

1 5 22 2 i 22 2 j k

1 2 i 2 j k.

5

z z 1 cs

4 s

x x 1 as 2 2s

y y 1 bs 2 2s

Esta recta tangente se muestra en la figura 12.21.

En el ejemplo 2 hay una cantidad infinita de vectores que son ortogonales al vector

tangente Tt. Uno de estos vectores es el vector Tt. Esto se desprende de la propiedad

7 del teorema 12.2. Es decir,

Tt Tt Tt 2 1 Tt Tt 0.

Normalizando el vector Tt, se obtiene un vector especial llamado el vector unitario

normal principal, como se indica en la definición siguiente.

DEFINICIÓN DE VECTOR UNITARIO NORMAL PRINCIPAL

Sea C una curva suave en un intervalo abierto I representada por r. Si Tt 0,

entonces el vector unitario normal principal en t se define como

Nt Tt

Tt .


EJEMPLO 3

Hallar el vector unitario normal principal

Hallar Nt y N1 para la curva representada por

rt 3ti 2t 2 j.

Solución

Derivando, se obtiene

rt 3i 4tj

y

rt 9 16t 2

lo que implica que el vector unitario tangente es

Tt rt

rt

1

9 16t23i 4tj.


Usando el teorema 12.2, se deriva Tt con respecto a t para obtener

y

Curva:

r(t) = 3ti + 2t 2 j

C

Tt

1

9 16t 24j 16t

9 16t 2 323i 4tj

3

1 N(1) = (−4i + 3j)

5

12

9 16t 2 324ti 3j

2

Tt 12

9 16t 2

9 16t 2 3 12

9 16t 2.

1

1

2

1 T(1) = (3i + 4j)

5

El vector unitario normal principal apunta

hacia el lado cóncavo de la curva

Figura 12.22

3

x

Por tanto, el vector unitario normal principal es

Nt Tt

Tt

1

9 16t24ti 3j.

Cuando t 1, el vector unitario normal principal es

Vector unitario normal principal.

N1 1 4i 3j

5


z

C

El vector unitario normal principal puede ser difícil de evaluar algebraicamente. En curvas

planas, se puede simplificar el álgebra hallando

T

N

Tt xti ytj

y observando que Nt debe ser


x

y

N 1 t yti xtj

o

N 2 t yti xtj.

En todo punto de una curva, un vector unitario

normal es ortogonal al vector unitario

tangente. El vector unitario normal

principal apunta hacia la dirección en que

gira la curva

Figura 12.23

Como xt 2 yt 2 1, se sigue que tanto N 1 t como N 2 t son vectores unitarios

normales. El vector unitario normal principal N es el que apunta hacia el lado cóncavo de

la curva, como se muestra en la figura 12.22 (véase ejercicio 94). Esto también es válido

para curvas en el espacio. Es decir, si un objeto se mueve a lo largo de la curva C en el

espacio, el vector Tt apunta hacia la dirección en la que se mueve el objeto, mientras que

el vector Nt es ortogonal a Tt y apunta hacia la dirección en que gira el objeto, como



EJEMPLO 4

Hallar el vector unitario normal principal

Hélice:


z

Hallar el vector unitario normal principal para la hélice dada por

rt 2 cos ti 2 sin sen tj tk.

2π

Solución

De acuerdo con el ejemplo 2, se sabe que el vector unitario tangente es

3π

2

Tt

1 2 sin sen ti 2 cos tj k.

5

Así, Tt está dado por


π

Tt 1 2 cos ti 2 sen sin tj.

5

−2

−1

π

2

−1

−2

Como Tt 25, se sigue que el vector unitario normal principal es

Nt Tt

Tt

x

2

1

1

2

y

1 2 cos ti 2 sen sin tj

2

cos ti sen sin tj.

Vector unitario normal principal.

Nt es horizontal y apunta hacia el eje z

Figura 12.24

Nótese que este vector es horizontal y apunta hacia el eje z, como se muestra en la

figura 12.24.

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Ahora se vuelve al problema de describir el movimiento de un objeto a lo largo de una

curva. En la sección anterior, se vio que si un objeto se mueve con rapidez constante, los

vectores velocidad y aceleración son perpendiculares. Esto parece razonable, porque la

rapidez no sería constante si alguna aceleración actuara en dirección del movimiento. Esta

afirmación se puede verificar observando que

rt rt 0

si rt es una constante. (Ver la propiedad 7 del teorema 12.2.)

Sin embargo, si un objeto viaja con rapidez variable, los vectores velocidad y aceleración

no necesariamente son perpendiculares. Por ejemplo, se vio que en un proyectil el

vector aceleración siempre apunta hacia abajo, sin importar la dirección del movimiento.

En general, parte de la aceleración (la componente tangencial) actúa en la línea del

movimiento y otra parte (la componente normal) actúa perpendicular a la línea del movimiento.

Para determinar estas dos componentes, se pueden usar los vectores unitarios Tt

y Nt, que juegan un papel análogo a i y j cuando se representan los vectores en el plano.

El teorema siguiente establece que el vector aceleración se encuentra en el plano determinado

por Tt y Nt.

TEOREMA 12.4 VECTOR ACELERACIÓN

Si rt es el vector posición de una curva suave C y Nt existe, entonces el vector

aceleración at se encuentra en el plano determinado por Tt y Nt.


Demostración Para simplificar la notación, se escribe T en lugar de Tt, en lugar de

Tt, y así sucesivamente. Como T rr vv, se sigue que

v vT.

Por derivación, se obtiene

a v D t vT vT

D t vT vT T

D t vT v T N.

Regla del producto.

N TT

Como a se expresa mediante una combinación lineal de T y N, se sigue que a está en

el plano determinado por T y N.

T

A los coeficientes de T y de N en la demostración del teorema 12.4 se les conoce como

componentes tangencial y normal de la aceleración y se denotan por a T D t v y

a N v T. Por tanto, se puede escribir

at a T Tt a N Nt.

El teorema siguiente da algunas fórmulas útiles para

a N

y a T .

TEOREMA 12.5

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL

DE LA ACELERACIÓN

Si rt es el vector posición de una curva suave C [para la cual Nt existe], entonces

las componentes tangencial y normal de la aceleración son las siguientes.

a T D t v a T v a

a N v T a N

v

v a

v

a 2 a T

2

Nótese que a N ≥ 0. A la componente normal de la aceleración también se le llama

componente centrípeta de la aceleración.

a • T > 0

a

T

N

a • N

T

a • N

N

a

a • T < 0

Las componentes tangencial y normal de la

aceleración se obtienen proyectando a

sobre T y N.

Figura 12.25

DEMOSTRACIÓN Nótese que a se encuentra en el plano de T y N. Por tanto, se puede usar

la figura 12.25 para concluir que, en cualquier instante t, las componentes de la proyección

del vector aceleración sobre T y sobre N están dadas por a T a T, y a N a N. ,

respectivamente. Además, como a v y T vv, se tiene

a T a T

T a

v

v a

v a

v .

En los ejercicios 96 y 97 se pide demostrar las otras partes del teorema.

NOTA Las fórmulas del teorema 12.5, junto con algunas otras fórmulas de este capítulo, se resumen

en la página 877.

■


EJEMPLO 5

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración para el vector posición dado

por rt 3ti tj t 2 k.

Solución

Para empezar se halla la velocidad, la rapidez y la aceleración.

vt rt 3i j 2tk

vt 9 1 4t 2 10 4t 2

at rt 2k

De acuerdo con el teorema 12.5, la componente tangencial de la aceleración es

a T v a

v 4t

10 4t 2

y como

2

i j k

v a 3 1 2t 2i 6j

0 0

la componente normal de la aceleración es

a N

v a

v

4 36

10 4t 210

2 10 4t 2.

Componente tangencial de la aceleración.

Componente normal de la aceleración.

NOTA

En el ejemplo 5 se podría haber usado la fórmula alternativa siguiente para .

a N a 2 a T2 2 2

16t2

10 4t 210

2 10 4t 2

a N

■

a N = b

z

b

EJEMPLO 6 Hallar y para una hélice circular

a T

a N

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración para la hélice dada por

rt b cos ti b sen sin tj ctk, b > 0.

Solución

vt rt b sen sin ti b cos tj ck

vt b 2 sen sin 2 t b 2 cos 2 t c 2 b 2 c 2

at rt b cos ti b sen sin tj

De acuerdo con el teorema 12.5, la componente tangencial de la aceleración es

a T v a

v

b2 sen sin t cos t b 2 sen sin t cos t 0

0.

b 2 c 2

Componente tangencial

de la aceleración.

x

La componente normal de la aceleración es

igual al radio del cilindro alrededor del

cual la hélice gira en espiral

Figura 12.26

y

Como a b 2 cos 2 t b 2 sen sin 2 t b, se puede usar la fórmula alternativa para la componente

normal de la aceleración para obtener

a N a 2 a T2 b 2 0 2 b.

Componente normal

de la aceleración.

Nótese que la componente normal de la aceleración es igual a la magnitud de la aceleración.

En otras palabras, puesto que la rapidez es constante, la aceleración es perpendicular

a la velocidad. Ver la figura 12.26.


r(t) = (50 2t)i + (50 2t − 16t 2 )j

y

100

75

50

25

t = 0

t = 1

25 50 75

100 125

La trayectoria de un proyectil

Figura 12.27

25 2

t =

16

150

x

EJEMPLO 7

Movimiento de un proyectil

El vector posición para el proyectil mostrado en la figura 12.27 está dado por

rt 502 ti 502 t 16t 2 j.

Vector posición.

Hallar la componente tangencial de la aceleración cuando t 0, 1 y 25216.

Solución

vt 502 i 502 32tj

vt 250 2 16502t 16 2 t 2

at 32j

La componente tangencial de la aceleración es

a T t

vt at

vt

32502 32t

250 2 16502t 16 2 t 2 .

En los instantes especificados, se tiene

a T 0 32502

162 22.6

100

32502 32

a T 1

15.4

250 2 16502 16 2

a T 252 32502 502

16 0.

502

Vector velocidad.

Velocidad.


Componente tangencial

de la aceleración.

En la figura 12.27 se puede ver que, a la altura máxima, cuando t 25216, la componente

tangencial es 0. Esto es razonable porque en ese punto la dirección del movimiento

es horizontal y la componente tangencial de la aceleración es igual a la componente horizontal

de la aceleración.

12.4 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 4, dibujar el vector unitario tangente y los

vectores normales a los puntos dados.

En los ejercicios 5 a 10, hallar el vector unitario tangente a la

curva en el valor especificado del parámetro.

1. y

2.

x

y

x

5. rt t 2 i 2tj, t 1 6.

7. rt 4 cos ti 4 sen sin tj,

8. rt 6 cos ti 2 sen sin tj,

t

4

t

3

9. rt 3ti ln tj, t e

10. rt e t cos ti e t j, t 0

rt t 3 i 2t 2 j, t 1

3. y

4.

y

En los ejercicios 11 a 16, hallar el vector unitario tangente Tt y

hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente

a la curva en el espacio en el punto P.

x

x

11. rt ti t 2 j tk, P0, 0, 0

12. rt t 2 i tj 4 3 k, P1, 1, 4 3

13. rt 3 cos ti 3 sen sin tj tk, P3, 0, 0

14. rt t, t,4 t 2 , P1, 1,3

15. rt 2 cos t, 2 sen sin t, 4, P2,2, 4

16. rt 2 sen sin t, 2 cos t, 4sen

sin 2 t, P1, 3, 1



CAS En los ejercicios 17 y 18, usar un sistema algebraico por computadora

para representar la gráfica de la curva en el espacio.

CAS Después hallar Tt y un use conjunto a computer de ecuaciones algebra paramétricas system to graph de

la the recta space tangente curve. Then a la find curva T ten and el find espacio a set en of el parametric punto P.

Representar equations for la the gráfica line de tangent la recta to tangente. the space curve at point P.

17. Graph rt the t, tangent t 2 , 2t 3 3, line. P3, 9, 18

18. 17. rt r t 3 t, cos t 2 , ti 2t 3 3, 4 sin sen

Ptj 3, 9, 1 2 18 tk, P0, 4, 4

1

18. r t 3 cos ti 4 sin tj

Aproximación lineal En los ejercicios 2 tk, P 0, 4, 4

19 y 20, hallar un conjunto

Linear

de

Approximation

ecuaciones paramétricas

In Exercises

para

19

la recta

and

tangente

20, find a

la

set

gráfica

of

parametric

en t t

equations 0 y utilizar

for

las

the

ecuaciones

tangent line

de

to

la

the

recta

graph

para

at t

aproximar

rt 0 0.1.

0 t

and use the equations for the line to approximate r t 0 0.1 .

19. rt t, ln t,t, t 0 1

19. r t t,

20. rt e t ln t, t , t

, 2 cos t, 2 sin 0 1

sen t, t 0 0

20. r t e t , 2 cos t, 2 sin t , t 0 0

En los ejercicios 21 y 22, verificar que las curvas en el espacio se

In Exercises 21 and 22, verify that the space curves intersect at

cortan en los valores dados de los parámetros. Hallar el ángulo

the given values of the parameters. Find the angle between the

entre los vectores tangentes a las curvas en el punto de intersección.

21. rt r t tt 2, 2, t 2 t 2 ,, 11 22 t, t , tt tangent vectors to the curves at the point of intersection.

4

1

us u s 1 44s, 2s, s,

33 s , ss 8

22. rt r t t, t, cos t, t, sen sin t, t , tt 0

1

us u s 1 22 sen sin2 ss sen sin s, s, 1 1 22 sen sin2 ss sen

sin s, s,

11

22 sin ss cos ss 1 1

sen

22 s, s , ss 0

En In Exercises los ejercicios 23–30, find a 30, the encontrar principal el unit vector normal unitario vector normal to the

principal curve at the a la specified curva en value el valor of the especificado parameter. del parámetro.

rt ti 1 1

23. r t ti 22t t22 j, j, tt 2

rt ti 6

24. r t ti

tt j, tt 25. rt r t ln ln ti ti tt 1j, 1 j, tt 2

26.

rtt cos ti ti sen tj, tj, tt

6

27. rt r t ti ti t 2 t 2 jj ln ln tk, tt 1

28. rt r t 2ti 2ti e t j j e t k, k, tt 0

29. rt r t 6 cos ti ti 6 sin sen tj k, t 3 3

tj k, t

44

30.

r t cos 3ti 2 sen 3tj k, t

In Exercises 31–34, find v t , a t , T t , and N t (if it exists) for

En los ejercicios 31 a 34, hallar vt, at, Tt y Nt (si existe)

an object moving along the path given by the vector-valued

para un objeto que se mueve a lo largo de la trayectoria dada por

function r t . Use the results to determine the form of the path.

la función vectorial rt. Usar los resultados para determinar la

Is the speed of the object constant or changing?

forma de la trayectoria. ¿Es constante la rapidez del objeto o

cambiante? 31. r t 4ti

32. r t 4ti 2tj

31. 33. rt r t 4ti

i

32. 34. rt r t 4ti t 2 j 2tj k

33. rt 4t 2 i

34. rt t 2 j k

In Exercises 35– 44, find T t , N t , a T , and a N at the given time

En t for los the ejercicios plane curve 35 a r44, t . hallar Tt, Nt, a T , y a N para la curva

plana t en el instante rt.

1

35. r t ti

35. rt ti 1 t 1 36. r t t 2 i 2t j, t 1

t j, t 1 36. rt t 2 i 2tj, t 1

37. r t t t j,

i 2t 2 j, t 1

37. 38. rt r t tt t 3 i 4ti 2t 2 j, t 2 t 1 j, 1 t 0

38. 39. rt r t te 3 i 4ti e 2t j,

t 2 t 1j, 0 t 0

1

39. rt e t i e 2t j, t 0

40. rt e t i e t j tk, t 0

40. r t e t i e t j tk, t 0

41. rt e t cos ti e t sen sin tj, t

41. r t e t cos ti e t sin tj, t

2

42. rt a cos ti b sen sin tj, t

2

0

43.

42. rt r t

a

cos

cos

t

ti

t

b

sin sen

sin

t,

tj,

sin sen t

t

0

t cos t, t t 0

44.

43. rt r t

t

cos

t

sen sin t,

t sin

1 cos

t, sin

t,

t

t

t cos

t

t , t t 0

0

44. r t t sin t, 1 cos t , t t 0

Movimiento circular En los ejercicios 45 a 48, considerar un

Circular Motion In Exercises 45–48, consider an object

objeto que se mueve según la función de posición

moving according to the position function

rt cos t sen sin t j.

r t a cos t i a sin t j.

45. Hallar Tt, Nt, a T , y a N .

45. Find T t , N t , a T , and a N .

46. Determinar las direcciones de T y N en relación con la función

46. Determine the directions of T and N relative to the position

de posición r.

function r.

47. Determinar la rapidez del objeto en cualquier instante t y

47. Determine the speed of the object at any time t and explain its

explicar su valor en relación con el valor de a T .

value relative to the value of a T .

48. Si la velocidad angular se reduce a la mitad, ¿en qué factor

48. If the angular velocity is halved, by what factor is a

cambia a N ?

N

changed?

En In Exercises los ejercicios 49–54, sketch a 54, dibujar the graph la gráfica of the plane de la curve curva given plana

dada by the por vector-valued la función vectorial, function, y, and, en el punto at the sobre point la on curva the curve determinada

determined por by rt 0 r,

tdibujar los vectores y N. Observar que 0 , sketch the vectors T and N. Note that N

apunta points toward hacia el the lado concave cóncavo side de of la the curva. curve.

Función

Function

Instante

Time

49. rt ti 1

49. r t ti

t j

50.

50.

rt

r t

t 3 i

tj

tj

t 0 2

t 0 1

51.

r(t) 4ti 4ti 4t 4t j

1

t 0

4

52.

r t) t) 2t 2t 1)i 1)i t 2 j

t 0 2

53. rtr t 2 cos ti 2 sen

sin tj

54. rtr t 3 cos ti 2 sen

sin tj

t 0

4

t 0

En In Exercises los ejercicios 55– 62, 55 a find 62, Thallar t , N Tt, t , a T Nt, , and a TN

yat a N

the en given el instante time

dado t for the t para space la curva curve respacial t . [ Hint: rt. Find [ Sugerencia: a t , T t , aHallar T , and at, a N . Solve T(t) y

afor

N . NResolver in the equation para N en a tla ecuación a T T at a N N.] a T T a N N.]

Función Function

Instante Time

55. rtr t ti 2tj 3tk

t 1

56. rtr t 4ti 4tj 2tk

t 2

57. r t) cos ti sen tj 2tk

t

3

58. r t)

59. r t

3ti

ti

tj

t 2 j

t 2 k

t 1

t 2 t 1

2 k

60. r t) 2t 1 i t 2 j 4tk

t 2

61. r t e t sen ti e t cos tj e t k t 0

62. r t) e t i 2tj e t k

t 0

t 0

SECCIÓN 12.4 Tangent Vectores Vectors tangentes and y vectores Normal normales Vectors 12.4 Tangent Vectors and Normal Vectors 867

867

12.4 Tangent Vectors and Normal Vectors 867

CAS CASEn In los Exercises ejercicios 63–66, y use 66, a usar computer un sistema algebra algebraico system to por graph computadora

y representar gráficamente la curva espacial. Entonces gura muestra una partícula que sigue la trayectoria dada por

the

72. Movimiento Motion 12.4 Along Tangent a lo largo Involute Vectors de una and of involuta a Normal Circlede Vectors un The círculo figure shows 867 La fi-

CAS In Exercises 63–66, use a computer algebra system to graph the 72. Motion Along an Involute of a Circle The figure shows

CAS

space In space Exercises curve.

curve. Then 63–66, Then find use T

Ta t computer t , N t , a

, N t , a T

hallar Tt, Nt, a T y a en el instante T , algebra , and a

and a N system at the

at the given to given graph time

time the

t.

t. 72. a Motion a particle

particle Along moving

moving an Involute along

along of a a Circle a path

path The modeled

modeled figure shows

by

dado N

by

t. Dibujar Tt y Nt

Sketch space Sketch curve. T t and

T t and Then N

N tfind t on

on N

the T the t space ,

space N t ,

curve. a curve. T ,

and a N

at the given time

t.

ra r t

t particle cos t

cos t moving t sen

t sen t, along t, sen t

sen a path t t cos

cos t modeled t . The figure

. The figure by

CAS en In Sketch Exercises la curva T t

en and 63–66, el N espacio. t

use on a the computer space curve.

algebra system to graph the 72. Motion

also rLa also t figura shows

shows cos Along muestra the

the t an vectors también Involute

vectors t sen v t

v t and t, los and sen of vectores a t

a t t Circle for t

for t vt t cos The 1y and

1 and at t figure

t.

tThe para 2. shows

2. tfigure

1 y

space Function

Función Function curve. Then find T t , N t , a T , and a at

Instante Time the Time

N given time t. a also t particle 2. shows the moving vectors y v t

along and a t

a for t path 1

and

modeled t 2.

by

y

Sketch Function

T t and N t on the space curve. Time

r t cos t t sen t, sen t t cos t . The figure

63. r t 4ti 3 cos tj 3 sen tk t

y

63. r t 4ti 3 cos tj 3 sen tk t 2

also shows the vectors v t and a t for t 1 and t 2.

63.

Function r t 4ti 3 cos tj 3 sen tk

Time t

2

t

y

64. r t 2 cos t i 1 sen t j t

64.

2 cos t i 1 sen t j

t = 1

3 k t

t = 1

63. r t 4ti 3 cos tj 3 sen tk 3 k 2

t

t

64.

r t 2 cos t i 1 sen t j

2

t x

65.

ti 3t 2 j

2 t x

65. r t ti 3t

64.

2 j

2 2

2 k

t

r t 2 cos t i 1 sen t j t

t = 1

3 k t 2

k

t

t = 1

3 k t 66.

t

66. r t t 2 t

i 2 i j 2tk

x

65. r t ti 3t 2 j

2 t 2

j 2tk

2 k

t 1

t t 1

x

65.

t ti 3t 2 j

2 t 2

t = 2

2 k

t = 2

66.

r t t 2 i j 2tk

t 1

WRITING

WRITING

ABOUT

ABOUT

CONCEPTS

CONCEPTS

t = 2

66. Desarrollo WRITING 67.

r t

Define

t 2 i

the ABOUT j de unit

2tkconceptos

tangent CONCEPTS

vector, the principal

t 1

unit normal

67. Define the unit tangent vector, the principal unit normal

(a) Find a

(a) Find a T and a

and a

t N = at

at

2 t 1 and t 2.

N t 1 and t 2.

67.

67. T

Definir vector, Define vector,

el and the and

vector

unit the

the unitario tangential

tangential tangente,

vector, and

and the normal

normal el vector

principal components

components unitario

unit normal

of


normal of

(a) (b) Hallar Find Determine a a T y a N en t y t 2.

acceleration.

(b) Determine T

and whether a whether N

at t the 1

speed and

t of the 2.

particle is increasing or

the speed of the particle is increasing or

principal, acceleration. vector, and y las

the componentes

tangential tangencial

and normal y normal

components de la aceleración.

of

67. Define the unit tangent vector, the principal unit normal

Determinar decreasing

decreasing at si at each

each la rapidez of the indicated

of the indicated de la partícula values

values of aumenta of t. Give

t. Give reasons o reasons disminuye

for decreasing for your T

68. (b) Determine whether the speed of the particle is increasing or

68.

acceleration. How is the unit tangent vector related to the orientation of (a) Find a and a at t 1 and t 2.

vector, How is the and unit the tangent tangential vector and related normal to the components orientation of

your en cada answers.

answers. at N

uno each de of los the valores indicated indicados values of de t.

t. Give Dar reasons

razones

68.

68. ¿Cuál a How a curve?

acceleration. curve? is es

the Explain.

Explain.

unit relación

tangent entre

vector el vector

related unitario

to the orientation tangente y

of

la (b)

para

Determine for your las respuestas. answers.

whether the speed of the particle is increasing or

69.

69. orientación

a (a) curve? Describe Explain.

(a) Describe de the

the una motion

motion curva? of

of a Explicar. a particle if the normal component In Exercises

68. How is the unit tangent vector particle related if the to normal the orientation component of

In Exercises

decreasing 73–78,

73–78,

at each find

find

of the

the vectors

indicated vectors T

T

values and

and N,

of N, t. and

and

Give the

the

reasons unit

unit

69.

69. a)

(a) a curve? Describir of Describe of acceleration

acceleration Explain.

the movimiento

motion is 0.

is 0. of a particle de una

if partícula

the normal si

component

la componente

binormal En In binormal Exercises los ejercicios for vector

vector

your 73–78, answers.

B B

a 78, T find T

hallar

N,

N, the for

for vectors los the

the vectores

vector-valued

vector-valued T and T y N, y and function el

function

vector the unit

runi-

tario binormal at the

r t

t

(b) of Describe acceleration normal the de motion la

is 0.

aceleración of a particle es 0. if the tangential at the binormal

given

given vector

value

value BB

of

of T

t.

t. T N, N,

de for la función the vector-valued vectorial rt function

en el valor r t

69. (b) (a) Describe the the motion motion of a of particle a particle if the normal if the component tangential In Exercises 73–78, find the vectors T and N, and the unit

dado de t.

b) Describir of component component of

acceleration of movimiento acceleration acceleration is 0. de is is

una 0.

0.

at the given value of

t.

(b) Describe the motion of a particle

partícula

if the

si la

tangential

componente

tangencial de la aceleración es 0.

73. 74. r t ti t 2 j

3 r t vector

2 cos ti B 2 T sen N,

tj for tthe (b) Describe the motion of a particle if the tangential

2 k

vector-valued function r

binormal 73. t

at the r given t 2 value cos ti of t.

2 sen tj t

t

74. r t ti t 2 j

3 rt 3 t3k

t

component of acceleration is 0.

2 k

k

73. r t 2 cos ti 2 sen tj t

t

74. r t ti t 2 j

3

2 k

3 k

component of acceleration is 0.

CAPSTONE

CAPSTONE

73. r t

t 0 74. rt 0 t 1

t

ti t t

cos ti 2 sen tj t

2 2 j

3 0

2 k t 0 1

2

CAPSTONE

70. An object moves along the path given by

t 3 k

Para 70. An discusión

0 t object moves along the path given by

z

0 1

2 z

z

z

70. An object moves along the path given by

CAPSTONE r t 3ti 4tj.

t z

t z

70. Un r t objeto 3ti se 4tj. mueve a lo largo de la trayectoria dada por

0 0 1

4 2 4

70. An r t object 3ti moves 4tj.

1

along the path given by

1

Find v t , a t , T t , and N t (if it exists). What is the form

4

3z

Find r(t) v 3ti t , a t 4tj. , T t , and N t (if it exists). What is the form

3

z

1

rof Find of t the

the v path? 3ti path? t ,

a Is t 4tj. Is ,

the T the t speed

speed ,

and of N of

the t

the (if object

object it exists). constant

constant What or

or is changing?

changing? the form

3

4

1

y

Encontrar of the path? v(t), Is the a(t) speed T(t) y of N(t) the (si object existe). constant ¿Cuál or es changing?

la forma

1 1

2 y

2

Find 3

de la vtrayectoria? t , a t , T t ¿Es , and constante N t (if it o exists). variable What la velocidad is the form del

2 1

y

2

2

71. Cycloidal

of objeto? the path?

Motion

Is the speed

The

of

figure

the object

shows

constant

the path

or changing?

of a particle 3

y

71. Cycloidal Motion The figure shows the path of a particle x3

3 y

2

x

3

x

y

−1

x

1

2

modeled by the vector-valued function

−1


71. Cycloidal Motion The figure shows the path of a particle 3

x

3 y

x

−1

2


71. Movimiento rCycloidal r t

t tMotion t sen

cicloidal sen The

t, 1

t, 1La figure

cos

figura cos shows

t .

t muestra . the la path trayectoria of a particle

Figure

de una Figure 3 for 73

x for 73 3 y

Figure for 74

Figure x for 74

partícula modeled r t

representada by t the sen vector-valued t, por 1 la cos función function t .

vectorial

Figura Figure for para −1 73 73 Figura Figure for para 74

74

The figure also shows the vectors v t v t and a t a t at

The figure also shows the vectors v t v t and a t a t at 75. r t i sen tj cos tk, t

75. r t i sen tj cos tk, t 0

rthe 0 The t indicated

indicated figure t also values sen values shows of t, of 1 t.

t. the vectors cos t v . t

v t

and a t

a t

at

Figure for 73 Figure 4

75.

r t i sen tj cos tk,

t 4 for 74

y

76. r t 2e

La The y figura figure muestra also shows también the vectors los vectores v t vtvt v t and ay

t atat a t at 76. r t 2e t i t i e

e t t cos tj e

cos tj e t t 0

the indicated values of t.

sen tk, 4

t

sen tk, t 0 0

0 0

y

75. 76.

r tt i2e sen tj cos tk, t

en the los indicated valores values indicados of de t.

t i e t cos tj e t sen 0 tk,

t t.

77. r t 4 sen ti 4 cos tj 2tk, 4 0 0

t

77.

4 sen ti 4 cos tj 2tk, t 0

0 3

y y

76. 77.

r tt 2e 4 t sen i ti e t cos 4 tj cos tj e t sen 2tk,

t t 0 3 0

1

0 t = 1

3

t = 2 t = 1

2 t = 1

78. r t 3 cos 2ti 3 sen 2tj tk, t 1

t =

78. 77. r t 43 sen cos 2ti 43 cos sen tj2tj 2tk, tk, t 0

t 0

2

t = 1

3

0 4

t = 3

4

t = 2

78. r t 3 cos 2ti 3 sen 2tj tk, t 0 3

1 1

2

t = t =

3

4

t =

2 t 2 = 1t = 1 2

79. Projectile Motion Find the tangential and normal components

of acceleration for a projectile fired 4 at an angle with the

x

79. 78.

3

rProjectile Movimiento t 3 cos Motion 2ti de un 3 proyectil

Find sen 2tj the tangential tk, Hallar t las

and

componentes

normal components

Projectile cial y

x

0 tangen-

3t =

t =

79.

2

of

normal

acceleration Motion de la aceleración

for Find a projectile the tangential de un

fired

proyectil

at and an angle normal disparado

with compo-

x

con

the

2

horizontal at an initial speed of v What are the components un

horizontal nents of acceleration ángulo con

at an

la horizontal

initial for speed a projectile y con

of v

rapidez 0 . 0 .

What fired at inicial

are an the angle v

components with the

0 . ¿Cuáles son

x

79. Projectile Motion Find the tangential and normal components

of acceleration for a projectile fired at en an su angle altura máxima? with the

x

when the projectile is at its maximum height?

when horizontal las componentes

the projectile at an initial cuando

is at speed its

el

maximum of

v 0 .

What proyectil está

height? are the components

1

3

(a) Find a and a at t 1 t 1, and t

80. when Projectile the projectile Motion is Use at its your maximum results from height?

Exercise 79 to find

3

(a) Find a T

and a N

at t 2,

t 1, and t 2.

80. Projectile

Movimiento

Motion

de un proyectil

Use your results

Utilizar

from

los resultados

Exercise 79

del

to

ejercicio

find

T N 2,

2.

horizontal

the tangential

at an

and

initial

normal

speed

components

of v 0 . What

of

are

acceleration

the components

1

3

for a

(a) (b) Find Determine a whether the speed of the particle is increasing or when the (b) Determine whether the speed of the particle is increasing or

tangential 79 the para projectile hallar

and is normal las at componentes its maximum components tangencial height? of acceleration y normal

for and at and

80. Projectile Motion Use your results from Exercise 79 to find

T a N t 2, t 1, t 2.

de

a

projectile fired at an angle of 45 with the horizontal at an la

decreasing Hallar decreasing y a at each

en t of 1 t 1 y t 3 aceleración de un proyectil disparado con un ángulo de 45° con

N 2 , the

2 .

projectile the tangential fired and at an normal angle components of 45 with of the acceleration horizontal at for ana

(b) Determine

(a) Find and at whether each at of the the 1 speed indicated values

indicated of the and values particle 3 of t. Give reasons

a a t t 1, t of t. is Give increasing reasons or

80. Projectile initial speed Motion of 150 Use feet your per second. results from What Exercise are the components 79 to find

for your T answers. N 2,

2.

initial projectile la horizontal

speed fired of

con

150 at an rapidez

feet angle per second. of

45

inicial de

What with the 150

are

pies

the horizontal por

components at an

segundo.

En for decreasing cada your uno answers. at each of the indicated values of t.

Give reasons

the tangential and normal components of acceleration for a

(b) Determine whether de los the valores speed indicados of the particle de t, determinar is increasing si or la when the projectile is at its maximum height?

when initial ¿Cuáles

the speed son

projectile of 150 las componentes

is feet at its per maximum second. What cuando

height? are the components

for your answers.

projectile fired at an angle of 45 with el the proyectil horizontal está at en ansu

rapidez decreasing la at each partícula of the aumenta indicated o values disminuye. of t. Give Dar reasons razones when the projectile is at its maximum height?

initial altura speed máxima? of 150 feet per second. What are the components

para for your las respuestas. answers.

when the projectile is at its maximum height?


81. Movimiento de un proyectil Un proyectil se lanza con velocidad

inicial de 120 pies por segundo desde 5 pies de altura y con

un ángulo de 30° con la horizontal.

a) Determinar la función vectorial de la trayectoria del proyectil.

b) Usar una herramienta de graficación para representar la

trayectoria y aproximar la altura máxima y el alcance del

proyectil.

c) Hallar vt, vt, y

d) Usar una herramienta de graficación para completar la tabla.

t 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Velocidad

e) Usar una herramienta de graficación para representar las funciones

escalares y a N . ¿Cómo cambia la velocidad del

proyectil cuando a T y tienen signos opuestos?

a T

at.

a N

82. Movimiento de un proyectil Un proyectil se lanza con velocidad

inicial de 220 pies por segundo desde una altura de 4 pies y

con un ángulo de 45° con la horizontal.

a) Determinar la función vectorial de la trayectoria del proyectil.

b) Usar una herramienta de graficación para representar la trayectoria

y aproximar la altura máxima y el alcance del proyectil.

c) Hallar vt, vt, y at.

d) Usar una herramienta de graficación para completar la tabla.

t 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Velocidad

83. Control del tráfico aéreo Debido a una tormenta, los controladores

aéreos en tierra indican a un piloto que vuela a una altitud

de 4 millas que efectúe un giro de 90° y ascienda a una

altitud de 4.2 millas. El modelo de la trayectoria del avión

durante esta maniobra es

rt 10 cos 10t, 10 sen sin 10t, 4 4t,

donde t es el tiempo en horas y r es la distancia en millas.

a) Determinar la rapidez del avión.

84. Movimiento de un proyectil Un avión volando a una altitud de

36 000 pies con rapidez de 600 millas por hora deja caer una

bomba. Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración

que actúan sobre la bomba.

85. Aceleración centrípeta Un objeto, atado al extremo de una

cuerda, gira con rapidez constante, de acuerdo con la función de

posición dada en los ejercicios 45 a 48.

0 ≤ t ≤ 1 20

CAS b) Usar un sistema algebraico por computadora y calcular a T

y a N . ¿Por qué una de éstas es igual a 0?

a) Si la velocidad angular se duplica, ¿cómo se modifica la

componente centrípeta de la aceleración?

b) Si la velocidad angular no se modifica pero la longitud de la

cuerda se reduce a la mitad, ¿cómo cambia la componente

centrípeta de la aceleración?

86. Fuerza centrípeta Un objeto de masa m se mueve con rapidez

constante v siguiendo una trayectoria circular de radio r. La

fuerza requerida para producir la componente centrípeta de la

aceleración se llama fuerza centrípeta y está dada por

F mv 2 r. La ley de Newton de la gravitación universal

establece que F GMmd 2 , donde d es la distancia entre los

centros de los dos cuerpos de masas M y m, y G es una constante

gravitatoria. Usar esta ley para mostrar que la rapidez

requerida para el movimiento circular es v GMr.

Velocidad orbital En los ejercicios 87 a 90, usar el resultado del

ejercicio 86 para hallar la rapidez necesaria para la órbita

circular dada alrededor de la Tierra. Tomar GM 9.56 10 4

millas cúbicas por segundo al cuadrado, y suponer que el radio

de la Tierra es 4 000 millas.

87. La órbita de un transbordador espacial que viaja a 115 millas

sobre la superficie de la Tierra.

88. La órbita de un transbordador espacial que viaja a 245 millas

sobre la superficie de la Tierra.

89. La órbita de un satélite de detección térmica que viaja a 385

millas sobre la superficie de la Tierra.

90. La órbita de un satélite de comunicación que está en órbita

geosíncrona a r millas sobre la superficie de la Tierra. [El satélite

realiza una órbita por día sideral (aproximadamente 23 horas, 56

minutos) y, por consiguiente, parece permanecer estacionario

sobre un punto en la Tierra.]



dar un ejemplo que muestre que es falsa.

91. Si el indicador de velocidad de un automóvil es constante,

entonces el automóvil no puede estar acelerando.

92. Si a N 0 en un objeto en movimiento, entonces el objeto se

mueve en una línea recta.

93. Una partícula sigue una trayectoria dada por r(t) cosh(bt)i

senh(bt)j donde b es una constante positiva.

a) Mostrar que la trayectoria de la partícula es una hipérbola.

b) Mostrar que at b 2 rt.

94. Mostrar que el vector unitario normal principal N apunta hacia

el lado cóncavo de una curva plana.

95. Mostrar que en un objeto que se mueve en línea recta el vector

Tt es 0.

v a

96. Mostrar que a N .

v

97. Mostrar que a N a 2 a T2 .


98. Una partícula de masa unitaria se mueve en línea recta bajo la

acción de una fuerza que es función fv de la velocidad v de la

partícula, pero no se conoce la forma de esta función. Se observa

el movimiento y se encuentra que la distancia x recorrida en

el tiempo t está relacionada con t por medio de la fórmula

x at bt 2 ct 3 , donde a, b y c tienen valores numéricos

determinados por la observación del movimiento. Hallar la función

fv para el rango de v cubierto en el experimento.



SECCIÓN 12.5 Longitud de arco y curvatura 869

12.5 Longitud de arco y curvatura

■

■

■

■

Calcular la longitud de arco de una curva en el espacio.

Utilizar el parámetro de longitud de arco para describir una curva plana o curva en el

espacio.

Calcular la curvatura de una curva en un punto en la curva.

Utilizar una función vectorial para calcular la fuerza de rozamiento.

EXPLORACIÓN

Fórmula para la longitud de arco

La fórmula para la longitud de arco

de una curva en el espacio está dada

en términos de las ecuaciones

paramétricas que se usan para representar

la curva. ¿Significa esto

que la longitud de arco de la curva

depende del parámetro que se use?

¿Sería deseable que fuera así?

Explicar el razonamiento.

Ésta es una representación

paramétrica diferente de la curva

del ejemplo 1.

rt t 2 i 4 3 t3 j 1 2 t4 k

Hallar la longitud de arco desde

t 0 hasta t 2 y comparar el

resultado con el encontrado en el

ejemplo 1.

Longitud de arco

En la sección 10.3 se vio que la longitud de arco de una curva plana suave C dada por las

ecuaciones paramétricas x xt y y yt, a ≤ t ≤ b, es

b

s xt 2 yt 2 dt.

a

En forma vectorial, donde C está dada por rt xti ytj, se puede expresar esta

ecuación de la longitud de arco como

b

s rt dt.

a

La fórmula para la longitud de arco de una curva plana tiene una extensión natural a una

curva suave en el espacio, como se establece en el teorema siguiente.

TEOREMA 12.6

LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA EN EL ESPACIO

Si C es una curva suave dada por rt xti ytj ztk, en un intervalo

a, b, entonces la longitud de arco de C en el intervalo es

b

s a

xt 2 yt 2 zt 2 dt b

rt dt.

a

EJEMPLO 1

Hallar la longitud de arco de una curva en el espacio

x

2

1

2

z

1

t = 0

−1

4

r(t) = ti + t 3/2 1

3

j +

2

t 2 k

C

t = 2

A medida que t crece de 0 a 2, el vector

rt traza una curva

Figura 12.28

3

4

y

Hallar la longitud de arco de la curva dada por

rt t i 4 3 t 32 j 1 2 t 2 k

desde t 0 hasta t 2, como se muestra en la figura 12.28.

Solución Utilizando xt t,yt 4 y zt 1 3 t 32 ,

2 t 2 , se obtiene xt 1, y¢(t) = 2t 1/2

y zt t. Por tanto, la longitud de arco desde t 0 hasta t 2 está dada por

2

s 0

2

0

2

0

t 2

2

xt 2 yt 2 zt 2 dt

1 4 t t 2 dt

t 2 2 3 dt

Fórmula para longitud de arco.

Tablas de integración (apéndice B), fórmula 26.

t 2 2 3 3 2 ln t 2 t 2 2 3 2 0

213 3 2 ln4 13 1 3 2 ln 3

4.816.


Curva:

r(t) = b cos ti + b sen tj +

z

t = 2π

1 − b 2 tk

EJEMPLO 2 Hallar la longitud de arco de una hélice

Hallar la longitud de un giro de la hélice dada por

rt b cos ti b sen sin tj 1 b 2 t k


Solución

Se comienza hallando la derivada.

t = 0

x

b

Un giro de la hélice

Figura 12.29

C

b

y

rt b sin sen ti b cos tj 1 b 2 k Derivada.

Ahora, usando la fórmula para la longitud de arco, se puede encontrar la longitud de un

giro de la hélice integrando rt desde 0 hasta 2.

s 0

0

0

2

2

2

t

2

0

rt dt

dt

2.

Por tanto, la longitud es

b 2 sin sen 2 t cos 2 t 1 b 2 dt

2

unidades.

Fórmula para la longitud de arco.

s(t) =

∫ t

a

[x′(u)] 2 + [y′(u)] 2 + [z′(u)] 2 du

z

Parámetro longitud de arco

Se ha visto que las curvas pueden representarse por medio de funciones vectoriales de

maneras diferentes, dependiendo del parámetro que se elija. Para el movimiento a lo largo

de una curva, el parámetro adecuado es el tiempo t. Sin embargo, cuando se desean estudiar

las propiedades geométricas de una curva, el parámetro adecuado es a menudo la longitud

de arco s.

t = a

C

t

t = b

y

DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LONGITUD DE ARCO

Sea C una curva suave dada por rt definida en el intervalo cerrado a, b. Para

a ≤ t ≤ b, la función longitud de arco está dada por

t

t

st ru du xu 2 yu 2 zu 2 du.

a

a

x

A la longitud de arco s se le llama parámetro longitud de arco. (Ver la figura 12.30.)

Figura 12.30

NOTA La función de longitud de arco s es no negativa. Mide la distancia sobre C desde el punto

inicial xa, ya, za hasta el punto xt, yt, zt.

■

Usando la definición de la función longitud de arco y el segundo teorema fundamental

de cálculo, se concluye que

ds

dt rt.

Derivada de la función longitud de arco.

En la forma diferencial, se escribe

ds rt dt.


EJEMPLO 3

Hallar la función longitud de arco para una recta

4

3

2

1

y

1

r(t) = (3 − 3t)i + 4tj

2

0 ≤ t ≤ 1

El segmento de recta desde (3, 0) hasta

(0, 4) puede parametrizarse usando el

parámetro longitud de arco s.

Figura 12.31

3

x

Hallar la función longitud de arco st para el segmento de recta dado por

rt 3 3ti 4t j,

y expresar r como función del parámetro s. (Ver la figura 12.31.)

Solución Como rt 3i 4j y

rt 3 2 4 2 5

se tiene

t

st ru du

0

t

0

5t.

5 du

0 ≤ t ≤ 1

Usando s 5t (o t s5), se puede reescribir r utilizando el parámetro longitud de arco

como sigue.

rs 3 3 5 si 4 5 s j,

0 ≤ s ≤ 5.

Una de las ventajas de escribir una función vectorial en términos del parámetro longitud

de arco es que rs 1. De este modo, en el ejemplo 3, se tiene

rs 3 5 2

4

5 2 1.

Así, dada una curva suave C representada por r(s, donde s es el parámetro longitud de

arco, la longitud de arco entre a y b es

b

Longitud Length de of arco

rs ds

a

a

b

ds

b a

longitud length of del interval. intervalo.

Además, si t es cualquier parámetro tal que rt 1, entonces t debe ser el parámetro

longitud de arco. Estos resultados se resumen en el teorema siguiente que se presenta sin

demostración.

TEOREMA 12.7 PARÁMETRO LONGITUD DE ARCO

Si C es una curva suave dada por

rs xsi ysj o rs xsi ysj zsk

donde s es el parámetro longitud de arco, entonces

rs 1.

Si t es cualquier parámetro para la función vectorial r tal que rt 1, entonces t

debe ser el parámetro longitud de arco.


y

P

Q

C

x

Curvatura

Un uso importante del parámetro longitud de arco es hallar la curvatura, la medida de

cuán agudamente se dobla una curva. Por ejemplo, en la figura 12.32 la curva se dobla más

agudamente en P que en Q, y se dice que la curvatura es mayor en P que en Q. Se puede

hallar la curvatura calculando la magnitud de la tasa o ritmo de cambio del vector unitario

tangente T con respecto a la longitud de arco s, como se muestra en la figura 12.33.

La curvatura en P es mayor que en Q.

Figura 12.32

y

T 1

T 2

T 3

P

La magnitud de la tasa o del ritmo de cambio

de T respecto a la longitud de arco es la

curvatura de una curva

Figura 12.33

Q

C

x

DEFINICIÓN DE CURVATURA

Sea C una curva suave (en el plano o en el espacio) dada por rs, donde s es el

parámetro longitud de arco. La curvatura K en s está dada por

Un círculo tiene la misma curvatura en todos sus puntos. La curvatura y el radio del

círculo están relacionados inversamente. Es decir, un círculo con un radio grande tiene una

curvatura pequeña, y un círculo con un radio pequeño tiene una curvatura grande. Esta

relación inversa se explica en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 4

K

d T

ds Ts.

Hallar la curvatura de un círculo

y

r

T

θ

(x, y)

s

K =

1

r

(r, 0)

La curvatura de un círculo es constante

Figura 12.34

x

Mostrar que la curvatura de un círculo de radio r es K 1r.

Solución Sin pérdida de generalidad, se puede considerar que el círculo está centrado en

el origen. Sea x, y cualquier punto en el círculo y sea s la longitud de arco desde r, 0

hasta x, y, como se muestra en la figura 12.34. Denotando por el ángulo central del

círculo, puede representarse el círculo por

r r cos i r sen sin j.

es el parámetro.

Usando la fórmula para la longitud de un arco circular s r, se puede reescribir r en

términos del parámetro longitud de arco como sigue.

rs r cos s La longitud de arco s es el parámetro.

r i r sen sin s r j

Así, rs sin sen

s de donde se sigue que rs 1, lo que implica que el

r i cos s r j,

vector unitario tangente es

Ts rs

rs sin sen

s r i cos s r j

y la curvatura está dada por

K Ts 1 r cos s r i 1 sen

r sin s r j 1 r

en todo punto del círculo.

NOTA Puesto que una recta no se curva, se esperaría que su curvatura fuera 0. Tratar de comprobar

esto hallando la curvatura de la recta dada por

rs 3 3 5 s i 4 5 sj.

■


T(t)

∆s

T(t)

∆T

T(t + ∆t)

En el ejemplo 4, la curvatura se encontró aplicando directamente la definición. Esto

requiere que la curva se exprese en términos del parámetro longitud de arco s. El teorema

siguiente da otras dos fórmulas para encontrar la curvatura de una curva expresada en términos

de un parámetro arbitrario t. La demostración de este teorema se deja como ejercicio

[ver ejercicio 100, incisos a) y b)].

C

TEOREMA 12.8

FÓRMULAS PARA LA CURVATURA

Si C es una curva suave dada por rt, entonces la curvatura K de C en t está dada

por

K Tt

rt rt r t

rt 3 .

∆s

T(t)

T(t)

Como rt dsdt, la primera fórmula implica que la curvatura es el cociente de

la tasa o ritmo de cambio del vector tangente T entre la tasa o ritmo de cambio de la longitud

de arco. Para ver que esto es razonable, sea t un número “pequeño”. Entonces,

C

T(t + ∆t)

∆T

Tt Tt t Ttt Tt t Tt

dsdt st t stt st t st T

s .

En otras palabras, para un s dado, cuanto mayor sea la longitud de T, la curva se dobla

más en t, como se muestra en la figura 12.35.

Figura 12.35

EJEMPLO 5

Hallar la curvatura de una curva en el espacio

Hallar la curvatura de la curva definida por rt 2t i t 2 j 1 3 t 3 k.

Solución No se sabe a simple vista si este parámetro representa la longitud de arco, así

es que hay que usar la fórmula K Ttrt.

rt 2i 2t j t 2 k

rt 4 4t 2 t 4 t 2 2

Tt rt

rt 2i 2t j t 2 k

t 2 2

Tt t 2 22j 2tk 2t2i 2t j t 2 k

t 2 2 2

4t i 4 2t 2 j 4tk

t 2 2 2

Tt 16t 2 16 16t 2 4t 4 16t 2

t 2 2 2

2t 2 2

t 2 2 2

Longitud de rt.

2

Longitud de Tt.

t 2 2

Por tanto,

K Tt

Curvatura.

rt 2

t 2 2 2.


El teorema siguiente presenta una fórmula para calcular la curvatura de una curva

plana dada por y fx.

TEOREMA 12.9

CURVATURA EN COORDENADAS RECTANGULARES

Si C es la gráfica de una función dos veces derivable y fx, entonces la curvatura

K en el punto x, y está dada por

K

y

1 y 2 32.

DEMOSTRACIÓN Si se representa la curva C por rx xi fxj 0k (donde x es el

parámetro), se obtiene rx i fxj,

rx 1 fx 2

r = radio de

curvatura

P

y

K = 1 r

y rx f xj. Como rx rx fxk, se sigue que la curvatura es

K rx rx

rx 3

fx

1

y

fx 2 32

1 y 2 32.

r

Centro de

curvatura

El círculo de curvatura

Figura 12.36

C

x

Sea C una curva con curvatura K en el punto P. El círculo que pasa por el punto P de

radio r 1K se denomina el círculo de curvatura si su centro se encuentra en el lado

cóncavo de la curva y tiene en común con la curva una recta tangente en el punto P. Al

radio se le llama el radio de curvatura en P, y al centro se le llama el centro de curvatura.

El círculo de curvatura permite estimar gráficamente la curvatura K en un punto P de

una curva. Usando un compás, se puede trazar un círculo contra el lado cóncavo de la

curva en el punto P, como se muestra en la figura 12.36. Si el círculo tiene radio r, se puede

estimar que la curvatura es K 1r.

EJEMPLO 6

Hallar la curvatura en coordenadas rectangulares

1

−1

−2

−3

−4

y

P(2, 1)

−1 1 2 3

(2, −1)

r =

1

= 2

K

El círculo de curvatura

Figura 12.37

1 y = x − x 2

4

Q(4, 0)

x

Hallar la curvatura de la parábola dada por y x 1 4 x2 en x 2. Dibujar el círculo de

curvatura en 2, 1.

Solución La curvatura en x 2 se calcula como sigue:

y 1 x 2

y 1 2

y 0

K

y

1 y 2 32 y 1 2

K 1 2

Como la curvatura en P2, 1 1

es 2 , el radio del círculo de curvatura en ese punto es 2. Por

tanto, el centro de curvatura es 2, 1, como se muestra en la figura 12.37. [En la figura,

obsérvese que la curva tiene la mayor curvatura en P. Trate de mostrar que la curvatura en

Q4, 0 es 12 52 0.177. ]


La fuerza del empuje lateral que perciben

los pasajeros en un automóvil que toma

una curva depende de dos factores: la rapidez

del automóvil y lo brusco de la curva

Figura 12.38

La longitud de arco y la curvatura están estrechamente relacionadas con las componentes

tangencial y normal de la aceleración. La componente tangencial de la aceleración

es la tasa o ritmo de cambio de la rapidez, que a su vez es la tasa o ritmo de cambio de la

longitud de arco. Esta componente es negativa cuando un objeto en movimiento reduce su

velocidad y positiva cuando la aumenta, independientemente de si el objeto gira o viaja en

una recta. En consecuencia, la componente tangencial es solamente función de la longitud

de arco y es independiente de la curvatura.

Por otro lado, la componente normal de la aceleración es función tanto de la rapidez

como de la curvatura. Esta componente mide la aceleración que actúa perpendicular a la

dirección del movimiento. Para ver por qué afectan la rapidez y la curvatura a la componente

normal, imaginarse conduciendo un automóvil por una curva, como se muestra en la

figura 12.38. Si la velocidad es alta y la curva muy cerrada, se sentirá empujado contra la

puerta del automóvil. Al bajar la velocidad o tomar una curva más suave, se disminuye este

efecto de empuje lateral.

El teorema siguiente establece explícitamente la relación entre rapidez, curvatura y

componentes de la aceleración.

NOTA El teorema 12.10 da fórmulas

adicionales para y a N .

■

a T

TEOREMA 12.10

ACELERACIÓN, RAPIDEZ Y CURVATURA

Si rt es el vector posición de una curva suave C, entonces el vector aceleración está

dado por

at d 2 s

dt 2 T K ds

dt 2 N

donde K es la curvatura de C y dsdt es la rapidez.

DEMOSTRACIÓN

at a T T a N N

Para el vector posición rt, se tiene

D t vT v TN

d 2 s

dt 2 T ds

dt vKN

d 2 s

dt T K ds

dt 2 N.

2

EJEMPLO 7 Componentes tangencial y normal de la aceleración

Hallar a T y de la curva dada por

a N

rt 2t i t 2 j 1 3 t 3 k.

Solución

Por tanto,

y

Por el ejemplo 5, se sabe que

ds

dt rt t 2 2

a T d 2 s

dt 2 2t

a N K

ds

dt 2 2

t 2 2 t 2 2 2 2 2.

y

K

2

t 2 2 2 .

Componente tangencial.

Componente normal.


Aplicación

Hay muchas aplicaciones prácticas en física e ingeniería dinámica en las que se emplean

las relaciones entre rapidez, longitud de arco, curvatura y aceleración. Una de estas aplicaciones

se refiere a la fuerza de fricción o de rozamiento.

Un objeto de masa m en movimiento está en contacto con un objeto estacionario. La

fuerza requerida para producir una aceleración a a lo largo de una trayectoria dada es

12 m

60 km/h

F ma m

d 2 s

dt 2T mK ds

dt 2 N

ma T T ma N N.

La porción de esta fuerza que es proporcionada por el objeto estacionario se llama fuerza

de fricción o de rozamiento. Por ejemplo, si un automóvil se mueve con rapidez constante

tomando una curva, la carretera ejerce una fuerza de fricción o rozamiento que impide

que el automóvil salga de la carretera. Si el automóvil no se desliza, la fuerza de fricción

es perpendicular a la dirección del movimiento y su magnitud es igual a la componente

normal de la aceleración, como se muestra en la figura 12.39. La fuerza de rozamiento

(o de fricción) potencial de una carretera en una curva puede incrementarse peraltando la

carretera.

Fuerza de

fricción

La fuerza de fricción es perpendicular a la dirección del movimiento

Figura 12.39

EJEMPLO 8 Fuerza de fricción

Un coche de carreras (kart) de 360 kilogramos viaja a una velocidad de 60 kilómetros por

hora por una pista circular de 12 metros de radio, como se muestra en la figura 12.40. ¿Qué

fuerza de fricción (o rozamiento) debe ejercer la superficie en los neumáticos para impedir

que el coche salga de su curso?

Solución La fuerza de fricción o rozamiento debe ser igual a la masa por la componente

normal de aceleración. En el caso de esta pista circular, se sabe que la curvatura es

K 1 Curvatura de la pista circular.

12 .

Figura 12.40

Por consiguiente, la fuerza de fricción es

ma N mK

ds

dt 2

360 kg

1

12 m 60,000 m

3600 sec 2

3 s

8333 kgmsec (kg)(m)s 2 .

2 .


Resumen sobre velocidad, aceleración y curvatura

Sea C una curva (en el plano o en el espacio) dada por la función de posición

rt xti ytj

rt xti ytj ztk.

Curva en el plano.

Curva en el espacio.

Vector velocidad, rapidez y

vector aceleración:

vt rt

vt ds

dt rt

at rt a T Tt a N Nt

Vector velocidad.

Rapidez.


Vector unitario tangente y vector

unitario normal principal:

Componentes de la aceleración:

Fórmulas para la curvatura en

el plano:

Fórmulas para la curvatura en

el plano o en el espacio:

Tt rt

rt

a N a N

K Tt

rt rt rt

rt 3

K

at Nt

vt 2

y

a T a T v a

v

v a

v

K

y

1 y 2 32

K Ts rs

Nt Tt

Tt

d 2 s

dt 2

a 2 a T 2 K

ds

dt 2

C dada por .

y fx

K xy yx

x 2 y 2 32

C dada por x xt, y yt.

s es el parámetro longitud de arco.

t es el parámetro general.

Las fórmulas con productos vectoriales aplican sólo a curvas en el espacio.

12.5 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 6, dibujar la curva plana y hallar su longitud

en el intervalo dado.

1. r t ti 3tj, 0, 4 2. r t t i t 2 j, 0, 4

3. r t t 3 i t 2 j, 0, 2 4. r t t 1 i t 2 j,

5. r t a cos 3 t i a sen 3 tj, 0, 2

6. r t a cos t i a sen tj, 0, 2

7. Movimiento de un proyectil Una pelota de béisbol es golpeada

desde 3 pies sobre el nivel del suelo a 100 pies por segundo y con

un ángulo de 45° con respecto al nivel del suelo.

a) Hallar la función vectorial de la trayectoria de la pelota de

béisbol.

b) Hallar la altura máxima.

c) Hallar el alcance.

d) Hallar la longitud de arco de la trayectoria.

0, 6

8. Movimiento de un proyectil Un objeto se lanza desde el nivel

del suelo. Determinar el ángulo del lanzamiento para obtener a) la

altura máxima, b) el alcance máximo y c) la longitud máxima de

la trayectoria. En el inciso c), tomar v 0 96 pies por segundo.

En los ejercicios 9 a 14, dibujar la curva en el espacio y hallar su

longitud sobre el intervalo dado.

Función

9. r t t i 4t j 3t k

10. r t i t 2 j t 3 k

Intervalo

0, 1

0, 2

11. r t 4t, cos t, sen t

0, 3 2

12. r t 2 sen t, 5t, 2 cos t

0,

13. r t a cos ti a sen tj bt k

0, 2

14. r t cos t t sen t, sen t t cos t, t 2 0, 2


En los ejercicios 15 y 16, usar las funciones de integración de una

herramienta de graficación para aproximar la longitud de la

curva en el espacio sobre el intervalo dado.

Función

15. rt t 2 i tj ln tk

16. rt sen sin t i cos t j t 3 k

Intervalo

17. Investigación Considerar la gráfica de la función vectorial

rt ti 4 t 2 j t 3 k en el intervalo 0, 2.

a) Aproximar la longitud de la curva hallando la longitud del

segmento de recta que une sus extremos.

b) Aproximar la longitud de la curva sumando las longitudes de

los segmentos de recta que unen los extremos de los vectores

r0, r0.5, r1, r1.5, y r2.

c) Describir cómo obtener una estimación más exacta mediante

los procesos de los incisos a) y b).

d) Usar las funciones de integración de una herramienta de

graficación para aproximar la longitud de la curva. Comparar

este resultado con las respuestas de los incisos a) y b).

18. Investigación Repetir el ejercicio 17 con la función vectorial

rt 6 cost4i 2 sen sint4j tk.

19. Investigación Considerar la hélice representada por la función

vectorial rt 2 cos t, 2 sin sen t, t.

a) Expresar la longitud de arco s de la hélice como función de t

evaluando la integral

t

s xu 2 yu 2 zu 2 du.

0

b) Despejar t en la relación deducida en el inciso a), y sustituir

el resultado en el conjunto de ecuaciones paramétricas original.

Esto da una parametrización de la curva en términos del

parámetro longitud de arco s.

c) Hallar las coordenadas del punto en la hélice con longitud de

arco s 5 y s 4.

d) Verificar que rs 1.

20. Investigación Repetir el ejercicio 19 con la curva representada

por la función vectorial

En los ejercicios 21 a 24, hallar la curvatura K de la curva donde

s es el parámetro longitud de arco.

21.

rt 4sin sent t cos t, 4cos t t sen sin t, 3 2 t2 .

rs 1 2

2 s i 1 2

2 s j

22. rs 3 si j

23. La hélice del ejercicio 19: rt 2 cos t, 2 sen sin t, t

24. La curva del ejercicio 20:

rt 4sin sen t t cos t, 4cos t t sen sin t,

En los ejercicios 25 a 30, hallar la curvatura K de la curva plana

en el valor dado del parámetro.

25. rt 4t i 2t j, t 1

26. r t t 2 i j, t 2

1 ≤ t ≤ 3

0 ≤ t ≤ 2

3

2 t2

27.

28.

29.

r t

r t

ti

t i

r t t, sen t ,

30. r t 5 cos t, 4 sen t , t

En los ejercicios 31 a 40, hallar la curvatura K de la curva.

31. rt 4 cos 2t i 4 sen sin 2t j

32. rt 2 cos t i sin sent j

33. rt a cos ti a sin sent j

34. rt a cos t i b sin sent j

35. rt at sin sent, a1 cos t

36. rt cos t t sen sin t, sin sent t cos t

37. rt t i t 38. rt 2t 2 i tj 1 2 j t2 2 t2 k

2 k

39. rt 4t i 3 cos t j 3 sin sent k

40. r t e 2t i e 2t cos t j e 2t sen tk

En los ejercicios 41 a 44, encontrar la curvatura K de la curva en

el punto P.

41.

42.

43.

En los ejercicios 45 a 54, hallar la curvatura y el radio de curvatura

de la curva plana en el valor dado de x.

45. y 3x 2, x a 46. y mx b,

47. y 2x2 3, x 1 48. y 2x 4 x ,

Redacción En los ejercicios 55 y 56, se dan dos círculos de curvatura

de la gráfica de la función. a) Hallar la ecuación del

círculo menor, y b) escribir un párrafo corto que explique por

qué los círculos tienen radios diferentes.

55. fx sen sin x

56. fx 4x 2 x 2 3

3

2

−2

−3

y

1

t 1

t j,

1

t 2

9 t3 j,

r t 3ti 2t 2 j, P 3, 2

r t e t i 4tj, P 1, 0

t

r t ti t 2 j

3 P 2, 4, 2

4 k,

t

44. r t e t cos ti e t sen tj e t k, P 1, 0, 1

49. y cos 2x, x 2 50. y e 3x ,

( , 1 )

π

2

π

( −

π , − 3

3 )

2

2

x

3

(0, 0)

y

6

4 (3, 3)

−4

−6

2

4

x a

x 1

51. y a 2 x 2 , x 0 52. y 4 16 x 2 , x 0

53. y x 3 , x 2

54. y x n , x 1, n 2

3

x 0

6 8

x



para representar la función. En la misma pantalla, representar

el círculo de curvatura de la gráfica en el valor dado de x.

57. y x 1 x 1 58. y ln x, x 1

x ,

59. y e x , x 0

60. y 1 3 x3 ,

Evoluta Un evoluta es la curva formada por el conjunto de centros

de curvatura de una curva. En los ejercicios 61 y 62 se dan

una curva y su evoluta. Usar un compás para trazar los

círculos de curvatura con centros en los puntos A y B.

61. Cicloide:

Evoluta:

62. Elipse:

Evoluta:

x t sen sin t

y 1 cos t

x sen sin t t

y cos t 1

x 3 cos t

y 2 sen sin t

x 5 3 cos 3 t

y 5 2 sin sen 3 t

En los ejercicios 63 a 70 a) hallar el punto de la curva en el que

la curvatura K es máxima y b) hallar el límite de K cuando

x →.

63. y x 1 2 3

64. y x 3

65. y x 66. y 1 23 x

67. y ln x

68. y e x

69. y senh x

70. y cosh x

En los ejercicios 71 a 74, hallar todos los puntos de la gráfica de

una función en los que la curvatura es cero.

− π

71. y 1 x 3

72. y x 1 3 3

73. y cos x

74. y sen sin x


π

− π

y

B

π

− π

x 1

75. a) Dada la fórmula para la longitud de arco de una curva

suave en el espacio.

b) Dada las fórmulas para la curvatura en el plano y en el

espacio.

76. Describir la gráfica de una función vectorial para la que la

curvatura sea 0 en todos los valores t de su dominio.

y

π

A

B

A

π

x

x

Desarrollo de conceptos (continuación)

77. Dada una función dos veces derivable y f x, determinar su

curvatura en un extremo relativo. ¿Puede la curvatura tener

valores mayores que los que alcanza en un extremo relativo?

¿Por qué sí o por qué no?

Para discusión

78. Una partícula se mueve a lo largo de la curva plana C descrita

por r(t) ti t 2 j.

a) Encontrar la longitud de C en el intervalo 0 t 2.

b) Encontrar la curvatura K de la curva plana en t 0,

t 1 y t 2.

c) Describir la curvatura de C cuando t varía desde t 0

hasta t 2.

79. En la elipse dada por x 2 4y 2 4. , mostrar que la curvatura es

mayor en los puntos terminales del eje mayor, y es menor en los

puntos terminales del eje menor.

80. Investigación Hallar todos los a y b tales que las dos curvas

dadas por

y 1 axb x y y 2

x

x 2

se corten en un solo punto y tengan una recta tangente común y

curvatura igual en ese punto. Trazar una gráfica para cada conjunto

de valores de a y b.

CAS 81. Investigación Considerar la función fx x 4 x 2 .

a) Usar un sistema computacional para álgebra y encontrar la

curvatura K de la curva como función de x.

b) Usar el resultado del inciso a) para hallar los círculos de curvatura

de la gráfica de f en x 0 y x 1. Usar un sistema

algebraico por computadora y representar gráficamente la

función y los dos círculos de curvatura.

c) Representar gráficamente la función Kx y compararla con

la gráfica de fx. Por ejemplo, ¿se presentan los extremos de

f y K en los mismos números críticos? Explicar el razonamiento.

82. Investigación La superficie de una copa se forma por revolución

de la gráfica de la función

CAS

y 1 4 x 85 ,

0 ≤ x ≤ 5

en torno al eje y. Las medidas se dan en centímetros.

a) Usar un sistema algebraico por computadora y representar

gráficamente la superficie.

b) Hallar el volumen de la copa.

c) Hallar la curvatura K de la curva generatriz como función de

x. Usar una herramienta de graficación para representar K.

d) Si un objeto esférico se deja caer en la copa, ¿es posible que

toque el fondo? Explicar la respuesta.

83. Una esfera de radio 4 se deja caer en el paraboloide dado por

z x 2 y 2 .

a) ¿Qué tanto se acercará la esfera al vértice del paraboloide?

b) ¿Cuál es el radio de la esfera mayor que toca el vértice?


84. Rapidez Cuanto menor es la curvatura en una curva de una

carretera, mayor es la velocidad a la que pueden ir los automóviles.

Suponer que la velocidad máxima en una curva es

inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la curvatura. Un

automóvil que recorre la trayectoria y 1 3 x3 ( x y y medidos en

millas) puede ir con seguridad a 30 millas por hora en 1, 1 3.

¿Qué tan rápido puede ir en 3 2 , 9 8?

85. Sea C una curva dada por y fx. Sea K la curvatura K 0

en el punto Px 0 , y 0 y sea

z 1 fx 0 2

.

fx 0

Mostrar que las coordenadas , del centro de curvatura en P

son , x 0 fx 0 z, y 0 z.

86. Usar el resultado del ejercicio 85 para hallar el centro de curvatura

de la curva en el punto dado.

a) y e x , 0, 1 b) y x2

c) y x 2 ,

87. Se da una curva C por medio de la ecuación polar r f.

Mostrar que la curvatura K en el punto r, es

K 2r 2 rr r 2

r 2 r 2 32 .

Sugerencia: Representar la curva por r r cos i r sen j.]

88. Usar el resultado del ejercicio 87 para hallar la curvatura de cada

una de las curvas polares.

a) r 1 sen sin b) r c) r a sin sen

d) r e

89. Dada la curva polar r e a, a > 0, hallar la curvatura K y determinar

el límite de K cuando a) y b) a → .

90. Mostrar que la fórmula para la curvatura de una curva polar

r f dada en el ejercicio 87 se reduce a K 2r para la

curvatura en el polo.

En los ejercicios 91 y 92, usar el resultado del ejercicio 90 para

hallar la curvatura de la curva rosa en el polo.

91. r 4 sen sin 2

92. r 6 cos 3

93. Para la curva suave dada por las ecuaciones paramétricas

x ft y y gt, demostrar que la curvatura está dada por

K ftgt gtft

ft 2 gt 2 32 .

94. Usar el resultado del ejercicio 93 para encontrar la curvatura K

de la curva representada por ecuaciones paramétricas xt t 3 y

yt 1 2 t 2 . Usar una herramienta de graficación para representar

K y determinar toda asíntota horizontal. Interpretar las asíntotas

en el contexto del problema.

95. Usar el resultado del ejercicio 93 para encontrar la curvatura K

de la cicloide representada por las ecuaciones paramétricas

x a sen sin

y

2 , 1, 1 2

→

y a1 cos .

¿Cuáles son los valores mínimo y máximo de K?

96. Usar el teorema 12.10 para encontrar a T y a N de cada una de las

curvas dadas por las funciones vectoriales.

a) rt 3t 2 i 3t t 3 j b) rt ti t 2 j 1 2 t 2 k

0, 0

97. Fuerza de rozamiento o de fricción Un vehículo de 5 500

libras va a una velocidad de 30 millas por hora por una glorieta

de 100 pies de radio. ¿Cuál es la fuerza de fricción o de rozamiento

que debe ejercer la superficie de la carretera en los

neumáticos para impedir que el vehículo salga de curso?

98. Fuerza de rozamiento o de fricción Un vehículo de 6 400

libras viaja a 35 millas por hora en una glorieta de 250 pies de

radio. ¿Cuál es la fuerza de fricción o de rozamiento que debe

ejercer la superficie de la carretera en los neumáticos para

impedir que el vehículo salga de curso?

99. Verificar que la curvatura en cualquier punto x, y de la gráfica

de y cosh x es 1y 2 .

100. Usar la definición de curvatura en el espacio K T(s)

r(s), para verificar cada una de las fórmulas siguientes.

a)

b)

K Tt

rt

K rt rt

rt 3

c) K

at Nt

vt 2




101. La longitud de arco de una curva en el espacio depende de la

parametrización.

102. La curvatura de un círculo es igual a su radio.

103. La curvatura de una recta es 0.

104. La componente normal de la aceleración es función tanto de la

velocidad como de la curvatura.

Leyes de Kepler En los ejercicios 105 a 112, se pide verificar las

leyes de Kepler del movimiento planetario. En estos ejercicios,

suponer que todo planeta se mueve en una órbita dada por la

función vectorial r. Sean r r , G la constante gravitatoria

universal, M la masa del Sol y m la masa del planeta.

105. Demostrar que r r r dr

dt .

106. Usando la segunda ley del movimiento de Newton, F ma, y

la segunda ley de la gravitación de Newton, F GmMr 3 r,

mostrar que a y r son paralelos, y que rt rt L es un

vector constante. Por tanto, rt se mueve en un plano fijo, ortogonal

a L.

107. Demostrar que

r

d

dt r r 1 r 3 r r r.

108. Mostrar que es un vector constante.

GM L r r e

109. Demostrar la primera ley de Kepler: todo planeta describe una

órbita elíptica con el Sol como uno de sus focos.

110. Suponer que la órbita elíptica r ed1 e cos está en el

plano xy, con L a lo largo del eje z. Demostrar que

L r 2 ddt.

111. Demostrar la segunda ley de Kepler: todo rayo del Sol a un

planeta barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales.

112. Demostrar la tercera ley de Kepler: el cuadrado del periodo de

la órbita de un planeta es proporcional al cubo de la distancia

media entre el planeta y el Sol.



En los ejercicios 1 a 4, a) hallar el dominio de r y b) determinar

los valores de t (si los hay) en los que la función es continua.

1. r(t) tan t i j t k 2. rt t i 1

t 4 j k

3. rt ln t i t j t k 4. rt 2t 1i t 2 j tk

En los ejercicios 5 y 6, evaluar (si es posible) la función vectorial

en cada uno de los valores dados de t.

5.

r t 2t 1 i t 2 j t 2 k

a) r0 b) r2 c) rc 1 d) r1 t r1

6. rt 3 cos t i 1 sen sin tj t k

a) r0 b) r

c) rs d)

En los ejercicios 7 y 8, trazar la curva plana representada por la

función vectorial y dar la orientación de la curva.

CAS En los ejercicios 9 a 14, usar un sistema algebraico por computadora

a fin de representar gráficamente la curva en el espacio

representada por la función vectorial.

9. rt i t j t 2 k 10. r t t 2 i 3t j t 3 k

11. rt 1, sen sin t, 1 12. rt 2 cos t, t, 2 sen sin t

13. rt t, ln t, 1 2t 2 14. rt 1 2t,t, 1 4t 3

En los ejercicios 15 y 16, hallar las funciones vectoriales que

describen la frontera de la región de la figura.

15. y

16.

5

4

3

2

1

1

2

3

2

4

5

x

17. Una partícula se mueve en una trayectoria recta que pasa por los

puntos 2, 3, 8 y 5, 1, 2. Hallar una función vectorial

para esta trayectoria. (Hay muchas respuestas correctas.)

18. El borde exterior de una escalera de caracol tiene forma de una

hélice de 2 metros de radio. La altura de la escalera es 2 metros

y gira tres cuartos de una revolución completa de abajo a arriba.

Hallar una función vectorial para la hélice. (Hay muchas respuestas

correctas.)

En los ejercicios 19 y 20, dibujar la curva en el espacio representada

por la intersección de las superficies. Usar el parámetro

x t para hallar una función vectorial para la curva en el

espacio.

19.

20.

z x 2 y 2 ,

x 2 z 2 4,

x y 0

x y 0

5

4

3

2

1

y

r t r

7. r t cos t, sen t 8. r t t 2, t 2 1

1

2

3

4

5

x

En los ejercicios 21 y 22, evaluar el límite.

sen sin 2t

21. lím t i 4 t j k 22. lim lím

t→0

i e

t

t j e t k

t→4

En los ejercicios 23 y 24, hallar lo siguiente.

a) rt

b) rt

c) D t [rt ut]

d) D e) D t [ rt t [ut 2rt] ], t > 0 f) D t [rt ut]

23. rt 3t i t 1j,

24. rt sen sin t i cos t j t k,

25. Redacción Las componentes x y y de la derivada de la función

vectorial u son positivas en t t 0 , y la componente z

es negativa. Describir el comportamiento de u en t t 0 .

26. Redacción La componente x de la derivada de la función vectorial

u es 0 para t en el dominio de la función. ¿Qué implica

esta información acerca de la gráfica de u?

En los ejercicios 27 a 30, hallar la integral indefinida.

27. cos t i t cos tj dt 28. ln t i t ln t j k dt

29. cos t i sen

sin t j t k dt

30. t j t 2 k i t j t k dt

En los ejercicios 31 a 34, evaluar la integral definida.

2

2

2

31. 3t i 2t 2 j t 3 k dt 32.

33. e t2 i 3t 2 j k dt 34.

0

ut t i t 2 j 2 3 t3 k

En los ejercicios 35 y 36, hallar rt para las condiciones dadas.

35. rt 2t i e t j e t k, r0 i 3j 5k

36. rt sec t i tan t j t 2 k, r0 3k

En los ejercicios 37 a 40, el vector posición r describe la trayectoria

de un objeto que se mueve en el espacio. Hallar la velocidad,

la rapidez y la aceleración del objeto.

37. r t 4ti t 3 j tk 38. r t t i 5tj 2t 2 k

39. rt cos 3 t, sin sen 3 t, 3t 40. rt t, tan t, e t

Aproximación lineal En los ejercicios 41 y 42, hallar un conjunto

de ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la gráfica

de la función vectorial en t t 0 . Usar las ecuaciones de la

recta para aproximar rt 0 0.1.

1

0

41. rt lnt 3i t 2 j 1 2 t k, t 0 4

42. rt 3 cosht i senh sinht j 2t k, t 0 0

ut sen sin t i cos t j 1 t k

1

1

t j t sen sin tk dt

t 3 i arcsen arcsin tj t 2 k dt


Movimiento de un proyectil En los ejercicios 43 a 46, usar el

modelo para el movimiento de un proyectil, suponiendo que no

hay resistencia del aire. [at 32 pies por segundo al cuadrado

o at 9.8 metros por segundo al cuadrado. ]

43. Un proyectil se dispara desde el nivel del suelo a una velocidad

inicial de 84 pies por segundo con un ángulo de 30° con la horizontal.

Hallar el alcance del proyectil.

44. El centro de la caja de un camión está a 6 pies hacia abajo y a 4

pies horizontalmente del extremo de una cinta transportadora

horizontal que descarga grava (ver la figura). Determinar la

velocidad a que la cinta transportadora debe moverse para

que la grava caiga en el centro de la caja del camión.

45. Un proyectil se dispara desde el nivel del suelo con un ángulo de

20° con la horizontal. El proyectil tiene un alcance de 95 metros.

Hallar la velocidad inicial mínima.

46. Usar una herramienta de graficación para representar las trayectorias

de un proyectil si v 0 20 metros por segundo, h 0 y

a) b) 45° y c) Usar las gráficas para

aproximar en cada caso la altura máxima y el alcance máximo

del proyectil.

En los ejercicios 47 a 54, hallar la velocidad, la rapidez y la aceleración

en el instante t. A continuación hallar a T y a N en el

instante t.

47. rt 2 t i 3tj 48. 1 4ti 2 3tj

rt

49. rt t i t j 50.

53.

54.

En los ejercicios 55 y 56, hallar un conjunto de ecuaciones

paramétricas para la recta tangente a la curva en el espacio en el

punto dado.

55.

56.

v 0

dsdt

30,

6 pies

rt t i t 2 j 1 2 t 2 k

rt t i t 2 j 2 3 t3 k,

4 pies

51. rt e t i e t j

52. rt t cos t i t sen sin t j

rt t 1i t j 1 t k

rt 2 cos t i 2 sen sin t j t k,

t 2

60.

rt 2t 1i 2

t 1 j

57. Órbita de un satélite Hallar la velocidad necesaria para que un

satélite mantenga una órbita circular 550 millas sobre la superficie

de la Tierra.

58. Fuerza centrípeta Un automóvil circula por una glorieta al

doble de la velocidad permitida. ¿En un factor de cuánto aumenta

la fuerza centrípeta sobre la que se tendría a la velocidad permitida?

t

3

En los ejercicios 59 a 62, dibujar la curva plana y hallar su longitud

en el intervalo dado.

Función

59. rt 2ti 3tj

60. rt t 2 i 2tk

61. rt 10 cos 3 ti 10 sen sin 3 tj

62. rt 10 cos ti 10sen

sin tj

Intervalo

En los ejercicios 63 a 66, dibujar la curva en el espacio y hallar

su longitud en el intervalo dado.

Función

63. rt 3ti 2tj 4tk

64. rt ti t 2 j 2tk

65. rt 8 cos t, 8 sen sin t, t

66. rt 2sin sen t t cos t, 2cos t t sen sin t, t

Intervalo

En los ejercicios 67 a 70, hallar la curvatura K de la curva.

67. rt 3ti 2tj

68. rt 2t i 3tj

69. rt 2ti 1 2 t2 j t 2 k

70. rt 2ti 5 cos tj 5 sen sin tk

En los ejercicios 71 y 72, encontrar la curvatura K de la curva en

el punto P.

71. rt 1 2 t2 i tj 1 3 t3 k,

En los ejercicios 73 a 76, hallar la curvatura y el radio de curvatura

de la curva plana en el valor dado de x.

73. y 1 2 x2 2, x 4 74. y e x2 , x 0

75. y ln x, x 1

76. y tan x, x

4

77. Redacción Un ingeniero civil diseña una autopista como se

muestra en la figura. BC es un arco del círculo. AB y CD son

rectas tangentes al arco circular. Criticar el diseño.

A

B


78. Un segmento de recta se extiende horizontalmente a la izquierda

desde el punto 1, 1. Otro segmento de recta se extiende

horizontalmente a la derecha del punto 1, 1, como se

muestra en la figura. Hallar una curva de la forma

y ax 5 bx 3 cx

C

D

0, 5

0, 3

P

1

2 , 1, 1 3

0, 2

0, 2

72. rt 4 cos ti 3 sen sin tj tk, P4, 0,

(−1, −1)

que una los puntos 1, 1 y 1, 1 de manera que la pendiente

y curvatura de la curva sean cero en los puntos terminales.

2

1

y

(1, 1)

0, 3

0, 2

0, 2

0, 2

−2 1 2 3

x


SP


1. La espiral de Cornu está dada por

t

xt cos u 2

y

0

La espiral mostrada en la figura fue trazada sobre el intervalo

≤ t ≤ .

t

yt sin u 2

0 2 du.

4. Repetir el ejercicio 3 si el bombardero está orientado en dirección

opuesta a la del lanzamiento, como se muestra en la figura.

4 000

3 200

1 600

Cañón

y

Proyectil

θ

5 000

Bomba

x

2 du sen sen

5. Considerar un arco de la cicloide


a) Hallar la longitud de arco de esta curva desde t 0 hasta

t a.

b) Hallar la curvatura de la gráfica cuando t a.

c) La espiral de Cornu la descubrió James Bernoulli. Bernoulli

encontró que la espiral tiene una relación interesante entre

curvatura y longitud del arco. ¿Cuál es esta relación?

2. Sea T la recta tangente en el punto Px, y a la gráfica de la curva

x 23 y 23 a 23 , a > 0, como se observa en la figura. Mostrar

que el radio de curvatura en P es el triple de la distancia del origen

a la recta tangente T.

y

r sin i 1 cos j,

0 2

que se muestra en la figura. Sea s() la longitud de arco desde el

punto más alto del arco hasta el punto (x(), y()), y sea ()

1

el radio de curvatura en el punto (x(), y()).

K

Mostrar que s y están relacionados por la ecuación s 2 2

16. (Esta ecuación se llama ecuación natural de la curva.)

y

(x( θ), y( θ))

a

P(x, y)

π

2π

x

−a

−a

3. Un bombardero vuela horizontalmente a una altitud de 3 200 pies

con una velocidad de 400 pies por segundo cuando suelta una

bomba. Un proyectil se lanza 5 segundos después desde un cañón

orientado hacia el bombardero y abajo a 5 000 pies del punto

original del bombardero, como se muestra en la figura. El proyectil

va a interceptar la bomba a una altitud de 1 600 pies.

Determinar la velocidad inicial y el ángulo de inclinación del

proyectil. (Despreciar la resistencia del aire.)

3 200

4 000

y

a

T

x

6. Considere la cardioide r 1 cos , 0 ≤ ≤ 2, que se

muestra en la figura. Sea s la longitud de arco desde el punto

2, de la cardioide hasta el punto r, , y sea 1 el

K

radio de curvatura en el punto r, . Mostrar que s y están relacionados

por la ecuación s 2 92

16. (Esta ecuación se llama

ecuación natural de la curva.)

(2, π)

(r, θ)

π

2

1

0

1 600

Cañón

θ

Bomba

Proyectil

5 000

x

7. Si rt es una función no nula y derivable en t, demostrar que

d

dt rt 1 rt rt.

rt


8. Un satélite de comunicaciones se mueve en una órbita circular

alrededor de la Tierra a una distancia de 42 000 kilómetros del

centro de la Tierra. La velocidad angular

d

radianes por hora

dt

12

es constante.

a) Utilizar coordenadas polares para mostrar que el vector aceleración

está dado por

a d2 r

dt 2 d2 r

dt 2 r d

dt 2 u r r d2

donde u r cos i sen sin j es el vector unitario en la dirección

radial y sen

b) Hallar las componentes radial y angular de la aceleración

para el satélite.

En los ejercicios 9 a 11, usar el vector binormal definido por la

ecuación B T N.

9. Hallar los vectores unitario tangente, unitario normal y binormal

a la hélice rt 4 cos ti 4 sen sin tj 3tk en t

2 .

Dibujar la hélice junto con estos tres vectores unitarios mutuamente

ortogonales.

10. Hallar los vectores unitario tangente, unitario normal y binormal

a la curva rt cos ti sen sin tj k en t Dibujar la

4 .

hélice junto con estos tres vectores unitarios mutuamente ortogonales.

11. a) Demostrar que existe un escalar , llamado torsión, tal que

dBds N.

b) Demostrar que

u

sin i cos j.

dN

ds K T B.

(Las tres ecuaciones dTds K N, dNds K T B, y

dBds N son llamadas las fórmulas de Frenet-Serret.)

12. Una autopista tiene una rampa de salida que empieza en el origen

de un sistema coordenado y sigue la curva y 1

32 x 52 hasta

el punto (4, 1) (ver la figura). Después sigue una trayectoria

circular cuya curvatura es la dada por la curva en 4, 1. ¿Cuál

es el radio del arco circular? Explicar por qué la curva y el arco

circular deben tener en (4, 1) la misma curvatura.

d

dt 2 dr

2 dt dt u

13. Considerar la función vectorial

0 t 2.

a) Usar una herramienta de graficación para representar la función.

b) Hallar la longitud de arco en el inciso a).

c) Hallar la curvatura K como función de t. Hallar las curvaturas

cuando t es 0, 1 y 2.

d) Usar una herramienta de graficación para representar la función

K.

e) Hallar (si es posible) el lím lim

t→ K.

f) Con el resultado del inciso e), hacer conjeturas acerca de la

gráfica de r cuando t →.

14. Se quiere lanzar un objeto a un amigo que está en una rueda de

la fortuna (ver la figura). Las ecuaciones paramétricas siguientes

dan la trayectoria del amigo r 1 t y la trayectoria del objeto

r 2 t. La distancia está dada en metros y el tiempo en segundos.

r 1 t 15

t

sin

10 i t

sen 16 15 cos

10 j

r 2 t 22 8.03t t 0 i

1 11.47t t 0 4.9t t 0 2 j

rt t cos t, t sen sin t,

4

2

y

y = 1 x 5/2

32

2

4

Arco

circular

(4, 1)

6

x

a) Localizar la posición del amigo en la rueda en el instante

t 0.

b) Determinar el número de revoluciones por minuto de la

rueda.

c) ¿Cuál es la rapidez y el ángulo de inclinación (en grados) al

que el objeto es lanzado en el instante t t 0 ?

d) Usar una herramienta de graficación para representar las funciones

vectoriales usando un valor de t 0 que permite al amigo

alcanzar el objeto. (Hacer esto por ensayo y error.) Explicar

la importancia de t 0 .

e) Hallar el instante aproximado en el que el amigo deberá

poder atrapar el objeto. Aproximar las velocidades del amigo

y del objeto en ese instante.

13 In this chapter, you will study functions of

En more este capítulo se estudiarán funciones

In this than chapter, one independent you will study variable. functions Many

of

de of más de una variable independiente.

more the than concepts one independent presented are variable. extensions Many

of

Muchos familiar los conceptos presentados

of the concepts ideas from presented earlier are chapters.

extensions of

son extensiones de ideas familiares de

capítulos In familiar this chapter, ideas from

recientes.

you earlier should chapters.

learn the

En

following. In this este chapter, capítulo, you se aprenderá: should learn the

■ following.

How Cómo to trazar sketch una a graph, gráfica, level curvas curves,

de

■ and How nivel level to y superficies sketch surfaces. a graph, (13.1)

de nivel. level (13.1) curves,

■ How and Cómo level to encontrar find surfaces. a limit un (13.1)

and límite determine

y determinar

la to continuidad. find (13.2)

a limit and (13.2) determine

■ How continuity. Cómo to encontrar find (13.2)

and use y usar a partial una derivada

derivative.

■ (13.3) How parcial. to find (13.3) and use a partial derivative.

■ How (13.3)

Cómo to encontrar find and use y usar a total una differential

diferen-

■ continuity. How ■ and How cial determine total find y determinar and differentiability. use a total diferenciabilidad.

determine to (13.4)

use the differentiability. Chain Rules and (13.4)

find a

Cómo usar la regla de la cadena y

differential

(13.4)

■ How and ■ partial How to derivative use the Chain implicitly. Rules (13.5)

and find a

encontrar una derivada parcial implí-

■ How partial to derivative find and use implicitly. a directional

(13.5)

cita. (13.5)

■

■ derivative How to find and and a gradient. use a directional

(13.6)

Cómo encontrar y usar una derivada ■

■ How derivative direccional to find and an a

y un equation gradient.

gradiente. of (13.6)

a tangent

(13.6)

■ plane How Cómo to and encontrar find an an equation equation of una ecuación of a normal a tangent

line

de un

to plane a surface, plano and tangente and equation how to y una of find ecuación a normal the angle

de line una

of to recta a inclination surface, normal and of a a una how plane. superficie, to find (13.7)

the y angle cómo

■ How of encontrar inclination to find el absolute ángulo of a plane. de and inclinación (13.7)

relative

de

■ extrema. How un plano. to find (13.8)

(13.7) absolute and relative

■ How extrema. Cómo to encontrar solve (13.8)

an optimization los extremos problem,

absolutos

y to relativos. solve constrained an optimization (13.8)

optimization problem,

using

■ a including Cómo Lagrange resolver constrained multiplier, un problema optimization and how de to opti-

use using

the

method a mización, Lagrange of least incluida multiplier, squares. optimización and (13.9, how 13.10)

to use res-the

method tringida of usando least squares. un multiplicador (13.9, 13.10) de

■ including How Lagrange, y cómo usar el método de

mínimos cuadrados. (13.9, 13.10)

Functions Functions of of Several

Several

Variables

Variables

Funciones de varias

variables

NOAA

Meteorologists use maps that show curves of equal atmospheric pressure, called

NOAA

isobars, Los Meteorologists meteorólogos to predict use usan weather maps mapas that patterns. show que muestran curves How can of curvas equal you use atmospheric de pressure presión gradients atmosférica pressure, to

called igual,

■

determine llamadas isobars, to isobaras, the predict area weather of para predecir country patterns. that los How patrones has can the you greatest del use clima. pressure wind ¿Cómo speed? gradients se (See pueden Section

to usar los

■

13.6, gradientes determine Exercise the de presión area 68.)

of the para country determinar that has el área the greatest del país wind que tiene speed? las (See mayores Section

velocidades 13.6, Exercise de 68.) viento? (Ver la sección 13.6, ejercicio 68.)

z

z

z

y

z

z

z

y

x

y

y

y

x

y

y

y

x

x

x

x

x

x

Muchas Many real-life cantidades quantities de la are vida functions real son of funciones two or more de variables. dos o más In variables. Section 13.1, En la you sección will learn 13.1 how se aprenderá to graph a function cómo

graficar of Many two real-life variables, una función quantities like de the dos are one variables, functions shown above. of tal two como The or more first la que three variables. se graphs muestra In show Section arriba. cut-away 13.1, Las primeras you views will of learn tres the gráficas surface how to graph at muestran various

a function vistas

traces. of two cortadas variables, Another de la way like superficie to the visualize one en shown this varios surface above. trazos. The is Otra to first project forma three the de graphs traces visualizar show onto cut-away estas the xy-plane, superficies views as of shown es the proyectar surface in the at los fourth various trazos

graph.

hacia traces. el Another plano xy, way tal to como visualize se muestra this surface en la is cuarta to project gráfica. the traces onto the xy-plane, as shown in the fourth graph.

885885

885

885885

886 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables

13.1 Introducción a las funciones de varias variables

■ Entender la notación para una función de varias variables.

■ Dibujar la gráfica de una función de dos variables.

■ Dibujar las curvas de nivel de una función de dos variables.

■ Dibujar las superficies de nivel de una función de tres variables.

■ Utilizar gráficos por computadora para representar una función de dos

variables.

EXPLORACIÓN

Comparación de dimensiones

Sin usar una herramienta de graficación,

describir la gráfica de cada

función de dos variables.

a)

b)

c)

d)

z x 2 y 2

z x y

z x 2 y

z x 2 y 2

e) z 1 x 2 y 2

Funciones de varias variables

Hasta ahora en este texto, sólo se han visto funciones de una sola variable (independiente).

Sin embargo, muchos problemas comunes son funciones de dos o más variables. Por ejemplo,

el trabajo realizado por una fuerza W FD y el volumen de un cilindro circular recto

V r 2 h son funciones de dos variables. El volumen de un sólido rectangular V lwh

es una función de tres variables. La notación para una función de dos o más variables es similar

a la utilizada para una función de una sola variable. Aquí se presentan dos ejemplos.

y

z f x, y x 2 xy

2 variables

w f x, y, z x 2y 3z

Función de 2 variables.

Función de 3 variables.

3 variables

DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado

(x, y) de D le corresponde un único número real f(x, y), entonces se dice que f es

una función de x y y. El conjunto D es el dominio de f, y el correspondiente

conjunto de valores f(x, y) es el rango de f.

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MARY FAIRFAX SOMERVILLE (1780-1872)

Somerville se interesó por el problema de

crear modelos geométricos de funciones de

varias variables. Su libro más conocido,

The Mechanics of the Heavens, se publicó

en 1831.

En la función dada por z f x, y, x y y son las variables independientes y z es la

variable dependiente.

Pueden darse definiciones similares para las funciones de tres, cuatro o n variables

donde los dominios consisten en tríadas (x 1

, x 2

, x 3

), tétradas (x 1

, x 2

, x 3

, x 4

) y

n-adas (x 1

, x 2

, . . ., x n

). En todos los casos, rango es un conjunto de números reales. En este

capítulo, sólo se estudian funciones de dos o tres variables.

Como ocurre con las funciones de una variable, la manera más común para describir

una función de varias variables es por medio de una ecuación, y a menos que se diga

explícitamente lo contrario, se puede suponer que el dominio es el conjunto de todos los

puntos para los que la ecuación está definida. Por ejemplo, el dominio de la función dada

por

f x, y x 2 y 2

se supone que es todo el plano xy. Similarmente, el dominio de

f x, y ln xy

es el conjunto de todos los puntos x, y en el plano para los que xy > 0. Esto consiste en

todos los puntos del primer y tercer cuadrantes.

−4

−2

Figura 13.1

4

2

1

−1

−1

−2

−4

y

Dominio de

x 2 + y 2 − 9

f(x, y) = x

1

2

4

x

SECCIÓN 13.1 Introducción a las funciones de varias variables 887

EJEMPLO 1 Dominios de funciones de varias variables

Hallar el dominio de cada función.

x

a) f x, y x2 y 2 9

b) gx, y, z

x

9 x 2 y 2 z 2

Solución

a) La función f está definida para todos los puntos x, y tales que x 0 y

x 2 y 2 ≥ 9.

Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los puntos que están en el círculo

x 2 y 2 9, o en su exterior, con excepción de los puntos en el eje y, como se muestra

en la figura 13.1.

b) La función g está definida para todos los puntos x, y, z tales que

x 2 y 2 z 2 < 9.

Por consiguiente, el dominio es el conjunto de todos los puntos x, y, z que se encuentran

en el interior de la esfera de radio 3 centrada en el origen.

Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma manera que las funciones

de una sola variable. Por ejemplo, se puede formar la suma, la diferencia, el producto

y el cociente de funciones de dos variables como sigue.

f ± gx, y f x, y ± gx, y

Suma o diferencia.

fg x, y f x, ygx, y

Producto.

f f x, y

x, y gx, y 0 Cociente.

g gx, y

No se puede formar la composición de dos funciones de varias variables. Sin embargo, si

h es una función de varias variables y g es una función de una sola variable, puede formarse

la función compuesta g hx, y como sigue.

g hx, y ghx, y

Composición.

El dominio de esta función compuesta consta de todo x, y en el dominio de h tal que

hx, y está en el dominio de g. Por ejemplo, la función dada por

f x, y 16 4x 2 y 2

puede verse como la composición de la función de dos variables dadas por hx, y

16 4x 2 y 2 y la función de una sola variable dada por gu u. El dominio de esta

función es el conjunto de todos los puntos que se encuentran en la elipse dada por 4x 2

y 2 16 o en su interior.

Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma cx m y n (donde

c es un número real y m y n son enteros no negativos) se llama una función polinomial de

dos variables. Por ejemplo, las funciones dadas por

f x, y x 2 y 2 2xy x 2

y

gx, y 3xy 2 x 2

son funciones polinomiales de dos variables. Una función racional es el cociente de dos

funciones polinomiales. Terminología similar se utiliza para las funciones de más de dos variables.


Gráfica de una función de dos variables

Figura 13.2

Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede saber mucho acerca del

comportamiento de una función de dos variables dibujando su gráfica. La gráfica de una

función f de dos variables es el conjunto de todos los puntos x, y, z para los que

z f x, y y x, y está en el dominio de f. Esta gráfica puede interpretarse geométricamente

como una superficie en el espacio, como se explicó en las secciones 11.5 y 11.6.

En la figura 13.2 hay que observar que la gráfica de z f x, y es una superficie cuya

proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. A cada punto (x, y) en D corresponde

un punto (x, y, z) de la superficie y, viceversa, a cada punto (x, y, z) de la superficie le corresponde

un punto (x, y) en D.

EJEMPLO 2

Descripción de la gráfica de una función

de dos variables

¿Cuál es el rango de f x, y 16 4x 2 y 2 ? Describir la gráfica de f.

Solución El dominio D dado por la ecuación de f es el conjunto de todos los puntos

(x, y) tales que 16 4x 2 y 2 ≥ 0. Por tanto, D es el conjunto de todos los puntos que

pertenecen o son interiores a la elipse dada por

x 2

4 y2

16 1.

Elipse en el plano xy.

El rango de f está formado por todos los valores z f x, y tales que 0 ≤ z ≤ 16 o sea

0 ≤ z ≤ 4.

Rango de f.

Un punto (x, y, z) está en la gráfica de f si y sólo si

La gráfica de f x, y 16 4x 2 y 2

es la mitad superior de un elipsoide

Figura 13.3

z

z = 16 − 4x 2 − y 2

4 x 2 y 2 z 2 16

z 16 4x 2 y 2

z 2 16 4x 2 y 2

x 2

4 y2

16 z2

1, 0 ≤ z ≤ 4.

16

De acuerdo con la sección 11.6, se sabe que la gráfica de f es la mitad superior de un elipsoide,


x

Figura 13.4

y

Para dibujar a mano una superficie en el espacio, es útil usar trazas en planos paralelos

a los planos coordenados, como se muestra en la figura 13.3. Por ejemplo, para hallar

la traza de la superficie en el plano z 2, se sustituye z 2 en la ecuación

z 16 4x 2 y 2 y se obtiene

2 16 4x2 y 2

x 2

3 y2

12 1.

Por tanto, la traza es una elipse centrada en el punto (0, 0, 2) con ejes mayor y menor de

longitudes 43 y 23.

Las trazas también se usan en la mayor parte de las herramientas de graficación tridimensionales.

Por ejemplo, la figura 13.4 muestra una versión generada por computadora

de la superficie dada en el ejemplo 2. En esta gráfica la herramienta de graficación tomó

25 trazas paralelas al plano xy y 12 trazas en planos verticales.

Si se dispone de una herramienta de graficación tridimensional, utilícese para representar

varias superficies.

1

60

80

80


Curvas de nivel

Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es usar un campo escalar

en el que el escalar z f x, y se asigna al punto x, y. Un campo escalar puede caracterizarse

por sus curvas de nivel (o líneas de contorno) a lo largo de las cuales el valor

de f x, y es constante. Por ejemplo, el mapa climático en la figura 13.5 muestra las curvas

de nivel de igual presión, llamadas isobaras. Las curvas de nivel que representan puntos

de igual temperatura en mapas climáticos, se llaman isotermas, como se muestra en la

figura 13.6. Otro uso común de curvas de nivel es la representación de campos de potencial

eléctrico. En este tipo de mapa, las curvas de nivel se llaman líneas equipotenciales.

1008

1012

8

0

10

4

0

10

100

0

100

4

008

1

1012

1016

1008

20

30

30

30

20

20

30

40

1004

1004

0 1 2

40

1008

50

1008

1004

1000

08

1000

10

70

90

Las curvas de nivel muestran las líneas de

igual presión (isobaras) medidas en

milibares

Figura 13.5

Las curvas de nivel muestran líneas de igual

temperatura (isotermas) medidas en grados

Fahrenheit

Figura 13.6

Los mapas de contorno suelen usarse para representar regiones de la superficie de la

Tierra, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Este tipo de

mapas se llama mapa topográfico. Por ejemplo, la montaña mostrada en la figura 13.7 se

representa por el mapa topográfico de la figura 13.8.

Un mapa de contorno representa la variación de z respecto a x y y mediante espacio entre

las curvas de nivel. Una separación grande entre las curvas de nivel indica que z cambia lentamente,

mientras que un espacio pequeño indica un cambio rápido en z. Además, en un mapa

de contorno, es importante elegir valores de c uniformemente espaciados, para dar una mejor

ilusión tridimensional.

Figura 13.7

USGS

Alfred B. Thomas/Earth Scenes

Figura 13.8


EJEMPLO 3

Dibujo de un mapa de contorno

El hemisferio dado por f x, y 64 x 2 y 2 se muestra en la figura 13.9. Dibujar un

mapa de contorno de esta superficie utilizando curvas de nivel que correspondan a

c 0, 1, 2, . . . , 8.

Solución Para cada c, la ecuación dada por f x, y c es un círculo (o un punto) en el

plano xy. Por ejemplo, para c 1 0, la curva de nivel es

x 2 y 2 64

Círculo de radio 8.

la cual es un círculo de radio 8. La figura 13.10 muestra las nueve curvas de nivel del hemisferio.

Superficie:

f(x, y) = 64 − x 2 − y 2

z

c 1 = 0

y

c 5 = 4

c 2 = 1

8

c 6 = 5

c 3 = 2

c 7 = 6

c 4 = 3 c 8 = 7

4

z

12

10

8

−8

−4

c 9 = 8

4

8

x

8

6

−4

x

4

4

2

4

y

x

8

Hemisferio

Figura 13.9

8

y

Mapa de contorno

Figura 13.10

−8

EJEMPLO 4

Dibujo de un mapa de contorno

Paraboloide hiperbólico

Figura 13.11

Superficie:

z = y 2 − x 2

El paraboloide hiperbólico dado por

z y 2 x 2

se muestra en la figura 13.11. Dibujar un mapa de contorno de esta superficie.

c = 2

c = 12

y

4

c = 0

c = −2

c = −4

c = −6

c = −8

c = −10

c = −12

Solución Para cada valor de c, sea f x, y c y dibújese la curva de nivel resultante en

el plano xy. Para esta función, cada una de las curvas de nivel c 0 es una hipérbola

cuyas asíntotas son las rectas y ±x. Si c < 0, el eje transversal es horizontal. Por ejemplo,

la curva de nivel para c 4 está dada por

x 2

Hipérbola con eje transversal horizontal.

2 y2

2 2 1. 2

−4

−4

Curvas de nivel hiperbólicas

(con incrementos de 2)

Figura 13.12

4

x

Si c > 0, el eje transversal es vertical. Por ejemplo, la curva de nivel para c 4 está dada

por

y 2

Hipérbola con eje transversal vertical.

2 x2

2 2 1. 2

Si c 0, la curva de nivel es la cónica degenerada representada por las asíntotas que se

cortan, como se muestra en la figura 13.12.


z = 100x 0.6 y 0.4

y

z c = 100x 80 000 0.6 y 0.4 c = 160 000

y

2 000 c = 80,000 c = 160,000

2000

1 500

(2 000, 1 000)

1500

1 000

(2000, 1000)

1000

500

500

x

500 1 000 1 500 2 000

(1 000, 500)

x

500 1000 1500 2000

(1000, 500)

Level Figura curves 13.13 (at increments of 10,000)

Figure 13.13

Curvas de nivel (con incrementos de 10 000)

f(x, y, z) = c 3

f(x, y, z) = c 3

f(x, y, z) = c z

f(x, y, z) = c 2 z

f(x, y, z) = c 1

2

f(x, y, z) = c 1

13.1 Introduction to Functions of Several Variables 891

Un ejemplo de función de dos variables utilizada en economía es la función de producción

de Cobb-Douglas. Esta función se utiliza como un modelo para representar el

número One de example unidades of producidas a function al of variar two las variables cantidades used de in trabajo economics y capital. is the Si Cobb- x mide las

unidades Douglas de production trabajo y yfunction. mide las This unidades function de capital, is used el as número a model unidades to represent producidas the

está numbers dado of por units produced by varying amounts of labor and capital. If x measures the

units of labor and

f x, y Cx a y

y 1a measures the units of capital, the number of units produced is

given by

donde C

a son constantes, con 0 < a < 1.

fx, y Cx a y 1 a

EJEMPLO where C and 5 aLa are función constants with de producción 0 < a < 1. de Cobb-Douglas

Un fabricante de juguetes estima que su función de producción es f x, y 100x 0.6 y 0.4 ,

donde EXAMPLE x es el número 5 The de Cobb-Douglas unidades de trabajo Production y y es Function el número de unidades de capital.

Comparar el nivel de producción cuando x 1 000 y y 500 con el nivel de producción

cuando

A toy manufacturer

x 2 000 y y

estimates

1 000.

a production function to be fx, y 100x 0.6 y 0.4 , where

x is the number of units of labor and y is the number of units of capital. Compare the

Solución production Cuando level when x 1 x000 1000 y y and 500, yel nivel 500de with producción the production es level when

x 2000 and y 1000.

ƒ(1 000, 500) 100(1 000 0.6 )(500 0.4 ) 75 786.

Solution When x 1000 and y 500, the production level is

Cuando x 2 000 y y 1 000, el nivel de producción es

f 1000, 500 100 1000

ƒ(2 000, 1 000) 100(2 000 0.6 0.6 500

)(1 0.4 000 0.4 75,786.

) 151 572.

When x 2000 and y 1000, the production level is

Las curvas de nivel de z f x, y se muestran en la figura 13.13. Nótese que al doblar

ambas f 2000, x y y, se 1000 duplica 100 el nivel 2000de 0.6 producción 1000 0.4 (ver 151,572. ejercicio 79).

The level curves of z f x, y are shown in Figure 13.13. Note that by doubling both

Superficies x and y, you double de nivel the production level (see Exercise 79).

El concepto de curva de nivel puede extenderse una dimensión para definir una superficie

de Level nivel. Surfaces Si f una función de tres variables y c es una constante, la gráfica de la ecuación

fThe x, y, concept z c of es a una level superficie curve can de be nivel extended la función by one f, dimension como se to muestra define en a level la figura

13.14. surface. If f is a function of three variables and c is a constant, the graph of the

equation Ingenieros f x, y, y zcientíficos c is a level han desarrollado surface of the mediante function computadoras f, as shown in otras Figure formas 13.14. de ver

funciones With de computers, tres variables. engineers Por ejemplo, and scientists la figura have 13.15 developed muestra other una simulación ways to view computacional

functions que of usa three colores variables. para For representar instance, la Figure distribución 13.15 shows de temperaturas a computer simulation del fluido que

entra that uses en el color tubo. to represent the temperature distribution of fluid inside a pipe fitting.

x

x

y

y

Superficies de nivel de f

Level surfaces of f

Figura 13.14

Figure 13.14

Imagen cortesía de CADFEM GmbH

Una One-way forma coupling común de of ANSYS CFX TM y and ANSYS ANSYS Mechanical

Mechanical for thermal TM stress para analysis análisis de esfuerzos térmicos.

Figura Figure 13.15


EJEMPLO 6

Superficies de nivel

Describir las superficies de nivel de la función

f x, y, z 4x 2 y 2 z 2 .

Solución

Cada superficie de nivel tiene una ecuación de la forma

z

Superficies de nivel:

4x 2 + y 2 + z 2 = c

c = 4

4x 2 y 2 z 2 c.

Ecuación de una superficie de nivel.

Por tanto, las superficies de nivel son elipsoides (cuyas secciones transversales paralelas al

plano yz son círculos). A medida que c aumenta, los radios de las secciones transversales

circulares aumentan según la raíz cuadrada de c. Por ejemplo, las superficies de nivel correspondientes

a los valores c 0, c 4 y c 16 son como sigue.

x

Figura 13.16

c = 0

y

c = 16

4 x 2 y 2 z 2 0 Superficie de nivel para c 0 (un solo punto).

x 2

Superficie de nivel para c 4 (elipsoide).

1 y2

4 z2

4 1

x 2

Superficie de nivel para c 16 (elipsoide).

4 y2

16 z2

16 1

Estas superficies de nivel se muestran en la figura 13.16.

NOTA Si la función del ejemplo 6 representara la temperatura en el punto (x, y, z), las superficies

de nivel mostradas en la figura 13.16 se llamarían superficies isotermas.

■

Gráficas por computadora

El problema de dibujar la gráfica de una superficie en el espacio puede simplificarse usando

una computadora. Aunque hay varios tipos de herramientas de graficación tridimensionales,

la mayoría utiliza alguna forma de análisis de trazas para dar la impresión de tres

dimensiones. Para usar tales herramientas de graficación, por lo general se necesita dar la

ecuación de la superficie, la región del plano xy sobre la cual la superficie ha de visualizarse

y el número de trazas a considerar. Por ejemplo, para representar gráficamente la

superficie dada por

f x, y x 2 y 2 e 1x2 y 2

f(x, y) = (x 2 + y 2 )e 1 − x2 − y 2

z

x

Figura 13.17

y

se podrían elegir los límites siguientes para x, y y z.

3 ≤ x ≤ 3

3 ≤ y ≤ 3

0 ≤ z ≤ 3

Límites para x.

Límites para y.

Límites para z.

La figura 13.17 muestra una gráfica de esta superficie generada por computadora utilizando

26 trazas paralelas al plano yz. Para realizar el efecto tridimensional, el programa utiliza

una rutina de “línea oculta”. Es decir, comienza dibujando las trazas en primer plano

(las correspondientes a los valores mayores de x), y después, a medida que se dibuja una

nueva traza, el programa determina si mostrará toda o sólo parte de la traza siguiente.

Las gráficas en la página siguiente muestran una variedad de superficies que fueron

dibujadas por una computadora. Si se dispone de un programa de computadora para dibujo,

podrán reproducirse estas superficies.


z

z

z

x

x

y

x

y

Tres vistas diferentes de la gráfica de fx, y 2 y 2 x 2 e 1 x2 y 2 4

y

z

z

y

x

x

y

x

y

Trazas simples Trazas dobles Curvas de nivel

Trazas y curvas de nivel de la gráfica de fx, y

4x

x 2 y 2 1

z

z

z

x

y

y

x

y

x

f(x, y) = sen x sen y

f(x, y) = −

1

x 2 + y 2

f(x, y) =

1− x 2 − y 2

⎜ 1− x 2 − y 2 ⎜

894 Chapter 13 Functions of Several Variables

894 CAPÍTULO Chapter 13 13 Functions Funciones of Several de varias Variables variables



13.1 Exercises Ejercicios See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.


z

13.

f x, y

x sen y

13.1 xExercises y.

z

See www.CalcChat.com for worked-out solutions 13. to odd-numbered f x, y

2, exercises. x sen y

4


En In los Exercises ejercicios 1 and 1 y 2, use usar the la gráfica graph to para determine determinar whether si z es una is a

función function In Exercises de of x y 1 and y. and Explicar. 2, Explain. use the graph to determine whether is a

In function Exercises of x1 and y. 2, Explain. use the graph to determine whether z is a

function 1. of x and y. Explain.

z

1.

z

In Exercises 1 and 2, use

1.

z the graph to determine whether z is a

2

function of x and y. Explain. 2

1.

2.

2.

2.

2 z

2

3

4

y

4 3

4 y

x

4 3

4 y

x 4

x 3

z

4 y

4

z

3

z

x

3

2.

3

z

5

x 5

3

x 5

x

5

5

y

5

5 y

x

y

In Exercises 3–6, determine whether z

is a function of

x

and

y.

In Exercises 3–6, determine 5 whether z is a function of x and y.

En In 3. Exercises los x 2 zejercicios 3y 2 3–6, 3 xy determine a 6, 10 determinar whether y si 4. z zxz es is una a function 2xy función y of

de x

4x and y y. y.

3. x 2 3. 5. z 3y

y

z 3y xy 10 4. xz 2 2xy y 2 4

2 xy 10 4. xz 2 2xy y 2 4

In Exercises x z 6. z x ln y 8yz 0

4 9 3–6, 1

5. y 2

x

5. y 2 z

determine whether

6.

z

is a

x

function

ln y 8yz

of x and

0

y.

4 9

1

z 6. z x ln y 8yz 0

4 9

1

In 3. Exercises x 2 z 3y 2 7–18, xy find 10

and simplify 4.

the xz 2 function 2xy values. y 2 4

In Exercises x

In 5. y 2 7–18, find and simplify the function values.

7. Exercises fx, y 7–18, xy z find and simplify 6. the z function x ln y values. 8yz 0

4 9

1

En 7. los fx, ejercicios y xy

a) 3, 2

b) 7 a 18, 1, hallar 4

c) y simplificar 30, 5 los valores de la función.

7. fx, y xy

In Exercises a) 3, 2

7–18, b) find 1, and 4 simplify c) 30, the 5

d) 5, y e) x, 2 f ) 5, t function values.

a) d) 3, 5, 2y

b) e) 1, 4 c) 30, 5

7. 8.

fx, f y 4xy

x d) 5, y e) x, 2

4y

x, 2

f ) 5, t

8. fx, y 4 x f ) 5, t

a) 3, 0, 20

b) 4y 0, 8. fx, y 4 x 2 1, 1

4 c)

4y 2 c) 2, 30, 3 5

a) 0, 0 b) d)

5, 1, y

e)

0, 1

x, 20

f

c)

)

2, 3

f )

t, 5, 1 t

a) d) 0, 1, 0y

b) e) 0, 1 c) 2, 3

8. 9.

fx, y 4xe d) 1, y e) x, 0 f ) t, 1

x 2 4y

x, 0

9. fx, y xe

f ) t, 1

a) 0, 5, 0

b) 9. fx, y xe y 0, 3, 12

c)

2, 3 1

a) 5, 0 b) 3, 2 c) 2, 1

d)

1, 5, y

e) x, 0

f )

t, t1

a) d) 5, 5, 0y

b)

e)

3, x, 2

c)

f )

2, t, t 1

10. 9.

fgx, y xe ln d) 5, y e) x y

10. gx, y ln x x, y2

f ) t, t

a) 5, 1, 0

b) 3, 0, 2

1 c)

c) 2, 0, e1

10. gx, a) y1, 0 lnb) x 0, y 1 c) 0, e

d)

5, 1, y1

x, 2

t, t

a) 1, 0 b) e) e, e 2

0, 1

f ) f ) 2, 5

d) 1, 1 e) e, e 2 f

c)

)

0, 2, e5

10. g x, y ln xy x y

11.

d) hx, y, 1, z1

e) xy e, e 2 f ) 2, 5

11. a) hx, y, 1, z0

b) z 0, 1 c) 0, e

xy z

11.

d)

hx, a) y, 2, 1,

z

3, 1

9

e) b) z e, e1, 20, 1

f )

c) 2, 5 2, 3, 4 d) 5, 4, 6

a) 2, 3, 9 b) 1, 0, 1 c) 2, 3, 4 d) 5, 4, 6

12.

fx, y, z 11.

a)

h 2, 3, 9 xyx y z

12. fx, y, z b) x y1, 0, z1

c) 2, 3, 4 d) 5, 4, 6

a) 0, 5, 4 z

b)

6, 8, 3

12. fx, a) y, 0, z5, 4 xb)

y6, 8, z 3

a) c) 2, 4, 3, 6, 92

b) d)

1, 10, 0, 1

4, c) 3 2, 3, 4 d) 5, 4, 6

a) c) 0, 4, 5, 6, 42

b) d) 6, 10, 8, 4, 3 3

12. f x, y, z x y z

c) 4, 6, 2 d) 10, 4, 3

a) 0, 5, 4 b) 6, 8, 3

c) 4, 6, 2 d) 10, 4, 3

a) 2, 4

b) 3, 1

c) 3, 3

d)

4, 2

13. fx, a) y2, x 4sen y

14. Vr, V h r a) 2, 4

2 b) 3, 1 c) 3, 3 d) 4, 2

h

14. V r, h r b) 3, 1 c) 3, 3 d) 4, 2

13.

fx, a) y

3, 10x sen b) 2 h

14. Vr, h r 2 y 5, 2 c) 4, 8 d) 6, 4

a) 3, 10 h

yb) 5, 2 c) 4, 8 d) 6, 4

a) 2, 4

gx, a) 3, 10

b) 3, 1

b) 5, 2

c) 3, 3

c) 4, 8 d) 6,

d) 4, 2

15. g y y 2t 3 dt

4

14. 15. Vr, gx, h y

xyr 2 2t h 3 dt

3

15.

a)

ga) x, y

3, 4, 10 0

xb) b)

2t

4, 5,

3 12

dtc) c) 4, 4, 3 28

d) d)

2 , 6, 0 3 4

a) 4, 0 x

b) y 4, 1 c) 1

4, 3 3

15. 16. a) gx, g x, y4, 0 b) 2t

4,

3

1

dtc) 4, 3 2 d) 2 , 0

x t dt 2 d) 2 , 0

y

1

16. gx, y

y

1

16.

a)

g x, y

b) x t dt c) 4, 3 1

a) 3

4, 4, 01

x t dt b) 4, 6, 13

c) 2, 5 d) d) 2,

2 , 0 7

2

1

a) 4, 1 b) 6, 17. f x, y 2xy

fx, 1

a) 4, 1 b) 1 y

6, 2 3 c) 2, 5 d)

18. f y2, 7

3x

3 c) 2, 5 d) 2, 7

2 2y

16. 17. gx, f y 2x y

fx f x x, fx 17. f x, y 2xx

t dt 2 18. fx, y 3x

f x, y

f x 2 2y

x, y f x, y

a) fx x, y 2 18.

fx, a) y 3x 2 2y

1

4, 1

fx

b) x f x, y

fx x, y

6, 3

x, x,

c) 2, 5

d)

fx 2, 7 x f x, y

a) a)

x

x, x f x, y

17.

a) fx, a) fx, f x, yf y2x y x

2 f x, y 18.

fx, yf y3x 2 y

x2y

f x, y

b) fx, y y b)

f x, y

fx, y y y f x, y

b) fx, y x, f x, y b)

b) a) y

fx, y x, y

b) a)

y f x, y

In

En Exercises


19

yx

a 30,

describe

describir the

el domain

dominio and

y rango range xy

de of

la función.

fx, y 19–30, y describe f x, y the domain fx, and y range y fof x, the y

the

function. In Exercises

In function. Exercises b) 19–30, describe the domain b)

and range y of the

function. 19. fx, y x 2 y 2 20.

fx, y

e xy

19. f x, y x

In Exercises 19–30, 2 y 2 20. f x, y e 19. fx, 2 y 2 describe the domain and xy

y

20.

fx, e xy range of the

21. gx, y x y

22. gx, y

function.

y

21. g x, y x y

22. g x, y

x

y

21. gx, y

22. gx, 19. fx, yx

yx 2 y 2 20.

fx, y xy

x

23. z

e

x

24. z

xy

x

xy y

xxy

23. z

24. z

y

x y

xy y

23. 21. zgx, xy

25. fx, y x 4y

x 24. 22.

z

xy

2 y 2 gx, x y

26. fx, y 4

x y x

x 2 4y 2

25. f x, y 4 x 27. x, 25.

23.

fx, x yarccos 2 y

y

2 26. f x, y 4 x

28. fx, 4 2 y 2 26.

24.

fx,

z

xy arcsen yx

2 4y 2

27. zf x, y arccos x y 28. f x, y arcsen 4 xy 2 x 4y 2

29. x, xy

ln 4 30.

fx, x y

ln xy 6

27. 29. f x, x, y arccos ln 4 x y 28. 30. fx, f x, y arcsen ln xy yx 6

25. fx, x 29. f x, y ln 4 2 y 2 26. fx, 4 x 30. fx, y ln xy 2 4y

31. Think About It The graphs labeled a), b), c), and 6

2

(d) are

27. 31.

31. fgraphs Think x, y About

Para pensar of arccos the It

Las function xThe ygraphs gráficas fx,

marcadas ylabeled 28. fx, 4xa), y

a), x

b), 2 b), arcsen

c) yc), 2 and

d) son 1. yx(d) gráficas

Match are

31. 29. Think fgraphs the

de

x,

la four y About of

función

graphs lnthe 4Itfunction

f x, with xThe y the graphs

4xx

y

points fx, ylabeled in 30. 2 space fx, 4xa), y 2 from y xb), 2

1. Asociar which lnyc), xy 2 and the 1.

cada

6

surface (d) Match are

gráfi-

graphs is the

ca viewed. four of graphs the

con el punto The function with

en four the

el points points fx, y

espacio are in space

desde 20, 4x

el 15, from x 2

que 25 which

la , y 2 superficie 15, the 1.

10, surface Match

es 20

vi-

,

31. the Think is

sualizada. 20, viewed. four 20, About graphs 0 ,

Los and The Itwith cuatro 20, four The 0, the points graphs 0 puntos . are labeled in space 20, a), 15, from b), 25 which , c), and 15, the 10, surface (d) 20 are,

is viewed. The four points are

son (20,

20, 15,

15,

25

25),

,

(15,

15, 10,

10,

20

20),

graphs 20, 20, of 0 , the and

,

a) (20, 20, 0) y z function 20, 0, 0 fx, . y 4x x

(20, 0, 0)

b)

2 y z

2 1. Match

the a) 20, four 20, 0 graphs , and z with 20, 0, the 0 points . in space from which z the surface

z

b)

z

a) z

b)

x

a) is viewed. The four points b) are 20, 15, 25 , z 15, 10, 20 ,

x

20, 20, 0 , and 20, 0, 0 . x

x

a) z

b)

z

y

y

x

y

y

y

y

y

y

Generated by Mapley

Generated by Maple

Generated by Maple

Generated by Maple

Generada z con Maple

Generada con Maple

c) Generated by Maple

d) y

z

Generated by Maple

c) z

d)

z

z

z

c) c) z

d) d)

z

Generated by Maple

Generated by Maple

c) z

d)

z

x

y

x

y

x

y

y

x

y

y

x

y

y

x

x

y

Generated by Maple

Generated by Maple

x

x

Generated by Maple

Generated by Maple

Generada con Maple

Generada con Maple

Generated by Maple y

Generated by Maple

x

Generated by Maple

Generated by Maple


32. Para pensar Usar la función dada en el ejercicio 31.

a) Hallar el dominio y rango de la función.

b) Identificar los puntos en el plano xy donde el valor de la función

es 0.

c) ¿Pasa la superficie por todos los octantes del sistema de coordenadas

rectangular? Dar las razones de la respuesta.

En los ejercicios 33 a 40, dibujar la superficie dada por la función.

En los ejercicios 41 a 44, utilizar un sistema algebraico por computadora

para álgebra y representar gráficamente la función.

41. 42.

43. 44. f(x, y) x sen y

En los ejercicios 45 a 48, asociar la gráfica de la superficie con

uno de los mapas de contorno. [Los mapas de contorno están

marcados a), b), c) y d).]

a) b)

c) d)

45. 46.

47. 48.

En los ejercicios 49 a 56, describir las curvas de nivel de la función.

Dibujar las curvas de nivel para los valores dados de c.

En los ejercicios 57 a 60, utilizar una herramienta de graficación

para representar seis curvas de nivel de la función.

57. 58.

59. 60. h(x, y) 3 sen(x y)

gx, y

8

1 x 2 y 2 f x, y xy

f x, y x 2 y 2 2

y

x

−6

4

10

z

4

6

5

4

5

3 2 5

−2

x

y

z

f x, y cos x 2 2y 2

4

f x, y ln y x2

y

x

3

6

4

4

z

y

x

3

3

3

z

f x, y e 1x2 y 2

f x, y e 1x2 y 2

x

y

x

y

x

y

x

y

f x, y x 2 e xy2 z 1 12 144 16x2 9y 2

z y 2 x 2 1


61. ¿Qué es una gráfica de una función de dos variables? ¿Cómo

se interpreta geométricamente? Describir las curvas de nivel.

62. Todas las curvas de nivel de la superficie dada por

son círculos concéntricos. ¿Implica esto que la gráfica de f es un

hemisferio? Ilustrar la respuesta con un ejemplo.

63. Construir una función cuyas curvas de nivel sean rectas que

pasen por el origen.

z f x, y

32. Think About It Use the function given in Exercise 31.

(a) Find the domain and range of the function.

(b) Identify the points in the

plane at which the function

value is 0.

(c) Does the surface pass through all the octants of the rectangular

coordinate system? Give reasons for your answer.

In Exercises 33– 40, sketch the surface given by the function.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39.

40.

In Exercises 41–44, use a computer algebra system to graph the

function.

41. 42.

43. 44.

In Exercises 45–48, match the graph of the surface with one of

the contour maps. [The contour maps are labeled (a), (b), (c),

and (d).]

(a)

(b)

(c)

(d)

45. 46.

47. 48.

In Exercises 49–56, describe the level curves of the function.

Sketch the level curves for the given -values.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

In Exercises 57–60, use a graphing utility to graph six level

curves of the function.

57. 58.

59. 60. h x, y 3 sin x y

g x, y

8

1 x 2 y 2 fx, y xy

f x, y x 2 y 2 2

c 0, ± 1 2, ±1, ± 3 2, ±2

f x, y ln x y ,

c ± 1 2 , ±1, ± 3 2 , ±2

f x, y x x2 y 2 ,

c 2, 3, 4, 1 2 , 1 3 , 1 4

fx, y e xy 2 ,

c ±1, ±2, . . . , ±6

f x, y

xy,

c 0, 1, 2, 3

f x, y 9 x 2 y 2 ,

c 0, 1, 2, 3, 4

z x 2 4y 2 ,

c 0, 2, 4, 6, 8, 10

z 6 2x 3y,

c 1, 0, 2, 4

z x y,

c

y

x

−6

4

10

z

4

6

5

4

5

3 2 5

−2

x

y

z

fx, y

cos

x 2 2y 2

4

fx, y ln y x 2

y

x

3

6

4

4

z

y

x

3

3

3

z

fx, y e 1 x2 y 2

fx, y e 1 x2 y 2 x

y

x

y

y

x

y

fx, y

x sin y

f x, y x 2 e xy 2 z

1

12 144 16x 2 9y 2

z y 2 x 2 1

f x, y

xy,

0,

x 0, y 0

x < 0 o y < 0

f x, y e x z

1

2 x 2 y 2

z x 2 y 2 g x, y

1

2 y

f x, y y2 f x, y 6 2x 3y

f x, y 4

xy-


CAS

61. What is a graph of a function of two variables? How is it

interpreted geometrically? Describe level curves.

62. All of the level curves of the surface given by

are concentric circles. Does this imply that the graph of is

a hemisphere? Illustrate your answer with an example.

63. Construct a function whose level curves are lines passing

through the origin.

f

z

f x, y


64. Considere la función para y

(a) Sketch the graph of the surface given by

(b) Make a conjecture about the relationship between the

graphs of y Explain your

reasoning.

(c) Make a conjecture about the relationship between the


reasoning.

(d) Make a conjecture about the relationship between

the graphs of y Explain your

reasoning.

(e) On the surface in part (a), sketch the graph of

z f x, x .

gx, y

1

2 fx, y .

f

gx, y f x, y .

f

gx, y f x, y 3.

f

f.

y 0.

x 0

f x, y

xy,





value is 0.




33. 34.

35. 36.

37. 38.

39.

40.


function.

41. 42.

43. 44.



and (d).]

(a)

(b)

(c)

(d)

45. 46.

47. 48.



49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.



57. 58.

59. 60. h x, y 3 sin x y

g x, y

8

1 x 2 y 2 fx, y xy

f x, y x 2 y 2 2

c 0, ± 1 2 , ±1, ± 3 2 , ±2

f x, y ln x y , c ± 1 2 , ±1, ± 3 2 , ±2

f x, y x x2 y 2 ,

c 2, 3, 4, 1 2 , 1 3 , 1 4

f x, y e xy 2 ,

c ±1, ±2, . . . , ±6

f x, y

xy,

c 0, 1, 2, 3

f x, y 9 x 2 y 2 ,

c 0, 1, 2, 3, 4

z x 2 4y 2 ,

c 0, 2, 4, 6, 8, 10

z 6 2x 3y,

c 1, 0, 2, 4

z x y,

c

y

x

−6

4

10

z

4

6

5

4

5

3 2 5

−2

x

y

z

f x, y

cos

x 2 2y 2

4

f x, y ln y x 2

y

x

3

6

4

4

z

y

x

3

3

3

z

fx, y e 1 x2 y 2

fx, y e 1 x2 y 2 x

y

x

y

y

x

y

fx, y

x sin y

f x, y x 2 e xy 2 z

1

12 144 16x 2 9y 2

z y 2 x 2 1

fx, y

xy,

0,

x 0, y 0

x < 0 o y < 0

fx, y e x z

1

2 x 2 y 2

z x 2 y 2 g x, y

1

2 y

fx, y y2 fx, y 6 2x 3y

f x, y 4

xy-


CAS







through the origin.

f

z

f x, y






reasoning.



reasoning.



reasoning.


z f x, x .

gx, y

1

2 fx, y .

f

gx, y f x, y .

f

gx, y f x, y 3.

f

f.

y 0.

x 0

f x, y

xy,

Para discusión

64. Considerar la función

a) Trazar la gráfica de la superficie dada por f.

b) Conjeturar acerca de la relación entre las gráficas de f y


c) Conjeturar acerca de la relación entre las gráficas de f y


d) Conjeturar acerca de la relación entre las gráficas de f y


e) Sobre la superficie en el inciso a), trazar la gráfica de





value is 0.




33. 34.

35. 36.

37. 38.

39.

40.


function.

41. 42.

43. 44.



and (d).]

(a)

(b)

(c)

(d)

45. 46.

47. 48.



49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.



57. 58.

59. 60. h x, y 3 sin x y

g x, y

8

1 x 2 y 2 fx, y xy

f x, y x 2 y 2 2

c 0, ± 1 2, ±1, ± 3 2, ±2

f x, y ln x y ,

c ± 1 2 , ±1, ± 3 2 , ±2

f x, y x x2 y 2 ,

c 2, 3, 4, 1 2 , 1 3 , 1 4

fx, y e xy 2 ,

c ±1, ±2, . . . , ±6

f x, y

xy,

c 0, 1, 2, 3

f x, y 9 x 2 y 2 ,

c 0, 1, 2, 3, 4

z x 2 4y 2 ,

c 0, 2, 4, 6, 8, 10

z 6 2x 3y,

c 1, 0, 2, 4

z x y,

c

y

x

−6

4

10

z

4

6

5

4

5

3 2 5

−2

x

y

z

fx, y

cos

x 2 2y 2

4

fx, y ln y x 2

y

x

3

6

4

4

z

y

x

3

3

3

z

fx, y e 1 x2 y 2

fx, y e 1 x2 y 2 x

y

x

y

y

x

y

fx, y

x sin y

f x, y x 2 e xy 2 z

1

12 144 16x 2 9y 2

z y 2 x 2 1

fx, y

xy,

0,

x 0, y 0

x < 0 o y < 0

fx, y e x z

1

2 x 2 y 2

z x 2 y 2 gx, y

1

2 y

f x, y y2 fx, y 6 2x 3y

f x, y 4

xy-


CAS







through the origin.

f

z

f x, y






reasoning.



reasoning.



reasoning.


z f x, x .

gx, y

1

2 fx, y .

f

gx, y f x, y .

f

gx, y f x, y 3.

f

f.

y 0.

x 0

f x, y

xy,

hink About It Use the function given in Exercise 31.

) Find the domain and range of the function.

) Identify the points in the plane at which the function

value is 0.

) Does the surface pass through all the octants of the rectangular


ercises 33– 40, sketch the surface given by the function.

34.

36.

38.

ercises 41–44, use a computer algebra system to graph the

ion.

42.

44.

ercises 45–48, match the graph of the surface with one of

ntour maps. [The contour maps are labeled (a), (b), (c),

d).]

(b)

(d)

46.

47. 48.



49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.



57. 58.

59. 60. h x, y 3 sin x y

g x, y

8

1 x 2 y 2 fx, y xy

f x, y x 2 y 2 2

c 0, ± 1 2, ±1, ± 3 2, ±2

f x, y ln x y ,

c ± 1 2 , ±1, ± 3 2 , ±2

f x, y x x2 y 2 ,

c 2, 3, 4, 1 2 , 1 3 , 1 4

fx, y e xy 2 ,

c ±1, ±2, . . . , ±6

f x, y

xy,

c 0, 1, 2, 3

f x, y 9 x 2 y 2 ,

c 0, 1, 2, 3, 4

z x 2 4y 2 ,

c 0, 2, 4, 6, 8, 10

z 6 2x 3y,

c 1, 0, 2, 4

z x y,

c

y

x

−6

4

10

z

4

6

5

4

5

3 2 5

−2

x

y

z

fx, y

cos

x 2 2y 2

4

fx, y ln y x 2

y

x

3

6

4

4

z

y

3

3

3

z

fx, y e 1 x2 y 2

x, y e 1 x2 y 2 x

y

x

y

y

x

y

fx, y

x sin y

x, y x 2 e xy 2 z

1

12 144 16x 2 9y 2

y 2 x 2 1

x, y

xy,

0,

x 0, y 0

x < 0 o y < 0

x, y e x z

1

2 x 2 y 2

x 2 y 2 gx, y

1

2 y

x, y y2 fx, y 6 2x 3y

x, y 4

xy-








through the origin.

f

z

f x, y






reasoning.



reasoning.



reasoning.


z f x, x .

g x, y

1

2 f x, y .

f

gx, y f x, y .

f

gx, y f x, y 3.

f

f.

y 0.

x 0

f x, y

xy,

Think About It Use the function given in Exercise 31.




value is 0.



xercises 33– 40, sketch the surface given by the function.

34.

36.

38.

xercises 41–44, use a computer algebra system to graph the

ction.

42.

44.

xercises 45–48, match the graph of the surface with one of

contour maps. [The contour maps are labeled (a), (b), (c),

(d).]

(b)

(d)

46.

47. 48.



49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.



57. 58.

59. 60. h x, y 3 sin x y

g x, y

8

1 x 2 y 2 fx, y xy

f x, y x 2 y 2 2

c 0, ± 1 2, ±1, ± 3 2, ±2

f x, y ln x y ,

c ± 1 2 , ±1, ± 3 2 , ±2

f x, y x x2 y 2 ,

c 2, 3, 4, 1 2 , 1 3 , 1 4

fx, y e xy 2 ,

c ±1, ±2, . . . , ±6

f x, y

xy,

c 0, 1, 2, 3

f x, y 9 x 2 y 2 ,

c 0, 1, 2, 3, 4

z x 2 4y 2 ,

c 0, 2, 4, 6, 8, 10

z 6 2x 3y,

c 1, 0, 2, 4

z x y,

c

y

x

−6

4

10

z

4

6

5

4

5

3 2 5

−2

x

y

z

f x, y

cos

x 2 2y 2

4

f x, y ln y x 2

y

x

3

6

4

4

z

y

x

3

3

3

z

fx, y e 1 x2 y 2

fx, y e 1 x2 y 2 x

y

x

y

y

x

y

fx, y

x sin y

f x, y x 2 e xy 2 z

1

12 144 16x 2 9y 2

z y 2 x 2 1

fx, y

xy,

0,

x 0, y 0

x < 0 o y < 0

fx, y e x z

1

2 x 2 y 2

z x 2 y 2 g x, y

1

2 y

fx, y y2 fx, y 6 2x 3y

f x, y 4

xy-








through the origin.

f

z

f x, y






reasoning.



reasoning.



reasoning.


z f x, x .

gx, y

1

2 fx, y .

f

g x, y f x, y .

f

gx, y f x, y 3.

f

f.

y 0.

x 0

f x, y

xy,

. Think About It Use the function given in Exercise 31.




value is 0.



Exercises 33– 40, sketch the surface given by the function.

. 34.

. 36.

. 38.

.

.

Exercises 41–44, use a computer algebra system to graph the

nction.

. 42.

. 44.

Exercises 45–48, match the graph of the surface with one of

e contour maps. [The contour maps are labeled (a), (b), (c),

d (d).]

) (b)

) (d)

. 46.

47. 48.



49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.



57. 58.

59. 60. h x, y 3 sin x y

g x, y

8

1 x 2 y 2 fx, y xy

f x, y x 2 y 2 2

c 0, ± 1 2, ±1, ± 3 2, ±2

f x, y ln x y ,

c ± 1 2 , ±1, ± 3 2 , ±2

f x, y x x2 y 2 ,

c 2, 3, 4, 1 2 , 1 3 , 1 4

fx, y e xy 2 ,

c ±1, ±2, . . . , ±6

f x, y

xy,

c 0, 1, 2, 3

f x, y 9 x 2 y 2 ,

c 0, 1, 2, 3, 4

z x 2 4y 2 ,

c 0, 2, 4, 6, 8, 10

z 6 2x 3y,

c 1, 0, 2, 4

z x y,

c

y

x

−6

4

10

z

4

6

5

4

5

3 2 5

−2

x

y

z

fx, y

cos

x 2 2y 2

4

fx, y ln y x 2

y

x

3

6

4

4

z

y

x

3

3

3

z

fx, y e 1 x2 y 2

fx, y e 1 x2 y 2 x

y

x

y

y

x

y

fx, y

x sin y

f x, y x 2 e xy 2 z

1

12 144 16x 2 9y 2

z y 2 x 2 1

fx, y

xy,

0,

x 0, y 0

x < 0 o y < 0

fx, y e x z

1

2 x 2 y 2

z x 2 y 2 gx, y

1

2 y

f x, y y2 f x, y 6 2x 3y

f x, y 4

xy-








through the origin.

f

z

f x, y






reasoning.



reasoning.



reasoning.


z f x, x .

gx, y

1

2 fx, y .

f

gx, y f x, y .

f

g x, y f x, y 3.

f

f.

y 0.

x 0

f x, y

xy,

qxp 10/27/08 12:05 PM Page 895





value is 0.




33. 34.

35. 36.

37. 38.

39.

40.


function.

41. 42.

43. 44.



and (d).]

(a)

(b)

(c)

(d)

45. 46.

47. 48.



49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.



57. 58.

59. 60. h x, y 3 sin x y

g x, y

8

1 x 2 y 2 fx, y xy

f x, y x 2 y 2 2

c 0, ± 1 2, ±1, ± 3 2, ±2

f x, y ln x y ,

c ± 1 2 , ±1, ± 3 2 , ±2

f x, y x x2 y 2 ,

c 2, 3, 4, 1 2 , 1 3 , 1 4

fx, y e xy 2 ,

c ±1, ±2, . . . , ±6

f x, y

xy,

c 0, 1, 2, 3

f x, y 9 x 2 y 2 ,

c 0, 1, 2, 3, 4

z x 2 4y 2 ,

c 0, 2, 4, 6, 8, 10

z 6 2x 3y,

c 1, 0, 2, 4

z x y,

c

y

x

−6

4

10

z

4

6

5

4

5

3 2 5

−2

x

y

z

f x, y

cos

x 2 2y 2

4

f x, y ln y x 2

y

x

3

6

4

4

z

y

x

3

3

3

z

fx, y e 1 x2 y 2

fx, y e 1 x2 y 2 x

y

x

y

y

x

y

fx, y

x sin y

f x, y x 2 e xy 2 z

1

12 144 16x 2 9y 2

z y 2 x 2 1

fx, y

xy,

0,

x 0, y 0

x < 0 o y < 0

fx, y e x z

1

2 x 2 y 2

z x 2 y 2 gx, y

1

2 y

f x, y y2 fx, y 6 2x 3y

f x, y 4

xy-


CAS







through the origin.

f

z

f x, y






reasoning.



reasoning.



reasoning.


z f x, x .

gx, y

1

2 fx, y .

f

gx, y f x, y .

f

gx, y f x, y 3.

f

f.

y 0.

x 0

f x, y

xy,

1053714_1301.qxp 10/27/08 12:05 PM Page 895





value is 0.




33. 34.

35. 36.

37. 38.

39.

40.


function.

41. 42.

43. 44.



and (d).]

(a)

(b)

(c)

(d)

45. 46.

47. 48.



49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.



57. 58.

59. 60. h x, y 3 sin x y

g x, y

8

1 x 2 y 2 fx, y xy

f x, y x 2 y 2 2

c 0, ± 1 2, ±1, ± 3 2, ±2

f x, y ln x y ,

c ± 1 2 , ±1, ± 3 2 , ±2

f x, y x x2 y 2 ,

c 2, 3, 4, 1 2 , 1 3 , 1 4

fx, y e xy 2 ,

c ±1, ±2, . . . , ±6

f x, y

xy,

c 0, 1, 2, 3

f x, y 9 x 2 y 2 ,

c 0, 1, 2, 3, 4

z x 2 4y 2 ,

c 0, 2, 4, 6, 8, 10

z 6 2x 3y,

c 1, 0, 2, 4

z x y,

c

y

x

−6

4

10

z

4

6

5

4

5

3 2 5

−2

x

y

z

fx, y

cos

x 2 2y 2

4

fx, y ln y x 2

y

x

3

6

4

4

z

y

x

3

3

3

z

fx, y e 1 x2 y 2

fx, y e 1 x2 y 2 x

y

x

y

y

x

y

fx, y

x sin y

f x, y x 2 e xy 2 z

1

12 144 16x 2 9y 2

z y 2 x 2 1

fx, y

xy,

0,

x 0, y 0

x < 0 o y < 0

fx, y e x z

1

2 x 2 y 2

z x 2 y 2 gx, y

1

2 y

f x, y y2 f x, y 6 2x 3y

f x, y 4

xy-


CAS







through the origin.

f

z

f x, y






reasoning.



reasoning.



reasoning.


z f x, x .

gx, y

1

2 fx, y .

f

gx, y f x, y .

f

gx, y f x, y 3.

f

f.

y 0.

x 0

f x, y

xy,


896 Chapter 13

13 Functions of

of

896 Chapter 13 Functions of Several Several Variables

Variables

Redacción En los ejercicios 65 y 66, utilizar las gráficas de las

curvas Writing

de In

In

nivel Exercises

(valores 65

65

de and

and

c uniformemente 66,

66, use

use the

the graphs

espaciados) of

of the

the de level

level

Writing

la

función curves f ( c

In para -values Exercises

dar evenly 65

una descripción spaced) and 66, of

of use

de the

the the

una function

graphs posible f

of

gráfica to

to the write level

de f.

a

curves

¿Es description ( c

-values

única la of

of

gráfica a evenly possible spaced)

de f ? graph

Explicar of

of of la f.

f.

the Is

Is

respuesta.

the

the function

graph f

of

of to f

write unique?

a

description Explain.

of a possible graph of f.

Is the graph of f

unique?

Explain.

65. y

66.

y

65.

65. y

66.

66.

y

65. y

66.

y

x

x

x

x

x

x

67. Inversión En el 2009 se efectuó una inversión de $1 000 al

67.

67.

6% Investment

de interés compuesto In

In 2009, an

an

anual. investment

Suponemos of

of $1000

que el was

was

inversor made

paga

in

in a

67. Investment

una bond

tasa earning In

de impuesto 6%

6% 2009, compounded an investment

R y que la annually. of $1000

tasa de inflación Assume was anual that

that made the

the es buyer

in a

bond I. En

el pays

pays

earning

año tax

tax

2019, at

at rate

rate

6%

el valor R

compounded and

and V the

the

de annual

annually. la inversión rate

rate of

of en inflation

Assume

dólares is

is

that

constantes I.

I.

In

In

the the

the

buyer

year

year

pays de

2009 2019,

tax

es

the

the

at value

rate R

V

and of

of

the annual rate of inflation is In the year

2019, the value of the the

the investment investment in in

in constant constant 2009 2009

I.

dollars dollars

V

is is

is

V VI, 000 0.06 10

VI, R 1 000 1 0.06 1 R

10

VI, R 1 000 1 0.06 1 R

10

.

1 I

.

1 I

Utilizar Use Use

Use this this

this

esta function function

función of of

of two de two

two

dos variables variables

variables to to

to complete para complete

completar the the

the table.

table.

la tabla.

Tasa de

de

Tasa impuestos

de

impuestos

0

0

0.28 0.28

0.28

0.35 0.35

0.35

Tasa de

de inflación

Tasa de inflación

0

0 0.03 0.03

0.03 0.05 0.05

0.05

68.

68.

Inversión Investment

Se A

depositan principal

$5 of

of $5000

en una is

is cuenta

deposited in ahorro

in a savings

68. Investment a una

tasa account

de interés that

that A earns principal

compuesto interest of continuo at

at $5000 a rate

rate of r

of

is (expresado r

deposited (written as

as in

en a forma decimal),

savings

account decimal).

compounded that earns

La cantidad continuously. interest at

A(r, t) The

The a rate

después amount

of r

(written

de A

t r, años

r, t

after

after

as a decimal),

es A(r, t

years

t) is

is

compounded

5 Ar,

Ar,

000e t rt . Utilizar 5000e continuously. rt esta .

Use

Use

función this

this The

de function amount

A

dos variables of

of r, two

two t

after

para variables t

years is

completar to la

to

Ar,

tabla.

complete t 5000e the

the table.

rt .

Use this function of two variables to

complete the table.

Número de

de años

años

Número de años

Tasa Tasa 5 5 10

10 10 15

15 15 20

20

20

0.02

0.02

0.02

0.03

0.03

0.03

0.04

0.04

0.04

0.05

0.05

0.05

En In

In los Exercises

ejercicios 69–74, a 74, sketch

dibujar the

the

la graph

gráfica of

of

de the

the

la level

level

superficie surface

In de

nivel

f x,

x, Exercises y,

y,

f x, z

y, c

z at

at

69–74,

the

the

c para given

sketch

el value

the

valor of

of

de c.

c.

graph of the level surface

f x, y, z

c at the given value of

c. c que se especifica.

69.

69.

f x,

x, y,

y, z x y z,

z,

c 1

69. f x, y, z x y z, c 1

70.

70.

f x,

x, y,

y, z 4x

4x y 2z,

2z,

c 4

70. f x, y, z 4x y 2z, c 4

71.

71.

71.

f x,

x, y,

y, z x 2 y 2 z

f x, y, z x 2 y 2 z 2 2 ,

,

c c 9

9

72.

72.

f x,

x, y,

y, z x 2 1

72. f x, y, z x 2 1

4y 4y 2 z,

z,

c 1

4y 2 z, c 1

73. 73.

73.

f f x, x,

x, y, y,

y, z z 4x 4x

4x 2 2 4y 4y

4y 2 2 z z 2 2 ,

,

c c 0

0

74. 74.

74.

f f x, x,

x, y, y,

y, z z sen sen

sen x x z, z,

z,

c c 0

0

75. Explotación forestal La regla de los troncos de Doyle es uno

75.

75. de Forestry

varios métodos The

The Doyle

para Log

Log

determinar Rule is

is el one

one

rendimiento of

of several en methods

madera used

used

75. Forestry aserrada

to

to determine The

(en tablones-pie) the

the Doyle lumber Log

en yield Rule

términos of

of is a one

de log

log of

su (in

(in several

diámetro board-feet) methods

d (en pulgadas) in

in terms

used

to y of

of determine

su its

its

longitud diameter the lumber

L (en d

(in

(in

pies). inches) yield of

El número and

and a log its

its (in

de tablones-pie length board-feet) L

(in

(in

es

feet). in terms

The

The

of number its diameter of

of board-feet d

(in inches)

Nd, L

d 4

4 2 is

is

and its length L

(in feet). The

number of board-feet is

2L.

d 4

2 Nd,

Nd, L

2

d 4

L. L. Nd,

a) Hallar L

el número 4

L. 4 de tablones-pie de madera aserrada producida

por un tronco de 22 pulgadas de diámetro y 12 pies de

(a)

(a) Find

Find

longitud.

the

the number of

of board-feet of

of lumber in

in a log

log 22

22 inches

(a) Find in

in diameter the number and

and 12

12

of board-feet feet

feet in

in length.

of lumber in a log 22 inches

in diameter and 12 feet in length.

Evaluar N30, 12.

(b)

(b) Find

Find

N 30, 12

12 .

(b) Find

N 30, 12 .

Modelo de filas La cantidad de tiempo promedio que un

76.

76. Queuing

cliente espera Model

en una The

The

fila average

para recibir length

un of

of

servicio time

time that

that

es

a customer

76. Queuing waits in

in line

line Model for

for

Wx, y service The average is

is

length of time that a customer

waits in line for service is

x 1

y , x > y

Wx,

Wx, y

Wx, y

donde y es x

1

el ritmo y x

y , , x x o > > tasa y

y

media de llegadas, expresada como

número de clientes por unidad de tiempo, y x es el ritmo o tasa

where

y

is

is the

the average arrival rate,

rate, written as

as the

the number of

of

where media de servicio, expresada en las mismas unidades. Evaluar

customers y

is the per

per average unit

unit of

of time, arrival and

and

rate, x

is

is written the

the average as the service number rate,

rate,

of

customers cada una de las siguientes cantidades.

written in

in per the

the same

unit of units. time, Evaluate and

x

is each

each the of

of average the

the following.

service rate,

written in the same units. Evaluate each of the following.

a)

a) W 15,

15, 9

b)

b) W 15,

15, 13

13

c)

c) W 12,

12, 7

d)

d)

W 5,

5, 2

a) W 15, 9

b) W 15, 13

c) W 12, 7

d)

W 5, 2

Distribución de temperaturas La temperatura T (en grados

77.

77. Temperature Distribution The

The temperature T

(in

(in degrees

77. Temperature en cualquier punto (x, y) de una placa circular acero

Celsius) at

at any

any Distribution point

x,

x, y

The in

in a circular

temperature steel

steel T

de 10 metros de radio es T 600 0.75x 2 plate (in of

of degrees

0.75y 2

radius

Celsius) , donde x

10

10 meters at any is

is T point

600

600 x, y

0.75x in a y y se miden en metros. Dibujar 2 2 circular 0.75y steel

algunas de 2 2 ,

where plate x

of

and

and radius

y

are

are

10 las curvas isotermas.

measured meters in

in

is meters.

T 600 Sketch 0.75x some 2 of

of 0.75y the

the isothermal 2 ,

where x

curves.

and y

are

measured in meters. Sketch some of the isothermal curves.

Potencial eléctrico El potencial eléctrico V en cualquier punto

78.

78. Electric Potential The

The electric potential V

at

at any

any point x,

x, y

is

is

78. Electric (x, y) es

Potential The electric potential V

at any point x, y

is

5

Vx,

Vx,

Vx, y

y

5

Vx, y

25 25

x 2 2 y x 2 2 y . . 2 2 Dibujar the las curvas equipotenciales for de V 1

1 V 1 y

2 ,

1

3 ,

1

Sketch the equipotential curves for

V

1

2, 2,

V

1

3, 3,

and

and

V

1

44.

4.

Sketch the equipotential curves for

V

V

and

V

.

79. 79. Función Cobb-Douglas de producción Production de Function

2,

Cobb-Douglas Use

Use the

the

3,

Utilizar Cobb-Douglas

4.

función

79. Cobb-Douglas de production producción function Production

de Cobb-Douglas (see

(see Example Function

(ver 5)

5) ejemplo to

to Use show the 5) that

that Cobb-Douglas

para if

if the

the mostrar number

que

production si of

of el units

units número of

of function labor de unidades and

and (see the

the Example number de trabajo of

of 5) units

units to show

y el número of

of capital that if the

de are

are number

unidades doubled,

de

of capital the

the units production of labor

se duplican, level

level and the

el is

is nivel also

also number de doubled.

of units of capital are doubled,

producción también se duplica.

the production level is also doubled.

80. 80. Función Cobb-Douglas de producción Production de Cobb-Douglas Function Show Mostrar that

that the

the que Cobb-

la función

Douglas de producción production Production de Cobb-Douglas

puede rees-

80. Cobb-Douglas cribirse como ln z function

Function z Cx

Cx

y ln C a ln x a a y z 1 1 Show

a a can Cx can

that a ybe be 1a rewritten

the Cobb-

as

as

Douglas production function

z Cx a y 1 a can be rewritten as

y . ln

ln ln z z ln

ln C a ln

ln 81. Costo* ln C a ln x x y

de construcción y y

y . . Una caja rectangular abierta por arriba

tiene x pies de longitud, y pies de ancho y z pies de alto.

81.

81. Construction Cost

Cost A rectangular box

box with

with an

an open

open top

top has

has a

81. Construction

Construir la base cuesta $1.20 por pie cuadrado y construir los

length of

of x

feet,

feet,

Cost a width

A rectangular of

of y

feet,

feet, and

and

box a

with height

an of

of

open z

feet.

feet.

top It

It

has costs

a

length

lados $0.75 por pie cuadrado. Expresar el costo C de construc-

$1.20

of per

per

x feet, square

a width foot

foot to

to

of build

y feet, the

the

and base

base

a height and

and

of $0.75

z feet. per

per

It square

costs

$1.20

ción de la caja en función de x, y y z.

foot

foot to

to

per build

square the

the sides.

foot to Write

build the

the

the cost

cost

base C

of

of

and constructing

$0.75 per the

the

square

box

box

foot

82. Volumen as

as a

to function

build the

Un of

of

sides.

tanque x,

x,

y,

y,

and

and

Write

de propano z.

z.

the cost C of constructing the box

as a function of x, y, and z. se construye soldando hemisferios

a los extremos de un cilindro circular recto. Expresar volu-

82.

82. Volume A propane tank

tank is

is

82. Volume A propane tank is constructed constructed by by

by welding

welding

men V del tanque en función de r y l, donde r es el radio del cilin-

hemispheres hemispheres to to

to the the

the ends ends

ends of of

of a right right

right circular circular cylinder. cylinder. Write Write the the

the

dro y de los hemisferios, y l es la longitud del cilindro.

volume volume V

of of

of

V

the the

the tank tank

tank as as

as a a function function of of

of r

r

and and

and l, l,

l,

where where r

r

is is

is

83. the the Ley

the radius radius

de los of of

of

gases the the

the cylinder cylinder

ideales and and

and

De hemispheres, hemispheres,

acuerdo con and and la

and

ley l

l

is is

is

de the the

the

los length

length

gases

of of ideales,

of the the

the cylinder.

cylinder.

PV kT, donde P es la presión, V es el volumen, T es

la temperatura (en kelvins) y k es una constante de propor-

83. 83.

83. Ideal Ideal Gas Gas

Gas Law Law

Law According According to to

to the the

the Ideal Ideal Gas Gas

Gas Law, Law,

Law,

PV PV

PV

kT, kT,

kT,

cionalidad. Un tanque contiene 2 000 pulgadas cúbicas de

where where P

P

is is

is pressure, pressure, V

V

is is

is volume, volume, T

T

is is

is temperature temperature (in (in

(in Kelvins),

Kelvins),

nitrógeno una presión de 26 libras por pulgada cuadrada y una

and and

and k

k

is is

is a a constant constant of of

of proportionality. proportionality. A A tank tank

tank contains contains 2000

2000

temperatura de 300 K.

cubic cubic inches inches of of

of nitrogen nitrogen at at

at a a pressure pressure of of

of 26 26

26 pounds pounds per per

per square

square

inch a) inch

inch

Determinar

and and

and a a temperature temperature

k.

of of

of 300 300

300 K. K.

K.

(a) (a) b)

(a) Expresar Determine

Determine

P k. como k.

k.

función de V y T y describir las curvas de

nivel.

(b) (b)

(b) Write Write P

P

as as

as a a function function of of

of V

V

and and

and T

T

and and

and describe describe the the

the level level

level

curves.

curves.

* En España se le denomina coste.


SECCIÓN 13.1 13.1 13.1 Introduction Introducción to to Functions a las funciones of of Several Several de varias Variables variables 897

897

84. Modeling Data The table shows the net sales x (in billions of

84. 84. Modeling Modelo matemático Data The table La tabla shows muestra the net las sales ventas (in netas billions x (en of

dollars), Data the total The assets table shows y (in billions the net sales of dollars), x (in billions and of the

dollars), miles dollars), millones the total de assets dólares), (in los billions activos of totales dollars), y (en and miles the

shareholder’s the total equity assets z (in ybillions (in billions of dollars) of dollars), for Wal-Mart and the for de

shareholder’s millones dólares) equity y los (in derechos billions of de dollars) los accionistas for z (en miles for

the years 2002 equity through z (in 2007. billions (Source: of dollars) 2007 for Annual Wal-Mart Report for

the de the millones years 2002 de dólares) through de 2007. Wal-Mart (Source: desde 2007 2002 Annual hasta el Report

for years Wal-Mart) 2002 through 2007. (Source: 2007 Annual Report 2007.

for (Fuente: for Wal-Mart)

2007 Annual Report for Wal-Mart)

Año 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Año Año 2002 2002 2003 2003 2004 2004 2005 2005 2006 2006 2007 2007

x 201.2 226.5 252.8 281.5 208.9 345.0

x 201.2 201.2 226.5 226.5 252.8 252.8 281.5 281.5 208.9 208.9 345.0 345.0

y 79.3 90.2 102.5 117.1 135.6 151.2

y 79.3 79.3 90.2 90.2 102.5 102.5 117.1 117.1 135.6 135.6 151.2 151.2

z 35.2 39.5 43.6 49.4 53.2 61.6

z 35.2 35.2 39.5 39.5 43.6 43.6 49.4 49.4 53.2 53.2 61.6 61.6

Un A modelo for para these estos data datos is es

A model model for for these these data data is is

z f x, y 0.026x 0.316y 5.04.

z f x, x, y 0.026x 0.026x 0.316y 0.316y 5.04. 5.04.

(a) Utilizar Use a graphing una herramienta utility and de the graficación model to y approximate el modelo zpara

for

(a) (a)

aproximar

Use Use graphing utility and the model to for

the a given graphing

zvalues para

utility

los of valores x

and y. the

dados

model

de x

to

y

approximate

y.

z for

the given values of and y.

(b)

the

¿Cuál Which

given

de of

values

las the dos two

of x

variables variables

and y.

en in este this modelo model tiene has the mayor greater influencia

(b) (b) Which Which of the two variables in this has the greater

influence of

sobre

the on los shareholder’s two

derechos

variables

de equity? in

influence on equity? los

this

accionistas?

model has the greater

(c)

influence

(c) Simplificar Simplify

on

Simplify the la the

shareholder’s

expresión expression

equity?

de for f for (x, 95) fx, e 95 interpretar and interpret

and interpret su significado

its

(c) its

Simplify fx, 95

meaning

meaning en el in contexto

the in the expression context

the context del problema. of for the problem. fx, 95 and interpret its

of the problem.

85.

85. Meteorología Meteorology

meaning in the Los Meteorologists

context of the problem.

meteorólogos measure miden measure la presión the atmospheric

the atmosférica

85. Meteorology

en pressure

pressure milibares. in

in A millibars. Meteorologists

partir de From

From estas these

these observaciones

measure observations the elaboran

atmospheric they

they create mapas create

pressure

climáticos weather in maps

weather maps en

millibars.

los on

on que which

which se

From

muestran the these curves

the curves las

observations

curvas of equal

of equal de presión

they atmospheric create

atmosférica

pressure weather

pressure constante

maps (isobars) on

(isobars)(isobaras) are which drawn the

are drawn (ver (see curves

(see la figure).

figure). figura).

of On

On En

equal the

the el map,

map, mapa,

atmospheric the

the cuanto closer

pressure closer

más the isobars

the isobars juntas

(isobars)

the están the higher

higher las

are

isobaras

drawn the wind (see

the wind mayor speed. figure).

speed. es Match

Match la

On

velocidad

the points map, A,

points A, del

the B,

B, viento.

closer and C

the and

Asociar with isobars (a)

with (a) los highest the

highest puntos

higher pressure,

pressure, A, B

the

y

wind

C(b) con (b) speed. lowest

lowest a) la mayor

Match pressure,

pressure, presión,

points and A,

and (c) b) (c) B,

la highest and

highest menor

C

with

presión wind (a) velocity.

wind velocity. y

highest

c) la mayor

pressure,

velocidad

(b) lowest

del viento.

pressure, and (c) highest

wind velocity.

1032

1032

5.60

1032

B

5.60

5.60

1032

B

5.60

1036

1036

1036

1036

C

C

1024

1024

1024

1024

1036

1036

1036

1036 1032 1032

1032

1028

1028

1032

1028

1028

1012

1012

1016

1012

1016

1020

1016

1012 1020

1024

1020

1016 1024

1024

1020

1024

1028

1028

1028

1028

A

A

1024

1024

1024

1024

4.30

4.30

4.40

4.30

4.40

4.52

4.40

4.30

4.52

4.52

4.40

4.52

4.7 0

4.70

4.7 4.7 0

Figura Figure para for 85 85 Figura Figure para for 86 86

Figure Figure for for 85 85 Figure Figure for for 86 86

86. Lluvia Acid Rain ácida The La acidez acidity del of agua rainwater de lluvia is measured se mide in en units unidades

called Rain

86. 86. Acid Acid Rain The acidity of is in units

llamadas pH. A The pH pH. of acidity

Un 7 is pH neutral, of

de

rainwater

7 es smaller neutro,

is values valores

measured are menores increasingly

units

corresponden

acidic, pH. and A

called called pH. pH of is neutral, smaller values are a

pH larger acidez

of 7 values creciente,

is neutral, are y increasingly smaller

valores

values

mayores alkaline. are increasingly

a alcalinidad The map

acidic, acidic, and larger values are alkaline. The map

creciente. shows and curves El

larger

mapa of equal values

muestra pH are and las

increasingly

curvas gives evidence pH

alkaline.

constante that downwind The

y da

map

evidencia

heavily curves

of

shows shows curves of equal pH and gives evidence that of

de industrialized que

of

en

equal

la dirección

pH areas and gives

en the la acidity que

evidence

sopla has that

heavily areas the acidity has el been

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downwind increasing.

de áreas

of

heavily

muy Using

Using industrializadas the industrialized level curves

the level curves la

areas

on acidez on the the

the map, ha map, acidity

ido determine aumentando.

has been the increasing. direction

the direction Utilizar of las of

Using

curvas the prevailing the

the de nivel

level winds

winds en

curves

el in mapa, in on the the

the para northeastern map,

determinar

determine United

United la

the

dirección States. direction

States. de

of

los

87.

the

vientos Atmosphere

prevailing

dominantes

winds

The en

in

contour el

the

noreste

northeastern

map de Estados shown

United

in Unidos.

States.

the figure was

87. 87. The contour map shown in the figure was

87. Atmósfera

Atmosphere computer generated El

The

contorno

contour using

using del data

data mapa

map collected mostrado

shown by in

by satellite en satellite the

la figura

figure instrumentation.

por Color generated

fue

was

generado

computer tation.

Color computadora is used using

is used to usando to data show collected

show una the

the colección “ozone by satellite

“ozone de hole”

hole” datos

instrumen-

in mediante Earth’s

Earth’s

instrumentación

tation. atmosphere. Color The is The del

used purple

purple satélite.

to show and

and El blue color blue the

areas se areas “ozone

usa para represent hole”

mostrar

in the Earth’s

the el lowest

lowest “agujero

atmosphere. levels

levels de of ozono” of ozone The

ozone en and

and la

purple

the atmósfera the green and blue areas

green areas de la

areas represent Tierra.

represent

Las the

the áreas highest the

highest púrpura

lowest levels.

levels. y

azul

levels (Source:

(Source: representan

of ozone National and

National los Aeronautics the más

green

bajos

areas and

and niveles

represent Space

Space de Administration)

ozono

the highest

y las

levels.

áreas

verdes

(Source:

representan

National Aeronautics

los niveles

and

más

Space

altos.

Administration)

(Fuente: National

Aeronautics and Space Administration)

5.60

5.00

5.00

5.00

4.7 4.7 0

0 4.7 0

5.00

4.70

4.52

4.52

4.52

4.52

4.22 4.22

4.22 4.22

4.22 4.22

4.22 4.22

NASA

NASA

GeoQuest GeoQuest Systems, Systems, Inc.

Inc.

GeoQuest Systems, Inc.

Figure for 87

Figure Figure

Figura for for

para 87 87

87

(a) Do the level curves correspond to equally spaced ozone

(a) (a) Do Do ¿Corresponden the level curves las curvas de nivel to a equally los mismos spaced niveles ozone

levels? the level Explain. curves correspond to equally spaced ozone de

levels? ozono espaciados? Explain. Explicar.

(b)

levels?

Describe

Explain.

how to obtain a more detailed contour map.

(b) (b) Describe Describir how how cómo to to obtener obtain obtain a un more more contorno detailed detailed mapa contour contour más map. map. detallado.

88. Geology The contour map in the figure represents colorcoded

seismic The contour amplitudes map of in a fault the figure horizon represents and a projected color-

88. 88. Geology Geology Geología The El mapa contour de contorno map in the de la figure figura representa colorcodetudes

sísmicas seismic en código de of color fault de horizon una falla and horizontal y un

amplicoded

contour seismic map, amplitudes which is used of a in fault earthquake horizon studies. and a projected (Source:

contour contour mapa de map, contorno which proyectado is used in que se usa en studies. los estudios (Source: de terremotos.

from (Fuente: Adaptado de Shipman/Wilson/Todd, An An to In-

Adapted map, from which Shipman/Wilson/Todd, is used in earthquake An studies. Introduction (Source: to

Adapted Adapted

Physical from Science, Shipman/Wilson/Todd, Tenth Edition) An Introduction to

Physical Physical troduction

Science, Science, to Physical

Tenth Tenth Science,

Edition) Edition) 10a. ed.)

(a) Discuss the use of color to represent the level curves.

(a) (a) Analizar Discuss the el uso use de of colores to para representar the level las curvas curves. de nivel.

(b)

Discuss

Do the level

the use

curves

of correspond

to represent

to equally

the level

spaced

curves.

amplitudes?

(b) (b) Do ¿Corresponden Do the level curves las curvas de to nivel equally a amplitudes spaced Explain. the level curves correspond to equally spaced amplitudes? uniformemente

Explain. espaciadas? Explicar.

Explain.


True True ¿Verdadero or False? o falso? In En los ejercicios 89–92, 89 a 92, determinar whether the

statement or False? is true In or Exercises false. If it 89–92, is false, determine explain why whether or give the si

an

la

statement declaración is true es verdadera or false. o If falsa. it is false, Si es explain falsa, explicar why or por give qué an

example that is true shows or false. it is false. If it is false, explain why or give an o

example dar un ejemplo that that shows shows que it it demuestre is is false. false. que es falsa.

89. If fx 0 , y 0 fx 1 , y 1 , then x 0 x 1 and y 0 y 1 .

89. 89. If Si fx f x 0 , y 0 fx f x 1 , y 1 , then entonces 0 and x 1

y y 0 y 1 .

90.

If

If

fx

f is 0 ,

a

y 0

function, 1 ,

then

y 1 , then

f ax,

x 0

ay

x 1

a

and

90. If Si is f es una función, then entonces

ax, ay f ax, ay fx, 2 fx,

y 0

y .

y 1 .

90. a 2 f x, y.

91.

If

A

f is

vertical

a function,

line can

then f ax, ay a

intersect the graph 2 fx, y

of

.

z f x, y at most

91. 91. A Una vertical recta line vertical can intersect puede cortar the graph la gráfica of de z x, f x, at y most

once. vertical line can intersect the graph of z f x, y at most a lo

once. sumo una vez.

92.

once.

Two different level curves of the graph of z f x, y can

92. 92. Two Two Dos different diferentes level curvas curves de nivel of the de graph la gráfica of de

zx, f x, can

intersect. different level curves of the graph of z f y can y

intersect.

pueden intersecarse.


13.2 Límites y continuidad

■ Entender la definición de un entorno en el plano.

■ Entender y utilizar la definición de límite de una función de dos variables.

■ Extender el concepto de continuidad a una función de dos variables.

■ Extender el concepto de continuidad a una función de tres variables.

Entornos en el plano

En esta sección se estudiarán límites y continuidad de funciones de dos o tres variables. La

sección comienza con funciones de dos variables. Al final de la sección, los conceptos se

extienden a funciones de tres variables.

El estudio del límite de una función de dos variables inicia definiendo el análogo bidimensional

de un intervalo en la recta real. Utilizando la fórmula para la distancia entre dos

puntos x, y y x 0 , y 0 en el plano, se puede definir el entorno de x 0 , y 0 como el disco

con radio > 0 centrado en x 0 , y 0


SONYA KOVALEVSKY (1850-1891)

Gran parte de la terminología usada para

definir límites y continuidad de una función

de dos o tres variables la introdujo el

matemático alemán Karl Weierstrass

(1815-1897). El enfoque riguroso de

Weierstrass a los límites y a otros temas en

cálculo le valió la reputación de “padre del

análisis moderno”. Weierstrass era un maestro

excelente. Una de sus alumnas más

conocidas fue la matemática rusa Sonya

Kovalevsky, quien aplicó muchas de las técnicas

de Weierstrass a problemas de la física

matemática y se convirtió en una de las

primeras mujeres aceptada como investigadora

matemática.

x, y:x x 0 2 y y 0 2 <

Disco abierto.

como se muestra en la figura 13.18. Cuando esta fórmula contiene el signo de desigualdad

menor que, <, al disco se le llama abierto, y cuando contiene el signo de desigualdad

menor o igual que, ≤, al disco se le llama cerrado. Esto corresponde al uso del < y

del ≤ al definir intervalos abiertos y cerrados.

y

Un disco abierto

Figura 13.18

δ

(x 0 , y 0 )

x

y

R

Punto

frontera

Punto

interior

Frontera de R

La frontera y los puntos interiores de una región R

Figura 13.19

x

Un punto x 0 , y 0 en una región R del plano es un punto interior de R si existe un

entorno d de x 0 , y 0 que esté contenido completamente en R, como se muestra en la figura

13.19. Si todo punto de R es un punto interior, entonces R es una región abierta. Un punto

x 0 , y 0 es un punto frontera de R si todo disco abierto centrado en x 0 , y 0 contiene puntos

dentro de R y puntos fuera de R. Por definición, una región debe contener sus puntos interiores,

pero no necesita contener sus puntos frontera. Si una región contiene todos sus puntos

frontera, la región es cerrada. Una región que contiene algunos pero no todos sus puntos

frontera no es ni abierta ni cerrada.

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información acerca de Sonya Kovalevsky, ver el

artículo “S. Kovalevsky: A Mathematical Lesson” de Karen D. Rappaport en The American


SECCIÓN 13.2 Límites y continuidad 899

Límite de una función de dos variables

DEFINICIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en x 0 , y 0 ,

excepto posiblemente en x 0 , y 0 , y sea L un número real. Entonces

lim lím

x, y→x 0 , y 0

fx, y L

si para cada > 0 existe un > 0 tal que

fx, y L <

siempre que 0 < x x 0 2 y y 0 2 < .

z

L + ε

L

L − ε

NOTA Gráficamente, esta definición del límite implica que para todo punto x, y x 0 , y 0 en el

disco de radio , el valor fx, y está entre L y L , como se muestra en la figura 13.20. ■

La definición del límite de una función en dos variables es similar a la definición del

límite de una función en una sola variable, pero existe una diferencia importante. Para determinar

si una función en una sola variable tiene límite, sólo se necesita ver que se aproxime al

límite por ambas direcciones: por la derecha y por la izquierda. Si la función se aproxima al

mismo límite por la derecha y por la izquierda, se puede concluir que el límite existe. Sin

embargo, en el caso de una función de dos variables, la expresión

x, y → x 0 , y 0

y

x (x 1 , y 1 ) (x 0 , y 0 )

Disco de radio δ

Para todo x, y en el círculo de radio , el

valor de fx, y se encuentra entre L y

L .

Figura 13.20

significa que el punto x, y puede aproximarse al punto 0 , y 0 por cualquier dirección. Si

el valor de

lím lim

x, y→x 0 , y 0

fx, y

x

no es el mismo al aproximarse por cualquier dirección, o trayectoria o camino a x 0 , y 0 , el

límite no existe.

EJEMPLO 1 Verificar un límite a partir de la definición

Mostrar que

lím lim x a.

x, y→a, b

Solución Sea fx, y x y L a. Se necesita mostrar que para cada > 0, existe un

entorno de a, b tal que

fx, y L x a <

siempre que x, y a, b se encuentre en el entorno. Primero se puede observar que

0 < x a 2 y b 2 <

implica que

fx, y a x a

x a 2

≤ x a 2 y b 2

< .

Así que se puede elegir d = e y el límite queda verificado.


Los límites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedades respecto a

la suma, diferencia, producto y cociente que los límites de funciones de una sola variable.

(Ver teorema 1.2 en la sección 1.3.) Algunas de estas propiedades se utilizan en el ejemplo

siguiente.

EJEMPLO 2

Cálculo de un límite

Calcular

Solución

y

Usando las propiedades de los límites de productos y de sumas, se obtiene

Como el límite de un cociente es igual al cociente de los límites (y el denominador no es

0), se tiene

lím lim

x, y→1, 2

lím lim

x, y→1, 2

5x 2 y

x 2 y 2.

lím lim

x, y→1, 2 5x2 y 51 2 2

10

lím lim

x, y→1, 2 x2 y 2 1 2 2 2

5.

5x 2 y

x 2 y 10

2 5

2.

EJEMPLO 3

Verificar un límite

7

6

5

−5 −4

5

x

Figura 13.21

z

2

3

4 5

y

Superficie:

5x 2 y

f(x, y) = x 2 + y 2

Calcular

Solución En este caso, los límites del numerador y del denominador son ambos 0, por

tanto no se puede determinar la existencia (o inexistencia) del límite tomando los límites

del numerador y del denominador por separado y dividiendo después. Sin embargo, por la

gráfica de ƒ (figura 13.21), parece razonable pensar que el límite pueda ser 0. En consecuencia,

se puede intentar aplicar la definición de límite a L 0. Primero, hay que observar

que

x

y y

2

≤ x2 y 2 x 2 y 2 ≤ 1.

Entonces, en un entorno de (0, 0), se tiene 0 < x 2 y 2 < , lo que, para (x, y) ≠

(0, 0) implica

fx, y 0

5 y

≤ 5 y

Por tanto, se puede elegir

lím lim

lím lim

x, y→0, 0

x, y→0, 0

5x 2 y

x 2 y 2.

≤ 5x 2 y 2

< 5.

5x 2 y

x 2 y 2 0.

5x 2 y

2 x 2 y

x 2

2 x 2 y

5

y concluir que


z

Con algunas funciones es fácil reconocer que el límite no existe. Por ejemplo, está

claro que el límite

4

lím lim

x, y→0, 0

1

x 2 y 2

no existe porque el valor de fx, y crece sin tope cuando x, y se aproxima a 0, 0 a lo largo

de cualquier trayectoria (ver la figura 13.22).

Con otras funciones no es tan fácil reconocer que un límite no existe. Así, el siguiente

ejemplo describe un caso en el que el límite no existe ya que la función se aproxima a valores

diferentes a lo largo de trayectorias diferentes.

x

3

3

y

EJEMPLO 4

Un límite que no existe

1

lím lim

no existe

x, y→0, 0 x 2 y 2

Figura 13.22

Mostrar que el siguiente límite no existe.

lim

x, y→0, 0

x2 y

lím

2

x 2 y 22

Solución

El dominio de la función

fx, y

x 2 y 2

x 2 y 22

consta de todos los puntos en el plano xy con excepción del punto (0, 0). Para mostrar que

el límite no existe cuando (x, y) se aproxima a (0, 0), considérense aproximaciones a (0, 0)

a lo largo de dos “trayectorias” diferentes, como se muestra en la figura 13.23. A lo largo

del eje x, todo punto es de la forma (x, 0) y el límite a lo largo de esta trayectoria es

NOTA En el ejemplo 4 se puede

concluir que el límite no existe ya que

se encuentran dos trayectorias que dan

límites diferentes. Sin embargo, si dos

trayectorias hubieran dado el mismo

límite, no se podría concluir que el

límite existe. Para llegar a tal conclusión,

se debe mostrar que el límite

es el mismo para todas las aproximaciones

posibles.

■

lim

x, 0→0, 0

x2 0 2

lím

x 2 0 22

lim lím

x, 0→0, 0 12

1.

Límite a lo largo del eje x.

Sin embargo, si x, y se aproxima a 0, 0 a lo largo de la recta y x, se obtiene

lim

0. Límite a lo largo de la recta y x.

x, x→0, 0

x2 x

lím

2

lim

x 2 x 22 lím

x, x→0, 0 0

2x 22

Esto significa que en cualquier disco abierto centrado en 0, 0 existen puntos x, y en los

que f toma el valor 1 y otros puntos en los que f asume el valor 0. Por ejemplo,

fx, y 1 en los puntos 1, 0, 0.1, 0, 0.01, 0, y 0.001, 0 y fx, y 0 en los puntos

1, 1, 0.1, 0.1, (0.01, 0.01) y 0.001, 0.001. Por tanto, f no tiene límite cuando

x, y → 0, 0.

2

z A lo largo del eje x: (x, 0) → (0, 0)

El límite es 1.

x

3

lím lim

no existe

x 2 y 22

Figura 13.23

x, y→0, 0 x2 y 2

3

y

A lo largo del eje y = x: (x, x) → (0, 0)

El límite es 0.


NOTA Esta definición de continuidad

puede extenderse a puntos

frontera de la región abierta R considerando

un tipo especial de límite en

el que sólo se permite a x, y tender

hacia x 0 , y 0 a lo largo de trayectorias

que están en la región R. Esta noción es

similar a la de límites unilaterales,

tratada en el capítulo 1.

■

Continuidad de una función de dos variables

En el ejemplo 2 hay que observar que el límite de fx, y 5x 2 yx 2 y 2 cuando

x, y → 1, 2 puede calcularse por sustitución directa. Es decir, el límite es f1, 2 2.

En tales casos se dice que la función f es continua en el punto 1, 2.

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Una función f de dos variables es continua en un punto x 0 , y 0 de una región

abierta R si fx 0 , y 0 es igual al límite de fx, y cuando x, y Æ x 0 , y 0 . Es decir,

lím lim fx, y fx 0 , y 0.

x, y→x 0 , y 0

La función f es continua en la región abierta R si es continua en todo punto de R.

En el ejemplo 3 se mostró que la función

fx, y

5x2 y

x 2 y 2

no es continua en (0, 0). Sin embargo, como el límite en este punto existe, se puede eliminar

la discontinuidad definiendo el valor de f en (0, 0) igual a su límite. Tales discontinuidades

se llaman removibles o evitables. En el ejemplo 4 se mostró que la función

fx, y

x 2 y 2

x 2 y 22

tampoco es continua en (0, 0), pero esta discontinuidad es inevitable o no removible.

TEOREMA 13.1

FUNCIONES CONTINUAS DE DOS VARIABLES

Si k es un número real y f y g son funciones continuas en x 0 , y 0 , entonces las funciones

siguientes son continuas en x 0 , y 0 .

1. Múltiplo escalar: kf

3. Producto: fg

2. Suma y diferencia: f ± g 4. Cociente: fg, si gx 0 , y 0 0

El teorema 13.1 establece la continuidad de las funciones polinomiales y racionales en

todo punto de su dominio. La continuidad de otros tipos de funciones puede extenderse de

manera natural de una a dos variables. Por ejemplo, las funciones cuyas gráficas se muestran

en las figuras 13.24 y 13.25 son continuas en todo punto del plano.

z

1

Superficie: f(x, y) = sen(x 2 + y 2 )

2

2

z

Superficie:

f(x, y) = cos(y 2 )e − x2 + y 2

x

y

x

2

2

y

La función f es continua en todo punto del plano

Figura 13.24

La función f es continua en todo punto en el plano

Figura 13.25


EXPLORACIÓN

Sostener una cuchara a un palmo de

distancia y mirar la propia imagen

en la cuchara. La imagen estará

invertida. Ahora, mover la cuchara

más y más cerca a uno de los ojos.

En algún punto, la imagen dejará de

estar invertida. ¿Podría ser que la

imagen ha sido deformada continuamente?

Hablar sobre esta

cuestión y sobre el significado general

de continuidad con otros miembros

de la clase. (Esta exploración

la sugirió Irvin Roy Hentzel, Iowa

State University.)

El siguiente teorema establece las condiciones bajo las cuales una función compuesta

es continua.

TEOREMA 13.2

NOTA En el teorema 13.2 hay que observar que h es una función de dos variables mientras que

g es una función de una variable.

■

EJEMPLO 5

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA

Si h es continua en x 0 , y 0 y g es continua en hx 0 , y 0 , entonces la función compuesta

g hx, y ghx, y es continua en x 0 , y 0 . Es decir,

lím lim ghx, y ghx 0 , y 0.

x, y→x 0 , y 0

Análisis de la continuidad

Analizar la continuidad de cada función.

a) fx, y x 2y b)

x 2 y 2

gx, y 2

y x 2

Solución

a) Como una función racional es continua en todo punto de su dominio, se puede concluir

que f es continua en todo punto del plano xy excepto en (0, 0), como se muestra en la

figura 13.26.

b) La función dada por gx, y 2y x 2 es continua excepto en los puntos en los

cuales el denominador es 0, y x 2 0. Por tanto, se puede concluir que la función es

continua en todos los puntos excepto en los puntos en que se encuentra la parábola

y x 2 . En el interior de esta parábola se tiene y > x 2 , y la superficie representada por

la función se encuentra sobre el plano xy, como se muestra en la figura 13.27. En el

exterior de la parábola, y < x 2 , y la superficie se encuentra debajo del plano xy.

x

3

z

5

4

x − 2y

f(x, y) = x 2 + y 2

y

x

5

z

5

4

3

2

g(x, y) = 2

y − x 2

4

y

y = x 2

La función f no es continua en (0, 0)

Figura 13.26

La función g no es continua en la parábola

y x 2

Figura 13.27

904 904 CAPÍTULO

Chapter 13

13

Functions

Funciones

of Several

de varias

Variables

variables

904

904

Chapter

Chapter

13

13

Functions

Functions

of

of

Several

Several

Variables

Variables

x

x

x

x

z

z

z

z

(x

(x 0 , y

0 0 , z

0 0 )

0 (x 0 , y 0 , z 0 )

(x 0 , y 0 , z 0 ) δ

δ

δ

δ

Open sphere in space

Esfera abierta en el espacio

Figure

Figura Open 13.28

Open

sphere

sphere 13.28in in

space

space

Figure

Figure

13.28

13.28

y

y

y

En In Exercises los ejercicios 1–4, 1 use a 4, the utilizar definition la definición of the limit de límite of a de function una función

two In variables de dos variables to verify para the verificar limit. el límite.

of

In

Exercises

Exercises

1–4,

1–4,

use

use

the

the

definition

definition

of

of

the

the

limit

limit

of

of a

function

function

of

of

1.

two

two

variables

variables lím x to

to 1 verify

verify

the

the

limit.

limit. 2. lím x 4

x, y → 1, 0 x, y → 4, 1

3. 1.

1. lím y 3 4. 2. lím lím y x b

x, x, y → lím x 1, 1, 03 x 1

2.

x, x, y →lím

a, 4, b 1 x 4

x, y

3.

In Exercises lím

→ 1, 0

4.

5–8, y find x, y → 4, 1

3.

lím

the indicated limit by using y x, y → the limits

En los ejercicios lím 1, 3 y x, y → a, b

5 a 3 4. lím

8, hallar el límite indicado y utilizando b

x, y → 1, 3 x, y → a, b

los

límites

In

In Exercises

Exercises fx, 5–8, y 5–8,

find 4 find

the

the y

indicated

indicated lím

limit

limit gx, y

by

by

using

using 3.

the

the

limits

limits

x, y lím

→ a, b fx, y x, y → a, b lím gx, y 3.

x, y → a, b y x, y lím → a, b g x, y 3.

5.

lím

x, y →lím

f x, a, b fx, y y

4 g x, y x, y → a, b

Continuidad Continuity de of a una Function función of de Three tres variables Variables

Las

The definiciones

Continuity preceding

anteriores

definitions

of of a Function

de límites

of limits

of

y

of

continuidad

and Three continuity pueden

Variables can

extenderse

be extended

a funciones

to functions

de tres

of

variables

three The variables

considerando

by considering

los puntos

points

x, y, z

x,

dentro

y, z within

de la esfera

the open

abierta

sphere

The

preceding

preceding

definitions

definitions

of

of

limits

limits

and

and

continuity

continuity

can

can

be

be

extended

extended

to

to

functions

functions

of

of

three

three

variables

variables

by

by

considering

considering

points

points

x,

x,

y,

y,

z

z

within

within

the

the

open

open

sphere

sphere

x x 0 2 2

y y 0 2 2

z z 0 2 2

x x 0 y y 0 z

<

z

2 0 .

< 2

. Open sphere

Esfera abierta.

2 2 2 0 0 z z 0 2

2 2 2 Open sphere

x x

.

0 y y 0 z z 0 < 2

. Open sphere

El radio de esta esfera es , y la esfera está centrada en x 0 , y 0 , z 0 , como se muestra en la

The radius of this sphere is , and the sphere is centered at x

figura 13.28. Un punto x 0 , y 0 , z 0 en una región R en el espacio es un 0 , y

punto 0 , z 0 , as shown in

interior de R

Figure

si existe

The 13.28. A point x

una -esfera centrada 0 , y 0 , z in a region R in space is an interior point of R if there

The

radius

radius

of

of

this

this

sphere

sphere

is

is en 0 ,

, x

and

and 0 , y

the

0

the , z

sphere

0 sphere que está

is

is

centered

centered contenida

at

at completamente x 0 , 0 , z 0 , as shown

en R.

in

Si

exists a -sphere about x that lies entirely in If every in is an

todo punto de R es un punto interior, , y , z R. 0 , y 0 , z 0 , as shown in

Figure Figure

13.28.

13.28. A

point

point x 0 , 0 , z 0 in 0

entonces region se

in

dice

space

que

is

R

an

es

interior

una región

point

abierta.

of if there

interior point, then R is called 0 , y 0 , z

open. 0 in a region R in space is an interior point of R if there

exists

exists a

-sphere

-sphere

about

about x 0 , 0 , z 0 that lies entirely in R. If every point in is an

0 , y 0 , z 0 that lies entirely in R. If every point in R is an

interior

interior

point,

point,

then

then

R

is

is

called

called

open.

open.

DEFINICIÓN DEFINITION CONTINUIDAD OF CONTINUITY DE UNA OF FUNCIÓN A FUNCTION DE TRES OF VARIABLES THREE VARIABLES

Una A

DEFINITION

función DEFINITION function f de f of

OF

tres OF three

CONTINUITY

CONTINUITY variables variables continua is

OF

OF continuous A

FUNCTION

FUNCTION en un at punto a

OF

OF point

THREE

THREE x 0 , xy 0 ,

0 , y

VARIABLES

VARIABLES z 0 ,

0 z 0 de in una an región open

abierta region R si Rfx if 0 , xy 0 , yz 0 , zestá 0 is definido defined y and es is igual equal to límite the limit de fx, of y, fx, z y, cuando z as

A

function

function

f

f

of

of

three

three

variables

variables

is

is

continuous

continuous

at

at a

point

point

x 0 , 0 , z 0 in x, open y, z

se aproxima x, y, z approaches a x 0 , y z . xEs 0 , ydecir,

0 , z 0 . That is,

0 , y 0 , z 0 in an open

region

region R

if

if

f

f x 0 , 0 , z 0 is defined and is equal to the limit of fx, y, z as

0 , y 0 , z 0 is defined and is equal to the limit of fx, y, z as

x,

x,

y,

y,

z

lím lim

z

approaches

approaches lím

x, y, z → x fx, fx, y, z x 0 ,

y, 0 z

, fx z 0 .

0 , f

That y x

0 , 0 , z y

is,

0 , y 0 , z 0 . That

x, y, z→x 0 , y 0 , z 0 , y

0

0. 0 is, , z 0 .

0 , z 0

lím fx, y, z f La función The function x, y, z límx f es continua 0 f, yis 0 , zcontinuous 0

fx, y, z

en una in f

región the x 0 , open 0 , z 0 .

0 , y

abierta 0 , z 0 region .

x, y, z → x 0 , y 0 , z 0 R si Res if continua it is continuous en todo at punto every

de R. point The function in R.

The function

f

f

is

is

continuous

continuous

in

in

the

the

open

open

region

region

R

if

if

it

it

is

is

continuous

continuous

at

at

every

every

point

point

in

in

R.

R.

EJEMPLO 6 Continuidad de una función de tres variables

EXAMPLE 6 Testing Continuity of a Function of Three Variables

La función EXAMPLE Testing Continuity of Function of Three Variables

The EXAMPLE function 6 Testing Continuity of a Function of Three Variables

1

The

The fx, function

function y, z

fx, y, z x 2 y 2 1 z

x 2 y 2 z

es continua fx,

fx, en y,

y,

ztodo z punto 1en el espacio excepto en los puntos sobre el paraboloide dado

por is z continuous x 2 y 2 . at each x 2 2 point y 2 2 in

z

z space except at the points on the paraboloid given by

zis continuous x 2 y 2 .

is continuous

at

at

each

each

point

point

in

in

space

space

except

except

at

at

the

the

points

points

on

on

the

the

paraboloid

paraboloid

given

given

by

by

z x 2 2 y 2 2 .

.




5.

5.

6.

6.

7. 6.

7.

7.

8.

8.

8.

x, y → a, b

lím

lím

lím

x, y → a, b

x, y → a, b

x, y → a, b

lím

lím lím

x, y → a, b

x, x, y y→ →a, a, b b

lím

lím

lím

x, y → a, b

x, y → a, b

x, y → a, b

lím

lím

x, y → a, b

x, y → a, b

5f fx,

f x, y

y

g

x,

x,

y

y

5f gx, y

5f

x,

x,

y

y

fx, gx,

g x,

yygx, y

y

fx, fx,

f x, y

y

gx,

g x, gy

yx, y

fx, yfx, y

f x, y

g

x,

x,

y

y

fx,

f x,

y

y

In En Exercises los ejercicios 9–22, 9 find a 22, the calcular limit and el discuss límite y the analizar continuity la continuidad

In function. de la función.

of

the

In

Exercises

Exercises

9–22,

9–22,

find

find

the

the

limit

limit

and

and

discuss

discuss

the

the

continuity

continuity

of

of

the

the 9.

function.

function. lím 2x 2 y 10. x 4y 1

lím

x, y → 2, 1

x, y → 0, 0

9.

9.

lím

10. lím xx y4y x, y →lím

2x

2, 1 2x 2

11. lím

2 y

y 10. x, y lím → 0, 0 x 4y 1

x, y → 2, 1

12. x, lím y → 0, 0

x, y → 2, 4 xx

2 1y

11. lím

12. lím

x, y → 1, 2 x

exy x y

11. lím

12. x, y lím → 2, 4 x 2 y

13.

x,

lím

y → 1, 2 exy 14.

x, ylím

→ 2, 4 x 2 1

x, y → 0, 2 yx

x, y → 1, 2

x

y

13. lím x

14. lím x y

13. x, y lím → 0, 2 y xy

14. x, y →lím1, 2 x x y

15.

x,

lím

y → 0, 2 y

16. lím

x, y → 1, 1 x 2 y 2 x, y → 1, 2 x y

xy

x, y → 1, 1 xx

y

15. lím xy

16. lím

x, y → 1, 1 x 2

17. lím y cos y 2 xy x, y → 1, 1

18. lím sen x x x

15. lím

16. lím

x, y → 1, 1 x 2 y 2 x, y → 1, 1 x

y

x, y → 4, 2 x, y → 2 , 4 y

17. lím

18. lím

arcsen y cos xy

xy x, y → 2 , 4arccos sen x y

17. x, y →lím4, 2 18.

y xy

19. lím

y cos xy lím

20. lím

sen x x, y → 4, 2 x, y → 2 , 4 y

x, y → 0, 1 arcsen 1 xy xy

x, y → 0, 1 arccos 1 xy x y

19. lím arcsen xy 20. lím arccos xy

21. 19. x, y lím → 0, 1

xxy

y z 22. 20. x, y →lím

0, 1

x, y, z 1, 3, 4

x, y, z 2, 1, 0 xeyz xy

x, y → 0, 1 1 xy

x, y → 0, 1 1 xy

21.

21.

lím

lím

x

x

y

y

z

z

22.

22.

lím

lím

x, y, z → 1, 3, 4

x, y, z → 1, 3, 4

x, y, z → 2, 1, 0 xeyz

x, y, z → 2, 1, 0 xeyz

SECCIÓN 13.2 13.2 Limits Límites and y Continuity continuidad 905 905

13.2 Limits and Continuity 905

En In Exercises los ejercicios 23–36, a find 36, hallar the limit el límite (if exists). (si existe). If the Si el limit límite does no

In Exercises 23–36, find the limit (if it exists). If the limit does

existe, not exist, explicar explain por why. qué.

not exist, explain why.

xy 23. 24. lím

2 lím xy 1

x

23. x, y → 1, 1

xy

24. x, y →lím

2 y

lím

1, 1

xy 2

x, y → 1, 1 1 xy

x, y → 1, 1 1 xy 2

25. lím 1

26. lím 1

25. x, ylím

→ 0, 0

26. x, ylím

→ 0, 0

2 2

x, y → 0, 0 x y

x, y → 0, 0 x 2 y 2

27. 28. lím

4 4y

lím

2 x 2

x 4

27. x, y → 2, 2

28. x, ylím

4 4y

lím

2 y 2

4

→ 0, 0

2 2y 2

x, y → 2, 2 x y

x, y → 0, 0 x 2 2y 2

29. lím x y

30. lím x y 1

29. x, ylím

→ 0, 0

30. x, ylím

→ 2, 1

x, y → 0, 0 x y

x, y → 2, 1 x y 1

31. lím x y

32. lím x

31. x, ylím

→ 0, 0

2

32. x, ylím

→ 0, 0

2 2

x, y → 0, 0 x 2 y

x, y → 0, 0 x 2 y 2

33. lím

34. lím ln

x, y → 0, 0 x2 33. 2

x, ylím

→ 0, 0

2 2 34. lím ln

x, y → 0, 0 x2 y 2

x, y → 0, 0 x 2 1 y 2 1

xy yz xz

35. lím xy yz xz

35. x, y, zlím

→ 0, 0, 0

2 2 2

x, y, z → 0, 0, 0 x 2 y 2 z 2

xy yz

36. lím

2 xz

xy yz 2

36. x, y, zlím

2 xz 2

→ 0, 0, 0

2 2 2

x, y, z → 0, 0, 0 x 2 y 2 z 2

En In Exercises los ejercicios 37 and 37 y 38, analizar discuss the la continuidad continuity of de the la función function

In Exercises 37 and 38, discuss the continuity of the function

y

evaluar and evaluate el límite the de limit f x, of y

(si x, existe) (if it exists) cuando as x, x, y 0, 0, 0.

and evaluate the limit of f x, y (if it exists) as x, y → 0, 0 .

37. fx, xy z

37. f x, y e xy z

38. fx, 38. f x, y 1

x 2

2

x

x

cos 2 cos x 2 y 2

2

2 x 2 y 2 2

3

3

z

2

7

7

1

1 2

3 y

2

3 y

In En Exercises los ejercicios 39–42, use a 42, graphing utilizar una utility herramienta to make table de graficación showing

In Exercises 39–42, use a graphing utility to make a table showing

the para values elaborar of fx, una tabla at the que given muestre points los for valores each de path. fx, Use y en the los

the values of fx, y at the given points for each path. Use the

result puntos to que make se especifican. conjecture Utilizar about el resultado the limit para of formular fx, una as

result to make a conjecture about the limit of fx, y as

conjetura x, 0, sobre Determine el límite whether de fx, the y limit cuando exists x, analytically y → 0, 0.

x, y → 0, 0 . Determine whether the limit exists analytically

and Determinar discuss the analíticamente continuity of si the el function. límite existe y discutir la continuidad

de la función. xy

and discuss the continuity of the function.

39. fx, xy

39. fx, y

xy

z

39. fx, y

2 2

z

x z

x 2 y 2 y 2

2 2

Path:

2

Path: y 0

2

Trayectoria: y 0

2 y

Points: 1, 2 y

Points: 1, 0 ,

2 y

Puntos: 0.5, 1, 0.1, 0,

0.5, 0 , 0.1, 0 ,

0.5, 0.01, 0,

0.1, 0.001, 0,

0.01, 0 , 0.001, 0

2

Path: 0.01, 0, 0.001, 0

2

Path: y x

2

Points: Trayectoria: y x

x

1, x

Points: 1, 1 ,

x

Puntos: 0.5, 0.5 1, 0.1, 1, 0.1 0.5, 0.5 , 0.1, 0.1 ,

0.5, 0.01, 0.5, 0.01 0.1, 0.001, 0.1, 0.001

0.01, 0.01 , 0.001, 0.001

0.01, 0.01,

0.001, 0.001

40. fx, y

z

40. fx, y

y

40. fx, y

2 2

z

x z

Path:

x 2 y 2 y 2

2

4

4

Path: y 0

Trayectoria: y 0

34

Points: 1, 3

Points: 1, 0 ,

23

Puntos: 0.5, 1, 0.1, 0,

2

0.5, 0 , 0.1, 0 ,

2

0.5, 0.01, 0,

0.1, 0.001, 0,

0.01, 0 , 0.001, 0

Path: 0.01, 0, 0.001, 0

y

3

Path: y x

y

3

3

Trayectoria: y x

y

Points: 1, x 3

3

Points: 1, 1 ,

x

Puntos: 1, 1,

x

3

0.5, 0.5 0.1, 0.1 0.5, 0.5 , 0.1, 0.1 ,

0.5, 0.01, 0.5, 0.01 0.1, 0.001, 0.1, 0.001

0.01, 0.01 , 0.001, 0.001

0.01, 0.01, 0.001, xy 0.001

41. fx, xy 2

z

41. fx, y

2

41. fx, y

2 xy2

4

z

x z

Path:

2 x 2 y 2 y 4

4

2

Path: x y 2

Points: Trayectoria:

2 2

1, x y 2

Points: 1, 1 ,

Puntos: 0.25, 0.5 1, 1, 0.01, 0.1 y

3

0.25, 0.5 , 0.01, 0.1 ,

y

0.25, 0.5, 0.01, 0.1,

y

0.0001, 0.01 4

3

4

3

0.0001, 0.01 ,

x

0.0001, 0.01,

4

0.000001, 0.001

x

0.000001, 0.001

x

Path: 0.000001, 0.001

Path: x y 2

Points: Trayectoria: 1, x 2

y 2

Points: 1, 1 ,

Puntos: 0.25, 0.5 1, 1, 0.01, 0.1 0.25, 0.5 , 0.01, 0.1 ,

0.25, 0.0001, 0.5, 0.01 0.01, 0.1,

0.0001, 0.01 ,

0.0001, 0.000001, 0.01, 0.001

0.000001, 0.001

0.000001, 0.001

1

5

x

4

3

4

5

y


42.

Trayectoria:

Puntos:

Trayectoria:

Puntos:

En los ejercicios 43 a 46, analizar la continuidad de las funciones

f y g. Explicar cualquier diferencia.

En los ejercicios 47 a 52, utilizar un sistema algebraico por

computadora para representar gráficamente la función y hallar

(si existe).

En los ejercicios 53 a 58, utilizar las coordenadas polares para

hallar el límite. [Sugerencia: Tomar y y

observar que

implica

En los ejercicios 59 a 62, usar las coordenadas polares y la regla

de L’Hôpital para encontrar el límite.

En los ejercicios 63 a 68, analizar la continuidad de la función.

En los ejercicios 69 a 72, analizar la continuidad de la función

compuesta

En los ejercicios 73 a 78, hallar cada límite.

f g.

r → 0.]

x, y→0, 0

y r sin ,

x r cos

Path:

Points:

Path:

Points:

xercises 43– 46, discuss the continuity of the functions and

xplain any differences.

xercises 47–52, use a computer algebra system to graph the

tion and find

(if it exists).

48.

50.

In Exercises 53–58, use polar coordinates to find the limit.

Hint: Let and and note that

implies

53. 54.

55. 56.

57. 58.

In Exercises 59– 62, use polar coordinates and L’Hôpital’s Rule

to find the limit.

59. 60.

61.

62.

In Exercises 63– 68, discuss the continuity of the function.

63. 64.

65. 66.

67.

68.

In Exercises 69–72, discuss the continuity of the composite

function

69.

70.

71. 72.

In Exercises 73–78, find each limit.

a)

b)

73. 74.

75. 76.

77. 78. fx, y y y 1

f x, y 3x xy 2y

fx, y

1

x

y

fx, y

x

y

fx, y x 2 y 2

fx, y x 2 4y

lím

y→0 fx, y y f x, y

y

lím

x→0 fx x, y f x, y

x

gx, y x 2 y 2

gx, y 2x 3y

ft

1

1 t

ft

1

t

gx, y x 2 y 2

ft

1

t

gx, y 2x 3y

ft t 2

f g.

fx, y

sen x 2 y 2

x 2 y 2 , x 2 y 2

1, x 2 y 2

fx, y

sen xy

xy , xy 0

1, xy 0

fx, y, z

xy sen z

f x, y, z

sen z

e x e y fx, y, z

z

x 2 y 2 4

fx, y, z

1

x 2 y 2 z 2

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2 ln x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

1 cos x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0

sen x 2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

sen x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0 sen x2 y 2

lím

x, y → 0, 0 cos x2 y 2 lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0

x 3 y 3

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

xy 2

x 2 y 2

r → 0.]

x, y → 0, 0

y r sen ,

x

r cos

[

fx, y

6xy

x 2 y 2 1

fx, y

5xy

x 2 2y 2 fx, y

x 2 y 2

x 2 y

fx, y

x 2 y

x 4 2y 2 fx, y sen 1 x

cos 1 x

fx, y sen x sen y

lím

x, y → 0, 0 f x, y

gx, y

x 2 2xy 2 y 2 ,

x 2 y 2

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

x 2 2xy 2 y 2 ,

x 2 y 2

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

4x 2 y 2

x 2 y 2 ,

2,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

4x 2 y 2

x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

4x 4 y 4

2x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

4x 4 y 4

2x 2 y 2 ,

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

x 4 y 4

x 2 y 2 ,

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

x 4 y 4

x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

f

0.0001, 0.0001

0.001, 0.001 ,

0.01, 0.01 ,

0.25, 0.25 ,

1, 1 ,

y

x

0.000001, 0

0.001, 0 ,

0.01, 0 ,

0.25, 0 ,

1, 0 ,

y 0

y

x

−3

−4

4

−2

−3

3

2

z

fx, y

2x y 2

2x 2

y

Chapter 13

Functions of Several Variables

0.0001, 0.0001

0.001, 0.001,

0.01, 0.01,

0.25, 0.25,

1, 1,

y x

0.000001, 0

0.001, 0,

0.01, 0,

0.25, 0,

1, 0,

y 0

y

x

−3

−4

4

−2

−3

3

2

z

fx, y 2x y2

2x 2 y

42.

Path:

Points:

Path:

Points:

In Exercises 43– 46, discuss the continuity of the functions and

Explain any differences.

43.

44.

45.

46.


function and find

(if it exists).

47. 48.

49. 50.

51.

52.



implies

53. 54.

55. 56.

57. 58.


to find the limit.

59. 60.

61.

62.


63. 64.

65. 66.

67.

68.


function

69.

70.

71. 72.


a)

b)

73. 74.

75. 76.

77. 78. fx, y y y 1

f x, y 3x xy 2y

fx, y

1

x

y

fx, y

x

y

fx, y x 2 y 2

fx, y x 2 4y

lím


y

lím


x

gx, y x 2 y 2

gx, y 2x 3y

ft

1

1 t

ft

1

t

gx, y x 2 y 2

ft

1

t

gx, y 2x 3y

ft t 2

f g.

fx, y

sen x 2 y 2

x 2 y 2 , x 2 y 2

1, x 2 y 2

fx, y

sen xy

xy , xy 0

1, xy 0

fx, y, z

xy sen z

f x, y, z

sen z

e x e y fx, y, z

z

x 2 y 2 4

fx, y, z

1

x 2 y 2 z 2

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2 ln x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

1 cos x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0

sen x 2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

sen x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0 sen x2 y 2

lím

x, y → 0, 0 cos x2 y 2 lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0

x 3 y 3

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

xy 2

x 2 y 2

r → 0.]

x, y → 0, 0

y r sen ,

x

r cos

[

fx, y

6xy

x 2 y 2 1

fx, y

5xy

x 2 2y 2 fx, y

x 2 y 2

x 2 y

fx, y

x 2 y


cos 1 x

fx, y sen x sen y

lím

x, y → 0, 0 fx, y

g x, y

x 2 2xy 2 y 2 ,

x 2 y 2

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

f x, y

x 2 2xy 2 y 2 ,

x 2 y 2

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

g x, y

4x 2 y 2

x 2 y 2 ,

2,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

f x, y

4x 2 y 2

x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

g x, y

4x 4 y 4

2x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

f x, y

4x 4 y 4

2x 2 y 2 ,

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

g x, y

x 4 y 4

x 2 y 2 ,

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

f x, y

x 4 y 4

x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

g.

f

0.0001, 0.0001

0.001, 0.001 ,

0.01, 0.01 ,

0.25, 0.25 ,

1, 1 ,

y

x

0.000001, 0

0.001, 0 ,

0.01, 0 ,

0.25, 0 ,

1, 0 ,

y 0

y

x

−3

−4

4

−2

−3

3

2

z

fx, y

2x y 2

2x 2

y


CAS

42.

Path:

Points:

Path:

Points:



43.

44.

45.

46.


function and find

(if it exists).

47. 48.

49. 50.

51.

52.



implies

53. 54.

55. 56.

57. 58.


to find the limit.

59. 60.

61.

62.


63. 64.

65. 66.

67.

68.


function

69.

70.

71. 72.


a)

b)

73. 74.

75. 76.

77. 78. fx, y y y 1

f x, y 3x xy 2y

fx, y

1

x

y

fx, y

x

y

fx, y x 2 y 2

fx, y x 2 4y

lím


y

lím


x

gx, y x 2 y 2

gx, y 2x 3y

ft

1

1 t

ft

1

t

gx, y x 2 y 2

ft

1

t

gx, y 2x 3y

ft t 2

f g.

fx, y

sen x 2 y 2

x 2 y 2 , x 2 y 2

1, x 2 y 2

fx, y

sen xy

xy , xy 0

1, xy 0

fx, y, z

xy sen z

f x, y, z

sen z

e x e y fx, y, z

z

x 2 y 2 4

fx, y, z

1

x 2 y 2 z 2

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2 ln x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

1 cos x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0

sen x 2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

sen x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0 sen x2 y 2

lím

x, y → 0, 0 cos x2 y 2 lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0

x 3 y 3

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

xy 2

x 2 y 2

r → 0.]

x, y → 0, 0

y r sen ,

x

r cos

[

f x, y

6xy

x 2 y 2 1

f x, y

5xy

x 2 2y 2 f x, y

x 2 y 2

x 2 y

f x, y

x 2 y

x 4 2y 2 f x, y sen 1 x

cos 1 x

f x, y sen x sen y

lím

x, y → 0, 0 fx, y

gx, y

x 2 2xy 2 y 2 ,

x 2 y 2

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

x 2 2xy 2 y 2 ,

x 2 y 2

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

4x 2 y 2

x 2 y 2 ,

2,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

4x 2 y 2

x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

4x 4 y 4

2x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

4x 4 y 4

2x 2 y 2 ,

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

x 4 y 4

x 2 y 2 ,

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

x 4 y 4

x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

g.

f

0.0001, 0.0001

0.001, 0.001 ,

0.01, 0.01 ,

0.25, 0.25 ,

1, 1 ,

y

x

0.000001, 0

0.001, 0 ,

0.01, 0 ,

0.25, 0 ,

1, 0 ,

y 0

y

x

−3

−4

4

−2

−3

3

2

z

fx, y

2x y 2

2x 2

y


CAS

42.

Path:

Points:

Path:

Points:



43.

44.

45.

46.


function and find

(if it exists).

47. 48.

49. 50.

51.

52.



implies

53. 54.

55. 56.

57. 58.


to find the limit.

59. 60.

61.

62.


63. 64.

65. 66.

67.

68.


function

69.

70.

71. 72.


a)

b)

73. 74.

75. 76.

77. 78. fx, y y y 1

f x, y 3x xy 2y

fx, y

1

x

y

fx, y

x

y

fx, y x 2 y 2

fx, y x 2 4y

lím


y

lím


x

gx, y x 2 y 2

gx, y 2x 3y

ft

1

1 t

ft

1

t

gx, y x 2 y 2

ft

1

t

gx, y 2x 3y

ft t 2

f g.

fx, y

sen x 2 y 2

x 2 y 2 , x 2 y 2

1, x 2 y 2

fx, y

sen xy

xy , xy 0

1, xy 0

fx, y, z

xy sen z

f x, y, z

sen z

e x e y fx, y, z

z

x 2 y 2 4

fx, y, z

1

x 2 y 2 z 2

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2 ln x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

1 cos x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0

sen x 2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

sen x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0 sen x2 y 2

lím

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x, y → 0, 0

x 2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0

x 3 y 3

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

xy 2

x 2 y 2

r → 0.]

x, y → 0, 0

y r sen ,

x

r cos

[

fx, y

6xy

x 2 y 2 1

fx, y

5xy

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x 2 y 2

x 2 y

fx, y

x 2 y


cos 1 x

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lím

x, y → 0, 0 fx, y

gx, y

x 2 2xy 2 y 2 ,

x 2 y 2

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

x 2 2xy 2 y 2 ,

x 2 y 2

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

4x 2 y 2

x 2 y 2 ,

2,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

4x 2 y 2

x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

4x 4 y 4

2x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

4x 4 y 4

2x 2 y 2 ,

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

x 4 y 4

x 2 y 2 ,

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

x 4 y 4

x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

g.

f

0.0001, 0.0001

0.001, 0.001 ,

0.01, 0.01 ,

0.25, 0.25 ,

1, 1 ,

y

x

0.000001, 0

0.001, 0 ,

0.01, 0 ,

0.25, 0 ,

1, 0 ,

y 0

y

x

−3

−4

4

−2

−3

3

2

z

fx, y

2x y 2

2x 2

y


CAS

42.

Path:

Points:

Path:

Points:



43.

44.

45.

46.


function and find

(if it exists).

47. 48.

49. 50.

51.

52.



implies

53. 54.

55. 56.

57. 58.


to find the limit.

59. 60.

61.

62.


63. 64.

65. 66.

67.

68.


function

69.

70.

71. 72.


a)

b)

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f x, y 3x xy 2y

fx, y

1

x

y

fx, y

x

y

fx, y x 2 y 2

fx, y x 2 4y

lím


y

lím


x

gx, y x 2 y 2

gx, y 2x 3y

ft

1

1 t

ft

1

t

gx, y x 2 y 2

ft

1

t

gx, y 2x 3y

ft t 2

f g.

fx, y

sen x 2 y 2

x 2 y 2 , x 2 y 2

1, x 2 y 2

fx, y

sen xy

xy , xy 0

1, xy 0

fx, y, z

xy sen z

f x, y, z

sen z

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z

x 2 y 2 4

fx, y, z

1

x 2 y 2 z 2

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2 ln x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

1 cos x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0

sen x 2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

sen x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0 sen x2 y 2

lím

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x, y → 0, 0

x 2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0

x 3 y 3

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

xy 2

x 2 y 2

r → 0.]

x, y → 0, 0

y r sen ,

x

r cos

[

fx, y

6xy

x 2 y 2 1

fx, y

5xy

x 2 2y 2 fx, y

x 2 y 2

x 2 y

fx, y

x 2 y


cos 1 x

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lím

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gx, y

x 2 2xy 2 y 2 ,

x 2 y 2

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

x 2 2xy 2 y 2 ,

x 2 y 2

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

4x 2 y 2

x 2 y 2 ,

2,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

4x 2 y 2

x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

4x 4 y 4

2x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

4x 4 y 4

2x 2 y 2 ,

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

x 4 y 4

x 2 y 2 ,

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

x 4 y 4

x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

g.

f

0.0001, 0.0001

0.001, 0.001 ,

0.01, 0.01 ,

0.25, 0.25 ,

1, 1 ,

y

x

0.000001, 0

0.001, 0 ,

0.01, 0 ,

0.25, 0 ,

1, 0 ,

y 0

y

x

−3

−4

4

−2

−3

3

2

z

fx, y

2x y 2

2x 2

y


CAS

42.

Path:

Points:

Path:

Points:



43.

44.

45.

46.


function and find

(if it exists).

47. 48.

49. 50.

51.

52.



implies

53. 54.

55. 56.

57. 58.


to find the limit.

59. 60.

61.

62.


63. 64.

65. 66.

67.

68.


function

69.

70.

71. 72.


a)

b)

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1

x

y

fx, y

x

y

fx, y x 2 y 2

fx, y x 2 4y

lím


y

lím


x

gx, y x 2 y 2

gx, y 2x 3y

ft

1

1 t

ft

1

t

gx, y x 2 y 2

ft

1

t

gx, y 2x 3y

ft t 2

f g.

fx, y

sen x 2 y 2

x 2 y 2 , x 2 y 2

1, x 2 y 2

fx, y

sen xy

xy , xy 0

1, xy 0

fx, y, z

xy sen z

f x, y, z

sen z

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z

x 2 y 2 4

fx, y, z

1

x 2 y 2 z 2

lím

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x 2 y 2 ln x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

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x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0

sen x 2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

sen x 2 y 2

x 2 y 2 lím

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lím

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x, y → 0, 0

x 2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

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x, y → 0, 0

x 3 y 3

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

xy 2

x 2 y 2

r → 0.]

x, y → 0, 0

y r sen ,

x

r cos

[

fx, y

6xy

x 2 y 2 1

fx, y

5xy

x 2 2y 2 fx, y

x 2 y 2

x 2 y

fx, y

x 2 y


cos 1 x

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lím

x, y → 0, 0 fx, y

gx, y

x 2 2xy 2 y 2 ,

x 2 y 2

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

x 2 2xy 2 y 2 ,

x 2 y 2

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

4x 2 y 2

x 2 y 2 ,

2,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

4x 2 y 2

x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

4x 4 y 4

2x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

4x 4 y 4

2x 2 y 2 ,

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

x 4 y 4

x 2 y 2 ,

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

x 4 y 4

x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

g.

f

0.0001, 0.0001

0.001, 0.001 ,

0.01, 0.01 ,

0.25, 0.25 ,

1, 1 ,

y

x

0.000001, 0

0.001, 0 ,

0.01, 0 ,

0.25, 0 ,

1, 0 ,

y 0

y

x

−3

−4

4

−2

−3

3

2

z

fx, y

2x y 2

2x 2

y


CAS

42.

Path:

Points:

Path:

Points:



43.

44.

45.

46.


function and find

(if it exists).

47. 48.

49. 50.

51.

52.



implies

53. 54.

55. 56.

57. 58.


to find the limit.

59. 60.

61.

62.


63. 64.

65. 66.

67.

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function

69.

70.

71. 72.


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b)

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1

x

y

fx, y

x

y

fx, y x 2 y 2

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lím


y

lím


x

gx, y x 2 y 2

gx, y 2x 3y

ft

1

1 t

ft

1

t

gx, y x 2 y 2

ft

1

t

gx, y 2x 3y

ft t 2

f g.

f x, y

sen x 2 y 2

x 2 y 2 , x 2 y 2

1, x 2 y 2

f x, y

sen xy

xy , xy 0

1, xy 0

f x, y, z

xy sen z

f x, y, z

sen z

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z

x 2 y 2 4

f x, y, z

1

x 2 y 2 z 2

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2 ln x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

1 cos x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0

sen x 2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

sen x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0 sen x2 y 2

lím

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x, y → 0, 0

x 2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0

x 3 y 3

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

xy 2

x 2 y 2

r → 0.]

x, y → 0, 0

y r sen ,

x

r cos

[

fx, y

6xy

x 2 y 2 1

fx, y

5xy

x 2 2y 2 fx, y

x 2 y 2

x 2 y

fx, y

x 2 y


cos 1 x

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lím

x, y → 0, 0 fx, y

gx, y

x 2 2xy 2 y 2 ,

x 2 y 2

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

x 2 2xy 2 y 2 ,

x 2 y 2

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

4x 2 y 2

x 2 y 2 ,

2,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

4x 2 y 2

x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

4x 4 y 4

2x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

4x 4 y 4

2x 2 y 2 ,

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

x 4 y 4

x 2 y 2 ,

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

x 4 y 4

x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

g.

f

0.0001, 0.0001

0.001, 0.001 ,

0.01, 0.01 ,

0.25, 0.25 ,

1, 1 ,

y

x

0.000001, 0

0.001, 0 ,

0.01, 0 ,

0.25, 0 ,

1, 0 ,

y 0

y

x

−3

−4

4

−2

−3

3

2

z

fx, y

2x y 2

2x 2

y


CAS

42.

Path:

Points:

Path:

Points:



43.

44.

45.

46.


function and find

(if it exists).

47. 48.

49. 50.

51.

52.



implies

53. 54.

55. 56.

57. 58.


to find the limit.

59. 60.

61.

62.


63. 64.

65. 66.

67.

68.


function

69.

70.

71. 72.


a)

b)

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f x, y 3x xy 2y

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1

x

y

fx, y

x

y

fx, y x 2 y 2

fx, y x 2 4y

lím


y

lím


x

g x, y x 2 y 2

g x, y 2x 3y

f t

1

1 t

f t

1

t

g x, y x 2 y 2

f t

1

t

g x, y 2x 3y

f t t 2

f g.

fx, y

sen x 2 y 2

x 2 y 2 , x 2 y 2

1, x 2 y 2

fx, y

sen xy

xy , xy 0

1, xy 0

fx, y, z

xy sen z

f x, y, z

sen z

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z

x 2 y 2 4

fx, y, z

1

x 2 y 2 z 2

lím

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lím

x, y → 0, 0

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x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0

sen x 2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

sen x 2 y 2

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lím

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x 2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0

x 3 y 3

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

xy 2

x 2 y 2

r → 0.]

x, y → 0, 0

y r sen ,

x

r cos

[

fx, y

6xy

x 2 y 2 1

fx, y

5xy

x 2 2y 2 fx, y

x 2 y 2

x 2 y

fx, y

x 2 y


cos 1 x

fx, y sen x sen y

lím

x, y → 0, 0 fx, y

gx, y

x 2 2xy 2 y 2 ,

x 2 y 2

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

x 2 2xy 2 y 2 ,

x 2 y 2

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

4x 2 y 2

x 2 y 2 ,

2,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

4x 2 y 2

x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

4x 4 y 4

2x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

4x 4 y 4

2x 2 y 2 ,

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

x 4 y 4

x 2 y 2 ,

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

x 4 y 4

x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

g.

f

0.0001, 0.0001

0.001, 0.001 ,

0.01, 0.01 ,

0.25, 0.25 ,

1, 1 ,

y

x

0.000001, 0

0.001, 0 ,

0.01, 0 ,

0.25, 0 ,

1, 0 ,

y 0

y

x

−3

−4

4

−2

−3

3

2

z

f x, y

2x y 2

2x 2

y


CAS

42.

Path:

Points:

Path:

Points:



43.

44.

45.

46.


function and find

(if it exists).

47. 48.

49. 50.

51.

52.



implies

53. 54.

55. 56.

57. 58.


to find the limit.

59. 60.

61.

62.


63. 64.

65. 66.

67.

68.


function

69.

70.

71. 72.


a)

b)

73. 74.

75. 76.

77. 78. f x, y y y 1

f x, y 3x xy 2y

f x, y

1

x

y

f x, y

x

y

f x, y x 2 y 2

f x, y x 2 4y

lím

y→0 f x, y y f x, y

y

lím

x→0 f x x, y f x, y

x

gx, y x 2 y 2

gx, y 2x 3y

ft

1

1 t

ft

1

t

gx, y x 2 y 2

ft

1

t

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ft t 2

f g.

fx, y

sen x 2 y 2

x 2 y 2 , x 2 y 2

1, x 2 y 2

fx, y

sen xy

xy , xy 0

1, xy 0

fx, y, z

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z

x 2 y 2 4

fx, y, z

1

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lím

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lím

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x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0

sen x 2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

sen x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0 sen x2 y 2

lím

x, y → 0, 0 cos x2 y 2 lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

x 2 y 2 lím

x, y → 0, 0

x 3 y 3

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 0

xy 2

x 2 y 2

r → 0.]

x, y → 0, 0

y r sen ,

x

r cos

[

fx, y

6xy

x 2 y 2 1

fx, y

5xy

x 2 2y 2 fx, y

x 2 y 2

x 2 y

fx, y

x 2 y


cos 1 x

fx, y sen x sen y

lím

x, y → 0, 0 fx, y

gx, y

x 2 2xy 2 y 2 ,

x 2 y 2

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

x 2 2xy 2 y 2 ,

x 2 y 2

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

4x 2 y 2

x 2 y 2 ,

2,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

4x 2 y 2

x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

4x 4 y 4

2x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

4x 4 y 4

2x 2 y 2 ,

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

gx, y

x 4 y 4

x 2 y 2 ,

1,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

fx, y

x 4 y 4

x 2 y 2 ,

0,

x, y 0, 0

x, y 0, 0

g.

f

0.0001, 0.0001

0.001, 0.001 ,

0.01, 0.01 ,

0.25, 0.25 ,

1, 1 ,

y

x

0.000001, 0

0.001, 0 ,

0.01, 0 ,

0.25, 0 ,

1, 0 ,

y 0

y

x

−3

−4

4

−2

−3

3

2

z

f x, y

2x y 2

2x 2

y


CAS

sen



En los ejercicios 79 a 82, determinar si la



79. Si entonces

80. Si entonces

81. Si es continua para todo x y para todo y distintos de cero, y

entonces

82. Si y son funciones continuas de y y

entonces

es continua.

83. Considerar (ver la figura).

a) Determinar el límite (si es posible) a lo largo de toda recta de

la forma

b) Determinar el límite (si es posible) a lo largo de la parábola

c) ¿Existe el límite? Explicar la respuesta.

84. Considerar (ver la figura).

a) Determinar el límite (si es posible) a lo largo de toda recta de

la forma

b) Determinar el límite (si es posible) a lo largo de la parábola

c) ¿Existe el límite? Explicar la respuesta.

En los ejercicios 85 y 86, utilizar las coordenadas esféricas para

encontrar el límite. [Sugerencia: Tomar x sen cos , y

sen sen y z cos , y observar que

es

equivalente a ]

85.

86.

87. Hallar el límite siguiente.

88. Dada la función

definir

de manera que f sea continua en el origen.

89. Demostrar que

donde tiende a y se aproxima a cuando

90. Demostrar que si es continua y existe un d-entorno

de tal que para todo punto en la

vecindad o el entorno.

x, y

fx, y < 0

a, b

f a, b < 0,

f

x, y → a, b.

L 2

gx, y

L 1

fx, y

lim

x, y→a, b fx, y gx, y L 1 L 2

f0, 0

fx, y xy x 2 y 2

x 2 y 2

lim

x, y→0, 1 tan1

x 2 1

x 2 y 1 2

lim

x, y, z→0, 0, 0 tan1

1

x 2 y 2 z 2

lim

x, y, z→0, 0, 0

xyz

x 2 y 2 z 2

→ 0 .

x, y, z → 0, 0, 0

y x 2 .

y ax.

x

y

1

1

−1

−1

z

lim

x, y→0, 0

x 2 y

x 4 y 2

y x 2 .

y ax.

x

z

y

20

20

20

lim

x, y→0, 0

x 2 y 2

xy

f

gx hy,

fx, y

y,

x

h

g

lim

x, y→0, 0 fx, y 0.

f0, 0 0,

f

lim

x, y→0, 0 fx, y 0.

lim

x, y→0, 0 f0, y 0,

lim

x→0 fx, 0 0.

lim

x, y→0, 0 fx, y 0,

Para discusión

94. a) Si ¿se puede concluir algo acerca de

Dar razones que justifiquen la respuesta.

b) Si ¿se puede concluir algo acerca

de

Dar razones que justifiquen la respuesta.

f2, 3?

lim

x, y→2, 3 fx, y 4,

lim

x, y→2, 3 fx, y?

f2, 3 4,


91. Definir el límite de una función de dos variables. Describir

un método para probar que

no existe.

92. Dar la definición de continuidad de una función de dos variables.

93. Determinar si cada una de las siguientes declaraciones es

verdadera o falsa. Explicar el razonamiento.

a) Si entonces

b) Si entonces

c) Si entonces

d) Si entonces para cualquier número

real k,

True or False?




79. If then

80. If then

81. If is continuous for all nonzero and and then

82. If and are continuous functions of and and

then is continuous.

83. Consider (see figure).

(a) Determine (if possible) the limit along any line of the form

(b) Determine (if possible) the limit along the parabola

(c) Does the limit exist? Explain.





In Exercises 85 and 86, use spherical coordinates to find the

limit. [Hint: Let

and

and note that implies ]

85.

86.

87. Find the following limit.

88. For the function

define

such that is continuous at the origin.

89. Prove that

where approaches and approaches as

90. Prove that if is continuous and there exists a

-neighborhood about such that for every

point

in the neighborhood.

x, y

fx, y < 0

a, b

fa, b < 0,

f

x, y → a, b .

L 2

gx, y

L 1

fx, y

lím

x, y → a, b

fx, y g x, y L 1 L 2

f

f 0, 0

fx, y xy x2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 1 tan 1 x 2 1

x 2 y 1 2

lím

x, y, z → 0, 0, 0 tan 1 1

x 2 y 2 z 2

lím

x, y, z → 0, 0, 0

xyz

x 2 y 2 z 2 → 0 .

x, y, z → 0, 0, 0

z cos ,

y sen sen ,

x sen cos ,

y x 2 .

y

ax.

y

1

1

−1

−1

z

lím

x, y → 0, 0

x 2 y

x 4 y 2 y x 2 .

y

ax.

x

z

y

20

20

20

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

xy

f

g x h y ,

fx, y

y,

x

h

g

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0. f 0, 0 0,

y,

x

f

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0.

lím

x, y → 0, 0 f 0, y 0, lím

x→0 fx, 0 0.

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0, 13.2 Limits and Continuity 907

91. Define the limit of a function of two variables. Describe a

method for showing that

does not exist.

92. State the definition of continuity of a function of two

variables.

93. Determine whether each of the following statements is true

or false. Explain your reasoning.

(a) If

then

(b) If

then

(c) If

then

(d) If

then for any real number

lím

x, y → 0, 0 f kx, y 0. k,

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0,

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4.

lím

x→2 fx, 3

lím

y→3 f 2, y 4,

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4.

lím

x→2 fx, 3 4, lím

x→2 fx, 3 4.

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4,

lím

x, y → x 0 , y 0 fx, y


94. (a) If can you conclude anything about

Give reasons for your answer.

(b) If

can you conclude anything

about


f 2, 3 ?

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4,

lím

x, y → 2, 3 fx, y ?

f 2, 3 4,

CAPSTONE

1053714_1302.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 907

True or False?




79. If then

80. If then



then is continuous.










limit. [Hint: Let

and


85.

86.



define


89. Prove that




point


x, y

fx, y < 0

a, b

fa, b < 0,

f

x, y → a, b .

L 2

gx, y

L 1

fx, y

lím

x, y → a, b


f

f 0, 0

fx, y xy x2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 1 tan 1 x 2 1

x 2 y 1 2

lím

x, y, z → 0, 0, 0 tan 1 1

x 2 y 2 z 2

lím

x, y, z → 0, 0, 0

xyz

x 2 y 2 z 2 → 0 .

x, y, z → 0, 0, 0

z cos ,

y sen sen ,

x sen cos ,

y x 2 .

y

ax.

y

1

1

−1

−1

z

lím

x, y → 0, 0

x 2 y

x 4 y 2 y x 2 .

y

ax.

x

z

y

20

20

20

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

xy

f

g x h y ,

fx, y

y,

x

h

g

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0. f 0, 0 0,

y,

x

f

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0.

lím

x, y → 0, 0 f 0, y 0, lím

x→0 fx, 0 0.

lím




does not exist.


variables.



(a) If

then

(b) If

then

(c) If

then

(d) If


lím

x, y → 0, 0 f kx, y 0. k,

lím

x, y → 0, 0 f x, y 0,

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4.

lím

x→2 fx, 3

lím

y→3 f 2, y 4,

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4.

lím

x→2 fx, 3 4, lím

x→2 fx, 3 4.

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4,

lím

x, y → x 0 , y 0 fx, y




(b) If


about


f 2, 3 ?

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4,

lím

x, y → 2, 3 fx, y ?

f 2, 3 4,

CAPSTONE

053714_1302.qxp 10/27/08 12:06 PM Page 907

True or False?




79. If then

80. If then



then is continuous.










limit. [Hint: Let

and


85.

86.



define


89. Prove that




point


x, y

fx, y < 0

a, b

fa, b < 0,

f

x, y → a, b .

L 2

gx, y

L 1

fx, y

lím

x, y → a, b


f

f 0, 0

fx, y xy x2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 1 tan 1 x 2 1

x 2 y 1 2

lím

x, y, z → 0, 0, 0 tan 1 1

x 2 y 2 z 2

lím

x, y, z → 0, 0, 0

xyz

x 2 y 2 z 2 → 0 .

x, y, z → 0, 0, 0

z cos ,

y sen sen ,

x sen cos ,

y x 2 .

y

ax.

y

1

1

−1

−1

z

lím

x, y → 0, 0

x 2 y

x 4 y 2 y x 2 .

y

ax.

x

z

y

20

20

20

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

xy

f

g x h y ,

f x, y

y,

x

h

g

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0. f 0, 0 0,

y,

x

f

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0.

lím

x, y → 0, 0 f 0, y 0, lím

x→0 fx, 0 0.

lím




does not exist.


variables.



(a) If

then

(b) If

then

(c) If

then

(d) If


lím

x, y → 0, 0 f kx, y 0. k,

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0,

lím

x, y → 2, 3 f x, y 4.

lím

x→2 fx, 3

lím

y→3 f 2, y 4,

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4.

lím

x→2 fx, 3 4, lím

x→2 fx, 3 4.

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4,

lím

x, y → x 0 , y 0 fx, y




(b) If


about


f 2, 3 ?

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4,

lím

x, y → 2, 3 fx, y ?

f 2, 3 4,

CAPSTONE

True or False?




79. If then

80. If then



then is continuous.










limit. [Hint: Let

and


85.

86.



define


89. Prove that




point


x, y

fx, y < 0

a, b

fa, b < 0,

f

x, y → a, b .

L 2

gx, y

L 1

fx, y

lím

x, y → a, b


f

f 0, 0

fx, y xy x2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 1 tan 1 x 2 1

x 2 y 1 2

lím

x, y, z → 0, 0, 0 tan 1 1

x 2 y 2 z 2

lím

x, y, z → 0, 0, 0

xyz

x 2 y 2 z 2 → 0 .

x, y, z → 0, 0, 0

z cos ,

y sen sen ,

x sen cos ,

y x 2 .

y

ax.

y

1

1

−1

−1

z

lím

x, y → 0, 0

x 2 y

x 4 y 2 y x 2 .

y

ax.

x

z

y

20

20

20

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

xy

f

gx

hy,

fx, y

y,

x

h

g

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0. f 0, 0 0,

y,

x

f

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0.

lím

x, y → 0, 0 f 0, y 0, lím

x→0 fx, 0 0.

lím




does not exist.


variables.



(a) If

then

(b) If

then

(c) If

then

(d) If


lím

x, y → 0, 0 f kx, y 0. k,

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0,

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4.

lím

x→2 f x, 3

lím

y→3 f 2, y 4,

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4.

lím

x→2 fx, 3 4, lím

x→2 fx, 3 4.

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4,

lím

x, y → x 0 , y 0 fx, y




(b) If


about


f 2, 3 ?

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4,

lím

x, y → 2, 3 fx, y ?

f 2, 3 4,

CAPSTONE

True or False?




79. If then

80. If then



then is continuous.










limit. [Hint: Let

and


85.

86.



define


89. Prove that




point


x, y

fx, y < 0

a, b

fa, b < 0,

f

x, y → a, b .

L 2

gx, y

L 1

fx, y

lím

x, y → a, b


f

f 0, 0

fx, y xy x2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 1 tan 1 x 2 1

x 2 y 1 2

lím

x, y, z → 0, 0, 0 tan 1 1

x 2 y 2 z 2

lím

x, y, z → 0, 0, 0

xyz

x 2 y 2 z 2 → 0 .

x, y, z → 0, 0, 0

z cos ,

y sen sen ,

x sen cos ,

y x 2 .

y

ax.

y

1

1

−1

−1

z

lím

x, y → 0, 0

x 2 y

x 4 y 2 y x 2 .

y

ax.

x

z

y

20

20

20

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

xy

f

g x h y ,

fx, y

y,

x

h

g

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0. f 0, 0 0,

y,

x

f

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0.

lím

x, y → 0, 0 f 0, y 0, lím

x→0 fx, 0 0.

lím




does not exist.


variables.



(a) If

then

(b) If

then

(c) If

then

(d) If


lím

x, y → 0, 0 f kx, y 0. k,

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0,

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4.

lím

x→2 fx, 3

lím

y→3 f 2, y 4,

lím

x, y → 2, 3 f x, y 4.

lím

x→2 fx, 3 4, lím

x→2 fx, 3 4.

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4,

lím

x, y → x 0 , y 0 fx, y




(b) If


about


f 2, 3 ?

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4,

lím

x, y → 2, 3 fx, y ?

f 2, 3 4,

CAPSTONE

True or False?




79. If then

80. If then



then is continuous.










limit. [Hint: Let

and


85.

86.



define


89. Prove that




point


x, y

fx, y < 0

a, b

fa, b < 0,

f

x, y → a, b .

L 2

gx, y

L 1

fx, y

lím

x, y → a, b


f

f 0, 0

f x, y xy x2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 1 tan 1 x 2 1

x 2 y 1 2

lím

x, y, z → 0, 0, 0 tan 1 1

x 2 y 2 z 2

lím

x, y, z → 0, 0, 0

xyz

x 2 y 2 z 2 → 0 .

x, y, z → 0, 0, 0

z cos ,

y sen sen ,

x sen cos ,

y x 2 .

y

ax.

y

1

1

−1

−1

z

lím

x, y → 0, 0

x 2 y

x 4 y 2 y x 2 .

y

ax.

x

z

y

20

20

20

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

xy

f

g x h y ,

fx, y

y,

x

h

g

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0. f 0, 0 0,

y,

x

f

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0.

lím

x, y → 0, 0 f 0, y 0, lím

x→0 fx, 0 0.

lím




does not exist.


variables.



(a) If

then

(b) If

then

(c) If

then

(d) If


lím

x, y → 0, 0 f kx, y 0. k,

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0,

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4.

lím

x→2 fx, 3

lím

y→3 f 2, y 4,

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4.

lím

x→2 f x, 3 4, lím

x→2 fx, 3 4.

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4,

lím

x, y → x 0 , y 0 fx, y




(b) If


about


f 2, 3 ?

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4,

lím

x, y → 2, 3 fx, y ?

f 2, 3 4,

CAPSTONE

True or False?




79. If then

80. If then



then is continuous.










limit. [Hint: Let

and


85.

86.



define


89. Prove that




point


x, y

fx, y < 0

a, b

fa, b < 0,

f

x, y → a, b .

L 2

gx, y

L 1

fx, y

lím

x, y → a, b


f

f 0, 0

fx, y xy x2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 1 tan 1 x 2 1

x 2 y 1 2

lím

x, y, z → 0, 0, 0 tan 1 1

x 2 y 2 z 2

lím

x, y, z → 0, 0, 0

xyz

x 2 y 2 z 2 → 0 .

x, y, z → 0, 0, 0

z cos ,

y sen sen ,

x sen cos ,

y x 2 .

y

ax.

y

1

1

−1

−1

z

lím

x, y → 0, 0

x 2 y

x 4 y 2 y x 2 .

y

ax.

x

z

y

20

20

20

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

xy

f

g x h y ,

fx, y

y,

x

h

g

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0. f 0, 0 0,

y,

x

f

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0.

lím

x, y → 0, 0 f 0, y 0, lím

x→0 fx, 0 0.

lím




does not exist.


variables.



(a) If

then

(b) If

then

(c) If

then

(d) If


lím

x, y → 0, 0 f kx, y 0. k,

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0,

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4.

lím

x→2 fx, 3

lím

y→3 f 2, y 4,

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4.

lím

x→2 fx, 3 4, lím

x→2 f x, 3 4.

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4,

lím

x, y → x 0 , y 0 fx, y




(b) If


about


f 2, 3 ?

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4,

lím

x, y → 2, 3 fx, y ?

f 2, 3 4,

CAPSTONE

True or False?




79. If then

80. If then



then is continuous.










limit. [Hint: Let

and


85.

86.



define


89. Prove that




point


x, y

fx, y < 0

a, b

fa, b < 0,

f

x, y → a, b .

L 2

gx, y

L 1

fx, y

lím

x, y → a, b


f

f 0, 0

fx, y xy x2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 1 tan 1 x 2 1

x 2 y 1 2

lím

x, y, z → 0, 0, 0 tan 1 1

x 2 y 2 z 2

lím

x, y, z → 0, 0, 0

xyz

x 2 y 2 z 2 → 0 .

x, y, z → 0, 0, 0

z cos ,

y sen sen ,

x sen cos ,

y x 2 .

y

ax.

y

1

1

−1

−1

z

lím

x, y → 0, 0

x 2 y

x 4 y 2 y x 2 .

y

ax.

x

z

y

20

20

20

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

xy

f

gx

hy,

f x, y

y,

x

h

g

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0. f 0, 0 0,

y,

x

f

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0.

lím

x, y → 0, 0 f 0, y 0, lím

x→0 fx, 0 0.

lím




does not exist.


variables.



(a) If

then

(b) If

then

(c) If

then

(d) If


lím

x, y → 0, 0 f kx, y 0. k,

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0,

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4.

lím

x→2 fx, 3

lím

y→3 f 2, y 4,

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4.

lím

x→2 fx, 3 4, lím

x→2 fx, 3 4.

lím

x, y → 2, 3 f x, y 4,

lím

x, y → x 0 , y 0 fx, y




(b) If


about


f 2, 3 ?

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4,

lím

x, y → 2, 3 fx, y ?

f 2, 3 4,

CAPSTONE

True or False?




79. If then

80. If then



then is continuous.










limit. [Hint: Let

and


85.

86.



define


89. Prove that




point


x, y

fx, y < 0

a, b

fa, b < 0,

f

x, y → a, b .

L 2

gx, y

L 1

fx, y

lím

x, y → a, b


f

f 0, 0

fx, y xy x2 y 2

x 2 y 2

lím

x, y → 0, 1 tan 1 x 2 1

x 2 y 1 2

lím

x, y, z → 0, 0, 0 tan 1 1

x 2 y 2 z 2

lím

x, y, z → 0, 0, 0

xyz

x 2 y 2 z 2 → 0 .

x, y, z → 0, 0, 0

z cos ,

y sen sen ,

x sen cos ,

y x 2 .

y

ax.

y

1

1

−1

−1

z

lím

x, y → 0, 0

x 2 y

x 4 y 2 y x 2 .

y

ax.

x

z

y

20

20

20

lím

x, y → 0, 0

x 2 y 2

xy

f

gx

hy,

f x, y

y,

x

h

g

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0. f 0, 0 0,

y,

x

f

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0.

lím

x, y → 0, 0 f 0, y 0, lím

x→0 fx, 0 0.

lím




does not exist.


variables.



(a) If

then

(b) If

then

(c) If

then

(d) If


lím

x, y → 0, 0 f kx, y 0. k,

lím

x, y → 0, 0 fx, y 0,

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4.

lím

x→2 fx, 3

lím

y→3 f 2, y 4,

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4.

lím

x→2 fx, 3 4, lím

x→2 fx, 3 4.

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4,

lím

x, y → x 0 , y 0 f x, y




(b) If


about


f 2, 3 ?

lím

x, y → 2, 3 fx, y 4,

lím

x, y → 2, 3 fx, y ?

f 2, 3 4,

CAPSTONE

lím

lím

lím

lím

lím

lím

lím

lím

lím

lím

lím

lím

lím


13.3 Derivadas parciales

■ Hallar y utilizar las derivadas parciales de una función de dos variables.

■ Hallar y utilizar las derivadas parciales de una función de tres o más variables.

■ Hallar derivadas parciales de orden superior de una función de dos o tres

variables.


JEAN LE ROND D’ALEMBERT (1717-1783)

La introducción de las derivadas parciales

ocurrió años después del trabajo sobre el

cálculo de Newton y Leibniz. Entre 1730 y

1760, Leonhard Euler y Jean Le Rond

d’Alembert publicaron por separado varios

artículos sobre dinámica en los cuales

establecieron gran parte de la teoría de las

derivadas parciales. Estos artículos utilizaban

funciones de dos o más variables para

estudiar problemas de equilibrio, movimiento

de fluidos y cuerdas vibrantes.

Derivadas parciales de una función de dos variables

En aplicaciones de funciones de varias variables suele surgir la pregunta: ¿“Cómo afectaría

al valor de una función un cambio en una de sus variables independientes”? Se puede contestar

esta pregunta considerando cada una de las variables independientes por separado.

Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químico

podría repetir el experimento varias veces usando cantidades distintas de catalizador,

mientras mantiene constantes las otras variables como temperatura y presión. Para determinar

la velocidad o la razón de cambio de una función f respecto a una de sus variables

independientes se puede utilizar un procedimiento similar. A este proceso se le llama

derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial de f con respecto a la variable

independiente elegida.

DEFINICIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Si z fx, y, las primeras derivadas parciales de f con respecto a x y y son las

funciones y definidas por

f x

f y

f x x, y lím lim

x→0

f y x, y lím lim

y→0

fx x, y fx, y

x

fx, y y fx, y

y

siempre y cuando el límite exista.

Esta definición indica que si z fx, y, entonces para hallar f x se considera y constante

y se deriva con respecto a x. De manera similar, para calcular f y , se considera x

constante y se deriva con respecto a y.

EJEMPLO 1 Hallar las derivadas parciales

Hallar las derivadas parciales f x y de la función

f y

Solución

fx, y 3x x 2 y 2 2x 3 y.

Si se considera y como constante y se deriva con respecto a x se obtiene

f x, y 3x x 2 y 2 2x 3 y

f x x, y 3 2xy 2 6x 2 y.

Escribir la función original.

Derivada parcial con respecto a x.

Si se considera x constante y se deriva con respecto a y obtenemos

f x, y 3x x 2 y 2 2x 3 y

f y x, y 2x 2 y 2x 3 .

Escribir la función original.

Derivada parcial con respecto a y.

SECCIÓN 13.3 Derivadas parciales 909

NOTACIÓN PARA LAS PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES

Si z fx, y, las derivadas parciales y se denotan por

y

x fx, y f xx, y z x z

x

y fx, y f yx, y z y z

y .

Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto a, b se denotan por

z

xa, b

f x a, b

y

z

f x

ya, b

f y

f y a, b.

EJEMPLO 2

Hallar y evaluar las derivadas parciales

z

(x 0 , y 0 , z 0 )

Dada fx, y xe x2 y

, hallar y f y , y evaluar cada una en el punto 1, ln 2.

f x

Solución Como

f x x, y xe x2 y

2xy e x2 y

Derivada parcial con respecto a x.

la derivada parcial de f con respecto a x en 1, ln 2 es

x

Plano: y = y 0

f

pendiente en la dirección x

Figura 13.29

y

f x 1, ln 2 e ln 2 2 ln 2 e ln 2

4 ln 2 2.

Como

f y x, y xe x2 y

x 2

x 3 e x2 y


la derivada parcial de f con respecto a y en 1, ln 2 es

f y 1, ln 2 e ln 2

2.

x (x 0 , y 0 , z 0 )

z

x

Plano: x = x 0

f

pendiente en la dirección y

y

Figura 13.30

y

Las derivadas parciales de una función de dos variables, z fx, y, tienen una interpretación

geométrica útil. Si y y 0 , entonces z fx, y 0 representan la curva intersección

de la superficie z fx, y con el plano y y 0 , como se muestra en la figura 13.29.

Por consiguiente,

f x x 0 , y 0 lím lim

x→0

representa la pendiente de esta curva en el punto x 0 , y 0 , fx 0 , y 0 . Nótese que tanto la

curva como la recta tangente se encuentran en el plano y y 0 . Análogamente,

f y x 0 , y 0 lim lím

y→0

fx 0 x, y 0 fx 0 , y 0

x

fx 0 , y 0 y fx 0 , y 0

y

representa la pendiente de la curva dada por la intersección de z fx, y y el plano

x x 0 en x 0 , y 0 , fx 0 , y 0 , como se muestra en la figura 13.30.

Informalmente, los valores fx y fy en x 0 , y 0 , z 0 denotan las pendientes de la

superficie en las direcciones de x y y, respectivamente.


EJEMPLO 3

Hallar las pendientes de una superficie

en las direcciones de x y de y

Hallar las pendientes en las direcciones de x y de y de la superficie dada por

en el punto

Solución

fx, y x2

2 y2 25

8

1 2 , 1, 2.

f x x, y x

Las derivadas parciales de f con respecto a x y a y son

Por tanto, en la dirección de x, la pendiente es

y

f y x, y 2y.

Derivadas parciales.

f x 1 2 , 1 1 2

Figura 13.31a.

y en la dirección de y, la pendiente es

f y 1 2 , 1 2.

Figura 13.31b.

4

z

Superficie:

f(x, y) = −

x 2

− y 2 +

25

2 8

4

z

( )

1

, 1, 2

2

( )

1 , 1, 2

2

3

x

y

2

Pendiente en la dirección de x:

f

1

x , 1 = −

1

( 2 ) 2

3

x

2

y

Pendiente en la dirección y:

( )

f

1

y , 1 = −2

2

a)

Figura 13.31

b)

Superficie:

f(x, y) = 1 − (x − 1) 2 − (y − 2) 2

z

f x (x, y)

(1, 2, 1)

1

f y (x, y)

1

2

3

4

x

Figura 13.32

y

EJEMPLO 4

Hallar las pendientes de una superficie

en las direcciones de x y de y

Hallar las pendientes de la superficie dada por

en el punto (1, 2, 1), en las direcciones de x y de y.

Solución

fx, y 1 x 1 2 y 2 2

Las derivadas parciales de f con respecto a x y y son

f x x, y 2x 1

y

Derivadas parciales.

Por tanto, en el punto (1, 2, 1), las pendientes en las direcciones de x y de y son

f x 1, 1 2 211 1

0 y f y 1, 1 2 222

2 0


f y x, y 2 y 2.


Sin importar cuántas variables haya, las derivadas parciales se pueden interpretar

como tasas, velocidades o razones de cambio.

EJEMPLO 5

Derivadas parciales como velocidades

o razones de cambio

a

θ

b

A = ab sen θ

El área del paralelogramo es ab sen q

Figura 13.33

a sen θ

El área de un paralelogramo con lados adyacentes a y b entre los que se forma un ángulo

q está dada por A ab sen q, como se muestra en la figura 13.33.

a) Hallar la tasa o la razón de cambio de A respecto de a si a 10, b 20 y

b) Calcular la tasa o la razón de cambio de A respecto de si a 10, b 20 y

Solución

6 .

6 .

a) Para hallar la tasa o la razón de cambio del área respecto de a, se mantienen b y q constantes

y se deriva respecto de a para obtener

A

a b sen sin

A

a

20 sen sin

6 10.

Derivada parcial respecto a a.

Sustituir a b y q.

b) Para hallar la tasa o la razón de cambio del área respecto de q, se mantiene a y b constantes

y se deriva respecto de q para obtener

A

ab cos

A

200 cos

6 1003.

Derivada parcial respecto de q.

Sustituir a, b y q.

Derivadas parciales de una función de tres o más variables

El concepto de derivada parcial puede extenderse de manera natural a funciones de tres o

más variables. Por ejemplo, si w fx, y, z, existen tres derivadas parciales cada una de

las cuales se forma manteniendo constantes las otras dos variables. Es decir, para definir

la derivada parcial de w con respecto a x, se consideran y y z constantes y se deriva con

respecto a x. Para hallar las derivadas parciales de w con respecto a y y con respecto a z se

emplea un proceso similar.

w

x f xx, y, z lim lím

x→0

w

y f yx, y, z lím lim

y→0

w

z f zx, y, z lím lim

z→0

fx x, y, z fx, y, z

x

fx, y y, z fx, y, z

y

fx, y, z z fx, y, z

z

En general, si w fx 1 , x 2 , . . . , x n , hay n derivadas parciales denotadas por

w

x k

f xk

x 1 , x 2 , . . . , x n ,

k 1, 2, . . . , n.

Para hallar la derivada parcial con respecto a una de las variables, se mantienen constantes

las otras variables y se deriva con respecto a la variable dada.


EJEMPLO 6

Hallar las derivadas parciales

a) Para hallar la derivada parcial de fx, y, z xy yz 2 xz con respecto a z, se consideran

x y y constantes y se obtiene

z xy yz2 xz 2yz x.

b) Para hallar la derivada parcial de f(x, y, z) z sen(xy 2 2z) con respecto a z, se consideran

x y y constantes. Entonces, usando la regla del producto, se obtiene

z z sen sinxy 2 2z z sen

z sinxy 2 2z sen sinxy 2 2z z z

c) Para calcular la derivada parcial de fx, y, z, w x y zw con respecto a w, se

consideran x, y y z constantes y se obtiene

w x y z

w x y z .

w 2

zcosxy 2 2z2 sen

sinxy 2 2z

2z cosxy 2 2z sen sinxy 2 2z.

Derivadas parciales de orden superior

Como sucede con las derivadas ordinarias, es posible hallar las segundas, terceras, etc.,

derivadas parciales de una función de varias variables, siempre que tales derivadas existan.

Las derivadas de orden superior se denotan por el orden al que se hace la derivación. Por

ejemplo, la función z fx, y tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden.

1. Derivar dos veces con respecto a x:

xx f 2 f

x f 2 xx .

2. Derivar dos veces con respecto a y:

yy f 2 f

y f 2 yy .

NOTA Observar que los dos tipos de

notación para las derivadas parciales

mixtas tienen convenciones diferentes

para indicar el orden de derivación.

yx f 2 f

yx

f x y f xy

Orden de derecha a

izquierda.

Orden de izquierda a

derecha.

Se puede recordar el orden de ambas

notaciones observando que primero se

deriva con respecto a la variable más

“cercana” a f.

■

3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:

yx f 2 f

yx f xy .

4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:

xy f 2 f

xy f yx .

Los casos tercero y cuarto se llaman derivadas parciales mixtas (cruzadas).


EJEMPLO 7

Hallar derivadas parciales de segundo orden

fx, y 3xy 2 2y 5x 2 y 2 , y deter-

Hallar las derivadas parciales de segundo orden de

minar el valor de f xy 1, 2.

Solución Empezar por hallar las derivadas parciales de primer orden con respecto a x y y.

f x x, y 3y 2 10xy 2

y

f y x, y 6xy 2 10x 2 y

Después, se deriva cada una de éstas con respecto a x y con respecto a y.

f xx x, y 10y 2

f xy x, y 6y 20xy

y

y

f yy x, y 6x 10x 2

f yx x, y 6y 20xy

En 1, 2, el valor de es

f xy

f xy 1, 2 12 40 28.

NOTA En el ejemplo 7 las dos derivadas parciales mixtas son iguales. En el teorema 13.3 se dan

condiciones suficientes para que esto ocurra.

■

TEOREMA 13.3

IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS

Si f es una función de x y y tal que f xy y f yx son continuas en un disco abierto R,

entonces, para todo x, y en R,

f xy x, y f yx x, y.

El teorema 13.3 también se aplica a una función f de tres o más variables siempre y

cuando las derivadas parciales de segundo orden sean continuas. Por ejemplo, si

w fx, y, z y todas sus derivadas parciales de segundo orden son continuas en una

región abierta R, entonces en todo punto en R el orden de derivación para obtener las

derivadas parciales mixtas de segundo orden es irrelevante. Si las derivadas parciales de

tercer orden de f también son continuas, el orden de derivación para obtener las derivadas

parciales mixtas de tercer orden es irrelevante.

EJEMPLO 8

Hallar derivadas parciales de orden superior

Mostrar que f xz f zx y f xzz f zxz f zzx para la función dada por

fx, y, z ye x x ln z.

Solución

Derivadas parciales de primer orden:

f x x, y, z ye x ln z,

f z x, y, z x z

Derivadas parciales de segundo orden (nótese que las dos primeras son iguales):

f xzx, y, z 1 z ,

f zx x, y, z 1 z ,

f zz x, y, z x

z 2

Derivadas parciales de tercer orden (nótese que las tres son iguales):

f xzzx, y, z 1 z 2,

f zxz x, y, z 1 z 2,

f zzx x, y, z 1 z 2


13.3 Ejercicios

Para pensar En los ejercicios 1 a 4, utilizar la gráfica de la superficie

para determinar el signo de la derivada parcial indicada.

−5

x

5

2

z

1. f x 4, 1

2. f y 1, 2

3. f y 4, 1

4. f x 1, 1

En los ejercicios 5 a 8, explicar si se debe usar o no la regla del

cociente para encontrar la derivada parcial. No derivar.

x y

5. 6.

y x 2 1

xy

7. 8.

x x 2 1

En los ejercicios 9 a 40, hallar las dos derivadas parciales de

primer orden.

x

y

5

y

x y

x 2 1

xy

x 2 1

9. f x, y 2x 5y 3 10. f x, y x 2 2y 2 4

11. f x, y x 2 y 3 12. f x, y 4x 3 y 2

13. z x y

14. z 2y 2 x

15. z x 2 4xy 3y 2 16. z y 3 2xy 2 1

17. z e xy 18. z e x y

19. z x 2 e 2y 20. z ye y x

21. z ln x 22. z ln xy

y

23. z ln x 24. z ln x y

2 y 2 x y

x xy

25. z

2 3y 2

26. z

2y x

x 2 y 2

27. h x, y e x2 y 2 28. g x, y ln x 2 y 2

29. f x, y x 2 y 2 30. f x, y 2x y 3

31. z cos xy

32. z sen x 2y

33. z tan 2x y

34. z sen 5x cos 5y

35. z e y sen xy

36. z cos x 2 y 2

37. z senh 2x 3y 38. z cosh xy 2

39. f x, y

40. f x, y

y

t 2

x

y

x

2t

1 dt

1 dt

y

x

2t

1 dt

CAS

En los ejercicios 41 a 44, utilizar la definición de derivadas parciales

empleando límites para calcular f x x, y y f y x, y.

41. f x, y 3x 2y

42. f x, y x 2 2xy y 2

43. f x, y x y

44. f x, y

En los ejercicios 45 a 52, evaluar y en el punto dado.

45. f x, y e y sen x, , 0

46. f x, y e x cos y, 0, 0

47.

48. f x, y sen xy, 2, 4

49.

En los ejercicios 53 y 54, calcular las pendientes de la superficie

en las direcciones de x y de y en el punto dado.

53. gx, y 4 x 2 y 2 54. hx, y x 2 y 2

2

x

f x, y cos 2x y ,

f x, y arctan y x ,

50. f x, y arccos xy, 1, 1

51. f x, y

xy

2, 2

x y ,

52. f x, y

2xy

4x 2 5y 2, 1, 1

1, 1, 2

4

z

2

y

y

2, 2

4 , 3

2, 1, 3


y representar gráficamente la curva en la intersección de

la superficie con el plano. Hallar la pendiente de la curva en el

punto dado.

3

y

Superficie Plano Punto

55. z 49 x 2 y 2 x 2 2, 3, 6

56. z x 2 4y 2

y 1 2, 1, 8

57. z 9x 2 y 2

y 3 1, 3, 0

58. z 9x 2 y 2

x 1 1, 3, 0

f x

x

f y

3

7

6

5

4

3

2

z

1

x y


En los ejercicios 59 a 64, calcular las derivadas parciales de

primer orden con respecto a x, y y z.

En los ejercicios 65 a 70, evaluar f x , f y y f z en el punto dado.

En los ejercicios 71 a 80, calcular las cuatro derivadas parciales

de segundo orden. Observar que las derivadas parciales mixtas

de segundo orden son iguales.

En los ejercicios 81 a 88, para f(x, y), encontrar todos los valores

de x y y, tal que f x (x, y) = 0 y f y (x, y) = 0 simultáneamente.


y hallar las derivadas parciales de primero y segundo

orden de la función. Determinar si existen valores de x y y tales

que y simultáneamente.

En los ejercicios 93 a 96, mostrar que las derivadas parciales

mixtas f xyy , f yxy y f yyx son iguales.

Ecuación de Laplace

En los ejercicios 97 a 100, mostrar que la

función satisface la ecuación de Laplace

97. 98.

99. z e x sen y 100.

Ecuación de ondas


función satisface la ecuación de ondas

101. z sen(x ct) 102.

103. 104. z sen wct sen wx

Ecuación del calor

En los ejercicios 105 y 106, mostrar que la

función satisface la ecuación del calor

105. 106.

En los ejercicios 107 y 108, determinar si existe o no una función

f(x, y) con las derivadas parciales dadas. Explicar el razonamiento.

Si tal función existe, dar un ejemplo.

En los ejercicios 109 y 110, encontrar la primera derivada parcial

con respecto a x.

z e t sin x c

z e t cos x c

z/t c 2 2 z/x 2 .

z lnx ct

z cos4x 4ct

2 z/t 2 c 2 2 z/x 2 .

z arctan y x

z 1 2e y e y sin x

z 5xy

2 z/x 2 2 z/y 2 0.

f y x, y 0

f x x, y 0

In Exercises 59–64, find the first partial derivatives with respect

to

and

59.

60.

61. 62.

63.

64.

In Exercises 65–70, evaluate and at the given point.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

In Exercises 71–80, find the four second partial derivatives.

Observe that the second mixed partials are equal.

71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.

In Exercises 81–88, for find all values of and such

that and simultaneously.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

In Exercises 89–92, use a computer algebra system to find the

first and second partial derivatives of the function. Determine

whether there exist values of and such that and

simultaneously.

89. 90.

91. 92.

In Exercises 93–96, show that the mixed partial derivatives

and

are equal.

93.

94.

95.

96.

Laplace’s Equation

In Exercises 97–100, show that the function

satisfies Laplace’s equation

97. 98.

99. 100.

Wave Equation


satisfies the wave equation

101. 102.

103. 104.

Heat Equation

In Exercises 105 and 106, show that the function

satisfies the heat equation

105. 106.

In Exercises 107 and 108, determine whether there exists a

function

with the given partial derivatives. Explain your

reasoning. If such a function exists, give an example.

107.

108.

In Exercises 109 and 110, find the first partial derivative with

respect to

109.

110. f x, y, z x senh y z

y 2 2 y 1 z

fx, y, z tan y 2 ze z2 y 2 z

x.

f y x, y x 4y

f x x, y 2x y,

f y x, y 2 sen 3x 2y

f x x, y 3 sen 3x 2y ,

f x, y

z

e t sen x c

z

e t cos x c

z/ t c 2 2 z/ x 2 .

z

sen ct sen x

z ln x ct

z cos 4x 4ct

z sen x ct

2 z/ t 2 c 2 2 z/ x 2 .

z

arctan y x

z

e x sen y

z

1

2 ey e y sen x

z

5xy

2 z/ x 2 2 z/ y 2 0.

f x, y, z

2z

x

y

f x, y, z

e x sen yz

f x, y, z x 2 3xy 4yz z 3

f x, y, z

xyz

f yyx

f yxy ,

f xyy ,

fx, y

xy

x

y

fx, y

ln

x

x 2 y 2 fx, y 25 x 2 y 2

fx, y

x sec y

f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

fx, y ln x 2 y 2 1

fx, y e x2 xy y 2

fx, y 3x 3 12xy y 3

fx, y

1

x

1

y

xy

fx, y x 2 xy y 2

fx, y x 2 4xy y 2 4x 16y 3

fx, y x 2 xy y 2 5x y

fx, y x 2 xy y 2 2x 2y

f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

f x, y ,

z

arctan y x

z

cos xy

z 2xe y 3ye x

z

e x tan y

z ln x y

z x 2 y 2 z x 4 3x 2 y 2 y 4

z x 2 2xy 3y 2 z x 2 3y 2

z 3xy 2 1, 2, 1

f x, y, z 3x 2 y 2 2z 2 ,

0, 2 , 4

f x, y, z z sen x y ,

3, 1, 1

f x, y, z

xy

x y z ,

fx, y, z

x

yz , 1, 1, 1 2, 1, 2

f x, y, z x 2 y 3 2xyz 3yz,

f x, y, z x 3 yz 2 , 1, 1, 1

f z

f y ,

f x ,

G x, y, z

1

1 x 2 y 2 z 2

F x, y, z ln x 2 y 2 z 2 w

7xz

x

y

w x 2 y 2 z 2

f x, y, z 3x 2 y 5xyz 10yz 2

H x, y, z sen x 2y 3z

z.

y,

x,

13.3 Partial Derivatives 915

CAS

111. Let be a function of two variables and Describe the

procedure for finding the first partial derivatives.

112. Sketch a surface representing a function of two variables

and

Use the sketch to give geometric interpretations of

and

113. Sketch the graph of a function whose derivative

is always negative and whose derivative

is always

positive.

114. Sketch the graph of a function whose derivatives

and are always positive.

115. If is a function of and such that and are

continuous, what is the relationship between the mixed

partial derivatives? Explain.

f yx

f xy

y

x

f

f y

f x z f x, y

f y

f x z f x, y

f y.

f

x

y.

x

f

y.

x

f



to

and

59.

60.

61. 62.

63.

64.


65.

66.

67.

68.

69.

70.



71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.



81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.




simultaneously.

89. 90.

91. 92.


and

are equal.

93.

94.

95.

96.




97. 98.

99. 100.

Wave Equation



101. 102.

103. 104.

Heat Equation



105. 106.


function



107.

108.


respect to

109.


y 2 2 y 1 z


x.

f y x, y x 4y

f x x, y 2x y,



f x, y

z

e t sen x c

z

e t cos x c

z/ t c 2 2 z/ x 2 .

z

sen ct sen x

z ln x ct

z cos 4x 4ct

z sen x ct

2 z/ t 2 c 2 2 z/ x 2 .

z

arctan y x

z

e x sen y

z

1

2 ey e y sen x

z

5xy

2 z/ x 2 2 z/ y 2 0.

f x, y, z

2z

x

y

f x, y, z

e x sen yz


fx, y, z

xyz

f yyx

f yxy ,

f xyy ,

fx, y

xy

x

y

fx, y

ln

x

x 2 y 2 fx, y 25 x 2 y 2

fx, y

x sec y

f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

fx, y ln x 2 y 2 1

fx, y e x2 xy y 2

fx, y 3x 3 12xy y 3

fx, y

1

x

1

y

xy

fx, y x 2 xy y 2

fx, y x 2 4xy y 2 4x 16y 3



f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

f x, y ,

z

arctan y x

z

cos xy

z 2xe y 3ye x

z

e x tan y

z ln x y

z x 2 y 2 z x 4 3x 2 y 2 y 4

z x 2 2xy 3y 2 z x 2 3y 2

z 3xy 2 1, 2, 1

f x, y, z 3x 2 y 2 2z 2 ,

0, 2 , 4


3, 1, 1

f x, y, z

xy

x y z ,

f x, y, z

x

yz , 1, 1, 1 2, 1, 2


f x, y, z x 3 yz 2 , 1, 1, 1

f z

f y ,

f x ,

G x, y, z

1

1 x 2 y 2 z 2

F x, y, z ln x 2 y 2 z 2 w

7xz

x

y

w x 2 y 2 z 2

f x, y, z 3x 2 y 5xyz 10yz 2

Hx, y, z sen x 2y 3z

z.

y,

x,


CAS




and


and



is always

positive.






f yx

f xy

y

x

f

f y

f x z f x, y

f y

f x z f x, y

f y.

f

x

y.

x

f

y.

x

f



to

and

59.

60.

61. 62.

63.

64.


65.

66.

67.

68.

69.

70.



71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.



81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.




simultaneously.

89. 90.

91. 92.


and

are equal.

93.

94.

95.

96.




97. 98.

99. 100.

Wave Equation



101. 102.

103. 104.

Heat Equation



105. 106.


function



107.

108.


respect to

109.


y 2 2 y 1 z


x.

f y x, y x 4y

f x x, y 2x y,



f x, y

z

e t sen x c

z

e t cos x c

z/ t c 2 2 z/ x 2 .

z

sen ct sen x

z ln x ct

z cos 4x 4ct

z sen x ct

2 z/ t 2 c 2 2 z/ x 2 .

z

arctan y x

z

e x sen y

z

1

2 ey e y sen x

z

5xy

2 z/ x 2 2 z/ y 2 0.

f x, y, z

2z

x

y

f x, y, z

e x sen yz


fx, y, z

xyz

f yyx

f yxy ,

f xyy ,

fx, y

xy

x

y

fx, y

ln

x

x 2 y 2 fx, y 25 x 2 y 2

fx, y

x sec y

f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

fx, y ln x 2 y 2 1

fx, y e x2 xy y 2

fx, y 3x 3 12xy y 3

fx, y

1

x

1

y

xy

fx, y x 2 xy y 2

fx, y x 2 4xy y 2 4x 16y 3



f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

f x, y ,

z

arctan y x

z

cos xy

z 2xe y 3ye x

z

e x tan y

z ln x y

z x 2 y 2 z x 4 3x 2 y 2 y 4

z x 2 2xy 3y 2 z x 2 3y 2

z 3xy 2 1, 2, 1

f x, y, z 3x 2 y 2 2z 2 ,

0, 2 , 4


3, 1, 1

f x, y, z

xy

x y z ,

fx, y, z

x

yz , 1, 1, 1 2, 1, 2


f x, y, z x 3 yz 2 , 1, 1, 1

f z

f y ,

f x ,

G x, y, z

1

1 x 2 y 2 z 2

Fx, y, z ln x 2 y 2 z 2 w

7xz

x

y

w x 2 y 2 z 2

fx, y, z 3x 2 y 5xyz 10yz 2


z.

y,

x,


CAS




and


and



is always

positive.






f yx

f xy

y

x

f

f y

f x z f x, y

f y

f x z f x, y

f y.

f

x

y.

x

f

y.

x

f



to

and

59.

60.

61. 62.

63.

64.


65.

66.

67.

68.

69.

70.



71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.



81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.




simultaneously.

89. 90.

91. 92.


and

are equal.

93.

94.

95.

96.




97. 98.

99. 100.

Wave Equation



101. 102.

103. 104.

Heat Equation



105. 106.


function



107.

108.


respect to

109.


y 2 2 y 1 z


x.

f y x, y x 4y

f x x, y 2x y,



f x, y

z

e t sen x c

z

e t cos x c

z/ t c 2 2 z/ x 2 .

z

sen ct sen x

z ln x ct

z cos 4x 4ct

z sen x ct

2 z/ t 2 c 2 2 z/ x 2 .

z

arctan y x

z

e x sen y

z

1

2 ey e y sen x

z

5xy

2 z/ x 2 2 z/ y 2 0.

f x, y, z

2z

x

y

f x, y, z

e x sen yz


fx, y, z

xyz

f yyx

f yxy ,

f xyy ,

fx, y

xy

x

y

fx, y

ln

x

x 2 y 2 fx, y 25 x 2 y 2

fx, y

x sec y

f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

f x, y ln x 2 y 2 1

f x, y e x2 xy y 2

f x, y 3x 3 12xy y 3

f x, y

1

x

1

y

xy

f x, y x 2 xy y 2

f x, y x 2 4xy y 2 4x 16y 3

f x, y x 2 xy y 2 5x y

f x, y x 2 xy y 2 2x 2y

f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

f x, y ,

z

arctan y x

z

cos xy

z 2xe y 3ye x

z

e x tan y

z ln x y

z x 2 y 2 z x 4 3x 2 y 2 y 4

z x 2 2xy 3y 2 z x 2 3y 2

z 3xy 2 1, 2, 1

f x, y, z 3x 2 y 2 2z 2 ,

0, 2 , 4


3, 1, 1

f x, y, z

xy

x y z ,

fx, y, z

x

yz , 1, 1, 1 2, 1, 2


f x, y, z x 3 yz 2 , 1, 1, 1

f z

f y ,

f x ,

G x, y, z

1

1 x 2 y 2 z 2


7xz

x

y

w x 2 y 2 z 2



z.

y,

x,


CAS




and


and



is always

positive.






f yx

f xy

y

x

f

f y

f x z f x, y

f y

f x z f x, y

f y.

f

x

y.

x

f

y.

x

f



to

and

59.

60.

61. 62.

63.

64.


65.

66.

67.

68.

69.

70.



71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.



81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.




simultaneously.

89. 90.

91. 92.


and

are equal.

93.

94.

95.

96.




97. 98.

99. 100.

Wave Equation



101. 102.

103. 104.

Heat Equation



105. 106.


function



107.

108.


respect to

109.


y 2 2 y 1 z


x.

f y x, y x 4y

f x x, y 2x y,



f x, y

z

e t sen x c

z

e t cos x c

z/ t c 2 2 z/ x 2 .

z

sen ct sen x

z ln x ct

z cos 4x 4ct

z sen x ct

2 z/ t 2 c 2 2 z/ x 2 .

z

arctan y x

z

e x sen y

z

1

2 ey e y sen x

z

5xy

2 z/ x 2 2 z/ y 2 0.

f x, y, z

2z

x

y

f x, y, z

e x sen yz


f x, y, z

xyz

f yyx

f yxy ,

f xyy ,

f x, y

xy

x

y

f x, y

ln

x

x 2 y 2 f x, y 25 x 2 y 2

f x, y

x sec y

f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

fx, y ln x 2 y 2 1

fx, y e x2 xy y 2

fx, y 3x 3 12xy y 3

fx, y

1

x

1

y

xy

fx, y x 2 xy y 2

fx, y x 2 4xy y 2 4x 16y 3



f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

f x, y ,

z

arctan y x

z

cos xy

z 2xe y 3ye x

z

e x tan y

z ln x y

z x 2 y 2 z x 4 3x 2 y 2 y 4

z x 2 2xy 3y 2 z x 2 3y 2

z 3xy 2 1, 2, 1

f x, y, z 3x 2 y 2 2z 2 ,

0, 2 , 4


3, 1, 1

f x, y, z

xy

x y z ,

fx, y, z

x

yz , 1, 1, 1 2, 1, 2


f x, y, z x 3 yz 2 , 1, 1, 1

f z

f y ,

f x ,

G x, y, z

1

1 x 2 y 2 z 2

F x, y, z ln x 2 y 2 z 2 w

7xz

x

y

w x 2 y 2 z 2

f x, y, z 3x 2 y 5xyz 10yz 2


z.

y,

x,


CAS




and


and



is always

positive.






f yx

f xy

y

x

f

f y

f x z f x, y

f y

f x z f x, y

f y.

f

x

y.

x

f

y.

x

f



to

and

59.

60.

61. 62.

63.

64.


65.

66.

67.

68.

69.

70.



71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.



81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.




simultaneously.

89. 90.

91. 92.


and

are equal.

93.

94.

95.

96.




97. 98.

99. 100.

Wave Equation



101. 102.

103. 104.

Heat Equation



105. 106.


function



107.

108.


respect to

109.


y 2 2 y 1 z


x.

f y x, y x 4y

f x x, y 2x y,



f x, y

z

e t sen x c

z

e t cos x c

z/ t c 2 2 z/ x 2 .

z

sen ct sen x

z ln x ct

z cos 4x 4ct

z sen x ct

2 z/ t 2 c 2 2 z/ x 2 .

z

arctan y x

z

e x sen y

z

1

2 ey e y sen x

z

5xy

2 z/ x 2 2 z/ y 2 0.

f x, y, z

2z

x

y

f x, y, z

e x sen yz


f x, y, z

xyz

f yyx

f yxy ,

f xyy ,

fx, y

xy

x

y

fx, y

ln

x

x 2 y 2 fx, y 25 x 2 y 2

fx, y

x sec y

f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

fx, y ln x 2 y 2 1

fx, y e x2 xy y 2

fx, y 3x 3 12xy y 3

fx, y

1

x

1

y

xy

fx, y x 2 xy y 2

fx, y x 2 4xy y 2 4x 16y 3



f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

f x, y ,

z

arctan y x

z

cos xy

z 2xe y 3ye x

z

e x tan y

z ln x y

z x 2 y 2 z x 4 3x 2 y 2 y 4

z x 2 2xy 3y 2 z x 2 3y 2

z 3xy 2 1, 2, 1

f x, y, z 3x 2 y 2 2z 2 ,

0, 2 , 4


3, 1, 1

f x, y, z

xy

x y z ,

fx, y, z

x

yz , 1, 1, 1 2, 1, 2


f x, y, z x 3 yz 2 , 1, 1, 1

f z

f y ,

f x ,

G x, y, z

1

1 x 2 y 2 z 2


7xz

x

y

w x 2 y 2 z 2



z.

y,

x,


CAS




and


and



is always

positive.






f yx

f xy

y

x

f

f y

f x z f x, y

f y

f x z f x, y

f y.

f

x

y.

x

f

y.

x

f



to

and

59.

60.

61. 62.

63.

64.


65.

66.

67.

68.

69.

70.



71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.



81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.




simultaneously.

89. 90.

91. 92.


and

are equal.

93.

94.

95.

96.




97. 98.

99. 100.

Wave Equation



101. 102.

103. 104.

Heat Equation



105. 106.


function



107.

108.


respect to

109.


y 2 2 y 1 z


x.

f y x, y x 4y

f x x, y 2x y,



f x, y

z

e t sen x c

z

e t cos x c

z/ t c 2 2 z/ x 2 .

z

sen ct sen x

z ln x ct

z cos 4x 4ct

z sen x ct

2 z/ t 2 c 2 2 z/ x 2 .

z

arctan y x

z

e x sen y

z

1

2 ey e y sen x

z

5xy

2 z/ x 2 2 z/ y 2 0.

f x, y, z

2z

x

y

f x, y, z

e x sen yz


fx, y, z

xyz

f yyx

f yxy ,

f xyy ,

fx, y

xy

x

y

fx, y

ln

x

x 2 y 2 fx, y 25 x 2 y 2

fx, y

x sec y

f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

fx, y ln x 2 y 2 1

fx, y e x2 xy y 2

fx, y 3x 3 12xy y 3

fx, y

1

x

1

y

xy

fx, y x 2 xy y 2

fx, y x 2 4xy y 2 4x 16y 3



f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

f x, y ,

z

arctan y x

z

cos xy

z 2xe y 3ye x

z

e x tan y

z ln x y

z x 2 y 2 z x 4 3x 2 y 2 y 4

z x 2 2xy 3y 2 z x 2 3y 2

z 3xy 2 1, 2, 1

f x, y, z 3x 2 y 2 2z 2 ,

0, 2 , 4


3, 1, 1

f x, y, z

xy

x y z ,

fx, y, z

x

yz , 1, 1, 1 2, 1, 2


f x, y, z x 3 yz 2 , 1, 1, 1

f z

f y ,

f x ,

G x, y, z

1

1 x 2 y 2 z 2


7xz

x

y

w x 2 y 2 z 2



z.

y,

x,


CAS




and


and



is always

positive.






f yx

f xy

y

x

f

f y

f x z f x, y

f y

f x z f x, y

f y.

f

x

y.

x

f

y.

x

f



to

and

59.

60.

61. 62.

63.

64.


65.

66.

67.

68.

69.

70.



71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.



81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.




simultaneously.

89. 90.

91. 92.


and

are equal.

93.

94.

95.

96.




97. 98.

99. 100.

Wave Equation



101. 102.

103. 104.

Heat Equation



105. 106.


function



107.

108.


respect to

109.


y 2 2 y 1 z

f x, y, z tan y 2 z e z2 y 2 z

x.

f y x, y x 4y

f x x, y 2x y,



f x, y

z

e t sen x c

z

e t cos x c

z/ t c 2 2 z/ x 2 .

z

sen ct sen x

z ln x ct

z cos 4x 4ct

z sen x ct

2 z/ t 2 c 2 2 z/ x 2 .

z

arctan y x

z

e x sen y

z

1

2 ey e y sen x

z

5xy

2 z/ x 2 2 z/ y 2 0.

f x, y, z

2z

x

y

f x, y, z

e x sen yz


fx, y, z

xyz

f yyx

f yxy ,

f xyy ,

fx, y

xy

x

y

fx, y

ln

x

x 2 y 2 fx, y 25 x 2 y 2

fx, y

x sec y

f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

fx, y ln x 2 y 2 1

fx, y e x2 xy y 2

fx, y 3x 3 12xy y 3

fx, y

1

x

1

y

xy

fx, y x 2 xy y 2

fx, y x 2 4xy y 2 4x 16y 3



f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

f x, y ,

z

arctan y x

z

cos xy

z 2xe y 3ye x

z

e x tan y

z ln x y

z x 2 y 2 z x 4 3x 2 y 2 y 4

z x 2 2xy 3y 2 z x 2 3y 2

z 3xy 2 1, 2, 1

f x, y, z 3x 2 y 2 2z 2 ,

0, 2 , 4


3, 1, 1

f x, y, z

xy

x y z ,

fx, y, z

x

yz , 1, 1, 1 2, 1, 2


f x, y, z x 3 yz 2 , 1, 1, 1

f z

f y ,

f x ,

G x, y, z

1

1 x 2 y 2 z 2


7xz

x

y

w x 2 y 2 z 2



z.

y,

x,


CAS




and


and



is always

positive.






f yx

f xy

y

x

f

f y

f x z f x, y

f y

f x z f x, y

f y.

f

x

y.

x

f

y.

x

f



111. Sea f una función de dos variables x y y. Describir el procedimiento

para hallar las derivadas parciales de primer orden.

112. Dibujar una superficie que represente una función f de dos

variables x y y. Utilizar la gráfica para dar una interpretación

geométrica de

y

113. Dibujar la gráfica de una función cuya derivada

sea siempre negativa y cuya derivada

sea siempre positiva.

114. Dibujar la gráfica de una función cuyas derivadas

y sean siempre positivas.

115. Si es una función de y tal que y son continuas,

¿qué relación existe entre las derivadas parciales mixtas?

Explicar.

f yx

f xy

y

x

f

f y

f x

z fx, y

f y

f x

z fx, y

fy.

fx


to

and

59.

60.

61. 62.

63.

64.


65.

66.

67.

68.

69.

70.



71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.



81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.




simultaneously.

89. 90.

91. 92.


and

are equal.

93.

94.

95.

96.




97. 98.

99. 100.

Wave Equation



101. 102.

103. 104.

Heat Equation



105. 106.


function



107.

108.


respect to

109.


y 2 2 y 1 z


x.

f y x, y x 4y

f x x, y 2x y,



f x, y

z

e t sen x c

z

e t cos x c

z/ t c 2 2 z/ x 2 .

z

sen ct sen x

z ln x ct

z cos 4x 4ct

z sen x ct

2 z/ t 2 c 2 2 z/ x 2 .

z

arctan y x

z

e x sen y

z

1

2 ey e y sen x

z

5xy

2 z/ x 2 2 z/ y 2 0.

f x, y, z

2z

x

y

f x, y, z

e x sen yz


f x, y, z

xyz

f yyx

f yxy ,

f xyy ,

fx, y

xy

x

y

fx, y

ln

x

x 2 y 2 fx, y 25 x 2 y 2

fx, y

x sec y

f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

fx, y ln x 2 y 2 1

fx, y e x2 xy y 2

fx, y 3x 3 12xy y 3

fx, y

1

x

1

y

xy

fx, y x 2 xy y 2

fx, y x 2 4xy y 2 4x 16y 3



f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

f x, y ,

z

arctan y x

z

cos xy

z 2xe y 3ye x

z

e x tan y

z ln x y

z x 2 y 2 z x 4 3x 2 y 2 y 4

z x 2 2xy 3y 2 z x 2 3y 2

z 3xy 2 1, 2, 1

f x, y, z 3x 2 y 2 2z 2 ,

0, 2 , 4


3, 1, 1

f x, y, z

xy

x y z ,

fx, y, z

x

yz , 1, 1, 1 2, 1, 2


f x, y, z x 3 yz 2 , 1, 1, 1

f z

f y ,

f x ,

G x, y, z

1

1 x 2 y 2 z 2

F x, y, z ln x 2 y 2 z 2 w

7xz

x

y

w x 2 y 2 z 2

f x, y, z 3x 2 y 5xyz 10yz 2


z.

y,

x,


CAS




and


and



is always

positive.






f yx

f xy

y

x

f

f y

f x z f x, y

f y

f x z f x, y

f y.

f

x

y.

x

f

y.

x

f


sen

sen


117. Ingreso marginal Una corporación farmacéutica tiene dos

plantas que producen la misma medicina. Si x 1 y x 2 son los

números de unidades producidos en la planta 1 y en la planta 2,

respectivamente, entonces el ingreso total del producto está

dado por

Cuando

x 1 = 4 y x 2 = 12, encontrar a) el ingreso marginal para la planta

1, y b) el ingreso marginal para la planta 2,

118. Costo marginal Una empresa fabrica dos tipos de estufas de

combustión de madera: el modelo autoestable y el modelo para

inserción en una chimenea. La función de costo para producir

x estufas autoestables y y de inserción en una chimenea es

a) Calcular los costos marginales y cuando

y

b) Cuando se requiera producción adicional, ¿qué modelo de

estufa hará incrementar el costo con una tasa más alta? ¿Cómo

puede determinarse esto a partir del modelo del costo?

119. Psicología Recientemente en el siglo xx se desarrolló una prueba

de inteligencia llamada la Prueba de Stanford-Binet (más

conocida como la prueba IQ). En esta prueba, una edad mental

individual M es dividida entre la edad cronológica individual C,

y el cociente es multiplicado por 100. El resultado es el IQ individual.

Encontrar las derivadas parciales de IQ con respecto a M y con

respecto a C. Evaluar las derivadas parciales en el punto (12, 10)

e interpretar el resultado. (Fuente: Adaptado de Bernstein/Clark-

Steward/Roy/Wickens, Psicología, 4a. ed.)

120. Productividad marginal Considerar la función de producción

de Cobb-Douglas Si x 1 000 y y 500,

hallar a) la productividad marginal del trabajo,

y b) la

productividad marginal del capital,

121. Para pensar Sea el número de aspirantes a una universidad,

p el costo por alimentación y alojamiento en la universidad,

y t el costo de la matrícula. N es una función de p y t tal

que y ¿Qué información se obtiene al

saber que ambas derivadas parciales son negativas?

122. Inversión El valor de una inversión de $1 000 al 6% de

interés compuesto anual es

donde I es la tasa anual de inflación y R es la tasa de impuesto

para el inversor. Calcular

y

Determinar si la tasa de impuesto o la tasa de inflación es el

mayor factor “negativo” sobre el crecimiento de la inversión.

123. Distribución de temperatura La temperatura en cualquier

punto

de una placa de acero es

donde y son medidos en metros. En el punto (2, 3), hallar el

ritmo de cambio de la temperatura respecto a la distancia recorrida

en la placa en las direcciones del eje x y y.

124. Temperatura aparente Una medida de la percepción del

calor ambiental por unas personas promedio es el Índice de

temperatura aparente. Un modelo para este índice es

donde es la temperatura aparente en grados Celsius, es la

temperatura del aire y

es la humedad relativa dada en forma

decimal. (Fuente: The UMAP Journal)

a) Hallar y si y

b) ¿Qué influye más sobre A, la temperatura del aire o la

humedad? Explicar.

125. Ley de los gases ideales La ley de los gases ideales establece

que donde es la presión, es el volumen, es el

número de moles de gas,

es una constante (la constante de los

gases) y T es temperatura absoluta. Mostrar que

126. Utilidad marginal La función de utilidad es una

medida de la utilidad (o satisfacción) que obtiene una persona

por el consumo de dos productos y

Suponer que la función

de utilidad es

a) Determinar la utilidad marginal del producto

b) Determinar la utilidad marginal del producto

c) Si y ¿se debe consumir una unidad más de

producto x o una unidad más de producto y? Explicar el

razonamiento.

d) Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar

gráficamente la función. Interpretar las utilidades marginales

de productos x y y con una gráfica.

127. Modelo matemático En la tabla se muestran los consumos

per cápita (en galones) de diferentes tipos de leche en Estados

Unidos desde 1999 hasta 2005. El consumo de leche light y

descremada, leche baja en grasa y leche entera se representa

por las variables x, y y z, respectivamente. (Fuente: U.S. Department

of Agriculture)

Un modelo para los datos está dado por

a) Hallar y

b) Interpretar las derivadas parciales en el contexto del problema.

z

y .

z

x

y 3,

x 2

y.

x.

U 5x 2 xy 3y 2 .

y.

x

U fx, y

T

P

P

V

V

T 1.

R

n

V

P

PV nRT,

h 0.80.

t 30

Ah

At

h

t

A

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y

x

T 500 0.6x 2 1.5y 2 ,

x, y

V R 0.03, 0.28.

V I 0.03, 0.28

Nt < 0.

Np < 0

N

fy.


117. Marginal Revenue A pharmaceutical corporation has two

plants that produce the same over-the-counter medicine. If

and are the numbers of units produced at plant 1 and plant 2,

respectively, then the total revenue for the product is given by

When

and find (a) the marginal revenue for plant 1,

and (b) the marginal revenue for plant 2,

118. Marginal Costs A company manufactures two types of

wood-burning stoves: a freestanding model and a fireplaceinsert

model. The cost function for producing

freestanding

and fireplace-insert stoves is

(a) Find the marginal costs and when

and

(b) When additional production is required, which model of

stove results in the cost increasing at a higher rate? How

can this be determined from the cost model?

119. Psychology Early in the twentieth century, an intelligence test

called the Stanford-Binet Test (more commonly known as the IQ

test) was developed. In this test, an individual’s mental age

is

divided by the individual’s chronological age

and the quotient

is multiplied by 100. The result is the individual’s

Find the partial derivatives of with respect to and with

respect to

Evaluate the partial derivatives at the point

and interpret the result.

(Source: Adapted from

Bernstein/Clark-Stewart/Roy/Wickens, Psychology, Fourth

Edition)

120. Marginal Productivity Consider the Cobb-Douglas production

function When and

find (a) the marginal productivity of labor,

and (b) the marginal productivity of capital,

121. Think About It Let be the number of applicants to a

university,

the charge for food and housing at the university,

and the tuition. is a function of and such that

and

What information is gained by

noticing that both partials are negative?

122. Investment The value of an investment of $1000 earning 6%

compounded annually is

where is the annual rate of inflation and

is the tax rate for

the person making the investment. Calculate

and

Determine whether the tax rate or the rate

of inflation is the greater “negative” factor in the growth of the

investment.

123. Temperature Distribution The temperature at any point

in a steel plate is

where

and are measured in meters. At the point

find the rates

of change of the temperature with respect to the distances

moved along the plate in the directions of the and axes.

124. Apparent Temperature A measure of how hot weather feels

to an average person is the Apparent Temperature Index. A

model for this index is

where

is the apparent temperature in degrees Celsius, is the

air temperature, and

is the relative humidity in decimal

form.

(Source: The UMAP Journal)

(a) Find and when and

(b) Which has a greater effect on

air temperature or

humidity? Explain.

125. Ideal Gas Law The Ideal Gas Law states that

where is pressure, is volume, is the number of moles of

gas, is a fixed constant (the gas constant), and is absolute

temperature. Show that

126. Marginal Utility The utility function is a

measure of the utility (or satisfaction) derived by a person

from the consumption of two products and Suppose the

utility function is

(a) Determine the marginal utility of product

(b) Determine the marginal utility of product

(c) When and should a person consume one

more unit of product

or one more unit of product

Explain your reasoning.

(d) Use a computer algebra system to graph the function.

Interpret the marginal utilities of products

and

graphically.

127. Modeling Data Per capita consumptions (in gallons) of

different types of milk in the United States from 1999 through

2005 are shown in the table. Consumption of flavored milk,

plain reduced-fat milk, and plain light and skim milks are

represented by the variables and respectively.

(Source: U.S. Department of Agriculture)

A model for the data is given by

(a) Find

and

(b) Interpret the partial derivatives in the context of the problem.

z

y .

z

x

z 0.92x 1.03y 0.02.

z,

y,

x,

y

x

y?

x

y 3,

x 2

y.

x.

U 5x 2 xy 3y 2 .

y.

x

U

f x, y

T

P

P

V

V

T

1.

T

R

n

V

P

PV

nRT,

A,

h 0.80.

t 30

A

h

A

t

h

t

A

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y-

x-

2, 3 ,

y

x

T 500 0.6x 2 1.5y 2 ,

x, y

V R 0.03, 0.28 .

V I 0.03, 0.28

R

I

VI, R 1 000 1 0.06 1 R

1 I

10

N t < 0.

N p < 0

t

p

N

t

p

N

f y.

f x,

y 500,

x 1000

f x, y 200x 0.7 y 0.3 .

12, 10

C.

M

IQ

IQ M, C

M

C

100

IQ.

C

M

y 20.

x 80

C

y

C

x

C 32 xy 175x 205y 1 050.

y

x

R x 2 .

R x 1 ,

x 2 12,

x 1 4

R 200x 1 200x 2 4x 1 2 8x 1 x 2 4x 22 .

x 2 x 1

116. Find the four second partial derivatives of the function

given by

Show that the second

mixed partial derivatives and are equal.

f yx

f xy

fx, y sen x 2y .

CAPSTONE

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

CAS

fx, y 200x 0.7 y 0.3 .

y 20.

x 80

Cy

Cx

C 32xy 175x 205y 1050.






When






freestanding



and







is


and the quotient



respect to





Edition)


function When and




university,



and






is the tax rate for


and



investment.


in a steel plate is

where


find the rates






where




form.




air temperature or

humidity? Explain.








utility function is









and

graphically.








(a) Find

and


z

y .

z

x

z 0.92x 1.03y 0.02.

z,

y,

x,

y

x

y?

x

y 3,

x 2

y.

x.

U 5x 2 xy 3y 2 .

y.

x

U

f x, y

T

P

P

V

V

T

1.

T

R

n

V

P

PV

nRT,

A,

h 0.80.

t 30

A

h

A

t

h

t

A

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y-

x-

2, 3 ,

y

x

T 500 0.6x 2 1.5y 2 ,

x, y

V R 0.03, 0.28 .

V I 0.03, 0.28

R

I

VI, R 1 000 1 0.06 1 R

1 I

10

N t < 0.

N p < 0

t

p

N

t

p

N

f y.

f x,

y 500,

x 1000

f x, y 200x 0.7 y 0.3 .

12, 10

C.

M

IQ

IQ M, C

M

C

100

IQ.

C

M

y 20.

x 80

C

y

C

x

C 32 xy 175x 205y 1 050.

y

x

R x 2 .

R x 1 ,

x 2 12,

x 1 4

R 200x 1 200x 2 4x 1 2 8x 1 x 2 4x 22 .

x 2 x 1


given by



f yx

f xy

f x, y sen x 2y .

CAPSTONE

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

CAS

ns of Several Variables

aceutical corporation has two

over-the-counter medicine. If

produced at plant 1 and plant 2,

enue for the product is given by

When

inal revenue for plant 1,

for plant 2,

y manufactures two types of

tanding model and a fireplaceon

for producing

freestanding

s

and

when

on is required, which model of

ncreasing at a higher rate? How

m the cost model?

tieth century, an intelligence test

more commonly known as the IQ

t, an individual’s mental age is

nological age

and the quotient

lt is the individual’s

with respect to

and with

partial derivatives at the point

esult.


/Wickens, Psychology, Fourth

sider the Cobb-Douglas produc-

When

and

al productivity of labor,

vity of capital,

the number of applicants to a

od and housing at the university,

unction of and such that


negative?

investment of $1000 earning 6%

nflation and

is the tax rate for

tment. Calculate

whether the tax rate or the rate

ative” factor in the growth of the


in a steel plate is

where


find the rates






where




form.




air temperature or

humidity? Explain.








utility function is









and

graphically.








(a) Find

and


z

y .

z

x

z 0.92x 1.03y 0.02.

z,

y,

x,

y

x

y?

x

y 3,

x 2

y.

x.

U 5x 2 xy 3y 2 .

y.

x

U

f x, y

T

P

P

V

V

T

1.

T

R

n

V

P

PV

nRT,

A,

h 0.80.

t 30

A

h

A

t

h

t

A

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y-

x-

2, 3 ,

y

x

T 500 0.6x 2 1.5y 2 ,

x, y

V I 0.03, 0.28

R

R 10 t

p

f y.

f x,

x 1000

x 0.7 y 0.3 .

M

IQ

IQ.

C

M

x 80

C

y

C

x

1 050.

x

R x 2 .

R x 1 ,

x 1 4

8x 1 x 2 4x 22 .

x 1

al derivatives of the function


and

are equal.

f yx

2y .

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

CAS






When






freestanding



and







is


and the quotient



respect to





Edition)


function When and




university,



and






is the tax rate for


and



investment.


in a steel plate is

where


find the rates






where




form.




air temperature or

humidity? Explain.








utility function is









and

graphically.








(a) Find

and


z

y .

z

x

z 0.92x 1.03y 0.02.

z,

y,

x,

y

x

y?

x

y 3,

x 2

y.

x.

U 5x 2 xy 3y 2 .

y.

x

U

f x, y

T

P

P

V

V

T

1.

T

R

n

V

P

PV

nRT,

A,

h 0.80.

t 30

A

h

A

t

h

t

A

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y-

x-

2, 3 ,

y

x

T 500 0.6x 2 1.5y 2 ,

x, y

V R 0.03, 0.28 .

V I 0.03, 0.28

R

I

VI, R 1 000 1 0.06 1 R

1 I

10

N t < 0.

N p < 0

t

p

N

t

p

N

f y.

f x,

y 500,

x 1000

f x, y 200x 0.7 y 0.3 .

12, 10

C.

M

IQ

IQ M, C

M

C

100

IQ.

C

M

y 20.

x 80

C

y

C

x

C 32 xy 175x 205y 1 050.

y

x

R x 2 .

R x 1 ,

x 2 12,

x 1 4

R 200x 1 200x 2 4x 1 2 8x 1 x 2 4x 22 .

x 2 x 1


given by



f yx

f xy

fx, y sen x 2y .

CAPSTONE

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

CAS

Para discusión

116. Encontrar las cuatro segundas derivadas parciales de la función

dada por

Mostrar que las segundas

derivadas parciales mixtas f xy y f yx son iguales.






When






freestanding



and







is


and the quotient



respect to





Edition)


function When and




university,



and






is the tax rate for


and



investment.


in a steel plate is

where


find the rates






where




form.




air temperature or

humidity? Explain.








utility function is









and

graphically.








(a) Find

and


z

y .

z

x

z 0.92x 1.03y 0.02.

z,

y,

x,

y

x

y?

x

y 3,

x 2

y.

x.

U 5x 2 xy 3y 2 .

y.

x

U

f x, y

T

P

P

V

V

T

1.

T

R

n

V

P

PV

nRT,

A,

h 0.80.

t 30

A

h

A

t

h

t

A

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y-

x-

2, 3 ,

y

x

T 500 0.6x 2 1.5y 2 ,

x, y

V R 0.03, 0.28 .

V I 0.03, 0.28

R

I

VI, R 1 000 1 0.06 1 R

1 I

10

N t < 0.

N p < 0

t

p

N

t

p

N

f y.

f x,

y 500,

x 1000

f x, y 200x 0.7 y 0.3 .

12, 10

C.

M

IQ

IQ M, C

M

C

100

IQ.

C

M

y 20.

x 80

C

y

C

x

C 32 xy 175x 205y 1 050.

y

x

R x 2 .

R x 1 ,

x 2 12,

x 1 4

R 200x 1 200x 2 4x 1 2 8x 1 x 2 4x 22 .

x 2 x 1


given by



f yx

f xy

f x, y sen x 2y .

CAPSTONE

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

CAS






When






freestanding



and







is


and the quotient



respect to





Edition)


function When and




university,



and






is the tax rate for


and



investment.


in a steel plate is

where


find the rates






where




form.




air temperature or

humidity? Explain.








utility function is









and

graphically.








(a) Find

and


z

y .

z

x

z 0.92x 1.03y 0.02.

z,

y,

x,

y

x

y?

x

y 3,

x 2

y.

x.

U 5x 2 xy 3y 2 .

y.

x

U

f x, y

T

P

P

V

V

T

1.

T

R

n

V

P

PV

nRT,

A,

h 0.80.

t 30

A

h

A

t

h

t

A

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y-

x-

2, 3 ,

y

x

T 500 0.6x 2 1.5y 2 ,

x, y

V R 0.03, 0.28 .

V I 0.03, 0.28

R

I

VI, R 1 000 1 0.06 1 R

1 I

10

N t < 0.

N p < 0

t

p

N

t

p

N

f y.

f x,

y 500,

x 1000

f x, y 200x 0.7 y 0.3 .

12, 10

C.

M

IQ

IQ M, C

M

C

100

IQ.

C

M

y 20.

x 80

C

y

C

x

C 32 xy 175x 205y 1 050.

y

x

R x 2 .

R x 1 ,

x 2 12,

x 1 4

R 200x 1 200x 2 4x 1 2 8x 1 x 2 4x 22 .

x 2 x 1


given by



f yx

f xy

fx, y sen x 2y .

CAPSTONE

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

CAS






When






freestanding



and







is


and the quotient



respect to





Edition)


function When and




university,



and






is the tax rate for


and



investment.


in a steel plate is

where


find the rates






where




form.




air temperature or

humidity? Explain.








utility function is









and

graphically.








(a) Find

and


z

y .

z

x

z 0.92x 1.03y 0.02.

z,

y,

x,

y

x

y?

x

y 3,

x 2

y.

x.

U 5x 2 xy 3y 2 .

y.

x

U

f x, y

T

P

P

V

V

T

1.

T

R

n

V

P

PV

nRT,

A,

h 0.80.

t 30

A

h

A

t

h

t

A

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y-

x-

2, 3 ,

y

x

T 500 0.6x 2 1.5y 2 ,

x, y

V R 0.03, 0.28 .

V I 0.03, 0.28

R

I

V I, R 1 000 1 0.06 1 R

1 I

10

N t < 0.

N p < 0

t

p

N

t

p

N

f y.

f x,

y 500,

x 1000

f x, y 200x 0.7 y 0.3 .

12, 10

C.

M

IQ

IQ M, C

M

C

100

IQ.

C

M

y 20.

x 80

C

y

C

x

C 32 xy 175x 205y 1 050.

y

x

R x 2 .

R x 1 ,

x 2 12,

x 1 4

R 200x 1 200x 2 4x 1 2 8x 1 x 2 4x 22 .

x 2 x 1


given by



f yx

f xy

f x, y sen x 2y .

CAPSTONE

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

CAS

63.

64.


65.

66.

67.

68.

69.

70.



71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.



81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.




simultaneously.

89. 90.

91. 92.

Lap

sati

97

99

Wav

sati

101

103

Hea

sati

105

In

fun

reas

107

108

In E

resp

109

110

fx, y

xy

x

y

fx, y

ln

x

x 2 y 2 fx, y 25 x 2 y 2

fx, y

x sec y

f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

fx, y ln x 2 y 2 1

fx, y e x2 xy y 2

fx, y 3x 3 12xy y 3

fx, y

1

x

1

y

xy

fx, y x 2 xy y 2

fx, y x 2 4xy y 2 4x 16y 3



f y x, y 0

f x x, y 0

y

x

f x, y ,

z

arctan y x

z

cos xy

z 2xe y 3ye x

z

e x tan y

z ln x y

z x 2 y 2 z x 4 3x 2 y 2 y 4

z x 2 2xy 3y 2 z x 2 3y 2

z 3xy 2 1, 2, 1

f x, y, z 3x 2 y 2 2z 2 ,

0, 2 , 4


3, 1, 1

f x, y, z

xy

x y z ,

f x, y, z

x

yz , 1, 1, 1 2, 1, 2


f x, y, z x 3 yz 2 , 1, 1, 1

f z

f y ,

f x ,

G x, y, z

1

1 x 2 y 2 z 2

Fx, y, z ln x y z

CAS

11

11

11

11

11

W






When






freestanding



and







is


and the quotient



respect to





Edition)


function When and




university,



and






is the tax rate for


and



investment.


in a steel plate is

where


find the rates






where




form.




air temperature or

humidity? Explain.








utility function is









and

graphically.








(a) Find

and


z

y .

z

x

z 0.92x 1.03y 0.02.

z,

y,

x,

y

x

y?

x

y 3,

x 2

y.

x.

U 5x 2 xy 3y 2 .

y.

x

U

f x, y

T

P

P

V

V

T

1.

T

R

n

V

P

PV

nRT,

A,

h 0.80.

t 30

A

h

A

t

h

t

A

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y-

x-

2, 3 ,

y

x

T 500 0.6x 2 1.5y 2 ,

x, y

V R 0.03, 0.28 .

V I 0.03, 0.28

R

I

VI, R 1 000 1 0.06 1 R

1 I

10

N t < 0.

N p < 0

t

p

N

t

p

N

f y.

f x,

y 500,

x 1000

f x, y 200x 0.7 y 0.3 .

12, 10

C.

M

IQ

IQ M, C

M

C

100

IQ.

C

M

y 20.

x 80

C

y

C

x

C 32 xy 175x 205y 1 050.

y

x

R x 2 .

R x 1 ,

x 2 12,

x 1 4

R 200x 1 200x 2 4x 1 2 8x 1 x 2 4x 22 .

x 2 x 1


given by



f yx

f xy

f x, y sen x 2y .

CAPSTONE

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

CAS

ter 13

Functions of Several Variables

Revenue

A pharmaceutical corporation has two

produce the same over-the-counter medicine. If

he numbers of units produced at plant 1 and plant 2,

y, then the total revenue for the product is given by

When

find (a) the marginal revenue for plant 1,

marginal revenue for plant 2,

Costs

A company manufactures two types of

ing stoves: a freestanding model and a fireplaceel.

The cost function for producing

freestanding

lace-insert stoves is

e marginal costs and when

additional production is required, which model of

esults in the cost increasing at a higher rate? How

s be determined from the cost model?

Early in the twentieth century, an intelligence test

tanford-Binet Test (more commonly known as the IQ

veloped. In this test, an individual’s mental age

is

the individual’s chronological age

and the quotient

d by 100. The result is the individual’s

artial derivatives of with respect to and with


nd interpret the result.


Clark-Stewart/Roy/Wickens, Psychology, Fourth

Productivity

Consider the Cobb-Douglas production

When and

ind (a) the marginal productivity of labor,

marginal productivity of capital,

ut It Let be the number of applicants to a


tuition. is a function of and such that

and


at both partials are negative?

t The value of an investment of $1000 earning 6%

ed annually is

the annual rate of inflation and

is the tax rate for

making the investment. Calculate


is the greater “negative” factor in the growth of the

.


in a steel plate is

where


find the rates






where




form.




air temperature or

humidity? Explain.








utility function is









and

graphically.








(a) Find

and


z

y .

z

x

z 0.92x 1.03y 0.02.

z,

y,

x,

y

x

y?

x

y 3,

x 2

y.

x.

U 5x 2 xy 3y 2 .

y.

x

U

f x, y

T

P

P

V

V

T

1.

T

R

n

V

P

PV

nRT,

A,

h 0.80.

t 30

A

h

A

t

h

t

A

A 0.885t 22.4h 1.20th 0.544

y-

x-

2, 3 ,

y

x

T 500 0.6x 2 1.5y 2 ,

x, y

3, 0.28 .

V I 0.03, 0.28

R

000 1 0.06 1 R

1 I

10

N t < 0.

t

p

N

p

N

f y.

f x,

x 1000

f x, y 200x 0.7 y 0.3 .

C.

M

IQ

M

C

100

IQ.

C

M

20.

x 80

C

y

C

x

y 175x 205y 1 050.

x

R x 2 .

R x 1 ,

2,

x 1 4

200x 2 4x 1 2 8x 1 x 2 4x 22 .

x 1

four second partial derivatives of the function


rtial derivatives and are equal.

f yx

f xy

f x, y sen x 2y .

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

CAS

1 050.



128. Modelo matemático La tabla muestra el gasto en atención

128.

pública Modeling

médica Data

(en miles

The table

de millones shows

de the

dólares) public

en compensación

expenditures

medical

a trabajadores (in billions

x, asistencia of dollars)

pública for worker’s

y y seguro compensation

médico del

Estado x,

public

z, assistance

del año 2000 y,

and

al 2005. Medicare

(Fuente: z

from

Centers 2000 through

for Medicare

2005.

and (Source:

Medicaid Centers

Services)

for Medicare and Medicaid Services)

Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005

x 24.9 28.1 30.1 31.4 32.1 33.5

y 207.5 233.2 258.4 281.9 303.2 324.9

z 224.3 247.7 265.7 283.5 312.8 342.0

Un A modelo for para the los data datos is given está by dado por

z 1.2225x 2 0.0096y 2 71.381x 4.121y 354.65.

2 Hallar 2 z

y

2 z 2 (a) Find z

x and

y 2. z

x 2

y 2.

(b) Determinar Determine la the concavidad concavity de of las traces trazas parallel paralelas to the al xz- plano plane. xz.

Interpretar the el resultado in the en el contexto of the del problem. problema.

(c) Determinar Determine la the concavidad concavity de of las traces trazas parallel paralelas to the al yz-

plano plane. yz.

Interpretar the el resultado in the en el contexto of the del problem. problema.

2

z

2

z

¿Verdadero True or False? o falso?

In Exercises En los ejercicios 129–132, 129 determine a 132, determinar whether si the la

declaración statement is es true verdadera or false. o If falsa. it is Si false, es falsa, explain explicar why or por give qué ano

dar example un ejemplo that shows que demuestre it is false. que es falsa.

129. Si If z

fx, fx, yy

and y zx z xzy,

z y, entonces

then

z z c xcx y . y.

130. Si If zz fxgy, fxgy,

then entonces

z x z y f x g y f x g y .

2

z

zx zy 2

fxgy f xgy.

131. If z

z e xy xy ,

then

xy 1 e y x

xy xy .

131. 132.

Si If a

entonces

2 z cylindrical

e xy ,

surface z

yx f xy x, y

has 1e rulings xy .

parallel to the

y-

axis, then

z y 0.

132. Si una superficie cilíndrica z fx, y tiene rectas generatrices

133.

paralelas Consider

al the

eje function

y, entonces

defined

zy by

0.

133. Considerar la xyfunción x 2 y 2 definida , por

x, y 0, 0

fx, y

x

f x, y 2 y xyx2 2

y 2 .

0, , x,

x 2 y 2

y y 0, 0 0

.

(a) Find f x 0,

x, y

and f y x, yx, for y x, y0, 0

0, 0 .

a) (b)

Hallar Use the

f x x, definition

y y f y x, of

y

partial

para

derivatives

x, y 0, to

0.

find

f x 0, 0

and

f

b) Utilizar y 0, 0 .

la definición de derivadas parciales para hallar

f 0, 0 y f y 0, 0.

f x, 0 f 0, 0

x Hint:

f x 0, 0

lím

.

x→0 x→0 x

fx, 0 f0, 0

(c) Use Sugerencia:

the definition f x 0, of 0 partial lim lím

.

x→0

derivatives

x

to find

f xy xy

0, 0

and

f

c) Utilizar yx yx 0, 0 .

la definición de derivadas parciales para hallar

(d)

f Using

xy 0, 0

Theorem

y f yx 0, 0.

13.3 and the result of part (c), what can be

said about

f d) Utilizando el xy xy or f

teorema yx yx ?

13.3 y el resultado del inciso c),

y

134. Let indicar f x, y qué puede 1 decirse t acerca de f xy o f yx .

y

134. Sea fx, y

3 dt. Find f x x, y and f y x, y .

x

135. Consider the function 1 fx, t 3 dt.

y Hallar x 3 f x x, y 313 313 y

y . f y x, y.

x

135. Mostrar (a) Find

la f x

función

0, 0

and

f x, f y 0,

y 0

.

x 3 y 3 13 .

a) (b)

Hallar Determine

f x

(0, 0) the

y points

f y

(0, 0).

(if any) at which

f x x, y

or

f y x, y

fails to exist.

b) Determinar los puntos (si los hay) en los que f x

(x, y) o

f y x, y no existe.

136. Considerar la función f x, y x 2 y 2 23 . Mostrar que

136. Consider the function f x, y x

f x x, y

2 y 2223 2 3 .

Show that

4x

3x 2 4x

y 2 13, x, y 0, 0

.

f 0,

x x, y 3 x 2 y 2 13, x, y 0, 0

x, y 0, 0

.

0,

x, y 0, 0

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre este

problema, FOR FURTHER ver el INFORMATION artículo “A Classroom For more information Note on a about Naturally

this

problem, Occurring see Piecewise the article “A Defined Classroom Function”

Note a de Naturally Don Occurring Cohen en

Piecewise Mathematics Defined and Computer Function” Education.

by Don Cohen in Mathematics and

Computer Education.

PROYECTO DE TRABAJO


Franjas de Moiré

Moiré Fringes

Léase el artículo “Moiré Fringes and the Conic Sections” de Mike

Read

Cullen the

en article

The College “Moiré Fringes

Mathematics and the

Journal. Conic Sections”

El artículo by

describe

Mike

Cullen

cómo dos in The

familias College

de curvas Mathematics

de nivel Journal.

dadas por

The article describes

how two families of level curves given by

fx, y a y gx, y b

f x, y

a

and

gx, y

b

pueden formar franjas de Moiré. Después de leer el artículo, escribir

can

un documento form Moiré

que patterns.

explique After

cómo reading

se relaciona the article,

la expresión

write a paper

explaining how the expression

f

f

x g

g

x f

f

y g

g

y

x

x

y

y

con las franjas de Moiré formadas por la intersección de las dos

is

familias related

de to

curvas the Moiré

de nivel. patterns

Utilizar formed

como by

ejemplo intersecting

uno de the

los two

mo-

families

delos siguientes.

of level curves. Use one of the following patterns as an

example in your paper.

Mike Cullen

Mike Cullen

Mike Cullen

Mike Cullen


13.4 Diferenciales

■ Entender los conceptos de incrementos y diferenciales.

■ Extender el concepto de diferenciabilidad a funciones de dos variables.

■ Utilizar una diferencial como aproximación.

Incrementos y diferenciales

En esta sección se generalizan los conceptos de incrementos y diferenciales a funciones de

dos o más variables. Recuérdese que en la sección 3.9, dada y f x, se definió la diferencial

de y como

dy fx dx.

Terminología similar se usa para una función de dos variables, z f x, y. Es decir, x y

y son los incrementos en x yeny, y el incremento en z está dado por

z f x x, y y f x, y.

Incremento en z.

DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL TOTAL

Si z f x, y y x y y son los incrementos en x y en y, entonces las diferenciales

de las variables independientes x y y son

dx x

y

dy y

y la diferencial total de la variable dependiente z es

dz z z

dx

x y dy f xx, y dx f y x, y dy.

Esta definición puede extenderse a una función de tres o más variables. Por ejemplo,

si w f x, y, z, u, entonces dx x, dy y, dz z, du u, y la diferencial total

de w es

dw w w w w

dx dy dz

x y z u du.

EJEMPLO 1

Hallar la diferencial total

Hallar la diferencial total de cada función.

a) z 2x sen y 3x 2 y 2 b)

Solución

a) La diferencial total dz de z 2x sen y 3x 2 y 2 es

dz z z

dx

x y dy

2 sen sin y 6xy 2 dx 2x cos y 6x 2 y dy.

b) La diferencial total dw de w x 2 y 2 z 2 es

dw w w w

dx dy

x y z dz

2x dx 2y dy 2z dz.

w x 2 y 2 z 2

Diferencial total dz.

Diferencial total dw.

SECCIÓN 13.4 Diferenciales 919

Diferenciabilidad

En la sección 3.9 se vio que si una función dada por y f(x) es diferenciable, se puede utilizar

la diferencial dy fx dx como una aproximación (para x pequeños) al valor

y f x x f x. Cuando es válida una aproximación similar para una función de

dos variables, se dice que la función es diferenciable. Esto se expresa explícitamente en

la definición siguiente.

DEFINICIÓN DE DIFERENCIABILIDAD

Una función f dada por z f x, y es diferenciable en x 0 , y 0 si z puede expresarse

en la forma

z f x x 0 , y 0 x f y x 0 , y 0 y 1 x 2 y

donde 1 y 2 → 0 cuando x, y → 0, 0. La función f es diferenciable en una

región R si es diferenciable en todo punto de R.

EJEMPLO 2

Mostrar que una función es diferenciable

Mostrar que la función dada por

f x, y x 2 3y

es diferenciable en todo punto del plano.

4

z

Solución Haciendo z f x, y, el incremento de z en un punto arbitrario x, y en el

plano es

z f x x, y y f x, y

Incremento de z.

x 2 2xx x 2 3y y x 2 3y

4

x

1

y

2xx x 2 3y

2xx 3y xx 0y

f x x, y x f y x, y y 1 x 2 y

Figura 13.34

−4

donde 1 x y 2 0. Como 1 → 0 y 2 → 0 cuando x, y → 0, 0, se sigue que f

es diferenciable en todo punto en el plano. La gráfica de f se muestra en la figura 13.34.

Debe tenerse en cuenta que el término “diferenciable” se usa de manera diferente para

funciones de dos variables y para funciones de una variable. Una función de una variable

es diferenciable en un punto si su derivada existe en el punto. Sin embargo, en el caso de

una función de dos variables, la existencia de las derivadas parciales f x y f y no garantiza

que la función sea diferenciable (ver ejemplo 5). El teorema siguiente proporciona una

condición suficiente para la diferenciabilidad de una función de dos variables. En el

apéndice A se da una demostración del teorema 13.4.

TEOREMA 13.4

CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA DIFERENCIABILIDAD

Si f es una función de x y y, para la que f x y f y son continuas en una región abierta

R, entonces f es diferenciable en R.


dz

x

∂ z

∂y ∆y

∂ z

∆x

∂x

(x, y)

z

y

∆z 2

∆z 1

(x + ∆x, y)

(x + ∆x, y + ∆y)

El cambio exacto en z es z.

Este cambio puede aproximarse mediante

la diferencial dz.

Figura 13.35

∆z

Aproximación mediante diferenciales

El teorema 13.4 dice que se puede elegir x x, y y suficientemente cerca de (x, y)

para hacer que e 1

x y e 2

y sean insignificantes. En otros términos, para x y y pequeños,

se puede usar la aproximación

z dz.

Esta aproximación se ilustra gráficamente en la figura 13.35. Hay que recordar que las

derivadas parciales zx y zy pueden interpretarse como las pendientes de la superficie

en las direcciones de x y de y. Esto significa que

dz z z

x

x y y

representa el cambio en altura de un plano tangente a la superficie en el punto x, y, f x, y.

Como un plano en el espacio se representa mediante una ecuación lineal en las variables x,

y y z, la aproximación de z mediante dz se llama aproximación lineal. Se verá más acerca

de esta interpretación geométrica en la sección 13.7.

EJEMPLO 3

Uso de la diferencial como una aproximación

f(x + ∆x, y + ∆y) f(x, y)

z = 4 − x 2 − y 2

x

2

2

z

(1, 1)

(1.01, 0.97)

Cuando x, y se desplaza de 1, 1 al punto

1.01, 0.97, el valor de fx, y cambia

aproximadamente en 0.0137

Figura 13.36

2

y

Utilizar la diferencial dz para aproximar el cambio en z 4 x 2 y 2 cuando x, y

se desplaza del punto (1, 1) al punto (1.01, 0.97). Comparar esta aproximación con el cambio

exacto en z.

Solución Se hace (x, y) = (1, 1) y (x + x, y + y) = (1.01, 0.97) y se obtiene dx =

x = 0.01 y dy = y = –0.03. Por tanto, el cambio en z puede aproximarse mediante

z dz z z

dx

x y dy

Cuando x 1 y y 1, se tiene

z 1

2 0.01

En la figura 13.36 se puede ver que el cambio exacto corresponde a la diferencia entre las

alturas de dos puntos sobre la superficie de un hemisferio. Esta diferencia está dada por

z f 1.01, 0.97 f 1, 1

4 1.01 2 0.97 2 4 1 2 1

2 0.0137.

Una función de tres variables w f x, y, z se dice que es diferenciable en x, y, z si

w f x x, y y, z z f x, y, z

puede expresarse en la forma

1

2 0.03

x

4 x 2 y 2 x

0.02

2

w f x x f y y f z z 1 x 2 y 3 z

y

4 x 2 y 2 y.

2 0.01 0.0141.

donde 1 , 2 , y 3 → 0 cuando x, y, z → 0, 0, 0. Con esta definición de diferenciabilidad,

el teorema 13.4 puede extenderse de la siguiente manera a funciones de tres variables:

si f es una función de x, y y z, donde f, f x , f y , y f z son continuas en una región abierta

R, entonces f es diferenciable en R.

En la sección 3.9 se utilizaron las diferenciales para aproximar el error de propagación

introducido por un error en la medida. Esta aplicación de las diferenciales se ilustra en el

ejemplo 4.


EJEMPLO 4

Análisis de errores

x

50

x = 50

Volumen xyz

Figura 13.37

20

z

y = 20

20

z = 15

y

El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es ±0.1

milímetros. Las dimensiones de la caja son x 50 centímetros, y 20 centímetros y

z 15 centímetros, como se muestra en la figura 13.37. Utilizar dV para estimar el error

propagado y el error relativo en el volumen calculado de la caja.

Solución El volumen de la caja está dado por V xyz, y por tanto

dV V V V

dx dy

x y z dz

yz dx xz dy xy dz.

Utilizando 0.1 milímetros 0.01 centímetros, se tiene dx dy dz ±0.01, y el error

propagado es aproximadamente

dV 2015±0.01 5015±0.01 5020±0.01

300±0.01 750±0.01 11000±0.01

000(±0.01)

2 050(0.01) 20.5 centímetros cúbicos.

Como el volumen medido es

V 502015 15,000 centímetros cúbicos,

el error relativo, VV, es aproximadamente

V

V dV V 20.5

15,000 0.14%.

Como ocurre con una función de una sola variable, si una función de dos o más variables

es diferenciable en un punto, también es continua en él.

TEOREMA 13.5

DIFERENCIABILIDAD IMPLICA CONTINUIDAD

Si una función de x y y es diferenciable en x 0 , y 0 , entonces es continua

en x 0 , y 0 .

DEMOSTRACIÓN

Sea f diferenciable en x 0 , y 0 , donde z f x, y. Entonces

z f x x 0 , y 0 1 x f y x 0 , y 0 2 y

donde 1 y 2 → 0 cuando x, y → 0, 0. Sin embargo, por definición, se sabe que

está dada por

z f x 0 x, y 0 y f x 0 , y 0 .

Haciendo x x 0 x y y y 0 y se obtiene

f x, y f x 0 , y 0 f x x 0 , y 0 1 x f y x 0 , y 0 2 y

f x x 0 , y 0 1 x x 0 f y x 0 , y 0 2 y y 0 .

Tomando el límite cuando x, y → x 0 , y 0 , se obtiene

z

lím

x, y → x 0 , y 0

f x, y f x 0 , y 0

lo cual significa que f es continua en x 0 , y 0 .


Hay que recordar que la existencia de f x y f y no es suficiente para garantizar la diferenciabilidad,

como se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 5

Una función que no es diferenciable

Mostrar que f x 0, 0 y f y 0, 0 existen, pero f no es diferenciable en (0, 0), donde f está

definida como

f x, y

3xy

x 2 y2, si x, y 0, 0

.

0, si x, y 0, 0

TECNOLOGÍA Utilizar una

herramienta de graficación para

representar la función del ejemplo 5.

La gráfica mostrada abajo fue

generada con Mathematica.

z

Solución Para mostrar que f no es diferenciable en (0, 0) basta mostrar que no es continua

en este punto. Para ver que f no es continua en (0, 0), se observan los valores de f(x, y)

a lo largo de dos trayectorias diferentes que se aproximan a (0, 0), como se muestra en la

figura 13.38. A lo largo de la recta y x, el límite es

lím

x, x → 0, 0

f x, y lím

x, x → 0, 0

3x 2 3

2x 2 2

x


y

mientras que a lo largo de y x se tiene

lím

x, x → 0, 0

f x, y

lím

x, x → 0, 0

3x 2 3

2x 2 2 .

Así, el límite de f(x, y) cuando x, y → 0, 0 no existe, y se puede concluir que f no es

continua en (0, 0). Por tanto, de acuerdo con el teorema 13.5, f no es diferenciable en (0, 0).

Por otro lado, de acuerdo con la definición de las derivadas parciales y f y , se tiene

f x

f x 0, 0

lím

x→0

f x, 0 f 0, 0

x

lím

x→0

0 0

x

0

y

f y 0, 0

f 0, y f 0, 0

lím

y→0 y

0 0

lím

y→0 y

0.

Por tanto, las derivadas parciales en (0, 0) existen.

f(x, y) =

−3xy

, (x, y) ≠ (0, 0)

x 2 + y2 0, (x, y) = (0, 0)

z

A lo largo de la recta y = −x,

f(x, y) se aproxima

o tiende a 3/2.

(0, 0, 0)

y

x

A lo largo de la recta y = x,

f(x, y) se aproxima o tiende a −3/2.

Figura 13.38

En los ejercicios 1 a 10, hallar la diferencial total.

26. Volumen

figure is V

El volumen

r 2 h. The

del cilindro

possible

circular

errors

recto

in the

de color

radius

rojo

and

x en

z 2x 2 y 3 z

la

the

figura

height

es

are

V

r

r

and 2 h.

h,

Los

respectively.

posibles errores

Find dV

son

and

r

identify

y h, en

the

el

x

1. 2. z

y

radio

solids

y

in

en

the

la

figure

altura,

whose

respectivamente.

volumes are

Hallar

given

dV

by the

e identificar

terms of dV.

z 2x 2 y 3

los

1

y x y

sólidos

What solid

de la

represents

figura cuyos

the

volúmenes

difference

están

between

dados

V

por

and

los

dV?

z

w

términos

x 2 1

y 2 x

z

y

3y

27. de Numerical dV. ¿Qué Analysis sólido representa A right la circular diferencia cone entre of Vheight

y dV? h 8

3. z

4. w

x 2 y 2 1

z x cos y y cos x

z z2 e x2 y

3y

e x2 y 2

27. Análisis

and radius

numérico

r 4 is constructed,

Se construye

and

un

in

cono

the process

circular

errors

recto de

r

1

5. zz

xecos sen y y y cos x 6. zw e altura = 8 y radio r = 4 y durante la medición se cometieron

2 x2 cos y 2 x e z 2x2

y and h are made in the radius and height, respectively.

2

errores

Complete

en

the

el radio

table

r

to show

y en la

the

altura

relationship

h. Completar

between

la tabla

V and

para

dV

7. zw

e x 2z sen y sen y x

8.

w ex y cos yz 2 x sen z 2 yz

mostrar

for the indicated

la relación

errors.

entre V y dV para los errores indicados.

9. w 2z 3 y sen x

10.

f

w

2, 1

x 2 yz 2 f

sen

2.1,

yz

1.05

13.4 Differentials 923


13.4 Exercises

13.4 Ejercicios


26. Volume The volume of the red right circular cylinder in the

z,

dz

dV

V

V

dV

En z. los ejercicios 11 a 16, a) evaluar f(2, 1) y f(2.1, 1.05) y calcular

z, y b) usar el diferencial total dz para aproximar z.

r

h

dS

S

S

dS

fx, y 2x 3y

fx, y x 2 y 2

o

o

o

11. f x, y 2x 3y 12. f x, y xy

2 y 2

0.1 0.1

fx, y 16 x 2 y 2 fx, y

y

13. f x, y 16 x 2 y 14. f x, y

0.1 0.1

f x, y ye x fx, y

x cos y

15. f x, y ye x 0.001

16. f x, y x cos y

0.002

z f x, y

0.0001

En los ejercicios 17 a 20, hallar z f x, y y utilizar la diferen-

0.0002

cial total para aproximar la cantidad.

2.01 2 9.02 2 2 9

28. Análisis Numerical numérico Analysis La The altura height y radio and de radius un cono of a right circular circular recto

17. 2.015.05 2 9.02 3.12 22 9 5 2 3 2

midieron cone are measured h = 16 metros as h y 16 r = meters 6 metros. and rEn 6la meters. medición, In the se

18. 1 5.053.05 2 3.11 2 3 2 5 2 3 2

cometieron process of measuring, errores rerrors y h. Sr

es and el área h are de made. la superficie S is the lateral

1 5.95 3.05 de un cono. Completar la tabla anterior para mostrar la relación

19.

1 6 2 3 2

surface area of the cone. Complete the table above to show

entre S y dS para los errores indicados.

5.95 2 6 2

the relationship between S and dS for the indicated errors.

sen 1.05 2 0.95 2 sen 1 2 1 2

Modelo matemático Los consumos per cápita (en galones) de

20. sen 1.05 2 0.95 2 sen 1 2 1 2



diferentes different types tipos of de plain leche milk en Estados in the Unidos United de States 1999 from a 2005 1999 se

muestran through 2005 en la are tabla. shown El consumo in the table. de leche Consumption light y descremada, of flavored

21. Define the total differential of a function of two variables.


leche milk, baja plain en reduced-fat grasas y leche milk, and entera plain se representa light and skim por milks las variables

represented x, y y by z, the respectivamente. variables x, y, and (Fuente: z, respectively. U.S. Department (Source: of

are

22. Describe the change in accuracy of dz as an approximation

21. Definir of z as la diferencial x and y increase. total de una función de dos variables.

Agriculture) U.S. Department of Agriculture)

22. 23. Describir What is meant el cambio by a en linear la exactitud approximation de dzof como z faproxi-

x, y at

mación the point a z Pxcuando 0 , y 0 ? x y y aumentan.

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

23. 24. ¿Qué When se using quiere differentials, decir con what una aproximación is meant by the lineal terms a

zpropagated f x, y en error el punto and relative Px 0 , y 0 ? error?

x 1.4 1.4 1.4 1.6 1.6 1.7 1.7

24. Cuando se usan diferenciales, ¿qué significan los términos

y 7.3 7.1 7.0 7.0 6.9 6.9 6.9

de propagación y error relativo?

Area The area of the shaded rectangle in the figure is A lh.

z 6.2 6.1 5.9 5.8 5.6 5.5 5.6

The possible errors in the length and height are l and h,

respectively. Find dA and identify the regions in the figure Un modelo para los datos está dado por z 0.92x 1.03y

25. Área El área del rectángulo sombreada en la figura es A lh. A model for the data is given by z 0.92x 1.03y 0.02.

whose areas are given by the terms of dA. What region 0.02.

Los posibles errores en la longitud y la altura son l y h, (a) Find the total differential of the model.

represents the difference between A and dA?

respectivamente. Hallar dA e identificar las regiones de la figura

∆h cuyas áreas están dadas por los términos de dA. ¿Qué región b) Se

a) Hallar la diferencial total del modelo.

(b) A dairy industry forecast for a future year is that per capita

consumption

prevé en la

of

industria

flavored

lechera

milk will

que

be

en

1.9

años

±

futuros

0.25 gallons

el consumo

and

representa la diferencia entre A y dA? ∆h

that

per

per

cápita

capita

de

consumption

leche light y descremada

of plain reduced-fat

será de 1.9

milk

±

will

0.25

galones

be 7.5

y

±

que

0.25

el

gallons.

consumo

Use

per

dz

cápita

to estimate

de leche

the

baja

maximum

en grasas

∆hh

∆h

será

possible

7.5 ±

propagated

0.25 galones.

error

Utilizar

and relative

dz para

error

estimar

in the

los

prediction

máximos

errores

for the

de

consumption

propagación

of

y

plain

relativo

light

en

and

el pronóstico

skim milks.

de consumo

de leche entera.

h

l

∆l

30. Rectangular to Polar Coordinates A rectangular coordinate

30. Coordenadas

system is placed

rectangulares

over a map,

a

and

polares

the coordinates

Un sistema

of

de

a point

coordenadas

∆r

of

interest

rectangular

are 7.2, 2.5

se coloca

. There

sobre

is a possible

un mapa

error

y las

of

coordenadas

0.05 in each

de

Figure for 25l

∆l Figure for 26

un

coordinate.

punto de interés

Approximate

son (7.2,

the

2.5).

maximum

Existe un posible

possible

error

error

de 0.05

in

∆r

en

measuring

cada coordenada.

the polar coordinates

Aproximar

of

el

the

máximo

point.

error posible al

medir las coordenadas polares del punto.


924 924 CAPÍTULO Chapter 13 13 Functions Funciones of Several de varias Variables variables


31. Volumen The El radio radius r y r la and altura height h de h of un a cilindro right circular circular cylinder recto

31. se are Volume miden measured con The posibles with radius possible errores r and height errors de 4 y hof 2%, of 4% a respectivamente. right and 2%, circular respectively. cylinder Aproximar

Approximate are measured el máximo the with maximum error possible porcentual possible errors of posible percent 4% and al error 2%, medir in respectively. measuring el volumen.

the Approximate volume. the maximum possible percent error in measuring

32. Área Area

the volume.

En A triangle un triángulo, is measured dos lados and adyacentes two adjacent miden sides 3 are y 4 found pulgadas

to Area be 3 de inches A longitud, triangle and is 4 y inches measured entre long, ellos and with forman two adjacent included un ángulo sides angle are de of found 4. 4.

32.

Los The to be posibles possible 3 inches errores errors and 4 in inches de measurement medición long, with son are an

1

included pulgadas inch for angle the en sides los of 4.

16 16

and

1

lados 0.02 The possible y radian 0.02 radianes for errors the angle. in en measurement el Approximate ángulo. Aproximar are 16 the inch maximum el for máximo the sides possible error and

posible error 0.02 radian in al the calcular computation for the el angle. área. of Approximate the area. the maximum possible

33. Viento Wind

error in

Chill La

the

fórmula

computation

The para formula

of frialdad

the

for

area.

wind producida chill por C (in el viento degrees C

33. (en Fahrenheit) Wind grados Chill Fahrenheit) is given The by formula es for wind chill C (in degrees

Fahrenheit) is given by

C 35.74 0.6215T 35.75v 0.16 0.16 0.4275Tv 0.16 0.16

C 35.74 0.6215T 35.75v 0.16 0.4275Tv 0.16

donde where v ves is la the velocidad wind speed del viento in miles en millas per hour por hora and y TTis es the la

temperatura temperature where v is en the in grados degrees wind speed Fahrenheit. in miles La The velocidad per wind hour speed del and is viento T23 is ± the es 3

23 miles temperature ± 3

millas hour in por degrees and hora the y Fahrenheit. la temperature temperatura The is es wind 8 8 ± speed 1. 1. Utilizar Use is 23 dC± dC to3

para estimate miles estimar per the hour el maximum posible and the error possible temperature propagado propagated is y el 8 error ± 1. relativo and Use relative dCmá-

ximos error estimate al in calcular the calculating maximum la frialdad the possible producida wind propagated chill. por (Source: el error viento. and National (Fuente: relative

to

National Oceanic error in Oceanic and calculating Atmospheric and Atmospheric the Administration)

wind Administration)

chill. (Source: National

34. Aceleración Acceleration

Oceanic and Atmospheric

La The aceleración centripetal

Administration)

centrípeta acceleration de una partícula of a particle que se

34. mueve moving Acceleration en in un a círculo circle The is es acentripetal a v 2 vr,

2 r, where donde acceleration vvis es the la velocity velocidad of a particle and y r

es is

el the moving radio radius del in a of círculo. circle the circle. is Aproximar a Approximate v 2 r, el where error v the porcentual is the maximum velocity máximo and percent ral

is

medir error the radius la in aceleración measuring of the circle. the debida acceleration Approximate a errores due de to 3% the errors en maximum v of y 2% 3% en in percent r. v and

35. Volumen 2% error in in r. measuring

Un abrevadero

the acceleration

tiene 16 pies

due

de

to errors

largo (ver

of 3%

la

in

figura).

v and

35. Sus Volume

2%

secciones

in r.

A trough transversales is 16 feet son long triángulos (see figure). isósceles Its en cross los sections que los

35. dos are Volume lados isosceles iguales A triangles trough miden is with 16 18 feet pulgadas. each long of the (see El two ángulo figure). equal entre Its sides cross los measuring dos sections lados

iguales 18 are inches. isosceles . The triangles between with each the of two the equal two equal sides sides is . measuring

a) (a)

18

Expresar

inches.

Write

The

the el

angle volumen

between

of del the

the

abrevadero

two

trough

equal

as

sides

en a function función

is .

de of

(a) y and Write determinar determine the volume el valor the value de of the of para trough el such que that as el a volumen the function volume es of máximo.

maximum. and determine the value of such that the volume is a

is a

b) (b) El

maximum.

The error maximum máximo error en las in mediciones the linear measurements lineales es de media is one-half pulgada

inch The y maximum and el error the maximum error máximo in the en error linear la medida measurements the angle del measure ángulo is one-half es is 2°. 2.

(b)

Aproximar Approximate inch and el the cambio the maximum change a partir error in the del in maximum volumen the angle máximo. volume. measure is 2.

Approximate the change in the maximum volume.

16 16 pies ft

16 ft

330 330 pies ft 9° 9°

330 ft

9°

420 pies ft

θ

18 18 pulg in. θ

420 ft

18 pulg in.

18 in. 18 in.

Not dibujado drawn to a scale escala

Not drawn to scale

Figura Figure para for 35 35 Figura Figure para for 36 36


36. 36. Deportes Sports A Un baseball jugador player de béisbol in center el field jardín is central playing se approximately

Sports aproximadamente 330 A baseball feet from a player 330 a television pies in de center una camera field cámara that is de playing is televisión behind approxi-

home que

encuentra

36.

está plate. mately en A la 330 batter base. feet Un hits from bateador a fly a ball television golpea that goes una camera pelota to the that wall que is sale 420 behind hacia feet home from una

valla the plate. camera situada A batter (see a una hits figure). a distancia fly ball that de 420 goes pies to the de wall la cámara 420 feet (ver from la

figura). (a)

the camera

The camera

(see figure).

turns 9 to follow the play. Approximate the

a) (a) La number The cámara camera of gira feet turns that 9° 9 para the to center follow seguir fielder the la carrera. play. has to Approximate run Aproximar to make the el

número catch. number de of pies feet que that el the jugador center central fielder has tiene to que run to correr make para the

(b) atrapar catch.

The position la pelota. of the center fielder could be in error by as

b) (b) La much The posición position as 6 del feet of jugador and the center the central maximum fielder podría could error tener be in un measuring error error hasta by the de as

6 rotation pies much y as el of 6 error feet the máximo camera and the is al maximum 1. medir Approximate la error rotación in measuring the de la maximum cámara the

depossible rotation 1°. Aproximar error of the in el camera the máximo result is 1. of error part Approximate posible (a). en el the resultado maximum del

inciso possible a). error in the result of part (a).

37. Potencia Power Electrical La potencia power eléctrica P is given P está by Pdada E 2 R, por where P = EE

2 /R, is

37. donde voltage PowerEand

es Electrical el R voltaje is resistance. power y R Pes Approximate is la given resistencia. by Pthe Aproximar maximum E 2 R, where el percent máximo

error voltage error in calculating and porcentual R is resistance. power al calcular if Approximate 120 volts la potencia is applied the maximum si se to a aplican 2000-ohm percent 120

E is

volts resistor error a in una calculating and resistencia the possible power de 2percent if 000 120 ohms volts errors y is los in applied posibles measuring to a errores 2000-ohm E and porcentuales

are resistor 3% and al 4%, medir the respectively. possible E y R son percent 3 y 4%, errors respectivamente.

in measuring E and R

38. Resistencia Resistance

R

are 3% and 4%,

The La respectively. resistencia total resistance total R

of de two dos resistors resistencias connected conectadas

in Resistance parallel en paralelo is given The es total by resistance R of two resistors connected

38.

in parallel

1

R 1 is

1 given by

.

1 R R 2 R 1 1 .

Aproximar Approximate

R 1 R 2

el cambio the change en Rin cuando R as R 1 Ris incrementa increased from de 10 10 ohms ohms

1

a

10.5 to Approximate 10.5 ohms ohms y Rand

the

decrece

change R 2 is decreased in

15

R

ohms Rfrom 1 is

a 13

increased 15 ohms. ohms to from 13 10 ohms. ohms

2 39. Inductancia Inductance

to 10.5 ohms and

The

R

La inductancia inductance 2 is decreased

L

(in

from

(en microhenrys)

15 ohms to of

13

de a

ohms.

straight un hilo

39.

recto nonmagnetic Inductance magnético wire The inductance

en free el vacío space L

es is(in microhenrys) of a straight

nonmagnetic wire in free space is

L 0.00021 ln 2h

L 0.00021 ln 2h r 0.75

r 0.75

donde where h

es is la the longitud length del of the hilo wire en milímetros in millimeters y r es and el radio r is the de

una radius where

sección

hof is a the

transversal circular length of cross circular.

the section. wire in

Aproximar

millimeters Approximate L

and

cuando Lr

is when r

the

2 ± 1

r 2 rradius ± 2 1

16

milímetros ± of 1 a millimeters circular

y and h 100 milímetros. ± 1

16 h

cross

100

section.

± 1 Approximate millimeters. L when

100 100

40. Péndulo

r

Pendulum

2 ± 1 El

millimeters

The periodo period T

and

Tde h

of

un a

100 ±

péndulo pendulum 1

16

100 millimeters.

de of longitud length L

es is

40. T Pendulum 2Lg, 2Lg, The donde where period g

es is T the la of aceleración acceleration a pendulum de due la of gravedad. to length gravity. L Un Ais

péndulo Tpendulum 2Lg, se is lleva moved where de la from zona g the is del the Canal canal, acceleration Zone, donde where gdue g 32.09 to 32.09 gravity. pies/s feet A 2 ,

a per pendulum Groenlandia, second is per moved donde second, from g to the Greenland, 32.23 Canal pies/s Zone, where

2 . Debido where g gal 32.23 cambio 32.09 feet en feet per la

temperatura, second second per second. la second, longitud Because to del Greenland, péndulo of the change cambia where in gde temperature, 2.5 32.23 pies feet a 2.48 per the

pies. length second Aproximar of per the second. pendulum el cambio Because changes en of el the periodo from change del 2.5 in péndulo. feet temperature, to 2.48 feet. the

Approximate length of the the pendulum change in changes the period from of 2.5 the pendulum. feet to 2.48 feet.

En los Approximate ejercicios the 41 change a 44, mostrar in the period que of la the función pendulum. es diferenciable,

In Exercises

hallando

41–44,

los valores

show that

de

the

y

function

que se

is

dan

differentiable

1 2

en la definición

by In finding Exercises

de diferenciabilidad

values 41–44, of show 1 and that

y

2 verificar

as the designated function

que

in is

y

the differentiable definition

1 2 cuando

of by differentiability, finding values of and verify that both 1 and → 0

x, y → 0, 0.

1 and 2 as designated in the definition 2 → 0 as

x, of differentiability, y → 0, 0. and verify that both 1 and 2 → 0 as

41. x, fy x, y → 0, x0.

2 2x y 42. f x, y x 2 y 2

41. f x, y 2 2x y 42. f x, y x 2 y 2

43. x, y y

44.

x, y 5x 10y y 3

43.

41. f

x,

x,

y

y x 2 2 y

2x y

44.

42.

f

x,

x,

y

y

5x

x 2

y

10y 2

y 3

43. f x, y x 2 y

44. f x, y 5x 10y y 3

En In Exercises los ejercicios 45 and 45 y 46, 46, use utilizar the function la función to show para that demostrar f and que

x 0, 0

a) fIn both y exist, but existen, that fy is b) not no differentiable es diferenciable 0, en

y 0, fExercises x 0, 0 0 f45 y 0, and 0 46, use the function f to show that f x 0, 0. 0, 0 0. and

f y 0, 0 both exist, but

45.

45.

x, y 3x2 f x, y x, y 0, 0

3x2 y

x 4 ,

that f is not differentiable at 0, 0.

x, y 0, 0

2

45. f x, y 0,

0,

x,

x,

y

y

0,

0,

0

0

3x2 y

x

46.

46.

x, y 5x2 f x, y x, y 0, 0

4 y , x, y 0, 0

2

0, 5x2 y

x 3 , x, y 0, 0

3 x, y 0, 0

46. f x, y 0, x, x, y y 0, 0, 0 0

5x2 y

x 3 y , 3 x, y 0, 0

0, x, y 0, 0

47. Mostrar Show that que if si f(x, f x, y) yes is diferenciable differentiable en at (x 0

x , y 00 ,), y 0

entonces , then f f(x, x, y 0 )

47. es is Show diferenciable differentiable that f x, en at y x = xis x 0

differentiable . xUsar 0 . Use este this resultado at x 0 , y 0 para , to then prove probar f x, that que y 0

fis x, differentiable y x 2 yat

2 is no xnot es xdiferenciable differentiable 0 . Use this en at result 0, (0, 0. 0). to prove that

f x, y x 2 y 2 is not differentiable at 0, 0.

CAPSTONE

Para CAPSTONE discusión

48. Consider the function f x, y x 2 y 2 .


(a) Evaluate

the

f

function

3, 1 and

f x,

f 3.05,

y

1.1.

x 2 y 2 .

Evaluar f(3, 1) y f(3.05, 1.1).

(b)

(a) Evaluate

Use the results

f 3, 1

of

and

part

f 3.05,

(a) to

1.1.

calculate z.

Usar los resultados del inciso a) para calcular ∆z.

(c)

(b)

Use

Use the

the

results

total

of

differential

part (a) to calculate

dz to approximate

z.

z.

(c) Usar Compare Use la the diferencial your total result differential total with dz para that dz of aproximar part to approximate (b). ∆z. Comparar z.

los Compare resultados your con result los del with inciso that b). of part (b).

16

SECCIÓN 13.5 Regla de la cadena para funciones de varias variables 925

13.5 Regla de la cadena para funciones de varias variables

■ Utilizar la regla de la cadena para funciones de varias variables.

■ Hallar las derivadas parciales implícitamente.

∂w

∂x

x

dx

dt

t

w

∂w

∂y

y

dy

dt

t

Regla de la cadena: una variable dependiente

w, es función de x y y las que a su vez

son funciones de t. Este diagrama representa

la derivada de w con respecto a t

Figura 13.39

Regla de la cadena para funciones de varias variables

El trabajo con diferenciales de la sección anterior proporciona las bases para la extensión

de la regla de la cadena a funciones de dos variables. Hay dos casos: el primer caso cuando

w es una función de x y y, donde x y y son funciones de una sola variable independiente

t. (La demostración de este teorema se da en el apéndice A.)

TEOREMA 13.6

REGLA DE LA CADENA: UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

Sea w f x, y, donde f es una función derivable de x y y. Si x gt y y ht,

donde g y h son funciones derivables de t, entonces w es una función diferenciable de

t, y

dw

dt w dx

x dt w dy

y dt .

Ver figura 13.39.

EJEMPLO 1

Regla de la cadena con una variable independiente

Sea w x 2 y y 2 , donde x sen t y y e t . Hallar dwdt cuando t 0.

Solución

dw

dt

De acuerdo con la regla de la cadena para una variable independiente, se tiene

w dx

x dt

w dy

y dt

2xy cos t x 2 2y e t

2 sen t e t cos t sen 2 t 2e t e t

2e t sen t cos t e t sen 2 t 2e 2t .

Cuando t 0, se sigue que

dw

dt 2.

La regla de la cadena presentada en esta sección proporciona técnicas alternativas para

resolver muchos problemas del cálculo de una sola variable. Así, en el ejemplo 1, se

podrían haber usado técnicas para una sola variable para encontrar dw/dt expresando

primero w como función de t,

w x 2 y y 2

sen t 2 e t e t 2

e t sen 2 t

e 2t

y derivando después como de costumbre.

dw

dt

2e t sen t cos t e t sen 2 t 2e 2t


La regla de la cadena en el teorema 13.6 puede extenderse a cualquier número de variables.

Por ejemplo, si cada x i es una función derivable de una sola variable t, entonces

para

se tiene

w f x 1 , x 2 , . . . , x n

dw

dt w dx 1

w dx 2

x 1 dt x 2 dt

. . . w dx n

x n dt .

EJEMPLO 2

Aplicación de la regla de la cadena a velocidades

o ritmos de cambio relacionados

Dos objetos recorren trayectorias elípticas dadas por las ecuaciones paramétricas siguientes.

y

x 1 4 cos t

x 2 2 sen sin 2t

y

y

y 1 2 sen sin t

y 2 3 cos 2t

Primer objeto.

Segundo objeto.

−4

−2

4

2

s

t = π 3

4

x

¿A qué velocidad o ritmo cambia la distancia entre los dos objetos cuando t ?

Solución En la figura 13.40 se puede ver que la distancia s entre los dos objetos está dada

por

s x 2 x 1 2 y 2 y 1 2

−2

y que cuando t , se tiene x 1 4, y 1 0, x 2 0, y 2 3, y

−4

s 0 4 2 3 0 2 5.

Cuando t , las derivadas parciales de s son las siguientes.

−4

−2

y

4

2

s

−2

−4

t = π 2

4

x

s x

2 x 1

x 1 x 2 x 1 2 y 2 y 1 1 2 5 0 4 4 5

s y

2 y 1

y 1 x 2 x 1 2 y 2 y 1 1 2 5 3 0 3 5

s

x 2 x 1

x 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 1 2 5 0 4 4 5

s

y 2 y 1

y 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 1 2 5 3 0 3 5

Cuando t , las derivadas de x 1

, y 1

, x 2

y y 2

son

4

y

t = π

dx 1

dt

dx 2

dt

4 sen sin t 0

4 cos 2t 4

dy 1

dt

dy 2

dt

2 cos t 2

6 sen sin 2t 0.

−4

s

4

x

Por tanto, usando la regla de la cadena apropiada, se sabe que la distancia cambia a una

velocidad o ritmo

−2

−4

Trayectorias de dos objetos que recorren

órbitas elípticas

Figura 13.40

ds

dt s dx 1

s dy 1

s dx 2

s dy 2

x 1 dt y 1 dt x 2 dt y 2 dt

4 5 0 3 5 2 4 5 4 3 5 0

22

5 .


En el ejemplo 2, obsérvese que s es función de cuatro variables intermedias, x 1 , y 1

, x 2

y y 2

, cada una de las cuales es a su vez función de una sola variable t. Otro tipo de función

compuesta es aquella en la que las variables intermedias son, a su vez, funciones de más

de una variable. Por ejemplo, si w f x, y, donde x gs, t y y hs, t, se sigue que

w es función de s y t, y se pueden considerar las derivadas parciales de w con respecto a s

y t. Una manera de encontrar estas derivadas parciales es expresar w explícitamente como

función de s y t sustituyendo las ecuaciones x gs, t y y hs, t en la ecuación

w f x, y. Así se pueden encontrar las derivadas parciales de la manera usual, como se

muestra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 3

Hallar derivadas parciales por sustitución

Hallar ws y wt para w 2xy, donde x s 2 t 2 y y st.

Solución Se comienza por sustituir x s 2 t 2 y y st en la ecuación w 2xy para

obtener

w 2xy

2s2 t 2

s

t

Después, para encontrar ws, se mantiene t constante y se deriva con respecto a s.

w

s 2 3s2 t

t

6s2 2t 2

t

De manera similar, para hallar wt, se mantiene s constante y se deriva con respecto a t

para obtener

w

t 2 s3 t 2 s

2

s 3 st 2

t 2

2st2 2s 3

t 2 .

2

s 3

t st .

El teorema 13.7 proporciona un método alternativo para hallar las derivadas parciales del

ejemplo 3, sin expresar w explícitamente como función de s y t.

TEOREMA 13.7

REGLA DE LA CADENA: DOS VARIABLES INDEPENDIENTES

∂x

∂t

t

x

∂w

∂x

∂x

∂s

s

w

∂y

∂t

∂w

∂y

La regla de la cadena: dos variables

independientes

Figura 13.41

t

y

∂y

∂s

s

Sea w f(x, y), donde f es una función diferenciable de x y y. Si x g(s, t) y y hs, t

son tales que las derivadas parciales de primer orden ∂x/∂s, ∂x/∂t, ∂y/∂s y ∂y/∂t existen,

entonces ws y wt existen y están dadas por

DEMOSTRACIÓN Para obtener ∂w/∂s, se mantiene constante t y se aplica el teorema 13.6

para obtener el resultado deseado. De manera similar, para obtener ∂w/∂t se mantiene

constante s y se aplica el teorema 13.6.

NOTA

w

s w x

x s w y

y s

y

w

t w x

x t w y

y t .

La regla de la cadena en este teorema se muestra esquemáticamente en la figura 13.41. ■


EJEMPLO 4

Regla de la cadena con dos variables independientes

Utilizar la regla de la cadena para encontrar ws y wt, dada

w 2xy

donde x s 2 t 2 y y st.

Solución Nótese que estas mismas derivadas parciales fueron calculadas en el ejemplo

3. Esta vez, usando el teorema 13.7, se puede mantener constante t y derivar con respecto

a s para obtener

w

s w x

x s w y

y s

2y2s 2x

1

t

2

s

t

4s2

t

t 2s 2s2

1

s

t

2 + t 2

2s2 2t 2

t

6s2 2t 2

.

t

Sustituir y por st y x por s 2 t 2 .

De manera similar, manteniendo s constante se obtiene

w

t w x

x t w y

y t

2y2t 2x

s

t 2

2 s

Sustituir y por st y x por s 2 t .

t 2t 2s2

s

s

t

2 + t 2

t 2 2

4s 2s3 2st 2

t 2

4st2 2s 3 2st 2

t 2

2st2 2s 3

t 2 .

La regla de la cadena del teorema 13.7 también puede extenderse a cualquier número

de variables. Por ejemplo, si w es una función diferenciable de n variables x 1 , x 2 , . . . , x n ,

donde cada x i es una función diferenciable de m variables t 1 , t 2 , . . . , t m , entonces para

w f x 1 , x 2 , . . . , x n

se obtiene lo siguiente.

w

w x 1

w x 2

t 1 x 1 t 1 x 2 t . . . w x n

1 x n t 1

w

w x 1

w x 2

t 2 x 1 t 2 x 2 t . . . w x n

2 x n t 2

w

w x 1

w x 2

t m x 1 t m x 2 t . . . w x n

m x n t m


EJEMPLO 5

Regla de la cadena para una función de tres variables

Hallar ws y wt si s 1 y t 2, dada la función

w xy yz xz

donde x s cos t, y s sen t y z t.

Solución

Por extensión del teorema 13.7, se tiene

w

s w x

x s w y

y s w z

z s

y zcos t x zsin sent y x0

y zcos t x zsin sen t.

Cuando s 1 y t 2, se tiene x 1, y 0 y z 2. Así,

1 20 2. Y

ws 0 21

w

t w x

x t w y

y t w z

z t

y zs sen sin t x zs cos t y x1

y si s 1 y t 2, se sigue que

w

t 0 20 1 21 0 11

2 2.

Derivación o diferenciación parcial implícita

Esta sección concluye con una aplicación de la regla de la cadena para determinar la

derivada de una función definida implícitamente. Supóngase que x y y están relacionadas

por la ecuación Fx, y 0, donde se supone que y f x es función derivable de x. Para

hallar dydx, se podría recurrir a las técnicas vistas de la sección 2.5. Sin embargo, se verá

que la regla de la cadena proporciona una útil alternativa. Si se considera la función dada

por

w Fx, y Fx, f x

se puede aplicar el teorema 13.6 para obtener

dw

dx F xx, y dx

dx F yx, y dy

dx .

Como w Fx, y 0 para toda x en el dominio de f, se sabe que dwdx 0 y se tiene

F x x, y dx

dx F yx, y dy

dx 0.

Ahora, si F y x, y 0, se puede usar el hecho de que dxdx 1 para concluir que

dy

dx F xx, y

F y x, y .

Un procedimiento similar puede usarse para encontrar las derivadas parciales de funciones

de varias variables definidas implícitamente.


TEOREMA 13.8

REGLA DE LA CADENA: DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Si la ecuación Fx, y 0 define a y implícitamente como función derivable de x,

entonces

dy

dx F xx, y

F y x, y ,

Si la ecuación Fx, y, z 0 define a z implícitamente como función diferenciable

de x y y, entonces

z

x F xx, y, z

F z x, y, z

F y x, y 0.

z y, z

y Fyx, F z x, y, z 0.

y F z x, y, z ,

Este teorema puede extenderse a funciones diferenciables definidas implícitamente de

cualquier número de variables.

EJEMPLO 6

Hallar una derivada implícitamente

Hallar dydx, dada la ecuación y 3 y 2 5y x 2 4 0.

Solución

Se comienza por definir una función F

Fx, y y 3 y 2 5y x 2 4.

Después, usando el teorema 13.8, se tiene

F x x, y 2x

por lo que

y

dy

dx F xx, y

F y x, y

F y x, y 3y 2 2y 5

2x – 3y 3y 22 + 2y – 55

2x

3y 2 2y 5 .

NOTA Comparar la solución del ejemplo 6 con la solución del ejemplo 2 en la sección

2.5. ■

EJEMPLO 7

Hallar derivadas parciales implícitamente

Encontrar zx y zy, dada la ecuación 3x 2 z x 2 y 2 2z 3 3yz 5 0.

Solución

Entonces

con lo que

Para aplicar el teorema 13.8, sea

Fx, y, z 3x 2 z x 2 y 2 2z 3 3yz 5.

F x x, y, z 6xz 2xy 2

F y x, y, z 2x 2 y 3z

F z x, y, z 3x 2 6z 2 3y

z

x F xx, y, z

F z x, y, z 2xy2 6xz

3x 2 6z 2 3y

z

y F yx, y, z

F z x, y, z 2x2 y 3z

3x 2 6z 2 3y .

SECCIÓN 13.5 13.5 Regla Chain de Rules la cadena for Functions para funciones of Several de varias Variables variables 931

931

13.5 Exercises See Ejercicios

www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

En In los Exercises ejercicios 1–4, 1 a find

4, hallar dw/dt

dw/dt using utilizando the appropriate la regla Chain de la Rule.

cadena

apropiada.

1. w x 2 y 2 2.

w x 2 y 2

1. w x x 2t, 2 y y 2

3t

2. w x cos x 2 t, y 2

e t

3.

x 2t, y 3t

x cos t, y e t

w

x sen y

4.

w

ln y

3. w x sen y

4. w ln y x

x e t , y t

x cos x

t, y sen t

x e t , y t

x cos t, y sen t


dw/dt

(a) by using the appropriate

Chain

En Rule

los ejercicios and (b)

5 by

a 10, converting

hallar w

dw/dt to

a) a

utilizando function of

la regla t

before

de la

differentiating.

cadena apropiada y b) convirtiendo w en función de t antes de

derivar.

5.

w xy, x e t , y e 2t 2t

5.

6.

w xy, cos x y e t , x y t e , 2t

y 1

6.

7.

w cos x 2 x y 2 y , z 2 , x x t 2 , cos y t, 1

y sen t, z e t

7.

8.

w x xy 2 cos y 2 z, z x 2 , x t, y cos t, t 2 , y z sen arccos t, t

z e t

8.

9.

w xy cos xz z, x yz, t, x y t t 2 , 1, z y arccos t 2 t

1, z t

10.

9.

w xy 2 xz x 2 z yz, yz 2 x , x t t 2 1, , y 2t, t 2 z 1, 2

z t

10. w xy 2 x 2 z yz 2 , x t 2 , y 2t, z 2

Projectile Motion

In Exercises 11 and 12, the parametric

Movimiento equations for de the un paths proyectil

of two En projectiles los ejercicios are given. 11 y 12 At se what dan rate

las

ecuaciones is the distance paramétricas between the de las two trayectorias objects changing de dos at proyectiles.

the given

¿A value qué of

velocidad t?

o ritmo cambia la distancia entre los dos objetos

en el valor de t dado?

11. x 1 10 cos 2t, y 1 6 sen 2t

First object

11.

x 1 2 x t 2

10 7 2t, y cos t, y 2 1 7 cos 2

t, y 2 4 6 sen 2t

sen t

4 sen t

Primer Second

objeto.

object

Segundo objeto.

12. t x 1 48 2

2 t, y 1 48 2 t 16t 2

First object

12.

x 1 2 48 2 3 t, t, y 1 2 48t 2 t 16t 16t 2

2 Primer Second

objeto.

object

x t 2 1

48 3 t, y 2 48t 16t 2

Segundo objeto.

t 1

In Exercises 13 and 14, find

d 2

En los ejercicios 13 y 14, hallar d 2 w/dt 2

w/dt 2

using the appropriate

Chain

utilizando la regla de la

cadena Rule.

apropiada. Evaluate

d

Evaluar

w/dt 2 d 2 at

w/dt the given 2 en value

el valor of

de t t.

dado.

13.

w ln x y , x e t

13. w ln x y , x e t , , y e t

y e t , , t 0

t 0

x x 14. w

14. w

y , x t2 y , x t2 , y t 1, t 1

, y t 1, t 1

En In los Exercises ejercicios 15–18, a find 18, hallar w/ s

w/s and w/ y w/t t

using utilizando the appropriate

la regla

de Chain la cadena Rule, apropiada and evaluate y evaluar each partial cada derivada derivative parcial at the given

los

valores values de of s

and

y t dados.

t.

Función

Punto

15.

15.

w x 2 y 2 s

s 1,

1, t

t 0

x s

s t,

t, y s

s t

t

16.

16.

w y 3 3x

3x 2 y

s

s 1,

1, t

t 2

x e s , , y e t 17.

17.

w sen

sen 2x

2x 3y

3y

s

s 0,

0, t

t

2

x s

s t,

t, y s

s t

t

18.

18.

w x 2 y 2

s

s 3,

3, t

t

4

x s

s cos

cos t,

t, y s

s sen

sen t

t

w/ r

En In Exercises los ejercicios 19–22, a find 22, hallar w/ rw/r

and y w/

(a) a) by utilizando using the

la

regla appropriate de la cadena Chain apropiada Rule and (b) y b) by convirtiendo converting

w

to en a una function función

of

de r

and

r y before antes de differentiating.

derivar

w/

yz

19. w

x , x 2

, y r , z r

20.

w x 2 2xy y 2 , x r , y r

21.

w arctan y , x r cos , y r sen

x 22.

w 25 5x 2 5y 2 , x r cos , y r sen

w/ s

w/ t

En In Exercises los ejercicios 23–26, a find 26, hallar w/ sw/s

and y w/ w/t t

by utilizando using the la appro-

regla

de priate la cadena Chain apropiada.

Rule.

fx, y x 3 3xy 2 y 3

f x, y 3xy 23.

w xyz, x s t, y s t, z st 2

24.

w x 2 y 2 z 2 , x t sen s, y t cos s, z st 2

25.

w ze xy xy , x s t, y s t, z st

26.

w x cos yz, x s 2 , y t 2 , z s 2t

En In Exercises los ejercicios 27–30, a differentiate 30, hallar dy/dx implicitly por derivación to find

dy/dx.

implícita.

27.

x 2 xy y 2 x y 0

28.

sec xy tan xy 5 0

29.

ln x 2 y 2 x y 4

x

30.

x 2 y 2 y 2 6

En In los ejercicios a 38, hallar las primeras derivadas parciales

Exercises 31–38, differentiate implicitly to find the first

de partial z por derivación implícita.

derivatives of

z.

31. x 2 y 2 z 2 1

32.

xz yz xy 0

33. x 2 2yz z 2 1

34.

x sen y z 0

35. tan x y tan y z 1

36.

z e x sen y z

37. e x z xy 0

38.

x ln y y 2 z z 2 8

En In los Exercises ejercicios 39– 39 42, a 42, differentiate hallar las primeras implicitly derivadas to find the parciales

first

de partial w por derivatives derivación of

implícita.

w.

39.

xy yz wz wx 5

40.

x 2 y 2 z 2 5yw 10w 2 2

41.

cos xy sen yz wz 20

42.

w x y y z 0

Funciones Homogeneous homogéneas Una función f es homogénea de grado

Functions A

n si f tx, ty t n function f

is homogeneous of

degree f x, y. En los ejercicios 43 a 46, a) mostrar que

n

if f tx, ty t n la función es homogénea fx, y .

In Exercises 43– 46, (a) show that

the y determinar n, y b) mostrar que

function is homogeneous and determine

n,

and (b) show

that

xf x x, xf y x x, y yf y x, yf y y x, y nf x, nf y.

x, y .

43. fx, xy

y

xy

f x, y

x x 2 y 2

44.

45. fx, f x, y y e xy xy xy f x, x 46. fx, y

y

x x 2 y 2

w/

932 CAPÍTULO Chapter 13 13 Functions Funciones of Several de varias Variables variables

932

932

Chapter 13 Functions of Several Variables

Chapter 13 Functions of Several Variables

47.

47. Sean

Let w

w = fx,

f(x, y

y), , x = g

g(t) t ,

y and

y = y

h(t), ht,

donde where

f, g y f, h

g,

son and

diferen-

h

are

47. ciables.

differentiable.

Let w Usar fx, la Use

y regla the

, x gde appropriate

t la , and cadena Chain

y ht, apropiada Rule to

where para find

f, g, encontrar

dw dt

and h are

47. Let dw/dt

when w differentiable. cuando

t fx, 2

y given

t , x= Use 2 the

dada g t following ,

the la and

appropriate siguiente y

table ht, tabla of where values.

Chain de Rule valores. f, g, and h are

to find dw dt

differentiable. Use the appropriate Chain Rule to find dw dt

when t given the following table of values.

when

g 2t 2

hgiven 2 the g following 2 h 2 table f x of 4, values.

3 f y 4, 3

g 2 h 2 g 2 h 2 f x 4, 3 f y 4, 3

g 2 4

h 2 3

g 2 1

h 2 6

f x 4, 3 5

f y 4, 7

3

4 3 1 6 5 7

48. Sean Let 4 w = fx, 3f(x, y y), , xx 1= gg(s, t 6t) ,

y and y = y h(t), 5 hs, donde t ,

where 7f, g y f, h g, son and dife-

h

renciables. are differentiable. Usar la regla Use the de la appropriate cadena apropiada Chain Rule para encontrar

to find

48. Let (1, 2) w y wfx, t

(1, y 2) , xdada gla s, siguiente t , and ytabla hs, de t valores. , where f, g, and h

48. Let w s w 2 fx, and y w, x g s, t ,

and y hs, t , where f, g, and h

are differentiable. t 1, 2 given the following table of values.

Use the appropriate Chain Rule to find

are differentiable. Use the appropriate Chain Rule to find

w s 1, 2 and w t 1, 2 given the following table of values.

w s 1, g 2

1, and

2 w t h1, 1, 2

2given gthe following table of values.

s 1, 2 h s 1, 2

g 1, 2 h 1, 2 g s 1, 2 h s 1, 2

g 1, 4

2 h 1, 3

2 g s 1, 2 3

h s 1, 5

2

4 3 3 5

g4 3 3 5

t 1, 2 h t 1, 2 f x 4, 3 f y 4, 3

g t 1, 2 h t 1, 2 f x 4, 3 f y 4, 3

g t 1, 2

h t 1, 8

2 f x 4, 3 5

f y 4, 7

3

2 8 5 7

2 8 5 7

WRITING

Desarrollo ABOUT

de conceptos

CONCEPTS

49.

WRITING Let w

fx,

ABOUT y

be a function

CONCEPTS

in which x

and y

are functions

WRITING 49. Sea w ABOUT f x, y una CONCEPTS función donde x y y son funciones de

of a single variable

t.

Give the Chain Rule for finding

dw dt.

49. una Let sola w variable fx, y be t. a Dar function la regla in which de la xcadena and y are para functions hallar

49. 50. Let Let w fx, y be a in x and y are dwdt. of w

a single fx,

variable

y

be a function

t. Give the in

Chain which

Rule x

and

for y

are

finding

functions

dw dt.

of of a single two variables t. s

Give and t. the Give Chain the Rule Chain for Rule finding

for dw finding dt.

50. 50. Sea Let w ffx, x, y y una be a función function donde in which x y xy

and son yfunciones are functions de

50. Let w

s

and fx, y

wbe t. a function in which and y are functions

dos of two variables variables s y t. s and Dar t. la Give regla the de Chain la cadena Rule para for finding hallar

51. of If two variables s and t. Give the Chain Rule for finding

ws

f

w

x, y

sy

and wt.

0,

w give

t.

the rule for finding dy dx

implicitly. If

w

f x, s

y, and

z w 0,

give t.

the rule for finding

z

x

and

z

y

51. 51. Si If ffx, x, y y 0, 0, dar give la the regla rule para for hallar finding dydx

implícitamente.

dx implicitly. If

51. If implicitly. f x, y 0, give the rule for finding dy dx implicitly. If

Si f x, f x, y, y, z z 0,

0, give dar the la rule regla for para finding hallar zzx

x and y zy z y

f x, y, z 0, give the rule for finding z x and z y

implícitamente.

implicitly.

implicitly.

CAPSTONE

52.

Para CAPSTONE

Consider

discusión

the function f x, y, z

xyz,

where

x t 2 ,

CAPSTONE

y 2t,

and

z e

52. the function t .

f x, y, z xyz, where x t 2 ,

52. 52. Considerar (a)

y Use

2t,

the la

and

appropriate function función f(x,

z e t .

Chain f x, y, y, z) Rule z= xyz, to xyz,

find

donde where

df

x dt.

= tx 2 , y t= 2 , 2t,

y z = 2t, e –t and . z e t .

(b)

(a) Write

Use the

f

as

appropriate a function of

Chain t

and

Rule then

to find

find

df

df dt.

dt.

Explain

(a) a) Use Usar why the la this appropriate regla result

de la is the

cadena Chain same Rule apropiada as that to find

of

para part df encontrar dt.

(a).

df/dt.

(b) Write f as a function of t and then find df dt. Explain

(b) b) Write Escribir f as f a como function una of función t and then de t find y entonces df dt. Explain encontrar

why this result is the same as that of part (a).

why df/dt. this Explicar result is por the qué same este as resultado that of part es el (a). mismo que el

53. Volume del inciso and Surface a).

Area The radius of a right circular

cylinder is increasing at a rate of 6 inches per minute, and the

53. Volume and Surface Area The radius of a right circular

53. 53. height Volumen is and decreasing y Surface área superficial at Area a rate The of El 4 radius inches radio de per of un a minute. right cilindro circular What circular

are

cylinder is increasing at a rate of 6 inches per minute, and the

cylinder the recto rates se is incrementa of increasing change a of at razón a the rate volume de of 66 pulgadas inches and surface per por minute, minuto, area when and y la the altura

the

height is decreasing at a rate of 4 inches per minute. What are

height radius decrece is is decreasing a 12 razón inches at and 4 a pulgadas rate the height of 4 por inches is minuto. 36 inches? per ¿Cuál minute. es What la razón are de

the rates of change of the volume and surface area when the

54. the Volume cambio rates of del change volumen of y the del volume área superficial and surface cuando area el when radio the es 12

radius is

and

12 Surface

inches and Area

the height Repeat

is 36

Exercise

inches?

53 for a right

radius circular pulgadas is 12 cone. y inches la altura and 36 the pulgadas? height is 36 inches?

54. Volume and Surface Area Repeat Exercise 53 for a right

54. 55. 54. Ideal Volumen and y Surface área superficial Area Repeat Repetir Exercise el ejercicio 53 for 53 a right con un

circular Gas

cone.

Law The Ideal Gas Law pV

mRT,

where R

is

circular a cono constant, circular. cone.

m

is a constant mass, and p

and V

are functions of

55. Ideal Gas Law The Ideal Gas Law is pV mRT, where R is

55. 55. Ideal time. Ley Gas de Find los Law dT gases dt, The the ideales Ideal rate Gas at Según Law which is la the pV ley temperature de mRT, los where gases changes ideales R is

a constant, m is a constant mass, and p and V are functions of

a with constant, pV respect mRT, m is to donde a time. constant R es una mass, constante, and p and m es Vuna are masa functions constante of

time. Find dT dt, the rate at which the temperature changes

56. time. Area y p Find y V son dT funciones dt,

rate del at tiempo. which Hallar the temperature dTdt, la velocidad changes o

with respect Let be

to the

time.

angle between equal sides of an isosceles

with triangle el ritmo respect and de to cambio let time.

x

be de the la length temperatura of these con sides. respecto x

is increasing al tiempo.

at

56. 1 Area Let be the angle between equal sides of an isosceles

56. 56. Area Área meter Let Sea per be hour el the ángulo and angle is entre between increasing los equal lados at sides iguales 90 of radian de an un isosceles

per triángulo

2

hour.

triangle and let x be the length of these sides. x is increasing at

triangle Find isósceles 1

the and rate y let sea of x xbe increase la the longitud length of the de of area estos these when lados. sides. x Si x is x

6increasing se and incrementa at

4. a

1 meter per hour and is increasing at 90 radian per hour.

meter razón

2 1

2 per de hour 2 metro and por is hora increasing y se incrementa at 90 radian a razón per de hour. 90

Find the rate of increase of the area when x 6 and 4.

Find radianes the rate por of hora, increase hallar of la the tasa area de when incremento x 6 and del área cuando 4.

x 6 y

4.

57.

57. Moment

Momento of Inertia

de inercia An

Un annular

cilindro cylinder

anular has

tiene an inside

un radio radius

inte-

of

rior r

57. Moment 1

de and

r 1

an

y un outside

radio exterior radius of

de r

of Inertia An annular 2

2 (ver (see

cylinder la figure).

figura). Its

has an inside Su moment

momento radius

57. Moment de of inercia of Inertia 1

of inertia

r and is

es I

1 an Ioutside 2m An 1 r annular cylinder

radius of donde has

(see es an

figure). la inside masa. radius

2 r Its moment Los dos

of radios r and 2

of inertia se an incrementan outside mr 1 2 2

1

1 radius r

is I a razón r 2 2 22 22 ,

where

m

m

is the mass. The two

radii 1

are increasing at a rate r

where de (see centímetros figure). Its

m is the mass. por moment segundo.

1 2m r1 2

of 2 2

centimeters per second. Find

r 22 ,

The two

of the

Hallar inertia rate

radii are la is at

velocidad I

which

increasing 2m r I

1al 2

is

at que changing r

a 22

rate varía , where

of I2 en at m

centimeters el the is instante instant the mass.

per en the

que The radii

second. los two radios

are

Find

radii 6

son centimeters are

the 6 rate y increasing 8 at centímetros. and at 8 centimeters. a rate

which I is (Suponer of 2 centimeters (Assume

changing que at la the masa mass per

instant es second. is

constante.)

a constant.) Find

the radii are

the rate at which I is changing at the instant the radii are

6 centimeters and 8 centimeters. (Assume mass is a constant.)

6 centimeters and 8 centimeters. (Assume mass is a constant.)

r 2

r

r 2

r 2

2

h r

r 1

r r

r 1

r

1

h

R

h

h

R

R

R


58. Figure for 57 Figure for 58

Figura Figure Volume

para for and

57 Surface Area The

57 Figure two radii

Figura for 58

of the frustum of a

right circular cone are increasing at a rate para of 4 centimeters 58

per

58. Volume and Surface Area The two radii of the frustum of a

58. 58. Volume minute, Volumen and y Surface the área height superficial Area is increasing The Los two at radii dos a rate radios of the of del 12 frustum centimeters tronco of de a un

right circular cone are increasing a rate of 4 centimeters per

right per cono circular minute circular (see cone recto figure). are se increasing incrementan Find the rates a a rate razón which of 4 de centimeters the centímetros volume per

and por

minute, and the height is increasing at a rate of 12 centimeters

minute, surface minuto and area y the la are altura height changing se is incrementa increasing when the a at two razón a rate radii de of are 12 15 centímetros centimeters por

per minute (see figure). Find the rates at which the volume and

per and minuto minute 25 centimeters, (ver (see la figure). figura). and Find Hallar the the height rates a qué is at 10 velocidad which centimeters. the cambian volume el and volumen

area y el área superficial cuando los radios son 15 y 25 cen-

surface area are changing when the two radii are 15 centimeters

59. surface Show

and 25 that are changing

centimeters, w

and uwhen the

the height

w two v radii

is 10 0 are

centimeters.

for 15 centimeters

w f x, y ,

and xtímetros, 25 ucentimeters, v, respectivamente, and

y and v the u. height y la altura is 10 es centimeters. de 10 centímetros.

59. Show that w u w v 0 for w f x, y ,

59. 60. 59. Show Demonstrate Mostrar that que para w = f(x, y), x = u – v

x u v,

the w

and

result u

y v of Exercise w v

u.

59 0

for for w f x, y ,

x y uy v, v and

u. y v u.

60. 60. Verificar Demonstrate el resultado the result del of ejercicio Exercise 59 59 con for

60. Demonstrate w x y

the sen y

of x

Exercise .

59 for

61. w x y sen y x .

w Consider

x y

the

sen function

y x .

w fx, y ,

where x

r cos

and

y r sen .

Verify each of the following.

61. Considerar the la función function ww f x, fx, y, y , en where la que x x r cos r cos and y

61. Consider the function fx, y , where x r cos and

y r sin . . Demostrar: Verify each of the following.

y r sen w sen

. Verify w

(a)

each of the following.

w

w

x w

x r cos w sen

w

r cos w sin r

(a)

x r cos wsen

w w

(a)

r r

x r cos w sen

w

w

r

w

w

y w

y r sen w cos

w

r sin w

r

y r w cos

w

2w

r

y r sen w cos

w sen

2 2 w

w

1

w (b)

2

w

x

w

x 2 2

w

y

w

y 2 2

w

r

w

r 2 2 r

2 2 2

1

2

r 2w

1 w

2

(b) w w w 1 w 2

(b)

2

62. Demonstrate x y r r

x

the

y

result of

r

Exercise

r 2 61(b) 2 for

w

arctan yx.

63. 62. 62. Cauchy-Riemann Verificar Demonstrate el resultado the Equations

result del of ejercicio Exercise Given 61b 61(b) the con

functions

for w w arctanyx.

ux, y

and

yx.

62. Demonstrate the result of Exercise 61(b) for w arctan yx.

63. vx,

63. Ecuaciones y ,

verify that

Cauchy-Riemann de Cauchy-Riemann the Cauchy-Riemann

Equations Given Dadas differential

the functions las funciones

equations

ux, yux, and y

63. Cauchy-Riemann y vx, vx, y y, , verify verificar Equations

that the que Cauchy-Riemann las ecuaciones Given the functions diferenciales ux, y

differential equations Cauchy- and

vx, u

Riemann y , verify v

that the u

Cauchy-Riemann v

and

differential equations

x

y

y

x

u

u u

y

x v

v u v

u v andu

v

x yand

y y v y x

x

can be

y

written in

y

polar coordinate

x x

form as

can be written in polar coordinate form as

can u

pueden be written 1

v

escribirse in polar v

en coordinate 1

u

and

coordenadas . form polares as

r

r

r

r

como

u

u

v

y

r 1 u

.

r 1 1 v v 1 u

u 1 v v andv

1 u .

64. r r and r r .

r

Demonstrate

r

the result

r r

of Exercise

r

63 for the functions

64. Demonstrate the result of Exercise 63 for the functions

64. 64. Demonstrate u Verificar ln el the resultado of del Exercise ejercicio 63 x2 and v arctan y x2 y 2 63 for con the las functions funciones

u y

x .

lnx2 ln 2 and v arctan .

y u ln

x2 y

and

2 65. Show that v arctan y x .

x2 if fy 2 x,y

is homogeneous

x .

of degree n,

then

r 1

65. Demostrar Show that que if f si x,yƒ(x, is homogeneous y) es homogénea of degree grado n, n, then entonces

65. Show xf x x,

that y

if f yf x,y y x, y

is homogeneous nf x, y .

of degree n, then

xf xx x, x, y y yf yf y x, x, y y nf nfx, x, y. y .

xf [Hint:

x x, y Let

yf g

y x, t

y f tx,

nf ty

x, y .

t n fx, y .

Find g t

and then let

t

[Sugerencia: 1.]

[Hint: Let g Sea t fgt tx, ty f tx, t n ty fx, y t n . fFind x, y. g Hallar t and then gt let y

[Hint: Let g t f tx, ty t Find g t and then let

después t 1.] hacer t 1. ]

n fx, y .

t 1.]

r

SECCIÓN 13.6 Derivadas direccionales y gradientes 933

13.6 Derivadas direccionales y gradientes

■ Hallar y usar las derivadas direccionales de una función de dos variables.

■ Hallar el gradiente de una función de dos variables.

■ Utilizar el gradiente de una función de dos variables en aplicaciones.

■ Hallar las derivadas direccionales y el gradiente de funciones de tres variables.

z

y

Derivada direccional

Suponer que se está en la colina de la figura 13.42 y se quiere determinar la inclinación de

la colina respecto al eje z. Si la colina está representada por z f x, y, se sabe cómo determinar

la pendiente en dos direcciones diferentes: la pendiente en la dirección de y está dada

por la derivada parcial f y x, y, y la pendiente en la dirección de x está dada por la derivada

parcial f x x, y. En esta sección se verá que estas dos derivadas parciales pueden usarse para

calcular la pendiente en cualquier dirección.

Para determinar la pendiente en un punto de una superficie, se definirá un nuevo tipo

de derivada llamada derivada direccional. Sea z fx, y una superficie y Px 0 , y 0 un

punto en el dominio de f, como se muestra en la figura 13.43. La “dirección” de la derivada

direccional está dada por un vector unitario

x

Figura 13.42

z

Superficie:

z = f(x, y)

z = f(x, y)

u cos i sen sin j

donde es el ángulo que forma el vector con el eje x positivo. Para hallar la pendiente

deseada, se reduce el problema a dos dimensiones cortando la superficie con un plano vertical

que pasa por el punto P y es paralelo a u, como se muestra en la figura 13.44. Este

plano vertical corta la superficie formando una curva C. La pendiente de la superficie en

x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 en la dirección de u se define como la pendiente de la curva C en ese

punto.

De manera informal, se puede expresar la pendiente de la curva C como un límite

análogo a los usados en el cálculo de una variable. El plano vertical utilizado para formar

C corta el plano xy en una recta L, representada por las ecuaciones paramétricas,

P

θ

x

Figura 13.43

u

L

y

x x 0 t cos

y

y y 0 t sen sin

de manera que para todo valor de t, el punto Qx, y se encuentra en la recta L. Para cada

uno de los puntos P y Q, hay un punto correspondiente en la superficie.

z

Superficie:

z = f(x, y)

x 0 , y 0 , f x 0 , y 0

x, y, fx, y

Punto sobre P.

Punto sobre Q.

Curva: C

(x 0 , y 0 , f(x 0 , y 0 ))

(x, y, f(x, y))

Como la distancia entre P y Q es

x x 0 2 y y 0 2 t cos 2 t sen sin 2

t

P

t

x

Figura 13.44

Q

y

se puede escribir la pendiente de la recta secante que pasa por x 0 , y 0 , fx 0 , y 0

x, y, fx, y como

fx, y fx 0 , y 0

t

fx 0 t cos , y 0 t sen sin fx 0 , y 0

.

t

Por último, haciendo que t se aproxime a 0, se llega a la definición siguiente.

y


DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DIRECCIONAL

Sea f una función de dos variables x y y, y sea u cos i sen sin j un vector unitario.

Entonces la derivada direccional de f en la dirección de u, que se denota

D u f, es

fx t cos , y t sen sin fx, y

D u fx, y lím lim

t→0 t

siempre que este límite exista.

Calcular derivadas direccionales empleando esta definición es lo mismo que encontrar

la derivada de una función de una variable empleando el proceso del límite (sección 2.1).

Una fórmula “de trabajo” más simple para hallar derivadas direccionales emplea las

derivadas parciales y f y .

f x

TEOREMA 13.9 DERIVADA DIRECCIONAL

Si f es una función diferenciable de x y y, entonces la derivada direccional de f en

la dirección del vector unitario u cos i sen sin j es

D u fx, y f x x, y cos f y x, y sen sin .

DEMOSTRACIÓN Dado un punto fijado (x 0

, y 0

), sea x x 0

t cos y sea y y 0

t sen . Ahora, se hace gt fx, y. Como ƒ es diferenciable, se puede aplicar la regla de

la cadena del teorema 13.6 para obtener

gt f x x, yxt f y x, yyt f x x, y cos f y x, y sen sin .

Si t 0, entonces x x 0 y y y 0 , por tanto

g0 f x x 0 , y 0 cos f y x 0 , y 0 sen sin .

De acuerdo con la definición de gt, también es verdad que

gt g0

g0 lím lim

t→0 t

fx

lim 0 t cos , y 0 t sen sin fx 0 , y 0

lím

.

t→0 t

Por consiguiente, D u fx 0 , y 0 f x x 0 , y 0 cos f y x 0 , y 0 sen sin .

z

Hay una cantidad infinita de derivadas direccionales en un punto dado de una superficie,

una para cada dirección especificada por u, como se muestra en la figura 13.45. Dos

de éstas son las derivadas parciales y f y .

f x

x

El vector u

Figura 13.45

(x, y)

Superficie:

z = f(x, y)

y

1. En la dirección del eje x positivo (q 0): u cos 0 i sen 0 j i

D i fx, y f x x, y cos 0 f y x, y sen sin 0 f x x, y

2. En la dirección del eje y positivo

2: u cos

D j fx, y f x x, y cos

2 f yx, y sen sin

2 f yx, y

2 i sen sin 2 j j


EJEMPLO 1

Hallar una derivada direccional

Hallar la derivada direccional de

fx, y 4 x 2 1 4 y 2

Superficie.

en (1, 2) en la dirección de

u cos

3 i sen

sin

3 j.

Dirección.

Superficie:

f(x, y) = 4 − x 2 − 1 y

4

2

z

4

Solución Como f x y f y son continuas, f es diferenciable, y se puede aplicar el teorema

13.9.

D u fx, y f x x, y cos f y x, y sen sin

2x cos y 2 sin

sen

x

Figura 13.46

3

π

u

3

(1, 2)

5

y

3, x 1,

Evaluando en y y 2 se obtiene

2

D u f1, 2 2

1

2 1 3

1 3

2

1.866.


NOTA La figura 13.46 muestra que la derivada direccional se puede interpretar como la pendiente

de la superficie en el punto (1, 2, 2) en la dirección del vector unitario u.

■

Se ha especificado la dirección por medio de un vector unitario u. Si la dirección está

dada por un vector cuya longitud no es 1, se debe normalizar el vector antes de aplicar la

fórmula del teorema 13.9.

x

Superficie:

f(x, y) = x 2 sen 2y

3

u

25

20

15

10

5

z

( )

1,

π

2

π /2

π

y

EJEMPLO 2

Hallar una derivada direccional


fx, y x 2 sen sin 2y

en 1, 2 en la dirección de

v 3i 4j.

Superficie.

Dirección.

Solución Como f x y f y son continuas, f es diferenciable, y se puede aplicar el teorema

13.9. Se comienza por calcular un vector unitario en la dirección de v.

u v

v 3 5 i 4 5 j cos i sen sin j

Usando este vector unitario, se tiene

Figura 13.47

−25

D u fx, y 2x sen sin 2ycos 2x 2 cos 2ysin sen

D u f 1,

2 2 sin

3

sen

5 2 cos

5

4

0

3

5 2 4 5

8 5 .



z

(x, y, f(x, y))

El gradiente de una función de dos variables

El gradiente de una función de dos variables es una función vectorial de dos variables.

Esta función tiene múltiples aplicaciones importantes, algunas de las cuales se describen

más adelante en esta misma sección.

DEFINICIÓN DE GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

x

∇f(x, y)

(x, y)

El gradiente de f es un vector en el plano xy

Figura 13.48

y

Sea z f(x, y una función de x y y tal que f x y f y existen. Entonces el gradiente

de f, denotado por fx, y, es el vector

fx, y f x x, yi f y x, yj.

f se lee como “nabla f ”. Otra notación para el gradiente es grad fx, y. En la

figura 13.48 hay que observar que para cada x, y, el gradiente fx, y es un vector

en el plano (no un vector en el espacio).

NOTA El símbolo no tiene ningún valor. Es un operador de la misma manera que ddx es un

operador. Cuando opera sobre f x, y, produce el vector f x, y.

■

EJEMPLO 3

Hallar el gradiente de una función

Hallar el gradiente de fx, y y ln x xy 2 en el punto (1, 2).

Solución Utilizando

f x x, y y y f y x, y ln x 2xy

x y 2

se tiene

fx, y

y

x y 2 i ln x 2xyj.

En el punto (1, 2), el gradiente es

f1, 2

2

1 22 i ln 1 212 j

6i 4j.

Como el gradiente de f es un vector, se puede expresar la derivada direccional de f en

la dirección de u como

D u fx, y f x x, yi f y x, yj cos i sen sin j.

En otras palabras, la derivada direccional es el producto escalar del gradiente y el vector

dirección. Este útil resultado se resume en el teorema siguiente.

TEOREMA 13.10

FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA DIRECCIONAL

Si f es una función diferenciable de x y y, entonces la derivada direccional de f en

la dirección del vector unitario u es

D u fx, y f(x, y u.


EJEMPLO 4

Hallar una derivada direccional usando f x, y


Superficie:

f(x, y) = 3x 2 − 2y 2

3

z

fx, y 3x 2 2y 2

en , en la dirección de a

3 4 , 0

P 3 4 , 0

Solución Como las derivadas de f son continuas, f es diferenciable y se puede aplicar el

teorema 13.10. Un vector en la dirección especificada es

3 4 i j

y un vector unitario en esta dirección es

PQ \ v 0 3 4 i 1 0j Q0, 1.

2

1

u v

v 3 5 i 4 5 j.

Vector unitario en la dirección de PQ \

.

Como f x, y f xx, yi f y x, yj 6xi 4yj, el gradiente en es

f 3 4 , 0 9 2 i 0j.

3 4 , 0

3 4 , 0

Gradiente en .

x

1

Q

2

P

y

Por consiguiente, en

3 4 , 0

D u f 3 4 , 0 f 3 4 , 0 u

la derivada direccional es

9 2 i 0j 3 5 i 4 5 j

27 10 .

Derivada direccional en .

3 4 , 0

Figura 13.49


Aplicaciones del gradiente

Se ha visto ya que hay muchas derivadas direccionales en un punto x, y de una superficie.

En muchas aplicaciones, se desea saber en qué dirección moverse de manera que

fx, y crezca más rápidamente. Esta dirección se llama la dirección de mayor ascenso, y

viene dada por el gradiente, como se establece en el teorema siguiente.

TEOREMA 13.11

PROPIEDADES DEL GRADIENTE

NOTA La parte 2 del teorema 13.11

dice que en el punto x, y, f crece más

rápidamente en dirección del gradiente,

fx, y.

■

Sea f diferenciable en el punto x, y.

1. Si f x, y 0, entonces D u f x, y 0 para todo u.

2. La dirección de máximo incremento de f está dada por fx, y. El valor máximo

de D u fx, y es f x, y.

3. La dirección de mínimo incremento de f está dada por f x, y. El valor mínimo

de D u f x, y es fx, y.


x

∇f(x, y)

(x, y)

z

Máximo

incremento

(x, y, f(x, y))

El gradiente de f es un vector en el plano xy

que apunta en dirección del máximo incremento

sobre la superficie dada por z fx, y.

Figura 13.50

y

DEMOSTRACIÓN

tiene

Si fx, y 0, entonces en cualquier dirección (con cualquier u), se

Si fx, y 0, sea el ángulo entre fx, y y un vector unitario u. Usando el producto

escalar se puede aplicar el teorema 11.5 para concluir que

y se sigue que el valor máximo de D u fx, y se presentará cuando cos 1. Por tanto,

y el valor máximo de la derivada direccional se tiene cuando u tiene la misma

dirección que fx, y. Este valor máximo de D u fx, y es precisamente

0,

D u fx, y fx, y u

0i 0j cos i sen sin j

0.

D u fx, y fx, y u

fx, y u cos

fx, y cos

fx, y cos fx, y.

De igual forma, el valor mínimo de D u fx, y puede obtenerse haciendo de manera

que u apunte en dirección opuesta a fx, y, como se muestra en la figura 13.50.

Curvas de nivel:

Para visualizar una de las propiedades del gradiente, imaginar a un esquiador que

desciende por una montaña. Si fx, y denota la altitud a la que se encuentra el esquiador,

entonces fx, y indica la dirección de acuerdo con la brújula que debe tomar el

esquiador para seguir el camino de descenso más rápido. (Recuérdese que el gradiente

indica una dirección en el plano xy y no apunta hacia arriba ni hacia abajo de la ladera de

la montaña.)

Otra ilustración del gradiente es la temperatura Tx, y en cualquier punto x, y de una

placa metálica plana. En este caso, Tx, y da la dirección de máximo aumento de temperatura

en el punto x, y, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

T(x, y) = 20 − 4x 2 − y 2 (2, −3)

5

y

EJEMPLO 5

Hallar la dirección de máximo incremento

La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metálica es

Tx, y 20 4x 2 y 2

donde x y y se miden en centímetros. ¿En qué dirección a partir de (2, 3) aumenta más

rápido la temperatura? ¿Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento?

x

−3

3

−5

La dirección del máximo incremento de la

temperatura en 2, 3 está dada por

16i 6j.

Figura 13.51

Solución El gradiente es

Tx, y T x x, yi T y x, yj

8x i 2y j.

Se sigue que la dirección de máximo incremento está dada por

T2, 3 16i 6j

como se muestra en la figura 13.51, y la tasa de incremento es

T2, 3 256 36

292

17.09 per por centimeter. centímetro.


La solución del ejemplo 5 puede entenderse erróneamente. Aunque el gradiente apunta

en la dirección de máximo incremento de la temperatura, no necesariamente apunta

hacia el punto más caliente de la placa. En otras palabras, el gradiente proporciona una

solución local para encontrar un incremento relativo de la temperatura en el punto 2, 3.

Una vez que se abandona esa posición, la dirección de máximo incremento puede cambiar.

EJEMPLO 6

Hallar la trayectoria de un rastreador térmico

Un rastreador térmico se encuentra en el punto 2, 3 sobre una placa metálica cuya temperatura

en x, y es

Tx, y 20 4x 2 y 2 .

Hallar la trayectoria del rastreador, si éste se mueve continuamente en dirección de máximo

incremento de temperatura.

Solución

Represéntese la trayectoria por la función de posición

rt xti ytj.

Curvas de nivel:

T(x, y) = 20 − 4x 2 − y 2

5

y

Un vector tangente en cada punto xt, yt está dado por

rt dx

dt i dy

dt j.

Como el rastreador busca el máximo incremento de temperatura, las direcciones de rt y

Tx, y 8xi 2yj son iguales en todo punto de la trayectoria. Así,

8x k dx

dt

y

2y k dy

dt

−3 3

−5

(2, −3)

Trayectoria seguida por un rastreador

térmico

Figura 13.52

x

donde k depende de t. Despejando en cada ecuación dtk e igualando los resultados, se

obtiene

dx

8x dy

2y .

La solución de esta ecuación diferencial es x Cy 4 . Como el rastreador comienza en el

punto 2, 3, se puede determinar que C 281. Por tanto, la trayectoria del rastreador

del calor es

x 2

81 y 4 .

La trayectoria se muestra en la figura 13.52.

En la figura 13.52, la trayectoria del rastreador (determinada por el gradiente en cada

punto) parece ser ortogonal a cada una de las curvas de nivel. Esto resulta claro cuando se

considera que la temperatura Tx, y es constante en cada una de las curvas de nivel. Así,

en cualquier punto x, y sobre la curva, la velocidad o razón de cambio de T en dirección

de un vector unitario tangente u es 0, y se puede escribir

fx, y u D u Tx, y 0.

u es un vector unitario tangente.

Puesto que el producto escalar de f x, y y u es 0, se puede concluir que deben ser ortogonales.

Este resultado se establece en el teorema siguiente.


TEOREMA 13.12

EL GRADIENTE ES NORMAL A LAS CURVAS DE NIVEL

Si f es diferenciable en x 0 , y 0 y fx 0 , y 0 0, entonces fx 0 , y 0 es normal

(ortogonal) a la curva de nivel que pasa por x 0 , y 0 .

EJEMPLO 7

Hallar un vector normal a una curva de nivel

Dibujar la curva de nivel que corresponde a c 0 para la función dada por

fx, y y sen sin x

y hallar un vector normal a varios puntos de la curva.

Solución La curva de nivel para c 0 está dada por

0 y sen sin x

y sen sin x

como se muestra en la figura 13.53a. Como el vector gradiente de f en x, y es

fx, y f x x, yi f y x, yj

se puede utilizar el teorema 13.12 para concluir que fx, y es normal a la curva de nivel

en el punto (x, y). Algunos vectores gradiente son

f, 0 i j

f 2

3 , 3 2 1 2 i j

f

2 , 1 j

f

3 , 3 2 1 2 i j

f0, 0 i j

f

3 , 3

2 1 2 i j

f

2 , 1 j.

cos xi j

Estos vectores se muestran en la figura 13.53b.

z

4

y

3

El gradiente

es normal a la

curva de nivel

x

π

−4

4

−π

y

−π

2

1

−2

π π

2

y − sen x = 0

x

−4

−3

a) La superficie está dada por f (x, y) y sen x

Figura 13.53

b) La curva de nivel está dada por fx, y 0.


Funciones de tres variables

13.6 Directional Derivatives and Gradients 941

Las definiciones de derivada direccional y gradiente se pueden extender de manera natural

Functions a funciones de of tres Three o más Variables

variables. Como a menudo pasa, algo de la interpretación

geométrica The definitions se pierde of the al generalizar directional derivative funciones and de dos the gradient variables can a funciones be extended naturally tres variables.

to Por functions ejemplo, of no three se or puede more interpretar variables. la As derivada often happens, direccional some de una of the función geometric de tres

variables interpretation como una is lost pendiente. in the generalization from functions of two variables to those of

three Las definiciones variables. For y propiedades example, you de la cannot derivada interpret direccional the directional y del gradiente derivative una of función

function de tres of variables three variables se dan en to el represent resumen slope. siguiente.

a

The definitions and properties of the directional derivative and the gradient of a

function of three variables are given in the following summary.

DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE PARA FUNCIONES DE TRES VARIABLES

Sea DIRECTIONAL f una función de DERIVATIVE x, y y z, con AND derivadas GRADIENT parciales FOR de THREE primer VARIABLES orden continuas. La

derivada

Let f be

direccional

a function

de

of

f

x,

en

y,

dirección

and z, with

de

continuous

un vector unitario

first partial

u

derivatives.

ai bj

The

ck está

dada

directional

por

derivative of f in the direction of a unit vector u ai bj ck

is Dgiven u fx, y, byz af x x, y, z bf y x, y, z cf z x, y, z.

El gradiente D u fx, de y, f zse define af x x, como y, z bf y x, y, z cf z x, y, z .

The fx, gradient y, z fof x x, f is y, defined zi f y x, as y, zj f z x, y, zk.

Las propiedades fx, y, zdel gradiente f x x, y, z ison:

f y x, y, z j f z x, y, z k.

1. DProperties u fx, y, zof fx, the gradient y, z are u as follows.

2. Si 1. fx, D u fx, y, z y, z 0, entonces f x, y, zD u ufx, y, z 0 para toda u.

3. La 2. dirección If f x, y, de z máximo 0, then incremento D u fx, y, zde f está 0 for dada all u. por fx, y, z. El valor máximo

3. The

de D

direction u fx, y, z

of

es

maximum increase of f is given by fx, y, z . The maximum

value fx, of y, Dz.

u fx, y, z isValor máximo de D u fx, y, z.

4. La dirección fx, de y, mínimo z . incremento Maximum de value f está of dada D u fx, por y, z fx, y, z. El valor mínimo

4. The

de D

direction u fx, y, z

of

es

minimum increase of f is given by fx, y, z . The minimum

fx,

value

y, z.

of D u fx, y, z is

Valor mínimo de D u fx, y, z.

fx, y, z . Minimum value of D u fx, y, z

z

8

6

4

2

(2, −1, 1)

−6 −4 2 2 4

y

6

x −2

−4

∇f(2, −1, 1) = 4i − 2j − 4k

Superficie de nivel y vector gradiente en

2, 1, 1 para f x, y, z x 2 y 2 4z

Figura 13.54

NOTA El teorema 13.12 se puede generalizar a funciones de tres variables. Bajo las hipótesis adecuadas,

NOTE You can generalize Theorem 13.12 to functions of three variables. Under suitable

hypotheses,

fx 0 , y 0 , z 0

fx 0 , y 0 , z 0

es normal a la superficie de nivel a través de x 0 , y 0 , z 0 .

■

is normal to the level surface through x 0 , y 0 , z 0 .

EJEMPLO 8 Hallar el gradiente para una función de tres variables

EXAMPLE 8 Finding the Gradient for a Function of Three Variables

Hallar fx, y, z para la función dada por

Find fx, y, z for the function given by

fx, y, z x 2 y 2 4z

fx, y, z x 2 y 2 4z

y hallar la dirección de máximo incremento de f en el punto 2, 1, 1.

and find the direction of maximum increase of f at the point 2, 1, 1 .

Solución SolutionEl The vector gradient gradiente vector está is dado given por by

fx, fx, y, z y, z f x x, f y, zi f y x, y, zj f z x, y, zk

x x, y, z i f y x, y, z j f z x, y, z k

2x i2x i 2y j2y j 4k. 4k.

Por So, tanto, it follows la dirección that the de direction máximo of incremento maximum en increase 2, 1, at 1 2, es 1, 1 is

f2, f 1, 2, 1 1, 1 4 i 4i 2 j 2 j 4 k. 4 k.

See Ver Figure la figura 13.54. 13.54.

En los ejercicios 1 a 12, hallar la derivada direccional de la función

en en dirección de v.


en dirección de


en

en dirección de

En los ejercicios 21 a 26, hallar el gradiente de la función en el

punto dado.

En los ejercicios 27 a 30, utilizar el gradiente para hallar la

derivada direccional de la función en

en la dirección de

En los ejercicios 31 a 40, hallar el gradiente de la función y el

valor máximo de la derivada direccional en el punto dado.

En los ejercicios 41 a 46, utilizar la función

41. Dibujar la gráfica de en el primer octante y marcar el punto

(3, 2, 1) sobre la superficie.

42. Hallar donde usando cada

valor dado de q.

a) b)

c) d)

43. Hallar donde usando cada vector v dado.

a)

b)

c) es el vector que va de a

d) es el vector que va de a

44. Hallar

45. Hallar el valor máximo de la derivada direccional en (3, 2).

46. Hallar un vector unitario de u ortogonal a y calcular

Analizar el significado geométrico del resultado.

D u f3, 2.

f3, 2

fx, y.

4, 5.

3, 2

v

2, 6.

1, 2

v

v 3i 4j

v i j

In Exercises 1–12, find the directional derivative of the function

at in the direction of v.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

In Exercises 13–16, find the directional derivative of the

function in the direction of the unit vector

13.

14.

15.

16.


function at

in the direction of

17.

18.

19.

20.

In Exercises 21–26, find the gradient of the function at the given

point.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

In Exercises 27–30, use the gradient to find the directional

derivative of the function at

in the direction of

27.

28.

29.

30.

In Exercises 31–40, find the gradient of the function and the

maximum value of the directional derivative at the given point.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

In Exercises 41– 46, consider the function

41. Sketch the graph of in the first octant and plot the point

on the surface.

42. Find where each given

value of

(a)

(b)

(c)

(d)

43. Find where using each given vector

(a)

(b)

(c) is the vector from to

(d) is the vector from to

44. Find

45. Find the maximum value of the directional derivative at

46. Find a unit vector orthogonal to and calculate

Discuss the geometric meaning of the result.

D u f 3, 2 .

f 3, 2

u

3, 2 .

fx, y .

4, 5 .

3, 2

v

2, 6 .

1, 2

v

v 3i 4j

v i j

v.

u

v

v ,

D u f 3, 2 ,

6

4

3

2

3

4

.

u cos i sen j,

D u f 3, 2 ,

3, 2, 1

f

fx, y 3

x

3

y

2 .

2, 0, 4

f x, y, z xe yz 2, 1, 1

w xy 2 z 2 0, 0, 0

w

1

1 x 2 y 2 z 2 1, 4, 2

f x, y, z x 2 y 2 z 2 1, 2

g x, y ln 3 x 2 y 2 0, 5

g x, y ye x 0, 3

hx, y y cos x y

2, 4

hx, y

x tan y

0, 1

f x, y

x

y

y 1

1, 0

f x, y x 2 2xy

Punto

Función

P , 0 , Q 2 ,

f x, y sen 2x cos y,

P 0, 0 , Q 2, 1

f x, y e y sen x,

P 1, 4 , Q 3, 6

f x, y 3x 2 y 2 4,

P 1, 2 , Q 2, 3

g x, y x 2 y 2 1,

Q.

P

4, 3, 1

w x tan y z ,

1, 1, 2

w 3x 2 5y 2 2z 2 ,

3, 4

z cos x 2 y 2 ,

2, 3

z ln x 2 y ,

2, 0

g x, y 2xe yx ,

2, 1

f x, y 3x 5y 2 1,

P 1, 0, 0 , Q 4, 3, 1

h x, y, z ln x y z ,

P 2, 4, 0 , Q 0, 0, 0

g x, y, z xye z ,

P 0, , Q 2 , 0

f x, y cos x y ,

P 1, 1 , Q 4, 5

f x, y x 2 3y 2 ,

Q.

P

2

3

gx, y xe y ,

3

fx, y sen 2x y ,

6

fx, y

y

x y , 4

fx, y x 2 y 2 ,

u cos i + sen j.

P 4, 1, 1 , v 1, 2, 1

h x, y, z

x arctan yz,

P 2, 1, 1 , v 2, 1, 2

h(x, y, z

xyz,

P 1, 2, 1, v 2i j k

f x, y, z xy yz xz,

P 1, 1, 1 , v

3

3

i j k

f x, y, z x 2 y 2 z 2 ,

P 0, 0 , v i j

h x, y e x2 y 2 ,

P 3, 4 , v 3i 4j

g x, y x 2 y 2 ,

P 1, 0 , v

j

g x, y

arccos xy,

P 1, 2 , v

i

h x, y e x sen y,

P 1, 1 , v

j

f x, y

x

y , P 0, 2, v

1

2 i 3j

f x, y

xy,

P 4, 3 , v

2

2

i

j

f x, y x 3 y 3 ,

P 1, 2 , v

3

5 i 4

5 j

f x, y 3x 4xy 9y,

P



D u f3, 2,

6

4

3

2

3

4



1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.



13.

14.

15.

16.


function at

in the direction of

17.

18.

19.

20.


point.

21.

22.

23.

24.

25.

26.



in the direction of

27.

28.

29.

30.



31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.



on the surface.


value of

(a)

(b)

(c)

(d)


(a)

(b)



44. Find




D u f 3, 2 .

f 3, 2

u

3, 2 .

fx, y .

4, 5 .

3, 2

v

2, 6 .

1, 2

v

v 3i 4j

v i j

v.

u

v

v ,

D u f 3, 2 ,

6

4

3

2

3

4

.

u cos i sen j,

D u f 3, 2 ,

3, 2, 1

f

fx, y 3

x

3

y

2 .

2, 0, 4

f x, y, z xe yz 2, 1, 1

w xy 2 z 2 0, 0, 0

w

1

1 x 2 y 2 z 2 1, 4, 2

f x, y, z x 2 y 2 z 2 1, 2

g x, y ln 3 x 2 y 2 0, 5

g x, y ye x 0, 3

hx, y y cos x y

2, 4

hx, y

x tan y

0, 1

f x, y

x

y

y 1

1, 0

f x, y x 2 2xy

Punto

Función

P , 0 , Q 2 ,


P 0, 0 , Q 2, 1

f x, y e y sen x,

P 1, 4 , Q 3, 6

f x, y 3x 2 y 2 4,

P 1, 2 , Q 2, 3

g x, y x 2 y 2 1,

Q.

P

4, 3, 1

w x tan y z ,

1, 1, 2

w 3x 2 5y 2 2z 2 ,

3, 4

z cos x 2 y 2 ,

2, 3

z ln x 2 y ,

2, 0

g x, y 2xe yx ,

2, 1

f x, y 3x 5y 2 1,

P 1, 0, 0 , Q 4, 3, 1


P 2, 4, 0 , Q 0, 0, 0

g x, y, z xye z ,

P 0, , Q 2 , 0

f x, y cos x y ,

P 1, 1 , Q 4, 5

f x, y x 2 3y 2 ,

Q.

P

2

3

gx, y xe y ,

3

fx, y sen 2x y ,

6

fx, y

y

x y , 4

fx, y x 2 y 2 ,

u cos i + sen j.

P 4, 1, 1 , v 1, 2, 1

h x, y, z

x arctan yz,

P 2, 1, 1 , v 2, 1, 2

h(x, y, z

xyz,

P 1, 2, 1, v 2i j k

f x, y, z xy yz xz,

P 1, 1, 1 , v

3

3

i j k

f x, y, z x 2 y 2 z 2 ,

P 0, 0 , v i j

h x, y e x2 y 2 ,

P 3, 4 , v 3i 4j

g x, y x 2 y 2 ,

P 1, 0 , v

j

g x, y

arccos xy,

P 1, 2 , v

i

h x, y e x sen y,

P 1, 1 , v

j

f x, y

x

y , P 0, 2, v

1

2 i 3j

f x, y

xy,

P 4, 3 , v

2

2

i

j

f x, y x 3 y 3 ,

P 1, 2 , v

3

5 i 4

5 j

f x, y 3x 4xy 9y,

P



D u f 3, 2,

f

fx, y 3 x 3 y 2 .

Q.

P

Q.

P

u cos

i sin

j.

P

13.6 Ejercicios




1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.



13.

14.

15.

16.


function at

in the direction of

17.

18.

19.

20.


point.

21.

22.

23.

24.

25.

26.



in the direction of

27.

28.

29.

30.



31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.



on the surface.


value of

(a)

(b)

(c)

(d)


(a)

(b)



44. Find




D u f 3, 2 .

f 3, 2

u

3, 2 .

fx, y .

4, 5 .

3, 2

v

2, 6 .

1, 2

v

v 3i 4j

v i j

v.

u

v

v ,

D u f 3, 2 ,

6

4

3

2

3

4

.

u cos i sen j,

D u f 3, 2 ,

3, 2, 1

f

fx, y 3

x

3

y

2 .

2, 0, 4

f x, y, z xe yz 2, 1, 1

w xy 2 z 2 0, 0, 0

w

1

1 x 2 y 2 z 2 1, 4, 2

f x, y, z x 2 y 2 z 2 1, 2

g x, y ln 3 x 2 y 2 0, 5

g x, y ye x 0, 3

hx, y y cos x y

2, 4

hx, y

x tan y

0, 1

f x, y

x

y

y 1

1, 0

f x, y x 2 2xy

Punto

Función

P , 0 , Q 2 ,


P 0, 0 , Q 2, 1

f x, y e y sen x,

P 1, 4 , Q 3, 6

f x, y 3x 2 y 2 4,

P 1, 2 , Q 2, 3

g x, y x 2 y 2 1,

Q.

P

4, 3, 1

w x tan y z ,

1, 1, 2

w 3x 2 5y 2 2z 2 ,

3, 4

z cos x 2 y 2 ,

2, 3

z ln x 2 y ,

2, 0

g x, y 2xe yx ,

2, 1

f x, y 3x 5y 2 1,

P 1, 0, 0 , Q 4, 3, 1


P 2, 4, 0 , Q 0, 0, 0

g x, y, z xye z ,

P 0, , Q 2 , 0

f x, y cos x y ,

P 1, 1 , Q 4, 5

f x, y x 2 3y 2 ,

Q.

P

2

3

gx, y xe y ,

3

fx, y sen 2x y ,

6

fx, y

y

x y , 4

fx, y x 2 y 2 ,

u cos i + sen j.

P 4, 1, 1 , v 1, 2, 1

h x, y, z

x arctan yz,

P 2, 1, 1 , v 2, 1, 2

h(x, y, z

xyz,

P 1, 2, 1 , v 2i j k

f x, y, z xy yz xz,

P 1, 1, 1 , v

3

3

i j k

f x, y, z x 2 y 2 z 2 ,

P 0, 0 , v i j

h x, y e x2 y 2 ,

P 3, 4 , v 3i 4j

g x, y x 2 y 2 ,

P 1, 0 , v

j

g x, y

arccos xy,

P 1, 2 , v

i

h x, y e x sen y,

P 1, 1 , v

j

f x, y

x

y , P 0, 2 , v

1

f x, y xy, P 4, 3 , v 2 i 3j

2

2

i

j

f x, y x 3 y 3 ,

P 1, 2 , v

3

5 i 4

5 j

f x, y 3x 4xy 9y,

P





1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.



13.

14.

15.

16.


function at

in the direction of

17.

18.

19.

20.


point.

21.

22.

23.

24.

25.

26.



in the direction of

27.

28.

29.

30.



31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.



on the surface.


value of

(a)

(b)

(c)

(d)


(a)

(b)



44. Find




D u f 3, 2 .

f 3, 2

u

3, 2 .

fx, y .

4, 5 .

3, 2

v

2, 6 .

1, 2

v

v 3i 4j

v i j

v.

u

v

v ,

D u f 3, 2 ,

6

4

3

2

3

4

.

u cos i sen j,

D u f 3, 2 ,

3, 2, 1

f

fx, y 3

x

3

y

2 .

2, 0, 4

f x, y, z xe yz 2, 1, 1

w xy 2 z 2 0, 0, 0

w

1

1 x 2 y 2 z 2 1, 4, 2

f x, y, z x 2 y 2 z 2 1, 2

g x, y ln 3 x 2 y 2 0, 5

g x, y ye x 0, 3

hx, y y cos x y

2, 4

hx, y

x tan y

0, 1

f x, y

x

y

y 1

1, 0

f x, y x 2 2xy

Punto

Función

P , 0 , Q 2 ,


P 0, 0 , Q 2, 1

f x, y e y sen x,

P 1, 4 , Q 3, 6

f x, y 3x 2 y 2 4,

P 1, 2 , Q 2, 3

g x, y x 2 y 2 1,

Q.

P

4, 3, 1

w x tan y z ,

1, 1, 2

w 3x 2 5y 2 2z 2 ,

3, 4

z cos x 2 y 2 ,

2, 3

z ln x 2 y ,

2, 0

g x, y 2xe yx ,

2, 1

f x, y 3x 5y 2 1,

P 1, 0, 0 , Q 4, 3, 1


P 2, 4, 0 , Q 0, 0, 0

g x, y, z xye z ,

P 0, , Q 2 , 0

f x, y cos x y ,

P 1, 1 , Q 4, 5

f x, y x 2 3y 2 ,

Q.

P

2

3

g x, y xe y ,

3

f x, y sen 2x y ,

6

f x, y

y

x y , 4

f x, y x 2 y 2 ,

u cos i + sen j.

P 4, 1, 1 , v 1, 2, 1

h x, y, z

x arctan yz,

P 2, 1, 1 , v 2, 1, 2

h(x, y, z

xyz,

P 1, 2, 1, v 2i j k

f x, y, z xy yz xz,

P 1, 1, 1 , v

3

3

i j k

f x, y, z x 2 y 2 z 2 ,

P 0, 0 , v i j

h x, y e x2 y 2 ,

P 3, 4 , v 3i 4j

g x, y x 2 y 2 ,

P 1, 0 , v

j

g x, y

arccos xy,

P 1, 2 , v

i

h x, y e x sen y,

P 1, 1 , v

j

f x, y

x

y , P 0, 2, v

1

2 i 3j

f x, y

xy,

P 4, 3 , v

2

2

i

j

f x, y x 3 y 3 ,

P 1, 2 , v

3

5 i 4

5 j

f x, y 3x 4xy 9y,

P





1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.



13.

14.

15.

16.


function at

in the direction of

17.

18.

19.

20.


point.

21.

22.

23.

24.

25.

26.



in the direction of

27.

28.

29.

30.



31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.



on the surface.


value of

(a)

(b)

(c)

(d)


(a)

(b)



44. Find




D u f 3, 2 .

f 3, 2

u

3, 2 .

fx, y .

4, 5 .

3, 2

v

2, 6 .

1, 2

v

v 3i 4j

v i j

v.

u

v

v ,

D u f 3, 2 ,

6

4

3

2

3

4

.

u cos i sen j,

D u f 3, 2 ,

3, 2, 1

f

fx, y 3

x

3

y

2 .

2, 0, 4

f x, y, z xe yz 2, 1, 1

w xy 2 z 2 0, 0, 0

w

1

1 x 2 y 2 z 2 1, 4, 2

f x, y, z x 2 y 2 z 2 1, 2

g x, y ln 3 x 2 y 2 0, 5

g x, y ye x 0, 3

hx, y y cos x y

2, 4

hx, y

x tan y

0, 1

f x, y

x

y

y 1

1, 0

f x, y x 2 2xy

Punto

Función

P , 0 , Q 2 ,


P 0, 0 , Q 2, 1

f x, y e y sen x,

P 1, 4 , Q 3, 6

f x, y 3x 2 y 2 4,

P 1, 2 , Q 2, 3

g x, y x 2 y 2 1,

Q.

P

4, 3, 1

w x tan y z ,

1, 1, 2

w 3x 2 5y 2 2z 2 ,

3, 4

z cos x 2 y 2 ,

2, 3

z ln x 2 y ,

2, 0

g x, y 2xe yx ,

2, 1

f x, y 3x 5y 2 1,

P 1, 0, 0 , Q 4, 3, 1


P 2, 4, 0 , Q 0, 0, 0

g x, y, z xye z ,

P 0, , Q 2 , 0

f x, y cos x y ,

P 1, 1 , Q 4, 5

f x, y x 2 3y 2 ,

Q.

P

2

3

gx, y xe y ,

3

fx, y sen 2x y ,

6

fx, y

y

x y , 4

fx, y x 2 y 2 ,

u cos i + sen j.

P 4, 1, 1 , v 1, 2, 1

h x, y, z

x arctan yz,

P 2, 1, 1 , v 2, 1, 2

h(x, y, z

xyz,

P 1, 2, 1, v 2i j k

f x, y, z xy yz xz,

P 1, 1, 1 , v

3

3

i j k

f x, y, z x 2 y 2 z 2 ,

P 0, 0 , v i j

h x, y e x2 y 2 ,

P 3, 4 , v 3i 4j

g x, y x 2 y 2 ,

P 1, 0 , v

j

g x, y

arccos xy,

P 1, 2 , v

i

h x, y e x sen y,

P 1, 1 , v

j

f x, y

x

y , P 0, 2, v

1

2 i 3j

f x, y

xy,

P 4, 3 , v

2

2

i

j

f x, y x 3 y 3 ,

P 1, 2 , v

3

5 i 4

5 j

fx, y 3x 4xy 9y,

P





1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.



13.

14.

15.

16.


function at

in the direction of

17.

18.

19.

20.


point.

21.

22.

23.

24.

25.

26.



in the direction of

27.

28.

29.

30.



31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.



on the surface.


value of

(a)

(b)

(c)

(d)


(a)

(b)



44. Find




D u f 3, 2 .

f 3, 2

u

3, 2 .

fx, y .

4, 5 .

3, 2

v

2, 6 .

1, 2

v

v 3i 4j

v i j

v.

u

v

v ,

D u f 3, 2 ,

6

4

3

2

3

4

.

u cos i sen j,

D u f 3, 2 ,

3, 2, 1

f

fx, y 3

x

3

y

2 .

2, 0, 4

f x, y, z xe yz 2, 1, 1

w xy 2 z 2 0, 0, 0

w

1

1 x 2 y 2 z 2 1, 4, 2

f x, y, z x 2 y 2 z 2 1, 2

g x, y ln 3 x 2 y 2 0, 5

g x, y ye x 0, 3

hx, y y cos x y

2, 4

hx, y

x tan y

0, 1

f x, y

x

y

y 1

1, 0

f x, y x 2 2xy

Punto

Función

P , 0 , Q 2 ,


P 0, 0 , Q 2, 1

f x, y e y sen x,

P 1, 4 , Q 3, 6

f x, y 3x 2 y 2 4,

P 1, 2 , Q 2, 3

g x, y x 2 y 2 1,

Q.

P

4, 3, 1

w x tan y z ,

1, 1, 2

w 3x 2 5y 2 2z 2 ,

3, 4

z cos x 2 y 2 ,

2, 3

z ln x 2 y ,

2, 0

g x, y 2xe y x ,

2, 1

f x, y 3x 5y 2 1,

P 1, 0, 0 , Q 4, 3, 1


P 2, 4, 0 , Q 0, 0, 0

g x, y, z xye z ,

P 0, , Q 2 , 0

f x, y cos x y ,

P 1, 1 , Q 4, 5

f x, y x 2 3y 2 ,

Q.

P

2

3

gx, y xe y ,

3

fx, y sen 2x y ,

6

fx, y

y

x y , 4

fx, y x 2 y 2 ,

u cos i + sen j.

P 4, 1, 1 , v 1, 2, 1

h x, y, z

x arctan yz,

P 2, 1, 1 , v 2, 1, 2

h(x, y, z

xyz,

P 1, 2, 1, v 2i j k

f x, y, z xy yz xz,

P 1, 1, 1 , v

3

3

i j k

f x, y, z x 2 y 2 z 2 ,

P 0, 0 , v i j

h x, y e x2 y 2 ,

P 3, 4 , v 3i 4j

g x, y x 2 y 2 ,

P 1, 0 , v

j

g x, y

arccos xy,

P 1, 2 , v

i

h x, y e x sen y,

P 1, 1 , v

j

f x, y

x

y , P 0, 2, v

1

2 i 3j

f x, y

xy,

P 4, 3 , v

2

2

i

j

f x, y x 3 y 3 ,

P 1, 2 , v

3

5 i 4

5 j

f x, y 3x 4xy 9y,

P





1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.



13.

14.

15.

16.


function at

in the direction of

17.

18.

19.

20.


point.

21.

22.

23.

24.

25.

26.



in the direction of

27.

28.

29.

30.



31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.



on the surface.


value of

(a)

(b)

(c)

(d)


(a)

(b)



44. Find




D u f 3, 2 .

f 3, 2

u

3, 2 .

fx, y .

4, 5 .

3, 2

v

2, 6 .

1, 2

v

v 3i 4j

v i j

v.

u

v

v ,

D u f 3, 2 ,

6

4

3

2

3

4

.

u cos i sen j,

D u f 3, 2 ,

3, 2, 1

f

fx, y 3

x

3

y

2 .

2, 0, 4

f x, y, z xe yz 2, 1, 1

w xy 2 z 2 0, 0, 0

w

1

1 x 2 y 2 z 2 1, 4, 2

f x, y, z x 2 y 2 z 2 1, 2

g x, y ln 3 x 2 y 2 0, 5

g x, y ye x 0, 3

hx, y y cos x y

2, 4

hx, y

x tan y

0, 1

f x, y

x

y

y 1

1, 0

f x, y x 2 2xy

Punto

Función

P , 0 , Q 2 ,


P 0, 0 , Q 2, 1

f x, y e y sen x,

P 1, 4 , Q 3, 6

f x, y 3x 2 y 2 4,

P 1, 2 , Q 2, 3

g x, y x 2 y 2 1,

Q.

P

4, 3, 1

w x tan y z ,

1, 1, 2

w 3x 2 5y 2 2z 2 ,

3, 4

z cos x 2 y 2 ,

2, 3

z ln x 2 y ,

2, 0

g x, y 2xe yx ,

2, 1

f x, y 3x 5y 2 1,

P 1, 0, 0 , Q 4, 3, 1


P 2, 4, 0 , Q 0, 0, 0

g x, y, z xye z ,

P 0, , Q 2 , 0

f x, y cos x y ,

P 1, 1 , Q 4, 5

f x, y x 2 3y 2 ,

Q.

P

2

3

gx, y xe y ,

3

fx, y sen 2x y ,

6

fx, y

y

x y , 4

fx, y x 2 y 2 ,

u cos i + sen j.

P 4, 1, 1 , v 1, 2, 1

h x, y, z

x arctan yz,

P 2, 1, 1 , v 2, 1, 2

h(x, y, z

xyz,

P 1, 2, 1, v 2i j k

f x, y, z xy yz xz,

P 1, 1, 1 , v

3

3

i j k

f x, y, z x 2 y 2 z 2 ,

P 0, 0 , v i j

h x, y e x2 y 2 ,

P 3, 4 , v 3i 4j

g x, y x 2 y 2 ,

P 1, 0 , v

j

g x, y

arccos xy,

P 1, 2 , v

i

h x, y e x sen y,

P 1, 1 , v

j

f x, y

x

y , P 0, 2, v

1

2 i 3j

f x, y

xy,

P 4, 3 , v

2

2

i

j

f x, y x 3 y 3 ,

P 1, 2 , v

3

5 i 4

5 j

fx, y 3x 4xy 9y,

P





1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.



13.

14.

15.

16.


function at

in the direction of

17.

18.

19.

20.


point.

21.

22.

23.

24.

25.

26.



in the direction of

27.

28.

29.

30.



31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.



on the surface.


value of

(a)

(b)

(c)

(d)


(a)

(b)



44. Find




D u f 3, 2 .

f 3, 2

u

3, 2 .

fx, y .

4, 5 .

3, 2

v

2, 6 .

1, 2

v

v 3i 4j

v i j

v.

u

v

v ,

D u f 3, 2 ,

6

4

3

2

3

4

.

u cos i sen j,

D u f 3, 2 ,

3, 2, 1

f

fx, y 3

x

3

y

2 .

2, 0, 4

f x, y, z xe yz 2, 1, 1

w xy 2 z 2 0, 0, 0

w

1

1 x 2 y 2 z 2 1, 4, 2

f x, y, z x 2 y 2 z 2 1, 2

g x, y ln 3 x 2 y 2 0, 5

g x, y ye x 0, 3

h x, y y cos x y

2, 4

h x, y

x tan y

0, 1

f x, y

x

y

y 1

1, 0

f x, y x 2 2xy

Punto

Función

P , 0 , Q 2 ,


P 0, 0 , Q 2, 1

f x, y e y sen x,

P 1, 4 , Q 3, 6

f x, y 3x 2 y 2 4,

P 1, 2 , Q 2, 3

g x, y x 2 y 2 1,

Q.

P

4, 3, 1

w x tan y z ,

1, 1, 2

w 3x 2 5y 2 2z 2 ,

3, 4

z cos x 2 y 2 ,

2, 3

z ln x 2 y ,

2, 0

g x, y 2xe yx ,

2, 1

f x, y 3x 5y 2 1,

P 1, 0, 0 , Q 4, 3, 1


P 2, 4, 0 , Q 0, 0, 0

g x, y, z xye z ,

P 0, , Q 2 , 0

f x, y cos x y ,

P 1, 1 , Q 4, 5

f x, y x 2 3y 2 ,

Q.

P

2

3

gx, y xe y ,

3

fx, y sen 2x y ,

6

fx, y

y

x y , 4

fx, y x 2 y 2 ,

u cos i + sen j.

P 4, 1, 1 , v 1, 2, 1

h x, y, z

x arctan yz,

P 2, 1, 1 , v 2, 1, 2

h(x, y, z

xyz,

P 1, 2, 1, v 2i j k

f x, y, z xy yz xz,

P 1, 1, 1 , v

3

3

i j k

f x, y, z x 2 y 2 z 2 ,

P 0, 0 , v i j

h x, y e x2 y 2 ,

P 3, 4 , v 3i 4j

g x, y x 2 y 2 ,

P 1, 0 , v

j

g x, y

arccos xy,

P 1, 2 , v

i

h x, y e x sen y,

P 1, 1 , v

j

f x, y

x

y , P 0, 2, v

1

2 i 3j

f x, y

xy,

P 4, 3 , v

2

2

i

j

f x, y x 3 y 3 ,

P 1, 2 , v

3

5 i 4

5 j

f x, y 3x 4xy 9y,

P



sen

SECCIÓN 13.6 13.6 13.6 Directional Derivadas Derivatives direccionales and and y Gradients gradientes 943

943

13.6 Directional Derivatives and Gradients 943

Investigación

Investigation In En In Exercises los ejercicios 47 47 and and 47 y 48, 48, (a) (a) use utilizar use the the la graph gráfica to

to

para estimate Investigation estimar the the las components In componentes Exercises of of the the 47 del and vector 48, in in en the (a) the la use direction dirección the graph of of de the

the la to

tasa maximum estimate máxima rate the rate de components of of incremento increase of the en the la function vector función at in at the the en el direction given punto point. dado. of (b)

(b) the

Find b) Find maximum Hallar the the el gradiente rate of increase at at en the the el punto point the y and function and compararlo compare at the con it given it with el with estimado point. your

your (b)

del estimate Find inciso the in in a). part gradient part c) (a). ¿En (a). (c) (c) qué at In In the what dirección what point direction decrece and compare would más the the rápido it function with la función?

decreasing estimate Explicar. in at at part the the (a). greatest (c) In rate? what Explain. direction would the function be

your be

be

1

47.

decreasing fx, y 10x 1

f y

at 1

10 x

the 2 greatest

3xy y

rate? 2 , , 48.

Explain.

fx, fx, yy 2y 47. 2 yx,

1

f x, y

x 2 3xy y 2 , 48. fx, y 2y x,

1

1

47. 1, f1, 22

x, 2y

10 x 2 3xy y 2 , 48. 1, 1, fx, 22

2 y 2y x,

1, 2 z

1, z 2

3

z

z

z

1

1

1

3

3

1 2

1

1

3

3 y

3

3

y

x

x 3

1

2

2

3

x

2

3

3

Generado Generated Generado Generated con by Maple Maple

con by Maple

x

Generated by Maple

x

3

Generated by Maple

Generated by Maple

Generated by Maple

x

CAS

CAS49. 49. Investigación Investigation Considerar the the la function función

CAS 49. fx, Investigation

fx, yy x 2 y 2 Consider the function

fx, y x 2 y 2

at

fx,

en the

y

el punto point

x

4, 2 y

3, 2 1053714_1306.qxp at the point 10/27/08 4, 3, 77.

712:08 .

. PM Page 943

(a) (a) at Utilizar Use the Use point a a un computer sistema 4, 3, 7 algebraico .

por system computadora to to graph para the the dibujar surface la

(a) superficie represented Use a dada computer by by por the the esa function. algebra función. system to graph the surface

(b) (b) Determinar Determine represented la the the by derivada the directional function. direccional derivative D u f4, D u f3

4, como 3 as función

function Determine de , of of donde ,

, the where udirectional u ucos cos cos i derivative

i isen

sin sen sen j. Utilizar j.

j. DUse a u

a

u f 4, 3

as a

(b) Use f 4, a un computer 3sistema

as a

algebraico function system por of computadora , to where to graph uthe the para cos function representar i on on the the j.

interval gráficamente Use a computer 0, 0, 2 2 . la

.

(c) (c)

función Approximate algebra en system el intervalo the the to zeros graph zeros

0, of the 2.

of the function the function the in in interval part part (b) (b) 0, and

2 and.

c) (c) Aproximar interpret Approximate each each los in ceros in the the de zeros context la función of of of the the the del function problem. inciso in b) e part interpretar (b) and

(d) (d)

cada Approximate interpret uno en each el the contexto the in critical the context del numbers

problema. of the of of the problem.

the function in in part part (b)

(b)

d) Aproximar and los each números in the críticos de of la the función Investigation (d) and Approximate interpret In each Exercises the critical in the 47 context numbers and of 48, of the the (a) problem. function use del the inciso graph part b) (b) e to

estimate (e) (e)

interpretar Find

Find and the interpret f fcomponents 4, cada 4, 3each uno 3 and in and the el of contexto

explain the vector its its of del the in relationship

problema. problem. the direction to to your

your of the

maximum e) (e) Hallar answers Find f4, rate in in fpart of 4, part 3 increase (d).

(d). 3 y explicar and in explain the su function relación its relationship con the las given respuestas to point. your (b)

Find (f) (f)

del Use Use answers the inciso a a gradient computer

d). in part at (d).

algebra

the point system

and to to graph

compare the the level level

it with curve

your

estimate f )(f) Utilizar of of Use the the

in a part function computer sistema (a). f

(c)

fat algebraico at the In the

what level level system por direction c ccomputadora 7. to 7. On graph On

would this this the para the curve, level representar

the the of gráficamente the vector

function graph curve

be

decreasing at

function

the in in

greatest the la the fcurva at direction the

rate? de level nivel Explain. of

of c de f f 4, 7.

4, función On 3,

3, this and and fcurve, en state state el nivel graph its

its

c 7. En esta 1 to curva, the level representar 47. 48.

gráficamente 1

f relationship x, the y vector fx, y

el vector en la

10 x 2 to in the 3xy level direction y curve. 2 , of f 4, 3, and

50. dirección de

f 4, 3, the y establecer su relación

2y x, state its

50. Investigation relationship con la curva

de

1,

nivel.

2

Consider to the level the curve.

function 1, 2

50. Investigation8y

Consider the function

50. fx, Investigación y

z

8y

Considerar la función

1 x 2 y 2. z

fx, y

1 x 8y 2 y

fx, y

2. 1 8y

(a) fx, y

1 x 2

1 x 2 2 y y 2 that 2. (a) Analytically verify that the the level level curve of

of fx, fx, y

yat at the the level

level

(a) c cAnalytically 2

2is is a a circle. verify that the level curve 1 of fx, y at the level

(b) a) (b)

Verificar At At c the the 2point

is point

analíticamente a circle. 3, 3, 2

2 on on

que the the

la level curva de nivel for de f(x, cy) para 2,

el nivel the c = 2 es un círculo. 3 y

level curve for which

c 2,

the 1 of the rate

y

3(b) sketch At the the point vector 3, showing 2 on the level direction curve of for the which greatest c rate 2,

3

b) En of of sketch el increase punto the 3, of vector of the the 2

showing sobre function. la curva (To the (To direction print print de nivel an an of para enlarged the greatest cual copy copy c = of rate

of 2,

x

dibujar the el vector go the que apunta en dirección

2

the of increase graph, go of to the function. website www.mathgraphs.com.)

(To print an de enlarged mayor copy tasa ofo

(c) (c)

ritmo At At the the the

de graph, point

incremento

point go 3, 3, the 2

de

2website on la on the función.

the level www.mathgraphs.com.)

level 3

curve, sketch a a vector

c) (c) En such such At el that punto the that the point

the 3, directional Generated 23, sobre 2by Maple

on derivative la the curva level de is 0. nivel, dibujar Generated el by Maple

x

is curve, 0. sketch a vector

CAS

(d) (d)

cuya Use Use

derivada a a computer

direccional algebra

sea system

0.

CAS such that the directional derivative to to is graph 0. the the surface to

to

CAS CAS49. d) (d) Utilizar Investigation verify Use your a your un computer sistema answers Consider algebraico in in parts parts the system function

(a)–(c). por computadora to graph the para surface representar

gráficamente la superficie y verificar las respuestas a

to

fx,

verify

y

your

x

los incisos a) 2 answers

y

a c).

2 in parts (a)–(c).

at the point 4, 3, 7 .

(a) Use a computer algebra system to graph the surface

represented by the function.

(b) Determine the directional derivative D f 4, 3 as a

y

y

1

1

z

z

z

2

2

y

y

In En In Exercises los ejercicios 51–54, a find find 54, a hallar a normal un vector normal to to the the a level level la curva curve de

f nivel fx, In x, y

Exercises yfx, c

cat

y at P. P. 51–54, c en P. find a normal vector to the level curve

51.

f x,

fx,

y

y

c at

6

P.

51. f x, y 6 2x 2x 3y

3y 52.

52. fx, f x, y y x 2 x 2 y y 2

2

51. c cfx, 6,

6, y P P0, 6 0, 0

02x 3y 52. c cfx, 25,

25, y P Px3, 2 3, 4

4y 2

c 6, P 0, 0

c 25, Px

53. f x, y xy

54. f x, y

x3, 4

53. f x, y

xy

54.

f x, y x 2 x 2 xy y 2

53. c c fx, y

3, 3, P xy

P 1, 1, 3

3

54. fx, 1

c 2 , y

2

1

c P 1, 1

2 ,

Px 1, 2 1 y 2

In En In Exercises los c ejercicios 3, 55–58, P (a) 1, a (a) 58, 3

1

c 2

find find a) the encontrar the gradient el gradiente of of the the , P 1, 1

function de la función at

at P,

P,

(b) en (b) In find P, find Exercises b) a a encontrar unit unit 55–58, normal un (a) vector find to to the normal the the gradient level level unitario curve of the fpara fx, x, function y

yla curva c

cat

at P,

de P,

(c) nivel (c) (b) find find f(x, the a the y) unit = tangent c normal P, line c) line encontrar vector the the to level the la level recta level tangente curve f fx, f x, yx, ya yla ccurva cat

c

at at P,

de P,

and nivel and (c)(d) find (d) f(x, sketch y) the = tangent cthe the level P, level y line d) curve, trazar to the la unit level curva unit normal curve de nivel, f vector, x, el yvector and and c at the uni-

the P,

tario tangent and (d) normal line line sketch in in y the

la the xy- recta xy- level plane. tangente curve, the en el unit plano normal xy. vector, and the

55.

tangent

fx, y

line

4x

in 2 the

y

xy-plane.

55. fx, f y 4x 2 y

56.

56. fx, fx, f y y x x y 2

y 2

55. c cfx, 6, 6, yP P2, 2, 4x 10

10

2 y

56. c cfx, 3, 3, yP P4, 4, x 1

1y 2

57. 57. fx, fx, fc y y6, P3x 3x 2, 2 2 102y 2y 2 2 58.

58. fx, fx, fc y y3, P9x 9x 4, 2 2 14y 4y 2

2

57. c cfx, 1, 1, yP P1, 1, 3x 1

1

2 2y 2 58. c cfx, 40, 40, y P P2, 9x 2, 2 1

1 4y 2

c 1, P 1, 1

c 40, P 2, 1



59. 59. WRITING Define the the ABOUT derivative CONCEPTS of of the the function z

z f fx, x, y

y in in the

the

59. 59. Definir direction Define la uthe uderivada derivative cos cos i i la sen of sen función the j.

j. function z f x, zy

en f la x, ydirección

in the

60. de

60. Write direction u a cos a paragraph ui cos sen sin ij.

describing sen j. the the directional derivative

60. 60. of Redactar of Write the the function a paragraph párrafo f

fin in the the que describing direction describa u uthe la derivada cos cos directional i i direccional sen sen derivative j

j

when

(a) la (a) of función the 0function 0and fand en (b)

(b) la f in dirección the 90 90 direction .

. de u u cos cos i i sen sin sen j cuando j when

61. a)

61. Define (a) the the 0

y gradient and b) (b) of of a a function 90 . of of two two variables. State State the

the

61. 61. Definir properties Define el the of gradiente of the the gradient. de of una a function función of de two dos variables. variables. State Dar the las

62. propiedades

62. Sketch properties the the of del graph the gradiente. of gradient.

of a a surface and and select a a point point P

Pon on the

the

62. 62. Dibujar surface. Sketch la the Sketch gráfica graph a a de vector of una a in surface in superficie the

the xy-

xy- and plane y select elegir giving un a point the punto the direction PP sobre the

of la of surface. superficie. steepest 13.6 Sketch ascent Directional

Dibujar a on vector the un the Derivatives

vector in surface the en xyat

P. el plane P. plano

and giving Gradients

xy que the indique direction la

943

63. dirección

63. Describe of steepest the de the ascent mayor relationship ascenso the of of surface the sobre the gradient at la P. superficie to the level en P.

to the level curves

63. 63. of Describir of Describe a a surface la the relación given relationship by by zdel z gradiente f fof x, x, the y y .

. gradient con las to curvas the level de nivel curves de

In una Exercises of a superficie surface 51–54, given dada by find por zza fnormal fx, x, y y. . vector to the level curve

f x, y c at P.

CAPSTONE

51. fx, y 6 2x 3y 52. fx, y x 2 y 2

64. Para 64. CAPSTONE

discusión

Consider the fx, y 9 x 2 y 2 .

c 6,

the

P 0, function

0

fx, y 9 x 2 c y 25,

2 .

P 3, 4

64. (a) Considerar (a) Sketch the la the función function

graph of

of f fx, fin yin the the 9first first x 2 octant y 2 and .

and plot plot the

x

the

53. a) (a) fx, Trazar point

point Sketch y 1, la xy 1, 2, gráfica the 2, 4

4graph on on the de the of f en surface. f in el the primer 54. first octante fx, y y and

x

graficar 2 plot

y 2 the el

(b) (b) c punto Find Find point

3, (1, D1, u 2, P f2, 1, 2 ,

u cos i

1

sen j, for

u f4) 1, 4

4.

1, sobre 2 on 3

, the la where superficie. surface.

u cos i

c 2 ,

sen j,

for

P 1, 1

b) (b) Encontrar Find DD u 4. f u f1, 22,

, where donde u cos

i sen sin j. j, para for

In (c) Exercises (c) q Repeat = –p/4. part 55–58, part 4. (b) (b) for (a) for find the 3.

3. gradient of the function at P,

(b) (d) c) (d) find (c) Repetir Find

Find Repeat a unit fel f1, normal part inciso 1, 2

2and

(b) and b) for vector para f f1, 1, q 2 to = 2 . the p/3.

. level curve f x, y c at P,

(c)

(e) d)

find

Find

the

a unit

tangent line

u

to the level

to f

curve

1, 2 and

f x, y c at P,

(e) (d) Encontrar Find Find

a unit f f1, vector 2 2 and y

uf1, orthogonal f 22.

.

to

f 1, 2

and calculate

and (d) sketch

u f 1, 2 .

the level

the

curve, the unit normal

of

vector,

the and the

D tangent

e) (e) Encontrar Find

line u f 1, a unit 2 . Discuss the geometric meaning of the result.

in the

vector u

xy-plane.

unitario orthogonal u ortogonal f 1, 2para and f1, calculate 2 y

calcular D u f 1, D2 u f1, . Discuss 2. Discutir the geometric el significado meaning geométrico of the result. del

55. fx, resultado. y 4x 2 y

56. fx, y x y 2

65. 65. Temperature The at the point x, y

c 6, P 2, Distribution 10

The temperature c 3, at Pthe 4, point 1

x, y

65. on on Temperature a a metal plate plate Distribution The temperature at the point x, y

57. fx, y 3x 58. fx, y 9x

65. Distribución

x

de 2 2y

temperatura 2 La temperatura en el punto 2 4y

on a metal plate is

(x, 2

y)

T

de cuna x 2 placa 1, x

T P

y 2. 1, metálica 1 es

c 40, P 2, 1

x 2 x

y

T

2. x

Find TWRITING the x 2

x 2 y

y 2. 2. ABOUT of CONCEPTS

Find the direction of greatest increase in in heat heat from from the the point

point

3, 59. Find 3, 4 4 . Define . the direction the derivative of greatest of the increase function in heat z from f x, ythe in point the

Hallar

direction

la dirección

u cos

de mayor

i sen

incremento

j.

de calor en el punto

3, 4 .

(3, 4).

60. Write a paragraph describing the directional derivative

of the function f in the direction u cos i sen j when

(a) 0 and (b) 90 .

0

90.

61. Define the gradient of a function of two variables. State the


66. Topografía La superficie de una montaña se modela mediante

la ecuación h(x, y) 5 000 0.001x 2 0.004y 2 . Un montañista

se encuentra en el punto (500, 300, 4 390). ¿En qué dirección

debe moverse para ascender con la mayor rapidez?

67. Topografía La figura muestra un mapa topográfico utilizado

por un grupo de excursionistas. Dibujar las trayectorias de

descenso más rápidas si los excursionistas parten del punto A y

si parten del punto B.

1671

A

B

1994

68. Meteorología Los meteorólogos miden la presión atmosférica

en milibares. A partir de estas observaciones elaboran mapas

climáticos en los que dibujan las curvas de igual presión atmosférica

(isobaras) (ver la figura). Son curvas de nivel de una función

Px, y que dan la presión en cualquier punto. Dibujar los

gradientes de las isobaras en los puntos A, B y C. Aunque no se

conocen las magnitudes de los gradientes, sus longitudes relativas

pueden estimarse. ¿En cuál de los tres puntos es la velocidad

del viento mayor si la velocidad del viento se incrementa

conforme el gradiente de presión aumenta?

1800

1800

CAS

b) Hallar las direcciones, sobre la placa en el punto (3, 5), en las

que no hay cambio en el calor.

c) Hallar la dirección de mayor incremento de calor en el punto

(3, 5).

72. Investigación Un equipo de oceanógrafos está elaborando un

mapa del fondo del océano para ayudar a recuperar un barco

hundido. Utilizando el sonido, desarrollan el modelo

y

D 250 30x 2 50 sen sin o

2 , x 2, 0 y 2

donde D es la profundidad en metros, y x y y son las distancias

en kilómetros.

a) Utilizar un sistema algebraico por computadora para representar


b) Como la gráfica del inciso a) da la profundidad, no es un mapa

del fondo del océano. ¿Cómo podría modificarse el modelo para

que se pudiera obtener una gráfica del fondo del océano?

c) ¿Cuál es la profundidad a la que se encuentra el barco si se

localiza en las coordenadas x 1 y y 0.5?

d) Determinar la pendiente del fondo del océano en la dirección

del eje x positivo a partir del punto donde se encuentra el

barco.

e) Determinar la pendiente del fondo del océano en la dirección

del eje y positivo en el punto donde se encuentra el barco.

f ) Determinar la dirección de mayor tasa de cambio de la profundidad

a partir del punto donde se encuentra el barco.




A

B

C

73. Si fx, y 1 x 2 y 2 , entonces D u f0, 0 0 para todo

vector unitario u.

74. Si fx, y x y, entonces 1 ≤ D u fx, y ≤ 1.

75. Si D u fx, y existe, entonces D u fx, y D u fx, y.

76. Si D u fx 0 , y 0 c para todo vector unitario u, entonces c 0.

77. Hallar una función f tal que

f e x cos y i e x sen sin y j z k.

Rastreador térmico En los ejercicios 69 y 70, hallar la trayectoria

de un rastreador térmico situado en el punto P de una placa

metálica con un campo de temperatura T(x, y).

Campo de temperatura

69. Tx, y 400 2x 2 y 2

70. Tx, y 100 x 2 2y 2

Punto

P10, 10

P4, 3

71. Temperatura La temperatura en el punto (x, y) de una placa

metálica se modela mediante

Tx, y 400e x2 y2

, x ≥ 0, y ≥ 0.

CAS a) Utilizar un sistema algebraico por computadora para representar

gráficamente la función de distribución de temperatura.


f x, y 4xy

x 2 y 2, x, y 0, 0

0, x, y 0, 0

y el vector unitario u

1 i j.

2

¿Existe la derivada direccional de f en P(0, 0) en la dirección

de u? Si f (0, 0) estuviera definido en 2 en vez de 0, ¿existiría la

derivada direccional?

79. Considerar la función f x, y xy.

3

a) Demostrar que f es continua en el origen.

b) Demostrar que f x

y f y

existen en el origen, pero que la derivada

direccional en el origen en todas las demás direcciones no

existe.

CAS c) Usar un sistema algebraico por computadora para graficar f

cerca del origen a fin de verificar las respuestas de los incisos

a) y b). Explicar.

SECCIÓN 13.7 Planos tangentes y rectas normales 945

13.7 Planos tangentes y rectas normales

■ Hallar ecuaciones de planos tangentes y rectas normales a superficies.

■ Hallar el ángulo de inclinación de una recta en el espacio.

■ Comparar los gradientes f x, y y Fx, y, z.

EXPLORACIÓN

Bolas de billar y rectas normales

En cada una de las tres figuras la

bola en movimiento está a punto de

golpear una bola estacionaria en el

punto P. Explicar cómo utilizar la

recta normal a la bola estacionaria

en el punto P para describir el

movimiento resultante en cada una

de las bolas. Suponiendo que todas

las bolas en movimiento tengan la

misma velocidad, ¿cuál de las bolas

estacionarias adquirirá mayor velocidad?

¿Cuál adquirirá menor velocidad?


Recta normal

a la bola

estacionaria

en el punto P

P

Recta normal

a la bola

estacionaria

en el punto P

P

Bola

estacionaria

Bola

estacionaria

Recta normal

a la bola

estacionaria

en el punto P

Bola en

movimiento

Bola en

movimiento

Plano tangente y recta normal a una superficie

Hasta ahora las superficies en el espacio se han representado principalmente por medio de

ecuaciones de la forma

z f x, y.

Ecuación de una superficie S.

Sin embargo, en el desarrollo que sigue, es conveniente utilizar la representación más general

Fx, y, z 0. Una superficie S dada por z f x, y, se puede convertir a la forma

general definiendo F como

Fx, y, z f x, y z.

Puesto que f x, y z 0, se puede considerar S como la superficie de nivel de F dada

por

Fx, y, z 0.

EJEMPLO 1

Dada la función

Ecuación alternativa de la superficie S.

Expresar una ecuación de una superficie

Fx, y, z x 2 y 2 z 2 4

describir la superficie de nivel dada por Fx, y, z 0.

Solución La superficie de nivel dada por Fx, y, z 0 puede expresarse como

x 2 y 2 z 2 4

la cual es una esfera de radio 2 centrada en el origen.

Se han visto muchos ejemplos acerca de la utilidad de rectas normales en aplicaciones

relacionadas con curvas. Las rectas normales son igualmente importantes al analizar superficies

y sólidos. Por ejemplo, considérese la colisión de dos bolas de billar. Cuando una bola

estacionaria es golpeada en un punto P de su superficie, se mueve a lo largo de la línea de

impacto determinada por P y por el centro de la bola. El impacto puede ser de dos maneras.

Si la bola que golpea se mueve a lo largo de la línea de impacto, se detiene y transfiere todo

su momento a la bola estacionaria, como se muestra en la figura 13.55. Si la bola que golpea

no se mueve a lo largo de la línea de impacto, se desvía a un lado o al otro y retiene

parte de su momento. La transferencia de parte de su momento a la bola estacionaria ocurre

a lo largo de la línea de impacto, sin tener en cuenta la dirección de la bola que golpea,

como se muestra en la figura 13.56. A esta línea de impacto se le llama recta normal a la

superficie de la bola en el punto P.

P

Línea de

impacto

Bola

estacionaria

Bola en

movimiento

Línea de

impacto

Línea de

impacto

Figura 13.55

Figura 13.56


Superficie S:

F(x, y, z) = 0

P(x 0 , y 0 , z 0 )

F

Plano tangente a la superficie S en P

Figura 13.57

En el proceso de hallar una recta normal a una superficie, se puede también resolver

el problema de encontrar un plano tangente a la superficie. Sea S una superficie dada por

Fx, y, z 0

y sea Px 0 , y 0 , z 0 un punto en S. Sea C una curva en S que pasa por P definida por la función

vectorial

rt xti y tj ztk.

Entonces, para todo t,

Fxt, yt, zt 0.

Si F es diferenciable y xt, y ¢(t) y zt existen, se sigue por la regla de la cadena que

0 Ft

F x x, y, zxt F y x, y, zyt F z x, y, zzt.

En x 0 , y 0 , z 0 , la forma vectorial equivalente es

0 Fx 0 , y 0 , z 0 rt 0 .

Gradiente

Vector

tangente

Este resultado significa que el gradiente en P es ortogonal al vector tangente de toda curva

en S que pase por P. Por tanto, todas las rectas tangentes en S se encuentran en un plano que

es normal a Fx 0 , y 0 , z 0 y contiene a P, como se muestra en la figura 13.57.

DEFINICIÓN DE PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL

Sea F diferenciable en un punto Px 0 , y 0 , z 0 de la superficie S dada por

Fx, y, z 0 tal que Fx 0 , y 0 , z 0 0.

1. Al plano que pasa por P y es normal a Fx 0 , y 0 , z 0 se le llama plano tangente a

S en P.

2. A la recta que pasa por P y tiene la dirección de Fx 0 , y 0 , z 0 se le llama recta

normal a S en P.

En el resto de esta sección, se supone Fx 0 , y 0 , z 0 π 0 a menos que se establezca lo con-

■

NOTA

trario.

Para hallar una ecuación para el plano tangente a S en x 0 , y 0 , z 0 , sea x, y, z un punto

arbitrario en el plano tangente. Entonces el vector

v x x 0 i y y 0 j z z 0 k

se encuentra en el plano tangente. Como Fx 0 , y 0 , z 0 es normal al plano tangente

en x 0 , y 0 , z 0 , debe ser ortogonal a todo vector en el plano tangente, y se tiene

Fx 0 , y 0 , z 0 v 0, lo que demuestra el resultado enunciado en el teorema siguiente.

TEOREMA 13.13

ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE

Si F es diferenciable en x 0 , y 0 , z 0 , entonces una ecuación del plano tangente a la

superficie dada por Fx, y, z 0 en x 0 , y 0 , z 0 es

F x x 0 , y 0 , z 0 x x 0 F y x 0 , y 0 , z 0 y y 0 F z x 0 , y 0 , z 0 z z 0 ) 0.


EJEMPLO 2

Hallar una ecuación de un plano tangente

Hallar una ecuación del plano tangente al hiperboloide

z 2 2x 2 2y 2 12

en el punto 1, 1, 4.

Solución

Se comienza por expresar la ecuación de la superficie como

z 2 2x 2 2y 2 12 0.

Superficie:

z 2 − 2x 2 − 2y 2 − 12 = 0

z

Después, considerando

Fx, y, z z 2 2x 2 2y 2 12

6

se tiene

5

F x x, y, z 4x, F y x, y, z 4y, and y F z x, y, z 2z.

En el punto 1, 1, 4 las derivadas parciales son

F(1, −1, 4)

F x 1, 1, 4 4, F y 1, 1, 4 4, and y F z 1, 1, 4 8.

Por tanto, una ecuación del plano tangente en 1, 1, 4 es

Plano tangente a la superficie

Figura 13.58

3

x

3

y

4x 1 4y 1 8z 4 0

4x 4 4y 4 8z 32 0

4x 4y 8z 24 0

x y 2z 6 0.

La figura 13.58 muestra una parte del hiperboloide y el plano tangente.

TECNOLOGÍA Algunas herramientas de graficación tridimensionales pueden representar

planos tangentes a superficies. He aquí dos ejemplos.

z

z

y

x

Generado con Mathematica

Esfera: x 2 y 2 z 2 1

y

x Generado con Mathematica

Paraboloide: z 2 x 2 y 2

Para hallar la ecuación del plano tangente en un punto a una superficie dada por

z f x, y, se define la función F mediante

Fx, y, z f x, y z.

Después se da S por medio de la superficie de nivel Fx, y, z 0, y por el teorema 13.13

una ecuación del plano tangente a S en el punto x 0 , y 0 , z 0 es

f x x 0 , y 0 x x 0 f y x 0 , y 0 y y 0 z z 0 0.


EJEMPLO 3

Hallar una ecuación del plano tangente

Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide

z 1 1

10 x2 4y 2

en el punto 1, 1, 1 2.

Solución De z f x, y 1 10x 1 2 4y 2 , se obtiene

f x x, y x 5

f x 1, 1 1 5

Superficie:

z = 1 −

1

(x 2 + 4y 2 )

10

z

2

1

( 1, 1, 2 )

−6

y

f yx, y 4y

5

f y 1, 1 4 5 .

Así, una ecuación del plano tangente en 1, 1, 1 2 es

−3

f x 1, 1x 1 f y 1, 1y 1 z 1 2 0

x

6

5

2

3

y

1 5 x 1 4 5 y 1 z 1 2 0

1 5 x 4 5 y z 3 2 0.

Figura 13.59

Este plano tangente se muestra en la figura 13.59.

El gradiente Fx, y, z proporciona una manera adecuada de obtener ecuaciones de

rectas normales, como se muestra en el ejemplo 4.

EJEMPLO 4

Hallar una ecuación de una recta normal

a una superficie

Hallar un conjunto de ecuaciones simétricas para la recta normal a la superficie dada por

xyz 12 en el punto 2, 2, 3.

Solución

Se comienza por hacer

Superficie: xyz = 12

z

−2

−4

−2

−4

−6

∇F(2, −2, −3)

Figura 13.60

2

4

x

2

4

y

Fx, y, z xyz 12.

Entonces, el gradiente está dado por

Fx, y, z F x x, y, zi F y x, y, zj F z x, y, zk

y en el punto 2, 2, 3 se tiene

F2, 2, –2, 3 –3 23i –2 –3 2(3j2 – 3 22k2 –2

La recta normal en 2, 2, 3 tiene números de dirección o directores 6, 6 y 4, y el

conjunto correspondiente de ecuaciones simétricas es

x 2

y 2

6 6 z 3

4 .


yzi xzj xyk

6i 6j 4k.


Saber que el gradiente Fx, 13.7 y, z es Tangent normal Planes a superficie and Normal F(x, Lines y, z) 0 949 permite

resolver diversos problemas relacionados con superficies y curvas en el espacio.

Elipsoide: x 2 + 2y 2 + 2z 2 = 20

z (0, 1, 3)

Recta tangente

Ellipsoid: x 2 + 2y 2 + 2z 4 2 = 20

Tangent line

z (0, 1, 3)

Tangent line

4

5

x

2

3

4 5 y

5

x

2

3

4 5 y

Paraboloide: x 2 + y 2 + z = 4

Figura 13.61

Figure Paraboloid: 13.61 x 2 + y 2 + z = 4

Figure 13.61

Knowing that the gradient Fx, y, z is normal to the surface given by

EJEMPLO Fx, y, z 50

allows Hallar you la ecuación to solve a variety de una of recta problems tangente dealing a with una surfaces curva and

curves in space.

Describir la recta tangente a la curva de intersección de las superficies

EXAMPLE x 2 2y 2 5 2zFinding 2 20 the Equation of Elipsoide. a Tangent Line to a Curve

x 2 y 2 z 4

Paraboloide.

Describe the tangent line to the curve of intersection of the surfaces

en el punto (0, 1, 3), como se muestra en la figura 13.61.

x 2 2y 2 2z 2 20

Ellipsoid

Soluciónx 2 Para y 2 comenzar, z 4 se calculan los gradientes Paraboloid de ambas superficies en el punto

(0,

at the

1, 3).

point (0, 1, 3), as shown in Figure 13.61.

Elipsoide

Paraboloide

Solution Begin by finding the gradients to both surfaces at the point (0, 1, 3).

Fx, y, z x 2 2y 2 2z 2 20 Gx, y, z x 2 y 2 z 4

Ellipsoid

Paraboloid

Fx, y, z 2xi 4yj 4zk Gx, y, z 2xi 2yj k

Fx, y, z x

F0, 1, 3 2 2y 2 2z 2 20 Gx, y, z x

4j 12k

G0, 1, 3 2 y 2 z 4

2j k

Fx, y, z 2xi 4yj 4zk

Gx, y, z 2xi 2yj k

El producto

F 0, 1,

vectorial

3 4j

de estos

12k

dos gradientes es un

G

vector

0, 1, 3

tangente

2j

a

k

ambas superficies en

el punto (0, 1, 3).

The cross product of these two gradients

is a vector

1

that is tangent to both surfaces at

the point 0, 1, 3 .

i j k

F0, 1, 3 G0, 1, 3 0 4 12 20i.

0i

2j

k

F 0, 1, 3 G 0, 1, 3 0 4 12 20i

Por tanto, la recta tangente a la curva

0

de

2

intersección

1

de las dos superficies en el punto

(0, 1, 3) es una recta paralela al eje x y que pasa por el punto (0, 1, 3).

So, the tangent line to the curve of intersection of the two surfaces at the point 0, 1, 3

is a line that is parallel to the x-axis and passes through the point 0, 1, 3 .

El ángulo de inclinación de un plano

The Angle of Inclination of a Plane

Otro uso del gradiente Fx, y, z es determinar el ángulo de inclinación del plano tangente

a una superficie. El ángulo de inclinación de un plano se define como el ángulo

Another 0 use of 2the entre

gradient

el plano

Fx,

dado

y, z

y

is

el

to

plano

determine

xy, como

the angle

se muestra

of inclination

en la figura

of the

13.62.

(El

tangent

ángulo

plane

de inclinación

to a surface.

de

The

un

angle

plano horizontal

of inclination

es por

of

definición

a plane is defined

cero.) Como

as the

el

angle

vector k

es normal

0

al plano

2 between

xy, se puede

the given

utilizar

plane

la fórmula

and the xydel

plane,

coseno

as

del

shown

ángulo

in Figure

entre dos

13.62.

planos

(dado

(The angle

en la

of

sección

inclination

11.5) para

of a horizontal

concluir que

plane

el ángulo

is defined

de inclinación

as zero.) Because

de un plano

the vector

con vectok

is

normal

normal

n está

to the

dado

xy-

por

plane, you can use the formula for the cosine of the angle

between two planes (given in Section 11.5) to conclude that the angle of inclination

of a plane with normal vector n is given by

cos n k

n k n k

cos

n

n

k

k

.

Ángulo de inclinación de un plano.

nn

k

. Angle of inclination of a plane

n

z

n

θ

k

y

θ

x

Ángulo The angle de inclinación

of inclination

Figura Figure 13.62


EJEMPLO 6

Hallar el ángulo de inclinación de un plano tangente

Hallar el ángulo de inclinación del plano tangente al elipsoide

x 2

12 y2

12 z2

3 1

en el punto 2, 2, 1.

Solución

Si se hace

Fx, y, z x2

12 y2

12 z2

3 1

el gradiente de F en el punto (2, 2, 1) está dado por

Fx, y, z x 6 i y 6 j 2z

3 k

6

x

z

k

3

∇F(2, 2, 1)

θ

6

Elipsoide:

x 2 y

+ 2 z

+ 2

= 1

12 12 3

y

F2, 2, 1 1 3 i 1 3 j 2 3 k.

Como F2, 2, 1 es normal al plano tangente y k es normal al plano xy, se sigue que el

ángulo de inclinación del plano tangente está dado por

cos F2, 2, 1 k

F2, 2, 1

lo cual implica que

arccos

2

3 35.3,

23

13 2 13 2 23 2 2 3

Figura 13.63


NOTA Un caso especial del procedimiento mostrado en el ejemplo 6 merece mención especial. El

ángulo de inclinación q del plano tangente a la superficie z f x, y en x 0 , y 0 , z 0 está dado por

cos

1

f x x 0 , y 0 2 f y x 0 , y 0 2 1 .

Fórmula alternativa para el ángulo

de inclinación (ver ejercicio 77).

■

Comparación de los gradientes fx, y y —F(x, y, z)

Esta sección concluye con una comparación de los gradientes f x, y y Fx, y, z.

En la sección anterior se vio que el gradiente de una función f de dos variables es normal

a las curvas de nivel de f. Específicamente, el teorema 13.12 establece que si f es diferenciable

en x 0 , y 0 y f x 0 , y 0 0, entonces f x 0 , y 0 es normal a la curva de nivel que

pasa por x 0 , y 0 . Habiendo desarrollado rectas normales a superficies, ahora se puede

extender este resultado a una función de tres variables. La demostración del teorema 13.14

se deja como un ejercicio (ver ejercicio 78).

TEOREMA 13.14

EL GRADIENTE ES NORMAL A LAS SUPERFICIES DE NIVEL

Si F es diferenciable en x 0 , y 0 , z 0 y Fx 0 , y 0 , z 0 0, entonces Fx 0 , y 0 , z 0 es

normal a la superficie de nivel que pasa por x 0 , y 0 , z 0 .

Al trabajar con los gradientes f x, y y Fx, y, z, hay que recordar que f x, y es

un vector en el plano xy y Fx, y, z es un vector en el espacio.


13.7 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 4, describir la superficie de nivel

En los ejercicios 5 a 16, hallar un vector unitario normal a la

superficie en el punto dado. [Sugerencia: Normalizar el vector

gradiente

En los ejercicios 17 a 30, hallar una ecuación del plano tangente

a la superficie en el punto dado.


y hallar ecuaciones simétricas para la recta normal a la superficie

en el punto dado.

En los ejercicios 41 a 46, a) encontrar ecuaciones simétricas de la

recta tangente a la curva de intersección de las superficies en el

punto dado, y b) encontrar el coseno del ángulo entre los vectores

gradiente en este punto. Establecer si son ortogonales o no las

superficies en el punto de intersección.

En los ejercicios 47 a 50, encontrar el ángulo de inclinación q del

plano tangente a la superficie en el punto dado.

Fx, y, z.]

Fx, y, z 0.

In Exercises 1–4, describe the level surface

1.

2.

3.

4.

In Exercises 5–16, find a unit normal vector to the surface

at the given point. [Hint: Normalize the gradient vector

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

In Exercises 17–30, find an equation of the tangent plane to the

surface at the given point.

17. 18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

In Exercises 31– 40, find an equation of the tangent plane and

find symmetric equations of the normal line to the surface at the

given point.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

In Exercises 41– 46, (a) find symmetric equations of the tangent

line to the curve of intersection of the surfaces at the given

point, and (b) find the cosine of the angle between the gradient

vectors at this point. State whether the surfaces are orthogonal

at the point of intersection.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

In Exercises 47–50, find the angle of inclination

of the tangent

plane to the surface at the given point.

47.

48.

49.

50. 2, 1, 3

x 2 y 2 5,

1, 2, 3

x 2 y 2 z 0,

2, 2, 2

2xy z 3 0,

2, 2, 5

3x 2 2y 2 z 15,

1, 2, 5

z x 2 y 2 , x y 6z 33,

3, 1, 2

x 2 y 2 z 2 14, x y z 0,

3, 4, 5

z x 2 y 2 , 5x 2y 3z 22,

3, 3, 4

x 2 z 2 25, y 2 z 2 25,

2, 1, 5

z x 2 y 2 , z 4 y,

1, 1, 1

x 2 y 2 2, z x,

e, 2, 1

y ln xz 2 2,

1, 1, 4

z arctan y x , 0, 2, 2

z ye 2xy ,

1, 2, 5

xyz 10,

2, 3, 6

xy z 0,

3, 2, 5

z x 2 y 2 ,

2, 2, 8

z 16 x 2 y 2 ,

1, 2, 4

x 2 y 2 z 9,

1, 2, 2

x 2 y 2 z 2 9,

3, 3, 3

x y z 9,

4, 4, 2

x y 2z 3,

1, 3, 2

xy 2 3x z 2 8,

1, 3, 2

x 2 2z 2 y 2 ,

2, 2, 4

x 2 4y 2 z 2 36,

5, 4 ,

2

2

h x, y cos y,

3, 4, ln 5

h x, y ln x 2 y 2 ,

0, 2 , 2

z e x sen y 1,

3, 1, 1

z 2

2

3 x y, 1, 2, 1

f x, y x 2 2xy y 2 ,

1, 1, 2

g x, y x 2 y 2 ,

1, 0, 0

g x, y arctan y x , 3, 4, 5

z x 2 y 2 ,

x

y

(1, 2, 2)

2

4

6

6

4

2

6

8

10

z

x

y

(2, 1, 8)

z

2

2

4

6

10

2

1, 2, 2

2, 1, 8

fx, y

y

x

z x 2 y 2 3

3 , 6 , 3

2

sen x y z 2

6, 6 , 7

z x sen y 4

2, 2, 3

ze x 2 y 2 3 0

1, 4, 3

ln

x

y

z

0

1, 1, 1

x 2 y 3 y 2 z 2xz 3 4

2, 1, 2

x 2 3y z 3 9

1, 2, 16

x 2 y 4 z 0

2, 1, 8

z x 3 3, 4, 5

z x 2 y 2 1, 1, 2

x 2 y 2 z 2 6

2, 0, 2

x y z 4

0, 0, 0

3x 4y 12z 0

Punto

Superficie

F x, y, z .]

F x, y, z 16x 2 9y 2 36z

F x, y, z 4x 2 9y 2 4z 2

F x, y, z x 2 y 2 z 2 25

F x, y, z 3x 5y 3z 15

Fx, y, z 0.

13.7 Tangent Planes and Normal Lines 951



1.

2.

3.

4.



5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.



17. 18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.



given point.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.






41.

42.

43.

44.

45.

46.


of the tangent


47.

48.

49.

50. 2, 1, 3

x 2 y 2 5,

1, 2, 3

x 2 y 2 z 0,

2, 2, 2

2xy z 3 0,

2, 2, 5

3x 2 2y 2 z 15,

1, 2, 5

z x 2 y 2 , x y 6z 33,

3, 1, 2

x 2 y 2 z 2 14, x y z 0,

3, 4, 5

z x 2 y 2 , 5x 2y 3z 22,

3, 3, 4

x 2 z 2 25, y 2 z 2 25,

2, 1, 5

z x 2 y 2 , z 4 y,

1, 1, 1

x 2 y 2 2, z x,

e, 2, 1

y ln xz 2 2,

1, 1, 4


z ye 2xy ,

1, 2, 5

xyz 10,

2, 3, 6

xy z 0,

3, 2, 5

z x 2 y 2 ,

2, 2, 8

z 16 x 2 y 2 ,

1, 2, 4

x 2 y 2 z 9,

1, 2, 2

x 2 y 2 z 2 9,

3, 3, 3

x y z 9,

4, 4, 2

x y 2z 3,

1, 3, 2

xy 2 3x z 2 8,

1, 3, 2

x 2 2z 2 y 2 ,

2, 2, 4

x 2 4y 2 z 2 36,

5, 4 ,

2

2

h x, y cos y,

3, 4, ln 5

h x, y ln x 2 y 2 ,

0, 2 , 2

z e x sen y 1,

3, 1, 1

z 2

2

3 x y, 1, 2, 1

f x, y x 2 2xy y 2 ,

1, 1, 2

g x, y x 2 y 2 ,

1, 0, 0


z x 2 y 2 ,

x

y

(1, 2, 2)

2

4

6

6

4

2

6

8

10

z

x

y

(2, 1, 8)

z

2

2

4

6

10

2

1, 2, 2

2, 1, 8

fx, y

y

x

z x 2 y 2 3

3 , 6 , 3

2

sen x y z 2

6, 6 , 7

z x sen y 4

2, 2, 3

ze x 2 y 2 3 0

1, 4, 3

ln

x

y

z

0

1, 1, 1

x 2 y 3 y 2 z 2xz 3 4

2, 1, 2

x 2 3y z 3 9

1, 2, 16

x 2 y 4 z 0

2, 1, 8

z x 3 3, 4, 5

z x 2 y 2 1, 1, 2

x 2 y 2 z 2 6

2, 0, 2

x y z 4

0, 0, 0

3x 4y 12z 0

Punto

Superficie

Fx, y, z .]

Fx, y, z 16x 2 9y 2 36z

F x, y, z 4x 2 9y 2 4z 2

Fx, y, z x 2 y 2 z 2 25

F x, y, z 3x 5y 3z 15

Fx, y, z 0.




1.

2.

3.

4.



5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.



17. 18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.



given point.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.






41.

42.

43.

44.

45.

46.


of the tangent


47.

48.

49.

50. 2, 1, 3

x 2 y 2 5,

1, 2, 3

x 2 y 2 z 0,

2, 2, 2

2xy z 3 0,

2, 2, 5

3x 2 2y 2 z 15,

1, 2, 5

z x 2 y 2 , x y 6z 33,

3, 1, 2

x 2 y 2 z 2 14, x y z 0,

3, 4, 5

z x 2 y 2 , 5x 2y 3z 22,

3, 3, 4

x 2 z 2 25, y 2 z 2 25,

2, 1, 5

z x 2 y 2 , z 4 y,

1, 1, 1

x 2 y 2 2, z x,

e, 2, 1

y ln xz 2 2,

1, 1, 4


z ye 2xy ,

1, 2, 5

xyz 10,

2, 3, 6

xy z 0,

3, 2, 5

z x 2 y 2 ,

2, 2, 8

z 16 x 2 y 2 ,

1, 2, 4

x 2 y 2 z 9,

1, 2, 2

x 2 y 2 z 2 9,

3, 3, 3

x y z 9,

4, 4, 2

x y 2z 3,

1, 3, 2

xy 2 3x z 2 8,

1, 3, 2

x 2 2z 2 y 2 ,

2, 2, 4

x 2 4y 2 z 2 36,

5, 4 ,

2

2

hx, y cos y,

3, 4, ln 5

h x, y ln x 2 y 2 ,

0, 2 , 2

z e x sen y 1,

3, 1, 1

z 2

2

3 x y, 1, 2, 1

f x, y x 2 2xy y 2 ,

1, 1, 2

g x, y x 2 y 2 ,

1, 0, 0


z x 2 y 2 ,

x

y

(1, 2, 2)

2

4

6

6

4

2

6

8

10

z

x

y

(2, 1, 8)

z

2

2

4

6

10

2

1, 2, 2

2, 1, 8

f x, y

y

x

z x 2 y 2 3

3 , 6 , 3

2

sen x y z 2

6, 6 , 7

z x sen y 4

2, 2, 3

ze x 2 y 2 3 0

1, 4, 3

ln

x

y

z

0

1, 1, 1

x 2 y 3 y 2 z 2xz 3 4

2, 1, 2

x 2 3y z 3 9

1, 2, 16

x 2 y 4 z 0

2, 1, 8

z x 3 3, 4, 5

z x 2 y 2 1, 1, 2

x 2 y 2 z 2 6

2, 0, 2

x y z 4

0, 0, 0

3x 4y 12z 0

Punto

Superficie

Fx, y, z .]

F x, y, z 16x 2 9y 2 36z

F x, y, z 4x 2 9y 2 4z 2

Fx, y, z x 2 y 2 z 2 25

F x, y, z 3x 5y 3z 15

Fx, y, z 0.




1.

2.

3.

4.



5.

6.

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13.

14.

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16.



17. 18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.



given point.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.






41.

42.

43.

44.

45.

46.


of the tangent


47.

48.

49.

50. 2, 1, 3

x 2 y 2 5,

1, 2, 3

x 2 y 2 z 0,

2, 2, 2

2xy z 3 0,

2, 2, 5

3x 2 2y 2 z 15,

1, 2, 5

z x 2 y 2 , x y 6z 33,

3, 1, 2

x 2 y 2 z 2 14, x y z 0,

3, 4, 5

z x 2 y 2 , 5x 2y 3z 22,

3, 3, 4

x 2 z 2 25, y 2 z 2 25,

2, 1, 5

z x 2 y 2 , z 4 y,

1, 1, 1

x 2 y 2 2, z x,

e, 2, 1

y ln xz 2 2,

1, 1, 4


z ye 2xy ,

1, 2, 5

xyz 10,

2, 3, 6

xy z 0,

3, 2, 5

z x 2 y 2 ,

2, 2, 8

z 16 x 2 y 2 ,

1, 2, 4

x 2 y 2 z 9,

1, 2, 2

x 2 y 2 z 2 9,

3, 3, 3

x y z 9,

4, 4, 2

x y 2z 3 ,

1, 3, 2

xy 2 3x z 2 8,

1, 3, 2

x 2 2z 2 y 2 ,

2, 2, 4

x 2 4y 2 z 2 36,

5, 4 ,

2

2

h x, y cos y,

3, 4, ln 5

h x, y ln x 2 y 2 ,

0, 2 , 2

z e x sen y 1 ,

3, 1, 1

z 2

2

3 x y, 1, 2, 1

f x, y x 2 2xy y 2 ,

1, 1, 2

g x, y x 2 y 2 ,

1, 0, 0


z x 2 y 2 ,

x

y

(1, 2, 2)

2

4

6

6

4

2

6

8

10

z

x

y

(2, 1, 8)

z

2

2

4

6

10

2

1, 2, 2

2, 1, 8

fx, y

y

x

z x 2 y 2 3

3 , 6 , 3

2

sen x y z 2

6, 6 , 7

z x sen y 4

2, 2, 3

ze x 2 y 2 3 0

1, 4, 3

ln

x

y

z

0

1, 1, 1

x 2 y 3 y 2 z 2xz 3 4

2, 1, 2

x 2 3y z 3 9

1, 2, 16

x 2 y 4 z 0

2, 1, 8

z x 3 3, 4, 5

z x 2 y 2 1, 1, 2

x 2 y 2 z 2 6

2, 0, 2

x y z 4

0, 0, 0

3x 4y 12z 0

Punto

Superficie

Fx, y, z .]

Fx, y, z 16x 2 9y 2 36z

F x, y, z 4x 2 9y 2 4z 2

Fx, y, z x 2 y 2 z 2 25

F x, y, z 3x 5y 3z 15

F x, y, z 0.




1.

2.

3.

4.



5.

6.

7.

8.

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10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.



17. 18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.



given point.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.






41.

42.

43.

44.

45.

46.


of the tangent


47.

48.

49.

50. 2, 1, 3

x 2 y 2 5,

1, 2, 3

x 2 y 2 z 0,

2, 2, 2

2xy z 3 0,

2, 2, 5

3x 2 2y 2 z 15,

1, 2, 5

z x 2 y 2 , x y 6z 33,

3, 1, 2

x 2 y 2 z 2 14, x y z 0,

3, 4, 5

z x 2 y 2 , 5x 2y 3z 22,

3, 3, 4

x 2 z 2 25, y 2 z 2 25,

2, 1, 5

z x 2 y 2 , z 4 y,

1, 1, 1

x 2 y 2 2, z x,

e, 2, 1

y ln xz 2 2,

1, 1, 4


z ye 2xy ,

1, 2, 5

xyz 10,

2, 3, 6

xy z 0,

3, 2, 5

z x 2 y 2 ,

2, 2, 8

z 16 x 2 y 2 ,

1, 2, 4

x 2 y 2 z 9,

1, 2, 2

x 2 y 2 z 2 9,

3, 3, 3

x y z 9,

4, 4, 2

x y 2z 3,

1, 3, 2

xy 2 3x z 2 8,

1, 3, 2

x 2 2z 2 y 2 ,

2, 2, 4

x 2 4y 2 z 2 36,

5, 4 ,

2

2

hx, y cos y,

3, 4, ln 5

h x, y ln x 2 y 2 ,

0, 2 , 2

z e x sen y 1,

3, 1, 1

z 2

2

3 x y, 1, 2, 1

f x, y x 2 2xy y 2 ,

1, 1, 2

g x, y x 2 y 2 ,

1, 0, 0


z x 2 y 2 ,

x

y

(1, 2, 2)

2

4

6

6

4

2

6

8

10

z

x

y

(2, 1, 8)

z

2

2

4

6

10

2

1, 2, 2

2, 1, 8

fx, y

y

x

z x 2 y 2 3

3 , 6 , 3

2

sen x y z 2

6, 6 , 7

z x sen y 4

2, 2, 3

ze x 2 y 2 3 0

1, 4, 3

ln

x

y

z

0

1, 1, 1

x 2 y 3 y 2 z 2xz 3 4

2, 1, 2

x 2 3y z 3 9

1, 2, 16

x 2 y 4 z 0

2, 1, 8

z x 3 3, 4, 5

z x 2 y 2 1, 1, 2

x 2 y 2 z 2 6

2, 0, 2

x y z 4

0, 0, 0

3x 4y 12z 0

Punto

Superficie

Fx, y, z .]

Fx, y, z 16x 2 9y 2 36z

F x, y, z 4x 2 9y 2 4z 2

Fx, y, z x 2 y 2 z 2 25

F x, y, z 3x 5y 3z 15

F x, y, z 0.




1.

2.

3.

4.



5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.



17. 18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.



given point.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.






41.

42.

43.

44.

45.

46.


of the tangent


47.

48.

49.

50. 2, 1, 3

x 2 y 2 5,

1, 2, 3

x 2 y 2 z 0,

2, 2, 2

2xy z 3 0,

2, 2, 5

3x 2 2y 2 z 15,

1, 2, 5

z x 2 y 2 , x y 6z 33,

3, 1, 2

x 2 y 2 z 2 14, x y z 0,

3, 4, 5

z x 2 y 2 , 5x 2y 3z 22,

3, 3, 4

x 2 z 2 25, y 2 z 2 25,

2, 1, 5

z x 2 y 2 , z 4 y,

1, 1, 1

x 2 y 2 2, z x,

e, 2, 1

y ln xz 2 2,

1, 1, 4


z ye 2xy ,

1, 2, 5

xyz 10,

2, 3, 6

xy z 0,

3, 2, 5

z x 2 y 2 ,

2, 2, 8

z 16 x 2 y 2 ,

1, 2, 4

x 2 y 2 z 9,

1, 2, 2

x 2 y 2 z 2 9,

3, 3, 3

x y z 9,

4, 4, 2

x y 2z 3,

1, 3, 2

xy 2 3x z 2 8,

1, 3, 2

x 2 2z 2 y 2 ,

2, 2, 4

x 2 4y 2 z 2 36,

5, 4 ,

2

2

hx, y cos y,

3, 4, ln 5

h x, y ln x 2 y 2 ,

0, 2 , 2

z e x sen y 1,

3, 1, 1

z 2

2

3 x y, 1, 2, 1

f x, y x 2 2xy y 2 ,

1, 1, 2

g x, y x 2 y 2 ,

1, 0, 0


z x 2 y 2 ,

x

y

(1, 2, 2)

2

4

6

6

4

2

6

8

10

z

x

y

(2, 1, 8)

z

2

2

4

6

10

2

1, 2, 2

2, 1, 8

fx, y

y

x

z x 2 y 2 3

3 , 6 , 3

2

sen x y z 2

6, 6 , 7

z x sen y 4

2, 2, 3

ze x 2 y 2 3 0

1, 4, 3

ln

x

y

z

0

1, 1, 1

x 2 y 3 y 2 z 2xz 3 4

2, 1, 2

x 2 3y z 3 9

1, 2, 16

x 2 y 4 z 0

2, 1, 8

z x 3 3, 4, 5

z x 2 y 2 1, 1, 2

x 2 y 2 z 2 6

2, 0, 2

x y z 4

0, 0, 0

3x 4y 12z 0

Punto

Superficie

Fx, y, z .]

F x, y, z 16x 2 9y 2 36z

F x, y, z 4x 2 9y 2 4z 2

F x, y, z x 2 y 2 z 2 25

F x, y, z 3x 5y 3z 15

Fx, y, z 0.




1.

2.

3.

4.



5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.



17. 18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.



given point.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.






41.

42.

43.

44.

45.

46.


of the tangent


47.

48.

49.

50. 2, 1, 3

x 2 y 2 5,

1, 2, 3

x 2 y 2 z 0,

2, 2, 2

2xy z 3 0,

2, 2, 5

3x 2 2y 2 z 15,

1, 2, 5

z x 2 y 2 , x y 6z 33,

3, 1, 2

x 2 y 2 z 2 14, x y z 0,

3, 4, 5

z x 2 y 2 , 5x 2y 3z 22,

3, 3, 4

x 2 z 2 25, y 2 z 2 25,

2, 1, 5

z x 2 y 2 , z 4 y,

1, 1, 1

x 2 y 2 2, z x,

e, 2, 1

y ln xz 2 2,

1, 1, 4


z ye 2xy ,

1, 2, 5

xyz 10,

2, 3, 6

xy z 0,

3, 2, 5

z x 2 y 2 ,

2, 2, 8

z 16 x 2 y 2 ,

1, 2, 4

x 2 y 2 z 9,

1, 2, 2

x 2 y 2 z 2 9,

3, 3, 3

x y z 9,

4, 4, 2

x y 2z 3,

1, 3, 2

xy 2 3x z 2 8,

1, 3, 2

x 2 2z 2 y 2 ,

2, 2, 4

x 2 4y 2 z 2 36,

5, 4 ,

2

2

h x, y cos y,

3, 4, ln 5

h x, y ln x 2 y 2 ,

0, 2 , 2

z e x sen y 1,

3, 1, 1

z 2

2

3 x y, 1, 2, 1

f x, y x 2 2xy y 2 ,

1, 1, 2

g x, y x 2 y 2 ,

1, 0, 0


z x 2 y 2 ,

x

y

(1, 2, 2)

2

4

6

6

4

2

6

8

10

z

x

y

(2, 1, 8)

z

2

2

4

6

10

2

1, 2, 2

2, 1, 8

fx, y

y

x

z x 2 y 2 3

3 , 6 , 3

2

sen x y z 2

6, 6 , 7

z x sen y 4

2, 2, 3

ze x 2 y 2 3 0

1, 4, 3

ln

x

y

z

0

1, 1, 1

x 2 y 3 y 2 z 2xz 3 4

2, 1, 2

x 2 3y z 3 9

1, 2, 16

x 2 y 4 z 0

2, 1, 8

z x 3 3, 4, 5

z x 2 y 2 1, 1, 2

x 2 y 2 z 2 6

2, 0, 2

x y z 4

0, 0, 0

3x 4y 12z 0

Punto

Superficie

F x, y, z .]

Fx, y, z 16x 2 9y 2 36z

F x, y, z 4x 2 9y 2 4z 2

Fx, y, z x 2 y 2 z 2 25

F x, y, z 3x 5y 3z 15

Fx, y, z 0.




En los ejercicios 51 a 56, encontrar el (los) punto(s) sobre la

superficie en la cual el plano tangente es horizontal.

En los ejercicios 57 y 58, demostrar que las superficies son tangentes

a cada una en el punto dado para demostrar que las

superficies tienen el mismo plano tangente en este punto.

En los ejercicios 59 y 60, a) demostrar que las superficies intersecan

en el punto dado y b) demostrar que las superficies tienen

planos tangentes perpendiculares en este punto.

61. Encontrar un punto sobre el elipsoide donde

el plano tangente es perpendicular a la recta con ecuaciones

paramétricas

62. Encontrar un punto sobre el hiperboloide

donde el plano tangente es paralelo al plano

67. Investigación Considerar la función

en los intervalos

a) Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta

normal y una ecuación del plano tangente a la superficie en

el punto (1, 1, 1).

b) Repetir el inciso a) con el punto

c) Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar

gráficamente la superficie, las rectas normales y los planos

tangentes encontrados en los incisos a) y b).

68. Investigación Considerar la función

en los intervalos

a) Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta

normal y una ecuación del plano tangente a la superficie en

el punto

b) Repetir el inciso a) con el punto


gráficamente la superficie, las rectas normales y los planos

tangentes calculados en los incisos a) y b).

69. Considerar las funciones

y

a) Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta tangente

a la curva de intersección de las superficies en el punto

(1, 2, 4), y hallar el ángulo entre los vectores gradientes.

b) Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar

gráficamente las superficies. Representar gráficamente la

recta tangente obtenida en el inciso a).

70. Considerar las funciones

y

a) Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar

gráficamente la porción del primer octante de las superficies

representadas por f y g.

b) Hallar un punto en el primer octante sobre la curva intersección

y mostrar que las superficies son ortogonales en este punto.

c) Estas superficies son ortogonales a lo largo de la curva intersección.

¿Demuestra este hecho el inciso b)? Explicar.

En los ejercicios 71 y 72, probar que el plano tangente a la superficie

cuádrica en el punto

puede expresarse en la forma

dada.

71. Elipsoide:

Plano: x 0x

a 2 y 0y

b 2 z 0z

c 2 1

x 2

a 2 y2

b 2 z2

c 2 1

x 0 , y 0 , z 0

gx, y 2

2 1 3x2 y 2 6x 4y.

f x, y 16 x 2 y 2 2x 4y

gx, y 2x y.

f x, y 6 x 2 y 2 4

2 3 , 3

2 , 3 2 .

2,

2 , 1 2 .

In Exercises 51–56, find the point(s) on the surface at which the

tangent plane is horizontal.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

In Exercises 57 and 58, show that the surfaces are tangent to

each other at the given point by showing that the surfaces have

the same tangent plane at this point.

57.

58.

In Exercises 59 and 60, (a) show that the surfaces intersect at

the given point, and (b) show that the surfaces have perpendicular

tangent planes at this point.

59.

60.

61. Find a point on the ellipsoid where the

tangent plane is perpendicular to the line with parametric

equations

y

62. Find a point on the hyperboloid where the

tangent plane is parallel to the plane

67. Investigation Consider the function

on the intervals

y

(a) Find a set of parametric equations of the normal line and an

equation of the tangent plane to the surface at the point

(b) Repeat part (a) for the point

(c) Use a computer algebra system to graph the surface, the normal

lines, and the tangent planes found in parts (a) and (b).


on the intervals

y






69. Consider the functions

y

(a) Find a set of parametric equations of the tangent line to the

curve of intersection of the surfaces at the point ,

and find the angle between the gradient vectors.

(b) Use a computer algebra system to graph the surfaces.

Graph the tangent line found in part (a).


y

(a) Use a computer algebra system to graph the first-octant

portion of the surfaces represented by and

(b) Find one first-octant point on the curve of intersection and

show that the surfaces are orthogonal at this point.

(c) These surfaces are orthogonal along the curve of intersection.

Does part (b) prove this fact? Explain.

In Exercises 71 and 72, show that the tangent plane to the

quadric surface at the point

can be written in the

given form.

71. Ellipsoid:

Plane: x 0x

a 2

y 0 y

b 2

z 0 z

c 2 1

x 2

a 2 y 2

b 2 z 2

c 2 1

x 0 , y 0 , z 0 g.

f

gx, y

2

2

1 3x 2 y 2 6x 4y.

fx, y 16 x 2 y 2 2x 4y

1, 2, 4

gx, y 2x y.

f x, y 6 x 2 y 2 4

2

3 , 3 2 , 3 2 .

2, 2 , 1 2 . 0 y 2 .

3 x 3

fx, y

sen y

x

1, 2,

4

5 .

1, 1, 1 .

0 y 3.

2 x 2

fx, y

4xy

x 2 1 y 2 1

x 4y z 0.

x 2 4y 2 z 2 1

z 3 2t.

x 2 4t, y 1 8t

x 2 4y 2 z 2 9

4x 2 y 2 16z 2 24, 1, 2, 1

x 2 y 2 z 2 2x 4y 4z 12 0,

z 2xy 2 , 8x 2 5y 2 8z 13, 1, 1, 2

2, 3, 3

x 2 y 2 2z 7,

x 2 y 2 z 2 8x 12y 4z 42 0,

1, 1, 0

x 2 y 2 z 2 6x 10y 14 0,

x 2 2y 2 3z 2 3,

z

xy

1

x

1

y

z

5xy

z 4x 2 4xy 2y 2 8x 5y 4

z x 2 xy y 2 2x 2y

z 3x 2 2y 2 3x 4y 5

z 3 x 2 y 2 6y


63. Give the standard form of the equation of the tangent plane

to a surface given by

at

64. For some surfaces, the normal lines at any point pass

through the same geometric object. What is the common

geometric object for a sphere? What is the common

geometric object for a right circular cylinder? Explain.

65. Discuss the relationship between the tangent plane to a

surface and approximation by differentials.

x 0 , y 0 , z 0 .

F x, y, z 0


66. Consider the elliptic cone given by

(a) Find an equation of the tangent plane at the point

(b) Find symmetric equations of the normal line at the

point 5, 13, 12 .

5, 13, 12 .

x 2 y 2 z 2 0.

CAPSTONE

CAS

CAS

CAS

CAS



51.

52.

53.

54.

55.

56.




57.

58.




59.

60.



equations

y




on the intervals

y







on the intervals

y







y







y










given form.

71. Ellipsoid:

Plane: x 0x

a 2

y 0 y

b 2

z 0 z

c 2 1

x 2

a 2 y 2

b 2 z 2

c 2 1

x 0 , y 0 , z 0 g.

f

gx, y

2

2

1 3x 2 y 2 6x 4y.

fx, y 16 x 2 y 2 2x 4y

1, 2, 4

gx, y 2x y.

f x, y 6 x 2 y 2 4

2

3 , 3 2 , 3 2 .

2, 2 , 1 2 . 0 y 2 .

3 x 3

f x, y

sen y

x

1, 2,

4

5 .

1, 1, 1 .

0 y 3.

2 x 2

f x, y

4xy

x 2 1 y 2 1

x 4y z 0.

x 2 4y 2 z 2 1

z 3 2t.

x 2 4t, y 1 8t

x 2 4y 2 z 2 9

4x 2 y 2 16z 2 24, 1, 2, 1

x 2 y 2 z 2 2x 4y 4z 12 0,

z 2xy 2 , 8x 2 5y 2 8z 13, 1, 1, 2

2, 3, 3

x 2 y 2 2z 7,

x 2 y 2 z 2 8x 12y 4z 42 0,

1, 1, 0

x 2 y 2 z 2 6x 10y 14 0,

x 2 2y 2 3z 2 3,

z

xy

1

x

1

y

z

5xy

z 4x 2 4xy 2y 2 8x 5y 4

z x 2 xy y 2 2x 2y

z 3x 2 2y 2 3x 4y 5

z 3 x 2 y 2 6y




at







x 0 , y 0 , z 0 .

F x, y, z 0





point 5, 13, 12 .

5, 13, 12 .

x 2 y 2 z 2 0.

CAPSTONE

CAS

CAS

CAS

CAS

1, 2, 4 5.



51.

52.

53.

54.

55.

56.




57.

58.




59.

60.



equations

y




on the intervals

y







on the intervals

y







y







y










given form.

71. Ellipsoid:

Plane: x 0x

a 2

y 0 y

b 2

z 0 z

c 2 1

x 2

a 2 y 2

b 2 z 2

c 2 1

x 0 , y 0 , z 0 g.

f

gx, y

2

2

1 3x 2 y 2 6x 4y.

fx, y 16 x 2 y 2 2x 4y

1, 2, 4

gx, y 2x y.

f x, y 6 x 2 y 2 4

2

3 , 3 2 , 3 2 .

2, 2 , 1 2 . 0 y 2 .

3 x 3

fx, y

sen y

x

1, 2,

4

5 .

1, 1, 1 .

0 y 3.

2 x 2

fx, y

4xy

x 2 1 y 2 1

x 4y z 0.

x 2 4y 2 z 2 1

z 3 2t.

x 2 4t, y 1 8t

x 2 4y 2 z 2 9

4x 2 y 2 16z 2 24, 1, 2, 1

x 2 y 2 z 2 2x 4y 4z 12 0,

z 2xy 2 , 8x 2 5y 2 8z 13, 1, 1, 2

2, 3, 3

x 2 y 2 2z 7,

x 2 y 2 z 2 8x 12y 4z 42 0,

1, 1, 0

x 2 y 2 z 2 6x 10y 14 0,

x 2 2y 2 3z 2 3,

z

xy

1

x

1

y

z

5xy

z 4x 2 4xy 2y 2 8x 5y 4

z x 2 xy y 2 2x 2y

z 3x 2 2y 2 3x 4y 5

z 3 x 2 y 2 6y




at







x 0 , y 0 , z 0 .

F x, y, z 0





point 5, 13, 12 .

5, 13, 12 .

x 2 y 2 z 2 0.

CAPSTONE

CAS

CAS

CAS

CAS

f x, y

4xy

x 2 1y 2 1



51.

52.

53.

54.

55.

56.




57.

58.




59.

60.



equations

y




on the intervals

y







on the intervals

y







y







y










given form.

71. Ellipsoid:

Plane: x 0x

a 2

y 0 y

b 2

z 0 z

c 2 1

x 2

a 2 y 2

b 2 z 2

c 2 1

x 0 , y 0 , z 0 g.

f

gx, y

2

2

1 3x 2 y 2 6x 4y.

fx, y 16 x 2 y 2 2x 4y

1, 2, 4

gx, y 2x y.

f x, y 6 x 2 y 2 4

2

3 , 3 2 , 3 2 .

2, 2 , 1 2 . 0 y 2 .

3 x 3

fx, y

sen y

x

1, 2,

4

5 .

1, 1, 1 .

0 y 3.

2 x 2

fx, y

4xy

x 2 1 y 2 1

x 4y z 0.

x 2 4y 2 z 2 1

z 3 2t.

x 2 4t, y 1 8t

x 2 4y 2 z 2 9

4x 2 y 2 16z 2 24, 1, 2, 1

x 2 y 2 z 2 2x 4y 4z 12 0,

z 2xy 2 , 8x 2 5y 2 8z 13, 1, 1, 2

2, 3, 3

x 2 y 2 2z 7,

x 2 y 2 z 2 8x 12y 4z 42 0,

1, 1, 0

x 2 y 2 z 2 6x 10y 14 0,

x 2 2y 2 3z 2 3,

z

xy

1

x

1

y

z

5xy

z 4x 2 4xy 2y 2 8x 5y 4

z x 2 xy y 2 2x 2y

z 3x 2 2y 2 3x 4y 5

z 3 x 2 y 2 6y




at







x 0 , y 0 , z 0 .

F x, y, z 0





point 5, 13, 12 .

5, 13, 12 .

x 2 y 2 z 2 0.

CAPSTONE

CAS

CAS

CAS

CAS



51.

52.

53.

54.

55.

56.




57.

58.




59.

60.



equations

y




on the intervals

y







on the intervals

y







y







y










given form.

71. Ellipsoid:

Plane: x 0x

a 2

y 0 y

b 2

z 0 z

c 2 1

x 2

a 2 y 2

b 2 z 2

c 2 1

x 0 , y 0 , z 0 g.

f

gx, y

2

2

1 3x 2 y 2 6x 4y.

fx, y 16 x 2 y 2 2x 4y

1, 2, 4

gx, y 2x y.

f x, y 6 x 2 y 2 4

2

3 , 3 2 , 3 2 .

2, 2 , 1 2 . 0 y 2 .

3 x 3

fx, y

sen y

x

1, 2,

4

5 .

1, 1, 1 .

0 y 3.

2 x 2

fx, y

4xy

x 2 1 y 2 1

x 4y z 0.

x 2 4y 2 z 2 1

z 3 2t.

x 2 4t, y 1 8t

x 2 4y 2 z 2 9

4x 2 y 2 16z 2 24, 1, 2, 1

x 2 y 2 z 2 2x 4y 4z 12 0,

z 2xy 2 , 8x 2 5y 2 8z 13, 1, 1, 2

2, 3, 3

x 2 y 2 2z 7,

x 2 y 2 z 2 8x 12y 4z 42 0,

1, 1, 0

x 2 y 2 z 2 6x 10y 14 0,

x 2 2y 2 3z 2 3,

z

xy

1

x

1

y

z

5xy

z 4x 2 4xy 2y 2 8x 5y 4

z x 2 xy y 2 2x 2y

z 3x 2 2y 2 3x 4y 5

z 3 x 2 y 2 6y




at







x 0 , y 0 , z 0 .

F x, y, z 0





point 5, 13, 12 .

5, 13, 12 .

x 2 y 2 z 2 0.

CAPSTONE

CAS

CAS

CAS

CAS



51.

52.

53.

54.

55.

56.




57.

58.




59.

60.



equations

y




on the intervals

y







on the intervals

y







y







y










given form.

71. Ellipsoid:

Plane: x 0x

a 2

y 0 y

b 2

z 0 z

c 2 1

x 2

a 2 y 2

b 2 z 2

c 2 1

x 0 , y 0 , z 0 g.

f

gx, y

2

2

1 3x 2 y 2 6x 4y.

fx, y 16 x 2 y 2 2x 4y

1, 2, 4

gx, y 2x y.

f x, y 6 x 2 y 2 4

2

3 , 3 2 , 3 2 .

2, 2 , 1 2 . 0 y 2 .

3 x 3

fx, y

sen y

x

1, 2,

4

5 .

1, 1, 1 .

0 y 3.

2 x 2

fx, y

4xy

x 2 1 y 2 1

x 4y z 0.

x 2 4y 2 z 2 1

z 3 2t.

x 2 4t, y 1 8t

x 2 4y 2 z 2 9

4x 2 y 2 16z 2 24, 1, 2, 1

x 2 y 2 z 2 2x 4y 4z 12 0,

z 2xy 2 , 8x 2 5y 2 8z 13, 1, 1, 2

2, 3, 3

x 2 y 2 2z 7,

x 2 y 2 z 2 8x 12y 4z 42 0,

1, 1, 0

x 2 y 2 z 2 6x 10y 14 0,

x 2 2y 2 3z 2 3,

z

xy

1

x

1

y

z

5xy

z 4x 2 4xy 2y 2 8x 5y 4

z x 2 xy y 2 2x 2y

z 3x 2 2y 2 3x 4y 5

z 3 x 2 y 2 6y




at







x 0 , y 0 , z 0 .

F x, y, z 0





point 5, 13, 12 .

5, 13, 12 .

x 2 y 2 z 2 0.

CAPSTONE

CAS

CAS

CAS

CAS


63. Dar la forma estándar de la ecuación del plano tangente a

una superficie dada por

en

64. En algunas superficies, las rectas normales en cualquier punto

pasan por el mismo objeto geométrico. ¿Cuál es el objeto

geométrico común en una esfera? ¿Cuál es el objeto geométrico

común en un cilindro circular recto? Explicar.

65. Analizar la relación entre el plano tangente a una superficie

y la aproximación por diferenciales.

x 0 , y 0 , z 0 .

Fx, y, z 0



51.

52.

53.

54.

55.

56.




57.

58.




59.

60.



equations

y




on the intervals

y







on the intervals

y







y







y










given form.

71. Ellipsoid:

Plane: x 0x

a 2

y 0 y

b 2

z 0 z

c 2 1

x 2

a 2 y 2

b 2 z 2

c 2 1

x 0 , y 0 , z 0 g.

f

gx, y

2

2

1 3x 2 y 2 6x 4y.

fx, y 16 x 2 y 2 2x 4y

1, 2, 4

gx, y 2x y.

f x, y 6 x 2 y 2 4

2

3 , 3 2 , 3 2 .

2, 2 , 1 2 . 0 y 2 .

3 x 3

fx, y

sen y

x

1, 2,

4

5 .

1, 1, 1 .

0 y 3.

2 x 2

fx, y

4xy

x 2 1 y 2 1

x 4y z 0.

x 2 4y 2 z 2 1

z 3 2t.

x 2 4t, y 1 8t

x 2 4y 2 z 2 9

4x 2 y 2 16z 2 24, 1, 2, 1

x 2 y 2 z 2 2x 4y 4z 12 0,

z 2xy 2 , 8x 2 5y 2 8z 13, 1, 1, 2

2, 3, 3

x 2 y 2 2z 7,

x 2 y 2 z 2 8x 12y 4z 42 0,

1, 1, 0

x 2 y 2 z 2 6x 10y 14 0,

x 2 2y 2 3z 2 3,

z

xy

1

x

1

y

z

5xy

z 4x 2 4xy 2y 2 8x 5y 4

z x 2 xy y 2 2x 2y

z 3x 2 2y 2 3x 4y 5

z 3 x 2 y 2 6y




at







x 0 , y 0 , z 0 .

F x, y, z 0





point 5, 13, 12 .

5, 13, 12 .

x 2 y 2 z 2 0.

CAPSTONE

CAS

CAS

CAS

CAS



51.

52.

53.

54.

55.

56.




57.

58.




59.

60.



equations

y




on the intervals

y







on the intervals

y







y







y










given form.

71. Ellipsoid:

Plane: x 0x

a 2

y 0 y

b 2

z 0 z

c 2 1

x 2

a 2 y 2

b 2 z 2

c 2 1

x 0 , y 0 , z 0 g.

f

gx, y

2

2

1 3x 2 y 2 6x 4y.

fx, y 16 x 2 y 2 2x 4y

1, 2, 4

gx, y 2x y.

f x, y 6 x 2 y 2 4

2

3 , 3 2 , 3 2 .

2, 2 , 1 2 . 0 y 2 .

3 x 3

fx, y

sen y

x

1, 2,

4

5 .

1, 1, 1 .

0 y 3.

2 x 2

f x, y

4xy

x 2 1 y 2 1

x 4y z 0.

x 2 4y 2 z 2 1

z 3 2t.

x 2 4t, y 1 8t

x 2 4y 2 z 2 9

4x 2 y 2 16z 2 24, 1, 2, 1

x 2 y 2 z 2 2x 4y 4z 12 0,

z 2xy 2 , 8x 2 5y 2 8z 13, 1, 1, 2

2, 3, 3

x 2 y 2 2z 7,

x 2 y 2 z 2 8x 12y 4z 42 0,

1, 1, 0

x 2 y 2 z 2 6x 10y 14 0,

x 2 2y 2 3z 2 3,

z

xy

1

x

1

y

z

5xy

z 4x 2 4xy 2y 2 8x 5y 4

z x 2 xy y 2 2x 2y

z 3x 2 2y 2 3x 4y 5

z 3 x 2 y 2 6y




at







x 0 , y 0 , z 0 .

F x, y, z 0





point 5, 13, 12 .

5, 13, 12 .

x 2 y 2 z 2 0.

CAPSTONE

CAS

CAS

CAS

CAS



51.

52.

53.

54.

55.

56.




57.

58.




59.

60.



equations

y




on the intervals

y







on the intervals

y







y







y










given form.

71. Ellipsoid:

Plane: x 0x

a 2

y 0 y

b 2

z 0 z

c 2 1

x 2

a 2 y 2

b 2 z 2

c 2 1

x 0 , y 0 , z 0 g.

f

gx, y

2

2

1 3x 2 y 2 6x 4y.

fx, y 16 x 2 y 2 2x 4y

1, 2, 4

gx, y 2x y.

f x, y 6 x 2 y 2 4

2

3 , 3 2 , 3 2 .

2, 2 , 1 2 . 0 y 2 .

3 x 3

fx, y

sen y

x

1, 2,

4

5 .

1, 1, 1 .

0 y 3.

2 x 2

fx, y

4xy

x 2 1 y 2 1

x 4y z 0.

x 2 4y 2 z 2 1

z 3 2t.

x 2 4t, y 1 8t

x 2 4y 2 z 2 9

4x 2 y 2 16z 2 24, 1, 2, 1

x 2 y 2 z 2 2x 4y 4z 12 0,

z 2xy 2 , 8x 2 5y 2 8z 13, 1, 1, 2

2, 3, 3

x 2 y 2 2z 7,

x 2 y 2 z 2 8x 12y 4z 42 0,

1, 1, 0

x 2 y 2 z 2 6x 10y 14 0,

x 2 2y 2 3z 2 3,

z

xy

1

x

1

y

z

5xy

z 4x 2 4xy 2y 2 8x 5y 4

z x 2 xy y 2 2x 2y

z 3x 2 2y 2 3x 4y 5

z 3 x 2 y 2 6y




at







x 0 , y 0 , z 0 .

F x, y, z 0





point 5, 13, 12 .

5, 13, 12 .

x 2 y 2 z 2 0.

CAPSTONE

CAS

CAS

CAS

CAS

Para discusión

66. Considerar el cono elíptico dado por

a) Encontrar una ecuación del plano tangente en el punto

(5, 13, –12).

b) Encontrar ecuaciones simétricas de la superficie normal

en el punto (5, 13, –12).



51.

52.

53.

54.

55.

56.




57.

58.




59.

60.



equations

y




on the intervals

y







on the intervals

y







y







y










given form.

71. Ellipsoid:

Plane: x 0x

a 2

y 0 y

b 2

z 0 z

c 2 1

x 2

a 2 y 2

b 2 z 2

c 2 1

x 0 , y 0 , z 0 g.

f

gx, y

2

2

1 3x 2 y 2 6x 4y.

fx, y 16 x 2 y 2 2x 4y

1, 2, 4

gx, y 2x y.

f x, y 6 x 2 y 2 4

2

3 , 3 2 , 3 2 .

2, 2 , 1 2 . 0 y 2 .

3 x 3

fx, y

sen y

x

1, 2,

4

5 .

1, 1, 1 .

0 y 3.

2 x 2

f x, y

4xy

x 2 1 y 2 1

x 4y z 0.

x 2 4y 2 z 2 1

z 3 2t.

x 2 4t, y 1 8t

x 2 4y 2 z 2 9

4x 2 y 2 16z 2 24, 1, 2, 1

x 2 y 2 z 2 2x 4y 4z 12 0,

z 2xy 2 , 8x 2 5y 2 8z 13, 1, 1, 2

2, 3, 3

x 2 y 2 2z 7,

x 2 y 2 z 2 8x 12y 4z 42 0,

1, 1, 0

x 2 y 2 z 2 6x 10y 14 0,

x 2 2y 2 3z 2 3,

z

xy

1

x

1

y

z

5xy

z 4x 2 4xy 2y 2 8x 5y 4

z x 2 xy y 2 2x 2y

z 3x 2 2y 2 3x 4y 5

z 3 x 2 y 2 6y




at







x 0 , y 0 , z 0 .

F x, y, z 0





point 5, 13, 12 .

5, 13, 12 .

x 2 y 2 z 2 0.

CAPSTONE

CAS

CAS

CAS

CAS



51.

52.

53.

54.

55.

56.




57.

58.




59.

60.



equations

y




on the intervals

y







on the intervals

y







y







y






g.

f

gx, y

2

2

1 3x 2 y 2 6x 4y.

fx, y 16 x 2 y 2 2x 4y

1, 2, 4

gx, y 2x y.

f x, y 6 x 2 y 2 4

2

3 , 3 2 , 3 2 .

2, 2 , 1 2 . 0 y 2 .

3 x 3

fx, y

sen y

x

1, 2,

4

5 .

1, 1, 1 .

0 y 3.

2 x 2

fx, y

4xy

x 2 1 y 2 1

x 4y z 0.

x 2 4y 2 z 2 1

z 3 2t.

x 2 4t, y 1 8t

x 2 4y 2 z 2 9

4x 2 y 2 16z 2 24, 1, 2, 1

x 2 y 2 z 2 2x 4y 4z 12 0,

z 2xy 2 , 8x 2 5y 2 8z 13, 1, 1, 2

2, 3, 3

x 2 y 2 2z 7,

x 2 y 2 z 2 8x 12y 4z 42 0,

1, 1, 0

x 2 y 2 z 2 6x 10y 14 0,

x 2 2y 2 3z 2 3,

z

xy

1

x

1

y

z

5xy

z 4x 2 4xy 2y 2 8x 5y 4

z x 2 xy y 2 2x 2y

z 3x 2 2y 2 3x 4y 5

z 3 x 2 y 2 6y




at







x 0 , y 0 , z 0 .

F x, y, z 0


CAS

CAS

CAS

CAS

1053714_1307.qxp 10/27/08 12:09 PM Page 952



51.

52.

53.

54.

55.

56.




57.

58.




59.

60.



equations

y




on the intervals

y







on the intervals

y







y







y










given form.

71. Ellipsoid:

Plane: x 0x

a 2

y 0 y

b 2

z 0 z

c 2 1

x 2

a 2 y 2

b 2 z 2

c 2 1

x 0 , y 0 , z 0 g.

f

gx, y

2

2

1 3x 2 y 2 6x 4y.

fx, y 16 x 2 y 2 2x 4y

1, 2, 4

gx, y 2x y.

f x, y 6 x 2 y 2 4

2

3 , 3 2 , 3 2 .

2, 2 , 1 2 . 0 y 2 .

3 x 3

fx, y

sen y

x

1, 2,

4

5 .

1, 1, 1 .

0 y 3.

2 x 2

fx, y

4xy

x 2 1 y 2 1

x 4y z 0.

x 2 4y 2 z 2 1

z 3 2t.

x 2 4t, y 1 8t

x 2 4y 2 z 2 9

4x 2 y 2 16z 2 24, 1, 2, 1

x 2 y 2 z 2 2x 4y 4z 12 0,

z 2xy 2 , 8x 2 5y 2 8z 13, 1, 1, 2

2, 3, 3

x 2 y 2 2z 7,

x 2 y 2 z 2 8x 12y 4z 42 0,

1, 1, 0

x 2 y 2 z 2 6x 10y 14 0,

x 2 2y 2 3z 2 3,

z

xy

1

x

1

y

z

5xy

z 4x 2 4xy 2y 2 8x 5y 4

z x 2 xy y 2 2x 2y

z 3x 2 2y 2 3x 4y 5

z 3 x 2 y 2 6y




at







x 0 , y 0 , z 0 .

F x, y, z 0





point 5, 13, 12 .

5, 13, 12 .

x 2 y 2 z 2 0.

CAPSTONE

CAS

CAS

CAS

CAS



51.

52.

53.

54.

55.

56.




57.

58.




59.

60.



equations

y




on the intervals

y







on the intervals

y







y







fx, y 16 x 2 y 2 2x 4y

1, 2, 4

gx, y 2x y.

f x, y 6 x 2 y 2 4

2

3 , 3 2 , 3 2 .

2, 2 , 1 2 . 0 y 2 .

3 x 3

fx, y

sen y

x

1, 2,

4

5 .

1, 1, 1 .

0 y 3.

2 x 2

fx, y

4xy

x 2 1 y 2 1

x 4y z 0.

x 2 4y 2 z 2 1

z 3 2t.

x 2 4t, y 1 8t

x 2 4y 2 z 2 9

4x 2 y 2 16z 2 24, 1, 2, 1

x 2 y 2 z 2 2x 4y 4z 12 0,

z 2xy 2 , 8x 2 5y 2 8z 13, 1, 1, 2

2, 3, 3

x 2 y 2 2z 7,

x 2 y 2 z 2 8x 12y 4z 42 0,

1, 1, 0

x 2 y 2 z 2 6x 10y 14 0,

x 2 2y 2 3z 2 3,

z

xy

1

x

1

y

z

5xy

z 4x 2 4xy 2y 2 8x 5y 4

z x 2 xy y 2 2x 2y

z 3x 2 2y 2 3x 4y 5

z 3 x 2 y 2 6y




CAS

CAS

CAS

1053714_1307.qxp 10/27/08 12:09 PM Page 952



51.

52.

53.

54.

55.

56.




57.

58.




59.

60.


on the intervals

y







on the intervals

y







y gx, y 2x y.

f x, y 6 x 2 y 2 4

2

3 , 3 2 , 3 2 .

2, 2 , 1 2 . 0 y 2 .

3 x 3

fx, y

sen y

x

1, 2,

4

5 .

1, 1, 1 .

0 y 3.

2 x 2

fx, y

4xy

x 2 1 y 2 1

4x 2 y 2 16z 2 24, 1, 2, 1

x 2 y 2 z 2 2x 4y 4z 12 0,

z 2xy 2 , 8x 2 5y 2 8z 13, 1, 1, 2

2, 3, 3

x 2 y 2 2z 7,

x 2 y 2 z 2 8x 12y 4z 42 0,

1, 1, 0

x 2 y 2 z 2 6x 10y 14 0,

x 2 2y 2 3z 2 3,

z

xy

1

x

1

y

z

5xy

z 4x 2 4xy 2y 2 8x 5y 4

z x 2 xy y 2 2x 2y

z 3x 2 2y 2 3x 4y 5

z 3 x 2 y 2 6y


CAS

CAS

1053714_1307.qxp 10/27/08 12:09 PM Page 952



51.

52.

53.

54.

55.

56.




57.

58.




59.

60.



equations

y




on the intervals

y







on the intervals

y







y







y










given form.

71. Ellipsoid:

Plane: x 0x

a 2

y 0 y

b 2

z 0 z

c 2 1

x 2

a 2 y 2

b 2 z 2

c 2 1

x 0 , y 0 , z 0 g.

f

gx, y

2

2

1 3x 2 y 2 6x 4y.

fx, y 16 x 2 y 2 2x 4y

1, 2, 4

gx, y 2x y.

f x, y 6 x 2 y 2 4

2

3 , 3 2 , 3 2 .

2, 2 , 1 2 . 0 y 2 .

3 x 3

fx, y

sen y

x

1, 2,

4

5 .

1, 1, 1 .

0 y 3.

2 x 2

fx, y

4xy

x 2 1 y 2 1

x 4y z 0.

x 2 4y 2 z 2 1

z 3 2t.

x 2 4t, y 1 8t

x 2 4y 2 z 2 9

4x 2 y 2 16z 2 24, 1, 2, 1

x 2 y 2 z 2 2x 4y 4z 12 0,

z 2xy 2 , 8x 2 5y 2 8z 13, 1, 1, 2

2, 3, 3

x 2 y 2 2z 7,

x 2 y 2 z 2 8x 12y 4z 42 0,

1, 1, 0

x 2 y 2 z 2 6x 10y 14 0,

x 2 2y 2 3z 2 3,

z

xy

1

x

1

y

z

5xy

z 4x 2 4xy 2y 2 8x 5y 4

z x 2 xy y 2 2x 2y

z 3x 2 2y 2 3x 4y 5

z 3 x 2 y 2 6y




at







x 0 , y 0 , z 0 .

F x, y, z 0





point 5, 13, 12 .

5, 13, 12 .

x 2 y 2 z 2 0.

CAPSTONE

CAS

CAS

CAS

CAS


72. Hiperboloide:

Plano:

73. Demostrar que todo plano tangente al cono

z 2 a 2 x 2 b 2 y 2

pasa por el origen.

74. Sea f una función derivable y considérese la superficie

z xf yx. Mostrar que el plano tangente a cualquier punto

Px 0 , y 0 , z 0 de la superficie pasa por el origen.

75. Aproximación Considerar las aproximaciones siguientes para

una función f x, y centrada en 0, 0.

CAS

Aproximación lineal:

P 1 x, y f 0, 0 f x 0, 0x f y 0, 0y

Aproximación cuadrática:

P 2 x, y f 0, 0 f x 0, 0x f y 0, 0y

1

2 f xx0, 0x 2 f xy 0, 0xy 1 2 f yy0, 0y 2

[Observar que la aproximación lineal es el plano tangente a la

superficie en (0, 0, f (0, 0)).]

a) Hallar la aproximación lineal a f x, y e xy centrada en

(0, 0).

b) Hallar la aproximación cuadrática a f x, y e xy centrada

en (0, 0).

c) Si x 0 en la aproximación cuadrática, ¿para qué función se

obtiene el polinomio de Taylor de segundo orden? Responder

la misma pregunta para y 0.

d) Completar la tabla.

e) Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar

gráficamente las superficies z ƒ(x, y), z P 1

(x, y) y z

P 2

(x, y).

76. Aproximación Repetir el ejercicio 75 con la función ƒ(x, y)

cos (x + y).

77. Demostrar que el ángulo de inclinación del plano tangente a la

superficie z f x, y en el punto x 0 , y 0 , z 0 está dado por

cos

x 2

a 2 y2

b 2 z2

c 2 1

x 0 x

a y 0y

2 b z 0z

2 c 1 2

x y f x, y P 1 x, y P 2 x, y

0 0

0 0.1

0.2 0.1

0.2 0.5

1 0.5

1

[ f x x 0 , y 0 ] 2 [ f y x 0 , y 0 ] 2 1 .

78. Demostrar el teorema 13.14.

PROYECTO DE TRABAJO

Flora silvestre

La diversidad de la flora silvestre en una pradera se puede medir contando

el número de margaritas, lirios, amapolas, etc. Si existen n

tipos de flores silvestres, cada una en una proporción p i

respecto a la

población total, se sigue que p 1 p 2 . . . p n 1. La medida

de diversidad de la población se define como

H n

p i log 2 p i .

i1

En esta definición, se entiende que p i log 2 p i 0 cuando p i 0.

Las tablas muestran las proporciones de flores silvestres en una

pradera en mayo, junio, agosto y septiembre.

Mayo

Tipo de flor 1 2 3 4

Proporción

5 5 5 1

16 16 16 16

Junio


1 1 1 1

Proporción 4 4 4 4

Agosto


1

0

1 1

Proporción 4

4 2

Septiembre


Proporción 0 0 0 1

a) Determinar la diversidad de flores silvestres durante cada mes.

¿Cómo se interpretaría la diversidad en septiembre? ¿Qué mes

tiene mayor diversidad?

b) Si la pradera contiene 10 tipos de flores silvestres en proporciones

aproximadamente iguales, la diversidad de la población

¿es mayor o menor que la diversidad de una distribución similar

con 4 tipos de flores? ¿Qué tipo de distribución (de 10 tipos de

flores silvestres) produciría la diversidad máxima?

c) Sea H n la diversidad máxima de n tipos de flores silvestres.

¿Tiende a algún límite cuando n → ?

H n

PARA MAYOR INFORMACIÓN Los biólogos utilizan el concepto

de diversidad para medir las proporciones de diferentes tipos de

organismos dentro de un medio ambiente. Para más información

sobre esta técnica, ver el artículo “Information Theory and Biological

Diversity” de Steven Kolmes y Kevin Mitchell en la UMAP Modules.


13.8 Extremos de funciones de dos variables

■ Hallar extremos absolutos y relativos de una función de dos variables.

■ Utilizar el criterio de las segundas derivadas parciales para hallar un extremo relativo

de una función de dos variables.

Mínimo

x

Superficie:

z = f(x, y)

Máximo

z

Región acotada

cerrada R

R contiene algún(os) punto(s) donde

f (x, y) es un mínimo y algún(os) punto(s)

donde f (x, y) es un máximo

Figura 13.64

y

Extremos absolutos y extremos relativos

En el capítulo 3 se estudiaron las técnicas para hallar valores extremos de una función de

una (sola) variable. En esta sección se extienden estas técnicas a funciones de dos variables.

Por ejemplo, en el teorema 13.15 se extiende el teorema del valor extremo para una

función de una sola variable a una función de dos variables.

Considérese la función continua f de dos variables, definida en una región acotada

cerrada R. Los valores f (a, b y f c, d tales que

f a, b ≤ f x, y) ≤ f c, d

a, b y c, d están en R.

para todo x, y en R se conocen como el mínimo y máximo de f en la región R, como se

muestra en la figura 13.64. Recuérdese de la sección 13.2 que una región en el plano es

cerrada si contiene todos sus puntos frontera. El teorema del valor extremo se refiere a una

región en el plano que es cerrada y acotada. A una región en el plano se le llama acotada

si es una subregión de un disco cerrado en el plano.

TEOREMA 13.15

TEOREMA DEL VALOR EXTREMO

Sea f una función continua de dos variables x y y definida en una región acotada

cerrada R en el plano xy.

1. Existe por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor mínimo.

2. Existe por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor máximo.

A un mínimo también se le llama un mínimo absoluto y a un máximo también se le

llama un máximo absoluto. Como en el cálculo de una variable, se hace una distinción

entre extremos absolutos y extremos relativos.

DEFINICIÓN DE EXTREMOS RELATIVOS

z

Sea f una función definida en una región R que contiene x 0 , y 0 .

1. La función f tiene un mínimo relativo en x 0 , y 0 si

f x, y ≥ f x 0 , y 0

para todo x, y en un disco abierto que contiene x 0 , y 0 .

2. La función f tiene un máximo relativo en x 0 , y 0 si

f x, y ≤ f x 0 , y 0

para todo x, y en un disco abierto que contiene x 0 , y 0 .

x

5

Extremos relativos

Figura 13.65

5

y

Decir que f tiene un máximo relativo en x 0 , y 0 significa que el punto x 0 , y 0 , z 0 es

por lo menos tan alto como todos los puntos cercanos en la gráfica de z f x, y. De manera

similar, f tiene un mínimo relativo en x 0 , y 0 si x 0 , y 0 , z 0 es por lo menos tan bajo

como todos los puntos cercanos en la gráfica. (Ver la figura 13.65.)

SECCIÓN 13.8 Extremos de funciones de dos variables 955

Para localizar los extremos relativos de f, se pueden investigar los puntos en los que

el gradiente de f es 0 o los puntos en los cuales una de las derivadas parciales no exista.

Tales puntos se llaman puntos críticos de f.

DEFINICIÓN DE LOS PUNTOS CRÍTICOS


KARL WEIERSTRASS (1815-1897)

Aunque el teorema del valor extremo había

sido ya utilizado antes por los matemáticos,

el primero en proporcionar una

demostración rigurosa fue el matemático

alemán Karl Weierstrass. Weierstrass también

proporcionó justificaciones rigurosas

para muchos otros resultados matemáticos

ya de uso común. A él se deben muchos de

los fundamentos lógicos sobre los cuales se

basa el cálculo moderno.

Sea f definida en una región abierta R que contiene x 0 , y 0 . El punto x 0 , y 0 es un

punto crítico de f si se satisface una de las condiciones siguientes:

1. f x x 0 , y 0 0 y f y x 0 , y 0 0

2. f x x 0 , y 0 o f y x 0 , y 0 no existe.

Recuérdese del teorema 13.11 que si f es diferenciable y

f x 0 , y 0 f x (x 0 , y 0 i f y x 0 , y 0 j

0i 0j

entonces toda derivada direccional en x 0 , y 0 debe ser 0. Esto implica que la función tiene

un plano tangente horizontal al punto x 0 , y 0 , como se muestra en la figura 13.66. Al parecer,

tal punto es una localización probable para un extremo relativo. Esto es ratificado por

el teorema 13.16.

z

Superficie:

z = f(x, y)

z

Superficie:

z = f(x, y)

(x 0 , y 0 , z 0 )

(x 0 , y 0 , z 0 )

x

(x 0 , y 0 )

y

x

(x 0 , y 0 )

y

Máximo relativo

Figura 13.66

Mínimo relativo

TEOREMA 13.16

LOS EXTREMOS RELATIVOS SE PRESENTAN SÓLO EN PUNTOS CRÍTICOS

Si f tiene un extremo relativo en x 0 , y 0 en una región abierta R, entonces x 0 , y 0 es

un punto crítico de f.

EXPLORACIÓN

Utilizar una herramienta de graficación para representar

z

z x 3 3xy y 3

3

usando las cotas 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3, y

3 ≤ z ≤ 3. Esta vista parece sugerir que la superficie

tuviera un mínimo absoluto. Pero,

¿lo tiene?

3

x

3

y

−3


EJEMPLO 1

Hallar un extremo relativo

Hallar los extremos relativos de

x

Superficie:

f(x, y) = 2x 2 + y 2 + 8x − 6y + 20

6

5

4

3

2

1

z

−2 −3 −4 1

2

3

4

(−2, 3, 3)

La función z fx, y tiene un mínimo

relativo en 2, 3.

Figura 13.67

5

y

f x, y 2x 2 y 2 8x 6y 20.

Solución Para comenzar, encontrar los puntos críticos de f. Como

f x x, y 4x 8 Derivada parcial con respecto a x.

y

f y x, y 2y 6 Derivada parcial con respecto a y.

están definidas para todo x y y, los únicos puntos críticos son aquellos en los cuales las

derivadas parciales de primer orden son 0. Para localizar estos puntos, se hacen f x x, y y

f y x, y igual a 0, y se resuelven las ecuaciones

4x 8 0 y 2y 6 0

para obtener el punto crítico 2, 3. Completando cuadrados, se concluye que para todo

x, y 2, 3

f x, y 2x 2 2 y 3 2 3 > 3.

Por tanto, un mínimo relativo de f se encuentra en 2, 3. El valor del mínimo relativo es

f 2, 3 3, como se muestra en la figura 13.67.

El ejemplo 1 muestra un mínimo relativo que se presenta en un tipo de punto crítico;

el tipo en el cual ambos f x x, y y f y x, y son 0. En el siguiente ejemplo se presenta un

máximo relativo asociado al otro tipo de punto crítico; el tipo en el cual f x x, y o f y x, y

no existe.

EJEMPLO 2

Hallar un extremo relativo

x

4

Superficie:

f(x, y) = 1 − (x 2 + y 2 ) 1/3

3 2 1

z

(0, 0, 1)

4

y

Determinar los extremos relativos de

Solución Como

2x

f x x, y Derivada parcial con respecto a x.

y

3x 2 y 2 23

f y x, y

3x 2 y 2 23 f x, y 1 x 2 y 2 13 .

2y


f x x, y y f y x, y están indefinidas en

0, 0.

Figura 13.68

se sigue que ambas derivadas parciales existen para todo punto en el plano xy salvo para

(0, 0). Como las derivadas parciales no pueden ser ambas 0 a menos que x y y sean 0, se

concluye que (0, 0) es el único punto crítico. En la figura 13.68 se observa que f (0, 0) es

1. Para cualquier otro (x, y) es claro que

f x, y 1 x 2 y 2 13 < 1.

Por tanto, f tiene un máximo relativo en 0, 0.

NOTA En el ejemplo 2, f x x, y 0 para todo punto distinto de (0, 0) en el eje y. Sin embargo,

como f y x, y no es cero, éstos no son puntos críticos. Recuérdese que una de las derivadas parciales

debe no existir o las dos deben ser 0 para tener un punto crítico.

■


z f(x, y) = y 2 − x 2

El criterio de las segundas derivadas parciales

El teorema 13.16 afirma que para encontrar extremos relativos sólo se necesita examinar

los valores de f x, y en los puntos críticos. Sin embargo, como sucede con una función de

una variable, los puntos críticos de una función de dos variables no siempre son máximos

o mínimos relativos. Algunos puntos críticos dan puntos silla que no son ni máximos relativos

ni mínimos relativos.

Como ejemplo de un punto crítico que no es un extremo relativo, considérese la superficie

dada por

y

f x, y y 2 x 2

Paraboloide hiperbólico.

x

Punto silla en 0, 0, 0:

f x 0, 0 f y 0, 0 0

Figura 13.69

que se muestra en la figura 13.69. En el punto (0, 0), ambas derivadas parciales son 0. Sin

embargo, la función f no tiene un extremo relativo en este punto ya que en todo disco abierto

centrado en (0, 0) la función asume valores negativos (a lo largo del eje x) y valores positivos

(a lo largo del eje y). Por tanto, el punto (0, 0, 0) es un punto silla de la superficie.

(El término “punto silla” viene del hecho de que la superficie mostrada en la figura 13.69

se parece a una silla de montar.)

En las funciones de los ejemplos 1 y 2, fue relativamente fácil determinar los extremos

relativos, porque cada una de las funciones estaba dada, o se podía expresar, en forma de

cuadrado perfecto. Con funciones más complicadas, los argumentos algebraicos son

menos adecuados y es mejor emplear los medios analíticos presentados en el siguiente criterio

de las segundas derivadas parciales. Es el análogo, para funciones de dos variables,

del criterio de las segundas derivadas para las funciones de una variable. La demostración

de este teorema se deja para un curso de cálculo avanzado.

TEOREMA 13.17

CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES

Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta

que contiene un punto (a, b) para el cual

f x a, b 0

y

f y a, b 0.

Para buscar los extremos relativos de f, considérese la cantidad

d f xx a, bf yy a, b f xy a, b 2 .

1. Si d > 0 y f xx a, b > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en a, b.

2. Si d > 0 y f xx a, b < 0, entonces f tiene un máximo relativo en a, b.

3. Si d < 0, entonces a, b, f a, b es un punto silla.

4. Si d 0 el criterio no lleva a ninguna conclusión.

NOTA Si d > 0, entonces f xx

a, b y f yy a, b deben tener el mismo signo. Esto significa que

f xx

a, b puede sustituirse por f yy a, b en las dos primeras partes del criterio. ■

Un recurso conveniente para recordar la fórmula de d en el criterio de las segundas

derivadas parciales lo da el determinante 2 2

d f xxa, b f xy a, b

f yx a, b f yy a,

donde f xy a, b f yx a, b de acuerdo al teorema 13.3.


EJEMPLO 3

Aplicación del criterio de las segundas derivadas parciales

z

Identificar los extremos relativos de

f x, y x 3 4xy 2y 2 1.

x

Máximo

relativo

3

4,

4

3 3

2

( )

9

8

7

6

5

4

3

Punto silla

(0, 0, 1)

f(x, y) = −x 3 + 4xy − 2y 2 + 1

Figura 13.70

4

y

Solución Para comenzar, se identifican los puntos críticos de f. Como

f x x, y 3x 2 4y y f y x, y 4x 4y

existen para todo x y y, los únicos puntos críticos son aquellos en los que ambas derivadas

parciales de primer orden son 0. Para localizar estos puntos, se igualan a 0 f x x, y y

f y se obtiene 3x 2 y x, y

4y 0 y 4x 4y 0. De la segunda ecuación se sabe que

x y, y por sustitución en la primera ecuación, se obtienen dos soluciones: y x 0 y

y x 4 3 . Como

f xx x, y 6x, f yy x, y 4, y f xy x, y 4

se sigue que, para el punto crítico (0, 0),

d f xx 0, 0f yy 0, 0 f xy 0, 0 2 0 16 < 0

y, por el criterio de las segundas derivadas parciales, se puede concluir que (0, 0, 1) es un

punto silla. Para el punto crítico 4 3 , 4 3,

d f xx 4 3 , 4 3 f yy 4 3 , 4 3 f xy 4 3 , 4 3 2

84 16

16

> 0

y como f se concluye que f tiene un máximo relativo en 4 3 , 4 xx 4 3 , 4 3 8 < 0

3, como se


Con el criterio de las segundas derivadas parciales pueden no hallarse los extremos

relativos por dos razones. Si alguna de las primeras derivadas parciales no existe, no se

puede aplicar el criterio. Si

d f xx a, bf yy a, b f xy a, b 2 0

el criterio no es concluyente. En tales casos, se pueden tratar de hallar los extremos mediante

la gráfica o mediante algún otro método, como se muestra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 4

Cuando el criterio de las segundas derivadas

parciales no es concluyente

f(x, y) = x 2 y 2

2

x

Figura 13.71

z

1

Si y = 0,

entonces f (x, y) = 0

2

Si x = 0,

entonces f (x, y) = 0

y

Hallar los extremos relativos de f x, y x 2 y 2 .

Solución Como f y f y x, y 2x 2 x x, y 2xy 2 y, se sabe que ambas derivadas parciales

son igual a 0 si x 0 o y 0. Es decir, todo punto del eje x o del eje y es un punto crítico.

Como

f f yy x, y 2x 2 xx x, y 2y 2 ,

, y f xy x, y 4xy

se sabe que si x 0 o y 0, entonces

d f xx x, yf yy x, y f xy x, y 2

4x 2 y 2 16x 2 y 2 12x 2 y 2 0.

Por tanto, el criterio de las segundas derivadas parciales no es concluyente, no funciona. Sin

embargo, como f x, y 0 para todo punto en los ejes x o y y fx, y x 2 y 2 > 0 en todos

los otros puntos, se puede concluir que cada uno de estos puntos críticos son un mínimo

absoluto, como se muestra en la figura 13.71.


Los extremos absolutos de una función se pueden presentar de dos maneras. Primero,

algunos extremos relativos también resultan ser extremos absolutos. Así, en el ejemplo 1,

f 2, 3 es un mínimo absoluto de la función. (Por otro lado, el máximo relativo encontrado

en el ejemplo 3 no es un máximo absoluto de la función.) Segundo, los extremos

absolutos pueden presentarse en un punto frontera del dominio. Esto se ilustra en el ejemplo

5.

x

3

Superficie:

f(x, y) = sen xy

Máximo

absoluto

Mínimo

absoluto

Figura 13.72

1

z

( π, 1)

Mínimo

absoluto

1

π

xy = 2

y

Dominio:

0 ≤ x ≤ π

0 ≤ y ≤ 1

EJEMPLO 5 Encontrar extremos absolutos

Hallar los extremos absolutos de la función

f x, y sen sin xy

en la región cerrada dada por 0 ≤ x ≤

y 0 ≤ y ≤ 1.

Solución La expresión de las derivadas parciales

f x x, y y cos xy y f y x, y x cos xy

permite ver que todo punto en la hipérbola dada por xy 2 es un punto crítico. En

todos estos puntos el valor de f es

f x, y sen sin

2 1

el cual se sabe que es el máximo absoluto, como se muestra en la figura 13.72. El otro

punto crítico de f que se encuentra en la región dada es 0, 0. Este punto da un mínimo

absoluto de 0, ya que

0 ≤ xy ≤

implica que

0 ≤ sen sin xy ≤ 1.

Para localizar otros extremos absolutos se deben considerar las cuatro fronteras de la

región formadas por las trazas, de los planos verticales x 0, x = p, y = 0 y y = 1. Al hacer

esto, se encuentra que sen xy 0 en todos los puntos del eje x, en todos los puntos del

eje y y en el punto , 1. Cada uno de estos puntos es un mínimo absoluto de la superficie,


Los conceptos de extremos relativos y puntos críticos pueden extenderse a funciones

de tres o más variables. Si todas las primeras derivadas parciales de

w f x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n

existen, puede mostrarse que se presenta un máximo o un mínimo relativo en (x 1

, x 2

,

x 3

, . . . , x n

) sólo si cada una de las primeras derivadas parciales en ese punto es 0. Esto significa

que los puntos críticos se obtienen al resolver el sistema de ecuaciones siguiente.

f x1 x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n 0

f x2

x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n 0

f xn

x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n 0

La extensión del teorema 13.17 a tres o más variables también es posible, aunque no se

considerará en este texto.


CAS

En los ejercicios 1 a 6, identificar los extremos de la función

reconociendo su forma dada o su forma después de completar

cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas parciales

para localizar los puntos críticos y probar si son extremos

relativos.

1. g x, y x 1) 2 y 3 2

2. g x, y 5 x 3 2 y 2 2

3. f x, y x 2 y 2 1

4. f x, y 25 x 2 2 y 2

5. f x, y x 2 y 2 2x 6y 6

6. f x, y x 2 y 2 10x 12y 64

En los ejercicios 7 a 16, examinar la función para localizar los

extremos relativos.


y representar la superficie y localizar los extremos relativos

y los puntos silla.

17.

13.8 Ejercicios

7. f x, y 3x 2 2y 2 6x 4y 16

8. f x, y 3x 2 2y 2 3x 4y 5

9. f x, y x 2 5y 2 10x 10y 28

10. f x, y 2x 2 2xy y 2 2x 3

11. z x 2 1

xy 2 y 2 2x y

12. z 5x 2 4xy y 2 16x 10

13. f x, y x 2 y 2

14. h x, y x 2 y 2 1 3 2

15. g x, y 4 x y 16. f x, y x y 2

z

4x

x 2 y 2 1

18. f x, y y 3 3yx 2 3y 2 3x 2 1

19. z x 2 4y 2 e 1x2 y 2

20. z e xy

En los ejercicios 21 a 28, examinar la función para localizar los

extremos relativos y los puntos silla.

21. h x, y 80x 80y x 2 y 2

22. g x, y x 2 y 2 x y

23. g x, y xy

24. h x, y x 2 3xy y 2

25. f x, y x 2 xy y 2 3x y

z

4

3

x

3

y

CAS

26.

27.

28.

f x, y 2xy 1 2x 4 y 4 1

−2

z e x sen sin y

y

6 3π

x

z

1

2 x2 y 2 y 2 e1x2

x

4

En los ejercicios 29 y 30, buscar los extremos de la función sin

utilizar los criterios de la derivada. Utilizar un sistema algebraico

por computadora y representar gráficamente la superficie.

(Sugerencia: Por observación, determinar si es posible que z

sea negativo. ¿Cuándo z es igual a 0?)

x y4

29. z 30.

x 2 y 2

2

z

8

6

4

2

3

z

z x2 y 2 2

x 2 y 2

Para pensar En los ejercicios 31 a 34, determinar si hay un

máximo relativo, un mínimo relativo, un punto silla, o si la información

es insuficiente para determinar la naturaleza de la función

f x, y en el punto crítico x 0 , y 0 .

31. f xx x 0 , y 0 9, f yy x 0 , y 0 4, f xy x 0 , y 0 6




x

2

z

y

4

y

6. fx, y x y 10x 12y 64

x

In Exercises 7–16, examine the function for relative extrema.

27. z e x sin y

7. fx, y 3x 2 2y 2 6x 4y 16

SECCIÓN 13.8 Extremos z de funciones de dos variables 961

8. f x, y 3x 2 2y 2 3x 4y 5

13.8 Extrema of Functions of Two Variables 961

13.8 Extrema of 8 Functions of Two Variables 961

9. fx, y x 2 5y 2 10x 10y 28

13.8 Extrema of Functions of Two Variables 961

35. Una función f tiene segundas derivadas parciales continuas en

6

10.

una región abierta que contiene el punto crítico (3, 7). La fun-

xtiene 2 1


35.

f

A

x,

function

y 2x 2 f has

2xy

continuous

y 2 2x

second

3

partial derivatives on an

11. 35. 4

zción open

function

region xy un f

containing

has mínimo 2 y 2 continuous 2x en the (3, ycritical 7) second y d point > partial 0 para 3,

derivatives

7 el . criterio The function

on de an WRITING ABOUT CONCEPTS

35. A function f has continuous second partial derivatives las an WRITING

segundas open derivadas parciales. Determinar el intervalo para

La figura muestra las 2 curvas de nivel de una función descono-

x,

12. zhas a minimum

region containing

5x 2 4xyat 3, y 2 7 ,

the

and

critical

16xd > 10 0 for

point

the Second

3, 7 . The

Partials

function 55. WRITING

ABOUT

The figure ABOUT

CONCEPTS

shows the CONCEPTS level curves for an unknown function

open region containing the critical point 3, 7 . The function Test. 55. The

f xy 3, 7 si f xx 3, 7 2 y f yy 3, 7 8.

fcida

figure

y f.

x, What,

shows

y. ¿Qué if any,

the

información, information

level curves

si can

for

es be

an

que given

unknown

hay about

function

has

Determine

a minimum

the

at alguna, puede

13. fx, y x 2 interval

3, 7 , and

y 2 for

d >

f

0 for

xy 3, 7

the

if

Second

f xx 3,

Partials

7 2

Test.

and

55. The figure shows the level curves for an unknown function f at the

has a minimum at 3, 7 , and d > 0 for the Second Partials Test. f

point

x, y

darse A?

. What,

acerca Explain

if any,

de f en your

information

el punto reasoning.

can be given about f at the

Determine

36. Una f

A? Explicar el razonamiento.

yy 3, función 7 8.

the interval for f

f tiene segundas derivadas xy 3, 7 if f

parciales xx 3, 7 2 and

f x, y . What, if any, information can be given about f at the

Determine the interval for f continuas en una

y

14. hx, f y x

región abierta 2 y

que 2 contiene 1 3 y 6 3π

yy 3, 7 8. 2 xy 3, 7 if f xx 3, 7 2 and point A? Explain your reasoning.

point A? Explain y your reasoning. y

36. A f yy function 3, 7 8. f has continuous el punto second crítico partial (a, derivatives b). Si f xx a, on bany

y x

y

15. 36. g fopen x,

yy a, function y b region tiene 4 f

containing signos has x continuous opuestos, y the critical

second ¿qué 16. implica point fx, partial y a, esto? b

derivatives x.

Explicar. If fy 2

xx a, b

on

and

an

y

y

36. A function f has continuous second partial derivatives on open

f

1

In En Exercises los ejercicios 17–20, 37 use a 42, a computer a) hallar algebra los puntos system críticos, to graph b) determinar

the

28. z

x 2

2 y 2 e 1 x2 y 2

CAS yy a,

region

b have

containing

opposite signs,

the critical

what is

point

implied?

a, b

Explain.

. If f xx a, b and

open region containing the critical point a, b . If f A

D

A

f yy a, b have opposite signs, what is implied? Explain. xx a, b and

x

f A

D A

surface yy los

a,

extremos

b have opposite

relativos,

signs,

c) indicar

what is

los

implied?

puntos

Explain.

and locate any relative extrema and saddle críticos points. en los

A

z

D A

CAS In Exercises 37– 42, (a) find the critical points, (b) test for

x

CAS cuales In

relative

Exercises el

extrema,

criterio 37– de las segundas derivadas parciales no concluyente,

y d) usar

4x (c)

42,

list

(a)

the

find

critical

the critical

points for

points,

which

(b)

the

test

Second

for

CAS In Exercises 37– 42, (a) find the critical points, (b) test for

17. relative

Partials z extrema, un sistema algebraico por computadora para

2

trazar la x

Test 2

función, y

fails,

(c) 2 1

and

list the

(d)

critical

use a computer

points for

algebra

which the

system

Second

B

relative extrema, (c) list the critical points for which the Second to

B C

Partials

graph the

Test

function,

fails, clasificando and

labeling

(d) use

any

cualesquiera a

extrema

computer

and

algebra puntos

saddle

extremos

points.

system toy

B

Partials Test fails, and (d) use a computer algebra system to

C

18. puntos fx, silla. y y 3 3yx 2 3y 2 3x 2 C

graph the function, labeling any extrema 1 and saddle points.

graph the function, labeling any extrema and saddle points.

19.

37. zf fx,

x, y

yx 2 x4y 3 2 e y 1 3 x2 y

37. fx, y x 3 y 2

Figure Figura for para 55 55 Figure Figura for para 56 56

20.

38. 37.

zf fx,

x, ey y xy x 3 y 3

3

6x 2 9y 2 12x

27y

19


La

Figure

figura

for

muestra

55

las curvas de

Figure

nivel de

for

una

56

38. fx, y x 3 y 3 6x 2 9y 2 12x 27y 19

56. The figure shows the level curves for an unknown función function des-

39. 38.

f fx,

x, y y x

x 3 1

1y 3 2 y

y 6x 2

4

4 2 9y 2 12x 27y 19

56. The

fconocida x,

figure

y . What, f(x, shows

if y). any,

the ¿Qué information

level información, curves

can be

an si given

unknown es que about hay function alguna, y

In 39. Exercises fx, y 21–28, x 1 examine 2 y 4 2

56. The figure shows the level curves an unknown 4function

f at the

the function for relative extrema

40. 39.

f fx,

x, y y x

x

x 1

1

1 2 2 y 4

y

y 2

2

2 2

f

points puede x, y .

A, darse What,

B, C, acerca if

and

any,

D? de information fExplain en los puntos your

can be

reasoning. A, given B, Cabout y D? Explicar f at the

f x, y . What,

and saddle points.

4

if any, information can be given about f at the

40. fx, y x 1 2 y 2 2

points el razonamiento. A, B, C, and D? Explain your reasoning.

41. 40.

f fx,

x, y y

x 23 23 x

y1 23 232

y 2 2

42.

f

fx,

x, y

y

x

x 2 y 2 223

points A,

21.

23

xB,

C, and D? Explain your reasoning.

41. hx, fx, y 80x x 23 80y y x 2 y 2 42. fx, y x 2 y In

En

Exercises

los ejercicios

57–59, a

sketch

59, dibujar

the

la

graph

gráfica

of

de

an

una

arbitrary

41. fx, y x 23 y 23

23

42. fx, y x 2 y 223

223

función

CAS In

In

22. En In Exercises los ejercicios 43 y hallar los puntos críticos de la función arbitraria

Exercises

f

29

que

and

satisfaga

30, examine

las condiciones

the function

dadas.

for

Decir

extrema

gx, y x

43 2 and

y 2 44,

x

find

y

the critical points of the function function

Exercises

f satisfying

57–59,

the

sketch

given

the

conditions.

graph

State

of an

whether

arbitrary

In Exercises 57–59, sketch the graph of an arbitrary si

the

la

In without

y, and,

Exercises

por from la forma the

43

form

and

de la of

44,

función, the

find

function,

the critical

determinar determine

points

si se whether

of the

presenta a

function function

relative

máximo

maximum

función

using f

tiene

has

satisfying

the any

extremos

derivative extrema

the given

o puntos

or tests, saddle

conditions.

and

silla.

points. use

(Hay

a

State

computer (There

whether

muchas

are

respuestas

correctas.)

algebra many

the

In Exercises 43 and 44, find the critical points of the function function f satisfying the given conditions. State whether the

23. and, gx, y xy

system from the

o un mínimo or a

form

relative

of the

relativo minimum

function,

en cada occurs

determine

punto. at each

whether

point.

a relative function

correct to answers.) graph

has any

the

extrema

surface.

or

(Hint:

saddle

By

points.

observation,

(There are

determine

many

and, from the form of the function, determine whether a relative function has any extrema or saddle points. (There are many

24. maximum hx, y or xa 2 relative 3xy minimum y 2 occurs at each point.

if

correct

it is possible

answers.)

maximum or a relative minimum occurs at each point.

correct answers.) for z to be negative. When is z equal to 0?)

43. f x, y, z x 2 y 3 2 z 1 2 57. f x f x x, y y > 0

and y f y fx, y x, y y < < 00para for all todo x, x, y . y.

25. 43.

fx, y, z x 2 x 2 xy y y 2 3 2 3x z y 1 2 57. f x x,

29. Todas xy >

las y primeras y segundas 30. derivadas x

z

2 parciales y

z

4 0 and f y x, y < 0 for all x, y . 2 2

44. 43. ffx, y, y, z de f son 0.

z

9x 2 x y 31 2 z z2 2 1 2 58. 57. All f x x, of y the > first 0 and and f y second x, y < partial 0 for all derivatives x, y . of f are 0.

44. fx, y, z 9 xy 1 z 2 2

58. All xof x f x 0, 2 the y

0 2 first and second partial derivatives f y 0, 0 0

2 yof 2 f are 0.

44. fx, y, z 9 xy 1 z 2 2

59. 58. f x

All of 0 the 0, first f y

and 0second 0 partial derivatives of f are 0.

En In los Exercises ejercicios 45–54, 4

a find 54, hallar the absolute los extremos extrema absolutos of the de function la función

In en la región R. (En cada caso, R contiene sus puntos fron-

59. f x 0, 0 0, f y 0, 0 0

Think About It

In 0, Exercises f

tera.) Utilizar un sistema algebraico por computadora y confirmar

los resultados.

x x, y , 31–34, f determine 0,

whether there is

over

Exercises

the region

45–54,

R. (In

find

each

the

case,

absolute

R contains

extrema

the boundaries.)

of the function

59. f x 0, 0

Use

< 0,

0, f y x

0,

<

0

0

0

a relative f x maximum, y a relative yx, minimum, y a saddle point, or

a computer algebra system to confirm your results.

> 0,

> , f y y > 0, y < 0

In Exercises 45–54, find the absolute extrema of the function

over the region R. (In each case, R contains the boundaries.) Use

< 0, x < 0

f < 0,

> insufficient x x, y

a computer algebra system to confirm your results.

information > 0, x > to 0 , determine f y x, y > 0, y < 0

over the region R. (In each case, R contains the boundaries.) Use

< 0, x < 0

f x x, y

the < 0, nature y > of 0 the function

a computer algebra system

y

to confirm your results.

f xx x, y f yy x, y <

f x, y

f 0, y f xy x, y para todo x, y.

45. fx, y x 2 4xy 5

at xx the y >

critical 0, f yy

x

point

> y 0 , <

x

0,

f y

0 , y

and x,

0 .

f y > 0, y < 0

xy x, < y0,

y 0 for > 0all x, y .

3

f

45. f x, y x 2 4xy 5

xx x, y > 0, f yy x, y < 0, and f xy x, y 0 for all x, y .

f

45. Rfx, y x, y x 2 :

31 4xyx 5

xx x, y > 0, f yy x, y < 0, and f xy x, y 0 for all x, y .

4, 0 y 2


R x, y : 1x

x 4, 0 y 2

46. fx, R y x, xy 2 : 1xy, xR 4, 0x, y y: x 2 2, y 1

32. CAPSTONE f xx x 0 , y 0 3, f yy x 0 , y 0 8, f xy x 0 , y 0 2

46. f x, y x 2 xy, R x, y : x 2, y 1

47. 46.

fx, y 12 x 2 3x xy, R2y

x, y : x 2, y 1

CAPSTONE

33. 60. CAPSTONE Para discusión

f xx

Consider x 0 , y 0

the 9, functions f yy x 0 , y 0 6, f xy x 0 , y 0 10

47. fx,

fR:

x,

y

The y

12

triangular

3x

2y

47. fx, y 12 3xregion 2y

60.

in the xy-plane with vertices 2, 0 , 34. Consider the functions

60. f

Considerar

xx

fx 0

x, , y 0

x25, the 2 las functions funciones yf 2

yy

yx 0

gx, , y 0

y 8, x 2 f xy

yx 2 0

., y 0 10

R:

R:

La

The

0, región 1

triangular

, andtriangular 1, 2

region

en

in

el

the

plano

xy-

plane

con

with

vértices

vertices

(2, 0),

2,

(0,

0

1)

,

R: The region in the xy-plane with vertices 2, 0 , f x, y x 2 y y gx, y x 2 y 2 .

(a) Show that both functions have a critical point at 0, 0 .

48. fx, y

0,

y1, 1

2

, and 1, 2

f x, y x 2 y 2

2 y g x, y x 2 y 2 .

0, 1 , 2x and 1, y 2

(a)

(b) Explain how f and g behave differently at this critical

48. fx,

fR:

x,

y

The y triangular 2x

2x

y

y 2

Show that both functions have a critical point at 0, 0 .

(a) Demostrar Show that que both ambas functions funciones have tienen a critical un punto point at crítico 0, 0 en .

48. fx, y y 2

region 2

in the xy-plane with vertices 2, 0 ,

(b) Explain

point.

how f and g behave differently at this critical

R:

R:

La

The

0, región 1

triangular

, andtriangular 1, 2

region

en

in

el

the

plano

xy-

plane

con

with

vértices

vertices

(2, 0),

2,

(0,

0

1)

,

(b)

(0,

Explain

0).

how f and g behave differently at this critical

R: The region in the xy-plane with vertices 2, 0 , b) Explicar point.

49. fx, y

0,

y1, 1

2

, and 1, 2

point. cómo f y g se comportan de manera diferente en

0, 1 , 3x and 2 1, 2y2

4y

este punto crítico.

49. fx,

fR:

x,

y

The y

3x

region 2 2

2y

in 2 the

2

4y

49. fx, y 3x 2 2y 2 xy-

4y plane bounded by the graphs of y x 2

R:

R:

La

The

andregión region

y 4en in

el

the

plano

xy-plane acotada

bounded

por

by

las

the

gráficas

graphs

de

of

y

y

x

x 2 2

y


R: The region in the xy-plane bounded by the graphs of y x ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 61 a 64, determinar si la

50. y

and

True

y

4

4

2

statement

or False?

is true

In

or

Exercises

false. If it

61–64,

is false,

determine

explain why

whether

or give

the

an

fx, and y y2x 4


2xy y 2

statement

example

declaración

that

is true es

shows

verdadera or

it

false.

is false.

o If falsa. it is false, Si es explain falsa, explicar why or por give qué ano

50. fx,

fR:

x,

y

The y

2x

region

2xy

in the

y

xy-

2


50. fx, y 2x 2xy y 2

plane 2

bounded by the graphs of y x 2 example dar un ejemplo that shows que it demuestre is false. que es falsa.

61. If f has a relative maximum at x then f

R:

R:

La

The

andregión region

en el plano acotada por las gráficas de y x 2 y

0 , y 0 , z 0 , x x 0 , y

y 1

in the xy-plane bounded by the graphs of y x 2 example that shows it is false.

0

R: The region in the xy-plane bounded by the graphs of y x 61. If

fSi tiene un máximo relativo en x , entonces ƒ x

(x , y 0

)

51. y

and

1

y x

f

0 ,

has

y

a relative

0 0.

maximum at x 0 , y 0 , z 0 , then f x x 0 , y

y 1

2

61. If f has a relative maximum at x 0

fx, and y x 2 2xy y 2 , R x, y : ƒ y

(x , y 0

) 0.

52. f x, y x, y x 2, ≤ 2, y 1

f y x 0 , y 0 0.

0 , y 0 , z 0 , then f x x 0 , y

y 1

0

51. fx, y x 2 2xy y 2 , R x, y : x 2, y ≤ 1 1 62. If f y fx 0 x, 0

y, 0 y 0

0. f y x 0 , y 0 0, then f has a relative maximum at

51.

fx, y x 2 2xy y 2 ,, R x, y :: x 2 x y 2 2, y8

1 62. If Si x

f

0 , x y

x(x 0 0 ,

, z y 0 0 .

) = f y (x x 0 , y 0 ) = 0, 0, entonces then f has f tiene a relative un máximo maximum relativo

52. fx,

f x,

y

y

x 2 2

2xy 4xy y 2 2 , R x,

x, y

y

: x 2 2

y 2 2 8

62. If f then f has a relative maximum 52.

≤ 8

en x 0 , (x y x x

0 , 0 , y zy 0 . 0 f y x 0 , y 0 0,

fx, y x 2 2xy y 2 , R x, y : x 2 y 2 8

, z 0

).

53. fx, y

63. Between x 0 , y 0 , z 0 any . two relative minima of f, there must be at least one

53. fx, f x, yy x 2 4xy

1) 4xyy 2 1

63. Between

relative Entre cualesquiera maximum

any two relative

of dos f. mínimos minima relativos of f, there de must f, aquí be at debe least estar oneal

53. fx, y x x 2 1)y y 2 1

63. Between any two relative minima of f, there must be at least one

1

relative

R x, y x: 2 0 xy 2 1, 10 y 1

64. If

menos

f is continuous

un maximum máximo of

for

relativo f.

relative maximum of all f. x and

de f.

y and has two relative minima,

R x, y y : 0 ≤ x ≤ 1, 1, 0 ≤ y ≤ 1 1

R x, y : 0 64.

4xyx 1, 0 y 1

If

then Si f

is es f

continuous

must continua have para at

for

least

all todo x

one

and x relative y y

and y tiene maximum.

has dos two mínimos relative minima,

64. If f is continuous for all x and y and has two relative relativos, minima,

54. fx, y

then entonces f must f debe have tener at least un one máximo relative relativo maximum. por lo menos.

54. fx, f x, yy x 2 4xy

14xyy 2 1

then f must have at least one relative maximum.

54. fx, y x x 2 11y y 2 11

R x, y x: 2 x 1 0, y 2 y 10, x 2 y 2 1

R x, y y : x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 y 2 ≤ 1 1

R x, y : x 0, y 0, x 2 y 2 1

3


13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables

■ Resolver problemas de optimización con funciones de varias variables.

■ Utilizar el método de mínimos cuadrados.

Problemas de optimización aplicada

En esta sección se verán algunas de las muchas aplicaciones de los extremos de funciones

de dos (o más) variables.

EJEMPLO 1

Hallar un volumen máximo

z

(0, 0, 8)

Plano:

6x + 4y + 3z = 24

Una caja rectangular descansa en el plano xy con uno de sus vértices en el origen. El vértice

opuesto está en el plano

6x 4y 3z 24

como se muestra en la figura 13.73. Hallar el volumen máximo de la caja.

Solución Sean x, y y z el largo, ancho y la altura de la caja. Como un vértice de la caja

se encuentra en el plano 6x 4y 3z 24, se sabe que z – 1 3

(24 6x 4y), y así se

puede expresar el volumen xyz de la caja en función de dos variables.

Vx, y xy 1 324 6x 4y

1 324xy 6x 2 y 4xy 2

x

(4, 0, 0)

Figura 13.73

(0, 6, 0)

y

Igualando a 0 las primeras derivadas parciales

V x x, y 1 324y 12xy 4y 2 y 24 12x 4y 0

3

V y x, y 1 324x 6x 2 8xy x 24 6x 8y 0

3

se obtienen los puntos críticos (0, 0) y 4 3 , 2. En (0, 0) el volumen es 0, así que ese punto

no proporciona un volumen máximo. En el punto 4 3 , 2, se puede aplicar el criterio de las

segundas derivadas parciales.

NOTA En muchos problemas prácticos,

el dominio de la función a optimizar

es una región acotada cerrada.

Para encontrar los puntos mínimos o

máximos, no sólo se deben probar los

puntos críticos, sino también los valores

de la función en los puntos frontera.

■

Como

y

V xx x, y 4y

V yy x, y 8x

3

V xy x, y 1 324 12x 8y

V xx 4 3 , 2V yy 4 3 , 2 V xy 4 3 , 22 8 32 9 8 3 2 64 3 > 0

V xx 4 3 , 2 8 < 0

se concluye de acuerdo con el criterio de las segundas derivadas parciales que el volumen

máximo es

V 4 3 , 2 1 324 4 32 6 4 3 2 2 4 4 32 2

64 9

unidades cúbicas.

Nótese que el volumen es 0 en los puntos frontera del dominio triangular de V.

SECCIÓN 13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables 963

En las aplicaciones de los extremos a la economía y a los negocios a menudo se tiene

más de una variable independiente. Por ejemplo, una empresa puede producir varios modelos

de un mismo tipo de producto. El precio por unidad y la ganancia o beneficio por

unidad de cada modelo son, por lo general, diferentes. La demanda de cada modelo es, a

menudo, función de los precios de los otros modelos (así como su propio precio). El siguiente

ejemplo ilustra una aplicación en la que hay dos productos.

EJEMPLO 2

Beneficio máximo

Un fabricante de artículos electrónicos determina que la ganancia o beneficio P (en

dólares) obtenido al producir x unidades de un reproductor de DVD y y unidades de un

grabador de DVD se aproxima mediante el modelo

Px, y 8x 10y 0.001x 2 xy y 2 10,000.

Hallar el nivel de producción que proporciona una ganancia o beneficio máximo. ¿Cuál es

la ganancia máxima?

Solución Las derivadas parciales de la función de beneficio son

P x x, y 8 0.0012x y

y

P y x, y 10 0.001x 2y.


Para más información sobre el uso de

la matemática en la economía, ver el

artículo “Mathematical Methods of

Economics” de Joel Franklin en The

American Mathematical Monthly.

Igualando estas derivadas parciales a 0, se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente.

8 0.0012x y 0

10 0.001x 2y 0

Después de simplificar, este sistema de ecuaciones lineales puede expresarse como

2x 2y 08 000

2x 2y 10 000.

Resolviendo el sistema se obtiene x 2 000 y y 4 000. Las segundas derivadas parciales

de P son

P xx

(2 000, 4 000) 0.002

P yy

(2 000, 4 000) 0.002

P xy

(2 000, 4 000) 0.001.

Como P xx < 0 y

P xx

(2 000, 4 000)P yy

(2 000, 4 000) [P xy

(2 000, 4 000)] 2

se concluye que el nivel de producción con x 2 000 unidades y y 4 000 unidades proporciona

el beneficio máximo. El beneficio máximo es

P(2 000, 4 000) 8(2 000) 10(4 000)

(0.001)[2 000 2 2 000(4 000) 4 000 2 )] 10 000

$18 000.

0.002 2 0.001 2 > 0

NOTA En el ejemplo 2 se supuso que la planta industrial puede producir el número requerido de

unidades para proporcionar el beneficio máximo. En la práctica, la producción estará limitada por

restricciones físicas. En la sección siguiente se estudiarán tales problemas de optimización. ■


El método de mínimos cuadrados

En muchos de los ejemplos en este texto se han empleado modelos matemáticos, como

en el caso del ejemplo 2, donde se utiliza un modelo cuadrático para el beneficio. Hay

varias maneras para desarrollar tales modelos; una es la conocida como el método de mínimos

cuadrados.

Al construir un modelo para representar un fenómeno particular, los objetivos son

simplicidad y precisión. Por supuesto, estas metas entran a menudo en conflicto. Por ejemplo,

un modelo lineal simple para los puntos en la figura 13.74 es

y 1.8566x 5.0246.

Sin embargo, la figura 13.75 muestra que si se elige el modelo cuadrático, ligeramente más

complicado,* es

y 0.1996x 2 0.7281x 1.3749

se logra mayor precisión.

y

y = 1.8566x − 5.0246

y

y = 0.1996x 2 − 0.7281x + 1.3749

15

10

(11, 17)

(9, 12)

15

10

(11, 17)

(9, 12)

(7, 6)

5

(2, 1) (5, 2)

5 10

Figura 13.74

x

(7, 6)

5

(2, 1) (5, 2)

5 10

Figura 13.75

x

y

(x 1

, y 1

)

Como medida de qué tan bien se ajusta el modelo y fx a la colección de puntos

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 , . . . , x n , y n

se pueden sumar los cuadrados de las diferencias entre los valores reales y y los valores

dados por el modelo para obtener la suma de los cuadrados de los errores o errores

cuadráticos

d 1

d 2

d 3

y = f(x)

S n

i1

fx i y i 2 .

Suma de los cuadrados de los errores o errores cuadráticos.

(x 3

, y 3

)

(x 2

, y 2

)

x

Suma de los cuadrados de los errores:

2

S d 12 d 22 d 3

Figura 13.76

Gráficamente, S puede interpretarse como la suma de los cuadrados de las distancias verticales

entre la gráfica de f y los puntos dados en el plano (los puntos de los datos), como

se muestra en la figura 13.76. Si el modelo es perfecto, entonces S = 0. Sin embargo, cuando

la perfección no es posible, podemos conformarnos con un modelo que haga mínimo

el valor de S. Por ejemplo, la suma de los errores cuadráticos en el modelo lineal en la figura

13.74 es S 17. En estadística, al modelo lineal que minimiza el valor de S se le llama

recta de regresión o por mínimos cuadrados. La demostración de que esta recta realmente

minimiza S requiere minimizar una función de dos variables.

* En el ejercicio 37 se describe un método para hallar el modelo de mínimos cuadrados para una colección de

datos.


TEOREMA 13.18

RECTA DE REGRESIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS


ADRIEN-MARIE LEGENDRE (1752-1833)

El método de mínimos cuadrados lo introdujo

el matemático francés Adrien-Marie

Legendre. Legendre es mejor conocido por

su trabajo en geometría. De hecho, su texto

“Elementos de Geometría” fue tan popular

en Estados Unidos que se usó durante un

periodo de más de 100 años y hubo 33 ediciones.

La recta de regresión de mínimos cuadrados para {(x 1

, y 1

),(x 2

, y 2

), . . . . (x n

,

y n

)} está dada por fx ax b, donde

i1

a

n n

DEMOSTRACIÓN Sea Sa, b la suma de los cuadrados de los errores para el modelo

fx ax b y el conjunto de puntos dado. Es decir,

Sa, b n

i1

n

i1

x i y i n

i1

x i n

fx i y i 2

y i

i1

n n

x i2

i1

n

x

i1

i 2

ax i b y i 2

y

b 1 n n

donde los puntos x i , y i representan constantes. Como S es una función de a y b, se pueden

usar los métodos de la sección anterior para encontrar el valor mínimo de S. Las primeras

derivadas parciales de S son

i1

y i a n

i1

x i .

S a a, b n

i1

2a n

S b a, b n

i1

i1

2a n

2x i ax i b y i

2ax i b y i

i1

x i2 2b n

i1

x i 2nb 2 n

x i 2 n

i1

i1

y i .

x i y i

Igualando estas dos derivadas parciales a 0, se obtienen los valores de a y b que indica el teorema.

Se deja como ejercicio aplicar el criterio de las segundas derivadas parciales (ver ejercicio

47) para verificar que estos valores de a y b dan un mínimo.

Si los valores de x están simétricamente distribuidos respecto al eje y, entonces

x i 0 y las fórmulas para a y b se simplifican:

y

x

i1

a n i y i

n

2

x i

i1

b 1 n n

i1

y i .

Esta simplificación es a menudo posible mediante una traslación de los valores x. Por

ejemplo, si los valores x en una colección de datos son los años 2005, 2006, 2007, 2008 y

2009, se puede tomar 2007 como 0.




EJEMPLO 3 Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados

EXAMPLE 3 Finding the Least Squares Regression Line

Hallar EXAMPLE la recta de 3regresión Finding de mínimos the Least cuadrados Squares para Regression los puntos Line (3, 0), (1, 1), (0, 2)

y Find (2, the 3). least squares regression line for the points 3, 0, 1, 1, 0, 2, and 2, 3.

Find the least squares regression line for the points 3, 0, 1, 1, 0, 2, and 2, 3.

Solution The table shows the calculations involved in finding the least squares

Solución SolutionLaThe tabla table muestra shows los the cálculos calculations necesarios involved para hallar in finding la recta the de least regresión squares de

regression line using n 4.

mínimos regression cuadrados line using usando n n 4. 4.

TECNOLOGÍA Muchas calculadoras

TECHNOLOGY

TECHNOLOGY Many calculators

have “built-in”

tienen

least

“incorporados”

squares

Many

regression

calculators programas

have “built-in”

programs. If de your regresión calculator

least squares de mínimos has

regression

such a

program, cuadrados. programs.

use it

If Se to

your puede duplicate

calculator utilizar the results

has unasuch a

of Example calculadora program,

3.

use con it to estos duplicate programas the results

of Example 3.

para reproducir los resultados del

ejemplo 3.

y (2, 3)

y

3

f(x) =

8 x +

47 (2, 3)

13 3 26 (2, 3)

8 47 2

f(x) = x + 3

13 8 26 47

f(x) = x +

(0, 2)

13 26 2

(0, 21

2)

(−3, 0) (−1, 1) (0, 2)

1

(−3, 0) (−1, 1) 1

(−3, −3 0) −2 (−1, 1) 1 2

x

−3 −2 −1 1 2

−3 −2 −1 1 2

Least Figura squares 13.77 regression line

Figure

Least

13.77

squares regression line

Figure 13.77

Recta de regresión de mínimos cuadrados

y

x

x

n

i1 n

i1

x

x

y

y

xy

xy

x 2

x 2

3

3

0

0

0

0

9

9

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

2

2

0

0

0

0

2

2

3

3

6

6

4

4

x i 2

x i 2

n

i1 n

i1

y i 6

y i 6

n

i1 n

i1

x i y i 5

x i y i 5

n

i1 n

i1

x i2 14

x i2 14

Aplicando

Applying Theorem

el teorema

13.18

13.18

produces

se obtiene

Applying

n n Theorem i i n 13.18 i n produces

n n

i1 x i

i1 i1 45 26

n n

i2

i1

n

i1

i 2 414 2 i y i n

x i n

y

i1

a

n n

x i

i1 i1 45 26

2 13

n n

x i2

i1

n

x

i1

i 2 414 2 8 i y i n

x i n

y i

i1 i1 i1 45 26

a

2 13

y

n n

x i2

i1

n

x

i1

i 2 414 2 8 2 13

and

and

b

n 1 n

y i a n

x

i1 i1

i 4 1 6 8

13 2 47

26 .

b 1 n n

y i a n

x

i1 i1

La recta de regresión de mínimos

i 1 4 6 8 13 2 47

b 1 26

n n

y .

i a n

x

cuadrados es f x 8 13 x 47

26 ,

i1 i1

i 1 4 6 8 13 2 47

26 . como se muestra en la

figura The least 13.77. squares regression line is f x 13x 8 47

26, as shown in Figure 13.77.

The least squares regression line is f x 13x 8 47

26, as shown in Figure 13.77.

■

■

13.9 13.9Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

Exercises Ejercicios


In Exercises En los ejercicios 1 and 2, 1 find y 2, the hallar minimum la distancia distance mínima from the del point punto al 9. Cost 9. Costos A home Un improvement contratista de contractor mejorías is caseras painting está the pintando walls las

to the plano In

plane

Exercises x x y 1

y and

1z z 2,

3.

find

3. (Sugerencia: (Hint:

the minimum

To simplify Para distance

the simplificar computations,

from los the cálculos,

to the minimizar plane

point

and

9. Cost paredes ceiling

A

of y home el a techo rectangular

improvement de una room. habitación contractor

The volume rectangular. is painting

of the El room volumen the walls

is de

minimize the square

x el ycuadrado of

1

the

z

distance.)

3. de (Hint: la distancia.) To simplify the computations,

668.25

and la habitación cubic

ceiling

feet.

of es a

The

rectangular de 668.25 cost of pies wall

room. cúbicos. paint

The

is

volume El $0.06 costo of

per de the

square pintura room is de

minimize the square of the distance.)

foot

668.25 pared and the es cubic

cost de $0.06 of

feet.

ceiling por The pie paint

cost cuadrado of

is

wall

$0.11 y paint el per costo square

is de $0.06 pintura foot.

per

Find de square techo

1. 0, 1. 0, 0 0, 0

2. 1, 2. 2, 1, 3 2, 3

the

foot es room de and $0.11 dimensions

the cost por pie of

that

ceiling cuadrado. result

paint

in Encontrar is

a

$0.11

minimum

per las square dimensiones cost for

foot.

the

Find de la

1. 0, 0, 0

2. 1, 2, 3

habitación que den por resultado un mínimo costo para la pintura.

¿Cuál What es is el the mínimo minimum costo cost por for la pintura? the paint?

En los ejercicios 3 y 4, encontrar la distancia mínima desde el

paint.

the

What

room

is

dimensions

the minimum

that

cost for the

in

paint?

a minimum cost for the

In Exercises 3 and 4, find the minimum distance from the point

paint.

to the punto In Exercises

surface a la superficie 3 and 4, find z the 1 minimum

(Hint: 2x distance

In 2y. Exercise (Sugerencia: from the point

z 1 2x 2y.

4, use the En el 10. Maximum Volume The material for constructing the base

ejercicio to the surface 4, usar z la 1 operación 2x raíz 2y. de (Hint: una In herramienta Exercise 4, de use graficación.)

root feature of a graphing utility.)

material

the 10. Volumen máximo El material para construir la base de una

root feature of a graphing utility.)

of an

Maximum

open box

Volume

costs 1.5

The

times

material

as much

for

per

constructing

unit area the

the

base

of caja an abierta for

open

constructing

box cuesta costs 1.5 veces 1.5

the

times

sides. más as por For

much unidad a fixed

per de unit área amount

area que el as

ofmate-

the

3. 2, 2, 0

money

material C, para find construir for

the

constructing

dimensions los lados. of

the Dada the

sides.

box una of

For cantidad largest

a fixed

volume fija de amount dinero that

of C,

3. 2, 2, 0

hallar las dimensiones de la caja de mayor volumen que puede

4.

can

money

be made.

C, find the dimensions of the box of largest volume that

0, 0, 2

4. 0, 0, 2

can ser fabricada. be made.

11. Maximum Volume The volume of an ellipsoid

In En Exercises los ejercicios 5–8, find 5 a 8, three hallar positive tres números integers positivos x, y, and x, zythat

11.

y z que 11. Maximum Volumen máximo Volume El The volumen de of un an elipsoide ellipsoid

satisfy

In Exercises

satisfagan the given las conditions.

5–8, find three positive integers x, y, and z that x 2

condiciones dadas.

a y 2

2 2

b z2

satisfy the given conditions.

x 2

2

5. El producto es y la suma es mínima.

2

c 1 2

2 z2

5. The product is 27 and the is a minimum.

a y 2

2 b z2

2 2 c 1 2 2

5. The product is 27 and the sum is a minimum.

is 4abc3. For a fixed sum a b c, show that the ellipsoid

6. The 6. La sum suma is 32 es and y PP xyxy 2 z 2 is z a es maximum.

6. The sum is 32 and is máxima. a maximum.

of maximum

is es 4abc3. 4abc3. volume

For Dada a

is

fixed una a sphere. suma afija ab bc,

show c, mostrar that the que ellipsoid

P xy 2 z

elipsoide

maximum de volumen volume máximo is a sphere. es una esfera.

7. The 7. La sum suma is 30 es and y the la sum suma of de the los squares cuadrados is a es minimum.

of

mínima.

7. The sum is 30 and the sum of the squares is a minimum.

8. The 8. El product producto is 1 es and y the la suma of de the los squares cuadrados is a es minimum.

8. The product is 1 and the sum of the squares is a mínima. minimum.

13.9 Applications of Extrema of Functions of Two Variables 967


12. Maximum Volume Show that the rectangular box of maximum

volume máximo inscribed Mostrar in a sphere que la caja of radius rectangular r is a cube. de volumen 13.9 13.9Applications 19. point Costo S

19. Minimum Cost A water line is to be built from point P to

12. Volumen of mínimo and

Extrema of must Extrema Hay pass

of que Functions

through of construir Functions regions

of un Two of conducto where Two Variables

construction Variables para agua costs desde 967 967

máximo inscrita en una esfera de radio r es un cubo.

el punto P al punto S y debe atravesar regiones donde los costos

13. Volume and Surface Area Show that a rectangular box of differ (see figure). The cost per kilometer in dollars is 3k from

13. Volumen y área exterior Mostrar que una caja rectangular de

de construcción difieren (ver la figura). El costo por kilómetro

given volume and minimum surface area is a cube.

P to Q, 2k from Q to R, and k from R to S. Find x and y such

12.

volumen

12. Maximum Maximum Volume

dado y

Volume Show

área exterior

Show that

mínima

that the rectangular the

es un

rectangular box

cubo.

box of maxi-

of maxi-

volume A volume trough inscribed with inscribed trapezoidal a in sphere a sphere cross of radius of sections radius r is a ris cube. is formed a cube. by point tales point que S and el S must and costo must pass total pass through C se through minimice. regions regions where where construction costs costs

19. 19. Minimum that en dólares Minimum the total Cost es cost 3kCost de A CPwill water a A Q, be water 2k line minimized. de line is Qto a is Rbe to y built kbe de built Rfrom a S. from point Hallar point Px to y Py

to

14. Areamum

14. Área turning Un up comedero the edges of de a secciones 30-inch-wide transversales sheet of aluminum en forma (see de

13.

trapecio

13. Volume Volume and

se forma

and Surface

doblando

Surface Area Area Show

los extremos

Show that that a rectangular

de una

a rectangular box

lámina de aluminio

box of of

differ differ (see P (see figure). figure). The The cost cost per kilometer per kilometer in dollars in dollars is 3kis

from 3k from

figure). Find the cross section of maximum area.

given given volume

de 30

volume and

pulgadas

and minimum

de

minimum surface

ancho (ver

surface area

la figura).

area is a cube. is

Hallar

a cube.

P to PQ,

to 2k Q, from 2k from Q to QR,

to and R, and k from k from R to RS.

to Find S. Find x and x and y such y such

la sección that 2 kmthat the total the total cost cost C will C will be minimized. be minimized.

14. transversal 14. Area Area A trough de A área trough with máxima. with trapezoidal trapezoidal cross cross sections sections is formed is formed by by 2 km

x Q

turning x

xturning up the up edges the edges of x a of 30-inch-wide a sheet sheet of aluminum of aluminum (see (see 1 km

1 km

P P R

figure). figure). Find Find the cross the cross section section of maximum of maximum area. area.

y

θ x

x θ

y

S

2 km2 km

S

θ

30 − 2x

θ

x Q

x10 Qkm

10 km

x x

x x

1 km1 km R R

15. Maximum 30 Revenue − 2x A company manufactures two types of 20. Distance A company has retail outlets located at the points

20. Distanciay

Una y empresa tiene tres tiendas de ventas al menudeo

θ

θ

S

sneakers, θ running shoes θ and basketball shoes. The total revenue 0, 0 , 2, 2 , and 2, 2 S(see figure). Management plans to

15. Ingreso máximo Una empresa fabrica dos tipos de zapatos localizadas en los puntos (0, 0), (2, 2) y (2, 2) (ver la figura). La

from x

tenis, tenis 1 units 30 − 30 2x of − running 2x shoes and x

para correr y tenis para baloncesto. 2 units of basketball shoes build a distribution 10 km10 kmcenter located such that the sum of the

El ingreso total de dirección planea construir un centro de distribución localizado de

is

2 2

R 5x

x unidades de 1 8x

tenis 2 2x

para correr 1 x 2 42x

15. Maximum Revenue A company y x unidades 1 102x

de 2 , where x

tenis de baloncesto

2 are in thousands of units. Find x

1 and distances S from the center to the outlets is minimum. From the

15. Maximum tal manera que la suma S de las distancias del centro a las tiendas

x 1 Revenue A company 2 manufactures two two types types of of 20. 20. Distance Distance A company A company has retail has retail outlets outlets located located the at points the points

sneakers, es R 5x running 12 shoes 8x 22 and 2x 1 basketball x 1 and x

2 42x 2 so as to maximize symmetry of the problem it is clear that the distribution center

sneakers, 1 shoes. 102x The 2 , total donde revenue x sea mínimo. Por la simetría del problema es claro que el centro de

the revenue. running shoes and basketball shoes. The total revenue 1 will 0, 0 be 0, , 0 located 2, , 22, , and 2 on , and the 2, y-axis, 2 2, (see 2and (see figure). therefore figure). Management S is a function plans of plans the to to

y from x 2 están from x units en x miles de unidades. Hallar las y que maximizan distribución se localizará el eje y, y por consiguiente S es una

1 units of running of running shoes shoes and and x units x x

2

1 units of xbasketball 2 of basketball shoes shoes build build a distribution a distribution center center located located such such that that the sum the sum of the of the

16. el Maximum 1

ingreso. Profit

is

2

is

2 2A corporation

2

manufactures 2

candles at two

single variable y. Using techniques presented in Chapter 3, find

R R 5x where and

función de una variable y. Utilizando las técnicas presentadas en el

1 5x 1

8x 2 8x 2

2x 1 x2x 2 1 x 2

42x 1 42x 1

102x 102x 2 , where 2 , x and x 1

distances distances S from S from the center the center to the to outlets the outlets is minimum. is minimum. From From the the

locations. The cost of producing x units at location 1 is 1

the required value of y.

16. Ganancia x are x are o in beneficio thousands máximo of units. Find Una empresa and fabrica so as to velas maximize en

capítulo 3, calcular el valor de y requerido.

2

in thousands of units. Find 1

2 x 1 and x 1

x 2 so x 2

as to maximize symmetry symmetry of the of problem the problem it is it clear is clear that that the distribution the distribution center center

y

y

dos the lugares. the revenue. El costo de producción de unidades en el lugar 1

C revenue.

x 1

will will be located be located on the on the axis, y-axis, and therefore and therefore is a Sfunction is a function of the

1 0.02x

2

1 4x 1 500

y-

S

of the

16. es 16. Maximum Maximum Profit Profit A corporation A corporation manufactures candles candles at two

single

at two

single variable 3variable

y. Using y. Using techniques techniques presented 4

presented in Chapter in Chapter 3, find 3, find

and the cost of producing x units at location 2 is

(−2, 2)

(2, (2, 2) 2)

locations. The cost of producing units location 1 is

the required value of y.

C

locations. x 1 1 0.02x

The

12

cost

4x

of

1

producing 2

500

x units at location 1 is

the required 2 value d of y.

1

3

(−2,

(−2, 2)

2) (4,

(4,

2)

d

2)

(x,

(x,

y)

y)

C 2 y y

y y

2 0.05x

2

(0, y)

y el costo

C 1 de

0.02x

2 1 0.02x 2 4x

1

producción 1

4x 2 275.

1 4x 1

500

de

500

d

(0, y)

x 2

unidades en el lugar 2 es

1

d 2 d

1 x

d 3

3

2

−3

(0, 0)

3

4 4 1

The candles sell for $15 per unit. Find the quantity that should

x

and the cost of producing units location 2 is

(−2, 2)

(2, 2)

C

and x 2

2

the

0.05x

cost of

22

producing

4x 2 275.

units at location 2 is

(−2, −3

2) (0, 0) 1 (2, 2

x

2)

2

2 d2

d −2 (0, (0,

0)

0) 2 4

be produced at each location to maximize the profit

3 3

(−2, (−2, 2) 2) (4, 2) (4, 2)

−2d (x, y)

−2

Las

C 2

velas 2 se

0.05x

2 d −2

(x, y)

CP venden 4x

a 2 $15

275.

2 2

15 0.05x x 2

2 4x 2 275.

(0, y)

−2

1 x 2 C 1 C

por 2 .

unidad. Hallar la cantidad que

d (0, y)

1 d 1

d 2 d 2 d d

d d 3 3

17. debe Hardy-Weinberg

The producirse candles en Law

sell cada for $15 lugar Common

per para blood

unit. aumentar types

Find the al are

quantity máximo determined

The candles sell for $15 per unit. Find the quantity that that should el beneficio

genetically −2 (0, 0) 2 4

should Figure 1 1

Figura −3 −2 −3(0, for para −20)

(0, 20 20 0) 1 21

2 Figure Figura for para 21 21

be Pproduced by 15x three

1 alleles

at x 2 each CA, 1 location B, Cand 2 . O. (An allele is any of a

−2 (0, 0) 2 4

be produced at each location to maximize to maximize the the profit profit

group of possible mutational forms of a gene.) A person whose CAS 21. Investigación Investigation −2 −2 The Las tiendas retail outlets de ventas described al menudeo in Exercise descritas 20 en arel

17. Ley P de P15Hardy-Weinberg x15 x Los tipos sanguíneos son genéticamente

17. Hardy-Weinberg determinados por Law tres Common alelos blood A, B types y O. are (Alelo determined es

−2

1 x 2 C 1 C 2 .

−2

1 x 2 C 1 C 2 .

blood type is AA, BB, or OO is homozygous. A person whose ejercicio located at 200, se 0 localizan , 4, 2 , en and (0, 0), 2, (4, 2 2) (see y (2, figure). 2) (ver The la location figura).

17. blood type is AB, Law AO, Common or BO is blood heterozygous. types are The determined Hardy- Figure La of the localización del centro de distribución es (x, y), y por consiguiente

distances la Ssuma is a function S de las distancias of x and y. es una función de x y y.

cualquiera genetically de las by posibles three alleles formas A, de B, mutación and O. (An de un allele gen.) is any Una

Figure distribution for 20 for 20 center is x, y Figure , and Figure therefore 21

21 the sum of the

genetically Weinberg Law by three states alleles that A, the B, proportion and O. (An P allele of heterozygous is any of a of a

persona group group of cuyo possible of possible tipo mutational sanguíneo mutational es forms AA, forms of BB a of gene.) u OO a gene.) es A homocigótica.

person A person whose whose CAS CAS

individuals in any given population is

21. 21. Investigation The The retail retail outlets outlets described described in Exercise in Exercise 20 are 20 are

Una persona cuyo tipo sanguíneo es AB, AO o BO es heterocigótica.

La ley Hardy-Weinberg establece que la proporción P

(a) Escribir Write the la expression expresión giving que da the la suma of the S de distances las distancias. S. Use

blood blood type type is AA, is AA, BB, BB, or OO or OO is homozygous. is A person A person whose whose located located 0, at 00, , 04, , 24, , and 2 , and 2, 2 2, (see 2 (see figure). figure). The The location location

Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar

blood Pp, blood q, type r type is 2pq AB, is AB, 2prAO, or 2qr

a computer algebra system to graph S. Does the surface

BO or BO is heterozygous. is The The Hardy- Hardy- of the of distribution the distribution center center is x, is y x, , and y , and therefore therefore sum the sum of the of the

de individuos heterocigótica en cualquier población dada es

S. have ¿Tiene a minimum? esta superficie un mínimo?

Weinberg Weinberg Law Law states states that that the proportion the proportion P of Pheterozygous

of distances distances S

Sa function is a function of x of and x and y. y.

where p represents the percent of allele A in the population, q

individuals in any given population is

Utilizar un sistema algebraico por computadora obtener S

(a) Write the expression giving the sum of the distances S. Use x

P

individuals

p, q, r 2pq

any

given

2pr

population

2qr

is

(b) Use a computer system to obtain S

(a) Write the expression giving the sum of the x and S

distances y . Observe

represents the percent of allele B in the population, and r

S. Use

y that S y . Observar solving the que system resolver S el sistema x y S y 0 es muy

a computer a computer algebra algebra system system x 0 and S

to graph to graph y 0 is very difficult.

Pp, represents S. Does the surface

donde

Pp, q, r

p representa

q, the r2pq percent 2pq2pr of

el porcentaje

2pr allele 2qrO 2qr in the population. Use the fact

S. Does the surface

de alelos A en la población, q

difícil. So, approximate Por tanto, aproximar the location la of localización the distribution del centro center. de distribución.

that p q r 1 to show that the maximum proportion of

have have a minimum? a minimum?

representa el porcentaje de alelos B en la población y r representa

represents el porcentaje the de percent alelos O of en allele la población. B in the Utilizar population, el hecho and c) Una estimación inicial del punto crítico es x x

where where p represents p represents the percent the percent of allele of allele A in A the 2in population, the population, q q (c) An initial estimate of the critical point is x

heterozygous individuals in any population is

(b) Use (b) Use a computer a computer algebra algebra system system to obtain to obtain S and 1 , y

S and S Observe

S 1 1, 1 .

3.

x Observe

1 , y .

1 y .

represents the percent of allele B in the population, and r r Calculate S 1, 1 with components S 1, 1.

that that solving solving the system the system S S and S is very difficult.

de que represents the percent para of allele mostrar O in que the population. proporción Use máxima

that de that individuos p q heterocigóticos r to 1show to show that en that the cualquier maximum the maximum población proportion proportion es 3 .

So, y 1, 1 . What direction is given by the vector S 1 ?

the fact Calcular S1, 1 con componentes x

and 0

S y

is very 0 difficult.

represents p the q percent r 1

x 0 S y 0 x 1, 1 and

18. Shannon Diversity Index One way to measure species diversity

is to use the Shannon diversity index H. If a habitat consists

approximate the location of the distribution center.

of allele O in the population. Use the fact

S x 1, 1 y S y 1, 1.

2

So, the location of the distribution center.

p q r 1

of of (d) ¿Qué The second dirección estimate la dada of the por critical el vector point S1, is 1?

of three species, A, B, and C, its Shannon diversity 2 2 index is

(c) An (c) initial An initial estimate estimate of the of critical the critical point point is xis

x

18. Índice heterozygous de diversidad individuals individuals de Shannon any in population any Una population forma is de is medir diversidad

H

d) La segunda estimación del punto crítico es 1 , y 11 , y 1

1, 11, . 1 .

3. 3.

Calculate Calculate S 1, S1

1, with with components S S and

18. de Shannon especies x ln x

Diversity es y usar ln y el Index índice z ln z

x

de One diversidad way to measure de Shannon species H. Si

2 , y 2 x 1 S x x 1 , y 1 t, y 1 S y x 1 , y 1 t . x 1, 1 x 1, and 1

18. Shannon Diversity Index One way to measure species diversity

where is sity to xis use to the use Shannon percent the Shannon of diversity diversity index A index

H. the If H. a habitat, If a habitat consists y

consists the

If these coordinates are substituted into S x, y , then S

diver-

x

un hábitat consiste de tres especies, A, B y C, su índice de diversidad

of percent three of de three species, Shannon of species, A, es

(d)

2

S, y y1, 2 S 1 y 1, . x What 1 . What direction S x x 1

direction , y 1 t, is ygiven 1

is given Sby y xthe 1 , by y 1

vector the t. vector S 1, S1 1, ? 1 ?

B, B A, and in B, the and C, its habitat, C, Shannon its Shannon and diversity z is diversity the index percent index is of is

Si The (d) se The second sustituyen second estimate estimate estas of coordenadas the of critical the critical point en Sx, point isy,

is

becomes a function of the single variable t. Find entonces the value S se

species C in the habitat.

convierte en una función de una variable t. Hallar el valor de

H H x ln x ln xy ln y ln yz ln z

ln z

of x 2 , t ythat x 2

t que minimiza 2 , yminimizes

2

x 1 x

S. 1

S x

S. x 1 S, Use

Utilizar x

yx 11 t, , this y

este 1 t, value y

valor 1

S y xof 1 S, de t y

tyto x 1

para 1

t , estimate y.

estimar 1 t . x 2 , y 2 .

(a) Use the fact that x y z 1 to show that the maximum

x 2 , y 2 .

donde where where xes is el xthe porcentaje is percent the percent de of especies of species A en in A el the in hábitat, habitat, the habitat, y es y el is ypor-

centaje percent percent de of especies of H 1

the is the (e) Complete two more iterations of the process in part (d) to

value of occurs when

e) Realizar If these If these dos coordinates iteraciones coordinates are más are substituted del substituted proceso into del into S x, inciso Sy x, , then y d) , para then S S

x y z

species B in en B the in el habitat, the hábitat habitat, y and 3

z and es z

. is el zthe porcentaje is percent the percent of de of obtain x

obtener becomes becomes x 4 , y

a 4 , function y 4 . For this location of the distribution center,

4

a . function Dada of esta the of single the localización single variable variable del t. Find centro t. Find the de value the distribución,

of t that of t that minimizes ¿cuál minimizes

la S. suma Use S. Use this de value this las distancias value of t to of estimate t to a estimate las tiendas x 2 , yx 22 . al , y 2 .

value

especies (b) species Use C the in en C results the el in hábitat. habitat. the of habitat. part (a) to show that the maximum value

what is the sum of the distances to the retail outlets?

of H in this habitat is ln 3.

(a) Usar Use (a) Use el the factor the fact that de that x + xy+ z yz= 1 z1

para to 1show demostrar to show that that the que maximum the el maximum valor

(f)

(e) menudeo?

Explain why Sx, y was used to approximate the

Complete (e) Complete two two more more iterations iterations of the of process the process in part in part (d) to (d) to

1

máximo value value of de H of Hoccurs H 1

ocurre occurs when cuando when x xy yz

z3 . 3 .

minimum value of S. In what types of problems would you

f) Explicar obtain obtain xpor 4 , yx 4 qué 4

., yFor 4 se . For this usó this location Sx, location y of para the of distribution the aproximar distribution center, el valor center,

use S x, y ?

(b) Usar Use (b) el Use the resultado results the results of del part of inciso part (a) to (a) show to para show that demostrar that the maximum the que maximum el value valor value mínimo what what is de the is S. sum the ¿En sum of qué the of tipo distances the de distances problemas to the to retail the se usaría retail outlets? outlets? Sx, y?

máximo of Hof

in Hde this in Hthis habitat en este habitat is hábitat ln is 3. ln es 3. de ln 3.

(f) Explain (f) Explain why why Sx, Sx, y was y was used used to approximate to the the

minimum minimum value value of S. of In S. what In what types types of problems of problems would would you you

use use S x, Sy x, ? y ?

968 968 CAPÍTULO Chapter 13 13 Functions Funciones of Several de varias Variables variables



22. Investigación Investigation Repetir Repeat Exercise el ejercicio 21 21 for con retail tiendas outlets de located ventas at al

22. menudeo Investigation localizadas Repeat en Exercise los puntos 21 4, for retail 0, 1, outlets 6, y 12, located 2. at

the points 4, 1, and 12, 22. the Investigation points 4, 0 ,

Repeat 1, 6 , and

Exercise 12, 2 21 .

for retail outlets located at

the points

4, 0 ,

1, 6 ,

and

12, 2 .

Desarrollo WRITING ABOUT de conceptos CONCEPTS


23. Con

In your

las propias

own words,

palabras,

state

describir

the problem-solving

la estrategia para

strategy

la solución

for

23. WRITING In your own ABOUT words, state CONCEPTS the problem-solving strategy for

applied

de problemas

minimum

de

and

aplicación

maximum

de

problems.

23. applied In your minimum own words, and maximum state the problems.

problem-solving mínimos y máximos.

strategy for

24.

Con

In your las

own

propias

words,

palabras,

describe

describir

the method

el método

of least

de

squares

mínimos

for

24. In your

applied own

minimum words, describe

and maximum the method

problems.

of least squares for

cuadrados

finding mathematical

para elaborar

models.

24. finding In your mathematical own words, models.

describe modelos the matemáticos.

method of least squares for

finding mathematical models.

En In Exercises los ejercicios 25–28, a (a) 28, find a) the hallar least la squares recta de regression regresión line de and mínimos

In Exercises cuadrados 25–28, y (a) b) find calcular the least S, la squares suma regression de los errores line and

(b) calculate S, the sum of the squared errors. Use the regression al

cuadrado. (b) In calculate

Exercises Utilizar S, the 25–28, sum el programa (a) of the find squared the capabilities of graphing utility to para least errors. verify regresión squares Use regression

your results. de the una regression

herramienta

capabilities (b) calculate de graficación of a S, graphing the para sum utility of verificar the squared to verify los resultados. errors. your results.

Use the regression

line and

25. capabilities y

of a graphing utility 26.

to verify your y

results.

25. y

26.

y

(2, 3)

3 (2, 3)

4

25. y

26.

y

3

4

(2, 3)

3

2

3

3

4

(3, 2)

2

2 (3, 2)

(0, 1)

(−1, 1)

2

3(1, 1)

1

(0, 1) 1)

(−3, (−1,

0) 1) 1) 1

(1, 1)

2

(3, 2)

(−2, 0)

1

0)

1

(−3, 0)

2

(−2, 0) 0)

(0, 1)

(−1, 1)

(1, 1)

1

x

x

−3 −2

−1

1 2 3

−2

−1

(−3, 0) 1

(−2, 0) 1 2

−3

−2

−1

1

2

3

−2

−1 −1

1

2

−2

−1

−3 −2 −1 1 2 3

−2 −1 1 2

−2

−1

−2

27. y

28.

y

27. y

28. y

(0, 4)

(5, 2)

4 (0, 4)

2

27. y

28. y (5, 2)

4

2

(4, 2)

(6, 2)

(0, (1, 4) 3)

(4, 2)

(5, (6, 2) 2)

3

4 (1, 3)

2

3

(3, 1) (4, 1)

(4, 2) (6, 2)

(1, 3)

1 (3, 1) (4, 1)

2

3

1

2

(3, 1) (4, 1)

(1, 1)

1

(1, 1

0)

(3, 0)

2 (1, 1)

1

(1, 0) (3, 0) x

(1, (2, 0)

(2,

1)

0) x

1

2 3

4

1

(1, 0) (3, 0) 5 6

1 2 1

2

3

4

(2, 3

0) 4 5 6

(2, 0)

1 2 3 4

1(2, 20)

3

4

5 6

1

2

3

4

(2, 0)

En In Exercises los ejercicios 29–32, a find 32, the hallar least la squares recta de regression regresión de line mínimos for the

cuadrados In Exercises

points. Use para 29–32,

the los regression puntos find the dados. least

capabilities Utilizar squares

of el programa regression graphing de line

utility regresión for the

to

de points. verify una

In Exercises

your herramienta Use the 29–32, regression results. de

find

Use graficación capabilities the least the graphing para

squares of

utility verificar a graphing regression

to plot los resultados. utility line for to

the

the points

Utilizar verify points. your and graph la herramienta

Use results. the regression Use

the regression de the graficación graphing capabilities

line. para utility trazar

of to a graphing plot los puntos the points

utility y representar

and verify graph la

to

your the recta regression results. de regresión.

Use line.

the graphing utility to plot the points

29.

and 0, graph 1, the 3, regression 4, line. 5, 29. 0, 0, 0 , 1, 1, 1 , 3, 4, 4 , 4, 2, 2 , 5, 5 5

30.

1, 3, 5, 30.

29.

1, 0, 0

0, , 3,

0 , 3, 3

1, , 5,

1 , 6 6

3, 4 , 4, 2 , 5, 5

31.

0, 4, 5, 8, 4, 10, 31.

30.

0, 6, 6

1, , 4,

0 , 3, 3

3, , 5,

3 , 0, 0

5, , 8,

6

4, 4, 10, 5 5

32.

6, 1, 3, 8, 11, 13, 32.

31.

6, 4, 4

0,

, 1,

6 ,

2, 2

4,

, 3,

3 ,

3, 3

5,

, 8,

0 ,

6, 6

8,

, 11, 4,

8, 8

10,

, 13, 8 8

5

32.

6, 4 , 1, 2 , 3, 3 , 8, 6 , 11, 8 , 13, 8

33. 33. Modelo Modeling matemático Data The En ages la tabla (in se years) muestran and las systolic edades blood

33. Modeling Data The ages x (in years) and systolic blood x (en

años) pressures y las presiones of seven men arteriales are shown sistólicas in the y de table.

33. pressures Modeling y of seven Data men The are ages shown x

(in the years) table. siete and hombres.

systolic blood

pressures y

of seven men are shown in the table.

Edad, 16 25 39 45 49 64 70

Edad, x 16 25 39 45 49 64 70

Presión Edad, x 16 25 39 45 49 64 70

Presión

arterial 109 122 150 165 159 183 199

arterial

Presión 109 122 150 165 159 183 199

sistólica, sistólica, arterial y

109 122 150 165 159 183 199

sistólica, y

a) Utilizar el programa de regresión de una herramienta de graficación

Use the para regression hallar la recta capabilities de regresión of a graphing de mínimos utility cuadrados to find

(a) Use the regression capabilities of graphing utility to find

(a)

the least squares regression line for the data.

para (a) the los Use least datos.

the squares regression regression capabilities line for of the a graphing data.

utility to find

(b) Use graphing utility to plot the data and graph the model.

(b) Utilizar Use

the

a graphing una least herramienta squares

utility

regression

to de plot graficación the

line

data

for para and

the

graph trazar data.

the los datos model. y

(c) representar Use the model modelo. to approximate the change in systolic blood

(c)

(b)

Use

Use

the

a

model

graphing

to approximate

utility to plot

the

the

change

data and

in systolic

graph the

blood

model.

pressure for each one-year increase in age.

c) Utilizar (c) pressure Use el the for modelo each para one-year to approximate aproximar increase la the in variación change age.

in en systolic la presión

blood

arterial pressure sistólica for por each cada one-year incremento increase de un in age. año en la edad.

34. Modeling Modelo matemático Data store El manager gerente de wants tienda to know quiere the conocer demandla

34. Modeling demanda yData de una A barra store de manager energía wants en función to know del precio the demand x. Las

for energy bar as function of price x. The daily sales for

34. yventas for Modeling an diarias energy Data

a bar tres as precios

A a store function diferentes

manager of price

de

wants x. la The barra

to know daily de energía sales the demand for

three different prices of the energy bar are shown in the table. se

three muestran

y

for different an en

energy

la prices tabla.

bar of as the a function energy bar of are price shown x.

The in daily the table.

sales for

three different prices of the energy bar are shown in the table.

Precio, $1.29 $1.49 $1.69

Precio, x $1.29 $1.49 $1.69

Demanda, Precio, x 450 $1.29 375 $1.49 330

$1.69

Demanda, y 450 375 330

Demanda, y 450 375 330

(a) Utilizar Use the el regression programa capabilities de regresión of de una graphing herramienta utility de to graficación

the least para squares hallar regression la recta de line regresión for the de data.

find

(a) Use the regression capabilities of a graphing utility to find

(a)

mínimos cuadrados

Use para the los model datos.

estimate the demand when the price is

the Use least the squares regression regression capabilities line for of the a graphing data.

utility to find

(b)

(b)

b) Usar

Use

the el

the

least modelo

model

squares para

to estimate

regression estimar

the

line la demanda

demand

for the cuando

when

data.

the

el precio

price is

es

$1.59.

$1.59.

(b) $1.59.

Use the model to estimate the demand when the price is

35. Modeling Data An agronomist used four test plots to

35. Modeling

$1.59.

determine

Modelo matemático Data An

the relationship

Un agronomist agrónomo used

between

prueba four

the wheat

cuatro test

yield

fertilizantes plots to

(in

35. determine

bushels

en los Modeling campos the Data

per acre)

de relationship

and

cultivo An

the amount

para agronomist between determinar the used wheat

of fertilizer

la four relación yield

test

(in hundreds

entre y

plots (in

of

la

to

bushels

pounds

producción determine per

per acre).

de acre) the trigo and relationship

The

y the (en amount

results

bushels between of

are shown

por fertilizer acre) the

in the

y la x

wheat (in

table.

cantidad hundreds yield de fertilizante

bushels per x (en per acre). acre) cientos The and results de the libras amount are shown por of acre). fertilizer in the Los table.

xresultados (in hundreds se

of

of

y

(in

pounds

muestran Fertilizante,

pounds en per la acre). tabla.

1.0

The 1.5

results 2.0

are shown 2.5

in the table.

Fertilizante, x 1.0 1.5 2.0 2.5

Rendimiento, Fertilizante, x 32 1.0 41 1.5 48 2.0 53

2.5

Rendimiento, y 32 41 48 53

Rendimiento, y 32 41 48 53

Use the regression capabilities of graphing utility to find the

Use

least Utilizar

the regression

squares el programa

capabilities

regression de line regresión

of a

for the de

graphing

data, una and herramienta

utility to find

estimate the de yield graficación

the

least Use

for

squares the regression fertilizer para hallar capabilities

application la recta

line

of de

for

160 regresión

the of data, a graphing

pounds de

and

per mínimos

estimate utility

acre. cuadrados

the to yield

find the

for least

36. Modeling

para

a

los

fertilizer squares

datos,

application regression

Data

y estimar

The table

la

of line

shows

producción

160 for pounds the data,

the percents

para

per and acre.

estimate the yield

una and

aplicación

numbers

de

36. Modeling

for a fertilizer 160

(in

libras Data

millions)

de fertilizante The

application table

of women

por shows

of 160 in the

acre. the

pounds percents

per x

acre.

and numbers

work force for selected years.

36. 36. y

(Source: Modelo (in Modeling millions) matemático Data of women The U.S. Bureau of La in table

Labor tabla the shows

Statistics) muestra work force the los percents for porcentajes selected x

and xyears.

numbers y los

(Source: números y

(in millions) U.S. y (en Bureau millones) of women of Labor de in mujeres Statistics)

the work en force la fuerza for selected laboral years. en

Año determinados (Source: U.S. años. 1970

Bureau (Fuente: 1975

of Labor U.S. Bureau 1980

Statistics) of 1985 Labor Statistics)

Año 1970 1975 1980 1985

Porcentaje, Año 43.3 1970 46.3 1975 51.5 1980 54.5

1985

Porcentaje, x 43.3 46.3 51.5 54.5

Número, Porcentaje, x 31.5 43.3 37.5 46.3 45.5 51.5 51.1

54.5

Número, y 31.5 37.5 45.5 51.1

Número, y 31.5 37.5 45.5 51.1

Año

1990 1995 2000 2005

Año

1990 1995 2000 2005

Porcentaje, Año

57.5 1990 58.9 1995 59.9 2000 59.3

2005

Porcentaje, x 57.5 58.9 59.9 59.3

Número, Porcentaje, x 56.8 57.5 60.9 58.9 66.3 59.9 69.3

59.3

Número, y 56.8 60.9 66.3 69.3

Número, y

56.8 60.9 66.3 69.3

(a) Use the regression capabilities of graphing utility to find

(a) Use the regression capabilities of a graphing utility to find

a) Utilizar the least el squares programa regression para regresión line for the de data. una herramienta de

(a) the Use least the squares regression regression capabilities line for of the a graphing data.

utility to find

(b) graficación According to para this hallar model, la approximately recta de regresión how many de mínimos women

(b) cuadrados According

the least enter the para to

squares this

labor los model,

regression force datos. approximately

line for the how

data.

many women

for each one-point increase in the

b) Según

(b) enter According the

percent este labor of women modelo,

to force this model,

in the ¿aproximadamente for each approximately one-point

labor force? cuántas increase how many

mujeres in women the

ingresan percent enter of a

the

la women fuerza

labor in laboral

force the labor for por

each

cada force?

incremento

one-point increase

de un punto

in the

37. Find system equations whose solution yields the coefficients

a, b, and for the least squares regression quadratic

37. Find en a el

percent

system porcentaje of

of women

equations de mujeres

in the

whose en

labor

la solution fuerza

force?

laboral? yields the coefficients

Hallar Find a, un a sistema

37. 37.

for

de

the

ecuaciones

points

cuya solución proporcione

ax 2 b,

system and c

of for equations the least whose squares solution regression yields quadratic

the coefficients

ax for the points x n

bx los coeficientes a, b y c para el modelo 1 1 cuadrático 2 2 de regresión n y by minimizing 2 a, bx b,

and c

c

for the least

the sum

1 , squares y 1 , x 2 , yregression 2 , . . . , x quadratic n , y n

by de minimizing ymínimos ax 2 cuadrados

bx the sum

c

for y the points ax 2 bx x 1 , y 1 c, xpara 2 , y 2 , los . . puntos . , x n , y n

n

x 1 , by y 1 , minimizing x 2 , y 2 n, . . the . , x sum n , y n minimizando la suma

Sa, b, i

Sa, b, c n i ax2 i bx i 2 Sa, b, c

1

y i ax2 n i bx i c 2 .

i 1 y i ax i2 bx i c 2 Sa, b, c y .

i ax2 i bx i c 2 .

i1

i 1

CAPSTONE

CAPSTONE

38.

Para The

discusión

sum of the length and the girth (perimeter of cross

38. CAPSTONE

The sum of the length and the girth (perimeter of a cross

38. section) of package carried by delivery service cannot

38. La

section)

suma The sum de

of

las

a of package

longitudes the length carried

y and el tamaño

by the a delivery girth (perímetro (perimeter service

de una cannot of a sec-

cross

ción exceed 108 inches. Find the dimensions of the rectangular

exceed section) transversal)

108 inches. of a package de

Find

un paquete

the carried dimensions

llevado by a delivery por

of the

un

rectangular

service servicio cannot de

entrega package of largest volume that may be sent.

package exceed a

of 108 domicilio

largest inches. volume

no Find that

puede the may dimensions exceder

be sent.

108 of the pulgadas.

rectangular

Encontrar package las of dimensiones largest volume del that paquete may be rectangular sent. de más

grande volumen que puede ser enviado.

SECCIÓN 13.9 13.9 Aplicaciones Applications de of Extrema los of of extremos Extrema of Functions of de of funciones Functions of de Two of of dos Two Variables variables Variables 969

969

13.9 Applications of Extrema of Functions of Two Variables 969

En

In Exercises In In Exercises

los ejercicios

39–42, 39–42,

39

use use

a 42,

the utilizar

result the result of

el

Exercise of of Exercise

resultado

37

del

to 37 37 find to to find

ejercicio

the least the least

37

45. 45.

45.

Modeling Modeling

Modelo matemático

Data Data A A meteorologist

Un meteorólogo

measures measures

mide la

the the

presión

atmospheric

atmospheric

atmosférica

P (en

para

squares squares

hallar

regression regression

el modelo

quadratic quadratic

cuadrático

for for

de

the the

regresión

given given

de

points. points.

mínimos

Use Use

cuadrados

the

the pressure pressure P (in P

kilogramos

kilograms (in kilograms

por

per per

metro

square square

cuadrado)

meter) meter)

a

at

una

altitude at at altitude

altitud

h

h

(in

h

(in

(en

In regression Exercises regression

para

capabilities 39–42, capabilities

los puntos

use

dados.

the of of result a of graphing a graphing

Usar

of

el

Exercise

programa

utility utility 37 to to to

de

confirm find to confirm

regresión

the least your

your

de

45. Modeling kilometers). kilometers).

kilómetros).

Data The The

Los

data

datos

A meteorologist data are se

shown are shown

muestran

below. measures below.

en la tabla.

the atmospheric

una

squares results. results.

herramienta

Use regression Use the graphing the graphing

de

quadratic

graficación

utility utility for to

para

plot to the to plot

confirmar

the given points the points. los

and and

resultados.

graph Use graph the

the pressure P (in kilograms per square meter) at altitude h (in

Utilizar

regression least least squares squares

la herramienta

capabilities regression regression of

de

quadratic. a quadratic.

graficación

graphing

para

utility

trazar

to confirm

los puntos

your

y

kilometers). Altitud, Altitud, hThe hdata 0are 0shown 5 below.

5 10 10 10 15 15 15 20 20 20

representar

results. Use the

la curva

graphing

de regresión

utility to

de

plot

mínimos

the points

cuadrados.

and graph the

39.

39. 2, 02, 2, , 0 ,, 1, 01, 1, , 0, ,, 10, 0, , 1, ,, 21, 1, , 2, ,, 52, 2, 5

10 least squares regression quadratic.

Altitud,

Presión, Presión,

h

P P10 0

332 10 3325 5

583 5 5832 10

376 2 3761 15

240 1 240517517

20

39. 40.

2, 40. 4, 0, 54, 4, , 1, 5 ,, 2, 0, 62, 2, , 0, 62, , 1, , 62, 2, , 1, 64, , 2, , 24, 4, 2, 2 5

a) Utilizar el programa de regresión de una herramienta de

40. 39. 4, 2, 5, 0 , 2, 1, 6, 0 2, 0, 6, 1 4, 1, 22 , 2, 5

(a) Presión, Use (a) Use the P regression the regression 10 332capabilities 5 capabilities 583 2 of 376 a of of graphing a a 1 graphing 240 utility 517

utility to find to to find

41. 41. 0, 00, 0, , 02, ,, 2 , 23, ,, 63, 3, , 64, ,, 12

12 12 42.

42. 0, 10 0, 0, 10 , 101, ,, 91, 1, , 92, ,, 62, 2, , 63, ,, 03, 3, 0 graficación para hallar una recta de regresión de mínimos

41. 40. 0, 4, 0, 5 2, , 2, 2, 3, 6 , 6, 2, 4, 6 , 12 4, 2

a least a a least squares squares regression regression line line for the for points the points h, ln h, h, P ln ln .

P ..

42. 0, 10, 1, 9, 2, 6, 3, 0

cuadrados para los puntos h, ln P.

a an 43. 41. 43. 43. Modeling

(a) Use the regression in capabilities is an of a graphing of utility to find

Modelo 0, 0 Modeling , 2, matemático 2 Data , 3, Data 6 , After 4, After

Después 12a new a new 42. turbocharger turbocharger

de que 0, 10 fue , desarrollado 1, for 9 , an for 2, automobile an 6 , automobile

un 3, nuevo

turbopropulsor para un motor de automóvil, se obtuvieron los

ah

0

(b) (b)

b) El

The The

resultado

result result in

del

part in part

inciso

(a)

a)

is (a)

es

an is

una

equation an equation

ecuación

of

de

the of the

la forma

form form ln

ln

Plnln P

engine engine was was developed, developed, the the following following experimental experimental data data were

were a ah least ah ah

b.

b. squares

Expresar

Write b. b. Write regression this this

esta

logarithmic logarithmic line for

forma logarítmica

form the form points

en

exponential exponential h, ln P

forma exponencial.

form. . form.

43. in at datos

Modeling obtained obtained experimentales

Datafor speed After speed y in

siguientes

a yynew miles in miles turbocharger per per hour hour at

de velocidad

for two-second at

y

an two-second

en

automobile time time (b)

millas por (c) Utilizar The Use (c) Use a result graphing una a a graphing part

herramienta utility (a) utility to is

de plot to an to

graficación plot equation the original the original of

para data the trazar

data and form

and graph ln

los graph P

datos the

the

hora

engine intervals intervals

a intervalos

was x. developed, x. x.

x de dos

the

segundos.

following experimental data were

ah

originales exponential exponential b. Write

y representar model this model logarithmic in part in el

in modelo

part (b).

(b). form in exponential form.

exponencial del inciso b).

obtained for speed y in miles per hour at two-second time (c) (d) Si Use (d) If una your If a If graphing herramienta your graphing graphing utility utility de to utility graficación plot can can the fit logarithmic fit original fit puede logarithmic data ajustar models and models modelos graph to data, to the to lo-

data,

Tiempo, intervals

Tiempo, x x.

x 0 02 2 4 4 6 6 8 810

10 10

garítmicos exponential use it use to it it verify to to a model datos, verify the in result the utilizarla part result in (b). part in para in part (b). verificar (b). el resultado del

y 15 30 50 65 70

(d) inciso If your b). graphing utility can fit logarithmic of models to data,

Tiempo,

Velocidad, Velocidad,

x

y y 0 015 15

2

30 30

4

50 50

6

65 65

8 10

70 70

46. 46. Modeling Modeling Data Data The The endpoints endpoints of the of the interval interval over over which

which

46. distinct Modelo use distinct it vision matemático to vision verify possible is is the possible result Los are puntos in called are part called terminales (b). the near the near point del point and intervalo and far point far de point

Velocidad,

a)

(a)

Hallar Find (a) Find ya un

least a a 0 modelo least squares 15 squares cuadrático

regression 30 regression 50 quadratic

de

65 quadratic regresión

70for the for de data. the mínimos

data. Use Use a aa

46. Modeling of visión the of of eye. the se llaman Data eye. With With increasing punto The increasing endpoints próximo age, age, these y of punto these points lejano interval points normally del normally over ojo. change. which Con change. la

cuadrados

graphing graphing para

utility utility los

to

datos.

confirm to confirm Utilizar

your your results.

una results. herramienta de graficación

para confirmar los resultados.

distinct The edad, The table estos vision table shows puntos is shows possible the cambian. approximate the are approximate called La tabla near the muestra near points

points

ylos (in yand puntos y

inches) (in far inches) point próximos

the various y eye. (en ages With pulgadas) ages xincreasing (in xx

(in a years). varias years). age, these edades (Source: (Source: points x (en normally Ophthalmology años). change. (Fuente: &

&

for

for

(a) (b) Find (b) Use Use a graphing least a a graphing squares utility utility regression to plot to to plot the quadratic points the points and for and graph the graph data. the model. the Use model. a of various

b) Utilizar graphing una utility herramienta to confirm de graficación your results. para trazar los puntos The Ophtalmology Physiological table shows Optics) & the Physiological Optics) approximate Optics) near points y (in inches) for

44. 44. Modeling y Modeling

representar Data Data

el The modelo.

The table table shows shows the world the world populations populations y (in yy

(in

(b) Use a graphing utility to plot the points xand graph the model. various ages x (in years). (Source: Ophthalmology &

billions) billions) for five for five different different years. years. Let Let x x8

represent 8 represent the year the year

44. Modelo matemático La tabla muestra la población mundial y Edad, Physiological Edad, x x Optics) 16 16 1632 32 3244 44 44 50 50 50 60 60 60

44. Modeling 1998. 1998. (Source: Data (Source: U.S. The U.S. Census table Census shows Bureau, Bureau, the International world International populations Data Data Base) y (in

Base)

(en miles de millones) para cinco diferentes años. Considerar que

billions) for five different years. Let x 8 represent the year

y x = 8 representa el año 2008. (Fuente: U.S. Census Bureau, Edad,

Punto Punto

x

próximo, próximo, y y

16

3.0 3.0

32

4.7 4.7

44

9.8 9.819.719.7 50

39.4 39.4

60

1998. Año, Año, (Source: x x U.S. 1998 Census 19982000 Bureau, 20002002 International 200220042004 Data 2006

Base) 2006

International Data Base)

a) Hallar un modelo racional para los datos tomando el recíproco

o inverso de los puntos próximos para generar los pun-

Punto (a) próximo, Find (a) Find a rational a a yrational 3.0 model model 4.7 for the for 9.8 data the data by 19.7 taking by by taking 39.4 the reciprocals the reciprocals

y Año,

Población, Población,

x

y y

1998

5.9 5.9

2000

6.1 6.1

2002

6.2 6.2

2004

6.4 6.4

2006

6.5 6.5

of the of of near the near points points to generate to to generate the points the points x, 1x, x, y 1.

y Use y ..

Use the

the

tos x, 1y. Utilizar el programa para regresión de una herramienta

de graficación para hallar una recta de regresión de

(a) Find regression regression a rational capabilities model capabilities for of the a of of graphing data a a graphing by taking utility utility the to reciprocals find to to find a least a a least

(a) Población, Use (a) Use the regression the y regression 5.9 capabilities capabilities 6.1 of 6.2a of of graphing a a graphing 6.4 utility 6.5 utility to find to to find

of squares the squares near regression points regression to line generate line for the for the revised the points

revised data. x, data. 1The y . The resulting Use resulting the

the least the least squares squares regression regression line line for the for data. the data.

mínimos cuadrados para los datos revisados. La recta resultante

tiene la forma 1/y = ax + b. Despejar y.


regression line line has the has capabilities form the form 1 y 1of yyax a graphing ax axb.

Solve b. b.

utility Solve for

y. for to y. find y. a least

(a) (b) (b) the of of a to to graficación

Use Use the regression the regression

the para hallar

capabilities capabilities

la recta

of

de

a of graphing a graphing

regresión

utility utility

de mínimos

to find to find

line for the data.

(b) squares (b)

Utilizar Use Use a graphing regression

una

a a graphing line

herramienta utility utility to for

de plot to to the

graficación plot the revised data the data and data.

para and graph The

trazar graph the resulting

los model. the

datos

model.

cuadrados

the least the least squares squares

para los

regression regression

datos.

quadratic quadratic for the for data. the data.

line has the form 1 y ax b. Solve for y.

y representar el modelo.

be to b)

(b) (c) Utilizar Use the a graphing el a regression programa utility capabilities

de to plot regresión to the of data a

de

graphing and una graph herramienta utility the models. to find

(c) Do (c) Do you you think think the the model can can be used be used to predict to predict the the near near

(c) Use a graphing utility to plot the data and graph the models.

(b)

c) ¿Puede

Use a graphing

utilizarse a utility

el modelo to plot is para

the 70 data

predecir

and graph

el punto

the

próximo

model.

graficación

the least squares para hallar

regression

to el modelo

quadratic

cuadrático

for the de

data.

point point for a for person a person who who is 70 is years 70 years old? old? Explain. Explain.

(d) (d) Use Use both both models models to forecast to forecast the world the world population population regresión for the for de

the

(c) en Do una you persona think the de 70 model años? can Explicar.

(c)

to be used to predict the near

mínimos Use year a 2014. graphing cuadrados How utility do para do the to los plot two datos.

the models data and differ graph as you as the models.

47. 47. Use Use the Second the Second Partials Partials Test Test to verify to verify that that the formulas the formulas afor

a

year 2014. How do the two models differ as you extrapo-

extrapolate

into the future?

the rificar que las fórmulas para a y b proporcionadas en el teorema

47. and Usar point and el given criterio for in a person Theorem in de las who segundas 13.18 is 70 yield years derivadas a old? minimum. a Explain. parciales para ve-

c) (d) Utilizar Use late both into una the models herramienta future?

to forecast de graficación the world para population trazar los for datos

b b given in Theorem 13.18 yield a minimum.

y representar los modelos.

47. Use the Second Partials Test to

13.18 llevan a un mínimo.

d) Utilizar ambos modelos para estimar la población mundial

n verify that n the 2 formulas for a

year 2014. How do the two models differ as you extrapolate

into the future?

i

x2

and Hint: b given Use in the Theorem fact that 13.18 n n

n 2

Hint: Use the fact that n n

n 2

xyield 2

i a minimum. x i .

x2

i x i . x i .

i 1i i 11

i 1i i

en el año 2014. ¿Cómo difieren los dos modelos cuando se

Sugerencia: Considerar el hecho que

extrapola hacia el futuro?

n n 11

x 2 n

i ≥

i1

x

i1

i 2 Hint: Use the fact that n n

n 2

x2

.

I J i x i .

S ESC ET CI TO IN O N P RPO RJ OE JC ET

C T

PROYECTO Building a DE a Pipeline TRABAJO


An An oil oil company oil company wishes wishes to construct to to construct a pipeline a a pipeline from from its its offshore its offshore

Construcción Building a Pipeline

facility facility A to Aits to to its refinery its refinery

de un

B. The B. B.

oleoducto

The offshore offshore facility facility is 2 is is miles 2 miles from

from

Una An shore, oil shore, empresa and company and the petrolera refinery the wishes refinery is to desea 1 is is construct mile 1 construir mile inland. inland. a pipeline Furthermore, un Furthermore, oleoducto from its A and desde offshore A

and B are

su B

are

plataforma facility 5 miles 5 miles Aapart, to A apart, hasta its refinery shown as as su shown refinería B. the The B. figure. the La offshore figure. plataforma facility está is a 2 miles millas from de la

costa, shore, y and la refinería the refinery está is 1 milla 1 mile tierra inland. adentro. Furthermore, Además, A y and B están B are a

A

A

5 millas miles apart, de distancia as shown una in de the otra, figure. como se muestra en la figura.

A

2 mi A2 2 mi mi

5 mi 55 mi mi

2 millas P

P

2 5 millas

x xx

5 mi

1 mi 11 mi mi

P P

x

B

B

x

1 mi 1 milla

B

B

i 1

The The cost cost of building of of building the pipeline the pipeline is $3 is is $3 million $3 million per mile per mile in the in in the

water water and and $4 $4 million $4 million per mile per mile on on land. on land. So, the So, cost the cost of the of of pipeline the pipeline

depends depends The El costo on on the on de of location the building construcción location of the point of of pipeline del point P, oleoducto where P, P, is where $3 it million es meets it $3 it meets millones the per shore. the mile por shore. in What milla the

What

water would en el would and mar, be the $4 be be y $4 million most the millones most economical per economical mile por milla route land. route en of tierra. So, the of of pipeline? the Por cost pipeline? tanto, of the el pipeline costo del

depends oleoducto Imagine on Imagine depende the that location that you de you are la of localización to are point write to to P, write a where report a del a report punto it meets the to to P oil the en the oil company oil la shore. orilla. company What about ¿Cuál

about

would this sería this problem. la be ruta problem. the más most Let económica Let xeconomical be xxthe be be distance the para route distance el shown oleoducto? of the shown in pipeline? the in in figure. the figure. Determine

Determine

the cost the Imagine Imaginar cost of building of of that building que you the hay are pipeline the que to pipeline write redactar from a report from Aun to Ato informe P, to to the and P, P,

oil and the para company cost the la cost from empresa

about from P to

Ptoto

this B. petrolera Analyze B. problem. B.

Analyze acerca some Let

some de xsample be este the sample problema. distance pipeline pipeline Sea shown routes xroutes la in and distancia the and their figure. their mostrada Determine

corresponding en la

the costs. figura. costs. For Determinar of building For instance, instance, the el what costo pipeline what is the de is is construir from cost the cost of A to the of of el P,

most oleoducto the and most the direct cost direct de route? from A route? a P, Then Py to

Then el

B. use costo Analyze use calculus de calculus P a some B. to Analizar determine to to sample determine alguna pipeline the route the trayectoria routes of the of of and muestra pipeline the their pipeline para that corresponding

that el minimizes oleoduc-

minimizes

costs. the to y the cost. sus For cost. costos Explain instance, Explain correspondientes. all what all steps all is steps the of cost your of of Por your of development ejemplo, the development most ¿cuál direct and es route? and el include costo include Then

anyla

any

use relevant ruta calculus relevant más graphs. directa? to graphs. determine Utilizar the después route el of cálculo the pipeline para determinar that minimizes la ruta

the del cost. oleoducto Explain que all minimiza steps of el your costo. development Explicar todos and include los pasos any del

relevant desarrollo graphs. e incluir una gráfica pertinente.

i 1


13.10 Multiplicadores de Lagrange

■ Entender el método de los multiplicadores de Lagrange.

■ Utilizar los multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización con

restricciones.

■ Utilizar el método de multiplicadores de Lagrange con dos restricciones.

JOSEPH-LOUIS LAGRANGE (1736-1813)

El método de los multiplicadores de

Lagrange debe su nombre al matemático

francés Joseph Louis Lagrange. Lagrange

presentó el método por primera vez en su

famoso trabajo sobre mecánica, escrito

cuando tenía apenas 19 años.

Multiplicadores de Lagrange

Muchos problemas de optimización tienen restricciones, o ligaduras, para los valores que

pueden usarse para dar la solución óptima. Tales restricciones tienden a complicar los problemas

de optimización porque la solución óptima puede presentarse en un punto frontera

del dominio. En esta sección se estudia una ingeniosa técnica para resolver tales problemas.

Es el método de los multiplicadores de Lagrange.

Para ver cómo funciona esta técnica, supóngase que se quiere hallar el rectángulo de

área máxima que puede inscribirse en la elipse dada por

x 2

3 y2

2 4 1. 2

Sea (x, y) el vértice del rectángulo que se encuentra en el primer cuadrante, como se muestra

en la figura 13.78. Como el rectángulo tiene lados de longitudes 2x y 2y, su área está

dada por

f x, y 4xy.

Función objetivo.

Se quieren hallar x y y tales que f x, y es un máximo. La elección de (x, y) está restringida

a puntos del primer cuadrante que están en la elipse

x 2

Restricción.

3 y2

2 4 1. 2

Ahora, considérese la ecuación restrictiva o de ligadura como una curva de nivel fija de

gx, y x2

3 y2

2 4 2.

Las curvas de nivel de f representan una familia de hipérbolas f x, y 4xy k. En esta

familia, las curvas de nivel que satisfacen la restricción dada corresponden a hipérbolas que

cortan a la elipse. Es más, para maximizar f x, y, se quiere hallar la hipérbola que justo satisfaga

la restricción. La curva de nivel que hace esto es la que es tangente a la elipse, como


Elipse:

x2 y2 3 2 +

4 2 = 1

y

(x, y)

5

y

Curvas de nivel f:

4xy = k

−4

−2

3

2

1

−1

−1

−2

−3

1

2 4

x

−2

3

2

1

−1

−1

−2

−3

1

2 4 5 6

k = 72

k = 56

k = 40

k = 24

x

Función objetivo:

Figura 13.78

fx, y 4xy

Restricción: gx, y x2

3 y2

2 4 1 2

Figura 13.79

SECCIÓN 13.10 Multiplicadores de Lagrange 971

Para encontrar la hipérbola apropiada se usa el hecho de que dos curvas son tangentes en

un punto si y sólo si sus vectores gradiente son paralelos. Esto significa que f x, y debe

ser un múltiplo escalar de gx, y en el punto de tangencia. En el contexto de los problemas

de optimización con restricciones, este escalar se denota con la letra griega (lambda

minúscula del alfabeto griego).

f x, y gx, y

Al escalar se le conoce como un multiplicador de Lagrange. El teorema 13.19 da las

condiciones necesarias para la existencia de tales multiplicadores.

TEOREMA 13.19

TEOREMA DE LAGRANGE

Sean f y g funciones con primeras derivadas parciales continuas, y tales que f tiene

un extremo en un punto (x 0

, y 0

) sobre la curva suave de restricción gx, y c.

Si gx 0 , y 0 0, entonces existe un número real tal que

f x 0 , y 0 gx 0 , y 0 .

NOTA Se puede demostrar que el

teorema de Lagrange también es válido

para funciones de tres variables,

usando un argumento similar con

superficies de nivel y con el teorema

13.14. ■

DEMOSTRACIÓN Para empezar, se representa la curva suave dada por gx, y c mediante


rt xti ytj, rt 0

x

y

donde y son continuas en un intervalo abierto I. Se define la función h como

ht f xt, yt. Entonces, como f x 0 , y 0 es un valor extremo de f, se sabe que

ht 0 f xt 0 , yt 0 f x 0 , y 0

es un valor extremo de h. Esto implica que ht 0 0, y, por la regla de la cadena,

ht 0 f x x 0 , y 0 xt 0 f y x 0 , y 0 yt 0 f x 0 , y 0 rt 0 0.

Así, f x 0 , y 0 es ortogonal a rt 0 . Por el teorema 13.12, gx 0 , y 0 también es ortogonal

a rt 0 . Por consiguiente, los gradientes f x 0 , y 0 y gx 0 , y 0 son paralelos y debe existir

un escalar tal que

f x 0 , y 0 gx 0 , y 0 .

El método de los multiplicadores de Lagrange emplea el teorema 13.19 para encontrar

los valores extremos de una función f sujeta a una restricción.

MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

NOTA Como se verá en los ejemplos

1 y 2, el método de los multiplicadores

de Lagrange requiere resolver

sistemas de ecuaciones no lineales.

Esto a menudo requiere de alguna

manipulación algebraica ingeniosa. ■

Sean f y g funciones que satisfacen las hipótesis del teorema de Lagrange, y

sea f una función que tiene un mínimo o un máximo sujeto a la restricción

gx, y c. Para hallar el mínimo o el máximo de f, seguir los pasos descritos a

continuación.

1. Resolver simultáneamente las ecuaciones f x, y gx, y y gx, y c

resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente.

f x x, y g x x, y

f y x, y g y x, y

gx, y c

2. Evaluar f en cada punto solución obtenido en el primer paso. El valor mayor

da el máximo de f sujeto a la restricción gx, y c, y el valor menor da el

mínimo de f sujeto a la restricción gx, y c.


Problemas de optimización con restricciones o ligaduras

En el problema presentado al principio de esta sección, se quería maximizar el área de un

rectángulo inscrito en una elipse. El ejemplo 1 muestra cómo usar los multiplicadores de

Lagrange para resolver este problema.

EJEMPLO 1

Multiplicador de Lagrange con una restricción o ligadura

Hallar el valor máximo de f x, y 4xy donde x > 0 y y > 0, sujeto a la restricción

x 2 3 2 y 2 4 2 1.

NOTA El ejemplo 1 también puede

resolverse utilizando las técnicas

aprendidas en el capítulo 3. Para ver

cómo se hace esto, calcular el valor

máximo de A 4xy dado que

x 2

3 2 y2

4 2 1.

Para empezar, de la segunda ecuación

se despeja y y se obtiene

y 4 3 9 x2 .

Después se sustituye este valor en la

primera ecuación para obtener

A 4x 4 3 9 x2 .

Por último, se usan las técnicas del

capítulo 3 para maximizar A.

■

Solución

Para comenzar, sea

gx, y x2

3 2 y2

4 2 1.

Igualando f x, y 4yi 4xj y gx, y 2x9i y8j, se puede obtener el

sistema de ecuaciones siguiente.

4y 2 9x

f x x, y g x x, y.

4x 1 y f y x, y g y x, y.

8

x 2

Restricción.

3 y2

2 4 1 2

De la primera ecuación, se obtiene

4x 1 8 18y

x y

Sustituyendo en la tercera ecuación x 2 por este valor se tiene

1

9 9 16 y2 1

16 y2 1

que sustituido en la segunda ecuación da

Así, y ±22. Como se requiere que y > 0, se elige el valor positivo y se halla que

x 2 9

16 y2

9 9 16 8 2

x 3

2 .

18yx,

x 2 9

16 y2 .

y 2 8.

Por tanto, el valor máximo de f es

f

32 , 2 2 4xy 4 3

2 2 2 24.

Nótese que el expresar la restricción como

x2

gx, y o gx, y x2

3 y2

3 y2

2 4 1 0

2 4 1 2 2

no afecta la solución, la constante se elimina cuando se calcula g.


EJEMPLO 2

Una aplicación a la economía

La función de producción de Cobb-Douglas (ver ejemplo 5, sección 13.1) para un fabricante

de software está dada por

f x, y 100x 34 y 14

Función objetivo.

donde x representa las unidades de trabajo (a $150 por unidad) y y representa las unidades

de capital (a $250 por unidad). El costo total de trabajo y capital está limitado a $50 000.

Hallar el nivel máximo de producción de este fabricante.


Para más información sobre la utilización

de los multiplicadores de

Lagrange en economía, ver el artículo

“Lagrange Multiplier Problems in

Economics” de John V. Baxley y John

C. Moorhouse en The American


Solución De la función dada, se tiene

f x, y 75x 14 y 14 i 25x 34 y 34 j.

El límite para el costo de trabajo y capital se refleja en la restricción o ligadura

gx, y 150x 250y 50,000.

Restricción.

Así, gx, y 150i 250j. Esto da lugar al sistema de ecuaciones siguiente.

75x 14 y 14 150

25x 34 y 34 250

150x 250y 50,000

f x x, y g x x, y.

f y x, y g y x, y.

Restricción.

Resolviendo para

en la primera ecuación

75x14 y 14

150

x14 y 14

2

y despejando de la segunda ecuación, se obtiene

25x 34 y 34 250

x 14 y 14

2

25x 125y.

Multiplicar por x 14 y 34 .

Así, x 5y. Sustituyendo en la tercera ecuación, se tiene

1505y 250y 50,000

11000y 50,000

y 50 unidades de capital

x 250 unidades de trabajo.

Por tanto, el nivel máximo de producción es

f 250, 50 100250 34 50 14

16,719 product unidades units. del producto.

Los economistas llaman al multiplicador de Lagrange obtenido en una función de producción

productividad marginal del capital. Por ejemplo, en el ejemplo 2 la productividad

marginal de capital en x 250 y y 50 es

x14 y 14

2

25014 50 14

2

0.334

lo cual significa que por cada dólar adicional gastado en la producción, puede producirse

0.334 unidades adicionales del producto.



EJEMPLO 3

Multiplicadores de Lagrange y tres variables

Elipsoide:

Ellipsoid: 2x 2 + y 2 + 3z 2 = 147

2x 2 + y 2 + 3z 2 = 147

z

z

8

8

16

y

y16

−16

−16

24 x

24

Punto de tangencia

x

Point (3, of −9, tangency −4)

Plano:

(3, −9, −4)

Plane: 2x − 3y − 4z = 49

2x − 3y − 4z = 49

Figura 13.80

Figure 13.80

z

Relative

z

40 maxima

(−1, −3, 24) Máximo

32 40 relativo

(−1, −3, 24)

(−1, 3, 24)

24 32

(−1, 3, 24)

16 24

Relative

8

16

minimum

Mínimo

8

(1, 0, 2)

relativo

2

3 y

(1, 0, 2) 4 4

2

x (

3 y

4

10, 0, 6.675 4

x

Figure 13.81

Figura 13.81

(

10, 0, 6.675

(

(

Hallar el valor mínimo Lagrange de Multipliers and Three Variables

Find fthe x, y, minimum z 2x 2 value y 2 of 3z 2 Función objetivo.

sujeto f x, a la y, restricción z 2x 2 o yligadura

2 3z 2 2x 3y Objective 4z function 49.

subject to the constraint 2x 3y 4z 49.

Solución Sea gx, y, z 2x 3y 4z 49. Entonces, como

Solution Let gx, y, z 2x 3y 4z 49. Then, because

f x, y, z 4xi 2yj 6zk y gx, y, z 2i 3j 4k

f x, y, z 4xi 2yj 6zk and gx, y, z 2i 3j 4k

se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente.

you obtain the following system of equations.

4x 4x 2

x x, y, z g x x, y, .

2

f

z

x x, y, z g x x, y, z

2y 3 3

f y x, x, y, z z

g g y x, x, y, z z.

6z

6z

4 4

f z x, y, z g

z x, y, z g z x, y, z

z x, y, z.

2x 3y 4z 49

Constraint

2x 3y 4z 49

Restricción.

The solution of this system is x 3, y 9, and z 4. So, the optimum value of

La f issolución de este sistema es x 3, y 9 y z 4. Por tanto, el valor óptimo de f es

f 3, 9, 4 23 2 9 2 34 2

147.

De From la función the original original function y de la and restricción, constraint, resulta it is clear clarothat

que f x, f x, y, y, zz

has no no tiene maximum. máximo. Por

tanto, So, the el optimum valor óptimo value de of ff

determinado determined above arriba is es a un minimum. mínimo.

■

Al A graphical principio interpretation de esta sección of se constrained dio una interpretación optimization problems gráfica del in problema two variables de optimización

was given con at restricciones the beginning para of dos this variables. section. In Con three tres variables, la the interpretación interpretation es issimi-

similar, sólo except que se usan that level superficies surfaces de are nivel used en lugar instead de of curvas level de curves. nivel. Así, For en instance, el ejemplo in 3,

las Example superficies 3, the de level nivel surfaces de f son of elipsoides f are ellipsoids centradas centered el origen, at the y la origin, restricción and the

constraint

2x 3y 4z 49

2x 3y 4z 49

es un plano. El valor mínimo de f está representado por la elipsoide tangente al plano de

la is a restricción, plane. The como minimum se muestra value of en fla is figura represented 13.80. by the ellipsoid that is tangent to the

constraint plane, as shown in Figure 13.80.

EJEMPLO 4 Optimización en el interior de una región

EXAMPLE 4 Optimization Inside a Region

Hallar los valores extremos de

Find the extreme values of

f x, x, y y x 2 2y 2 2x 3

Función Objective objetivo. function

sujeto subject a to la the restricción constraint x 2 x 2 y 2 y≤ 2 10. 10.

Solución

Solution To

Para

solve

resolver

this problem,

este problema,

you can

se

break

puede

the

dividir

constraint

la restricción

into two

en

cases.

dos casos.

a. For points on the circle x 2 y 2 10, you can use Lagrange multipliers to find

a)

that

Para

the

los

maximum

puntos en

value

el círculo

of f x,

x 2 y

y

is 2

24—this

10, se

value

pueden

occurs

usar los

at 1,

multiplicadores

3 and at

de

1,

Lagrange

3.

para

In a

hallar

similar

que

way,

el

you

valor

can

máximo

determine

de f

that

x, y

the

es

minimum

24; este valor

value

se

of

presenta

f x, y

en

1, 3 y en 1, 3. De manera similar, se puede determinar que el valor mínimo

is approximately 6.675—this value occurs at 10, 0.

de f x, y es aproximadamente 6.675; este valor se presenta en 10, 0.

b. For points inside the circle, you can use the techniques discussed in Section 13.8

b) Para to conclude los puntos that interiores the function al círculo, has a relative se pueden minimum usar las of 2 técnicas at the point analizadas 1, 0. en la sección

13.8 para concluir que la función tiene un mínimo relativo de 2 en el punto (1, 0).

By combining these two results, you can conclude that f has a maximum of 24 at

Combinando 1, ±3

estos a minimum dos resultados, of 2 at 1, se 0, puede as shown concluir in Figure que f13.81. tiene un máximo de ■24 en

1, ±3 y un mínimo de 2 en (1, 0), como se muestra en la figura 13.81.


El método de multiplicadores de Lagrange

con dos restricciones

En problemas de optimización que involucran dos funciones de restricción g y h, se puede

introducir un segundo multiplicador de Lagrange, (letra minúscula mu del alfabeto

griego), y resolver la ecuación

f g h

donde los vectores gradiente no son paralelos, como se ilustra en el ejemplo 5.

EJEMPLO 5

Optimización con dos restricciones

Sea Tx, y, z 20 2x 2y z 2 la temperatura en cada punto en la esfera

x 2 y 2 z 2 11. Hallar las temperaturas extremas en la curva formada por la intersección

del plano x y z 3 y la esfera.

AYUDA DE ESTUDIO El sistema de

ecuaciones que se obtiene en el método

de los multiplicadores de Lagrange no

es, en general, un sistema lineal, y a

menudo hallar la solución requiere de

ingenio.

Solución

Usando

y

Las dos restricciones son

gx, y, z x 2 y 2 z 2 11

Tx, y, z 2i 2j 2zk

gx, y, z 2x i 2y j 2z k

hx, y, z i j k

se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente.

x 2 y 2 z 2 11

x y z 3

y

T x x, y, z g x x, y, z h x x, y, z.

T y x, y, z g y x, y, z h y x, y, z.

T z x, y, z g z x, y, z h z x, y, z.

Restricción 1.

Restricción 2.

Restando la segunda ecuación de la primera, se obtiene el sistema siguiente.

x y 0

2z1 0

x 2 y 2 z 2 11

x y z 3

De la primera ecuación, se concluye que o x y. Si se puede demostrar que

los puntos críticos son 3, 1, 1 y 1, 3, 1. (Tratar de hacer esto toma un poco de trabajo.)

Si entonces x y y se puede mostrar que los puntos críticos se presentan

donde x y 3 ± 233 y z 3 433. Por último, para encontrar las soluciones

óptimas, se deben comparar las temperaturas en los cuatro puntos críticos.

0,

T

3 23

3

T

3 23

3

2 2x

2 2y

2z 2z

0

T3, 1, 1 T1, 3, 1 25

, 3 23 , 3 43

3 3 91

3 30.33

, 3 23 , 3 43

3 3 91

3 30.33

hx, y, z x y z 3.

0,

Así, T 25 es la temperatura mínima y T 91 3 es la temperatura máxima en la curva.

976

CAPÍTULO

Chapter 13

13

Functions

Funciones

of Several

de varias

Variables

976 Chapter 13 Functions of Several Variables variables







En In Exercises los ejercicios 1– 4, 1 identify a 4, identificar the constraint la restricción and level o ligadura curves of y the las

In Exercises 1– 4, identify the constraint and level curves of the

curvas objective de function nivel de shown la función in the objetivo figure. Use mostradas the figure en to la approximatdo

figura.

objective

Utilizar

In Exercises function

la figura

1– 4, shown para

identify in

aproximar the constraint figure. Use

el extremo

and the

indicado,

level figure curves to approximate

the indicated extrema, assuming that x and y are to positive. approx-

of the suponien-

of the

In objective Exercises

the indicated

que x

function 1– 4, identify

extrema,

y y son

shown the

assuming

positivos.

in the constraint

that

Utilizar

figure. Use and los

the level

and multiplicadores

figure curves

are positive.

objective

Use Lagrange de

Lagrange

imate the function

multipliers

para

indicated shown

verificar

extrema, in

to

the

verify

el resultado.

assuming figure.

your

Use

result.

Use Lagrange multipliers to verify your that result. the x

figure and y

to are approximate

Use 1. Maximize Lagrange the indicated multipliers xy extrema, to assuming verify 2. your Maximize that result.

x and y are xy positive.

positive.

Use 1. 1. Maximizar Lagrange Maximizemultipliers zz xy

xy to verify 2. 2. your Maximizar Maximize result. zz xy

xy

1. Constraint:

Restricción Maximize z

xy

10

2. Constraint:

Restricción Maximize

2x

z

xy

Constraint: x y 10 Constraint: 2x y 4

1. Maximize y z xy

2. Maximize y z xy

o Constraint:

ligadura: y

x x 30y y 10 10

o Constraint:

ligadura: y

2x 2x y y 4 4

Constraint: c

y x = 3040

y 10 Constraint:

y

y

c = 2x2

12

y 4

c = c y

30 = 6

40

12

30

50

6 c = 2

10 y

2

c = c

12

12

c 40 = 50

c

y

= 4

10 c = 30 40

6

c = 6 c = 4 4

c = 50

c = 2c = 6

8

50

10

c = 40

4

12

c

10

c = = 6

8

64

c = 4 6

6

c = 50

108

6

4

8

4

c = 6

4

2

86

4

42

6

2

64

2

2

2

4

42

2 2 4 6

2

2 4 6 8 10 12

2 4 6 x

2 2 4 6 8 10 12 x

2

2

4

4

6

2

6

2

4

4

6

6

8

8

10

10

12

3. Minimize 2 12

4. Minimize2

4

2 6

3. Minimize 2 4 z6

8x 2 2

2 10 12 y 2 4. Minimize z x 2 y 2

3. 3. Minimizar Constraint:

Minimize z x 2 y 2

4. 4. Minimizar Constraint:

Minimize

z 2x x 2 4y y 2

Constraint: x y 4 0 Constraint: 2x 4y 5

3. Minimize Restricción z yo ligadura: x 4. Minimize Restricción z o ligadura: x

Constraint:

x 2 y

y 2 y

4 0

Constraint:

2x 2 y

4y 2

y

y

5

Constraint:

x y 4x 0y 4 0 Constraint: 2x 4y 2x 5

4

4y 5

c y

y

2

y

y

c = 8

4

2

c = 6

c = 4

c = 1

c = 2

= 8

8 4

c = 6

2

c = 4

c =

4

1 1

c = 2

2

c

2

c =

c = 1 1

c = 6

c = 1

−4

= 4

2

4

−2

2

2

c = 1 2

−4

4

−2 2

2

2

−4

−4

−4 −4

−4

−4

x

4

4

−2

−2

−2

−2

−2

−2

−2

2

2

In Exercises −4 5–10, use Lagrange multipliers −2 to find the

In Exercises −4 5–10, use Lagrange multipliers to find the

indicated extrema, assuming that

and are positive.

En indicated In los Exercises ejercicios extrema, a assuming utilizar use Lagrange that multiplicadores x and multipliers y are positive. de Lagrange to find para the

In

hallar indicated 5. Exercises Minimize el extremo extrema, fx, 5–10,

indicado, assuming use 2 Lagrange

suponer that

que x

and multipliers

x y y

are son positive.

to find the

positivos.

indicated 5. Minimize extrema, fx, yassuming x 2 2 ythat

2 x and y are positive.

5. 5. Minimizar

Constraint:

Minimize

fx, y 2y

x 2 y Constraint: x 2y 5 0

2 5. 6. Minimize

Restricción: Maximizefx, Constraint:

y

x x

2y 22 y

5 2

6. Maximize fx, y x 2

0

x 2y 5 2 y

6. Maximizar

fx, y 0

2

6.

Constraint:

Maximize

2y

fx, y 2 x 2 Constraint: 2y x y 2

6. Restricción:

2y 2 0

7. Maximize

Constraint:

fx,

2y 2 x

x 2 2x 2 y

0

2xy 2

7. Maximize fx, y 2x 2xy y

7. 7. Maximizar Constraint: 2y

Maximize

fx, 2x yx fx, y 2 2x 2x 100 0 2xy Constraint: 2x y 100 2xy y

7. 8. Maximize Restricción: Minimize

2x y 100

Constraint:

fx, 2x 2x

y

3x 2xy

100

10y

8. Minimize fx, y 3x y 10

8. Minimizar fx, y 3x 10

8. Constraint: 2x

Minimize

fx, 2 y

y 100

Constraint: x 3x y 10

8. Minimize Restricción: fx, 2 2 y 6

9. Maximize

Constraint:

fx, x 2 3x 6

y 2 10

9. Maximize fx, y 6 x 2

9. Maximizar

f x, y 6 2 2

9. Maximize

fx, 2 y 6

2 y 2

Constraint:

6 x Restricción: Constraint: x y 2 0

2 y 2

10. 9. Maximize Minimize

10. Minimizar

Constraint:

fx, fx,

x 6

y

y

x

2 2 x 2

0

2 y 2

10. Minimize fx, y x 2

x y 2 2 y

0

2 2

10. Constraint:

Restricción: Minimize

fx, 2x 4y 15 x 2 y Constraint: 2x 4y 15 0

2

10. Minimize fx, y x

Constraint:

2x 4y 2 y

15 2

In Exercises 11–14, use Lagrange 0

multipliers to find the

In Constraint: Exercises 2x 11–14, 4y use 15Lagrange 0 multipliers to find the

En indicated los ejercicios extrema, 11 assuming a 14, utilizar that x, los y, and multiplicadores are positive. de Lagrange

In Exercises extrema,

indicated

para hallar 11–14, assuming

los extremos use Lagrange that x, y, and

indicados, multipliers z are positive.

suponiendo to que find x, the

In

y

y 11. indicated Exercises

z son Minimizar positivos. extrema, 11–14, fx, y, assuming use Lagrange 2 that

2 x,

y,

2 multipliers and z

are positive.

to find the

indicated 11. Minimizar extrema, fx, assuming y, z x 2 that y 2 x, y, zand 2 z are positive.

11. Restricción

Minimizar

fx, ligadura:

y, z 2 y 2 z 2 Restricción o ligadura: x y z 9 0

11. 12. Minimizar Maximizarf y, z x

Restricción fx,

o ligadura:

y, xyz

2 y

x 2 z

y z 2 12. Maximizar fx, y, z xyz 9 0

9 12. Restricción

Maximizar

fx, ligadura:

y, z

xyz

Restricción o ligadura: x y z 3 0

12. Maximizar f x, y, z xyz

Restricción o ligadura:

x y z 3 0

Restricción o ligadura: x y z 3 0

x

13. Minimizar

x, y, 2 2 13. Minimizar f x, y, z x 2

2 y 2 z 2

13. Restricción:

Minimizar

fx, y, z x 2 Restricción: x y z 1 y 2 z 2

13. 14. Minimizar fx,

Restricción:

x, y,

x z

y 2 x 2 z

10x y 2 1

z 2 14y 28

14. Minimizar f x, y x z 2 10x y

1

2 14y 28

14. Restricción:

Minimizar

fx, x

10

Restricción: x y 10

2 10x y 2 14y 28

14. Minimizar f x, y x

En los ejercicios 15 2 10x y

utilizar 2 14y 28

In Exercises Restricción: 15 and x 16, y use 10 Lagrange los multiplicadores multipliers to de find Lagrange

para of hallar the function todos los subject extremos to the de constraint la función 2 to find sujetos 2 any

any

In Exercises Restricción: 15 xand y16, 10 use Lagrange multipliers

extrema a 1.

extrema

la

In Exercises of the 15 function and 16, subject use Lagrange to the constraint multipliers x 2 1to yfind 2 1. any

In restricción x 2 y 2 ≤ 1.

15. extrema Exercises fx, of the 15 2 and function 3xy 16, use subject Lagrange to the multipliers constraint

x to 2 1 find y 2 any 1.

extrema 15.

f x, of yy the x 2 function 2 3xy subject y 2 to 16. the fconstraint

x, y e xy4 x 2 1 y 2 1.

16.

15.

fx, x, y 16. f y ex 2 xy 4

3xy y 2 15.

En

fx, los

y

ejercicios

x xy 2 3xy 4

17 y 18,

y 2 In 16. Exercises f x, y 17 e and xy 4

18, use

utilizar

Lagrange

los

multipliers

multiplicadores

to find

de

the

Lagrange

Exercises f x, ypara e17 hallar xy and 4 los 18, extremos use Lagrange de f indicados multipliers sujetos find a the

16. In

indicated extrema of subject to two constraints. In each case,

dos

indicated restricciones. In Exercises extrema En 17 and cada of f18, subject caso, use suponer Lagrange to two constraints. que multipliers x, y y zIn son to each no find negativos.

indicated Exercises

case, the

In

assume that x,

extrema 17

y,

and

and

of 18, are

f

subject use

nonnegative.

assume that x, y, and z are nonnegative. Lagrange to two constraints. multipliers In to each find the case,

indicated 17. assume Maximize that

extrema fx, y,

y, of and f subject z

are xyznonnegative.

to two constraints. In each case,

assume 17. Maximize Maximizar that x, fx, y, f x, and y, y, z

z are xyz

nonnegative.

xyz

17. Constraints:

Restricción: Maximize

fx, y, z

xyz

32,

Constraints: x y z 32,

x y z 0

17. 18. Maximize Minimize

Minimizar Constraints:

fx, f x, x y, xyz

y, z y z 2 x 2 32,

2 y 2 x 18. Minimize fx, y, z x 2

z 2 y z 0

y z 2 y

32,

2 z

x 2

18. Constraints:

Restricción: Minimize

fx, y, 2z z 6,

x 2 y 2 y z 2

12 z 0

Constraints: x 2z 6, x y 12

18. Minimize fx, y, z x

Constraints:

2 y 2 z 2

In Exercises 19–28, x use 2z Lagrange 6, x multipliers y 12

to find the minimum

distance from the curve or surface to the indicated point.

In En Exercises Constraints: los ejercicios 19–28, x 2z a use 28, Lagrange 6, usar x los ymultiplicadores multipliers 12 to find de the Lagrange minimum

para In Exercises encontrar distance 19–28, from la distancia the use curve Lagrange mínima or surface multipliers desde to la curva to find o superficie the mini-

In

[Hints:

al mum Exercises

In Exercise

punto distance indicado. 19–28,

19,

from use

minimize

[Sugerencia: the Lagrange

fx,

curve or En surface multipliers el ejercicio 2 the indicated to the to 2 point.

indicated find

subject 19, the minimizar minimum

to the

[Hints: In Exercise 19, minimize fx, y x point.

constraint

f[Hints: x, y distance In xExercise 2 from 2 sujeta the

1. In

19, curve

Exercise

minimize

a la restricción or surface

25, use

fx, y x to

the 2 1 y

+ x root 2 subject to the

y 2 = 1 indicated

feature

1. y 2

En subject el ejercicio point.

of constraint x 1 y 1. In Exercise 25, use the root feature to of the

a

[Hints:

graphing

25, constraint

usar In la Exercise

utility.]

graphing utility.] operación x 1 y 19, 1.

raíz minimize In de Exercise una fx, herramienta 25, y use x 2 the 1 yde root 2 subject graficación.] feature to the of a

constraint graphing Curva xutility.]

1 y 1. In Exercise 25, Punto use the root feature of a

graphing Curvautility.]

Punto

19. Recta:

Curva

0,

Punto

19. Recta: x y 1

0, 0

20. Curva

19. Recta:

2x

x y

3y 1

Punto 0,

0, 20. Recta: 2x 3y 1

0, 00

19. 21. 20. Recta:

2x 1

3y 0,

1

0, 0

0, 21. Recta:

0

20. 22. 2x 3y 1

0, 21. Recta:

x

x 4y y 4

y 4

0, 2

1,

0, 22. Recta: x 4y 3

1, 02

21. 23. Recta: x y 4

0, 2

22. Parábola:

Recta:

x 4y 3

0,

1, 23. Parábola: y x 2 0

22. Recta: x 4y 2 0, 3

24. 3

1, 0

23. Parábola:

y x 2 0, 3,

3

24. Parábola: y x 2

23. 2 3, 0

0, 3

24. y x 2 1

25. Parábola:

2 2, 1

25. Parábola: y x 3, 0

24. Parábola: y x 2 1

2, 1

26. 25. Círculo:

Parábola:

2 13, 0

y x 2 2 1

2 0, 10

26. Círculo: x 4 2, 1

1

25. Parábola: y x 2 y

26. Círculo:

x 2 1

2 4 0, 10

Superficie

4 2 y 2 4

Punto 2, 1

Superficie

0, 10

26. 27. Círculo: Plano: x 4 0, 10

Superficie

2 Punto

y 2 4 2,

Punto

1, 27. Plano: x y z 1

2, 1, 1

28. Superficie

Punto

27. Cono:

Plano:

x y 2 z 2 1

4,

2, 0,

1, 28. Cono: z x 1

27. Plano: x y 2 y

z 1

2 4, 0, 0

2, 1, 1

In 28. Exercises Cono:

z 29 and x 2 30, y find 2 the highest 4, 0, point 0

on the curve of

28. In Exercises Cono: z 29 and x 4, 0, 0

En los ejercicios 29 2 30, y

intersection of the surfaces. y 30, 2 find the highest point on the curve of

hallar el punto más alto de la curva de

intersection In Exercises of 29 the and surfaces. 30, find the highest point on the curve of

In intersección de las superficies.

29. intersection Exercises Cone: 2 29 of and the 2 surfaces.

30, 2 find 0, the Plane: highest point 2z on the curve of

intersection 29.

29.

Cone:

Cono:

x 2 of the y 2 surfaces.

30.

z 2

0,

0,

Plane:

Plano:

x

2z

2z

4

29. Sphere:

Cone: Plane:

x 2z 4

30. Esfera: 2 2 2 2 2 2 2 2 0,

36, Plane: 2x 30. Sphere: x

29. Cone: x 2 y 2 36, Plane: Plano: x 2x2z 4 30. Sphere: 2 y 2 z

x 2 2 z 2 36, Plane: 2x y z 2

y 2 2 0,

z 2 36,

Plane: 2x y z 2

30.

WRITING

Sphere: x 2 ABOUT

y 2 z 2 CONCEPTS

WRITING ABOUT CONCEPTS 36, Plane: 2x y z 2

31.

Desarrollo WRITING Explain what

ABOUT is meant

de conceptos CONCEPTS

by constrained optimization

31. Explain what is meant by constrained optimization

WRITING problems. ABOUT CONCEPTS

31. problems. Explain what is meant by constrained optimization

31. 31. 32. Explicar Explain qué se quiere decir con problemas de optimización

problems.

the what Method is meant of Lagrange by constrained Multipliers optimization for solving

32.

problems.

Explain

constrained restricciones. the Method of Lagrange Multipliers for solving

optimization problems.

32. constrained Explain the optimization Method of problems. Lagrange Multipliers for solving

32. 32. Explain Explicar el método de los multiplicadores de Lagrange para

constrained the Method optimization of Lagrange problems.

Multipliers for solving

constrained resolver problemas optimization de optimización problems. con restricciones.


En los ejercicios 33 a 42, usar los multiplicadores de Lagrange

para resolver el ejercicio indicado en la sección 13.9.

33. Ejercicio 1 34. Ejercicio 2





43. Volumen máximo Utilizar multiplicadores de Lagrange para determinar

las dimensiones de la caja rectangular de volumen máximo

que puede ser inscrita (con los bordes paralelos a los ejes de

coordenadas) en el elipsoide

45. Costo mínimo Un contenedor de carga (en forma de un sólido

rectangular) debe tener un volumen de 480 pies cúbicos. La

parte inferior costará $5 por pie cuadrado para construir, y los

lados y la parte superior costarán $3 por pie cuadrado para construcción.

Usar los multiplicadores de Lagrange para encontrar

las dimensiones del contenedor de este tamaño que tiene costo

mínimo.

46. Medias geométrica y aritmética

a) Utilizar los multiplicadores de Lagrange para demostrar que

el producto de tres números positivos x, y y z cuya suma tiene

un valor constante S, es máximo cuando los tres números son

iguales. Utilizar este resultado para demostrar que

b) Generalizar el resultado del inciso a) para demostrar que el

producto

es máximo cuando

y todo

Después, demostrar que

Esto demuestra que la media geométrica nunca es mayor

que la media aritmética.

47. Superficie mínima Utilizar multiplicadores de Lagrange para

encontrar las dimensiones de un cilindro circular recto con volumen

de V 0 unidades cúbicas y superficie mínima.

48. Distribución de temperatura Sea

la temperatura en cada punto sobre la esfera x 2 y 2 z 2

50. Hallar la temperatura máxima en la curva formada por la

intersección de la esfera y el plano

49. Refracción de la luz Cuando las ondas de luz que viajan en un

medio transparente atraviesan la superficie de un segundo medio

transparente, tienden a “desviarse” para seguir la trayectoria de

tiempo mínimo. Esta tendencia se llama refracción y está descrita

por la ley de refracción de Snell, según la cual

donde y son las magnitudes de los ángulos mostrados en la

figura, y y son las velocidades de la luz en los dos medios.

Utilizar los multiplicadores de Lagrange para deducir esta ley

usando


50. Área y perímetro Un semicírculo está sobre un rectángulo (ver

la figura). Si el área es fija y el perímetro es un mínimo, o si el

perímetro es fijo y el área es un máximo, utilizar multiplicadores

de Lagrange para verificar que la longitud del rectángulo es el

doble de su altura.

Nivel de producción

En los ejercicios 51 y 52, hallar el máximo

nivel de producción P si el costo total de trabajo (a $72 por

unidad) y capital (a $60 por unidad) está restringido a $250 000,

donde x es el número de unidades de trabajo y y es el número de

unidades de capital.

51. 52.

Costo

En los ejercicios 53 y 54, hallar el costo mínimo para producir

50 000 unidades de un producto donde x es el número de

unidades de trabajo (a $72 por unidad) y y es el número de unidades

de capital (a $60 por unidad).

53. 54.

55. Investigación Considerar la función objetivo

sujeta a la restricción o ligadura de que ,

y sean los ángulos de un triángulo.

a) Utilizar los multiplicadores de Lagrange para maximizar

b) Utilizar la restricción o ligadura para reducir la función g a

una función de dos variables independientes. Utilizar un sistema

algebraico por computadora para representar gráficamente

la superficie definida por g. Identificar en la gráfica los

valores máximos.

g.

In Exercises 33–42, use Lagrange multipliers to solve the indicated

exercise in Section 13.9.

33. Exercise 1 34. Exercise 2





43. Maximum Volume Use Lagrange multipliers to find the

dimensions of a rectangular box of maximum volume that can

be inscribed (with edges parallel to the coordinate axes) in the

ellipsoid

45. Minimum Cost A cargo container (in the shape of a rectangular

solid) must have a volume of 480 cubic feet. The bottom will

cost $5 per square foot to construct and the sides and the top

will cost $3 per square foot to construct. Use Lagrange

multipliers to find the dimensions of the container of this size

that has minimum cost.

46. Geometric and Arithmetic Means

(a) Use Lagrange multipliers to prove that the product of three

positive numbers and whose sum has the constant

value

is a maximum when the three numbers are equal.

Use this result to prove that

(b) Generalize the result of part (a) to prove that the product

is a maximum when

and all

Then prove that

This shows that the geometric mean is never greater than

the arithmetic mean.

47. Minimum Surface Area Use Lagrange multipliers to find the

dimensions of a right circular cylinder with volume

cubic

units and minimum surface area.

48. Temperature Distribution Let

represent the temperature at each point on the sphere

Find the maximum temperature on the

curve formed by the intersection of the sphere and the plane

49. Refraction of Light When light waves traveling in a

transparent medium strike the surface of a second transparent

medium, they tend to “bend” in order to follow the path of

minimum time. This tendency is called refraction and is

described by Snell’s Law of Refraction,

where and are the magnitudes of the angles shown in the

figure, and and are the velocities of light in the two media.

Use Lagrange multipliers to derive this law using


50. Area and Perimeter A semicircle is on top of a rectangle (see

figure). If the area is fixed and the perimeter is a minimum, or

if the perimeter is fixed and the area is a maximum, use

Lagrange multipliers to verify that the length of the rectangle is

twice its height.

Production Level

In Exercises 51 and 52, find the maximum

production level

if the total cost of labor (at $72 per unit) and

capital (at $60 per unit) is limited to $250,000, where

is the

number of units of labor and is the number of units of capital.

51. 52.

Cost

In Exercises 53 and 54, find the minimum cost of

producing 50,000 units of a product, where

is the number

of units of labor (at $72 per unit) and is the number of units of

capital (at $60 per unit).

53. 54.

55. Investigation Consider the objective function

subject to the constraint that , and are

the angles of a triangle.

(a) Use Lagrange multipliers to maximize

(b) Use the constraint to reduce the function

to a function of

two independent variables. Use a computer algebra system

to graph the surface represented by

Identify the

maximum values on the graph.

g.

g

g.

,

cos cos cos

g , ,

Px, y 100x 0.6 y 0.4

Px, y 100x 0.25 y 0.75 y

x

Px, y 100x 0.4 y 0.6

Px, y 100x 0.25 y 0.75 y

x

P

l

h

a

x

d 1

y

θ 1

θ 2

Q

d 2

Medium 1

Medium 2

P

x y a.

v 2

v 1 2

1

sin 1

v 1 sin 2

v 2

x z 0.

x 2 y 2 z 2 50.

Tx, y, z 100 x 2 y 2

V 0

n x 1 x 2 x 3 . . . xn x 1 x 2 x 3 . . . x n

n

.

x i 0.

. . . x n ,

n

i 1

x i S,

x 1 x 2 x 3

x 1 x 2 x 3 . . . xn 3 xyz x y z 3.

S,

z,

y,

x,

x 2 a 2 y 2 b 2 z 2 c 2 1.

13.10 Lagrange Multipliers 977

44. The sum of the length and the girth (perimeter of a cross

section) of a package carried by a delivery service cannot

exceed 108 inches.

(a) Determine whether Lagrange multipliers can be used to

find the dimensions of the rectangular package of

largest volume that may be sent. Explain your reasoning.

(b) If Lagrange multipliers can be used, find the dimensions.

Compare your answer with that obtained in

Exercise 38, Section 13.9.

CAPSTONE

CAS

56. A can buoy is to be made of three pieces, namely, a cylinder

and two equal cones, the altitude of each cone being equal

to the altitude of the cylinder. For a given area of

surface, what shape will have the greatest volume?



PUTNAM EXAM CHALLENGE











ellipsoid










value




is a maximum when

and all

Then prove that





cubic



















twice its height.

Production Level


production level



is the


51. 52.

Cost



is the number



53. 54.






to a function of



Identify the


g.

g

g.

,

cos cos cos

g , ,

Px, y 100x 0.6 y 0.4

Px, y 100x 0.25 y 0.75 y

x

Px, y 100x 0.4 y 0.6

Px, y 100x 0.25 y 0.75 y

x

P

l

h

a

x

d 1

y

θ 1

θ 2

Q

d 2

Medium 1

Medium 2

P

x y a.

v 2

v 1 2

1

sin 1

v 1 sin 2

v 2

x z 0.

x 2 y 2 z 2 50.

Tx, y, z 100 x 2 y 2

V 0

n x 1 x 2 x 3 . . . xn x 1 x 2 x 3 . . . x n

n

.

x i 0.

. . . x n ,

n

i 1

x i S,

x 1 x 2 x 3

x 1 x 2 x 3 . . . xn 3 xyz x y z 3.

S,

z,

y,

x,

x 2 a 2 y 2 b 2 z 2 c 2 1.




exceed 108 inches.







CAPSTONE

CAS








Px, y 100x 0.6 y 0.4

Px, y 100x 0.25 y 0.75 Px, y 100x 0.4 y 0.6

Px, y 100x 0.25 y 0.75

x y a.

v 2

v 1

2

1

sin 1

v 1 sin 2

v 2

x z 0.

nx 1 x 2 x 3 . . . x n ≤ x 1 x 2 x 3 . . . x n

n

.

x i ≥ 0.

. . . xn , n

i1

x i S,

x 1 x 2 x 3

x 1 x 2 x 3 . . . x n

3xyz ≤ x y z

3

.











ellipsoid










value




is a maximum when

and all

Then prove that





cubic






49. Refraction of Light When light waves traveling i

transparent medium strike the surface of a second transpa

medium, they tend to “bend” in order to follow the path

minimum time. This tendency is called refraction and


where and are the magnitudes of the angles shown in

figure, and and are the velocities of light in the two me



50. Area and Perimeter A semicircle is on top of a rectangle

figure). If the area is fixed and the perimeter is a minimum

if the perimeter is fixed and the area is a maximum,

Lagrange multipliers to verify that the length of the rectang

twice its height.

Production Level

In Exercises 51 and 52, find the maxim

production level

if the total cost of labor (at $72 per unit)


is

number of units of labor and is the number of units of cap

51. 52.

Cost

In Exercises 53 and 54, find the minimum cost


is the num

of units of labor (at $72 per unit) and is the number of unit


53. 54.


subject to the constraint that ,

and




to a functio

two independent variables. Use a computer algebra sys


Identify


g.

g

g.

,

cos cos cos

g , ,

Px, y 100x 0.6

Px, y 100x 0.25 y 0.75 y

x

Px, y 100x 0.4

Px, y 100x 0.25 y 0.75 y

x

P

l

a

x

d 1

y

θ 1

θ 2

Q

d 2

Medium 1

Medium 2

P

x

y

v 2

v 1 2

1

sin 1

v 1 sin 2

v 2

x z 0.

x 2 y 2 z 2 50.

Tx, y, z 100 x 2 y 2

V 0

n x 1 x 2 x 3 . . . xn x 1 x 2 x 3 . . . x n

n

.

x i 0.

. . . x n ,

n

i 1

x i S,

x 1 x 2 x 3

x 1 x 2 x 3 . . . xn 3 xyz x y z 3.

S,

z,

y,

x,

x 2 a 2 y 2 b 2 z 2 c 2 1.




exceed 108 inches.







CAPSTONE

CAS

56. A can buoy is to be made of three pieces, namely, a cylind

and two equal cones, the altitude of each cone being equ

to the altitude of the cylinder. For a given area


This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competitio



Preparación del examen Putman

56. Una boya está hecha de tres piezas, a saber, un cilindro y dos

conos iguales, la altura de cada uno de los conos es igual a

la altura del cilindro. Para una superficie dada, ¿con qué

forma se tendrá el volumen máximo?



Para discusión

44. La suma de las longitudes y el tamaño (perímetro de una sección

transversal) de un paquete llevado por un servicio de

entrega a domicilio no puede exceder 108 pulgadas.

a) Determinar si los multiplicadores de Lagrange se pueden

usar para encontrar las dimensiones del paquete rectangular

de más grande volumen que puede ser enviado.


b) Si se pueden usar los multiplicadores de Lagrange, encontrar

las dimensiones. Comparar su respuesta con la obtenida

en el ejercicio 38, sección 13.9.

sen

sen











ellipsoid










value




is a maximum when

and all

Then prove that





cubic



















twice its height.

Production Level


production level



is the


51. 52.

Cost



is the number



53. 54.






to a function of



Identify the


g.

g

g.

,

cos cos cos

g , ,

Px, y 100x 0.6 y 0.4

Px, y 100x 0.25 y 0.75 y

x

Px, y 100x 0.4 y 0.6

Px, y 100x 0.25 y 0.75 y

x

P

l

h

a

x

d 1

y

θ 1

θ 2

Q

d 2

Medium 1

Medium 2

P

x y a.

v 2

v 1 2

1

sin 1

v 1 sin 2

v 2

x z 0.

x 2 y 2 z 2 50.

T x, y, z 100 x 2 y 2

V 0

n x 1 x 2 x 3 . . . xn x 1 x 2 x 3 . . . x n

n

.

x i 0.

. . . x n ,

n

i 1

x i S,

x 1 x 2 x 3

x 1 x 2 x 3 . . . xn 3 xyz x y z 3.

S,

z,

y,

x,

x 2 a 2 y 2 b 2 z 2 c 2 1.




exceed 108 inches.







CAPSTONE

CAS








a

x

d 1

y

2

θ

1

θ

Q

d 2

Medio 1

Medio 2

P

l

h











ellipsoid










value




is a maximum when

and all

Then prove that





cubic



















twice its height.

Production Level


production level



is the


51. 52.

Cost



is the number



53. 54.






to a function of



Identify the


g.

g

g.

,

cos cos cos

g , ,

Px, y 100x 0.6 y 0.4

Px, y 100x 0.25 y 0.75 y

x

Px, y 100x 0.4 y 0.6

Px, y 100x 0.25 y 0.75 y

x

P

l

h

a

x

d 1

y

θ 1

θ 2

Q

d 2

Medium 1

Medium 2

P

x y a.

v 2

v 1 2

1

sin 1

v 1 sin 2

v 2

x z 0.

x 2 y 2 z 2 50.

Tx, y, z 100 x 2 y 2

V 0

n x 1 x 2 x 3 . . . xn x 1 x 2 x 3 . . . x n

n

.

x i 0.

. . . x n ,

n

i 1

x i S,

x 1 x 2 x 3

x 1 x 2 x 3 . . . xn 3 xyz x y z 3.

S,

z,

y,

x,

x 2 a 2 y 2 b 2 z 2 c 2 1.




exceed 108 inches.







CAPSTONE

CAS









En los ejercicios 1 y 2, trazar la gráfica de la superficie de nivel

f(x, y, z) = c en el valor dado de c.

3. Conjetura Considerar la función f(x, y) = x 2 + y 2 .


b) Conjeturar la relación entre las gráficas de f y g(x, y) =

f(x, y) + 2. Explicar el razonamiento.

c) Conjeturar la relación entre las gráficas de f y g(x, y) =

f(x, y – 2). Explicar el razonamiento.

d) Sobre la superficie en el inciso a), trazar las gráficas de

z = f(1, y) y z = f(x, 1).

4. Conjetura Considerar la función


b) Conjeturar la relación entre las gráficas de f y g(x, y) = f(x + 2, y).


c) Conjeturar la relación entre las gráficas de f y g(x, y) = 4 –

f(x, y). Explicar el razonamiento.

d) Sobre la superficie en el inciso a), trazar las gráficas de z =

f(0, y) y z = f(x, 0).


y representar gráficamente algunas de las curvas de nivel

de la función.

5. 6.

7. 8.

En los ejercicios 9 y 10, utilizar un sistema algebraico por computadora

y representar gráficamente la función.

9. 10.

En los ejercicios 11 a 14, hallar el límite y analizar la continuidad

de la función (si existe).

En los ejercicios 15 a 24, hallar todas las primeras derivadas parciales.

25. Para pensar Dibujar una gráfica de una función

cuyas derivadas y sean siempre negativas.

26. Hallar las pendientes de la superficie en las

direcciones x y y en el punto .

En los ejercicios 27 a 30, hallar todas las segundas derivadas parciales

y verificar que las segundas derivadas parciales mixtas son

iguales.

Ecuación de Laplace


función satisface la ecuación de Laplace

En los ejercicios 35 y 36, hallar la diferencial total.

37. Análisis de errores Al medir los lados de un triángulo rectángulo

se obtienen los valores de 5 y 12 centímetros, con un posible

error de centímetro. Aproximar el error máximo posible al

calcular la longitud de la hipotenusa. Aproximar el error porcentual

máximo.

38. Análisis de errores Para determinar la altura de una torre, el

ángulo de elevación a la parte superior de la torre se midió desde

un punto a 100 pies

pie de la base. La medida del ángulo da

33°, con un posible error de 1°. Suponer que el suelo es horizontal,

para aproximar el error máximo al determinar la altura

de la torre.

39. Volumen Se mide un cono circular recto. Su radio y su altura

son 2 y 5 pulgadas, respectivamente. El posible error de

medición es – 1 8 de pulgada. Aproximar el error máximo posible en

el cálculo del volumen.

40. Superficie lateral Aproximar el error en el cálculo de la superficie

lateral del cono del ejercicio 39. (La superficie lateral está

dada por A rr 2 h 2 .

± 1 2

1

2

2, 0, 0

z x 2 ln y 1

f y

f x

z f x, y

gx, y y 1 x

f x, y e x2 y 2

f x, y

x

x y

f x, y x 2 y 2

f x, y ln xy

f x, y e x2 y 2


1.

2. c 0

f x, y, z 4x 2 y 2 4z 2 ,

c 2

f x, y, z x 2 y z 2 ,

f x, y 1 x 2 y 2 .

11. 12.

13. 14. lím

x, y → 0, 0

x 2 y

x 4 y 2

lím

x, y → 0, 0

y

xe y2

1 x 2 lím

x, y → 1, 1

xy

x 2 y 2

lím

x, y → 1, 1

xy

x 2 y 2

15. 16.

17. 18. z ln x 2 y 2 1

z e y e x f x, y

xy

x

y

f x, y

e x cos y

z

x 2 +

2 z

y 2 0.

gx, y cos x 2y

h x, y x sen y y cos x

hx, y

x

x

y

fx, y 3x 2 xy 2y 3 2, 0, 0

y-

x-

z x 2 ln y 1

f y

f x z f x, y

ux, t

c sen akx cos kt

u x, t

ce n2 t sen nx

f x, y, z

1

1 x 2 y 2 z 2

fx, y, z

z arctan y x

w x 2 y 2 z 2

gx, y

xy

x 2 y 2

z ln x 2 y 2 1

z e y e x fx, y

xy

x

y

fx, y

e x cos y

lím

x, y → 0, 0

x 2 y

x 4 y 2

lím

x, y → 0, 0

y

xe y2

1 x 2 lím

x, y → 1, 1

xy

x 2 y 2

lím

x, y → 1, 1

xy

x 2 y 2 gx, y y 1 x

fx, y e x2 y 2 fx, y

x

x

y

fx, y x 2 y 2 fx, y ln xy

f x, y e x2 y 2

z f x, 0 .

z

f 0, y

gx, y 4 fx, y .

f

gx, y f x 2, y .

f

f.

fx, y 1 x 2 y 2 .

z f x, 1 .

z

f 1, y

gx, y f x, y 2.

f

gx, y f x, y 2.

f

f.

f x, y x 2 y 2 .

c 0

f x, y, z 4x 2 y 2 4z 2 ,

c 2

f x, y, z x 2 y z 2 ,

c.

f x, y, z

c

CAS

CAS

In Exercises 1 and 2, sketch the graph of the level surface


1.

2.

3. Conjecture Consider the function



graphs of and Explain your

reasoning.



reasoning.

(d) On the surface in part (a), sketch the graphs of

and





reasoning.



reasoning.


and

In Exercises 5–8, use a computer algebra system to graph

several level curves of the function.

5. 6.

7. 8.

In Exercises 9 and 10, use a computer algebra system to graph

the function.

9. 10.

In Exercises 11–14, find the limit and discuss the continuity of

the function (if it exists).

11. 12.

13. 14.

In Exercises 15–24, find all first partial derivatives.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21.

22.

23. 24.

25. Think About It Sketch a graph of a function

whose derivative is always negative and whose derivative is

always negative.

26. Find the slopes of the surface in the and

directions at the point .

In Exercises 27–30, find all second partial derivatives and

verify that the second mixed partials are equal.

27. 28.

29. 30.




31. 32.

33. 34.

In Exercises 35 and 36, find the total differential.

35. 36.

37. Error Analysis The legs of a right triangle are measured to be

5 centimeters and 12 centimeters, with a possible error of

centimeter. Approximate the maximum possible error in

computing the length of the hypotenuse. Approximate the

maximum percent error.

38. Error Analysis To determine the height of a tower, the angle

of elevation to the top of the tower is measured from a point 100

feet foot from the base. The angle is measured at with

a possible error of

Assuming that the ground is

horizontal, approximate the maximum error in determining the

height of the tower.

39. Volume A right circular cone is measured, and the radius and

height are found to be 2 inches and 5 inches, respectively. The

possible error in measurement is

inch. Approximate the

maximum possible error in the computation of the volume.

40. Lateral Surface Area Approximate the error in the computation

of the lateral surface area of the cone in Exercise 39. The

lateral surface area is given by A r r 2 h 2 .

1

8

1.

33 ,

± 1 2

1

2

z

xy

x 2 y 2

z

x sen xy

z

e y sen x

z

y

x 2 y 2 z x 3 3xy 2

z x 2 y 2

2 z

x 2 +

2 z

y 2 0.

gx, y cos x 2y


hx, y

x

x

y

fx, y 3x 2 xy 2y 3 2, 0, 0

y-

x-

z x 2 ln y 1

f y

f x z f x, y

ux, t

c sen akx cos kt

u x, t

ce n2 t sen nx

fx, y, z

1

1 x 2 y 2 z 2

fx, y, z

z arctan y x

w x 2 y 2 z 2

gx, y

xy

x 2 y 2

z ln x 2 y 2 1

z e y e x fx, y

xy

x

y

fx, y

e x cos y

lím

x, y → 0, 0

x 2 y

x 4 y 2

lím

x, y → 0, 0

y

xe y2

1 x 2 lím

x, y → 1, 1

xy

x 2 y 2

lím

x, y → 1, 1

xy

x 2 y 2 gx, y y 1 x


x

x

y


f x, y e x2 y 2

z f x, 0 .

z

f 0, y

gx, y 4 fx, y .

f

gx, y f x 2, y .

f

f.

fx, y 1 x 2 y 2 .

z f x, 1 .

z

f 1, y

gx, y f x, y 2.

f

gx, y f x, y 2.

f

f.

fx, y x 2 y 2 .

c 0

f x, y, z 4x 2 y 2 4z 2 ,

c 2

f x, y, z x 2 y z 2 ,

c.

f x, y, z

c


13 REVIEW EXERCISES See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

CAS

CAS



1.

2.





reasoning.



reasoning.


and





reasoning.



reasoning.


and



5. 6.

7. 8.


the function.

9. 10.



11. 12.

13. 14.


15. 16.

17. 18.

19. 20.

21.

22.

23. 24.



always negative.





27. 28.

29. 30.




31. 32.

33. 34.


35. 36.









a possible error of












1

8

1.

33 ,

± 1 2

1

2

z

xy

x 2 y 2

z

x sen xy

z

e y sen x

z

y

x 2 y 2 z x 3 3xy 2

z x 2 y 2

2 z

x 2 +

2 z

y 2 0.

gx, y cos x 2y


hx, y

x

x

y

fx, y 3x 2 xy 2y 3 2, 0, 0

y-

x-

z x 2 ln y 1

f y

f x z f x, y

u x, t

c sen akx cos kt

u x, t

ce n2 t sen nx

f x, y, z

1

1 x 2 y 2 z 2

f x, y, z

z arctan y x

w x 2 y 2 z 2

g x, y

xy

x 2 y 2

z ln x 2 y 2 1

z e y e x fx, y

xy

x

y

fx, y

e x cos y

lím

x, y → 0, 0

x 2 y

x 4 y 2

lím

x, y → 0, 0

y

xe y2

1 x 2 lím

x, y → 1, 1

xy

x 2 y 2

lím

x, y → 1, 1

xy

x 2 y 2 gx, y y 1 x


x

x

y


f x, y e x2 y 2

z f x, 0 .

z

f 0, y

gx, y 4 fx, y .

f

gx, y f x 2, y .

f

f.

fx, y 1 x 2 y 2 .

z f x, 1 .

z

f 1, y

gx, y f x, y 2.

f

gx, y f x, y 2.

f

f.

fx, y x 2 y 2 .

c 0

f x, y, z 4x 2 y 2 4z 2 ,

c 2

f x, y, z x 2 y z 2 ,

c.

f x, y, z

c



CAS

CAS



1.

2.





reasoning.



reasoning.


and





reasoning.



reasoning.


and



5. 6.

7. 8.


the function.

9. 10.



11. 12.

13. 14.


15. 16.

17. 18.

19. 20.

21.

22.

23. 24.



always negative.





27. 28.

29. 30.




31. 32.

33. 34.


35. 36.









a possible error of












1

8

1.

33 ,

± 1 2

1

2

z

xy

x 2 y 2

z

x sen xy

z

e y sen x

z

y

x 2 y 2 z x 3 3xy 2

z x 2 y 2

2 z

x 2 +

2 z

y 2 0.

g x, y cos x 2y


h x, y

x

x

y

f x, y 3x 2 xy 2y 3 2, 0, 0

y-

x-

z x 2 ln y 1

f y

f x z f x, y

ux, t

c sen akx cos kt

u x, t

ce n2 t sen nx

fx, y, z

1

1 x 2 y 2 z 2

fx, y, z

z arctan y x

w x 2 y 2 z 2

g x, y

xy

x 2 y 2

z ln x 2 y 2 1

z e y e x fx, y

xy

x

y

fx, y

e x cos y

lím

x, y → 0, 0

x 2 y

x 4 y 2

lím

x, y → 0, 0

y

xe y2

1 x 2 lím

x, y → 1, 1

xy

x 2 y 2

lím

x, y → 1, 1

xy

x 2 y 2 gx, y y 1 x


x

x

y


f x, y e x2 y 2

z f x, 0 .

z

f 0, y

gx, y 4 fx, y .

f

gx, y f x 2, y .

f

f.

fx, y 1 x 2 y 2 .

z f x, 1 .

z

f 1, y

gx, y f x, y 2.

f

gx, y f x, y 2.

f

f.

fx, y x 2 y 2 .

c 0

f x, y, z 4x 2 y 2 4z 2 ,

c 2

f x, y, z x 2 y z 2 ,

c.

f x, y, z

c



CAS

CAS



1.

2.





reasoning.



reasoning.


and





reasoning.



reasoning.


and



5. 6.

7. 8.


the function.

9. 10.



11. 12.

13. 14.


15. 16.

17. 18.

19. 20.

21.

22.

23. 24.



always negative.





27. 28.

29. 30.




31. 32.

33. 34.


35. 36.









a possible error of












1

8

1.

33 ,

± 1 2

1

2

z

xy

x 2 y 2

z

x sen xy

z

e y sen x

z

y

x 2 y 2 z x 3 3xy 2

z x 2 y 2

2 z

x 2 +

2 z

y 2 0.

gx, y cos x 2y


hx, y

x

x

y

fx, y 3x 2 xy 2y 3 2, 0, 0

y-

x-

z x 2 ln y 1

f y

f x z f x, y

ux, t

c sen akx cos kt

u x, t

ce n2 t sen nx

f x, y, z

1

1 x 2 y 2 z 2

fx, y, z

z arctan y x

w x 2 y 2 z 2

gx, y

xy

x 2 y 2

z ln x 2 y 2 1

z e y e x fx, y

xy

x

y

fx, y

e x cos y

lím

x, y → 0, 0

x 2 y

x 4 y 2

lím

x, y → 0, 0

y

xe y2

1 x 2 lím

x, y → 1, 1

xy

x 2 y 2

lím

x, y → 1, 1

xy

x 2 y 2 gx, y y 1 x


x

x

y


f x, y e x2 y 2

z f x, 0 .

z

f 0, y

gx, y 4 fx, y .

f

gx, y f x 2, y .

f

f.

fx, y 1 x 2 y 2 .

z f x, 1 .

z

f 1, y

gx, y f x, y 2.

f

gx, y f x, y 2.

f

f.

f x, y x 2 y 2 .

c 0

f x, y, z 4x 2 y 2 4z 2 ,

c 2

f x, y, z x 2 y z 2 ,

c.

f x, y, z

c



CAS

CAS



1.

2.





reasoning.



reasoning.


and





reasoning.



reasoning.


and



5. 6.

7. 8.


the function.

9. 10.



11. 12.

13. 14.


15. 16.

17. 18.

19. 20.

21.

22.

23. 24.



always negative.





27. 28.

29. 30.




31. 32.

33. 34.


35. 36.









a possible error of












1

8

1.

33 ,

± 1 2

1

2

z

xy

x 2 y 2

z

x sen xy

z

e y sen x

z

y

x 2 y 2 z x 3 3xy 2

z x 2 y 2

2 z

x 2 +

2 z

y 2 0.

gx, y cos x 2y


hx, y

x

x

y

fx, y 3x 2 xy 2y 3 2, 0, 0

y-

x-

z x 2 ln y 1

f y

f x z f x, y

ux, t

c sen akx cos kt

u x, t

ce n2 t sen nx

fx, y, z

1

1 x 2 y 2 z 2

fx, y, z

z arctan y x

w x 2 y 2 z 2

gx, y

xy

x 2 y 2

z ln x 2 y 2 1

z e y e x fx, y

xy

x

y

fx, y

e x cos y

lím

x, y → 0, 0

x 2 y

x 4 y 2

lím

x, y → 0, 0

y

xe y2

1 x 2 lím

x, y → 1, 1

xy

x 2 y 2

lím

x, y → 1, 1

xy

x 2 y 2 gx, y y 1 x


x

x

y


f x, y e x2 y 2

z f x, 0 .

z

f 0, y

gx, y 4 fx, y .

f

gx, y f x 2, y .

f

f.

fx, y 1 x 2 y 2 .

z f x, 1 .

z

f 1, y

gx, y f x, y 2.

f

gx, y f x, y 2.

f

f.

fx, y x 2 y 2 .

c 0

f x, y, z 4x 2 y 2 4z 2 ,

c 2

f x, y, z x 2 y z 2 ,

c.

f x, y, z

c



CAS

CAS


En los ejercicios 41 a 44, hallar las derivadas indicadas a) utilizando

la regla de la cadena apropiada y b) por sustitución antes

de derivar.

En los ejercicios 45 y 46, derivar implícitamente para encontrar

las primeras derivadas parciales de z.


en P en la dirección de v.

En los ejercicios 51 a 54, hallar el gradiente de la función y el

valor máximo de la derivada direccional en el punto dado.

En los ejercicios 55 y 56, a) encontrar el gradiente de la función

en P, b) encontrar un vector normal a la curva de nivel f(x, y) = c en

P, c) encontrar la recta tangente a la curva de nivel f(x, y) = c

en P, y d) trazar la curva de nivel, el vector unitario normal y la

recta tangente en el plano xy.


y las ecuaciones paramétricas de la recta normal a la superficie

en el punto dado.

Superficie

Punto

57.

58.

59.

60.

En los ejercicios 61 y 62, hallar las ecuaciones simétricas de la

recta tangente a la curva de intersección de las superficies en el

punto dado.

63. Hallar el ángulo de inclinación del plano tangente a la superficie

en el punto

64. Aproximación Considerar las aproximaciones siguientes a

una función

centrada en

Aproximación lineal

Aproximación cuadrática

[Observar que la aproximación lineal es el plano tangente a la

superficie en

a) Hallar la aproximación lineal de centrada

en

b) Hallar la aproximación cuadrática de

centrada en

c) Si en la aproximación cuadrática, ¿para qué función se

obtiene el polinomio de Taylor de segundo grado?

d) Completar la tabla.

e) Utilizar un sistema algebraico por computadora para representar

gráficamente las superficies

y

¿Cómo varía la exactitud de las aproximaciones

a medida que aumenta la distancia para (0, 0)?

En los ejercicios 65 a 68, localizar los extremos relativos de la

función. Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar

gráficamente la función y confirmar los resultados.

z P 2 x, y.

z P 1 x, y,

z f x, y,

y 0

0, 0.

f x, y cos x sin y

0, 0.

f x, y cos x sin y

0, 0, f 0, 0.

1

2 f xx0, 0x 2 f xy 0, 0xy 1 2 f yy0, 0y 2

P 2 x, y f 0, 0 f x 0, 0x f y 0, 0y

P 1 x, y f 0, 0 f x 0, 0x f y 0, 0y

0, 0.

f x, y

2, 1, 3.

x 2 y 2 z 2 14

1, 2, 2

z 9 x 2 y 2

2, 3, 4

z 9 4x 6y x 2 y 2

2, 3, 4

f x, y 25 y 2

2, 1, 4

f x, y x 2 y

sen

In Exercises 41– 44, find the indicated derivatives (a) using

the appropriate Chain Rule and (b) using substitution before

differentiating.

41.

42.

43.

44.

In Exercises 45 and 46, differentiate implicitly to find the first

partial derivatives of

45. 46.



47.

48.

49.

50.



51. 52.

53. 54.

In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at

(b) find a unit normal vector to the level curve

at

(c) find the tangent line to the level curve at and

(d) sketch the level curve, the unit normal vector, and the

tangent line in the

plane.

55. 56.

In Exercises 57–60, find an equation of the tangent plane and

parametric equations of the normal line to the surface at the

given point.

57.

58.

59.

60.

In Exercises 61 and 62, find symmetric equations of the tangent


point.

61.

62.

63. Find the angle of inclination of the tangent plane to the

surface

at the point

64. Approximation Consider the following approximations for a

function

centered at

[Note that the linear approximation is the tangent plane to the

surface at

(a) Find the linear approximation of

centered at

(b) Find the quadratic approximation of

centered at

(c) If

in the quadratic approximation, you obtain the

second-degree Taylor polynomial for what function?

(d) Complete the table.

(e) Use a computer algebra system to graph the surfaces

and

How does the

accuracy of the approximations change as the distance from

increases?

In Exercises 65–68, examine the function for relative extrema

and saddle points. Use a computer algebra system to graph the

function and confirm your results.

65.

66.

67.

68.

0.05y 3 20.6y 125

z 50 x y 0.1x 3 20x 150

fx, y

xy

1

x

1

y

fx, y x 2 3xy y 2 5x

fx, y 2x 2 6xy 9y 2 8x 14

0, 0

z P 2 x, y .

z P 1 x, y ,

z fx, y ,

y 0

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0, f 0, 0 .

1

2 f xx 0, 0 x 2 f xy 0, 0 xy

1

2 f yy 0, 0 y 2

P 2 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y

Quadratic approximation:

P 1 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y

Linear approximation:

0, 0 .

f x, y

2, 1, 3 .

x 2 y 2 z 2 14

2, 1, 3

z x 2 y 2 , z 3

2, 2, 5

z 9 y 2 , y x

Punto

Superficies

1, 2, 2

z 9 x 2 y 2 2, 3, 4

z 9 4x 6y x 2 y 2 2, 3, 4

f x, y 25 y 2 2, 1, 4

f x, y

x 2 y

Point

Surface

c 3, P 2 , 1

c 65, P 3, 2

fx, y 4y sen x y

f x, y 9x 2 4y 2

xy-

P,

f x, y

c

P,

f x, y

c

P,

z

x 2

x y , 2, 1

z

y

x 2 y 2 , 1, 1 z e x cos y, 0, 4

z x 2 y, 2, 1

v i j k

1, 0, 1 ,

w 5x 2 2xy 3y 2 z,

v 2i j 2k

1, 2, 2 ,

w y 2 xz,

v 2i j

1, 4 ,

f x, y

1

4 y 2 x 2 ,

v 3i 4j

5, 5 ,

f x, y x 2 y,

P

xz 2 y sen z 0

x 2 xy y 2 yz z 2 0

z.

z

t

y r sen t,

x r cos t,

u

r ,

u

t

u x 2 y 2 z 2 ,

z 2r t

y

rt,

x 2r t,

w

r ,

w

t

w

xy

z , y sen t

x cos t,

du

dt

u y 2 x,

y 4 t

x 2t,

dw

dt

w ln x 2 y ,


x y fx, y P 1 x, y P 2 x, y

0 0

0 0.1

0.2 0.1

0.5 0.3

1 0.5

SAC

CAS



differentiating.

41.

42.

43.

44.



45. 46.



47.

48.

49.

50.



51. 52.

53. 54.



at



tangent line in the

plane.

55. 56.



given point.

57.

58.

59.

60.



point.

61.

62.


surface

at the point


function

centered at


surface at


centered at


centered at

(c) If





and

How does the


increases?




65.

66.

67.

68.

0.05y 3 20.6y 125

z 50 x y 0.1x 3 20x 150

fx, y

xy

1

x

1

y


fx, y 2x 2 6xy 9y 2 8x 14

0, 0

z P 2 x, y .

z P 1 x, y ,

z fx, y ,

y 0

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0, f 0, 0 .

1

2 f xx 0, 0 x 2 f xy 0, 0 xy

1

2 f yy 0, 0 y 2

P 2 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


P 1 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


0, 0 .

f x, y

2, 1, 3 .

x 2 y 2 z 2 14

2, 1, 3

z x 2 y 2 , z 3

2, 2, 5

z 9 y 2 , y x

Punto

Superficies

1, 2, 2

z 9 x 2 y 2 2, 3, 4

z 9 4x 6y x 2 y 2 2, 3, 4

f x, y 25 y 2 2, 1, 4

f x, y

x 2 y

Point

Surface

c 3, P 2 , 1

c 65, P 3, 2

fx, y 4y sen x y

f x, y 9x 2 4y 2

xy-

P,

f x, y

c

P,

f x, y

c

P,

z

x 2

x y , 2, 1

z

y

x 2 y 2 , 1, 1 z e x cos y, 0, 4

z x 2 y, 2, 1

v i j k

1, 0, 1 ,

w 5x 2 2xy 3y 2 z,

v 2i j 2k

1, 2, 2 ,

w y 2 xz,

v 2i j

1, 4 ,

f x, y

1

4 y 2 x 2 ,

v 3i 4j

5, 5 ,

f x, y x 2 y,

P

xz 2 y sen z 0

x 2 xy y 2 yz z 2 0

z.

z

t

y r sen t,

x r cos t,

u

r ,

u

t

u x 2 y 2 z 2 ,

z 2r t

y

rt,

x 2r t,

w

r ,

w

t

w

xy

z , y sen t

x cos t,

du

dt

u y 2 x,

y 4 t

x 2t,

dw

dt

w ln x 2 y ,



0 0

0 0.1

0.2 0.1

0.5 0.3

1 0.5

SAC

CAS



differentiating.

41.

42.

43.

44.



45. 46.



47.

48.

49.

50.



51. 52.

53. 54.



at



tangent line in the

plane.

55. 56.



given point.

57.

58.

59.

60.



point.

61.

62.


surface

at the point


function

centered at


surface at


centered at


centered at

(c) If





and

How does the


increases?




65.

66.

67.

68.

0.05y 3 20.6y 125

z 50 x y 0.1x 3 20x 150

fx, y

xy

1

x

1

y


fx, y 2x 2 6xy 9y 2 8x 14

0, 0

z P 2 x, y .

z P 1 x, y ,

z fx, y ,

y 0

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0, f 0, 0 .

1

2 f xx 0, 0 x 2 f xy 0, 0 xy

1

2 f yy 0, 0 y 2

P 2 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


P 1 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


0, 0 .

f x, y

2, 1, 3 .

x 2 y 2 z 2 14

2, 1, 3

z x 2 y 2 , z 3

2, 2, 5

z 9 y 2 , y x

Punto

Superficies

1, 2, 2

z 9 x 2 y 2 2, 3, 4

z 9 4x 6y x 2 y 2 2, 3, 4

f x, y 25 y 2 2, 1, 4

f x, y

x 2 y

Point

Surface

c 3, P 2 , 1

c 65, P 3, 2

fx, y 4y sen x y

f x, y 9x 2 4y 2

xy-

P,

f x, y

c

P,

f x, y

c

P,

z

x 2

x y , 2, 1

z

y

x 2 y 2 , 1, 1 z e x cos y, 0, 4

z x 2 y, 2, 1

v i j k

1, 0, 1 ,

w 5x 2 2xy 3y 2 z,

v 2i j 2k

1, 2, 2 ,

w y 2 xz,

v 2i j

1, 4 ,

f x, y

1

4 y 2 x 2 ,

v 3i 4j

5, 5 ,

f x, y x 2 y,

P

xz 2 y sen z 0

x 2 xy y 2 yz z 2 0

z.

z

t

y r sen t,

x r cos t,

u

r ,

u

t

u x 2 y 2 z 2 ,

z 2r t

y

rt,

x 2r t,

w

r ,

w

t

w

xy

z , y sen t

x cos t,

du

dt

u y 2 x,

y 4 t

x 2t,

dw

dt

w ln x 2 y ,



0 0

0 0.1

0.2 0.1

0.5 0.3

1 0.5

SAC

CAS



differentiating.

41.

42.

43.

44.



45. 46.



47.

48.

49.

50.



51. 52.

53. 54.



at



tangent line in the

plane.

55. 56.



given point.

57.

58.

59.

60.



point.

61.

62.


surface

at the point


function

centered at


surface at


centered at


centered at

(c) If





and

How does the


increases?




65.

66.

67.

68.

0.05y 3 20.6y 125

z 50 x y 0.1x 3 20x 150

fx, y

xy

1

x

1

y


fx, y 2x 2 6xy 9y 2 8x 14

0, 0

z P 2 x, y .

z P 1 x, y ,

z fx, y ,

y 0

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0, f 0, 0 .

1

2 f xx 0, 0 x 2 f xy 0, 0 xy

1

2 f yy 0, 0 y 2

P 2 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


P 1 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


0, 0 .

f x, y

2, 1, 3 .

x 2 y 2 z 2 14

2, 1, 3

z x 2 y 2 , z 3

2, 2, 5

z 9 y 2 , y x

Punto

Superficies

1, 2, 2

z 9 x 2 y 2 2, 3, 4

z 9 4x 6y x 2 y 2 2, 3, 4

f x, y 25 y 2 2, 1, 4

f x, y

x 2 y

Point

Surface

c 3, P 2 , 1

c 65, P 3, 2

fx, y 4y sen x y

f x, y 9x 2 4y 2

xy-

P,

f x, y

c

P,

f x, y

c

P,

z

x 2

x y , 2, 1

z

y

x 2 y 2 , 1, 1 z e x cos y, 0, 4

z x 2 y, 2, 1

v i j k

1, 0, 1 ,

w 5x 2 2xy 3y 2 z,

v 2i j 2k

1, 2, 2 ,

w y 2 xz,

v 2i j

1, 4 ,

f x, y

1

4 y 2 x 2 ,

v 3i 4j

5, 5 ,

f x, y x 2 y,

P

xz 2 y sen z 0

x 2 xy y 2 yz z 2 0

z.

z

t

y r sen t,

x r cos t,

u

r ,

u

t

u x 2 y 2 z 2 ,

z 2r t

y

rt,

x 2r t,

w

r ,

w

t

w

xy

z , y sen t

x cos t,

du

dt

u y 2 x,

y 4 t

x 2t,

dw

dt

w ln x 2 y ,



0 0

0 0.1

0.2 0.1

0.5 0.3

1 0.5

SAC

CAS



differentiating.

41.

42.

43.

44.



45. 46.



47.

48.

49.

50.



51. 52.

53. 54.



at



tangent line in the

plane.

55. 56.



given point.

57.

58.

59.

60.



point.

61.

62.


surface

at the point


function

centered at


surface at


centered at


centered at

(c) If





and

How does the


increases?




65.

66.

67.

68.

0.05y 3 20.6y 125

z 50 x y 0.1x 3 20x 150

fx, y

xy

1

x

1

y


fx, y 2x 2 6xy 9y 2 8x 14

0, 0

z P 2 x, y .

z P 1 x, y ,

z fx, y ,

y 0

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0, f 0, 0 .

1

2 f xx 0, 0 x 2 f xy 0, 0 xy

1

2 f yy 0, 0 y 2

P 2 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


P 1 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


0, 0 .

f x, y

2, 1, 3 .

x 2 y 2 z 2 14

2, 1, 3

z x 2 y 2 , z 3

2, 2, 5

z 9 y 2 , y x

Punto

Superficies

1, 2, 2

z 9 x 2 y 2 2, 3, 4

z 9 4x 6y x 2 y 2 2, 3, 4

f x, y 25 y 2 2, 1, 4

f x, y

x 2 y

Point

Surface

c 3, P 2 , 1

c 65, P 3, 2

f x, y 4y sen x y

f x, y 9x 2 4y 2

xy-

P,

f x, y

c

P,

f x, y

c

P,

z

x 2

x y , 2, 1

z

y

x 2 y 2 , 1, 1 z e x cos y, 0, 4

z x 2 y, 2, 1

v i j k

1, 0, 1 ,

w 5x 2 2xy 3y 2 z,

v 2i j 2k

1, 2, 2 ,

w y 2 xz,

v 2i j

1, 4 ,

f x, y

1

4 y 2 x 2 ,

v 3i 4j

5, 5 ,

f x, y x 2 y,

P

xz 2 y sen z 0

x 2 xy y 2 yz z 2 0

z.

z

t

y r sen t,

x r cos t,

u

r ,

u

t

u x 2 y 2 z 2 ,

z 2r t

y

rt,

x 2r t,

w

r ,

w

t

w

xy

z , y sen t

x cos t,

du

dt

u y 2 x,

y 4 t

x 2t,

dw

dt

w ln x 2 y ,



0 0

0 0.1

0.2 0.1

0.5 0.3

1 0.5

SAC

CAS



differentiating.

41.

42.

43.

44.



45. 46.



47.

48.

49.

50.



51. 52.

53. 54.



at



tangent line in the

plane.

55. 56.



given point.

57.

58.

59.

60.



point.

61.

62.


surface

at the point


function

centered at


surface at


centered at


centered at

(c) If





and

How does the


increases?




65.

66.

67.

68.

0.05y 3 20.6y 125

z 50 x y 0.1x 3 20x 150

fx, y

xy

1

x

1

y


fx, y 2x 2 6xy 9y 2 8x 14

0, 0

z P 2 x, y .

z P 1 x, y ,

z fx, y ,

y 0

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0, f 0, 0 .

1

2 f xx 0, 0 x 2 f xy 0, 0 xy

1

2 f yy 0, 0 y 2

P 2 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


P 1 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


0, 0 .

f x, y

2, 1, 3 .

x 2 y 2 z 2 14

2, 1, 3

z x 2 y 2 , z 3

2, 2, 5

z 9 y 2 , y x

Punto

Superficies

1, 2, 2

z 9 x 2 y 2 2, 3, 4

z 9 4x 6y x 2 y 2 2, 3, 4

f x, y 25 y 2 2, 1, 4

f x, y

x 2 y

Point

Surface

c 3, P 2 , 1

c 65, P 3, 2

fx, y 4y sen x y

f x, y 9x 2 4y 2

xy-

P,

f x, y

c

P,

f x, y

c

P,

z

x 2

x y , 2, 1

z

y

x 2 y 2 , 1, 1 z e x cos y, 0, 4

z x 2 y, 2, 1

v i j k

1, 0, 1 ,

w 5x 2 2xy 3y 2 z,

v 2i j 2k

1, 2, 2 ,

w y 2 xz,

v 2i j

1, 4 ,

f x, y

1

4 y 2 x 2 ,

v 3i 4j

5, 5 ,

f x, y x 2 y,

P

xz 2 y sen z 0

x 2 xy y 2 yz z 2 0

z.

z

t

y r sen t,

x r cos t,

u

r ,

u

t

u x 2 y 2 z 2 ,

z 2r t

y

rt,

x 2r t,

w

r ,

w

t

w

xy

z , y sen t

x cos t,

du

dt

u y 2 x,

y 4 t

x 2t,

dw

dt

w ln x 2 y ,



0 0

0 0.1

0.2 0.1

0.5 0.3

1 0.5

SAC

CAS



differentiating.

41.

42.

43.

44.



45. 46.



47.

48.

49.

50.



51. 52.

53. 54.



at



tangent line in the

plane.

55. 56.



given point.

57.

58.

59.

60.



point.

61.

62.


surface

at the point


function

centered at


surface at


centered at


centered at

(c) If





and

How does the


increases?




65.

66.

67.

68.

0.05y 3 20.6y 125

z 50 x y 0.1x 3 20x 150

fx, y

xy

1

x

1

y


fx, y 2x 2 6xy 9y 2 8x 14

0, 0

z P 2 x, y .

z P 1 x, y ,

z fx, y ,

y 0

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0, f 0, 0 .

1

2 f xx 0, 0 x 2 f xy 0, 0 xy

1

2 f yy 0, 0 y 2

P 2 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


P 1 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


0, 0 .

f x, y

2, 1, 3 .

x 2 y 2 z 2 14

2, 1, 3

z x 2 y 2 , z 3

2, 2, 5

z 9 y 2 , y x

Punto

Superficies

1, 2, 2

z 9 x 2 y 2 2, 3, 4

z 9 4x 6y x 2 y 2 2, 3, 4

f x, y 25 y 2 2, 1, 4

f x, y

x 2 y

Point

Surface

c 3, P 2 , 1

c 65, P 3, 2

fx, y 4y sen x y

f x, y 9x 2 4y 2

xy-

P,

f x, y

c

P,

f x, y

c

P,

z

x 2

x y , 2, 1

z

y

x 2 y 2 , 1, 1 z e x cos y, 0, 4

z x 2 y, 2, 1

v i j k

1, 0, 1 ,

w 5x 2 2xy 3y 2 z,

v 2i j 2k

1, 2, 2 ,

w y 2 xz,

v 2i j

1, 4 ,

f x, y

1

4 y 2 x 2 ,

v 3i 4j

5, 5 ,

f x, y x 2 y,

P

xz 2 y sen z 0

x 2 xy y 2 yz z 2 0

z.

z

t

y r sen t,

x r cos t,

u

r ,

u

t

u x 2 y 2 z 2 ,

z 2r t

y

rt,

x 2r t,

w

r ,

w

t

w

xy

z , y sen t

x cos t,

du

dt

u y 2 x,

y 4 t

x 2t,

dw

dt

w ln x 2 y ,


x y f x, y P 1 x, y P 2 x, y

0 0

0 0.1

0.2 0.1

0.5 0.3

1 0.5

SAC

CAS

sen



differentiating.

41.

42.

43.

44.



45. 46.



47.

48.

49.

50.



51. 52.

53. 54.



at



tangent line in the

plane.

55. 56.



given point.

57.

58.

59.

60.



point.

61.

62.


surface

at the point


function

centered at


surface at


centered at


centered at

(c) If





and

How does the


increases?




65.

66.

67.

68.

0.05y 3 20.6y 125

z 50 x y 0.1x 3 20x 150

fx, y

xy

1

x

1

y


fx, y 2x 2 6xy 9y 2 8x 14

0, 0

z P 2 x, y .

z P 1 x, y ,

z fx, y ,

y 0

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0, f 0, 0 .

1

2 f xx 0, 0 x 2 f xy 0, 0 xy

1

2 f yy 0, 0 y 2

P 2 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


P 1 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


0, 0 .

f x, y

2, 1, 3 .

x 2 y 2 z 2 14

2, 1, 3

z x 2 y 2 , z 3

2, 2, 5

z 9 y 2 , y x

Punto

Superficies

1, 2, 2

z 9 x 2 y 2 2, 3, 4

z 9 4x 6y x 2 y 2 2, 3, 4

f x, y 25 y 2 2, 1, 4

f x, y

x 2 y

Point

Surface

c 3, P 2 , 1

c 65, P 3, 2

fx, y 4y sen x y

f x, y 9x 2 4y 2

xy-

P,

f x, y

c

P,

f x, y

c

P,

z

x 2

x y , 2, 1

z

y

x 2 y 2 , 1, 1 z e x cos y, 0, 4

z x 2 y, 2, 1

v i j k

1, 0, 1 ,

w 5x 2 2xy 3y 2 z,

v 2i j 2k

1, 2, 2 ,

w y 2 xz,

v 2i j

1, 4 ,

f x, y

1

4 y 2 x 2 ,

v 3i 4j

5, 5 ,

f x, y x 2 y,

P

xz 2 y sen z 0

x 2 xy y 2 yz z 2 0

z.

z

t

y r sen t,

x r cos t,

u

r ,

u

t

u x 2 y 2 z 2 ,

z 2r t

y

rt,

x 2r t,

w

r ,

w

t

w

xy

z , y sen t

x cos t,

du

dt

u y 2 x,

y 4 t

x 2t,

dw

dt

w ln x 2 y ,


0 0

0 0.1

0.2 0.1

0.5 0.3

1 0.5

SAC

CAS



differentiating.

41.

42.

43.

44.



45. 46.



47.

48.

49.

50.



51. 52.

53. 54.



at



tangent line in the

plane.

55. 56.



given point.

57.

58.

59.

60.



point.

61.

62.


surface

at the point


function

centered at


surface at


centered at


centered at

(c) If





and

How does the


increases?




65.

66.

67.

68.

0.05y 3 20.6y 125

z 50 x y 0.1x 3 20x 150

fx, y

xy

1

x

1

y


fx, y 2x 2 6xy 9y 2 8x 14

0, 0

z P 2 x, y .

z P 1 x, y ,

z fx, y ,

y 0

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0, f 0, 0 .

1

2 f xx 0, 0 x 2 f xy 0, 0 xy

1

2 f yy 0, 0 y 2

P 2 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


P 1 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


0, 0 .

f x, y

2, 1, 3 .

x 2 y 2 z 2 14

2, 1, 3

z x 2 y 2 , z 3

2, 2, 5

z 9 y 2 , y x

Punto

Superficies

1, 2, 2

z 9 x 2 y 2 2, 3, 4

z 9 4x 6y x 2 y 2 2, 3, 4

f x, y 25 y 2 2, 1, 4

f x, y

x 2 y

Point

Surface

c 3, P 2 , 1

c 65, P 3, 2

fx, y 4y sen x y

f x, y 9x 2 4y 2

xy-

P,

f x, y

c

P,

f x, y

c

P,

z

x 2

x y , 2, 1

z

y

x 2 y 2 , 1, 1 z e x cos y, 0, 4

z x 2 y, 2, 1

v i j k

1, 0, 1 ,

w 5x 2 2xy 3y 2 z,

v 2i j 2k

1, 2, 2 ,

w y 2 xz,

v 2i j

1, 4 ,

f x, y

1

4 y 2 x 2 ,

v 3i 4j

5, 5 ,

f x, y x 2 y,

P

xz 2 y sen z 0

x 2 xy y 2 yz z 2 0

z.

z

t

y r sen t,

x r cos t,

u

r ,

u

t

u x 2 y 2 z 2 ,

z 2r t

y

rt,

x 2r t,

w

r ,

w

t

w

xy

z , y sen t

x cos t,

du

dt

u y 2 x,

y 4 t

x 2t,

dw

dt

w ln x 2 y ,



0 0

0 0.1

0.2 0.1

0.5 0.3

1 0.5

SAC

CAS



differentiating.

41.

42.

43.

44.



45. 46.



47.

48.

49.

50.



51. 52.

53. 54.



at



tangent line in the

plane.

55. 56.



given point.

57.

58.

59.

60.



point.

61.

62.


surface

at the point


function

centered at


surface at


centered at


centered at

(c) If





and

How does the


increases?




65.

66.

67.

68.

0.05y 3 20.6y 125

z 50 x y 0.1x 3 20x 150

f x, y

xy

1

x

1

y

f x, y x 2 3xy y 2 5x

f x, y 2x 2 6xy 9y 2 8x 14

0, 0

z P 2 x, y .

z P 1 x, y ,

z fx, y ,

y 0

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0 .

fx, y cos x sen y

0, 0, f 0, 0 .

1

2 f xx 0, 0 x 2 f xy 0, 0 xy

1

2 f yy 0, 0 y 2

P 2 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


P 1 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


0, 0 .

f x, y

2, 1, 3 .

x 2 y 2 z 2 14

2, 1, 3

z x 2 y 2 , z 3

2, 2, 5

z 9 y 2 , y x

Punto

Superficies

1, 2, 2

z 9 x 2 y 2 2, 3, 4

z 9 4x 6y x 2 y 2 2, 3, 4

f x, y 25 y 2 2, 1, 4

f x, y

x 2 y

Point

Surface

c 3, P 2 , 1

c 65, P 3, 2

fx, y 4y sen x y

f x, y 9x 2 4y 2

xy-

P,

f x, y

c

P,

f x, y

c

P,

z

x 2

x y , 2, 1

z

y

x 2 y 2 , 1, 1 z e x cos y, 0, 4

z x 2 y, 2, 1

v i j k

1, 0, 1 ,

w 5x 2 2xy 3y 2 z,

v 2i j 2k

1, 2, 2 ,

w y 2 xz,

v 2i j

1, 4 ,

f x, y

1

4 y 2 x 2 ,

v 3i 4j

5, 5 ,

f x, y x 2 y,

P

xz 2 y sen z 0

x 2 xy y 2 yz z 2 0

z.

z

t

y r sen t,

x r cos t,

u

r ,

u

t

u x 2 y 2 z 2 ,

z 2r t

y

rt,

x 2r t,

w

r ,

w

t

w

xy

z , y sen t

x cos t,

du

dt

u y 2 x,

y 4 t

x 2t,

dw

dt

w ln x 2 y ,



0 0

0 0.1

0.2 0.1

0.5 0.3

1 0.5

SAC

CAS



y

Redacción En los ejercicios 69 y 70, redactar un párrafo breve

sobre la superficie cuyas curvas de nivel (los valores de c espaciados

uniformemente) se muestran. Hacer un comentario acerca de



los posibles extremos, puntos silla, la magnitud del gradiente,

differentiating.

etcétera.

69. 41. w ln x 2 y

y ,

dw

dt

70.

y

x 2t, y 4 t

42. u y 2 x,

du

dt x

x

x cos t, sen t

43. w

xy w

r , w

z , t

x 2r t, y rt, z 2r t

71. Ganancia o beneficio umáximo Una corporación fabrica, en

44. dos lugares, cámaras digitales.

r , u

u x 2 y 2 z 2 ,

t

Las funciones de costo para producir

x 1 unidades en el lugar 1 y x 2 unidades en el lugar 2 son

x r cos t, y r sen t, z t

C 1 0.05x 12 15x 1 5400

In

C

Exercises

2 0.03x

45

22

and

15x

46,

2

differentiate

61006 implicitly to find the first

partial derivatives of z.

y la función del ingreso total es

45. x 2 xy y 2 yz z 2 0

R 225 0.4x 1 x 2 x 1 x 2 .

46. xz 2 y sen z 0


at PHallar in the los direction niveles of de v. producción en los dos lugares que maximizan

el beneficio Px 1 , x 2 R C 1 C 2 .

49. lugares. w y 2 Sean xz, x 1 y 1, x2, 2 los 2 , números v 2i de junidades 2k producidos en

72.

47.

Costo

f x, y

mínimo

x 2 y,

Un

5,

fabricante

5 , v 3i

recibe

4j

una orden para 1 000

1

48. unidades f x, y de 4 ybancos 2 x 2 , de 1, madera 4 , vque 2i pueden j producirse en dos

cada uno de los dos lugares. La función del costo es

50. w 5x 2 2xy 3y 2 z, 1, 0, 1 , v i j k

C 0.25x 12 10x 1 0.15x 22 12x 2 .


maximum Hallar la value cantidad of the que directional debe producirse derivative en cada at the lugar given para point. satisfacer

la orden y minimizar el costo.

73. 51. Nivel z xde 2 y, producción 2, 1 La función de 52. producción z e x cos de y, un fabricante

de dulces es

0, 4

x

53. f y

x, y 4x xy 2y

54. z

x x y , 2, 1

y , 1, 1 2


In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at P,

unidades de capital. Suponer que la cantidad total disponible

(b) find a unit normal vector to the level curve f x, y c at P,

para trabajo y capital es $2 000, y que las unidades de trabajo y

(c) find the tangent line to the level curve f x, y c at P, and

capital cuestan $20 y $4, respectivamente. Hallar el nivel de producción

máximo de este fabricante.


tangent line in the xy-plane.

74. Hallar la distancia mínima del punto (2, 2, 0) a la superficie

55. zfx, xy 2 y9x 2 .

2 4y 2

56. fx, y 4y sen x y

75. Modelo matemático La tabla muestra la fuerza de fricción y en

c 65, P 3, 2

c 3, P , 1

kilogramos de un vehículo de motor a las velocidades 2 x, en

kilómetros por hora, indicadas.


parametric Velocidad, equations x of the normal 25 50 line to 75the surface 100 at 125 the

given point.

Fuerza de fricción, y 24 34 50 71 98

Surface

Point


57.

58.

f x, graficación y x 2 y para hallar un modelo cuadrático 2, 1, 4 de regresión

f x, por y mínimos 25 cuadrados y 2 para los datos. 2, 3, 4

59. b) z Utilizar 9 el 4x modelo 6ypara x 2 estimar y 2 la fuerza 2, total 3, de 4fricción cuando

60. el

z 9

vehículo

x 2 está

y 2 en movimiento a 80 kilómetros

1, 2, 2

por hora.

CAS

76. Modelo matemático Los datos en la tabla muestran el rendimiento

y (en miligramos) en una reacción química después de


t minutos.


point. Minutos, t 1 2 3 4

Superficies Rendimiento, y 1.2 Punto7.1 9.9 13.1

61. z 9 y 2 , y x 2, 2, 5

62. z x 2 Minutos, y 2 , z t3

52, 1, 36 7 8

63. Find the

Rendimiento,

angle of inclination

y 15.5 16.0

of the

17.9

tangent

18.0

plane to the

surface x

a) Utilizar 2 y

el programa 2 z 2 14 at the point 2, 1, 3 .

de regresión de una herramienta de

64. Approximation graficación para Consider hallar the la recta following de regresión approximations de mínimos for a

function cuadrados f x, ypara centered los datos. 0, Después 0 . utilizar la herramienta de

Linear graficación approximation: para representar los datos y el modelo.

b)

P

Utilizar una herramienta de graficación para trazar los puntos

ln t, y. ¿Parecen x 0, 0 x f

1 x, y f 0, 0 f

seguir estos y 0, 0 y

puntos un modelo lineal

Quadratic con más approximation:

exactitud que los datos dados en el inciso a)?

c) P 2

Utilizar x, y el f programa 0, 0 f x

de 0, regresión 0 x f y

de 0, 0una y herramienta de graficación

para 1 hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados

2 f

para los puntos xx 0, 0 x

ln 2 1

f

t, y xy 0, 0 xy 2 f

y obtener el yy 0, 0 y

modelo 2

logarítmico

[Note y that a the b ln linear t. approximation is the tangent plane to the

d) surface Utilizar at una 0, 0, herramienta f 0, 0 . de graficación para representar los

(a) datos Find y the los linear modelos approximation lineal y logarítmico. of fx, y ¿Qué cosmodelo x senes

y

mejor? centered Explicar. at 0, 0 .

En los (b) ejercicios Find the quadratic 77 y 78, approximation utilizar multiplicadores of fx, y de cosLagrange

x sen y

para localizar centered y clasificar at 0, 0 . todos los extremos de la función.

77. w(c) If

xyy yz 0 in xz the quadratic approximation, you obtain the


Restricción: x y z 1


78. z x 2 y

Restricción:

x

x

y

2y

fx,

2

y P 1 x, y P 2 x, y

79. Costo mínimo Se va a construir un conducto para agua que va

0 0

del punto P al punto S y que debe atravesar por regiones donde

los costos 0 de 0.1 construcción difieren (ver la figura). El costo por

kilómetro en dólares es 3k de P a Q, 2k de Q a R y k de R a S.

Para simplificar, 0.2 0.1 sea k = 1. Utilizar multiplicadores de Lagrange

para localizar x, y y z tales que el costo total C se minimice.

0.5 0.3

1 0.5

P

2 km

Q

SAC (e) Use a computer algebra system to graph the surfaces

z

1 km

fx, y , z P and R

How S

1 x, y , z P 2 x, y . does the

accuracy of the approximations x y change as z the distance from

0, 0 increases?

10 km

80. In Exercises Investigación 65–68, Considerar examine the la función function objetivo for relative ƒ(x, y) extrema ax

and by saddle sujeta points. a la restricción Use a computer x 2 64 algebra y 2 36 system 1. Suponer to graph que xthe

y y

function son positivas. and confirm your results.

65.

a)

fx,

Utilizar

y 2x

un 2 sistema

6xy

algebraico

9y 2 8x

por

14

computadora y representar

gráficamente la restricción o ligadura. Si a 4 y b 3, utilizar

66. fx, y

el

x 2 sistema

3xy

algebraico

y 2 5x

por computadora y representar

gráficamente 1 las 1curvas de nivel de la función objetivo.

67. fx, y xy

Mediante ensayo x y

error, hallar la curva de nivel que parece

68. z ser 50tangente x y a la 0.1x elipse. 3 Utilizar 20x 150 el resultado para aproximar

el máximo de f sujeto a la restricción o ligadura.

0.05y 3 20.6y 125

b) Repetir el inciso a) con a 4 y b 9.


SP


1. La fórmula de Heron establece que el área de un triángulo con

lados de longitudes a, b y c está dada por

A ss as bs c

donde

a

a) Utilizar la fórmula de Heron para calcular el área del triángulo

con vértices 0, 0, 3, 4, y 6, 0.

b) Mostrar que, de todos los triángulos que tienen un mismo

perímetro, el triángulo con el área mayor es un triángulo equilátero.

c) Mostrar que, de todos los triángulos que tienen una misma

área, el triángulo con el perímetro menor es un triángulo equilátero.

2. Un tanque industrial tiene forma cilíndrica con extremos hemisféricos,

como se muestra en la figura. El depósito debe almacenar

1 000 litros de fluido. Determinar el radio r y longitud h

que minimizan la cantidad de material utilizado para la

construcción del tanque.

3. Sea Px 0 , y 0 , z 0 un punto en el primer octante en la superficie

xyz 1.

a) Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie en el

punto P.

b) Mostrar que el volumen del tetraedro formado en los tres

planos de coordenadas y el plano tangente es constante, independiente

del punto de tangencia (ver la figura).

3

x

s a b c , como se muestra en la figura.

2

4. Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar las

funciones f x x 3 3 1 y x en la misma pantalla.

a) Mostrar que

gx lim lím f x gx 0 y

x→

c

3

z

b

P

h

3

y

lim lím f x gx 0.

x→

b) Hallar el punto en la gráfica de f que está más alejado de la

gráfica de g.

r

5. a) Sean f(x, y) = x – y y g(x, y) = x 2 + y 2 = 4. Graficar varias curvas

de nivel de f y la restricción g en el plano xy. Usar la gráfica

para determinar el valor mayor de f sujeto a la restricción

g = 4. Después, verificar su resultado mediante los multiplicadores

de Lagrange.

b) Sean f(x, y) = x – y y g(x, y) = x 2 + y 2 = 0. Encontrar los valores

máximos y mínimos de f sujetos a la restricción g = 0.

¿Funcionará el método de los multiplicadores de Lagrange en

este caso? Explicar.

6. Un cuarto caliente de almacenamiento tiene la forma de una caja

rectangular y un volumen de 1 000 pies cúbicos, como se muestra

en la figura. Como el aire caliente sube, la pérdida de calor

por unidad de área a través del techo es cinco veces mayor que

la pérdida de calor a través del suelo. La pérdida de calor a

través de las cuatro paredes es tres veces mayor que la pérdida

de calor a través del suelo. Determinar las dimensiones del

cuarto que minimizan la pérdida de calor y que por consiguiente

minimizan los costos de calefacción.

7. Repetir el ejercicio 6 suponiendo que la pérdida de calor a través

de las paredes y del techo sigue siendo la misma, pero el suelo

se aísla de manera que no hay ninguna pérdida de calor a través

del mismo.

8. Considerar una placa circular de radio 1 dada por x 2 y 2 ≤ 1,

como se muestra en la figura. La temperatura sobre cualquier

punto Px, y de la placa es Tx, y 2x 2 y 2 y 10.

−1

V = xyz = 1 000

x

1

−1

y

x 2 + y 2 ≤ 1

a) Dibujar las isotermas Tx, y 10.

b) Hallar el punto más caliente y el punto más frío de la placa.

9. Considerar la función de producción de Cobb-Douglas

f x, y Cx a y 1a , 0 < a < 1.

a) Mostrar que f satisface la ecuación

b) Mostrar que f tx, ty tfx, y.

1

y

x

z

x f

dx y f

dy f.

10. Expresar la ecuación de Laplace 2 u

en coordenadas

x 2 u

2 y 2 u

2 z 0 2

cilíndricas.

point.

Superficies

Punto

61. z 9 y

982 CAPÍTULO 2 , y x 2, 2, 5

13 Funciones de varias variables

62. z x 2 y 2 , z 3 2, 1, 3

he first

unction

nd the

point.

on at P,

c at P,

P, and

nd the

x

0

, 1

0, 4

y

ne and

at the

CAS


11. Un proyectil es lanzado a un ángulo de 45° respecto a la horizontal

y con 2 y

surface x

una 2 z

velocidad 2 14 at the point 2, 1, 3 .

inicial de 64 pies por segundo. Una

64. cámara Approximation de televisión Consider se localiza the following en el plano approximations de la trayectoria for del a

proyectil, function f50 x, pies y centered detrás del at sitio 0, 0 del . lanzamiento (ver la figura).

Linear approximation: y

P 1 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y


(x, y)

P 2 x, y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y

1

2 f xx 0, 0 x 2 1

f xy 0, 0 xy 2 f yy 0, 0 y 2

(−50, 0) α 45°

[Note that the linear approximation is the tangent plane to the x

surface at 0, 0, f 0, 0 .

(a) Find the linear approximation of fx, y cos x sen y

a) Hallar centered las at ecuaciones 0, 0 . paramétricas de la trayectoria del

(b) proyectil Find the en quadratic términos approximation del parámetro of tfx, que yrepresenta cos x tiempo. sen y

b) Expresar centered el at ángulo 0, 0 . que la cámara forma con la horizontal

(c) en If términos y 0 in de the x y quadratic y y en términos approximation, de t. you obtain the

c) Utilizar second-degree los resultados Taylor del polynomial inciso b) for para what calcular function? ddt.

(d) Utilizar Complete una the herramienta table. de graficación para representar en

términos de t. ¿Es simétrica la gráfica respecto al eje del arco

parabólico x ydel proyectil? fx, y P¿En 1 x, yqué momento P 2 x, y es mayor la

razón de cambio de ?

0 0

e) ¿En qué momento es máximo el ángulo ? ¿Ocurre esto

cuando 0 el 0.1 proyectil está a su mayor altura?

12. Considerar la distancia d entre el sitio del lanzamiento y el

0.2 0.1

proyectil del ejercicio 11.

a) Expresar 0.5 la 0.3distancia d en términos de x y y y en términos del

parámetro t.

1 0.5

b) Utilizar los resultados del inciso a) para hallar la razón de

cambio de d.

c)

(e)

Hallar

Use a

la

computer

razón de cambio

algebra

de

system

la distancia

to graph

cuando

the

t

surfaces

2.

z fx, y , z P 1 x, y , and z P 2 x, y . How does the

d) Durante accuracy el of vuelo the approximations del proyectil, ¿cuándo change es as mínima the distance la razón fromo

cambio 0, 0 increases? de d? ¿Ocurre esto en el momento en el que el

proyectil alcanza su altura máxima?

13. In Exercises Considerar 65–68, la función examine the function for relative extrema

and saddle points. Use a computer

f x, y x 2 y 2 e x2 y 2 algebra system

, 0 < <

to graph the


.

SAC

65. a) fx, Utilizar y 2xun 2 sistema 6xy algebraico 9y 2 8xpor 14 computadora y representar

gráficamente la función empleando y e identificar

66. fx, y

todos

x 2 los

3xy

extremos

y 2 o

5x

puntos silla.

b) Utilizar un sistema

1 1

67. fx, y xy algebraico por computadora y representar

gráficamente

x

la función

y

empleando y e identificar

50 xtodos y los extremos 0.1x 3 20x o puntos 150silla.

c) Generalizar 0.05y 3 los 20.6y resultados 125de los incisos a) y b) para la fun-

68. z

ción f.

14. Demostrar que si f es una función diferenciable tal que

f x 0 , y 0 0

1

1

2,

entonces el plano tangente en x 0 , y 0 es horizontal.

2,

15. La figura muestra un rectángulo que tiene aproximadamente

l 6 centímetros de largo y h 1 centímetro de altura.

a) Dibujar una franja rectangular a lo largo de la región rectangular

que muestre un pequeño incremento en la longitud.

b) Dibuje una franja rectangular a lo largo de la región rectangular

que muestre un pequeño incremento en la altura.

c) Utilizar los resultados en los incisos a) y b) para identificar la

medida que tiene mayor efecto en el área A del rectángulo.

d) Verificar analíticamente la respuesta dada en el inciso c) comparando

los valores de dA cuando dl 0.01 y cuando

dh 0.01.

16. Considerar convertir un punto 5 ± 0.05,18 ± 0.05 en coordenadas

polares a coordenadas rectangulares x, y.

a) Utilizar un argumento geométrico para determinar si la exactitud

en x depende más de la exactitud en r o de la exactitud

en q. Explicar. Verificar analíticamente la respuesta.

b) Utilizar un argumento geométrico para determinar si la exactitud

en y depende más de la exactitud en r o de la exactitud

en . Explicar. Verificar analíticamente la respuesta.

17. Sea f una función de una variable derivable. Mostrar que los

planos tangentes a la superficie z y f xy se cortan en un

punto común.

18. Considerar la elipse

x 2

a 2 y2

b 2 1

que encierra el círculo x 2 y 2 2x. Hallar los valores de a y b

que minimizan el área de la elipse.

19. Mostrar que

ux, t 1 [sen sinx t sen

sinx t

2

es una solución a la ecuación de ondas unidimensional

2 u

t 2 u

2 x 2.

20. Mostrar que

ux, t 1 f x ct f x ct

2

es una solución a la ecuación de ondas unidimensional

2 u

t 2 c2 2 u

x 2.

l = 6 cm

h = 1 cm

(Esta ecuación describe la vibración transversal pequeña de una

cuerda elástica como las de ciertos instrumentos musicales.)

14

Multiple Integration

Integración múltiple

En This este chapter capítulo introduces se introduce the concepts el concepto of

de double integrales integrals dobles over sobre regions regiones in the en plane el

plano and triple e integrales integrals triples over regions sobre regiones in space.

en el espacio.



following.

■ Cómo evaluar una integral iterada y

■ How encontrar to evaluate el área an de iterated una región integral plana.

and (14.1) find the area of a plane region.

(14.1)

■ Cómo usar una integral doble para

■ How to use a double integral to find the

encontrar el volumen de una región

volume of a solid region. (14.2)

sólida. (14.2)

■ How to write and evaluate double

■

integrals Cómo escribir in polar y coordinates. evaluar integrales (14.3)

dobles en coordenadas polares. (14.3)

■ How to find the mass of a planar lamina,

■ the Cómo center encontrar of mass la of masa a planar de una lamina, lámina

■

and plana, moments el centro of de inertia masa using de una double

integrals. lámina plana (14.4) y los momentos de

■ How inercia to usando use a double integrales integral dobles. to find (14.4) the

■ area Cómo of usar a surface. una integral (14.5) doble para

■ How encontrar to use el a área triple de integral una superficie. to find the

volume, (14.5) center of mass, and moments of

inertia of a solid region. (14.6)

■ Cómo usar una integral triple para

■ How encontrar to write el volumen, and evaluate centro triple de integrals masa

in y momentos cylindrical and de inercia spherical de coordinates. una región

(14.7) sólida. (14.6)

■ How to use a Jacobian to change variables

Cómo escribir y evaluar integrales

in a double integral. (14.8)

triples en coordenadas cilíndricas y

esféricas. (14.7)

■ Cómo usar un jacobiano para cambiar

variables en una integral doble. (14.8)

Langley Photography/Getty Images

The El centro center de of presión pressure de on una a sail vela is es that ese point punto at en which el cual the la total fuerza aerodynamic total force

may aerodinámica be assumed puede to act. considerarse Letting the que sail actúa. be represented Ya que la by vela a plane es representada region, how por can

■

you una use región double plana, integrals ¿cómo to se find pueden the center usar las of integrales pressure on dobles a sail? para (See encontrar Section el

14.4, centro Section de presión Project.) sobre una vela? (Ver sección 14.4, sección proyecto.)

Se puede aproximar el volumen de una región sólida encontrando la suma de los volúmenes de prismas

rectangulares You can approximate representativos. the volume Como of a aumenta solid region el by número finding de the prismas sum of rectangulares, the volumes of la representative aproximación rectangular tiende a ser

más prisms. y más As you exacta. increase En el the capítulo number 14 of se rectangular aprenderá prisms, a usar the integrales approximation múltiples tends para to encontrar become more el volumen and more de una

región accurate. sólida. In Chapter 14, you will learn how to use multiple integrals to find the volume of a solid region.

983

983983

984 CAPÍTULO 14 Integración múltiple

984 Chapter 14 Multiple Integration

14.1 Integrales iteradas y área en el plano

14.1 Iterated Integrals and Area in the Plane

■ Evaluar una integral iterada.

■ Utilizar Evaluate una an iterated integral integral. iterada para hallar el área de una región plana.

■ Use an iterated integral to find the area of a plane region.

NOTA

NOTE In Chapters En los capítulos 14 and 15, 14 you y 15 will se

study estudiarán several applications varias aplicaciones of integration de la

involving integración functions de funciones of several de variables. varias

Chapter variables. 14 is Este much capítulo like Chapter es muy 7 in similar

that al it capítulo surveys the 7 ya use que of ilustra integration el uso tode la

find integración plane areas, para volumes, hallar áreas surface planas, areas,

moments, volúmenes, and centers áreas de of superficies, mass.

momentos y centros de masa. ■

Iterated

Integrales

Integrals

iteradas

In En Chapter el capítulo 13, 13 you se saw vio cómo that it derivar is meaningful funciones to de differentiate varias variables functions con of respecto several a una

variables manteniendo with respect constantes to one variable las demás while variables. holding the Empleando other variables un procedimiento constant. Yousimi-

lar se integrate pueden integrar functions funciones of several de variables varias variables. by a similar Por ejemplo, procedure. dada For la example, derivada parcial if

can

you are f x x, given y the 2xypartial derivative

f

entonces, x x, y 2xy

considerando y constante, se puede integrar con respecto a x para obtener

then, by considering y constant, you can integrate with respect to x to obtain

fx, y f x x, y dx Integrar con respecto a x.

fx, y f x x, y dx Integrate with respect to x.

2xy dx

Mantener y constante.

2xy dx

Hold y constant.

y 2x dx

y 2x dx

yx 2 Cy

Sacar y como factor constante.

Factor out constant y.

Una primitiva (o antiderivada) de 2x es x 2 .

yx 2 Cy Antiderivative of 2x is x 2 .

es una función de y.

x 2 y Cy. Cy. Cy

Cy

is a function of y.

The La “constante” “constant” de of integration, integración, Cy, C(y), es is a una function función of de y. y. In En other otras words, palabras, by integrating al integrar con

with respecto respect a x, to se x, puede you are recobrar able to ƒ(x, recover y) sólo fx, parcialmente. y only partially. Cómo The recobrar total recovery totalmente of a una

function función de of x y and y a ypartir from de its sus partial derivadas derivatives parciales is a topic es un you tema will que study se estudiará in Chapter en 15. el capítulo

now, 15. Por we ahora, are more lo que concerned interesa es with extender extending las integrales definite definidas integrals a to funciones functions de of varias

For

several variables. variables. Por ejemplo, For al instance, considerar by y considering constante, se ypuede constant, aplicar you el teorema can apply fundamental the

Fundamental del cálculo para Theorem evaluarof Calculus to evaluate

2y

2y

2xy dx x 2 y

1

2y 2 y 1 2 y 4y 3 y.

1

x

is es the la variable Replace Sustituir x

by por The El resultado

is

of de integration integración the los limits límites of a es function una función

and y y es y is fija. fixed. integration. de integración. of de y. y.

Similarly, De manera you similar can integrate se puede with integrar respect con respecto y by holding a y, manteniendo x fixed. Both x fija. procedures Ambos procedimientos

se resumen as follows. como

are

summarized sigue.

h 2 y

h 2 y

h 1 y

h 1 y

g 2

x

g 2

x

g 1 x

g 1 x

h 2 y

h 2 y

f x x, y dx fx, y

f x x, y dx fx, y

fh

fh 2 y, y fh

2 y, y fh 1 y, y

1 y, y

h 1 y

h 1 y

g x 2 g x

f 2

y x, y dy fx, y

f y x, y dy fx, y

fx, g

fx, 2 x fx, g

g 2 x fx, 1 x

g 1 x

g 1 x

g 1 x

With respect to x

Con respecto a x.

With respect to y

Con respecto a y.

Note

Nótese

that

que

the

la

variable

variable

of

de

integration

integración

cannot

no puede

appear

aparecer

in either

en ninguno

limit of

de

integration.

los límites

For

de integración.

Por

instance, it makes

ejemplo,

no sense

no tiene

to write

ningún sentido escribir

0

x

x

0

y dx.

dx.

SECCIÓN 14.1 Integrales iteradas y área en el plano 985

EJEMPLO 1 Integrar con respecto a y

x

Evaluar 2x 2 y 2 2y dy.

1

Solución

Se considera x constante y se integra con respecto a y, con lo que se obtiene

x

2x 2 y 2 2y dy

1

2x 2

y

y

2 x 1

2x 2

x

3x 2 2x 1.

x 2 2x2

1

1

Integrar con respecto a y.

En el ejemplo 1 nótese que la integral define una función de x que puede ser integrada ella

misma, como se muestra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 2

Evaluar

2

x

1 1

La integral de una integral

2x 2 y 2 2y dy dx.

Solución

2

Utilizando el resultado del ejemplo 1, se tiene

2

2x 2 y 2 2y dy dx 3x 2 2x 1 dx

x

1 1

1

x 3 x 2 x

2

1

Integrar con respecto a x.

2 1

3.

2

1

y

R: 1 ≤ x ≤ 2

1 ≤ y ≤ x

1 2

y = x

La región de integración para

2

1

1

x

fx, y dy dx

Figura 14.1

x

La integral del ejemplo 2 es una integral iterada. Los corchetes usados en el ejemplo

2 normalmente no se escriben. Las integrales iteradas se escriben normalmente como

b

a

g 2

x

g 1 (x

fx, y dy dx

y

d

c

h 2

y

h 1 y

fx, y dx dy.

Los límites interiores de integración pueden ser variables con respecto a la variable exterior

de integración. Sin embargo, los límites exteriores de integración deben ser constantes

con respecto a ambas variables de integración. Después de realizar la integración

interior, se obtiene una integral definida “ordinaria” y la segunda integración produce un

número real. Los límites de integración de una integral iterada definen dos intervalos para

las variables. Así, en el ejemplo 2, los límites exteriores indican que x está en el intervalo

1 x 2 y los límites interiores indican que y está en el intervalo 1 y x. Juntos, estos

dos intervalos determinan la región de integración R de la integral iterada, como se muestra

en la figura 14.1.

Como una integral iterada es simplemente un tipo especial de integral definida, en el

que el integrando es también una integral, se pueden utilizar las propiedades de las integrales

definidas para evaluar integrales iteradas.


y

La región está limitada

o acotada por

a ≤ x ≤ b y

g 1 (x) ≤ y ≤ g 2 (x)

a

R

Área =

a

b

∆x

g 2

(x)

dy

g 1

(x)

Región verticalmente simple

Figura 14.2

dx

g 2

g 1

x

b

Área de una región plana

En el resto de esta sección se verá desde una perspectiva nueva un viejo problema, el de

hallar el área de una región plana. Considérese la región plana R acotada por a x b y

g 1

(x) y g 2

(x), como se muestra en la figura 14.2. El área de R está dada por la integral

definida

b

g 2 x g 1 x dx.

Área de R.

a

Usando el teorema fundamental del cálculo, se puede reescribir el integrando

g 2 x g 1 x como una integral definida. Concretamente, si se considera x fija y se deja

que y varíe desde g 1 x hasta g 2 x, se puede escribir

g

2

x

g 2 x

dy y

g 1 x

g 2x g 1 x.

g 1 x

Combinando estas dos integrales, se puede expresar el área de la región R mediante una

integral iterada

b

a

g 2

x

g 1 x

b g

dy dx

2 x

y

a

dx

g 1 x

b

a

g 2 x g 1 x dx.

Área de R.

d

y

La región está limitada

o acotada por

c ≤ y ≤ d y

h 1 (y) ≤ x ≤ h 2 (y)

R

Colocar un rectángulo representativo en la región R ayuda a determinar el orden y los

límites de integración. Un rectángulo vertical implica el orden dy dx, donde los límites

interiores corresponden a los límites o cotas superior e inferior del rectángulo, como se

muestra en la figura 14.2. Este tipo de región se llama verticalmente simple, porque los

límites exteriores de integración representan las rectas verticales x a y x b.

De manera similar, un rectángulo horizontal implica el orden dx dy, donde los límites

interiores están determinados por los límites o cotas izquierda y derecha del rectángulo,

como se muestra en la figura 14.3. Este tipo de región se llama horizontalmente simple,

porque los límites exteriores representan las rectas horizontales y c y y d. Las integrales

iteradas utilizadas en estos dos tipos de regiones simples se resumen como sigue.

c

h 1

Área =

c

d

h 2

(y)

dx dy

h 1

(y)

Región horizontalmente simple

Figura 14.3

h 2

∆y

x

ÁREA DE UNA REGIÓN EN EL PLANO

1. Si R está definida por a x b y g 1

(x) y g 2

(x), donde y son continuas

en a, b, R está dada por

a

b

A

Figura 14.2 (verticalmente simple).

2. Si R está definida por c y d y h 1

(y) x h 2

(y), donde h 1 y h 2 son continuas

en c, d, entonces el área de R está dada por

c

d

A

g 2

x

g 1 x

h 2

y

h 1 y

dy dx.

dx dy.

g 1

g 2

Figura 14.3 (horizontalmente simple).

NOTA Hay que observar que en estas dos integrales el orden de integración es diferente; el orden

dy dx corresponde a una región verticalmente simple, y el orden dx dy corresponde a una región horizontalmente

simple.

■


Si los cuatro límites de integración son constantes, la región de integración es rectangular,

como ocurre en el ejemplo 3.

EJEMPLO 3

Área de una región rectangular

y

Utilizar una integral iterada para representar el área del rectángulo que se muestra en la

figura 14.4.

d

d − c

c

Figura 14.4

Región rectangular

R

a

b − a

b

x

Solución La región de la figura 14.4 es verticalmente simple y horizontalmente simple,

por tanto se puede emplear cualquier orden de integración. Eligiendo el orden dy dx, se

obtiene lo siguiente.

b d

b d

dy dx y dx


ac

a

a

b

c

d c dx

d cx

b

a


d cb a

Nótese que esta respuesta es consistente con los conocimientos de la geometría.

EJEMPLO 4

Hallar el área por medio de una integral iterada

−1

y

π

4

Área =

Figura 14.5

R:

π 5π

4

≤ x ≤

4

cos x ≤ y ≤ sen x

π

2

Δx

5π /4

π /4

sen x

cos x

π

dy dx

y = cos x

y = sen x

3π

2

x

Utilizar una integral iterada para hallar el área de la región limitada o acotada por las gráficas

de

fx sen sin x

gx cos x

between entre x 4 y x 54.

La curva seno constituye el límite o cota superior.

La curva coseno constituye el límite o cota inferior.

Solución Como ƒ y g se dan como funciones de x, es conveniente un rectángulo representativo

vertical, y se puede elegir dy dx como orden de integración, como se muestra en

la figura 14.5. Los límites exteriores de integración son 4 x 54. Dado que el rectángulo

está limitado o acotado, superiormente por ƒ(x) sen x e inferiormente por

gx cos x, se tiene

54

Área Area de of R

54

4

54

4

cos x sin x

54

22.

sin sen x

cos x

sen sin x

y dx

cos x

dy dx

sin sen x cos x dx

sen x

4



NOTA La región de integración en una integral iterada no necesariamente debe estar acotada por

rectas. Por ejemplo, la región de integración que se muestra en la figura 14.5 es verticalmente simple

aun cuando no tiene rectas verticales como fronteras izquierda y derecha. Lo que hace que la

región sea verticalmente simple es que está limitada o acotada superiormente e inferiormente por

gráficas de funciones de x.

■

1053714_1401.qxp 10/27/08 1:27 PM Page 988


3

2

1

−1

a)

3

2

1

−1

y

y

b)

Figura 14.6

988 Chapter 14

Con frecuencia, uno de los órdenes de integración hace que un problema de integración

resulte más sencillo de como resulta con el otro orden de integración. Por ejemplo,

hacer de nuevo el ejemplo 4 con el orden dx dy; sorprenderá ver que la tarea es formidable.

Sin embargo, si se llega al resultado, se verá que la respuesta es la misma. En otras

Multiple Integration

palabras, el orden de integración afecta la complejidad de la integración, pero no el valor

de la integral.

One order of integration will often produce a simpler integration problem than the

other order. For instance, try reworking Example 4 with the order dx dy—you may be

EJEMPLO 5 surprised Comparación to see that de the diferentes task is formidable. órdenes However, de integración

if you succeed, you will see that

the answer is the same. In other words, the order of integration affects the ease of

integration, but not the value of the integral.

Dibujar la región cuya área está representada por la integral

R: 0 ≤ y ≤ 2

2 4

y EXAMPLE 5 Comparing Different Orders of Integration

0

2 ≤ x ≤ 4

dx dy.

y 2

x = y2 (4, 2)

Sketch the region whose area is represented by the integral

y

Después hallar otra 2 4 iterada que utilice el orden dy dx para representar la misma área

R: 0 ≤ y ≤ 2 y mostrar que ambas

integrales dx dy. dan el mismo valor.

y 0

2 ∆y

≤ x ≤ 4

3

y 2

Solución De Then acuerdo find con another los límites iterated de integral integración using dados, the order se sabe dy dxque

to represent the same area and

x = y2 x (4, 2)

1 2 2 3 4

show that both integrals yield the same value.

y 2 2 4

x 4

Límites interiores de integración.

Área = dx dy

Solution From the given limits of integration, you know that

1

∆y

0 y 2

lo cual significa que y 2 la

región x 4 R está limitada o acotada a Inner la izquierda limits of integration por la parábola

x xy 2 y a la derecha por la recta x 4. Además, como

1 2 3 4

which means that the region R is bounded on the left by the parabola x y 2 and on

R: −10 ≤ x ≤ 4

2 4 0 y 2the right by the line x 4. Furthermore, Límites exteriores because de integración.

Area = dx dy

0 ≤ y ≤ x

0 y 2

0 Outer limits of integration

se sabe que R está limitada

y 2

o acotada inferiormente por el eje x, como se muestra en la

(a)

y = x

(4, 2) figura 14.6a. El you valor know de that esta Rintegral is bounded es below by the x-axis, as shown in Figure 14.6(a). The value

y

2 4 of this 2integral is

4

R: 0 ≤ x ≤ 4

dx dy 2 4

2 4 Integrar con respecto a x.

0 ≤ y ≤ x

3

0 x

y

dx dy Integrate with respect to x.

0

2 0

dy

y x

y 2 0

dy

y

2

2

y = x

(4, 2)

2

2 2

x

1 2 ∆x 3 4

4 y 2 dy

0

4 y 2 dy

4 x

0

Área =

1 dy dx

y3

4y y3 Integrar con respecto a y.

3 2 16

0 0

34y .

16 Integrate with respect to y.

3 2 0

3 .

0

x

1 2 ∆x 3 4Para cambiar el To orden change de integración the order of a integration dy dx, se coloca to dy dx, un rectángulo place a vertical vertical rectangle en la región, in the region, as

−1

4 x como se muestra shown en la in figura Figure 14.6b. 14.6(b). Con From esto this se puede you can ver see que that los the límites constant o cotas bounds cons-tantes 0 x serve 4 sirven as the como outer límites limits exteriores of integration. de integración. By solving Despejando for y in the y equation de la ecua-

x y 2 , you

x 4

Area = dy dx

0 0

(b)

ción x y 2 , se can concluye conclude que that los límites the inner interiores bounds son are 0 y x. So, Por the tanto, area el área of the deregion can

Figure 14.6

la región también also se be puede represented representar by por

4

00

x

dy dx.

4

00

By evaluating this integral, you can see that it has the same value as the original

Evaluando esta integral. integral, se ve que tiene el mismo valor que la integral original.

4 x

4

x

4 x

4

x

dy dx Integrar con respecto a y.

0

y

0

0

dy dx Integrate with respect to y.

0 dx

y

0

0

dx

0

0

4

4

x dx

x dx

0

x

2 3 x32 4 0

dy dx.

0

16

2 3 4 x32 0

3

16 Integrate with respect to x.

Integrar 3 con respecto a x.

The icon indicates that you will find a CAS Investigation on the book’s website. The CAS

Investigation is a collaborative exploration of this example using the computer algebra systems

Maple and Mathematica.

■


Algunas veces no es posible calcular el área de una región con una sola integral iterada.

En estos casos se divide la región en subregiones de manera que el área de cada subregión

pueda calcularse por medio de una integral iterada. El área total es entonces la suma

de las integrales iteradas.

TECNOLOGÍA Algunos paquetes

de software pueden efectuar integración

simbólica de integrales como

las del ejemplo 6. Tales programas se

pueden utilizar para evaluar las integrales

de los ejercicios y ejemplos

dados en esta sección.

EJEMPLO 6 Un área representada por dos integrales iteradas

Hallar el área de la región R que se encuentra bajo la parábola

y 4x x 2 La parábola forma el límite o cota superior.

sobre el eje x, y sobre la recta

y 3x 6. La recta y el eje x forman el límite o cota inferior.

Solución Para empezar se divide R en dos subregiones R 1 y R 2 como se muestra en la figura

14.7.

y

y = −3x + 6

4

y = 4x − x 2

3

(1, 3)

R 1

R 2

2

∆x

1

1 2

Área =

2 4x − x 2 dy dx

1 −3x + 6

Figura 14.7

+

∆x

x

4

4 4x − x 2 dy dx

2 0

En ambas regiones es conveniente usar rectángulos verticales y se tiene

2 4xx

Area 1

2

4 4xx

dy dx

3x6

2

2

Área

dy dx

0

2

4

4x x 2 3x 6 dx 4x x 2 dx

1

7x 2

2 x3

3 6x 2 1

2x 2 x3

3 4 2

14 8 3 12 7 2 1 3 6 64

32

3 8 3 8 15

2 .

2

El área de la región es 15/2 unidades cuadradas. Tratar de comprobar el resultado

usando el procedimiento para hallar el área entre dos curvas, que se presentó en la sección

7.1.

NOTA En los ejemplos 3 a 6, hay

que observar la ventaja de dibujar la

región de integración. Se recomienda

desarrollar el hábito de hacer dibujos

como ayuda para determinar los límites

de integración de todas las integrales

iteradas de este capítulo.

■

En este punto, uno se puede preguntar para qué se necesitan las integrales iteradas.

Después de todo, ya se sabe usar la integración convencional para hallar el área de una

región en el plano. (Por ejemplo, comparar la solución del ejemplo 4 de esta sección con

la del ejemplo 3 en la sección 7.1.) La necesidad de las integrales iteradas será más clara

en la sección siguiente. En esta sección se presta especial atención a los procedimientos

para determinar los límites de integración de las integrales iteradas, y el conjunto de ejercicios

siguiente está diseñado para adquirir práctica en este procedimiento importante.


14.1 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 10, evaluar la integral.

1. x 2y dy

2.

y

3. y > 0

4.

x dx,

5. x 2 y dy

6.

y ln x

7. dx, y > 0 8.

e x y

9. ye yx dy

10.

En los ejercicios 11 a 30, evaluar la integral iterada.

11. x y dy dx 12.

0

2 4

13. x 14.

1

2 2y 2 dx dy

0

2 1

15. y cos x dy dx 16.

17.

18.

19. 1 x 2 dy dx 20.

21.

22.

23. x y dx dy 24.

4y 2

2

25. dx dy 26.

2

0 4 y

2 2 cos

27. r dr d 28.

29.

30.

x

0

1

0

0 0

4

1

1 x

0

0

5

1

2

0

y

1

0

0

2

0

0 0

2

0 0

4

0

En los ejercicios 31 a 34, evaluar la integral iterada impropia.

3

31. 32. 0 x

1x

y dy dx

2

dy dx

0 1 y

2

1 0

33. 34. xye x2 y 2

1

dx dy

dx dy

xy

1

2y

1

4x 2

y

x

3

0

0

2

0 0

1 x

sen sin x

4 x

4

2

0

3y

3 x2 1

0 4 y2 dx dy

2y

1y 2

1

sin sen

0

10 2x 2 2y 2 dx dy

cos

1 cos x dy dx

2ye x dy dx

r dr d

3r 2 sen sin dr d

x

0

x 2

x

x 3

2

y

1

2

0

3

1

0

4 3 cos

0 3

0

y

x dy

cos y

1y 2

2

12

2 3

11

ln 4 ln 3

0 0

2yy 2

3y 2 6y

y

4

dx dy

x 2 y2 0

y dx

x 2 3y 2 dy

1y 2 x 2 y 2 dx

sen sin 3 x cos y dx

x 2 y 2 dy dx

x y 2 dx dy

e xy dy dx

64 x 3 dy dx

3y dx dy

r dr d

En los ejercicios 35 a 38, utilizar una integral iterada para hallar

el área de la región.

35. y

36. y

8

6

4

2

x

2 4 6 8

37. y

38. y

y = 4 − x 2

5

3

2

1

En los ejercicios 39 a 46, utilizar una integral iterada para

calcular el área de la región limitada o acotada por las gráficas

de las ecuaciones.

39. x y 2, x 0, y 0

40. y x 32 , y 2x

41. 2x 3y 0, x y 5, y 0

42. xy 9, y x, y 0, x 9

x

43.

2

a y 2

2 b 1 2

44. y x, y 2x, x 2

45. y 4 x 2 , y x 2

46. x 2 y 2 4, x 0, y 0

En los ejercicios 47 a 54, dibujar la región R de integración y

cambiar el orden de integración.

4

0

47. fx, y dx dy 48.

0

2 4x

2

2

0

10 ln y

1 0

1 1

1

49. f x, y dy dx 50.

51. f x, y dx dy 52.

53. fx, y dy dx 54.

x 2

En los ejercicios 55 a 64, dibujar la región R cuya área está dada

por la integral iterada. Después cambiar el orden de integración

y mostrar que ambos órdenes dan la misma área.

1

y

0

0

2

1

3

(8, 3)

4

0

2

0

0

55. dy dx

56.

0

1 1y

57.

58.

2

dx dy

1y 2

4

x

4

3

2

1

3

2

1

2

(1, 3)

(1, 1)

1

1

y

4x 2

2 e

1

x

0

20

y = 1

x − 1

cos x

2 4

dx dy

12

2 4x

2

2

(2, 3)

(2, 1)

2

2 ≤ x ≤ 5

3

2 3 4 5

fx, y dx dy

f x, y dy dx

f x, y dy dx

fx, y dy dx

4x 2 dy dx

x

x


2 x

4 4x

CAS En 14.1 los ejercicios 14.1

14.1

Iterated Iterated

Iterated 73 a Integrals 76, utilizar Integrals

Integrals

and

and un Area and sistema Area

Area

in

in

the algebraico in

the

Plane the Plane

Plane por computadora

y evaluar la integral iterada.

991 991

991

59. dy dx

0 dy dx

0

20

4 x2

6 6x

2 2x

60.

2 x 2 x

4 4 x

CAS

dy dx

4 4 x

73.

In Exercises

x

0

3 3y

73–76, 2 dy dx

use a computer algebra system to evaluate

CAS

59.

In Exercises 73–76, use computer algebra system to evaluate

59. 0 dy dx

CAS In Exercises 73–76, use a computer algebra system to evaluate

59. 0 dy

dy

dxdy dx

dx 40

dy

dy

dxdy dx

dx

the x

the

iterated the iterated

iterated

1

61. 62.

74. 0

2 integral. integral.

02

01

0 0 2 0 2 0

9 3

integral.

2y

4 x 24

x 2

6 6 x

2 2x

dy dx

6 6 x

dy dx

2 2x

2x

60. 60.

sinx y dx dy

60. 0x2

dy

dy

dxdy dx

dx

dy

dy

dxdy dx

dx 0

73. sen

x

73.

73.

x

y

3

4

63. 64.

75. 0

x3y 3y 3 2 dy 3y

dy 2 dxdy dx

0 0

4 0

dx

0 x 2 2 1

9 3

2 y 1 2y

2y 2

61. dy dx

2 4y

62.

61. 62. dy dx dy dx

dy dx

74.

0 x

sin

1y

x

1

y dx dy

0 x 2

74. sin dx dy

0 y

a

ax

1 3

2

03 0 0

4 0

1 y

2

0 x 2

2 1

9 3

1 2y

61. dy dx dx dy

62. dy dx

dy

74. sin x y dx dy

0 yx 2 2

0

0x0

x

0 y

4 y

1 3 y

76.

65. Para pensar Dar un argumento geométrico para la igualdad.

Verificar 2

0 0 x 1 y 1

x

0

3

2 4 y 2

4 y

y

2 4 y 2

2

2

y 2 2

dy 63. 64.

2

75.

dx dy

63.

63.

dx dy

64.

75.

0

dx dy

dx dy

64.

dx dy

75.

dx dy

dx dy

dx

dx

dy

dy

0

0 x 1 y 1

0 y 0 y 2

la igualdad analíticamente.

2

2 0 2 0

a a ax

a x

76.

76. En los ejercicios x

77 y

y dy 78, 2 dy dx

5 50x

65. Think About It Give a geometric argument for the equality.

dx a) dibujar la región de integración,

0 0

65. Think About It Give geometric argument for the equality.

b) cambiar el orden de integración y c) usar un sistema algebraico

In

Verify 0

2

CAS

76. x 2 y 2 dy dx

65. About

x

Verify the 2 It

y 2 dy

Give

dx

a geometric argument for the equality.

0 0

Verify x the

the

equality equality

equality

analytically. analytically.

analytically.

In Exercises por Exercises computadora 77 and

77 and 78, (a) y 78, mostrar (a) sketch

sketch the que the

region ambos region

of órdenes of integration,

5

CAS CAS In Exercises 77 and 78, (a) sketch the region of integration,

integration, dan el

5

y 50 x 50 x 2

CAS

50 2

(b) mismo switch valor.

x

dy 2 y

dx

2 52

dy dx

(b) switch the order of integration, and (c) use a computer

x the order of integration, and (c) use computer

0 x

0

2 y 2 dx dy

2 50y 2

x 2 y 2 dy dx x 2 y 2 (b) switch the order of integration, and (c) use a computer

dx dy

0

algebra system to show that both orders yield the same value.

0

x

5 0

algebra

algebra

system

2 system

to

42y to

show

show

that

that

both

both

orders

orders

yield

yield

the

the

same

same

value.

value.

5 y 5 y

5 2 5 50 2 y 50 y

y

50 77.

2y

x

0

2 2

2

2 4 2 2yy xy 2 dx dy

x

dx 2 yy dy

2 = dx dy 50 − x 2

x

dx 2 y

dy

2 2 4 2y

x dx dy

77. y

77.

2 4x

78. 0

3

x 2 y

xy xy

dx 2 dx dy

( 2 y

0, 5 02

)

2 dx dy

x 2 y 2 dx dy

77. x 2 y xy 2 dx dy

0 0 0

5 50

0

dy

0 y 3 2 4

3 0 y 3 xy

2

x 2 dy dx

2 4x x 2 4

5 y y

y = 50 y 2 1 50 − x 2

2 4 x

(5, 5)

2 4

xy

y = 50 − x 78.

78.

2 xy dy dx

dy dx

( 0, 5 2

0,

)

2

xy

78.

0 4 x x y 2 dy dx

( 0, 5 2 )

1

0 4 x x 2 2 y 2 1

y = x

2 2

5 5

(5, 5)

CAS

(5, En los ejercicios a 82, usar un sistema algebraico por computadora

(5,

5)

5)

CAS CAS In In Exercises 79–82, use a computer system to approximate

the iterated integral.

CAS In

Exercises

Exercises

79–82,

y aproximar

79–82,

use

use

a

la computer

computer

algebra

iterada.

algebra

system

system

to

to

approximate

x

approximate

5

the

the

iterated

iterated

integral.

y integral.

= x y = x

22

44x 2x 79. 0

2

2 4 2

xy x 2

x x

dy dx

79. 79.

79.

e

0

xy xy dy e

dy

dx

xy dy dx

5 5

dx

0 0

0 0

2

Para discusión

2 22

2 2

80.

80.

80.

16 16 16 0 16

x 3 3 x y 3 3 dy

dy ydx

dx

3 dy dx

66. Para x 0 x

CAPSTONE pensar Completar las integrales iteradas en forma tal

0 x

CAPSTONE

2 1 1cos 2

1

cos

cos

que cada una represente el área de la región R (ver la figura).

Entonces demostrar que ambas integrales tienen la

66.

66.

Think 66. Think

Think

About About

About

It

It

Complete It Complete

Complete

the

the

iterated the iterated

iterated

integrals integrals

integrals

so

so

that so that

that 81.

81.

81.

6r 6r 2 cos 6r 2 cos dr dr ddr d

6r 2 cos dr d

0 0 0

each each

each

one

one

represents one represents

represents

the

the

area the

area

of area

of

the of

the

region the region

region

R

(see R

(see

figure). (see figure).

0 0

misma área.

figure).

2 1 sin

2

2 1 1sin

sin

Then Then

Then

show show

show

that

that

both that

both

integrals both integrals

integrals

yield yield

yield

the

the

same the same

same

area. area.

area.

82.

82.

82.

15 15r r 15 dr

dr dr d

dr d

0

0

0

0

0

a)

a)

Área a) Área

b)

Área

dx

dx

dydx dy

dy

b)

b)

Área Área

Área

dy

dy

dxdy dx

dx

y


y


83. Desarrollo 83. Explain what is meant by an iterated integral. How is it

(4, 2)

83.

Explain

Explain

what de

what

is

is

meant conceptos

meant

by

by

an

an

iterated

iterated

integral.

integral.

How

How

is

is

it

(4, it

2 y = x (4,

2)

2 y 2)

evaluated?

=

x

83.

evaluated?

evaluated? Explicar qué se quiere decir con una integral iterada. ¿Có-

84. Describe regions that are vertically simple and regions that

y = x mo 84. se Describe evalúa? regions that are vertically simple and regions that

1

y = x 84. Describe regions that are vertically simple and regions that

1

are horizontally simple.

R

2

are horizontally simple.

84.

are

Describir

horizontally

regiones

simple.

R

2

que sean verticalmente simples y regiones

a geometric

85. 85. Give a geometric description of the region of integration if

85.

Give

Give geometric que sean horizontalmente description

description

of

of

the

the simples. region

region

of

of

integration

integration

if

if

x

the inside and outside limits of integration are constants.

the inside and outside limits of integration are constants.

1 2 3 4

85.

the

Dar

inside

una descripción

and outside

geométrica

limits of integration

de la región

are

de

constants.

integración

1 2 3 4

86. 86. Explain why it is sometimes an advantage to change the

86.

Explain

Explain si los límites why

why

it interiores it

is

is

sometimes

sometimes y exteriores an

an

advantage

advantage de integración to

to

change

change son constantes.

of

the

the

order order of integration.

order of

integration.

integration.

86. Explicar por qué algunas veces es una ventaja cambiar el

En In

In los Exercises In

Exercises ejercicios Exercises 67–72,

67–72, 67–72, a 72, sketch

sketch trazar sketch the

the la región region the region

region de of

of integración. integration. of integration.

integration. Después Then Then

Then

orden de integración.

evaluar evaluate evaluate

evaluate la the

the integral iterated the iterated

iterated iterada. integral. integral.

integral. (Observar (Note (Note

(Note

that

that que it that

it

is

is es necessary it

necessary necesario is necessary to

to cambiar switch to switch

switch True True or False? In Exercises 87 and 88, determine whether the

True

or

or

False?

False?

In

In

Exercises

Exercises

87

87

and

and

88,

88,

determine

determine

whether

whether the

el the

the orden order the order

order of

of integración.)

integration.) of integration.)

integration.)

statement statement is true or false. If it is false, explain why or give an

statement

is

is

true

true

or

or

false.

false.

If

If

it

it

is

is

false,

false,

explain

explain

why

why

or

or

give

give

an

an

2 2

4 2

example ¿Verdadero

example

that o

that

shows falso?

shows

it is En

it

false. los

is false.

3

ejercicios 87 y 88, determinar si la

67. x 1

67.

2

2

4 2


67. x1 68.

y 68.

dy dx

3 3

x 1 y dy dx


dy 3

dy dx

dx

b d

d b

0

3 dy dx 68.

0 x

0

x 23 dy dx

y b d

d b

0

x

0 x 2 y 1 2

2 2

87. dar un 87. ejemplo fx, que y demuestre dy dx que fx, es falsa. y dx dy

1 2

2

87.

fx,

fx,

y dy

dy

dx

dx

fx,

fx,

y dx

dx

dy

dy

69. 69. 70. 70.

87. a

b d

fx, y dy dx

d b

0

y x

fx, y dx dy

2 4

c

c

2 4e a c

c a

69. 2 4e 70.

dy y 2 2

2

dy dx

dx

70.

2 e

dy y 2 a c

c a

4e y 2 dy dx

e y 2 dy dxdy dx

dx

1 x

1 y

0 2x

0 x

dy dx

1 x

1 y

0 2x

0 x

2x 1 1

2 4

88. 88. fx, y dy dx fx, y dx dy

1 1

2 4

88.

fx,

fx,

y dy

dy

dx

dx

fx,

fx,

y dx

dx

dy

dy

0 0

71.

a 0 0

71.

71.

71.

72.

1 x

1 y

sin x sin x dx dy

0

0y 88. fx, y dy dx

sin sin x 72.

sin x dx dy

dx

dx

dy

dy

2 0 0

0 0

sin x 2 dx dydx dy 72.

sen

72.

x sin

sin

x dx

dx

dy

dy

0 y 0 y

0 y 0 y 2 sen

2

2

2 f x, y dx dy

2

00

00


14.2 Integrales dobles y volumen

■

■

■

■

Utilizar una integral doble para representar el volumen de una región sólida.

Utilizar las propiedades de las integrales dobles.

Evaluar una integral doble como una integral iterada.

Hallar el valor promedio de una función sobre una región.

Integrales dobles y volumen de una región sólida

Superficie:

z = f(x, y)

z

Se sabe que una integral definida sobre un intervalo utiliza un proceso de límite para asignar

una medida a cantidades como el área, el volumen, la longitud de arco y la masa. En

esta sección, se usará un proceso similar para definir la integral doble de una función de

dos variables sobre una región en el plano.

Considérese una función continua f tal que f x, y ≥ 0 para todo x, y en una región

R del plano xy. El objetivo es hallar el volumen de la región sólida comprendida entre la

superficie dada por

z f x, y

Superficie sobre el plano xy.

x

Figura 14.8

R

y

y el plano xy, como se muestra en la figura 14.8. Para empezar se sobrepone una red o

cuadrícula rectangular sobre la región, como se muestra en la figura 14.9. Los rectángulos

que se encuentran completamente dentro de R forman una partición interior , cuya

norma está definida como la longitud de la diagonal más larga de los n rectángulos.

Después, se elige un punto x i , y i en cada rectángulo y se forma el prisma rectangular cuya

altura es como se muestra en la figura 14.10. Como el área del i-ésimo rectángulo

es

A i

f x i , y i ,

Área del rectángulo i-ésimo.

se sigue que el volumen del prisma i-ésimo es

f x i , y i A i

Volumen del prisma i-ésimo.

y el volumen de la región sólida se puede aproximar por la suma de Riemann de los

volúmenes de todos los n prismas,

n

f x i , y i A i

i1

Suma de Riemann.

como se muestra en la figura 14.11. Esta aproximación se puede mejorar tomando redes o

cuadrículas con rectángulos más y más pequeños, como se muestra en el ejemplo 1.

Superficie:

z = f(x, y)

z

z

z

f(x i , y i )

(x i , y i )

x

R

y

x

y

x

y

Los rectángulos que se encuentran dentro de R

forman una partición interior de R

Figura 14.9

Prisma rectangular cuya base tiene un área de

A i y cuya altura es f x i , y i

Figura 14.10

Volumen aproximado por prismas

rectangulares

Figura 14.11

SECCIÓN 14.2 Integrales dobles y volumen 993

EJEMPLO 1

Aproximar el volumen de un sólido

Aproximar el volumen del sólido comprendido entre el paraboloide

f x, y 1 1 2 x2 1 2 y2

y la región cuadrada R dada por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Utilizar una partición formada

por los cuadrados cuyos lados tengan una longitud de

1

4 .

z

1

1

1

x

Superficie:

f(x, y) = 1 − 1 x 2 − 1 y

2 2

2

Figura 14.12

y

Solución Para empezar se forma la partición especificada de R. En esta partición, es conveniente

elegir los centros de las subregiones como los puntos en los que se evalúa f x, y.

1 8 , 1 8 1 8 , 3 8 1 8 , 5 8 1 8 , 7 8

3 8 , 1 8 3 8 , 3 8 3 8 , 5 8 3 8 , 7 8

5 8 , 1 8 5 8 , 3 8 5 8 , 5 8 5 8 , 7 8

7 8 , 1 8 7 8 , 3 8 7 8 , 5 8 7 8 , 7 8

Como el área de cada cuadrado es

16

f x i y i A i 16

1 1 i1

i1 2 x i 2 1 2 y 2

0.672.

A i 1

16 ,

i 1 16

el volumen se puede aproximar por la suma

Esta aproximación se muestra gráficamente en la figura 14.12. El volumen exacto del sólido

es 3 (ver el ejemplo 2). Se obtiene una mejor aproximación si se usa una parti-

2

1

ción más fina. Por ejemplo, con una partición con cuadrados con lados de longitud 10 , la

aproximación es 0.668.

z

TECNOLOGÍA Algunas herramientas de graficación tridimensionales pueden representar

figuras como la mostrada en la figura 14.12. La gráfica mostrada en la figura

14.13 se dibujó con una herramienta de graficación. En esta gráfica, obsérvese que cada

uno de los prismas rectangulares está dentro de la región sólida.

x

Figura 14.13

y

En el ejemplo 1, hay que observar que, usando particiones más finas, se obtienen

mejores aproximaciones al volumen. Esta observación sugiere que se podría obtener el

volumen exacto tomando un límite. Es decir,

Volumen lím lim

El significado exacto de este límite es que el límite es igual a L si para todo > 0 existe

un > 0 tal que

→0 n

i1

L n

i

f x i , y i A <

i1

f x i , y i A i .

para toda partición de la región plana R (que satisfaga < ) y para toda elección

posible de x i y y i en la región i-ésima.

El uso del límite de una suma de Riemann para definir un volumen es un caso especial

del uso del límite para definir una integral doble. Sin embargo, el caso general no

requiere que la función sea positiva o continua.


EXPLORACIÓN

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DOBLE

R 2

Dos regiones no se sobreponen si su intersección

es un conjunto de área 0. En esta figura,

el área del segmento de la recta común a R 1

R f x, y dA

y

R 1

Las cantidades en la tabla representan

la profundidad (en unidades de

10 yardas) de la tierra en el centro

de cada cuadrado de la figura.

R f x, y d A lím lim

→0 n

i1

y

x 1 2 3

1 10 9 7

2 7 7 4

3 5 5 4

4 4 5 3

z

20

30

y

40

x

Aproximar el número de yardas

cúbicas de tierra en el primer

octante. (Esta exploración la sugirió

Robert Vojack, Ridgewood High

V R f x, y dA.

School, Ridgewood, NJ.)

TEOREMA 14.1

y

R = R 1 ∪ R 2

1.

2.

R 1

R 2

3. R f x, y dA ≥ 0, si

x

es 0

Figura 14.14

Si ƒ está definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, entonces la integral

doble de ƒ sobre R está dada por

f x i , y i A i

siempre que el límite exista. Si existe el límite, entonces ƒ es integrable sobre R.

NOTA Una vez definidas las integrales dobles, se verá que una integral definida ocasionalmente

se llama integral simple.

■

Para que la integral doble de ƒ en la región R exista es suficiente que R pueda expresarse

como la unión de un número finito de subregiones que no se sobrepongan (ver la

figura 14.14) y que sean vertical u horizontalmente simples, y que ƒ sea continua en

la región R.

Una integral doble se puede usar para hallar el volumen de una región sólida que se

encuentra entre el plano xy y la superficie dada por z f x, y.

VOLUMEN DE UNA REGIÓN SÓLIDA

Si ƒ es integrable sobre una región plana R y f x, y ≥ 0 para todo x, y en R,

entonces el volumen de la región sólida que se encuentra sobre R y bajo la gráfica

de ƒ se define como

Propiedades de las integrales dobles

Las integrales dobles tienen muchas de las propiedades de las integrales simples.

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES

Sean ƒ y g continuas en una región cerrada y acotada R del plano, y sea c una constante.

R cf x, y dA cR f x, y dA

R f x, y ± gx, y dA R f x, y dA ± Rgx, y dA

f x, y ≥ 0

4. R f x, y dA ≥ Rgx, y dA, si f x, y ≥ gx, y

5. f x, y dA donde R es la unión de dos

R

subregiones R 1

y R 2

que no se sobreponen.

2 f x, y dA,


Altura:

z = 2 − x

(2, 0, 0)

x

2

Base: y =

Volumen:

Figura 14.15

y = 0

2 − x

2

2

1

z

2

Ax dx

0

(0, 0, 2)

1

Sección

transversal

triangular

z = 2 − x − 2y

y = 2 − x

2

Sección transversal triangular

Figura 14.16

Plano:

z = 2 − x − 2y

(0, 1, 0)

2

y

Evaluación de integrales dobles

Normalmente, el primer paso para evaluar una integral doble es reescribirla como una integral

iterada. Para mostrar cómo se hace esto, se utiliza el modelo geométrico de una integral

doble: el volumen de un sólido.

Considérese la región sólida acotada por el plano z ƒ(x, y) 2 x 2y y por los

tres planos coordenados, como se muestra en la figura 14.15. Cada sección transversal vertical

paralela al plano yz es una región triangular cuya base tiene longitud y (2 x)/2 y

cuya altura es z 2 x. Esto implica que para un valor fijo de x, el área de la sección

transversal triangular es

Ax 1 2 baseheight (base)(altura) 2 1 2 x

De acuerdo con la fórmula para el volumen de un sólido de secciones transversales conocidas

(sección 7.2), el volumen del sólido es

b

Volumen

Ax dx

Este procedimiento funciona sin importar cómo se obtenga A(x). En particular, A(x) se

puede hallar por integración, como se muestra en la figura 14.16. Es decir, se considera x

constante, y se integra z 2 x 2y desde 0 hasta 2 x2 para obtener

2x2

Ax 2 x 2y dy

0

2 xy y 2 2x2

a

0

2

2 x2

.

4

2 x 2

4

2 x3

12 2 2

0 3 .

0

dx

2 x2

2 2 x .

4

Combinando estos resultados, se tiene la integral iterada

2 2x2

Volumen

Rf x, y dA 2 x 2y dy dx.

00

Para comprender mejor este procedimiento, se puede imaginar la integración como dos

barridos. En la integración interior, una recta vertical barre el área de una sección transversal.

En la integración exterior, la sección transversal triangular barre el volumen, como


z

z

z

z

x

y

Integrar con respecto a y para obtener el área de la sección transversal

Figura 14.17

x

y

y

x

x

Integrar con respecto a x para obtener el volumen del sólido

y


El teorema siguiente lo demostró el matemático italiano Guido Fubini (1879-1943).

El teorema establece que si R es vertical u horizontalmente simple y ƒ es continua en R,la

integral doble de ƒ en R es igual a una integral iterada.

R

1

y

f(x, y) dA =

R: 0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

∆x

1

1 1

f(x, y) dy dx

0 0

2

El volumen de la región sólida es

Figura 14.18

TEOREMA 14.2 TEOREMA DE FUBINI

Sea ƒ continua en una región plana R.

1. Si R está definida por a ≤ x ≤ b y g 1 x ≤ y ≤ g 2 x, donde g 1 y g 2 son continuas

en a, b, entonces

b g

Rf x, y dA

2

x

f x, y dy dx.

ag 1

x

2. Si R está definida por c ≤ y ≤ d y h 1 y ≤ x ≤ h 2 y, donde h 1 y h 2 son continuas

en c, d, entonces

d h

Rf x, y dA

2 y

f x, y dx dy.

ch 1 y

EJEMPLO 2 Evaluación de una integral doble como integral iterada

Evaluar

R 1 1 2 x2 1 2 y2 dA

donde R es la región dada por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

Solución Como la región R es un cuadrado, es vertical y horizontalmente simple y se

puede emplear cualquier orden de integración. Se elige dy dx colocando un rectángulo

representativo vertical en la región, como se muestra en la figura 14.18. Con esto se obtiene

lo siguiente.

R 1 1 2 x2 1 1 1

2 0

y2 dA 1 1 0 2 x2 1 2 y2 dy dx

1

x

1 1 0 2 x2 y y3

6 1 dx

0

1

5 0 6 1 2 x2 dx

3 .

5

6 x x3

6 1 0

2 3

La integral doble evaluada en el ejemplo 2 representa el volumen de la región sólida

que fue aproximado en el ejemplo 1. Nótese que la aproximación obtenida en el ejemplo

1 es buena 0.672 contra aun cuando se empleó una partición que constaba sólo en 16

cuadrados. El error se debe a que se usaron los centros de las subregiones cuadradas como

los puntos para la aproximación. Esto es comparable a la aproximación de una integral

simple con la regla del punto medio.


EXPLORACIÓN

El volumen de un sector

de paraboloide

El sólido del ejemplo 3 tiene una

base elíptica (no circular). Considerar

la región limitada o acotada

por el paraboloide circular

z a 2 x 2 y 2 , a > 0

y el plano xy. ¿Cuántas maneras de

hallar el volumen de este sólido se

conocen ahora? Por ejemplo, se

podría usar el método del disco para

encontrar el volumen como un sólido

de revolución. ¿Todos los métodos

emplean integración?

−a

x

a

a 2

z

a

y

La dificultad para evaluar una integral simple b a f x dx depende normalmente de la

función ƒ, y no del intervalo [a, b]. Ésta es una diferencia importante entre las integrales

simples y las integrales dobles. En el ejemplo siguiente se integra una función similar a la

de los ejemplos 1 y 2. Nótese que una variación en la región R lleva a un problema de integración

mucho más difícil.

EJEMPLO 3

Hallar el volumen por medio de una integral doble

Hallar el volumen de la región sólida acotada por el paraboloide

plano xy.

z 4 x 2 2y 2 y el

Solución Haciendo z 0, se ve que la base de la región, en el plano xy, es la elipse

x 2 2y 2 4, como se muestra en la figura 14.19a. Esta región plana es vertical y horizontalmente

simple, por tanto el orden dy dx es apropiado.

Límites o cotas variables para y:

4 x 2

≤ y ≤

2

4 x 2

2

Límites o cotas constantes para x: 2 ≤ x ≤ 2

El volumen está dado por

2

V

2

32

32

4

4x

2

2 2

4x 2 2

4 x2 y 2y3

2 3 4x2 2

32 3

128

42.

2

2

2

4 16 cos 4

2

64

2

32 2 cos 4

0

16

4 x 2 2y 2 dy dx

4 x 2 32 dx

d

d

4x 2 2

dx

Ver figura 14.19b.

x 2 sen .

Fórmula de Wallis.

NOTA En el ejemplo 3, observar la

utilidad de la fórmula de Wallis para

2

evaluar 0 cos n d. Esta fórmula se

puede consultar en la sección 8.3. ■

4

z

Superficie:

f(x, y) = 4 − x 2 − 2y 2

Base: −2 ≤ x ≤ 2

− (4 − x 2 )/2 ≤ y ≤ (4 − x 2 )/2

y

2

1

−1

1

x

∆x

−1

−2

x

3

2

y

Volumen:

2 (4 − x 2 )/2

(4 − x 2 − 2y 2 ) dy dx

−2 − (4 − x 2 )/2

a) b)

Figura 14.19


En los ejemplos 2 y 3, los problemas se podrían haber resuelto empleando cualquiera

de los órdenes de integración porque las regiones eran vertical y horizontalmente simples.

En caso de haber usado el orden dx dy se habrían obtenido integrales con dificultad muy

parecida. Sin embargo, hay algunas ocasiones en las que uno de los órdenes de integración

es mucho más conveniente que otro. El ejemplo 4 muestra uno de estos casos.

EJEMPLO 4

Comparación de diferentes órdenes de integración

Superficie:

f x, y) e

)

y = 0

2

x

z

1

Hallar el volumen de la región sólida R acotada por la superficie

f x, y e x2 Superficie.

y los planos z 0, y 0, y x y x 1, como se muestra en la figura 14.20.

z = 0

1

x

1

y

x = 1 y = x

La base está acotada por y 0, y x, y

x 1.

Figura 14.20

Solución La base de R en el plano xy está acotada por las rectas y 0, x 1 y

y x. Los dos posibles órdenes de integración se muestran en la figura 14.21.

1

y

R:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ x

(1, 1)

1

y

R:

0 ≤ y ≤ 1

y ≤ x ≤ 1

(1, 1)

∆y

∆x

1

(1, 0)

x

1

(1, 0)

x

1 x

0 0

e −x2 dy dx

1 1

0

y

e −x2 dx dy

Figura 14.21

Estableciendo las integrales iteradas correspondientes, se ve que el orden dx dy requiere la

primitiva (o antiderivada) e x2 dx, la cual no es una función elemental. Por otro lado con

el orden dy dx se obtiene la integral

1 x

1 x

e x2 dy dx e x2 y

0

dx

0

00

0

1

xe x2 dx

1 2 ex2 1 0

1 2 1 e 1

e 1

2e

0.316.

NOTA

Tratar de utilizar un integrador simbólico para evaluar la integral del ejemplo 4.

■


14.2 Double Integrals and Volume 999

Paraboloid:

Paraboloide:

z

z =

z

1

=

−

1

x

− 2 −

x 2 y

− 2 y 2

Paraboloid:

z = 1 − x 2 − y 2

z 1

Plane: Plano:

z = z 1 = − 1 y − y

1 1 y

1 1

x

x

R:

R:

0 ≤

0

y

≤ y

1

≤ 1

y

1 1

−

−

y −

y

y

− 2 y

≤ 2 x

≤ x ≤

y −

y

y

− 2 y 2

x

R: 0 ≤ y ≤ 1

y

− y − y 2 ≤ yx ≤ y − y 2

1

− 1

2 −

2

1

2

Figure 1

− Figura 14.22 14.22

2

Figure 14.22

1

1

2

y

1

1

2

z

Plane:

z = 1 − y

1

2

1

2

1

2

x

x

y

x

EJEMPLO 5 Volumen de una 14.2 región Double acotada Integrals por and dos Volume superficies 999

EXAMPLE 5 Volume of a Region Bounded by Two Surfaces

Hallar el volumen de la región sólida R acotada superiormente por el paraboloide

Find the volume of the solid region R bounded above by the paraboloid

EXAMPLE z 1 x e inferiormente por el plano

como se muestra en la figura

z x 2 5 y

14.22.

2 y 2 Volume of a Region Bounded z by 1Two y, Surfaces

2 and below by the plane z 1 y, as shown in Figure 14.22.

Find Solution the volume Equating of z- the values, solid you region can determine R bounded that above the intersection by the paraboloid of the two

z Solución

Igualando los valores z, se determina que la intersección de las dos superficies

surfaces 1 x 2 occurs y 2 and on below the right by circular the plane cylinder z 1 given y, as byshown Figure 14.22.

se produce en el cilindro circular recto dado por

Solution Equating z-

2 values, 2 you can 2 determine 2 . that the intersection of the two

surfaces

1

occurs

y

on

1

the

x 2 right

y 2 circular cylinder

x 2 y

given

y 2 .

by

Como Because el volumen the volume de Rof

es R la is diferencia the difference entre between el volumen the volume bajo el paraboloide under the paraboloid y el volumen

bajo and 1 the y

el plano, volume 1 x

se under tiene

2 ythe 2

plane, you x 2 have

y y 2 .

1 yy

Volume 0

2

1 yy

Because the volume of

1 x 2 y 2 dx dy

0

2

1

R is the difference between the volume

yy

1 y dx dy

1

yy

0

yy2

0

2

1 yy under the paraboloid

1 x 2 y 2 dx dy yy2

0

2

and the Volumen volume under the plane, you have

1 y dx dy

1 yy 2

1 yy

y y 2 x 2 dx dy

0

yy2 yy2

Volume 0

2

1 yy

1 2 x 2 y 2 dx dy

y y 2 x 2 dx dy 0

2

1 y dx dy

1

yy2

1 y

1 y2 x x3

0 3 yy2

dy

0

yy2 yy2

yy yy2 2

yy

4 1

y y

3

y y y 2 y2 x x3 x 2

0 3 2yy2

dx dy

dy

yy

4 1

yy2 1

y y 2 32 dy

3

2

y y2 x x3

0 2 3 yy2

dy

32 dy yy

0

0

4

3 1 1

4 1 2y 1

8

2 32 dy

3 1 1

4 3

2

1

y y

1 2y 1

8

2 32 dy

0

2 32 dy

0

0

1 2

cos

2y 2y 1 sen sin .

6

4

6

1 2

4

cos 4

3 1 1

1 2y 1

8

2 32 dy

0

2 2

2 2

1 2

6

1 2

1 2

cos

cos 4 d

6

4 2y 1 sin

6

4

d

2 2

00

1

1 2

1 cos

Fórmula Wallis’s de Formula

6 6 16

3

Wallis.

616 34

d

32 .

0

1

■

32 .

Wallis’s Formula

16

6 3

d d

Valor promedio de una función

■

Average Value 32 .

of a Function

Recordar de la sección 4.4 que para una función f en una variable, el valor promedio de f

sobre

Recall

[a,

from

b] es

Section 4.4 that for a function f in one variable, the average value of f on

Average a, b is Value of a Function

Recall from Section b 4.4 that for a function f in one variable, the average value of f on

1

a, b is fx dx.

b aa

b

Given 1 a function f in two variables, you can find the average value of f over the region

Dada

R as shown

una función

fx dx.

b a

in the

de

following

f en dos

definition.

variables, se puede encontrar el valor de f sobre la región R

a

como se muestra en la siguiente definición.

Given a function f in two variables, you can find the average value of f over the region

R as shown DEFINITION in the following OF THE AVERAGE definition. VALUE OF A FUNCTION OVER A REGION

DEFINICIÓN If f is integrable DEL VALOR over the PROMEDIO plane region DE UNA R, FUNCIÓN then the average SOBRE UNA value REGIÓN of f over R is

DEFINITION OF THE AVERAGE VALUE OF A FUNCTION OVER A REGION

Si f es 1integrable sobre la región plana R, entonces el valor promedio de f sobre R

If es f is integrable over y dAthe plane region R, then the average value of f over R is

ARfx,

where 1 A is the y dA area of R.

ARfx,

where donde AAis es the el area área of de R. R.

d

1000 1000 Chapter CAPÍTULO Chapter 14 14 Multiple Multiple Integración Integration Integration múltiple

1000 1000 Chapter Chapter 14 14 Multiple Multiple Integration

z z

EJEMPLO EXAMPLE EXAMPLE 6 Encontrar 6 6Finding Finding el the valor the Average Average promedio Value Value of de a of una Function a Function función

z z

EXAMPLE 66 Finding the the Average 1 1Value of of a a Function

6

6

Encontrar Find Find the el average the valor average promedio value value of de f of x, fy

x, y 2 xy over

2 xy over sobre the region the la region región R, where R,

where donde R is R

a is rectangle es a un rectangle rectángulo

con vertices

with with

1

6

Find vértices vertices 0, 0

the average (0, , 0), 4, , 0

value (4, , 0), 4,

of , 3 (4, , and

f x, 3) y,

y and 0, 1

6

Find the average value of f x, y (0, 33).

2 xy 0, . 3 over .

2 xy over the the region region R, R, where where RRis is a rectangle a with with

5 5

vertices Solution vertices Solution

0, 0, 0 The 0 , , 4,

The area 4, 0 0 ,

area of , 4, 4, 3 the of 3 , and , the rectangular and rectangular

0, 0, 33 . . region region R is RAis A12

(see 12 (see Figure Figure 14.23). 14.23). The The

5

Solución El área de la región rectangular R es A 12 (ver la figura 14.23). El valor

5

Solution average average value The The value is area given

area is of given of the by

the rectangular by

region region RRis is AA 12 12(see (see Figure Figure 14.23). 14.23). The

4

The

4

promedio está dado por

1

average average value value is is given given by by 4 3

1

4 3

4

f(x, y) = xy

1 1

1 1 1

4

f(x, y) = xy

2

1

2

fx, fx, y dAy dA

1

4 3

f(x, y) = xy

1 A R 1 12 01

fx, y dA

A R

12 0 0 2 xy 0 2 xy dy dx 3

A R

12 0 0 2 xy dy dx 3

1

4 3

f(x, y) = xy

1

1 1

2 2

f y dA

4

A dy dx 4 3

3

R

121

0 10

12 xy dy dx 3

3

1

2 2

12

3

1 121

2

12 0 4 xy2 0 4 xy2 dx

0 4 xy2 dx

4 3

1 1 0 0

2

12

4 dx

1

4

0 4 xy2 dx

19

0

1

9 0

1

x dx

12 4

1 124

4 x dx

1 9 9 04

1 1 1

0

1

y y

x dx

4 x

4dx

(0, 0) (0, 0)

(0, 3) (0, 3)

31213

4 41

0

1

y

1

16 4

(0, 0)

(0, 3)

3 16 2 x2 0

1

y

1

4

1 20

x2 (0, 0)

(0, 0

2

R 3)

3 1

2

R

1 1

3

16 163

2 x2 2 x2 3

3 0

2

R

3

3 16 8

4

(4, 3)

16 8

0

2

R

4

(4, 3)

3 (4, 0) (4, 0)

3

x

16 8

4

x

(4, 3)

16 3 3

8

4

(4, 3)

(4, (4, 0) 0)

Figure 14.23 x

2 . Figura

Figure 14.23

14.23

3

Figure 14.23

2 . 2 . x

3

Figure 14.23

2 .

14.2 14.2Exercises See www.CalcChat.com See www.CalcChat.com for worked-out for worked-out solutions solutions to odd-numbered to odd-numbered exercises. exercises.

14.2 Exercises See See www.CalcChat.com for for worked-out worked-out solutions solutions to odd-numbered to odd-numbered exercises. exercises.

Approximation Approximation In Exercises In Exercises 1– 4, 1– approximate 4, approximate the the integral integral 6. Approximation 6. Approximation The The figure figure shows shows the level the level curves curves for a for function

f over f over a square a The square region

14.2 Ejercicios

a func-

Approximation

R fx, R fx, y dAy by dA In

dividing

In

by Exercises Exercises

dividing the

1– the rectangle

1– 4, 4,

rectangle approximate

R with R with vertices

the the

vertices integral

0, 0

integral

0, , 0 , 6. 6. Approximation The figure figure

region shows

R. Approximate

shows

R. the Approximate

the level level curves

the integral

curves

the for for

integral a function

f over a region R. Approximate the integral using

using

a function

using

4, 0

R fx,

4, , 4, 0

y

, 24, , and

dA

2

by

, and 0, 2

dividing

0, into 2 into eight

the

eight equal

rectangle

equal squares

R

squares and

with vertices

and finding finding the

0, 0 ,

the four four squares,

f over

squares, selecting

a square

selecting the midpoint

region

the

R.

midpoint of each of each square

the

square as x

integral

as i , y

using i x i

., y i .

R fx, y dA by dividing the rectangle R with vertices 0, 0 ,

8

Aproximación 8 En los ejercicios 1 a 4, aproximar la integral 6. Aproximación 2 2 2 2 La figura muestra las y

4, curvas y de nivel de una

sum 4, 00 , , 4, 4, 22 and 0, 2 into eight equal squares and finding the four squares, selecting the midpoint of each square as x

dividiendo el rectángulo R con vértices (0, 0), (4, 0), función ƒ en una región cuadrada R. Aproximar la integral i , y i .

R fsum fx , and

x, y dA i , fx y 0,

i i , yA 2

i

where into eight

A i where x i , yequal x i , is y i

the squares

is center and

the center of the finding

of ithe square. the four squares, selecting the midpoint of each square as x

i

i

ith square.

i , y i .

8

fx, empleando

0 0

8

fx, y dy y dx

i 1

dy dx

i 1

2

2

2

y

2

y

sum (4, Evaluate sum 2) y fx 0 0

Evaluate fx (0, the i , y i , i 2) iterated y i

en A

the iterated i Awhere ocho i

integral cuadrados x

integral i , xy i , and i yis i is the

and compare iguales the center

compare center it y of with hallando of the the with the i

ith square. approximation.

the la square. suma approxi-

x i , y i the A 0 0

2

fx, cuatro cuadrados y tomando el punto medio de cada

fx, y y dy dy dx

2

dx

i 1

cuadrado

0 0

como x

donde es el centro del cuadrado i-ésimo.

i , y i .

8 i 1

2

Evaluate fmation.

Evaluate the iterated iterated i

integral integral x i , y i and and compare compare it with with the the approximation.

2

approximation.

1

2 2

i1 4 2 4 2

4 2

4

2 2

y

4

Evaluar

4 2

2

1. 1. la integral iterada y compararla

1

2. con la aproximación.

1 6

x y dy dx 2.

x f x, y dy dx

4 2

4 2

4

1 4

2

00

2

1.

1.

2.

2.

1 6

8

x y dy dx

1 x

2 x y dy dx

x y dy dx

0 0

2

0 0

8

0

y dy dx

10

0

2 1 6

x

2

2 2

x y dy dx

y dy y dx

4 2

4 2

dy dx

8

4

0 0 0 0

1 0 0 0 0

1. 4 2 4 2

2.

1 6

x y dy dx

4 2 x4

2

1 1

10

3. 3. x 2

x 4. 0

dy dx

2

x

4 2

4 2

4 20

0

1

10 4

3.

3. x 2

2 4 2 0 0 x 1 y 1 1 2

dy dx

4.

4.

1 dy dx

1 6

x

x

0 0

0 0 x 1 y 1 dy dx

1 2

0

2 y 2 2

2 y dy dx

0 0

dy y 2 dx dy dx 4.

0 0

8

dy dx

x

4 2

4 2

0 0

0 0 x 1 y 1 10 1 2

3. x

0

0

2 y 2 dy dx 4.

dy dx

2 y 2 x

0 0 dy dx

0 0 x 1 y 1 1 2

5. Approximation 5. Approximation The The table table shows shows values

0values xof a 1y of function a function 1f

over f over a a In Exercises In Exercises 7–12, 7–12, sketch sketch the region the region R and R and evaluate 8

evaluate the iterated the iterated

5. 5. 5. Approximation Aproximación square square region region R.

The La Divide

The

R. tabla table Divide the

table muestra shows

region

shows

the values region valores into

values of into 16 de of a una equal

function a

16

function función equal squares

f squares fƒover sobre and

a a

and integral

10

x

una square región select

region cuadrada Divide R. Dividir the region la región into en 16 16 equal cuadrados squares iguales

In Exercises

integral R fx, 7–12, R fx, y dA.

sketch

y dA.

select x i , y x the region R and evaluate the iterated

i , to y

R. i

be to the be point the point the ith the square ith square closest closest to the In Exercises 7–12, sketch the region R and evaluate the iterated

square region i R. Divide the region into 16 equal squares and and

to the

1 2

y origin.

select elegir origin. Compare x to como be el the punto point más in cercano the al square origen closest en el cuadrado

the

integral R

2 fx, 1 y dA.

2

x i , , Compare y i this this approximation approximation with

i ith

with that that obtained obtained by using integral 2 R 1 fx, y dA.

2

select x to

by

the

using

origin. i-ésimo. point i , y

the

Compare

point i to be the point in the ith square closest to the

Comparar the in ith the square

this

ith

esta square farthest aproximación farthest from

with

from the con origin.

7.

that

the la obtained

origin.

7. 1 12x 2x2y dy 2y dx dy dx8.

8. sin 2 sin x cos

obtenida by usando

2 x 2 cos y dy 2 y dx

2

dy dx

2

1

1

2

origin. Compare this approximation with that obtained by using

2

using

0 0 0 0

0 0 0 0

el 4

the punto 4

the point 4 4

point más in the lejano ith square al origen farthest en el from cuadrado the origin. i-ésimo.

En 7. 6 3

los ejercicios 6 13

2x7 a 12, 2y dibujar dy dx la 8. región R y sin evaluar 2 x cos 2 la y integral dy dx

0 0 fx, in

0 0 fy the

x, dy ith

y dxdy square

dx

farthest from the origin.

7. 1 2x 2y dy dx 8. sin 2 x cos 2 y dy dx

0

0

0

0

0

0

0

0

4 4

iterada

9. 9.

6

3

R

x

f x, xy y

dx

dA. y dy

4 4

dx dy

0 0 f x, y dy dx

0 y 2

0 1 2 3 4

9.

2 14

x y y dx dy

2

0 y 2

0 1 2 3 4

7. 4

1 2x 2y dy dx 8. sin 2 x cos 2 y dy dx

y

x

0

y

x 0 y 2

0 1 2 3 4

4 y

x y 6 3

0 0 fx, y dy dx

9. x y dx dy

0 y 2

10.

y

10. x 2 y 2 xdx 2 y 2 dy

4

dx dy

1 y 1

x 0 y 0

0 32 32 01 31 2

3128 1 3

2823 24

sen

2316

163 4

0 2

0

0

10.

0 0

10. a x

a x a

06

1 3

4 y

2

9.

x y dx dy 10. x

1

0

2 y 2 dx dy

11. 0

2 y 2 xy dx 2 a 2 dx dy

x 2 dy

1

010 32

1 31 32 32 31

3130 28

3027 31 28 23

2722 232816

0

2215

16 15 23 16

11. 2

11.

y y x xy dy y dx

a a

dy dx

a

2 a

a 2 x 2 x 2 a 2 x

1 2 1

y2

31 3130 30 2227 15 22 15

1 0 1 0 x y dy 1dx

1 1 y

2 31 1 y 2

2 28 30

2827 27

2724 22

2419 15

1912

11.

x y dy dx

12

a

11. a

y

a

12. a

a

a 22 xx 12.

2 e x 2 y 2

e 2 dx x y dy dx dy e x y edx x y dy

1

dx dy

2 1

0

1

1

1

1

y

2 y

3 28

3 23 28 28 27

2322 27 24

2219 27 24 19

1914 192412

1412

7 7

19 12

0 y 01

y x y dy dx

12. a e

1 0

1 1y

12.

2x

1

x y 0 0 0 0

12. e x y dx 2 dx dy dy e x e xy

dx y dx dy dy

3

0

3 23 2322 22 19 1419 7 14 7

0

y

y

1

1

0

0

0

0

4 23

4 16 22

1615 19

1512 14

127 7

0 0

4

e xy dx dy e xy dx dy

4 16 16 16 15 15 1215 7 7120

0 7 0

0

y1

00

SECCIÓN 14.2 14.2

14.2 Double Double

Integrales Integrals Integrals and Volume 1001

dobles and y Volume volumen 1001 1001

In In

En

Exercises Exercises

los ejercicios

13–20, 13–20,

13

set set

a

up up

20,

integrals integrals

dar una

for for

integral

both both orders orders

para cada

of of integration, integration,

orden de

25. 25.

25.

26. 26.

and use the more convenient order to evaluate the integral over

26.

and

integración

use the more

y utilizar

convenient

el orden

order

más

to

conveniente

evaluate the

para

integral

evaluar

over

the region

la 2x 3y 4z 12

zz

R.

2x 2x + 3y 3y + 4z 4z = 12 12

the

integral

region

en

R.

z

la región R.

zz

x x + + y y + + z z = = 22

2

3

2

13.

Rxy dA

3

13.

3

Rxy Rxy dA

R: rectangle with vertices 0, 0, 0, 5, 3, 5, 3, 0

R: rectangle rectángulo with con vertices vértices 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 3, 3, 5, 5, 3, 3, 0 0

14.

y

y

14.

Rsin x sin y dA

Rsin 4 yy

y

Rsin sen

x sen

sin y dA

44

22

22

R: rectangle with vertices , 0, , 0, , 2, , 2

66

R: rectangle rectángulo with con vertices vértices ,

15.

y

, 0, 0, , , 0, 0, , , 2, 2, , , 2 2 x

x

27. 28.

15. R x 2 y dA 2 27.

27.

z

28.

28.

z

R y

x 2 y dA 2 z

z

z z = 1 − xy

z

R: trapezoid bounded by y x, y 2x, x 1, x 2

triángulo acotado por y 2x, x 1, x 2

z = 1 − xy

z = 4 −

z = 4 − y 2 y

R: trapezoid bounded by y x, y 2x, x 1, x 2

2

z = 1 − xy

4

4

16.

Rxe y 4 z = 4 − y 2

dA

1

16. Rxe 1

3

Rxe y dA

1

3

3

R: triangle bounded by

x, 0,

2

R: triangle triángulo bounded acotado by por y y 4 4 x, x, y y 0,

0, x x 0

0

2

2

17. 17.

R2y dA

1

R2y dA

y 1

y

región

region

acotada

bounded

por

by y 4 x 1

1

y = x y = 1

y

2 2

18.

2 1

1

1

R:

, y 4 x

y = x 1 y

y

x

y = 1

2 1 2

1 x dA x y = x

R y

R:

region bounded by y 4 x 1

1

y = x 2 y = x y = 2

y = 1

y

2 2

18. R 2 , y 4 x

y

1

1 x dA 2 y = x

y

y

=

=

2

2

29. Integral impropia 30. Integral impropia

R:

R:

region región

region bounded acotada

bounded

por by by

yy 0, 0, yy x, x,

x, xx 44

29. 29. Improper Improper integral integral 30. Improper z integral

1 30. Improper integral

19. Rx dA

z

z e−(x + y)/2

z =

=

19. Rx Rx dA

z = e−(x + y)/2

z = (x + 1) 2 1

(y + 1) 2

z

(x + 1)

el sector sector of circular a circle en in el the primer first quadrant cuadrante bounded acotado by

2 (y + 1)

R:

2

1 z e−(x + y)/2

zz =

1

=

por

z (x + 1) 1

sector of a circle in the first quadrant bounded by

2 (y + 1)

R:

2

y 25 x 2 z

1

y 25 25 x 2 , , 3x 3x 4y 4y 0, 0, y y 0

0

1 0 ≤ x < ∞

1

x 20. Rx 2 y 2 0 ≤ y < dA

y

0 ≤ y < ∞ 2 2

Rx 1 0 ≤ x < ∞

20. Rx 2 y 2 dA

0 ≤ y < ∞

y

2 2 y

R: semicírculo semicircle bounded acotado por by

4 x

y 4 x 2 2 2

y

R:

semicircle bounded by y 4 x 2 , y, y 0

0

2

0 ≤ x < ∞

2

y

2 y

0 ≤ y x < 2

0 ≤ x < ∞

In Exercises 21–30, use a double integral to find the volume of 2

0 ≤ y < ∞

In En Exercises los ejercicios 21–30, a use 30, a utilizar double una integral integral to find doble the para volume hallar of x2

0 ≤ y < ∞

the the indicated solid.

x

el volumen indicated del solid. sólido indicado.

x

21. 22.

z

21.

z

z = y En In Exercises los ejercicios 31 31 and y 32, utilizar use a computer un sistema algebraico system por compu-

to find

22.

z

z

z = y CAS

CAS In Exercises 31 and 32, use a computer algebra system to find

2

2

6

6 z = 6 − 2y

z = 6 − 2y

tadora the volume y hallar of the el volumen solid. del sólido.

1

the volume of the solid.

1

32.

z

31. z

32.

z

31. z

32.

z

1

1

y

z = 8 − x 2 − y 2 x 2 2 + z 2 2 = 1

2 2

4

2 z = 8 − x

3

2 − y x 2 + z 2 = 1

2

y

4

2

1

3

4

1

4

x

0 ≤ x ≤ 4

y

0 ≤ 2

0 x

≤ ≤

y 4

≤ y

2

4

2

0 ≤ y ≤ 2

0 ≤ x ≤ 4

4

0 ≤

0 x

≤ ≤

y 4

≤ 2

11

x

0 ≤ y ≤ 2

3 y

1

x

3

3 y

11

x

23. z

24.

z

3

1

x y

23.

z

24.

z

x

x = 1

y

y

=

=

x

x y

4

z = 4

4

x = 1

4

z = 4 4

z

z =

= 4

4 −

− x

x −

− y

y

3

y = x

En In Exercises los ejercicios 33–40, set a 40, up dar and una evaluate integral a double doble integral para hallar to findel

3

y = x

In Exercises 33–40, set up and evaluate a double integral to find

volumen the volume del of sólido the solid limitado bounded o acotado by the graphs por las of gráficas the equations. de las

2

the volume of the solid bounded by the graphs of the equations.

2

ecuaciones.

1

33. 33. zz xy, xy, zz 0, 0, yy x, x, xx 1, 1,

first first octant octant

1

33. z xy, z 0, y x, x 1, primer octante

34. y 0, z 0, y x, z x, x 0, x 5

1

2

2

y

34.

34.

y

y

0,

0,

z 0,

0,

y

y

x,

x,

z

z

x,

x,

x

x

0,

0,

x

x

5

1

5

2

2 y

y

2

2

y

35. 35. z 0, z x 2 , x 0, x 2, y 0, y 4

2

2

y = x y = 2

x

35. z 0, 0, z x 2 2 ,, x 0, 0, x 2, 2, y 0, 0, y 4

x

x = 2

x y = x y = 2

x = 2

36. 36. x

36. x 22 2 y y 22 2 z z 22 2 r r 22

2


37. primer octante

38. primer octante

39. primer octante

40.

En los ejercicios 41 a 46, establecer una integral doble para

encontrar el volumen de una región sólida limitada por las gráficas

de las ecuaciones. No evaluar la integral.

41. 42.

43.

44.


y hallar el volumen del sólido limitado o acotado por las


47.

48. primer octante

49.

50.

51. Si es una función continua tal que en una

región R de área 1, demostrar que

52. Hallar el volumen del sólido que se encuentra en el primer

octante, acotado por los planos coordenados y el plano

donde

y

En los ejercicios 53 a 58, trazar la región de integración. Después

evaluar la integral iterada y, si es necesario, cambiar el orden de

integración.

53. 54.

57.

Valor promedio

En los ejercicios 59 a 64, encontrar el valor

promedio de f (x, y) sobre la región R.

59.

rectángulo con vértices

60. f(x, y) 2xy

rectángulo con vértices (0, 0), (5, 0), (5, 3), (0, 3)

61.

cuadrado con vértices

62.

R: triángulo con vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1)

63.

R: triángulo con vértices (0, 0), (0, 1), (1, 1)

64.

R: rectángulo con vértices (0, 0), (, 0),(, ), (0, )

65. Producción promedio La función de producción Cobb-Douglas

para un fabricante de automóviles es


unidades de capital. Estimar el nivel promedio de producción si

el número x de unidades de trabajo varía entre 200 y 250 y el

número y de unidades de capital varía entre 300 y 325.

66. Temperatura promedio La temperatura en grados Celsius

sobre la superficie de una placa metálica es T(x, y) 20 4x 2

y 2 , donde x y y están medidas en centímetros. Estimar la temperatura

promedio si x varía entre 0 y 2 centímetros y y varía

entre 0 y 4 centímetros.

f x, y 100x 0.6 y 0.4

37. first octant

38. first octant

39. first octant

40.

In Exercises 41–46, set up a double integral to find the volume

of the solid region bounded by the graphs of the equations. Do

not evaluate the integral.

41. 42.

43.

44.

45.

46.


volume of the solid bounded by the graphs of the equations.

47.

48. first octant

49.

50.

51. If is a continuous function such that over a

region

of area 1, prove that

52. Find the volume of the solid in the first octant bounded by the

coordinate planes and the plane

where

and

In Exercises 53–58, sketch the region of integration. Then

evaluate the iterated integral, switching the order of integration

if necessary.

53. 54.

55. 56.

57.

58.

Average Value

In Exercises 59– 64, find the average value of

over the region

59.

rectangle with vertices

60.


61.

square with vertices

62.

triangle with vertices

63.


64.


65. Average Production The Cobb-Douglas production function

for an automobile manufacturer is

where

is the number of units of labor and is the number of units of

capital. Estimate the average production level if the number of

units of labor varies between 200 and 250 and the number of

units of capital varies between 300 and 325.

66. Average Temperature The temperature in degrees Celsius on

the surface of a metal plate is

where

and

are measured in centimeters. Estimate the average

temperature if varies between 0 and 2 centimeters and varies

between 0 and 4 centimeters.

y

x

y

x

Tx, y 20 4x 2 y 2 ,

y

x

y

x

fx, y 100x 0.6 y 0.4 ,

0, 0 , , 0 , , , 0,

R:

f x, y sen x y

0, 0 , 0, 1 , 1, 1

R:

fx, y e x y 0, 0 , 1, 0 , 1, 1

R:

fx, y

1

x

y

0, 0 , 2, 0 , 2, 2 , 0, 2

R:

fx, y x 2 y 2 0, 0 , 5, 0 , 5, 3 , 0, 3

R:

fx, y

2xy

0, 0 , 4, 0 , 4, 2 , 0, 2

R:

f x, y

x

R.

f x, y

2

0

2

12x 2

y cos y dy dx

1

0

arccos y

0

sin x 1 sin 2 x dx dy

3

0

1

y 3

1

1 x 4 dx dy

2

2

4 x 2

4 x 2 4 y 2 dy dx

ln 10

0

10

e x 1

ln y dy dx

1

0

12

y 2

e x2 dx dy

c > 0.

b > 0,

a > 0,

xa yb zc 1,

0 R f x, y dA 1.

R

0 fx, y 1

f

z ln 1 x y , z 0, y 0, x 0, x 4 y

z

2

1 x 2 y 2, z 0, y 0, x 0, y 0.5x 1

x 2 9 y, z 2 9 y,

z 9 x 2 y 2 , z 0

z x 2 y 2 , z 18 x 2 y 2

z x 2 2y 2 , z 4y

z sin 2 x, z 0, 0 x , 0 y 5

z x 2 y 2 , x 2 y 2 4, z 0

z = 2x

y

x

4

2

−2

−2

1

2

1

z

z = x 2 + y 2

z = 4 − x 2 − y 2

z = 4 − 2x

y

x

4

2

2

z

z

1

1 y 2, x 0, x 2, y 0

z x y, x 2 y 2 4,

y 4 x 2 , z 4 x 2 ,

x 2 z 2 1, y 2 z 2 1,


CAS

67. State the definition of a double integral. If the integrand is

a nonnegative function over the region of integration, give

the geometric interpretation of a double integral.

68. Let be a region in the plane whose area is If

for every point in what is the value of

Explain.

69. Let represent a county in the northern part of the United

States, and let

represent the total annual snowfall at

the point in Interpret each of the following.

(a)

(b)

70. Identify the expression that is invalid. Explain your

reasoning.

a) b)

c) d)

71. Let the plane region be a unit circle and let the maximum

value of on be 6. Is the greatest possible value of

equal to 6? Why or why not? If not, what

is the greatest possible value?

R

fx, y dy dx R

f

R

2

0

x

0

fx, y dy dx

2

0

3

x

fx, y dy dx

2

0

y

0

fx, y dy dx

2

0

3

0

fx, y dy dx

R

fx, y dA

R

dA

R

fx, y dA

R.

x, y

fx, y

R

R fx, y dA? R,

x, y

f x, y

k

B.

xy-

R


37. first octant

38. first octant

39. first octant

40.




41. 42.

43.

44.

45.

46.



47.

48. first octant

49.

50.


region




where

and



if necessary.

53. 54.

55. 56.

57.

58.

Average Value


over the region

59.


60.


61.


62.


63.


64.




where







where

and




y

x

y

x

Tx, y 20 4x 2 y 2 ,

y

x

y

x

fx, y 100x 0.6 y 0.4 ,

0, 0 , , 0 , , , 0,

R:

fx, y sen x y

0, 0 , 0, 1 , 1, 1

R:

f x, y e x y 0, 0 , 1, 0 , 1, 1

R:

fx, y

1

x

y

0, 0 , 2, 0 , 2, 2 , 0, 2

R:

fx, y x 2 y 2 0, 0 , 5, 0 , 5, 3 , 0, 3

R:

fx, y

2xy

0, 0 , 4, 0 , 4, 2 , 0, 2

R:

fx, y

x

R.

f x, y

2

0

2

12x 2

y cos y dy dx

1

0

arccos y

0


3

0

1

y 3

1

1 x 4 dx dy

2

2

4 x 2

4 x 2 4 y 2 dy dx

ln 10

0

10

e x 1

ln y dy dx

1

0

12

y 2

e x2 dx dy

c > 0.

b > 0,

a > 0,

xa yb zc 1,

0 R f x, y dA 1.

R

0 fx, y 1

f

z ln 1 x y , z 0, y 0, x 0, x 4 y

z

2

1 x 2 y 2, z 0, y 0, x 0, y 0.5x 1

x 2 9 y, z 2 9 y,

z 9 x 2 y 2 , z 0

z x 2 y 2 , z 18 x 2 y 2

z x 2 2y 2 , z 4y

z sin 2 x, z 0, 0 x , 0 y 5

z x 2 y 2 , x 2 y 2 4, z 0

z = 2x

y

x

4

2

−2

−2

1

2

1

z

z = x 2 + y 2

z = 4 − x 2 − y 2

z = 4 − 2x

y

x

4

2

2

z

z

1

1 y 2, x 0, x 2, y 0

z x y, x 2 y 2 4,

y 4 x 2 , z 4 x 2 ,

x 2 z 2 1, y 2 z 2 1,


CAS






Explain.


States, and let



(a)

(b)


reasoning.

a) b)

c) d)





R

fx, y dy dx R

f

R

2

0

x

0

fx, y dy dx

2

0

3

x

fx, y dy dx

2

0

y

0

fx, y dy dx

2

0

3

0

fx, y dy dx

R

fx, y dA

R

dA

R

fx, y dA

R.

x, y

fx, y

R

R fx, y dA? R,

x, y

f x, y

k

B.

xy-

R


37. first octant

38. first octant

39. first octant

40.




41. 42.

43.

44.

45.

46.



47.

48. first octant

49.

50.


region




where

and



if necessary.

53. 54.

55. 56.

57.

58.

Average Value


over the region

59.


60.


61.


62.


63.


64.




where







where

and




y

x

y

x

Tx, y 20 4x 2 y 2 ,

y

x

y

x

fx, y 100x 0.6 y 0.4 ,

0, 0 , , 0 , , , 0,

R:

fx, y sen x y

0, 0 , 0, 1 , 1, 1

R:

fx, y e x y 0, 0 , 1, 0 , 1, 1

R:

f x, y

1

x

y

0, 0 , 2, 0 , 2, 2 , 0, 2

R:

f x, y x 2 y 2 0, 0 , 5, 0 , 5, 3 , 0, 3

R:

f x, y

2xy

0, 0 , 4, 0 , 4, 2 , 0, 2

R:

f x, y

x

R.

f x, y

2

0

2

12x 2

y cos y dy dx

1

0

arccos y

0


3

0

1

y 3

1

1 x 4 dx dy

2

2

4 x 2

4 x 2 4 y 2 dy dx

ln 10

0

10

e x 1

ln y dy dx

1

0

12

y 2

e x2 dx dy

c > 0.

b > 0,

a > 0,

xa yb zc 1,

0 R f x, y dA 1.

R

0 fx, y 1

f

z ln 1 x y , z 0, y 0, x 0, x 4 y

z

2

1 x 2 y 2, z 0, y 0, x 0, y 0.5x 1

x 2 9 y, z 2 9 y,

z 9 x 2 y 2 , z 0

z x 2 y 2 , z 18 x 2 y 2

z x 2 2y 2 , z 4y

z sin 2 x, z 0, 0 x , 0 y 5

z x 2 y 2 , x 2 y 2 4, z 0

z = 2x

y

x

4

2

−2

−2

1

2

1

z

z = x 2 + y 2

z = 4 − x 2 − y 2

z = 4 − 2x

y

x

4

2

2

z

z

1

1 y 2, x 0, x 2, y 0

z x y, x 2 y 2 4,

y 4 x 2 , z 4 x 2 ,

x 2 z 2 1, y 2 z 2 1,


CAS






Explain.


States, and let



(a)

(b)


reasoning.

a) b)

c) d)





R

fx, y dy dx R

f

R

2

0

x

0

fx, y dy dx

2

0

3

x

fx, y dy dx

2

0

y

0

fx, y dy dx

2

0

3

0

fx, y dy dx

R

fx, y dA

R

dA

R

fx, y dA

R.

x, y

fx, y

R

R fx, y dA? R,

x, y

f x, y

k

B.

xy-

R


0, 0, 2, 0, 2, 2, 0, 2

R:

f x, y x 2 y 2

R:

0, 0, 4, 0, 4, 2, 0, 2

R:

f x, y x

1

0

arccos y

0

sin x1 sin 2 x dx dy

ln 10

0

10

e x 1

ln y dy dx

1

0

12

y2

e x2 dx dy

c > 0.

b > 0,

a > 0,

xa yb zc 1,

0 ≤ R f x, y dA ≤ 1.

0 ≤ f x, y ≤ 1

f

z ln1 x y, z 0, y 0, x 0, x 4 y

z

2

1 x 2 y 2, z 0, y 0, x 0, y 0.5x 1

x 2 9 y, z 2 9 y,

z 9 x 2 y 2 , z 0

37. first octant

38. first octant

39. first octant

40.




41. 42.

43.

44.

45.

46.



47.

48. first octant

49.

50.


region




where

and



if necessary.

53. 54.

55. 56.

57.

58.

Average Value


over the region

59.


60.


61.


62.


63.


64.




where







where

and




y

x

y

x

Tx, y 20 4x 2 y 2 ,

y

x

y

x

fx, y 100x 0.6 y 0.4 ,

0, 0 , , 0 , , , 0,

R:

fx, y sen x y

0, 0 , 0, 1 , 1, 1

R:

fx, y e x y 0, 0 , 1, 0 , 1, 1

R:

fx, y

1

x

y

0, 0 , 2, 0 , 2, 2 , 0, 2

R:

fx, y x 2 y 2 0, 0 , 5, 0 , 5, 3 , 0, 3

R:

fx, y

2xy

0, 0 , 4, 0 , 4, 2 , 0, 2

R:

fx, y

x

R.

f x, y

2

0

2

12x 2

y cos y dy dx

1

0

arccos y

0


3

0

1

y 3

1

1 x 4 dx dy

2

2

4 x 2

4 x 2 4 y 2 dy dx

ln 10

0

10

e x 1

ln y dy dx

1

0

12

y 2

e x2 dx dy

c > 0.

b > 0,

a > 0,

xa yb zc 1,

0 R f x, y dA 1.

R

0 fx, y 1

f

z ln 1 x y , z 0, y 0, x 0, x 4 y

z

2

1 x 2 y 2, z 0, y 0, x 0, y 0.5x 1

x 2 9 y, z 2 9 y,

z 9 x 2 y 2 , z 0

z x 2 y 2 , z 18 x 2 y 2

z x 2 2y 2 , z 4y

z sin 2 x, z 0, 0 x , 0 y 5

z x 2 y 2 , x 2 y 2 4, z 0

z = 2x

y

x

4

2

−2

−2

1

2

1

z

z = x 2 + y 2

z = 4 − x 2 − y 2

z = 4 − 2x

y

x

4

2

2

z

z

1

1 y 2, x 0, x 2, y 0

z x y, x 2 y 2 4,

y 4 x 2 , z 4 x 2 ,

x 2 z 2 1, y 2 z 2 1,


CAS






Explain.


States, and let



(a)

(b)


reasoning.

a) b)

c) d)





R

fx, y dy dx R

f

R

2

0

x

0

fx, y dy dx

2

0

3

x

fx, y dy dx

2

0

y

0

fx, y dy dx

2

0

3

0

fx, y dy dx

R

fx, y dA

R

dA

R

fx, y dA

R.

x, y

fx, y

R

R fx, y dA? R,

x, y

f x, y

k

B.

xy-

R


z sin 2 x, z 0, 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ 5

z x 2 y 2 , x 2 y 2 4, z 0

37. first octant

38. first octant

39. first octant

40.




41. 42.

43.

44.

45.

46.



47.

48. first octant

49.

50.


region




where

and



if necessary.

53. 54.

55. 56.

57.

58.

Average Value


over the region

59.


60.


61.


62.


63.


64.




where







where

and




y

x

y

x

Tx, y 20 4x 2 y 2 ,

y

x

y

x

fx, y 100x 0.6 y 0.4 ,

0, 0 , , 0 , , , 0,

R:

fx, y sen x y

0, 0 , 0, 1 , 1, 1

R:

f x, y e x y 0, 0 , 1, 0 , 1, 1

R:

fx, y

1

x

y

0, 0 , 2, 0 , 2, 2 , 0, 2

R:

f x, y x 2 y 2 0, 0 , 5, 0 , 5, 3 , 0, 3

R:

fx, y

2xy

0, 0 , 4, 0 , 4, 2 , 0, 2

R:

fx, y

x

R.

f x, y

2

0

2

12x 2

y cos y dy dx

1

0

arccos y

0


3

0

1

y 3

1

1 x 4 dx dy

2

2

4 x 2

4 x 2 4 y 2 dy dx

ln 10

0

10

e x 1

ln y dy dx

1

0

12

y 2

e x2 dx dy

c > 0.

b > 0,

a > 0,

xa yb zc 1,

0 R f x, y dA 1.

R

0 fx, y 1

f

z ln 1 x y , z 0, y 0, x 0, x 4 y

z

2

1 x 2 y 2, z 0, y 0, x 0, y 0.5x 1

x 2 9 y, z 2 9 y,

z 9 x 2 y 2 , z 0

z x 2 y 2 , z 18 x 2 y 2

z x 2 2y 2 , z 4y

z sin 2 x, z 0, 0 x , 0 y 5

z x 2 y 2 , x 2 y 2 4, z 0

z = 2x

y

x

4

2

−2

−2

1

2

1

z

z = x 2 + y 2

z = 4 − x 2 − y 2

z = 4 − 2x

y

x

4

2

2

z

z

1

1 y 2, x 0, x 2, y 0

z x y, x 2 y 2 4,

y 4 x 2 , z 4 x 2 ,

x 2 z 2 1, y 2 z 2 1,


CAS






Explain.


States, and let



(a)

(b)


reasoning.

a) b)

c) d)





R

fx, y dy dx R

f

R

2

0

x

0

fx, y dy dx

2

0

3

x

fx, y dy dx

2

0

y

0

fx, y dy dx

2

0

3

0

fx, y dy dx

R

fx, y dA

R

dA

R

fx, y dA

R.

x, y

fx, y

R

R fx, y dA? R,

x, y

f x, y

k

B.

xy-

R


37. first octant

38. first octant

39. first octant

40.




41. 42.

43.

44.

45.

46.



47.

48. first octant

49.

50.


region




where

and



if necessary.

53. 54.

55. 56.

57.

58.

Average Value


over the region

59.


60.


61.


62.


63.


64.




where







where

and




y

x

y

x

Tx, y 20 4x 2 y 2 ,

y

x

y

x

fx, y 100x 0.6 y 0.4 ,

0, 0 , , 0 , , , 0,

R:

fx, y sen x y

0, 0 , 0, 1 , 1, 1

R:

fx, y e x y 0, 0 , 1, 0 , 1, 1

R:

fx, y

1

x

y

0, 0 , 2, 0 , 2, 2 , 0, 2

R:

fx, y x 2 y 2 0, 0 , 5, 0 , 5, 3 , 0, 3

R:

f x, y

2xy

0, 0 , 4, 0 , 4, 2 , 0, 2

R:

f x, y

x

R.

f x, y

2

0

2

12x 2

y cos y dy dx

1

0

arccos y

0


3

0

1

y 3

1

1 x 4 dx dy

2

2

4 x 2

4 x 2 4 y 2 dy dx

ln 10

0

10

e x 1

ln y dy dx

1

0

12

y 2

e x2 dx dy

c > 0.

b > 0,

a > 0,

xa yb zc 1,

0 R f x, y dA 1.

R

0 fx, y 1

f

z ln 1 x y , z 0, y 0, x 0, x 4 y

z

2

1 x 2 y 2, z 0, y 0, x 0, y 0.5x 1

x 2 9 y, z 2 9 y,

z 9 x 2 y 2 , z 0

z x 2 y 2 , z 18 x 2 y 2

z x 2 2y 2 , z 4y

z sin 2 x, z 0, 0 x , 0 y 5

z x 2 y 2 , x 2 y 2 4, z 0

z = 2x

y

x

4

2

−2

−2

1

2

1

z

z = x 2 + y 2

z = 4 − x 2 − y 2

z = 4 − 2x

y

x

4

2

2

z

z

1

1 y 2, x 0, x 2, y 0

z x y, x 2 y 2 4,

y 4 x 2 , z 4 x 2 ,

x 2 z 2 1, y 2 z 2 1,


CAS






Explain.


States, and let



(a)

(b)


reasoning.

a) b)

c) d)





R

fx, y dy dx R

f

R

2

0

x

0

fx, y dy dx

2

0

3

x

fx, y dy dx

2

0

y

0

fx, y dy dx

2

0

3

0

fx, y dy dx

R

fx, y dA

R

dA

R

fx, y dA

R.

x, y

fx, y

R

R fx, y dA? R,

x, y

f x, y

k

B.

xy-

R


z 1

1 y 2, x 0, x 2, y ≥ 0

z x y, x 2 y 2 4,

y 4 x 2 , z 4 x 2 ,

x 2 z 2 1, y 2 z 2 1,


67. Enunciar la definición de integral doble. Dar la interpretación

geométrica de una integral doble si el integrando es

una función no negativa sobre la región de integración.

68. Sea R una región en el plano xy cuya área es B. Si ƒ(x, y) k

para todo punto (x, y) en R, ¿cuál es el valor de

Explicar.

69. Sea R un condado en la parte norte de Estados Unidos, y sea

ƒ(x, y) la precipitación anual de nieve en el punto (x, y) de R.

Interpretar cada uno de los siguientes.

a) b)

70. Identificar la expresión que es inválida. Explicar el razonamiento.

71. Sea la región plana R un círculo unitario y el máximo valor

de f sobre R sea 6. ¿Es el valor más grande posible de

igual a 6? ¿Por qué sí o por qué no? Si es

no, ¿cuál es el valor más grande posible?

37. first octant

38. first octant

39. first octant

40.




41. 42.

43.

44.

45.

46.



47.

48. first octant

49.

50.


region




where

and



if necessary.

53. 54.

55. 56.

57.

58.

Average Value


over the region

59.


60.


61.


62.


63.


64.




where







where

and




y

x

y

x

Tx, y 20 4x 2 y 2 ,

y

x

y

x

fx, y 100x 0.6 y 0.4 ,

0, 0 , , 0 , , , 0,

R:

fx, y sen x y

0, 0 , 0, 1 , 1, 1

R:

fx, y e x y 0, 0 , 1, 0 , 1, 1

R:

fx, y

1

x

y

0, 0 , 2, 0 , 2, 2 , 0, 2

R:

f x, y x 2 y 2 0, 0 , 5, 0 , 5, 3 , 0, 3

R:

fx, y

2xy

0, 0 , 4, 0 , 4, 2 , 0, 2

R:

fx, y

x

R.

f x, y

2

0

2

12x 2

y cos y dy dx

1

0

arccos y

0


3

0

1

y 3

1

1 x 4 dx dy

2

2

4 x 2

4 x 2 4 y 2 dy dx

ln 10

0

10

e x 1

ln y dy dx

1

0

12

y 2

e x2 dx dy

c > 0.

b > 0,

a > 0,

xa yb zc 1,

0 R f x, y dA 1.

R

0 fx, y 1

f

z ln 1 x y , z 0, y 0, x 0, x 4 y

z

2

1 x 2 y 2, z 0, y 0, x 0, y 0.5x 1

x 2 9 y, z 2 9 y,

z 9 x 2 y 2 , z 0

z x 2 y 2 , z 18 x 2 y 2

z x 2 2y 2 , z 4y

z sin 2 x, z 0, 0 x , 0 y 5

z x 2 y 2 , x 2 y 2 4, z 0

z = 2x

y

x

4

2

−2

−2

1

2

1

z

z = x 2 + y 2

z = 4 − x 2 − y 2

z = 4 − 2x

y

x

4

2

2

z

z

1

1 y 2, x 0, x 2, y 0

z x y, x 2 y 2 4,

y 4 x 2 , z 4 x 2 ,

x 2 z 2 1, y 2 z 2 1,


CAS






Explain.


States, and let



(a)

(b)


reasoning.

a) b)

c) d)





R

f x, y dy dx R

f

R

2

0

x

0

fx, y dy dx

2

0

3

x

fx, y dy dx

2

0

y

0

fx, y dy dx

2

0

3

0

fx, y dy dx

R

fx, y dA

R

dA

R

fx, y dA

R.

x, y

fx, y

R

R fx, y dA? R,

x, y

f x, y

k

B.

xy-

R


Rf x, y dA

RdA

Rf x, y dA

R f x, y dA?

sen

sen

37. first octant

38. first octant

39. first octant

40.




41. 42.

43.

44.

45.

46.



47.

48. first octant

49.

50.


region




where

and



if necessary.

53. 54.

55. 56.

57.

58.

Average Value


over the region

59.


60.


61.


62.


63.


64.




where







where

and




y

x

y

x

Tx, y 20 4x 2 y 2 ,

y

x

y

x

fx, y 100x 0.6 y 0.4 ,

0, 0 , , 0 , , , 0,

R:

fx, y sen x y

0, 0 , 0, 1 , 1, 1

R:

fx, y e x y 0, 0 , 1, 0 , 1, 1

R:

fx, y

1

x

y

0, 0 , 2, 0 , 2, 2 , 0, 2

R:

f x, y x 2 y 2 0, 0 , 5, 0 , 5, 3 , 0, 3

R:

fx, y

2xy

0, 0 , 4, 0 , 4, 2 , 0, 2

R:

fx, y

x

R.

f x, y

2

0

2

12x 2

y cos y dy dx

1

0

arccos y

0


3

0

1

y 3

1

1 x 4 dx dy

2

2

4 x 2

4 x 2 4 y 2 dy dx

ln 10

0

10

e x 1

ln y dy dx

1

0

12

y 2

e x2 dx dy

c > 0.

b > 0,

a > 0,

xa yb zc 1,

0 R f x, y dA 1.

R

0 fx, y 1

f

z ln 1 x y , z 0, y 0, x 0, x 4 y

z

2

1 x 2 y 2, z 0, y 0, x 0, y 0.5x 1

x 2 9 y, z 2 9 y,

z 9 x 2 y 2 , z 0

z x 2 y 2 , z 18 x 2 y 2

z x 2 2y 2 , z 4y

z sin 2 x, z 0, 0 x , 0 y 5

z x 2 y 2 , x 2 y 2 4, z 0

z = 2x

y

x

4

2

−2

−2

1

2

1

z

z = x 2 + y 2

z = 4 − x 2 − y 2

z = 4 − 2x

y

x

4

2

2

z

z

1

1 y 2, x 0, x 2, y 0

z x y, x 2 y 2 4,

y 4 x 2 , z 4 x 2 ,

x 2 z 2 1, y 2 z 2 1,


CAS






Explain.


States, and let



(a)

(b)


reasoning.

a) b)

c) d)





R

fx, y dy dx R

f

R

2

0

x

0

fx, y dy dx

2

0

3

x

fx, y dy dx

2

0

y

0

fx, y dy dx

2

0

3

0

fx, y dy dx

R

fx, y dA

R

dA

R

fx, y dA

R.

x, y

fx, y

R

R fx, y dA? R,

x, y

f x, y

k

B.

xy-

R


CAS

37. first octant

38. first octant

39. first octant

40.




41. 42.

43.

44.

45.

46.



47.

48. first octant

49.

50.


region




where

and



if necessary.

53. 54.

55. 56.

57.

58.

Average Value


over the region

59.


60.


61.


62.


63.


64.




where







where

and




y

x

y

x

Tx, y 20 4x 2 y 2 ,

y

x

y

x

fx, y 100x 0.6 y 0.4 ,

0, 0 , , 0 , , , 0,

R:

fx, y sen x y

0, 0 , 0, 1 , 1, 1

R:

fx, y e x y 0, 0 , 1, 0 , 1, 1

R:

fx, y

1

x

y

0, 0 , 2, 0 , 2, 2 , 0, 2

R:

f x, y x 2 y 2 0, 0 , 5, 0 , 5, 3 , 0, 3

R:

fx, y

2xy

0, 0 , 4, 0 , 4, 2 , 0, 2

R:

fx, y

x

R.

f x, y

2

0

2

12x 2

y cos y dy dx

1

0

arccos y

0


3

0

1

y 3

1

1 x 4 dx dy

2

2

4 x 2

4 x 2 4 y 2 dy dx

ln 10

0

10

e x 1

ln y dy dx

1

0

12

y 2

e x2 dx dy

c > 0.

b > 0,

a > 0,

xa yb zc 1,

0 R f x, y dA 1.

R

0 fx, y 1

f

z ln 1 x y , z 0, y 0, x 0, x 4 y

z

2

1 x 2 y 2, z 0, y 0, x 0, y 0.5x 1

x 2 9 y, z 2 9 y,

z 9 x 2 y 2 , z 0

z x 2 y 2 , z 18 x 2 y 2

z x 2 2y 2 , z 4y

z sin 2 x, z 0, 0 x , 0 y 5

z x 2 y 2 , x 2 y 2 4, z 0

z = 2x

y

x

4

2

−2

−2

1

2

1

z

z = x 2 + y 2

z = 4 − x 2 − y 2

z = 4 − 2x

y

x

4

2

2

z

z

1

1 y 2, x 0, x 2, y 0

z x y, x 2 y 2 4,

y 4 x 2 , z 4 x 2 ,

x 2 z 2 1, y 2 z 2 1,


CAS






Explain.


States, and let



(a)

(b)


reasoning.

a) b)

c) d)





R

fx, y dy dx R

f

R

2

0

x

0

f x, y dy dx

2

0

3

x

f x, y dy dx

2

0

y

0

f x, y dy dx

2

0

3

0

f x, y dy dx

R

fx, y dA

R

dA

R

fx, y dA

R.

x, y

fx, y

R

R f x, y dA?

R,

x, y

f x, y

k

B.

xy-

R


sen

37. first octant

38. first octant

39. first octant

40.




41. 42.

43.

44.

45.

46.



47.

48. first octant

49.

50.


region




where

and



if necessary.

53. 54.

55. 56.

57.

58.

Average Value


over the region

59.


60.


61.


62.


63.


64.




where







where

and




y

x

y

x

Tx, y 20 4x 2 y 2 ,

y

x

y

x

fx, y 100x 0.6 y 0.4 ,

0, 0 , , 0 , , , 0,

R:

fx, y sen x y

0, 0 , 0, 1 , 1, 1

R:

fx, y e x y 0, 0 , 1, 0 , 1, 1

R:

fx, y

1

x

y

0, 0 , 2, 0 , 2, 2 , 0, 2

R:

f x, y x 2 y 2 0, 0 , 5, 0 , 5, 3 , 0, 3

R:

fx, y

2xy

0, 0 , 4, 0 , 4, 2 , 0, 2

R:

fx, y

x

R.

f x, y

2

0

2

1 2 x 2

y cos y dy dx

1

0

arccos y

0


3

0

1

y 3

1

1 x 4 dx dy

2

2

4 x 2

4 x 2 4 y 2 dy dx

ln 10

0

10

e x 1

ln y dy dx

1

0

12

y 2

e x2 dx dy

c > 0.

b > 0,

a > 0,

xa yb zc 1,

0 R f x, y dA 1.

R

0 fx, y 1

f

z ln 1 x y , z 0, y 0, x 0, x 4 y

z

2

1 x 2 y 2, z 0, y 0, x 0, y 0.5x 1

x 2 9 y, z 2 9 y,

z 9 x 2 y 2 , z 0

z x 2 y 2 , z 18 x 2 y 2

z x 2 2y 2 , z 4y

z sin 2 x, z 0, 0 x , 0 y 5

z x 2 y 2 , x 2 y 2 4, z 0

z = 2x

y

x

4

2

−2

−2

1

2

1

z

z = x 2 + y 2

z = 4 − x 2 − y 2

z = 4 − 2x

y

x

4

2

2

z

z

1

1 y 2, x 0, x 2, y 0

z x y, x 2 y 2 4,

y 4 x 2 , z 4 x 2 ,

x 2 z 2 1, y 2 z 2 1,


CAS






Explain.


States, and let



(a)

(b)


reasoning.

a) b)

c) d)





R

fx, y dy dx R

f

R

2

0

x

0

fx, y dy dx

2

0

3

x

fx, y dy dx

2

0

y

0

fx, y dy dx

2

0

3

0

fx, y dy dx

R

fx, y dA

R

dA

R

fx, y dA

R.

x, y

fx, y

R

R f x, y dA?

R,

x, y

f x, y

k

B.

xy-

R



Probabilidad

Una función de densidad de probabilidad conjunta

de las variables aleatorias continuas x y y es una función

ƒ(x, y) que satisface las propiedades siguientes.

a) para todo b)

c)

En los ejercicios 73 a 76, mostrar que la función es una función

de densidad de probabilidad conjunta y hallar la probabilidad

requerida.

73.

74.

75.

76.

77. Aproximación En una fábrica de cemento la base de un montón

de arena es rectangular con dimensiones aproximadas de 20

por 30 metros. Si la base se coloca en el plano xy con un vértice

en el origen, las coordenadas de la superficie del montón son

(5, 5, 3), (15, 5, 6), (25, 5, 4), (5, 15, 2), (15, 15, 7) y (25, 15, 3).

Aproximar el volumen de la arena en el montón.

78. Programación Considerar una función continua sobre

la región rectangular R con vértices (a, c), (b, c), (a, d) y (b, d)

donde y Dividir los intervalos y en

y

subintervalos, de modo que los subintervalos en una dirección

dada sean de igual longitud. Escribir un programa para que

una herramienta de graficación calcule la suma

donde

es el centro de un rectángulo representativo en

Aproximación

En los ejercicios 79 a 82, a) utilizar un sistema

algebraico por computadora y aproximar la integral iterada, y

b) utilizar el programa del ejercicio 78 para aproximar la integral

iterada con los valores dados de m y n.

79. 80.

81. 82.

Aproximación

En los ejercicios 83 y 84, determinar qué valor

aproxima mejor el volumen del sólido entre el plano xy y la función

sobre la región. (Hacer la elección con base en un dibujo del sólido

y sin realizar ningún cálculo.)

83.

cuadrado con vértices

a) b) 600 c) 50 d) 125 e) 1 000

84.

círculo acotado por

a) 50 b) 500 c) d) 5 e) 5 000


En los ejercicios 85 y 86, determinar si la



85. El volumen de la esfera está dado por la integral

86. Si para todo en R, y ƒ y g son continuas

en R, entonces

87. Sea Hallar el valor promedio de f en el intervalo

88. Hallar Sugerencia: Evaluar

89. Determinar la región R en el plano xy que maximiza el valor de

90. Determinar la región R en el plano xy que minimiza el valor de

91. Hallar (Sugerencia: Convertir la

integral en una integral doble.)

92. Utilizar un argumento geométrico para mostrar que

3

0

9y 2

0

9 x 2 y 2 dx dy 9

2 .

2 0 arctanx arctan x dx.

Probability

A joint density function of the continuous random

variables and is a function satisfying the following

properties.

(a) for all (b)

(c)

In Exercises 73–76, show that the function is a joint density

function and find the required probability.

73.

74.

75.

76.

77. Approximation The base of a pile of sand at a cement plant is

rectangular with approximate dimensions of 20 meters by

30 meters. If the base is placed on the plane with one vertex

at the origin, the coordinates on the surface of the pile are

and

Approximate the volume of sand in the pile.

78. Programming Consider a continuous function over

the rectangular region with vertices and

where and Partition the intervals and

into and subintervals, so that the subintervals in a

given direction are of equal length. Write a program for a

graphing utility to compute the sum

where

is the center of a representative rectangle in

Approximation

In Exercises 79–82, (a) use a computer algebra

system to approximate the iterated integral, and (b) use the

program in Exercise 78 to approximate the iterated integral for

the given values of

and

79. 80.

81. 82.

Approximation

In Exercises 83 and 84, determine which value

best approximates the volume of the solid between the

-plane

and the function over the region. (Make your selection on the

basis of a sketch of the solid and not by performing any

calculations.)

83.


(a) (b) 600 (c) 50 (d) 125 (e) 1000

84.

circle bounded by

(a) 50 (b) 500 (c) (d) 5 (e) 5000

True or False?




85. The volume of the sphere is given by the

integral

86. If for all in and both and are

continuous over

then

87. Let Find the average value of on the interval

88. Find Hint: Evaluate

89. Determine the region in the -plane that maximizes the

value of

90. Determine the region in the -plane that minimizes the

value of

91. Find (Hint: Convert the integral

to a double integral.)

92. Use a geometric argument to show that

3

0

9 y 2

0

9 x 2 y 2 dx dy

9

2 .

2

0 arctan x arctan x dx.

R x2 y 2 4 dA.

xy

R

R 9 x2 y 2 dA.

xy

R

2

1

e xy dy.

0

e x

e 2x

x

dx.

0, 1 .

f

f x

x

1 e t2 dt.

R fx, y dA

R gx, y dA.

R, g

f

R,

x, y

f x, y

g x, y

V 8

1

0

1

0

1 x 2 y 2 dx dy.

x 2 y 2 z 2 1

500

x 2 y 2 9

R:

fx, y x 2 y 2

200

0, 0 , 4, 0 , 4, 4 , 0, 4

R:

fx, y

4x

xy

m 6, n 4

m 4, n 8

4

1

2

1

x 3

y 3 dx dy

6

4

2

0

y cos

x dx dy

m 10, n 20

m 4, n 8

2

0

4

0

20e x3 8 dy dx

1

0

2

0

sen x y dy dx

n.

m

R.

x i , y j

n

i 1

m

j 1

fx i , y j A i b

a

d

c

fx, y dA

n

m

c, d

a, b

c < d.

a < b

b, d ,

a, d ,

b, c ,

a, c ,

R

fx, y

25, 15, 3 .

15, 15, 7 ,

5, 15, 2 ,

25, 5, 4 ,

15, 5, 6 ,

5, 5, 3 ,

xy-

P 0 x 1, x y 1

fx, y

e x y ,

0,

x 0, y 0

elsewhere

P 0 x 1, 4 y 6

fx, y

1

27 9 x y ,

0,

0 x 3, 3 y 6

elsewhere

P 0 x 1, 1 y 2

fx, y

1

4 xy,

0,

0 x 2, 0 y 2

elsewhere

P 0 x 2, 1 y 2

fx, y

1

10 ,

0,

0 x 5, 0 y 2

elsewhere

P[ x, y R]

R

fx, y dA

fx, y dA 1

x, y

f x, y ~ 0

fx, y

y

x


72. The following iterated integrals represent the solution to the

same problem. Which iterated integral is easier to evaluate?


4

0

2

x 2

sen y 2 dy dx

2

0

2y

0

sen y 2 dx dy

CAPSTONE

CAS

93. Evaluate where and are

positive.

94. Show that if there does not exist a real-valued function

such that for all in the closed interval

These problems were composed by the Committee on the Putnam Prize

Competition. © The Mathematical Association of America. All rights reserved.

ux 1

1

x uyuy x dy. 0 x 1,

x

u

> 1 2

b

a

a

0 b

0 emax b2 x 2 , a 2 y 2 dy dx,


Probability



properties.

(a) for all (b)

(c)



73.

74.

75.

76.





and








where


Approximation




the given values of

and

79. 80.

81. 82.

Approximation



-plane



calculations.)

83.


(a) (b) 600 (c) 50 (d) 125 (e) 1000

84.

circle bounded by

(a) 50 (b) 500 (c) (d) 5 (e) 5000

True or False?





integral


continuous over

then




value of


value of




3

0

9 y 2

0

9 x 2 y 2 dx dy

9

2 .

2


R x2 y 2 4 dA.

xy

R

R 9 x2 y 2 dA.

xy

R

2

1

e xy dy.

0

e x

e 2x

x

dx.

0, 1 .

f

f x

x

1 e t2 dt.

R fx, y dA

R gx, y dA.

R, g

f

R,

x, y

f x, y

g x, y

V 8

1

0

1

0

1 x 2 y 2 dx dy.

x 2 y 2 z 2 1

500

x 2 y 2 9

R:

fx, y x 2 y 2

200

0, 0 , 4, 0 , 4, 4 , 0, 4

R:

fx, y

4x

xy

m 6, n 4

m 4, n 8

4

1

2

1

x 3

y 3 dx dy

6

4

2

0

y cos

x dx dy

m 10, n 20

m 4, n 8

2

0

4

0

20e x3 8 dy dx

1

0

2

0

sen x y dy dx

n.

m

R.

x i , y j

n

i 1

m

j 1

fx i , y j A i b

a

d

c

fx, y dA

n

m

c, d

a, b

c < d.

a < b

b, d ,

a, d ,

b, c ,

a, c ,

R

fx, y

25, 15, 3 .

15, 15, 7 ,

5, 15, 2 ,

25, 5, 4 ,

15, 5, 6 ,

5, 5, 3 ,

xy-

P 0 x 1, x y 1

fx, y

e x y ,

0,

x 0, y 0

elsewhere

P 0 x 1, 4 y 6

fx, y

1

27 9 x y ,

0,

0 x 3, 3 y 6

elsewhere

P 0 x 1, 1 y 2

fx, y

1

4 xy,

0,

0 x 2, 0 y 2

elsewhere

P 0 x 2, 1 y 2

fx, y

1

10 ,

0,

0 x 5, 0 y 2

elsewhere

P[ x, y R]

R

fx, y dA

fx, y dA 1

x, y

f x, y ~ 0

fx, y

y

x





4

0

2

x 2

sen y 2 dy dx

2

0

2y

0

sen y 2 dx dy

CAPSTONE

CAS


positive.





ux 1

1

x uyuy x dy. 0 x 1,

x

u

> 1 2

b

a

a

0 b



2

1

e xy dy.

0

e x e 2x

x

dx.

0, 1.

f x x 1 e t2 dt.

Probability



properties.

(a) for all (b)

(c)



73.

74.

75.

76.





and








where


Approximation




the given values of

and

79. 80.

81. 82.

Approximation



-plane



calculations.)

83.


(a) (b) 600 (c) 50 (d) 125 (e) 1000

84.

circle bounded by

(a) 50 (b) 500 (c) (d) 5 (e) 5000

True or False?





integral


continuous over

then




value of


value of




3

0

9 y 2

0

9 x 2 y 2 dx dy

9

2 .

2


R x2 y 2 4 dA.

xy

R

R 9 x2 y 2 dA.

xy

R

2

1

e xy dy.

0

e x

e 2x

x

dx.

0, 1 .

f

f x

x

1 e t2 dt.

R f x, y dA

R g x, y dA.

R, g

f

R,

x, y

f x, y

g x, y

V 8

1

0

1

0

1 x 2 y 2 dx dy.

x 2 y 2 z 2 1

500

x 2 y 2 9

R:

fx, y x 2 y 2

200

0, 0 , 4, 0 , 4, 4 , 0, 4

R:

fx, y

4x

xy

m 6, n 4

m 4, n 8

4

1

2

1

x 3

y 3 dx dy

6

4

2

0

y cos

x dx dy

m 10, n 20

m 4, n 8

2

0

4

0

20e x3 8 dy dx

1

0

2

0

sen x y dy dx

n.

m

R.

x i , y j

n

i 1

m

j 1

fx i , y j A i b

a

d

c

fx, y dA

n

m

c, d

a, b

c < d.

a < b

b, d ,

a, d ,

b, c ,

a, c ,

R

fx, y

25, 15, 3 .

15, 15, 7 ,

5, 15, 2 ,

25, 5, 4 ,

15, 5, 6 ,

5, 5, 3 ,

xy-

P 0 x 1, x y 1

fx, y

e x y ,

0,

x 0, y 0

elsewhere

P 0 x 1, 4 y 6

fx, y

1

27 9 x y ,

0,

0 x 3, 3 y 6

elsewhere

P 0 x 1, 1 y 2

fx, y

1

4 xy,

0,

0 x 2, 0 y 2

elsewhere

P 0 x 2, 1 y 2

fx, y

1

10 ,

0,

0 x 5, 0 y 2

elsewhere

P[ x, y R]

R

fx, y dA

fx, y dA 1

x, y

f x, y ~ 0

fx, y

y

x





4

0

2

x 2

sen y 2 dy dx

2

0

2y

0

sen y 2 dx dy

CAPSTONE

CAS


positive.





ux 1

1

x uyuy x dy. 0 x 1,

x

u

> 1 2

b

a

a

0 b



x, y

f x, y ≤ gx, y

V 8

1

0

1

0

1 x 2 y 2 dx dy.

x 2 y 2 z 2 1

500

x 2 y 2 9

R:

f x, y x 2 y 2

200

0, 0, 4, 0, 4, 4, 0, 4

R:

f x, y 4x

m 6, n 4

m 4, n 8

4

1

2

1

x 3 y 3 dx dy

6

4

2

0

y cos x dx dy

m 10, n 20

m 4, n 8

2

0

4

0

20e x3 8 dy dx

1

0

2

0

sin x y dy dx

R.

x i , y j

n

i1 m

j1

f x i , y j A i

b

a

d

c

f x, y dA

n

m

c, d

a, b

c < d.

a < b

f x, y

P0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1

f x, y e xy ,

0,

x ≥ 0, y ≥ 0

elsewhere

P0 ≤ x ≤ 1, 4 ≤ y ≤ 6

f x, y 1

279 x y,

0,

0 ≤ x ≤ 3, 3 ≤ y ≤ 6

elsewhere

P0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2

f x, y 1

4 xy,

0,

0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2

elsewhere

P0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2

f x, y 1

10 ,

0,

0 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 2

elsewhere

P[x, y R] R f x, y dA

f x, y dA 1

x, y

f x, y ≥ 0

en cualquier otro punto




Para discusión

72. Las siguientes integrales iteradas representan la solución al

mismo problema. ¿Cuál integral iterada es más fácil de evaluar?


Probability



properties.

(a) for all (b)

(c)



73.

74.

75.

76.





and








where


Approximation




the given values of

and

79. 80.

81. 82.

Approximation



-plane



calculations.)

83.


(a) (b) 600 (c) 50 (d) 125 (e) 1000

84.

circle bounded by

(a) 50 (b) 500 (c) (d) 5 (e) 5000

True or False?





integral


continuous over

then




value of


value of




3

0

9 y 2

0

9 x 2 y 2 dx dy

9

2 .

2


R x2 y 2 4 dA.

xy

R

R 9 x2 y 2 dA.

xy

R

2

1

e xy dy.

0

e x

e 2x

x

dx.

0, 1 .

f

f x

x

1 e t2 dt.

R fx, y dA

R gx, y dA.

R, g

f

R,

x, y

f x, y

g x, y

V 8

1

0

1

0

1 x 2 y 2 dx dy.

x 2 y 2 z 2 1

500

x 2 y 2 9

R:

fx, y x 2 y 2

200

0, 0 , 4, 0 , 4, 4 , 0, 4

R:

fx, y

4x

xy

m 6, n 4

m 4, n 8

4

1

2

1

x 3

y 3 dx dy

6

4

2

0

y cos

x dx dy

m 10, n 20

m 4, n 8

2

0

4

0

20e x3 8 dy dx

1

0

2

0

sen x y dy dx

n.

m

R.

x i , y j

n

i 1

m

j 1

fx i , y j A i b

a

d

c

fx, y dA

n

m

c, d

a, b

c < d.

a < b

b, d ,

a, d ,

b, c ,

a, c ,

R

fx, y

25, 15, 3 .

15, 15, 7 ,

5, 15, 2 ,

25, 5, 4 ,

15, 5, 6 ,

5, 5, 3 ,

xy-

P 0 x 1, x y 1

fx, y

e x y ,

0,

x 0, y 0

elsewhere

P 0 x 1, 4 y 6

fx, y

1

27 9 x y ,

0,

0 x 3, 3 y 6

elsewhere

P 0 x 1, 1 y 2

fx, y

1

4 xy,

0,

0 x 2, 0 y 2

elsewhere

P 0 x 2, 1 y 2

fx, y

1

10 ,

0,

0 x 5, 0 y 2

elsewhere

P[ x, y R]

R

fx, y dA

fx, y dA 1

x, y

f x, y ~ 0

fx, y

y

x





4

0

2

x 2

sen y 2 dy dx

2

0

2y

0

sen y 2 dx dy

CAPSTONE

CAS


positive.





ux 1

1

x uyuy x dy. 0 x 1,

x

u

> 1 2

b

a

a

0 b



CAS


93. Evaluar donde a y b son positivos.

94. Probar que si no existe una función real u tal que, para

todo x en el intervalo cerrado ,

Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize

Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

Probability



properties.

(a) for all (b)

(c)



73.

74.

75.

76.





and








where


Approximation




the given values of

and

79. 80.

81. 82.

Approximation



-plane



calculations.)

83.


(a) (b) 600 (c) 50 (d) 125 (e) 1000

84.

circle bounded by

(a) 50 (b) 500 (c) (d) 5 (e) 5000

True or False?





integral


continuous over

then




value of


value of




3

0

9 y 2

0

9 x 2 y 2 dx dy

9

2 .

2


R x2 y 2 4 dA.

xy

R

R 9 x 2 y 2 dA.

xy

R

2

1

e xy dy.

0

e x

e 2x

x

dx.

0, 1 .

f

f x

x

1 e t2 dt.

R fx, y dA

R gx, y dA.

R, g

f

R,

x, y

f x, y

g x, y

V 8

1

0

1

0

1 x 2 y 2 dx dy.

x 2 y 2 z 2 1

500

x 2 y 2 9

R:

fx, y x 2 y 2

200

0, 0 , 4, 0 , 4, 4 , 0, 4

R:

fx, y

4x

xy

m 6, n 4

m 4, n 8

4

1

2

1

x 3

y 3 dx dy

6

4

2

0

y cos

x dx dy

m 10, n 20

m 4, n 8

2

0

4

0

20e x3 8 dy dx

1

0

2

0

sen x y dy dx

n.

m

R.

x i , y j

n

i 1

m

j 1

fx i , y j A i b

a

d

c

fx, y dA

n

m

c, d

a, b

c < d.

a < b

b, d ,

a, d ,

b, c ,

a, c ,

R

fx, y

25, 15, 3 .

15, 15, 7 ,

5, 15, 2 ,

25, 5, 4 ,

15, 5, 6 ,

5, 5, 3 ,

xy-

P 0 x 1, x y 1

fx, y

e x y ,

0,

x 0, y 0

elsewhere

P 0 x 1, 4 y 6

fx, y

1

27 9 x y ,

0,

0 x 3, 3 y 6

elsewhere

P 0 x 1, 1 y 2

fx, y

1

4 xy,

0,

0 x 2, 0 y 2

elsewhere

P 0 x 2, 1 y 2

fx, y

1

10 ,

0,

0 x 5, 0 y 2

elsewhere

P[ x, y R]

R

fx, y dA

fx, y dA 1

x, y

f x, y ~ 0

fx, y

y

x





4

0

2

x 2

sen y 2 dy dx

2

0

2y

0

sen y 2 dx dy

CAPSTONE

S


positive.





ux 1

1

x u y u y x dy. 0 x 1,

x

u

> 1 2

b

a

a

0 b



Probability



properties.

(a) for all (b)

(c)



73.

74.

75.

76.





and








where


Approximation




the given values of

and

79.

81.

Approximation In Exercises 83

best approximates the volume of

and the function over the region

basis of a sketch of the solid

calculations.)

83.


(a) (b) 600 (c) 50

84.

circle bounded by

(a) 50 (b) 500 (c)

True or False?

In Exercises 85 a

statement is true or false. If it is


85. The volume of the sphere

integral

86. If for all

continuous over

then

87. Let Find the a

88. Find

89. Determine the region in th

value of

90. Determine the region in th

value of

91. Find


92. Use a geometric argument to s

3

0

9 y 2

0

9 x 2 y 2 dx d

2

0 arctan x arctan x

R x2 y 2 4 dA.

R

R 9 x2 y 2 dA.

R

0

e x

e 2x

x

dx.

0, 1 .

f x

x

1 e t2 dt.

R fx

R, x,

f x, y

g x, y

V 8

1

0

1

0

1 x 2 y 2 dx

x 2

500

x 2 y 2

R:

fx, y x 2 y 2

200

0, 0 ,

R:

fx, y

4x

m 4, n 8

6

4

2

0

y cos

x dx dy

m 4, n 8

1

0

2

0

sen x y dy dx

n.

m

R.

x i , y j

n

i 1

m

j 1

fx i , y j A i b

a

d

c

fx, y dA

n

m

c, d

a, b

c < d.

a < b

b, d ,

a, d ,

b, c ,

a, c ,

R

fx, y

25, 15, 3 .

15, 15, 7 ,

5, 15, 2 ,

25, 5, 4 ,

15, 5, 6 ,

5, 5, 3 ,

xy-

P 0 x 1, x y 1

fx, y

e x y ,

0,

x 0, y 0

elsewhere

P 0 x 1, 4 y 6

fx, y

1

27 9 x y ,

0,

0 x 3, 3 y 6

elsewhere

P 0 x 1, 1 y 2

fx, y

1

4 xy,

0,

0 x 2, 0 y 2

elsewhere

P 0 x 2, 1 y 2

fx, y

1

10 ,

0,

0 x 5, 0 y 2

elsewhere

P[ x, y R]

R

fx, y dA

fx, y dA 1

x, y

f x, y ~ 0

fx, y

y

x

14.2 Double In




4

0

2

x 2

sen y 2 dy dx

2

0

2y

0

sen y 2 dx dy

CAPSTONE

CAS

93. Evaluate

positive.

94. Show that if there doe

tion such that for all in t

These problems were composed by th

Competition. © The Mathematical Associa

u x 1

1

x uyuy

x

x

u

> 1 2

a

0 b

0 emax b2 x 2 , a 2 y 2

PUTNAM EXAM CHALLEN

0 ≤ x ≤ 1

> 1 2

Probability



properties.

(a) for all (b)

(c)



73.

74.

75.

76.





and








where


Approximation




the given values of

and

79. 80.

81. 82.

Approximation



-plane



calculations.)

83.


(a) (b) 600 (c) 50 (d) 125 (e) 1000

84.

circle bounded by

(a) 50 (b) 500 (c) (d) 5 (e) 5000

True or False?





integral


continuous over

then




value of


value of




3

0

9 y 2

0

9 x 2 y 2 dx dy

9

2 .

2


R x2 y 2 4 dA.

xy

R

R 9 x2 y 2 dA.

xy

R

2

1

e xy dy.

0

e x

e 2x

x

dx.

0, 1 .

f

f x

x

1 e t2 dt.

R fx, y dA

R gx, y dA.

R, g

f

R,

x, y

f x, y

g x, y

V 8

1

0

1

0

1 x 2 y 2 dx dy.

x 2 y 2 z 2 1

500

x 2 y 2 9

R:

fx, y x 2 y 2

200

0, 0 , 4, 0 , 4, 4 , 0, 4

R:

fx, y

4x

xy

m 6, n 4

m 4, n 8

4

1

2

1

x 3

y 3 dx dy

6

4

2

0

y cos

x dx dy

m 10, n 20

m 4, n 8

2

0

4

0

20e x3 8 dy dx

1

0

2

0

sen x y dy dx

n.

m

R.

x i , y j

n

i 1

m

j 1

fx i , y j A i b

a

d

c

fx, y dA

n

m

c, d

a, b

c < d.

a < b

b, d ,

a, d ,

b, c ,

a, c ,

R

fx, y

25, 15, 3 .

15, 15, 7 ,

5, 15, 2 ,

25, 5, 4 ,

15, 5, 6 ,

5, 5, 3 ,

xy-

P 0 x 1, x y 1

fx, y

e x y ,

0,

x 0, y 0

elsewhere

P 0 x 1, 4 y 6

fx, y

1

27 9 x y ,

0,

0 x 3, 3 y 6

elsewhere

P 0 x 1, 1 y 2

fx, y

1

4 xy,

0,

0 x 2, 0 y 2

elsewhere

P 0 x 2, 1 y 2

fx, y

1

10 ,

0,

0 x 5, 0 y 2

elsewhere

P[ x, y R]

R

fx, y dA

fx, y dA 1

x, y

f x, y ~ 0

f x, y

y

x





4

0

2

x 2

sen y 2 dy dx

2

0

2y

0

sen y 2 dx dy

CAPSTONE

CAS


positive.





ux 1

1

x uyuy x dy. 0 x 1,

x

u

> 1 2

b

a

a

0 b



e máx

sen


14.3 Cambio de variables: coordenadas polares

■

Expresar y evaluar integrales dobles en coordenadas polares.

Integrales dobles en coordenadas polares

Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de evaluar en forma polar que en forma

rectangular. Esto es así especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardioides y

pétalos de una curva rosa, y de integrandos que contienen x 2 y 2 .

En la sección 10.4 se vio que las coordenadas polares r, de un punto están relacionadas

con las coordenadas rectangulares (x, y) del punto, de la manera siguiente.

x r cos y y r sin sen

r y tan y 2 x 2 y 2 x

EJEMPLO 1

Utilizar coordenadas polares para describir una región

Utilizar coordenadas polares para describir cada una de las regiones mostradas en la figura

14.24.

y

y

4

2

2

1

−4

−2

2 4

x

1 2

x

−2

−4

a)

Figura 14.24

b)

Solución

π

2

a) La región R es un cuarto del círculo de radio 2. Esta región se describe en coordenadas

polares como

θ 2

R r, : 0 ≤ r ≤ 2,

0 ≤

≤

2.

∆r

∆θ

R

θ 1

(r i

,

r 2 θ i )

r 1

0

b) La región R consta de todos los puntos comprendidos entre los círculos concéntricos de

radios 1 y 3. Esta región se describe en coordenadas polares como

R r, : 1 ≤ r ≤ 3,

0 ≤

Las regiones del ejemplo 1 son casos especiales de sectores polares

≤ 2.

Sector polar

Figura 14.25

R r, : r 1 ≤ r ≤ r 2 ,

como el mostrado en la figura 14.25.

1 ≤

≤

2

Sector polar.

SECCIÓN 14.3 Cambio de variables: coordenadas polares 1005

π

2

(r i

, θ i )

β

α

R i

g 1

∆θi

∆r i

g 2

La red o cuadrícula polar se sobrepone

sobre la región R

Figura 14.26

0

Para definir una integral doble de una función continua z fx, y en coordenadas

polares, considerar una región R limitada o acotada por las gráficas de r g 1 y

r g 2 y las rectas y En lugar de hacer una partición de R en rectángulos

pequeños, se utiliza una partición en sectores polares pequeños. A R se le superpone una

red o cuadrícula polar formada por rayos o semirrectas radiales y arcos circulares, como

se muestra en la figura 14.26. Los sectores polares R i

que se encuentran completamente

dentro de R forman una partición polar interna , cuya norma es la longitud de la

diagonal más larga en los n sectores polares.

Considerar un sector polar específico R i , como se muestra en la figura 14.27. Se puede

mostrar (ver ejercicio 75) que el área de R i es

A i r i r i i

Área de .

donde r i r y i 2 1. Esto implica que el volumen del sólido de altura

fr i cos i , r i sin 2 r 1

seni

sobre es aproximadamente

fr i cos i , r i sen sin ir i r i i

y se tiene

R fx, y dA n

i1

R i

.

R i

fr i cos i , r isen

sin ir i r i i .

La suma de la derecha se puede interpretar como una suma de Riemann para f(r cos ,

r sen )r. La región R corresponde a una región S horizontalmente simple en el plano r,

como se muestra en la figura 14.28. Los sectores polares R i corresponden a los rectángulos

S y el área de S es r i i .

i , A i i Por tanto, el lado derecho de la ecuación corresponde

a la integral doble

S fr cos , r sen sin r dA.

A partir de esto, se puede aplicar el teorema 14.2 para escribir

R fx, y dA S fr cos , rsen

sin r dA

g

2

sen

a g 1

fr cos , r sin r dr d.

Esto sugiere el teorema siguiente, cuya demostración se verá en la sección 14.8.

π

2

θ 2

θ 1

β

θ

r = g 1

( θ)

r = g 2

( θ)

R i

r 1

r 2

S i

(r i

,

i ) 0

θ

α

(r i

, θi )

r

El sector polar es el conjunto de todos los

puntos r, tal que r 1 ≤ r ≤ r 2 y

1 ≤ ≤ 2.

Figura 14.27

R i

Región S horizontalmente simple

Figura 14.28


TEOREMA 14.3

CAMBIO DE VARIABLES A LA FORMA POLAR

Sea R una región plana que consta de todos los puntos (x, y) (r cos , r sen ) que satisfacen

las condiciones 0 g 1

() r g 2

(), , donde 0 ( ) 2. Si

g 1

y g 2

son continuas en [, ] y f es continua en R, entonces

R fx, y dA

g 2

g 1

fr cos , r sen sin r dr d.

EXPLORACIÓN

Volumen de un sector paraboloide

En la exploración de la página 997

se pidió resumir los diferentes

métodos hasta ahora estudiados

para calcular el volumen del sólido

limitado o acotado por el paraboloide

z a 2 x 2 y 2 ,

a > 0

y el plano xy. Ahora se conoce un

método más. Utilizarlo para encontrar

el volumen del sólido.

NOTA Si z f x, y es no negativa en R, entonces la integral del teorema 14.3 puede interpretarse

como el volumen de la región sólida entre la gráfica de ƒ y la región R. Cuando se usa la integral

en el teorema 14.3, asegurarse de no omitir el factor extra de r en el integrando.

■

La región R puede ser de dos tipos básicos, regiones r-simples y regiones -simples,


π

2

Límites o cotas fijas para θ:

θ = β

g α ≤ θ ≤ β

2

Límites o cotas variables para r:

0 ≤ g 1

( θ) ≤ r ≤ g 2

( θ)

∆θ

g 1

Región r-simple

Figura 14.29

θ = α

0

π

2

Límites o cotas variables para θ:

0 ≤ h 1

(r) ≤ θ ≤ h 2

(r)

h 2 Límites o cotas fijas para r:

r 1

≤ r ≤ r 2

h 1

∆r

0

r = r 1

r = r 2

Región -simple

EJEMPLO 2

Evaluar una integral usando coordenadas polares doble

R: 1 ≤ r ≤ 5

0 ≤ θ ≤ 2π

Regiónr-simple

Figura 14.30

π

2

R

2 3

0

Sea R la región anular comprendida entre los dos círculos x 2 y 2 1 y x 2 y 2 5.

Evaluar la integral R x 2 y dA.

Solución Los límites o cotas polares son 1 ≤ r ≤ 5 y 0 ≤ ≤ 2, como se muestra

en la figura 14.30. Además, x 2 r cos 2 y y r sin sen.

Por tanto, se tiene

R x 2 y dA

2

5

0 1

5

0 1

2

2

r 4

0 4 cos2

2

0

6 cos2

2

3 3 cos 2 55 1 sin sen

0 3

d

3

r 2 cos 2

r 3 cos 2 r 2 sin sen dr d

r 3

r sin r dr d

3 sin 5

sen

55 1

3

sen

3 sen sin 2

55 1

2 3

1

d

sen sin d

cos 2

0

6.


En el ejemplo 2, notar el factor extra de r en el integrando. Esto proviene de la fórmula

para el área de un sector polar. En notación diferencial, se puede escribir

dA r dr d

lo que indica que el área de un sector polar aumenta al alejarse del origen.

Superficie: z = 16 − x 2 − y 2

4

z

EJEMPLO 3

Cambio de variables a coordenadas polares

Utilizar las coordenadas polares para hallar el volumen de la región sólida limitada superiormente

por el hemisferio

z 16 x 2 y 2

Hemisferio que forma la superficie superior.

e inferiormente por la región circular R dada por

x

4

Figura 14.31

R: x 2 + y 2 ≤ 4

NOTA Para ver la ventaja de las

coordenadas polares en el ejemplo 3,

hay que tratar de evaluar la integral iterada

rectangular correspondiente

2

4y

2

2

4y 2 16 x 2 y 2 dx dy.

4

y

■

x 2 y 2 ≤ 4


Solución

Región circular que forma la superficie inferior.

En la figura 14.31 se puede ver que R tiene como límites o cotas

4 y 2 ≤ x ≤ 4 y 2 ,

y que 0 ≤ z ≤ 16 x 2 y 2 . En coordenadas polares, las cotas son

0 ≤ r ≤ 2

y

0 ≤

con altura z 16 x 2 y 2 16 r 2 . Por consiguiente, el volumen V está dado por

V R fx, y dA

≤ 2

2

2

0

16 r 2 r dr d

0

3

1 16 r 2 32 2

0

0

3

1 243 64 d

0

2

2

2 ≤ y ≤ 2

8 2

33

3

80

16 8 33

3

d

46.979.

TECNOLOGÍA Todo sistema algebraico por computadora que calcula integrales

dobles en coordenadas rectangulares también calcula integrales dobles en coordenadas

polares. La razón es que una vez que se ha formado la integral iterada, su valor no cambia

al usar variables diferentes. En otras palabras, si se usa un sistema algebraico por computadora

para evaluar

2

2

0 0

16 x 2 x dx dy

se deberá obtener el mismo valor que se obtuvo en el ejemplo 3.

Así como ocurre con coordenadas rectangulares, la integral doble

R dA

puede usarse para calcular el área de una región en el plano.


EJEMPLO 4

Hallar áreas de regiones polares

r = 3 cos 3θ

π

2

R: −

π π

6

≤ θ ≤

6

0 ≤ r ≤ 3 cos 3θ

θ = π

6

Utilizar una integral doble para hallar el área encerrada por la gráfica de r 3 cos 3.

Solución Sea R un pétalo de la curva mostrada en la figura 14.32. Esta región es

r-simple y los límites son los siguientes.

6 6

Límites o cotas fijas para .

3

0

0 r 3 cos 3

Por tanto, el área de un pétalo es

Límites o cotas variables para r.

Figura 14.32

θ = −π

6

1

3 A R

dA

9

2

9

4

6

6

6

6

6

6

0

r 2

2

6

6

3 cos 3

3 cos 3

0

r dr d

d

cos 2 3 d

1 cos 6 d

9

4

1

6 sen 6 6

6

3

4 .

Así, el área total es A 94.

π

2

θ = π

3

Como se ilustra en el ejemplo 4, el área de una región en el plano puede representarse

mediante

A

Si g 1 0, se obtiene

A

0

lo cual concuerda con el teorema 10.13.

Hasta ahora en esta sección, todos los ejemplos de integrales iteradas en forma polar

han sido de la forma

g 2

g 1

g 2

g 1

g 2

r dr d.

r dr d

fr cos , r sen sin r dr d

r 2

2 g 2

0

d

en donde el orden de integración es primero con respecto a r. Algunas veces se puede simplificar

el problema de integración cambiando el orden de integración, como se ilustra en

el ejemplo siguiente.

1

2 g 2 2 d

r =

π

3θ

Región -simple

Figura 14.33

1

π

R: 0 ≤ θ ≤

3r

1 ≤ r ≤ 2

2

θ = π

6

0

EJEMPLO 5

Cambio del orden de integración

Hallar el área de la región acotada superiormente por la espiral r 3 e inferiormente

por el eje polar, entre r 1 y r 2.

1 ≤ r ≤ 2 y 0 ≤ ≤

3r .

Solución La región se muestra en la figura 14.33. Las cotas o límites polares de la región son

Por tanto, el área de la región puede evaluarse como sigue.

2 3r

2

2

r

3 2 A r d dr 1 3 dr

1

1 3

10

3r

r dr

0


14.3 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 4 se muestra la región R para la integral

R fx, y dA. Decir si serían más convenientes coordenadas rectangulares

o polares para evaluar la integral.

1. y

2.

4

3

2

1

3. y

4.

En los ejercicios 5 a 8, utilizar las coordenadas polares para

describir la región mostrada.

5. y

6.

−8

7. y

8.

−4

En los ejercicios 9 a 16, evaluar la integral doble

y dibujar la región R.

−4

2

1

−4

cos

0 0

6

0 0

R

4

2

−2

−4

12

4

−4

4

2

−2

2 3 4

11. 3r 2 sen sin dr d 12.

R

2 4

4 8

9. r dr d

10.

4

x

x

x

x

−6

3

2

1

−1

−4

−4

y

R

1

−2

−2

sen

0 0

4 4

0 0

4

2

−4

R

−2

6

2

−2

y

y

4

2

−2

−4

r 2 dr d

y

2 3 4

2 4

R fr, dA,

r 2 sen sin cos dr d

2

4

x

x

x

x

13. 9 r 2 r dr d 14.

15. r dr d 16.

En los ejercicios 17 a 26, evaluar la integral iterada pasando a


17. y dx dy

18.

21. x 2 y 2 32 dy dx 22.

23. xy dy dx 24.

En los ejercicios 27 y 28, combinar la suma de las dos integrales

iteradas en una sola integral iterada pasando a coordenadas

polares. Evaluar la integral iterada resultante.

27.

28.

En los ejercicios 29 a 32, utilizar coordenadas polares para escribir

y evaluar la integral doble R fx, y dA.

29.

30.

31.

32.

2 3

0 2

2 1sin sen θ

0 0

a

00

2

3

00

2

0

0

2

0

0

a 2 y 2

19. x 2 y 2 dy dx 20.

25.

26.

2

1

2

0

1

0

9x 2

2xx 2

x

0

4 x 2

1 x 2

0

4 x 2

522 x

0 0

cos x 2 y 2 dy dx

sen x 2 y 2 dy dx

x 2 y 2 dy dx 22

5

xy dy dx

2

0

y

4

0

0

8x

2

2 0

25x

522

2

0

2 3

0 0

2 1cos

0 0

8y 2

4yy 2

xy dy dx

fx, y x y, R: x 2 y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0

x 2 y 2 dx dy

x 2 dx dy

x 2 y 2 dy dx

f x, y e x2 y 2 2

, R: x 2 y 2 ≤ 25, x ≥ 0

fx, y arctan y R: x 2 y 2 ≥ 1, x 2 y 2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x

x ,

fx, y 9 x 2 y 2 , R: x 2 y 2 ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0

Volumen En los ejercicios 33 a 38, utilizar una integral doble en

coordenadas polares para hallar el volumen del sólido limitado o

acotado por las gráficas de las ecuaciones.

33. z xy, x 2 y 2 1, primer first octant octante

34. z x 2 y 2 3, z 0, x 2 y 2 1

35. z x 2 y 2 , z 0, x 2 y 2 25

36. z lnx 2 y 2 , z 0, x 2 y 2 ≥ 1, x 2 y 2 ≤ 4

37. Interior al hemisferio z 16 x 2 y 2 e interior al cilindro

x 2 y 2 4x 0

38. Interior al hemisferio z 16 x 2 y 2 y exterior al cilindro

x 2 y 2 1

a

00

0

1

a 2 x 2

x x 2

re r2 dr d

sin senr dr d

x dy dx

x x 2 x 2 y 2 dy dx


39. Volumen Hallar a tal que el volumen en el interior del hemisferio

z 16 x 2 y 2 y en el exterior del cilindro

x 2 y 2 a 2 sea la mitad del volumen del hemisferio.

40. Volumen Utilizar una integral doble en coordenadas polares

para hallar el volumen de una esfera de radio a.

41. Volumen Determinar el diámetro de un orificio cavado verticalmente

a través del centro del sólido limitado o acotado por las

gráficas de las ecuaciones z 25e x2 y 2 4

, z 0, y

x 2 y 2 16 si se elimina la décima parte del volumen del sólido.

CAS 42. Diseño industrial Las superficies de una leva de doble lóbulo

1

se representan por las desigualdades 4 ≤ r ≤ 1 21 cos 2 y

9

4x 2 y 2 9 ≤ z ≤ 9

4x 2 y 2 9

donde todas las medidas se dan en pulgadas.


gráficamente la leva.

b) Utilizar un sistema algebraico por computadora y aproximar

el perímetro de la curva polar

Ésta es la distancia que recorre una pieza en contacto con la

leva durante un giro completo de ésta.

c) Utilizar un sistema algebraico por computadora y hallar el

volumen del acero en la leva.

Área En los ejercicios 43 a 48, utilizar una integral doble para

calcular el área de la región sombreada.

43. 44.

π

2

r 1 21 cos 2 .

r = 6 cos θ

1 2 3 4 5 7

45. π

46.

2 r = 1 + cos θ

0

r = 2

π

2

π

2

r = 4

1 3

0

Área En los ejercicios 49 a 54, trazar una gráfica de la región

limitada por las gráficas de las ecuaciones. Después, usar una

integral doble para encontrar el área de la región.

49. Dentro del círculo r 2 cos y fuera del círculo r 1.

50. Dentro de la cardioide r 2 2 cos y fuera del círculo r 1.

51. Dentro del círculo r 3 cos y fuera de la cardioide r 1

cos .

52. Dentro de la cardioide r 1 cos y fuera del círculo r 3 cos .

53. Dentro de la curva rosa r 4 sen 3 y fuera del círculo r 2.

54. Dentro del círculo r 2 y fuera de la cardioide r 2 2 cos .


55. Describir la partición de la región de integración R en el

plano xy cuando se utilizan coordenadas polares para evaluar

una integral doble.

56. Explicar cómo pasar de coordenadas rectangulares a coordenadas

polares en una integral doble.

57. Con sus propias palabras, describir regiones r-simples y

regiones -simples.

58. Cada figura muestra una región de integración para la integral

doble R f x, y dA. Para cada región, decir si es más fácil

obtener los límites de integración con elementos representativos

horizontales, elementos representativos verticales o con

sectores polares. Explicar el razonamiento.

a) b) c)

y

R

y

x

x

x

R

a) Establecer la integral f x, y dA.

59. Sea R la región limitada por el círculo x 2 y 2 9.

b) Convertir la integral en el inciso a) a coordenadas polares.

c) ¿Qué integral debería elegirse para evaluar? ¿Por qué?

R

y

R

0

1

47. 48.

π

2

r = 2 sen 3θ

0

1 2

π

2

2 3 4

r = 3 cos 2θ

3

0

0

r = 2 + senθ

Para discusión

60. Para pensar Sin desarrollar cálculos, identificar la integral

doble que represente la integral de f(x) x 2 y 2 sobre un

círculo de radio 4. Explicar el razonamiento.

a) r 2 dr d

b)

0

2

c) r 3 dr d

d)

0

2

0

4

0

4

0 0

2 4

0

4

2

r 3 dr d

4

r 3 dr d


61. Para pensar Considerar el programa escrito en el ejercicio 78

de la sección 14.2 para aproximar integrales dobles en coordenadas

rectangulares. Si el programa se usa para aproximar la

integral doble

R fr, dA

en coordenadas polares, ¿cómo hay que modificar ƒ para introducirla

al programa? Como los límites de integración son constantes,

describir la región plana de integración.

62. Aproximación Las secciones transversales horizontales de un

bloque de hielo desprendido de un glaciar tienen forma de

un cuarto de un círculo con radio aproximado de 50 pies. La

base se divide en 20 subregiones como se muestra en la figura.

En el centro de cada subregión, se mide la altura del hielo,

dando los puntos siguientes en coordenadas cilíndricas.

a) Aproximar el volumen del sólido.

b) El hielo pesa aproximadamente 57 libras por pie cúbico.

Aproximar el peso del sólido.

c) Aproximar el número de galones de agua en el sólido si hay

7.48 galones de agua por pie cúbico.

CAS Aproximación En los ejercicios 63 y 64, utilizar un sistema

algebraico por computadora y aproximar la integral iterada.

63.

64.

π

2

2 5

40

4 4

0 0

5, 16 , 7, 15, 16 , 8, 25, 16 , 10, 35, 16 , 12, 45, 16 , 9,

5, 3

3

3

3

3

16 , 9, 15, 16 , 10, 25, 16 , 14, 35, 16 , 15, 45, 16 , 10,

5, 16, 5 9, 15, 16, 5 11, 25, 16, 5 15, 35, 16, 5 18, 45, 16, 5 14,

5, 7

16, 5, 15, 7

16, 8, 25, 7

16, 11, 35, 7

16, 16, 45, 7

3π

8

10 20 30 40 50

r1 r 3 sen sin dr d

5re r dr d

π

4

π

8

Aproximación En los ejercicios 65 y 66, determinar qué valor

se aproxima más al volumen del sólido entre el plano xy y la función

sobre la región. (Realizar la elección a la vista de un dibujo

del sólido y no efectuando cálculo alguno.)

65. ƒ(x, y) 15 2y; R: semicírculo: x 2 y 2 16, y ≥ 0

a) 100 b) 200 c) 300 d) 200 e) 800

66. ƒ(x, y) xy 2; R: cuarto de círculo: x 2 y 2 9, x ≥ 0, y ≥ 0

a) 25 b) 8 c) 100 d) 50 e) 30

0

16, 12




67. Si R fr, dA > 0, entonces fr, > 0 para todo r, en R.

68. Si fr, es una función constante y el área de la región S es el doble

del área de la región R, entonces 2 R fr, dA S fr, dA.

69. Probabilidad El valor de la integral

2

dx se requiere

en el desarrollo de la función de densidad de probabi-

ex2

lidad normal.

a) Utilizar coordenadas polares para evaluar la integral impropia.

I 2

e x2 2

dx

e y2 2

dy

b) Utilizar el resultado del inciso a) para calcular I.

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre

este problema, ver el artículo “Integrating e x2 Without Polar Coordinates”

de William Dunham en Mathematics Teacher.

70. Utilizar el resultado del ejercicio 69 y un cambio de variables

para evaluar cada una de las integrales siguientes. No se requiere

hacer ninguna integración.

a)

b)

e x 2 dx

e 4x 2 dx

71. Población La densidad de población en una ciudad se

aproxima mediante el modelo ƒ(x, y) 4 000e 0.01(x2 y 2) ,

x 2 y 2 ≤ 49, donde x y y se miden en millas. Integrar la función

de densidad sobre la región circular indicada para aproximar

la población de la ciudad.

72. Probabilidad Hallar k tal que la función

fx, y

ke x2 y 2 ,

0,

sea una función de densidad de probabilidad.

73. Para pensar Considerar la región limitada o acotada por las

gráficas de y 2, y 4, y x y y 3x y la integral doble

R f dA. Determinar los límites de integración si la región

R está dividida en a) elementos representativos horizontales,

b) elementos representativos verticales y c) sectores polares.

74. Repetir el ejercicio 73 con una región R limitada o acotada por

la gráfica de la ecuación x 2 2 y 2 4.

75. Mostrar que el área A del sector polar R (ver la figura) es

A rr, donde r r 1 r 2 2 es el radio promedio de R.

∆θ

r 1

r 2

R

∆r

e x2 y 2 2

dA

x ≥ 0, y ≥ 0

elsewhere en resto

I


14.4 Centro de masa y momentos de inercia

■

■

■

Hallar la masa de una lámina plana utilizando una integral doble.

Hallar el centro de masa de una lámina plana utilizando integrales dobles.

Hallar los momentos de inercia utilizando integrales dobles.

Masa

y

R

g 2

En la sección 7.6 se analizaron varias aplicaciones de la integración en las que se tenía una

lámina plana de densidad constante . Por ejemplo, si la lámina que corresponde a la

región R, que se muestra en la figura 14.34, tiene una densidad constante , entonces

la masa de la lámina está dada por

Masa Mass A

RdA R dA.

Densidad constante.

x = a

x = b

Lámina de densidad constante

Figura 14.34

g 1

x

Si no se especifica otra cosa, se supone que una lámina tiene densidad constante. En esta

sección, se extiende la definición del término lámina para abarcar también placas delgadas

de densidad variable. Las integrales dobles pueden usarse para calcular la masa de una

lámina de densidad variable, donde la densidad en (x, y) está dada por la función de densidad

.

DEFINICIÓN DE MASA DE UNA LÁMINA PLANA DE DENSIDAD VARIABLE

Si es una función de densidad continua sobre la lámina que corresponde a una

región plana R, entonces la masa m de la lámina está dada por

m Rx, y dA.

Densidad variable.

NOTA La densidad se expresa normalmente como masa por unidad de volumen. Sin embargo, en

una lámina plana la densidad es masa por unidad de área de superficie.

■

EJEMPLO 1

Hallar la masa de una lámina plana

3

2

1

y

(0, 3)

y = 3

(2, 3)

R

x = 2 3 y

(0, 0) 1 2 3

Lámina de densidad variable

x, y 2x y

Figura 14.35

x

Hallar la masa de la lámina triangular con vértices (0, 0), (0, 3) y (2, 3), dado que la densidad

en x, y es x, y 2x y.

Solución Como se muestra en la figura 14.35, la región R tiene como fronteras x 0,

y 3 y y 3x/2 (o x 2y/3). Por consiguiente, la masa de la lámina es

3 2y3

m R2x y dA 2x y dx dy

00

3

10

90

10

9 y3

10.

2y3

0 x2 xy dy

0

3

y 2 dy

3 3 0

NOTA En la figura 14.35, nótese que la lámina plana está sombreada; el sombreado más oscuro

corresponde a la parte más densa.

■

SECCIÓN 14.4 Centro de masa y momentos de inercia 1013

EJEMPLO 2

Hallar la masa empleando coordenadas polares

2

1

y

(x, y)

x 2 + y 2 = 4

R

Hallar la masa de la lámina correspondiente a la porción en el primer cuadrante del

círculo

x 2 y 2 4

donde la densidad en el punto (x, y) es proporcional a la distancia entre el punto y el origen,


Solución

En todo punto (x, y), la densidad de la lámina es

1

2

x

x, y kx 0 2 y 0 2

kx 2 y 2 .

Densidad en x, y: x, y kx 2 y 2

Figura 14.36

Como 0 ≤ x ≤ 2 y 0 ≤ y ≤ 4 x 2 , la masa está dada por

m Rkx 2 y 2 dA

2

0

0

4x 2

kx 2 y 2 dy dx.

Para simplificar la integración, se puede convertir a coordenadas polares, utilizando los

límites o cotas 0 ≤ ≤ 2 y 0 ≤ r ≤ 2. Por tanto, la masa es

2 2

m Rkx 2 y 2 dA kr 2 r dr d

0 0

2

2

0 0

2

8k

8k

0

30

2

3

0

4k

3 .

kr 3

3 2 0

2

kr 2 dr d

d

d

TECNOLOGÍA En muchas ocasiones, en este texto, se han mencionado las ventajas

de utilizar programas de computación que realizan integración simbólica. Aun cuando

se utilicen tales programas con regularidad, hay que recordar que sus mejores ventajas

sólo son aprovechables en manos de un usuario conocedor. Por ejemplo, nótese la simplificación

de la integral del ejemplo 2 cuando se convierte a la forma polar.

Forma rectangular

2

00

4x 2

kx 2 y 2 dy dx

Forma polar

2 2

0 0

kr 2 dr d

Si se tiene acceso a programas que realicen integración simbólica, se recomienda utilizarlos

para evaluar ambas integrales. Algunos programas no pueden manejar la primera

integral, pero cualquier programa que calcule integrales dobles puede evaluar la segunda

integral.


Momentos y centros de masa

y

x i

R i

(x i , y i )

En láminas de densidad variable, los momentos de masa se definen de manera similar a

la empleada en el caso de densidad uniforme. Dada una partición de una lámina, correspondiente

a una región plana R, considerar el rectángulo i-ésimo R i de área A i , como se

muestra en la figura 14.37. Suponer que la masa de R i se concentra en uno de sus puntos

interiores x i , y i . El momento de masa de R i respecto al eje x puede aproximarse por

medio de

y i

(Masa)(y Massy i ) x i , y i A i y i .

x

De manera similar, el momento de masa con respecto al eje y puede aproximarse por

medio de

M x

(masa)(y i

)

M y

(masa)(x i

)

Figura 14.37

(Masa)(x Massx i )

x i , y i A i x i .

Formando la suma de Riemann de todos estos productos y tomando límites cuando la

norma de se aproxima a 0, se obtienen las definiciones siguientes de momentos de masa

con respecto a los ejes x y y.

MOMENTOS Y CENTRO DE MASA DE UNA LÁMINA PLANA DE DENSIDAD VARIABLE

Sea una función de densidad continua sobre la lámina plana R. Los momentos de

masa con respecto a los ejes x y y son

M x Ryx, y dA y M y Rx(x, y dA.

Si m es la masa de la lámina, entonces el centro de masa es

x, y

M y

m , M x

m .

Si R representa una región plana simple en lugar de una lámina, el punto x, y se

llama el centroide de la región.

En algunas láminas planas con densidad constante , se puede determinar el centro de

masa (o una de sus coordenadas) utilizando la simetría en lugar de usar integración. Por

ejemplo, considerar las láminas de densidad constante mostradas en la figura 14.38.

Utilizando la simetría, se puede ver que y 0 en la primera lámina y x 0 en la segunda

lámina.

R: 0 ≤ x ≤ 1

R: − 1 − y 2 ≤ x ≤ 1 − y 2

− 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 0 ≤ y ≤ 1

z

z

1

1

−1

−1

−1

−1

1 1

y

1 1

y

x

−1

x

−1

Lámina de densidad constante y simétrica con

respecto al eje x

Figura 14.38

Lámina de densidad constante y simétrica con

respecto al eje y


EJEMPLO 3

Hallar el centro de masa

Densidad variable:

ρ (x, y) = ky y

y = 4 − x 2

−2

−1

3

2

1

(x, y)

1 2

Región parabólica de densidad variable

Figura 14.39

x

Hallar el centro de masa de la lámina que corresponde a la región parabólica

Región parabólica.

donde la densidad en el punto x, y es proporcional a la distancia entre x, y y el eje x,


Solución

Como la lámina es simétrica con respecto al eje y y

el centro de masa está en el eje y. Así, x 0. Para hallar y, primero calcular la masa de la

lámina.

2 4x

Mass

2

Masa

Después se halla el momento con respecto al eje x.

Así,

0 ≤ y ≤ 4 x 2

x, y ky

2

M x

20

4x

2

2

0

ky dy dx

2

k 2

y 2 4x2

dx

2 0

2

k 2

2

2 k 8x3

16x

3 x5

5 2 2

k 32 64

3 32

5

256k

15

yky dy dx k 2

y

3

3 4x2

dx

2 0

3

k 2

2

3 k 64x 16x3 12x5

5 x7

7 2 2

4

4096k

105

16 8x 2 x 4 dx

64 48x 2 12x 4 x 6 dx

Densidad

variable:

ρ(x, y) = ky

z

x

2

1

−2

Figura 14.40

R: −2 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 4 − x 2

Centro de masa:

( )

0, 16 7

4

y

y M x

m 4 4096k105 096k/105

256k15 16

7

y el centro de masa es 0, 16 7 .

Aunque los momentos M x y M y se pueden interpretar como una medida de la tendencia

a girar en torno a los ejes x o y, el cálculo de los momentos normalmente es un paso

intermedio hacia una meta más tangible. El uso de los momentos M x y M y es encontrar el

centro de masa. La determinación del centro de masa es útil en muchas aplicaciones, ya

que permite tratar una lámina como si su masa se concentrara en un solo punto.

Intuitivamente, se puede concebir el centro de masa como el punto de equilibrio de la lámina.

Por ejemplo, la lámina del ejemplo 3 se mantendrá en equilibrio sobre la punta de un

lápiz colocado en 0, 16 como se muestra en la figura 14.40.

7 ,


Momentos de inercia

M x

M y

Los momentos y utilizados en la determinación del centro de masa de una lámina

se suelen llamar primeros momentos con respecto a los ejes x y y. En cada uno de los

casos, el momento es el producto de una masa por una distancia.

M x Ryx, y dA

M y Rxx, y dA

Distancia Masa Distancia Masa

al eje x

al eje y

Ahora se introducirá otro tipo de momento, el segundo momento o momento de inercia

de una lámina respecto de una recta. Del mismo modo que la masa es una medida de la

tendencia de la materia a resistirse a cambios en el movimiento rectilíneo, el momento de

inercia respecto de una recta es una medida de la tendencia de la materia a resistirse a

cambios en el movimiento de rotación. Por ejemplo, si una partícula de masa m está a una

distancia d de una recta fija, su momento de inercia respecto de la recta se define como

I md 2 (masa)(distancia) 2 .

Igual que ocurre con los momentos de masa, se puede generalizar este concepto para

obtener los momentos de inercia de una lámina de densidad variable respecto de los ejes x

y y. Estos segundos momentos se denotan por I x e I y , y en cada caso el momento es el producto

de una masa por el cuadrado de una distancia.

NOTA En el caso de una lámina en

el plano xy, I 0 representa el momento

de inercia de la lámina con respecto al

eje z. El término “momento polar de

inercia” se debe a que en el cálculo se

utiliza el cuadrado de la distancia

polar r.

I x Ry 2 x, y dA

Cuadrado de Masa Cuadrado de Masa

la distancia

la distancia

al eje x

al eje y

A la suma de los momentos e I y se le llama el momento polar de inercia y se denota

por I 0 .

EJEMPLO 4 Hallar el momento de inercia

Hallar el momento de inercia respecto del eje x de la lámina del ejemplo 3.

I x

I y Rx 2 x, y dA

I 0 Rx 2 y 2 x, y dA

Rr 2x, y dA

■

Solución

2

I x

0

4

k 2

2

4

k 2

De acuerdo con la definición de momento de inercia, se tiene

4x

2

2

2

4 k 256x3

256x 96x5

3 5 16x7

7 x9

9 2 2

32,768k

315 .

y 4 4x2

dx

0

y 2 ky dy dx

256 256x 2 96x 4 16x 6 x 8 dx


El momento de inercia I de una lámina en rotación puede utilizarse para medir su

energía cinética. Por ejemplo, consideremos una lámina plana que gira en torno a una recta

con una velocidad angular de radianes por segundo, como se muestra en la figura

14.41. La energía cinética E de la lámina en rotación es

E 1 2 I2 .

Energía cinética del movimiento giratorio.

Por otro lado, la energía cinética E de una masa m que se mueve en línea recta a una velocidad

v es

E 1 2 mv2 .

Energía cinética del movimiento rectilíneo.

Lámina plana girando a radianes por

segundo

Figura 14.41

Por lo tanto, la energía cinética de una masa que se mueve en línea recta es proporcional

a su masa, pero la energía cinética de una masa que gira en torno a un eje es proporcional

a su momento de inercia.

El radio de giro r de una masa en rotación m con momento de inercia I se define

como

r

I

m .

Radio de giro.

Si toda la masa se localizara a una distancia r de su eje de giro o eje de rotación, tendría

el mismo momento de inercia y, por consiguiente, la misma energía cinética. Por ejemplo,

el radio de giro de la lámina del ejemplo 4 respecto al eje x está dado por

y

I x

m 32,768k315

256k15

128

21 2.469.

EJEMPLO 5

Cálculo del radio de giro

2

1

y

Densidad

variable:

ρ (x, y) = x

Figura 14.42

(x, y)

π

2

R: 0 ≤ x ≤ π

0 ≤ y ≤ sen x

π

x

Hallar el radio de giro con respecto al eje y de la lámina que corresponde a la región

R: 0 ≤ y ≤ sen sin x, 0 ≤ x ≤ , donde la densidad en x, y está dada por x, y x.

Solución La región R se muestra en la figura 14.42. Integrando x, y x sobre la

región R, se puede determinar que la masa de la región es . El momento de inercia con

respecto al eje y es

I y

0

sin sen x

0 0

sen x

0

sin x

x 3 y dx

0

x 3 dy dx

x 3 sen sin x dx

3x 2 6sin (sen x x) x 3 6xcos x

3

6.

Por tanto, el radio de giro con respecto al eje y es

0

x

Iy

m

3

6

2

6 1.967.


1018 1018 Chapter Chapter 14 14 Multiple Multiple Integration Integration

14.4 Ejercicios

14.4 Exercises See See www.CalcChat.com www.CalcChat.com for for worked-out worked-out solutions solutions to to odd-numbered odd-numbered exercises. exercises.

En los ejercicios 1 a 4, hallar la masa de la lámina descrita por

In las In Exercises Exercises desigualdades, 1– 1– 4, 4, find find dado the the que mass mass su of densidad of the the lamina lamina es x, described described y xy. by by (Sugerencia:

inequalities, Algunas given given de that that las its its integrales density density is son is x, más x, yy simples xy. xy. (Hint: (Hint: en coorde-

Some Some

the the

inequalities,

of nadas of the the integrals polares.) integrals are are simpler simpler in in polar polar coordinates.)

1. 1. 00 2. 2. 00 xx xx 2, 2, 00 3, 3, 00 yy yy 22

99 xx 2 3. 3. 00 xx 1, 1, 00 yy 11 xx 2 4. 4. xx 0, 0, 33 yy 33 99 xx 2 In En In Exercises Exercises los ejercicios 5– 5– 8, 8, find 5 find a 8, the the hallar mass mass la and and masa center center y el of of centro mass mass of de of the the masa lamina lamina de la

for lámina for each each con density. density. cada densidad.

5. 5. 5. R: R: R: square cuadrado square with with con vertices vertices vértices 0, 0, (0, 00 , 0), , a, a, (a, 00 , 0), , 0, 0, (0, a a , a), , a, a, (a, aa

a)

(a) (a) kk

(b) (b) ky ky

(c) (c) kx kx

6. 6. 6. R: R: R: rectangle rectángulo rectangle with with con vertices vertices vértices

0, 000, , , a, a, a, 00 , 0, , 0, 0, 0, b b , b, , a, a, ba, b b

(a)

(a) kxy kxy (b)

(b) kx kx 2 2 yy 2 2

7. 7. 7. R: R: R: triangle triángulo triangle with with con vertices vertices vértices (0, 000), , , 0, (0, a a a), , , a, (a, aaa)

(a) (a) kk

(b) (b) ky ky

(c) (c) kx kx

8. 8. 8. R: R: R: triangle triángulo triangle with with con vertices vertices vértices (0, 000), , , a(a/2, a a a a), , , (a, 000)

(a)

(a) kk

(b)

(b) kxy kxy y

k

kxy

k

k

ky

kx 2 y 2

ky

kx

kx

kx

9. 9. Traslaciones en el plano Trasladar la lámina del ejercicio 5

9. Translations Translations in in the the Plane Plane Translate Translate the the lamina lamina in in Exercise Exercise 55

to cinco unidades a la derecha y determinar el centro de masa

to the the right right five five units units and and determine determine the the resulting resulting center center of of mass. mass.

resultante.

10. 10. Conjecture Conjecture Use Use the the result result of of Exercise Exercise 99 to to make make a a conjecture conjecture

10. about Conjetura Utilizar el resultado del ejercicio 9 para formular

about the the change change in in the the center center of of mass mass when when a a lamina lamina of of

constant una conjetura acerca del cambio en el centro de masa cuando

constant density density is is translated translated ccunits units horizontally horizontally or or ddunits

units

vertically. una lámina de densidad constante se traslada c unidades horizontalmente

o d unidades verticalmente. ¿Es la conjetura ver-

vertically. Is Is the the conjecture conjecture true true if if the the density density is is not not constant? constant?

Explain. Explain.

dadera si la densidad no es constante? Explicar.

In Exercises 11–22, find the mass and center of mass of the

En In Exercises los ejercicios 11–22, a 22, find hallar the mass la masa and y center el centro of de mass masa of de the la

lamina bounded by the graphs of the equations for the given

lámina lamina limitada bounded o by acotada the graphs por las of gráficas the equations de las ecuaciones for the given con

density or densities. (Hint: Some of the integrals are simpler in

la density densidad or densities. o densidades (Hint: que Some se especifican. of the integrals (Sugerencia: are simpler Algunas in

polar de polar las coordinates.)

integrales son más sencillas en coordenadas polares.)

11. 11. yy x, x, yy 0, 0, xx 1, 1, ky ky

12. 12. yy x 2 x, 2 , yy 0, 0, xx 2, 2, kxy kxy

13. 13. yy 44x, x, yy 0, 0, xx 1, 1, xx 4, 4, kx kx 2 14. 14. yy

11

1 x2, y

1 x2, y 0, 0, xx 1, 1, xx 1, 1, kk

15. 15. yy e x e, x , yy 0, 0, xx 0, 0, xx 11

a) a) kk

b) b) ky ky

16. 16. yy ee x , , yy 0, 0, xx 0, 0, xx 11

a) a) ky ky b) b) ky ky 2 17. 17. yy 44 x 2 x, 2 , yy 0, 0, ky ky

18. 18. xx 99 y 2 y, 2 , xx 0, 0, kx kx

19. 19. yy

x

sen x

sen , y

L , y

L

0, 0, xx 0, 0, xx L, L, kk

20. 20. yy

x

cos x

L , y 0, x 0, x L

cos

L , y 0, x 0, x L

22 , ky 21. 21. yy aa 2 x 2 x, 2 , 00 yy x, x, kk

22. 22. x 2 x 2 y 2 y 2 aa 2 , , 00 x, x, 00 y, y, kx k 2 x 2 y 2

y 2

CAS En los ejercicios 23 a 26, utilizar un sistema algebraico por computadora

Exercises Exercises para 23 hallar 23 –26, –26, la use use masa a a computer computer y el centro algebra algebra de masa system system de la lámina to to find find limita-

the the

In In

mass mass da o and acotada and center center por of las of mass gráficas mass of of the de the las lamina lamina ecuaciones bounded bounded con la by by densidad the the graphs graphs dada.

of of the

23. the equations

y equations for

e x , y for the

0, the given

x given density.

0, xdensity.

2, ky

23. 23. 24. yy eeln x , x x, , yyy 0, 0, 0, xxx 0, 0, 1, xxx 2, 2, e, kxy

kxy

kxy kx

24. 24. y ln x, y 0, x

25.

y

r

ln

2 cos

x, y

3,

0,

x ≤

1, 1, xx e,

≤

25. r 2 cos 3 , 6 6 , e, kx kx

25. r 2 cos 3 , 6 6, 6, kk

26. 26.

26. rr 1 1 cos cos

cos , ,

, kk

CAS

CAS

k

In

En los ejercicios 27 a 32, verificar los momentos de inercia dados

In Exercises

y hallar

Exercises 27–32,

x y

27–32, verify

y. Suponer

verify the

que

the given given moment(s)

la densidad

moment(s) of

de cada

of inertia inertia and

lámina

and

find

es

find x

xand 1 y.

gramos

y. Assume Assume that

por centímetro

that each each lamina

cuadrado.

lamina has has a

(Estas

a density density of

regiones

of 1

son formas

de

1

gram gram per per square

uso

square centimeter.

común

centimeter. (These

empleadas

(These regions

en diseño.)

regions are are common common shapes shapes

used used in in engineering.)

27.

27.

Rectangle

Rectángulo

28.

28.

Right

Triángulo

triangle

rectángulo

27. Rectangle

y

28. Right triangle

y

y

I I x = 1 bh 3

x = 1 bh 3

y

1 3

y

I I 12

1

x = 1 bh 3

x = 1bh 3

y

I 3

I 1

I y = b 3 y = b 3 I 12

1 h

x = 1 bh 3

x = bh 3

3

3

1 h

I I 12

y = b 3 y = b 3 12

1

I h

1

3

I h y = b 3 y = b 3 h

h

h

h

hh

hh

b

x

b

bb

x

b

x

b

29. Círculo 30. Semicírculo

29. 29. Circle Circle

y

30. Semicircle y

30. Semicircle

y

y

y

y

a

x

CAS En los ejercicios a 33 a 40, hallar I x , I y , I 0 , I 0 Ix,

= y 1 4 π y ab(a2 para + la b 2 lámina )

0 = 1 limitada

o acotada por las gráficas de las ecuaciones. Utilizar un sis-

4 π ab(a2 + b 2 )

In tema Exercises algebraico 33 – por 40, computadora find a fin and de evaluar for the las integrales

In Exercises 33 – 40, find I x I, I y , I 0 , x, y lamina

bounded dobles.

x , I y , I 0 , x, and y for the lamina

bounded by by the the graphs graphs of of the the equations. equations. Use Use a a computer computer

algebra algebra 33. y system 0, y to to b, evaluate evaluate x 0, the xthe double a, integrals.

ky

CAS

CAS

3

33. 34. y a 2 x 2 , y 0,

33. yy 0, 0, yy b, b, xx 0, 0, xx a, a, ky ky

34. 35. y 4 x 2 , y 0, x > 0,

34. yy aa 2 2 x 2 x, 2 , yy 0, 0, ky ky

35. 36. y x, y x 2 ,

35. yy 44 x 2 x, 2 , yy 0, 0, x x > > 0, 0, kx kx

36. 37. y x, y 0, x 4,

36. yy x, x, yy x 2 x, 2 , kxy kxy

37. 38. y y xx, 2 , y 2 0, x,

37. y x, y 0, xx 4, 4, kxy kxy

38. 39. y y x 2 x, 2 , y 2 y 2 x, x,

38. y x 2 , y 2 x, x 2 x 2 y 2

y 2

39. 40. y y x 2 x, 3 , y 2 y x, 4x,

39. y x 2 , y 2 x, kx kx 40. 40. yy x 3 x, 3 , yy 4x, 4x, ky ky

kxy

x 2 y 2

kx

k y

ky

k

kx

kxy

x

x

x

a

x

a

x

a x

a

x

I 0 = 1 2 π a4

aa

I 0 = 1 4 π a4

I

31. Cuarto del círculo 0 I = 1 2 π a4

0 = 1 2 π a4 32. Elipse

I 0 I = 1 4 π a4

0 = 1 4 π a4

y

y

31. 31. Quarter Quarter circle circle I 0 = 1 8 π 32. Ellipse

a4 32. Ellipse

y

y

y

y b

I 0 I = 1 8 π a4

0 = 1 a

8 π a4

x

bb

aa

x

x

x

a

I 0 = 1 4 πab(a2 + b 2 )

x

12

12


CAS

En los ejercicios 41 a 46, dar la integral doble requerida para

hallar el momento de inercia I, con respecto a la recta dada, de la

lámina limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones.

Utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral

doble.

41. x 2 y 2 b 2 , recta:

42. y 0, y 2, x 0, x 4, k, recta: line: x 6

43.

44.

y x, y 0, x 4,

y a 2 x 2 , y 0,

recta:

recta:

45. y a 2 x 2 , y 0, x ≥ 0,

recta:

46. y 4 x 2 , y 0, recta:

k, line: x a a > b

kx, line: x 6

ky, line: y a

k, line: y 2


ka y, line: y a

47. Dar las fórmulas para hallar los momentos y el centro de

masa de una lámina plana de densidad variable.

48. Dar las fórmulas para hallar los momentos de inercia con

respecto a los ejes x y y de una lámina plana de densidad

variable.

49. Con las propias palabras, describir qué mide el radio de giro.

Para discusión

50. El centro de masa de la lámina de densidad constante

mostrado en la figura es 2, 8 5. Hacer una conjetura acerca

de cómo cambiará el centro de masa x, y si la densidad

ρ(x, y) no es constante. Explicar. (Hacer la conjetura sin

realizar cálculo alguno.)

y

Hidráulica En los ejercicios 51 a 54, determinar la posición del eje

horizontal y a en el que debe situarse una compuerta vertical en una

presa para lograr que no haya momento que ocasione la rotación

bajo la carga indicada (ver la figura). El modelo para es

y a y I y

hA

donde y es la coordenada y del centroide de la compuerta, Iy es

el momento de inercia de la compuerta con respecto a la recta

y y, h es la profundidad del centroide bajo la superficie y A es

el área de la compuerta.

y

h

51. y

52.

53. y

54.

b

b

y = L

x

y = L

y=

L

y = y

y a = y − I y

hA

x

a

y

y

y a

d

d

b

y = L

x

y = L

4

3

a

x

2

1

1

2

8

(2,

5)

a) x, y ky b)

c) x, y kxy d)

3

4

x

x, y k2 x

x, y k4 x4 y

x

55. Demostrar el teorema de Pappus siguiente: sea R una región

plana y sea L una recta en el mismo plano tal que L no corta el

interior de R. Si r es la distancia entre el centroide de R y la

recta, entonces el volumen V del sólido de revolución generado

por revolución de R en torno a la recta está dado por V 2 rA,

donde A es el área de R.

PROYECTO DE TRABAJO

Centro de presión sobre una vela

El centro de presión sobre una vela es aquel punto x p , y p en el cual

puede suponerse que actúa la fuerza aerodinámica total. Si la vela se

representa mediante una región plana R, el centro de presión es

x p R xy dA

R y dA

y

y p R y 2 dA

R y dA .

Considerar una vela triangular con vértices en (0, 0), (2, 1) y (0, 5).

Verificar los valores de cada integral.

a) R y dA 10 b) R xy dA 35 c) R y2 dA 155

6

6

Calcular las coordenadas x p , y p del centro de presión. Dibujar una

gráfica de la vela e indicar la localización del centro de presión.


14.5 Área de una superficie

■

Utilizar una integral doble para hallar el área de una superficie.

x

Superficie:

z = f(x, y)

Figura 14.43

Superficie:

z = f (x, y)

z

z

y

Región R en el plano xy

∆T i

∆S i ≈ ∆T i

Área de una superficie

En este punto ya se tiene una gran cantidad de conocimientos acerca de la región sólida

que se encuentra entre una superficie y una región R en el plano xy cerrada y limitada o

acotada, como se muestra en la figura 14.43. Por ejemplo, se sabe cómo hallar los

extremos de ƒ en R (sección 13.8), el área de la base R del sólido (sección 14.1), el volumen

del sólido (sección 14.2) y el centroide de la base de R (sección 14.4).

En esta sección se verá cómo hallar el área de la superficie superior del sólido. Más

adelante se aprenderá a calcular el centroide del sólido (sección 14.6) y el área de la superficie

lateral (sección 15.2).

Para empezar, considerar una superficie S dada por

z fx, y

Superficie definida sobre una región R.

definida sobre una región R. Suponer que R es cerrada y acotada y que ƒ tiene primeras

derivadas parciales continuas. Para hallar el área de la superficie, se construye una partición

interna de R que consiste en n rectángulos donde el área del rectángulo i-ésimo R i es

A i x i y i , como se muestra en la figura 14.44. En cada R i sea x i , y i el punto más

próximo al origen. En el punto x i , y i , z i x i , y i , fx i , y i de la superficie S, se construye

un plano tangente T i . El área de la porción del plano tangente que se encuentra directamente

sobre R i es aproximadamente igual al área de la superficie que se encuentra directamente

sobre R i . Es decir, T i S i . Por tanto, el área de la superficie de S está dada por

R

n

S i n

T i .

i1 i1

x

y

Para hallar el área del paralelogramo T i , notar que sus lados están dados por los vectores

u x i i f x x i , y i x i k

Figura 14.44

∆A i

y

v y i j f y x i , y i y i k.

De acuerdo con el teorema 11.8, el área de está dada por donde

i j k

u v x i 0 f x x i , y i x

i

T i

u v,

i

0 y i f y x i , y i y

f x x i , y i x i y i i f y x i , y i x i y i j x i y i k

f x x i , y i i f y x i , y i j k A i .

Por tanto, el área de T es u v f x x i , y i 2 f y x i , y i 2 i

1 A i , y

El área de Surface la superficie area of de S n

i1

n

1 f x x i , y i 2 f y x i , y i 2 A i .

i1

S i

Esto sugiere la definición siguiente de área de una superficie.

SECCIÓN 14.5 Área de una superficie 1021

DEFINICIÓN DEL ÁREA DE UNA SUPERFICIE

Si ƒ y sus primeras derivadas parciales son continuas en la región cerrada R en el

plano xy, entonces el área de la superficie S dada por z fx, y sobre R está dada

por

Área de la Surface superficie area R dS

Para memorizar la integral doble para el área de una superficie, es útil notar su semejanza

con la integral de la longitud del arco.

Longitud sobre el eje x:

Longitud de arco en el plano xy:

Área en el plano xy:

Área de una superficie

en el espacio:

R 1 f xx, y 2 f y x, y 2 dA.

b

dx

a

b

a

b

ds 1 fx 2 dx

a

R dA

R dS R 1 f x x, y 2 f y x, y 2 dA

Igual que las integrales para la longitud de arco, las integrales para el área de una

superficie son a menudo muy difíciles de calcular. Sin embargo, en el ejemplo siguiente se

muestra un tipo que se evalúa con facilidad.

EJEMPLO 1

El área de la superficie de una región plana

Plano:

z = 2 − x − y

2

z

Hallar el área de la superficie de la porción del plano

z 2 x y

que se encuentra sobre el círculo x 2 y 2 ≤ 1 en el primer cuadrante, como se muestra en

la figura 14.45.

Solución Como f x x, y 1 y f y x, y 1, el área de la superficie está dada por

S R 1 f x x, y 2 f y x, y 2 dA

Fórmula para el área de la superficie.

2 2

x

R: x 2 + y 2 ≤ 1

Figura 14.45

y

R R 1 1 12 12 1 1 2 dA

R 3 dA

Sustituir.

3R dA.

Observar que la última integral es simplemente 3 por el área de la región R. R es un

1

cuarto del círculo de radio 1, cuya área es 41 2 o 4. Por tanto, el área de S es

S 3 area área of de R R

3

4

3

4 .


EJEMPLO 2

Hallar el área de una superficie

z

Superficie:

f(x, y) = 1 − x 2 + y

Hallar el área de la porción de la superficie

fx, y 1 x 2 y

2

(0, 1, 2)

que se encuentra sobre la región triangular cuyos vértices son

0, 1, 0, como se muestra en la figura 14.46a.

1, 0, 0,

0, 1, 0 y

1

Solución Como f x x, y 2x y f y x, y 1, se tiene

S R 1 f x x, y 2 f y x, y 2 dA R 1 4x 2 1 dA.

a)

−1

x

y

1

1

y = 1 − x

1 y

R: 0 ≤ x ≤ 1

x − 1 ≤ y ≤ 1 − x

En la figura 14.46b se ve que los límites o cotas de R son 0 ≤ x ≤ 1 y x 1 ≤ y ≤ 1 x.

Por lo que la integral será

1

S 0

1

0

1

1

0 1 x2 4x2 x 12 4x 2 dx

0

1x

x1

2 4x 2 dy dx

y2 4x 2 1x

x1

dx

22 4x 2 2x2 4x 2 dx

Tablas de integración (apéndice B).

Fórmula 26 y regla de la potencia.

1 2

x

x2 4x 2 ln2x 2 4x 2 2 4x2 32

6 1 0

−1

y = x − 1

6 ln2 6 6 ln 2 1 2 1.618.

3

b)

Figura 14.46

Paraboloide:

z = 1 + x 2 + y 2

R: x 2 + y 2 ≤ 1

x

Figura 14.47

2

z

R

1 1

y

EJEMPLO 3

Cambio de variables a coordenadas polares

Hallar el área de la superficie del paraboloide z 1 x 2 y 2 que se encuentra sobre el

círculo unidad o unitario, como se muestra en la figura 14.47.

Solución Como f x x, y 2x y f y x, y 2y, se tiene

S R 1 f x x, y 2 f y x, y 2 dA R 1 4x2 4y 2 dA.

Se puede pasar a coordenadas polares haciendo x r cos y y r sen sin . Entonces, como

la región R está acotada por 0 ≤ r ≤ 1 y 0 ≤ ≤ 2, se tiene

S

0

55 1

12

0

2

1

0 0

2

2

55 1

5.33.

1

12 1 4r2 32 1 0

55 1

12

6

1 4r 2 r dr d

2

0

d

d


EJEMPLO 4


Hemisferio:

f(x, y) = 25 − x 2 − y 2

z

5

4

3

2

−4 −6

1

−4

−2

2 1 2 3

y

4 4 5

6

x

R: x 2 + y 2 ≤ 9

Figura 14.48

Hallar el área de la superficie S correspondiente a la porción del hemisferio

fx, y 25 x 2 y 2

Hemisferio.

que se encuentra sobre la región R limitada o acotada por el círculo x 2 y 2 ≤ 9, como se


Solución Las primeras derivadas parciales de ƒ son

x

y

f x x, y

y f y x, y

25 x 2 y 2 25 x 2 y 2

y, de acuerdo con la fórmula para el área de una superficie, se tiene

dS 1 f x x, y 2 f y x, y 2 dA

1

Así, el área de la superficie es

S R

5

25 x 2 y 2 dA.

Se puede pasar a coordenadas polares haciendo x r cos y y r sen sin . Entonces, como

la región R está acotada por 0 ≤ r ≤ 3 y 0 ≤ ≤ 2, se obtiene

2

S

50

5

5

25 x 2 y 2 dA.

3

0 0

0

2

2

10.

5

r dr d

25 r2 25 r 2 3 0

d

x

y

25 x 2 y

dA

22 25 x 2 y 22

d

Hemisferio:

f(x, y) = 25 − x 2 − y 2

z

5

a

a

5

5

y

x

R: x 2 + y 2 ≤ a 2

Figura 14.49

El procedimiento utilizado en el ejemplo 4 puede extenderse para hallar el área de la

superficie de una esfera utilizando la región R limitada o acotada por el círculo

x 2 y 2 ≤ a 2 , donde 0 < a < 5, como se muestra en la figura 14.49. Se puede mostrar

que el área de la superficie de la porción del hemisferio

fx, y 25 x 2 y 2

que se encuentra sobre la región circular es

5

S R

25 x

2 y dA 2

2

a

0 0

5

r dr d

25 r

2

10 5 25 a 2 .

Tomando el límite cuando a tiende a 5 y multiplicando el resultado por dos, se obtiene el

área total, que es 100. (El área de la superficie de una esfera de radio r es S 4r 2 .)


La regla de Simpson o la regla del trapecio pueden usarse para aproximar el valor de

una integral doble, siempre que se pueda obtener la primera integral. Esto se ilustra en el

ejemplo siguiente.

Paraboloide:

f(x, y) = 2 − x 2 − y 2

2

z

EJEMPLO 5

Aproximación del área de una superficie mediante

la regla de Simpson

Hallar el área de la superficie del paraboloide

fx, y 2 x 2 y 2

Paraboloide.

que se encuentra sobre la región cuadrada acotada por 1 ≤ x ≤ 1 y 1 ≤ y ≤ 1, como


Solución Utilizando las derivadas parciales

f x x, y 2x y f y x, y 2y

se tiene que el área de la superficie es

x

2

Figura 14.50

−1

1

−1

y

r = sec θ

1

θ =

π

4

x

θ = −

π

4

Un cuarto de la región R está acotada por

0 ≤ r ≤ sec y

4 ≤

Figura 14.51

≤

1

R: −1

≤ x ≤ 1

−1 ≤ y ≤ 1

4 .

y

S R 1 f x x, y 2 f y x, y 2 dA

R 1

R 2x2 2y 2 dA

1 4x2 4y 2 dA.

En coordenadas polares, la recta x 1 está dada por r cos 1 o r sec , y en la figura

14.51 se puede determinar que un cuarto de la región R está limitada o acotada por

0 ≤ r ≤ sec

y

Haciendo x r cos y y r sin sen

se obtiene

1

4 S 1 4R 1 4x2 4y 2 dA

40

4

1

124

Por último, usando la regla de Simpson con n 10, se aproxima esta integral simple

S

3

1 4

1 4 sec 2 32 1 d

4

7.450.

sec

4 ≤

1 4r 2 r dr d

1

12 1 4r2 32 sec

0

d

1 4 sec 2 32 1 d.

≤

4 .

TECNOLOGÍA La mayor parte de los programas de computación que realizan integración

simbólica con integrales múltiples también realizan técnicas de aproximación

numéricas. Si se dispone de uno de estos programas, se recomienda usarlo para aproximar

el valor de la integral del ejemplo 5.


14.5 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 14, hallar el área de la superficie dada por

z fx, y sobre la región R. (Sugerencia: Algunas de las integrales

son más sencillas en coordenadas polares.)

1.

fx, y 2x 2y

R: triángulo cuyos vértices son (0, 0), (4, 0), (0, 4)

2. fx, y 15 2x 3y

R: cuadrado cuyos vértices son (0, 0), (3, 0), (0, 3), (3, 3)

3. fx, y 7 2x 2y 4. fx, y 12 2x 3y

R x, y: x 2 y 2 ≤ 4 R x, y: x 2 y 2 ≤ 9

5.

6.



7. fx, y 3 x 32

8.

R: rectángulo cuyos vértices son (0, 0), (0, 4), (3, 4), (3, 0)

10. f(x, y) 13 x 2 y 2

11. fx, y x 2 y 2 , R x, y: 0 ≤ fx, y ≤ 1

12. fx, y xy,

R x, y: x 2 y 2 ≤ 16

13.

14.

En los ejercicios 15 a 18, hallar el área de la superficie.

15. Porción del plano z 24 3x 2y en el primer octante

16. Porción del paraboloide z 16 x 2 y 2 en el primer octante

17. Porción de la esfera x 2 y 2 z 2 25 en el interior del cilindro

x 2 y 2 9

18. Porción del cono z 2x 2 y 2 en el interior del cilindro

x 2 y 2 4

CAS En los ejercicios 19 a 24, dar una integral doble que represente

el área de la superficie z fx, y sobre la región R. Utilizando

un sistema algebraico por computadora, evaluar la integral

doble.

19.

20.

fx, y 9 x 2

fx, y y 2

fx, y 2 2 3 y32

R x, y: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 x

9. fx, y ln sec x

R

x, y: 0 ≤ x ≤

4 , 0 ≤ y ≤ tan x

R x, y: x 2 y 2 ≤ 4

fx, y a 2 x 2 y 2

R x, y: x 2 y 2 ≤ b 2 , 0 < b < a

fx, y a 2 x 2 y 2

R x, y: x 2 y 2 ≤ a 2

fx, y 2y x 2


fx, y 2x y 2


21. f(x, y) 9 x 2 y 2 22. fx, y x 2 y 2

R x, y: 0 ≤ fx, y R x, y: 0 ≤ fx, y ≤ 16

23.

24.


se aproxima más al área de la superficie z fx, y sobre la

región R. (Elegir el valor basándose en un dibujo de la superficie

y no mediante la utilización de cálculos.)

25.


a) 16 b) 200 c) 100 d) 72 e) 36

26. fx, y 1 4 x2 y 2

R: círculo limitado o acotado por x 2 y 2 9

a) 100 b) 150 c) d) 55 e) 500

En los ejercicios 29 a 34, formular una integral doble que proporcione

el área de la superficie en la gráfica de ƒ sobre la región R.

29.

30.

fx, y 4 x 2 y 2

R x, y: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

fx, y 2 3 x32 cos x

R x, y: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

fx, y 10 1 2 y 2

fx, y x 3 3xy y 3


fx, y x 2 3xy y 2

R x, y: 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x

31. fx, y e x sen sin y 32. fx, y cosx 2 y 2

R x, y: x 2 y 2 ≤ 4

9

CAS En los ejercicios 27 y 28, utilizar un sistema algebraico por

computadora y aproximar la integral doble que representa el

área de la superficie de la gráfica de ƒ sobre la región

R {x, y: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

27. fx, y e x 28. fx, y 2 5 y52

33. fx, y e xy

R x, y: 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 10

34. fx, y e x sen sin y

R x, y: 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x

WRITING Desarrollo ABOUT de conceptos

CONCEPTS

R

x, y: x 2 y 2 ≤

35. Enunciar la definición, con integral doble, del área de una

superficie S dada por z f x, y sobre una región R en el

plano xy.

36. Considerar la superficie f(x, y) x 2 y 2 y el área de superficie

de f sobre cada región R. Sin integrar, ordenar las áreas

de superficie desde la menor hasta la mayor. Explicar el

razonamiento.

a) R: rectángulo con vértices (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2)

b) R: triángulo con vértices (0, 0), (2, 0), (0, 2)

c) R {(x, y): x 2 y 2 4 sólo el primer cuadrante}

37. ¿Aumentará el área de superficie de la gráfica de una función

z f(x, y) sobre una región R si la gráfica de f cambió

k unidades verticalmente? ¿Por qué sí o por qué no?

2


Para discusión

38. Responder las siguientes preguntas acerca del área de superficie

S sobre una superficie dada por una función positiva

z f (x, y) sobre una región R en el plano xy. Explicar cada

respuesta.

a) ¿Es posible para S igualar el área de R?

b) ¿Puede S ser mayor que el área de R?

c) ¿Puede S ser menor que el área de R?

41. Diseño industrial Una empresa produce un objeto esférico de

25 centímetros de radio. Se hace una perforación de 4 centímetros

de radio a través del centro del objeto. Calcular a) el volumen

del objeto y b) el área de la superficie exterior del objeto.

42. Modelo matemático Un ranchero construye un granero de

dimensiones 30 por 50 pies. En la figura se muestra la forma

simétrica y la altura elegidas para el tejado.

25

z

(0, 25)

(5, 22)

(10, 17)

39. Hallar el área de la superficie del sólido intersección de los cilindros

x 2 z 2 1 y y 2 z 2 1 (ver la figura).

z

(15, 0)

20

y

z

y 2 + z 2 = 1

2

−3

3

3

x −2

x 2 + z 2 = 1

y

y

r

r

x

z = k x 2 + y 2 , k > 0


40. Mostrar que el área de la superficie del cono z kx 2 y 2 ,

k > 0 sobre la región circular x 2 y 2 ≤ r 2 en el plano xy es

r 2 k 2 1 (ver la figura).

50

x

a) Utilizar las funciones de regresión de una herramienta de

graficación para hallar un modelo de la forma z ay 3 by 2

cy d para el perfil del techo.

b) Utilizar las funciones de integración numérica de una herramienta

de graficación y el modelo del inciso a) para aproximar

el volumen del espacio de almacenaje en el granero.

c) Utilizar las funciones de integración numérica de una herramienta

de graficación y el modelo del inciso a) para aproximar

el área de la superficie del techo.

d) Aproximar la longitud de arco de la recta del techo y calcular

el área de la superficie del techo multiplicando la longitud de

arco por la longitud del granero. Comparar los resultados y las

integraciones con los encontrados en el inciso c).

PROYECTO DE TRABAJO

Capilaridad

Una propiedad muy conocida de los líquidos se llama “capilaridad”,

y consiste en que ascienden por conductos verticales muy estrechos.

La figura muestra dos placas que forman una cuña estrecha dentro de

un recipiente con líquido. La superficie superior del líquido toma

una forma hiperbólica dada por

z

9 pulg

θ = 2 arctan (0.01)

z

k

x 2 y 2

donde x, y y z están medidas en pulgadas. La constante k depende del

ángulo de la cuña, del tipo de líquido y del material de las placas.

13 pulg

a) Hallar el volumen del líquido que ha ascendido por la cuña.

(Tomar k 1. )

b) Hallar el área de la superficie horizontal del líquido que ha ascendido

por la cuña.

Adaptación de un problema sobre capilaridad de “Capillary Phenomena”

de Thomas B. Greenslade, Jr., Physics Teacher, mayo de

1992. Con autorización del autor.

x

y

SECCIÓN 14.6 Integrales triples y aplicaciones 1027

14.6 Integrales triples y aplicaciones

■

■

Utilizar una integral triple para calcular el volumen de una región sólida.

Hallar el centro de masa y los momentos de inercia de una región sólida.

x

Región sólida Q

z

y

Integrales triples

El procedimiento utilizado para definir una integral triple es análogo al utilizarlo para

integrales dobles. Considerar una función f en tres variables que es continua sobre una

región sólida acotada Q. Entonces, se encierra Q en una red de cubos y se forma una partición

interna que consta de todos los cubos que quedan completamente dentro de Q,

como se muestra en la figura 14.52. El volumen del i-ésimo cubo es

V i x i y i z i .

Volumen del i-ésimo cubo.

La norma de la partición es la longitud de la diagonal más larga en los n cubos de la

partición. En cada cubo se elige un punto x i , y i , z i y se forma la suma de Riemann

n

fx i , y i , z i V i .

i1

Tomando el límite cuando → 0 se llega a la siguiente definición.

z

x

Volumen de Q

n

Figura 14.52

i1

V i

y

Algunas de las propiedades de las integrales dobles expuestas en el teorema 14.1

pueden replantearse en términos de integrales triples.

1. f x, y, z dV

2.

3.

DEFINICIÓN DE INTEGRAL TRIPLE

Si f es continua sobre una región sólida acotada Q, entonces la integral triple de f

sobre Q se define como

fx, y, z dV lim lím

→0 n

fx i , y i , z i V i

Q

Q

Q

Q

siempre que el límite exista. El volumen de la región sólida Q está dado por

dV.

Volumen de Q

Q

cfx, y, z dV c

Q

f x, y, z ± gx, y, z dV

Q

f x, y, z dV

Q 1

En las propiedades dadas arriba, Q es la unión de dos subregiones sólidas que no se sobreponen

Q 1 y Q 2 . Si la región sólida Q es simple, la integral triple fx, y, z dV puede

evaluarse con una integral iterada utilizando alguno de los seis posibles órdenes de integración:

dx dy dz

dy dx dz

f x, y, z dV

dz dx dy

i1

dx dz dy

f x, y, z dV ±

Q

Q 2

dy dz dx

f x, y, z dV

dz dy dx.

gx, y, z dV


EXPLORACIÓN

Volumen de un sector paraboloide

En las páginas 997 y 1006, se pidió

resumir las diferentes formas estudiadas

hasta ahora para hallar el

volumen del sólido limitado o acotado

por el paraboloide

z a 2 x 2 y 2 ,

y el plano xy. Ahora se conoce un

método más. Utilizarse para hallar


a > 0

z

a 2

La versión siguiente del teorema de Fubini describe una región que es considerada

simple con respecto al orden dz dy dx. Para los otros cinco órdenes pueden formularse

descripciones similares.

TEOREMA 14.4

EVALUACIÓN MEDIANTE INTEGRALES ITERADAS

Sea f continua en una región sólida definida por Q

a ≤ x ≤ b,

donde h 1

, h 2

, g 1

y

h 1 x ≤ y ≤ h 2 x,

g 2

b h

fx, y, z dV

2 ah 1 x

Q

son funciones continuas. Entonces,

g 2

x, y

g 1 x, y

g 1 x, y ≤ z ≤ g 2 x, y

fx, y, z dz dy dx.

Para evaluar una integral iterada triple en el orden dz dy dx, se mantienen x y y constantes

para la integración más interior. Después, se mantiene x constante para la segunda

integración.

−a

x

a

a

y

EJEMPLO 1

Evaluar una integral iterada triple

Evaluar la integral iterada triple

2

x

0 00

xy

e x y 2z dz dy dx.

Solución Para la primera integración, se mantienen x y y constantes y se integra con

respecto a z.

2 xy

2 x

xy

e x y 2z dz dy dx e x yz z 2 dy dx

x

0 00

Para la segunda integración, mantener x constante y se integra con respecto a y.

2

00

x

00

2

0

0

2

e x x 2 3xy 2y 2 dy dx

0 ex x2 y 3xy 2

2 2y3

x

19

2

6

x 3 e x dx

0

e x x 2 3xy 2y 2 dy dx

0

3 x 0

dx

Por último, se integra con respecto a x.

60

19

2

x 3 e x dx 19

6 ex x 3 3x 2 2

6x 6

0

19

e 2

3 1

65.797

El ejemplo 1 muestra el orden de integración dz dy dx. Con otros órdenes, se puede

seguir un procedimiento similar. Por ejemplo, para evaluar una integral iterada triple en el

orden dx dy dz, se mantienen y y z constantes para la integración más interior y se integra

con respecto a x. Después, para la segunda integración, se mantiene z constante y se integra

con respecto a y. Por último, para la tercera integración, se integra con respecto a z.


z = g 1 (x, y)

x

x

2

Figura 14.54

2

1

y

Figura 14.55

z

4

1

1

z = g 2 (x, y)

Proyección sobre el plano xy

La región sólida Q se encuentra entre dos

superficies

Figura 14.53

0 ≤ z ≤ 2 4 − x 2 − y 2

z

Elipsoide: 4x 2 + 4y 2 + z 2 = 16

2

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 4 − x 2

2

y

x 2 + y 2 = 4

Q

x

y

Para hallar los límites dado un orden determinado de integración, por lo general se

aconseja determinar primero los límites más interiores, que pueden ser funciones de las

dos variables exteriores. Después, proyectando el sólido Q sobre el plano coordenado de

las dos variables exteriores, se pueden determinar sus límites de integración mediante los

métodos usados para las integrales dobles. Por ejemplo, para evaluar

fx, y, z dz dy dx

Q

primero se determinan los límites de z, y entonces la integral toma la forma

g

2

x, y

fx, y, z dz

g 1 x, y

dy dx.

Proyectando el sólido Q sobre el plano xy, se pueden determinar los límites de x y de y de

la misma manera que se hizo en el caso de las integrales dobles, como se muestra en la

figura 14.53.

EJEMPLO 2

Integral triple para hallar un volumen

Hallar el volumen del elipsoide dado por 4x 2 4y 2 z 2 16.

Solución Como en la ecuación x, y y z juegan papeles similares, el orden de integración

es probablemente irrelevante, y se puede elegir arbitrariamente dz dy dx. Además, se

pueden simplificar los cálculos considerando sólo la porción del elipsoide que se encuentra

en el primer octante, como se muestra en la figura 14.54. Para el orden se

determinan primero los límites o cotas de z.

0 ≤ z ≤ 24 x 2 y 2 dz dy dx,

Los límites o cotas de x y y son, como se ve en la figura 14.55, x y y y 0 ≤ x ≤ 2 y

0 ≤ y ≤ 4 x 2 , por lo que el volumen del elipsoide es

dV

V

Q

2

80

2

80

16

2

8

2

80

2

8

0

x3

44x

64

3 .

4x 2 24x

2 y 2

0 0

4x 2

0

2 4x

0

2

0

z

24x 2 y 2

0

y4 x2 y 2 4 x 2 arcsin

0

y

arcsen

0 4 x 2 arcsen

arcsin1 0 0 dx

4 x 2

2 dx

3 2 0

dz dy dx

dy dx

4 x 2 y 2 dy dx

Tablas de integración (apéndice

B), fórmula 37.

4 x 2 4x2

0

dx


El ejemplo 2 es poco usual en el sentido de que con los seis posibles órdenes de integración

se obtienen integrales de dificultad comparable. Tratar de emplear algún otro de

los posibles órdenes de integración para hallar el volumen del elipsoide. Por ejemplo, con

el orden dx dy dz se obtiene la integral

Si se resuelve esta integral, se obtiene el mismo volumen que en el ejemplo 2. Esto es

siempre así; el orden de integración no afecta el valor de la integral. Sin embargo, el orden

de integración a menudo afecta la complejidad de la integral. En el ejemplo 3, el orden de

integración propuesto no es conveniente, por lo que se puede cambiar el orden para simplificar

el problema.

EJEMPLO 3

Evaluar

0

4

V 8

16z 2 2 164y

2 z 2 2

0 0

2 2

0 x

Cambiar el orden de integración

1

3

sen sin y 2 dz dy dx.

dx dy dz.

3

2

z

π

Q: 0 ≤ x ≤

2

π

x ≤ y ≤ 2

1 ≤ z ≤ 3

( , , 3)

π

2

π

2

Solución Obsérvese que después de una integración en el orden dado, se encontraría la

integral 2 sin seny y 2 dy,

que no es una función elemental. Para evitar este problema, se cambia

el orden de integración a dz dx dy, de manera que y sea la variable exterior. Como se

muestra en la figura 14.56, la región sólida Q está dada por

x ≤ y ≤

0 ≤ x ≤

1 ≤ z ≤ 3

2 , 2 ,

y la proyección de Q en el plano xy proporciona los límites

0 ≤ y ≤

2

y

0 ≤ x ≤ y.

Por tanto, la evaluación de la integral triple usando el orden dz dx dy produce

0

2

0

y

1

3

sen y 2

dz dx dy

0

2

y

z sen y 2 3

dx dy

0

1

1

2

0

2

y

0

sen y 2

dx dy

( , , 1)

π π

2 2

2

0

2

x sen y 2

y

0

dy

π

2

x

y = x

Figura 14.56

π

2

y

2

1.

2

0

y sen y 2

cos y 2 2

0

dy


z

EJEMPLO 4

Determinación de los límites de integración

1

z = 1 − y 2

Dar una integral triple para el volumen de cada una de las regiones sólidas.

x

3

∆y

x = 3 − y

1

x = 1 − y

y

a) La región en el primer octante acotada superiormente por el cilindro z 1 y 2 y comprendida

entre los planos verticales x y 1 y x y 3

b) El hemisferio superior dado por z 1 x 2 y 2

c) La región acotada inferiormente por el paraboloide z x 2 y 2 y superiormente por la

esfera x 2 y 2 z 2 6

Figura 14.57

x

Figura 14.58

Q: 0 ≤ z ≤ 1 − y 2

1 − y ≤ x ≤ 3 − y

0 ≤ y ≤ 1

1

Hemisferio:

1 1

Q: 0 ≤ z ≤ 1 − x 2 − y 2

− 1 − y 2 ≤ x ≤ 1 − y 2

−1 ≤ y ≤ 1

z

z = 1 − x 2 − y 2

Base circular:

x 2 + y 2 = 1

y

Solución

a) En la figura 14.57, obsérvese que el sólido está acotado inferiormente por el plano xy

z 0 y superiormente por el cilindro z 1 y 2 . Por tanto,

0 ≤ z ≤ 1 y 2 .

Límites o cotas para z.

Proyectando la región sobre el plano xy se obtiene un paralelogramo. Como dos de los

lados del paralelogramo son paralelos al eje x, se tienen las cotas siguientes:

1 y ≤ x ≤ 3 y

Por tanto, el volumen de la región está dado por

1

V dV 0

Q

y

b) Para el hemisferio superior dado por z 1 x 2 y 2 , se tiene

0 ≤ z ≤ 1 x 2 y 2 .

3y 1y

1y

2

0

Cotas para z.

En la figura 14.58, obsérvese que la proyección del hemisferio sobre el plano xy es el

círculo dado por x 2 y 2 1, y se puede usar el orden dx dy o el orden dy dx.

Eligiendo el primero se obtiene

1 y 2 ≤ x ≤ 1 y 2

0 ≤ y ≤ 1.

y

dz dx dy.

1 ≤ y ≤ 1

−2

3

Figura 14.59

z

Esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = 6

Paraboloide:

z = x 2 + y 2

2

2

y

x

Q: x 2 + y 2 ≤ z ≤ 6 − x 2 − y 2

− 2 − x 2 ≤ y ≤ 2 − x 2

− 2 ≤ x ≤ 2

lo cual implica que el volumen de la región está dado por

1

V dV

Q

c) Para la región acotada inferiormente por el paraboloide z x 2 y 2 y superiormente

por la esfera x 2 y 2 z 2 6, se tiene

x 2 y 2 ≤ z ≤ 6 x 2 y 2 .

Cotas para z.

La esfera y el paraboloide se cortan en z 2. Además, en la figura 14.59 se puede ver

que la proyección de la región sólida sobre el plano xy es el círculo dado por

x 2 y 2 2. Utilizando el orden se obtiene

dy dx

2 x 2 ≤ y ≤ 2 x 2 y 2 ≤ x ≤ 2

lo cual implica que el volumen de la región está dado por

V dV 2

Q

1y

1

2

2 1x 2 y 2

1y 0

2

2x 2 6x 2 y 2

2x x 2 y 2

dz dx dy.

dz dy dx.


NOTA En ingeniería y en física, el

momento de inercia de una masa se

usa para hallar el tiempo requerido

para que una masa alcance una velocidad

de rotación dada con respecto a un

eje, como se muestra en la figura

14.60. Cuanto mayor es el momento de

inercia, mayor es la fuerza que hay que

aplicar a la masa para que alcance la

velocidad deseada.

■

Figura 14.60

EXPLORACIÓN

Dibujar el sólido (de densidad uniforme)

limitado o acotado por

z 0 y

z

1

1 x 2 y 2

donde x 2 y 2 ≤ 1. A partir del

dibujo, estimar las coordenadas del

centro de masa del sólido. Ahora

utilizar un sistema algebraico por

computadora y verificar la estimación.

¿Qué se observa?

z

x

y

Centro de masa y momentos de inercia

En el resto de esta sección se analizan dos aplicaciones importantes de las integrales triples

a la ingeniería. Considérese una región sólida Q cuya densidad está dada por la función

de densidad . El centro de masa de una región sólida Q de masa m está dado por

x, y, z, donde

m x, y, z dV

Masa del sólido.

Q

M xx, y, z dV

Primer momento con respecto al plano yz.

yz

Q

M xz yx, y, z dV

Primer momento con respecto al plano xz.

Q

M xy zx, y, z dV

Primer momento con respecto al plano xy.

y

x M yz

m ,

Las cantidades M yz , M xz , y M xy se conocen como los primeros momentos de la región Q

con respecto a los planos yz, xz y xy, respectivamente.

Los primeros momentos de las regiones sólidas se toman con respecto a un plano,

mientras que los segundos momentos de los sólidos se toman con respecto a una recta.

Los segundos momentos (o momentos de inercia) con respecto a los ejes x, y y z son los

siguientes.

y 2 z 2 x, y, z dV Momento de inercia con respecto al eje x.

I x

Q

I y Q

I z

Q

Momento de inercia con respecto al eje y.

Momento de inercia con respecto al eje z.

En problemas que requieren el cálculo de los tres momentos, puede ahorrarse una cantidad

considerable de trabajo empleando la propiedad aditiva de las integrales triples y escribiendo

I x I xz I xy ,

donde I xy , I xz , e I yz son

z 2x, y, z dV

I xy

Q

I xz

Q

I yz

x 2 z 2 x, y, z dV

x 2 y 2 x, y, z dV

Q

Q

y M xz

m ,

I y I yz I xy ,

y 2x, y, z dV

x 2x, y, z dV

z M xy

m .

e

I z I yz I xz


EJEMPLO 5

Hallar el centro de masa de una región sólida

z

1

(x, y, z)

1

1

x

Densidad variable:

x, y, z kx 2 y 2 z 2

Figura 14.61

y

Hallar el centro de masa del cubo unidad mostrado en la figura 14.61, dado que la densidad

en el punto (x, y, z) es proporcional al cuadrado de su distancia al origen.

Solución Como la densidad en (x, y, z) es proporcional al cuadrado de la distancia entre

(0, 0, 0) y (x, y, z), se tiene

Esta función de densidad se puede utilizar para hallar la masa del cubo. Debido a la

simetría de la región, cualquier orden de integración producirá integrales de dificultad

comparable.

El primer momento con respecto al plano yz es

Nótese que x puede sacarse como factor fuera de las dos integrales interiores, ya que es

constante con respecto a y y a z. Después de factorizar, las dos integrales interiores son

iguales con respecto a la masa m. Por tanto, se tiene

Así,

x, y, z kx 2 y 2 z 2 .

1

0 00

1 1

k0

1 1

k0

1

k

1

m

0 x2

3 1 y y3

1

k0 x2

3 2 dx

x

k 3

3 2x

3 1 k

0

1 1 1

M yz k0

00

1 1

k x

0 00

1

M yz k x

0

x 2

3 2 dx

k

x 4

4 x2

3 1 0

7k

12 .

0 x2 y 2 z z3

0 x2 y 2 1 3

x M yz

m 7k12 7

k 12 .

1

kx 2 y 2 z 2 dz dy dx

xx 2 y 2 z 2 dz dy dx

1

3 1 0

3 1 0

dy dx

dx

dy dx

x 2 y 2 z 2 dz dy dx.

Por último, por la naturaleza de y la simetría de x, y y z en esta región sólida, se tiene

x y z, y el centro de masa es 7

12 , 7

12 , 12.

7


EJEMPLO 6

Momentos de inercia de una región sólida

Hallar los momentos de inercia con respecto a los ejes x y y de la región sólida comprendida

entre el hemisferio

z 4 x 2 y 2

y el plano xy, dado que la densidad en (x, y, z) es proporcional a la distancia entre

(x, y, z) y el plano xy.

0 ≤ z ≤ 4 − x 2 − y 2 sen

x

− 4 − x 2 ≤ y ≤ 4 − x 2

−2 ≤ x ≤ 2

Hemisferio:

z = 4 − x 2 − y 2

2

2

Densidad variable: x, y, z kz

Figura 14.62

z

Base circular:

x 2 + y 2 = 4

2

y

Solución La densidad de la región está dada por x, y, z kz. Considerando la

simetría de este problema, se sabe que I x I y , y sólo se necesita calcular un momento,

digamos I x . De acuerdo con la figura 14.62, se elige el orden dz dy dx y se escribe

I x y 2 z 2 x, y, z dV

Q

2

k

k

y 2 4 x 2 y 2

4x 2

k 2

42

2 4x 2

4 x 2 2 y 4 dy dx

4x

4

2

k 2

4 x2 2 y y5 4x

2 5 2

dx

4x 2

4

k 2

8

5 4 x2 52 dx

4k

4k

2

2

4x 2 4x 2 y 2

4x 0

2 4x

2

2

y 2 z 2

4x 2 z 4 4 4x2 y 2

2 4x

2

2 0

2

2

2

50

50

256k

5 5

32

8k.

2

4 x 2 52 dx

64 cos 6 d

Por tanto, I x 8k I y .

y 2 z 2 kz dz dy dx

dy dx

4 x2 y 2 2

4 dy dx

x 2 sin .

Fórmula de Wallis.

En el ejemplo 6, los momentos de inercia con respecto a los ejes x y y son iguales. Sin

embargo, el momento con respecto al eje z es diferente. ¿Parece que el momento de inercia

con respecto al eje z deba ser menor o mayor que los momentos calculados en el ejemplo

6? Realizando los cálculos, se determina que

I z 16

3 k.

Esto indica que el sólido mostrado en la figura 14.62 presenta resistencia mayor a la

rotación en torno a los ejes x o y que en torno al eje z.



1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.



9.

10.

En los ejercicios 11 y 12, utilizar un sistema algebraico por

computadora y aproximar la integral iterada.

11.

12.

En los ejercicios 13 a 18, dar una integral triple para el volumen

del sólido.

13. El sólido en el primer octante acotado por los planos coordenados

y el plano z 5 x y

14. El sólido acotado por y 0 y

15. El sólido acotado por el paraboloide z 6 x 2 y 2 y

16. El sólido limitado por y z 0.

17. El sólido que es el interior común bajo de la esfera x 2 y 2 z 2

80 y sobre el paraboloide

18. El sólido limitado arriba por el cilindro z 4 x 2 y abajo por

el paraboloide

Volumen En los ejercicios 19 a 22, utilizar una integral triple

para hallar el volumen del sólido mostrado en la figura.

19. 20.

21. 22.

Volumen

En los ejercicios 23 a 26, usar una integral triple para

encontrar el volumen del sólido limitado por las gráficas de las

ecuaciones.

En los ejercicios 27 a 32, dibujar el sólido cuyo volumen está

dado por la integral iterada y reescribir la integral utilizando el

orden de integración indicado.

27.

Reescribir usando el orden dy dz dx.

28.

Reescribir usando el orden dx dz dy.

29.

Reescribir utilizando el orden

30.


31.


32.


En los ejercicios 33 a 36, dar los seis posibles órdenes de integración

de la integral triple sobre la región sólida Q,

33.

34.

35.

36. Q x, y, z: 0 ≤ x ≤ 1, y ≤ 1 x 2 , 0 ≤ z ≤ 6

Q x, y, z: x 2 y 2 ≤ 9, 0 ≤ z ≤ 4

Q x, y, z: 0 ≤ x ≤ 2, x 2 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 2 x

Q x, y, z: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ 3

In Exercises 1–8, evaluate the iterated integral.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

In Exercises 9 and 10, use a computer algebra system to

evaluate the iterated integral.

9.

10.


approximate the iterated integral.

11.

12.

In Exercises 13–18, set up a triple integral for the volume of the

solid.

13. The solid in the first octant bounded by the coordinate planes

and the plane

14. The solid bounded by and



17. The solid that is the common interior below the sphere

and above the paraboloid

18. The solid bounded above by the cylinder and below

by the paraboloid

Volume

In Exercises 19–22, use a triple integral to find the

volume of the solid shown in the figure.

19. 20.

21. 22.

Volume



23. primer octante

24.

25.

26. primer octante

In Exercises 27–32, sketch the solid whose volume is given by

the iterated integral and rewrite the integral using the indicated

order of integration.

27.

Rewrite using the order

28.


29.


30.


31.


32.


In Exercises 33–36, list the six possible orders of integration for

the triple integral over the solid region

33.

34.

35.

36. Q x, y, z : 0 x 1, y 1 x 2 , 0 z 6

Q x, y, z : x 2 y 2 9, 0 z 4

Q x, y, z : 0 x 2, x 2 y 4, 0 z 2 x

Q x, y, z : 0 x 1, 0 y x, 0 z 3

Q

xyz dV.

Q,

dx dy dz.

2

0

4

2x

y 2 4x 2

0

dz dy dx

dz dy dx.

1

0

1

y

1 y 2

0

dz dx dy

dz dx dy.

3

0

9 x 2

0

6 x y

0

dz dy dx

dy dx dz.

4

0

4 x 2

0

12 3x 6y 4

0

dz dy dx

dx dz dy.

1

1

1

y 2 1 x

0

dz dx dy

dy dz dx.

1

0

0

1

y 2

0

dz dy dx

z x, y x 2, y x 2 ,

z 2 y, z 4 y 2 , x 0, x 3, y 0

z 9 x 3 , y x 2 2, y 0, z 0, x ≥ 0

z 4 x 2 , y 4 x 2 ,

z = 36 − x 2 − y 2

y

x

36

12

12

z

z = 0

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 y

x

a

a

a

z

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2

z = 2xy

y

x

1 2

2

4

6

3

8

z

z = x

z = 0

x = 4 − y 2

y

x

4

3

2

4

z

z x 2 3y 2 z 4 x 2

z

1

2 x 2 y 2

x 2 y 2 z 2 80

z 0

z 16 x 2 y 2 z 0

z 6 x 2 y 2 y 2x

y 0,

z 0,

z 9 x 2 ,

z 5 x y

3

0

2 2y 3

0

6 2y 3z

0

ze x2 y 2 dx dz dy

2

0

4 x 2

0

4

1

x 2 sin y

z

dz dy dx

2

0

2 x 2

0

4 y 2

2x 2

y 2 y dz dy dx

3

0

9 y 2

9 y 2 y 2

0

y dz dx dy

2

0

y 2

0

1 y

0

sin y dz dx dy

4

0

2

0

1 x

0

x cos y dz dy dx

4

1

e 2

1

1 xz

0

ln z dy dz dx

4

1

1

0

x

0

2ze x2 dy dx dz

9

0

y 3

0

y 2 9x 2

0

z dz dx dy

1

0

x

0

xy

0

x dz dy dx

1

1

1

1

1

1

x 2 y 2 z 2 dx dy dz

3

0

2

0

1

0

x y z dx dz dy

14.6 Triple Integrals and Applications 1035


CAS

CAS

dx dy dz.

2

0

4

2x

y 2 4x 2

0

dz dy dx

dz dy dx.

1

0

1

y

1y 2

0

dz dx dy

dz dx dy.

3

0

9x 2

0

6xy

0

dz dy dx

dy dx dz.

4

0

4x2

0

123x6y4

0

dz dy dx


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.



9.

10.



11.

12.


solid.


and the plane







by the paraboloid

Volume



19. 20.

21. 22.

Volume



23. primer octante

24.

25.

26. primer octante




27.


28.


29.


30.


31.


32.




33.

34.

35.

36. Q x, y, z : 0 x 1, y 1 x 2 , 0 z 6

Q x, y, z : x 2 y 2 9, 0 z 4

Q x, y, z : 0 x 2, x 2 y 4, 0 z 2 x

Q x, y, z : 0 x 1, 0 y x, 0 z 3

Q

xyz dV.

Q,

dx dy dz.

2

0

4

2x

y 2 4x 2

0

dz dy dx

dz dy dx.

1

0

1

y

1 y 2

0

dz dx dy

dz dx dy.

3

0

9 x 2

0

6 x y

0

dz dy dx

dy dx dz.

4

0

4 x 2

0

12 3x 6y 4

0

dz dy dx

dx dz dy.

1

1

1

y 2 1 x

0

dz dx dy

dy dz dx.

1

0

0

1

y 2

0

dz dy dx

z x, y x 2, y x 2 ,

z 2 y, z 4 y 2 , x 0, x 3, y 0

z 9 x 3 , y x 2 2, y 0, z 0, x ≥ 0

z 4 x 2 , y 4 x 2 ,

z = 36 − x 2 − y 2

y

x

36

12

12

z

z = 0

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 y

x

a

a

a

z

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2

z = 2xy

y

x

1 2

2

4

6

3

8

z

z = x

z = 0

x = 4 − y 2

y

x

4

3

2

4

z

z x 2 3y 2 z 4 x 2

z

1

2 x 2 y 2

x 2 y 2 z 2 80

z 0

z 16 x 2 y 2 z 0

z 6 x 2 y 2 y 2x

y 0,

z 0,

z 9 x 2 ,

z 5 x y

3

0

2 2y 3

0

6 2y 3z

0

ze x2 y 2 dx dz dy

2

0

4 x 2

0

4

1

x 2 sin y

z

dz dy dx

2

0

2 x 2

0

4 y 2

2x 2

y 2 y dz dy dx

3

0

9 y 2

9 y 2 y 2

0

y dz dx dy

2

0

y 2

0

1 y

0

sin y dz dx dy

4

0

2

0

1 x

0

x cos y dz dy dx

4

1

e 2

1

1 xz

0

ln z dy dz dx

4

1

1

0

x

0

2ze x2 dy dx dz

9

0

y 3

0

y 2 9x 2

0

z dz dx dy

1

0

x

0

xy

0

x dz dy dx

1

1

1

1

1

1


3

0

2

0

1

0

x y z dx dz dy



CAS

CAS


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.



9.

10.



11.

12.


solid.


and the plane







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19. 20.

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23. primer octante

24.

25.

26. primer octante




27.


28.


29.


30.


31.


32.




33.

34.

35.

36. Q x, y, z : 0 x 1, y 1 x 2 , 0 z 6

Q x, y, z : x 2 y 2 9, 0 z 4

Q x, y, z : 0 x 2, x 2 y 4, 0 z 2 x

Q x, y, z : 0 x 1, 0 y x, 0 z 3

Q

xyz dV.

Q,

dx dy dz.

2

0

4

2x

y 2 4x 2

0

dz dy dx

dz dy dx.

1

0

1

y

1 y 2

0

dz dx dy

dz dx dy.

3

0

9 x 2

0

6 x y

0

dz dy dx

dy dx dz.

4

0

4 x 2

0

12 3x 6y 4

0

dz dy dx

dx dz dy.

1

1

1

y 2 1 x

0

dz dx dy

dy dz dx.

1

0

0

1

y 2

0

dz dy dx

z x, y x 2, y x 2 ,

z 2 y, z 4 y 2 , x 0, x 3, y 0

z 9 x 3 , y x 2 2, y 0, z 0, x ≥ 0

z 4 x 2 , y 4 x 2 ,

z = 36 − x 2 − y 2

y

x

36

12

12

z

z = 0

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 y

x

a

a

a

z

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2

z = 2xy

y

x

1 2

2

4

6

3

8

z

z = x

z = 0

x = 4 − y 2

y

x

4

3

2

4

z

z x 2 3y 2 z 4 x 2

z

1

2 x 2 y 2

x 2 y 2 z 2 80

z 0

z 16 x 2 y 2 z 0

z 6 x 2 y 2 y 2x

y 0,

z 0,

z 9 x 2 ,

z 5 x y

3

0

2 2y 3

0

6 2y 3z

0

ze x2 y 2 dx dz dy

2

0

4 x 2

0

4

1

x 2 sin y

z

dz dy dx

2

0

2 x 2

0

4 y 2

2x 2

y 2 y dz dy dx

3

0

9 y 2

9 y 2 y 2

0

y dz dx dy

2

0

y 2

0

1 y

0

sin y dz dx dy

4

0

2

0

1 x

0

x cos y dz dy dx

4

1

e 2

1

1 xz

0

ln z dy dz dx

4

1

1

0

x

0

2ze x2 dy dx dz

9

0

y 3

0

y 2 9x 2

0

z dz dx dy

1

0

x

0

xy

0

x dz dy dx

1

1

1

1

1

1


3

0

2

0

1

0

x y z dx dz dy



CAS

CAS

z = 36 − x 2 − y 2

y

x

36

12

12

z

z = 0

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 y

x

a

a

a

z


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.



9.

10.



11.

12.


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19. 20.

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23. primer octante

24.

25.

26. primer octante




27.


28.


29.


30.


31.


32.




33.

34.

35.

36. Q x, y, z : 0 x 1, y 1 x 2 , 0 z 6

Q x, y, z : x 2 y 2 9, 0 z 4

Q x, y, z : 0 x 2, x 2 y 4, 0 z 2 x

Q x, y, z : 0 x 1, 0 y x, 0 z 3

Q

xyz dV.

Q,

dx dy dz.

2

0

4

2x

y 2 4x 2

0

dz dy dx

dz dy dx.

1

0

1

y

1 y 2

0

dz dx dy

dz dx dy.

3

0

9 x 2

0

6 x y

0

dz dy dx

dy dx dz.

4

0

4 x 2

0

12 3x 6y 4

0

dz dy dx

dx dz dy.

1

1

1

y 2 1 x

0

dz dx dy

dy dz dx.

1

0

0

1

y 2

0

dz dy dx

z x, y x 2, y x 2 ,

z 2 y, z 4 y 2 , x 0, x 3, y 0

z 9 x 3 , y x 2 2, y 0, z 0, x ≥ 0

z 4 x 2 , y 4 x 2 ,

z = 36 − x 2 − y 2

y

x

36

12

12

z

z = 0

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 y

x

a

a

a

z

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2

z = 2xy

y

x

1 2

2

4

6

3

8

z

z = x

z = 0

x = 4 − y 2

y

x

4

3

2

4

z

z x 2 3y 2 z 4 x 2

z

1

2 x 2 y 2

x 2 y 2 z 2 80

z 0

z 16 x 2 y 2 z 0

z 6 x 2 y 2 y 2x

y 0,

z 0,

z 9 x 2 ,

z 5 x y

3

0

2 2y 3

0

6 2y 3z

0

ze x2 y 2 dx dz dy

2

0

4 x 2

0

4

1

x 2 sin y

z

dz dy dx

2

0

2 x 2

0

4 y 2

2x 2

y 2 y dz dy dx

3

0

9 y 2

9 y 2 y 2

0

y dz dx dy

2

0

y 2

0

1 y

0

sin y dz dx dy

4

0

2

0

1 x

0

x cos y dz dy dx

4

1

e 2

1

1 xz

0

ln z dy dz dx

4

1

1

0

x

0

2ze x2 dy dx dz

9

0

y 3

0

y 2 9x 2

0

z dz dx dy

1

0

x

0

xy

0

x dz dy dx

1

1

1

1

1

1


3

0

2

0

1

0

x y z dx dz dy



CAS

CAS

z = x

z = 0

x = 4 − y 2

y

x

4

3

2

4

z


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.



9.

10.



11.

12.


solid.


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24.

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27.


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30.


31.


32.




33.

34.

35.

36. Q x, y, z : 0 x 1, y 1 x 2 , 0 z 6

Q x, y, z : x 2 y 2 9, 0 z 4

Q x, y, z : 0 x 2, x 2 y 4, 0 z 2 x

Q x, y, z : 0 x 1, 0 y x, 0 z 3

Q

xyz dV.

Q,

dx dy dz.

2

0

4

2x

y 2 4x 2

0

dz dy dx

dz dy dx.

1

0

1

y

1 y 2

0

dz dx dy

dz dx dy.

3

0

9 x 2

0

6 x y

0

dz dy dx

dy dx dz.

4

0

4 x 2

0

12 3x 6y 4

0

dz dy dx

dx dz dy.

1

1

1

y 2 1 x

0

dz dx dy

dy dz dx.

1

0

0

1

y 2

0

dz dy dx

z x, y x 2, y x 2 ,

z 2 y, z 4 y 2 , x 0, x 3, y 0

z 9 x 3 , y x 2 2, y 0, z 0, x ≥ 0

z 4 x 2 , y 4 x 2 ,

z = 36 − x 2 − y 2

y

x

36

12

12

z

z = 0

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 y

x

a

a

a

z

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2

z = 2xy

y

x

1 2

2

4

6

3

8

z

z = x

z = 0

x = 4 − y 2

y

x

4

3

2

4

z

z x 2 3y 2 z 4 x 2

z

1

2 x 2 y 2

x 2 y 2 z 2 80

z 0

z 16 x 2 y 2 z 0

z 6 x 2 y 2 y 2x

y 0,

z 0,

z 9 x 2 ,

z 5 x y

3

0

2 2y 3

0

6 2y 3z

0

ze x2 y 2 dx dz dy

2

0

4 x 2

0

4

1

x 2 sin y

z

dz dy dx

2

0

2 x 2

0

4 y 2

2x 2

y 2 y dz dy dx

3

0

9 y 2

9 y 2 y 2

0

y dz dx dy

2

0

y 2

0

1 y

0

sin y dz dx dy

4

0

2

0

1 x

0

x cos y dz dy dx

4

1

e 2

1

1 xz

0

ln z dy dz dx

4

1

1

0

x

0

2ze x2 dy dx dz

9

0

y 3

0

y 2 9x 2

0

z dz dx dy

1

0

x

0

xy

0

x dz dy dx

1

1

1

1

1

1


3

0

2

0

1

0

x y z dx dz dy



CAS

CAS

z 1 2x 2 y 2


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.



9.

10.



11.

12.


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19. 20.

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23. primer octante

24.

25.

26. primer octante




27.


28.


29.


30.


31.


32.




33.

34.

35.

36. Q x, y, z : 0 x 1, y 1 x 2 , 0 z 6

Q x, y, z : x 2 y 2 9, 0 z 4

Q x, y, z : 0 x 2, x 2 y 4, 0 z 2 x

Q x, y, z : 0 x 1, 0 y x, 0 z 3

Q

xyz dV.

Q,

dx dy dz.

2

0

4

2x

y 2 4x 2

0

dz dy dx

dz dy dx.

1

0

1

y

1 y 2

0

dz dx dy

dz dx dy.

3

0

9 x 2

0

6 x y

0

dz dy dx

dy dx dz.

4

0

4 x 2

0

12 3x 6y 4

0

dz dy dx

dx dz dy.

1

1

1

y 2 1 x

0

dz dx dy

dy dz dx.

1

0

0

1

y 2

0

dz dy dx

z x, y x 2, y x 2 ,

z 2 y, z 4 y 2 , x 0, x 3, y 0

z 9 x 3 , y x 2 2, y 0, z 0, x ≥ 0

z 4 x 2 , y 4 x 2 ,

z = 36 − x 2 − y 2

y

x

36

12

12

z

z = 0

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 y

x

a

a

a

z

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2

z = 2xy

y

x

1 2

2

4

6

3

8

z

z = x

z = 0

x = 4 − y 2

y

x

4

3

2

4

z

z x 2 3y 2 z 4 x 2

z

1

2 x 2 y 2

x 2 y 2 z 2 80

z 0

z 16 x 2 y 2 z 0

z 6 x 2 y 2 y 2x

y 0,

z 0,

z 9 x 2 ,

z 5 x y

3

0

2 2y 3

0

6 2y 3z

0

ze x2 y 2 dx dz dy

2

0

4 x 2

0

4

1

x 2 sin y

z

dz dy dx

2

0

2 x 2

0

4 y 2

2x 2

y 2 y dz dy dx

3

0

9 y 2

9 y 2 y 2

0

y dz dx dy

2

0

y 2

0

1 y

0

sin y dz dx dy

4

0

2

0

1 x

0

x cos y dz dy dx

4

1

e 2

1

1 xz

0

ln z dy dz dx

4

1

1

0

x

0

2ze x2 dy dx dz

9

0

y 3

0

y 2 9x 2

0

z dz dx dy

1

0

x

0

xy

0

x dz dy dx

1

1

1

1

1

1


3

0

2

0

1

0

x y z dx dz dy



CAS

CAS

z 0

y 2x

z 0,

z 9 x 2 ,

3

0

22y3

0

62y3z

0

ze x2 y 2 dx dz dy

2

0

4x 2

0

4

1

x 2 sin y

z

dz dy dx

2

0

2x 2

0

4y 2

2x 2 y 2 y dz dy dx


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.



9.

10.



11.

12.


solid.


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19. 20.

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24.

25.

26. primer octante




27.


28.


29.


30.


31.


32.




33.

34.

35.

36. Q x, y, z : 0 x 1, y 1 x 2 , 0 z 6

Q x, y, z : x 2 y 2 9, 0 z 4

Q x, y, z : 0 x 2, x 2 y 4, 0 z 2 x

Q x, y, z : 0 x 1, 0 y x, 0 z 3

Q

xyz dV.

Q,

dx dy dz.

2

0

4

2x

y 2 4x 2

0

dz dy dx

dz dy dx.

1

0

1

y

1 y 2

0

dz dx dy

dz dx dy.

3

0

9 x 2

0

6 x y

0

dz dy dx

dy dx dz.

4

0

4 x 2

0

12 3x 6y 4

0

dz dy dx

dx dz dy.

1

1

1

y 2 1 x

0

dz dx dy

dy dz dx.

1

0

0

1

y 2

0

dz dy dx

z x, y x 2, y x 2 ,

z 2 y, z 4 y 2 , x 0, x 3, y 0

z 9 x 3 , y x 2 2, y 0, z 0, x ≥ 0

z 4 x 2 , y 4 x 2 ,

z = 36 − x 2 − y 2

y

x

36

12

12

z

z = 0

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 y

x

a

a

a

z

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2

z = 2xy

y

x

1 2

2

4

6

3

8

z

z = x

z = 0

x = 4 − y 2

y

x

4

3

2

4

z

z x 2 3y 2 z 4 x 2

z

1

2 x 2 y 2

x 2 y 2 z 2 80

z 0

z 16 x 2 y 2 z 0

z 6 x 2 y 2 y 2x

y 0,

z 0,

z 9 x 2 ,

z 5 x y

3

0

2 2y 3

0

6 2y 3z

0

ze x2 y 2 dx dz dy

2

0

4 x 2

0

4

1

x 2 sin y

z

dz dy dx

2

0

2 x 2

0

4 y 2

2x 2

y 2 y dz dy dx

3

0

9 y 2

9 y 2 y 2

0

y dz dx dy

2

0

y 2

0

1 y

0

sin y dz dx dy

4

0

2

0

1 x

0

x cos y dz dy dx

4

1

e 2

1

1 xz

0

ln z dy dz dx

4

1

1

0

x

0

2ze x2 dy dx dz

9

0

y 3

0

y 2 9x 2

0

z dz dx dy

1

0

x

0

xy

0

x dz dy dx

1

1

1

1

1

1


3

0

2

0

1

0

x y z dx dz dy



CAS

CAS

2

0

y2

0

1y

0

sin y dz dx dy

4

0

2

0

1x

0

x cos y dz dy dx

4

1

e 2

1

1xz

0

ln z dy dz dx

4

1

1

0

x

0

2ze x2 dy dx dz

9

0

y3

0

y 2 9x 2

0

z dz dx dy

1

0

x

0

xy

0

x dz dy dx

1

1

1

1

1

1


3

0

2

0

1

0

x y z dx dy dz

sen

sen

14.6 Ejercicios

CAS

CAS


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.



9.

10.



11.

12.


solid.


and the plane







by the paraboloid

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19. 20.

21. 22.

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23. primer octante

24.

25.

26. primer octante




27.


28.


29.


30.


31.


32.




33.

34.

35.

36. Q x, y, z : 0 x 1, y 1 x 2 , 0 z 6

Q x, y, z : x 2 y 2 9, 0 z 4

Q x, y, z : 0 x 2, x 2 y 4, 0 z 2 x

Q x, y, z : 0 x 1, 0 y x, 0 z 3

Q

xyz dV.

Q,

dx dy dz.

2

0

4

2x

y 2 4x 2

0

dz dy dx

dz dy dx.

1

0

1

y

1 y 2

0

dz dx dy

dz dx dy.

3

0

9 x 2

0

6 x y

0

dz dy dx

dy dx dz.

4

0

4 x 2

0

12 3x 6y 4

0

dz dy dx

dx dz dy.

1

1

1

y 2 1 x

0

dz dx dy

dy dz dx.

1

0

0

1

y 2

0

dz dy dx

z x, y x 2, y x 2 ,

z 2 y, z 4 y 2 , x 0, x 3, y 0

z 9 x 3 , y x 2 2, y 0, z 0, x ≥ 0

z 4 x 2 , y 4 x 2 ,

z = 36 − x 2 − y 2

y

x

36

12

12

z

z = 0

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 y

x

a

a

a

z

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2

z = 2xy

y

x

1 2

2

4

6

3

8

z

z = x

z = 0

x = 4 − y 2

y

x

4

3

2

4

z

z x 2 3y 2 z 4 x 2

z

1

2 x 2 y 2

x 2 y 2 z 2 80

z 0

z 16 x 2 y 2 z 0

z 6 x 2 y 2 y 2x

y 0,

z 0,

z 9 x 2 ,

z 5 x y

3

0

2 2y 3

0

6 2y 3z

0

ze x2 y 2 dx dz dy

2

0

4 x 2

0

4

1

x 2 sin y

z

dz dy dx

2

0

2 x 2

0

4 y 2

2x 2

y 2 y dz dy dx

3

0

9 y 2

9 y 2 y 2

0

y dz dx dy

2

0

y 2

0

1 y

0

sin y dz dx dy

4

0

2

0

1 x

0

x cos y dz dy dx

4

1

e 2

1

1 xz

0

ln z dy dz dx

4

1

1

0

x

0

2ze x2 dy dx dz

9

0

y 3

0

y 2 9x 2

0

z dz dx dy

1

0

x

0

xy

0

x dz dy dx

1

1

1

1

1

1


3

0

2

0

1

0

x y z dx dz dy



CAS

CAS



En los ejercicios 37 y 38, la figura muestra la región de integración

In Exercises de la integral 37 and dada. 38, the Reescribir figure shows la integral the region como of una integra-

inte-

CAS CentroideMEn los ejercicios 49 a 54, hallar el centroide de la

CAS

región Centroid sólida In acotada Exercises por 49–54, las gráficas find de the las centroid ecuaciones of the o descri-

solid

gral tion iterada for the equivalente given integral. con Rewrite los otros the cinco integral órdenes.

as an equivalent ta region en la bounded figura. Utilizar by the un graphs sistema of the algebraico equations por or computadora

described by

iterated integral in the five other orders.

y the evaluar figure. las Use integrales a computer triples. algebra (Suponer system densidad to evaluate uniforme the triple

1 1y 3 x 9x y

37. 38.

hallar el centro de masa.)

1

1y 3 x 9x integrals. (Assume uniform density and find the center of mass.)

37.

38.

0 0

2

dz dy dx

0

2 1y

dz dx dy

0 0

2

dz dy dx

0

2 1y

dz dx dy

0 0

0

49. 0 z 0

0 z

z h 50. y 9 x 2 , z y, z 0

x2 , z

z

r x2 y 2 , z h

x ≥ 0

z = 9 − x 2

z = 9 − x 2 9

y x ≥ ≥ 00

51.

z = 1 − y

9

z 16 x 2 y 2 , z 0

z y ≥ ≥ 00

1

z = 1 − y

z ≥ 0

1

x ≥ 0

52.

z 1

6

2, y , z 0, x 2, x 2, y 0, y 1

y x ≥ ≥ 00

2 1 6 y = x

z y ≥ ≥ 0

0

y = x

z

z

53. z

54.

z

z ≥ 0 3

1

12 12 cm

cm

(0, (0, 0, 4)

4)

x

1

1

x = 1 − y 2

x = 1 − y 2

1

y

y

3

x

3

x

x

(0, (0, 3, 3, 0)

0)

Masa y centro de masaMEn los ejercicios 39 a 42, hallar la masa

(5, (5, 0, 0, 0)

0)

Mass and Center of Mass

In Exercises 39– 42, find the mass

y and

las coordenadas the indicated

indicadas coordinates

del centro

of the center

de masa of

del mass

sólido of the

de densidad

dada acotado por las gráficas de las ecuaciones.

CAS

Momentos Moments of de Inertia inerciaMEn In Exercises los ejercicios 55–58, a find 58, Ihallar

I x ,

y , e I x , I y ,

and I z

for

solid

of given density bounded by the graphs of the equations.

z

para the solid el sólido of given de densidad density. dada. Use a Utilizar computer un sistema algebra algebraico

system to

39. 39.

Hallar Find x

using

utilizando

x, y,

x, z

y, z k.

k.

por evaluate computadora the triple y integrals. evaluar las integrales triples.

Q: Q:

2x 2x

3y 3y

6z 6z

12, 12,

x x

0, 0,

y y

0, 0,

z z

0

0

55. (a) 56. (a) x, x, y, y, z z k

40. 40.

Hallar Find y

using

utilizando

x, y,

x, z

y, z ky.

ky.

(b)

(b) x, x, y, y, z z kx kx 2 2 y y 2

2

Q: Q:

3x 3x

3y 3y

5z 5z

15, 15,

x x

0, 0,

y y

0, 0,

z z

0

0

z

z

41. 41.

Hallar Find z

using

utilizando

x, y,

x, z y,

z kx.

kx.

a

a

Q: Q:

z z

4 4

x, x,

z z

0, 0,

y y

0, 0,

y y

4, 4,

x x

0

0

2

42. 42.

Hallar Find y

using

utilizando

x, y,

x, z

y, z k.

k.

Q: x Q: a x y a b y z b z

1

1

a,

a,

b,

b,

c

c

>

>

0,

0,

x

x

c

0,

0,

y

y

0,

0,

z

z

0

0

c

Masa Mass y and centro Center de masaMEn of Mass los In ejercicios Exercises 43 y and 44, 44, formular set up las the

integrales triple integrals triples for para finding hallar the la masa mass y and el centro the center de masa of del mass sóli-

of

do the acotado solid bounded por las gráficas by the graphs de las ecuaciones. of the equations.

43. x x 0, 0, x x b, b, y y 0, 0, y y b, b, z z 0, 0, z z b

b

x, x, y, y, z z kxy

kxy

44. x x 0, 0, x x a, a, y y 0, 0, y y b, b, z z 0, 0, z z c

c

x, x, y, y, z z kz

kz

57. (a) x, x, y, y, z z k

58. (a)

(b)

(b)

ky

ky

Para

Think pensarMEn

About It

la

The figura

center se muestra

of mass el

of centro

a solid de masa

of constant

de un

sólido

density de densidad

is shown constante.

in the figure. En los

In ejercicios

Exercises 45

45–48, a 48, hacer

make una

a

conjetura

conjecture acerca

about de

how cómo

the center cambiará

of mass

el centro

x, y, de

z

will masa

change x, y,

for

z

y

2

4

con

the

la

nonconstant

densidad no

density

constante

x, Explain.

4

Explicar.

x

y

x,

y, z.

y, z.

4

x

45.

45.

z

x,

x,

y,

y,

z

z

kx

kx

z

Momentos de inerciaMEn los ejercicios 59 y 60, verificar los

46.

46. x, y, z kz

8

CAS

2, 0, CAS Moments of Inertia In Exercises 59 and 60, verify the moments

x, y, z kz

8

5)

4

( 2, 0,

5)

momentos de inercia del sólido de densidad uniforme. Utilizar

47.

47. x, y, z ky 2

of inertia for the solid of uniform density. Use a computer

x, y, z ky 2

3

un sistema algebraico por computadora y evaluar las integrales

48.

algebra system to evaluate the triple integrals.

48. x, y, z kxz 2 y 2 2

x, y, z kxz 2 y 2 2

2

triples.

59.

z

59.

x 1 z

I x 12m3a 1 2 L 2

12 m3a2 L 2

I y 1 a

y I y 1 2ma 2

a

L

1 y

2

4 3 2 2 ma2

L

x

I I z 1 z 12m3a 1 2 L 2

12 m3a2 L 2 a

x

a

a

)

3

3

y

3

y

x

20 20 cm

cm

a

x

k

kxyz

z

4

a

z = 4 − x

5 cm 5 cm

y

y

y

x

x

kz

kz

k4 k4 z

z

a

x

a

2

a

2

z

z = 4 − y 2

4

L

2

L

2

y

y

y

y

y

60.



14.6 Triple

14.6

Integrals

Triple Integrals

and Applications

and Applications 1037 1037


z

60. I z

60. x 1 1

I

12 x 12m ma2

a 2 b 2

b 2 CAPSTONE

I y 1 12 mb2 c 2 z

12m a 2 1b 2

y mb2 c z

60.

a CAPSTONE

x 12m 1

2 2 c z

CAPSTONE

60. I c

a

68. Think About It Of the integrals (a)–(c), which one is

z ma2 3 2 1

I z 1 12 ma2 c 2

b

68. Para pensar De las integrales a c), ¿cuál es igual a

12 mb2 x 12m

c 2 a 2 b 2 c

2 b a

68. Think

CAPSTONE

1

About It Of the integrals (a)–(c), which one is

y 12 1 mb2 2 c

a

68. Think equal to fx, y, z dz dy dx? Explain.

2

1 0 1 Explicar.

12 ma2 c 2

3 2 About 1 It Of the integrals (a)–(c), which one is

I y 121

b

equal to f x, y, z dz dy dx? Explain.

z 12 m mb2 c 2

a2 2

c b

a

68. Think About 3 2 It1

Of the integrals (a)–(c), which one is

1

2

equal 1 0 to 1 fx, y, dz dy dx? Explain.

I 2

3 2

1

1

0 1

z 12 ma2 c 2

3 2 1

b

equal to fx, y, z dz dy dx? Explain.

2

1 0 1

b

3 2a)

1 fx, y, z dz dx dy

b a) fx, 1

3

0

2 1

y, z 1 dz dx dy

c

a b

1 0a)

3 2 1

1 f x, y, dz dx dy

c a

1 2 3

2 b

a) 1 0 1 fx, y, z dz dx dy

x 2 a

y

1

x 2 2

b) 2 3 fx, y, dx dy dz

c

b

1 0 1

c a y

1

0

2

1

3

x 2 2

b) fx, y, z dx dy dz

y

1 0 1

x 2c

2a

b) 1 2 3 f x, y, dx dy dz

y

21

03

11

x 2 2

b) fx, y, z dx dy dz

y

2 3c)

1 1 0 1 fx, y, z dy dx dz

c) fx, 0

2

1

3

y, z 1 dy dx dz

0 1c)

2 3 1

1 f x, y, dy dx dz

c) 0 1 1 fx, y, z dy dx dz

I x

1

I y

1

I z

1

Momentos de inerciaMEn los ejercicios 61 y 62, dar una integral

triple

Moments

que represente

of Inertia

el

In

momento

Exercises

de inercia

61 and

con

62,

respecto

set up a

al

triple

eje z Valor

Average

promedioMEn

Value In Exercises

los ejercicios

69–72,

69 a

find

72, hallar

the average

el valor

value

promedio

of

Moments

de

Moments integral

of Inertia

la región

that of

sólida

Inertia gives

In Exercises

Q

the

de

In moment

densidad

Exercises

61 and

of

.

inertia 61

62,

and

set

about

up

62,

a

the set

triple

zup -axis triple of the Average

Average

Value

the

de

function

In

la

Value

Exercises

función

over In

sobre

the Exercises

69–72,

given

el sólido

solid.

find

69–72,

dado.

The

the

find

El

average

average

valor

the value average

value

promedio

of

of

a value continuous

de una

of

integral that Moments

solid

gives of

region

the Inertia

Q

moment In

of density

of inertia Exercises

.

about 61 the and z-axis 62, set of the up a triple

integral that gives the moment of inertia about the -axis of the the function Average

61.

función

over Value

the given In

continua

f x,

f(x,

y,

solid. Exercises

z

y, z)

over

The

sobre

a

average 69–72, find

solid

una

region

value the

región

Q

of

sólida

is

a average continuous

function the function f x, y, zover over the a solid given region solid. The Q isaverage value of a contin-

value of

the function over the given solid. The average value

Q

of

es

continuous

function x, y, over solid region is

solid region integral Q of x, that density y, gives z: 1 . the ≤moment x ≤ 1, 1 of inertia ≤ y ≤ about 1, 0 ≤ the z ≤z-axis 1 x of the

solid region

of density .

solid 61. Qregion

x, Qy, of z : density 1 x.

1, 1 y 1, 0 z 1 x 1uous 1 function f x, y, z over a solid region Q is

61. Q 1

fx, y, z dV

61.

x, y, z :

x,

1

62. x 2 y, x

y: 1,

z 2

1

1,

y 1, 0 z

1, 1 x

V V f x, y, z dV

Q x, y, z: x 2 y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4 x 2 y 2 fx, y, z dV

61.

Q

x 2 Q

y 2 x, y,

z 2 z : 1 x 1, 1 y 1, 0 z 1 x V 1 fx, y, dV

62. Q x, y, z : x 2 y 2 1, 0 z 4 x 2 y 2

Q

2 2 2

fx, y, z dV

Q

donde where

Ves is el the volumen de of la the región solid region sólida Q.

62. Q x, y, z : x 2 x 2 y

y 2 2 1,

z 2

V

0 z 4 x 2 y 2

Q

62.

kxx, 2 y, : 2 2 1, 2 2 where V is the Q volume of the solid region Q.

62.

En

kx

los 2 Q x, y, z : x 2 y 2 1, 0 z 4 x 2 y 2

where

is the volume of the solid region Q.

ejercicios 63 y 64, utilizando la descripción de región só-

where 69. f(x, fx, Vy, y, is z) zthe zvolume 2 z 2 4 sobre 4 over of the el the cubo solid cube en region in el the primer Q. first octante bounded acotado por by

kx

los planos coordenados, y los planos

lida, In Exercises kx 2

dar la integral 2

69. fx, y,

63 and para 64, using 1 y z 1.

a) la masa, the description b) el centro of the de masa solid region,

69.

z

fx, the

z

coordinate 2 y, 4 over planes and the planes x 1, y 1, and z 1

y c) el

2 the cube

over the

in the

cube

first

in

octant

the first

bounded

octant bounded

by

by

In Exercises

momento set up

63

the

and

de integral

64, using

inercia con for

the

(a)

description

respecto the mass, al eje (b)

of the

z. the

solid

center

region, the coordinate 69. fx, y, planes z zand the planes x 1, y 1, and z 1

In Exercises 63 and 64, using the description of the of solid mass, region, and 70. 70. f

the fx, x,

coordinate 2 4 over the cube in the first octant bounded by

y, z z xyz

planes

sobre over the and

el cubo cube the planes in en the el primer first octant 1,

octante bounded 1, and

acotado by por the

set up the In

(c)

integral Exercises

the moment

for 63 (a) and

of

the 64,

inertia

mass, using

about

(b) the the description

the

center

z-axis.

of mass, of the and solid region, 70. fx, y, z

the

los coordinate

xyz

coordinate

over

planos coordenados planes

the

planes

cube

and

in

and

the

the

the

y los planes

first

planes

octant

x

planos x x 4,

bounded

1, y

4, y y 4,

by

1,

and

the

and z 1

set up the integral for (a) the mass, (b) the center of mass, and 70. fx, y, xyz over the cube in the first octant bounded y z 4. by 4 the

(c) the moment 63. set El up sólido the of inertia integral acotado about for por (a) the z the z-axis.

4 mass, x 2 (b) y 2 the y zcenter 0 con of la mass, función and coordinate 70. fx,

63. de The densidad solid bounded by z 4 x 2 y 2 and z 0 with density 71. 71. f fx, planes y,

x, y, y, z

z z and xyz

x the over

y planes the

z

xcube 4, in ythe 4, first and octant z bounded 4 by the

(c) the moment of inertia about the -axis.

coordinate planes and the

sobre over planes the el tetraedro tetrahedron 4,

4,

en in and

el the primer first (c) the moment of inertia about the z-axis.

octante

63. The solid cuyos vértices son

y

64. El function

bounded by with vertices 0, 0, 2, 0, , 0, 2, 0 and 0, 2

sólido en el primer kz

and with density

71. fx, y, z

coordinate

x y

planes

z over

and

the

the

tetrahedron

planes x

in

4,

the

y

first

4,

octant

and z 4

63. The solid bounded

z 4

by 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0 0, 0, 2

octante x 2 y 2

acotado 2 z por and

0

los planos with coordenados

function The y xsolid 2 yin 2 the kz

2 y 2 and z 0 with density

density

71. fx, y, over the tetrahedron in the first octant

function 63. The solid kz bounded by z 4 x 2

with vertices 0, 0, 0 , 2, 0, 0, 2, and 0, 0, 2

64.

71. fx, y, z x y z over the tetrahedron in the first octant

z 2 first 25 octant con función bounded de by densidad the coordinate planes 72. 72. with

f(x, fx, y, y, vertices

z) z x 0, 0,

y

sobre over , 2,

el the 0, ,

sólido solid 0, 2,

acotado bounded and 0,

por la by 0, esfera the xsphere

2 y 2

64. The solid

function

and

in the

x 2 first

y 2 octant

kz

z 2 bounded

25 with

by

density

the coordinate

function

planes

72. fx, y, z

with

kxy

x 2 x

vertices

y 2 y over

0,

3. z 2 the

0, 0

3

solid

, 2, 0,

bounded

0 , 0, 2, 0

by

and

the

0,

sphere

0, 2


72. fx, y, over the solid bounded by the sphere

and x64. 2 The y 2 solid with density function

x 2 y 2 z 2 3

and

2 z 2 in 2 25the 2 first octant bounded by the kxycoordinate planes

72. fx,

with density function

2 y, 2 z 2 x y over the solid bounded by the sphere

25

kxy

and x 73. Hallar Find the la región solid region sólida Q

where donde the la integral triple integral triple

Desarrollo WRITING 2 y

ABOUT 2 z

de 2 25 with density function kxy CAS x 2 y 2 z 2 3

conceptos CONCEPTS

CAS 73. Find the solid region Q where the triple integral


CAS 73. Find the solid region where the triple integral

WRITING 65. Define a ABOUT triple integral CONCEPTS and describe a method of evaluating CAS 73. Find the solid

65. Define 65. a Definir triple una integral triple y describir un método para evaluar

una integral triple.

2 y 2 3z 2 dV

11 2x 2x 2 region 2 y 2 Q where 2 3z 3z 2 the triple integral

WRITING 2 dV

a triple

integral

ABOUT

integral.

and describe

CONCEPTS

65. Define triple integral and describe

a method of

method

evaluating

of evaluating 1 2x

a triple 65. integral. Define a triple integral and describe a method of evaluating

Q

2x 2 2 3z 2 dV

66. Determine triple integral.

1 2x

whether the moment of inertia about the y-axis

Q es is un a maximum. máximo. 2 y

Utilizar 2 3z

Use a computer un sistema 2 dV

algebra algebraico system por to computadora approximate y

66. Determine 66. Determinar a triple si el momento de inercia con respecto al eje y del

of

whether

integral.

Q

66. Determine the cylinder whether

the in Exercise the moment

of inertia

59 will of

about

increase inertia

the

about

y-

or

axis

decrease the y-axis

for is a maximum. Q

aproximar the Use el a valor computer

value. máximo. What

algebra

is ¿Cuál the

system

exact es el to

maximum valor approximate máximo value? exacto?

of the 66. cylinder cilindro Determine del ejercicio 59 aumentará o disminuirá

the nonconstant Exercise whether

density

59 the will moment increase of

x, y, z

or inertia decrease

x 2 about

z 2 for con the la y- densidad

constante

y

74. 74. Hallar

axis

is maximum. Use computer algebra system to approximate

of the cylinder in Exercise 59 will increase or decrease and a for 4. the maximum is a maximum. value.

Find the la región

What Use

solid region sólida

is a the computer

Q

exact

where donde

maximum algebra system

the la integral

value? to approximate

the nonconstant of the cylinder density in x, Exercise y, z 59 xwill 2 increase z 2 and a 4.

the maximum value. What is the exact triple maximum integral triple value?

CAS

67. the Consider nonconstant two solids, density solid x, A y, and solid B,

2 or

of equal 2 decrease for CAS

and weight 4.

CASas74. Find the solid

the maximum

region Q

value.

where

What

the triple

is the

integral

exact maximum value?

67. Consider 67. Considerar the el sólido A y el sólido B de pesos iguales que se

shown

two

nonconstant

solids,

below.

solid

density

A and solid

x, y,

B,

z

of equal

x 2 weight

z 2 and

as

a CAS 74. Find the solid region where the triple integral

67. Consider two solids, solid and solid B, of equal weight as CAS 74. Find the

shown below. muestran en la figura.

11

solid

xx 22

region

yy 22

Q

zz 22

where

dV

the triple integral

67. Consider two solids, solid A and solid B, of equal weight as

dV

shown (a) Because below. the solids have the same weight, which has the 1 x 2 y 2 z 2 dV

Q

(a) Because a) shown Como the

below. los sólidos tienen el mismo peso, ¿cuál tiene la

greater

solids

density?

have the same weight, which has the

2 2 2 dV

(a) Because the solids have the same weight, which has the

1 x 2 y 2 z 2 dV

Q

greater (a) densidad density? Because mayor? the solids have the same weight, which has the es is Qun a maximum. máximo. Utilizar Use a computer un sistema algebraico system por to computadora approximate y

(b) greater Which density? solid has the greater moment of inertia? Explain. is a maximum. Q

aproximar the Use el a valor computer

value. máximo. What

algebra

is ¿Cuál the

system

exact es el to valor maximum

approximate máximo value? exacto?

(b) Which b) ¿Cuál solid

greater

has sólido the

density?

greater tiene moment el momento of inertia? de Explain. inercia mayor?

is maximum. Use computer algebra system to approximate

(b) the maximum value. What is the exact maximum value?

(c) Which

Explicar. The solids solid are has rolled the greater down moment an inclined of inertia? plane. They Explain.

is a maximum. Use a computer algebra system to approximate

are 75. 75. Encontrar the Solve maximum for a en in value. the la integral triple What integral. triple. is the exact maximum value?

(c) The solids

(b) Which

(c) The started

are

solids

rolled

solid

at the are

down

has the

same rolled

an

greater

time down

inclined

moment

and an at

plane.

of

inclined the same

They

inertia?

plane. height.

are

Explain.

They Which are75. Solve for

the

a in

maximum

the triple

value.

integral.

What is the exact maximum value?

11

3ay 3 a y 2 4 x y 2

will reach the bottom first? Explain.

14

dz dx dy

0

2 4xy

started c) (c) Los at The the sólidos same solids se time are hacen rolled and rodar at down the hacia same an inclined abajo height. en Which plane. un plano They inclinado.

Empiezan al mismo tiempo y a la misma altura.

2 4

are

Solve for in the triple 2 integral.

started at the same time and at the same height. Which

dz dx dy 14

1 375. a

Solve

y

for

x a in the triple integral.

1 3 a y 2

will reach started the bottom at the first? same Explain. time and at the same height. Which

2 4 x y 14

0 00

dz a

15

a dx dy

2

will reach the bottom first? Explain.

1 3 a y 2 4 x y 2 14 15

¿Cuál will llegará reach the abajo bottom primero? first? Explicar. Explain.

dz dx

0 0 a

15 dy 14

0 0 a dz dx dy 15

76. 76. Determinar Determine 0 0

el the avalor value de of b de b such manera that 15que the el volumen of del the elipsoide ellipsoid

76. Determine

76. Determine x 2 the value

y 2 bthe 2 of b

value

such

z 2 9of that such 1

the

es 16

volume

that . the

of

volume

the ellipsoid

of the ellipsoid

x 2 76. y 2 Determine b 2 z 2 9 1 es 16 .

Axis of

2 2 2 the value 2 of b such that the volume of the ellipsoid

es 16 .

x es 16 .

Axis of

Axis revolution of

PUTNAM 2 y 2 b

EXAM 2 z 2 9 1

CHALLENGE

revolution PUTNAM EXAM CHALLENGE

Axis of

revolution

Axis Eje de of

Preparación PUTNAM 77. EvaluateEXAM del CHALLENGE examen Putnam

Axis of

revolution

revolution

revolución 77. Evaluate


Axis of

77. Evaluate 1 1 1

revolution

Eje revolution

Axis

de

of

1

77. 1límEvaluar

Evaluate 1 . . . cos 2

n→ 0 0 0 2n x 1 x . . .

2 x n dx 1 dx . . . 2 dx n .

lím . . . 1 1

cos

revolución

2 1

revolution

n→ 0 0 0 2n x 1 x . . .

lím . . . cos 2 x n dx 1 dx . . . 1 1 1 2 2 dx n .

Solid A

Solid B

n→ 0 0 0 2n 1 . . .

2 n dx 1 dx . . . 2 dx n .

lím . . . cos 2

Solid A

Solid B

n→ This problem 0 0 was composed 0 2n x 1 x . . .

2 x n dx 1 dx . . . 2 dx n .

by the Committee on the Putnam Prize Competition.

Solid Solid This problem © was The composed Mathematical by the Association Committee of on America. the Putnam All rights Prize reserved. Competition.

Sólido Solid A A

Sólido Solid BB


x 2 y 2 z 2

kx 2

kz

Para discusión

0 1 1

x, y, z x 2 z 2

kxy

© The Mathematical Este Association of America. All rights reserved.

This problema

The Mathematical was fue preparado composed por

Association by the el on the Prize of Committee America. All on rights the Putnam reserved. Prize Competition.

© The The Mathematical Association of of America. Todos All rights los derechos reserved. reservados.


14.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas

■

■

Expresar y evaluar una integral triple en coordenadas cilíndricas.

Expresar y evaluar una integral triple en coordenadas esféricas.


θ = 0

PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749-1827)

Uno de los primeros en utilizar un sistema

de coordenadas cilíndricas fue el matemático

francés Pierre Simon de Laplace. Laplace ha

sido llamado el “Newton de Francia”, y publicó

muchos trabajos importantes en

mecánica, ecuaciones diferenciales y probabilidad.

z

∆r i

r i ∆θ

Volumen del bloque cilíndrico:

V i r i r i i z i

Figura 14.63

∆z i

= θ

π

2

Integrales triples en coordenadas cilíndricas

Muchas regiones sólidas comunes como esferas, elipsoides, conos y paraboloides pueden

dar lugar a integrales triples difíciles de calcular en coordenadas rectangulares. De hecho,

fue precisamente esta dificultad la que llevó a la introducción de sistemas de coordenadas

no rectangulares. En esta sección se aprenderá a usar coordenadas cilíndricas y esféricas

para evaluar integrales triples.

Recuérdese que en la sección 11.7 se vio que las ecuaciones rectangulares de conversión

a coordenadas cilíndricas son

AYUDA DE ESTUDIO Una manera fácil de recordar estas ecuaciones es observar que las

ecuaciones para obtener x y y son iguales que en el caso de coordenadas polares y que z

no cambia.

En este sistema de coordenadas, la región sólida más simple es un bloque cilíndrico

determinado por

como se muestra en la figura 14.63. Para expresar una integral triple por medio de coordenadas

cilíndricas, supóngase que Q es una región sólida cuya proyección R sobre el

plano xy puede describirse en coordenadas polares. Es decir,

y

x r cos

y r sen sin

z z.

r 1 ≤ r ≤ r 2 ,

Q x, y, z: x, y está en R,

R r, : 1 ≤

Si ƒ es una función continua sobre el sólido Q, se puede expresar la integral triple de ƒ

sobre Q como

Q

1 ≤

h

fx, y, z dV R

2

x, y

donde la integral doble sobre R se evalúa en coordenadas polares. Es decir, R es una región

plana que es r-simple o -simple. Si R es r-simple, la forma iterada de la integral triple en

forma cilíndrica es

≤

2,

z 1 ≤ z ≤ z 2

h 1 x, y ≤ z ≤ h 2 x, y

≤ 2, g 1 ≤ r ≤ g 2 .

h 1 x, y

2 g

fx, y, z dV

2 1g 1

Q

fx, y, z dz dA

h 2 r cos , r sen sin

h 1 r cos , r sin sen

fr cos , r sen sin , zr dz dr d.

NOTA Éste es sólo uno de los seis posibles órdenes de integración. Los otros cinco son dz d dr,

dr dz d, dr d dz, dz dr, y d dr dz.

■

d

SECCIÓN 14.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 1039

θ = 0

z

Integrar con respecto a r

θ = 0

z

Integrar con respecto a

θ = 0

z

Integrar con respecto a z

Figura 14.64

θ = π 2

θ = π 2

θ = π 2

Para visualizar un orden de integración determinado ayuda contemplar la integral iterada

en términos de tres movimientos de barrido, cada uno de los cuales agrega una dimensión

al sólido. Por ejemplo, en el orden dr d dz, la primera integración ocurre en la dirección

r, aquí un punto barre (recorre) un rayo. Después, a medida que aumenta, la recta barre

(recorre) un sector. Por último a medida que z aumenta, el sector barre (recorre) una cuña

sólida como se muestra en la figura 14.64.

EJEMPLO 1

EXPLORACIÓN

Volumen de un sector paraboloide En las

páginas 997, 1006 y 1028, se pidió resumir

las formas, conocidas para hallar

el volumen del sólido acotado por

el paraboloide

z a 2 x 2 y 2 ,

a > 0

y el plano xy. Ahora ya se conoce un método

más. Utilícese para hallar el volumen del sólido.

Comparar los diferentes métodos. ¿Cuáles

son las ventajas y desventajas de cada uno?

Hallar el volumen empleando coordenadas cilíndricas

Hallar el volumen de la región sólida Q que corta en la esfera x 2 y 2 z 2 4 el cilindro

r 2 sin sen , como se muestra en la figura 14.65.

−a

x

a

a 2

z

a

y

Esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = 4

2

z

Solución Como x 2 y 2 z 2 r 2 z 2 4, los límites o cotas de z son

4 r 2 ≤ z ≤ 4 r 2 .

Sea R la proyección circular del sólido sobre el plano . Entonces los límites o cotas de

R son 0 ≤ r ≤ 2 sen sin y 0 ≤ ≤ . Por tanto, el volumen de Q es

r

x

3

Figura 14.65

3

R

Cilindro:

r = 2 sen θ

y

V

2

2

2

0

4

3

32

3

32

3

0

0

0

0

0

0

2 sen

2

2

2

2

0

2 sen

0

2

2 sen

sen

16

9 3 4

9.644.

4 r 2

4 r 2 r dz dr d

4 r 2

2r 4 r 2 dr d

2 sen

2

3 4 r 2 3 2

8 8 cos 3 d

4 r 2 r dz dr d

1 cos 1 sen 2 d

sen 3

3

0

0

2

d


EJEMPLO 2

Hallar la masa empleando coordenadas cilíndricas

0 ≤ z ≤ 16 − 4r 2

4

z

Hallar la masa de la porción del elipsoide Q dado por 4x 2 4y 2 z 2 16, situada sobre

el plano xy. La densidad en un punto del sólido es proporcional a la distancia entre el punto

y el plano xy.

Solución La función de densidad es r, , z kz. Los límites o cotas de z son

0 ≤ z ≤ 16 4x 2 4y 2 16 4r 2

x 2

2

y

Elipsoide: 4x 2 + 4y 2 + z 2 = 16

Figura 14.66

donde 0 ≤ r ≤ 2 y 0 ≤ ≤ 2, como se muestra en la figura 14.66. La masa del sólido

es

m

2 164r

0 0

2

0

2

0 0 0

2

0 0

2

2

k

2

k

2

k

8k

2

2

2

0

8r2 r 4 2 0

0

2

z 2 r

164r 2

16r 4r 3 dr d

d 16k.

kzr dz dr d

d

dr d

La integración en coordenadas cilíndricas es útil cuando en el integrando aparecen

factores con la expresión x 2 y 2 como se ilustra en el ejemplo 3.

z

EJEMPLO 3

Hallar el momento de inercia

−2

x

Figura 14.67

5

1

1

2 2

Limitado o acotado por Q:

z = x 2 + y 2

z = 4

y

Hallar el momento de inercia con respecto al eje de simetría del sólido Q limitado o acotado

por el paraboloide z x 2 y 2 y el plano z 4, como se muestra en la figura 14.67.

La densidad en cada punto es proporcional a la distancia entre el punto y el eje z.

Solución Como el eje z es el eje de simetría, y x, y, z kx 2 y 2 , sigue que

kx 2 y 2 x 2 y 2 dV.

I z

Q

En coordenadas cilíndricas, 0 ≤ r ≤ x 2 y 2 z. Por tanto, se tiene

4

I z k0

4

k0

0

4

k0

0

k 5

0

4

2

z

0 0

2

2

r 5

5 z

0

z 52

5 d dz

z 52 2 dz

r 2 rr dr d dz

d

dz

2k

5 2 7 4 z72 512k

0 35 .


x

z

∆ρ

i

ρ i

sen φ i

∆θ

i

ρi ∆ φi

Bloque esférico:

V i i2 sen i i i i

Figura 14.68

y

Integrales triples en coordenadas esféricas

Las integrales triples que involucran esferas o conos son a menudo más fáciles de

calcular mediante la conversión a coordenadas esféricas. Recordar que en la sección 11.7

se vieron las ecuaciones rectangulares para conversión a coordenadas esféricas

x

y

z

En este sistema de coordenadas, la región más simple es un bloque esférico determinado

por

, , : 1 ≤

donde 1 ≥ 0, 2 1 ≤ 2, y 0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ , como se muestra en la figura 14.68. Si

, , es un punto en el interior de uno de estos bloques, entonces el volumen del bloque

puede ser aproximado por V 2

sen sin (ver ejercicio 18 en los ejercicios de

solución de problemas de este capítulo).

Utilizando el proceso habitual que comprende una partición interior, una suma y un

límite, se desarrolla la versión siguiente de una integral triple en coordenadas esféricas

para una función continua ƒ en la región sólida Q.

Esta fórmula puede modificarse para emplear diferentes órdenes de integración y se puede

generalizar a regiones con límites o cotas variables.

Como las integrales triples en coordenadas cilíndricas, las integrales triples en coordenadas

esféricas se evalúan empleando integrales iteradas. Como sucede con las coordenadas

cilíndricas, se puede visualizar un orden determinado de integración contemplando

la integral iterada en términos de tres movimientos de barrido, cada uno de los cuales agrega

una dimensión al sólido. Por ejemplo, la integral iterada

2

sin sen

cos

sen sin sin sen

cos .

4 3

0 0 0

≤

2

sin sen

2,

2

2

fx, y, z dV 1

1

Q

1 ≤

d d d

1 ≤

(que se usó en el ejemplo 4) se ilustra en la figura 14.69.

2

1

f

≤

2,

≤

2

sin sen

cos , sen sin sen sin , cos 2

sen sin

d d

d.

Cono: z Esfera:

x 2 + y 2 = z 2 x 2 + y 2 + z 2 = 9

ρ = 3

z

z

θ

ρ

φ

−2

x

2

1

varía desde 0 hasta 3 mientras

se mantienen constantes

Figura 14.69

1

2

y

y

−2

2

1 2

y

x

varía desde 0 hasta 4

mientras se mantiene constante

−2

y

2

1 2

x

varía desde 0 hasta 2

NOTA Cuando la letra griega se emplea en coordenadas esféricas no está relacionada con la densidad.

Es la análoga tridimensional de la r que se utiliza en coordenadas polares. En este texto, en

los problemas en los que se empleen coordenadas esféricas y una función de densidad, se usará un

símbolo diferente para denotar la densidad.

■


EJEMPLO 4

Hallar un volumen en coordenadas esféricas

Hoja superior

del cono:

z 2 = x 2 + y 2

z

Hallar el volumen de la región sólida Q limitada o acotada inferiormente por la hoja superior

del cono z 2 x 2 y 2 y superiormente por la esfera x 2 y 2 z 2 9, como se


3

Solución

En coordenadas esféricas, la ecuación de la esfera es

2

x 2 y 2 z 2 9

3.

−3

−2

3

x

2

Figura 14.70

1

1

2

3

Esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = 9

y

La esfera y el cono se cortan cuando

x 2 y 2 z 2 z 2 z 2 9

y, como z cos , se tiene que

Por consiguiente, se puede utilizar el orden de integración

≤ 3, 0 ≤ ≤ 4, y 0 ≤ ≤ 2. El volumen es

2

3 2 1 3 cos

V dV

Q

4

sen

0 0

90

9

2

2

2

9 sin

4

cos 0

0

1 2

4 3

0 0 0

d d

d

4 .

2

sen sin

z

d d d

3 2

2 d 9 2 2 16.563.

d d

d,

donde 0 ≤

EJEMPLO 5

Hallar el centro de masa de una región sólida

Hallar el centro de masa de la región sólida Q de densidad uniforme, limitada o acotada

inferiormente por la hoja superior del cono z 2 x 2 y 2 y superiormente por la esfera

x 2 y 2 z 2 9.

Solución Como la densidad es uniforme, se puede considerar que la densidad en el punto

x, y, z es k. Por la simetría, el centro de masa se encuentra en el eje z, y sólo se necesita

calcular z M xy m, donde m kV 9k 2 2 por el ejemplo 4. Como z cos ,

se sigue que

M xy

Q

Por tanto,

3

kz dV k0

3

k0

k 4

z M xy

m 81k8

9k 2 2

0

3

00

92 2

16

1.920

y el centro de masa es aproximadamente 0, 0, 1.92.

2

4

0 0

2

2

3 sin2 sen 2

2

3

d

cos 2

sen sin

4

0

d k

d d

3

2

0

d d d

3

d 81k

8 .


14.7 Ejercicios

CAS


5 2 3

4 6 6r

1. r cos dr d dz 2. rz dz dr d

3.

4.

5.

6.



7.

8.

En los ejercicios 9 a 12, dibujar la región sólida cuyo volumen

está dado por la integral iterada, y evaluar la integral iterada.

2 3 e 5

9.

10.

r 2

r dz dr d

r dz dr d

11.

12.

En los ejercicios 13 a 16, convertir la integral de coordenadas

rectangulares a coordenadas cilíndricas y a coordenadas esféricas,

y evaluar la integral iterada más sencilla.

13.

14.

15.

1

0 0

2 2 cos

2 4r

2

0 0 0

2 2

0 0 0

4 cos

0 0 0

4 4 cos

0 0 0

4 z

0

00

2

sin sen

0 0 0

2

0 0 0

2 4

0 60

5

0 0 2

2

2

2

e 3 2

d d d

2

sin sen d d d

2

sen sin cos d d d

re r d dr dz

r sen sin dz dx dr dr d d

2 cos 2

d d d

2

sen sin d d d

2

sin sen d d d

2

2

2

4x 2 4

4x

2 4x

0

2 16x

2 y 2

0 0

a a

a

2

2 x 2 aa 2 x 2 y 2

a 2 x a

9x

2 9x

2 y 2

0 0 0

3

16.

x 2 y 2 x dz dy dx

x 2 y 2 dz dy dx

x dz dy dx

0

00

Volumen En los ejercicios 17 a 22, utilizar coordenadas cilíndricas

para hallar el volumen del sólido.

17. Sólido interior a x 2 y 2 z 2 a 2 y

x a2 2 y 2 a2 2

18. Sólido interior a x 2 y 2 z 2 16 y exterior a z x 2 y 2

19. Sólido limitado arriba por z 2x y abajo por z 2x 2 2y 2

20. Sólido limitado arriba por z 2 x 2 y 2 y abajo por z

x 2 y 2

2

0 0

x 2 y 2 z 2 dz dy dx

5r 2

0

CAS

CAS

21. Sólido limitado o acotado por las gráficas de la esfera r 2

z 2 a 2 y del cilindro r a cos

22. Sólido interior a la esfera x 2 y 2 z 2 4 y sobre la hoja

superior del cono z 2 x 2 y 2

Masa En los ejercicios 23 y 24, utilizar coordenadas cilíndricas

para hallar la masa del sólido Q.

23. Q x, y, z: 0 ≤ z ≤ 9 x 2y, x 2 y 2 ≤ 4

x, y, z kx 2 y 2

24. Q x, y, z: 0 ≤ z ≤ 12e x2 y 2 , x 2 y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0

x, y, z k

En los ejercicios 25 a 30, utilizar coordenadas cilíndricas para

hallar la característica indicada del cono que se muestra en la

figura.

x

h

25. Volumen Hallar el volumen del cono.

26. Centroide Hallar el centroide del cono.

27. Centro de masa Hallar el centro de masa del cono suponiendo

que su densidad en cualquier punto es proporcional a la distancia

entre el punto y el eje del cono. Utilizar un sistema algebraico

por computadora y evaluar la integral triple.

28. Centro de masa Hallar el centro de masa del cono suponiendo

que su densidad en cualquier punto es proporcional a la distancia

entre el punto y la base. Utilizar un sistema algebraico por

computadora y evaluar la integral triple.

29. Momento de inercia Suponer que el cono tiene densidad uniforme

y mostrar que el momento de inercia con respecto al eje z

es

I z 3 10 mr 0 2 .

30. Momento de inercia Suponer que la densidad del cono es

x, y, z kx 2 y 2 y hallar el momento de inercia con

respecto al eje z.

Momento de inercia En los ejercicios 31 y 32, usar coordenadas

cilíndricas para verificar la fórmula dada para el momento de

inercia del sólido de densidad uniforme.

31. Capa cilíndrica: I z 1 2 ma2 b 2

0 < a ≤ r ≤ b,

z

(

r 0

z = h 1 − r r 0

y

0 ≤ z ≤ h

(

34 PM Page 1044

1044 Chapter CAPÍTULO 14 14Multiple Integración Integration múltiple



Cilindro recto: I z 3 3

2 ma2 3

CAS

1044 32. Right circular Chapter cylinder: 14 Multiple I z 2ma Integration

2


ultiple CAS Integration 32. Right circular cylinder: I z 2ma 2

3

CAPSTONE

r 2a CAS

sen sin , 32. ,

Right 0 ≤ zzcircular ≤ hh

cylinder: I z 2ma 2

48. Convert the CAPSTONE integral from rectangular coordinates to both

r 2a sin , 0 z h

48. 48. Convert (a) Convertir cylindrical the la integral integral and (b) from spherical desde rectangular coordenadas coordinates. coordinates rectangulares Without to both calcu-lating,

which integral

Utilizar Use a computer un sistema r algebra 2a algebraico sin system , 3 0por to evaluate zcomputadora h the triple y calcular integral. la (a) a) cylindrical coordenadas 48. Convert

and cilíndricas the

(b) spherical y integral b) coordinates. esféricas. from Sin rectangular

Without calcular, coordinates

calculating,

integral which parece (a) ser cylindrical

¿qué to both

CAS 32. Right circular cylinder: I z 2ma 2

CAPSTONE

3

I z 2ma 2 Use integral a computer triple. algebra system

CAPSTONE

to evaluate the triple integral.

appears

más appears sencilla and

to be

to be de (b)

the

the evaluar? spherical

simplest

simplest ¿Por coordinates.

to evaluate?

to evaluate? qué? Without calculating,

from which rectangular integral appears coordinates to be the to simplest both to evaluate?

Volume r 2a In sin Exercises , 0

Use a

z

computer

33–36, h

algebra system to evaluate the triple integral.

use spherical coordinates to find 48. Convert Why? the integral

h

48. Convert the integral from rectangular coordinates Why?

Volume Volumen the volume In En Exercises of los the ejercicios solid. 33–36, 33 use a 36, spherical utilizar coordinates coordenadas to esféricas

volume para calcular of the solid.

lating,

find

(a) acylindrical a 2 to x 2 both and Why? a 2 (b) x 2 spherical y 2 coordinates. Without calcu-

Use a computer Volume algebra In system Exercises to

(a)

evaluate 33–36, cylindrical use the triple spherical and (b)

integral.

spherical coordinates coordinates. to find

the

a

Without a


2 which x 2 calculating,

outside which z integral x 2 appears y 2 a

integral a 2 x 2 y 2 x 2 y 2 z 2 dz dy dx

system to evaluate

33. Solid

the triple

inside

integral.

x 2 y 2 z 2 appears to be the simplest to evaluate?


0 0 0 a

9,

, andto be the simplest to evaluate?

2 x 2

ay 2 x 2 z 2 y

Why?

2

dz dy dx

Volume

Sólido

In

interior

Exercises

33. Solid inside x 2 x 2 y 2 33–36,

y 2 z 2 z 2

use

9,

spherical

exterior

coordinates

outside Why? z x 2 y 2 to

y

find

0 0 0

x 2 y 2 z 2 dz dy dx

arriba

36, use spherical coordinates

above the xy-

9,

, and

33.

del plano xy.

to

plane Solid find inside x 2 y 2 z 2 outside z x 2 y 2 a

0 0 0


9,

, and a 2 x 2 a 2 x 2 y 2

above the xy-plane

a

34. Solid bounded above by x 2 y 2 az 2 x 2

z and a 2 x 2 below y 2

by 49. Hallar el “volumen” de la “esfera

x

above the xy-plane

2 y

en 2 cuatro

z 2 dz dy

dimensiones”

dx

34. Sólido limitado arriba por x 2 y 2 2 z y abajo xpor

2 y 2 49. z 2 dz Find dy dx the “volume” of the “four-dimensional sphere”

34. 33. Solid z bounded inside x 2 yx 2 2 above y 2 by z 2 x 2 youtside 2 z 2 zz

and x 2 below y 2 0 0 0

9,

, by and

z 2 9, outside z x 2 34.

y 2 0 0 0

,.

Solid

and

bounded above by x 2 y 2 z 2 z and below 49. Find the “volume” of the “four-dimensional sphere”

z x 2 y 2 x 2 by

above the xy-plane

y 2 49. z 2 Find w 2 the a“volume” 2 of the “four-dimensional sphere”

CAS 35. The torus given zby x

35. El toro dado por 2 4 sin y 2 (Use a computer algebra system x

. (Utilizar un sistema algebraico

2 y 2 z 2 w 2 a 2

CAS CAS 35. 34. The Solid to torus evaluate bounded given the by triple above integral.) 4 sin by sen x 2 (Use y 2 a computer z 2 z algebra and below systemby

by evaluando evaluating x 2 y 2 z 2 w 2 a 2

by x 2 y 2 z 2 por zcomputadora CAS 35. The

and below y byevaluar torus given la integral by triple.) 4 sin (Use a computer algebra 49. system by Find evaluating the “volume” of the “four-dimensional sphere”

to evaluate the triple integral.) 49. Find the “volume” of the “four-dimensional sphere”

a

36. El sólido comprendido entre las esferas y 16

x

a x y

a x y z

36.

z

The solid

x 2 y

between 2 a a

the spheres and

2 x 2 a 2 x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 z

x 2 y 2 z 2 a 2

by evaluating

2

to evaluate the triple integral.)

x 36. solid between the spheres x y z a 2

2 a y 2 a x (Use a computer x 2 yalgebra 2 z 2 system b 2 , b > a, e interior 2 y

al 2 z

cono

2 w

z 2 2 a

x 2 2 and

2 xz 2 2 aw 2 2 x a 2 y 2 2 a 2 x 2 y 2 z 2 dw dz dy dx.

CAS 35. The x 2 torus y 2 given z 2 by b 2 , b > 4 sin a, and (Use inside a x 2 computer the ycone

2 algebra z 2 a 2 2

a a

4 sin

and inside the cone y 2

16 0 0 0

0 dw dz dy dx.

x 2 y 2 36.

z 2 The

b 2 solid between the spheres

z 0 0 0

0

by evaluating

2 x 2 y 2

and

2 x 2 a 2 x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 z

x

, b > a,

2 system

y 2 z 2 a 2 by evaluating

2

to evaluate the triple 16

dw dz dy dx.

x

egral.) Mass In Exercises 2 integral.)

y

37 and 2 z

38, 2 b

use spherical 2 , b > a, and inside the cone z

coordinates to find

2 x50. 2 Use Utilizar

y 2 aspherical las a coordenadas coordinates 0 0

esféricas to show 0

para that 0

36. The solid between the spheres and

2 x 2 a 2 x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 z

x

mostrar que

Mass Masa En los ejercicios 37 38, utilizar a coordenadas a esféricas

the spheres

and

2 x 2 a 2 2 y 2 a 2 x 2 y 2 z

x 2

para hallar la masa de la esfera x16

de densidad

especificada.

2 In

y 2 Exercises

z 2 a 2 37 and 38, use spherical 2 y

coordinates 2 z 2 a

to 2

2

find 50. Use spherical coordinates to show that

the mass of the sphere x 2 1 y 2 1 z 2 a 2 with the given density. 16

dw dz dy dx.

x 2 y 2 z 2 a 2

dw dz dy dx.

x x2 y 2 z

the mass 2 y

of the 2 Mass z 2

a, and inside the cone z 2 sphere

2 b 2 In , b

x 2 x

y 2

2 Exercises > a, and inside

1 y 2 1 z 2 37 and the

a 2 38, cone use zspherical with the given 2 x

density.

2 coordinates y 2 to find 50. Use spherical coordinates

x 2 y 2 z 2 e x2 y 2 z

to show that

0 0 0

0

2 dx dy dz 22.

.

0 0 0

0

x 2 y 2 z 2 e x2 y 2 z

37. The density the at mass any point of the is sphere proportional x 2 1 to y 2 the 1 distance z 2 a 2 with between the given density.

2 dx dy dz .

37. The density at any point is proportional

38, use spherical 37. La coordinates densidad en to find 50. Use spherical to the distance coordinates between

x

the point and the origin.

2 y 2 z 2 e x2 y 2 z

Mass In Exercises 37 and 38, use spherical coordinates to find 50. Use spherical coordinates to show that

2 dx dy dz 2 .

the to show that

the

mass

point

of the 37.

and

sphere The

the origin. cualquier xdensity 2 1 y 2 punto at 1 any z 2 es point proporcional a 2 with is proportional the given a la density. distancia to the distance between

y 2 1 z 2 a 2 38. with entre

The the density

el given punto density. at

y the any

el origen. point and is proportional the origin. to the distance of the PUTNAM EXAM x CHALLENGE

x 2 y 2 z 2 e x2 y 2 z

38. point from the z-axis.

of the PUTNAM EXAM CHALLENGE

2

51. Preparación 2 y

dx dy Find dz the 2 volume . del 2 z

of the examen 2 e x2 y 2 z 2 dx dy dz 2 .

37. The density at any point is proportional to the distance between

region of Putnam points x, y, z such that

t is proportional 38. to point La densidad 38.

distance from the between en z-cualquier The density

axis. punto at any es proporcional point is proportional a la distancia to the deldistance of the PUTNAM EXAM CHALLENGE

the point and the origin.

51. Find x 2 the y 2 volume z 2 of 8the 2 region 36 x 2 of ypoints 2 . x, y, z such that

.

Center punto of al Mass eje z. point from the z-axis.

51. Encontrar

In Exercises 39 and 40, use spherical coordinates

x 2 y 2 51. el volumen

z 2 Find

8 2 the de volume la región

36 x 2 y 2 of the de region puntos of (x, points y, z) x, eny, z such that

38. The density at any point is proportional to the distance of the PUTNAM EXAM CHALLENGE .

This problem forma was tal que composed

Center of Mass In Exercises 39

t is proportional to the

to find

distance

the center

of the

of mass PUTNAM of and the 40, solid use EXAM of spherical uniform CHALLENGE

coordinates

Centro to de find masa the center En los of ejercicios mass of the 39 solid y 40, of utilizar uniform coordenadas density.

x

density.

2 by the y 2 Committee z 2 8on 2 the Putnam 36 x 2 Prize y 2 Competition. .

point from Center the z-axis.

of Mass In Exercises 39 and 40, use spherical This coordinates

51. © The problem Find Mathematical was composed volume Association by of the the Committee of region America. on of All the points rights Putnam reserved. x, Prize y, zCompetition.

such that

51. Find the volume of the region of points

©

Este

The Mathematical

problema fue

x, y, z such

Association This preparado problem por

that

of was America.

el Committee composed All rights by on the reserved. Committee Putnam Prize on Competition.

the Putnam Prize Competition.

esféricas 39. Hemispherical para hallar solid to find

el of centro radius the center

de r of mass of the solid of uniform density. © The x

masa del sólido de densidad

2 Mathematical y 2 © z 2 Association The Mathematical 8 2 of 36 America. xAssociation 2 Todos y 2 . of los America. derechos All reservados. rights reserved.

39.

Center x

ises 39 and 40, uniforme. Hemispherical

of Mass

solid

In Exercises

of radius

39

r

and 2 40, yuse 2 spherical z 2 8 2 coordinates

to find the 39. center Hemispherical of mass of solid the of solid radius of uniform r density.

36 x 2 y 2 .

40. use Solid spherical lying between coordimass

of the solid

two concentric hemispheres of radii r and


This problem was composed by the Committee on the

©

Putnam

The Mathematical

Prize Competition.

Association of America. All rights reserved.

40. Solid

39. of Sólido

R, uniform where lying between

hemisférico

r density. < R two concentric hemispheres of radii r and

40. Solid de lying radio between r© The Mathematical two concentric Association hemispheres of America. of All radii rights reserved.

R, where r < R

Sr

and

39. Hemispherical solid of radius r

E C T I O N P R O J E C T

radius r 40. Moment Sólido of comprendido R, where

Inertia In entre r <

Exercises dos R hemisferios 41 and concéntricos 42, use spherical de radios

of r y Inertia R, donde In r < Exercises R 41 and 42, use spherical

S EPROYECTO C T I O N P R O J E C T

SDE E TRABAJO

40. Solid lying between two concentric hemispheres of radii r and

C T I O N P R O J E C T

Moment

o concentric hemispheres

coordinates

of

to

radii

find

r

the

and

moment of inertia about the z-axis of the Wrinkled and Bumpy Spheres

R, where r Moment < R of Inertia In Exercises 41 and 42, use

coordinates solid of uniform to find density. the moment of inertia about the z-axis of the Wrinkled

spherical

and Bumpy Spheres

coordinates to find the moment of inertia about the z-axis

solid Momento of uniform de inercia density. En los ejercicios S E C T41 Iy O42, N utilizar P R Ocoorde-

nadas 41. Solid

J E C T

In Esferas S E C T I

of parts the (a) deformadas

O

and Wrinkled N P R O J

(b), find the and E C T

volume Bumpy of the Spheres wrinkled sphere or

of Inertia

In parts (a) and (b), find the volume of the wrinkled sphere or

xercises 41 and 42, esféricas bounded solid

use spherical para by of In

hallar the uniform Exercises

hemisphere density. 41 and 42, use spherical

el momento de cos inercia , 4con respecto 2, bumpy sphere. These solids are used as models for tumors.

41.

coordinates

ment of inertia al about eje Solid and z del bounded

to find

the

the sólido cone by

the

z-axis the

moment

of the densidad hemisphere

of inertia

4

Wrinkled uniforme. cos

about

,

the

4

z-axis of the

2, bumpy

Wrinkled

En los sphere. incisos These

and In parts

a) y b), solids

Bumpy (a) and

hallar are el used

Spheres (b), find the volume of the wrinkled sphere or

volumen as models las for esferas tumors. deformadas.

solid 41. Solid bounded by the hemisphere and Bumpy Spheres(a) Wrinkled sphere

(b) Bumpy sphere

and

of

the

uniform cos , 4 2,

cone

density.

bumpy sphere. These solids are used as models for tumors.

4

(a) Estos Wrinkled sólidos sphere se usan como modelos (b) de Bumpy tumores. sphere

41.

42.

Sólido

Solid lying

limitado

between and o acotado the two cone concentric

por

In parts

el hemisferio

hemispheres 4 of radii

(a) and (b), find the

4

r and In parts (a)

volume

1

and

0.2

(b),

sin 8

find

sin

the volume of the

1

wrinkled

0.2 sin 8

sphere

sin 4

or

(a) Wrinkled sphere

(b) Bumpy sphere

42. 41. Solid lying between two concentric hemispheres of radii r and of a) the Esfera wrinkled sphere or

R,

where bounded

2,

r <

y el

Rby the hemisphere cos , 4 2, bumpy sphere.

cono

1 deformada 0.2 These sin 8 solids sin are used as models b) 1Esfera for 0.2 deformada tumors.

42. Solid lying

sin 8 sin 4

misphere cos R, where , 4 r < R 2, bumpy

between

sphere.

two concentric

These solids

hemispheres

are used as

of

models

radii r0and

for tumors.

2 , 0

0 2 , 0

and the cone 4

1 0.2 sin 8 sin

1 0.2 sin 8 sin 4

42. Sólido comprendido R, where entre r <

(a)

dos R

(a)

Wrinkled

hemisferios concéntricos de radios

r y R, donde r < R

0 ≤ 1 ≤ 0.2 2,

0Wrinkled 2 sphere , 0sen sen (b) 0Bumpy sphere 2 , 0sen sen


z

z

42. Solid lying between two concentric hemispheres of radii r and(b) Bumpy sphere 0 2 , 0

0 2 , 0

o concentric hemispheres WRITING of ABOUT radii r andCONCEPTS

z

sin 0 ≤8 sin ≤

0 ≤1 ≤0.2 2, z

sin 0 8 ≤ sin ≤4

43. R, Give where the r < WRITING equations R for ABOUT conversion 1CONCEPTS

from 0.2 sin rectangular 8 sin to 1 0.2 sin 8 sin 4

z

z

0 2 , 0

0 2 , 0

43. Give cylindrical the equations coordinates for and conversion vice from rectangular to

43. Give the equations 0

versa.

for 2 conversion , 0 from rectangular 0 to 2 , 0

WRITING

44.

cylindrical

Give the

ABOUT coordinates

equations

CONCEPTS and

for

vice

conversion

versa.

z

z

cylindrical coordinates from and rectangular to

NCEPTS

zvice versa.

z

44. 43. Desarrollo Give spherical the coordinates equations de conceptos

for and conversion vice versa.

from rectangular to to

44. Give the equations for conversion from rectangular to

for conversion from spherical rectangular to and vice versa.

s and vice versa. 43.

45.

cylindrical

Dar

Give

las

the

ecuaciones

iterated

coordinates

spherical form

de conversión

of

and

coordinates the

vice

triple

versa.

de

integral and coordenadas vice versa. fx,

Q

rectangulares

y, z dV

y

45. 44. Give the iterated of the triple integral fx, y, z dV

y

in cylindrical the equations

a coordenadas 45.

form. for conversion from rectangular to

Give cilíndricas the iterated y form viceversa. of the Q triple integral fx, y, z dV

y

for conversion from in cylindrical rectangular form. to

Q

x

x

and vice versa.

44. 46.

spherical

Dar Give las the

coordinates

ecuaciones iterated in form

and

cylindrical de conversión of the

vice

form. triple

versa.

de integral coordenadas fx, rectangulares

in spherical the

y, z dV

Q

x

Generado con Maple x

46. 45. Give

a coordenadas iterated form.

form

esféricas

of of the triple

y viceversa.

integral

fx, y, y, z z dV dV

x

y

Generado x con Maple y

46. Give the iterated form of the QQtriple integral fx, y, z dV

Generado con Maple

of the triple integral

spherical fx, y, form. z dV

y

Generado con Maple

Q

Generado con Maple

45. 47.

in

Dar Describe

cylindrical

Q la forma the iterada surface

form.

in spherical de whose la integral form. equation triple is a coordinate f x, y, z equal dV en to FOR FURTHER INFORMATION For more information on theseGenerado con Maple

x

x

47. 46. Describe Give forma a constant the cilíndrica. the iterated for surface each form whose of of the the equation coordinates triple integral is a coordinate Q(a) the fx, cylindrical equal y, z to dV FOR FURTHER INFORMATION For more information on these

47. Describe the surface x whose equation is a coordinate x equal types toof spheres, see the article “Heat Therapy Tumors” by Leah

Q

FOR Generado FURTHER con Maple INFORMATION For more information on these

of the triple integral a in constant fx, y, for z each dV of the coordinates in (a) the cylindrical

46. Dar

coordinate spherical types of spheres, see the article “Heat Therapy for Tumors” by Leah

Q la forma

system form.

Generado con Maple

iterada a constant

and

de

(b)

la for integral

the

each

spherical

triple of the

coordinate

coordinates Generado f x, y,

system.

con z Maple dV in (a) en the cylindrical Edelstein-Keshet in The UMAP Journal.

coordinate system and (b) the spherical coordinate Q system.

Generado

types

con Maple

of spheres, see the article “Heat Therapy for Tumors” by Leah

47. Describe forma esférica. the surface Edelstein-Keshet in The UMAP Journal.

coordinate whose system equation and is (b) a coordinate the spherical equal coordinate to system. FOR FURTHER Edelstein-Keshet INFORMATION in The For UMAP more information Journal. on these

hose equation is

47.

a coordinate

Describir

a constant equal

la

for

superficie

each to of

cuya

the coordinates

ecuación FOR FURTHER es

in

una

(a)

coordenada INFORMATION the cylindrical

igual For more types information on these

PARA

of

MAYOR

spheres, see

INFORMACIÓNMPara article “Heat Therapy

más

for

información

Tumors” by Leah

sobre

the coordinates in (a)

a

coordinate

una

the

constante

cylindrical system

en cada

and

una

(b) types the

de las

spherical of coordenadas spheres, coordinate see en the a) article el

system.

sistema “Heat Therapy Edelstein-Keshet for Tumors” by Leah

estos tipos de esferas,

in The

ver

UMAP

el artículo

Journal.

“Heat Therapy for Tumors” de

(b) the spherical coordinate

de coordenadas

system.

cilíndricas Edelstein-Keshet y b) sistema in de The coordenadas UMAP Journal.

Leah Edelstein-Keshet en The UMAP Journal.

esféricas.

4 sin

4

cos ,

1 0.2 sin 8 sin

1 0.2 sin 8 sin 4

SECCIÓN 14.8 Cambio de variables: jacobianos 1045

14.8 Cambio de variables: jacobianos

■

■

Comprender el concepto de jacobiano.

Utilizar un jacobiano para cambiar variables en una integral doble.

CARL GUSTAV JACOBI (1804-1851)

El jacobiano recibe su nombre en honor al

matemático alemán Carl Gustav Jacobi,

conocido por su trabajo en muchas áreas de

matemática, pero su interés en integración

provenía del problema de hallar la circunferencia

de una elipse.

Jacobianos

En una integral simple

b

f x dx

a

se puede tener un cambio de variables haciendo x gu, con lo que dx gu du, y

obtener

b

d

f x dx f gugu du

a

c

donde a gc y b gd. Nótese que el proceso de cambio de variables introduce, en el

integrando, un factor adicional gu. Esto también ocurre en el caso de las integrales

dobles

R f x, y dA S f gu, v, hu, v x y

u v y x

du dv

u v

Jacobiano

donde el cambio de variables x gu, v y y hu, v introduce un factor llamado jacobiano

de x y y con respecto a u y v. Al definir el jacobiano, es conveniente utilizar la

notación siguiente que emplea determinantes.

DEFINICIÓN DEL JACOBIANO

Si x gu, v y y hu, v, entonces el jacobiano de x y y con respecto a u y v,

denotado por x, yu, v, es

x x

x, y

u, v u

y y

u v x y

u v y x

u v .

EJEMPLO 1

El jacobiano de la conversión rectangular-polar

Hallar el jacobiano para el cambio de variables definido por

x r cos

Solución

y

De acuerdo con la definición de un jacobiano, se obtiene

x x

x, y

r, r

y y

r

cos r sin

sen

sen sin r cos

r cos 2 r sen sin 2

r.

y r sin sen.


β

α

θ

y

T(r, θ) = (r cos θ, r sen θ)

r= a S r = b

a

θ = β

r = a

θ = β

θ = α

R

θ = α

b

r = b

S es la región en el plano r que corresponde

a R en el plano xy

Figura 14.71

x + y = 1

2 5

( −

3 , 3)

−2

3

2

1

−1

−2

x + y = 4

R

1

2 1

3 , 3

( )


Figura 14.72

v = 0

−1

−1

−2

−3

v = −4

−5

y

v u = 1

(1 , 0)

2

S

Región S en el plano uv

Figura 14.73

3

x − 2y = −4

8

( 4

3 , 3 )

( 8 4

3 , 3 )

2

3

u = 4

x − 2y = 0

(4, 0)

u

(1, −4) (4, −4)

x

r

x

El ejemplo 1 indica que el cambio de variables de coordenadas rectangulares a polares

en una integral doble se puede escribir como

R f x, y dA S f r cos , r sin sen r dr d, r > 0

S

x,

y

f r cos , r sen sin dr d

r,

donde S es la región en el plano que corresponde a la región R en el plano xy, como se

muestra en la figura 14.71. Esta fórmula es semejante a la de la página 1006.

En general, un cambio de variables está dado por una transformación biyectiva (o uno

a uno) T de una región S en el plano uv en una región R en el plano xy dada por

Tu, v x, y gu, v, hu, v

donde g y h tienen primeras derivadas parciales continuas en la región S. Nótese que el

punto u, v se encuentra en S y el punto x, y se encuentra en R. En la mayor parte de

las ocasiones, se busca una transformación en la que la región S sea más simple que la

región R.

EJEMPLO 2

Hallar un cambio de variables para simplificar

una región

Sea R la región limitada o acotada por las rectas

x 2y 0,

como se muestra en la figura 14.72. Hallar una transformación T de una región S a R tal

que S sea una región rectangular (con lados paralelos a los ejes u o v).

Solución Para empezar, sea u x y y v x 2y. Resolviendo este sistema de ecuaciones

para encontrar x y y se obtiene v x, y, donde

Tu, x 1 2u v

3

y

Los cuatro límites de R en el plano xy dan lugar a los límites siguientes de S en el plano

uv.

Límites en el plano xy

x y 1

x y 4

x 2y 0

x 2y 4

r

x 2y 4,

y 1 u v.

3

x y 4,

y

Límites en el plano uv

La región S se muestra en la figura 14.73. Nótese que la transformación T

Tu, v x, y

1

3 2u v, 1 3 u v

u 1

u 4

v 0

v 4

x y 1

transforma los vértices de la región S en los vértices de la región R. Por ejemplo,

T1, 0 1 321 0, 1 31 0 2 3 , 1 3

T4, 0 1 324 0, 1 34 0 8 3 , 4 3

T4, 4 1 324 4, 1 34 4 4 3 , 8 3

T1, 4 1 321 4, 1 31 4 2 3 , 5 3.


Cambio de variables en integrales dobles

TEOREMA 14.5

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES DOBLES

Sea R una región vertical u horizontalmente sencilla en el plano xy y sea S una región

vertical u horizontalmente sencilla en el plano uv. Sea T desde S hasta R dado por T(u,

v) (x, y) (g(u, v), h(u, v)), donde g y h tienen primeras derivadas parciales continuas.

Suponer que T es uno a uno excepto posiblemente en la frontera de S. Si f es

continua en R y (x, y)(u, v) no es cero en S, entonces

x, y

R f x, ydx dy S f gu, v, hu, v v

du dv.

u,

v

(u, v + ∆v)

S

(u + ∆u, v + ∆v)

DEMOSTRACIÓN Considerar el caso en el que S es una región rectangular en el plano uv con

vértices u, v, u u, v, u u, v v, y u, v v, como se muestra en la figura

14.74. Las imágenes de estos vértices en el plano xy se muestran en la figura 14.75. Si u y

v son pequeños, la continuidad de g y de h implica que R es aproximadamente un paralelogramo

determinado por los vectores MN \

y MQ \ . Así pues, el área de R es

(u, v) (u + ∆u, v)

Área de S u v

u > 0, v > 0

Figura 14.74

u

A MN \ MQ \ .

Para u y v pequeños, las derivadas parciales de g y h con respecto a u pueden ser aproximadas

por

g u u, v

Por consiguiente,

gu u, v gu, v

u

y

h u u, v

hu u, v hu, v

.

u

y

MN \ gu u, v gu, v i hu u, v hu, vj

Q

R

P

g u u, v ui h u u, v u j

x y

ui

u u uj.

M = (x, y)

x = g(u, v)

y = h(u, v)

Los vértices en el plano xy son

Mgu, v, hu, v, Ngu u, v,

hu u, v, Pgu u, v v,

hu u, v v, y

Qgu, v v, hu, v v.

Figura 14.75

N

x

x y

De manera similar, se puede aproximar por vi lo que implica que

0

v v vj,

MQ\

i j k

x y

x

u u

MN \ MQ \

u u y

u vk.

u u 0

x y

x

v v

v v y

v v

Por tanto, en la notación del jacobiano,

x, y

A MN \ MQ v \ u v.

u,

Como esta aproximación mejora cuando u y se aproximan a 0, el caso límite puede

escribirse como

v

x, y

dA MN \ MQ v \ du dv.

u,

Por tanto,

x, y

Rf x, y dx dy Sf gu, v, hu, v v

du dv.

u,


Los dos ejemplos siguientes muestran cómo un cambio de variables puede simplificar

el proceso de integración. La simplificación se puede dar de varias maneras. Se puede

hacer un cambio de variables para simplificar la región R o el integrando f x, y, o ambos.

EJEMPLO 3

Un cambio de variables para simplificar una región

x + y = 1

3

y

2

R

1

x

−2

1 2 3

−1

−2

Figura 14.76

x + y = 4

x − 2y = −4

x − 2y = 0

Sea R la región limitada o acotada por las rectas

x 2y 0,

como se muestra en la figura 14.76. Evaluar la integral doble

R 3xy dA.

Solución

De acuerdo con el ejemplo 2, se puede usar el cambio siguiente de variables.

x 1 2u v

3

x 2y 4,

y

y 1 u v

3

x y 4,

y

x y 1

Las derivadas parciales de x y y son

x

u 2 3 ,

x

v 1 3 ,

y

u 1 3 ,

lo cual implica que el jacobiano es

x x

x, y

u, v u

y y

u v

3

2 1

3 3

1 1

3

y

y

v 1 3

2 9 1 9

1 3 .

Por tanto, por el teorema 14.5, se obtiene

R 3xy dA S 3

1

3 2u v 1 3 u v

x, y

4 0

1

1

4 9 2u2 uv v 2 dv du

9

1 4

1 2u2 v uv2

2 v3

3 0 du

4

9

1 4

1 8u2 8u 64

3 du

1 9 8u3

3 4u2 64

3 u 4 1

164

9 .

v

dv du

u,


EJEMPLO 4

Un cambio de variables para simplificar un integrando

Sea R la región limitada o acotada por el cuadrado cuyos vértices son 0, 1, 1, 2, 2, 1

y 1, 0. Evaluar la integral

R x y 2 sin 2 x y dA.

y

3

2

(0, 1)

R

x − y = −1

(1, 2)

(2, 1)

2 3

(1, 0)

x + y = 1

x − y = 1

x + y = 3

x

sen 2 sen 2

Solución Obsérvese que los lados de R se encuentran sobre las rectas x y 1,

x y 1, x y 3, y x y 1, como se muestra en la figura 14.77. Haciendo

u x y y v x y, se tiene que los límites o cotas de la región S en el plano uv son

1 ≤ u ≤ 3 y 1 ≤ v ≤ 1

como se muestra en la figura 14.78. Despejando x y y en términos de u y v se obtiene

x 1 y y 1 u v.

2 u v 2


Figura 14.77

1

−1

v

v = 1

v = −1

u = 1

(1, 1)

1

S

Región S en el plano uv

Figura 14.78

2

u = 3

(3, 1)

(1, −1) (3, −1)

3

u

Las derivadas parciales de x y y son

x

u 1 2 ,

x

v 1 2 ,

y

u 1 2 ,

lo cual implica que el jacobiano es

2

x x 1 1

x, y

2 2

1 4 1 u, v u

y y 1

4 1 2 .

1 u v 2

Por el teorema 14.5, sigue que

1

R x y 2 sen sin x y dA 1

2

1

2

1 1

13

13

13

6

y

3

sin sen 2 v u3

dv

1

13

1

3

sen sin 2

v dv

1

13

1

6

1 cos 2v dv

1

6 v 1 2 sin 2v 1 1

6 2 1 sen

2 sin 2 1 2 sin2 sen2

2.363.

y

v 1 2

u 2 sin 2 v

1

du dv

2

sen

2 sen sin 2

3 3 1

En cada uno de los ejemplos de cambio de variables de esta sección, la región S ha

sido un rectángulo con lados paralelos a los ejes u o v. En ocasiones, se puede usar un cambio

de variables para otros tipos de regiones. Por ejemplo, Tu, v x, 1 y 2 transforma la

región circular u 2 v 2 1 en la región elíptica x 2 y 2 4 1.


14.8 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 8, hallar el jacobiano x, y/u, v para el

cambio de variables indicado.

1. x 1 2u v, y 1 2u v

2. x au bv, y cu dv

3. x u v 2 , y u v

4. x uv 2u, y uv

5. x u cos v sen sin , y u sin sen v cos

6. x u a, y v a

7. x e u sen sin v, y e u cos v

8.

x u v , y u v

En los ejercicios 9 a 12, dibujar la imagen S en el plano uv de la

región R en el plano xy utilizando las transformaciones dadas.

9. x 3u 2v

10. x 1 34u v

y 3v

3

2

1

y

(0, 0)

(2, 3)

R

2

(3, 0)

x

3

y 1 3u v

6

5

4

3

2

1

y

(2, 2)

(0, 0)

R

(4, 1)

(6, 3)

2 3 4 5 6

x

y

(0, 1)

1

(−1, 0)

−1

y

(1, 2)

2

(0, 1)

(1, 0)

(2, 1)

x

1

1

−1

x

(0, −1)

(1, 0) 1 2


17. R yx y dA

18.

R 4x ye xy dA

x u v

x 1 2u v

y u

y 1 2u v

y

y

6

(−1, 1)

(1, 1)

4 (3, 3) (7, 3)

2

x

−1 (0, 0) 1

x

(0, 0) (4, 0) 6 8

−2

−1

19. Re 20. R xy2 dA

y sen sin xy dA

11. x 1 2u v

12.

x 1 3v u

x v u , y uv

x u v ,

y v

y 1 2u v

2

1

y

(0, 1)

R

)

1 1

2 , 2)

(1, 2)

1 2

)

3 3

2 , 2)

x

y 1 32v u

− 1 4

3 , )

2

3

)

4

3

y

)

2 10

3 , 3 )

4 8

3 , 3)

R

1 2

3 , 3)

−2 −1 1 2 3

−1

)

)

x

3

2

1

y

y =

R

1

x

4

y = 2x

3

y = 4 x

y = 1 x

x

y

xy = 1 y = 4

3 xy = 4

2 R y = 1

x

1 2 3 4

CAS En los ejercicios 13 y 14, verificar el resultado del ejemplo indi-

por establecer la integral usando dy dx o dx dy para dA.

CAScado

Después, usar un sistema algebraico por computadora para evaluar

la integral.

13. Ejemplo 3 14. Ejemplo 4

En los ejercicios 15 a 20, utilizar el cambio de variables indicado

para hallar la integral doble.

15. R 4x 16. R 2 y 2 dA

60xy dA

x 1 2u v

y 1 2u v

x 1 2u v

y 1 2u v

En los ejercicios 21 a 28, utilizar un cambio de variables para

hallar el volumen de la región sólida que se encuentra bajo la

superficie z f x, y y sobre la región plana R.

21.

22.

23.

f x, y 48xy

R: región limitada por el cuadrado con vértices (1, 0), (0, 1),

(1, 2), (2, 1)

fx, y 3x 2y 2 2y x

R: región limitada por el paralelogramo con vértices (0, 0),

(2, 3), (2, 5), (4, 2)

f x, y x ye xy

R: región acotada por el cuadrado cuyos vértices son 4, 0,

6, 2, 4, 4, 2, 2


14.8

14.8

Change

Change

of

of

Variables:

Variables:

Jacobians

Jacobians

1051

1051

14.8 14.8 Change Change of Variables: of Variables: Jacobians Jacobians 1051 1051

14.8 Change of Variables: Jacobians 1051

24.

x, y x y 2 sin x y

32. Utilizar el resultado del ejercicio 31 para hallar el volumen de

24.

x, y x y sen

sin 2

32. Use the result of Exercise 31 to find the volume of each domeshaped

32. the solid result Use the lying of result Exercise below of Exercise the 31 to surface find 31 the to volume find x, the yof volume and each above dome-

of each the dome-

24. f x, y x y región acotada 2 sin por 2 x

x

y

y

32. Use

el cuadrado cuyos vértices son

cada the uno result de los of Exercise sólidos abovedados 31 to find the que volume se encuentra of each domeshaped

superficie solid z lying f x, below y y sobre the surface la región z elíptica f x, yR. and (Sugerencia: above the

bajo la

24. fR:

x, 24. y region f x, y bounded y 2 x sin 2 x by y 2 sin the y

2 xsquare y with vertices ,

,

0,

0, 32. Use

32, R: region 2, bounded , , 2, by 2 the square with vertices , 0,

R: 32, region 2, R: bounded region , 32. , bounded 2, Use by the 2 result by square the of Exercise square with vertices 31 with to find vertices the volume , 0, of each shaped elliptical domeshaped

4y , 2 2, solid lying 2 below the surface z f x, y and elliptical given above

solid shaped region lying solid R. below (Hint: lying the After below surface making the zsurface

the f x, change zy

and f x, of above variables y and the above the

32, 2, , , 2, 2

, 0, elliptical Después de region hacer R. el (Hint: cambio After de variables making dado change por los of resultados variables

quare with vertices 25.

25. 32, x, y x yx 4y

given by the results Exercise 31, make second of

x, y , 2, 32, 0, x, 2, , yx2, , del ejercicio by the elliptical region the 31, results R. region (Hint:

hacer un Exercise

R. After (Hint: making

segundo 31,

After

cambio make the making change a de second

the of change

variables change variables of

a coordenadas

polares.) to coordinates.)

of

variables

25. f x, y x yx región acotada por el elliptical 4y

paralelogramo region R. cuyos (Hint: vértices After son making 0, 0, the change of given variables by given the to polar results by the coordinates.)

results Exercise Exercise 31, make 31, a second make a change second of change of

25. fR:

x, region 25. y f x, x bounded y yx x by the 4y yx parallelogram 4y with vertices 0, 0,

variables

1, R: 1, region 5, 0, bounded 4, 1by given the parallelogram by the results in with Exercise vertices 31, 0, make 0, a second variables (a) change x, variables y of to polar 16 to coordinates.)

polar coordinates.)

R: 1, region 1, 5, R: 0, bounded region 4, 1 bounded by variables the parallelogram by to the polar parallelogram coordinates.) with vertices with vertices 0, 0, 0, 0, (a) f x, y 16 x 2 y

1, 1, 5, 0, 4, 1

2

26.

x, y 3x 2y2y x 32

(a)

f x, x, y ;

26.

R: x2 y (a) región acotada por el paralelogramo cuyos vértices son 0, 0,

R: x2 16

16 f x, 16 y y2 y2

x region bounded by the parallelogram with vertices

≤ 16 x 2 y

lelogram with vertices

x, y 0, 1, 0, 3x 1,

5, 2y2y 0, 4, 1

2 y

1, 1, 5, 0, 4, 1

2 2

26. f x, y 3x 2y2y (a) f x

x x, 32 32 y 16 x 2 y 2

R: x2

26. fR:

x, 26. y f x, 3xy 2y2y 3x 2y2y x 32 x 32

0, 0,

R: x2 16 R: x2

2,

2,

3,

3,

2,

2,

5,

5,

4,

4,

2

2 R: x2

(b)

x, y cos

27.

x, y x x, y

2 27.

x2

16 y2

9 1

16 y2

16 y2

y2 9

9 1

1

R: region bounded by the parallelogram with vertices 0, 0,

9 1

R: 2, region 3,

R:

2, bounded region

5, 4,

bounded 2 by the parallelogram by the parallelogram with vertices with vertices 0, 0, 0, 0,

y2

lelogram with vertices 2, x, y 0, 3,

2, 0, 2, x 5, 3,

4, 2, 25,

4, 2

(b) f x, y A cos 2;

R:

R:

región

region

acotada

bounded

por

by (b) the

el ftriángulo x, triangle y A with

cuyos cosvertices

vértices

0,

son

0, a,

0,

0,

0,

a, 0, 0, a, donde a > 0

2 x2

a 2

(b) f x, y A cos

27.

2 x2

y2

a 2

(b) f x, y A cos

y2

2 b

27. f x, y x y

2 x2

R: x2 x2

y2

where

y2

0, a,

≤ a 2

27.

2 x2

a 2

y2

f x, y x y

2 y2 b

f x, y x y

2 b

R: region bounded by the triangle with vertices 2 0, 0, b a, 0,

R: region bounded by the triangle with vertices 0, 0, a, 0,

R: x2

R: region where bounded by the triangle with vertices 0, 0, a, 0,

R: x2 a R: x2

le with vertices

xy

28.

0,

28.

x,

0,

x,

y a,

y 0, xywhere

R: x2


a y2

2 b 1

a y2

where 0, a, a > 0

a y2

0, a, a > 0

2 y2 b 2 b 1

2 b 1

1 2 0, a, a > 0

2 2

xy

28. f x, y xy xy

2 WRITING Desarrollo ABOUT

R:

R:

región

28. f x,

region

acotada

y

bounded

por

by

las

the

gráficas

graphs

de

of xy

xy 1,

1,

xy

xy 4,

4,

1,

1, 33. State WRITING de

the definition ABOUT conceptos

CONCEPTS

28. f x, y 1 x 2 y 2


of the Jacobian. CONCEPTS

1 x 2 y 2 1 x

Sugerencia:

WRITING 2 y 2

33. State the definition of the Jacobian.

R: region bounded

Hint: Let

Hacer by the

u, x graphs

vu.

u,

ABOUT

y of

vu. xy CONCEPTS

1, xy 4, x 1,

34.

33. State Describe

Enunciar 33. the State definition la

how

definición the to definition use of the Jacobian. jacobiano.

of the Jacobian. to change variables in

R: x region 4 Hint: R: bounded region

Let x

bounded

29.

29.

La

The

sustitución

substitutions

u 2x

33. by u, the

State y graphs by

2x y v

the vu.

the

and

x

definition

of graphs xy of

y hacen

of

1,

la

the

xy make

región

Jacobian.

1, 4, xyx 1, 4, x 1, 34. Describe how to use the Jacobian to change variables in

the

R

region

(ver la

double integrals.

s of xy 1, xy x 4, x4

Hint: x1,

4Let

Hint: x Let u, yx vu. u, y vu.

34. Describe Describir 34. Describe how cómo to usar use how el the to jacobiano use Jacobian the Jacobian para to change hacer to un variables change cambio variables inde

double integrals.

in

29. figura) The substitutions

.

(see figure)

en una

into

simple u34. región 2x Describe y

region

Sand en how v el

in

plano to x use y

the

uv. the make

plane.

Determinar Jacobian the region to

Determine

elchange variables double variables inintegrals.

double en integrales integrals. dobles.

29. The

número R (see

29. substitutions figure)

The substitutions total

total

number

de into u

lados a simpler 2x

of sides

de double

u

S que region y and 2x

of

son integrals.

v

that

paralelos S y and

the x uv-

vy are parallel

a plane. make x the y

cualquiera Determine

make region the region

to either

de

the

los

d v x y make Rthe region

ejes (see

axis

utotal figure) R

o

or

v. number

(see into figure) a of simpler sides

into a

of region simpler

S that Sregion in are the parallel uv- S in plane. the

to

uv- Determine either

plane.

the

Determine

In Exercises 35–40, find the Jacobian x, y, z/u, v, w for the

n S in the uv-plane. the u- Determine total the number the total v-axis.

number of sides of of sides S that of are S that parallel are parallel to either to the either the In

indicated

En Exercises los ejercicios 35–40,

change

35 find

of

a

variables.

40, the hallar Jacobian

If

el jacobiano x, y, z/u, fu, v, w,

x, y, v, z/u, w for

gu, v,

v, the

u-axis or the v-axis.

In Exercises 35–40, find the Jacobian x, y, z/u, v, w,

wfor the

that are parallel to either the u-axis or the v-axis.

In Exercises 35–40, find the Jacobian x, y, z/u, v, w for the

u-axis or the v-axis.

indicated

In Exercises 35–40, find the Jacobian x, y, z/u, and

para

v, w

el

for hu,

cambio change of

the v, w, then

de variables. variables If x

the Jacobian

indicado. fu, v, w,

indicated change of variables. of If x, y, and

Si y x with

gu, f u, v,

respect

v, w,

y

w,

indicated change of variables. If x fu, xv, w,

fu, y v, w,

gu, yv, w,

gu, v, w,

y y

and

to z gu, hu,

v,

v, w, v, is

y w, z then hu, the v, w, Jacobian entonces of x, el y, jacobiano and z with de respect x, y y z

(2, 7) indicated change of variables. If x fu, v, w, and y zgu, and hu, v, w, zv, w,

hu, then v, w, the then Jacobian the Jacobian of x, y, and of x, zy,

with and respect z with respect

8 (2, 7)

to con u, respecto v,

wa isu,

v y w es

8

and z hu, v, w, then the Jacobian of x, y, and z with respect to u, v, and w is

(2,

8

7) (2, 7)

to u, v, and w is

6

to u, v, and w is

x x x

u v

x, x, y, z z

.

u, w y y y

u, v, w u v

z z z

u v w

x x x

6

x

6

x x

u v x w

4

(6, 3)

x x x x x

R

u v w

4

4 (6, 3)

R x x x

u y v yu

w yv

w

2 R

(0, 0) (6, 3) (6, 3)

x, y, z

2 2

u v w

u v

x

x, y, zx, y, z

x, y, z

z z z

u, v, w u v w.

y y y

u, v, w y y y

(0, 0)

u, v, w y y y

(0, 0)

u, v, w y y y

(0, 0)

u v

u vu

v

2 4 6 8

z z z

2 4 62 84 6 8 u v

z u z vz

z w.

z z

CAPSTONE

z z z

u v w.

Para CAPSTONE

u v w.

CAPSTONE discusión

35.

u1 u1 v, v, uv1 uv1 w, w, uvw

30. Find CAPSTONE

transformation Tu, vu

x, v y w.

gu, v, hu, v 35. x u1 v, y uv1 w, z uvw

30. Find a transformation Tu, v x, y gu, v, hu, v

Encontrar that when una applied transformación to the region

will result in the image

35. 36.

x 35.

u1 4u x

v, u1 v, y 4vv, uv1 y

w, uv1 w, z w,

uvw

z uvw

30. Find that

30.

when a transformation

Find

applied

a transformation Tu, v x, y gu, v, hu, v

(see figure). que al Explain

35. to xthe Tu,

aplicar your

u1 region v

a la reasoning.

v, Rx, will y

y result gu,

uv1 in w, the v,

zimage

hu, v

uvwS

36. x 4u v, y 4v w, z u w

x, y gu, v, that hu, v that when applied región to the region R resultará R will en result la imagen in the image S36.

37. x 36. 4u x

2u v, v, 4u y 4v, y

2u w, v, 4v z uw, 2uvw

zw u w

(see when figure). applied Explain to the your region reasoning. R will in the S

R will result in the image (ver la Sfigura). (see figure). Explicar 36. xExplain el 4urazonamiento.

your v, yreasoning.

4v w, z u w

37. x 1

37. 38. x 37.

1 2u v, x 1 y 1

2u v, 2u yw, 1 2u v,

2u v, 2uv, y v, 1 z 2uvw

(see figure). Explain your reasoning.

y

2u z 2uvw

v, z 2uvw

ning.

y 37. x 1 2u v, y (−2, 1 v

38. x u v w, y 2uv, z u v w

y

2u 6) v, vz(0, 6)

2uvwv

38. 39. xSpherical 38.

u x v Coordinates u w, yv 2uv, w, yz 2uv, u zv u w v w

v 5

(6, 4)

(−2, 6) (0, 6)

38. x u v w, y 2uv, (−2, 39.

5

z 6) u v (0, w6)

Spherical Coordenadas Coordinates esféricas

5

(6, 4)

(−2, 6) (0, 6)

4 (3, 3)

5

39. Spherical Coordinates

(−2, 6) (0, 6)

(6, 4)

39. Spherical Coordinates

4(3, 3) (6, 4)

5

4

39. Spherical Coordinates S5

x

sen (3, 3)

5

S

40. xCylindrical x

sen sen

3 (3, 3)

Coordinates

S

3 3 R

3

(4, 2) x

(−2, 2) (0, 2)

40. Cylindrical Coordenadas Coordinates cilíndricas

S 2 R R

3

(4, 2)

(−2, 2) 3 (0, 2)

40. Cylindrical 40. cos Cylindrical , Coordinates

sin Coordinates

2

, (1,

2

1)

3 1

(4, (−2, 2) (0, 2)

40. 2) Cylindrical

(4, 2)

Coordinates

(−2, 2) (0, 2)

x r cos , , y r sin , , z z

(1, x r cos , y r sin , z z

(−2, 2) (0, 2)

1

1)

1

sen

1

1

x r cos , y r sin , z z

(1, 1)

(1, 1)

1

x u

r cos , y−5 −4 r −3 sin −2 , −1 z z

1

1 2 3 4 5 6 x −5 −4 −3 −2 −1 1 2 u u PUTNAM EXAM CHALLENGE

1 2 3 14 25 36

4 5 6


u

−5 −4 −3 −2 −5−1

−4 −3 −2 1 −1 2 1 2

PUTNAM 41. Let PUTNAM be EXAM the area EXAM CHALLENGE

of the region CHALLENGE in the first quadrant bounded

−5 −4 −3 −2 −1 1 2

41.

Preparación

Let A be the area

del


41. Let by the 41. be line Let the Aarea be of the

examen

region in the

Putnam

first quadrant bounded

A

x, the of the area region -axis, of the and in region the the first ellipse in quadrant the first 1

quadrant bounded

1. bounded

41. by Sea the A line el área y de 1 1

31. Consider the region 41. in Let the Axy-

be plane the area bounded of the by region the ellipse in the first quadrant bounded by Find the the line by positive the line number the y -axis, 1 1

y 1 2 x, la the región x-axis, del and primer the ellipse cuadrante 9 x 2 acotada y 2 por

1.

x

the such x-axis, that and is the equal ellipse to the area

31. Considerar la región en by el the plano line

acotada the por -axis, la elipse

1

y 1 2 x, 2 x, and the ellipse 9 x 2 y 2 9x 2 1.

y 2 1.

31. the region R in the xy-plane bounded

x and the ellipse of the region in the first quadrant bounded by line

31. Consider 31. Consider the region the Rregion in the Rxy-

plane the xy- bounded 2plane x,

by the ellipse

Find the positive number m such that

1

la recta y 1 A is equal to the area

bounded by the ellipse by the ellipse9 x 2 Find y 2 2

the 1. Find positive the x, el eje x y la elipse 9

positive number mnumber such that m such A

x2 y

is that 2 1. Hallar el

of equal A is to equal the area to the area

número the region positivo in mthe tal first que Aquadrant es igual y2

y2

mx, the -axis, and the ellipse

al bounded área de by la región the line del

1.

lane bounded by the x 2

ellipse

Find the positive number m such that A is equal to the of the arearegion of the in region the first in the quadrant first quadrant bounded bounded by the line by the line

x 2

of the region in the first quadrant bounded by This the problem linewas composed by the Committee on the Putnam Prize Competition.

1

The Mathematical Association of America. All rights reserved.

and the a y2

1

x 2

transformations

2 b 1

y mx, the y-axis, and the ellipse

2 9 x 2 y 2 1.

a y2

1

a y2

1

2 b 2

2 b 1

1

yprimer mx, cuadrante the y-axis, acotada and the por ellipse la recta 9 x 2 y y 2 mx, 1. el eje y y la

y mx, 1the y-axis, and the ellipse

2 9 x 2 y 2 1.

y mx, au and the y

-axis, bv. and the ellipse 9 x 2 y 2 This problem elipse was

9

This 1. problem This was problem x2 composed y 2 by 1. the Committee on the Putnam Prize Competition.

© The Mathematical composed Association was composed by the of Committee America. by the Committee All on rights the Putnam reserved. on the Prize Putnam Competition. Prize Competition.

and the transformations x au and y bv.

y las transformaciones This xproblem au was y ycomposed bv.


and by the Committee on the Putnam Prize

© Este

Competition.

The problema Mathematical fue preparado Association por of el America. Committee All on rights the Putnam reserved. Prize Competition.

(a) Sketch the transformations

and the the graph transformations of xthe region au and x yau

and

bv. its yimage bv.

(a) Sketch the graph under the © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

© The of Mathematical region RAssociation and its image of America. S under All rights thereserved.

nd y bv. a) (a) Dibujar Sketch given (a) transformation.

la the Sketch gráfica graph the de of graph la the región region of the RRy region and su imagen its Rimage and Sits bajo S image under la transformación

given the dada.

given transformation.

Stheunder the

n R and its image S under x, transformation.

given y

(b) Find x, y

b) Hallar u, v transformation.

x, y

(b) Find x, y

(b) u, Find v x, y

(b) Find u, v

(c) Find u, the area v .

.

u, of the v .

(c) Find the area of the

ellipse.

ellipse.

c) (c) Hallar Find (c) the el Find área area de the of la the area elipse. ellipse. of the ellipse.

sin

cos , y sin sin , z cos

sin

cos ,

sin

sin ,

cos

sin

cos ,

sin

, y

cos sin

, sin

y

,

sin

, z

sin cos

, sin cos , y sin sin , z cos z cos



En los ejercicios 1 y 2, evaluar la integral.

1.

2.

En los ejercicios 3 a 6, trazar la región de integración. Después,

evaluar la integral iterada. Cambiar el sistema de coordenadas

cuando sea conveniente.

3.

4.

5.

6.

Área En los ejercicios 7 a 14, dar los límites para la integral doble

R f x, y dA

para ambos órdenes de integración. Calcular el área de R haciendo

f x, y 1 e integrando.

7. Triángulo: vértices

8. Triángulo: vértices

9. El área mayor entre las gráficas de x 2 y 2 25 y x 3

10. Región acotada por las gráficas de y 6x x 2 y y x 2 2x

11. Región encerrada por la gráfica de y 2 x 2 x 4

12. Región acotada por las gráficas de x y 2 1, x 0, y 0 y

y 2

13. Región acotada por las gráficas de x y 3 y x y 2 1

14. Región acotada por las gráficas de x y y x 2y y 2

Para pensar En los ejercicios 15 y 16, dar un argumento geométrico

para la igualdad dada. Verificar la igualdad analíticamente.

1 22y

15.

2

2 x2

x y dx dy x y dy dx

16.

x

2

1

y

2y

1

0

0

2

0

3

0

0

3

0

2

0

x ln y dy

x 2 y 2 dx

1x

2x

x 2

9x 2

24y

2

0 24y 2

2y

5y

3y2

3x 2y dy dx

x 2 2y dy dx

4x dy dx

dx dy

3

e xy dx dy

0, 0, 3, 0, 0, 1

0, 0, 3, 0, 2, 2

00

2x3

00

22 8x

2 2

2 0

e xy dy dx

x y dy dx

Volumen En los ejercicios 17 y 18, utilizar una integral múltiple

y un sistema de coordenadas adecuado para hallar el volumen

del sólido.

5

30

5x

17. Sólido acotado por las gráficas de z x 2 y 4,

y 0, x 0 y x 4

e xy dy dx

z 0,

CAS

18. Sólido acotado por las gráficas de z x y, z 0, x 0,

x 3, y y x

Valor promedio En los ejercicios 19 y 20, encontrar el promedio

de f(x, y) sobre la región R.

19. f(x) 16 x 2 y 2

R: rectángulo con vértices (2, 2), (2, 2), (2, 2), (2, 2)

20. f(x) 2x 2 y 2

R: cuadrado con vértices (0, 0), (3, 0), (3, 3), (0, 3)

21. Temperatura promedio La temperatura en grados Celsius

sobre la superficie de una placa metálica es

T(x, y) 40 6x 2 y 2

donde x y y están medidos en centímetros. Estimar la temperatura

promedio si x varía entre 0 y 3 centímetros y y varía entre 0

y 5 centímetros.

22. Ganancia promedio La ganancia para la empresa P gracias al

marketing de dos bebidas dietéticas es

P 192x 576y x 2 5y 2 2xy 5 000

donde x y y representan el número de unidades de las dos bebidas

dietéticas. Usar un sistema algebraico por computadora

para evaluar la doble integral alcanzando la ganancia promedio

semanal si x varía entre 40 y 50 unidades y y varía entre 45 y

60 unidades.

Probabilidad En los ejercicios 23 y 24, hallar k tal que la función

sea una función de densidad conjunta y hallar la probabilidad

requerida, donde

d b

Pa ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d f x, y dx dy.

23.

24.


se aproxima mejor al volumen del sólido entre el plano xy y la

función sobre la región. (Hacer la elección a la vista de un dibujo

del sólido y no realizando cálculo alguno.)

25.

26.

f x, y

kxye xy ,

0,

P0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

f x, y

kxy,

0,

P0 ≤ x ≤ 0.5, 0 ≤ y ≤ 0.25

f x, y x y

R: triángulo con vértices 0, 0, 3, 0, 3, 3

9

2

a) b) 5 c) 13 d) 100 e) 100

f x, y 10x 2 y 2

R: círculo limitado o acotado por x 2 y 2 1

ca

x ≥ 0, y ≥ 0

en elsewhere

resto

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x

elsewhere en resto

a) b) 15 c) d) 3 e) 15

2

3





27.

28. Si ƒ es continua sobre y R 2 , y

29.

30.

b

ac

R 1 dA R 2 dA

entonces

En los ejercicios 31 y 32, evaluar la integral iterada convirtiendo

a coordenadas polares.

h

d

R 1

1

11

1

1

0

0

1

00

x

b

f xg y dy dx

a

R 1

f x, y dA R 2 f x, y dA.

1

cosx 2 y 2 dx dy 40

0

1

1 x 2 2

dx dy <

y

31. x 2 y 2 dy dx 32.

Área En los ejercicios 33 y 34, usar la doble integral para

encontrar el área en la región sombreada.

33. 34.

π

2

r = 2 + cos θ

1 2 4

0

d

f x dxc

4

1

4

00

gy dy

cosx 2 y 2 dx dy

16y 2

π

2

x 2 y 2 dx dy

r = 2 sen 2θ

2

0

38. Combinar la suma de las dos integrales iteradas en una sola integral

iterada convirtiendo a coordenadas polares. Evaluar la integral

iterada resultante.

813 3x2

4 16x

xy dy dx

2

xy dy dx

0 0

CAS Masa y centro de masa En los ejercicios 39 y 40, hallar la masa

y el centro de masa de la lámina limitada o acotada por las gráficas

de las ecuaciones con la densidad o densidades dadas.

Utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar las

integrales múltiples.

39. y 2x, y 2x 3 , primer cuadrante

kxy

a) b)

y h 2 2 x L x2

40. primer cuadrante

L 2,

CAS En los ejercicios 41 y 42, hallar I x , I y , I 0 , x, y y para la lámina

limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones. Utilizar un

sistema algebraico por computadora y evaluar las integrales

dobles.

41. y 0, y b, x 0, x a,

42. y 4 x 2 , y 0, x > 0,

Área de una superficie En los ejercicios 43 a 46, hallar el área

de la superficie dada por z fx, y sobre la región R.

43. f (x, y) 25 x 2 y 2

R {(x, y): x 2 y 2 25}

CAS 44. f x, y 16 x y 2

R x, y: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x

Utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la

integral.

45. f(x, y) 9 y 2

8130

kx 2 y 2

k,

kx

ky

R: triángulo limitado por las gráficas de las ecuaciones y x,

y x y y 3.


y un sistema de coordenadas adecuado para hallar el volumen

del sólido.

35. Sólido limitado o acotado por las gráficas de z 0 y z h,

exterior al cilindro x 2 y 2 1 e interior al hiperboloide

x 2 y 2 z 2 1

36. Sólido restante después de perforar un orificio de radio b a

través del centro de una esfera de radio R b < R

37. Considerar la región R en el plano xy limitada o acotada por la

gráfica de la ecuación

x 2 y 2 2 9x 2 y 2 .

a) Convertir la ecuación a coordenadas polares. Utilizar una

herramienta de graficación para representar la ecuación.

b) Utilizar una integral doble para hallar el área de la región R.

CAS c) Utilizar un sistema algebraico por computadora y determinar

el volumen del sólido sobre la región R y bajo el hemisferio

z 9 x 2 y 2 .

46. f(x, y) 4 x 2

R: triángulo limitado por las gráficas de las ecuaciones y x,

y x y y 2.

47. Proyectar construcción Un nuevo auditorio es construido con

un cimiento en forma de un cuarto de un círculo de 50 pies de

radio. Así, se forma una región R limitada por la gráfica de

x 2 y 2 50 2

con x 0 y y 0. Las siguientes ecuaciones son modelos para

el piso y el techo.

Piso:

Techo:

z

x y

5

z 20

xy

100

a) Calcular el volumen del cuarto, el cual es necesario para

determinar los requisitos de calor y enfriamiento.

b) Encontrar el área de superficie del techo.


CAS

48. Área de una superficie El techo del escenario de un teatro al

aire libre en un parque se modela por

f x, y 25 1 e x2 y 2 1000 1 cos 2 x2 y 2

1000

63. Investigación Considerar un segmento esférico de altura h de

una esfera de radio a, donde h a y de densidad constante

x, y, z k (ver la figura).

CAS

donde el escenario es un semicírculo limitado o acotado por las

gráficas de y 50 2 x 2 y y 0.



b) Utilizar un sistema algebraico por computadora y aproximar

la cantidad de pies cuadrados de techo requeridos para cubrir

la superficie.


49.

50.

51.

52.

En los ejercicios 53 y 54, utilizar un sistema algebraico por

computadora y evaluar la integral iterada.

53.

54.

3 9x

3

2 9

9x 2

2 4x

2

2 x

2 y 2 2

4x 2 0

a b c

0 0 0

5 25x

2 25x 2 y 2

0 0

0

1

1

2

1x 2 1x 2 y 2

1x

2 4x

2 4x 2 y 2

0 0

0

x 2 y 2 x 2 y 2 dz dy dx


para calcular el volumen del sólido.

55. El sólido interior a las gráficas de r 2 cos y r 2 z 2 4

56. El sólido interior a las gráficas de r 2 z 16, z 0 y r 2

sen

Centro de masa En los ejercicios 57 a 60, hallar el centro de

masa del sólido de densidad uniforme limitado o acotado por las


z 4

57. El sólido interior al hemisferio 4 ≤ ≤ 2, y

exterior al cono

58. La cuña: x 2 y 2 a 2 , z cyc > 0, y ≥ 0, z ≥ 0

59. x 2 y 2 z 2 a 2 , primer octante

60. x 2 y 2 z 2 25, (el sólido mayor)

to de inercia I z del sólido de densidad dada.

Momento de inercia En los ejercicios 61 y 62, hallar el momen-

4

x 2 y 2 dz dy dx


1

1 x 2 y 2 z2 dz dy dx

1x2 y 2 x 2 y 2 dz dy dx

xyz dz dy dx

cos ,

61. El sólido de densidad uniforme interior al paraboloide z 16

x 2 y 2 , y exterior al cilindro x 2 y 2 9, z ≥ 0.

62. x 2 y 2 z 2 a 2 , densidad proporcional a la distancia al

centro

a) Hallar el volumen del sólido.

b) Hallar el centroide del sólido.

c) Utilizar el resultado del inciso b) para localizar el centroide

de un hemisferio de radio a.

d) Hallar lím lim

e) Hallar I z .

f) Utilizar el resultado del inciso e) para hallar I z para un hemisferio.

64. Momento de inercia Hallar el momento de inercia con respecto

al eje z del elipsoide x 2 y 2 z2

donde a > 0.

a 1, 2

En los ejercicios 65 y 66, dar una interpretación geométrica de la

integral iterada.

65.

66.

En los ejercicios 67 y 68, hallar el jacobiano x, y/u, v para

el cambio de variables indicado.

67. x u 3v,

68. x u 2 v 2 ,

En los ejercicios 69 y 70, utilizar el cambio de variables indicado

para evaluar la integral doble.

69. 70.

4

3

2

1

y

6 sen sin

0 0 0

2 1r

2

0 0

2

R lnx y dA y u 2 v 2

R

x 1 u v,

2

(1, 2)

1

0

(2, 3)

R

(2, 1)

2

h→0 z.

3

2

sin sen d d d

r dz dr d

(3, 2)

y 2u 3v

4

y 1 u v

2

x

6

5

4

3

2

1

y

h

x u,

x = 1

1

x

1 x 2 y dA 2

R

xy = 5

xy = 1 4

y v u

5

x = 5

x

6


SP


1. Hallar el volumen del sólido de intersección de los tres cilindros

x 2 z 2 1, y 2 z 2 1, y x 2 y 2 1 (ver la figura).

−3

3

x

2. Sean a, b, c y d números reales positivos. El primer octante del

plano ax by cz d se muestra en la figura. Mostrar que el

área de la superficie de esta porción del plano es igual a

AR

c a2 b 2 c 2

3

−3

z

3

donde AR es el área de la región triangular R en el plano xy,

como se muestra en la figura.

z

y

−3

3

x

3

−3

z

3

y

d) Demostrar la identidad trigonométrica

1 sen sin

cos

e) Demostrar que

tan

2

2 .

2

I 2

ƒ) Utilizar la fórmula para la suma de una serie geométrica infinita

para verificar que

1 1

1

n

1

dx dy.

2 1 xy

g) Utilizar el cambio de variables u x y y v y x para

2 2

demostrar que

1 1

1

n

1

2 1 xy dx dy I 1 I 2

2

6 .

n1

n1

4. Considerar un césped circular de 10 pies de radio, como se muestra

en la figura. Supóngase que un rociador distribuye agua de

manera radial de acuerdo con la fórmula

f r r

16 r2

160

(medido en pies cúbicos de agua por hora por pie cuadrado de

césped), donde r es la distancia en pies al rociador. Hallar la cantidad

de agua que se distribuye en 1 hora en las dos regiones anulares

siguientes.

A r, : 4 ≤ r ≤ 5, 0 ≤

B r, : 9 ≤ r ≤ 10, 0 ≤

u2

22u2

00

≤ 2}

≤ 2}

2

2 u 2 2

dv du

v

00

2

9 .

¿Es uniforme la distribución del agua? Determinar la cantidad de

agua que recibe todo el césped en 1 hora.

x

3. Deducir el famoso resultado de Euler que se menciona en la sección

9.3,

1

completando cada uno de los pasos.

n

2

2 6 ,

n1

a) Demostrar que

dv

2 u 2 v 1

2 2 u arctan v

2 2 u C. 2

b) Demostrar que

utilizando la sustitución

c) Demostrar que

u2

22u2

2

I 2

2

46

22

I 1

u

0 u

2

2 u 2 2

dv du

v

arctan 1 sen sin

cos

u 2 sin sen.

d

utilizando la sustitución u 2 sin sen.

R

y

2

dv du

2 u 2 v2 2

18

B

5. La figura muestra la región R limitada o acotada por las curvas

y x, y 2x, y

x2

y y x2

Utilizar el cambio de

3 , 4 .

variables x u 13 v 23 y y u 23 v 13 para hallar el área de la

región R.

y

A

y = 1 x 2

3

R

4 pies

1 pie

y =

y =

y = 1 x 2

4

x

2x

x


6. La figura muestra un sólido acotado inferiormente por el plano

z 2 y superiormente por la esfera x 2 y 2 z 2 8.

z

A(b)

4

x 2 + y 2 + z 2 = 8

A(a)

V(b)

V(a)

a) Hallar el volumen del sólido utilizando coordenadas cilíndricas.

b) Hallar el volumen del sólido utilizando coordenadas esféricas.

7. Dibujar el sólido cuyo volumen está dado por la suma de las

integrales iteradas

Después, expresar el volumen mediante una integral iterada

simple con el orden dy dz dx.

8. Demostrar que lím lim

En los ejercicios 9 y 10, evaluar la integral. (Sugerencia: Ver el

ejercicio 69 de la sección 14.3.)

9.

x 2 e x2 dx

0

10.

6

0

1

−2

x

2

3 y

z2z2

0 ln 1 x dx


f x, y

ke xya ,

0,

2

0

6

dx dy dz

0

1 1

n→

0

x ≥ 0, y ≥ 0

elsewhere. en resto.

Hallar la relación entre las constantes positivas a y k de manera

que ƒ sea una función de densidad conjunta de las variables

aleatorias continuas x y y.

12. Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región en el

primer cuadrante limitado por y e x2 alrededor del eje y. Usar

este resultado para encontrar

e x2 dx.

13. De 1963 a 1986, el volumen del lago Great Salt se triplicó, mientras

que el área de su superficie superior se duplicó. Leer el artículo

“Relations between Surface Area and Volume in Lakes” de

Daniel Cass y Gerald Wildenberg en The College Mathematics

Journal. Después, proporcionar ejemplos de sólidos que tengan

“niveles de agua” a y b tales que Vb 3Va y Ab 2Aa

(ver la figura), donde V es el volumen y A es el área.

y

12z2 6y

3 z2

dx dy dz.

x n y n dx dy 0.

Figura para 13

14. El ángulo entre un plano P y el plano xy es q, donde 0

2. La proyección de una región rectangular en P sobre el

plano xy es un rectángulo en el que las longitudes de sus lados

son ∆x y ∆y, como se muestra en la figura. Demostrar que el

área de la región rectangular en P es sec x y.

15. Utilizar el resultado del ejercicio 14 para ordenar los planos, en

orden creciente de sus áreas de superficie, en una región fija R

del plano xy. Explicar el orden elegido sin hacer ningún cálculo.

a)

b)

c)

d)

16. Evaluar la integral

0

17. Evaluar las integrales

1 1

x y

y

x y dx dy 3

00

Área: sec

z 1 2 x

z 2 5

θ

∆x

z 3 10 5x 9y

z 4 3 x 2y

0

¿Son iguales los resultados? ¿Por qué sí o por qué no?

18. Mostrar que el volumen de un bloque esférico puede ser aproximado

por

V 2

sin sen .

θ

∆x∆y

P

Área en el plano xy: ∆x∆y

1

dx dy.

1 x 2 y 2 2

1

00

1

∆y

x y

3

dy dx.

x y

15 Vector Analysis

Vector Analysis

Análisis vectorial

In In this chapter, you will study vector

En fields, este line capítulo se estudiarán los campos

vectoriales, In this integrals,

chapter, and integrales you

to de will surface

línea study integrals.

to e integrales vector

You will de fields, learn

superficie. line to

integrals, use these to Se aprenderá and as

a surface determine

usarlos integrals.

real-life quantities para

determinar You will such

learn cantidades to use as en these surface area,

la vida to real, determine

mass, flux, como

el real-life work,

área de quantities and energy.

una superficie, such masa, surface flujo, trabajo

In mass, y this energía.

flux, chapter, work, you and should energy.

learn the

En following.

In este this capítulo, chapter, se you aprenderá: should learn the

■ following.

How Cómo to to dibujar sketch un a a campo vector vectorial, field, determine

deter-

whether minar si a es a conservativo, is encontrar una

area,

In

■ How to vector

sketch field

a is

vector conservative,

field, determine

find función a a de potencial, el rotacional y la

divergencia.

whether potential function,

a vector find (15.1)

field is curl,

conservative,

and

find divergence.

find (15.1)

a potential function, find curl, and

■ How Cómo find to divergence. to encontrar find a a piecewise una (15.1) parametrización

smooth

parametrization, continua por secciones, write escribir y evaluar a

■ una

How to find

de

a línea

piecewise and evaluate y utilizar

smooth

a

line integral, el teorema

de parametrization, and use Green’s

Green. (15.2, 15.4) write Theorem.

and evaluate a

(15.2, 15.4)

Cómo

line integral, usar el teorema

and use

fundamental

Green’s Theorem.

de

■■ How to las

(15.2, to integrales

15.4) use the Fundamental Theorem

de línea, la independencia

of of Line of ■

■ de How Integrals,

la trayectoria to independence

use the y Fundamental of

la conservación Theorem

path,

■

de

and energía. of conservation

Line (15.3) Integrals,

of of independence energy. (15.3)

of path,

■ How Cómo and to conservation to dibujar sketch una a a parametric superficie of energy. paramétrica, surface,

(15.3)

find encontrar a a set of un conjunto de ecuaciones to

■ How set

to of

sketch parametric equations

a parametric to

surface,

represent paramétricas find a set

a a surface,

of parametric representar find a a

equations normal una super-

vector,

to

find ficie, represent

a a determinar tangent a surface, plane, un vector and

find find

a normal, normal the un area

vector,

of of plano find

a a parametric a tangente y surface.

plane, el área and de (15.5)

find una superficie the area

■■ How paramétrica.

of a to parametric to evaluate (15.5) a surface. a surface (15.5)

integral,

■

determine Cómo evaluar the una integral of de a superficie,

■ How to evaluate orientation of

a surface a

integral,

surface,

evaluate determinar a a la orientación de una superficie,

determine flux integral,

evaluar

the una

orientation and use

integral de

of the

flujo

a surface,

Divergence Theorem. y usar

el

evaluate

teorema

a

de

flux (15.6,

la

integral, 15.7)

divergencia.

and (15.6,

use the

15.7)

■■ How Divergence to to use Stokes’s Theorem. Theorem (15.6, to 15.7) to evaluate

■ Cómo utilizar el teorema de Stokes para

a a line or a ■ evaluar How integral or

to una use integral Stokes’s a surface integral

de Theorem and

línea o superficie to evaluate

how to to to y a cómo line use

integral curl to

usar el rotacional or analyze

a the

surface motion

para integral analizar andel

of of a a movimiento how rotating liquid. use curl (15.8)

de un to líquido analyze que the gira. motion (15.8)

of a rotating liquid. (15.8)

■

NASA

While on on the ground awaiting liftoff, space shuttle astronauts have access to to a a

NASA

Mientras basket and is to as far While on esperan slide

the wire

ground el despegue system

awaiting en that liftoff, tierra, is designed space los astronautas to

shuttle move astronauts del them transbordador as far

have away access espacial from the

to a

■■

tienen shuttle as in an of by

basket acceso as possible

and slide a un wire sistema in an emergency

system alámbrico situation.

that is de designed canasta Does to y move tobogán the amount

them diseñado of

as work

far away para done transportarlos

the for ■ shuttle lo gravitational más as lejos possible posible force field

by

from the

in an del emergency transbordador vary for different situation. en una slide Does situación wire paths

the amount de emergencia. between two

of work done ¿La fixed

cantidad by

de points? the trabajo (See

gravitational realizado Section force por 15.3, field campo Exercise vary de for fuerza 39.)

different gravitacional slide wire varía paths para between diferentes two fixed trayectorias

points? entre (See dos Section puntos fijos 15.3, del Exercise tobogán 39.) alámbrico? (Ver la sección 15.3, ejercicio 39.)

In En In Chapter el capítulo 15, 15 you se will combinará combine el your conocimiento knowledge of of de vectors vectores with con your el knowledge del cálculo of of integral. La calculus. sección Section 15.1 introduce 15.1

campos introduces vectoriales, as of In Chapter fields, como los que muestran arriba. Ejemplos de campos vectoriales incluyen campos de velocidad,

fields, campos and electromagnéticos y campos gravitacionales.

15, you such

will combine as those shown

your knowledge above. Examples

of vectors of

with vector

your fields

knowledge include velocity

of integral fields,

calculus. electromagnetic

Section 15.1

introduces gravitational fields.

vector fields, such as those shown above. Examples of vector fields include velocity fields, electromagnetic

fields, and gravitational fields.

10571057

1057

10571057

1058 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial

1058 Chapter 15 15 Vector Analysis

15.1 Campos vectoriales

15.1 Vector Fields

■ Comprender el concepto de un campo vectorial.

■ Determinar Understand the si

the un concept campo of of

vectorial of a vector es field.

conservativo.

■ Calcular Determine el whether

rotacional a vector

de un field field

campo is is is vectorial.

conservative.

■ Calcular Find Find the the curl la

curl divergencia of of of a vector de field.

un campo vectorial.

■ Find Find the the divergence of of of a vector field.

Campos vectoriales

Vector Fields

En el capítulo 12 se estudiaron funciones vectoriales que asignan un vector a un número

In real. In Chapter Se comprobó 12, 12, you you que studied las funciones vector-valued vectoriales functions—functions de números reales that that assign son útiles a a vector para torepre-

asentar a real real curvas number. y There movimientos you you saw saw a that that lo largo vector-valued de una curva. functions En este of of real capítulo real numbers se estudiarán are are useful

otros

in dos in representing tipos de funciones curves and and vectoriales motion along que asignan a a curve. un In In vector this this chapter, a un punto you you will en will el study plano two two

oaun

punto other types en el of of espacio. vector-valued Tales funciones functions—functions se llaman campos that that assign vectoriales a a to to (campos a a point in de in the the

vectores),

plane y or or son a a point útiles in in para space. representar Such functions varios tipos are are called de campos vector de fields, fuerza and and y campos they are are de useful

velocidades.

in representing various types of of force fields and and velocity fields.

in DEFINICIÓN DEFINITION DE OF OF UN VECTOR CAMPO VECTORIAL

FIELD

Un A vector campo field vectorial over sobre a plane una region región R

is is plana is a a function R es una F

that that función assigns F que a a vector

asigna un

vector Fx, Fx, y y

F(x, to to each y) a cada point punto in in

R. R.

en R.

Un A vector campo field vectorial over sobre a solid una region región Q

in in sólida space Qis is is en a a el function espacio F

that es that una assigns función aa

F que

asigna vector un Fx, Fx, vector y, y, y, z z zto F(x, to each y, z) point a cada in in Q. punto Q.

en Q.

NOTE NOTA NOTE

Aunque Although un a a vector campo field field vectorial consists está of of of constituido infinitely many por infinitos vectors, you vectores, you can can get get se a a puede good good idea obtener idea of of ofuna

what idea what aproximada the the vector field field de su looks looks estructura like like by by dibujando sketching varios several vectores representative representativos vectors

Fx, F(x, Fx, y y), y y

whose cuyos puntos initial

iniciales

points are son are

x, (x, x, y. y). y.

■

■

The El The gradiente es is is is one un one ejemplo example de of of un a a campo vector field. vectorial. For For example, Por ejemplo, if if if si

fx, fx, y y xx 2 2 y y 3xy 3xy 33

entonces then the the gradient el gradiente of of

fffde

f

fx, y y f x fx, f xx x, yi yi f y fx, f yy x, yj yj

2xy 3y 3y 33 i i i x x 22 9xy 9xy 22 j

j j

Campo Vector Vector vectorial field field in in in en the the el plane plane plano.

is es is is a a un vector campo field vectorial in in the the plane. en el plano. From Chapter Del capítulo 13, 13, the the 13, graphical la interpretación interpretation gráfica of of this this de este field

campo

is is a a es family una familia of of vectors, de vectores each of of cada which uno points de los in in cuales the the direction apunta en of of la maximum dirección increase

de máximo

crecimiento along the the surface a lo largo given de by by

la zzsuperficie fx, fx, y. y.

dada por z fx, y.

De Similarly, manera if if if similar, si

is

fx, fx, fx, y, y, y, z z z z x x 2 2 y y 2 2 z z 2

2

entonces then the the gradient el gradiente of of

fffde

f

fx, fx, y, y, y, z z z z f x f x, f x

x, x x, y, y, y, zi zi zi f y f x, f y

x, y x, y, y, y, zj zj zj f z f x, f z

x, z x, y, y, y, zk zk zk

2xi 2xi 2yj 2yj 2zk

2zk

Campo Vector Vector vectorial field field en in in in space el space

espacio.

is es is is a un a vector campo field vectorial in in space. en el Note espacio. that that the the Notar component que las funciones functions componentes for for this this particular para este vector

campo

vectorial field are are

2x, 2x, particular 2y, 2y,

and and

son 2z. 2z.

2x, 2y y 2z.

Un A vector campo field

vectorial

Fx, Fx, y, y, y, z z z Mx, y, y, y, zi zi Nx, y, y, y, zj zj Px, Px, y, y, y, zk zk

is es is is continuous en at at at un a a punto point if if si if and and y sólo only si if if cada if each una of of its de its sus component funciones functions componentes M, M,

N, N,

and and M, NP

is y is isP es

continua continuous en at at ese at that that punto.

point.

SECCIÓN 15.1 Campos vectoriales 1059

Campo de velocidades

Rueda rotante

Figura 15.1

Campo vectorial de flujo del aire

Figura 15.2

Algunos ejemplos físicos comunes de campos vectoriales son los campos de velocidades,

los gravitatorios y los de fuerzas eléctricas.

1. Un campo de velocidades describe el movimiento de un sistema de partículas en el

plano o en el espacio. Por ejemplo, la figura 15.1 muestra el campo vectorial determinado

por una rueda que gira en un eje. Los vectores velocidad los determina la localización

de sus puntos iniciales: cuanto más lejano está un punto del eje, mayor es su

velocidad. Otros campos de velocidad están determinados por el flujo de líquidos a

través de un recipiente o por el flujo de corrientes aéreas alrededor de un objeto móvil,


2. Los campos gravitatorios los define la ley de la gravitación de Newton, que establece

que la fuerza de atracción ejercida en una partícula de masa m 1

localizada en (x, y, z)

por una partícula de masa m 2

localizada en (0, 0, 0) está dada por

Fx, y, z Gm 1 m 2

x 2 y 2 z 2 u

donde G es la constante gravitatoria y u es el vector unitario en la dirección del origen

a (x, y, z). En la figura 15.3 se puede ver que el campo gravitatorio F tiene las

propiedades de que todo vector F(x, y, z) apunta hacia el origen, y que la magnitud de

F(x, y, z) es la misma en todos los puntos equidistantes del origen. Un campo vectorial

con estas dos propiedades se llama un campo de fuerzas central. Utilizando el vector

posición

r xi yj zk

para el punto (x, y, z), se puede expresar el campo gravitatorio F como

Fx, y, z Gm 1 m 2

r r

r

2

z

(x, y, z)

Gm 1 m 2

r 2 u.

3. Los campos de fuerzas eléctricas se definen por la ley de Coulomb, que establece que

la fuerza ejercida en una partícula con carga eléctrica q 1

localizada en (x, y, z) por una

partícula con carga eléctrica q 2

localizada en (0, 0, 0) está dada por

x

m 1 se localiza en (x, y, z).

m 2

se localiza en (0, 0, 0).

Campo de fuerzas gravitatorio

Figura 15.3

y

Fx, y, z cq 1 q 2

r 2 u

donde r xi yj zk, u rr, y c es una constante que depende de la elección

de unidades para r, q 1 , y q 2 .

Nótese que un campo de fuerzas eléctricas tiene la misma forma que un campo gravitatorio.

Es decir,

Fx, y, z

k

r u. 2

Tal campo de fuerzas se llama un campo cuadrático inverso.

DEFINICIÓN DE CAMPO CUADRÁTICO INVERSO

Sea rt xti ytj ztk un vector posición. El campo vectorial F es un

campo cuadrático inverso si

Fx, y, z

k

r 2 u

donde k es un número real y u rr es un vector unitario en la dirección de r.


Como los campos vectoriales constan de una cantidad infinita de vectores, no es posible

hacer un dibujo de todo el campo completo. En lugar de esto, cuando se esboza un

campo vectorial, el objetivo es dibujar vectores representativos que ayuden a visualizar

el campo.

EJEMPLO 1

Dibujo de un campo vectorial

Dibujar algunos vectores del campo vectorial dado por

Fx, y yi xj.

Solución Se podrían trazar los vectores en varios puntos del plano, al azar. Sin embargo,

es más ilustrativo trazar vectores de magnitud igual. Esto corresponde a encontrar curvas

de nivel en los campos escalares. En este caso, vectores de igual magnitud se encuentran

en círculos.

3

2

1

y

1

3

x

Vectores de longitud c.

Ecuación del círculo.

Para empezar a hacer el dibujo, se elige un valor de c y se dibujan varios vectores en la circunferencia

resultante. Por ejemplo, los vectores siguientes se encuentran en la circunferencia

unitaria.

Punto

F c

x 2 y 2 c

x 2 y 2 c 2

Vector

1, 0

F1, 0 j

0, 1

F0, 1 i

Campo vectorial:

F(x, y) = −yi + xj

1, 0

0, 1

F1, 0 j

F0, 1 i

Figura 15.4

En la figura 15.4 se muestran éstos y algunos otros vectores del campo vectorial. Nótese

en la figura que este campo vectorial es parecido al dado por la rueda giratoria mostrada en

la figura 15.1.

EJEMPLO 2

Dibujo de un campo vectorial

−4

−3

c = 1

Figura 15.5

4

3

−2 2 3

−3

−4

y

Campo vectorial:

F(x, y) = 2xi + yj

c = 2

x

Dibujar algunos vectores en el campo vectorial dado por

Fx, y 2xi yj.

Solución Para este campo vectorial, los vectores de igual longitud están sobre las elipses

dadas por

F 2x 2 y 2 c

lo cual implica que

4x 2 y 2 c 2 .

Para c 1, dibujar varios vectores 2xi yj de magnitud 1 en puntos de la elipse dada por

4x 2 y 2 1.

Para c 2, dibujar varios vectores 2xi yj de magnitud 2 en puntos de la elipse dada por

4x 2 y 2 4.

Estos vectores se muestran en la figura 15.5.


EJEMPLO 3

Esbozo de un campo vectorial

16

z

Dibujar algunos vectores en el campo de velocidad dado por

vx, y, z 16 x 2 y 2 k

donde x 2 y 2 ≤ 16.

Solución Es válido imaginar que v describe la velocidad de un fluido a través de un

tubo de radio 4. Los vectores próximos al eje z son más largos que aquellos cercanos al

borde del tubo. Por ejemplo, en el punto (0, 0, 0), el vector velocidad es v(0, 0, 0) =

16k, considerando que en el punto (0, 3, 0), el vector velocidad es v(0, 3, 0) = 7k. La

figura 15.6 muestra éstos y varios otros vectores para el campo de velocidades. De la

figura, se observa que la velocidad del fluido es mayor en la zona central que en los

bordes del tubo.

4

x

Figura 15.6

Campo de velocidades:

v(x, y, z) = (16 − x 2 − y 2 )k

4

y

Campos vectoriales conservativos

En la figura 15.5 todos los vectores parecen ser normales a la curva de nivel de la que

emergen. Porque ésta es una propiedad de los gradientes, es natural preguntar si el campo

vectorial dado por Fx, y 2xi yj es el gradiente de alguna función diferenciable ƒ.

La respuesta es que algunos campos vectoriales, denominados campos vectoriales conservativos,

pueden representarse como los gradientes de funciones diferenciables, mientras

que algunos otros no pueden.

DEFINICIÓN DE CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS

Un campo vectorial F se llama conservativo si existe una función diferenciable ƒ

tal que F f. La función ƒ se llama función potencial para F.

EJEMPLO 4

Campos vectoriales conservativos

a) El campo vectorial dado por Fx, y 2xi yj es conservativo. Para comprobarlo,

considerar la función potencial fx, y x 2 1 2 y 2 . Como

f 2xi yj F

se sigue que F es conservativo.

b) Todo campo cuadrático inverso es conservativo. Para comprobarlo, sea

Fx, y, z

donde u rr. Como

f

k

r 2 u

k

r 2 u

se deduce que F es conservativo.

y

kx

x 2 y 2 z 2 32 i

fx, y, z

k xi yj zk

x 2 y 2 z2x 2 y 2 z

2

k r

r 2 r

k

x 2 y 2 z 2

ky

x 2 y 2 z 2 32 j

kz

x 2 y 2 z 2 32 k


Como puede verse en el ejemplo 4b, muchos campos vectoriales importantes, incluyendo

campos gravitatorios y de fuerzas eléctricas, son conservativos. Gran parte de la terminología

introducida en este capítulo viene de la física. Por ejemplo, el término “conservativo”

se deriva de la ley física clásica de la conservación de la energía. Esta ley establece

que la suma de la energía cinética y la energía potencial de una partícula que se mueve en

un campo de fuerzas conservativo es constante. (La energía cinética de una partícula es la

energía debida a su movimiento, y la energía potencial es la energía debida a su posición

en el campo de fuerzas.)

El importante teorema siguiente da una condición necesaria y suficiente para que un

campo vectorial en el plano sea conservativo.

TEOREMA 15.1

CRITERIO PARA CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS EN EL PLANO

Sea M y N dos funciones con primeras derivadas parciales continuas en un disco

abierto R. El campo vectorial dado por Fx, y Mi Nj es conservativo si y

sólo si

N

x M

y .

DEMOSTRACIÓN Para mostrar que la condición dada es necesaria para que F sea conservativo,

suponer que existe una función potencial ƒ tal que

Fx, y fx, y Mi Nj.

Entonces se tiene

f x x, y M

f y x, y N

f xy x, y M

y

f yx x, y N

x

y, por la equivalencia de derivadas parciales mixtas f xy y f yx , se puede concluir que

Nx My para todo x, y en R. Lo suficiente de la condición se muestra en la

sección 15.4.

NOTA El teorema 15.1 es válido en dominios simplemente conexos. Una región plana R es simplemente

conexa si cada curva cerrada simple en R encierra sólo puntos que están en R. Ver la figura

15.26 en la sección 15.4.

■

EJEMPLO 5

Prueba de campos vectoriales conservativos

en el plano

Decidir si el campo vectorial dado por F es conservativo.

a) Fx, y x 2 yi xyj b) Fx, y 2xi yj

Solución

a) El campo vectorial dado por Fx, y x 2 yi xyj no es conservativo porque

M

y y x2 y x 2

y

N

x xy y.

x

b) El campo vectorial dado por Fx, y 2xi yj es conservativo porque

M

y y 2x 0

y

N

x y 0.

x


El teorema 15.1 permite decidir si un campo vectorial es o no conservativo. Pero no

dice cómo encontrar una función potencial de F. El problema es comparable al de la integración

indefinida. A veces se puede encontrar una función potencial por simple inspección.

Así, en el ejemplo 4 se observa que

fx, y x 2 1 2 y 2

tiene la propiedad de que fx, y 2xi yj.

EJEMPLO 6

Calcular una función potencial para Fx, y

Hallar una función potencial para

Solución

Del teorema 15.1 sigue que F es conservativo porque

y

Si ƒ es una función cuyo gradiente es igual a F(x, y), entonces

lo cual implica que

y

Fx, y 2xyi x 2 yj.

2xy 2x

y

fx, y 2xyi x 2 yj

f x x, y 2xy

f y x, y x 2 y.

x x2 y 2x.

Para reconstruir la función ƒ de estas dos derivadas parciales, se integra f x x, y con respecto

a x y f y x, y con respecto a y, como sigue.

fx, y f x x, y dx 2xy dx x 2 y gy

fx, y f y x, y dy x 2 y dy x 2 y y 2

2 hx

Nótese que g(y) es constante con respecto a x y h(x) es constante con respecto a y. Para

hallar una sola expresión que represente ƒ(x, y), sea

gy y2

2

y

hx K.

Entonces, se puede escribir

fx, y x 2 y gy K

x 2 y y 2

2 K.

Este resultado se puede verificar formando el gradiente de ƒ. Usted podrá que es igual a la

función original F.

NOTA La solución en el ejemplo 6 es comparable a la dada por una integral indefinida. Es decir,

la solución representa a una familia de funciones potenciales, dos de las cuales difieren por una constante.

Para hallar una solución única, se tendría que fijar una condición inicial que deba satisfacer la

función potencial.

■


Rotacional de un campo vectorial

El teorema 15.1 tiene un análogo para campos vectoriales en el espacio. Antes de establecer

ese resultado, se da la definición del rotacional de un campo vectorial en el espacio.

DEFINICIÓN DEL ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

El rotacional de Fx, y, z Mi Nj Pk es

curl rot Fx, F y, z Fx, y, z

P

y N

z i P

x M

z j N

x M

y k.

NOTA

Si rot F = 0, entonces se dice que F es un campo irrotacional.

■

La notación de producto vectorial usada para el rotacional proviene de ver el gradiente

f como el resultado del operador diferencial que actúa sobre la función f. En

este contexto, se utiliza la siguiente forma de determinante como ayuda mnemotécnica

para recordar la fórmula para el rotacional.

curl rot Fx, y, z Fx, y, z

i j k

x y z

M N P

P

y N

z i P

x M

z j N

x M

y k

EJEMPLO 7

Cálculo del rotacional de un campo vectorial

Hallar rot F para el campo vectorial dado por

Fx, y, z 2xyi x 2 z 2 j 2yzk.

¿Es F irrotacional?

Solución

El rotacional de F está dado por

curl rot Fx,

y, z Fx, y, z

i j k

x y z

2xy x 2 z 2yz

2

y z

x z

x

x 2 z 2yzi 2

2xy 2yzj 2xy

2z 2zi 0 0j 2x 2xk

0.

y

x 2 z 2k

Como rot F = 0, F es irrotacional.


Más adelante, en este capítulo, se asignará una interpretación física al rotacional de un

campo vectorial. Pero por ahora, el uso primario del rotacional se muestra en la siguiente

prueba para campos vectoriales conservativos en el espacio. El criterio establece que para

un campo vectorial cuyo dominio sea todo el espacio tridimensional (o una esfera abierta),

el rotacional es 0 en cada punto en el dominio si y sólo si F es conservativo. La

demostración es similar a la dada para el teorema 15.1.

TEOREMA 15.2

CRITERIO PARA CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS EN EL ESPACIO

Suponer que M, N y P tienen primeras derivadas parciales continuas en una esfera

abierta Q en el espacio. El campo vectorial dado por Fx, y, z Mi Nj Pk es

conservativo si y sólo si

rot F(x, y, z) 0.

Es decir, F es conservativo si y sólo si

P

y N

z ,

P

x M

z ,

y

N

x M

y .

NOTA El teorema 15.2 es válido

para dominios simplemente conectados

en el espacio. Un dominio simplemente

conexo en el espacio es un dominio D

para el cual cada curva simple cerrada

en D (ver la sección 15.4) se puede

reducir a un punto en D sin salirse

de D.

■

Del teorema 15.2 se puede ver que el campo vectorial del ejemplo 7 es conservativo,

ya que rot F(x, y, z) = 0. Comprobar que el campo vectorial

Fx, y, z x 3 y 2 zi x 2 zj x 2 yk

no es conservativo; se puede demostrar que su rotacional es

curl rot Fx, F y, z x 3 y 2 2xyj 2xz 2x 3 yzk 0.

Para los campos vectoriales en el espacio que satisfagan el criterio y sean, por tanto,

conservativos se puede encontrar una función potencial siguiendo el mismo modelo utilizado

en el plano (como se demostró en el ejemplo 6).

EJEMPLO 8

Calcular una función potencial para Fx, y, z

NOTA Los ejemplos 6 y 8 son las

ilustraciones de un tipo de problemas

llamados reconstrucción de una función

a partir de su gradiente. Si se

decide tomar un curso en ecuaciones

diferenciales, se estudiarán otros métodos

para resolver este tipo de problemas.

Un método popular da una interacción

entre las “integraciones parciales”

sucesivas y derivaciones parciales.

■

Hallar una función potencial para Fx, y, z 2xyi x 2 z 2 j 2yzk.

Solución Del ejemplo 7 se sabe que el campo vectorial dado por F es conservativo. Si ƒ

es una función tal que Fx, y, z fx, y, z, entonces

f f y x, y, z x 2 z 2 x x, y, z 2xy,

, y f z x, y, z 2yz

e integrando separadamente con respecto a x, y y z se obtiene

fx, y, z M dx 2xy dx x 2 y g y, z

fx, y, z N dy x 2 z 2 dy x 2 y yz 2 hx, z

fx, y, z P dz 2yz dz yz 2 kx, y.

Comparando estas tres versiones de fx, y, z, concluir que

g y, z yz 2 K, hx, z K, y kx, y x 2 y K.

Por tanto, fx, y, z resulta ser

fx, y, z x 2 y yz 2 K.


1066 Chapter 15 Vector Analysis

NOTA La divergencia puede verse

como un tipo de derivadas de F ya que,

NOTE para campos Divergence de velocidades can be viewed de partículas,

of mide derivative el ritmo of Fde

in flujo that, de for partículas vector

as a

type

fields por representing unidad de volumen velocities en of un moving punto.

particles, En hidrodinámica the divergence (el measures estudio del the

rate movimiento of particle flow de fluidos), per unit un volume campo de

at a velocidades point. In hydrodynamics de divergencia (the nula study se

of fluid llama motion), incompresible. a velocity En field estudio that is de

divergence electricidad free y is magnetismo, called incompressible. un campo

In the vectorial study of de electricity divergencia and nula magnetism, se llama

a vector el solenoidal. field that is divergence free is ■

called solenoidal.

Divergencia de un campo vectorial

Se

Divergence

ha visto que el

of

rotacional

a Vector

de un

Field

campo vectorial F es a su vez un campo vectorial. Otra

función importante definida en un campo vectorial es la divergencia, que es una función

escalar. You have seen that the curl of a vector field F is itself a vector field. Another important

function defined on a vector field is divergence, which is a scalar function.

DEFINICIÓN DE DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL

DEFINITION OF DIVERGENCE OF A VECTOR FIELD

La divergencia de Fx, y Mi Nj es

The divergence of Fx, y Mi Nj is

div Fx, y Fx, y M

Plano.

x N

div Fx, y Fx, y M y .

Plane

x N

y .

La divergencia de Fx, y, z Mi Nj Pk es

The divergence of Fx, y, z Mi Nj Pk is

div Fx, y, z Fx, y, z M

Espacio.

x N

y P

div Fx, y, z Fx, y, z M z . Space

x N

y P

z .

Si div 0, entonces se dice que F es de divergencia nula.

If div F 0, then F is said to be divergence free.

La notación de producto escalar usada para la divergencia proviene de considerar

como The un dot operador product diferencial, notation used como for sigue. divergence comes from considering as a

differential operator, as follows.

Fx, y, z

x i y j z k Mi Nj Pk

Fx, y, z

x i y j z k Mi Nj Pk

M

x N

y P

M z

x N

y P

z

EJEMPLO 9 Divergencia de un campo vectorial

EXAMPLE 9 Finding the Divergence of a Vector Field

Hallar la divergencia en 2, 1, 1 para el campo vectorial

Find the divergence at 2, 1, 1 for the vector field

Fx, y, z 3 2 zi 2 zj 2 yk.

Fx, y, z x 3 y 2 zi x 2 zj x 2 yk.

Solución Solution The La divergencia divergence of de F

is es

div Fx, Fx, y, z z x x3 z y x2 z z x2 y x x3 y 2 z y x2 z z x2 y 3x 2 y 2 z.

En At the el punto point 2, 2, 1, 1, 1, la the divergencia divergence es is

div F2, 1, 1 32 2 1 2 1 12.

■

Hay There muchas are many propiedades important importantes properties of de the la divergence divergencia and y el curl rotacional of a vector de un field campo

vectorial F (see Exercises F (ver ejercicios 83– 89). One 83 a that 89). is Se used establece often is una described uso in muy Theorem frecuente 15.3. en You el teorema are

15.3. asked En to prove el ejercicio this theorem 90 se pide in Exercise demostrar 90. este teorema.

THEOREM 15.3 DIVERGENCE AND CURL

TEOREMA 15.3 RELACIÓN ENTRE DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

If Fx, y, z Mi Nj Pk is a vector field and M, N, and P have continuous

Si second Fx, y, partial z Mi derivatives, Nj then Pk es un campo vectorial y M, N y P tienen segundas

derivadas parciales continuas, entonces

divcurl F 0.

div (rot F) 0.

053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1067

053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1067

CAS

CAS

CAS

CAS

CAS

CAS







En In los Exercises ejercicios 1–6, 1 a match 6, asociar the vector el campo field vectorial with its con graph. su gráfica. [The

[Las In graphs Exercises gráficas are labeled se 1–6, marcan match (a), (b), a), the b), (c), vector c), (d), d), (e), field y and ƒ).]

with (f).]

In Exercises 1–6, match the vector field with

its

its

graph.

graph.

[The

[The

graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]

a) (a) graphs In Exercises are labeled y1–6, y match (a), (b), the (c), vector (d), b) (b)(e), field and with (f).] y yits graph. [The

(a) graphs are labeled 44

(a), (b), (c), (d), (b)(e), and (f).]

In Exercises 1–6, match the vector field with 6 6

(a)

y

(b)

yits graph. [The

In graphs (a) Exercises are labeled 1–6, y match (a), (b), the (c), vector (d), (b)(e), field and with (f).]

yits graph. [The

4

6

graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]

(a)

4 y

(b)

6 y

x

x x

(a)

y

(b)

y

4 4 4

−6 −6

4

4

−6

−6

4

−6

c)

(c)

y

y

d)

(d)

4

(c)

5

5

(c)

y

(d)

(d)

(c)

5 y

(d)

(c)

(c)

5 y

y

x

5

5

5

5

5

5

(e)

y

(f)

e) y

5 ƒ)

(e)

(e)

y

(f)

(f)

(e)

y

(f)

(e)

(e)

5

4

5

y

y

5 x

5

5

−5

5

−5

−5

5

1. F x, y −5 yi

2. F x, y −1 xj

1. Fx, y −5

yi 5 2. Fx, −3 −2 y xj

−1

−3 2 3

1. 3. 3.

1. Fx,

F x,

x, y

y

yi

yi

yi

xj

2. 4.

xj

4.

2.

Fx,

F x,

x, y

y

xj xi

xi

xj

3yj

1 3yj

3. 5. −5

−3

5. Fx, y x, sin y

6. Fx, y 1 2 xy, 3. 1. F x, x, y yi x, sen xjy

4. 6. 2.

x, xi xj 2xy,

sen

1 3yj

1 4x 2

−5 yi xj

4. F x, y −3 xi 3yj

1 4

5. x, sen 6.

2xy, 1x2 In 1. 3.

Exercises x, 7–16, yi xj

compute F and 2. 4.

sketch x, several xj xi 1

5. F x, y x, sen y

6. F x, y

4x 3yj

2xy, representative

1 4x 2 2

En In vectors 1.

3. 5. F

1

Exercises los x, ejercicios in y

the yi

7–16, yi vector x, 7 sen compute a xjy16, field. 2.

calcular and 4.

6. F

F sketch x,

y y

dibujar xj

several xi 2xy, varios representative 3yj

1 4x 2

vectores

In

representativos vectors 3. Exercises in the vector del campo field. vectorial.

7. 5.

F 1

x, x,

y 7–16, yi compute

ix, sen

xj F and

j y

4. sketch

8. 6.

F x, x,

yseveral xi representative

2i 2xy, 1 3yj

vectors In Exercises in the 7–16, vector compute field. F and sketch several 4x 2

1 representative

vectors

5. F x, 7. 9. x, in

y

the yi vector

x, sen y

xjfield.

6. F x, y

8.

2xy, 1 4x 2

In 7. Exercises F x, y 7–16, i compute j F and 10.

8. sketch F x,

x, yseveral 2i yi

2i representative 2xj

11. In vectors 9. 7. Exercises x, in y, the z 7–16, yi ivector 3yj compute j

xj field. F and 10. 12. 8. sketch x, several yi xi 2i representative

9. F x, y yi xj

10. F x, y yi

2xj

2xj

vectors

11. 13. in y, the vector field.

3yj

12. 14.

11. 7. 9. F x, x, y, y z

4xi iyi 3yjj

xj yj

12. 10. 8. F x, x, y

xi

xi 2i yi x 2 2xj y 2 i j

13. 15. 11. 7.

9. F x, y y, z

4xi i

yii3yj

j

xj

yj j k

14. 16. 10. 12. 8.

F x, y, y

z 2i

2 xi 2 yj zk

13. x, 4xi yj 14.

x, yi xi x 2 2xj y 2 i j

15. y, 16.

y, xi yj zk

In 11. 13. 9. F

Exercises x, y yi 4xi

17–20, 3yj

xjyj

10.

use a computer 12. 14. F x,

algebra y yi

xi x

system 2 2xj

15. x, y, z i j k 16.

x, y, z xi yyj 2 i

to graph zk j

En In several

11.

13. 15. F

los Exercises x,

ejercicios representative

y,

y z

17–20, 4xi

3yj i j a 20, yj

use vectors k

utilizar computer in

12.

un the 14. 16.

sistema vector

F x, algebra y

y,

algebraico field. z xi

system x 2 xi

por y to 2 yji zk

compu-

graph j

In

tadora several

13. Exercises

y representative representar 1 gráficamente vectors in the varios vector vectores 17.

15.

F

In Exercises x,

x,

x,

y 17–20,

y

y, z

4xi

17–20,

field. representativos

15. Fdel x, campo y, z 1 vectorial. i j k 16. F x, y, z xi yj zk

17. 18. several

8 2xyi

i j

yj use a computer

use y 2 k

14.

ja computer 16.

Falgebra x,

algebra x,

y system

y, z

x 2

system xi

y

yj 2 to i graph

to graph zk

j

several representative vectors in the vector field.

In Exercises x, representative 17.

Fx, y 1 817–20, 12y 2xyi 3x use vectors i 2 a computer 2y in the 3x jvector field.

17. F x, y

algebra system to graph

8 2xyi y 2 j

18. In several 17. Exercises x, representative 82xyi 17–20, 1

2y xi

3x

y

yj vectors 2 j

2y zk in the 3x vector field.

18.

19. 18. F

Fx, x, y

y

y,

z

82y 2xyi use

3x yi 2 ja computer algebra system to graph

2y 3x j

several representative 2y 1

xi

x 2 3xi vectors

yjy 2 2y zkz 2 in 3xj the vector field.

19. 17. 18.

F x, x, y, y 2y 8 2xyi xi 3xyjy i 2 j zk 2y 3x j

xi yj zk

19.

20. 19.

Fx, y, y,

z z 1

17.

xi 2 yj zk

18.

F x,

x,

y

2y xi 3xyj i zk 2y 8 2xyi 2

3x j

19.

20.

x, y,

y, z

x x 2 y

y 2 j 2 z 2

2 yj y 2 zkz 2

20. 18.

F x, y, y z 2yxi xi

x 2 3x yj yj

iy 2 zk zk

2yz 2 3x j

20. 19. 20.

Fx, x, x,

y, y, y,

z xi

xi

yj zk

xi x 2 yj yjy 2 zk zk

19. F x, y, z

z 2

20. F x, y, z xi x 2 yj y 2 zk z 2

20. F x, y, z xi yj zk

(d)

(d)

(f)

(f)

−6

−6

6 6

6

x

6

6 x

−6 −6

6

x

−6

−6 y 6 x

y

−6

6

5

5 y

−6

y

−6 5

5 y

y

x

5

5

5

5

5

−5

−5

5

−5

−5 y 5

y

−5

5

3

y

3

−5

2 y

2−5

3

1

123

y

−3 −2 12

y

2 3

−3 −2

−13

−11

2 3

−3

−2

3

−12

−3 −2

−1

2 3

−3 −2 −32

1 2 3

−3 −1

1

−3

−3 −2 −3 2 3

x

SECCIÓN 15.1 Campos vectoriales

15.1 Vector Fields

1067

1067

15.1

15.1 Vector Vector

Fields

Fields 1067

1067

15.1 Vector Fields 1067



In En Exercises los ejercicios 21–30, a find 30, hallar the conservative el campo vectorial field conservativo for the

In potential para Exercises la función function 21–30, potencial, by find finding the encontrando its conservative gradient. su gradiente.

In Exercises 21–30, find the conservative

vector

vector

field

field

for

for

the

the

potential function by finding its gradient.

21. potential In Exercises 22. f x, y x 2 1

f x, y function x21–30, 2 2y by 2

finding the its conservative gradient. vector field

4 y2 for the

potential function 21. 22. fx, 2 1

23. fx, g x, 5x 2 by

2y 2 finding

3xy y 2 its gradient.

21.

In Exercises 21–30, find the conservative 24.

22. fx,

g x,

y vector

x

sen 3x 4

1

fx, y x 2 2y

field cos 2 4y for the

23. 5x 2 3xy 2 4 y

In

25.

potential Exercises y,

function 21–30, 2

21. z 6xyz

by finding its 24. 26. 22.

gradient.

gx, f y, z sen x 2 1

f x, x 2 2y 2

the conservative vector

3x x 2 field 2

4 ycos 2

for

4y 2 the

23. z 2

potential g x, yfunction 5x 2 by 3xy finding y 2 its 24. gradient. gx, y sen 3x cos 4y

25. y, 6xyz

26.

y, 2 4y 2 27. 21. y z xz

z ye 28. 22. g x 2 1

25.

23.

fx, g x,

y, y

z x5x 2 6xyz

2 2y3xy 2 y 2 2

26.

24.

fx,

gx,

y,

y

z

sen 3x

x4 2 ycos 2 4y

4y z 2

21. z

x

xz y

27. 23. 25. gx, g y,

y, z

6xyz

2 ye 3xy y 2 22.

28. 24. 26. fx, gx, y y,

y, z x sen 1

fx, y x 2 2y 2

3x x x2 4 2 y

y cos z

4y 4y xz

2 z 2

29. 27. 23. gx, gh y, y z 5xzxy ln x y 30. h x arcsen yz

25. fx, y, 6xyz

ye 3xy x2 y 2 28. 24.

gx, y, y z sen

26. fx, y, y x 2 z 4yxz

27.

29. gx, y, z z ye 28.

30.

gx, y, z

3x cos x 4y 2y

z 2

ln hx, arcsen In 29. 25.

Exercises hfx, y, y, z

6xyz

31–34, lnverify x ythat the 30. 26. fx,

vector hx, y, y, z

field is x z

yconservative.

arcsen x 2 x

z

4yz

xz

y z 2

27. 29. En los gx, h x, ejercicios y, y, zxy 31 lnye a x34, x2 verificar y 28. 30. que gx, hx, el y, y, campo vectorial es con-

In Exercises 31–34, verify that the vector field y

is zx arcsen conservative. xz

yz xz y

In 27.

servativo. Exercises gx,

31. y, y z 31–34, z ye verify that the 28. vector gx, y, field z 1is 29. h x, y, z xy2 xy i ln x 2 yjy

32. 30. Fhx, y, y z 2 31. x

x

z conservative.

yi arcsen

x xjyz

y

In Exercises 31–34, verify that the vector field is conservative.

29. h xy2 2 yj

32.

31. 2

yi xj

33.

In Exercises x, x, y, y z xy ln x y 30. hx, y, z 1 x arcsen yz

31–34, sen i yi verify x 2 x yj

cos that yj the 32.

34.

vector F x, y

field is conservative.

31. 1

33. xy i x 2 2

yi xj

x

In Exercises 31–34, verify yj that the 32. vector F x, yfield 34.

x, xis 2 xy yi

conservative.

yi xj

33. 31. xj

In Exercises i

35–38, x 2 determine yj 1

34. 32. F x, y

2 33. whether the vector field is

In conservative. Exercises Justify 35–38, your determine answer.

xyx yi xj

31. 1

i x 2 yj 32. 34. F x, y

2

yi xj

whether x

the vector field In

is

33. Exercises conservative. En los ejercicios Justify 35–38,

35 determine

a your 38, determinar answer.

34. whether Fsi x, el y the

1

vector

campo vectorial es conservativo.

3xj

35.

5y

xy yi xj field is

conservative. 33. In Exercises Justify 35–38, your determine answer. 1

34. whether F x, y the vector field is

xy yi xj

35. conservative. x, 5y Justify 2

2 yi your 3xj answer.

36. 35. In Exercises F x, y 5y 35–38, y e 2x yi y yi determine 3xj xj whether the vector field is

In conservative. 2 35. Exercises

36.

F x,

x, y Justify 5y 35–38, 2 2x yi your determine y 3xjanswer.

whether the vector field is

2

36. conservative. F x, y Justify yi xj

37.

1

35.

x, 5y y e 2x y your yi

x 2 y i answer. xj

36.

x, 2 yi 3xj j 2 37.

x, y e 2x y yi xj

35. F x, y 5y

2

yi

36.

2 38.

y e 1 3xj

37. F x, y

2

2x y yi

2 xj

37.

x 2 1 y yi 36. F x, y

2 xj

1 xy 38.

x, y e 2x y yi

x 2 y i xj j

1

2 yi 38.

xj

37. F x, y

xy yi

In Exercises 39– x 2 48, y determine xj

38.

1 1 xy

37. F x, y

2 yi xj whether the vector field is

In conservative. Exercises If 39– it x1 2 is, 1

48, find xy y i determine a potential whether function the for vector the vector field field.

In

is

38. Exercises F x, y 39– 48, determine yi xj whether the vector field is

conservative. If it is, find potential function for the vector 39. yi 1 1

38. conservative. In Exercises F x, y If 39– it is, 48, xjfind xydetermine yi a potential xj 40. whether function F x, y the for 3x 2 the y 2 ivector 2xfield 3 field.

yj field. is

39. 41. conservative. En los x, ejercicios If 2xyi it 1

39 is, xja find xy

48, x 2 j determinar a potential 40. 42.

function si x, el campo for 3x xe 2x2 vectorial the 2 y 2yi 2x 3 es yj xj field. conservativo.

Si lo es, calcular una función potencial y

39. In Exercises F x, y yi 39– 48, xj determine 40. whether F x, y the 3x vector field is

para i 2x

él.

yj

41. In conservative. 39. Exercises 2xyi 2 42.

xe 1

x2 2yi xj

43. x, If 39– it is, 48, xjfind determine a potential function for the vector field.

15y3 i 5xy 2 40. whether x, the 3x

j 44.

vector

41. 42. F x, y xe 2

yi i 2x

2xj

yj

y

field is

F x, y 2xyi x 2 j

2yi xj

conservative. If it is, find 43. y

39. 41. F x, y 15y3 2xyi xj x

5xy a potential function for the 2 44. 40. 42.

F x, x, y 3x xe 2 y

vector field.

j

1

2

yi y 2 i2yi 2xj 2x 3 xj yj

43. 2y

xi yj

45.

39. 46.

2y x i x

41.

F x, 2xyi x 2

j

45. xi yj

x, 46.

x, y 42.

x, xe 1 x2 43. x, x, y yi 15y3 ixj

5xy 2 j 44. 40. F x, y 3x

2yi xj

i 2 5xy 2 2

y yyi 2 i 2xj

yj

j 44.

x, 47.

e xy 2

yiy 2 2xj

41. F x, y 2xyi

1

43. 2y

xi yj

45. F x, y 15y3 2y

cos i yi 5xysen 2 j yj 44.

2 yi

yxi

yj

2 2xj

45.

47.

x, 2xi

cos yi 2yj

sen 46.

x 46. F x, y

x i x 2 j

y j

42. F x, y xe x2 y

2yi xj

y j

x 2 y

43.

yj

48. 47. F x, y 1

2

e i

2y

xi yj

45. x, 2xi

y 2yj

46. F x, y

48.

x 2

5xy 2 j 44. F x, y

x x2 yi

y 2 2xj

cos yi

47.

x, e x cos yi y j

sen yj

y

2y 2xi 2yj

sen yj

xi

2 yj

2

48. 45. F x, y

2 22 46. F x, y

In 47. 48. Exercises x, x, 49–52, e2xi

x i x 2

2 cos yi find 2yj y j

22 sen curl yj

x

F for the vector field y

at the given

In point. 47.

F x, y

Exercises e

49–52, 2xi

cos yiy find 2yj

sen yj

curl for the vector field at the In

given

48. Exercises F x, y 49–52, find curl F for the vector field at the given

point. 2xi

point. In Exercises Campo vectorial 49–52, x 2 y2yj

48. F x, y find 2 2

curl F for the vector Punto field at the given

x

49. point.

y 22

In Exercises Campo F x, y, z vectorial 49–52, xyzi find xyzj curl F xyzk for the vector Campo vectorial

Punto

Punto

2, 1, field 3 at the given

49. 50. In point. En Exercises los Campo x, ejercicios y, vectorial 49–52, xyzix a find 52, xyzj 2xzj curl calcular F xyzk

for el the rotacional vector Punto

2, 1, field del 1, 3campo at the given vectorial

49. F

en

x,

el

y,

punto

z xyzi

dado.

xyzj xyzk 2, 1, 3

point.

50. 51. 49.

Campo x, y, vectorial

exyzi 2x sen yi 2xzj xyzje x cos xyzk yj Punto

0, 2, 0, 1, 1, 13

50. F x, y, z x 2 2xzj yzk 2, 1, 3

51. 52. 49. 50.

Campo x, y, vectorial

xyzix sen yi ixyzj 2xzjj x cos k

xyzk

51. F x, y, z e x sen yi e x cos

yj

yj

Punto

0, 3, 2, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 1

03

3

52. 49.

50. 51.

F x, y, 52. x, y, z xyzi

x 2 zi sen yi2xzj e x cos e xyz xyzj

i j kyzk

xyzk yj

3, 2,

2, 0, 2, 1, 0, 3, 2, 1,

3

01

3

50.

51. 52. F x, y, z x e x zi

sen yi i2xzjje x cos

yzk k yj

2,

0, 3, 0, 2, 1,

10

3

51.

52.

F x,

x,

y,

y,

z e x sen xyz yi

i j

e x cos

k

yj 0,

3,

0,

2,

1

0

52. F x, y, z e xyz i j k 3, 2, 0



y representar el rotacional del campo vectorial.

En los ejercicios 57 a 62, determinar si el campo vectorial F es

conservativo. Si lo es, calcular una función potencial para él.

En los ejercicios 63 a 66, calcular la divergencia del campo vectorial

F.

En los ejercicios 67 a 70, calcular la divergencia del campo vectorial

F en el punto dado.

En los ejercicios 75 y 76, calcular

En los ejercicios 77 y 78, hallar

77.

78.

En los ejercicios 79 y 80, hallar

En los ejercicios 81 y 82, hallar div (rot F) · ( F).

81.

82.

En los ejercicios 83 a 90, demostrar la propiedad para los campos

vectoriales F y G y la función escalar ƒ. (Suponer que las

derivadas parciales requeridas son continuas.)

90. div(rot F) 0 (Teorema 15.3)

En los ejercicios 91 a 93, sea

y

91. Probar que 92. Probar que

93. Probar que


En los ejercicios 95 a 98, determinar si la


dar un ejemplo que demuestre su falsedad.

95. Si F(x, y) 4xi y 2 j, entonces cuando (x, y) Æ

(0, 0).

96. Si y está en el eje y positivo, entonces

el vector apunta en la dirección y negativa.

97. Si es un campo escalar, entonces el rotacional tiene sentido.

98. Si es un campo vectorial y rot F = 0, entonces F es irrotacional

pero no conservativo.

F

f

f

x, y

Fx, y 4xi y 2 j

Fx, y → 0

f n nf n2 F.

1

f F f 3.

ln f F f 2.

Fx, y, z .

fx, y, z

Fx, y, z xi yj zk,

Fx, y, z x 2 zi 2xzj yzk

Fx, y, z xyzi yj zk

Fx, y, z x 2 zi 2xzj yzk

Fx, y, z xyzi yj zk


71. Definir un campo vectorial en el plano y en el espacio. Dar

algunos ejemplos físicos de campos vectoriales.

72. ¿Qué es un campo vectorial conservativo y cuál es su criterio

en el plano y en el espacio?

73. Definir el rotacional de un campo vectorial.

74. Definir la divergencia de un campo vectorial en el plano y en

el espacio.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.


several representative vectors in the vector field.

17.

18.

19.

20.

47.

48.

In Exercises 49–52, find curl F for the vector field at the given

point.

49.

50.

51.

52. 3, 2, 0

F x, y, z e xyz i j k

0, 0, 1

F x, y, z e x sen yi e x cos yj

2, 1, 3

F x, y, z x 2 zi 2xzj yzk

2, 1, 3

F x, y, z xyzi xyzj xyzk

Punto

Campo vectorial

F x, y

2xi

2yj

x 2 y 2 2

F x, y e x cos yi sen yj

F x, y, z xi yj zk

F x, y, z

xi yj zk

x 2 y 2 z 2

F x, y 2y 3x i 2y 3x j

F x, y

1

8 2xyi y 2 j

F x, y, z xi yj zk

F x, y, z i j k

F x, y x 2 y 2 i j

F x, y 4xi yj

F x, y

xi

F x, y, z

3yj

F x, y yi 2xj

F x, y yi xj

CAS


rot F for the vector field.

53.

54.

55.

56.

In Exercises 57–62, determine whether the vector field F is

conservative. If it is, find a potential function for the vector field.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

In Exercises 63–66, find the divergence of the vector field F.

63.

64.

65.

66.

In Exercises 67–70, find the divergence of the vector field F at

the given point.

67.

68.

69.

70.

In Exercises 75 and 76, find rot

75. 76.


77.

78.


79. 80.


81.

82.

In Exercises 83–90, prove the property for vector fields F and G

and scalar function

(Assume that the required partial

derivatives are continuous.)

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90. (Theorem 15.3)

In Exercises 91–93, let

and let

91. Show that 92. Show that

93. Show that

True or False?




95. If then as

96. If and is on the positive -axis, then

the vector points in the negative -direction.

97. If is a scalar field, then rot is a meaningful expression.

98. If is a vector field and then is irrotational but

not conservative.

F

rot F 0,

F

f

f

y

y

x, y

F x, y 4xi y 2 j

x, y → 0, 0 .

F x, y → 0

F x, y 4xi y 2 j,

f n nf n 2 F.

1

f

F

f 3.

ln f

F

f 2.

fx, y, z F x, y, z .

F x, y, z

xi yj zk,

div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F

div F G rot F G F rot G

div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.


F x, y, z xyzi yj zk

div rot F F .

G x, y, z x 2 i yj z 2 k

G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

div F G F G .



rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

F G F G .

3, 2, 1

F x, y, z ln xyz i j k

3, 0, 0

F x, y, z e x sen yi e x cos yj z 2 k

2, 1, 3


2, 1, 1

F x, y, z xyzi xyj zk

Punto

Campo vectorial

F x, y, z ln x 2 y 2 i xyj ln y 2 z 2 k

F x, y, z senxi cos yj z 2 k

F x, y xe x i ye y j

F x, y x 2 i 2y 2 j

F x, y, z

x

x 2 y 2 i y

x 2 y 2 j k

F x, y, z

z

y i

xz

y 2 j

x

y k

F x, y, z ye z i ze x j xe y k

F x, y, z sen zi sen xj sen yk

F x, y, z y 2 z 3 i 2xyz 3 j 3xy 2 z 2 k

F x, y, z xy 2 z 2 i x 2 yz 2 j x 2 y 2 zk

F x, y, z x 2 y 2 z 2 i j k

F x, y, z sen x y i sen y z j sen z x k

F x, y, z

yz

y z i xz

x z j xy

x

y k

F x, y, z arctan x y i ln x2 y 2 j k


CAS

71. Define a vector field in the plane and in space. Give some

physical examples of vector fields.

72. What is a conservative vector field, and how do you test for

it in the plane and in space?

73. Define the rot of a vector field.

74. Define the divergence of a vector field in the plane and in

space.


94. (a) Sketch several representative vectors in the vector field

given by

(b) Sketch several representative vectors in the vector field

given by

(c) Explain any similarities or differences in the vector

fields y G x, y .

F x, y

G x, y

xi

yj

x 2 y 2.

F x, y

xi

yj

x 2 y 2.

CAPSTONE



53.

54.

55.

56.



57.

58.

59.

60.

61.

62.


63.

64.

65.

66.


the given point.

67.

68.

69.

70.


75. 76.


77.

78.


79. 80.


81.

82.


and scalar function



83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90. (Theorem 15.3)


and let


93. Show that

True or False?




95. If then as





not conservative.

F

rot F 0,

F

f

f

y

y

x, y

F x, y 4xi y 2 j

x, y → 0, 0 .

F x, y → 0

F x, y 4xi y 2 j,

f n nf n 2 F.

1

f

F

f 3.

ln f

F

f 2.


F x, y, z

xi yj zk,

div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

div F G F G .



rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

F G F G .

3, 2, 1


3, 0, 0


2, 1, 3


2, 1, 1


Punto

Campo vectorial




F x, y x 2 i 2y 2 j

F x, y, z

x

x 2 y 2 i y

x 2 y 2 j k

F x, y, z

z

y i

xz

y 2 j

x

y k





F x, y, z x 2 y 2 z 2 i j k


F x, y, z

yz

y z i xz

x z j xy

x

y k



CAS







space.



given by


given by


fields y G x, y .

F x, y

G x, y

xi

yj

x 2 y 2.

F x, y

xi

yj

x 2 y 2.

CAPSTONE



53.

54.

55.

56.



57.

58.

59.

60.

61.

62.


63.

64.

65.

66.


the given point.

67.

68.

69.

70.


75. 76.


77.

78.


79. 80.


81.

82.


and scalar function



83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90. (Theorem 15.3)


and let


93. Show that

True or False?




95. If then as





not conservative.

F

rot F 0,

F

f

f

y

y

x, y

F x, y 4xi y 2 j

x, y → 0, 0 .

F x, y → 0

F x, y 4xi y 2 j,

f n nf n 2 F.

1

f

F

f 3.

ln f

F

f 2.


F x, y, z

xi yj zk,

div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

div F G F G .



rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

F G F G .

3, 2, 1


3, 0, 0


2, 1, 3


2, 1, 1


Punto

Campo vectorial




F x, y x 2 i 2y 2 j

F x, y, z

x

x 2 y 2 i y

x 2 y 2 j k

F x, y, z

z

y i

xz

y 2 j

x

y k





F x, y, z x 2 y 2 z 2 i j k


F x, y, z

yz

y z i xz

x z j xy

x

y k



CAS







space.



given by


given by


fields y G x, y .

F x, y

G x, y

xi

yj

x 2 y 2.

F x, y

xi

yj

x 2 y 2.

CAPSTONE



53.

54.

55.

56.



57.

58.

59.

60.

61.

62.


63.

64.

65.

66.


the given point.

67.

68.

69.

70.


75. 76.


77.

78.


79. 80.


81.

82.


and scalar function



83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90. (Theorem 15.3)


and let


93. Show that

True or False?




95. If then as





not conservative.

F

rot F 0,

F

f

f

y

y

x, y

F x, y 4xi y 2 j

x, y → 0, 0 .

F x, y → 0

F x, y 4xi y 2 j,

f n nf n 2 F.

1

f

F

f 3.

ln f

F

f 2.


F x, y, z

xi yj zk,

div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

div F G F G .



rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

F G F G .

3, 2, 1


3, 0, 0


2, 1, 3


2, 1, 1


Punto

Campo vectorial




F x, y x 2 i 2y 2 j

F x, y, z

x

x 2 y 2 i y

x 2 y 2 j k

F x, y, z

z

y i

xz

y 2 j

x

y k





F x, y, z x 2 y 2 z 2 i j k


F x, y, z

yz

y z i xz

x z j xy

x

y k



CAS







space.



given by


given by


fields y G x, y .

F x, y

G x, y

xi

yj

x 2 y 2.

F x, y

xi

yj

x 2 y 2.

CAPSTONE



53.

54.

55.

56.



57.

58.

59.

60.

61.

62.


63.

64.

65.

66.


the given point.

67.

68.

69.

70.


75. 76.


77.

78.


79. 80.


81.

82.


and scalar function



83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90. (Theorem 15.3)


and let


93. Show that

True or False?




95. If then as





not conservative.

F

rot F 0,

F

f

f

y

y

x, y

F x, y 4xi y 2 j

x, y → 0, 0 .

F x, y → 0

F x, y 4xi y 2 j,

f n nf n 2 F.

1

f

F

f 3.

ln f

F

f 2.


F x, y, z

xi yj zk,

div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

div F G F G .



rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

F G F G .

3, 2, 1


3, 0, 0


2, 1, 3


2, 1, 1


Punto

Campo vectorial




F x, y x 2 i 2y 2 j

F x, y, z

x

x 2 y 2 i y

x 2 y 2 j k

F x, y, z

z

y i

xz

y 2 j

x

y k





F x, y, z x 2 y 2 z 2 i j k


F x, y, z

yz

y z i xz

x z j xy

x

y k



CAS







space.



given by


given by


fields y G x, y .

F x, y

G x, y

xi

yj

x 2 y 2.

F x, y

xi

yj

x 2 y 2.

CAPSTONE



53.

54.

55.

56.



57.

58.

59.

60.

61.

62.


63.

64.

65.

66.


the given point.

67.

68.

69.

70.


75. 76.


77.

78.


79. 80.


81.

82.


and scalar function



83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90. (Theorem 15.3)


and let


93. Show that

True or False?




95. If then as





not conservative.

F

rot F 0,

F

f

f

y

y

x, y

F x, y 4xi y 2 j

x, y → 0, 0 .

F x, y → 0

F x, y 4xi y 2 j,

f n nf n 2 F.

1

f

F

f 3.

ln f

F

f 2.


F x, y, z

xi yj zk,

div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

div F G F G .



rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

F G F G .

3, 2, 1


3, 0, 0


2, 1, 3


2, 1, 1


Punto

Campo vectorial




F x, y x 2 i 2y 2 j

F x, y, z

x

x 2 y 2 i y

x 2 y 2 j k

F x, y, z

z

y i

xz

y 2 j

x

y k





F x, y, z x 2 y 2 z 2 i j k


F x, y, z

yz

y z i xz

x z j xy

x

y k



CAS







space.



given by


given by


fields y G x, y .

F x, y

G x, y

xi

yj

x 2 y 2.

F x, y

xi

yj

x 2 y 2.

CAPSTONE



53.

54.

55.

56.



57.

58.

59.

60.

61.

62.


63.

64.

65.

66.


the given point.

67.

68.

69.

70.


75. 76.


77.

78.


79. 80.


81.

82.


and scalar function



83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90. (Theorem 15.3)


and let


93. Show that

True or False?




95. If then as





not conservative.

F

rot F 0,

F

f

f

y

y

x, y

F x, y 4xi y 2 j

x, y → 0, 0 .

F x, y → 0

F x, y 4xi y 2 j,

f n nf n 2 F.

1

f

F

f 3.

ln f

F

f 2.


F x, y, z

xi yj zk,

div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

div F G F G .



rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

F G F G .

3, 2, 1


3, 0, 0


2, 1, 3


2, 1, 1


Punto

Campo vectorial




F x, y x 2 i 2y 2 j

F x, y, z

x

x 2 y 2 i y

x 2 y 2 j k

F x, y, z

z

y i

xz

y 2 j

x

y k





F x, y, z x 2 y 2 z 2 i j k


F x, y, z

yz

y z i xz

x z j xy

x

y k



CAS







space.



given by


given by


fields y G x, y .

F x, y

G x, y

xi

yj

x 2 y 2.

F x, y

xi

yj

x 2 y 2.

CAPSTONE



53.

54.

55.

56.



57.

58.

59.

60.

61.

62.


63.

64.

65.

66.


the given point.

67.

68.

69.

70.


75. 76.


77.

78.


79. 80.


81.

82.


and scalar function



83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90. (Theorem 15.3)


and let


93. Show that

True or False?




95. If then as





not conservative.

F

rot F 0,

F

f

f

y

y

x, y

F x, y 4xi y 2 j

x, y → 0, 0 .

F x, y → 0

F x, y 4xi y 2 j,

f n nf n 2 F.

1

f

F

f 3.

ln f

F

f 2.


F x, y, z

xi yj zk,

div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

div F G F G .



rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

F G F G .

3, 2, 1


3, 0, 0


2, 1, 3


2, 1, 1


Punto

Campo vectorial




F x, y x 2 i 2y 2 j

F x, y, z

x

x 2 y 2 i y

x 2 y 2 j k

F x, y, z

z

y i

xz

y 2 j

x

y k





F x, y, z x 2 y 2 z 2 i j k


F x, y, z

yz

y z i xz

x z j xy

x

y k



CAS







space.



given by


given by


fields y G x, y .

F x, y

G x, y

xi

yj

x 2 y 2.

F x, y

xi

yj

x 2 y 2.

CAPSTONE

Para discusión

94. a) Dibujar varios vectores representativos en el campo vectorial

dado por

b) Dibujar varios vectores representativos en el campo vectorial

dado por

c) Explicar cualquier similitud o diferencia en los campos

vectoriales



53.

54.

55.

56.



57.

58.

59.

60.

61.

62.


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the given point.

67.

68.

69.

70.


75. 76.


77.

78.


79. 80.


81.

82.


and scalar function



83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90. (Theorem 15.3)


and let


93. Show that

True or False?




95. If then as





not conservative.

F

rot F 0,

F

f

f

y

y

x, y

F x, y 4xi y 2 j

x, y → 0, 0 .

F x, y → 0

F x, y 4xi y 2 j,

f n nf n 2 F.

1

f

F

f 3.

ln f

F

f 2.


F x, y, z

xi yj zk,

div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

div F G F G .



rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

F G F G .

3, 2, 1


3, 0, 0


2, 1, 3


2, 1, 1


Punto

Campo vectorial




F x, y x 2 i 2y 2 j

F x, y, z

x

x 2 y 2 i y

x 2 y 2 j k

F x, y, z

z

y i

xz

y 2 j

x

y k





F x, y, z x 2 y 2 z 2 i j k


F x, y, z

yz

y z i xz

x z j xy

x

y k



CAS







space.



given by


given by


fields y G x, y .

F x, y

G x, y

xi

yj

x 2 y 2.

F x, y

xi

yj

x 2 y 2.

CAPSTONE



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54.

55.

56.



57.

58.

59.

60.

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the given point.

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68.

69.

70.


75. 76.


77.

78.


79. 80.


81.

82.


and scalar function



83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90. (Theorem 15.3)


and let


93. Show that

True or False?




95. If then as





not conservative.

F

rot F 0,

F

f

f

y

y

x, y

F x, y 4xi y 2 j

x, y → 0, 0 .

F x, y → 0

F x, y 4xi y 2 j,

f n nf n 2 F.

1

f

F

f 3.

ln f

F

f 2.


F x, y, z

xi yj zk,

div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

div F G F G .



rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

F G F G .

3, 2, 1


3, 0, 0


2, 1, 3


2, 1, 1


Punto

Campo vectorial




F x, y x 2 i 2y 2 j

F x, y, z

x

x 2 y 2 i y

x 2 y 2 j k

F x, y, z

z

y i

xz

y 2 j

x

y k





F x, y, z x 2 y 2 z 2 i j k


F x, y, z

yz

y z i xz

x z j xy

x

y k



CAS







space.



given by


given by


fields y G x, y .

F x, y

G x, y

xi

yj

x 2 y 2.

F x, y

xi

yj

x 2 y 2.

CAPSTONE



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65.

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the given point.

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68.

69.

70.


75. 76.


77.

78.


79. 80.


81.

82.


and scalar function



83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90. (Theorem 15.3)


and let


93. Show that

True or False?




95. If then as





not conservative.

F

rot F 0,

F

f

f

y

y

x, y

F x, y 4xi y 2 j

x, y → 0, 0 .

F x, y → 0

F x, y 4xi y 2 j,

f n nf n 2 F.

1

f

F

f 3.

ln f

F

f 2.


F x, y, z

xi yj zk,

div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

div F G F G .



rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

F G F G .

3, 2, 1


3, 0, 0


2, 1, 3


2, 1, 1


Punto

Campo vectorial




F x, y x 2 i 2y 2 j

F x, y, z

x

x 2 y 2 i y

x 2 y 2 j k

F x, y, z

z

y i

xz

y 2 j

x

y k





F x, y, z x 2 y 2 z 2 i j k


F x, y, z

yz

y z i xz

x z j xy

x

y k



CAS







space.



given by


given by


fields y G x, y .

F x, y

G x, y

xi

yj

x 2 y 2.

F x, y

xi

yj

x 2 y 2.

CAPSTONE



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the given point.

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68.

69.

70.


75. 76.


77.

78.


79. 80.


81.

82.


and scalar function



83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90. (Theorem 15.3)


and let


93. Show that

True or False?




95. If then as





not conservative.

F

rot F 0,

F

f

f

y

y

x, y

F x, y 4xi y 2 j

x, y → 0, 0 .

F x, y → 0

F x, y 4xi y 2 j,

f n nf n 2 F.

1

f

F

f 3.

ln f

F

f 2.


F x, y, z

xi yj zk,

div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

div F G F G .



rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

F G F G .

3, 2, 1


3, 0, 0


2, 1, 3


2, 1, 1


Punto

Campo vectorial




F x, y x 2 i 2y 2 j

F x, y, z

x

x 2 y 2 i y

x 2 y 2 j k

F x, y, z

z

y i

xz

y 2 j

x

y k





F x, y, z x 2 y 2 z 2 i j k


F x, y, z

yz

y z i xz

x z j xy

x

y k



CAS







space.



given by


given by


fields y G x, y .

F x, y

G x, y

xi

yj

x 2 y 2.

F x, y

xi

yj

x 2 y 2.

CAPSTONE



53.

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55.

56.



57.

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59.

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61.

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65.

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the given point.

67.

68.

69.

70.


75. 76.


77.

78.


79. 80.


81.

82.


and scalar function



83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90. (Theorem 15.3)


and let


93. Show that

True or False?




95. If then as





not conservative.

F

rot F 0,

F

f

f

y

y

x, y

F x, y 4xi y 2 j

x, y → 0, 0 .

F x, y → 0

F x, y 4xi y 2 j,

f n nf n 2 F.

1

f

F

f 3.

ln f

F

f 2.


F x, y, z

xi yj zk,

div rot F 0

div f F f div F f F

f F f F f F

f F F


div F G div F div G

rot f f 0

rot F G rot F rot G

f.



div rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

div F G F G .



rot F F .


G x, y, z xi yj zk

F x, y, z xi zk

F x, y, z i 3xj 2yk

F G F G .

3, 2, 1


3, 0, 0


2, 1, 3


2, 1, 1


Punto

Campo vectorial




F x, y x 2 i 2y 2 j

F x, y, z

x

x 2 y 2 i y

x 2 y 2 j k

F x, y, z

z

y i

xz

y 2 j

x

y k





F x, y, z x 2 y 2 z 2 i j k


F x, y, z

yz

y z i xz

x z j xy

x

y k



CAS







space.



given by


given by


fields y G x, y .

F x, y

G x, y

xi

yj

x 2 y 2.

F x, y

xi

yj

x 2 y 2.

CAPSTONE

SECCIÓN 15.2 Integrales de línea 1069

15.2 Integrales de línea

■ Comprender y utilizar el concepto de curva suave a trozos.

■ Expresar y evaluar una integral de línea.

■ Expresar y evaluar una integral de línea de un campo vectorial.

■ Expresar y calcular una integral de línea en forma diferencial.

x


JOSIAH WILLARD GIBBS (1839-1903)

Muchos físicos y matemáticos han contribuido

a la teoría y a las aplicaciones descritas

en este capítulo, Newton, Gauss, Laplace,

Hamilton y Maxwell, entre otros. Sin

embargo, el uso del análisis vectorial para

describir estos resultados se atribuye principalmente

al físico matemático estadounidense

Josiah Willard Gibbs.

1

Figura 15.7

1

(0, 0, 0)

z

C 1

C 2

(1, 2, 0)

C = C 1

+ C 2

+ C 3

(1, 2, 1)

C 3

(0, 2, 0)

y

Curvas suaves a trozos (o por partes)

Una propiedad clásica de los campos gravitatorios (o gravitacionales) es que, sujeto a ciertas

restricciones físicas, el trabajo realizado por la gravedad sobre un objeto que se mueve

entre dos puntos en el campo es independiente de la trayectoria que siga el objeto. Una de

las restricciones es que la trayectoria debe ser una curva suave a trozos (o por partes).

Recuérdese que una curva plana C dada por

rt xti ytj,

es suave si

dx

dt

y

son continuas en [a, b] y no simultáneamente 0 en (a, b). Similarmente, una curva C en el

espacio dada por

rt xti ytj ztk,

es suave si

dx

dt ,

y

son continuas en [a, b] y no simultáneamente 0 en (a, b). Una curva C es suave a trozos

(o por partes) si el intervalo [a, b] puede dividirse en un número finito de subintervalos, en

cada uno de los cuales C es suave.

EJEMPLO 1

dy

dt ,

dy

dt

Hallar una parametrización suave a trozos

Hallar una parametrización suave a trozos de la gráfica C que se muestra en la figura 15.7.

Solución Como C consta de tres segmentos de recta C 1

, C 2

y C 3

, se puede construir una

parametrización suave de cada segmento y unirlas haciendo que el último valor de t en C i

coincida con el primer valor de t en C i1 , como se muestra a continuación.

C 1 : xt 0,

C 2 : xt t 1,

C 3 : xt 1,

dz

dt

Por tanto, C está dada por

a ≤ t ≤ b

rt 2tj,

t 1i 2j,

i 2j t 2k,

yt 2t,

yt 2,

yt 2,

a ≤ t ≤ b

0 ≤ t ≤ 1

1 ≤ t ≤ 2 .

2 ≤ t ≤ 3

zt 0,

zt 0,

zt t 2,

Como C 1

, C 2

y C 3

son suaves, se sigue que C es suave a trozos.

0 ≤ t ≤ 1

1 ≤ t ≤ 2

2 ≤ t ≤ 3

Recuérdese que la parametrización de una curva induce una orientación de la curva.

Así, en el ejemplo 1, la curva está orientada de manera que la dirección positiva va desde

(0, 0, 0), siguiendo la curva, hasta (1, 2, 1). Trátese de obtener una parametrización que

induzca la orientación opuesta.


Integrales de línea

Hasta ahora, en el texto, se han estudiado varios tipos de integrales. En una integral simple

b

f x dx

Se integra sobre el intervalo [a, b].

a

se integró sobre el intervalo [a, b]. De manera similar, en las integrales dobles

R f x, y dA

Se integra sobre la región R.

se integró sobre la región R del plano. En esta sección se estudia un nuevo tipo de integral

llamada integral de línea

C

f x, y ds

Se integra sobre una curva C.

(x i

, y i

, z i

)

P P

1

2 P i − 1

P 0 C P i

∆s i

x

Partición de la curva C

Figura 15.8

z

P n − 1

P n

y

en la que se integra sobre una curva C suave a trozos. (Esta terminología es un poco

desafortunada; este tipo de integral quedaría mejor descrita como “integral de curva”.)

Para introducir el concepto de una integral de línea, considérese la masa de un cable

de longitud finita, dado por una curva C en el espacio. La densidad (masa por unidad de

longitud) del cable en el punto (x, y, z) está dada por ƒ(x, y, z). Divídase la curva C mediante

los puntos

P 0 , P 1 , . . . , P n

produciendo n subarcos, como se muestra en la figura 15.8. La longitud del i-ésimo subarco

está dada por s i . A continuación, se elige un punto x i , y i , z i en cada subarco. Si la

longitud de cada subarco es pequeña, la masa total del cable puede ser aproximada por la

suma

Masa de cable

n

i1

f x i , y i , z i s i .

Si denota la longitud del subarco más largo y se hace que se aproxime a 0, parece

razonable que el límite de esta suma se aproxime a la masa del cable. Esto lleva a la definición

siguiente.

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE LÍNEA

Si ƒ está definida en una región que contiene una curva suave C de longitud finita,

entonces la integral de línea de f a lo largo de C está dada por

o

C

C

f x, y ds lím lim

→0 n

f x, y, z ds lím lim

i1

→0 n

i1

f x i , y i s i

f x i , y i , z i s i

Plano.

Espacio.

siempre que este límite exista.

Como sucede con las integrales vistas en el capítulo 14, para evaluar una integral de

línea es útil convertirla en una integral definida. Puede demostrarse que si f es continua, el

límite dado arriba existe y es el mismo para todas las parametrizaciones suaves de C.


Para evaluar una integral de línea sobre una curva plana C dada por r(t) x(t)i y(t)j,

se utiliza el hecho de que

ds rt dt xt 2 yt 2 dt.

Para una curva en el espacio hay una fórmula similar, como se indica en el teorema 15.4.

TEOREMA 15.4

EVALUACIÓN DE UNA INTEGRAL DE LÍNEA COMO INTEGRAL DEFINIDA

Sea f continua en una región que contiene una curva suave C. Si C está dada por

rt xti ytj, donde a ≤ t ≤ b, entonces

b

f x, y ds f xt, ytxt 2 yt 2 dt.

a

C

Si C está dada por rt xti ytj ztk, donde a ≤ t ≤ b, entonces

b

f x, y, z ds f xt, yt, ztxt 2 yt 2 zt 2 dt.

a

C

Obsérvese que si f x, y, z 1, la integral de línea proporciona la longitud de arco de

la curva C, como se definió en la sección 12.5. Es decir,

C

b

1 ds a

rt dt longitud length of de curve arco C. de la curva C.

z

EJEMPLO 2

Evaluación de una integral de línea

1

Evaluar

(0, 0, 0)

1

x

Figura 15.9

C

1

(1, 2, 1)

2

y

x C

2 y 3z ds

donde C es el segmento de recta mostrado en la figura 15.9.

Solución

Para empezar se expresa la ecuación de la recta en forma paramétrica:

x t, y 2t,

y

z t, 0 ≤ t ≤ 1.

Entonces, xt 1, yt 2, y

zt 1, lo cual implica que

xt 2 yt 2 zt 2 1 2 2 2 1 2 6.

NOTA En el ejemplo 2, el valor de la

integral de línea no depende de la

parametrización del segmento de recta

C (con cualquier parametrización suave

se obtendrá el mismo valor). Para convencerse

de esto, probar con alguna otra

parametrización, como por ejemplo

x 1 2t, y 2 4t, z 1 2t,

1 2 ≤ t ≤ 0, o x t, y 2t,

z t, 1 ≤ t ≤ 0.

■

Por tanto, la integral de línea toma la forma siguiente.

1

x 2 y 3z ds t 2 2t 3t6 dt

0

C

6

6

t 3 3 t2

2 1 0

56

6

0

1

t 2 t dt


Supóngase que C es una trayectoria compuesta de las curvas suaves C 1 , C 2 , . . . , C n .

Si f es continua en C, se puede mostrar que

f x, y ds f x, y ds f x, y ds C

C 1

C . . . f x, y ds.

2

C n

Esta propiedad se utiliza en el ejemplo 3.

EJEMPLO 3


sobre una trayectoria

y

Evaluar x ds, donde C es la curva suave a trozos mostrada en la figura 15.10.

C

C = C 1

+ C 2

1

y = x

(1, 1)

Solución Para empezar, se integra, en sentido ascendente sobre la recta y x, usando la

parametrización siguiente.

C 1

y = x 2

C 1 : x t, y t, 0 ≤ t ≤ 1

En esta curva, rt ti tj, lo que implica que xt 1 y yt 1. Por tanto,

(0, 0)

Figura 15.10

C 2

1

x

xt 2 yt 2 2

y se tiene

1

x ds C 1

t2 dt 2

0

2 1 t2 2

0 2 .

A continuación, se integra, en sentido descendente, sobre la parábola y x 2 , usando la

parametrización

C 2 : x 1 t, y 1 t 2 , 0 ≤ t ≤ 1.

En esta curva, rt 1 ti 1 t 2 j, lo cual implica que xt 1 y y¢(t)

2(1 t). Por tanto,

xt 2 yt 2 1 41 t 2

y se tiene

1

x ds C 2

1 t1 41 t 2 dt

0

1

12 532 1.

Por consiguiente,

1 8 2 3 1 41 t2 32 1 0

x ds x ds x ds 2

C

C 1

C 2

2 1 12 532 1 1.56.

En parametrizaciones dadas por rt xti ytj ztk, es útil recordar la forma

de ds como

ds rt dt xt 2 yt 2 zt 2 dt.

Esto se usa en el ejemplo 4.


EJEMPLO 4

Evaluar una integral de línea

Evaluar

x 2 ds, C

donde C es la curva representada por

rt ti 4 3 t32 j 1 2 t2 k, 0 ≤ t ≤ 2.

Solución Puesto que rt i 2t 12 j tk, y

rt xt 2 yt 2 zt 2 1 4t t 2

se sigue que

C

2

x 2 ds t 21 4t t 2 dt

0

2

1 2

2t 21 4t t 2 12 dt

0

1 3 1 4t t2 32 2 0

1 1313 1

3

15.29.

El ejemplo siguiente muestra cómo usar una integral de línea para hallar la masa de

un resorte (o muelle) cuya densidad varía. En la figura 15.11 obsérvese cómo la densidad

de este resorte aumenta a medida que la espiral del resorte asciende por el eje z.

EJEMPLO 5

Hallar la masa de un resorte (o muelle)

z

Densidad:

ρ(x, y, z) = 1 + z

Hallar la masa de un resorte que tiene la forma de una hélice circular

rt 1 cos ti sen sin tj tk, 0 ≤ t ≤ 6

2

donde la densidad del resorte es x, y, z 1 z, como se muestra en la figura 15.11.

Solución

Como

2 y

2

x

r(t) = 1 (cos ti + sen tj + tk)

2

Figura 15.11

rt 1

2 sin sen t2 cos t 2 1 2 1

se sigue que la masa del resorte es

Masa Mass 1 z ds

C

1 t

0

t

22 t2 6

0

6 1 2

3

144.47.

La masa del resorte es aproximadamente 144.47.

6

2 dt


Campo de fuerzas cuadrático inverso F

Integrales de línea de campos vectoriales

Una de las aplicaciones físicas más importantes de las integrales de línea es la de hallar el

trabajo realizado sobre un objeto que se mueve en un campo de fuerzas. Por ejemplo, la

figura 15.12 muestra un campo de fuerzas cuadrático inverso similar al campo gravitatorio

del Sol. Obsérvese que la magnitud de la fuerza a lo largo de una trayectoria circular

en torno al centro es constante, mientras que la magnitud de la fuerza a lo largo de una

trayectoria parabólica varía de un punto a otro.

Para ver cómo puede utilizarse una integral de línea para hallar el trabajo realizado en

un campo de fuerzas F, considérese un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria

C en el campo, como se muestra en la figura 15.13. Para determinar el trabajo realizado

por la fuerza, sólo se necesita considerar aquella parte de la fuerza que actúa en la dirección

en que se mueve el objeto (o en la dirección contraria). Esto significa que en cada

punto de C, se puede considerar la proyección F T del vector fuerza F sobre el vector

unitario tangente T. En un subarco pequeño de longitud s i , el incremento de trabajo es

W i (fuerza)(distancia)

forcedistance

Fx i , y i , z i Tx i , y i , z i s i

donde x i , y i , z i es un punto en el subarco i-ésimo. Por consiguiente, el trabajo total realizado

está dado por la integral siguiente.

W Fx, y, z Tx, y, z ds

C

Vectores a lo largo de una trayectoria

parabólica en el campo de fuerzas F

Figura 15.12

z

T

F

(F • T)T

C

y

z

T tiene la

dirección

de F.

T

C

(F • T)T

y

z

(F • T)T

T

C

F

y

x

x

En cada punto en C, la fuerza en la dirección del movimiento es F TT.

Figura 15.13

x

Esta integral de línea aparece en otros contextos y es la base de la definición siguiente de

integral de línea de un campo vectorial. En la definición, obsérvese que

F T ds F rt

rt rt dt

F rt dt

F dr.

DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL

Sea F un campo vectorial continuo definido sobre una curva suave C dada por rt,

a ≤ t ≤ b. La integral de línea de F sobre C está dada por

C

b

F dr F T ds Fxt, yt), zt rt dt.

C a


EJEMPLO 6

Trabajo realizado por una fuerza

z

(−1, 0, 3 π)

Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas

3π

Fx, y, z 1 2 xi 1 2 yj 1 4 k

Campo de fuerzas F.

sobre una partícula que se mueve a lo largo de la hélice dada por

−2

−1

π

−1

−2

rt cos ti sen sin tj tk

Curva C en el espacio.

desde el punto 1, 0, 0 hasta el punto 1, 0, 3, como se muestra en la figura 15.14.

x

(1, 0, 0)

2

1

2

y

Solución

Como

rt xti ytj ztk

Figura 15.14

cos ti sen sin tj tk

se sigue que xt cos t, yt sen sin t, t y zt t. Por tanto, el campo de fuerzas puede

expresarse como

Fxt, yt, zt 1 2 cos ti 1 sen

2 sin tj 1 4 k.

Para hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas al moverse la partícula a lo largo

de la curva C, se utiliza el hecho de que

rt sin senti cos tj k

y se escribe lo siguiente.

z

W C

F dr

b

a

0

3

3

3

1 4 t 3

3

4

Fxt, yt, zt rt dt

1

0 2 cos ti 1 sen

2 sin tj 1 4 k sin senti cos tj k dt

1

0 2 sin t cos t 1 2 sin sen t cos t 4 1 dt

1

4 dt

0

sen

x

Figura 15.15


y

NOTA En el ejemplo 6, nótese que las componentes x y y del campo de fuerzas acaban no contribuyendo

en nada al trabajo total. Esto se debe a que en este ejemplo particular la componente z del

campo de fuerzas es la única parte de la fuerza que actúa en la misma dirección (o en dirección opuesta)

en la que se mueve la partícula (ver la figura 15.15).

■

TECNOLOGÍA La gráfica, generada por computadora, del campo de fuerzas del

ejemplo 6 mostrado en la figura 15.15 indica que todo vector en los puntos del campo

de fuerzas apunta hacia el eje z.


En integrales de línea de funciones vectoriales, la orientación de la curva C es importante.

Si la orientación de la curva se invierte, el vector tangente unitario Tt cambia a

Tt, y se obtiene

F dr F dr. C

C

EJEMPLO 7

Orientación y parametrización de una curva

C 1

:

C 2

:

4

3

y

r 1

(t) = (4 − t)i + (4t − t 2 )j

r 2

(t) = ti + (4t − t 2 )j

(1, 3)

Sea Fx, y yi x 2 j y evaluar la integral de línea C F dr a lo largo de cada una de las

curvas parabólicas mostradas en la figura 15.16.

a) C 1 : r 1 t 4 ti 4t t 2 j, 0 ≤ t ≤ 3

b) C 2 : r 2 t ti 4t t 2 j, 1 ≤ t ≤ 4

Solución

a) Como y

r 1

t i 4 2tj

2

C 2

C 1

Fxt, yt 4t t 2 i 4 t 2 j

1

1

Figura 15.16

2

3

4

(4, 0)

NOTA Aunque en el ejemplo 7 el

valor de la integral de línea depende de

la orientación de C, no depende de la

parametrización de C. Para ver esto,

sea C 3

la curva representada por

r 3 t 2i 4 t 2 j

donde 1 ≤ t ≤ 2. La gráfica de esta

curva es el mismo segmento parabólico

mostrado en la figura 15.16. ¿Coincide

el valor de la integral de línea sobre C 3

con el valor sobre C 1 o C 2 ? ¿Por qué sí

o por qué no?

■

x

la integral de línea es

3

F dr C 1

0

3

0

3

b) Como y

r 2

69 2 .

t i 4 2tj

Fxt, yt 4t t 2 i t 2 j

la integral de línea es

4

F dr C 2

1

4

1

4

0

t 4

2 7t3 34t 2 64t

3

1

4t t 2 i 4 t 2 j i 4 2tj dt

4t t 2 64 64t 20t 2 2t 3 dt

2t 3 21t 2 68t 64 dt

4t t 2 i t 2 j i 4 2tj dt

4t t 2 4t 2 2t 3 dt

2t 3 3t 2 4t dt

t 4

2 t3 2t 2 4 1

0

69 2 .

El resultado del inciso b) es el negativo del del inciso a) porque C 1 y C 2 representan orientaciones

opuestas del mismo segmento parabólico.


Integrales de línea en forma diferencial

Otra forma normalmente utilizada de las integrales de línea se deduce de la notación de

campo vectorial usada en la sección anterior. Si F es un campo vectorial de la forma

Fx, y Mi Nj, y C está dada por rt xti ytj, entonces F dr se escribe a

menudo como M dx N dy.

F dr F dr

C

C

b

a

b

a

dt dt

Mi Nj xti ytj dt

dx

M dt N dy

dt dt

M dx N dy

C

Esta forma diferencial puede extenderse a tres variables. Los paréntesis se omiten a

menudo, y se escribe:

C

M dx N dy

y

C

M dx N dy P dz

y

Obsérvese cómo se usa esta notación diferencial en el ejemplo 8.

4

EJEMPLO 8

Evaluación de una integral de línea en forma diferencial

2

Sea C el círculo de radio 3 dado por

−4

−2

−2

2

4

x

rt 3 cos ti 3 sen sin tj, 0 ≤ t ≤ 2

como se muestra en la figura 15.17. Evaluar la integral de línea

−4

C

y 3 dx x 3 3xy 2 dy.

r(t) = 3 cos ti + 3 sen tj

Figura 15.17

Solución Como x 3 cos t y y 3 sen sin t, se tiene dx 3sen

sin t dt y dy 3 cos t dt. Por

tanto, la integral de línea es

C

M dx N dy

NOTA La orientación de C afecta el

valor de la forma diferencial de una

integral de línea. Específicamente, si

C tiene orientación opuesta a C,

entonces

C

M dx N dy

C

M dx N dy.

Por tanto, de las tres formas de la

integral de línea presentadas en esta

sección, la orientación de C no afecta

a la forma C f x, y ds, pero sí afecta

a la forma vectorial y la forma diferencial.

■

y C

3 dx x 3 3xy 2 dy

2

27 sen sin 3 t3 sin sent 27 cos 3 t 81 cos t sen sin 2 t3 cos t dt

0

81 cos 4 t sen

sin 4 t 3 cos 2 t sen sin 2 t dt

0

81 cos2 t sen

sin 2 t 3 sen

0 4 sin2 2t dt

1 cos 4t

81

2 dt

2

2

2

81

sen sin 2t

3 3 sen sin 4t

t

2 8 32 2

243

4 .

0

cos 2t 3 4

0


En curvas representadas por y gx, a ≤ x ≤ b, se puede hacer x t y obtener

la forma paramétrica

x t y y gt, a ≤ t ≤ b.

Como en esta forma es dx dt, se tiene la opción de evaluar la integral de línea en la variable

x o en la variable t. Esto se muestra en el ejemplo 9.

EJEMPLO 9

Evaluación de una integral de línea en forma diferencial

y

Evaluar

4

C: y = 4x − x 2

C

y dx x 2 dy

(1, 3)

3

2

1

1

Figura 15.18

2

3

(4, 0)

4

x

3,

donde C es el arco parabólico dado por y 4x x 2 desde 4, 0 a 1, como se muestra

y 4x x 2 dy 4 2x dx.

en la figura 15.18.

Solución En lugar de pasar al parámetro t, se puede simplemente conservar la variable x

y escribir

Entonces, en la dirección de 4, 0 a 1, 3, la integral de línea es

1

y dx x 2 dy 4x x 2 dx x 2 4 2x dx

C

4

4

1

4x 3x 2 2x 3 dx

2x2 x 3 x4

2 1 4

69 2 .

Ver el ejemplo 7.

EXPLORACIÓN

Hallar el área de una superficie lateral La figura muestra un pedazo de hojalata

cortado de un cilindro circular. La base del cilindro circular se representa por

x 2 y 2 9. Para todo punto x, y de la base, la altura del objeto está dada por

x

f x, y 1 cos

4 .

Explicar cómo utilizar una integral de línea para hallar el área de la superficie del

pedazo de hojalata.

z

2

1

−2

−1

1 + cos πx

4

x

3

x 2 + y 2 = 9

3

y

(x, y)

SECCIÓN 15.2 15.2 Integrales Line Integrals de línea 1079


15.2 Line Integrals 1079

15.2 Line Integrals 1079



En los ejercicios 1 a 6, hallar una parametrización suave a trozos

de la trayectoria C. C. (Nótese que existe más de una respuesta correcta.)

In Exercises y 1–6, find piecewise smooth y parametrization of

In Exercises 1–6, find a piecewise smooth parametrization of

the 1. path yC.

(Note that there is more 2. than y one

C

correct answer.)

the path

(Note y = xthat there is more than one correct (2, 4) answer.)

4 C

1. y y = x (1, 1) 2. y (2, 4)

1. 1 y

2. 4 y

(1, 1)

3

1 C

34

C (2, 4)

y = x

(2, 4)

C (1, 1)

24

1 y = x(1, 1)

y = x 2

1

23

y = x

13

y = x 2

C

12

1

x

2

2

y = x

y = x 2

1

1 1 2 3 4 x

1

1 2 3 4

y

1

1

y

3. y

4. y 1 2 3 4

(3, 3)

1 2 3 4

3

(3, 3)

3. y

5

3

4. y

3. y

4. y (5, 4)

4

2

(3, 3)

23

(3, 3)

3

C

3

C

C

1

2

1

2

2

1

C

1

x

x

1 1 2 3

1 2 3

1 2 3 4 5

y

y

5. 1 y 2x 2 + y3

2 = 9

1 2

6.

y

x 2 3

+ y 2 = 9

x 2 y 2

5. y

4 16 + 9 = 1

2

6.

y

5. y

2 2 6.

y

21

x 2 + y 2 = 9

2

1

2

−2 −1 2 1 2 x

x

1

−2 −1 1 1 2

−2 2

−2

−2

−2 −1 −2 1 C2

−2 −1 1 2

C

C

−2

−4

−2

C

En los ejercicios 7 a 10, evaluar la integral de línea a lo largo de

la In trayectoria Exercises dada. 7–10, evaluate the line integral along the given

In Exercises 7–10, evaluate the line integral along the given

path. xy ds

3 x y ds

path.

C

C

7.

C:

xy

r

ds

t 4ti 3tj

8.

C:

3

r

x

t

y

ti

ds

7.

2 t j

C xy ds

8. C

ds

7. xy ds

8. 3 x y ds

C

C: r0t t4ti 1

C

3tj

C: r0t tti 2

C

C 2 t j

C: 4ti 3tj

C: ti C: 0r x 2 t t 4ti

y 2 1

z 2 3tj

C:

ds

0r t

2xyz

t ti

ds

2 2 t j

C 0 t 1

9.

C:

x

r 2 t

y 2 sen

z

ti 2 C0 t 2

ds

cos tj 2k

10.

C:

2xyz

r t

ds

9.

12ti 5tj 84tk

C

2 2 2 ds 10. C 2xyz ds

9. x

C

C: r0 2 y

t t 2 z

sen ti 2

2 ds 10. 2xyz ds

C

cos tj 2k C: r0t t12ti1

C

C

5tj 84tk

C: sen ti cos tj 2k C: 12ti 5tj 84tk

C: 0r t t sen 2ti cos tj 2k C: 0r t t 12ti 1 5tj 84tk

C,

0 t 2

0 t 1

En los ejercicios 11 a 14, a) hallar una parametrización de la

trayectoria In Exercises C, 11–14, y b) evaluar (a) find parametrization of the path C, and

In Exercises 11–14, (a) find a parametrization of the path C, and

(b) xevaluate

2 y 2 ds

(b) evaluate

C

x C

2 y 2 ds

2 C.

2 ds

x 2 y 2 ds

C

a Clo largo

C:

de C.

0, 0 1, 1

along C.

11. along

C: C.

segmento de recta de

0, 0 a 1, 2, 14

12.

11. C:

segmento de de recta de de

0,

0, 2,

1,

4

11. C: segmento de recta de 0, 0 a 1, 1 x 2 y 2 1 1, 0

13.

12. C:

círculo

segmento 0, 1 x 2

de

y

recta 2 1

de

recorrido

0, 2,

en 12. C: segmento de recta de 0, 0 a 2, 4 sentido contrario a las

13. C: manecillas counterclockwise del reloj, around desde the 1, circle 0 hasta

2 0, 1

2 from 1, 13. C: counterclockwise around the circle x from 1, 0

to 0, 2 y 2 1

to 0, 1

14. C:

círculo x 2 y 2 4 recorrido en xsentido 2 y 2 contrario 4 2, a 0las

manecillas 0, 2 del reloj, desde 2, 0 a 0, 2

14. C: counterclockwise around the circle 2 2 from 2, 14.

En los

C: counterclockwise

ejercicios 15 a 18,

around

a) hallar

the circle

una

x

to 0, parametrización 2 y 2 4 from 2,

de C, 0

la

trayectoria

to 0,

C,

2

y b) evaluar

In Exercises 15–18, (a) find parametrization of the path C,

In Exercises 15–18, (a) find a parametrization of the path C,

and x x(b) evaluate 44y y ds

and (b) evaluate

C C

a lo largo C.

de C. ds

x 4 y ds

C

C

15. C: eje x de x 0 a x 1

along C.

16. along C: C. eje y de y 1 a y 9

15.

17. C: eje de 15. C:

eje triángulo x de xcuyos 0 avértices x 1 son (0, 0), (1, 0) y (0, 1), recorrido 0, 0

16. C: en eje 1, sentido 0 , de contrario 0, a las 16. C: eje y de y 1 a y 9 manecillas del reloj

18. 17. C: cuadrado counterclockwise cuyos vértices around son the (0, triangle 0), (2, with 0), vertices (2, 2) y (0, 2),

17. C: counterclockwise around the triangle with vertices 0 ,

recorrido 2, 1, and 2, en 2 0, sentido 1, 0 , and 0, 1

0, contrario 2 a las manecillas del reloj

18. C: counterclockwise around the square with vertices 0, 18. En los C: ejercicios counterclockwise 19 y 20, around a) encontrar the square una parametrización with vertices 0, continua

por 2, secciones 0 , 2, C2

, de and la 0, trayectoria 2 C que se muestra en la figu-

0 ,

2, 2, and 0, ra In Exercises y b) evaluar 19 and 20, (a) find piecewise smooth parametrization

2xof the y 2 path z dsshown in the figure, and (b) evaluate

In Exercises 19 and 20, (a) find a piecewise smooth parametrization

C

of the path C shown in the figure, and (b) evaluate

2x y C

2 z ds

2xC.

2

ds

2x y 2 z ds

C

aClo largo de C.

along C.

along 19. C. z

20.

19. z

20.

z

19. 20.

z (0, 1, 1)

1 z

z

1 z

(1, 0, 1)

1 (0, 1, 1)

1

C

(1, 0, 1)

C

(0, 0, 0)

(0, 0, 0)

(0, 1, 1)

1

1 (0, 1,

C

(0, 1)

1

1

1, 0)

(1, 0, 1)

(1, (0, 0, 0)

(0, 0, 0) C0, 1)

(0, 1, 0)

(1, 0, 0)

C

1

y

(1, 0, 0) (0, 0, 0)

(0, 0, 0)

x

1 (0, 0, 0)

(0, 1, 0)

C (1, (0, 1, 0, 1) 0) 1

(0, 1, 0)

x

1

y

(1, 0, 0) (1, 1, 1) y

y

(1, 0, 0)

1

1 y

x

1

x

(1, 1, 1) x 1

(1, 1, 1) y

y

Masa En los ejercicios 21 y 22, hallar la masa total de dos

vueltas Mass In completas Exercises de 21 un and resorte 22, find de densidad the total mass y que of tiene two forma turns

Mass In Exercises 21 and 22, find the total mass of two turns

de of hélice spring circular with density in the shape of the circular helix

of a spring with density in the shape of the circular helix

r t cos ti sen tj tk, rt 2 cos ti 2 sen tj tk, 0 t 4 .

21.

x, z 1

x, y, 12 2x 2 2 21.

y, z

2

2 x 2 y 2 z 2

22.

x,

x, y, z 22.

y, z z

Mass In Exercises 23–26, find the total mass of the wire with

Mass Masa In En Exercises los ejercicios 23–26, a find 26, the hallar total la masa mass of total the del wire cable with de

density

density densidad . .

23.

cos ti sen tj, x, y,

23. r t cos ti sen tj, x, y x y, 0 t

24.

t2 2tj, x, 24. r t 3

y,

t2 i 2tj, x, y 0 t 1

4 y,

25.

2 2tj tk, x, y, kz

0,

25. r t t 2 i 2tj tk, x, y, z kz k > 0 , 1 t 3

26.

cos ti sen tj 3tk, x, y, 26. r t 2 cos ti 2 sen tj 3tk, x, y, z k z

0,

k > 0 , 0 t 2

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CAPÍTULO 15 Análisis vectorial

1080 Chapter 15 15 Vector Analysis

1080


Chapter 15 Vector Analysis

En In In los Exercises ejercicios 27–32, a evaluate 32, evaluar


In Exercises 27–32, evaluate


F dr dr C C

C

In FExercises F dr

dr 27–32, evaluate

donde where C

Cestá is is represented representa by by por

rr t rt. t ..

C

27. where 27. F

F

where

x, Cx, dr

yis y

C is

represented xi xi

represented yj yj

by r t .

by r t .

C

C: C: 27.

rrF tt x, y ti ti xi tj, tj,

yj 0 tt 1

27. F x, y xi yj

where

28. 28.

F x, x,

C

yC: y

is represented

r xyi xyi t ti yj yj tj,

by r

0

t .

t 1

C: r t ti tj, 0 t 1

27.

C: FC: 28. x, rryF tt x, y xi 4 cos cos xyi yj

ti ti yj 4 sen sen tj, tj,

0 tt 2

28.

x, xyi yj

29. 29.

C: F x, x, r yC: yt r 3xi 3xi ti 4 tj,

4yj 4yj cos 0ti t 4 sen 1 tj, 0 t 2

C: t 4 cos ti 4 sen tj, 0 t 2

28.

C: FC: 29. x, rry F tt x, y cos xyi cos ti ti 3xi yj

sen sen 4yj

tj, tj,

0 tt 2

29.

x, 3xi 4yj

30. 30.

C: F x, x, r yC: yt r 3xi 3xi t4 cos cos 4yj ti 4yj ti 4 sen tj, tj, 00 t t 22

C: t cos ti sen tj, 0 t 2

29.

C: FC: 30. x, rry F tt x, y ti 3xi ti 3xi 4yj

4 4yj

t 2 t

30.

x, 3xi 4yj

2 j, j,

2 tt 2

31. 31.

C: F x, x, r y, C: y, t zz r tcos xyi xyi ti ti xzj xzj sen4 C: t ti 4 t 2 tj,

yzk yzk t

j,

2 0j,

t 2 t2

2

2 t 2

30.

C: FC: 31. x, rry F tt x, y, ti 3xi tiz t 2 t

31.

x, y, z xyi 2 j4yj

xyi j 2tk, 2tk, xzj 0 yzk

tt 1

xzj yzk

32. 32.

C: F x, x, r y, C: y, t zzr ti xx C: t ti 2 2 iiti t 2 y4 y

j 2 2 jtj 2tk,

2 jt 2 zj,

z 2 2 2tk, k 2 0 t t 2 1

0 t 1

1

1

31.

C: FC: 32. x, rry, F tt zx, y, 2 z sen xyi sen

32.

x, x 2 ti ti x

i y 2 xzj i 2 2 ycos j z 2 j 2 yzk

tj tj z

k

2 k2 2t 2t t22 2 k, k,

0 tt

C: rC: t r ti 2 t 1

CAS En In In

los Exercises C: t

ejercicios 33

233 sen

33 and and ti 2 sen j ti 2tk, 2 cos 0 tjt CAS

y 34, 34, 34, 2 cos

utilizar use use tj

un

a sistema

computer 2t 2 k, 2t 1

2 k, 0 t

0

algebraico algebra t

por system

compu-

to to

tadora 32.

evaluate F x,

y y,

the calcular

the z integral x

In Exercises 2 i y

In Exercises 33 and

la 33 integral and 2 j z

34, 2 k

CAS

use a computer algebra system to

CAS

34, use a computer 1

C: algebra system to

evaluate r t the 2 sen integral ti 2 cos tj 2t 2 k, 0 t

evaluate the integral

F dr dr

CAS In C C

C Exercises 33 and 34, use a computer algebra system to

evaluate

F

F dr the

dr

integral

donde where C

C

está is is represented

representa by by

C

por

rr t rt.

t ..

33. where 33. FFx, F

where

Cx, dr

y, is y, z zrepresented z

C is represented

xx 2 2 zi zi

6yj 6yj

by

by r t yz yz .

2 2 r k

t .

C

33.

C: C: 33.

F x, rt rrF y, tt x,

z y, ti tiz x 2 zi t 2 t 2 jxj 2 zi

6yj ln ln tk, tk, 6yj

yz 2 k

1

≤yz 2 tk

t

≤ 3

where C

C:

is represented

r t xi xi

ti yj zk

34. 34.

Fx, C: r y,

t

z z

ti t 1 t 3

2 yjt by

F x, y, z j ln 2 j

r

zk

t

ln

.

tk, 1 t 3

tk,

33. F x, y, z x x xx 2 2 yy 2 2 xi yj zkz z 2 2

34. F x, y, z

2 zi xi6yj yj yz 2 zk k

34.

F

C: x,

rt r y, tt z

ti ti x tj tj 2 t 2 j x

y e 2 e 2 t ln k,

t k, tk, y

z 2 0 ≤1 z t 2 t

≤t 2 3

C: r t Work Work C: In

rIn t Exercises ti xiti tj 35–40, yjtj e t k, zke find find 0 t k, 0 t 2

34. F x, y, z

the the t work work 2

done done by by the the force force field field

Trabajo En los ejercicios 35 a 40, hallar el trabajo realizado

F on on a particle moving x along along the the given given path. path.

por Work el

Work

campo

In

In Exercises de

Exercises 2 y 2 z

fuerzas 35–40, F

35–40, 2 sobre find the una

find

work partícula

the work done

done que by the se

by

mueve

the force

force field a lo

field

C:

largo 35. F 35. on F

a de x, x,

on r t

particle yla y

a

trayectoria

particle tj xi xi moving 2yj 2yj

moving e t k,

dada.

along 0 the t given 2 path.

along the given path.

Work

35.

C: C: 35.

F x, xIn xF Exercises x,

y t, t, y y

xi t 3 xi t

2yj

3

from 35–40, from 2yj

0, 0, find 0

to to the 2, 2, work 8 done by the force field

F on yy

a particle

C: x

moving

t, y C: x t, y

C: x = t, y = t 3 t from 0, 0 to 2, 8y

desde 3 t

along 3 from

the

0, 0

given

to y2, path.

8

35. F x, y

0, 0 hasta 2, 8

y

88

y

(2, (2,

y 8) 8)

xi 2yj

y

y

y

C: x t, y t 11

68

6

8 (2, 8)

3 from 0, 0 to 2, 8

(2, 8)

y 8 (2, 8)

y

1

1

46

4

6

C

1

6

C

8 (2, 8)

C

C

24

2

4

C

4 C

1 C

xx

6

2 C

11

2

xx

x

4 2

x

22 44 66 88

C

C

1

x

1 x

x

1

Figure 2 2 for for 35 35 2 4 6 8

4 6 8 x

Figure for for 36 36

x

2 4 6 8

36. Figure 36.

FFigure x, x, for yy for

35 xx 2 2 35

ii xyj xyj

Figure for 361

x Figure for 36

Figura 2 para 4 35 Figura para 36

36.

C: C: 36.

F x, xxF x,

y cos cos y

x 2 3 i 3 6 t, t,

yxy

xyj

2 8

i sen sen xyj

3 3 tt

from from

1, 1, 0

to to

0, 0, 1

Figure for

36. Fx, C: xy C: 35

x cos x 23 it,

cos y xyj

3 t, y

sen 3 sen from 1, 0 to 0, 1

t from

3 t Figure for 36

1, 0 to 0, 1

36. C: F x, x y cosx 32 t, i y xyj

sen sin 3 t desde 1, 0 hasta 0, 1

C: x cos 3 t, y sen 3 t from 1, 0 to 0, 1

37. 37.

F x, x, yy xi xi yj yj

C:

C: 37.

triángulo counterclockwise F x, y cuyos xi vértices yj

around son the the (0, triangle 0), (1, with with 0) y (0, vertices 1), recorrido

0, 0, 0

,,

37. F x, y xi yj

en 1, 1, C:

sentido 0

, counterclockwise , and and 0, contrario 0, 1

(Hint: a las around See See manecillas Exercise the triangle del 17a.) 17a.) reloj. with (Sugerencia: vertices 0, 0 ,

C: counterclockwise around the triangle with vertices 0, 0 ,

yy

Ver ejercicio 17a.)

yy

37. F x, 1, y 1,

0 , and xi0

, and

0, yj 0, 1 (Hint: See Exercise 17a.)

1 (Hint: See Exercise 17a.)

C: y counterclockwise y

around the triangle 33

ywith yvertices 0, 0 ,

(0, (0, 1)

11

1, 1) 0 , and 0, 1 (Hint: See Exercise 17a.)

3

3

y (0, 1)

(0, 1)

y

C

1

1

C

11

C

3 C

(0, 1) C

1

1

xx

1 C

xx

−2 −2 −1 −1 11 22

11

C

x

x

−1 −1

x

x

−2 −1 1 2

C 1

−2 −1 1 1 2

1

−1

Figure for for 37 37 Figure for for −1

38 38

x

x

−2 −1 1 2

38. Figure 38.

Figura FFigure x, x, for yy para for 37

37 yi yi 137 xj xj Figura Figure para for 38 38

Figure for −138

C: C: 38.

Fx, counterclockwise F x, y yi

y yi xj

along along xj the the semicircle yy 4 xx 38. F y xj

2 2

from from

Figure for 2, 2, C:

37 0counterclockwise to to

2, 2, 0 along Figure the semicircle for 38 y 4

C: counterclockwise contorno del semicírculo along the ysemicircle

4 xy 2 desde 4 2, x0

2 x

C:

from

2 from

hasta

39. 38. 39.

F x, x, x, 2, y, yy, zz 2,

0

xi 0

0 to recorrido yi xito

2, 0yj xj yj2, 0

en

5zk 5zk

sentido contrario a las manecillas del

39.

FC:

C: 39.

x, rcounterclockwise reloj

rF tt x, y, 2 z cos cos ti ti xi 2

y, z xi yj along sen yj sen tj tj

5zk the 5zk

tk, semicircle tk,

0 tty 2 4 x 2 from

39. Fx, C: rz

2, y, C: z 0

t zr to

t

2 cos xi 2, 2 cos 0

ti yj ti 2 sen 5zk2 sen tj tk, 0 t 2

tj tk, 0 t 2

39. FC: x, rt y, z z

z 2 xi cos tiyj 2 sen 5zk sin tj tk, 0 ≤ t ≤ 2

zz

2π 2π

C: r t C 2 cos ti 2 sen tj tk, 0 t 2

z

33

z

2π

z

2π z C

z

C

π

22

3

2π

3

C

3

C 11

−3 −3 π

z 2

2π

π

−3 −3

55

2

C

2

1C

1

−3 π −3

5 C 3

−3

−3

5 C 1

33

33

π

33

yy

5

2

−3

−3

x

yy

3

3

3

3

3

Figure 3

for for 39 39 y

C 1

−3

3 −3y

Figure 5

for for 40 40

y

y

y

x 3 3 y

40. Figure 40.

FFigure x, x, for y, y, z39 zfor 39

yzi yzi xzj xzj xyk xyk Figure for 40

Figure for 40

3

3 3 y

y

40.

C: C: 40.

F x, line line F x,

y, z from from y, z

yzi 0, 0, 0, 0, yzi

xzj 0

to to xzj 5, 5,

xyk

3, 3, xyk 2

Figure Figura for C: 39 para

line from

39

0, 0, 0 to 5, Figure Figura

3, 2 for para 40 40

In In Exercises C: line from

41– 41– 44, 44, 0, 0, determine 0 to 5, 3, whether 2

the the work work done done along along the the

40.

path

path FFx, In C

Exercises y, positive, zz yzi 41– negative, xzj

44, determine

xyk

or or zero. zero. whether Explain. the work done along the

In Exercises C: 41– 44, determine whether the work done along the

recta de 0, 0, 0 a 5, 3, 2

41. path 41.

path line C from is positive, 0, 0, 0

C is positive, negative, yy

negative, to 5, 3, or 2 zero. Explain.

or zero. Explain.

In

41.

En Exercises los 41. ejercicios 41– 44, 41 determine a y 44, ydeterminar whether si the el trabajo work done efectuado along the a lo

path largo Cde is la positive, trayectoria negative, C es positivo, or zero. Explain. negativo o cero. Explicar.

41.

C

42. 42.

42.

42.

C

C

42.

C

C

C

y

C

xx

x

x

yy

x

y

y

xx

y

x

x

C

x

SECCIÓN 15.2

15.2

Integrales

Line Integrals

de línea

1081 1081

43.

y

In En Exercises los ejercicios 55–62, evaluate a 62, evaluar the integral la integral

C

x

44.

y

C

x

En In Exercises los ejercicios 45 and 45 y 46, 46, evaluate para cada curva hallar C F dr.

C F dr for each curve.

Analizar Discuss the la orientación orientation of de the la curva curve and y su its efecto effect sobre on the el value valor of de

la the integral. integral.

45. 45. Fx, Fx, y y x 2 i xyj xyj

a) (a) rr 1 t 2ti t 1j, 1 ≤ t ≤ 3

1 t 2ti t 1j, 1 t 3

b) (b) r 2 rt 23 ti 2 tj, 0 ≤ t ≤ 2

2 t 23 ti 2 tj, 0 t 2

46. 46. Fx, Fx, y y x 2 yi yi xy xy 32 32 j

a) (a) rr 1 t t 1i t 2 j, 0 ≤ t ≤ 2

1 t t 1i t 2 j, 0 t 2

b) (b) r 2 rt 1 2 cos ti 4 cos 2 tj, 0 ≤ t ≤ 2

2 t 1 2 cos ti 4 cos 2 tj, 0 t 2

En In Exercises los ejercicios 47– 47 50, a demonstrate 50, demostrar the la property propiedad that

F dr 0

C

C

independientemente regardless of the initial de cuáles and terminal sean los points puntos of C, inicial if the y tangent final de

C, vector si el rt vector is tangente orthogonal rt to es the ortogonal force field al F. campo de fuerzas F.

47. Fx, Fx, y y yi yi xj xj

C: C: rt rt ti ti 2tj

48. Fx, Fx, y y 3yi xj xj

C: C: rt rt ti ti t 3 j

49.

Fx, Fx, y y x x 3 2x 2 i i x

2 2 y j

C: C: rt rt ti ti t 2 j

50. Fx, Fx, y y xi xi yj yj

C: rt rt 3 sen

sin ti ti 3 cos tj tj

In Exercises 51–54, evaluate the line integral along the path C

En

given

los

by

ejercicios

x 2t,

51

y

a 54,

10t,

evaluar

where 0

la

integral

t 1.

de línea a lo largo de

la trayectoria C dada por x 2t, y 10t, donde 0 ≤ t ≤ 1.

51. x 3y 2 dy

52.

51. x 3y 2 dy

52.

C C

53. xy dx y dy

54.

53. xy dx y dy

54.

C C

C C

C C

x x 3y 3y2 2 dx

dx

3y 3y x x dx dx y y2 2 dy

dy

C C

2x

2x

y

y

dx

dx

1

x

x

1

3y

3y

dy

dy

a lo largo de la trayectoria C.

along the path C.

55. C: eje x desde x 0 hasta x 5

55. C: x-axis from x 0 to x 5

56. C: eje y desde y hasta y 2

56. C: y-axis from y 0 to y 2

57. C: los segmentos de recta de (0, 0) a (3, 0) y de (3, 0) a (3, 3)

57. C: line segments from 0, 0 to 3, 0 and 3, 0 to 3, 3

58. C: los segmentos de recta de (0, 0) a (0, 3) y de (0, 3) a

58. C: line

(2, 3)

segments from 0, 0 to 0, 3 and 0, 3 to 2, 3

59.

59.

C:

C:

arc

arco

on

sobre

y 1

y

1

x 2

from

x 2 desde

0, 1

0,

to 1,

1 hasta

0

1, 0

60.

60.

C:

C:

arc

arco

on

sobre

y x

y 32

from

x 32 desde

0, 0

0,

to 4,

0 hasta

8

4, 8

61.

61.

C:

C:

parabolic

trayectoria

path

parabólica

x t, y

x

2t 2 t,

, from

y

0,

2t 2 0

, desde

to 2, 8

0, 0 hasta

62. C: elliptic 2, 8 path x 4 sin t, y 3 cos t, from 0, 3 to 4, 0

62. C: trayectoria elíptica x 4 sen sin t, y 3 cos t, desde 0, 3 hasta

Lateral Surface Area In Exercises 63–70, find the area of the

4, 0

lateral surface (see figure) over the curve C in the xy-plane and

under the surface z fx, y, where

Área de una superficie lateral En los ejercicios 63 a 70, hallar el

área de la superficie lateral (ver la figura) sobre la curva C en el

Lateral plano xysurface y bajo area la superficie fx, z y ds. f x, y, donde

Área de la superficie z lateral f x, y ds.

Surface:

C

z = f(x, y)

z

C

Superficie:

z = f(x, y)

Lateral

surface

Superficie

(x i

, y i

)

Q

lateral

y

P

∆s

(x i

, y i

) i

Q

y

x

P C: Curve

∆s

in xy-plane

i

63. f x, y h, C: line from 0, 0 to 3, 4

C: curva en el plano xy

64. f x, y y, C: line from 0, 0 to 4, 4)

65. 63. ffx, x, y y xy, h,

C: recta x 2 desde y 2 0, 1 from 0 hasta 1, 0 3, to 4 0, 1

66. 64. ffx, x, y y xy,

y, C: recta C: x 2 desde y 2 0, 10from hasta 1, 4, 04)

to 0, 1

67. 65. ffx, x, y y h, xy, C: C: y x 2 1 y 2 x 2 from 1 desde 1, 0 1, to 00, hasta 1 0, 1

68. 66. ffx, x, y y yx 1,

y, C: C: yx 2 1 y 2 x 1from desde 1, 1, 0 0 to hasta 0, 10, 1

69. 67. ffx, x, y y xy, h,

C: y 1 x 2 desde from 1, 1, 0 0to

hasta 0, 1 0, 1

70. 68. ffx, x, y y xy 2 1, y 2 C: 4, y C: 1x x 2

ydesde 2 4 1, 0 hasta 0, 1

69. f x, y xy, C: y 1 x 2 desde 1, 0 hasta 0, 1

71. Engine Design

70. f x, y x 2 y 2 A tractor engine

4, C: x 2 has

y 2 a steel component with

4

a circular base modeled by the vector-valued function

71.

rt

Diseño

2

de

cos

motores

ti 2 sin

Un

tj. Its

motor

height

de tractor

is given

tiene

by

una

z

pieza

1 y 2 de

.

(All

acero

measurements

con una base

of

circular

the component

representada

are in

por

centimeters.)


Find r(t) = the 2 cos lateral ti + surface 2 sen tj. area Su altura of the está component. dada por z 1 y 2 .

(a)

(b) (Todas The las component medidas en is centímetros.)

in the form of a shell of thickness 0.2

a) Hallar centimeter. el área Use de la the superficie result of lateral part (a) de to la pieza. approximate the

b) La amount pieza of tiene steel forma used de in its capa manufacture. de 0.2 centímetros de espesor.

(c) Utilizar Draw a el sketch resultado of the del component. inciso a) para aproximar la cantidad

de acero empleada para su fabricación.

c) Hacer un dibujo de la pieza.


CAS

CAS

y

8

x, y 0, 0 1 4, 1

16 1 2, 1 y

4 3 4, 16 9 1, 1

Fx, (2, y 8) 5, 0 3.5, 1 2, 2 1.5, 3 1, 5

1

6

77. 77. Trabajo Work Find Determinar the work el done trabajo by a hecho person por weighing una persona 175 que pounds pesa

4

C

175 walking Clibras exactly y que one camina revolution exactamente up a circular una revolución helical staircase hacia arriba

radius en una 3 feet escalera if the de person forma rises helicoidal 10 feet.

of

2

circular de 3 pies de radio

x

78. si Investigation la persona sube Determine 10 pies. the value of c such 1that the work

x

78. Investigación done by the force Determinar field

2 4 6 8 el valor c tal que el trabajo realizado

por el campo de fuerzas

Figure Fx, for y 35 154 x 2 yi xyjFigure for 36

Fx, y 154 x 2 yi xyj

36. Fon x, an y object x 2 i moving xyj along the parabolic path y c1 x 2

sobre C:

between

x un cos objeto the 3 t,

points

yque sen

1, mueve 3 t

0

from

and a lo 1,

1, largo 0

0

to

is de 0,

a la minimum.

1 trayectoria Compare parabólica

the result y c1 with the x 2 entre work los required puntos to 1, move 0the y 1, object 0 sea along mínimo. the

Comparar straight-line el path resultado connecting el the trabajo points. requerido para mover el

objeto a lo largo de la trayectoria recta que une esos dos puntos.




72. Diseño de edificios La altura del techo de un edificio está dada

por z 20 1 4 x, y una de las paredes sigue una trayectoria

72. representada Building Design por y The x 32 ceiling . Calcular of a building el área de has la a superficie height above de la

In Exercises

pared the floor

27–32,

si 0given ≤ x ≤by

evaluate

40. z (Todas 20 las 1 4x, medidas and one se of dan the en walls pies.) follows

a path modeled by y x 32 . Find the surface area of the wall if

Momentos F0 drx de 40. inercia (All measurements Considerar un are cable in feet.) de densidad x, y

C

dado por la curva en el espacio

where Moments C is of represented Inertia Consider by r t . a wire of density x, y given by

C:

the

rt

space

curve

xti ytj, a ≤ t ≤ b.

Los

27. F

momentos

x, y xi

de inercia

yj

con respecto a los ejes x y y están dados

C: rt

por C:

r t

xti

ti

1 ytj,

tj, 0

0

t

t

1

b.

28. The Fmoments x, y xyi of inertia yj about the x- and y-axes are given by

I x C: ry C

2 x, y ds

I x 2x, t 4 cos ti 4 sen tj, 0 t 2

29. F x, y 3xi

y ds

4yj

C

I y C: r

x C 2 x, y ds.

I y x 2x, t cos ti sen tj, 0 t 2

30. F x, y 3xi y ds. 4yj

En

C los ejercicios 73 y 74, hallar los momentos de inercia del cable

dado C: con r tdensidad

ti . 4 t 2 j, 2 t 2

In Exercises 73 and 74, find the moments of inertia for the wire

73.

31.

of density El

F x,

cable

y,

.

z

se encuentra

xyi xzj

a lo

yzk

largo de rt a cos ti a sen sin tj,

0C: ≤rtt≤ 2ti y a t 2 > j 0, 2tk, su densidad 0 t es x, 1 y 1.

73. A wire lies along rt a cos ti a sin tj, 0 t 2 and

74. 32. El F x, cable y, z se encuentra x

a > 0, with density

2 i y 2 j a lo z

x, y 2 largo k

1. de rt a cos ti a sen sin tj,

1

74. 0C: A ≤r wire tt ≤ lies 22 sen y along a ti > 0, 2 su cos densidad tj

rt a cos ti 2tes

2 k, x, 0 y t

a sin tj, 0y.

t 2 and

75. In Exercises Investigación

a > 0, with

33

density

and El borde 34,

x,

use

y

exterior

a

y.

computer de un sólido algebra con system lados verticales

the y integral que descansa en el plano xy, se representa por r(t)

to

evaluate

75. Investigation The top outer edge of a

3 cos ti 3 sen tj (1 sen 2 solid with vertical sides

2t)k, donde todas las

and resting on the xy-plane is modeled by

Fmedidas se dan en centímetros. La intersección del plano

rt

dr

3 cos ti 3 sin tj 1 sin where all measurements

are in centimeters. The intersection of the plane

y b 3 < b < 3 con la parte superior 2 2tk,

C

del sólido es una

where recta horizontal.

y C

bis 3 represented < b < 3by

with r t . the top of the solid is a horizontal

a) line. Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar

33. F x,

gráficamente

y, z x 2 zi

el sólido.

6yj yz 2 k

(a) Use a computer algebra system to graph the solid.

b) C: Utilizar r t ti un sistema t 2 j lnalgebraico tk, 1 por t computadora 3 y aproximar

(b)

el

Use

área

a

de

computer

la superficie

algebra

lateral

system

del

to

sólido.

approximate the lateral

xi yj zk

34. F x, surface y, z area of the solid.

c) Hallar (si es xposible) 2 y 2 el z 2 volumen del sólido.

(c) Find (if possible) the volume of the solid.

76. Trabajo C: r t Una ti partícula tj e t k, se 0mueve t a 2lo largo de la trayectoria

76. yWork x 2 desde A particle el punto moves (0, along 0) hasta the el path punto y (1, x 2

1). from El campo the point de

Workfuerzas 0, 0 In to Exercises Fthe mide point 35–40, en 1, cinco 1. find The puntos the force work a field lo largo done F is de by measured la the trayectoria force at field fivey

F on los points a particle resultados along moving the se path, muestran along and en the results la given tabla. are path. Usar shown la regla in the de table. Simpson Use

o Simpson’s una herramienta Rule or de a graficación graphing utility para aproximar to approximate el trabajo the work

35. F

efectuado

done

x, y

by por the

xi

el force

2yj

campo field. de fuerza.

C: x t, y t 3 from 0, 0 to 2, 8

79. Definir la integral de línea de una función f a lo largo de una

37.

WRITING

F x, y xi

ABOUT

yj

CONCEPTS

curva suave C en el plano y en el espacio. ¿Cómo se evalúa

79.

C:

Define

la counterclockwise

a line integral

integral de línea como around

of a function

integral the triangle

f along

definida? with

a smooth

vertices

curve

0, 0 ,

C in

1, 0

the

, and

plane

0,

and

1 (Hint:

in space.

See

How

Exercise

do you

17a.)

evaluate the line

80. integral Definir as una a definite integral integral? de línea de un campo vectorial continuo

F sobre una curva suave C. ¿Cómo yse evalúa la integral

y

80. Define a line integral of a continuous vector field F on a

de línea como integral definida?

smooth curve C. How do you evaluate 3the line integral as a

81. definite (0, Ordenar 1) las superficies en forma ascendente del área de la

1 integral?

superficie lateral bajo la superficie y sobre la curva y x

81. Order the surfaces in ascending order of the lateral C surface

desde 0, 0 hasta 4, 2 en el plano xy. Explicar el orden

area under the surface and over the curve from

elegido

C

1 y x

sin hacer cálculo alguno.

0, 0 to 4, 2 in the xy-plane. Explain your ordering

x

without a) z 1 doing 2 xany calculations.

x b) z 2 5 x

−2 −1 1 2

1

(a) c) z 3 d) (b) z 4 z 10 2y

1 2 x

2 −1

5 x

(c) z 3 2

(d) z 4 10 x 2y


Para discusión

38. F x, y yi xj

CAPSTONE

82. C: En counterclockwise cada uno de los along incisos the siguientes, semicircle determinar y 4 si x 2 el from trabajo

82. For 2, each 0realizado toof the 2, following, 0para mover un objeto del primero hasta el

determine whether the work done

segundo punto a través del campo de fuerzas mostrado en la

39. F in x, y, moving z xian object yj 5zk from the first to the second point

figura es positivo, negativo o cero. Explicar la respuesta.

C: through r t 2 the cos force ti field 2 sen shown tj tk, in 0the figure t 2 is positive,

negative, a) Desde or (3, zero. 3) Explain hasta your (3, 3) answer. y

z

(a) b) From Desde 3, (3, 3 0) hasta to 3, (0, 33)

y

z

(b) 2π c) Desde From 3, (5, 0) 0hasta to 0, (0, 33)

C

(c) From 5, 0 to 0, 3

3

π

2

x

C 1

−3

−3

5

3

3 3 y

y


40. F x, y, z yzi xzj xyk


True

declaración C: or line False? from es verdadera 0, In 0, Exercises 0 to o 5, falsa. 3, 83–86, 2 determine whether the

Si es falsa, explicar por qué o



In example Exercises that 41– shows 44, determine it is false. whether the work done along the

path 83. Si C is C positive, está dada negative, por xt or t, zero. yt Explain.

t, 0 ≤ t ≤ 1, entonces

83. If C is given by xt t, yt t, 0 t 1, then

1

41. xy ds

1

t C

2 y

dt.

xy ds 0

t 2 dt.

C

0

84. Si C 2 C 1 , entonces f x, y ds f x, y ds 0.

84. If C

C 1

C 2 C 1 , then f x, y ds f x, y 2 ds 0.

85. Las funciones C vectoriales

C r 1 ti t 2 1

C 2 j, 0 ≤ t ≤ 1, y r 2

85. The 1 vector ti 1functions t 2 j, 0 r≤ 1 t ≤ti 1, definen t 2 j, x 0 la tmisma 1, curva. and r 2

1 ti 1 t 2 j, 0 t 1, define the same curve.

86. Si CF T ds 0, entonces F y T son ortogonales.

86. If CF T ds 0, then F and T are orthogonal.

42. 87. Trabajo Considerar y una partícula que se mueve a través del

87. Work campo Consider fuerzas a Fx, particle y that y moves xi through xyj del the punto force 0, field 0 al

Fx, punto y 0, 1

y a lo xi largo xyj de la from curva the x point

kt1 0, t, 0 yto the t. Hallar pointel

0, valor 1 along de k, tal the que curve el trabajo x kt1realizado t, yx

por t. Find el campo the value de fuerzas of k

such sea 1. that the work done by the force field is 1.

C

SECCIÓN 15.3 Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 1083

15.3 Campos vectoriales conservativos e independencia

de la trayectoria

■ Comprender y utilizar el teorema fundamental de las integrales de línea.

■ Comprender el concepto de independencia de la trayectoria.

■ Comprender el concepto de conservación de energía.

y

1 (1, 1)

C 1

Teorema fundamental de las integrales de línea

El estudio realizado en la sección anterior indica que en un campo gravitatorio el trabajo

realizado por la gravedad sobre un objeto que se mueve entre dos puntos en el campo es

independiente de la trayectoria seguida por el objeto. En esta sección se estudia una generalización

importante de este resultado, a la que se le conoce como teorema fundamental

de las integrales de línea.

Para empezar, se presenta un ejemplo en el que se evalúa la integral de línea de un

campo vectorial conservativo por tres trayectorias diferentes.

EJEMPLO 1

Integral de línea de un campo vectorial conservativo

(0, 0)

1

x

Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas

a)

y

C 1

: y = x

Fx, y 1 2 xyi 1 4 x2 j

sobre una partícula que se mueve de (0, 0) a (1, 1) a lo largo de cada una de las trayectorias,


a) C b) C 2 : x y 2

1 : y x

c)

C 3 : y x 3

1 (1, 1)

C 2

Solución

a) Sea rt ti tj para 0 ≤ t ≤ 1, por lo que

dr i j dt

y

Fx, y 1 2 t 2 i 1 4 t 2 j.

b)

(0, 0)

(0, 0)

y

C 2

: x = y 2

1 (1, 1)

c)

Figura 15.19

C 3

C 3

: y = x 3

1

1

x

x

Entonces, el trabajo realizado es

1

3

W F dr C 1

0

4 t 2 dt 1 4 1 t3 0

b) Sea rt ti t j para 0 ≤ t ≤ 1, por lo que

dr i 1 y Fx, y 1 2 t 32 i 1 4 t 2 j.

2t j dt


1

5

W F dr C 2

0

8 t 32 dt 1 4 t 52 1 0

c) Sea rt 1 2 ti 1 8 t 3 j para 0 ≤ t ≤ 2, por lo que

dr

1

2 i 3 8 t2 j dt


2

W F dr C 3

0

y

5

128 t 4 dt 1

128 t 5 2 0

1 4 .

1 4 .

Fx, y 1

32 t 4 i 1

16 t 2 j.

1 4 .

Por tanto, el trabajo realizado por un campo vectorial conservativo es el mismo para todas

las trayectorias.


En el ejemplo 1, obsérvese que el campo vectorial Fx, y 1 es conservativo

porque donde fx, y 1 2 xyi 1 4 x2 j

Fx, y fx, y,

4 x2 y. En tales casos, el teorema siguiente

establece que el valor de C F dr está dado por

F dr fx1, y1 fx0, y0

C

1 4 0

1 4 .

TEOREMA 15.5

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES DE LÍNEA

NOTA El teorema fundamental de

las integrales de línea es similar al teorema

fundamental de cálculo (sección

4.4) que establece que

b

fx dx Fb Fa

a

donde Fx f x.

■

Sea C una curva suave a trozos contenida en una región abierta R y dada por

rt xti ytj,

a ≤ t ≤ b.

Si Fx, y Mi Nj es conservativo en R, y M y N son continuas en R, entonces,

F dr f dr fxb, yb fxa, ya

C

C

donde f es una función potencial de F. Es decir, Fx, y fx, y.

DEMOSTRACIÓN Esta demostración es sólo para una curva suave. Para curvas suaves a trozos

(o por partes), el procedimiento se lleva a cabo por separado para cada trozo suave.

Como Fx, y fx, y f x x, yi f y x, yj, se sigue que

b

F dr C a

b

a

F dr

dt dt

f xx, y dx

dt f yx, y dy

dt dt

y, por la regla de la cadena (teorema 13.6), se tiene

b

d

F dr fxt, yt dt C a dt

f xb, yb fxa, ya.

El último paso es una aplicación del teorema fundamental del cálculo.

En el espacio, el teorema fundamental de las integrales de línea adopta la forma siguiente.

Sea C una curva suave a trozos contenida en una región abierta Q y dada por

rt xti ytj ztk,

a ≤ t ≤ b.

Si Fx, y, z Mi Nj Pk es conservativo y M, N y P son continuas, entonces

F dr f dr C

C

f xb, yb, zb f xa, ya, za

donde Fx, y, z fx, y, z.

El teorema fundamental de las integrales de línea establece que si el campo vectorial

F es conservativo, entonces la integral de línea entre dos puntos cualesquiera es simplemente

la diferencia entre los valores de la función potencial ƒ en estos puntos.


EJEMPLO 2

Aplicación del teorema fundamental

de las integrales de línea

−2

(−1, 4)

C

−1

F(x, y) = 2xyi + (x 2 − y)j

y

4

3

2

1

1

(1, 2)

Aplicación del teorema fundamental de las

integrales de línea, C F dr.

Figura 15.20

2

x

Evaluar F dr, donde C es una curva suave a trozos desde 1, 4 hasta 1, 2 y

C

Fx, y 2xyi x 2 yj


Solución

Por el ejemplo 6 de la sección 15.1, se sabe que F es el gradiente de ƒ, donde

fx, y x 2 y y2

2 K.

Por consiguiente, F es conservativo, y por el teorema fundamental de las integrales de

línea, se sigue que

C

F dr f1, 2 f1, 4

1 2 2 22

4.

2 12 4 42

2

Nótese que no es necesario incluir una constante K como parte de ƒ, ya que se cancela por

sustracción.

EJEMPLO 3

Aplicación del teorema fundamental

de las integrales de línea

F(x, y, z) = 2xyi + (x 2 + z 2 )j + 2yzk

z

Evaluar F dr, donde C es una curva suave a trozos desde (1, 1, 0) hasta (0, 2, 3) y

C

3

2

(0, 2, 3)

Fx, y, z 2xyi x 2 z 2 j 2yzk


x

2

1

1

(1, 1, 0)

Aplicación del teorema fundamental de las

integrales de línea, C F dr.

Figura 15.21

C

2

y

Solución Por el ejemplo 8 en la sección 15.1, se sabe que F es el gradiente de ƒ, donde

fx, y, z x 2 y yz 2 K. Por consiguiente, F es conservativo, y por el teorema fundamental

de las integrales de línea, se sigue que

C

F dr f0, 2, 3 f1, 1, 0

0 2 2 23 2 1 2 1 10 2

17.

En los ejemplos 2 y 3, es importante notar que el valor de la integral de línea es el

mismo para cualquier curva suave C que tenga los puntos inicial y final dados. Así, en el

ejemplo 3, trátese de evaluar la integral de línea de la curva dada por

rt 1 ti 1 tj 3tk.

Se obtendrá

1

F dr 30t C 2 16t 1 dt

0

17.


R 1

C

R 1

es conexa

Figura 15.22

A

B

R 2

no es

conexa

R 2

Independencia de la trayectoria

Por el teorema fundamental de las integrales de línea es evidente que si F es continuo y

conservativo en una región abierta R, el valor de C F dr es el mismo para toda curva

suave a trozos C que vaya de un punto fijo de R a otro punto fijo de R. Esto se describe

diciendo que la integral de línea C F dr es independiente de la trayectoria en la

región R.

Una región en el plano (o en el espacio) es conexa si cada dos puntos en la región

pueden ser unidos por una curva suave a trozos que se encuentre completamente dentro

de la región, como se muestra en la figura 15.22. En regiones abiertas y conexas, la independencia

de la trayectoria de C F dr es equivalente a la condición de que F sea conservativo.

TEOREMA 15.6

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA Y CAMPOS VECTORIALES

CONSERVATIVOS

Si F es continuo en una región abierta y conexa, entonces la integral de línea

C

F dr

es independiente de la trayectoria si y sólo si F es conservativo.

(x 1

, y)

C 2

(x, y)

DEMOSTRACIÓN Si F es conservativo, entonces, por el teorema fundamental de las integrales

de línea, la integral de línea es independiente de la trayectoria. Ahora se demuestra

el recíproco para una región plana conexa R. Sea Fx, y Mi Nj, y sea x 0 , y 0 un

punto fijo en R. Si x, y es cualquier punto en R, elíjase una curva suave a trozos C que

vaya de x 0 , y 0 a x, y, y defínase ƒ como

(x 0

, y 0

)

C1

Figura 15.23

C 4

C 3

(x, y 1

)

fx, y F dr M dx N dy.

C

C

La existencia de C en R está garantizada por el hecho de que R es conexa. Se puede mostrar

que ƒ es una función potencial de F considerando dos trayectorias diferentes entre x 0 , y 0

y x, y. Para la primera trayectoria, elíjase x 1 , y en R tal que x x 1 . Esto es posible ya

que R es abierta. Después elíjanse C 1 y C 2 , como se muestra en la figura 15.23. Utilizando

la independencia de la trayectoria, se sigue que

fx, y M dx N dy

C

C 1

M dx N dy C 2

M dx N dy.

Como la primera integral no depende de x, y como dy 0 en la segunda integral, se tiene

fx, y gy C 2

M dx

y entonces, la derivada parcial de ƒ con respecto a x es f x x, y M. Para la segunda

trayectoria, se elige un punto x, y 1 . Utilizando un razonamiento similar al empleado para

la primera trayectoria, se concluye que f y x, y N. Por tanto,

fx, y f x x, yi f y x, yj

Mi Nj

Fx, y

y se sigue que F es conservativo.


EJEMPLO 4

Trabajo en un campo de fuerzas conservativo

Para el campo de fuerzas dado por

Fx, y, z e x cos yi e x sen sin yj 2k

mostrar que C F dr es independiente de la trayectoria, y calcular el trabajo realizado por

F sobre un objeto que se mueve a lo largo de una curva C desde 0, 2, 1 hasta 1, , 3.

Solución Al expresar el campo de fuerzas en la forma Fx, y, z Mi Nj Pk, se

tiene M e x cos y, N e x sen sin y, y y P 2, y se sigue que

P

y 0 N

z

P

x 0 M

z

N

x ex sen sin y M

y .

Por tanto, F es conservativo. Si ƒ es una función potencial de F, entonces

f x x, y, z e x cos y

f y x, y, z e x sen sin y

f z x, y, z 2.

Integrando con respecto a x, y y z por separado, se obtiene

fx, y, z f x x, y, z dx e x cos y dx e x cos y gy, z

fx, y, z f y x, y, z dy e x sen sin y dy e x cos y hx, z

fx, y, z f z x, y, z dz 2 dz 2z kx, y.

Comparando estas tres versiones de

fx, y, z, se concluye que

fx, y, z e x cos y 2z K.

Así, el trabajo realizado por F a lo largo de cualquier curva C desde 0, 2, 1 hasta

1, , 3 es

W F dr C

e x cos y 2z

1, , 3

0, 2, 1

e 6 0 2

4 e.

¿Cuánto trabajo se realizaría si el objeto del ejemplo 4 se moviera del punto

0, 2, 1 al punto 1, , 3 y después volviera al punto de partida 0, 2, 1? El teorema

fundamental de las integrales de línea establece que el trabajo realizado sería cero.

Recuérdese que, por definición, el trabajo puede ser negativo. Así, en el momento en el que

el objeto vuelve a su punto de partida, la cantidad de trabajo que se registra positivamente

se cancela por la cantidad de trabajo que se registra negativamente.


Una curva C dada por r(t) para a ≤ t ≤ b es cerrada si ra rb. Por el teorema

fundamental de las integrales de línea, se puede concluir que si F es continuo y conservativo

en una región abierta R, entonces la integral de línea sobre toda curva cerrada C es 0.

TEOREMA 15.7

CONDICIONES EQUIVALENTES

NOTA El teorema 15.7 proporciona

varias opciones para calcular una integral

de línea de un campo vectorial

conservativo. Se puede usar una función

potencial, o puede ser más conveniente

elegir una trayectoria particularmente

simple, como un segmento de

recta.

■

Sea Fx, y, z Mi Nj Pk con primeras derivadas parciales continuas en una

región abierta conexa R, y sea C una curva suave a trozos en R. Las condiciones

siguientes son equivalentes.

1. F es conservativo. Es decir, F f para alguna función f.

2. F dr es independiente de la trayectoria.

C

3. F dr 0 para toda curva cerrada C en R.

C

EJEMPLO 5


Evaluar F dr, donde C 1

C 1

: r(t) = (1 − cos t)i + sen tj

y

Fx, y y 3 1i 3xy 2 1j

y C 1 es la trayectoria semicircular de (0, 0) a (2, 0), que se muestra en la figura 15.24.

1

C 1

Solución

Se tienen las tres opciones siguientes.

C 2

(0, 0)

1

C 2

: r(t) = ti

Figura 15.24

2

(2, 0)

x

a) Se puede utilizar el método presentado en la sección anterior para evaluar la integral de

línea a lo largo de la curva dada. Para esto, se puede usar la parametrización

rt 1 cos ti sen sin tj, donde 0 ≤ t ≤ . Con esta parametrización, se sigue que

dr rt dt sin senti cos tj dt, y

C 1

F dr

0

sin sent sen sin 4 t cos t 3 sen sin 2 t cos t 3 sen sin 2 t cos 2 t dt.

Esta integral desanimará a cualquiera que haya elegido esta opción.

b) Se puede intentar hallar una función potencial y evaluar la integral de línea mediante

el teorema fundamental de las integrales de línea. Empleando la técnica demostrada en

el ejemplo 4, se encuentra que la función potencial es fx, y xy 3 x y K, y,

por el teorema fundamental,

W F dr f2, 0 f0, 0 2.

C 1

c) Sabiendo que F es conservativo, se tiene una tercera opción. Como el valor de la integral

de línea es independiente de la trayectoria, se puede reemplazar la trayectoria semicircular

con una trayectoria más simple. Supóngase que se elige la trayectoria rectilínea

C 2 desde 0, 0 hasta 2, 0. Entonces, rt ti, donde 0 ≤ t ≤ 2. Así, dr i dt y

Fx, y y 3 1i 3xy 2 1j i j, de manera que

2

2

F dr F dr C 1

C 2

1 dt t

0

2.

0

Obviamente, de las tres opciones, la tercera es la más sencilla.


Conservación de la energía


y

MICHAEL FARADAY (1791-1867)

Varios filósofos de la ciencia han considerado

que la ley de Faraday de la conservación

de la energía es la mayor generalización concebida

por el pensamiento humano. Muchos

físicos han contribuido a nuestro

conocimiento de esta ley; dos de los

primeros y más importantes fueron James

Prescott Joule (1818-1889) y Hermann

Ludwig Helmholtz (1821-1894).

A

F

En 1840, el físico inglés Michael Faraday escribió: “En ninguna parte hay una creación o

producción pura de energía sin un consumo correspondiente de algo que la proporcione.”

Esta declaración representa la primera formulación de una de las leyes más importantes de

la física: la ley de conservación de la energía. En la terminología moderna, la ley dice lo

siguiente: En un campo de fuerzas conservativo, la suma de energías potencial y cinética

de un objeto se mantiene constante de punto a punto.

Se puede usar el teorema fundamental de las integrales de línea para deducir esta ley.

De la física se sabe que la energía cinética de una partícula de masa m y velocidad v es

k 1 2 mv2 . La energía potencial p de una partícula en el punto x, y, z en un campo vectorial

conservativo F se define como px, y, z f x, y, z, donde f es la función potencial

de F. Consecuentemente, el trabajo realizado por F a lo largo de una curva suave C

desde A hasta B es

W C

F dr f x, y, z

B

como se muestra en la figura 15.25. En otras palabras, el trabajo W es igual a la diferencia

entre las energías potenciales en A y B. Ahora, supóngase que rt es el vector posición

de una partícula que se mueve a lo largo de C desde A ra hasta B rb. En cualquier

instante t, la velocidad, aceleración y rapidez de la partícula son v(t) = r¢(t), a(t) =

r(t) y vt vt, respectivamente. Así, por la segunda ley del movimiento de Newton,

F mat mvt, y el trabajo realizado por F es

b

W F dr

C a

b

a

b

px, y, z

B

pA pB

F rt dt

b

F vt dt mvt vt dt

a

mvt vt dt

a

m b

d

2

vt vt dt

a dt

m b

d

2

dt vt2 dt

a

A

m 2 vt2 b a

A

C

m 2 vt2 b a

1 2 mvb 2 1 2 mva2

B

x

El trabajo realizado por F a lo largo de C es

W F dr pA pB.

C

Figura 15.25

kB kA.

Igualando estos dos resultados obtenidos para W se tiene

pA pB kB kA

pA kA pB kB

lo cual implica que la suma de energías potencial y cinética permanece constante de punto

a punto.



15.3 Exercises Ejercicios


In En Exercises los ejercicios 1–4, show 1 a 4, that mostrar the value que of el valor C F dr de is C the F same dr es forel

each mismo parametric cada representation representación of paramétrica C. de C.

1.

Fx, Fx, y y x 2 i xyj

(a)

r t 1 t ti t 2 j,

0 ≤ t ≤ 1

(b)

r sen

i sen

2 sin i sin 2 j, j,

0 ≤

2.

Fx, Fx, y y x x 2 y 2 i i xj

(a)

r 1

t t ti ti t tj,

j,

0 ≤ tt≤ 4

(b)

r w 2 w w 2 i wj,

0 ≤ w ≤ 2

3.

Fx, Fx, y y yi xj

(a)

r 1

seci i tanj,

j,

0 ≤

≤

3

(b)

r 2

t t t t 1i 1i t tj,

j,

0≤ t t≤3

3

4.

Fx, Fx, y y yi x 2 j

(a)

r 1

t t 2 2 ti ti 3 3 tj, tj,

0 ≤ t ≤ 3

(b)

r ≤ ≤ 3

w 2 wi 3 wj, 1 w e 3

2 w 2 ln wi 3 ln wj,

In En Exercises los ejercicios 5–10, 5 a 10, determine determinar whether si el campo the vectorial field es o is no

conservative.

conservativo.

5. 5. Fx, Fx, y y e x sin sin senyi cos yj yj

6.

6.

Fx,

Fx,

y

y

15x

15x 2 y 2 i

10x

10x 3 yj

yj

7.

7.

Fx,

Fx,

y

y

1 y 2

yi

yi

xj

xj

8.

Fx, Fx, y, z z y ln zi x ln zj xy

z k

9.

Fx, Fx, y, z z y 2 zi 2xyzj xy 2 k

10.

Fx, Fx, y, z z sin sen

yzi xz cos yzj xy sin sen

yzk

In En Exercises los ejercicios 11–24, 11 find a 24, the hallar value el of valor the de line la integral integral de línea

F dr. dr. C

C

(Hint: (Sugerencia: If F is Si conservative, F es conservativo, the integration la integración may be puede easier ser on más an

alternative sencilla a través path.) de una trayectoria alternativa.)

11.

Fx, Fx, y y 2xyi x 2 j

(a)

r 1 t t ti ti t 2 j, j,

0 ≤ t ≤ 1

(b)

r 2 t t ti ti tt 3 j, j,

0 ≤ tt ≤ 1

12.

Fx, Fx, y y ye ye xy xy i xe xe xy xy j

(a)

r 1 t t ti ti t t 3j, 3j,

0 ≤ t ≤ 3

(b) La The trayectoria closed path cerrada consisting que of consiste line segments en segmentos from 0, de 3 recta to

desde 0, 0, (0, from 3) 0, hasta 0 (0, to 3, 0), 0, después and then desde from (0, 3, 0) 0 hasta to 0, (3, 30) y

13. Fx, desde y (3, yi 0) xj hasta (0, 3)

13. (a) Fx, ry 1 t yi ti xj tj, 0 t 1

(b) a)

r 12 t t ti tj, t 2 j, 00≤ t t≤ 1

1

(c) b)

r 2 t 2 3 t ti t 3 j,

0 ≤ t ≤ 1

c) r 3 t ti t 3 j, 0 ≤ t ≤ 1

≤

2

14. 14. Fx, Fx, yy xy xy 2 i 2 i 2x 2x 2 yj

2 yj

15. 15.

16. 16.

(a)

r t 1 t ti 1 t j,

(b)

r t t 1i 2 t t 1i 1 3t 3t 3j, 3j,

C

C

(a)

y

(b)

(3, 4)

4

(4, 4)

3

(c)

y

(d)

(−1, 2) C 3 (2, 2)

C

C

yy 2 2 dx dx 2xy dy dy

2

1

2x 2x 3y 3y 1 1 dx dx 3x 3x y y 5 5 dy dy

(a)

yy

(b)

4

3

2

1

(c) y

y

(d)

8

6

4

2

C 1

(0, 0)

1

1

C 11

(0, (0, 0) 0)

11

2

(2, 3)

2

3

3

(2, (2, e 2 2 ))

y = e x x

C 3 3

(0, (0, 1) 1)

1

1

2

4

(4, 1)

4

17. 17. 2xy 2xy dx dx x x C 2 y 2 dy C 2 y 2 dy

x 2

1 2

(−1, −1) (1, −1)

1 ≤ t ≤ 3

−1

−1

y

x = 1 − y

(0, (0, 1)

2

1)

1

C 4

−1

−1

(0, (0, −1) −1)

(a) C:

ellipse

x

elipse 2

desde 5, 0 hasta 0, 4

from 5, 0 to 0, 4

25 y 2

16 1

(b) C:

parabola parábola y 4 x 2

from desde 2, 2, 0 0to hasta 0, 4 0, 4

x

x

x

x

0 ≤ t ≤ 2

(−1, 0) (1, 0)

x

−1

1

(−1, 0) (1, 0)

x

−1

1

−1

y = 1 − xx 22

C 2 −1

y

y = 1 − x 2

C 4

C 4

−1

y

(0, 1)

x = 1 − y 2

1

−1

y

(0, −1)

CC 2 2

x

x

SECCIÓN 15.3 Campos 15.3 vectoriales conservativos Vector Fields e independencia and la trayectoria of Path 1091

15.3 Conservative Vector Fields and Independence of Path 1091

18.

18. 18.

(a)

a) (a)

r rt 1 t t 3 i tj,

2 j,

00 ≤ ≤

t t 22

1 t t 3 i t 2 j,

(b)

b) (b)

r 2 rt 2 t cos 2 cos ti ti sen sin 2 sin tj, tj,

0≤ t ≤t 2 t 2 cos ti 2 sin tj, 0 t

22

19.

19. 19. Fx,

Fx, Fx, y,

y, y, z

zz

yzi

yzi yzi

xzj

xzj xzj xyk

xyk

(a)

a) (a)

r rt 1 t ti ti 2j 2j tk,

tk,

0≤ ≤t 4

1 t ti 2j tk, 0 t 4

(b)

b) (b)

r 2 rt 2 tj 2 2 t t 2 i tj tk,

2 k,

0≤ t ≤t 2

2 t t 2 i tj t 2 k, 0 t 2

20.

20. 20. Fx,

Fx, Fx, y,

y, y, z

zz

i i zj

zj zj yk

yk yk

(a)

a) (a)

r rt cos ti sin tj 1 t cos ti sensin tj tk,

2 k,

0≤ ≤t 1 t cos ti sin tj t 2 k, 0 t

b)

2 t 1 2ti 2

(b) (b) r r 2 t 1 2ti 2 tk, tk,

0≤ t ≤t 1

2 t 1 2ti 2

tk, 0 t 1

21.

21. 21. Fx,

Fx, Fx, y,

y, y, z

zz

2y

2y 2y xi

xi xi

x

xx 2 22

zj

zj zj 2y

2y 2y 4zk

4zk 4zk

(a)

a) (a)

r rt ti 1 t ti t 2 j k,

k,

0≤ ≤t 1

1 t ti t 2 j k, 0 t 1

(b)

b) (b)

r 2 rt ti tj 2t 1 2 2 t ti tj 2t 1 k, 2 k,

0≤ t ≤t 1

2 t ti tj 2t 1 2 k, 0 t 1

22.

22. 22. Fx,

Fx, Fx, y,

y, y, z

zz

yi yi yi

xj

xj xj 3xz

3xz 3xz 2 2 k

2 k

(a)

a) (a)

r rt 1 t cos cos ti ti sen

sin sin tj tj tk,

tk,

0≤ ≤t 1 t cos ti sin tj tk, 0 t

(b)

b) (b)

r 2 rt 2 t 1 1 2ti 2ti tk,

tk,

0≤ t ≤t 1

2 t 1 2ti tk, 0 t 1

23.

23. 23. Fx,

Fx, Fx, y,

y, y, z

zz

e z e z yi

yi z yi

xj

xj xj xyk

xyk xyk

(a)

a) (a)

r rt 1 t 4 cos cos ti ti sen 4 sin sin tj tj 3k,

3k,

00 ≤ ≤

t t

1 t 4 cos ti 4 sin tj 3k,

(b)

b) (b)

r 2 rt 2 t 4 4 8ti 8ti 3k,

3k,

00 ≤ t ≤

t t 11

2 t 4 8ti 3k,

24.

24. 24. Fx,

Fx, Fx, y,

y, y, z

zz

y y sin

sen sin sin zi

zi zi

x xsin sen

sinzj zj zj xy

xy xy cos

cos cos xk

xk xk

(a)

a) (a)

r rt 1 t t 2 i tj,

2 j,

00 ≤ ≤

t t 22

1 t t 2 i t 2 j,

(b)

b) (b)

r 2 rt 2 t 4ti 4ti 4tj,

4tj,

00 ≤ t ≤

t t 11

2 t 4ti 4tj,

In En In Exercises los ejercicios 25–34, 25–34, a 34, evaluate evaluate evaluar la the the integral line line integral de integral línea utilizando using using the the el

Fundamental teorema fundamental Theorem de of las of Line integrales Line Integrals. de línea. Use Use Utilizar a a computer

un sistema

algebra algebraico system system to to por verify verify computadora your your results. results. y verificar los algebra resultados.

25.

25.

26.

26.

27.

27.

C:

C: smooth curva smooth suave curve curve desde from from 0, 0, 0, 0 0 0 hasta to to 3, 3, 3, 8 8 8

C:

C: smooth curva smooth suave curve curve desde from from (–1, 1, 1, 1) 1hasta 1to

to 3, 3, (3, 2 2 2)

C:

C: line curva line segment segment suave desde from from 0, 0, 0, to

hasta to

3 3

3

22 , 2 ,

2 ,

28. y ydxdx x xdydy

28. C

C

x 2 y C x 2 y 2 2

C:

C: line curva line segment segment suave desde from from 1, 1, 1, 1 1 1to

hasta to 23, 23, 23, 2 22

29.

29.

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

x

xx 2 22

y 2 y 2

2 dx dx 2xy

2xy 2xydy

dy dy

3yi 3yi 3xj 3xj dr

dr

2x 2x 2x yi yi yi 2x 2x 2x yj yj yj dr

dr

cos cos x x sin sen

sin y y dx dx sin sen

sin x x cos cos y y dy

dy

e x e sin x sen

sin y y dx dx e x e cos x cos y y dy

dy

sin

sin

,

22

C:

C: cycloid cicloide cycloid x x

sen , , y y y 1 1 1 cos

cos cos from from desde 0, 0, 0 0 0, to to 0 2, 2, hasta 0 0

2, 0

30. 2x 2x

C x 2 2x y dx 2y

30.

2

30. C x 2 y 2 dx

x 2 2y y dy C x 2 y 2 dx 2y

2 x 2 y 2 2dy 2

C: C: circle circle x x 2 4 4 x 2 y 2 dy

2 2 y y 5 5 2 2 99clockwise from from 7, 7, 5 5toto

C: 1, círculo 1, 5 5 x 4 2 y 5 2 9 en sentido de las manecillas

del reloj desde 7, 5 hasta 1, 5

31.

31.

C

C

(a) (a) C: C: C: line segmento line segment segment de from recta from 0, desde 0, 0, 0, 0 0, 0to

0, to 1, 0 1, 1, hasta 1, 1 1 1, 1, 1

(b) (b) C:

C: line segmento line segments segments de recta from from de 0, 0, 0, 0, 0, 0 0 0 to to a 0, 0, 0, 0, 0, 11

1to

a to 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 1 1

(c) (c) C:

C: line segmento line segments segments de recta from from de 0, 0, 0, 0, 0 0, 0 0 to to a 1, 1, 1, 0, 0, 0 0 0to to a 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0 0 0to

y toa

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 1 1

32. 32. Repeat Repetir Repeat Exercise Exercise el ejercicio 31 31 using 31 using utilizando the the integral integral la integral

C C

C

z z 2y 2y dx dx 2x 2x z z dy dy x x y y dz dz

zy zydx dx xz xzdy dy xy xydz.

dz.

33.

33. sin

sin sin sen

x xdx dx z zdy dy y ydz

dz C C

C

C:

C: smooth

curva smooth suave

curve curve desde

from from 0,

0, 0, 0,

0, 0, 0

0 0to

hasta to

2 , 3, 4

2 , 3, 4

2 , 3, 4

34.

34. 6x 6xdx dx 4z 4zdy dy 4y

4y 4y 20z

20z 20z dz

dz C C

C

C: C: curva smooth suave curve desde from 0, 0, 0, 0, 0 0hasta to 3, (3, 4, 4, 00)

C: smooth curve from 0, 0, 0 to 3, 4, 0

Trabajo En los ejercicios 35 y 36, hallar el trabajo realizado

Work Work In In Exercises 35 35 and and 36, 36, find find the the work work done done by by the the force force

por el campo de fuerzas F al mover un objeto desde P hasta Q.

field field F F in in moving moving an an object object from from PPto

to Q. Q.

35. Fx, y 6x 1j; P0, 0, Q5, 9

35. 35. Fx, Fx, y y 9x9x 2

36. Fx, y 2x

y 2 2 yi 2 i 6x 6x 3 y 3 y 1j;

1j; P0, P0, 0, 0, Q5, Q5, 9 9

P(–1, 1), Q(3, 2)

x2

36. 36. Fx, Fx, y y 2x 2x

j;

P1, 1, Q3, 2

y i x2

y j; 2 P1, 1, Q3, 2

y i x2

y j; 2

37. Trabajo Una piedra de 1 libra atada al extremo de una cuerda de

37. 37. Work dos Workpies A A stone se stone hace weighing weighing girar horizontalmente 11 pound pound is is attached attached con to un to the extremo the end end of of fijo. a a

two-foot Realiza two-foot una string string revolución and and is is whirled whirled por segundo. horizontally Hallar with el with trabajo one one end end realizado held held

fixed. por fixed. la It fuerza It makes makes F1 que 1 revolution mantiene per per a la second. second. piedra Find en Find una the the trayectoria work work done done circular.

the force [Sugerencia: force FFthat that Usar keeps keeps fuerza the the stone = stone (masa)(aceleración moving moving in in a a circular circular centrípeta).] path. path.

by by

the

38. [Hint: [Hint:

Trabajo Use Use Force Force

Si Fx,

y, (mass)(centripetal z a 1 i a 2 j acceleration).]

a 3 k es un campo vectorial

Work de If fuerza If Fx, Fx, y, constante, y, z z a a 1 imostrar a 2 j que a 3 kel is trabajo a constant realizado 1 i a 2 j a 3 k is a constant forceal

vector mover vector field, una field, partícula show show that that a the lo the work largo work done de done la in trayectoria in moving moving a desde a particle particle P hasta along along Q

38. 38. Work

es any Wpath Ffrom PQ \ . to is W F PQ \

any PPto QQis

W F PQ \ . .

39. 39. Work Trabajo Work To To allow Para allow tener a a means means un medio of of escape escape de escape for for workers workers para los in in trabajadores a a hazardous

en

job una job 50 arriesgada 50 meters meters above tarea above a ground 50 ground metros level, level, sobre a a el slide slide nivel wire del wire suelo, is is installed. installed. se instala

It runs runs tobogán from from their their de cable. position position Corre to to a desde a point point su on on posición the the ground ground hasta 50 un 50 meters punto metersa

from 50 from metros the the base base de of la of base the the installation de la instalación where where donde they they are se are localizan located. located. Show los Show tra-

It

that bajadores. that the the work work Mostrar done done que by by el the the trabajo gravitational realizado force force por field field campo for for ade

a

175-pound fuerzas gravitatorio worker worker moving para moving que the the un length hombre length of of de the the 175 slide slide libras wire wire recorra is is the the la

same longitud same for for each del each cable path. path. es el mismo en cada una de las trayectorias.

(a)

(a) rt rt rt ti ti ti 50 50 50 tj tj tj

(b)

(b) rt rt rt ti ti ti 5050 5050 1 tt 2 j

5050 1 t 2 j

40. 40. Work Trabajo Work Can Can ¿Se you you puede find find a encontrar a path path for for una the the trayectoria slide slide wire wire in para in Exercise Exercise el cable 39del

such tobogán such that that del the the ejercicio work work done done 39 by tal by que the the gravitational el trabajo realizado force force field por field would campo would

differ de differ fuerzas from from the gravitatorio the amounts amounts sea of of work distinto work done done de for las for the cantidades the two two paths paths de given? given? trabajo

Explain realizadas Explain why why para or or why las why dos not. not. trayectorias dadas? Explicar por qué sí o

por qué no.


41. Desarrollo 41. State State the the Fundamental de conceptos Theorem Theorem of of Line Line Integrals. Integrals.

42. 41. 42. What Enunciar What does does el it teorema it mean mean that fundamental that a a line line integral integral de las is integrales is independent línea. of of

path? State the method for if a line integral is

42.

path?

¿Qué

State

significa

the method

que una

for

integral

determining

de línea

if

sea

a

independiente

line integral is

de

independent of path.

la trayectoria?

of path.

Enunciar el método para determinar si una

integral de línea es independiente de la trayectoria.

1092 1092 Chapter CAPÍTULO 15 Vector 15 Analysis Análisis vectorial



y

43. 43. Think Para About pensar It Sea Let F x, y

Find Encontrar the el

x 2 y i x

y

43. Think About It Let F x, y

2 x 2 y j. 2 Find the

value valor of the de la line integral integral

x

de línea

y i x

y

2 x 2 y j.

43. Think value of About the line It integral Let F x, y

2 Find the

x 2 y i x

2 x 2 y j. 2

F

value

dr.

of the line integral

C

F dr.

a)

C

F

a) C

dr. y

y b)

b)

y

y

a) y

b)

y

C

C 2

1

C

C 2

1

x

C

C 2

1 x

x

x

x

x

c)

c)

y

d)

y

y

d)

y

c) y

d)

y

C 3

C 3

C 4

C 4

C 3 x

x

C 4

x

x

x

x

CAPSTONE

CAPSTONE

44. CAPSTONE

Consider the force field shown in the figure.

44. Consider the force field shown in the figure.

y

44. Consider the force yfield shown in the figure.

Para discusión

y

44. Considerar el campo de fuerzas mostrado en la figura.

y

x

−5

x

−5

x

−5

x

−5

−5

−5

−5

(a) Give a verbal argument that the force field is not

(a) Give a verbal argument that the force field is not

conservative because you can identify two paths that

(a) Give conservative a verbal because argument you that can identify the force two field paths is that not

require different −5 amounts of work to move an object

conservative require different because amounts you can of work identify to move two paths an object that

from 4, 0 to 3, 4 . Identify two paths and state

require from different 4, 0 to amounts 3, 4 . Identify of work two to move paths and object state

a) which Argumentar requires the verbalmente greater amount que el of campo work. de To fuerzas print an no es

from which requires 4, 0 to the 3, greater 4 . Identify amount two of work. paths To and print state an

enlarged conservativo copy porque of the se pueden graph, encontrar go to the dos website trayectorias

which enlarged requires copy the of greater the graph, amount go of work. to the To print website an

www.mathgraphs.com.

que requieren cantidades diferentes de trabajo para

enlarged www.mathgraphs.com.

copy of the graph, go to the website

(b) Give mover a verbal un objeto argument desde that 4, the 0 hasta force 3, field 4. is Identificar not

(b) www.mathgraphs.com.

conservative dos Give trayectorias a verbal

because y argument decir you cuál that

can requiere the force

find a closed mayor field

curve cantidad is not

C de

(b)

such trabajo. Give conservative a verbal because argument you that can the find force a closed field curve is not C

that

conservative such that because you can find a closed curve C

b) Argumentar verbalmente que el campo de fuerzas no es

such

conservativo F dr

that

0. porque se puede encontrar una curva cerrada

C

C

F dr 0.

F

C

dr

tal que

0.

C

F dr 0. C

In Exercises

En los ejercicios

45 and

45

46,

y consider

considerar

the force

el campo

field

de

shown

fuerzas

in

mostrado

en

the

In Exercises 45 and 46, the force field shown in the

figure. Is the

la figura.

force field

¿Es

conservative? campo fuerzas

Explain

conservativo?

why or why not.

In figure. Exercises Is the 45 force and field 46, conservative? consider the Explain force field why shown or why Explicar in not. the

45. figure. por qué Is sí the o yforce por qué field no. conservative? 46. Explain y why or why not.

45. y

46.

y

45. y

46.

y

45. y

46.

y

x

xx




True statement ¿Verdadero or False? is o true falso? In or Exercises false. En los If it ejercicios 47–50, is false, determine 47 explain a 50, why determinar whether or give the si an


la

statement example declaración that is true es shows verdadera or it false. is false. If o falsa. it is false, Si es explain falsa, explicar why or por give qué an o

47. example dar If C 1 un , ejemplo 2

that , and shows C 3 que have it demuestre is the false. same initial que es and falsa. terminal points and

47. If C

C

47.

1

F dr 1 , C 2 , and C

1 C2

F 3 have the same initial and terminal points and

dr 2 , then C

Si C 1 , C 2 ,

tienen los mismos

1

F dr 1 C3

F dr 3 .

47. If CC 1

F 1 , C 2

dr , and 1 y C C2 3 have F dr the 2 , same then initial C 1

F and puntos dr 1 terminal C3 inicial F points dr y 3 . final and y

48. If F yi xj and C is given by r t 4 sin t i 3 cos t j,

48. entonces

48. 0 If C Si t

C1

F , dr 1 and C2 is drgiven 2 , by C1

F dr 1 C3

F dr 3 .

then

yi xj y está dada por rt 4 sin ti 3 cos tj,

49. If F

0 1 F dr yi 1 xj C2

F Cdr 2 , then C

is conservative t , C F dr 0.

1

rF t dr 1 4 sin C3 t Fi dr 3 3 cos . t j,

48. If F yi then xj and CCF is dr given 0. by r t 4 sin sen t i 3 cos t in a region R bounded by a simple closed

49. 0 ≤ t ≤ , entonces C F dr 0.

path 0 If F

and t is

49. Si F es C conservative

lies , then C

within then is independent of path.

conservativo R,

Fin a dr region

C

en una región F

0. R

dr bounded by a simple closed

49. If path F is and conservative R limitada o acotada por una

50. If F Mi C lies within in

Nj and M R, a region then CR

x N F bounded

y, then dr is independent by a simple of closed path.

F is conservative.

50. path If trayectoria F and Mi C lies cerrada Nj within and simple R, Mthen xy C F está N dr y, contenida is then independent F is en conservative. R, of entonces path.

50. If C FF Mi dr es independiente Nj and M xde la 2 trayectoria.

f

N y, 2 then

f

F is conservative.

51. 50. A function Si F fMi is called Njharmonic y Mxif 2

Ny,

f 2

entonces

f 0. Prove F es that conservativo.

then

xf

2 y 2

if

51. A function f is called harmonic if x 2 y 2 2

0. Prove that if

f is harmonic, f

51. A f is function harmonic, f is then called harmonic if 2 0. Prove that if

51. Una f función es armónica si 2 x

f

2 y

Demostrar que

x 2 f

2 f is harmonic, 2 y 0. 2

C y dx f

x dy then

f

0

si C f yes dx f

f armónica, x dy entonces

0

where C C

y f is dx f

a smooth x dy f

closed 0 curve in the plane.

where C is a smooth

52. Kinetic and

dx C y Potential x dy Energy closed 0 curve in the plane.

The kinetic energy of an object

52. where Kinetic Cand is a Potential smooth closed Energy curve The kinetic the plane. energy of an object

moving through a conservative force field is decreasing at a rate

52. Kinetic moving

of 15 donde and

units C

through

per es Potential una

a

minute. curva

conservative Energy

At suave what cerrada

force The kinetic field

rate is en the el

is

plano. energy decreasing of an at object a rate

potential energy

moving of 15 units through per a minute. conservative At what force rate field is is the decreasing potential at energy a rate

52. changing?

changing?

Energía potencial y cinética La energía cinética de un objeto

of 15 units per minute. At what rate is the potential energy

que se mueve ya través de un campo de fuerzas conservativo dis-

x, y a una x 2 velocidad y i x

53. Letchanging?

Fminuye

y

53. Let F x, y

2 x 2 o ritmo y j. 2 de 15 unidades por minuto. ¿A

qué ritmo cambia x 2 su y 2 energía i x

y x 2 potencial? y j.

53. 2 (a) Let Show F x, that y

(a) Show thatx 2 y i x

y

2 x 2 y j.

53. Sea Fx, y

x 2 y i x

2

(a) NShow Mthat

N M

2 x 2 y j. 2

x y

a) Mostrar Nx

My

que

where x

where N

x M y

M wherey

y

x

M y and N

x x

donde

2 y 2 and N

2 y 2. x

x 2 y 2 x 2 y 2.

(b) If r M y

x

and N

t xcos 2

M y

ti y 2 sin tj for x

y N

x

2 0 t , find C

(b) If r t cos ti sin tj for F dr.

(c) If r t cos x 2 ti y 2 sin tj for x 2 0 0 y 2.

y 2.

find C

t t , find

,

C F F

dr.

dr.

(b) (c) If

(d) If for find C

b) r r

Si t t cos

rt cos ti

ti sin sin tj

tj for 0 para 0 t t ,

≤ 2 ≤

find

C F

dr.

(d) If , hallar (c) If r dr. Why doesn’t r t t cos cos ti

this ti sin

contradict

sen sin tj tj for for 0 find C

Theorem 0 t

15.7?

t , 2 find , C F dr. F dr.

(d) c) If Si

Why r rt t doesn’t

cos ti this

para ≤ ≤ , hallar (e) Show d) Si that rt cos arctan ti x contradict

sen sin tj for Theorem 0 t 15.7? 2 , find C F dr.

Why doesn’t this contradict

y sen sin tj F.

(e) Show that arctan x Theorem 15.7?

para F. 0 ≤ t ≤ 2, hallar

¿Por qué esto no contradice y

(e) Show that arctan x F. el teorema 15.7?

y

x

e) Mostrar que arctan x y F. C F dr.

x

x

xx

SECCIÓN 15.4 Teorema de Green 1093

15.4 Teorema de Green

■ Utilizar el

Use

teorema

Green’s

de

Theorem

Green para

to evaluate

evaluar

a

una

line

integral

integral.

de línea.

■ Utilizar ■ formas

Use alternative

alternativas

forms

del

of

teorema

Green’s

de

Theorem.

Green.

r(a) = r(a) r(b) = r(b)

R 1

R 1

Simplemente Simply conexa connected

R 3

R 3

R 2

R 2

No simplemente Not conexas connected


Teorema Green’s de Green Theorem

En esta sección In this section, estudiará you will el study teorema Green’s de Green, Theorem, que named recibe after este the nombre English en mathematician

honor del

matemático George inglés Green George (1793–1841). Green (1793-1841). This theorem Este states teorema that establece the value que of el a valor double de integral una

integral over doble a sobre simply una connected región simplemente plane region conexa R is R determined está determinado by the por value el valor of a deline

una integral integral de línea around a lo the largo boundary de la frontera of R. de R.

Una curva A curve C dada C por given rt by rt xti xti ytj, ytj, donde where a ≤ ta ≤ b, t es simple b, is simple no if se it corta does not

a sí misma, cross es itself—that decir, rc is, rd rcpara rd todo for c yall d cen and el intervalo d

the abierto open interval a, b. Una a, b. región A plane

plana R region es simplemente R is simply conexa connected si cada if every curva simple cerrada closed simple curve en Rin encierra R encloses sólo only puntos points

que están that en are R (ver in Rla (see figura Figure 15.26). 15.26).

TEOREMA THEOREM 15.8 TEOREMA 15.8 DE GREEN’S THEOREM

Sea R una Let región R be simplemente a simply connected conexa region cuya frontera with a piecewise es una curva smooth C suave boundary a trozos, C,

orientada oriented sentido counterclockwise contrario a las manecillas (that is, C is del traversed reloj (es once decir, so Cthat se recorre the region unaR

vez de manera always que lies la to región the left). R siempre If M and quede N have a la continuous izquierda). first Si Mpartial y N tienen derivatives in

derivadas an parciales open region continuas containing en una R, región then abierta que contiene a R, entonces

C

M dx N dy R

N

M dx N dy R

N

C

x M

x M

y dA. y dA.

y

C 2 : C 2 :

y = f 2 (x) y = f 2 (x)

a C = aC 1 C + = CC 2 1 + bC 2

R es verticalmente R is vertically simple.

d

y

y

R

C′ y 1 : C′ 1 :

x = g 1 (y) x = g 1 (y)

d

R

C 1 : y = Cf 1 :(x)

y = f 1 (x)

b

x

x

DEMOSTRACIÓN PROOF Se A da proof una is demostración given only for sólo a region para una that is región both que vertically es vertical simple y and horizontalmenttally

simple, simple, como as se shown muestra in Figure en la figura 15.27.

horizon-

15.27.

M dx M dx M dx M dx M dx M dx

C

C

C 1

C

C 1 2

C 2

b

a a

Mx, f 1 x Mx, dxf

1 x dx Mx, f 2 x Mx, dxf 2 x dx

a

a

b

b

a

b

Mx, f 1 x Mx, fMx, 1 x f 2 x Mx, dxf 2 x dx

Por otro On lado, the other hand,

R M

b f

y

dA 2

x

M

R M

b f

y

a

dA

2

x

M

dy dx dy dx

af 1 x y

f 1 x y

b b f 2 x f 2 x

Mx, y Mx, y

a

b

a

a

Mx, f 2 x Mx, fMx, 2 xf 1 x Mx, dx. f 1 x dx.

R R

a a

C′ 2 : x C′ = g Por consiguiente,

2 : 2 (y) x = g 2 (y) Consequently,

c c

M dx R M dx R M

C

y dA. C

y dA.

x x

C′ = C′ C′ 1 + = C′ 21 + C′ 2 De manera Similarly, similar, se you pueden can usar use g 1 (y) yyand g 2

(y) gpara 2 y demostrar to show that que C N dy R Nx dA. By

R es horizontalmente R is horizontally simple.

Sumando adding las integrales the integrals C M dx C M y dx C Nand dy, C se N llega dy, you a la conclusión obtain the establecida conclusion en stated el teorema.

theorem.

in the


■

b

b

f 1 x dx

b

f 1 x dx


EJEMPLO 1

Aplicación del teorema de Green

y

Utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea

1

(0, 0)

y = x

(1, 1)

C = C 1 +

C 1

1

y = x 3

C es simple y cerrada, y la región R siempre

se encuentra a la izquierda de C

Figura 15.28

x

y C

3 dx x 3 3xy 2 dy

donde C es la trayectoria desde (0, 0) hasta (1, 1) a lo largo de la gráfica de y x 3 y desde

(1, 1) hasta (0, 0) a lo largo de la gráfica de y x, como se muestra en la figura 15.28.

Solución Como M y 3 y N x 3 3xy 2 , se sigue que

N

M

y

y 3y 2 .

x 3x2 3y 2

Aplicando el teorema de Green, se tiene entonces

y C

3 dx x 3 3xy 2 dy R

N

1 x

0

1 x

0

1 x

3x 2 y

0

1

0

3x 4

4 x 2 6 1 0

1 4 .

x M

y dA

x 3 3x 2 3y 2 3y 2 dy dx

x 3 3x 2 dy dx

x 3

dx

3x 3 3x 5 dx

GEORGE GREEN (1793-1841)

Green, autodidacta, hijo de un molinero,

publicó por primera vez el teorema que lleva

su nombre en 1828 en un ensayo sobre electricidad

y magnetismo. En ese tiempo no

había casi ninguna teoría matemática para

explicar fenómenos eléctricos.

“Considerando cuán deseable sería que una

energía de naturaleza universal, como la

electricidad, fuera susceptible, hasta donde

fuera posible, de someterse al cálculo. . . me

vi impulsado a intentar descubrir cualquier

posible relación general entre esta función y

las cantidades de electricidad en los cuerpos

que la producen.”

El teorema de Green no se puede aplicar a toda integral de línea. Entre las restricciones

establecidas en el teorema 15.8, la curva C debe ser simple y cerrada. Sin embargo,

cuando el teorema de Green es aplicable, puede ahorrar tiempo. Para ver esto, tratar de

aplicar las técnicas descritas en la sección 15.2 para evaluar la integral de línea del ejemplo

l. Para esto, se necesitará escribir la integral de línea como

donde

y C

3 dx x 3 3xy 2 dy

C 1

C 1

y 3 dx x 3 3xy 2 dy C 2

y 3 dx x 3 3xy 2 dy

es la trayectoria cúbica dada por

rt ti t 3 j

desde t 0 hasta t 1, y es el segmento de recta dado por

rt 1 ti 1 tj

desde t 0 hasta t 1.

C 2


EJEMPLO 2

Aplicación del teorema de Green para calcular trabajo

F(x, y) = y 3 i + (x 3 + 3xy 2 )j

y

Estando sometida a la fuerza

Fx, y y 3 i x 3 3xy 2 j

2

C

una partícula recorre una vez el círculo de radio 3 mostrado en la figura 15.29. Aplicar el

teorema de Green para hallar el trabajo realizado por F.

1

−2 −1 1 2

−1

x

Solución

Por el ejemplo 1, se sabe, de acuerdo con el teorema de Green, que

y C

3 dx x 3 3xy 2 dy R 3x 2 dA.

Figura 15.29

−2

r = 3

En coordenadas polares, usando x r cos y dA r dr d, el trabajo realizado es

2

W R 3x 2 dA

3

3

3

0 0

3

0 0

2

2

0

3 0

243

8

2

0

243 sen sin 2

8

2 2

0

243

4 .

r 4

4 cos2 3 0

81

4 cos2 d

2

3r cos 2 r dr d

r 3 cos 2 dr d

d

1 cos 2 d

Al evaluar integrales de línea sobre curvas cerradas, recuérdese que en campos vectoriales

conservativos (campos en los que Nx My), el valor de la integral de línea es

0. Éste es fácil de ver a partir de lo establecido en el teorema de Green:

M dx N dy R C

N

x M dA 0.

y

EJEMPLO 3

Teorema de Green y campos vectoriales conservativos

y

Evaluar la integral de línea

C

y C

3 dx 3xy 2 dy

donde C es la trayectoria mostrada en la figura 15.30.

x

Solución A partir de esta integral de línea, M y 3 y N 3xy 2 . Así que, Nx 3y 2

y My 3y 2 . Esto implica que el campo vectorial F Mi Nj es conservativo, y

como C es cerrada, se concluye que

C es cerrada

Figura 15.30

y C

3 dx 3xy 2 dy 0.


y

EJEMPLO 4

Aplicación del teorema de Green para una curva suave

a trozos (o por partes)

(0, 3)

C

Evaluar

R

arctan x y C

2 dx e y x 2 dy

(−3, 0)

(−1, 0)

(1, 0)

(3, 0)

x

donde C es la trayectoria que encierra la región anular mostrada en la figura 15.31.

C es suave a trozos

Figura 15.31

Solución En coordenadas polares, R está dada por 1 ≤ r ≤ 3 para 0 ≤ ≤ . Y,

N

x M

y 2x 2y 2r cos r sen sin .

Así, por el teorema de Green,

arctan x y C

2 dx e y x 2 dy R2x y dA

0

3

0 1

2cos sen sin r3

52

0 3 cos sen sin d

52 sen

2rcos sen sin r dr d

3 sin cos

0

3 3 1

d

104

3 .

En los ejemplos 1, 2 y 4, el teorema de Green se utilizó para evaluar integrales de línea

como integrales dobles. También se puede utilizar el teorema para evaluar integrales dobles

como integrales de línea. Una aplicación útil se da cuando

Nx My 1.

M dx N dy R C

N

x M

y dA

R 1 dA

N

x M

y 1

area área of de region la región R R

Entre las muchas opciones para M y N que satisfacen la condición establecida, la opción

de M y2 y N x2 da la siguiente integral de línea para el área de la región R.

TEOREMA 15.9

INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA

Si R es una región plana limitada o acotada por una curva simple C, cerrada y suave

a trozos, orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj, entonces el área

de R está dada por

A 1 x dy y dx.

2C


EJEMPLO 5

Hallar el área mediante una integral de línea

x 2 y 2

a 2 b 2 = 1

y

Usar una integral de línea para hallar el área de la elipse

x 2

a 2 y 2

b 2 1.

Solución Utilizando la figura 15.32, a la trayectoria elíptica se le puede inducir una orientación

en sentido contrario a las manecillas del reloj haciendo

x a cos t

y

y b sen sin t,

0 ≤ t ≤ 2.

+

R

b

Figura 15.32

a

x

Por tanto, el área es

2

A 1 x dy y dx 1 a cos tb cos t dt b sen sin ta sen sin t dt

2C

20

ab

2

cos 2 t sen

sin 2 t dt

0

2

ab

2 t 2

0

ab.

El teorema de Green puede extenderse para cubrir algunas regiones que no son simplemente

conexas. Esto se demuestra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 6

El teorema de Green extendido a una región

con un orificio

2

y

C 1 : Elipse

C 2 : Círculo

Sea R la región interior a la elipse x 2 9 y 2 4 1 y exterior al círculo

Evaluar la integral de línea

x 2 y 2 1.

C 1 R

3

−3

C 2

C 3

C 4

x

C

2xy dx x 2 2x dy

donde C C 1 C 2 es la frontera de R, como se muestra en la figura 15.33.

Figura 15.33

−2

C 3 : y = 0, 1 ≤ x ≤ 3

C 4 : y = 0, 1 ≤ x ≤ 3

Solución Para empezar, se pueden introducir los segmentos de recta C 3 y C 4 , como se

muestra en la figura 15.33. Nótese que como las curvas C 3 y C 4 tienen orientaciones opuestas,

las integrales de línea sobre ellas se cancelan entre sí. Además, se puede aplicar el teorema

de Green a la región R utilizando la frontera C 1 C 4 C 2 C 3 para obtener

2xy dx x C

2 2x dy R

N

x M

y dA

R 2x 2 2x dA

2R dA

2area 2(área of de R R)

2ab r 2

232 1 2

10.


En la sección 15.1 se estableció una condición necesaria y suficiente para campos vectoriales

conservativos. Ahí sólo se In presentó Section 15.1, una dirección a necessary de la and demostración. sufficient condition Ahora se for puede conservative vec

on 15.1, a necessary and sufficient condition for conservative dar la otra vector dirección, fieldsusando was el listed. teorema There, de Green. only one Sea direction Fx, y of Mi the proof Nj definido was shown. en un You can now ou

here, only one direction of the proof was shown. You disco can abierto now outline R. Se the quiere demostrar other direction, que si using M y NGreen’s tienen primeras Theorem. derivadas Let Fx, y parciales Mi con-

tinuas be defined y on an open disk R. You want to show that if M and N have continuous first partial deriva

Nj be defined on

on, using Green’s Theorem. Let Fx, y Mi Nj

want to show that if M and N have continuous first partial

M

derivatives and

M

y N

y N

x

x

N

x

entonces F es conservativo. then Supóngase F is conservative. que C es una Suppose trayectoria that cerrada C is a que closed forma path la forming frontera

the de boundary una región of conexa a connected contenida region en R. Entonces, lying in R. usando Then, using el hecho the fact de que that My Nx, you c

the bound

nservative. Suppose that C is a closed path forming

egion lying in R. Then, using the fact that My Nx, you se puede can apply aplicar el Green’s teorema Theorem de Green to para conclude concluir that que

orem to conclude that

F dr M dx N dy F dr M dx N dy

C

C

dr M dx N dy

C

R

N

x M

y dA

C

R

N

x M

y dA

0.

0.

0.

This, in turn, is equivalent to showing that F is conservative (see Theorem 1

, is equivalent to showing that F is conservative (see

Esto

Theorem

es, a su

15.7).

vez, equivalente a mostrar que F es conservativo (ver teorema 15.7).

Alternative Forms of Green’s Theorem

ve Forms of Green’s Theorem Formas alternativas del teorema de Green

This section concludes with the derivation of two vector forms of Green’s

concludes with the derivation of two vector forms Esta of Green’s sección Theorem concluye con for la deducción regions in the de dos plane. formulaciones The extension vectoriales of these vector del teorema forms to dethree dimensio

n the plane. The extension of these vector forms to three Green dimensions para regiones is theen el basis plano. for La the extensión discussion de in estas the formas remaining vectoriales sections a of tres this dimensiones

If F is es a la vector base del field estudio in en the el plane, resto de you las can secciones write de este capítulo. Si F es un campo

chapter. If F is a ve

discussion in the remaining sections of this chapter.

, you can write

vectorial en el plano, se puede escribir Fx, y, z Mi Nj 0k

z Mi Nj 0k

Fx, y, z Mi Nj so 0k that the curl of F, as described in Section 15.1, is given by

url of F, as described in Section 15.1, is given by

por lo que el rotacional de F, como se describió en la sección 15.1, está dada por

i j k

i j k

i jcurl kF F

F

x y z

x y z

curl F

rot F

M N 0

x y z

M N 0

M N 0

N

z i M

z j N

x M

N

y k.

N

z

Consequently, i M

z j N

x M

z i M

z j N

x M

y k.

y k.

ly,

Por consiguiente,

k N

z i M

z j N

x M

y k k


R

N

x M

y dA

curl F k N

z i M

z j N

x M

y k k

curl F k N

z i M

z j N

x M

y k k

N

x M

(rot F)

N

y .

x M

y .

N

x M

y . With appropriate conditions on F, C, and R, you can write Green’s Th

propriate conditions on F, C, and R, you can write Green’s Theorem in the vector form

orm

Con condiciones apropiadas sobre F, C y R, se puede escribir el teorema de Green en

forma vectorial

dr R

N

x M

F dr R C

N

y dA x M

y dA

F dr R C

N

R x M

y

R dA curl F k dA. First alternative form

curl F k dA. First alternative form

The extension of this vector form of Green’s Theorem to surfaces in space

on of this vector form of Green’s Theorem to surfaces in space produces R (rot curl F) Stokes’s F · k dA. k dA. Theorem, Primera discussed forma alternativa. in Section 15.8.

eorem, discussed in Section 15.8.

La extensión de esta forma vectorial del teorema de Green a superficies en el espacio da

lugar al teorema de Stokes, que se estudia en la sección 15.8.

C

C

C C

n

C

n

n T

nT

T

θ

θ θ T

θ

N = −n

N = N −n = −n

cos sen sin N = −n

T T cos cosi i sin sinj

j

n Tcos cos i sin j

n cos 2

n cos 2 i i sin sen sin

n cos

2

sin cos sin cos 2 i sin 2 j

j

sen 2 i sin 2 j

2 j

sen sin sin i i cos cos j j

N Figura N sin sini 15.34 i cos sin cosj

i j cos j

Figure Figure N15.34

sin i cos j

Figure 15.34


15.4 15.4 Green’s Green’s Theorem Theorem 1099 1099

15.4 Green’s Theorem 1099

Para la segunda forma vectorial del teorema de Green, supónganse las mismas condiciones

For For

sobre the the second F,

second

C y vector R.

vector

Utilizando form form of of Green’s el

Green’s

parámetro Theorem,

longitud assume assume

de the the

arco same same

s para

conditions

C, se for tiene

for

For the second vector form of Green’s Theorem, assume the same conditions for

rs F, F, C,

C, and xsi

and R.

R. Using ysj.

Using the Por

the arc tanto,

arc length length

un vector

parameter

unitario s for s for C, tangente

C, you you have have

Tr a sr la

s

curva x sxi s

C

i

está ysj. ysj.

dado So, So,

por

a unit tangent F, C, and vector R. Using to the curve arc length is given parameter by s for C, you have r s x iFromysj.

So,

rs

a unit

T

tangent

xsi

vector

ysj. T T to

En

curve

la figura C C is

15.34

given

se

by

puede r rs s

ver Tque T xel xs vector is i yunitario ys j. s normal

Figure a 15.34 unit tangent you can vector see that T to the curve outward C is given unit normal by r svector

T N xcan s i then y be s j. From

exterior

Figure

N

15.34

puede entonces

you can

escribirse

see that

como

the outward unit normal vector N can then be

written written Figure as as 15.34 you can see that the outward unit normal vector N can then be

N written ysi as xsj.

N N y ys is i x xs j. s j.

Por consiguiente, N ya F(x, s i y) xsMi j. Nj se le puede aplicar el teorema de Green para obtener

Consequently, for for F x, F yx, y Mi Mi Nj, Nj, you you can can apply apply Green’s Green’s Theorem to to obtain obtain

Consequently, for F x, y Mi Nj, you can apply Green’s Theorem to obtain

b

b

F b

FN ds N

ds MiMi Nj Nj ysi y ys is i xsj x xs jsds

j ds

C C C F Na

dsa

Mi Nj y s i x s j ds

C b

b

dya

M b

M M dy

M dy

N dx

a

ds N dx N

ds dx

ds ds

a ds ds ds

a ds ds

M dy M dy N dx

N dx

C C C M dy N dx

C

N Ndx N dx M dy M dy

C C C N dx M dy

C

M N

R M N

Green’s Theorem

R

M

Teorema de Green.

xx

y dA

Green’s Theorem

R x y

R M N N

y dA dA

Green’s Theorem

R x y

div div F dA.

F dA.

R R div F dA.

R

Por Therefore, consiguiente,

Therefore,

F FN ds ds NR ds div div div F dA. dA. F dA.

Segunda

Second Second alternative

forma alternative alternativa.

form form

C

C C F NRdsR

div F dA.

Second alternative form

La generalización C de esta forma R a tres dimensiones se llama teorema de la divergencia,

The The extension of of this this form form to to three three dimensions is called is called the the Divergence Theorem,

discutido The en la

in extension sección 15.7.

Section 15.7. of this En

The form las secciones

physical to three dimensions 15.7 y 15.8 se

of is called analizarán the and Divergence las interpretaciones

discussed in Section 15.7. The physical interpretations of divergence and curl curl will will Theorem, be be

físicas de discussed divergencia

in Sections in Section y del rotacional.

discussed in Sections 15.7 15.7 and 15.7. and 15.8. 15.8. The physical interpretations of divergence and curl will be

discussed in Sections 15.7 and 15.8.

CAS CAS

15.4 See for worked-out solutions to exercises.

15.4 15.4 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

15.4 Ejercicios Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

In En In Exercises los ejercicios 1–4, 1–4, verify 1 a verify 4, Green’s comprobar Green’s Theorem Theorem el teorema by by de evaluating Green evaluando

integrals ambas In Exercises integrales 1–4, verify Green’s Theorem by evaluating both 5. C: circle given by x

both both 5. 5. C: 5. C: C: circle circle circunferencia given given by by x 2 xdada 2 y 2 por y 2 4x 2 4 y 2 4

integrals

6. frontera de la región 2 y

comprendida 2 4

entre las gráficas de

integrals

R 6. 6. C: C: C: boundary boundary of of the the region region lying lying between between the the graphs graphs of of y y x x

6. C: boundary y of en the el primer region cuadrante lying between the graphs of y x

N M

and

y x 3 in y the x 3 first quadrant

y 2 dx x 2 dy

N dA M

and y x 3 in the first quadrant

CC

y 2 dx N N

x 2 Rdy

xx M M

and y x

yy 3 in the first quadrant

y 2 dx x 2 dy

dA

C

R x y

dA

En los ejercicios 7 a 10, utilizar el teorema de Green para evaluar

la integral

C

R x y

In In Exercises 7–10, 7–10, use use Green’s Green’s Theorem Theorem to evaluate to evaluate the the integral integral

for sobre for the the given la given trayectoria path. path. dada.

In Exercises 7–10, use Green’s Theorem to evaluate the integral

for the given path.

y y x dx x dx 2x2x y dy y dy

1. 1. C: 1. C: boundary C: boundary frontera of de of the la the region región region lying que lying yace between between entre the las the graphs gráficas graphs of de of y y= xxxy

C C y x dx 2x y dy

1. C: = xboundary 2 of the region lying between the graphs of y x y x dx 2x y dy

and and y y x 2 x 2 C

and y x

2. C: frontera de la región 2 for for

C the the given given path. path.

2. 2. C: C: boundary boundary of of the the region region lying que lying yace between between entre the las the graphs gráficas graphs of de of y

y= xxxy

sobre for la the trayectoria given path. dada.

and 2. and yC:

yboundary x x of the region lying between the graphs of y x7. 7. C: C: boundary boundary of of the the region region lying lying between between the the graphs graphs of of y y x x

7. frontera de la región comprendida entre las gráficas de

3. C: cuadrado

and y

7. C: boundary of the region lying between the graphs of y x

con vértices

x

C:

(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)

and and y y x

3. square with vertices

2 x

3.

2x

C: square with vertices

2 2x

C:

0, 0, , 01, , 01, , 01, , 1, , 10, , 10, 1

y and x y

x

4. C:

3.

rectángulo

square

con

with

vértices

vertices

2 2x

C:

(0,

0,

0),

0

(3,

, 1,

0),

0 ,

(3,

1,

4),

1 ,

(0,

0,

4)

1

8. 8. C: C: x x 2 cos 2 cos , y , y sen sen

4. 4. C: C: rectangle rectangle with with vertices vertices 0, 0 , 03, , 03, , 03, , 43, , 4 and , and

40, 4

8. C: 8. xC:

x2 cos 2 , cos y , ysin sen

4. C: rectangle with vertices 0, 0 , 3, 0 , 3, 4 , and 0, 4 9. 9. C: C: boundary boundary of of the the region region sen

lying lying inside inside the the rectangle rectangle bounded bounded

In En In Exercises los ejercicios 5 and 5 and 5 y 6, 6, 6, verify verificar verify Green’s Green’s el teorema Theorem Theorem de Green by by using utilizando using a a 9. C: by 9. by xfrontera C: x boundary 5, de 5, x la x región 5, of 5, ythe yinterior region 3, 3, and lying al and yrectángulo inside y 3, 3, and the and acotado outside rectangle outside por thebounded

x

un computer CASsistema In algebra Exercises algebraico system system 5 and por to evaluate to 6, computadora evaluate verify both Green’s both integrals y integrals evaluar Theorem ambas by integralescomputer

algebra system to evaluate both integrals

por xsquare 1, bounded x 1, yby

x1 y y1,

x 1. 1, y 1, and y 1

using a square square 5, bounded xby bounded x5, yby

5, by x3 x y y5,

1, x1,

y3, xy exterior 3, y1,

yand 1, al y and cuadrado 1, and 3, y and y 1acotado

outside 1 the

10. 10. C: C: boundary boundary of of the the region region lying lying inside inside the the semicircle

N N M M

xe 10. C: 10. frontera C: boundary de la región of the interior region al semicírculo lying inside y the 25semicircle

N M

x 2

xe xe y dx e x dy

dA

y exterior y al 25 semicírculo x 2 and outside y 9the semicircle x 2 y 9 x 2

C

R x y

C

y dx e x dy R y xe dx y dx e x dy e x dy

N

x M dA dA

y y 25 25 x and outside the y 9 x

y 2 x 2 and outside the semicircle y 9 2 x 2

C C

R R x x y y

dA

for for the the given given path. path.

sobre for la trayectoria the given path. dada.


En los ejercicios 11 a 20, utilizar el teorema de Green para evaluar

la integral de línea.

11.

frontera de la región comprendida entre las gráficas de

y

12.


y

13. 14.

15.

16.

17.


y

18.

frontera de la región comprendida entre las gráficas del

círculo

y la elipse

19.


y

20.

frontera de la región comprendida entre los cuadrados cuyos

vértices son y y

y

Trabajo

En los ejercicios 21 a 24, utilizar el teorema de Green

para calcular el trabajo realizado por la fuerza F sobre una

partícula que se mueve, en sentido contrario a las manecillas del

reloj, por la trayectoria cerrada C.

21.

22.

23.

contorno del triángulo cuyos vértices son (0, 0), (5, 0) y

(0, 5)

24.


y 0 y x 9

Área

En los ejercicios 25 a 28, utilizar una integral de línea

para hallar el área de la región R.

25. región acotada por la gráfica de

26. triángulo acotado por las gráficas de y

27. región acotada por las gráficas de y

28. región interior al lazo de la hoja o folio de Descartes acotada

por la gráfica de

En los ejercicios 31 y 32, utilizar el teorema de Green para verificar

las fórmulas de las integrales de línea.

31. El centroide de una región de área A acotada por una trayectoria

simple cerrada C es

32. El área de una región plana acotada por la trayectoria simple

cerrada C dada en coordenadas polares es

Centroide

En los ejercicios 33 a 36, utilizar un sistema algebraico

por computadora y los resultados del ejercicio 31 para

hallar el centroide de la región.




36. triángulo cuyos vértices son y donde

Área

En los ejercicios 37 a 40, utilizar un sistema algebraico

por computadora y los resultados del ejercicio 32 para hallar el

área de la región acotada por la gráfica de la ecuación polar.

37. 38.

39. (lazo interior) 40.

41. a) Evaluar donde C 1 es el círculo unitario

dado por

b) Encontrar el valor máximo de

donde C es cualquier curva cerrada en el plano xy, orientada

en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

In Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the line

integral.

11.

boundary of the region lying between the graphs of

and

12.


and

13. 14.

15.

16.

17.


and

18.

boundary of the region lying between the graphs of the

circle

and the ellipse

19.


and

20.

boundary of the region lying between the squares with

vertices and and

and

Work

In Exercises 21–24, use Green’s Theorem to calculate

the work done by the force F on a particle that is moving counterclockwise

around the closed path

21.

22.

23.

boundary of the triangle with vertices

and

24.


and

Area

In Exercises 25–28, use a line integral to find the area of

the region

25. region bounded by the graph of

26. triangle bounded by the graphs of and

27. region bounded by the graphs of and

28. region inside the loop of the folium of Descartes bounded by

the graph of

In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the line

integral formulas.

31. The centroid of the region having area bounded by the

simple closed path

is

32. The area of a plane region bounded by the simple closed path

given in polar coordinates is

Centroid

In Exercises 33–36, use a computer algebra system

and the results of Exercise 31 to find the centroid of the region.




36. triangle with vertices and where

Area

In Exercises 37– 40, use a computer algebra system and

the results of Exercise 32 to find the area of the region bounded

by the graph of the polar equation.

37.

38.

39. (inner loop)

40.

41. (a) Evaluate where is the unit

circle given by

(b) Find the maximum value of

where is any closed curve in the plane, oriented

counterclockwise.

xy-

C

C y3 dx 27x x 3 dy,

r t cos ti sen tj, 0 t 2 .

C 1

C 1 y 3 dx 27x x 3 dy,

r

3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a 1 cos

a b a

b, c ,

a, 0 ,

a, 0 ,

R:

0 x 1

y x,

y x 3

R:

y 0

y a 2 x 2

R:

y 4 x 2

y 0

R:

A

1

2 C r 2 d .

C

y

1

2A

C y 2 dx.

x

1

2A

C x 2 dy,

C

A

y

3t 2

t 3 1

x

3t

t 3 1 ,

R:

y x 2 1

y 5x 3

R:

x 2y 8

3x 2y 0,

x 0,

R:

x 2 y 2 a 2

R:

R.

x 9

y 0,

y x,

C:

F x, y 3x 2 y i 4xy 2 j

0, 5

5, 0 ,

0, 0 ,

C:

F x, y x 32 3y i 6x 5 y j

r

2 cos

C:

F x, y e x 3y i e y 6x j

x 2 y 2 1

C:

F x, y xyi x y j

C.

2, 2

2, 2,

2, 2 ,

2, 2 ,

1, 1,

1, 1,

1, 1 ,

1, 1 ,

C:

C

3x 2 e y dx

e y dy

x 2 y 2 9

x 2 y 2 1

C:

C

x 3y dx x y dy

y

2 sen

x 3 cos ,

y

6 sen

x 6 cos ,

C:

C

e x2 2 y dx e y 2 2 x dy

y

x

y

x

C:

C

cos y dx xy x sen y dy

x 4 2 cos , y 4 sen

C:

C

2 arctan y x dx ln x2 y 2 dy

x 2 y 2 a 2

C:

C

e x cos 2y dx

2e x sen 2y dy

r 1 cos

C:

x 2 y 2 16

C:

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

x 9

y x,

y 0,

C:

C

y 2 dx

xy dy

y 1 x 2 y 0

C:

C

2xy dx x y dy


29. State Green’s Theorem.

30. Give the line integral for the area of a region bounded by

a piecewise smooth simple curve C.

R


CAS

CAS


integral.

11.


and

12.


and

13. 14.

15.

16.

17.


and

18.


circle

and the ellipse

19.


and

20.


vertices and and

and

Work




21.

22.

23.


and

24.


and

Area


the region





the graph of


integral formulas.


simple closed path

is



Centroid







Area




37.

38.

39. (inner loop)

40.


circle given by



counterclockwise.

xy-

C

C y3 dx 27x x 3 dy,


C 1

C 1 y 3 dx 27x x 3 dy,

r

3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a 1 cos

a b a

b, c ,

a, 0 ,

a, 0 ,

R:

0 x 1

y x,

y x 3

R:

y 0

y a 2 x 2

R:

y 4 x 2

y 0

R:

A

1

2 C r 2 d .

C

y

1

2A

C y 2 dx.

x

1

2A

C x 2 dy,

C

A

y

3t 2

t 3 1

x

3t

t 3 1 ,

R:

y x 2 1

y 5x 3

R:

x 2y 8

3x 2y 0,

x 0,

R:

x 2 y 2 a 2

R:

R.

x 9

y 0,

y x,

C:

F x, y 3x 2 y i 4xy 2 j

0, 5

5, 0 ,

0, 0 ,

C:

F x, y x 32 3y i 6x 5 y j

r

2 cos

C:


x 2 y 2 1

C:

F x, y xyi x y j

C.

2, 2

2, 2,

2, 2 ,

2, 2 ,

1, 1,

1, 1,

1, 1 ,

1, 1 ,

C:

C

3x 2 e y dx

e y dy

x 2 y 2 9

x 2 y 2 1

C:

C

x 3y dx x y dy

y

2 sen

x 3 cos ,

y

6 sen

x 6 cos ,

C:

C


y

x

y

x

C:

C


x 4 2 cos , y 4 sen

C:

C


x 2 y 2 a 2

C:

C

e x cos 2y dx

2e x sen 2y dy

r 1 cos

C:

x 2 y 2 16

C:

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

x 9

y x,

y 0,

C:

C

y 2 dx

xy dy

y 1 x 2 y 0

C:

C

2xy dx x y dy





R


CAS

CAS

r

3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a1 cos

a ≤ b ≤ a

b, c,

a, 0,

a, 0,

R:

0 ≤ x ≤ 1

y x,

y x 3

R:

y 0

y a 2 x 2

R:

y 4 x 2

y 0

R:

A 1 2 C r 2 d.

y 1

2AC

y 2 dx.

x 1

2AC

x 2 dy,

y 3t 2

t 3 1

x

3t

t 3 1 ,

R:


integral.

11.


and

12.


and

13. 14.

15.

16.

17.


and

18.


circle

and the ellipse

19.


and

20.


vertices and and

and

Work




21.

22.

23.


and

24.


and

Area

In Exercises 25–28, use a

the region

25. region bounded by the grap

26. triangle bounded by the gr

27. region bounded by the

28. region inside the loop of th

the graph of

In Exercises 31 and 32, use Gre

integral formulas.

31. The centroid of the region

simple closed path

is

32. The area of a plane region bou


Centroid

In Exercises 33–36, u

and the results of Exercise 31 to




36. triangle with vertices

Area

In Exercises 37– 40, use a

the results of Exercise 32 to find

by the graph of the polar equati

37.

38.

39. (inner loop)

40.

41. (a) Evaluate

circle given by

(b) Find the maximum valu

where

is any closed

counterclockwise.

C

r t

cos

C 1 y 3 dx

27x

r

3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a 1 cos

a b a

R:

R:

R:

R:

A

y

1

2A

x

1

2A

C x 2 dy,

C

y

3t 2

t 3 1

x

3t

t 3 1 ,

R:

y x 2 1

R:

x 2y 8

R:

R:

R.

x 9

y 0,

y x,

C:

F x, y 3x 2 y i 4xy 2 j

0, 5

5, 0 ,

0, 0 ,

C:

F x, y x 32 3y i 6x 5 y j

r

2 cos

C:


x 2 y 2 1

C:

F x, y xyi x y j

C.

2, 2

2, 2,

2, 2 ,

2, 2 ,

1, 1,

1, 1,

1, 1 ,

1, 1 ,

C:

C

3x 2 e y dx

e y dy

x 2 y 2 9

x 2 y 2 1

C:

C

x 3y dx x y dy

y

2 sen

x 3 cos ,

y

6 sen

x 6 cos ,

C:

C


y

x

y

x

C:

C


x 4 2 cos , y 4 sen

C:

C


x 2 y 2 a 2

C:

C

e x cos 2y dx

2e x sen 2y dy

r 1 cos

C:

x 2 y 2 16

C:

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

x 9

y x,

y 0,

C:

C

y 2 dx

xy dy

y 1 x 2 y 0

C:

C

2xy dx x y dy



30. Give the line integral for the

a piecewise smooth simple

WRITING ABOUT CONCE

CAS

CAS


integral.

11.


and

12.


and

13. 14.

15.

16.

17.


and

18.


circle

and the ellipse

19.


and

20.


vertices and and

and

Work




21.

22.

23.


and

24.


and

Area


the region





the graph of


integral formulas.


simple closed path

is



Centroid







Area




37.

38.

39. (inner loop)

40.


circle given by



counterclockwise.

xy-

C

C y3 dx 27x x 3 dy,


C 1

C 1 y 3 dx 27x x 3 dy,

r

3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a 1 cos

a b a

b, c ,

a, 0 ,

a, 0 ,

R:

0 x 1

y x,

y x 3

R:

y 0

y a 2 x 2

R:

y 4 x 2

y 0

R:

A

1

2 C r 2 d .

C

y

1

2A

C y 2 dx.

x

1

2A

C x 2 dy,

C

A

y

3t 2

t 3 1

x

3t

t 3 1 ,

R:

y x 2 1

y 5x 3

R:

x 2y 8

3x 2y 0,

x 0,

R:

x 2 y 2 a 2

R:

R.

x 9

y 0,

y x,

C:

F x, y 3x 2 y i 4xy 2 j

0, 5

5, 0 ,

0, 0 ,

C:

F x, y x 32 3y i 6x 5 y j

r

2 cos

C:


x 2 y 2 1

C:

F x, y xyi x y j

C.

2, 2

2, 2,

2, 2 ,

2, 2 ,

1, 1,

1, 1,

1, 1 ,

1, 1 ,

C:

C

3x 2 e y dx

e y dy

x 2 y 2 9

x 2 y 2 1

C:

C

x 3y dx x y dy

y

2 sen

x 3 cos ,

y

6 sen

x 6 cos ,

C:

C


y

x

y

x

C:

C


x 4 2 cos , y 4 sen

C:

C


x 2 y 2 a 2

C:

C

e x cos 2y dx

2e x sen 2y dy

r 1 cos

C:

x 2 y 2 16

C:

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

x 9

y x,

y 0,

C:

C

y 2 dx

xy dy

y 1 x 2 y 0

C:

C

2xy dx x y dy





R


CAS

CAS

R:

x 2y 8

3x 2y 0,

x 0,

R:

x 2 y 2 a 2

R:

y x,

C:

Fx, y 3x 2 yi 4xy 2 j

C:

Fx, y x 32 3yi 6x 5y j

r 2 cos

C:

Fx, y e x 3yi e y 6xj

x 2 y 2 4

C:

Fx, y xyi x yj

2, 2

2, 2,

2, 2,

2, 2,

1, 1,

1, 1,

1, 1,

1, 1,

C:

C 3x 2 e y dx e y dy

x 2 y 2 9

x 2 y 2 1

C:

y 2 sin

x 3 cos ,

y 6 sin

x 6 cos ,

C:

C


y x

y x

C:

x 4 2 cos , y 4 sin

C:

C 2 arctan y x dx lnx2 y 2 dy

x 2 y 2 a 2

C:

C

e x cos 2y dx 2e x sin 2y dy

r 1 cos

C:

x 2 y 2 a 2

C:

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

x 9

y x,

y 0,

C:

C

y 2 dx xy dy

y 4 x 2

y 0

C:

C 2xy dx x y dy


29. Enunciar el teorema de Green.

30. Dar la integral de línea para el área de una región R acotada

por una curva simple suave a trozos C.

sen

sen

sen

sen

1

16


integral.

11.


and

12.


and

13. 14.

15.

16.

17.


and

18.


circle

and the ellipse

19.


and

20.


vertices and and

and

Work




21.

22.

23.


and

24.


and

Area


the region





the graph of


integral formulas.


simple closed path

is



Centroid







Area




37.

38.

39. (inner loop)

40.


circle given by



counterclockwise.

xy-

C

C y3 dx 27x x 3 dy,


C 1

C 1 y 3 dx 27x x 3 dy,

r

3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a 1 cos

a b a

b, c ,

a, 0 ,

a, 0 ,

R:

0 x 1

y x,

y x 3

R:

y 0

y a 2 x 2

R:

y 4 x 2

y 0

R:

A

1

2 C r 2 d .

C

y

1

2A

C y 2 dx.

x

1

2A

C x 2 dy,

C

A

y

3t 2

t 3 1

x

3t

t 3 1 ,

R:

y x 2 1

y 5x 3

R:

x 2y 8

3x 2y 0,

x 0,

R:

x 2 y 2 a 2

R:

R.

x 9

y 0,

y x,

C:

F x, y 3x 2 y i 4xy 2 j

0, 5

5, 0 ,

0, 0 ,

C:

F x, y x 32 3y i 6x 5 y j

r

2 cos

C:


x 2 y 2 1

C:

F x, y xyi x y j

C.

2, 2

2, 2,

2, 2 ,

2, 2 ,

1, 1,

1, 1,

1, 1 ,

1, 1 ,

C:

C

3x 2 e y dx

e y dy

x 2 y 2 9

x 2 y 2 1

C:

C

x 3y dx x y dy

y

2 sen

x 3 cos ,

y

6 sen

x 6 cos ,

C:

C


y

x

y

x

C:

C


x 4 2 cos , y 4 sen

C:

C


x 2 y 2 a 2

C:

C

e x cos 2y dx

2e x sen 2y dy

r 1 cos

C:

x 2 y 2 16

C:

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

x 9

y x,

y 0,

C:

C

y 2 dx

xy dy

y 1 x 2 y 0

C:

C

2xy dx x y dy





R


CAS

CAS


integral.

11.


and

12.


and

13. 14.

15.

16.

17.


and

18.


circle

and the ellipse

19.


and

20.


vertices and and

and

Work




21.

22.

23.


and

24.


and

Area


the region





the graph of


integral formulas.


simple closed path

is



Centroid







Area




37.

38.

39. (inner loop)

40.


circle given by



counterclockwise.

xy-

C

C y3 dx 27x x 3 dy,


C 1

C 1 y 3 dx 27x x 3 dy,

r

3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a 1 cos

a b a

b, c ,

a, 0 ,

a, 0 ,

R:

0 x 1

y x,

y x 3

R:

y 0

y a 2 x 2

R:

y 4 x 2

y 0

R:

A

1

2 C r 2 d .

C

y

1

2A

C y 2 dx.

x

1

2A

C x 2 dy,

C

A

y

3t 2

t 3 1

x

3t

t 3 1 ,

R:

y x 2 1

y 5x 3

R:

x 2y 8

3x 2y 0,

x 0,

R:

x 2 y 2 a 2

R:

R.

x 9

y 0,

y x,

C:

F x, y 3x 2 y i 4xy 2 j

0, 5

5, 0 ,

0, 0 ,

C:

F x, y x 32 3y i 6x 5 y j

r

2 cos

C:


x 2 y 2 1

C:

F x, y xyi x y j

C.

2, 2

2, 2,

2, 2 ,

2, 2 ,

1, 1,

1, 1,

1, 1 ,

1, 1 ,

C:

C

3x 2 e y dx

e y dy

x 2 y 2 9

x 2 y 2 1

C:

C

x 3y dx x y dy

y

2 sen

x 3 cos ,

y

6 sen

x 6 cos ,

C:

C


y

x

y

x

C:

C


x 4 2 cos , y 4 sen

C:

C


x 2 y 2 a 2

C:

C

e x cos 2y dx

2e x sen 2y dy

r 1 cos

C:

x 2 y 2 16

C:

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

x 9

y x,

y 0,

C:

C

y 2 dx

xy dy

y 1 x 2 y 0

C:

C

2xy dx x y dy





R


CAS

CAS

1


integral.

11.


and

12.


and

13. 14.

15.

16.

17.


and

18.


circle

and the ellipse

19.


and

20.


vertices and and

and

Work




21.

22.

23.


and

24.


and

Area


the region





the graph of


integral formulas.


simple closed path

is



Centroid







Area




37.

38.

39. (inner loop)

40.


circle given by



counterclockwise.

xy-

C

C y3 dx 27x x 3 dy,


C 1

C 1 y 3 dx 27x x 3 dy,

r

3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a 1 cos

a b a

b, c ,

a, 0 ,

a, 0 ,

R:

0 x 1

y x,

y x 3

R:

y 0

y a 2 x 2

R:

y 4 x 2

y 0

R:

A

1

2 C r 2 d .

C

y

1

2A

C y 2 dx.

x

1

2A

C x 2 dy,

C

A

y

3t 2

t 3 1

x

3t

t 3 1 ,

R:

y x 2 1

y 5x 3

R:

x 2y 8

3x 2y 0,

x 0,

R:

x 2 y 2 a 2

R:

R.

x 9

y 0,

y x,

C:

F x, y 3x 2 y i 4xy 2 j

0, 5

5, 0 ,

0, 0 ,

C:

F x, y x 32 3y i 6x 5 y j

r

2 cos

C:


x 2 y 2 1

C:

F x, y xyi x y j

C.

2, 2

2, 2,

2, 2 ,

2, 2 ,

1, 1,

1, 1,

1, 1 ,

1, 1 ,

C:

C

3x 2 e y dx

e y dy

x 2 y 2 9

x 2 y 2 1

C:

C

x 3y dx x y dy

y

2 sen

x 3 cos ,

y

6 sen

x 6 cos ,

C:

C


y

x

y

x

C:

C


x 4 2 cos , y 4 sen

C:

C


x 2 y 2 a 2

C:

C

e x cos 2y dx

2e x sen 2y dy

r 1 cos

C:

x 2 y 2 16

C:

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

x 9

y x,

y 0,

C:

C

y 2 dx

xy dy

y 1 x 2 y 0

C:

C

2xy dx x y dy





R


CAS

CAS


integral.

11.


and

12.


and

13. 14.

15.

16.

17.


and

18.


circle

and the ellipse

19.


and

20.


vertices and and

and

Work




21.

22.

Area


the region





the graph of


integral formulas.


simple closed path

is



Centroid







Area




37.

38.

39. (inner loop)

40.


C 1

C y3 dx 27x x 3 dy,

r

3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a 1 cos

a b a

b, c ,

a, 0 ,

a, 0 ,

R:

0 x 1

y x,

y x 3

R:

y 0

y a 2 x 2

R:

y 4 x 2

y 0

R:

A

1

2 C r 2 d .

C

y

1

2A

C y 2 dx.

x

1

2A

C x 2 dy,

C

A

y

3t 2

t 3 1

x

3t

t 3 1 ,

R:

y x 2 1

y 5x 3

R:

x 2y 8

3x 2y 0,

x 0,

R:

x 2 y 2 a 2

R:

R.

32

r

2 cos

C:


x 2 y 2 1

C:

F x, y xyi x y j

C.

2, 2

2, 2,

2, 2 ,

2, 2 ,

1, 1,

1, 1,

1, 1 ,

1, 1 ,

C:

C

3x 2 e y dx

e y dy

x 2 y 2 9

x 2 y 2 1

C:

C

x 3y dx x y dy

y

2 sen

x 3 cos ,

y

6 sen

x 6 cos ,

C:

C


y

x

y

x

C:

C


x 4 2 cos , y 4 sen

C:

C


x 2 y 2 a 2

C:

C

e x cos 2y dx

2e x sen 2y dy

r 1 cos

C:

x 2 y 2 16

C:

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

x 9

y x,

y 0,

C:

C

y 2 dx

xy dy

y 1 x 2 y 0

C:

C

2xy dx x y dy





R


CAS

CAS

1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1100


integral.

11.


and

12.


and

13. 14.

15.

16.

17.


and

18.


circle

and the ellipse

19.


and

20.


vertices and and

and

Work




21.

22.

23.


and

24.


and

Area


the region





the graph of


integral formulas.


simple closed path

is



Centroid







Area




37.

38.

39. (inner loop)

40.


circle given by



counterclockwise.

xy-

C

C y3 dx 27x x 3 dy,


C 1

C 1 y 3 dx 27x x 3 dy,

r

3

2 cos

r 1 2 cos

r a cos 3

r a 1 cos

a b a

b, c ,

a, 0 ,

a, 0 ,

R:

0 x 1

y x,

y x 3

R:

y 0

y a 2 x 2

R:

y 4 x 2

y 0

R:

A

1

2 C r 2 d .

C

y

1

2A

C y 2 dx.

x

1

2A

C x 2 dy,

C

A

y

3t 2

t 3 1

x

3t

t 3 1 ,

R:

y x 2 1

y 5x 3

R:

x 2y 8

3x 2y 0,

x 0,

R:

x 2 y 2 a 2

R:

R.

x 9

y 0,

y x,

C:

F x, y 3x 2 y i 4xy 2 j

0, 5

5, 0 ,

0, 0 ,

C:

F x, y x 32 3y i 6x 5 y j

r

2 cos

C:


x 2 y 2 1

C:

F x, y xyi x y j

C.

2, 2

2, 2,

2, 2 ,

2, 2 ,

1, 1,

1, 1,

1, 1 ,

1, 1 ,

C:

C

3x 2 e y dx

e y dy

x 2 y 2 9

x 2 y 2 1

C:

C

x 3y dx x y dy

y

2 sen

x 3 cos ,

y

6 sen

x 6 cos ,

C:

C


y

x

y

x

C:

C


x 4 2 cos , y 4 sen

C:

C


x 2 y 2 a 2

C:

C

e x cos 2y dx

2e x sen 2y dy

r 1 cos

C:

x 2 y 2 16

C:

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

C

x 2 y 2 dx 2xy dy

x 9

y x,

y 0,

C:

C

y 2 dx

xy dy

y 1 x 2 y 0

C:

C

2xy dx x y dy





R


CAS

CAS


15.4 Green’s Theorem 1101

45. Pentágono: 0, 0, 2, 0, 3, 2, 1, 4, 1, 1


In Exercises 47 and 48, prove the identity where R is a simply

connected

46. Hexágono:

region

0,

with

0, 2,

boundary

0, 3, 2,

C.

2,

Assume

4, 0, 3,

that

1,

the

1

required

42. Para For each cada given trayectoria path, dada, verify verificar Green’s el Theorem teorema by de showing Green al

partial En los derivatives ejercicios 47 of y the 48, scalar demostrar functions la identidad, f and g are donde continuous.

demostrar that que

R es una

The región expressions simplemente D N fconexa and Dcon N g are frontera the derivatives C. Suponer in que the las

direction derivadas of parciales the outward requeridas normal vector de las Nfunciones of C, and escalares are defined

y ƒ y g

C

2 dx x 2 dy R N

x M

y dA.

by son D N continuas. f f N, Las and expresiones D N g gD N

N. f y D N g son las derivadas en

Para For each cada path, trayectoria, which integral ¿cuál de is las easier integrales to evaluate? es más Explain. fácil evaluar?

(a) C: Explicar. triangle with vertices 0, 0, 4, 0, 4, 4

dirección del vector normal exterior N de C, y se definen por

47. D N

Green’s f ffirst N, identity: y D N g g N.

(b) a) C: C: triángulo circle given con vértices by x (0, 0), (4, 0), (4, 4)

47.

R 2 y 2 1

Primera f identidad de Green:

R 2 g f g dA fD N g ds

b) C: círculo dado por x 2 + y 2 = 1

C

f 2 g f g dA f D N g ds

[Hint: Use the second alternative

C form of Green’s Theorem and

43. Think About It Let

43. Para pensar Sea

the property div f G f div G f G.

[Sugerencia: Utilizar la segunda forma alternativa del teorema

y dx x dy

dx dy

48. Green’s de Green second y la propiedad identity:

I div f G f div G f G.

I

C x C

2 2 y

2 48. Segunda identidad de Green:

R 2

f

donde es una circunferencia orientada en sentido contrario al

de las manecillas del reloj. Mostrar que si C no contiene R 2 g g 2 f dA fD

where is a circle oriented counterclockwise. Show that

N g g D N f ds

C

I 0

C

if C does not contain the origin. What is I I

if 0 C does contain

f 2 g g 2 f dA f D N g g D N f ds

the

C

el origen. origin?

(Hint: Use Green’s first identity, given in Exercise 47, twice.)

¿Cuál es el valor de I si C contiene al origen?

44. (a) Sea Let C el be segmento the line segment de recta joining que une xx 1 , y x Mostrar (Sugerencia: Utilizar la primera identidad de Green, dada en el

1

y, 1 y

1

and x 2 , 2 , yy 2 . 2 . Show 49. Use Green’s Theorem to prove that

que that C y dx x dy x 1 y 2 x 2 y 1 .

ejercicio 47, dos veces.)

(b) Let x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , . . . , x n , y n be the vertices of a 49. Utilizar fx dxel teorema gy dyde Green 0 para demostrar que

polygon. y dxProve x dy that the x 1 yarea 2 enclosed x 2 y 1 . is

C

C

fx dx gy dy 0

1

if

C

f and g are differentiable functions and C is a piecewise

b) Sean 2x 1 y

x 2

1 , y

x 2 1 ,

y 1 x

2 , y

x

2 , 2 .

y 3 .

. ,

x

x 3 y 2 n ,

y

n

. los . . vértices

de un polígono.

Demostrar que el área encerrada es

smooth si ƒ y gsimple son funciones closed path.

x derivables y C es una trayectoria cerrada

n1 y n x n y n1 x n y 1 x 1 y n .

simple suave a trozos.

1

2x 1 y 2 x 2 y 1 x 2 y 3 x 3 y 2 . . . 50. Let F Mi Nj, where M and N have continuous first partial

Area In Exercises 45 and 46, use the result of Exercise 44(b) to 50. derivatives Sea F Mi in a simply Nj, donde connected M y N region tienen primeras R. Prove derivadas that if C parciales

continuas smooth, and en una closed, región andsimplemente N x M y , then conexa R. Demostrar

is

find the area enclosed x n1 y n by xthe n y n1 polygon xwith n y 1 the x 1 given y n .

simple,

vertices.

que si C es cerrada, simple y suave, y N x M y , entonces

45. ÁreaPentagon:

En los 0, ejercicios 0, 2, 0, 45 3, y 46, 2, utilizar 1, 4, 1, el resultado 1 del ejercicio

F dr 0. C

46. 44bHexagon:

para hallar 0, el 0, área 2, 0, encerrada 3, 2, 2, por 4, 0, el polígono 3, 1, 1 cuyos vértices

F dr 0.

se dan.

C


PROYECTO DE TRABAJO

Hyperbolic and Trigonometric Functions

Funciones hiperbólicas y trigonométricas

(a) Sketch the plane curve represented by the vector-valued

function rt cosh ti sinh tj on the interval 0 t 5.

a) Dibujar la curva plana representada por la función vectorial r(t)

Show that the rectangular equation corresponding to rt is the

cosh t i senh t j en el intervalo 0 ≤ t ≤ 5. Mostrar que

hyperbola x 2 y 2 1. Verify your sketch by using a graphing

la ecuación rectangular que corresponde a r(t) es la hipérbola

utility to graph the hyperbola.

x 2 y 2 1. Verificar el dibujo utilizando una herramienta de

(b) graficación Let P cosh para , representar sinh be la hipérbola. the point on the hyperbola

corresponding to r for > 0. Use the formula for area

b) Sea P (cosh , senh ) el punto de la hipérbola correspondiente

a r() para > 0. Utilizar la fórmula para el área

A 1 x dy y dx

2C

A 1 x dy y dx

1

to verify 2C that the area of the region shown in the figure is 2.

(c) Show 1

para verificar that the que area el of área the de indicated la región region mostrada is also en la given figura by es the

2.

integral

c) Mostrar que el área de la región indicada está también dada por

sinh

la integral

A 0

A

sinh senh

1 y 2 coth y dy.

1 y 2 coth y dy.

Confirm 0 your answer in part (b) by numerically approximating

this integral for 2, 4, and 10.

Confirmar la respuesta del inciso b) aproximando esta integral

numéricamente para 2, 4 y 10.

1,

1,

(d) Consider the unit circle given by x 2 y 2 1. Let be the

angle formed by the x-axis and the radius to x, y. The area of

d) Considerar la circunferencia unitaria 1 dada por x 2 y 2 1. Sea

the corresponding sector is

q el ángulo formado por el eje x2.

That is, the trigonometric

y el radio a (x, y). El área del sector

correspondiente es Es decir, las funciones trigonométricas

functions f cos 1 and g sin could have been

defined as the coordinates 2.

of that point cos , sin on the unit

f cos y g sen sin podrían haber 1 sido definidas como

circle that determines a sector of area

las coordenadas del punto cos , sen sin 2.

Write a short paragraph

explaining how you could 1 define the hyperbolic functions

en el círculo unitario que

determina un sector de área 2. Escribir un párrafo breve explicando

cómo definir las funciones hiperbólicas 2 y

in a similar manner, using the “unit hyperbola” x

de una 2 1.

manera

y

similar, utilizando la “hipérbola unitaria” x 2 y 2 1.

y (cosh φ, sinh φ)

(0, 0) (1, 0)

(0, 0) (1, 0)

(cosh φ, senh φ)

x

x


15.5

Superficies paramétricas

■ Comprender la definición y esbozar la gráfica de una superficie paramétrica.

■ Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una superficie.

■ Hallar un vector normal y un plano tangente a una superficie paramétrica.

■ Hallar el área de una superficie paramétrica.

Superficies paramétricas

Ya se sabe representar una curva en el plano o en el espacio mediante un conjunto de ecuaciones

paramétricas o, equivalentemente, por una función vectorial.

rt xti ytj

rt xti ytj ztk

Curva en el plano.

Curva en el espacio.

En esta sección se aprenderá a representar una superficie en el espacio mediante un conjunto

de ecuaciones paramétricas o mediante una función vectorial. Obsérvese que en el

caso de las curvas, la función vectorial r es función de un solo parámetro t. En el caso de

las superficies, la función vectorial es función de dos parámetros u y v.

DEFINICIÓN DE SUPERFICIE PARAMÉTRICA

Sean x, y y z funciones de u y v, continuas en un dominio D del plano uv. Al conjunto

de puntos (x, y, z) dado por

ru, v xu, vi yu, vj zu, vk

se le llama una superficie paramétrica. Las ecuaciones

x xu, v,

y yu, v,

y

z zu, v

son las ecuaciones paramétricas para la superficie.

Superficie paramétrica.

Ecuaciones paramétricas.

Si S es una superficie paramétrica dada por la función vectorial r, entonces S es trazada

por el vector posición r(u, v) a medida que el punto (u, v) se mueve por el dominio D,

como se indica en la figura 15.35.

v

z

D

( u, v)

S

r(u, v)

u

x

y

Figura 15.35

TECNOLOGÍA Algunos sistemas algebraicos por computadora dibujan superficies

paramétricas. Si se tiene acceso a este tipo de software, utilícese para representar gráficamente

algunas de las superficies de los ejemplos y ejercicios de esta sección.

SECCIÓN 15.5 Superficies paramétricas 1103

z

3

EJEMPLO 1 Trazado de una superficie paramétrica

Identificar y dibujar la superficie paramétrica S dada por

ru, v 3 cos ui 3 sen sin uj vk

x

Figura 15.36

4

y

donde 0 ≤ u ≤ 2 y 0 ≤ v ≤ 4.

Solución Como x 3 cos u y y 3 sen sin u, se sabe que en cada punto x, y, z de la

superficie, x y y están relacionados mediante la ecuación x 2 y 2 3 2 . En otras palabras,

cada sección transversal de S, paralela al plano xy, es una circunferencia de radio 3, centrado

en el eje z. Como z v, donde 0 ≤ v ≤ 4, se ve que la superficie es un cilindro

circular recto de altura 4. El radio del cilindro es 3, y el eje z forma el eje del cilindro, como


Como ocurre con las representaciones paramétricas de curvas, las representaciones

paramétricas de superficies no son únicas. Es decir, hay muchos conjuntos de ecuaciones

paramétricas que podrían usarse para representar la superficie mostrada en la figura 15.36.

z

EJEMPLO 2

Trazado de una superficie paramétrica

Identificar y dibujar una superficie paramétrica S dada por

c 3

c 2

ru, v sen

sin u cos vi sen sin u sen sin vj cos uk

donde 0 ≤ u ≤

y 0 ≤ v ≤ 2.

d 1

c 4 c 1 d 2

Solución Para identificar la superficie, se puede tratar de emplear identidades trigonométricas

para eliminar los parámetros. Después de experimentar un poco, se descubre que

x

d 4

d 3

y

x 2 y 2 z 2 sin senu cos v 2 sin senu sin senv 2 cos u 2

sen sin 2 u cos 2 v sen sin 2 usen

sin 2 v cos 2 u

sen

sin 2 ucos 2 v sen

sin 2 v cos 2 u

Figura 15.37

sen

sin 2 u cos 2 u

1.

Así pues, cada punto en S se encuentra en la esfera unitaria o esfera unidad, centrada en el

origen, como se muestra en la figura 15.37. Para u d i , ru, v traza circunferencias de

latitud

x 2 y 2 sen sin 2 d i i ,

0 ≤ d i ≤

paralelos al plano xy, y para

traza semicírculos de longitud (o meridianos).

v c i ,

ru, v

NOTA Para convencerse de que la función vectorial del ejemplo 2 traza toda la esfera unitaria o

esfera unidad, recuérdese que las ecuaciones paramétricas

x

sin sen

cos , y sin sen

sin sen,

y

z

cos

donde 0 ≤ ≤ 2 y 0 ≤ ≤ , describen la conversión de coordenadas esféricas a coordenadas

rectangulares, como se vio en la sección 11.7.

■


Ecuaciones paramétricas para superficies

z

En los ejemplos 1 y 2 se pidió identificar la superficie descrita por un conjunto dado de

ecuaciones paramétricas. El problema inverso, el de asignar un conjunto de ecuaciones

paramétricas a una superficie dada, es generalmente más difícil. Sin embargo, un tipo de

superficie para la que este problema es sencillo, es una superficie dada por z f x, y.

Tal superficie se puede parametrizar como

rx, y xi yj f x, yk.

3

EJEMPLO 3

Representar una superficie paramétricamente

2

Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para el cono dado por

z x 2 y 2

como el que se muestra en la figura 15.38.

−2

1

2

x

Figura 15.38

1

2

y

Solución Como esta superficie está dada en la forma z f x, y, se pueden tomar x y y

como parámetros. Entonces el cono se representa por la función vectorial

rx, y xi yj x 2 y 2 k

donde (x, y) varía sobre todo el plano xy.

Otro tipo de superficie fácil de representar paramétricamente es una superficie de revolución.

Por ejemplo, para representar la superficie generada por revolución de la gráfica

de y f x, a ≤ x ≤ b, en torno al eje x, se utiliza

x u,

y f u cos v,

y

z f u sen sin v

10

x

Figura 15.39

1

z

1

y

donde a ≤ u ≤ b y

EJEMPLO 4

Representación de una superficie de revolución

paramétricamente

Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la superficie de revolución obtenida al

hacer girar

f x 1 x , 0 ≤ v ≤ 2.

1 ≤ x ≤ 10

en torno al eje x.

Solución Utilizar los parámetros u y v como se describió arriba para obtener

x u, y f u cos v 1 cos v, y z f u sen sin v 1 sen

u u sin v

donde 1 ≤ u ≤ 10 y 0 ≤ v ≤ 2. La superficie resultante es una porción de la trompeta

de Gabriel, como se muestra en la figura 15.39.

La superficie de revolución del ejemplo 4 se forma haciendo girar la gráfica de

y f x en torno al eje x. Para otros tipos de superficies de revolución, puede usarse una

parametrización similar. Por ejemplo, para parametrizar la superficie formada por revolución

de la gráfica de x f z en torno al eje z, se puede usar

z u,

x f u cos v,

y y f u sin senv.


Vectores normales y planos tangentes

Sea S una superficie paramétrica dada por


sobre una región abierta D tal que x, y y z tienen derivadas parciales continuas en D. Las

derivadas parciales de r con respecto a u y v están definidas como

r u x

u

u, vi

y

u

z

u, vj u, vk

u

y

r v x

v

u, vi

y

v

z

u, vj u, vk.

v

Cada una de estas derivadas parciales es una función vectorial que puede interpretarse

geométricamente en términos de vectores tangentes. Por ejemplo, si v v 0 se mantiene

constante, entonces ru, v 0 es una función vectorial de un solo parámetro y define una

curva C 1 que se encuentra en la superficie S. El vector tangente a C 1 en el punto xu 0 , v 0 ,

yu 0 , v 0 , zu 0 , v 0 está dado por

N

(x 0 , y 0 , z 0 )

r v

C2

S

x

Figura 15.40

C 1

z

r u

y

r u u 0 , v 0 x

u u 0 , v 0i y

u u 0 , v 0j z

u u 0 , v 0k

como se muestra en la figura 15.40. De manera similar, si u u 0 se mantiene constante,

entonces r(u 0

, v) es una función vectorial de un solo parámetro y define una curva C 2

que

se encuentra en la superficie S. El vector tangente a C 2

en el punto (x(u 0

, v 0

), y(u 0

, v 0

),

z(u 0

, v 0

)) está dado por

r v u 0 , v 0 x

v u 0 , v 0i y

v u 0 , v 0j z

v u 0 , v 0k.

Si el vector normal r u r v no es 0 para todo u, v en D, se dice que la superficie S es

suave y tendrá un plano tangente. De manera informal, una superficie suave es una superficie

que no tiene puntos angulosos o cúspides. Por ejemplo, esferas, elipsoides y paraboloides

son suaves, mientras que el cono del ejemplo 3 no es suave.

VECTOR NORMAL A UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA SUAVE

Sea S una superficie paramétrica suave


definida sobre una región abierta D en el plano uv. Sea u 0 , v 0 un punto en D. Un

vector normal en el punto

x 0 , y 0 , z 0 xu 0 , v 0 , yu 0 , v 0 , zu 0 , v 0

i

x

N r u u 0 , v 0 r v u 0 , v 0 u

x

v

j

y

u

y

v

k

z

u

z

v.

está dado por

NOTA La figura 15.40 muestra el vector normal r u r v . El vector r v r u también es normal a S

y apunta en la dirección opuesta.

■


EJEMPLO 5

Hallar un plano tangente a una superficie paramétrica

7

6

z

(1, 2, 5)

Hallar una ecuación para el plano tangente al paraboloide dado por

ru, v ui vj u 2 v 2 k

en el punto (1, 2, 5).

Solución El punto en el plano uv que es llevado al punto x, y, z 1, 2, 5 es (u, v) =

(1, 2). Las derivadas parciales de r son

r u i 2uk y r v j 2vk.

El vector normal está dado por

i j k

r u r v 1 0 2u 2ui 2vj k

0 1 2v lo cual implica que el vector normal en (1, 2, 5) es r u r v 2i 4j k. Por tanto,

una ecuación del plano tangente en (1, 2, 5) es

−3

−2

−1

2

3

x

1 2 3

y

2x 1 4 y 2 z 5 0

2x 4y z 5.

Figura 15.41

El plano tangente se muestra en la figura 15.41.

Área de una superficie paramétrica

v

D i

Para definir el área de una superficie paramétrica, se puede usar un desarrollo similar al

dado en la sección 14.5. Para empezar se construye una partición interna de D que consiste

en n rectángulos, donde el área del rectángulo i-ésimo D i es A i u i v i , como se muestra

en la figura 15.42. En cada D i sea u i , v i el punto más cercano al origen. En el punto

x i , y i , z i xu i , v i , yu i , v i , zu i , v i de la superficie S, se construye un plano tangente

T i . El área de la porción de S que corresponde a D i , T i , puede ser aproximada por un paralelogramo

en el plano tangente. Es decir, T i S i . Por tanto, la superficie de S está dada

por S i T i . El área del paralelogramo en el plano tangente es

∆v i

u i r u v i r v r u r v u i v i

(u i , v i )

∆u i

u

lo cual conduce a la definición siguiente.

z

ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA

∆v i r v

S

Sea S una superficie paramétrica suave


definida sobre una región abierta D en el plano uv. Si cada punto de la superficie S

corresponde exactamente a un punto del dominio D, entonces el área de la superficie

S está dada por

∆u i r u

Área de la superficie

S dS D r u r v dA

x

Figura 15.42

y

donde

r u x

u i y

u j z

u k

y r v x

v i y

v j z

v k.


Para una superficie S dada por z f x, y, esta fórmula para el área de la superficie corresponde

a la dada en la sección 14.5. Para ver esto, se puede parametrizar la superficie utilizando


rx, y xi yj f x, yk

definida sobre la región R en el plano xy. Utilizando

r x i f x x, yk

y

r y j f y x, yk

se tiene

y

i j k

r x r y 1 0 f x x, f x x, yi f y x, yj k

0 1 f y x,

y r x r y f x x, y 2 f y x, y 2 1. Esto implica que el área de la superficie de

S es


Surface area R r x r y dA

R 1 f xx, y 2 f y x, y 2 dA.

NOTA La superficie del ejemplo 6

no satisface totalmente la hipótesis de

que cada punto de la superficie corresponde

exactamente a un punto de D.

En esta superficie, ru, 0 ru, 2

para todo valor fijo de u. Sin embargo,

como el traslape consiste sólo en un

semicírculo (que no tiene área), se

puede aplicar la fórmula para el área

de una superficie paramétrica. ■

EJEMPLO 6 Hallar el área de una superficie

Hallar el área de la superficie de la esfera unitaria (o esfera unidad) dada por

ru, v sen sin u cos vi sen sin u sen sin vj cos uk

donde el dominio D está dado por 0 ≤ u ≤ y 0 ≤ v ≤ 2.

Solución Para empezar se calcula r u y r v .

r u cos u cos vi cos u sen sin vj sen sin uk

r v sin sen usen

sin vi sen sin u cos vj

El producto vectorial de estos dos vectores es

i j k

r u r v cos u cos v cos u sen sin v sin sen u

sin sen usen sin v sen sin u cos v 0

sen sin 2 u cos vi sen sin 2 u sen sin vj sen sin u cos uk

lo cual implica que

r u r v sin sen 2 u cos v 2 sin sen 2 u sin senv 2 sin senu cos u 2

sin sen 4 u sen sin 2 u cos 2 u

sin sen 2 u

sen sin u. sen u > 0 para 0 £ u £ p.

Por último, el área de la superficie de la esfera es

A D r u r v dA

0

2

2

4.

0 0

sen sin u du dv

2 dv


x

Figura 15.43

EXPLORACIÓN

Para el toro del ejemplo 7, describir

la función ru, v para u fijo.

Después describir la función ru, v

para v fijo.

z

y

EJEMPLO 7


Hallar el área de la superficie del toro dado por

ru, v 2 cos u cos vi 2 cos u sen sin vj sen sin uk

donde el dominio D está dado por 0 ≤ u ≤ 2 y 0 ≤ v ≤ 2. (Ver la figura 15.43.)

Solución Para empezar se calculan r u y r v .

r u sin senu cos vi sen sin u sen sin vj cos uk

r v 2 cos u sen sin vi 2 cos u cos vj

El producto vectorial de estos dos vectores es

i

j k

r u r v sin senu cos v sin sen u sen sin v cos u

2 cos u sen sin v 2 cos u cos v 0

2 cos u cos v cos ui sen sin v cos uj sen sin uk

lo cual implica que

r u r v 2 cos ucos v cos u 2 sin v cos u 2 sin 2 u

2 cos ucos 2 ucos 2 v sen sin 2 v sen sin 2 u

2 cos ucos 2 u sen sin 2 u

2 cos u.

Por último, el área de la superficie del toro es

A D r u r v dA

0

2

0 0

2

82

.

2

4

2 cos u du dv

dv

sen sen 2 sen

Si la superficie S es una superficie de revolución, se puede mostrar que la fórmula para

el área de la superficie, dada en la sección 7.4, es equivalente a la fórmula dada en esta sección.

Por ejemplo, supóngase que f sea una función no negativa tal que sea continua

sobre el intervalo a, b. Sea S la superficie de revolución formada por revolución de la gráfica

de f, donde a ≤ x ≤ b, en torno al eje x. De acuerdo con la sección 7.4, se sabe que

el área de la superficie está dada por

b

Surface area 2


Para representar S paramétricamente, sea x u, y f u cos v, y z f u sin v, donde

a ≤ u ≤ b y 0 ≤ v ≤ 2. Entonces,

ru, v ui f u cos vj f u sen sin vk.

Tratar de mostrar que la fórmula

Surface area D r u r v dA


es equivalente a la fórmula dada arriba (ver ejercicio 58).

a

f x1 fx 2 dx.

f


15.5 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 6, relacionar la función vectorial con su gráfica.

[Las gráficas están marcadas a), b), c), d), e) y f).]

a) b)

c) d)

e) f)

En los ejercicios 7 a 10, hallar la ecuación rectangular de la

superficie por eliminación de los parámetros de la función vectorial.

Identificar la superficie y dibujar su gráfica.


y representar gráficamente la superficie dada por la función

vectorial.

Para pensar

En los ejercicios 17 a 20, determinar cómo la gráfica

de la superficie

difiere de la gráfica de

(ver la figura) donde

y

(No es necesario representar s gráficamente.)

En los ejercicios 21 a 30, hallar una función vectorial cuya gráfica

sea la superficie indicada.

29. La parte del plano interior al cilindro

30. La parte del paraboloide interior al cilindro

x 2 y 2 9

z x 2 y 2 x 2 y 2 9

z 4

y

x

2

−2

−2

2

4

r(u, v)

z

0 v 2 .

0 u 2

u cos vi u sin vj u 2 k

ru, v

su, v

sen

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z

In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with its

graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface

by eliminating the parameters from the vector-valued function.

Identify the surface and sketch its graph.

7.

8.

9.

10.


surface represented by the vector-valued function.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Think About It

In Exercises 17–20, determine how the graph

of the surface

differs from the graph of

(see figure), where

and

(It is not necessary to graph s.)

17.

18.

19.

20.

In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graph

is the indicated surface.

21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide

29. The part of the plane that lies inside the cylinder

30. The part of the paraboloid that lies inside the

cylinder x 2 y 2 9

z x 2 y 2

x 2 y 2 9

z 4

x 2

9

y 2

4

z 2

1

1

z x 2

4x 2 y 2 16

x 2 y 2 25

x 16y 2 z 2

y 4x 2 9z 2

x y z 6

z

y

0 v 2

0 u 2,

s u, v 4u cos vi 4u sen vj u 2 k

0 v 2

0 u 3,

s u, v u cos vi u sen vj u 2 k

0 v 2

0 u 2,

s u, v u cos vi u 2 j u sen vk

0 v 2

0 u 2,


y

x

2

−2

−2

2

4

r(u, v)

z

0 v 2 .

0 u 2

u cos vi u sen vj u 2 k

r u, v

s u, v

0 v 2

0 u

2 ,

r u, v cos 3 u cos vi sen 3 u sen vj uk

0 v 2

0 u ,

r u, v u sen u cos vi 1 cos u sen vj uk

0 v 3

0 u 1,

r u, v 2u cos vi 2u sen vj vk

0 v 2

0 u 2,

r u, v 2 senh u cos vi senh u sen vj cosh uk

0 v 2

0 u 2 ,

r u, v 2 cos v cos ui 4 cos v sen uj sen vk

0 v 2

0 u 1,

r u, v 2u cos vi 2u sen vj u 4 k

r u, v 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk

r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk

r u, v 2u cos vi 2u sen vj

1

2 u 2 k

r u, v ui vj

v

2 k

r u, v 4 cos ui 4 sen uj vk


r u, v

ui

1

4v 3 j

vk

r u, v

ui

1

2 u v j vk

r u, v u cos vi u sen vj uk

r u, v ui vj uvk

y

2

2

2

z

x

y

4 4

4

−4

z

y

2

2

2

z

x

y

4 4

2

z

2

x

y

2

2

−2

−1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z

15.5 Parametric Surfaces 1109


CAS



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

1.

2.

3.

4.

5.

6.




7.

8.

9.

10.



11.

12.

13.

14.

15.

16.

Think About It


of the surface


(see figure), where

and


17.

18.

19.

20.



21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



cylinder x 2 y 2 9

z x 2 y 2

x 2 y 2 9

z 4

x 2

9

y 2

4

z 2

1

1

z x 2

4x 2 y 2 16

x 2 y 2 25

x 16y 2 z 2

y 4x 2 9z 2

x y z 6

z

y

0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 3,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2,


y

x

2

−2

−2

2

4

r(u, v)

z

0 v 2 .

0 u 2


r u, v

s u, v

0 v 2

0 u

2 ,


0 v 2

0 u ,


0 v 3

0 u 1,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2 ,


0 v 2

0 u 1,





1

2 u 2 k

r u, v ui vj

v

2 k



r u, v

ui

1

4v 3 j

vk

r u, v

ui

1

2 u v j vk


r u, v ui vj uvk

y

2

2

2

z

x

y

4 4

4

−4

z

y

2

2

2

z

x

y

4 4

2

z

2

x

y

2

2

−2

−1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



CAS



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

1.

2.

3.

4.

5.

6.




7.

8.

9.

10.



11.

12.

13.

14.

15.

16.

Think About It


of the surface


(see figure), where

and


17.

18.

19.

20.



21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



cylinder x 2 y 2 9

z x 2 y 2

x 2 y 2 9

z 4

x 2

9

y 2

4

z 2

1

1

z x 2

4x 2 y 2 16

x 2 y 2 25

x 16y 2 z 2

y 4x 2 9z 2

x y z 6

z

y

0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 3,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2,


y

x

2

−2

−2

2

4

r(u, v)

z

0 v 2 .

0 u 2


r u, v

s u, v

0 v 2

0 u

2 ,


0 v 2

0 u ,


0 v 3

0 u 1,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2 ,


0 v 2

0 u 1,





1

2 u 2 k

r u, v ui vj

v

2 k



r u, v

ui

1

4v 3 j

vk

r u, v

ui

1

2 u v j vk


r u, v ui vj uvk

y

2

2

2

z

x

y

4 4

4

−4

z

x

y

2

2

2

z

x

y

4 4

2

z

2

x

y

2

2

−2

−1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



CAS



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

1.

2.

3.

4.

5.

6.




7.

8.

9.

10.



11.

12.

13.

14.

15.

16.

Think About It


of the surface


(see figure), where

and


17.

18.

19.

20.



21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



cylinder x 2 y 2 9

z x 2 y 2

x 2 y 2 9

z 4

x 2

9

y 2

4

z 2

1

1

z x 2

4x 2 y 2 16

x 2 y 2 25

x 16y 2 z 2

y 4x 2 9z 2

x y z 6

z

y

0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 3,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2,


y

x

2

−2

−2

2

4

r(u, v)

z

0 v 2 .

0 u 2


r u, v

s u, v

0 v 2

0 u

2 ,


0 v 2

0 u ,


0 v 3

0 u 1,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2 ,


0 v 2

0 u 1,





1

2 u 2 k

r u, v ui vj

v

2 k



r u, v

ui

1

4v 3 j

vk

r u, v

ui

1

2 u v j vk


r u, v ui vj uvk

y

2

2

2

z

x

y

4 4

4

−4

z

y

2

2

2

z

x

y

4 4

2

z

2

x

y

2

2

−2

−1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



CAS



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

1.

2.

3.

4.

5.

6.




7.

8.

9.

10.



11.

12.

13.

14.

15.

16.

Think About It


of the surface


(see figure), where

and


17.

18.

19.

20.



21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



cylinder x 2 y 2 9

z x 2 y 2

x 2 y 2 9

z 4

x 2

9

y 2

4

z 2

1

1

z x 2

4x 2 y 2 16

x 2 y 2 25

x 16y 2 z 2

y 4x 2 9z 2

x y z 6

z

y

0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 3,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2,


y

x

2

−2

−2

2

4

r(u, v)

z

0 v 2 .

0 u 2


r u, v

s u, v

0 v 2

0 u

2 ,


0 v 2

0 u ,


0 v 3

0 u 1,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2 ,


0 v 2

0 u 1,





1

2 u 2 k

r u, v ui vj

v

2 k



r u, v

ui

1

4v 3 j

vk

r u, v

ui

1

2 u v j vk


r u, v ui vj uvk

x

y

2

2

2

z

x

y

4 4

4

−4

z

y

2

2

2

z

x

y

4 4

2

z

2

x

y

2

2

−2

−1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



CAS



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

1.

2.

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7.

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10.



11.

12.

13.

14.

15.

16.

Think About It


of the surface


(see figure), where

and


17.

18.

19.

20.



21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



cylinder x 2 y 2 9

z x 2 y 2

x 2 y 2 9

z 4

x 2

9

y 2

4

z 2

1

1

z x 2

4x 2 y 2 16

x 2 y 2 25

x 16y 2 z 2

y 4x 2 9z 2

x y z 6

z

y

0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 3,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2,


y

x

2

−2

−2

2

4

r(u, v)

z

0 v 2 .

0 u 2


r u, v

s u, v

0 v 2

0 u

2 ,


0 v 2

0 u ,


0 v 3

0 u 1,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2 ,


0 v 2

0 u 1,





1

2 u 2 k

r u, v ui vj

v

2 k



r u, v

ui

1

4v 3 j

vk

r u, v

ui

1

2 u v j vk


r u, v ui vj uvk

y

2

2

2

z

x

y

4 4

4

−4

z

y

2

2

2

z

x

y

4 4

2

z

2

x

y

2

2

−2

−1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



CAS



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

1.

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11.

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16.

Think About It


of the surface


(see figure), where

and


17.

18.

19.

20.



21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



cylinder x 2 y 2 9

z x 2 y 2

x 2 y 2 9

z 4

x 2

9

y 2

4

z 2

1

1

z x 2

4x 2 y 2 16

x 2 y 2 25

x 16y 2 z 2

y 4x 2 9z 2

x y z 6

z

y

0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 3,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2,


y

x

2

−2

−2

2

4

r(u, v)

z

0 v 2 .

0 u 2


r u, v

s u, v

0 v 2

0 u

2 ,


0 v 2

0 u ,


0 v 3

0 u 1,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2 ,


0 v 2

0 u 1,





1

2 u2 k

r u, v ui vj

v

2 k



r u, v

ui

1

4v 3 j

vk

r u, v

ui

1

2 u v j vk


r u, v ui vj uvk

y

2

2

2

z

x

y

4 4

4

−4

z

y

2

2

2

z

x

y

4 4

2

z

2

x

y

2

2

−2

−1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



CAS



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

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16.

Think About It


of the surface


(see figure), where

and


17.

18.

19.

20.



21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



cylinder x 2 y 2 9

z x 2 y 2

x 2 y 2 9

z 4

x 2

9

y 2

4

z 2

1

1

z x 2

4x 2 y 2 16

x 2 y 2 25

x 16y 2 z 2

y 4x 2 9z 2

x y z 6

z

y

0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 3,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2,


y

x

2

−2

−2

2

4

r(u, v)

z

0 v 2 .

0 u 2


r u, v

s u, v

0 v 2

0 u

2 ,


0 v 2

0 u ,


0 v 3

0 u 1,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2 ,


0 v 2

0 u 1,





1

2 u 2 k

r u, v ui vj

v

2 k



r u, v

ui

1

4v 3 j

vk

r u, v

ui

1

2 u v j vk


r u, v ui vj uvk

y

2

2

2

z

x

y

4 4

4

−4

z

y

2

2

2

z

x

y

4 4

2

z

2

x

y

2

2

−2

−1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



CAS



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

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Think About It


of the surface


(see figure), where

and


17.

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19.

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21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



cylinder x 2 y 2 9

z x 2 y 2

x 2 y 2 9

z 4

x 2

9

y 2

4

z 2

1

1

z x 2

4x 2 y 2 16

x 2 y 2 25

x 16y 2 z 2

y 4x 2 9z 2

x y z 6

z

y

0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 3,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2,


y

x

2

−2

−2

2

4

r(u, v)

z

0 v 2 .

0 u 2


r u, v

s u, v

0 v 2

0 u

2 ,


0 v 2

0 u ,


0 v 3

0 u 1,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2 ,


0 v 2

0 u 1,





1

2 u 2 k

r u, v ui vj

v

2 k



r u, v

ui

1

4v 3 j

vk

r u, v

ui

1

2 u v j vk


r u, v ui vj uvk

y

2

2

2

z

x

y

4 4

4

−4

z

y

2

2

2

z

x

y

4 4

2

z

2

x

y

2

2

−2

−1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



CAS



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

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Think About It


of the surface


(see figure), where

and


17.

18.

19.

20.



21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



cylinder x 2 y 2 9

z x 2 y 2

x 2 y 2 9

z 4

x 2

9

y 2

4

z 2

1

1

z x 2

4x 2 y 2 16

x 2 y 2 25

x 16y 2 z 2

y 4x 2 9z 2

x y z 6

z

y

0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 3,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2,


y

x

2

−2

−2

2

4

r(u, v)

z

0 v 2 .

0 u 2


r u, v

s u, v

0 v 2

0 u

2 ,


0 v 2

0 u ,


0 v 3

0 u 1,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2 ,


0 v 2

0 u 1,





1

2 u 2 k

r u, v ui vj

v

2 k



r u, v

ui

1

4v 3 j

vk

r u, v

ui

1

2 u v j vk


r u, v ui vj uvk

y

2

2

2

z

x

y

4 4

4

−4

z

y

2

2

2

z

x

y

4 4

2

z

2

x

y

2

2

−2

−1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



CAS



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

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Think About It


of the surface


(see figure), where

and


17.

18.

19.

20.



21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



cylinder x 2 y 2 9

z x 2 y 2

x 2 y 2 9

z 4

x 2

9

y 2

4

z 2

1

1

z x 2

4x 2 y 2 16

x 2 y 2 25

x 16y 2 z 2

y 4x 2 9z 2

x y z 6

z

y

0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 3,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2,


y

x

2

−2

−2

2

4

r(u, v)

z

0 v 2 .

0 u 2


r u, v

s u, v

0 v 2

0 u

2 ,


0 v 2

0 u ,


0 v 3

0 u 1,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2 ,


0 v 2

0 u 1,





1

2 u 2 k

r u, v ui vj

v

2 k



r u, v

ui

1

4v 3 j

vk

r u, v

ui

1

2 u v j vk


r u, v ui vj uvk

y

2

2

2

z

x

y

4 4

4

−4

z

y

2

2

2

z

x

y

4 4

2

z

2

x

y

2

2

−2

−1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



CAS



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

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Think About It


of the surface


(see figure), where

and


17.

18.

19.

20.



21. El plano

22. El plano

23. El cono

24. El cono

25. El cilindro

26. El cilindro

27. El cilindro

28. El elipsoide



cylinder x 2 y 2 9

z x 2 y 2

x 2 y 2 9

z 4

x 2

9

y 2

4

z 2

1

1

z x 2

4x 2 y 2 16

x 2 y 2 25

x 16y 2 z 2

y 4x 2 9z 2

x y z 6

z

y

0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 3,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2,


y

x

2

−2

−2

2

4

r(u, v)

z

0 v 2 .

0 u 2


r u, v

s u, v

0 v 2

0 u

2 ,


0 v 2

0 u ,


0 v 3

0 u 1,


0 v 2

0 u 2,


0 v 2

0 u 2 ,


0 v 2

0 u 1,





1

2 u 2 k

r u, v ui vj

v

2 k



r u, v

ui

1

4v 3 j

vk

r u, v

ui

1

2 u v j vk


r u, v ui vj uvk

y

2

2

2

z

x

y

4 4

4

−4

z

y

2

2

2

z

x

y

4 4

2

z

2

x

y

2

2

−2

−1

1

1

z

x

y

2

2

2

−2

−2

1

z



CAS


1110 1110 1110 Chapter CAPÍTULO 15 15 Vector Vector 15 Analysis

Análisis vectorial



Surface of Revolution In Exercises 31–34, write a set of Area In Exercises 39– 4


Surface Superficie 1110 of of Revolution

de Chapter revolución 15 In In Exercises Vector En los Analysis ejercicios 31–34, 31–34, write 31 write a 34, a a set dar set parametric of un of con-Arejunto

Surface de equations ecuaciones of Revolution for for the paramétricas the surface In Exercises of of para revolution 31–34, la superficie obtained write de revolving byrevolu-

set of given the given graph Area sobre region. region. of la In the Use región Exercises Use function a computer a dada. 39– about Utilizar 46, algebra the find given un the sistema system area axis. system of algebraico to the to verify surface verify por your results. over your compu-

the

equations AreaÁrea

In In Exercises for En the los 39– surface ejercicios 39– 46, 46, find of find revolution 39 the a the area 46, area hallar of obtained of the the el surface área by de over over la given the superficie the region. Use a com

parametric revolving Surface

ción the obtenida the graph

of

graph

Revolution

por of of the revolución the function In Exercises

de about la about gráfica the the

31–34,

given de given la axis.

write

función axis.

a set of

en tornoresults.

Area In Exercises 39– 46, find the area of the surface over the

parametric equations for the surface of revolution obtained by given tadora region. y verificar Use los computer resultados. algebra system to verify your

parametric Surface of equations Revolutionfor In the Exercises surface of 31–34, revolution write obtained set Función by of given Area region. In Exercises Use a 39– Eje computer 46, de revolución find algebra the area system of the surface to verify 39. over The your the part of the

al Surface revolving eje dado. of the Revolution graph of the In function Exercises about 31–34, the given write axis. a set of Area results. In Exercises 39– 46, find the area of the surface over the

Función revolving parametric the equations graph of for the the function surface Eje Eje de about de revolución of revolution the given obtained axis. by

x39. 39. The results. given 39. The part La region. part parte of of the Use del the plano plane plane computer r(u, r u, r v) vu, algebra v= 4ui 4ui – system vj vj + vk,

to vk, verify where donde where 0your

u 2 y 0 v

parametric equations for the surface of revolution obtained

31. y

by

x

0 u 2 y 0 v 1

31. y

eje x

2 , 0 x 6 0 u 2 y 0 v eje 1 x

x

31. y

eje x

2 , 0 x 6 2 , 0 given x 6 region. Use a computer algebra system to verify your

revolving Función the graph of the function about Eje de the revolución given axis.

results.

revolving 39. The part of the plane u, 4ui vj vk, 40. where

Función the graph of the function Eje about de revolución the given axis.

39. results. The part of the plane r u, v 4ui vj vk, where The part of the parab

40. 40. The La part parte of the del paraboloide rr(u, vv) = 2u cos vi + 2u sen vj

+ u 2 k,

32.

40. The part of the eje

r u, v 2u cos vi 2u sen vj u 2 k, where 0 u

31.

Función

x

eje

y x, 0 x 4

x

32. eje

u 2 k, donde where 0 u 2 y 0 v 2

32. y y x, x, 0 , 0 x x 4 4

Eje de revolución

39. 0The upart 2 yof 0 the v plane 1

u, 4ui vj vk, where

31. y

Función

eje x eje x x

u 2 40. k, where

part 0 of u the 2paraboloid

y 0 v 2u, 2u cos vi 2u

33. eje

41. sen The vj

2 , 0 x 6 Eje de revolución

39. The part of the plane r v 4ui vj vk, where

x sen z, 40. 0 The z part of the paraboloid

z r u, v 2u cos vi 2u sen vj part of the cyli

31. x

eje

33. x sen z, z

eje z

41. 41. The La part parte of del the cilindro ru, r u, vv a cos ui sin a sen uj vk,

33. x 32. sen z, 0 z

eje z

41. The part 2 k, of where the cylinder

r v a cos x, 0 u 2 y 0 v 1

ui a uj vk, where donde0 u 2 a

32.

31. y

x, 0 x 4 eje

eje

x

34. z y 2 40.

1, where where 0

uThe 2 k,

0 y

where of

≤0 u 2

0the paraboloid u

≤u 2 22y

and 0and

eje

≤0 y

2 y 0 vu, 2 2u cos vi 2u sen vj

2 , 0 x 6 sen

40.

v0 ≤vb

v b b

34. 34. z 33. z y 2 y 2 1, 1, 0 y y 2 2 eje eje y

41. The sen z, y

part of the cylinder

u, cos ui sen 42. uj The vk, sphere r u, v

33.

32.

x sen z, z

eje

41. The 2 part of the paraboloid r u, v 2u cos vi 2u sen vj

x, z

k, where

part of the cylinder

r u, a cos ui a sen uj vk,

32. y x, 0 x 4 eje x

42. 42. The 42.

u

Tangent Plane The In sphere where La sphere

2 k,

esfera

where

Exercises r 0

u, r vu, 35–38, vru, u

a sen v a sen

find

and 2

a

y

u cos u sin cos an viu vi equation cos a vi sen a sen u sen a

of u sin vj the

u vj sin cos vj a cos a uk, uk, cos where uk, 0 u an

34. 2 1, Tangent 34.

33. where 0 u 2 and 0 v b

Plane z Plane y 2 In 1, In Exercises 0 y 35–38, 2

eje

41. The part of the cylinder

sen

0 v 2

u, cos

sen

ui

sen

sen z, 35–38, find find an y

sen uj vk,

33. x sen z, 0 z

eje z an equation of of the the where 41.

tangent plane to 42. where The

the donde 0surface 0sphere

part u

u≤of represented and u, the ≤and

0cylinder

y 00 vsen ≤

by vv 2r the

≤cos u, 22

v

vector-valued

vi a cos sen ui sen a vj sen

43. ujcos vk,

The uk,

42. The

where

sphere

r u, v and

a sen u cos vi part of the co

tangent Plano

34. plane plane tangente

Tangent to Plane

2 to the 1, the surface En los represented ejercicios eje by a by 38, the the hallar vector-valued

una ecuación43. 43. The 43.

where

In Exercises 35–38, find an equation function of theat the given The part La part parte

0

point. of of the del

u

the cone cono

2

cone rand

ru,

and

r v u, v

0

v au v

au cos b a sen u sen vj a cos uk,

cos vi vi au au sin sen vj vj uk,

uk, where donde0 u b and

function Tangent

34. z y

para at el at the plano the

Plane

2 1,

given given tangente point.

In

0

point.

Exercises

y 2

35–38,

eje

find

y

an equation of the 42. where The sphere 0 u u, and

0sen vcos vi 2

sen sen

sen vj cos uk,

tangent plane to the surface a la superficie represented dada by por the la función vector-valued vectorial,

Tangent function el Plane at punto the given indicado. In Exercises point. 35–38, find an equation of the

where 42. 43. where The 0 ≤0 sphere

part u ≤u bof ry

and bu, 0the and v≤ 0 vcone

0≤a v sen 2 v 2u u, cos 2

viau cos a sen viu sen au vj sen a

35.

44. vjcos uk,

The tangent Tangent plane Planeto In the Exercises surface represented 35–38, find by an the equation vector-valued of r u, thev u43. vThe where

i part u of v jthe vk, cone

and

1, r u, 1, 1

au cos vi au sen vj uk, torus r u, v a

35. r u, v u v i u v j vk, 1, 1, 1

44. 44.

where

The El torus toro r u, vru, va a b cos b cos vcos ui ui a a b cos b vcos sen vsin uj uj

35. r u, v u v i u v j vk, 1, 1, 1

44. The torus

0

r u, u

v a and and

b cos 0

v cos v

ui 2

function tangent plane at the to given the point. surface represented by the vector-valued 43. a b cos v sen uj b sen vk, where a > b

z where The part 0 of u the b and cone

b sen b sen vk, b vk, sin where vk, where donde a > a b, > a 0b,

> 0b,

z 0 u, v 2 au cos vi au sen vj

sen

uk,

tangent plane to the surface represented by the vector-valued

u 0u≤2 u2 , ≤and

, 2, and 0 y 00v ≤vv2≤22

function 35. ru, v at the z u given

z vi ipoint.

43.

u vj z

z 1, 1, 1

44. The vk, torus

u, cos cos ui cos (1, −1, 1)

45. sen The uj surface of revolu

35.

44. The

where

senpart of the cone r u, v au cos vi au sen vj uk,

torus

r u, v and

a b cos v function r u, vat the ugiven v i point. u v j vk, 1, 1, 1

45. 45.

where

The La surface superficie of de revolución r u, ru, v u cos u vi cos vi u sen u vj sin vj

(1, (1, −1, −1, 1) 1)

45. The 2 surface sen vk, 0

of where u

revolution

b

and

rb,

0

u, v cos

2

v 2 ui a b cos v sen uj

u cos , and vi u sen vj uk, where 0 u 4

35.

z

z

44. b The sen torus vk, where

u, a > b,

0 cos u cos 2 , ui and 0 v cos 2

sen

sen

u, vk, 1, 1, uj

35. r 2 2

uk, uk, where donde 0 0u≤ u4≤and

4 y

0 ≤vv ≤ 2

2 2

uk, 45. where

0surface u of 4revolution

0 v u, 2

(1,

u,

−1,

v

1)

u z v i u v j vk, z 1, 1, 1

44. The torus r u, v a b cos v cos ui cos a vib cos v sen

−2

46. uj

The vj

45. The sen surface of r

46. 46. The La −1

surface

vk, where

of revolution

b,

r u, v and

u cos vi (1, −1, 1) z

z

b superficie of de revolución ru, r u, vv sin sen u u cos cos vi vi uj uj sen u

−2

46. The uk, sen

surface where vk, where

of a > b, and 0 u 2 ,

2

and 0 v 2u sen vj

z

sen u cos vi uj

−1

−2

z 2

(1, 1, 1)

sen u sen vk, where 0

−12

45. uk, The where surface 0 of urevolution

4 and 1 0 u, sen

(1, −1, 1)

2

cos vi sen vj

2

(1, −1, 1)

(1, (1, 1, 1)

2 sen sin 45. sen u sen u sen vk, vk, where donde where 000≤u

uu≤

and y and 00≤ 0v v≤ 22

2

−2

1 1

1)

46. u The surface of revolution

u, y sen cos vi uj

2 2

−1

x 46. The

uk,

sen sin

where

vk, surface of revolution r u, v u cos vi u sen vj

2

2

surface of revolution

and

r u, 2 −2

v sen u cos vi

y y

sen sen vk, where

and

WRITING uj

−1

2

uk, where 0 u 4 and 0 v 2

ABOUT C

(1, 1, 1)

x x

1

2 2

WRITING 2

2

−2

(1, 1, 1)

46. sen The u

Desarrollo ABOUT sen surface vk, where of

CONCEPTS de 0revolution

u and

u, 0 v sen 2

cos vi uj

−1

1

conceptos

2 2 2 −2

y 46. The surface of revolution r u, v sen u cos vi

−2

47. uj Define a parametric

x

−1

y

sen sen y vk, where

and

1 (1, 1, 1)

x −2 −2

47. Define a y y

2 47. Define WRITING sen a u parametric sen vk, ABOUT where surface. 0CONCEPTS

u1

and 0 v 2

2

2

1 (1, 1, 1)

47. Definir una superficie paramétrica.

48. Give the double in

1 1

2 y WRITING ABOUT CONCEPTS

x

2

2

y

2

−2 y

48. 48. Give 47. Give the Define the double double parametric integral that surface.

2

WRITING that yields yields the the surface surface area area of of a a parametric surface o

−2

2 2

47. 48. Define Dar la a integral

ABOUT parametric doble

CONCEPTS

x

2

surface.

y

con las que x se obtiene el área de la

1

2


2

surface over an open region D.

x x

parametric 48. Give surface over an open region D.

Figure for 35 superficie the double de una integral

Figure superficie that

for 36 paramétrica yields the surface sobre una area región of −2

1

2

48.

47.

Give

Define

the parametric

double integral

surface.

y

that yields the surface area of a

−2

47. Define parametric a parametric

Figure Figure for for 35 35 Figure Figure for for 36 36 x

abierta D. surface over surface.

y

1 2

an open region D.

1

48. parametric Give the double surface integral over an that open yields region the D. surface area 49. of Show that the cone in

2 x

36. r u, v ui 48. vj Give uv the k, double 1, 1, integral 1 that yields the surface area of a

49. 49. Show Show that that the the cone cone in Example in 3 can 3 can be be represented parametrically

cos by Show

cally by r u, v u c

36. 36. r u, r vu, Figure

Figura v ui ui

for 35

para vj vj35 uv uv k, k, 1, 1, 1, 1

Figure for 2 36

parametric surface over an open region D.

x

Figure for Figura Figure para for 36 36 37. r u, v 2u cally 49.

49. Mostrar vi

parametric

by r u, r3u that vu, sen que vthe vj

surface

u se

cone cos u puede cos uvi 2 in

k,

over

vi Example

representar u 0,

an u 6,

open vj 4

vj can

el

region

uk, cono

D.

x

be uk, where represented where del 0ejemplo 0 u parametrically

by u, cos vi sen vj uk, where and

and u 3 and de 0 manera

v paramétrica 2 . mediante r(u, v) = u cos vi + u sen vj + uk,

v 2 .

37. 37. r 36. u, r vu, Figure vu, 2u 2u cos for cos ui vi 35vi vj 3u 3u sen sen vj uv vj k, u 2 k, u1, 2 k, 1, Figure 0, 6, 0, 46, for 4 36

0

36. 36.

0

49.

v

Show

z2 that

.

the cone in Example 3 can be represented parametrically

Show by that r the u, vcone u in cos Example vi u sen can vjbe represented uk, where 0parametri-

.

CAPSTONE u and

ru,

rFigure u, v v for

ui

ui35 vj

vj

uv

uv

k,

k,

1,

1,

1,

1, Figure

1 1 for 36

37.

2u z

donde 0 u y 0 v 2p.

zcos vi 3u sen vj 2 k, 0, 6, 49.

37.

36.

u, 2u

ui vj

vi 3u

uv

sen

k,

vj

1, 1,

u 2 k, 0, 6, 4

49. Show that the cone in Example 3 can be represented parametrically

by r u, v u cos vi u sen vj uk, where 0 u and

36. r u, v ui vj uv k, 1, 1, 1

CAPSTONE

0cally 6 vby 2 u, .

cos vi sen vj uk, where and

37.

u, 2u cos z

50. The four figures

6 6

vi 3u sen vj 2 k, 0, 6, 37. r u, v 2u cos viz

3u sen vj u 2 k, 0, 6, 4

5

50. 50. The CAPSTONE Para

The 0four four vdiscusión

figures 2 figures . below below are are graphs graphs of of the the surface

r u, v ui sen u

5 5 6

CAPSTONE

6

z

z

rCAPSTONE

u, 50. r vu, The Las v ui cuatro ui sen sen u cos u cos vj vj sen sen u sen u sen vk, vk,

(0, four 6, 4) figuras figures son below gráficas are de graphs la superficie of the surface

5

50. The four figures below are graphs of the surface 0 u 2, 0

5

6

CAPSTONE

(0, (0, 6, 4) 6, 4)

ru, v ui sen sin u cos vj sen sin u sen sin vk,

6

050. 0 ur The u, u vfour 2, ui 2, figures 0 sen 0 vu cos vbelow 2 vj 2 . . are sen graphs sen vk, of the surface

5

50. The four figures below are graphs of the surface

5 (0, 6, 4)

Match each of the f

(0, 6, 4)

−6 Match Match 0u, ≤ u

each each ≤ ui sen

of of the the

2, 0 ≤ four four vcos ≤ vj

graphs graphs 2. sen sen vk,

with with .

0r u, vu ui 2 ,

2, sen

0

u cos

v

vj

2 the sen

. the point u sen point vk,

space in space from from which the surface is

−6 −6

(0, (0, 6, 6, 4) 4)

(0, 6, 4)

4

2which Match

Relacionar the the surface surface each

cada is of 2, viewed. is the

una four de The graphs las The cuatro four four with points gráficas points the are point are con 10, in 10, el space

punto 0, , 0from

, en el10, 10, 0 , 0, 10

4 2 2

x

2

4 −6

10, Match 0

which

espacio u

10, 10, 0 ,

each

4the 0 desde 0, , surface 10, of 2,

10,

the

0 el , 0 cual and

four 0

, and

graphs

10, 10, 10,

with 10 .

the

.

point in space from

x x −6 2 2

6

is viewed.

se vcontempla 2 .

The four

la superficie.

points are

Los

10, 0,

cuatro

(a) ,

z

2 4 4

which Match the each surface of the

6

(a)

z

(b)

z

6

(a)

z

yis four viewed. graphs The with four the points in are space 10, 0, from 0 ,

4

10, 10, , 0, 10, ,(b)

and 10, 10, 10 . z

x −6

−6

4

2

Match puntos each son (10, of the 0, 0), four (10,10, graphs with 0), (0, the 10, point 0) y in (10, space 10, from 10).

2 y y

which 10, 10, the 0 surface , 0, 10, is 0 viewed. , and The 10, 10, four 10 points . are 10, 0, −6

x

2 4

2

which

1

6

(a)

(b)

z

4

4

the surface z is viewed. The

6 y

38. r u, v 2u cosh (a)

10, 10, 0,

vi 2u senh vjz

10, and 10, four points are z 10, 0, 0 ,

2

1 1

u2 k, 4, (b)

10, 10 z

0, 2

x 4

2 2

4

y

10, 10, 0 , 0, 10, 0 , and 10, 10, 10 .

38. 38. r u, r vu, xv 2u 2u cosh cosh vi vi 2u 2u

2

senh senh vj vj 6 2 u2 2 k, u2 k, 4, 0, 4, 20, 2

(a)

z

(b)

z

4

z

y

6

y

(a)

z

(b)

z

1

38.

u, 2u cosh viz

z2u senh vj y

12 u2 k, 4, 0, y y

38. r u, v 2u cosh vi 2u senh vj 2 u2 k, 4, 0, 2

38.

u, 2u cosh vi 2u senh z

1

vj

x x

y y

z

21

u2 y

k, 4, 0, y

38. r u, v 2u cosh vi 2u senh vj 2 u2 k, 4, 0, 2

4

x

y

4 4 z

y

x

y

x

y

z

y

(−4, 0, 2)

(c)

z

4

x

y

4 (−4, (−4, 0, 2) 0, 2)

2

(c) (c)

z z

x

(d) (d) z z

y

2 2 4

(−4, 0, 2)

4

(c)

z

(d)

z z

2 (−4, 0, 2)

(c)

z

(d)

z

2 (−4, 0, 2)

x

6 4 2

−2 −4 −6

(c)

z

(d)

z

x x

2

6 4 2

−2 −4 −6

6 4 2

−2 (−4,

(−4,

−40, 0,

2)

2) −6

(c) 4 z

(d)

z

4 4

2

y

y y

x

6 4 2 y y

−2 −4 −6

x

6 4 2 4 −2 −4 −6

x

y y

x

4

y

6 4 2

y −2 −4 −6

x

4 y

4

2

−2 −4 −6

y

6

−2 −4 −6

4

y

y

y

0 v 2 . (It is not necessary to graph s.)

x

2

(a)

z

(b)

z

y

2

−2

−2

2

14. r u,

4

z

x

4 4

−4

2

2

y

2

4 4

2 y

17. s0

u, v

2

y

y

x

2 4 x

2 1


15. 0r u,

y

1

2


2

−2

−4

2

17. s u, v u cos vi 15.5 u sen vj Parametric u 2 −2

y

y

18. s0

−1

u, v

4 4

−2 2 r(u, v) k Surfaces1

y

x

1111

(e) x z

(f)

z

1. r u, v ui vj uvk

15.5 Parametric 2

2 Surfaces 111116.

0r u,

Esfera asteroidal Una ecuación de una esfera asteroidal en x, 57. 0Representar u 2, gráficamente 0 v 2

x

51. Astroidal Sphere An equation of an astroidal sphere in x, y, 57. y hallar el área de una vuelta comple-

u, de v la rampa u cos vi en espiral u 2 19. s

2. Graph r u, v and u find cos the vi area u sen of vj one turn uk of the spiral ramp

yand y z zes

is

18. sta 2

−2

−2 j u sen vk

0 u, v

51. Astroidal 4

1

Sphere An equation of an astroidal sphere in x, y, 57. Graph and u find cos the vi area u sen of vj one turn 2vkof the spiral ramp

1. r

x 2 u, 51. 3 v Astroidal

y 2 ui 3 z

vjSphere 2 3 uvk An equation of an astroidal sphere in x, y, 3. r u, 57. v Graph ui and

a 2 3 2 ufind vthe j area vkof one turn of the spiral ramp

0

and z is

.

0ru, uv 2,

u cos 0 vi v u sin 2

y vj 2vk

2. r Abajo A graph se of presenta an astroidal una gráfica sphere de is una shown esfera below. asteroidal. Show that Mostrar this

donde u, 0 cos u vi3

y

0 sen vvj 22vk

.

x 23 u, v

y u cos vi

z 2 3 u sen

a 23 vj uk

x

2 2 1

and z is

(c)

z

4. r u, v ui

.

19. s u, v u cos vi

4v 3 sen

j vk (d)

z

2

r u, v u cos u sen vi vju sen u 2 kvj 2vk

20. Think s u, Ab v

−4 x 23 y1

23 z 2 3 a 23 .

2

5. rdonde

u, v 0 ≤2 cos u ≤v 3, cos y 0ui ≤ v2 ≤cos 2. v sen uj 2 sen vk

of the

3. rque surface u, vesta can superficie ui be represented puede representarse parametrically paramétricamente by

por 58. Let f be a nonnegative function such that f is continuous over

A graph of an astroidal

2 u v j vk

0 s

y

y

sphere is shown below. Show that this 17. s0 donde u, vu 0 u 3, cos u vi3

yv u 0 sen 2 vj 2 u

58. Sea f una función no negativa tal 2 2

4 4

2

.

A graph 1of an astroidal sphere is shown below. Show that this

donde 0 u 3 y 0 vk

que

2 .

es continua en el intervalo

u,

4. rmedio de

the interval a, b . Let S be the surface of revolution formed by

surface u, v

can ui a be senrepresented 4v 3 u 3 6. r u, v 4 cos ui 4 sen uj vk

u cos vi

x

jcos 3 vk

surface can be represented

vi parametrically a sen 3 parametrically

u sen 3 vj by a

by

cos 3 uk 20. 58. s0 Let

revolving

58. vf

ube a, Let a

b. 4u 2, nonnegative

the

f cos be Sea 0

graph

a vi Snonnegative vla 4u superficie

function 2sen vj

of f, where

function such

de u 2 krevolución that

a x

such f is

b,

that continuous

about formada f is

the

continuous por

over

x-axis.

revolución

overIn 0 Exerc v

5. r donde u, v 0 2 a cos sen u 3 v u cos cos yui 3 0vi 2 v cos a sen 2 v 3 sen . u sen uj 3 vj2 sen a vk cos 3 uk

the interval

de

a,

la

b

gráfica

. Let S

de

be

f,

the

donde

surface

a ≤

of

x

revolution

≤ b, en torno

formed

al eje

by

18. In Exercises s0 Let u, vx u u, u 7– 2, ycos 10, 0vi f

find

u v cos uthe 2 j2v,

rectangular y

and u sen z vkfusen equation

v, where

for the

a

surfacex.

is the ind

r u, v a sen 3 u cos 3 vi a sen 3 u sen 3 vj a cos 3 uk

u b

z

revolving x

4the interval a, 4 b . Let S be the surface of revolution formed by

Sea x u,

the

and y

graph

f u of

Then, cos

f,

v,

where

y is z

a

represented f usin

x

v,

b,

donde

about

parametrically a

the

≤

x-

u

axis.

6. 1.

rdonde

u, v 0 ui 4 cos u vj ui yuvk

40 sen uj v 2 vk

by eliminating

0

revolving

v

the

2

parameters the

.

graph

S

of from f, where the

.

≤ by b y

In Exercises

0Let 0 ≤

xu v ≤

u, 21–30,

2,

2.

y 0

Entonces,

f find u vcos a

2

vector-valued a 2 x b, about function.

2

the x-axis.

donde 0 u y 0 v 2 .

vector-valued v,

S

and

se

z

representa

fusen function paramétricamente

v, where whose a graph u y

Show that the mediante

b 21. El pl

Identify

r u, the Let surface

ui

x

fu

u, and y

cos

sketch f

vj

u cos

fu

its v, graph. and z

vk.

fusen v, where a u b 4

z

In

2.

Exercises

r u, v

7–

u cos

10,

vi z

find the

u sen

rectangular

vj uk

equation for the surface is 19. the sand following

u, indicated v0 and ru,

u v cos

formulas v 0surface.

2 viv ui

. Then,

are

u 2 sen

fequivalent.

u . vj SThen, cos

is

vj

urepresented 2 Sk

is f u represented sin

parametrically

vk. Mostrar parametrically que

by

las by22. El pl

1

by 3. eliminating r u, v uithe fórmulas

u, ui

siguientes

fu cos

son

vj

equivalentes.

fu sen vk. Show that the

2parameters u v j from vk the vector-valued function.

21.

7. 0

El

r u, u

b

following plano

v r u, 3,

z

v 0

formulas y

vj

v

v

fu 2

23. El co

Identify the surface

1

4. r u, v ui

are equivalent. b

4v and

Surface area 2 fx 1 f x


a

2

3 sketch its graph.

2 k cos vj fu sen vk. Show that the

j vk

20.

(e)

s u, v following z

4u cos vi formulas 4u sen are vjequivalent.

(f)

u

22. El plano x y z f x1 2 dx

b 6

2 z

1

k

fx 2 24. El co

8. r u, v 2u cos vi 2u sen bvj

dx

5. r u, v 2 cos v cos vui a

7.

u, ui vj y

23. El Surface cono area y 4x 2 2 9z fx

x

Surface area r


D

D 1 f x 2 dx

2 k

2 cos v sen uj 2 sen vk

2 u 2 k

0 u 2, 0 v 2

25. −2 El ci

9. r u, v Surface 4

2 cos area ui vj2

2 sen fxuk

1 f x 2 dx

6. r u, v 4 cos ui 4 sen uj vk

a u r v dA

y

24. El cono x 16y r u r v dA

8.

2 z 2 a

1


26. El ci

r x u, v 2u cos vi 2u sen vj 2 u 2 10. r u, v 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk

x

2

y

k

In Exercises x 7– 10, find the rectangular equation for the surface is the Surface indicated area surface. r u r v dA 2

CAS 25. 59. El −4

Open-Ended cilindro

Surface

x Project D

9.

2 area

y 2 25

r

The parametric u r v dA

2

27. El ci

equations

by eliminating r u, v 2 the cos parameters ui vj 2 from sen ukthe vector-valued function. CAS In 59. Exercises Proyecto 11–16, abiertouse Las a computer ecuaciones y

4 4 D algebra paramétricas system to graph y the 17. s u, v

CAS 26. 21.

59. Open-Ended cilindro 4x

10.

x 3 uProject 2 y

7 2 cosThe 16

Identify r u, vthe surface 3 cos v and cos ui sketch 3 cos its graph. v sen uj 5 sen vk

surface El plano represented z y by the 3u vector-valued parametric 2v 2 cos equations function. 3u v

28. El el

CAS

CAS 52. Use a computer algebra system to graph three views of the x

59. x

Open-Ended

sin u7 cos3u

Project

The

2v

parametric cos3u

equations

27. 22. El cilindro plano xsen

v

0

z y x 2 z 6

Utilizar

graph of

un

the

sistema

vector-valued

algebraico

function

xy 3 sen cos u 7 cos 3u 2v 2 cos 3u v

CAS

In 52. Exercises Use a computer 11–16, use algebra a v

7. r u, v ui vj

computer system por algebra to computadora graph system three to views y graph representar of the

23. El y cono

3 y cos xu7 cos3u 2v 2 cos3u v

surface graph gráficamente r u, represented vof the u cos vector-valued tres vi by perspectivas the u sen vector-valued vj function de vk, la gráfica 0 function. u de la , función 0 vvecto-

rial

28. El yz elipsoide

2 4x 2 y 2 9zz 22

2 k

11. r u, v x 2u 3 cos sen vi u 72u sen cos vj3u u 4 k2v 2 cos 3u v

29. 18. The s u, v

CAS 52. Use a computer algebra system to graph three views of the

1. 0r u, 3sen vu 3u cos 1, ui u02v 7vj vcos uvk 2 sen 3u 2 3u1

x

2v v 2 cos 3u v

0

2

graph of the vector-valued function

y 3

z sin3u

9 cos

24. El cono x 2v 16y 4

2 sin3u

1

v

8.

2 u 7

z 2 cos 3u 2v 2 cos 3u v

1


11.

z

from u, the points 2u u cos vi vi 10, 0, u 2u sen 0 sen , vj0, vj

2

0, vk, 10 u 4 u

, k

2 k

12.

r u, sen

0and

u 10, 10, , 100 . v 29. The where sen v

part 3u2 u cos

of the 2vv vicos u sen

u plane 2 ui vj

and sen 43ucos uk v

that sen uj sen vk

30. 19. The s u, v

r u, v u cos vi u sen vj vk, 0 u , 0 v 25. El

z 4 v lies , represent inside the the cylinder surface

ru, v u vi u sin vj vk, 0 ≤ u ≤ , 0 ≤ v ≤

xshown donde

cilindro z sen x

9.

below.

≤ 2 3u

Try

u ≤

to create

y

your

≤ v

own

≤ ,

parametric

representan

surface

la superficie

using

CAS 53. from Investigation the points Use 10, 0, a 0 computer , 0, 0, 10 algebra , and 10, system 10, to . graph the where 2 y 2 1y 2 2v 25 2 sen 3u v

cylin

r v 2 cos ui vj

0 u 1, 0 v sen 2 sen uk

3. 0r u, vu 2 ui

2

9 ,

26. El

a

mostrada cilindro

computer

en 4x

algebra

la u figura. and

system.

Tratar de crear v una , represent superficie the paramétrica

propia below. of the

surface

10.

12.

desde torus u, 30. The

53. Investigation los 2 puntos cos cos

Use (10, ui

a 0, computer 0), 4 (0, cos 0, algebra 10) sen uj y (10, sen

system 10, vk10).

shown part

to graph the

utilizando Try paraboloid to create un sistema your z

algebraico own x parametric that lies

por computadora. surface inside using the

CAS

cylinder a computer x algebra system.

53. torus Investigación r u, v a b Utilizar cos cos un ui sistema algebraico por computadora

y representar gráficamente el toro

r u, v a b cos v cos sen uj ui b sen vk

ru, v a v cos ui

for each set a of b cos values v sen of uja

and b sen b, vk where 0 u 2 and

v a 2 .

Use b cos the v results sin uj to b describe sin vk the effects of a and b

for each set of values of a and b, where 0 u 2 and

para

on the

cada

shape

conjunto

of the torus.

0 v . Use the de results valores to describe a y b, the donde effects 0 ≤of

ua≤ and 2by

on (a) ≤the av shape ≤ 4, 2. of bUtilizar the 1 torus. los resultados (b) a 4, para b describir 2 los efectos de

(a) a(c)

y ab en 4, la 8, forma b 1del toro. (b) (d) a 4, 8, b 23

54. (c) a) Investigation a 4, 8, bConsider 1 (d) b) the function a 4, 8, in bExercise 23

14.

54. c) Investigation (a) aSketch 8, a bgraph Consider 1 of the the d)

afunction 8, where bin Exercise u3

held 14. constant at

54. Investigación u 1. Identify Considerar the graph.

(a) a graph of the function la función where del ejercicio u is held 14. constant at CAS 60. Möbius Strip The surface shown in the figure is called a

a) (b) Dibujar uSketch 1. Identify una a graph gráfica the of the graph. la function función where donde vu is se held mantenga constant constante

v en 2 u3.

Identify 1. Identificar the graph.

at

60. Möbius Banda de strip Möbius and can La be represented superficie mostrada by the parametric en la figura equations se llama

(b) Sketch a graph of the function la gráfica.

CAS 60. Möbius Strip The surface shown in the figure is called a

where v is held constant at banda de Möbius y puede representarse mediante las ecuaciones

paramétricas y a u cos z u sen

Möbius

b) (c) Dibujar Assume una that Identify gráfica a surface the la is graph. función represented donde by v se the mantenga vector-valued constante

function en v 23. Identificar What generalization la gráfica. can you make

c) Suponer

about the

que

graph

una

of

superficie

the function

está representada

if one of the

por

parameters

la función

is where x

y 2

20 u vv j 2 vk

0

1 y 2 16

r u, v from 3 cos the v points cos ui 10, 30, cos 0 , v sen 0, 0, uj10 , 5 and sen vk 10, 10, 10 . 4. r u, v where ui 4v 3 j u vk and v , represent the surface

2 y 2

20. s u, v

27. El cilindro shown 2 z below.

y 2 x 2 Try to create your own parametric surface using

CAS 53. Investigation Use a computer algebra system to graph the 5. r u, v 2 cos v cos 9 ui 2 cos v sen uj 2 sen vk

CAS In Exercises 0 u 11–16, 2 , 0use a v computer 2

system to graph the

a computer

x


28. El elipsoide

2 algebra

y 2 z 2 system.

0

torus

6. r u, v 4 cos ui 4 sen uj 1 vk

9 4 1

In Exerc

r u, v a b cos v cos ui

11. r v 2u cos vi 2u sen vj u 4 k

29. In Exercises The part 7– of 10, the find plane the rectangular z 4 that lies equation inside for the the cylinder surface is the ind

a b cos v sen uj b sen vk

by eliminating

0 u 1, 0 v 2

x 2 y 2 9the parameters from the vector-valued function.

sen sen

21. El p

for each set of values of a and b, where 0 u 2 and


12. r u, v 2 cos v cos ui 4 cos v sen uj sen vk

30. The part of the paraboloid z x 2 y 2 that lies inside the 22. El p

0 v 2 . Use the results to describe the effects of a and b cylinder x 2 y 2 9 v

0 u on 2 the , shape 0 of v the 2torus.

7. r u, v ui vj

23. El co

2 k

(a) a 4, b 1 (b) a 4, b 2

1

24. El co

8. r u, v 2u cos vi 2u sen vj 2 u 2 k

(c) a 8, b 1 (d) a 8, b 3

25. El ci

9. r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk

54. Investigation Consider the function in Exercise 14.

26. El ci

10. r u, v 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk

(a) Sketch a graph of the function where u is held constant at

27. El ci

u 1. Identify the graph.

CAS In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph the

surface CAS 60. represented Möbius Strip x a strip u cos and v by the The vector-valued surface shown function. in the figure is called a

can v sen v,

v 28. El el

(b) Sketch a graph of the function where v is held constant at

2 cos be v, represented by the parametric equations

v 2 3.

Möbius strip and can be represented by the parametric equations

v 2 3. Identify the graph.

r r u, v .

11. r u, v 2u cos 2 2

(c) Assume that a surface is represented by the vector-valued x a

function

What generalization can you make

a 1 u u cos v vi 2u sen vj u 4 k

cos u v 1,

z u sin

2 cos 0 v, y a u cos

v v 2 a ,

and u cos a

2 v sen v, z u sen v 29. The

(c) Assume that a surface is represented by the vector-valued 0 u 1, 02 v v, 2

r r u, v .

x a u cos v y a 2 u cos v sin 3. v,

sen v, z

Try to graph 2

v u sen v x 2

2

vectorial

held constant?

function

What generalization can you make

2 cos v, sen2 sen

r r u, v .

2

about the rgraph ru, of v. the ¿Qué function generalización if one of the se parameters puede hacer is 12. other r u, vMöbius 2 cos strips v cos for ui different 4 cos v values sen ujof

asen using vk a computer

30. The

about the graph of the function if one of the parameters is where

55. Surface donde 1

1

≤

u ≤

1,

1,

0

≤ v

≤ 2,

2 ,

y

and

a

a

3. Trate

3. Try

de representar

to graph

acerca held constant? Area de la gráfica The surface de la función of the dome si uno on de a los new parámetros museum is se algebra

where

system.

1 u 1, 0 v 2 , and a 3. Try to graph cylin

held constant?

other 0 u

given gráficamente

Möbius other

2

Möbius

, strips 0

otra banda

for strips

v different 2

de for Möbius different values

para

of values diferentes

a using of a

valores using computer a de computer a

mantiene by constante?

z

55. Surface 55. Surface Area Area The surface The surface of the dome of the on dome a new on museum a new museum is is algebra

utilizando algebra system.

un sistema system. algebraico por computadora.

55. given Área r u, vde by given la 20 superficie sen by u cos viLa superficie 20 sen u sen de vj la cúpula 20 cos de ukun museo

z z

2

está dada por

rwhere

u, v 0r u, 20 vu sen u 20 cos 3, sen vi 0u cos v20 vi sen 2 u 20 , sen and sen vj ru is sen in 20 vj meters. cos uk 20 Find cos uk the

2

ru, surface v area 20 sen sin of the u cos dome. vi 20 sen sin u sen sin vj 20 cos uk

−3

2

where 0where

u 0 u3,

0 3, v 0 2 v,

and 2 r is , and in meters. r is in meters. Find theFind the

56. surface donde Find a 0vector-valued area ≤ uof ≤the 3 dome. , function 0 ≤ v ≤for 2the y rhyperboloid

−3

surface area of the dome. está en metros. Hallar el

−3

−4

−1

56. Find área de la superficie de la cúpula.

x

2 1

x 2 56. a y 2 vector-valued Find z 2 a vector-valued 1 function function for the for hyperboloid the hyperboloid

4

−4 −4

56. Hallar una función vectorial para el hiperboloide

−1

and determine the tangent plane at 1, 0, 0 .

x

2 1

x 2 y 2 z 2 −1

1

3

x 2 y 2 z 2 4 x

2 1

x 2 y 2 z 2 1

4

1


−2


3

y3

y determinar el plano tangente en 1, 0, 0.

−2 −2

y y

f


15.6

Integrales de superficie

■ Evaluar una integral de superficie como una integral doble.

■ Evaluar integrales de superficie sobre superficies paramétricas.

■ Determinar la orientación de una superficie.

■ Comprender el concepto de integral de flujo.

S: z = g(x, y)

(x i

, y i

, z i

)

z

Integrales de superficie

El resto de este capítulo se ocupa principalmente de integrales de superficie. Primero se

considerarán superficies dadas por z gx, y. Más adelante, en esta sección, se considerarán

superficies más generales dadas en forma paramétrica.

Sea S una superficie dada por z gx, y y sea R su proyección sobre el plano xy,

como se muestra en la figura 15.44. Supóngase que g, g x

y g y

son continuas en todos los

puntos de R y que ƒ está definida en S. Empleando el procedimiento usado para hallar el

área de una superficie en la sección 14.5, se evalúa ƒ en (x i

, y i

, z i

) y se forma la suma

n

fx i , y i , z i S i

i1

x

(x i

, y i

)

R

La función escalar f asigna un número a

cada punto de S

Figura 15.44

y

donde S i 1 g x x i , y i 2 g y x i , y i 2 A i . Siempre que el límite de la suma

anterior cuando tiende a 0 exista, la integral de superficie de ƒ sobre S se define

como

S fx, y, z dS lím lim

→0 n

fx i , y i , z i S i .

i1

Esta integral se puede evaluar mediante una integral doble.

TEOREMA 15.10

EVALUACIÓN DE UNA INTEGRAL DE SUPERFICIE

Sea S una superficie cuya ecuación es z gx, y y sea R su proyección sobre el

plano xy. Si g, g x

y g y

son continuas en R y ƒ es continua en S, entonces la integral

de superficie de ƒ sobre S es

S fx, y, z dS R fx, y, gx, y1 g x x, y 2 g y x, y 2 dA.

Para superficies descritas por funciones de x y z (o de y y z), al teorema 15.10 se le

pueden hacer los ajustes siguientes. Si S es la gráfica de y gx, z y R es su proyección

sobre el plano xz, entonces,

S fx, y, z dS R fx, gx, z, z1 g x x, z 2 g z x, z 2 dA.

Si S es la gráfica de x g y, z y R es su proyección sobre el plano yz, entonces

S fx, y, z dS R fg y, z, y, z1 g y y, z 2 g z y, z 2 dA.

Si fx, y, z 1, la integral de superficie sobre S da el área de la superficie de S. Por ejemplo,

supóngase que la superficie S es el plano dado por z x, donde 0 ≤ x ≤ 1 y

0 ≤ y ≤ 1. El área de la superficie de S es 2 unidades cuadradas. Trátese de verificar

que S f x, y, z dS 2.

SECCIÓN 15.6 Integrales de superficie 1113

EJEMPLO 1

Evaluación de una integral de superficie

Evaluar la integral de superficie

S y 2 2yz dS

donde S es la porción del plano 2x y 2z 6. que se encuentra en el primer octante.

Solución Para empezar se escribe S como

z 1 2 6 2x y

gx, y 1 6 2x y.

2

Usando las derivadas parciales g y g y x, y 1 x x, y 1

2, se puede escribir

1 g x x, y 2 g y x, y 2 1 1 1 4 3 2 .

Utilizando la figura 15.45 y el teorema 15.10, se obtiene

x

(0, 0, 3)

(3, 0, 0)

z

Figura 15.45

S

y = 2(3 − x)

z = 1 (6 − 2x − y)

2

(0, 6, 0)

y

S y 2 2yz dS R fx, y, gx, y1 g x x, y 2 g y x, y 2 dA

R y 2 2y

1

2 6 2x y 3 2 dA

3

30

0

3

6

0

3 2 3 x4 3 0

243

2 .

23x

3 x 3 dx

y3 x dy dx

Una solución alternativa para el ejemplo 1 sería proyectar S sobre el plano yz, como

se muestra en la figura 15.46. Entonces, x 1 26 y 2z, y

1 g y y, z 2 g z y, z 2 1 1 4 1 3 2 .

Por tanto, la integral de superficie es

x

(0, 0, 3)

(3, 0, 0)

z

S

z = 6 − y

2

x = 1 (6 − y − 2z)

2

(0, 6, 0)

y

S y 2 2yz dS R fg y, z, y, z1 g y y, z 2 g z y, z 2 dA

6 6y2

y

0

2 2yz

3

dz dy

2

0

8

3 6

36y y 3 dy

0

243

2 .

Figura 15.46

Trátese de resolver el ejemplo 1 proyectando S sobre el plano xz.


En el ejemplo 1 se podría haber proyectado la superficie S en cualquiera de los tres

planos de coordenadas. En el ejemplo 2, S es una porción de un cilindro centrado en el eje

x, y puede ser proyectado en el plano xz o en el plano xy.

EJEMPLO 2


3

z

R: 0 ≤ x ≤ 4

0 ≤ y ≤ 3

Evaluar la integral de superficie

S x z dS

4

x

1

2

3 3

Figura 15.47

S: y 2 + z 2 = 9

y

donde S es la porción del cilindro y 2 z 2 9 que se encuentra en el primer octante, entre

x 0 y x 4, como se muestra en la figura 15.47.

Solución Se proyecta S sobre el plano xy, de manera que y se

obtiene

1 g x x, y 2 g y x, y 2 1

y

9 y 2 2 z gx, y 9 y 2 ,

El teorema 15.10 no se puede aplicar directamente porque g y no es continua en y 3. Sin

embargo, se puede aplicar el teorema para 0 ≤ b < 3 y después tomar el límite cuando b

se aproxima a 3, como sigue.

S

b 4

3

x z dS lím lim x 9 y

b→3

0

2 dx dy

2

0 9 y

b 4

lim 3 x

lím

b→3

0

0 9 y 1 dx dy

2

b

lim 3 x 2

b→3 0 29 y x 4 lím

dy

2 0

b

lim 3 8

lím

b→3 9 y 4 dy

2

lím lim

b→3 3 4y 8 arcsin y 3 b 0

lím lim

0

3

b→3

4b 8 arcsen arcsin 3

b

36 24

2

36 12

3

9 y 2 .

arcsen

TECNOLOGÍA Algunos sistemas algebraicos por computadora evalúan integrales

impropias. Si se tiene acceso a uno de estos programas, utilícese para evaluar la integral

impropia

3

00

4

3

x 9 y 2 dx dy.

9 y2 ¿Se obtiene el mismo resultado que en el ejemplo 2?


Se ha visto que si la función ƒ definida sobre la superficie S es simplemente

fx, y, z 1, la integral de superficie da el área de la superficie S.

Área de Area la superficie of surface S 1 dS

Por otro lado, si S es una lámina de densidad variable y x, y, z es la densidad en el punto

x, y, z, entonces la masa de la lámina está dada por

Masa Mass de of la lamina lámina S x, y, z dS.

EJEMPLO 3

Hallar la masa de una lámina bidimensional

x

2

1

Figura 15.48

4

3

2

1

z

1

R: x 2 + y 2 = 4

Cono:

z = 4 − 2 x 2 + y 2

2

y

Una lámina bidimensional S en forma de cono está dada por

z 4 2x 2 y 2 ,

como se muestra en la figura 15.48. En todo punto de S, la densidad es proporcional a la

distancia entre el punto y el eje z. Hallar la masa m de la lámina.

Solución

Al proyectar S sobre el plano xy se obtiene

S: z 4 2x 2 y 2 gx, y,

R: x 2 y 2 ≤ 4

con densidad x, y, z kx 2 y 2 . Usando una integral de superficie, se halla que es

m S x, y, z dS

R kx 2 y 2 1 g x x, y 2 g y x, y 2 dA

kR x2 y 2 1

kR 5x2 y 2 dA

k

2

2

0

5rr dr d

0

5k

3

r 3 2

0 0

85k

3

85k

2

0

2

3 2

0

d

d

0 ≤ z ≤ 4

165k .

3

0 ≤ z ≤ 4

4x2

x 2 y 4y 2

2 x 2 y dA 2

Coordenadas polares.

TECNOLOGÍA Utilizar un sistema algebraico por computadora y confirmar el resultado

del ejemplo 3. El sistema algebraico por computadora Maple calculó la integral

así:

2

k

4y

2

2

4y 2 5x 2 y 2 dx dy k

2

2

0 0

5rr dr d 165k

3


Superficies paramétricas e integrales de superficie

Se puede mostrar que para una superficie S dada por la función vectorial



definida sobre una región D en el plano uv, la integral de superficie de

está dada por

fx, y, z sobre S

S f x, y, z dS D fxu, v, yu, v, zu, v r u u, v r v u, v dA.

Obsérvese la analogía con una integral de línea sobre una curva C en el espacio.

b

fx, y, z ds fxt, yt, zt rt dt Integral de línea.

a

C

NOTA

Véase que ds y dS pueden escribirse como ds rt dt y dS r u u, v r v u, v dA. ■

EJEMPLO 4


3

z

En el ejemplo 2 se mostró una evaluación de la integral de superficie

S x z dS

1

2

3

4

x

Figura 15.49

3


y

donde S es la porción, en el primer octante, del cilindro y 2 z 2 9 entre x 0 y x 4

(ver la figura 15.49). Evaluar esta misma integral, ahora en forma paramétrica.

Solución

En forma paramétrica, la superficie está dada por

rx, xi 3 cos j 3 sen sin k

donde 0 ≤ x ≤ 4 y 0 ≤ ≤ 2. Para evaluar la integral de superficie en forma

paramétrica, se empieza por calcular lo siguiente.

r x i

r x r

i

1

0

sen

j

0

3 sen sin

r x r 9 cos 2

9 sin 2 3

Por tanto, la integral de superficie puede ser evaluada como sigue.

4

D x 3 sen sin 3 dA 0

0

4

4

k

0 3

3 cos

sen

r

3 sin j 3 cos k

2

0 3x 9 cos

3

0 2 x 9 dx

3

4 x2 9x

4

12 36

cos j 3 sen sin k

3x 9 sen sin d dx

0

2

0

dx


x

z

S: z = g(x, y)

N =

∇G

⏐∇G

⏐

Dirección hacia arriba

S está orientada hacia arriba

S

y

Orientación de una superficie

Para inducir una orientación en una superficie S en el espacio se utilizan vectores unitarios

normales. Se dice que una superficie es orientable si en todo punto de S que no sea un

punto frontera puede definirse un vector unitario normal N de manera tal que los vectores

normales varíen continuamente sobre la superficie S. Si esto es posible, S es una superficie

orientada.

Una superficie orientable S tiene dos caras. Así, cuando se orienta una superficie, se

elige uno de los dos vectores unitarios normales posibles. Si S es una superficie cerrada,

como por ejemplo una esfera, se acostumbra escoger como vector unitario normal N, el

que apunta hacia fuera de la esfera.

Las superficies más comunes, como esferas, paraboloides, elipses y planos, son orientables.

(Ver en el ejercicio 43 un ejemplo de una superficie que no es orientable.) En una

superficie orientable, el vector gradiente proporciona una manera adecuada de hallar un

vector unitario normal. Es decir, en una superficie orientable S dada por

se hace

z gx, y

Gx, y, z z gx, y.

Superficie orientable.

Entonces, S puede orientarse, ya sea por el vector unitario normal

Gx, y, z

N

Gx, y, z

g xx, yi g y x, yj k

1 g x x, y 2 g y x, y 2

o por el vector unitario normal

N

Gx, y, z

Gx, y, z

g

x x, yi g y x, yj k

1 g x x, y 2 g y x, y 2

Unitario normal hacia arriba.

Unitario normal hacia abajo.

como se muestra en la figura 15.50. Si la superficie suave orientable S está dada en forma

paramétrica por


los vectores unitarios normales están dados por


S: z = g(x, y)

N r u r v

r u r v

z

N = −∇G

⏐∇G

⏐

y

N r v r u

r v r u .

x

S

Dirección hacia abajo

S está orientada hacia abajo

Figura 15.50

y

NOTA Supóngase que la superficie orientable está dada por y gx, z o x gy, z. Entonces

se puede usar el vector gradiente

Gx, y, z g x x, zi j g z x, zk Gx, y, z y gx, z.

o

Gx, y, z i g y y, zj g z y, zk Gx, y, z x gy, z.

para orientar la superficie.

■


Integrales de flujo

z

F · N

N

∆S

F

Una de las aplicaciones principales que emplean la forma vectorial de una integral de

superficie se refiere al flujo de un fluido a través de una superficie S. Supóngase que una

superficie orientada S se sumerge en un fluido que tiene un campo de velocidad continua

F. Sea S el área de una pequeña porción de la superficie S sobre la cual F es casi constante.

Entonces la cantidad de fluido que atraviesa esta región por unidad de tiempo se

aproxima mediante el volumen de la columna de altura F N, que se muestra en la figura

15.51. Es decir,

x

El campo de velocidad F indica la dirección

de flujo del fluido

Figura 15.51

y

DV (altura)(área de la base) (F · N)DS.

Por consiguiente, el volumen del fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo

(llamada el flujo de F a través de S) está dado por la integral de superficie de la definición

siguiente.

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE FLUJO

Sea Fx, y, z Mi Nj Pk, donde M, N, y P tienen primeras derivadas parciales

continuas sobre la superficie S orientada mediante un vector unitario normal N. La

integral de flujo de F a través de S está dada por

S F N dS.

Geométricamente, una integral de flujo es la integral de superficie sobre S de la componente

normal de F. Si x, y, z es la densidad del fluido en x, y, z, la integral de flujo

S

representa la masa del fluido que fluye a través de S por unidad de tiempo.

Para evaluar una integral de flujo de una superficie dada por z gx, y, se hace

Gx, y, z z gx, y.

Entonces, N dS puede escribirse como sigue.

N dS

F N dS

Gx, y, z

Gx, y, z dS

Gx, y, z

g x 2 g y 2 1 g x 2 g y 2 1 dA

Gx, y, z dA

TEOREMA 15.11

EVALUACIÓN DE UNA INTEGRAL DE FLUJO

Sea S una superficie orientada dada por z gx, y y sea R su proyección sobre el

plano xy.

S F N dS R F g x x, yi g y x, yj k dA


Orientada hacia arriba.

Orientada hacia abajo.

En la primera integral, la superficie está orientada hacia arriba, y en la segunda integral,

la superficie está orientada hacia abajo.


8

6

z

EJEMPLO 5

Usar una integral de flujo para hallar la tasa

o ritmo del flujo de masa

Sea S la porción del paraboloide

que se encuentra sobre el plano xy, orientado por medio de un vector unitario normal

dirigido hacia arriba, como se muestra en la figura 15.52. Un fluido de densidad constante

fluye a través de la superficie S de acuerdo con el campo vectorial

z gx, y 4 x 2 y 2

Fx, y, z xi yj zk.

Hallar la tasa o ritmo de flujo de masa a través de S.

−4

Solución

Se empieza por calcular las derivadas parciales de g.

4

x

Figura 15.52

4

y

y

g x x, y 2x

g y x, y 2y

La tasa o el ritmo de flujo de masa a través de la superficie S es

S F N dS

R F g x x, yi g y x, yj k dA

R xi yj 4 x 2 y 2 k 2xi 2yj k dA

R 2x 2 2y 2 4 x 2 y 2 dA

R 4 x 2 y 2 dA

2

0 0

12 d

0

2

2

24.

4 r 2 r dr d

Coordenadas polares.

Para una superficie orientada S dada por la función vectorial



definida sobre una región D del plano uv, se puede definir la integral de flujo de F a través

de S como

S F N dS D F r u r v

r u r v r u r v dA

D F r u r v dA.

Nótese la semejanza de esta integral con la integral de línea

F dr F T ds. C

C

En la página 1121 se presenta un resumen de las fórmulas para integrales de línea y de

superficie.


EJEMPLO 6

Hallar el flujo de un campo cuadrático inverso

R: x 2 + y 2 ≤ a 2

S: x 2 + y 2 + z 2 = a 2

z

N

a

N

a

a

N

y

x

N

Figura 15.53

Hallar el flujo sobre la esfera S dada por

Esfera S.

donde F es un campo cuadrático inverso dado por

Campo cuadrático inverso F.

y r xi yj zk. Supóngase que S está orientada hacia afuera, como se muestra en la

figura 15.53.

Solución

La esfera está dada por

donde 0 ≤ u ≤ y 0 ≤ v ≤ 2. Las derivadas parciales de r son

y

x 2 y 2 z 2 a 2

Fx, y, z kq r

r 2 r kqr

r 3


a sen sin u cos vi a sen sin u sen sin vj a cos uk

r u u, v a cos u cos v i a cos u sen sin vj a sen sin uk

r v u, v a sen sin u sen sin vi a sen sin u cos vj

lo cual implica que el vector normal r es

u r v

i

j

k

r u r v a cos u cos v a cos u sen sin v a sen sin u

a sen sin u sen sin v a sen sin u cos v 0

a 2 sin sen 2 u cos vi sen sin 2 u sen sin vj sen sin u cos uk.

Ahora, usando

Fx, y, z kqr

r 3

xi yj zk

kq

xi yj zk 3

kq

a3 a sen sin u cos vi a sen sin u sen sin vj a cos uk

se sigue que

F r u r v kq

a3 a sen sin u cos vi a sen sin u sen sin vj a cos uk

a 2 sin sen 2 u cos vi sen sin 2 u sen sin vj sen sin u cos uk

kqsin sen 3 u cos 2 v sen sin 3 u sen sin 2 v sen sin u cos 2 u

kq sen sin u.

Por último, el flujo sobre la esfera S está dado por

S F N dS D kq sen sin u dA

sen

2

0 0

4kq.

kq sin u du dv


El resultado del ejemplo 6 muestra que el flujo a través de una esfera S en un campo

cuadrático inverso es independiente del radio de S. En particular, si E es un campo eléctrico,

el resultado obtenido en el ejemplo 6, junto con la ley de Coulomb, proporciona una de las

leyes básicas de electrostática, conocida como la ley de Gauss:

S E N dS 4kq

Ley de Gauss.

donde q es un carga puntual localizada en el centro de la esfera y k es la constante de

Coulomb. La ley de Gauss es válida para superficies cerradas más generales que contengan

el origen, y relaciona el flujo que sale de la superficie con la carga total q dentro de la

superficie.

Esta sección concluye con un resumen de fórmulas de integrales de línea y de integrales

de superficie.

Resumen de integrales de línea y de superficie

Integrales Line Integrals de línea

ds rt dt

C

C

xt 2 yt

b

fx, y, z ds

2 zt 2 dt

fxt, yt, zt ds

F dr C

F T ds

b

Fxt, yt, zt rt dt

a

Integrales Surface Integrals de superficie z gx, [z y

g(x, y)]

a

dS 1 g x x, y

S fx, y, z dS R 2 g y x, y 2 dA

fx, y, gx, y1 g x x, y 2 g y x, y 2 dA


Integrales Surface Integrals de superficie parametric (forma form paramétrica)

dS r u u, v r v u, v dA

S fx, y, z dS D fxu, v, yu, v, zu, v dS

S F N dS D F r u r v dA

Forma escalar.

Forma vectorial.

Forma escalar.

Vector Forma form vectorial (upward (normal normal)

hacia arriba).

Forma escalar.

Forma vectorial.


En los ejercicios 1 a 4, evaluar

En los ejercicios 5 y 6, evaluar

5. primer octante

6.


y evaluar

7.

8.


y evaluar

9.

10.

Masa

En los ejercicios 11 y 12, hallar la masa de la lámina bidimensional

S de densidad

11. primer octante,

12.



17.

18.

19.

20.

21.

22.

En los ejercicios 23 a 28, hallar el flujo de F a través de

donde N es el vector unitario normal a S dirigido hacia arriba.

23.

primer octante

24.

primer octante

25.

26.

primer octante

27.

28.

En los ejercicios 29 y 30, hallar el flujo de F sobre la superficie

cerrada. (Sea N el vector unitario normal a la superficie dirigido

hacia afuera.)

29.

30.

cubo unitario limitado o acotado por

31. Carga eléctrica Sea un campo electrostático.

Usar la ley de Gauss para hallar la carga total que hay

en el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio

y su base circular en el plano xy.

z 1 x 2 y 2

E yzi xzj xyk

z 1

z 0,

y 1,

y 0,

x 1,

x 0,

S:

Fx, y, z 4xyi z 2 j yzk

z 0

z 16 x 2 y 2 ,

S:

Fx, y, z x yi yj zk

z a 2 x 2 y 2

S:

Fx, y, z xi yj 2zk

x 2 y 2 ≤ 4

z x 2 y 2 ,

S:

Fx, y, z 4i 3j 5k

x 2 y 2 z 2 36,

S:

Fx, y, z xi yj zk

z 0

z 1 x 2 y 2 ,

S:

Fx, y, z xi yj zk

cube bounded by

31. Electrical Charge Let be an

electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total charge

enclosed by the closed surface consisting of the hemisphere

and its circular base in the

plane.

xyz

1 x 2 y 2 E yzi xzj xyk

z 1

z 0,

y 1,

y 0,

x 1,

x 0,

S:

F x, y, z 4xyi z 2 j yzk

z 0

z 16 x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z x y i yj zk

z a 2 x 2 y 2

S:

F x, y, z xi yj 2zk

x 2 y 2 4

z x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z 4i 3j 5k

x 2 y 2 z 2 36,

S:

F x, y, z xi yj zk

z 0

z 1 x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z xi yj zk

z 6 3x 2y,

S:

F x, y, z xi yj

z 1 x y,

S:

F x, y, z 3zi 4j yk

S.

S

F

N dS

S,

0 z x

0 x 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2 0 z 9

0 y 3,

0 x 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 1 2 y 2 1

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 2 y 2 4

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

4 x 2 y 2 16

z x 2 y 2 ,

S:

f x, y, z

xy

z

x 2 y 2 1

z x y,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2 S

fx, y, z dS.

0 v

0 u 4,

r u, v 4u cos vi 4u sen vj 3uk

S:

fx, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

fx, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

fx, y

xy

0 v 2

0 u 1,

r u, v ui vj 2vk,

S:

fx, y y 5

S

fx, y dS.

x, y, z kz

z a 2 x 2 y 2 ,

S:

x, y, z x 2 y 2

2x 3y 6z 12,

S:

.

S

0 y

1

2 x

0 x 2 ,

z cos x,

S: 0 y 2

0 x 2,

z 10 x 2 y 2 ,

S:

S

x 2

2xy dS.

0 y 4

0 x 4,

z

1

2xy,

S:

0 y x

0 x 2,

z 9 x 2 ,

S:

S

xy dS.

0 y 4 x 2

0 x 2,

z h,

S:

z 3 x y,

S:

S

xy dS.

0 y x

0 x 1,

z

2

3 x32 ,

S:

x 2 y 2 1

z 2,

S:

0 y 4

0 x 2,

z 15 2x 3y,

S:

0 y 3

0 x 4,

z 4 x,

S:

S

x

2y 1 z dS.



CAS

CAS

Fx, y, z xi yj


1.

2.

3.

4.

In Exercises 5 and 6, evaluate

5. first octant

6.

In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate

7.

8.


9.

10.

Mass

In Exercises 11 and 12, find the mass of the surface

lamina

of density

11. first octant,

12.


13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

21.

22.

In Exercises 23–28, find the flux of F through

where N is the upward unit normal vector to

23.

first octant

24.

first octant

25.

26.

first octant

27.

28.

In Exercises 29 and 30, find the flux of F over the closed surface.

(Let N be the outward unit normal vector of the surface.)

29.

30.

unit cube bounded by





plane.

xyz


z 1

z 0,

y 1,

y 0,

x 1,

x 0,

S:


z 0

z 16 x 2 y 2 ,

S:


z a 2 x 2 y 2

S:

F x, y, z xi yj 2zk

x 2 y 2 4

z x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z 4i 3j 5k

x 2 y 2 z 2 36,

S:

F x, y, z xi yj zk

z 0

z 1 x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z xi yj zk

z 6 3x 2y,

S:

F x, y, z xi yj

z 1 x y,

S:

F x, y, z 3zi 4j yk

S.

S

F

N dS

S,

0 z x

0 x 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2 0 z 9

0 y 3,

0 x 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 1 2 y 2 1

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 2 y 2 4

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

4 x 2 y 2 16

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z

xy

z

x 2 y 2 1

z x y,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2 S

fx, y, z dS.

0 v

0 u 4,


S:

fx, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

fx, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

fx, y

xy

0 v 2

0 u 1,

r u, v ui vj 2vk,

S:

fx, y y 5

S

fx, y dS.

x, y, z kz

z a 2 x 2 y 2 ,

S:

x, y, z x 2 y 2

2x 3y 6z 12,

S:

.

S

0 y

1

2 x

0 x 2 ,

z cos x,

S: 0 y 2

0 x 2,

z 10 x 2 y 2 ,

S:

S

x 2

2xy dS.

0 y 4

0 x 4,

z

1

2xy,

S:

0 y x

0 x 2,

z 9 x 2 ,

S:

S

xy dS.

0 y 4 x 2

0 x 2,

z h,

S:

z 3 x y,

S:

S

xy dS.

0 y x

0 x 1,

z

2

3 x3 2 ,

S:

x 2 y 2 1

z 2,

S:

0 y 4

0 x 2,

z 15 2x 3y,

S:

0 y 3

0 x 4,

z 4 x,

S:

S

x

2y 1 z dS.



CAS

CAS

Fx, y, z 3zi 4j yk

S F N dS

S,

0 ≤ z ≤ x

0 ≤ x ≤ 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2 0 ≤ z ≤ 9

0 ≤ y ≤ 3,

0 ≤ x ≤ 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 1 2 y 2 ≤ 1

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 2 y 2 ≤ 4

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

4 ≤ x 2 y 2 ≤ 16

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z xy

z

fx, y, z x 2 y 2 z 2

S f x, y, z dS.

S fx, y dS.

x, y, z kz

z a 2 x 2 y 2 ,

S:

x, y, z x 2 y 2

2x 3y 6z 12,

S:

.

0 ≤ y ≤ 1 2 x

0 ≤ x ≤

2 ,

z cos x,

S: 0 ≤ y ≤ 2

0 ≤ x ≤ 2,

z 10 x 2 y 2 ,

S:

S x 2 2xy dS.

0 ≤ y ≤ 4

0 ≤ x ≤ 4,

z 1 2 xy,

S: 0 ≤ y ≤ x

0 ≤ x ≤ 2,

z 9 x 2 ,

S:

S xy dS.

0 ≤ y ≤ 4 x 2

0 ≤ x ≤ 2,

z h,

S:


1.

2.

3.

4.


5. first octant

6.


7.

8.


9.

10.

Mass


lamina

of density

11. first octant,

12.


13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

21.

22.



23.

first octant

24.

first octant

25.

26.

first octant

27.

28.



29.

30.






plane.

xyz


z 1

z 0,

y 1,

y 0,

x 1,

x 0,

S:


z 0

z 16 x 2 y 2 ,

S:


z a 2 x 2 y 2

S:

F x, y, z xi yj 2zk

x 2 y 2 4

z x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z 4i 3j 5k

x 2 y 2 z 2 36,

S:

F x, y, z xi yj zk

z 0

z 1 x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z xi yj zk

z 6 3x 2y,

S:

F x, y, z xi yj

z 1 x y,

S:

F x, y, z 3zi 4j yk

S.

S

F

N dS

S,

0 z x

0 x 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2 0 z 9

0 y 3,

0 x 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 1 2 y 2 1

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 2 y 2 4

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

4 x 2 y 2 16

z x 2 y 2 ,

S:

f x, y, z

xy

z

x 2 y 2 1

z x y,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2 S

fx, y, z dS.

0 v

0 u 4,


S:

fx, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

fx, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

fx, y

xy

0 v 2

0 u 1,

r u, v ui vj 2vk,

S:

fx, y y 5

S

fx, y dS.

x, y, z kz

z a 2 x 2 y 2 ,

S:

x, y, z x 2 y 2

2x 3y 6z 12,

S:

.

S

0 y

1

2 x

0 x 2 ,

z cos x,

S: 0 y 2

0 x 2,

z 10 x 2 y 2 ,

S:

S

x 2

2xy dS.

0 y 4

0 x 4,

z

1

2xy,

S:

0 y x

0 x 2,

z 9 x 2 ,

S:

S

xy dS.

0 y 4 x 2

0 x 2,

z h,

S:

z 3 x y,

S:

S

xy dS.

0 y x

0 x 1,

z

2

3 x32 ,

S:

x 2 y 2 1

z 2,

S:

0 y 4

0 x 2,

z 15 2x 3y,

S:

0 y 3

0 x 4,

z 4 x,

S:

S

x

2y 1 z dS.



CAS

CAS

S xy dS.

S x 2y z dS.

15.6 Ejercicios


1.

2.

3.

4.


5. first octant

6.


7.

8.


9.

10.

Mass


lamina

of density

11. first octant,

12.


13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

21.

22.



23.

first octant

24.

first octant

25.

26.

first octant

27.

28.



29.

30.






plane.

xyz


z 1

z 0,

y 1,

y 0,

x 1,

x 0,

S:


z 0

z 16 x 2 y 2 ,

S:


z a 2 x 2 y 2

S:

F x, y, z xi yj 2zk

x 2 y 2 4

z x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z 4i 3j 5k

x 2 y 2 z 2 36,

S:

F x, y, z xi yj zk

z 0

z 1 x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z xi yj zk

z 6 3x 2y,

S:

F x, y, z xi yj

z 1 x y,

S:

F x, y, z 3zi 4j yk

S.

S

F

N dS

S,

0 z x

0 x 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2 0 z 9

0 y 3,

0 x 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 1 2 y 2 1

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 2 y 2 4

z x 2 y 2 ,

S:

f x, y, z x 2 y 2 z 2

4 x 2 y 2 16

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z

xy

z

x 2 y 2 1

z x y,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2 S

fx, y, z dS.

0 v

0 u 4,


S:

fx, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

fx, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

fx, y

xy

0 v 2

0 u 1,

r u, v ui vj 2vk,

S:

fx, y y 5

S

fx, y dS.

x, y, z kz

z a 2 x 2 y 2 ,

S:

x, y, z x 2 y 2

2x 3y 6z 12,

S:

.

S

0 y

1

2 x

0 x 2 ,

z cos x,

S: 0 y 2

0 x 2,

z 10 x 2 y 2 ,

S:

S

x 2

2xy dS.

0 y 4

0 x 4,

z

1

2xy,

S:

0 y x

0 x 2,

z 9 x 2 ,

S:

S

xy dS.

0 y 4 x 2

0 x 2,

z h,

S:

z 3 x y,

S:

S

xy dS.

0 y x

0 x 1,

z

2

3 x3 2 ,

S:

x 2 y 2 1

z 2,

S:

0 y 4

0 x 2,

z 15 2x 3y,

S:

0 y 3

0 x 4,

z 4 x,

S:

S

x

2y 1 z dS.



CAS

CAS


1.

2.

3.

4.


5. first octant

6.


7.

8.


9.

10.

Mass


lamina

of density

11. first octant,

12.


13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

21.

22.



23.

first octant

24.

first octant

25.

26.

first octant

27.

28.



29.

30.






plane.

xyz


z 1

z 0,

y 1,

y 0,

x 1,

x 0,

S:


z 0

z 16 x 2 y 2 ,

S:


z a 2 x 2 y 2

S:

F x, y, z xi yj 2zk

x 2 y 2 4

z x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z 4i 3j 5k

x 2 y 2 z 2 36,

S:

F x, y, z xi yj zk

z 0

z 1 x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z xi yj zk

z 6 3x 2y,

S:

F x, y, z xi yj

z 1 x y,

S:

F x, y, z 3zi 4j yk

S.

S

F

N dS

S,

0 z x

0 x 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2 0 z 9

0 y 3,

0 x 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 1 2 y 2 1

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 2 y 2 4

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

4 x 2 y 2 16

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z

xy

z

x 2 y 2 1

z x y,

S:

f x, y, z x 2 y 2 z 2 S

fx, y, z dS.

0 v

0 u 4,


S:

fx, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

fx, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

fx, y

xy

0 v 2

0 u 1,

r u, v ui vj 2vk,

S:

fx, y y 5

S

fx, y dS.

x, y, z kz

z a 2 x 2 y 2 ,

S:

x, y, z x 2 y 2

2x 3y 6z 12,

S:

.

S

0 y

1

2 x

0 x 2 ,

z cos x,

S: 0 y 2

0 x 2,

z 10 x 2 y 2 ,

S:

S

x 2

2xy dS.

0 y 4

0 x 4,

z

1

2xy,

S:

0 y x

0 x 2,

z 9 x 2 ,

S:

S

xy dS.

0 y 4 x 2

0 x 2,

z h,

S:

z 3 x y,

S:

S

xy dS.

0 y x

0 x 1,

z

2

3 x3 2 ,

S:

x 2 y 2 1

z 2,

S:

0 y 4

0 x 2,

z 15 2x 3y,

S:

0 y 3

0 x 4,

z 4 x,

S:

S

x

2y 1 z dS.



CAS

CAS


1.

2.

3.

4.


5. first octant

6.


7.

8.


9.

10.

Mass


lamina

of density

11. first octant,

12.


13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

21.

22.



23.

first octant

24.

first octant

25.

26.

first octant

27.

28.



29.

30.




E yzi xzj xyk

z 1

z 0,

y 1,

y 0,

x 1,

x 0,

S:


z 0

z 16 x 2 y 2 ,

S:


z a 2 x 2 y 2

S:

F x, y, z xi yj 2zk

x 2 y 2 4

z x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z 4i 3j 5k

x 2 y 2 z 2 36,

S:

F x, y, z xi yj zk

z 0

z 1 x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z xi yj zk

z 6 3x 2y,

S:

F x, y, z xi yj

z 1 x y,

S:

F x, y, z 3zi 4j yk

S.

S

F

N dS

S,

0 z x

0 x 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2 0 z 9

0 y 3,

0 x 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 1 2 y 2 1

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 2 y 2 4

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

4 x 2 y 2 16

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z

xy

z

x 2 y 2 1

z x y,

S:

f x, y, z x 2 y 2 z 2 S

fx, y, z dS.


S:

fx, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

fx, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

fx, y

xy

0 v 2

0 u 1,

r u, v ui vj 2vk,

S:

fx, y y 5

S

fx, y dS.

x, y, z kz

z a 2 x 2 y 2 ,

S:

x, y, z x 2 y 2

2x 3y 6z 12,

S:

.

S

0 y

1

2 x

0 x 2 ,

z cos x,

S: 0 y 2

0 x 2,

z 10 x 2 y 2 ,

S:

S

x 2

2xy dS.

0 y 4

0 x 4,

z

1

2xy,

S:

0 y x

0 x 2,

z 9 x 2 ,

S:

S

xy dS.

0 y 4 x 2

0 x 2,

z h,

S:

z 3 x y,

S:

S

xy dS.

0 y x

0 x 1,

z

2

3 x3 2 ,

S:

x 2 y 2 1

z 2,

S:

0 y 4

0 x 2,

z 15 2x 3y,

S:

0 y 3

0 x 4,

z 4 x,

S:

S

x

2y 1 z dS.



CAS

CAS

1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1122


1.

2.

3.

4.


5. first octant

6.


7.

8.


9.

10.

Mass


lamina

of density

11. first octant,

12.


13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

21.

22.



23.

first octant

24.

first octant

25.

26.

first octant

27.

28.



29.

30.






plane.

xyz


z 1

z 0,

y 1,

y 0,

x 1,

x 0,

S:


z 0

z 16 x 2 y 2 ,

S:


z a 2 x 2 y 2

S:

F x, y, z xi yj 2zk

x 2 y 2 4

z x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z 4i 3j 5k

x 2 y 2 z 2 36,

S:

F x, y, z xi yj zk

z 0

z 1 x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z xi yj zk

z 6 3x 2y,

S:

F x, y, z xi yj

z 1 x y,

S:

F x, y, z 3zi 4j yk

S.

S

F

N dS

S,

0 z x

0 x 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2 0 z 9

0 y 3,

0 x 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 1 2 y 2 1

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 2 y 2 4

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

4 x 2 y 2 16

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z

xy

z

x 2 y 2 1

z x y,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2 S

fx, y, z dS.

0 v

0 u 4,


S:

f x, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

f x, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

f x, y

xy

0 v 2

0 u 1,

r u, v ui vj 2vk,

S:

f x, y y 5

S

fx, y dS.

x, y, z kz

z a 2 x 2 y 2 ,

S:

x, y, z x 2 y 2

2x 3y 6z 12,

S:

.

S

0 y

1

2 x

0 x 2 ,

z cos x,

S: 0 y 2

0 x 2,

z 10 x 2 y 2 ,

S:

S

x 2

2xy dS.

0 y 4

0 x 4,

z

1

2xy,

S:

0 y x

0 x 2,

z 9 x 2 ,

S:

S

xy dS.

0 y 4 x 2

0 x 2,

z h,

S:

z 3 x y,

S:

S

xy dS.

0 y x

0 x 1,

z

2

3 x32 ,

S:

x 2 y 2 1

z 2,

S:

0 y 4

0 x 2,

z 15 2x 3y,

S:

0 y 3

0 x 4,

z 4 x,

S:

S

x

2y 1 z dS.



CAS

CAS


1.

2.

3.

4.


5. first octant

6.


7.

8.


9.

10.

Mass


lamina

of density

11. first octant,

12.


13.

14.

15.

16.


17.

18.

19.

20.

21.

22.



23.

first octant

24.

first octant

25.

26.

first octant

27.

28.



29.

30.






plane.

xyz


z 1

z 0,

y 1,

y 0,

x 1,

x 0,

S:


z 0

z 16 x 2 y 2 ,

S:


z a 2 x 2 y 2

S:

F x, y, z xi yj 2zk

x 2 y 2 4

z x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z 4i 3j 5k

x 2 y 2 z 2 36,

S:

F x, y, z xi yj zk

z 0

z 1 x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z xi yj zk

z 6 3x 2y,

S:

F x, y, z xi yj

z 1 x y,

S:

F x, y, z 3zi 4j yk

S.

S

F

N dS

S,

0 z x

0 x 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2 0 z 9

0 y 3,

0 x 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 1 2 y 2 1

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 2 y 2 4

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

4 x 2 y 2 16

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z

xy

z

x 2 y 2 1

z x y,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2 S

fx, y, z dS.

0 v

0 u 4,


S:

fx, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

fx, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

fx, y

xy

0 v 2

0 u 1,

r u, v ui vj 2vk,

S:

fx, y y 5

S

fx, y dS.

x, y, z kz

z a 2 x 2 y 2 ,

S:

x, y, z x 2 y 2

2x 3y 6z 12,

S:

.

S

0 y

1

2 x

0 x 2 ,

z cos x,

S: 0 y 2

0 x 2,

z 10 x 2 y 2 ,

S:

S

x 2

2xy dS.

0 y 4

0 x 4,

z

1

2xy,

S:

0 y x

0 x 2,

z 9 x 2 ,

S:

S

xy dS.

0 y 4 x 2

0 x 2,

z h,

S:

z 3 x y,

S:

S

xy dS.

0 y x

0 x 1,

z

2

3 x32 ,

S:

x 2 y 2 1

z 2,

S:

0 y 4

0 x 2,

z 15 2x 3y,

S:

0 y 3

0 x 4,

z 4 x,

S:

S

x

2y 1 z dS.



CAS

CAS

105


32. Carga eléctrica Sea un campo electrostático.

Usar la ley de Gauss para hallar la carga total que hay

en el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio

y su base circular en el plano xy.

Momento de inercia

En los ejercicios 33 y 34, utilizar las fórmulas

siguientes para los momentos de inercia con respecto a los

ejes coordenados de una lámina bidimensional de densidad

33. Verificar que el momento de inercia de una capa cónica de densidad

uniforme, con respecto a su eje, es

donde m es la

masa y a es el radio y altura.

34. Verificar que el momento de inercia de una capa esférica de densidad

uniforme, con respecto a su diámetro, es

donde m

es la masa y a es el radio.

Momento de inercia

En los ejercicios 35 y 36, calcular I z para la

lámina especificada con densidad uniforme igual a 1. Utilizar un

sistema algebraico por computadora y verificar los resultados.

35.

36.

Ritmo o tasa de flujo

En los ejercicios 37 y 38, utilizar un sistema

algebraico por computadora y hallar el ritmo o tasa de flujo

de masa de un fluido de densidad

a través de la superficie S

orientada hacia arriba, si el campo de velocidad está dado por

37.

38.

43. Investigación


gráficamente la función vectorial

A esta superficie se le llama banda de Möbius.

b) Explicar por qué esta superficie no es orientable.


gráficamente la curva en el espacio dada por

Identificar

la curva.

d) Construir una banda de Möbius cortando una tira de papel,

dándole un solo giro, y pegando los extremos.

e) Cortar la banda de Möbius a lo largo de la curva en el espacio

del inciso c), y describir el resultado.

ru, 0.

1 ≤ v ≤ 1.

0 ≤ u ≤

,

v cos uk,

ru, v 4 v sin u cos2ui 4 v sin u sin2uj

z 16 x 2 y 2

S:

z ≥ 0

z 16 x 2 y 2 ,

S:

Fx, y, z 0.5zk.

0 ≤ z ≤ h

z x 2 y 2 ,

0 ≤ z ≤ h

x 2 y 2 a 2 ,

2

3ma 2 ,

1

2 ma2 ,

I z S x 2 y 2 x, y, z dS

I y S x 2 z 2 x, y, z dS

I x S y 2 z 2 x, y, z dS

.

z 1 x 2 y 2

E xi yj 2zk


39. Definir la integral de superficie de la función escalar f sobre

una superficie

Explicar cómo se calculan las integrales

de superficie.

40. Describir una superficie orientable.

41. Definir una integral de flujo y explicar cómo se evalúa.

42. ¿Es orientable la superficie de la figura adjunta? Explicar.

Doble giro

z gx, y.

sen

sen

sen

Para discusión

44. Considerar el campo vectorial

y la superficie orientable S dada por la forma paramétrica

a) Encontrar e interpretar

b) Encontrar como una función de u y v.

c) Encontrar u y v en el punto P(3, 1, 4).

d) Explicar cómo encontrar la componente normal de F a la

superficie en P. Encontrar después su valor.

e) Evaluar la integral de flujo





plane.

Moment of Inertia

In Exercises 33 and 34, use the following

formulas for the moments of inertia about the coordinate axes

of a surface lamina of density

33. Verify that the moment of inertia of a conical shell of uniform

density about its axis is where is the mass and is the

radius and height.

34. Verify that the moment of inertia of a spherical shell of uniform

density about its diameter is where is the mass and is

the radius.

Moment of Inertia In Exercises 35 and 36, find for the given

lamina with uniform density of 1. Use a computer algebra

system to verify your results.

35.

36.

Flow Rate

In Exercises 37 and 38, use a computer algebra

system to find the rate of mass flow of a fluid of density

through the surface

oriented upward if the velocity field is

given by

37.

38.

43. Investigation

(a) Use a computer algebra system to graph the vector-valued

function

This surface is called a Möbius strip.

(b) Explain why this surface is not orientable.

(c) Use a computer algebra system to graph the space curve

represented by

Identify the curve.

(d) Construct a Möbius strip by cutting a strip of paper,

making a single twist, and pasting the ends together.

(e) Cut the Möbius strip along the space curve graphed in part

(c), and describe the result.

ru, 0.

1 v 1.

0 u

,

v cos uk,


z 16 x 2 y 2

S:

z 0

z 16 x 2 y 2 ,

S:

Fx, y, z 0.5zk.

S

0 z h

z x 2 y 2 ,

0 z h

x 2 y 2 a 2 ,

I z

a

m

2

3ma 2 ,

a

m

1

2ma 2 ,

I z S x 2 1 y 2 x, y, z dS

I y S x 2 1 z 2 x, y, z dS

I x S y 2 1 z 2 x, y, z dS

.

xyz

1 x 2 y 2

E xi yj 2zk

15.6 Surface Integrals 1123

CAS

39. Define a surface integral of the scalar function over a

surface

Explain how to evaluate the surface

integral.

40. Describe an orientable surface.

41. Define a flux integral and explain how it is evaluated.

42. Is the surface shown in the figure orientable? Explain.

Double twist

z gx, y.

f


44. Consider the vector field

and the orientable surface

given in parametric form by

(a) Find and interpret

(b) Find as a function of and

(c) Find

and at the point

(d) Explain how to find the normal component of

to the

surface at

Then find this value.

(e) Evaluate the flux integral S F N dS.

P.

F

P3, 1, 4.

v

u

v.

u

F r u r v

r u r v .

0 u 2, 1 v 1.

ru, v u v 2 i u vj u 2 k,

S

Fx, y, z zi xj yk

CAPSTONE

Consider the parametric surface given by the function

(a) Use a graphing utility to graph

for various values of the

constants and Describe the effect of the constants on the

shape of the surface.

(b) Show that the surface is a hyperboloid of one sheet given by

(c) For fixed values

describe the curves given by

(d) For fixed values


(e) Find a normal vector to the surface at u, v 0, 0.

ru, v 0 a cosh u cos v 0 i a cosh u sin v 0 j b sinh uk.

v v 0 ,

ru 0 , v a cosh u 0 cos vi a cosh u 0 sin vj b sinh u 0 k.

u u 0 ,

x 2

a 2 y 2

a 2 z2

b 2 1.

b.

a

r

ru, v a cosh u cos vi a cosh u sin vj b sinh uk.

Hyperboloid of One Sheet


CAS





plane.

Moment of Inertia






radius and height.



the radius.




35.

36.

Flow Rate



through the surface


given by

37.

38.

43. Investigation


function




represented by

Identify the curve.





ru, 0.

1 v 1.

0 u

,

v cos uk,


z 16 x 2 y 2

S:

z 0

z 16 x 2 y 2 ,

S:

Fx, y, z 0.5zk.

S

0 z h

z x 2 y 2 ,

0 z h

x 2 y 2 a 2 ,

I z

a

m

2

3ma 2 ,

a

m

1

2ma 2 ,

I z S x 2 1 y 2 x, y, z dS

I y S x 2 1 z 2 x, y, z dS

I x S y 2 1 z 2 x, y, z dS

.

xyz

1 x 2 y 2

E xi yj 2zk


CAS


surface


integral.




Double twist

z gx, y.

f







(c) Find

and at the point


to the

surface at



P.

F

P3, 1, 4.

v

u

v.

u

F r u r v

r u r v .

0 u 2, 1 v 1.


S

Fx, y, z zi xj yk

CAPSTONE













v v 0 ,


u u 0 ,

x 2

a 2 y 2

a 2 z2

b 2 1.

b.

a

r




CAS





plane.

Moment of Inertia






radius and height.



the radius.




35.

36.

Flow Rate



through the surface


given by

37.

38.

43. Investigation


function




represented by

Identify the curve.





ru, 0.

1 v 1.

0 u

,

v cos uk,


z 16 x 2 y 2

S:

z 0

z 16 x 2 y 2 ,

S:

Fx, y, z 0.5zk.

S

0 z h

z x 2 y 2 ,

0 z h

x 2 y 2 a 2 ,

I z

a

m

2

3ma 2 ,

a

m

1

2ma 2 ,

I z S x 2 1 y 2 x, y, z dS

I y S x 2 1 z 2 x, y, z dS

I x S y 2 1 z 2 x, y, z dS

.

xyz

1 x 2 y 2

E xi yj 2zk


CAS


surface


integral.




Double twist

z gx, y.

f







(c) Find

and at the point


to the

surface at



P.

F

P3, 1, 4.

v

u

v.

u

F r u r v

r u r v .

0 u 2, 1 v 1.


S

Fx, y, z zi xj yk

CAPSTONE













v v 0 ,


u u 0 ,

x 2

a 2 y 2

a 2 z2

b 2 1.

b.

a

r




CAS



radius and height.



the radius.




35.

36.

Flow Rate



through the surface


given by

37.

38.

(e)

z 16 x 2 y 2

S:

z 0

z 16 x 2 y 2 ,

S:

Fx, y, z 0.5zk.

S

0 z h

z x 2 y 2 ,

0 z h

x 2 y 2 a 2 ,

I z

a

m

2

3ma 2 ,

a

m

1

2ma 2 ,

I z S x 2 1 y 2 x, y, z dS

S

CAS


surface


integral.




Double twist

z gx, y.

f


44. C

a

(

(

(

(

(

0

r

F

CAP

Consid

(a) Us

con

sha

(b) Sh

(c) Fo

(d) Fo

(e) Fin

ru

ru

x 2

a 2

ru, v

Hype

S E





plane.

Moment of Inertia






radius and height.



the radius.




35.

36.

Flow Rate



through the surface


given by

37.

38.

43. Investigation


function




represented by

Identify the curve.





ru, 0.

1 v 1.

0 u

,

v cos uk,


z 16 x 2 y 2

S:

z 0

z 16 x 2 y 2 ,

S:

Fx, y, z 0.5zk.

S

0 z h

z x 2 y 2 ,

0 z h

x 2 y 2 a 2 ,

I z

a

m

2

3ma 2 ,

a

m

1

2ma 2 ,

I z S x 2 1 y 2 x, y, z dS

I y S x 2 1 z 2 x, y, z dS

I x S y 2 1 z 2 x, y, z dS

.

xyz

1 x 2 y 2

E xi yj 2zk


CAS


surface


integral.




Double twist

z gx, y.

f







(c) Find

and at the point


to the

surface at



P.

F

P3, 1, 4.

v

u

v.

u

F r u r v

r u r v .

0 u 2, 1 v 1.


S

Fx, y, z zi xj yk

CAPSTONE













v v 0 ,


u u 0 ,

x 2

a 2 y 2

a 2 z2

b 2 1.

b.

a

r




CAS





plane.

Moment of Inertia






radius and height.



the radius.




35.

36.

Flow Rate



through the surface


given by

37.

38.

43. Investigation


function




represented by

Identify the curve.





ru, 0.

1 v 1.

0 u

,

v cos uk,


z 16 x 2 y 2

S:

z 0

z 16 x 2 y 2 ,

S:

Fx, y, z 0.5zk.

S

0 z h

z x 2 y 2 ,

0 z h

x 2 y 2 a 2 ,

I z

a

m

2

3ma 2 ,

a

m

1

2ma 2 ,

I z S x 2 1 y 2 x, y, z dS

I y S x 2 1 z 2 x, y, z dS

I x S y 2 1 z 2 x, y, z dS

.

xyz

1 x 2 y 2

E xi yj 2zk


CAS


surface


integral.




Double twist

z gx, y.

f







(c) Find

and at the point


to the

surface at



P.

F

P3, 1, 4.

v

u

v.

u

F r u r v

r u r v .

0 u 2, 1 v 1.


S

Fx, y, z zi xj yk

CAPSTONE













v v 0 ,


u u 0 ,

x 2

a 2 y 2

a 2 z2

b 2 1.

b.

a

r




CAS

Hiperboloide de una hoja

PROYECTO DE TRABAJO

Considerar la superficie paramétrica dada por la función

a) Usar una herramienta de graficación para representar r para varios

valores de las constantes a y b. Describir el efecto de las

constantes sobre la forma de la superficie.

b) Mostrar que la superficie es un hiperboloide de una hoja dado por

c) Para valores fijos describir las curvas dadas por

d) Para valores fijos describir las curvas dadas por

e) Hallar un vector normal a la superficie en u, v 0, 0.


v v 0 ,


u u 0 ,

x 2

a 2 y 2

a 2 z2

b 2 1.


sen

senh

sen

sen

senh

senh


1.

2.

3.

4.


5. first octant

6.


7.

8.


9.

10.

Mass


lamina

of density

11. first octant,

12.


13.

14.

15.


17.

18.

19.

20.

21.

22.



23.

first octant

24.

first octant

25.

26.

first octant

27.

28.



29.

30. F x, y, z 4xyi z 2 j yzk

z 0

z 16 x 2 y 2 ,

S:


z a 2 x 2 y 2

S:

F x, y, z xi yj 2zk

x 2 y 2 4

z x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z 4i 3j 5k

x 2 y 2 z 2 36,

S:

F x, y, z xi yj zk

z 0

z 1 x 2 y 2 ,

S:

F x, y, z xi yj zk

z 6 3x 2y,

S:

F x, y, z xi yj

z 1 x y,

S:

F x, y, z 3zi 4j yk

S.

S

F

N dS

S,

0 z x

0 x 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2 0 z 9

0 y 3,

0 x 3,

x 2 y 2 9,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 1 2 y 2 1

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

x 2 y 2 4

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2

4 x 2 y 2 16

z x 2 y 2 ,

S:

fx, y, z

xy

z

x 2 y 2 1

z x y,

S:

fx, y, z x 2 y 2 z 2 S

fx, y, z dS.


S:

fx, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

fx, y

xy

0 v 2

0 u 1,

r u, v ui vj 2vk,

S:

fx, y y 5

S

fx, y dS.

x, y, z kz

z a 2 x 2 y 2 ,

S:

x, y, z x 2 y 2

2x 3y 6z 12,

S:

.

S

0 y

1

2 x

0 x 2 ,

z cos x,

S: 0 y 2

0 x 2,

z 10 x 2 y 2 ,

S:

S

x 2

2xy dS.

0 y 4

0 x 4,

z

1

2xy,

S:

0 y x

0 x 2,

z 9 x 2 ,

S:

S

xy dS.

0 y 4 x 2

0 x 2,

z h,

S:

z 3 x y,

S:

S

xy dS.

0 y x

0 x 1,

z

2

3 x3 2 ,

S:

x 2 y 2 1

z 2,

S:

0 y 4

0 x 2,

z 15 2x 3y,

S:

0 y 3

0 x 4,

z 4 x,

S:

S

x

2y 1 z dS.



CAS

CAS

1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1122


5. first octant

6.


7.

8.


9.

10.

Mass


lamina

of density

11. first octant,

12.


13.

14.

15.

16.

19.

20.

21.

22.

In Exerc

where N

23.

24.

25.

26.

27.

28.

In Exerc

(Let N b

29.

30.

u

31. Elec

elect

enclo

z

z

S:

F x,

z

S:

F x,

z

S:

F x,

z

S:

F x,

x

S:

F x,

z

S:

F x,

z

S:

F x,

z

S:

F x,

S

F

x

S:

fx,

x

S:

fx,

z

S:

fx,

z

S:

fx,

z

S:

0 v

0 u 4,


S:

fx, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

fx, y x y

0 v 1

0 u

2 ,


S:

fx, y

xy

0 v 2

0 u 1,

r u, v ui vj 2vk,

S:

fx, y y 5

S

fx, y dS.

x, y, z kz

z a 2 x 2 y 2 ,

S:

x, y, z x 2 y 2

2x 3y 6z 12,

S:

.

S

0 y

1

2 x

0 x 2 ,

z cos x,

S: 0 y 2

0 x 2,

z 10 x 2 y 2 ,

S:

S

x 2

2xy dS.

0 y 4

0 x 4,

z

1

2xy,

S:

0 y x

0 x 2,

z 9 x 2 ,

S:

S

xy dS.

0 y 4 x 2

0 x 2,

z h,

S:

z 3 x y,

S:

S

xy dS.

CAS

CAS


15.7

Teorema de la divergencia

■ Comprender y utilizar el teorema de la divergencia.

■ Utilizar el teorema de la divergencia para calcular flujo.

Teorema de la divergencia

Mary Evans Picture Collection

CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855)

Al teorema de la divergencia también se le

llama teorema de Gauss, en honor al

famoso matemático alemán Carl Friedrich

Gauss. Gauss es reconocido, junto con

Newton y Arquímedes, como uno de los tres

más grandes matemáticos de la historia.

Una de sus muchas contribuciones a las

matemáticas la hizo a los 22 años, cuando,

como parte de su tesis doctoral, demostró el

teorema fundamental del álgebra.

Recordar que en la sección 15.4 se vio que una forma alternativa del teorema de Green es

F N ds R M

C

x N

y dA

R div F dA.

De manera análoga, el teorema de la divergencia da la relación entre una integral triple

sobre una región sólida Q y una integral de superficie sobre la superficie de Q. En el enunciado

del teorema, la superficie S es cerrada en el sentido de que forma toda la frontera

completa del sólido Q. Ejemplos de superficies cerradas surgen de las regiones limitadas

o acotadas por esferas, elipsoides, cubos, tetraedros, o combinaciones de estas superficies.

Se supone que Q es una región sólida sobre la cual se evalúa una integral triple, y que la

superficie cerrada S está orientada mediante vectores normales unitarios dirigidos hacia el

exterior, como se muestra en la figura 15.54. Con estas restricciones sobre S y Q, el teorema

de la divergencia es como sigue.

z

N

S 1

: Orientada por un

vector unitario normal dirigido hacia arriba

S 2

: Orientada por un

vector unitario normal dirigido hacia abajo

S 1

S 2

N

y

x

Figura 15.54

TEOREMA 15.12

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

Sea Q una región sólida limitada o acotada por una superficie cerrada S orientada por

un vector unitario normal dirigido hacia el exterior de Q. Si F es un campo vectorial

cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q, entonces

div F dV.

S F N dS

Q

NOTA Como se indica arriba, al teorema de la divergencia a veces se le llama teorema de Gauss.

También se le llama teorema de Ostrogradsky, en honor al matemático ruso Michel Ostrogradsky

(1801-1861). ■

SECCIÓN 15.7 Teorema de la divergencia 1125

NOTA Esta prueba se restringe a

una región sólida simple. Es mejor

dejar la prueba general para un curso

de cálculo avanzado.

■

N (hacia arriba)

N (horizontal)

N (hacia abajo)

x

Figura 15.55

z

S 2

: z = g 2

(x, y)

S 2

S 3

S 1

R

S 1

: z = g 1

(x, y)

y

DEMOSTRACIÓN

Si se hace Fx, y, z Mi Nj Pk, el teorema toma la forma

S F N dS S Mi N Nj N Pk N dS

M

x N

y P

z dV.

Q

Esto se puede demostrar verificando que las tres ecuaciones siguientes son válidas.

S Mi N dS M

x dV

Q

S Nj N dS N

y dV

Q

S Pk N dS P

z dV

Como las verificaciones de las tres ecuaciones son similares, sólo se verá la tercera. La

demostración se restringe a una región sólida simple, con superficie superior

z g 2 x, y

y superficie inferior

z g 1 x, y

Q

Superficie superior.

Superficie inferior.

cuyas proyecciones sobre el plano xy coinciden y forman la región R. Si Q tiene una superficie

lateral como S 3 en la figura 15.55, entonces un vector normal es horizontal, lo cual

implica que Pk N 0. Por consiguiente, se tiene

S Pk N dS S 1 Pk N dS S 2 Pk N dS 0.

Sobre la superficie superior S 2 , el vector normal dirigido hacia el exterior apunta hacia arriba,

mientras que en la superficie inferior S 1 , el vector normal dirigido hacia el exterior

apunta hacia abajo. Por tanto, por el teorema 15.11, se tiene lo siguiente.

S 1

S 2

Pk N dS R Px, y, g 1 x, yk g 1

R Px, y, g 1 x, y dA

Pk N dS R Px, y, g 2 x, yk g 2

R Px, y, g 2 x, y dA

Sumando estos resultados, se obtiene

x i g 1

y j k dA

x i g 2

y j k dA

S Pk N dS R Px, y, g 2 x, y Px, y, g 1 x, y dA

g

R

2

x, y

P

g 1

x, y z dz dA

P

z dV.

Q


EJEMPLO 1

Aplicación del teorema de la divergencia

Sea Q la región sólida limitada o acotada por los planos coordenados y el plano

z 6, y sea F xi y 2 j zk. Hallar

2x 2y

S F N dS

donde S es la superficie de Q.

S 1

: plano xz

6

z

S 2

: plano yz

Solución En la figura 15.56 se ve que Q está limitada o acotada por cuatro superficies.

Por tanto, se necesitarán cuatro integrales de superficie para evaluarla

S F N dS.

Sin embargo, por el teorema de la divergencia, sólo se necesita una integral triple. Como

S 4

div F M

x N

y P

z

1 2y 1

3

4

x

S 4

: 2x + 2y + z = 6

Figura 15.56

3

4

S 3

: plano xy

y

se tiene

2 2y

S F N dS

Q

3

0

3

0

0

3

0

0

3

3

12x 2x2 8xy 2x 2 y 4xy 2 3y

dy

0 0

0

18y 3y 2 10y 3

63

2 .

div F dV

3y 62x2y

0 0

3y

3y

2z 2yz

62x2y

12 4x 8y 4xy 4y 2 dx dy

18 6y 10y 2 2y 3 dy

3

2 2y dz dx dy

0

y 2 4 3 0

dx dy

TECNOLOGÍA Si se tiene acceso a un sistema algebraico por computadora que

pueda evaluar integrales iteradas triples, utilícese para verificar el resultado del ejemplo 1.

Al usar este sistema algebraico por computadora obsérvese que el primer paso es convertir

la integral triple en una integral iterada; este paso debe hacerse a mano. Para

adquirir práctica para realizar este paso importante, hallar los límites de integración de

las integrales iteradas siguientes. Después usar una computadora para verificar que el

valor es el mismo que el obtenido en el ejemplo 1.

?

?

? ??

?

2 2y dy dz dx,

?

?

? ??

?

2 2y dx dy dz


EJEMPLO 2

Verificación del teorema de la divergencia

S 2

: z = 4 − x 2 − y 2

4

z

N 2

Sea Q la región sólida entre el paraboloide

z 4 x 2 y 2

y el plano xy. Verificar el teorema de la divergencia para

Fx, y, z 2zi xj y 2 k.

2 2

x

S N 1

= −k

1

: z = 0

R: x 2 + y 2 ≤ 4

Figura 15.57

y

Solución En la figura 15.57 se ve que el vector normal a la superficie que apunta hacia

afuera es N 1 k, mientras que el vector normal a la superficie S 2 que apunta hacia

afuera es

2xi 2yj k

N 2

4x 2 4y 2 1 .

Por tanto, por el teorema 15.11, se tiene

S F N dS

2

2

2

2

2

0 dy

2

0.

Por otro lado, como

S 1 F N 1 dS S 2 F N 2 dS

S 1 F k dS S 2 F

R y 2 dA R 4xz 2xy y 2 dA

4y

2

2

4y

2

2

4y

2

2

4y

2

2

2

2 8x2 x 4 2x 2 y 2 x 2 4y

y 2

4y 2

div F x 2z y x z y2 0 0 0 0

se puede aplicar el teorema de la divergencia para obtener el resultado equivalente

div F dV

S F N dS

Q

4y 2 y 2 dx dy

4y 2 4xz 2xy dx dy

4y 2 4x4 x 2 y 2 2xy dx dy

4y 2 16x 4x 3 4xy 2 2xy dx dy

Q

0 dV 0.

2xi 2yj k

4x 2 4y 2 1 dS

2 4y

2

2

4y 2 4xz 2xy y 2 dx dy

dy

S 1


EJEMPLO 3

Aplicación del teorema de la divergencia

Plano:

x + z = 6

9

8

7

z

Sea Q el sólido limitado o acotado por el cilindro x 2 y 2 4, el plano x z 6, y el

plano xy, como se muestra en la figura 15.58. Hallar

S F N dS

6

donde S es la superficie de Q y

Fx, y, z x 2 sen sin zi xy cos zj e y k.

x

Figura 15.58

2 2

Cilindro:

x 2 + y 2 = 4

y

Solución La evaluación directa de esta integral de superficie sería difícil. Sin embargo,

por el teorema de la divergencia, se puede evaluar la integral como sigue.

div F dV

S F N dS

Q

Q

Q

2

0

2

0 0

0

2

2

2

2x x 0 dV

3x dV

00

6r cos

18r 2 cos 3r 3 cos 2 dr d

48 cos 12 cos 2

3r cos r dz dr d

d

48 sen sin 6 1 sen

2

sin 2

2

0

12

z

S 2

N 2

−N 1

S 1

x

y

Figura 15.59

Nótese que para evaluar la integral triple se emplearon coordenadas cilíndricas con x = r

cos q y dV r dz dr d.

Aunque el teorema de la divergencia se formuló para una región sólida simple Q limitada

o acotada por una superficie cerrada, el teorema también es válido para regiones que

son uniones finitas de regiones sólidas simples. Por ejemplo, sea Q el sólido limitado o acotado

por las superficies cerradas S 1 y S 2 , como se muestra en la figura 15.59. Para aplicar

el teorema de la divergencia a este sólido, sea S S 1 S 2 . El vector normal N a S está

dado por N 1 en y por en S 2 . Por tanto, se puede escribir

Q

S 1

N 2

div F dV S F N dS

S 1F N 1 dS S 2

S 1 F N 1 dS S 2

F N 2 dS

F N 2 dS.


S

α

(x 0

, y 0

, z 0

)

x

Figura 15.60

a) Fuente: div F > 0

z

Región

sólida Q

y

Flujo y el teorema de la divergencia

Con el fin de comprender mejor el teorema de la divergencia, considérense los dos miembros

de la ecuación

div F dV.

De acuerdo con la sección 15.6 se sabe que la integral de flujo de la izquierda determina

el flujo total de fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo. Esto puede

aproximarse sumando el flujo que fluye a través de fragmentos pequeños de la superficie.

La integral triple de la derecha mide este mismo flujo de fluido a través de S, pero desde

una perspectiva muy diferente; a saber, calculando el flujo de fluido dentro (o fuera) de

cubos pequeños de volumen V i . El flujo en el cubo i-ésimo es aproximadamente

El flujo en el i-ésimo cubo div Fx i, y i , z i V i

para algún punto x i , y i , z i en el i-ésimo cubo. Nótese que en un cubo en el interior de Q,

la ganancia (o pérdida) de fluido a través de cualquiera de sus seis caras es compensada

por una pérdida (o ganancia) correspondiente a través de una de las caras de un cubo adyacente.

Después de sumar sobre todos los cubos en Q, el único flujo de fluido que no se cancela

uniendo cubos es el de las caras exteriores en los cubos del borde. Así, la suma

aproxima el flujo total dentro (o fuera) de Q, y por consiguiente a través de la superficie

S.

Para ver qué se quiere dar a entender con divergencia de F en un punto, considérese

como el volumen de una esfera pequeña S de radio y centro x 0 , y 0 , z 0 , contenida en

la región Q, como se muestra en la figura 15.60. Aplicando el teorema de la divergencia a

resulta

Flujo Flux de F of a través F across de S S

Q div F dV

V

S

S F N dS

Q

n

div Fx i , y i , z i V i

i1

donde es el interior de S. Por consiguiente, se tiene

Q

div Fx 0 , y 0 , z 0 , V

flux flujo of de FFacross a través S de S

div Fx 0 , y 0 , z 0

V

V

→ 0,

y, tomando el límite cuando se obtiene la divergencia de F en el punto

x 0 , y 0 , z 0 .

b) Sumidero: div F < 0

c) Incompresible: div F 0

Figura 15.61

flux flujo of de FFacross a través S de S

div Fx 0 , y 0 , z 0 lím lim

→0 V

flujo por flux unidad per de unit volumen en at x 0 , y 0 , z 0

V

En un campo vectorial el punto x 0 , y 0 , z 0 es clasificado como una fuente, un sumidero o

incompresible, como sigue.

1. Fuente, si div F > 0

Ver figura 15.61a.

2. Sumidero, si div F < 0

Ver figura 15.61b.

3. Incompresible, si div F 0 Ver figura 15.61c.

NOTA En hidrodinámica, una fuente es un punto por el que se considera que se introduce fluido

adicional a la región ocupada por el fluido. Un sumidero es un punto en el que se considera que

escapa fluido.

■


EJEMPLO 4

Calcular el flujo mediante el teorema de la divergencia

Sea Q la región limitada o acotada por la esfera x 2 y 2 z 2 4. Hallar el flujo dirigido

hacia afuera del campo vectorial Fx, y, z 2x 3 i 2y 3 j 2z 3 k a través de la esfera.

Solución Por el teorema de la divergencia, se tiene

Flujo Flux a través across de S

S F N dS div F dV

Q

6x 2 y 2 z 2 dV

Q

2

60

2

60

0

12

0

0 0

2

24 32 5

2

24

d

4

sin sen

24 sen sin

d d d

d d

Coordenadas esféricas.

768 .

5

15.7 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 6, verificar el teorema de la divergencia evaluando

S F N dS

como una integral de superficie y como una integral triple.

1.

2.

Fx, y, z 2xi 2yj z 2 k

S: cubo limitado o acotado por los planos x 0, x a, y 0,

y a, z 0, z a

Fx, y, z 2xi 2yj z 2 k

S: cilindro x 2 y 2 4,

a

z

0 ≤ z ≤ h

h

z

3. Fx, y, z 2x yi 2y zj zk

S: superficie limitada o acotada por los planos 2x 4y 2z =

12 y los planos coordenados

4. Fx, y, z xyi zj x yk

S: superficie limitada o acotada por el plano y 4 y z 4 x

y los planos coordenados

z

z

6

4

4

4

x

y

3

6

y

x


x

a

a

y

x

2

2

y

5. F x, y, z xzi zyj 2z 2 k

6.

S: superficie acotada por z 1 x 2 y 2 y z 0

F x, y, z xy 2 i yx 2 j ek


S:

superficie acotada por z x 2 y 2 y z 4


15.7 15.7 Divergence Theorem 1131 1131

En

In

los ejercicios

7–18,

7 a 18,

use

utilizar

the el teorema de la divergencia

to para

evaluar

In Exercises 7–18, use the Divergence Theorem to evaluate

S FF

S N

dS

dS

S

In Exercises N dS 7–18, use the Divergence Theorem to evaluate

y

and and F

hallar

find find N

el

the dS the

flujo

outward de F

flux flux

dirigido

of of F F through hacia el

the the

exterior

surface a través

of of the the

de

solid solid

S

la

superficie

bounded by by

del

the the of the Use a sólido

graphs

limitado

of the

o acotado

equations.

por las

Use

gráficas

a computer

de las

to verify your ecuaciones.

and algebra find system the

Utilizar

outward to verify

un

flux

sistema

your of F results. through

algebraico

the

por

surface

computadora

of the solid

y

verificar

bounded

7. los

by

resultados.

the

F x, y, z x 2 graphs

i y 2 of the

j z 2 equations. Use a computer

k

algebra

7. F x,

system

y, z

to

x 2 i

verify

y 2 j

your

z 2 results.

k

S: S: xx 0, 0, xx a, a, yy 0, 0, yy a, a, z z 0, 0, zz aa

7.

8.

F

x,

x,

y,

y, z 2 x

i z 2 i

y 2 j

2yj

z 2 k

8. F x, y, z x 2 z 2 i 2yj 3xyzk 3xyzk

S:

S:

x

0,

0, x

a,

a, y

0,

0, y

a,

a, z

0,

0, z S: x 0, x a, y 0, y a, z 0, z aa

8.

9.

F

x,

x,

y,

y, z 2 x

z 2 i

2xyj

2yj 3xyzk

9. F x, y, z x 2 i 2xyj xyz xyz 2 k

2 k

S:

S:

x

z

0, x

a 2 a, y

x 2 0,

y

y 2 , z

a, z

0

0, z a

S: z a 2 x 2 y 2 , z 0

9.

10.

F

x,

x,

y,

y, z

x 2 xyi

i 2xyj

yzj

xyz

yzk

2 k

10. F x, y, z xyi yzj yzk

S:

S:

z

z

a 2 2 x

x 2 2 y

y 2 2 ,

,

z

z

0

S: z a 2 x 2 y 2 , z 0

10.

11.

F

x,

x,

y,

y, z

xyi

xi

yzj

yj zk

yzk

11. F x, y, z xi yj zk

S:

S:

z

x 2 a

y 2 x

z 2 y

9

2 , z 0

S: x 2 y 2 z 2 9

11.

12.

F

x,

x,

y,

y, z

xi

xyzj

yj zk

12. F x, y, z xyzj

S:

S:

2 x 2 2 y 2 z 2 4, z

9

S: x 2 y 2 4, z 0, 0, z z 55

12.

13.

F

x,

x,

y,

y, z

xyzj

13. F x, y, z xi xi yy 2 j 2 j zk zk

S:

S:

2 x 2 y 2 2 4,

25,

z

z

0,

0,

z

z

5

S: x 2 y 2 25, z 0, z 77

13.

14.

F

x,

x,

y,

y, z

xi

xy 2 y 2 j

cos

zk

14. F x, y, z xy 2 cos z zi i x 2 xy 2 y sen sen z zj j ee z k

z k

S: 1

S:

x 2 z 1y 2 2 x 2 25, z

y 2 , z

0, z

8

7

S: z 2 x 2 y 2 , z 8

14.

15.

F

x,

x,

y,

y, z

xy

x 3 2 i

cos

x 2 yj

z i

x 2 e

x y 2 k

y sen z j e z k

15. F x, y, z x 3 i x 2 yj x 2 e y k

1

S:

S:

z 2 4

x 2 y, z

y 2 , z

0, x

8

S: z 4 y, z 0, x 0, 0, xx 6, 6, yy 00

15.

16.

F

x,

x,

y,

y, z

x 3 xe

i z i

x 2 yj

ye z j

x 2 y e 16. F x, y, z xe z i ye z j e z k

z k

S:

S:

z 4

y,

y, z

0,

0, x

0,

0, x

6,

6, y S: z 4 y, z 0, x 0, x 6, y 00

16.

17.

F

x,

x,

y,

y, z

xe

xyi z i ye

4yj z j

xzk

e z k

17. F x, y, z xyi 4yj xzk

S:

S:

z

x 2 4

y 2 y, z 2 0,

16

x 0, x 6, y 0

S: x 2 y 2 z 2 16

17.

18.

F

x,

x,

y,

y, z

xyi

2 xi

4yj

yj

xzk

18. F x, y, z 2 xi yj zk zk

S:

S:

x 2 z

y 2 4

z 2 x 2 16

S: z 4 x 2 yy 2 , 2 z, z 00

18. F x, y, z 2 xi yj zk

In In Exercises S:

z 19 4

19 and and

x 2 20, 20,

yevaluate

2 , z 0

In Exercises

En los

curl curl

ejercicios

FF

19 N dS and dS 20, evaluate

19 y 20, evaluar

S

S

S curl F N dS

where where

rot

curl SS

F Fis · N the the N

dSclosed closed surface of of the the solid solid bounded by by the the graphs

S

of of xx 44and and z z 99 y 2 y,

2 , and and the the coordinate planes.

donde

where

S

es

is the

la superficie

closed surface

19. F x, y, z 4xy cerrada z 2 of the

i del 2x 2 sólido

solid bounded

limitado

by

o acotado

the graphs

6yz j 2xzk por

las

of

19.

x

F x,

20.

gráficas

4

y,

and

z

F x, y,

de

z

4xy

z

x

9

xy

4,

cos y 2 z

z

,

2 zi

and

i

9

the

2x 2

yz

sen

y

coordinate

6yz j 2 ,

xj

y los

xyzk

planos

planes.

2xzk

coordenados.

20. F x, y, z xy cos zi yz sen xj xyzk

19.

19.

Fx,

F x,

y,

y, z z

4xy

4xy

z 2 i

i

2x

2x 2 6yzj

6yz j

2xzk

2xzk

20.

20. WRITING

Fx,

F x,

y,

y, z z

ABOUT

xy

xy

cos

cos

zi

ziCONCEPTS

yz

yz

sen sin

sen

xj

xj

xyzk

xyzk

21. 21. State State the the Divergence Theorem.

WRITING 22. How do ABOUT you CONCEPTS

22. How do you determine if if a a point point xx 0 , y 0 , z 0 in a vector field

0 , y 0 , z 0 in a vector field

21. State is is a a source, the Divergence a a sink, sink, or Theorem. incompressible?


22. How do you determine if a point x 0 , y 0 , z 0 in a vector field

21. Enunciar is a source, el a teorema sink, or de incompressible?

la divergencia.

22. ¿Cómo se determina si un punto x 0 , y 0 , z 0 de un campo

vectorial es una fuente, un sumidero o incompresible?

15.7 Divergence Theorem 1131

23. a) Utilizar el teorema de la divergencia para verificar que el

23. 23. (a) (a)

volumen

Use Use the the

del

Divergence sólido limitado

Theorem o acotado

to to verify verify

por

that that

una

the the of

the solid by a is

superficie

volume

S

of

es

the solid bounded by a surface SSis

23. (a) Use the Divergence Theorem to verify that the volume of

S x dy

x dy

dz

dz

S y dz

y dz

dx

dx

S z dx

z dx

dy.

the solid x dy bounded dz by y dz a surface dx S isz dx dy. dy.

b) Verificar el resultado del inciso a) para el cubo limitado o

(b) (b)

acotado

Verify Verify x dy the the dz

por

result result of of y part part dz dx (a) (a) for for the the z cube cube dx dy. bounded x 0, x a, y 0, y a, z 0, y

by by

z

xx a.

0, 0,

Sx a, y 0,

Sy a, z 0, and

S

x a, y 0, y a, z 0, and zz a. a.

(b) Verify the result of part (a) for the cube bounded by x 0,

Para discusión

CAPSTONE

x a, y 0, y a, z 0, and z a.

24. 24. Sea Let Let FFx, x, y, y, zz xi xi yj yj zk zkand and y sea let let S

Sbe el be the cubo the cube cube acotado bounded

por

CAPSTONE los by by planos the the planes planes x = 0, xx = 0, 1, 0, xy x= 0, 1, 1, y y= y 1, 0, z 0, = yy0 y 1, z 1, = z z1. Verificar 0, 0, and and

24. Let el z zteorema F1.

1. x, Verify Verify y, zde the la the xi divergencia Divergence yj zkevaluando

Theorem and let S be by by the evaluating

cube bounded

by the planes x 0, x 1, y 0, y 1, z 0, and

z F1.

FVerify N dS dSthe Divergence Theorem by evaluating

como as as a F

a surface una N dSintegral de and superficie and as as a a triple triple y como integral.

una integral triple.

as a surface integral and as a triple integral.

25.

25.

Verificar

Verify that

que

25. Verify that

S rot curl curl

F F

· N N

dS dS

0

0

S

S

S

S

para toda superficie cerrada S.

for for any curl any Fclosed N surface dS 0S.

S.

26. Para

S

26. For el the campo vectorial vector constante field dado por F x, y, z

1 i

26. For the constant vector field FFx, x, y, y, zz aa 1 i a 2 j a 3 k,

1 i a 2 j a 3 k,

for averify 2 jany that aclosed that 3 k, verificar surface que S.

26. For the constant vector field F x, y, z a 1 i a 2 j a 3 k,

verify FFthat

N dS dS 00

SS

F N dS 0

S

where where F

donde

VN V

is dS is

es

the the 0

el volumen

volume of of

del

the the

sólido

solid solid

limitado

bounded o

by by

acotado

the the closed closed

S

por la

surface

superficie

S. S.

cerrada S.

27. 27. where Given the is vector the volume field Fof x, y, the z solid xi bounded yj zk, by verify the closed that

27.

Given

surface

Dado el

the V

campo

vector

vectorial

field F x,

Fx,

y, z

S.

y, z

xi

xi

yj

yj

zk,

zk

verify

, verificar

that

que

27. Given FFthe N vector dS dS field 3V 3V F x, y, z xi yj zk, verify that

S S

S F N dS 3V

where where F VN Vis dS is the the 3V volume of of the the solid solid bounded by by the the closed closed

donde S

es el volumen del sólido limitado o acotado por la

surface

S. S.

superficie cerrada S.

28. 28. where Given Given the Vthe is vector vector the volume field field FFx, of x, y, y, the zz solid xi xi bounded yj yj zk, zk, by verify verify the that closed that

28. surface Dado el S. campo vectorial Fx, y, z xi yj zk, verificar que

28. Given 11

the Fvector dS field F3

FS dS

F

3

F F N dS

x, y, z

S F dV. dV. xi yj zk, verify that

F S F dV.

Q

1

3 Q

F N dS

Q dV.

F

En In los S F

In Exercises ejercicios 29 29 and 29 and y 30, 30, prove demostrar prove

Qthe the identity, la identidad, assuming suponiendo that that Q, Q, que S, S,

and Q, and SN y Nmeet satisfacen the the conditions las condiciones of of the the Divergence del teorema Theorem de la divergencia and and that that

In ythe que Exercises required las derivadas 29 partial and 30, derivatives parciales prove the necesarias of of identity, the the scalar scalar assuming de functions

las funciones that f fand

Q,

S, escalares

are continuous. N meet f y gthe son conditions The continuas. The expressions of Las the expresiones Divergence D N f and Theorem N g N fare y Dthe N

gg

and are and g

tives required in in the the en direction partial la dirección derivatives of of the the del vector vector of N the N and and y scalar se are are definen defined functions

por by byf

and g

N f and D N g

derivatives

derivadas

son that las

the

are continuous. The expressions D and D are the deriva-

N fff N,

N ggg N. N f N g

tives

D N f

in the

f

direction

N, D N g

of the

g

vector

N.

N and are defined by

f 2 g f gdV Sf D N g dS

D 29. N f f N,

f 2

D

g N g g N.

29. f 2

g ff g dV dV

Q

Q

S

Q

f 2 g g 2 f dV S f D N g g D N f dS

30. f 2

30.

[Hint: Use

f 2 div

gg

fG

gg 2 f 2 f dV

f dV div G

f

ff D G. N g]

N g

Q

Q

S

S

S

S

25. Verify curl that F N dS 0

S

S

S

S

S

S

f D N g dS

29.

[Sugerencia: [Hint: f Use 2

[Hint: Use

g

div div Utilizar fGf div

g

f

dV f div fGG f div f

Df N G. G

g G. ]

dS

f ] G. ]

g D N f dS

30.

(Sugerencia: (Hint: f Use 2

(Hint: Use Exercise

g

Utilizar

g 2 f

29 29 el

dV

twice.) ejercicio twice.) 29

f D

dos N g

veces.)

g D N f dS

Q

S

(Hint: Use Exercise 29 twice.)

S


15.8

Teorema de Stokes

■ Comprender y utilizar el teorema de Stokes.

■ Utilizar el rotacional para analizar el movimiento de un líquido en rotación.

Bettmann/Corbis

GEORGE GABRIEL STOKES (1819-1903)

Stokes se convirtió en profesor Lucasiano de

matemáticas en Cambridge en 1849. Cinco

años después, publicó el teorema que lleva

su nombre como examen para optar a un

premio de investigación.

Teorema de Stokes

Un segundo teorema, análogo al teorema de Green, pero con más dimensiones, es el teorema

de Stokes, llamado así en honor al físico matemático inglés George Gabriel Stokes.

Stokes formó parte de un grupo de físicos matemáticos ingleses conocido como la Escuela

de Cambridge, entre los que se encontraban William Thomson (Lord Kelvin) y James

Clerk Maxwell. Además de hacer contribuciones a la física, Stokes trabajó con series

infinitas y con ecuaciones diferenciales, así como con los resultados de integración que se

presentan en esta sección.

El teorema de Stokes establece la relación entre una integral de superficie sobre una

superficie orientada S y una integral de línea a lo largo de una curva cerrada C en el espacio

que forma la frontera o el borde de S, como se muestra en la figura 15.62. La dirección positiva

a lo largo de C es la dirección en sentido contrario a las manecillas del reloj con respecto

al vector normal N. Es decir, si se imagina que se toma el vector normal N con la mano

derecha, con el dedo pulgar apuntando en la dirección de N, los demás dedos apuntarán en la

dirección positiva de C, como se muestra en la figura 15.63.

z

N

Superficie S

N

C

y

S

R

x

Figura 15.62

La dirección a lo largo de C es en sentido

contrario a las manecillas del reloj con

respecto a N

Figura 15.63

C

TEOREMA 15.13

TEOREMA DE STOKES

Sea S una superficie orientada con vector unitario normal N, acotada por una curva

cerrada simple, suave a trozos C, con orientación positiva. Si F es un campo vectorial

cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región

abierta que contiene a S y a C, entonces

rot F

C

F dr S curl F N dS.

NOTA La integral de línea puede escribirse en forma diferencial

forma vectorial C F T ds.

C M dx N dy P dz o en

■

SECCIÓN 15.8 Teorema de Stokes 1133

EJEMPLO 1

Aplicación del teorema de Stokes

6

z

S: 2x + 2y + z = 6

Sea C el triángulo orientado situado en el plano 2x 2y z 6, como se muestra en la

figura 15.64. Evaluar

F dr C

donde Fx, y, z y 2 i zj xk.

C 2

C 3

N (hacia arriba)

R

3

3

C 1

x x + y = 3

Figura 15.64

y

Solución Usando el teorema de Stokes, se empieza por hallar el rotacional de F.

i j k

curl

rot F

i j 2yk

x y z

y 2 z x

Considerando z 6 2x 2y gx, y, se puede usar el teorema 15.11 para un vector

normal dirigido hacia arriba para obtener

C

F dr Scurl F N dS

R i j 2yk g x x, yi g y x, yj k dA

R i j 2yk 2i 2j k dA

3 3y

2y 4 dx dy

00

3

2y 2 10y 12 dy

0

2y3

3 5y2 12y

3

9.

rot F

0

Trátese de evaluar la integral de línea del ejemplo 1 directamente, sin usar el teorema

de Stokes. Una manera de hacerlo es considerar a C como la unión de C 1

, C 2

y C 3

, como

sigue.

C 1 : r 1 t 3 ti tj,

C 2 : r 2 t 6 tj 2t 6k,

C 3 : r 3 t t 6i 18 2tk,

El valor de la integral de la línea es

C

F dr C 1

F r 1t dt C 2

F r 2t dt C 3

F r 3t dt

3

0

9 9 9

9.

6

t 2 dt 3

0 ≤ t ≤ 3

3 ≤ t ≤ 6

6 ≤ t ≤ 9

9

2t 6 dt 2t 12 dt

6

1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1134




1134 1134 Chapter

Chapter

15

15

Vector

Vector

Analysis

Analysis EJEMPLO 2 Verificación del teorema de Stokes


EXAMPLE 2 Verifying Stokes’s Theorem

EXAMPLE 2 Verifying Stokes’s Theorem

S: z = 4 x 2 − y 2 z

Sea la parte del paraboloide z = 4 – x 2 – y 2 que permanece sobre el plano xy, orientado

S: z = 4 − x 2 − y 2 z

EXAMPLE Let

hacia EXAMPLE S be the 2portion arriba (ver 2Verifying la of the Stokes’s paraboloid

figura 15.65). Stokes’s Theorem

Sea CTheorem

z 4 x 2 y 2 lying above the xy-plane,

su curva frontera en el plano xy orientada en el

S: z = 4 − x 2 − y 2 z 4

Let oriented EXAMPLE S be the upward portion (see Verifying of Figure the paraboloid Stokes’s 15.65). Let zTheorem

C4 be its x 2 boundary y 2 lying curve above in the the xy xy -plane,

4

S: z z

Let oriented sentido S be upward the contrario

counterclockwise. portion (see al of de Figure the las manecillas

Verify paraboloid 15.65). Stokes’s Let del z Creloj. Theorem be 4 its Verificar x 2 boundary for y 2 lying el teorema curve above in de the Stokes xy

-plane, para

S:

=

z

4

=

−

4

x 2 −

−

x 2 y 2 − y 4

2 z

Let S be the portion of the paraboloid z 4 x 2 y 2 lying above the xy-plane,

S: z = 4 − x 2 − y 2 z S

oriented

S

counterclockwise. upward (see Figure Verify 15.65). Stokes’s Let CTheorem be its boundary for curve in the xy-plane,

4

oriented Let S be upward the portion (see of Figure the paraboloid

F x, y, z 2zi xj y 2 15.65). Let z C be 4 its x 2 boundary y 2 lying curve above in the -plane,

4

counterclockwise. upward (see Figure Verify k15.65). Stokes’s Let Theorem C be its for boundary curve in the xy-plane,

4S

oriented

N (hacia arriba) F x, y,

counterclockwise.

z 2zi xj y

Verify

by evaluando evaluating la integral the surface de superficie integral 2 k

Stokes’s Theorem for

S N (upward) oriented counterclockwise.

F x, y, z 2zi xj y 2 Verify and Stokes’s

y la the integral equivalent Theorem

de línea line for

S

equivalente. integral.

by

Solution

evaluating

F x, y, z

As

the

a

surface

2zi

surface xj ky 2 k

S N (upward)

F x, y, z 2zi xjintegral, y and

you

the

have

equivalent

z gx,

line

y

integral.

by

4 x 2 y 2 , g

−3

y

Solución

evaluating

Como

the surface

integral

integral 2 k

de superficie, se tiene z = g(x, y) = 4 – x 2 – y 2 x 2x,

N (upward)

and the equivalent line integral.

N (upward)

, g x

= –2x, g y

=

R

Solution gby evaluating and

3

y 2y, As a the surface surface integral, integral you and have the equivalent z gx, yline integral. 4 x 2 y 2 , g

−3

x R

N (upward)

3

C y

3

Solution –2y,

by evaluating

y

C

g y 2y, As anda the

surface

surface

integral,

integral

you

and

have

the equivalent

z gx, y

line

4

integral.

Solution As a surface integral, you have z gx, y 4 x 2 x

3

i j k

2 y 2 , yg 2 , x g 2x,

−3

x R

y

3 g

x C

y

Solution 2y, and As a surface integral, you have z gx, y 4 x 2 y 2 x 2x,

−3

3

y

g

, g x 2x,

R

y 2y, and

−3

R

i j k

R: x 2 + y

3 2 y

C ≤ 4 g y rot

2y,

F

and

−3 3x

2yi 2j k.

R: R x 2 + Cy 2 3

≤ 4 y

i j k

3

3

xi

yj

zk

Figura x15.65

rot F

2yi 2j k.

R: x

Figure 15.65

2 + y 2 C

3x

≤ 4

i j k

x2z

yx

z

x

rot F

y 2 2yi 2j k.

R: x 2 + y 2 ≤ 4

rot F

Figure 15.65

By Theorem 15.11,

2z

x y

x

you

y

z 2yi 2j k.

R: x 2 + y 2 ≤ 4

rot F x y

obtain

2 z 2yi 2j k.

R: x

Figure 15.65

2 + y 2 ≤ 4

2z x x y y 2 z

Figure 15.65

By Theorem 15.11, 2z you xobtain

y 2

Figure 15.65

By De Theorem acuerdo con el teorema 15.11, se obtiene

rot 15.11,

2z

F you

x

N dS obtain

y 2

By Theorem 15.11, you obtain 2yi 2j k 2xi 2yj k dA

By Theorem S rot F15.11, N dS you obtain R 2yi 2j k 2xi 2yj k dA

S rot R 2 4 x

rot F FN dS N dS 2yi 2yi 2 2j 2j k k 2xi 2xi 2yj 2yj k k dA dA

S

R2

4 x 2 4xy 4y 1 dy dx

S rot F N dS R 2yi 2j k 2xi 2yj k dA

S

2 R

4 x 2

2

2 4 x 4xy 4y 1 dy dx

22

4 x 2 4xy 2

2 4 4y 1

2xy x 2

4xy

2y 2 4y 4 dy x1 2

dy dx dx

2 4 x 2 y dx

2

2xy 2 4 x 2 4xy 4y

2y 2 4 x 2 1 dy dx

2

y

4 x

2

4 x 2 dx

2

22

2xy 2 2y 2 4 x 2

2

y 4 x

2xy 2 dx

2 2 4 2 x 2 2y

dx

2 4 x 2

y

2xy 2 2y 2 4

4 x 2 x 2 dx

2

y

2

4 x 2 4 x 2 dx

2

dx

4 x 2

2

Área 2

2del 4 4círculo x 2 dx x 2 dx de radio 2 4 .

2

Área 2del 2 círculo 4 x 2 de dxradio 2 4 .

As a line integral, you can Área parametrize 2del círculo C as de radio 2 4 .

As a line integral, you can parametrize

Área del

C

círculo

as

de radio 2 4 .

As r t 2 cos ti 2 sen tj Área 0k, del círculo 0 t de radio 2 . 2 4 .

Como As a line

r

a

t

line integral,

2

integral,

cos

de you

ti

línea, you can

2 sen

can se parametrize

tj

puede parametrize

0k,

parametrizar C as

0

C as

t 2

C como

.

For As

r Fa line

t x, y, integral,

2 zcos ti2zi you

2 sen xj can parametrize

tj y 2 k, 0k, you 0obtain

C as

t 2 .

For F x,

r

r y,

t

t z

2 cos

2 cos 2zi

ti

ti xj

2 sen

2 sen y 2 tj

k, you

0k,

obtain

0 t 2 .

For F x, y,

Para Fx, Fz y, dr 2zi

z 2ziM xj

dx y

xj 2 tj 0k, 0 t 2 .

For F y, z 2zi xj N k, y 2 dy you obtain

k, k, you se P obtiene obtain dz

For FC

x, y, drz 2zi CM dx xj N dy y 2 k, you P dzobtain

C F dr C

F dr M dx M dx N dy N dy P dz P

C

F dr

C 2z M dx dx x N dy dy yP 2 dz

dz

C

C

dz

C

C2z C dx x dy y 2 dz

C 2z 2

2z dx dx x dy x dy y 2 dz y

C2

2z 0dx 2 cos x dyt 2 cos 2 dz

y 2 dz t 0 dt

C

20C

20 2 cos t 2 cos t 0 dt

0 220 02 cos t 2 cos t 0 dt

0 2 4 0cos 2 2 cos t 2 cos t 0 dt

2 t dt

0 cos t 2 cos t 0 dt

200

24 cos 2 t dt

0 42

2cos 4 cos 2 t dt

02

2

4 1 2 t dt

cos 2 cos t dt 2t dt

0

2 20

0

21 cos 2t dt

2 0 21 2

2 11 0 t

1 2 sen cos 2t cos 2t 2t dt dt

2 0

2

0

2 t 01

2 4 t . 2 sen 1 2t cos 2t dt

2

0

2 t 2 sen 1

1

2t 2

2

0

4 2.

t 2 sen

4 . 2 sen 2t 2t 0

0

4 .

4 .


Interpretación física del rotacional

C

α

α

(, x y , z)

Disco S

Figura 15.66

α

F N

T

F

F T

N

El teorema de Stokes proporciona una interesante interpretación física del rotacional. En

un campo vectorial F, sea un pequeño disco circular de radio , centrado en x, y, z y

con frontera C, como se muestra en la figura 15.66. En cada punto en la circunferencia

C, F tiene un componente normal F N y un componente tangencial F T. Cuanto más

alineados están F y T mayor es el valor de F T. Así, un fluido tiende a moverse a lo largo

del círculo en lugar de a través de él. Por consiguiente, se dice que la integral de línea

alrededor de mide la circulación alrededor de C. . Es decir,

C

S

circulación de F alrededor de C

C

F T ds circulation of F around C.

S

( x , y , z)

rot F

N

Ahora considérese un pequeño disco centrado en algún punto x, y, z de la superficie

S, como se muestra en la figura 15.67. En un disco tan pequeño, rot F es casi constante,

porque varía poco con respecto a su valor en x, y, z. Es más rot F N es casi constante

en S, porque todos los vectores unitarios normales en son prácticamente iguales. Por

consiguiente, del teorema de Stokes se sigue que

S

S

S α

C

F T ds S curl F N dS

rot F

curl F N S dS

rot F

Figura 15.67

curl rot F F N2 .

Por tanto,

F T ds

curl rot F F N C

2

circulación circulation of de Faround alrededor C de C

area área of de disk disco S S

rate tasa of o ritmo circulation. de circulación.

Suponiendo que las condiciones son tales que la aproximación mejora con discos cada vez

más pequeños 0, se sigue que

→

curl rot F F N lím lim

1

→0 2 C

F T ds

a lo que se le conoce como rotación de F respecto de N. Esto es,

rot Fx, y, z · N rotación de F respecto de N en x, y, z.

En este caso, la rotación de F es máxima cuando rot F y N tienen la misma dirección.

Normalmente, esta tendencia a rotar variará de punto a punto de la superficie S, y el teorema

de Stokes

S curl rot F F N dS F dr C

Integral de superficie

Integral de línea

afirma que la medida colectiva de esta tendencia rotacional considerada sobre toda la

superficie S (la integral de superficie) es igual a la tendencia de un fluido a circular alrededor

de la frontera C (integral de línea).


EJEMPLO 3

Una aplicación del rotacional

z

Un líquido es agitado en un recipiente cilíndrico de radio 2, de manera que su movimiento

se describe por el campo de velocidad

Fx, y, z yx 2 y 2 i xx 2 y 2 j

como se muestra en la figura 15.68. Hallar

S (rot curl F) F· N N dS dS

x

2

Figura 15.68

2

y

donde S es la superficie superior del recipiente cilíndrico.

Solución El rotacional de F está dado por

i

j

curl rot F

x

y

yx 2 y 2 xx 2 y 2

Haciendo N k, se tiene

k

z

0

3x 2 y 2 k.

S curl rot F F N dS R 3x 2 y 2 dA

2

3rr dr d

0 0

r 3 2

0 0

8 d

0

2

2

2

16.

d

NOTA Si rot F 0 en toda la región Q, la rotación de F con respecto a cada vector unitario normal

N es 0. Es decir, F es irrotacional. Por lo visto con anterioridad, se sabe que ésta es una característica

de los campos vectoriales conservativos.

■

Resumen de fórmulas de integración

Teorema Fundamental fundamental Theorem del of Calculus: cálculo:

b

Fx dx Fb Fa

a

Fundamental Teorema fundamental Theorem de of las Line integrales Integrals: de línea:

F dr f dr f xb, yb f xa, ya

C

C

Teorema Green's Theorem: de Green:

M dx N dy R N

C

x M

y dA CF T ds C

C

F N ds R div F dA

F dr R curl F kdA

rot F

Teorema Divergence de divergencia: Theorem:

div F dV

S F N dS

Q

Teorema Stokes's Theorem: de Stokes:

F dr S curl rot F F N dS C


15.8 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 6, hallar el rotacional del campo vectorial F.

En los ejercicios 7 a 10, verificar el teorema de Stokes evaluando

como integral de línea e integral doble.

En los ejercicios 11 a 20, utilizar el teorema de Stokes para evaluar

Utilizar un sistema algebraico por computadora y

verificar los resultados. En cada uno de los casos, C está orientada

en sentido contrario a las manecillas del reloj como se vio

anteriormente.

16.

17.

sobre de un pétalo de

en el

primer octante

18.

la porción en el primer octante de

sobre

19.

es el vector unitario normal a la superficie, dirigido hacia abajo.

20.

la porción en el primer octante de sobre x 2 y 2 a 2 Movimiento de un líquido En los ejercicios 21 y 22, el movimiento

de un líquido en un recipiente cilíndrico de radio 1 se

describe mediante el campo de velocidad

Hallar

donde S es la superficie superior del recipiente

cilíndrico.

21. 22.

25. Sean f y g funciones escalares con derivadas parciales continuas,

y supóngase que C y S satisfacen las condiciones del teorema

de Stokes. Verificar cada una de las identidades siguientes.

26. Demostrar los resultados del ejercicio 25 para las funciones

y Sea S el hemisferio

27. Sea C un vector constante. Sea S una superficie orientada con

vector unitario normal N, limitada o acotada por una curva suave

C. Demostrar que

S C N dS 1 2C

C r dr.

z 4 x 2 y 2 .

gx, y, z z.

f x, y, z xyz

Fx, y, z zi yk

Fx, y, z i j 2k

6, find the curl of the vector field F.

7–10, verify Stokes’s Theorem by evaluating

as a line integral and as a double integral.

–20, use Stokes’s Theorem to evaluate

r algebra system to verify your results. In each

ted counterclockwise as viewed from above.

o cuyos vértices son

o cuyos vértices son

over

in the first octant

-octant portion of

over

wnward unit normal to the surface.

-octant portion of

over

Motion of a Liquid

In Exercises 21 and 22, the motion of a

liquid in a cylindrical container of radius 1 is described by the

velocity field Find where is the

upper surface of the cylindrical container.

21. 22.

25. Let and be scalar functions with continuous partial derivatives,

and let and satisfy the conditions of Stokes’s

Theorem. Verify each identity.

a)

b) c)

26. Demonstrate the results of Exercise 25 for the functions

and Let be the hemisphere

27. Let be a constant vector. Let be an oriented surface with a

unit normal vector bounded by a smooth curve Prove that

S

C

N dS

1

2 C C r dr.

C.

N,

S

C

z 4 x 2 y 2 .

S

g x, y, z z.

f x, y, z

xyz

C f g g f dr 0

C f f dr 0

C f g dr S f g N dS

S

C

g

f

F x, y, z zi yk

F x, y, z i j 2k

S

S rot F

N dS,

F x, y, z .

x 2 y 2 a 2

z x 2

x 2 y 2 a 2

xyzi yj zk,

0 y a

0 x a,

xyzi yj zk

x 2 y 2 16

x 2 z 2 16

x 2 y 2 16

yzi 2 3y j x 2 y 2 k,

r 2 sen 2

2x

3y

ln x 2 y 2 i arctan x y j k

x 2 y 2

x 2 i z 2 j xyzk

x 2 y 2

z 2 i yj zk

z ≥ 0

x 2 y 2 ,

4xzi yj 4xyk

z ≥ 0

x 2 y 2 ,

z 2 i 2xj y 2 k

0, 0, 2

1, 1, 1 ,

0, 0, 0 ,

arctan x y i ln x2 y 2 j k

0, 0, 2

0, 2, 0 ,

2, 0, 0 ,

2yi 3zj xk

C F

dr.

0 y a

0 x a,

z 2 i x 2 j y 2 k

z

12, primer octante

xyzi yj zk

x 2 y 2

y z i x z j x y k

z 0

x 2 y 2 ,

y z i x z j x y k

F

dr

arcsen yi 1 x 2 j y 2 k

e x2 y 2 i e y2 z 2 j xyzk

x sen yi y cos xj yz 2 k

2zi 4x 2 j arctan xk

x 2 i y 2 j x 2 k

2y z i e z j xyzk

15.8 Stokes’s Theorem 1137

ercises


23. State Stokes’s Theorem.

24. Give a physical interpretation of curl.


28. Verify Stokes’s Theorem for each given vector field and

upward oriented surface. Is the line integral or the double

integral easier to set up? to evaluate? Explain.

(a)


(b)

the portion of the paraboloid

that lies

below the plane z 4

z x 2 y 2

S:

F x, y, z z 2 i x 2 j y 2 k

0, 1, 0

1, 1, 0 ,

1, 0, 0 ,

0, 0, 0 ,

C:

F x, y, z e y z i

CAPSTONE

29. Let

Prove or disprove that there is a vector-valued function

with the

following properties.

(i)

have continuous partial derivatives for all

(ii) Curl

for all

(iii)



F x, y, 0 G x, y .

x, y, z 0, 0, 0 ;

F 0

x, y, z 0, 0, 0 ;

P

N,

M,

Px, y, z

N x, y, z ,

F x, y, z M x, y, z ,

G x, y

y

x 2 4y 2, x

x 2 4y 2, 0 .


Fx, y, z.

z x 2

S:

x 2 y 2 ≤ a 2

Fx, y, z xyzi yj zk,

N

0 ≤ y ≤ a

0 ≤ x ≤ a,

S: z x 2 ,

Fx, y, z xyzi yj zk

x 2 y 2 16

x 2 z 2 16

S:

x 2 y 2 ≤ 16

Fx, y, z yzi 2 3yj x 2 y 2 k,

r 2 sin 2

z 9 2x 3y

S:

Fx, y, z lnx 2 y 2 i arctan x y j k

S: z 4 x 2 y 2

Fx, y, z x 2 i z 2 j xyzk

C F dr.

C

F T ds C F dr


23. Enunciar el teorema de Stokes.

24. Dar una interpretación física del rotacional.

sen

In Exercises 1–6, find the curl of the vector field F.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

In Exercises 7–10, verify Stokes’s Theorem by evaluating


7.

8.

9.

10.

In Exercises 11–20, use Stokes’s Theorem to evaluate

Use a computer algebra system to verify your results. In each

case,

is oriented counterclockwise as viewed from above.

11.

triángulo cuyos vértices son

12.


13.

14.

15.

16.

17.

over

in the first octant

18.

the first-octant portion of

over

19.

is the downward unit normal to the surface.

20.


over

Motion of a Liquid





21. 22.




a)

b) c)





S

C

N dS

1

2 C C r dr.

C.

N,

S

C

z 4 x 2 y 2 .

S

g x, y, z z.

f x, y, z

xyz

C f g g f dr 0

C f f dr 0

C f g dr S f g N dS

S

C

g

f

F x, y, z zi yk

F x, y, z i j 2k

S

S rot F

N dS,

F x, y, z .

x 2 y 2 a 2

z x 2

S:

x 2 y 2 a 2

F x, y, z xyzi yj zk,

N

0 y a

0 x a,

S: z x 2 ,


x 2 y 2 16

x 2 z 2 16

S:

x 2 y 2 16

F x, y, z yzi 2 3y j x 2 y 2 k,

r 2 sen 2

z 9 2x 3y

S:

F x, y, z ln x 2 y 2 i arctan x y j k

S: z 4 x 2 y 2

F x, y, z x 2 i z 2 j xyzk

S: z 4 x 2 y 2

F x, y, z z 2 i yj zk

z ≥ 0

S: z 9 x 2 y 2 ,

F x, y, z 4xzi yj 4xyk

z ≥ 0

S: z 1 x 2 y 2 ,

F x, y, z z 2 i 2xj y 2 k

0, 0, 2

1, 1, 1 ,

0, 0, 0 ,

C:


0, 0, 2

0, 2, 0 ,

2, 0, 0 ,

C:

F x, y, z 2yi 3zj xk

C

C F

dr.

0 y a

0 x a,

S: z y 2 ,

F x, y, z z 2 i x 2 j y 2 k

S: 6x 6y z 12, primer octante


S: z 1 x 2 y 2

F x, y, z y z i x z j x y k

z 0

S: z 9 x 2 y 2 ,


C

F

T ds

C

F

dr

F x, y, z arcsen yi 1 x 2 j y 2 k

F x, y, z e x2 y 2 i e y2 z 2 j xyzk

F x, y, z x sen yi y cos xj yz 2 k

F x, y, z 2zi 4x 2 j arctan xk

F x, y, z x 2 i y 2 j x 2 k

F x, y, z 2y z i e z j xyzk









(a)


(b)


that lies

below the plane z 4

z x 2 y 2

S:

F x, y, z z 2 i x 2 j y 2 k

0, 1, 0

1, 1, 0 ,

1, 0, 0 ,

0, 0, 0 ,

C:

F x, y, z e y z i

CAPSTONE

29. Let


with the


(i)


(ii) Curl

for all

(iii)



F x, y, 0 G x, y .

x, y, z 0, 0, 0 ;

F 0

x, y, z 0, 0, 0 ;

P

N,

M,

Px, y, z

N x, y, z ,

F x, y, z M x, y, z ,

G x, y

y

x 2 4y 2, x

x 2 4y 2, 0 .



1.

2.

3.

4.

5.

6.



7.

8.

9.

10.



case,


11.


12.


13.

14.

15.

16.

17.

over

in the first octant

18.


over

19.


20.


over

Motion of a Liquid





21. 22.




a)

b) c)





S

C

N dS

1

2 C C r dr.

C.

N,

S

C

z 4 x 2 y 2 .

S

g x, y, z z.

f x, y, z

xyz

C f g g f dr 0

C f f dr 0

C f g dr S f g N dS

S

C

g

f

F x, y, z zi yk

F x, y, z i j 2k

S

S rot F

N dS,

F x, y, z .

x 2 y 2 a 2

z x 2

S:

x 2 y 2 a 2


N

0 y a

0 x a,

S: z x 2 ,


x 2 y 2 16

x 2 z 2 16

S:

x 2 y 2 16

F x, y, z yzi 2 3y j x 2 y 2 k,

r 2 sen 2

z 9 2x 3y

S:


S: z 4 x 2 y 2


S: z 4 x 2 y 2


z ≥ 0

S: z 9 x 2 y 2 ,


z ≥ 0

S: z 1 x 2 y 2 ,


0, 0, 2

1, 1, 1 ,

0, 0, 0 ,

C:


0, 0, 2

0, 2, 0 ,

2, 0, 0 ,

C:


C

C F

dr.

0 y a

0 x a,

S: z y 2 ,

F x, y, z z 2 i x 2 j y 2 k



S: z 1 x 2 y 2


z 0

S: z 9 x 2 y 2 ,


C

F

T ds

C

F

dr





F x, y, z x 2 i y 2 j x 2 k










(a)


(b)


that lies

below the plane z 4

z x 2 y 2

S:

F x, y, z z 2 i x 2 j y 2 k

0, 1, 0

1, 1, 0 ,

1, 0, 0 ,

0, 0, 0 ,

C:

F x, y, z e y z i

CAPSTONE

29. Let


with the


(i)


(ii) Curl

for all

(iii)



F x, y, 0 G x, y .

x, y, z 0, 0, 0 ;

F 0

x, y, z 0, 0, 0 ;

P

N,

M,

Px, y, z

N x, y, z ,

F x, y, z M x, y, z ,

G x, y

y

x 2 4y 2, x

x 2 4y 2, 0 .



1.

2.

3.

4.

5.

6.



7.

8.

9.

10.



case,


11.


12.


13.

14.

15.

16.

17.

over

in the first octant

18.


over

19.


20.


over

Motion of a Liquid





21. 22.




a)

b) c)





S

C

N dS

1

2 C C r dr.

C.

N,

S

C

z 4 x 2 y 2 .

S

g x, y, z z.

f x, y, z

xyz

C f g g f dr 0

C f f dr 0

C f g dr S f g N dS

S

C

g

f

F x, y, z zi yk

F x, y, z i j 2k

S

S rot F

N dS,

F x, y, z .

x 2 y 2 a 2

z x 2

S:

x 2 y 2 a 2


N

0 y a

0 x a,

S: z x 2 ,


x 2 y 2 16

x 2 z 2 16

S:

x 2 y 2 16

F x, y, z yzi 2 3y j x 2 y 2 k,

r 2 sen 2

z 9 2x 3y

S:


S: z 4 x 2 y 2


S: z 4 x 2 y 2


z ≥ 0

S: z 9 x 2 y 2 ,


z ≥ 0

S: z 1 x 2 y 2 ,


0, 0, 2

1, 1, 1 ,

0, 0, 0 ,

C:


0, 0, 2

0, 2, 0 ,

2, 0, 0 ,

C:


C

C F

dr.

0 y a

0 x a,

S: z y 2 ,

F x, y, z z 2 i x 2 j y 2 k



S: z 1 x 2 y 2


z 0

S: z 9 x 2 y 2 ,


C

F

T ds

C

F

dr





F x, y, z x 2 i y 2 j x 2 k










(a)


(b)


that lies

below the plane z 4

z x 2 y 2

S:

F x, y, z z 2 i x 2 j y 2 k

0, 1, 0

1, 1, 0 ,

1, 0, 0 ,

0, 0, 0 ,

C:

F x, y, z e y z i

CAPSTONE

29. Let


with the


(i)


(ii) Curl

for all

(iii)



F x, y, 0 G x, y .

x, y, z 0, 0, 0 ;

F 0

x, y, z 0, 0, 0 ;

P

N,

M,

Px, y, z

N x, y, z ,

F x, y, z M x, y, z ,

G x, y

y

x 2 4y 2, x

x 2 4y 2, 0 .


Preparación del examen Putman

29. Sea

Demostrar o refutar que hay una función vectorial Fx, y, z

Mx, y, z,

con las propiedades siguientes.

i) tienen derivadas parciales continuas en todo

ii) Rot

para todo

iii)



Fx, y, 0 Gx, y.

x, y, z 0, 0, 0;

F 0

x, y, z 0, 0, 0;

P

N,

M,

Px, y, z

Nx, y, z,

Gx, y y

x 2 4y 2,

x

x 2 4y 2, 0 .


1.

2.

3.

4.

5.

6.



7.

8.

9.

10.



case,


11.


12.


13.

14.

15.

16.

17.

over

in the first octant

18.


over

19.


20.


over

Motion of a Liquid





21. 22.




a)

b) c)





S

C

N dS

1

2 C C r dr.

C.

N,

S

C

z 4 x 2 y 2 .

S

g x, y, z z.

f x, y, z

xyz

C f g g f dr 0

C f f dr 0

C f g dr S f g N dS

S

C

g

f

F x, y, z zi yk

F x, y, z i j 2k

S

S rot F

N dS,

F x, y, z .

x 2 y 2 a 2

z x 2

S:

x 2 y 2 a 2


N

0 y a

0 x a,

S: z x 2 ,


x 2 y 2 16

x 2 z 2 16

S:

x 2 y 2 16

F x, y, z yzi 2 3y j x 2 y 2 k,

r 2 sen 2

z 9 2x 3y

S:


S: z 4 x 2 y 2


S: z 4 x 2 y 2


z ≥ 0

S: z 9 x 2 y 2 ,


z ≥ 0

S: z 1 x 2 y 2 ,


0, 0, 2

1, 1, 1 ,

0, 0, 0 ,

C:


0, 0, 2

0, 2, 0 ,

2, 0, 0 ,

C:


C

C F

dr.

0 y a

0 x a,

S: z y 2 ,

F x, y, z z 2 i x 2 j y 2 k



S: z 1 x 2 y 2


z 0

S: z 9 x 2 y 2 ,


C

F

T ds

C

F

dr





F x, y, z x 2 i y 2 j x 2 k










(a)


(b)


that lies

below the plane z 4

z x 2 y 2

S:

F x, y, z z 2 i x 2 j y 2 k

0, 1, 0

1, 1, 0 ,

1, 0, 0 ,

0, 0, 0 ,

C:

F x, y, z e y z i

CAPSTONE

29. Let


with the


(i)


(ii) Curl

for all

(iii)



F x, y, 0 G x, y .

x, y, z 0, 0, 0 ;

F 0

x, y, z 0, 0, 0 ;

P

N,

M,

Px, y, z

N x, y, z ,

F x, y, z M x, y, z ,

G x, y

y

x 2 4y 2, x

x 2 4y 2, 0 .


Para discusión

28. Verificar el teorema de Stokes para cada campo vectorial

dado y superficie orientada hacia arriba. ¿Es más fácil

establecer la integral de línea o la integral doble?, ¿de evaluar?

Explicar.

a)

C: cuadrado con vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0)

b)

S: la porción del paraboloide z = x 2 + y 2 que yace abajo del

plano z = 4.


1.

2.

3.

4.

5.

6.



7.

8.

9.

10.



case,


11.


12.


13.

14.

15.

16.

17.

over

in the first octant

18.


over

19.


20.


over

Motion of a Liquid





21. 22.




a)

b) c)





S

C

N dS

1

2 C C r dr.

C.

N,

S

C

z 4 x 2 y 2 .

S

g x, y, z z.

f x, y, z

xyz

C f g g f dr 0

C f f dr 0

C f g dr S f g N dS

S

C

g

f

F x, y, z zi yk

F x, y, z i j 2k

S

S rot F

N dS,

F x, y, z .

x 2 y 2 a 2

z x 2

S:

x 2 y 2 a 2


N

0 y a

0 x a,

S: z x 2 ,


x 2 y 2 16

x 2 z 2 16

S:

x 2 y 2 16

F x, y, z yzi 2 3y j x 2 y 2 k,

r 2 sen 2

z 9 2x 3y

S:


S: z 4 x 2 y 2


S: z 4 x 2 y 2


z ≥ 0

S: z 9 x 2 y 2 ,


z ≥ 0

S: z 1 x 2 y 2 ,


0, 0, 2

1, 1, 1 ,

0, 0, 0 ,

C:


0, 0, 2

0, 2, 0 ,

2, 0, 0 ,

C:


C

C F

dr.

0 y a

0 x a,

S: z y 2 ,

F x, y, z z 2 i x 2 j y 2 k



S: z 1 x 2 y 2


z 0

S: z 9 x 2 y 2 ,


C

F

T ds

C

F

dr





F x, y, z x 2 i y 2 j x 2 k










(a)


(b)


that lies

below the plane z 4

z x 2 y 2

S:

F x, y, z z 2 i x 2 j y 2 k

0, 1, 0

1, 1, 0 ,

1, 0, 0 ,

0, 0, 0 ,

C:

F x, y, z e y z i

CAPSTONE

29. Let


with the


(i)


(ii) Curl

for all

(iii)



F x, y, 0 G x, y .

x, y, z 0, 0, 0 ;

F 0

x, y, z 0, 0, 0 ;

P

N,

M,

Px, y, z

N x, y, z ,

F x, y, z M x, y, z ,

G x, y

y

x 2 4y 2, x

x 2 4y 2, 0 .



1.

2.

3.

4.

5.

6.



7.

8.

9.

10.



case,


11.


12.


13.

14.

15.

16.

17.

over

in the first octant

18.


over

19.


20.


over

Motion of a Liquid





21. 22.




a)

b) c)





S

C

N dS

1

2 C C r dr.

C.

N,

S

C

z 4 x 2 y 2 .

S

g x, y, z z.

f x, y, z

xyz

C f g g f dr 0

C f f dr 0

C f g dr S f g N dS

S

C

g

f

F x, y, z zi yk

F x, y, z i j 2k

S

S rot F

N dS,

F x, y, z .

x 2 y 2 a 2

z x 2

S:

x 2 y 2 a 2


N

0 y a

0 x a,

S: z x 2 ,


x 2 y 2 16

x 2 z 2 16

S:

x 2 y 2 16

F x, y, z yzi 2 3y j x 2 y 2 k,

r 2 sen 2

z 9 2x 3y

S:


S: z 4 x 2 y 2


S: z 4 x 2 y 2


z ≥ 0

S: z 9 x 2 y 2 ,


z ≥ 0

S: z 1 x 2 y 2 ,


0, 0, 2

1, 1, 1 ,

0, 0, 0 ,

C:


0, 0, 2

0, 2, 0 ,

2, 0, 0 ,

C:


C

C F

dr.

0 y a

0 x a,

S: z y 2 ,

F x, y, z z 2 i x 2 j y 2 k



S: z 1 x 2 y 2


z 0

S: z 9 x 2 y 2 ,


C

F

T ds

C

F

dr





F x, y, z x 2 i y 2 j x 2 k










(a)


(b)


that lies

below the plane z 4

z x 2 y 2

S:

F x, y, z z 2 i x 2 j y 2 k

0, 1, 0

1, 1, 0 ,

1, 0, 0 ,

0, 0, 0 ,

C:

F x, y, z e y z i

CAPSTONE

29. Let


with the


(i)


(ii) Curl

for all

(iii)



F x, y, 0 G x, y .

x, y, z 0, 0, 0 ;

F 0

x, y, z 0, 0, 0 ;

P

N,

M,

Px, y, z

N x, y, z ,

F x, y, z M x, y, z ,

G x, y

y

x 2 4y 2, x

x 2 4y 2, 0 .




En los ejercicios 1 y 2, calcular F y dibujar varios vectores representativos

en el campo vectorial. Utilizar un sistema algebraico

por computadora y verificar los resultados.

1. 2.

En los ejercicios 3 y 4, hallar el campo vectorial gradiente de la

función escalar.

En los ejercicios 5 a 12, determinar si el campo vectorial es conservativo.

Si es conservativo, hallar una función potencial para el

campo vectorial.

En los ejercicios 13 a 20, hallar a) la divergencia del campo vectorial

F y b) el rotacional del campo vectorial F.

En los ejercicios 21 a 26, calcular la integral de línea a lo largo

de la(s) trayectoria(s) dada(s).

21.

a) segmento de recta desde (0, 0) hasta (3, 4)

b) una revolución en sentido contrario a las

manecillas del reloj, empezando en (1, 0)

22.

a) segmento de recta desde hasta

b) en sentido contrario a las manecillas del reloj, a lo largo

del triángulo de vértices

24.

25.

a) segmento de recta desde hasta (3, –3)

b) en sentido contrario a las manecillas del reloj a lo largo

del círculo

26.


y calcular la integral de línea sobre la trayectoria dada.

27. 28.

Área de una superficie lateral

En los ejercicios 29 y 30, hallar el

área de la superficie lateral sobre la curva C en el plano xy y bajo

la superficie


32.

33.

34.

curva en la intersección de

y

desde

hasta

35.

curva en la intersección de y y = x desde (0, 0, 0)

hasta (2, 2, 8)

36.

la curva en la intersección de y desde

hasta 0, 2, 0

0, 2, 0

x 2 y 2 4

z x 2

C:

Fx, y, z x 2 zi y 2 zj x k

z x 2 y 2

C:

In Exercises 1 and 2, compute

and sketch several representative

vectors in the vector field. Use a computer algebra system

to verify your results.

1. 2.

In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalar

function.

3. 4.

In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conservative.

If it is, find a potential function for the vector field.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

In Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field F

and (b) the curl of the vector field F.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.


path(s).

21.

(a) line segment from to

(b)

one revolution counterclockwise, starting

at

22.


(b)

counterclockwise around the triangle with vertices

23.

24.

25.


(b)

one revolution counterclockwise around the circle

26.


evaluate the line integral over the given path.

27. 28.

Lateral Surface Area

In Exercises 29 and 30, find the lateral

surface area over the curve in the -plane and under the

surface

29.

desde

hasta

30.

desde

hasta


31.

32.

33.

34.

curve of intersection of and from

to

35.


to

36.


to 0, 2, 0

0, 2, 0

x 2 y 2 4

z x 2

C:

F x, y, z x 2 z i y 2 z j x k

2, 2, 8

0, 0, 0

y

x

z x 2 y 2

C:


0, 0, 2

2, 2, 0

y 2 z 2 4

x 2 z 2 4

C:

F x, y, z 2y z i z x j x y k

0 t 2

C: r t 2 cos t i 2 sen t j tk,

F x, y, z xi yj zk

0 t 2

C: r t 4 cos ti 3 sen tj,

F x, y x y i x y j

0 t 1

C: r t t 2 i t 2 j,

F x, y xyi 2xyj

C

F

dr.

2, 4

0, 0

C: y x 2

fx, y 12 x y

2, 4

0, 0

C: y 2x

fx, y 3 sen x y

z f x, y .

xy

C

0 t 4

0 t 2

r t ti t 2 j t 32 k,

r t a cos 3 t i a sen 3 t j,

C

x 2 y 2 z 2 ds

C

2x

y ds

0 t 2

C: r t cos t t sen t i sen t t sen t j,

C

2x y dx x 3y dy

y

3 sen t

x 3 cos t,

C:

3, 3

0, 0

C:

C

2x y dx x 2y dy

0 t 2

C: r t cos t t sen t i sen t t cos t j,

C

x 2

y 2 ds

0 t 2

C: r t 1 sen t i 1 cos t j,

C

x 2

y 2 ds

0, 2

4, 0 ,

0, 0 ,

C:

5, 4

0, 0

C:

C

xy ds

1, 0

x 2 y 2 1,

C:

3, 4

0, 0)

C:

C

x 2

y 2 ds

F x, y, z

z

x i

z

y j

z2 k

F x, y, z ln x 2 y 2 i ln x 2 y 2 j zk

F x, y, z x 2 y i x sen 2 y j

F x, y, z arcsen xi xy 2 j yz 2 k

F x, y, z 3x y i y 2z j z 3x k

F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyzk

F x, y, z y 2 j z 2 k

F x, y, z x 2 i xy 2 j x 2 zk

F x, y, z sen z yi xj k

F x, y, z

yzi xzj xyk

y 2 z 2

F x, y, z 4xy z 2 i 2x 2 6yz j 2xz k

F x, y, z 4xy 2 i 2x 2 j 2z k

F x, y 2y 3 sen 2x i 3y 2 1 cos 2x j

F x, y xy 2 x 2 i x 2 y y 2 j

F x, y

1

y i

y

x 2 j

F x, y

y

x 2 i 1

x j fx, y, z x 2 e yz

fx, y, z 2x 2 xy z 2 F x, y i 2yj

F x, y, z xi j 2k

F



CAS

0, 0, 2

2, 2, 0

y 2 z 2 4

x 2 z 2 4

C:

Fx, y, z 2y zi z xj x yk

0 ≤ t ≤ 2

C: rt 2 cos t i 2 sin t j tk,

Fx, y, z xi yj zk

0 ≤ t ≤ 2

C: rt 4 cos ti 3 sin tj,

Fx, y x yi x yj

C F dr.

z f x, y.

0 ≤ t ≤ 4

0 ≤ t ≤

2

rt ti t 2 j t 32 k,

rt a cos 3 t i a sin 3 t j,

C

x 2 y 2 z 2 ds

C

2x y ds

0 ≤ t ≤

2

C: rt cos t t sin ti sin t t sin tj,

C

2x y dx x 3y dy

y 3 sin t

x 3 cos t,

C:

0, 0

C:





1. 2.


function.

3. 4.



5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.



13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.


path(s).

21.


(b)


at

22.


(b)


23.

24.

25.


(b)


26.



27. 28.




surface

29.

desde

hasta

30.

desde

hasta


31.

32.

33.

34.


to

35.


to

36.


to 0, 2, 0

0, 2, 0

x 2 y 2 4

z x 2

C:


2, 2, 8

0, 0, 0

y

x

z x 2 y 2

C:


0, 0, 2

2, 2, 0

y 2 z 2 4

x 2 z 2 4

C:


0 t 2


F x, y, z xi yj zk

0 t 2


F x, y x y i x y j

0 t 1

C: r t t 2 i t 2 j,

F x, y xyi 2xyj

C

F

dr.

2, 4

0, 0

C: y x 2

fx, y 12 x y

2, 4

0, 0

C: y 2x

fx, y 3 sen x y

z f x, y .

xy

C

0 t 4

0 t 2

r t ti t 2 j t 3 2 k,


C

x 2 y 2 z 2 ds

C

2x

y ds

0 t 2


C

2x y dx x 3y dy

y

3 sen t

x 3 cos t,

C:

3, 3

0, 0

C:

C

2x y dx x 2y dy

0 t 2


C

x 2

y 2 ds

0 t 2


C

x 2

y 2 ds

0, 2

4, 0 ,

0, 0 ,

C:

5, 4

0, 0

C:

C

xy ds

1, 0

x 2 y 2 1,

C:

3, 4

0, 0)

C:

C

x 2

y 2 ds

F x, y, z

z

x i

z

y j

z2 k






F x, y, z y 2 j z 2 k



F x, y, z

yzi xzj xyk

y 2 z 2


F x, y, z 4xy 2 i 2x 2 j 2z k


F x, y xy 2 x 2 i x 2 y y 2 j

F x, y

1

y i

y

x 2 j

F x, y

y

x 2 i 1



F x, y, z xi j 2k

F



CAS

0 ≤ t ≤ 2

C: rt cos t t sin ti sin t t cos tj,

C

x 2 y 2 ds

0, 2

4, 0,

0, 0,

C:

5, 4

0, 0

C:

C

xy ds





1. 2.


function.

3. 4.



5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.



13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.


path(s).

21.


(b)


at

22.


(b)


23.

24.

25.


(b)


26.



27. 28.




surface

29.

desde

hasta

30.

desde

hasta


31.

32.

33.

34.


to

35.


to

36.


to 0, 2, 0

0, 2, 0

x 2 y 2 4

z x 2

C:


2, 2, 8

0, 0, 0

y

x

z x 2 y 2

C:


0, 0, 2

2, 2, 0

y 2 z 2 4

x 2 z 2 4

C:


0 t 2


F x, y, z xi yj zk

0 t 2


F x, y x y i x y j

0 t 1

C: r t t 2 i t 2 j,

F x, y xyi 2xyj

C

F

dr.

2, 4

0, 0

C: y x 2

fx, y 12 x y

2, 4

0, 0

C: y 2x

fx, y 3 sen x y

z f x, y .

xy

C

0 t 4

0 t 2



C

x 2 y 2 z 2 ds

C

2x

y ds

0 t 2


C

2x y dx x 3y dy

y

3 sen t

x 3 cos t,

C:

3, 3

0, 0

C:

C

2x y dx x 2y dy

0 t 2


C

x 2

y 2 ds

0 t 2


C

x 2

y 2 ds

0, 2

4, 0 ,

0, 0 ,

C:

5, 4

0, 0

C:

C

xy ds

1, 0

x 2 y 2 1,

C:

3, 4

0, 0)

C:

C

x 2

y 2 ds

F x, y, z

z

x i

z

y j

z2 k






F x, y, z y 2 j z 2 k



F x, y, z

yzi xzj xyk

y 2 z 2


F x, y, z 4xy 2 i 2x 2 j 2z k


F x, y xy 2 x 2 i x 2 y y 2 j

F x, y

1

y i

y

x 2 j

F x, y

y

x 2 i 1



F x, y, z xi j 2k

F



CAS

C:

C:

C

x 2 y 2 ds

Fx, y i 2yj

Fx, y, z xi j 2k

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen 3

sen

sen





1. 2.


function.

3. 4.



5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.



13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.


path(s).

21.


(b)


at

22.


(b)


23.

24.

25.


(b)


26.



27. 28.




surface

29.

desde

hasta

30.

desde

hasta


31.

32.

33.

34.


to

35.


to

36.


to 0, 2, 0

0, 2, 0

x 2 y 2 4

z x 2

C:


2, 2, 8

0, 0, 0

y

x

z x 2 y 2

C:


0, 0, 2

2, 2, 0

y 2 z 2 4

x 2 z 2 4

C:


0 t 2


F x, y, z xi yj zk

0 t 2


F x, y x y i x y j

0 t 1

C: r t t 2 i t 2 j,

F x, y xyi 2xyj

C

F

dr.

2, 4

0, 0

C: y x 2

fx, y 12 x y

2, 4

0, 0

C: y 2x

fx, y 3 sen x y

z f x, y .

xy

C

0 t 4

0 t 2



C

x 2 y 2 z 2 ds

C

2x

y ds

0 t 2


C

2x y dx x 3y dy

y

3 sen t

x 3 cos t,

C:

3, 3

0, 0

C:

C

2x y dx x 2y dy

0 t 2


C

x 2

y 2 ds

0 t 2


C

x 2

y 2 ds

0, 2

4, 0 ,

0, 0 ,

C:

5, 4

0, 0

C:

C

xy ds

1, 0

x 2 y 2 1,

C:

3, 4

0, 0)

C:

C

x 2

y 2 ds

F x, y, z

z

x i

z

y j

z2 k






F x, y, z y 2 j z 2 k



F x, y, z

yzi xzj xyk

y 2 z 2


F x, y, z 4xy 2 i 2x 2 j 2z k


F x, y xy 2 x 2 i x 2 y y 2 j

F x, y

1

y i

y

x 2 j

F x, y

y

x 2 i 1



F x, y, z xi j 2k

F



CAS





1. 2.


function.

3. 4.



5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.



13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.


path(s).

21.


(b)


at

22.


(b)


23.

24.

25.


(b)


26.



27. 28.




surface

29.

desde

hasta

30.

desde

hasta


31.

32.

33.

34.


to

35.


to

36.


to 0, 2, 0

0, 2, 0

x 2 y 2 4

z x 2

C:


2, 2, 8

0, 0, 0

y

x

z x 2 y 2

C:


0, 0, 2

2, 2, 0

y 2 z 2 4

x 2 z 2 4

C:


0 t 2


F x, y, z xi yj zk

0 t 2


F x, y x y i x y j

0 t 1

C: r t t 2 i t 2 j,

F x, y xyi 2xyj

C

F

dr.

2, 4

0, 0

C: y x 2

fx, y 12 x y

2, 4

0, 0

C: y 2x

fx, y 3 sen x y

z f x, y .

xy

C

0 t 4

0 t 2



C

x 2 y 2 z 2 ds

C

2x

y ds

0 t 2


C

2x y dx x 3y dy

y

3 sen t

x 3 cos t,

C:

3, 3

0, 0

C:

C

2x y dx x 2y dy

0 t 2


C

x 2

y 2 ds

0 t 2


C

x 2

y 2 ds

0, 2

4, 0 ,

0, 0 ,

C:

5, 4

0, 0

C:

C

xy ds

1, 0

x 2 y 2 1,

C:

3, 4

0, 0)

C:

C

x 2

y 2 ds

F x, y, z

z

x i

z

y j

z2 k






F x, y, z y 2 j z 2 k



F x, y, z

yzi xzj xyk

y 2 z 2


F x, y, z 4xy 2 i 2x 2 j 2z k


F x, y xy 2 x 2 i x 2 y y 2 j

F x, y

1

y i

y

x 2 j

F x, y

y

x 2 i 1



F x, y, z xi j 2k

F



CAS





1. 2.


function.

3. 4.



5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.



13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.


path(s).

21.


(b)


at

22.


(b)


23.

24.

25.


(b)


26.



27. 28.




surface

29.

desde

hasta

30.

desde

hasta


31.

32.

33.

34.


to

35.


to

36.


to 0, 2, 0

0, 2, 0

x 2 y 2 4

z x 2

C:


2, 2, 8

0, 0, 0

y

x

z x 2 y 2

C:


0, 0, 2

2, 2, 0

y 2 z 2 4

x 2 z 2 4

C:


0 t 2


F x, y, z xi yj zk

0 t 2


F x, y x y i x y j

0 t 1

C: r t t 2 i t 2 j,

F x, y xyi 2xyj

C

F

dr.

2, 4

0, 0

C: y x 2

fx, y 12 x y

2, 4

0, 0

C: y 2x

fx, y 3 sen x y

z f x, y .

xy

C

0 t 4

0 t 2

r t ti t 2 j t 3 2 k,


C

x 2 y 2 z 2 ds

C

2x

y ds

0 t 2


C

2x y dx x 3y dy

y

3 sen t

x 3 cos t,

C:

3, 3

0, 0

C:

C

2x y dx x 2y dy

0 t 2


C

x 2

y 2 ds

0 t 2


C

x 2

y 2 ds

0, 2

4, 0 ,

0, 0 ,

C:

5, 4

0, 0

C:

C

xy ds

1, 0

x 2 y 2 1,

C:

3, 4

0, 0)

C:

C

x 2

y 2 ds

F x, y, z

z

x i

z

y j

z2 k






F x, y, z y 2 j z 2 k



F x, y, z

yzi xzj xyk

y 2 z 2


F x, y, z 4xy 2 i 2x 2 j 2z k


F x, y xy 2 x 2 i x 2 y y 2 j

F x, y

1

y i

y

x 2 j

F x, y

y

x 2 i 1



F x, y, z xi j 2k

F



CAS





1. 2.


function.

3. 4.



5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.



13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.


path(s).

21.


(b)


at

22.


(b)


23.

24.

25.


(b)


26.



27. 28.




surface

29.

desde

hasta

30.

desde

hasta


31.

32.

33.

34.


to

35.


to

36.


to 0, 2, 0

0, 2, 0

x 2 y 2 4

z x 2

C:


2, 2, 8

0, 0, 0

y

x

z x 2 y 2

C:


0, 0, 2

2, 2, 0

y 2 z 2 4

x 2 z 2 4

C:


0 t 2


F x, y, z xi yj zk

0 t 2


F x, y x y i x y j

0 t 1

C: r t t 2 i t 2 j,

F x, y xyi 2xyj

C

F

dr.

2, 4

0, 0

C: y x 2

f x, y 12 x y

2, 4

0, 0

C: y 2x

f x, y 3 sen x y

z f x, y .

xy

C

0 t 4

0 t 2



C

x 2 y 2 z 2 ds

C

2x

y ds

0 t 2


C

2x y dx x 3y dy

y

3 sen t

x 3 cos t,

C:

3, 3

0, 0

C:

C

2x y dx x 2y dy

0 t 2


C

x 2

y 2 ds

0 t 2


C

x 2

y 2 ds

0, 2

4, 0 ,

0, 0 ,

C:

5, 4

0, 0

C:

C

xy ds

1, 0

x 2 y 2 1,

C:

3, 4

0, 0)

C:

C

x 2

y 2 ds

F x, y, z

z

x i

z

y j

z2 k






F x, y, z y 2 j z 2 k



F x, y, z

yzi xzj xyk

y 2 z 2


F x, y, z 4xy 2 i 2x 2 j 2z k


F x, y xy 2 x 2 i x 2 y y 2 j

F x, y

1

y i

y

x 2 j

F x, y

y

x 2 i 1

x j f x, y, z x 2 e yz

f x, y, z 2x 2 xy z 2 F x, y i 2yj

F x, y, z xi j 2k

F



CAS





1. 2.


function.

3. 4.



5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.



13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.


path(s).

21.


(b)


at

22.


(b)


23.

24.

25.


(b)


26.



27. 28.




surface

29.

desde

hasta

30.

desde

hasta


31.

32.

33.

34.


to

35.


to

36.


to 0, 2, 0

0, 2, 0

x 2 y 2 4

z x 2

C:


2, 2, 8

0, 0, 0

y

x

z x 2 y 2

C:


0, 0, 2

2, 2, 0

y 2 z 2 4

x 2 z 2 4

C:


0 t 2


F x, y, z xi yj zk

0 t 2


F x, y x y i x y j

0 t 1

C: r t t 2 i t 2 j,

F x, y xyi 2xyj

C

F

dr.

2, 4

0, 0

C: y x 2

fx, y 12 x y

2, 4

0, 0

C: y 2x

fx, y 3 sen x y

z f x, y .

xy

C

0 t 4

0 t 2



C

x 2 y 2 z 2 ds

C

2x

y ds

0 t 2


C

2x y dx x 3y dy

y

3 sen t

x 3 cos t,

C:

3, 3

0, 0

C:

C

2x y dx x 2y dy

0 t 2


C

x 2

y 2 ds

0 t 2


C

x 2

y 2 ds

0, 2

4, 0 ,

0, 0 ,

C:

5, 4

0, 0

C:

C

xy ds

1, 0

x 2 y 2 1,

C:

3, 4

0, 0)

C:

C

x 2

y 2 ds

F x, y, z

z

x i

z

y j

z2 k






F x, y, z y 2 j z 2 k



F x, y, z

yzi xzj xyk

y 2 z 2


F x, y, z 4xy 2 i 2x 2 j 2z k


F x, y xy 2 x 2 i x 2 y y 2 j

F x, y

1

y i

y

x 2 j

F x, y

y

x 2 i 1



F x, y, z xi j 2k

F



CAS





1. 2.


function.

3. 4.



5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.



13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.


path(s).

21.


(b)


at

22.


(b)


23.

24.

25.


(b)


26.



27. 28.




surface

29.

desde

hasta

30.

desde

hasta


31.

32.

33.

34.


to

35.


to

36.


to 0, 2, 0

0, 2, 0

x 2 y 2 4

z x 2

C:


2, 2, 8

0, 0, 0

y

x

z x 2 y 2

C:


0, 0, 2

2, 2, 0

y 2 z 2 4

x 2 z 2 4

C:


0 t 2


F x, y, z xi yj zk

0 t 2


F x, y x y i x y j

0 t 1

C: r t t 2 i t 2 j,

F x, y xyi 2xyj

C

F

dr.

2, 4

0, 0

C: y x 2

fx, y 12 x y

2, 4

0, 0

C: y 2x

fx, y 3 sen x y

z f x, y .

xy

C

0 t 4

0 t 2



C

x 2 y 2 z 2 ds

C

2x

y ds

0 t 2


C

2x y dx x 3y dy

y

3 sen t

x 3 cos t,

C:

3, 3

0, 0

C:

C

2x y dx x 2y dy

0 t 2


C

x 2

y 2 ds

0 t 2


C

x 2

y 2 ds

0, 2

4, 0 ,

0, 0 ,

C:

5, 4

0, 0

C:

C

xy ds

1, 0

x 2 y 2 1,

C:

3, 4

0, 0)

C:

C

x 2

y 2 ds

F x, y, z

z

x i

z

y j

z2 k






F x, y, z y 2 j z 2 k



F x, y, z

yzi xzj xyk

y 2 z 2


F x, y, z 4xy 2 i 2x 2 j 2z k


F x, y xy 2 x 2 i x 2 y y 2 j

F x, y

1

y i

y

x 2 j

F x, y

y

x 2 i 1



F x, y, z xi j 2k

F



CAS

vative. If it is, find a potential function for the vector field.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.



13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.


path(s).

21.


(b)

one revolution counterclockwise, startin

at

22.


(b)

counterclockwise around the triangle with vertice

0, 2

4, 0 ,

0, 0 ,

C:

5, 4

0, 0

C:

C

xy ds

1, 0

x 2 y 2 1,

C:

3, 4

0, 0)

C:

C

x 2

y 2 ds

F x, y, z

z

x i

z

y j

z2 k






F x, y, z y 2 j z 2 k



F x, y, z

yzi xzj xyk

y 2 z 2


F x, y, z 4xy 2 i 2x 2 j 2z k


F x, y xy 2 x 2 i x 2 y y 2 j

F x, y

1

y i

y

x 2 j

F x, y

y

x 2 i 1

x j





1. 2.


function.

3. 4.



5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.



13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.


path(s).

21.


(b)


at

22.


(b)


23.

24.

25.


(b)


26.



27. 28.




surface

29.

desde

hasta

30.

desde

hasta


31.

32.

33.

34.


to

35.


to

36.


to 0, 2, 0

0, 2, 0

x 2 y 2 4

z x 2

C:


2, 2, 8

0, 0, 0

y

x

z x 2 y 2

C:


0, 0, 2

2, 2, 0

y 2 z 2 4

x 2 z 2 4

C:


0 t 2


F x, y, z xi yj zk

0 t 2


F x, y x y i x y j

0 t 1

C: r t t 2 i t 2 j,

F x, y xyi 2xyj

C

F

dr.

2, 4

0, 0

C: y x 2

fx, y 12 x y

2, 4

0, 0

C: y 2x

fx, y 3 sen x y

z f x, y .

xy

C

0 t 4

0 t 2



C

x 2 y 2 z 2 ds

C

2x

y ds

0 t 2


C

2x y dx x 3y dy

y

3 sen t

x 3 cos t,

C:

3, 3

0, 0

C:

C

2x y dx x 2y dy

0 t 2


C

x 2

y 2 ds

0 t 2


C

x 2

y 2 ds

0, 2

4, 0 ,

0, 0 ,

C:

5, 4

0, 0

C:

C

xy ds

1, 0

x 2 y 2 1,

C:

3, 4

0, 0)

C:

C

x 2

y 2 ds

F x, y, z

z

x i

z

y j

z2 k






F x, y, z y 2 j z 2 k



F x, y, z

yzi xzj xyk

y 2 z 2


F x, y, z 4xy 2 i 2x 2 j 2z k


F x, y xy 2 x 2 i x 2 y y 2 j

F x, y

1

y i

y

x 2 j

F x, y

y

x 2 i 1



F x, y, z xi j 2k

F



CAS

ld. In Exercises (b) C: one 1 and revolution 2, compute counterclockwise F and sketch around several the representative


2 y 2 ds

circle

23. x

x 3 cos t, y 3 sen t

C


C: r t 1 sen t i 1 Ejercicios cos t j, de 0 repaso t 2

26. 2x y dx x 3y dy

1139

1. FC

x, y, z xi j 2k 2. F x, y i 2yj

1138

24. x 2 y 2 ds

C: r t Chapter cos t15t sen Vector t i Analysis sen t t sen t j, 0 t 2

C


C: r t cos t t sen t i sen t t cos t j, 0 t 2

CAS En In function. los Exercises ejercicios 2737 and y 38, 28, utilizar use un a computer sistema algebraico por system computadora

y evaluar la de línea.

to 48. x C

2 y 2 dx 2xy dy


3. 4.

25. 2x y dx x 2y dy

15 fx, y, zREVIEW 2x 2 xy z EXERCISES 2 fx, y, z x 2 e yz See www.CalcChat.com C: for xworked-out 2 2 solutions a 2 to odd-numbered exercises.

C

37. 27. In Exercises

xy 2xdx

5–12, y x ds C

2

determine

y 2 dy

whether 28. the x 2 vector y 2 field z 2 is dsconser-

vative. Exercises If it is,

(a) C: line segment from 0, 0 to 3, 3

C

C

49. xy dx x C

2 dy

In

C: y x 2 1 find

desde

and a 2, potential

0,

compute function

0 hasta 2,

F

4

and

y y

sketch for the

2x

several vector field.

desde 2,

representative

(b) C: one revolution counterclockwise around the circle

r t a cos 4 hasta

C:

vectors

0, 0

in 3 t i a sen

the vector field. 3 t j, r t ti t

Use a computer algebra 2 j t 3 system

2 k, 23.

C: contorno

x 2

3 ycos 2 ds

de t, la y región 3 sen entre t las gráficas de y x y y = 1

y

2

5. F x, y

x i 1

38. F

50. y C

2 dx x 43 dy

2 x j C

to verify 0 tyour results. 2

0 t 4

26. C: r2xt y 1dx sen x t i 3y dy 1 cos t j, 0 t 2

dr

Lateral 1. F x, Surface y, z

C 1

C

6.

x, y

Fx, y 2x y i Area xi yj yi x j In 2k Exercises 2. 29 F x, and y 30, i find 2yj the lateral

field F surface area over the 2 curve

2y

C in

xj

the xy-plane and under the

24.

C: r x 23 2

t

y 2 ycos 23 dst 1t sen t i sen t t sen t j, 0 t 2

C

surface In Exercises z f3 x, and y

7. C: F x, rt y 2 xycos 2 . 4, find the gradient vector field for the scalar

t x 2 2t i sen sin xti 2 y 2 y 2 sen sin j t 2t cos tj,

CAS En In los Exercises C: ejercicios r t 27 cos 51 and y t 52, t 28, utilizar sen use t i un a computer sen sistema t t algebraico cos t j, 0 por system tcompu-

tadora evaluate y the representar line integral gráficamente over the given la superficie path. dada por la fun-

2

function.

to

29. 8. fx, F x, 0yy ≤ t 3≤

2y sen 3 sen x 2xyi 3y 2 1 cos 2x j

3. f x, y, z 2x

9. F x, y, 4xy 2 2 xy

i 2x 2 z 4. f x, y, z x

j 2z k

2 e 25. 2x y dx x 2y dy

C: y 2x desde 0, 0 hasta

2 2, 4

yz

ción vectorial.

C

39. Trabajo Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas

xyzk 30. 10.

xi y j a lo largo de la trayectoria y x 32 desde 0, 0

51. 27. ru, 2x v y sec dsu cos v i 1 28.

2 tan u xsin sen

2 v jy 2 2u z 2 k ds

In Exercises fx, F x, yy, z 5–12, 4xy xdetermine yz 2 i whether 2x 2 6yz the vector j 2xz field k is conservative.

hasta C: yIf 4, it xis, 8.

2 desde find yzia potential 0, xzj 0 hasta xyk function 2, 4 for the vector field.

(b)


C

C

11.

0r t

C:

≤ u ≤a one

cos 0 ≤ v ≤ 2

40. Trabajo Un avión de 20 toneladas sube 2 000 pies haciendo

3 ,

3 revolution

t i a sen

counterclockwise 3 t j, r t ti

around

t 2 j

the

t 3 2 k,

circle

F x, y, z

y 2 z 2

x 3 cos t, y 3 sen t

y

0 t 2

0 t

12. un giro de 90° en un arco circular de 10 millas de radio. Hallar 52. ru, v e u4 cos v i e u4 sen sin v j u 4

5. F x,

x,

y

y, z sen x i 1

In Exercises 31–36, 2 evaluate zyi x j xj Fk

dr.

26. 2x y dx x 3y dy

el trabajo realizado por los motores.

Lateral Surface Area In Exercises 29 and 6 k

C

C

30, find the lateral

1053714_150R.qxp

1

In 6. Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field F

y i y

31. F x, y 10/27/08 xyi 2xyj

x j 1:49 PM Page 1138

surface 0 ≤ area u ≤ 4, over 0 the ≤ vcurve ≤ 2 in the -plane and under the

En and los (b) ejercicios the curl 41 of y the 2 C: r t cos t t sen t iC

sen t xyt sen t j, 0 t 2

C: r t t 42, vector usar el field teorema F. fundamental de las integrales

7. Fde x, y 2 i t

surface z f x, y .

línea para xy 2 j, 0 t 1

2

evaluar x 2 i la x 2 integral. y y 2 j

53. Investigación Considerar la superficie representada por la función

13.

x, y, z x 2 i xy 2 j x 2 CAS In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system to

32. F x, y x y i x y zk j

8.

x, 2y 3 sen 2x i 3y 2 1 cos 2x j

evaluate 29. fx, y

vectorial the line 3 integral sen x over y the given path.

e given

41. 14. C: 2xyz x, r ty, dx4 cos yx 2 ru, v 3 cos v cos u i 3 cos v sin u j sin v k.

C 2 jti z dyz 2 3 ksen x y tj, dz 0 t 2

9. F x, y, z 4xy 2 i 2x 2 j 2z k

C: y 2x desde 0, 0 hasta 2, 4

sen sen

33. 15. F x, x, y, y, z xi cos yyj y zk

10.

30. fx, y 12 x y

C:

x, curva y, z suave 4xy desde z 2 cos

0, i

x

0, 02x i

hasta 2 sen

6yz

x

(1, 3, j

x

2) 2xz

sen y

k

j xyzk 27. 2x y ds

28. x 2 y 2 z 2 ds

Utilizar C un sistema algebraico por computadora y efectuar lo

16.

siguiente.

42. 17. y dx x dy 1 C: y x 2

C

C: F x, r y, t z 2 cos 3xt i y i2 sen yt j 2ztk,

j 0 z t 3x 2k

desde 0, 0 hasta 2, 4

11. 1138 x,

x,

y,

y, Chapter yzi 15xzj arcsen xi C

z dz Vector xykAnalysis

r t a cos 3 t i a sen 3 t j, r t ti t 2 j t 3 2 k,

34. F x, y, z 2y zy 2 iz 2 xy z 2 j x jyz 2 kx y k

a) 0 Representar t 2 gráficamente la superficie 0 t para 4 0 ≤ u ≤ 2 y

12. 18. C:

x In Exercises 31–36, evaluate F dr.

C: F x, curve

curva y, z of intersection

suave sen 2 y i x sen

desde zyi 0, xj of x 2

0, 1 k z 2

hasta

y j4

and y 2 z 2 4 from

4, 4, 4

starting

2, 2, 0 to 0,

19.

2 ≤ v ≤ 2 . C

F x, y, z ln x 2 0, 2

y 2 i ln x 2 y 2 j zk

Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateral

In Exercises 15 REVIEW 13–20, find (a) the EXERCISES divergence of the vector field See www.CalcChat.com F 31. F for x, worked-out y xyi solutions 2xyjto odd-numbered exercises.

35. F x, y, z y z i x z j x y k

surface area over the curve C in the xy-plane and under the

43. 20. Evaluar F x, y, zla integral

z

de línea y b) Representar gráficamente la superficie para 0 ≤ u ≤ 2 y

C

2 dx 2xy dy.

C: r t t 2 i t 2 j, 0 t 1

x i z

and

C:

(b)

curve

the curl

of

of

intersection

the vector

y j z2 kfield of z

F.

x 2 y 2 and y x from surface z f x, y .

13. In Exercises 32. F x, a) F C: x, 0, y, rt 0, z 0 1 and to x1 2 i2, 2, 2, 3ti compute xy8

2 j 1x 2 zk

Ftj,

and 0sketch ≤ t ≤several 1 representative

C: r t 4 cos ti 3 sen tj, 0 t 2

4 ≤ v ≤ x

2 . y i x y j

29.

In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the given 23.

fx,

x

y 3 sen x y

14. b)

C: x,

vectors

y, rt in

ti y

the

t j, 1 ≤ t ≤ 4

desde hasta

path(s).

j

vector

z 2 k

field. Use a computer algebra system

2 y 2 ds

36. F x, y, z x 2 z i y 2 z j x k

C: C y 2x 0, 0 2, 4

vertices to verify your results.

33. c) F x, Representar y, z xi gráficamente yj zk la superficie para 0 ≤ u ≤ y

15. c) C: F Usar x, curve y, zel of teorema cos intersection y fundamental y cos of x iz de sen x 2

las and x integrales x 2 sen y 2 j de 4xyzk

línea, from

30. fx,

C: r

y

t

12

1 4

donde C es una curva suave desde 1, 1 hasta 4, 2.

C: 0r ≤t v ≤

16.

cos

21.

2 . x

sen

y

t i 1 cos t j, 0 t 2

1. F x, x, 0, t i 2 sen t j tk, 0 t 2

xy, y, 2

z2, 0

y 2 xito 0,

ds 3x j 2, 0

y i 2k y 2z 2. jF x, yz 3x i k 2yj

24. C: yx 2 x 2 ydesde

2 ds 0, 0 hasta 2, 4

44. Área C

17. F x, y, y centroide z arcsen Considerar xi xy 2 j la región yz 2 limitada o acotada por 34. d) FCx, Representar y, z 2ygráficamente z i z e xidentificar j x la ycurva k en el espacio

In Exercises 3 and 4, find the gradient kvector field for the scalar

el (a) eje C: x line y un segment arco de from la cicloide 0, 0) to con 3, ecuaciones 4 paramétricas

18. F x, y, z x In Exercises para curve y v

x a sen sin

2 y i x sen

y y a1 cos 2 C: r t

y j

. Usar integrales de línea

0 31–36, of ≤ cos intersection u ≤ t

evaluate 2 t sen of t ix 2 4

F . sen

dr. z 2 t 4t cos and ty 2 j, 0z 2 t 4 from 2

function.

(b) C: x 2 y 2 1, one revolution counterclockwise, starting

2, 2, 0 to 0, 0, 2 C

19. para F x, hallar y, a) el área de la región y b) el centroide de la región.

e) Aproximar el área de la superficie representada gráficamente

3. fx, y, zat

1, 2x ln

0

2 x 2 xyy 2 iz 2 ln x4.

2 fx, y 2 y, j z zkx 2 e yz

31.

25.

35. F x,

2x en

y

y

y, el zinciso xyi

dx

yb).

2xyj

x 2y dy

C

z i x z j x y k

z

En

20.

22. los

F

ejercicios

x,

xy

y,

ds

z

45 a 50, utilizar el teorema de Green para evaluavative.

la

f)

C: Aproximar

rcurve t tof 2 i

el intersection t

área 2 j,

de

0

la superficie

tof z1

x 2 representada y 2 and gráficamente

y x from

x i z

In Exercises 5–12, determine y j z2 k

whether the vector field is conser-


Cintegral If it is, find de línea. a potential function for the vector field. 32. F(b)

x, en C: 0, yel 0, one inciso 0xto

revolution c). y2, i2, 8 x counterclockwise y j

around the circle

In Exercises (a) C: line 21–26, segment evaluate from 0, the 0 line to 5, integral 4 along the given 36. FC: x, rxy, t z 34 cos cos x

45. (b) y dx counterclockwise 2x dy around the triangle with vertices

54. Evaluar la integral de superficie S 2 t, ti y z i 3 sen ytj,

t 2 z0 j t x k2

path(s).

y

5. F x, C: y

z dS sobre la superficie S:

33. FC:

x, curve y, z of xiintersection yj zk of z x and x from

C x i 1

2 2 y 2 4

0, 0 ,

2 x j 4, 0 , 0, 2

26. 2x y dx x 3y dy

C: contorno del cuadrado con vértices (0, 0), (0, 1), (1, 0), ru, C: rv 0,

t 2, u2 0

cos to vi t i

0, 2, 2 u0

sen vj t j tk,

sen sin v 0k

t 2

21. 6. x 2 y

1 2 C

F x, y ds

C (1, 1) y i y

x j 2 34. donde F

C:

x,

r

y,

t

0z cos

≤ u 2y

t

≤ 2 y z

t sen

0i t

≤ vz i

≤ . x

sen

j

t

x

t sen

y

t

k

j, 0 t 2

7. (a) F x, C: y line xy segment from 0, 0) to 3, 4

46. xy dx x 55. Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar

C

2 2 x

y 2 2 i x

dy

2 y y 2 j

CAS In Exercises C: curve of 27 intersection and 28, use of x 2 a computer z 2 4 and algebra y 2 z 2 system 4 fromto

8. (b) F x, C: y x 2 y2y 2 3 sen 1, 2x one irevolution 3y 2 1 counterclockwise, cos 2x j starting evaluate gráficamente 2, the 2, line 0 to la integral superficie 0, 0, 2 over S y the aproximar given path. la integral de superficie

C: contorno at 1, del 0

9. F x, y, z 4xycuadrado 2 i 2x 2 jcon vértices 2z k 0, 0, 0, 2, 2, 0,2, 2 35. F x, y, z y z i x z j x y k

x y dS

S

47. 22. 10. F

27.

xy x, xy

C

2 y, ds dx z x 2 4xy C: curve 2x y of dsintersection of 28. z x and y x from

y dy z 2 i 2x 2 6yz j 2xz k

2 x 2 y 2 y 2 z 2 ds

C

C

C

donde 0, S0, es 0 la to superficie 2, 2, 8

yzi xzj xyk

11.

r t a cos r t ti t

C: (a) F x, xC:

y, z4 line cos segment t, y = from 4 sen t0, 0 to 5, 4

3 t i a sen 3 t j,

2 j t 32 k,

y 2 z 2

36.

S:

F x,

ru,

y,

v

z

u

x

cos 2 v

z

i

i

u sen sin

y 2 v j

z

u

j

x

12

k

0 t 2

0 t 4

uk

(b) C: counterclockwise around the triangle with vertices

12. F x, y, z sen zyi xj k

C: curve of intersection of z x 2 and x 2 y 2 4 from

0, 0 , 4, 0 , 0, 2

sobre 0, 0 ≤ 2, u 0 ≤ to 2 0, y 02, ≤ 0 v ≤ 2.

Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateral

In Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field F surface area over the curve C in the xy-plane and under the


surface z f x, y .

13. F x, y, z x 2 i xy 2 j x 2 zk

29. fx, y 3 sen x y


56. Masa Una lámina bidimensional cónica S está dada por

En cada punto en S, la densidad es proporcional a la distancia

entre el punto y el eje z.

a) Dibujar la superficie cónica.

b) Calcular la masa m de la lámina.

En los ejercicios 57 y 58, verificar el teorema de divergencia

evaluando

SF N dS

como integral de superficie y como integral triple.

57.

z aa x 2 y 2 ,

0 ≤ z ≤ a 2 .

Fx, y, z x 2 i xyj zk

Q: región sólida limitada o acotada por los planos coordenados

y por el plano 2x 3y 4z 12

58.

Fx, y, z xi yj zk

Q: región sólida limitada o acotada por los planos coordenados

y el plano 2x 3y 4z 12

En los ejercicios 59 y 60, verificar el teorema de Stokes evaluando

C

F dr

como integral de línea y como integral doble.

59. Fx, y, z cos y y cos xi sin senx x sen sin yj xyzk

S: porción de z y 2 sobre el cuadrado en el plano xy con vértices

0, 0, a, 0, a, a, 0, a

N es el vector unitario normal a la superficie dirigido hacia arriba.

60. Fx, y, z x zi y zj x 2 k

S: porción en el primer octante del plano 3x y 2z 12

61. Demostrar que no es posible que un campo vectorial con componentes

dos veces diferenciables tenga un rotacional de xi yj

zk.

PROYECTO DE TRABAJO

El planímetro

Se han estudiado muchas técnicas de cálculo para hallar el área de

una región plana. Los ingenieros usan un dispositivo mecánico llamado

planímetro para medir áreas planas, el cual se basa en la

fórmula para el área del teorema 15.9 (página 1096). Como puede

verse en la figura, el planímetro se fija a un punto O (pero puede

moverse libremente) y tiene un gozne en A. El extremo del brazo

trazador AB se mueve en sentido contrario a las manecillas del reloj

por el contorno de la región R. En B hay una rueda pequeña perpendicular

a AB que está marcada con una escala para medir cuánto

rueda mientras B recorre el contorno de la región R. En este proyecto

se pide demostrar que el área de R está dada por la longitud L del

brazo trazador AB multiplicada por la distancia D recorrida por la

rueda.

Supóngase que el punto B recorre el contorno de R para

a ≤ t ≤ b. El punto A se moverá hacia atrás y hacia adelante a lo

largo de un arco circular centrado en el origen O. Sea t el ángulo

que se indica en la figura y sean xt, yt las coordenadas de A.

a) Mostrar que el vector OB \ está dado por la función vectorial

rt xt L cos t i yt L sin sent j.

b) Mostrar que las dos integrales siguientes son iguales a cero.

I 1 a

I 2

a

b

b

1

2

L2

d

dt dt

1

2 x dy

dt y dx

dt dt

c) Utilizar la integral xt sen sin t yt cos tdt para demostrar

que las dos integrales siguientes son iguales.

I 3 a

I 4

d) Sea N sin seni cos j. Explicar por qué la distancia D recorrida

por la rueda está dada por

D C

N Tds.

e) Mostrar que el área de la región R está dada por I 1 I 2 I 3

I 4 DL.

O

a

b

b

1

2 L y sin sen

dt x cos

dt dt

1

2 L sin dx

dt cos dy

sen

dt dt

A (, x y)

b

a

d

r( t)

θ

L

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre el

uso del cálculo para hallar áreas irregulares, ver “The Amateur

Scientist” de C. L. Strong en la edición de agosto de 1958 publicación

de Scientific American.

d

R

B

Rueda

053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 PM Page 1141

053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 PM Page 1141


SP Solución de problemas

P.S.

1. El calor fluye de áreas de mayor temperatura a áreas de menor

temperatura en dirección de la mayor variación. Como resultado,

P.S.

PROBLEM SOLVING

en la medición del flujo de calor juega un papel relevante el gradiente

Heat de flows temperatura. from areas El of flujo higher depende temperature del área to de areas la superficie. of lower

1.

1.

Lo

Heat

1. Heat

temperature importante

flows from

flows from

in es the la

areas

areas dirección direction of higher

of higher normal of temperature

temperature

greatest a la change. superficie,

to areas

to areas

As porque

of

of

a

lower

result, lower

el

calor

temperature

temperature

measuring que fluye heat in

en

the

in the

flux dirección

direction

direction

involves tangencial

of

of

the greatest

greatest

gradient a la superficie

change.

change.

of the As

As

temperature. no ocasiona

a result,

result,

pérdida

measuring

measuring

The flux de depends calor.

heat

Así,

flux

heat flux

on supóngase

involves

involves

the area the

the

of que

gradient

gradient

the el flujo surface. of

de

the

of the calor It is temperature.

temperature. a the través normal de

una

The

The

direction porción

flux depends

flux depends

to the Ssurface del

on the

on the área that area

area

is de important, of

la

the

superficie

surface.

of the surface.

because It

It está heat is the

is the dado that normal

normal

flows por

H

direction

direction

in directions kT

to the

to the tangential N

surface

dS, donde

that

surface that

to the is

T

important,

is important,

surface es la temperatura, will because

because

produce heat

heat N no es

that

that

heat el vector

flows

flows

loss.

unitario

in

in

So, directions

directions

assume normal that tangential

tangential a la the superficie heat to

to

flux the

the en

surface

surface

across la dirección a will

will

portion produce

produce del of flujo the no

no de heat

surface heat

calor,

loss.

loss.

of y

k

So,

So,

area es assume la

assume

difusividad S is given that the

that the

by térmica

heat

heat

H flux

flux del kmaterial. across

across

T N a dS, portion

portion El where flujo

of

of de Tthe the calor is the surface

surface a temperature,

la superficie

través

of

of

de

area

area

S

Nis is

is given

given

the Sunit by

by está normal dado

H

por vector k T to N the dS,

dS,

surface where T

where in is

is

the the

direction temperature,

temperature,

of the N

heat is the

is the

flow, unit

unit

and normal

normal

k is the vector

vector

thermal to the

to the

diffusivity surface in

surface in

of the

the direction

direction

material.

of

Hof The the

S the

heat heat

heat

flux flow,

flow, kT

across and

and N the k is

dS. is

surface the thermal

the thermal

S is given diffusivity

diffusivity

by of the material.

of the material.

The heat flux across the surface S is given by

The heat flux across the surface

is given by

H k T N dS.

Considerar una sola fuente de calor localizada en el origen con

H S k T N dS.

temperatura

dS.

S

Consider S a single heat source located at the origin with

Consider a single 25heat Tx, Consider

temperature

y, z

single heat source

x 2 y 2 z 2.

source located at the origin with

located at the origin with

temperature

temperature 25

Tx, y, z

a) Calcular el flujo 25

25

de calor a través de la superficie

Tx, y, z x 2 y 2 z 2.

Tx, y, x

S x, y, z: 2

2 y z 2 2 z 1 2. 2.

(a) Calculate the heat flux

across

x 2 ,

the 1

2 ≤ surface

x ≤ 1

(a) Calculate the heat flux across the surface2 , 0 ≤ y ≤ 1

(a) Calculate the heat flux across the 1surface

1

S x, y, z : z 1 x


2 ,

1

x

1

S x, y, z : z 1 x x, zy, 2 2 ,

2

x

2 , 0 y 1

2

2 , 0 y 1

as shown in the figure.


as shown in

z

the figure.

2 z N

2 N

12

S

N

S

1

S

1

1

1 y

x

1 1 y

x 1 1 y

x

b) Repetir el cálculo del inciso a) usando la parametrización

(b)

x

Repeat

cos u,

the calculation y v, z

in

sen sin

part

u,

(a) using

0 ≤ v ≤ 1.

3 ≤ u ≤ the 2 parametrization

(b) Repeat the calculation in part (a) using the 3 parametrization

,

(b) Repeat the calculation in part (a) using the parametrization

2

x cos u,

2. Considerar una sola y fuente v, z sin u, u

de calor localizada 2

0 v 1.

en el origen con

x cos u,

temperatura

cos u,

y v, v, z sin u,

3

u

3 ,

1.

0 v 1.

sin u, 3 3 ,

2. Consider a single heat source located at the origin with

2. Consider 25

2. Tx, Consider

temperature a single heat

y, z

single heat source

x 2 y 2 z 2. source located at the origin with

located at the origin with

temperature

temperature 25

Tx, y, z

a) Calcular el flujo de calor a través de la superficie

Tx, y, z x 2 25

25y 2 z 2.

Tx, y, x

S x, y, z: 2

2 y

z 2 2 z

1 2. 2. (a) Calculate the heat flux across x 2 the y 2 , surface x 2 y 2 ≤ 1

(a) Calculate the heat flux across the surface

(a) como Calculate S se x, muestra y, the z heat : zen flux la figura. 1across x 2 the ysurface

2 , x 2 y 2 1

b) Repetir S x, x, el y,

y, cálculo z : z del 1 inciso x 2 2 a) usando y 2 2 , x 2 2 la y 2 2 parametrización 1


xas shown sen sin u cos in the v, figure. y sen sin u sen sin v, z cos u, 0 ≤ u ≤

(b) as Repeat shown the in calculation the figure. in part (a) using the parametrization 2 ,

(b) 0Repeat ≤ v ≤the 2. calculation in part (a) using the parametrization

(b) Repeat x sin the u cos calculation v, y sin part u sin (a) v, using z cos the u, parametrization 0 u

x sin u cos v, y sin u sin v, z cos u, 0 u

2 ,

0 sin v cos 2 . v,

sin sin v,

cos u,

2

0 v 2 .

,

PROBLEM SOLVING

z

Figura para 2

3. Considerar 1un cable de 1densidad y x, y, z dado por la curva en el

x

espacio

Figure for 2

C: rt Figure xti for 2

ytj ztk, a ≤ t ≤ b.

3. Consider Figure a for wire of density x, y, z given by the space curve

3. Consider Los momentos a wire de of density inercia con x, y, respecto z given a by los the ejes space x, y curve

3. Consider

y z están

C: r t wire x t i of ytj density ztk, x, y, agiven t by b. the space curve

dados por

C: r t x t i ytj ztk, a t b.

C: The moments of inertia ytj about ztk, the

x-, y-,

and b. z-axes are given by

The I x Cy moments 2 zof 2 x, inertia y, z about ds the x-, y-, and z-axes are given by

The I x

moments C y 2 of z 2 inertia x, y, about z ds the x-, y-, and z-axes are given by

I x C y x Cx 2 2 z

2 2 x, y, z ds

I y C x 2 zx, 2 x, x, y,

y, y, z z ds

ds

I y C x

y 2 z 2 2 x, y, z ds

I z C x 2 y 2 x, x, y, y, z ds ds.

I Cx z C x x, z z C 2 2 y 2 2 y, z ds.

Find the moments of x, y, inertia ds. for a wire of uniform density 1

Find the moments of inertia for a wire of uniform density 1

Find Hallar the

the

shape

los moments momentos

of the

of

helix

inertia de inercia for de wire un cable of uniform de densidad density uniforme

in the shape of the helix

in r tthe shape en 3 cos forma of ti the de 3 helix hélice sen tj 2tk, 0 t 2 (ver la figura).

r t 3 cos ti 3 sen tj 2tk, 0 t 2 (ver la figura).

cos ti sen tj 2tk,

(ver la figura).

r(t) = 3 cos ti + 3 sen tj + 2tk

t 2 2 2t

r(t) = 3 cos ti + 3 sen tj + 2tk

r(t) =

r(t) cos ti sen tj 2tk

t

r(t) =

r(t) i + tj +

3/2

z

2 2t

i + tj +

2t tj 3/2

3/2 k

2 3

z

k

z

2z

3

1

z

N 1

z S

z

z

N 1

N

S

1

S

1 y

1

x

x

1

12

12

12 10

10

108

8

6

6

4

4

2

2

2

2

2

2

y

y

P.S. Problem Solving 1141

P.S.

P.S.

Problem Solving

Problem Solving

1141

1141

1 y

z

z

2

2

1

1

1

1

1

2 y

1

2 y

x

Figura para x 3 Figura para 4


Figura para Figura para 1

4. Find the moments of inertia for the wire of density

4. Find the moments of inertia for the wire of density

1 1

t

4. Find Hallar

given

the

by

los moments

the

momentos

curve

of de inertia inercia for del the cable wire de of densidad density 1 t

given by the curve

1 t

given dado por by the la tcurva

curve

r t

2 t

rt t2 32

22 t r t

≤ ≤ (ver la figura).

(see figure).

tj 2t 32 0 t 1 (see figure).

C: 2 i tj 2 2t 32 0 t 1 (see figure).

C:

2 i tj 2 2t

C:

32

k,

3

k,

3 k,

5. The Laplacian is the differential operator

5.

5. The

The El laplaciano Laplacian

Laplacianes is

is el the

the operador differential

differential diferencial operator

2 2 2 operator

2

2 2 2

2

2x 2 y2

2 2z 2

2

x 2 2 y 2 2 z 2 2 and Laplace’s equation is

y la ecuación de Laplace es

and Laplace’s equation is

and Laplace’s 2 equation is

2

w 2

w 2

w

w 2

2 2 w 2

2 w

2 w 2 2 w

0.

x 2 y 2

z 2 0.

Cualquier función x 2

2 que y 2

2 satisface z 0.

2 2 esta ecuación se llama armónica.

Demostrar

Any function

que la función

that satisfies

w = 1/f

this

es armónica.

equation is called harmonic.

Any function that satisfies this equation is called harmonic.

Any

Show

function

that the

that

function

satisfies

w

this

1 f is

equation

harmonic.

is called harmonic.

Show that the function w 1 f is harmonic.

Show that the function

is harmonic.

1

1142 1142 Chapter CAPÍTULO

15 15 15 Vector Análisis Analysisvectorial

CAS

CAS6. 6. Considerar the the line la line integral de línea

y n ydx

n dx x n xdy

n dy

C

C

where

where donde C

Cis is the es the la frontera boundary of de of the la the región region region que lying lying yace between entre las the the gráficas graphsde

of

of y y a 2 a 2 x 2 x 2 a a > > 0

0y

y

y 0.

0.

(a) (a) Use Usar Use a a un computer sistema algebraico system por to computadora to verify verify Green’s para verificar Theoremel

for teorema for n,

n, an an odd de odd Green integer para from from n, 1 un 1 through entero 7. impar 7. de 1 a 7.

(b) (b) Use Usar Use a a un computer sistema algebraico system por to computadora to verify verify Green’s para verificar Theoremel

for teorema for n,

n, an an even de even Green integer para from from n, un 2 2 entero through par 8.

8. de 2 a 8.

(c) (c) For Para For n

an nun an odd entero odd integer, impar make n, make conjeturar a a conjecture acerca about about del valor the the value de value la of inte-

of

the gral.

the integral.

7. 7. 7. Use Use Utilizar a line a line una integral integral to to find de find línea the the area para area calcular bounded el by by área one one limitada arch arch of of the o the aco-

cycloid tada por x x un arco a a de sin la sin cicloide , y ,

y a a1 1 cos cos , 0 ,

0 2 2 ,

,

as as shown shown

x in in

a the the

figure.

figure.

sen sin , y a1 cos , 0 ≤ ≤ 2

y

y

y

y


2a

2a y

1

1y

2a

1

8. Utilizar una integral de línea para hallar el área limitada o acotada

por 1

x t los dos lazos y t de sin la t, curva 0 ocho t 2

2 sin 1

x t 2t, y t sin t, 0 t 2

2 sin 2t, x

x

−1

−1

1

1

x

x

−1 −1

−1 1

2 π

a2 π

a

Figure for for 7 7 2 πa

x

−1

Figure for for 8

8

8. 8. Use Use Figura a line a line para integral 7 to to find find the the area area bounded Figura by by para the the two 8

two loops loops of

of

the the eight eight curve

curve

x

xt 1 as as shown shown yt sin t, 0 ≤ t ≤ 2

2in sen sin the the 2t,

figure.

figure. sen

9. 9. The The force force field field F Fx, x, y y x x y iy i x

que se muestra en la figura.

2 x 2 1 1j

acts j

acts on on an an object

object

moving from from the the point point 0, 0, 0

0to to the the point point 0, 0, 1 1 , as ,

as shown shown in

in

9. the the El figure.

campo figure. de fuerzas Fx, y x yi x 2 1j actúa sobre

yun y objeto que se mueve del punto 0, 0 al punto 0, 1, como se

muestra en la figura.

1

1 y

1

x

x

1

1

x

(a) (a) Find Find the the work work done done if if the the object 1

object moves moves along along the the path

path x x 0,

0,

0 0 y y 1.

1.

a) Hallar el trabajo realizado si el objeto sigue la trayectoria

(b) (b) Find Find the the work work done done if if the the object object moves moves along along the the path

path

0, 0 ≤ y ≤ 1.

x x y y y 2 y,

2 0 ,

0 y y 1.

1.

b) Hallar el trabajo realizado si el objeto sigue la trayectoria

(c) (c) Suppose the the object object moves moves along along the the path

path x x c cy y y

x y 2 , 0 ≤ y ≤ 1.

2 y,

2 ,

0 0 y y 1,

1, c c > > 0.

0. Find Find the the value value of of the the constant c

cthat

that

c) Supóngase minimizes the the que work.

work. el objeto sigue la trayectoria x cy y 2 ,

0 ≤ y ≤ 1, c > 0. Hallar el valor de la constante c que minimiza

el trabajo.

10. 10. 10. The The El force campo force field field de Ffuerzas Fx, x, y y Fx, 3x 3x 2 y y 2 y i 2 3x i 2x 2 y 2x 23 i y 3 y j

is j2x is shown 3 shown yj se in in muestra the

the

figure figure en la below. below. figura. Three Three Tres partículas particles move se move mueven from from the del the point punto

point 1, 1, 1

11

to al to the punto

the

point

point 2, 2, 4

2, 4a 4

along along largo different de trayectorias paths. paths. Explain diferentes. why why the Explicar the work work done por done qué is

is el

the the trabajo same same for realizado for each each particle, es el and mismo and find find con the the las value value tres of of partículas, the the work.

work. y hallar

el valor del trabajo.

y

y

y

6

6

6

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

x

x

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6

6 x

1 2 3 4 5 6

11. 11. 11. Let Let Sea S

Sbe S be una a a superficie smooth oriented suave orientada, surface with con with vector normal normal vector

vector

N,

N, aco-

bounded tada por by by una a a curva smooth suave simple simple closed closed cerrada curve curve C.

C. Sea Let Let v

un vbe be vector a

a

constante. vector, Demostrar and and prove prove que that

that

S

S

S2v N dS Cv r dr.

2v

2vN N dS

dS

v v r r dr.

dr.

C

C

12. Comparar el área de la elipse 2

x con la magnitud del

y2

12. How does the area of the ellipse 2

x 2 y 2

12. How does the area of the ellipse 2 y 2

2 1

1

compare with with the

the

trabajo realizado por el campo

a 2 a 2 de fuerzas

b 2 b 2 magnitude of of the the

Fx, y 1 work work

2 yi 1 done done by by the the force force field

field

1

F x, y

2 xj

sobre una

2 yi 1

1

F x, y

2 yi partícula

2 xj 1

2 xj que da una vuelta alrededor de la elipse (ver

on on a la a figura).

particle that that moves moves once once around the the ellipse ellipse (see (see figure)?

y

y y

1

1 1

x

−1

−1 −1

1

1 1

−1

−1 −1

13. 13. 13. A A cross Una cross sección section of transversal of Earth’s del magnetic campo field field magnético can can be be de represented la Tierra as puede

as

a a vector representarse vector field field in in como which which un the campo the center center vectorial of of Earth Earth en el is is cual located el centro at at the

the de la

origin origin Tierra and and se the localiza the positive en el y-origen axis axis points y points el eje in y in the positivo the direction apunta of en of the direc-

the

magnetic ción del north north polo pole. norte pole. The magnético. The equation La for for ecuación this this field field para is

is este campo es

F Fx, Fx, y yyM Mx, Mx, y iy yi i Nx, Nx, Nx, y jy yj

j

m

m

m

x 2 y 2 3xyi 2y 2 x 2 j

x 2 y 252 52 3xyi 2y 2 x 2 j

x 2 y 2y 2 x 2 j

252

donde es el momento magnético de la Tierra. Demostrar que

where

where m

mis is the the magnetic moment of of Earth. Earth. Show Show that that this

this

este campo vectorial es conservativo.

vector vector field field is is conservative.

Apéndices

Apéndice A Demostración de teoremas seleccionados A-2

Apéndice B Tablas de integración A-4

A-1

A Demostración de teoremas seleccionados

A-2

Similarly, if the power series diverges at where then it diverges

for all satisfying If converged, then the argument above would

imply that

converged as well.

Finally, to prove the theorem, suppose that neither Case 1 nor Case 3 is true. Then

there exist points and such that converges at and diverges at Let

is nonempty because If then

which shows that is an upper bound for the nonempty set By the completeness

property,

has a least upper bound,

Now, if then so diverges. And if then is not an upper

bound for so there exists in satisfying Since

converges, which implies that

converges.

If then, by definition, the conic must be a parabola. If then you

can consider the focus to lie at the origin and the directrix to lie to the right

of the origin, as shown in Figure A.1. For the point

you have

and Given that it follows that

By converting to rectangular coordinates and squaring each side, you obtain

Completing the square produces

If this equation represents an ellipse. If then and the

equation represents a hyperbola.

1 e 2 < 0,

e > 1,

e < 1,

x

e 2 d

1 e 2 2 y 2

1 e 2 e 2 d 2

1 e 2 2.

x 2 y 2 e 2 d x 2 e 2 d 2 2dx x 2 .

r e d r cos .

PF

PQ e

e PF PQ ,

PQ d r cos .

PF

r

P r, x, y ,

x

d

F

e 1,

e 1,

PROOF

a n x n

a n b n

b S,

b > x .

S

b

S,

x

x < R,

a n x n

x S,

x > R,

R.

S

S.

d

x d ,

x S,

b S.

S

S x: a n x n converges .

d.

b

a n x n

d

b

a n b n

a n d n

d > b .

d

b 0,

x b,

a n x n

THEOREM 10.16 CLASSIFICATION OF CONICS BY ECCENTRICITY

(PAGE 750)

Let be a fixed point ( focus) and let be a fixed line (directrix) in the plane.

Let

be another point in the plane and let (eccentricity) be the ratio of the

distance between and to the distance between and The collection of

all points

with a given eccentricity is a conic.

1. The conic is an ellipse if

2. The conic is a parabola if

3. The conic is a hyperbola if e > 1.

e 1.

0 < e < 1.

P

D.

P

F

P

e

P

D

F

x

Q

P

F

y

x = d

r

θ

Figura A.1



imply that

converged as well.





property,





converges.




you have






1 e 2 < 0,

e > 1,

e < 1,

x

e 2 d

1 e 2 2 y 2

1 e 2 e 2 d 2

1 e 2 2.

x 2 y 2 e 2 d x 2 e 2 d 2 2dx x 2 .

r e d r cos .

PF

PQ e

e PF PQ ,

PQ d r cos .

PF

r

P r, x, y ,

x

d

F

e 1,

e 1,

PROOF

a n x n

a n b n

b S,

b > x .

S

b

S,

x

x < R,

a n x n

x S,

x > R,

R.

S

S.

d

x d ,

x S,

b S.

S


d.

b

a n x n

d

b

a n b n

a n d n

d > b .

d

b 0,

x b,

a n x


(PAGE 750)


Let



all points





e 1.

0 < e < 1.

P

D.

P

F

P

e

P

D

F

x

Q

P

F

y

x = d

r

θ

Figura A.1



imply that

converged as well.





property,





converges.




you have






1 e 2 < 0,

e > 1,

e < 1,

x

e 2 d

1 e 2 2 y 2

1 e 2 e 2 d 2

1 e 2 2.

x 2 y 2 e 2 d x 2 e 2 d 2 2dx x 2 .

r e d r cos .

PF

PQ e

e PF PQ ,

PQ d r cos .

PF

r

P r, x, y ,

x

d

F

e 1,

e 1,

PROOF

a n x n

a n b n

b S,

b > x .

S

b

S,

x

x < R,

a n x n

x S,

x > R,

R.

S

S.

d

x d ,

x S,

b S.

S


d.

b

a n x n

d

b

a n b n

a n d n

d > b .

d

b 0,

x b,

a n x n


(PAGE 750)


Let



all points





e 1.

0 < e < 1.

P

D.

P

F

P

e

P

D

F

x

Q

P

F

y

x = d

r

θ

Figura A.1



imply that

converged as well.





property,





converges.




you have






1 e 2 < 0,

e > 1,

e < 1,

x

e 2 d

1 e 2 2 y 2

1 e 2 e 2 d 2

1 e 2 2.

x 2 y 2 e 2 d x 2 e 2 d 2 2dx x 2 .

r e d r cos .

PF

PQ e

e PF PQ ,

PQ d r cos .

PF

r

P r, x, y ,

x

d

F

e 1,

e 1,

PROOF

a n x n

a n b n

b S,

b > x .

S

b

S,

x

x < R,

a n x n

x S,

x > R,

R.

S

S.

d

x d ,

x S,

b S.

S


d.

b

a n x n

d

b

a n b n

a n d n

d > b .

d

b 0,

x b,

a n x n


(PAGE 750)


Let



all points





e 1.

0 < e < 1.

P

D.

P

F

P

e

P

D

F

x

Q

P

F

y

x = d

r

θ

Figura A.1

TEOREMA 10.16

ClAsifiCACión dE CóniCAs MEdiAnTE lA ExCEnTRiCidAd

(páginA 750)

Sean F un punto fijo (foco) y D una recta fija (directriz) en el plano. Sean también

P otro punto del plano y e (excentricidad) la proporción que existe entre la distancia

que hay de P a F y la distancia de P a D. El conjunto de todos los puntos P con una

excentricidad dada es una cónica.

1. La cónica es una elipse si



imply that

converged as well.





property,





converges.




you have






1 e 2 < 0,

e > 1,

e < 1,

x

e 2 d

1 e 2 2 y 2

1 e 2 e 2 d 2

1 e 2 2.

x 2 y 2 e 2 d x 2 e 2 d 2 2dx x 2 .

r e d r cos .

PF

PQ e

e PF PQ ,

PQ d r cos .

PF

r

P r, x, y ,

x

d

F

e 1,

e 1,

PROOF

a n x n

a n b n

b S,

b > x .

S

b

S,

x

x < R,

a n x n

x S,

x > R,

R.

S

S.

d

x d ,

x S,

b S.

S


d.

b

a n x n

d

b

a n b n

a n d n

d > b .

d

b 0,

x b,

a n x


(PAGE 750)


Let



all points





e 1.

0 < e < 1.

P

D.

P

F

P

e

P

D

F

x

Q

P

F

y

x = d

r

θ

Figura A.1

2. La cónica es una parábola si



imply that

converged as well.





property,





converges.




you have






1 e 2 < 0,

e > 1,

e < 1,

x

e 2 d

1 e 2 2 y 2

1 e 2 e 2 d 2

1 e 2 2.

x 2 y 2 e 2 d x 2 e 2 d 2 2dx x 2 .

r e d r cos .

PF

PQ e

e PF PQ ,

PQ d r cos .

PF

r

P r, x, y ,

x

d

F

e 1,

e 1,

PROOF

a n x n

a n b n

b S,

b > x .

S

b

S,

x

x < R,

a n x n

x S,

x > R,

R.

S

S.

d

x d ,

x S,

b S.

S


d.

b

a n x n

d

b

a n b n

a n d n

d > b .

d

b 0,

x b,

a n x n


(PAGE 750)


Let



all points





e 1.

0 < e < 1.

P

D.

P

F

P

e

P

D

F

x

Q

P

F

y

x = d

r

θ

Figura A.1

3. La cónica es una hipérbola si



imply that

converged as well.





property,





converges.




you have






1 e 2 < 0,

e > 1,

e < 1,

x

e 2 d

1 e 2 2 y 2

1 e 2 e 2 d 2

1 e 2 2.

x 2 y 2 e 2 d x 2 e 2 d 2 2dx x 2 .

r e d r cos .

PF

PQ e

e PF PQ ,

PQ d r cos .

PF

r

P r, x, y ,

x

d

F

e 1,

e 1,

PROOF

a n x n

a n b n

b S,

b > x .

S

b

S,

x

x < R,

a n x n

x S,

x > R,

R.

S

S.

d

x d ,

x S,

b S.

S


d.

b

a n x n

d

b

a n b n

a n d n

d > b .

d

b 0,

x b,

a n x n


(PAGE 750)


Let



all points





e 1.

0 < e < 1.

P

D.

P

F

P

e

P

D

F

x

Q

P

F

y

x = d

r

θ

Figura A.1

DEMOSTRACIÓN Si e = 1 entonces, por definición, la cónica debe ser una parábola. Si

er series diverges at where then it diverges

If

converged, then the argument above would

onverged as well.

e theorem, suppose that neither Case 1 nor Case 3 is true. Then

and such that converges at and diverges at Let


is an upper bound for the nonempty set

By the completeness

ast upper bound,

n so diverges. And if then is not an upper

here exists in satisfying Since

plies that

converges.

hen, by definition, the conic must be a parabola. If

then you

cus to lie at the origin and the directrix to lie to the right

own in Figure A.1. For the point

you have

Given that

it follows that

ctangular coordinates and squaring each side, you obtain

are produces

tion represents an ellipse. If then and the

a hyperbola.

1 e 2 < 0,

e > 1,

y 2

1 e 2 e 2 d 2

1 e 2 2.

x 2 e 2 d 2 2dx x 2 .

r e d r cos .

e PF PQ ,

d r cos .

P r, x, y ,

x

d

F

e 1,

a n x n

a n b n

b S,

b > x .

S

b

x

x < R,

a n x n

x S,

R.

S.

x d ,

x S,

b S.

S

verges .

d.

b

a n x n

d

a n d n

d > b .

b 0,

x b,

a n x n

6 CLASSIFICATION OF CONICS BY ECCENTRICITY

(PAGE 750)

point ( focus) and let

be a fixed line (directrix) in the plane.

r point in the plane and let (eccentricity) be the ratio of the

n and to the distance between and The collection of

a given eccentricity is a conic.

an ellipse if

a parabola if

a hyperbola if e > 1.

e 1.

0 < e < 1.

D.

P

F

P

e

D

, entonces considerar el foco F que se encuentra en el origen y la directriz x = d a la

derecha del origen, como se muestra en la figura A.1. En el punto



imply that

converged as well.





property,





converges.




you have






1 e 2 < 0,

e > 1,

e < 1,

x

e 2 d

1 e 2 2 y 2

1 e 2 e 2 d 2

1 e 2 2.

x 2 y 2 e 2 d x 2 e 2 d 2 2dx x 2 .

r e d r cos .

PF

PQ e

e PF PQ ,

PQ d r cos .

PF

r

P r, x, y ,

x

d

F

e 1,

e 1,

PROOF

a n x n

a n b n

b S,

b > x .

S

b

S,

x

x < R,

a n x n

x S,

x > R,

R.

S

S.

d

x d ,

x S,

b S.

S


d.

b

a n x n

d

b

a n b n

a n d n

d > b .

d

b 0,

x b,

a n x


(PAGE 750)


Let



all points





e 1.

0 < e < 1.

P

D.

P

F

P

e

P

D

F

x

Q

P

F

y

x = d

r

θ

Figura A.1

se

tiene



imply that

converged as well.





property,





converges.




you have






1 e 2 < 0,

e > 1,

e < 1,

x

e 2 d

1 e 2 2 y 2

1 e 2 e 2 d 2

1 e 2 2.

x 2 y 2 e 2 d x 2 e 2 d 2 2dx x 2 .

r e d r cos .

PF

PQ e

e PF PQ ,

PQ d r cos .

PF

r

P r, x, y ,

x

d

F

e 1,

e 1,

PROOF

a n x n

a n b n

b S,

b > x .

S

b

S,

x

x < R,

a n x n

x S,

x > R,

R.

S

S.

d

x d ,

x S,

b S.

S


d.

b

a n x n

d

b

a n b n

a n d n

d > b .

d

b 0,

x b,

a n x


(PAGE 750)


Let



all points





e 1.

0 < e < 1.

P

D.

P

F

P

e

P

D

F

x

Q

P

F

y

x = d

r

θ

Figura A.1

y



imply that

converged as well.





property,





converges.




you have






1 e 2 < 0,

e > 1,

e < 1,

x

e 2 d

1 e 2 2 y 2

1 e 2 e 2 d 2

1 e 2 2.

x 2 y 2 e 2 d x 2 e 2 d 2 2dx x 2 .

r e d r cos .

PF

PQ e

e PF PQ ,

PQ d r cos .

PF

r

P r, x, y ,

x

d

F

e 1,

e 1,

PROOF

a n x n

a n b n

b S,

b > x .

S

b

S,

x

x < R,

a n x n

x S,

x > R,

R.

S

S.

d

x d ,

x S,

b S.

S


d.

b

a n x n

d

b

a n b n

a n d n

d > b .

d

b 0,

x b,

a n x


(PAGE 750)


Let



all points





e 1.

0 < e < 1.

P

D.

P

F

P

e

P

D

F

x

Q

P

F

y

x = d

r

θ

Figura A.1

Dado que



imply that

converged as well.





property,





converges.




you have






1 e 2 < 0,

e > 1,

e < 1,

x

e 2 d

1 e 2 2 y 2

1 e 2 e 2 d 2

1 e 2 2.

x 2 y 2 e 2 d x 2 e 2 d 2 2dx x 2 .

r e d r cos .

PF

PQ e

e PF PQ ,

PQ d r cos .

PF

r

P r, x, y ,

x

d

F

e 1,

e 1,

PROOF

a n x n

a n b n

b S,

b > x .

S

b

S,

x

x < R,

a n x n

x S,

x > R,

R.

S

S.

d

x d ,

x S,

b S.

S


d.

b

a n x n

d

b

a n b n

a n d n

d > b .

d

b 0,

x b,

a n x


(PAGE 750)


Let



all points





e 1.

0 < e < 1.

P

D.

P

F

P

e

P

D

F

x

Q

P

F

y

x = d

r

θ

Figura A.1

se deduce que

Convirtiendo a coordenadas rectangulares y elevando al cuadrado ambos lados, se obtiene

Completando el procedimiento

Si e < 1, esta ecuación representa a una elipse. Si e > 1, entonces



imply that

converged as well.





property,





converges.




you have






1 e 2 < 0,

e > 1,

e < 1,

x

e 2 d

1 e 2 2 y 2

1 e 2 e 2 d 2

1 e 2 2.

x 2 y 2 e 2 d x 2 e 2 d 2 2dx x 2 .

r e d r cos .

PF

PQ e

e PF PQ ,

PQ d r cos .

PF

r

P r, x, y ,

x

d

F

e 1,

e 1,

PROOF

a n x n

a n b n

b S,

b > x .

S

b

S,

x

x < R,

a n x n

x S,

x > R,

R.

S

S.

d

x d ,

x S,

b S.

S


d.

b

a n x n

d

b

a n b n

a n d n

d > b .

d

b 0,

x b,

a n x n


(PAGE 750)


Let



all points





e 1.

0 < e < 1.

P

D.

P

F

P

e

P

D

F

x

Q

P

F

y

x = d

r

θ

Figura A.1

y la ecuación

representa a una hipérbola.

Demostración Si entonces, por definición, la cónica debe ser una parábola.

Si

entonces considerar el foco F que se encuentra en el origen y la directriz

a la derecha del origen, como se muestra en la figura A.1. En el

punto se tiene y Dado que

se deduce que

Convirtiendo a coordenadas rectangulares y elevando al cuadrado ambos lados, se

obtiene

Completando el procedimiento

Si esta ecuación representa a una elipse. Si entonces y la

ecuación representa a una hipérbola.

Demostración Sea la superficie definda por donde y son continuas

en

Además, sean A, B y C puntos en la superficie, como se muestra en la

figura A.2. En la figura observamos que el cambio de ƒ del punto A al punto C se

encuentra por medio de

z 1 z 2 .

f x x, y f x, y f x x, y y f x x, y

z f x x, y y f x, y

x, y.

f y

f x ,

f,

z f x, y,

S

1 e 2 < 0,

e > 1,

e < 1,

x

e2 d

1 e 22 y 2

1 e 2 e2 d 2

1 e 2 2.

x 2 y 2 e 2 d x 2 e 2 d 2 2dx x 2 .

r ed r cos .

PF PQe

e PFPQ,

PQ d r cos .

PF r

P r, x, y,

x d

e 1,

e 1,

y

x

A

B

C

∆z 2

∆z 1

∆z

(x, y)

(x + ∆x, y + ∆y)

(x + ∆x, y)

z

Figura A.2

z fx x, y y fx, y

x

Q

P

F

y

x = d

r

θ

Figura A.1

TEOREMA 10.16

Clasificación de cónicas mediante

la excentricidad (página 748)

Sean F un punto fijo (foco) y D una recta fija (directriz) en el plano. Sean también

P otro punto del plano y e (excentricidad) la proporción que existe entre la

distancia que hay de P a F y la distancia de P a D. El conjunto de todos los

puntos P con una excentricidad dada es una cónica.

1. La cónica es una elipse si

2. La cónica es una parábola si

3. La cónica es una hipérbola si e > 1.

e 1.

0 < e < 1.

TEOREMA 13.4

Condiciones suficientes para la diferenciabilidad

(página 917)

Si es una función de y y además y son continuas en una región

abierta entonces es derivable en R.

f

R,

f y

f x

y,

x

f

A20 Appendix A Proofs of Selected Theorems

Let be the surface defined by where and are continuous

at Let and be points on surface as shown in Figure A.2. From this

figure, you can see that the change in from point to point is given by

Between and is fixed and changes. So, by the Mean Value Theorem, there is

a value between and such that

Similarly, between and is fixed and changes, and there is a value between

and

such that

y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

z 1 z 2 .


z f x x, y y f x, y

C

A

f

S,

C

B,

A,

x, y .

f y

f x ,

f,

z f x, y ,

S

PROOF

THEOREM 13.4 SUFFICIENT CONDITION FOR DIFFERENTIABILITY (PAGE 919)

If is a function of and where and are continuous in an open region

then is differentiable on R.

f

R,

f y

f x

y,

x

f

053714_App_A_Calc_Calc MV.qxp 10/27/08 2:52 PM Page A20

A20 Appendix A Proofs of Selected Theorems

Let be the surface defined by where and are continuous

at Let and be points on surface as shown in Figure A.2. From this

figure, you can see that the change in from point to point is given by




and

such that

y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

z 1 z 2 .


z f x x, y y f x, y

C

A

f

S,

C

B,

A,

x, y .

f y

f x ,

f,

z f x, y ,

S

PROOF

THEOREM 13.4 SUFFICIENT CONDITION FOR DIFFERENTIABILITY (PAGE 919)

If is a function of and where and are continuous in an open region

then is differentiable on R.

f

R,

f y

f x

y,

x

f

053714_App_A_Calc_Calc MV.qxp 10/27/08 2:52 PM Page A20

TEOREMA 13.4

COndiCiOnEs sufiCiEnTEs pARA lA difEREnCiAbilidAd

(páginA 919)

Si f es una función de x y y, y además f x y f y son continuas en una región abierta R,

entonces f es derivable en R.

DEMOSTRACIÓN Sea la superficie definida por z = f (x, y) donde f, f x y f y son continuas en

(x, y). Además, sean A, B y C puntos en la superficie, como se muestra en la figura A.2. En la

figura observamos que el cambio de ƒ del punto A al punto C se encuentra por medio de

Desde A hasta B, y es fija y x cambia. Entonces, mediante el teorema del valor promedio,

existe un valor x 1 entre x y x + Dx tal que

ApénDiCE A Demostración de teoremas seleccionados A-3

Del mismo modo, desde B hasta C, x es fija, y cambia, y existe un valor y 1 entre y y y + Dy

tal que

Combinando estos dos resultados, escribir

Definiendo e 1 y e 2 como




and

such that

By combining these two results, you can write

If you define and as and

it follows that

By the continuity of and and the fact that and

it follows that and as and Therefore, by definition, is

differentiable.

Because and are differentiable functions of you know that both

and

approach zero as approaches zero. Moreover, because is a differentiable

function of and

you know that

where both and as So, for

from which it follows that

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

dw

dt

lím

t→0

w

t

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt

0 dx

dt

0 dy

dt

w

t

w

x

x

t

w

y

y

t

1

x

t

2

y

t

t 0

x, y → 0, 0 .

2 → 0

1

w w x x w y y 1 x 2 y,

y,

x

f

t

y

x

t,

h

g

PROOF

f

y → 0.

x → 0

2 → 0

1→ 0

y y,

y y 1

x x 1 x x

f y

f x f x x, y x f y x, y y 1 x 2 y.

z z 1 z 2 1 f x x, y x 2 f y x, y y

2 f y x x, y 1 f y x, y ,

1 f x x 1 , y f x x, y

2

1

z z 1 z 2 f x x 1 , y x f y x x, y 1 y.

z 2 f x x, y y f x x, y f y x x, y 1 y.

y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

z 1 z 2 .

THEOREM 13.6 CHAIN RULE: ONE INDEPENDENT VARIABLE (PAGE 925)

Let where is a differentiable function of and If and

where and are differentiable functions of then is a differentiable

function of

and

dw

dt

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

t,

w

t,

h

g

y h t ,

x

g t

y.

x

f

w f x, y ,

y




and

such that



it follows that



differentiable.


and


function of and

you know that



w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

dw

dt

lím

t→0

w

t

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt

0 dx

dt

0 dy

dt

w

t

w

x

x

t

w

y

y

t

1

x

t

2

y

t

t 0

x, y → 0, 0 .

2 → 0

1


y,

x

f

t

y

x

t,

h

g

PROOF

f

y → 0.

x → 0

2 → 0

1→ 0

y y,

y y 1

x x 1 x x

f y


z z 1 z 2 1 f x x, y x 2 f y x, y y

2 f y x x, y 1 f y x, y ,

1 f x x 1 , y f x x, y

2

1

z z 1 z 2 f x x 1 , y x f y x x, y 1 y.


y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

z 1 z 2 .




function of

and

dw

dt

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

t,

w

t,

h

g

y h t ,

x

g t

y.

x

f

w f x, y ,

se deduce

que

por medio de la continuidad de f x y f y y del hecho de que




and

such that



it follows that



differentiable.


and


function of and

you know that



w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

dw

dt

lím

t→0

w

t

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt

0 dx

dt

0 dy

dt

w

t

w

x

x

t

w

y

y

t

1

x

t

2

y

t

t 0

x, y → 0, 0 .

2 → 0

1


y,

x

f

t

y

x

t,

h

g

PROOF

f

y → 0.

x → 0

2 → 0

1→ 0

y y,

y y 1

x x 1 x x

f y


z z 1 z 2 1 f x x, y x 2 f y x, y y

2 f y x x, y 1 f y x, y ,

1 f x x 1 , y f x x, y

2

1

z z 1 z 2 f x x 1 , y x f y x x, y 1 y.


y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

z 1 z 2 .




function of

and

dw

dt

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

t,

w

t,

h

g

y h t ,

x

g t

y.

x

f

w f x, y ,

y




and

such that



it follows that



differentiable.


and


function of and

you know that



w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

dw

dt

lím

t→0

w

t

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt

0 dx

dt

0 dy

dt

w

t

w

x

x

t

w

y

y

t

1

x

t

2

y

t

t 0

x, y → 0, 0 .

2 → 0

1


y,

x

f

t

y

x

t,

h

g

PROOF

f

y → 0.

x → 0

2 → 0

1→ 0

y y,

y y 1

x x 1 x x

f y


z z 1 z 2 1 f x x, y x 2 f y x, y y

2 f y x x, y 1 f y x, y ,

1 f x x 1 , y f x x, y

2

1

z z 1 z 2 f x x 1 , y x f y x x, y 1 y.


y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

z 1 z 2 .




function of

and

dw

dt

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

t,

w

t,

h

g

y h t ,

x

g t

y.

x

f

w f x, y ,

and

changes. So, by the Mean Value Theorem, there is

such that

is fixed and changes, and there is a value

between

lts, you can write

and

nd the fact that

and

as and Therefore, by definition, is

differentiable functions of you know that both

and

proaches zero. Moreover, because

is a differentiable

that

So, for

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

w

y

dy

dt

0 dx

dt

0 dy

dt

1

x

t

2

y

t

t 0

x, y → 0, 0 .


f

x

t,

f

y → 0.

x → 0

0

y y,

y y 1

x x 1 x x

x, y x f y x, y y 1 x 2 y.

f x x, y x 2 f y x, y y

2 f y x x, y 1 f y x, y ,

f x x 1 , y

f x x, y

1 , y x f y x x, y 1 y.

y f x x, y f y x x, y 1 y.

y 1

y

x

x, y f x x 1 , y x.

x

x

x, y f x x, y y f x x, y

ULE: ONE INDEPENDENT VARIABLE (PAGE 925)

s a differentiable function of and If and

re differentiable functions of then is a differeny

t .

w

t,

x

g t

y.

x

se deduce que




and

such that



it follows that



differentiable.


and


function of and

you know that



w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

dw

dt

lím

t→0

w

t

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt

0 dx

dt

0 dy

dt

w

t

w

x

x

t

w

y

y

t

1

x

t

2

y

t

t 0

x, y → 0, 0 .

2 → 0

1


y,

x

f

t

y

x

t,

h

g

PROOF

f

y → 0.

x → 0

2 → 0

1→ 0

y y,

y y 1

x x 1 x x

f y


z z 1 z 2 1 f x x, y x 2 f y x, y y

2 f y x x, y 1 f y x, y ,

1 f x x 1 , y f x x, y

2

1

z z 1 z 2 f x x 1 , y x f y x x, y 1 y.


y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

z 1 z 2 .




function of

and

dw

dt

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

t,

w

t,

h

g

y h t ,

x

g t

y.

x

f

w f x, y ,

y




and

such that



it follows that



differentiable.


and


function of and

you know that



w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

dw

dt

lím

t→0

w

t

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt

0 dx

dt

0 dy

dt

w

t

w

x

x

t

w

y

y

t

1

x

t

2

y

t

t 0

x, y → 0, 0 .

2 → 0

1


y,

x

f

t

y

x

t,

h

g

PROOF

f

y → 0.

x → 0

2 → 0

1→ 0

y y,

y y 1

x x 1 x x

f y


z z 1 z 2 1 f x x, y x 2 f y x, y y

2 f y x x, y 1 f y x, y ,

1 f x x 1 , y f x x, y

2

1

z z 1 z 2 f x x 1 , y x f y x x, y 1 y.


y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

z 1 z 2 .




function of

and

dw

dt

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

t,

w

t,

h

g

y h t ,

x

g t

y.

x

f

w f x, y ,

cuando lo hacen

Between and is fixed and changes. So, by the Mean Value Theorem, the


Similarly, between and is fixed and changes, and there is a value betw

and

such that



it follows that


it follows that and as and Therefore, by definition

differentiable.


approach zero as approaches zero. Moreover, because is a different

function of and

you know that



w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

dw

dt

lím

t→0

w

t

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt

0 dx

dt

0 dy

dt

w

t

w

x

x

t

w

y

y

t

1

x

t

2

y

t

t 0

x, y → 0, 0 .

2 → 0

1

w w x x w y y 1 x

y,

x

f

t

y

x

t,

h

g

PROOF

y → 0.

x → 0

2 → 0

1→ 0

y

y y 1

x x 1 x x

f y


z z 1 z 2 1 f x x, y x 2 f y x, y y

2 f y x x, y 1 f y

1 f x x 1 , y f x x, y

2

1

z z 1 z 2 f x x 1 , y x f y x x, y 1 y.


y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

z 1 z 2 .


Let where is a differentiable function of and If an


function of

and

dw

dt

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

t,

w

t,

h

g

y h t ,

x

g t

y.

x

f

w f x, y ,

y

Between and is fixed and changes. So, by the Mean Value Theorem, there


Similarly, between and is fixed and changes, and there is a value betwe

and

such that



it follows that


it follows that and as and Therefore, by definition,

differentiable.


a

approach zero as approaches zero. Moreover, because is a differentia

function of and

you know that



w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

dw

dt

lím

t→0

w

t

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt

0 dx

dt

0 dy

dt

w

t

w

x

x

t

w

y

y

t

1

x

t

2

y

t

t 0

x, y → 0, 0 .

2 → 0

1

w w x x w y y 1 x 2

y,

x

f

t

y

x

t,

h

g

PROOF

y → 0.

x → 0

2 → 0

1→ 0

y

y y 1

x x 1 x x

f y


z z 1 z 2 1 f x x, y x 2 f y x, y y

2 f y x x, y 1 f y x,

1 f x x 1 , y f x x, y

2

1

z z 1 z 2 f x x 1 , y x f y x x, y 1 y.


y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

z 1 z 2 .




function of

and

dw

dt

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

t,

w

t,

h

g

y h t ,

x

g t

y.

x

f

w f x, y ,

De tal modo,

por definición, f es derivable.

TEOREMA 13.6 REglA dE lA CAdEnA: unA vARiAblE indEpEndiEnTE (páginA 925)

Sea w = f (x, y) donde f es una función diferenciable de x y y. Si x = g (t) y y = h (t),

donde g y h son funciones diferenciables de t, entonces w es una función diferenciable

de t, y

DEMOSTRACIÓN puesto que g y h son funciones diferenciables de t, se sabe que Dx y Dy

tienden a cero a medida que lo hace Dt. Además, como ƒ es una función derivable de x y y,

se sabe que




and

such that



it follows that



differentiable.


and


function of and

you know that



w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

dw

dt

lím

t→0

w

t

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt

0 dx

dt

0 dy

dt

w

t

w

x

x

t

w

y

y

t

1

x

t

2

y

t

t 0

x, y → 0, 0 .

2 → 0

1


y,

x

f

t

y

x

t,

h

g

PROOF

f

y → 0.

x → 0

2 → 0

1→ 0

y y,

y y 1

x x 1 x x

f y


z z 1 z 2 1 f x x, y x 2 f y x, y y

2 f y x x, y 1 f y x, y ,

1 f x x 1 , y f x x, y

2

1

z z 1 z 2 f x x 1 , y x f y x x, y 1 y.


y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

z 1 z 2 .




function of

and

dw

dt

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

t,

w

t,

h

g

y h t ,

x

g t

y.

x

f

w f x, y ,

donde e 1 y e 2

Between and is fixed and changes. So


Similarly, between and is fixed and ch

and

such that


If you define and as

it follows that

By the continuity of and and the fact that

it follows that and as an

differentiable.

Because and are differentiable fun

approach zero as

approaches zero. M

function of and

you know that

where both and as


dw

dt

lím

t→0

w

t

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt

0 dx

d

w

t

w

x

x

t

w

y

y

t

1

x

t

2

y

t

x, y → 0, 0 .

2 → 0

1

w

w

y,

x

t

y

h

g

PROOF

x → 0

2 → 0

1→ 0

x

f y

f x f x x, y x f y x, y

z z 1 z 2 1 f x x, y x

1 f x x 1 , y f x x

2

1

z z 1 z 2 f x x 1 , y x f y x

z 2 f x x, y y f x x, y

y

y

y

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

THEOREM 13.6 CHAIN RULE: ONE INDEP

Let

where is a differentiable f

where and are differentiable f

tiable function of

and

dw

dt

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

t,

h

g

y h t ,

f

w f x, y ,

a medida

que




and

such that



it follows that



differentiable.


and


function of and

you know that



w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

dw

dt

lím

t→0

w

t

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt

0 dx

dt

0 dy

dt

w

t

w

x

x

t

w

y

y

t

1

x

t

2

y

t

t 0

x, y → 0, 0 .

2 → 0

1


y,

x

f

t

y

x

t,

h

g

PROOF

f

y → 0.

x → 0

2 → 0

1→ 0

y y,

y y 1

x x 1 x x

f y


z z 1 z 2 1 f x x, y x 2 f y x, y y

2 f y x x, y 1 f y x, y ,

1 f x x 1 , y f x x, y

2

1

z z 1 z 2 f x x 1 , y x f y x x, y 1 y.


y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

z 1 z 2 .




function of

and

dw

dt

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

t,

w

t,

h

g

y h t ,

x

g t

y.

x

f

w f x, y ,

por tanto, para




and

such that



it follows that



differentiable.


and


function of and

you know that



w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

dw

dt

lím

t→0

w

t

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt

0 dx

dt

0 dy

dt

w

t

w

x

x

t

w

y

y

t

1

x

t

2

y

t

t 0

x, y → 0, 0 .

2 → 0

1


y,

x

f

t

y

x

t,

h

g

PROOF

f

y → 0.

x → 0

2 → 0

1→ 0

y y,

y y 1

x x 1 x x

f y


z z 1 z 2 1 f x x, y x 2 f y x, y y

2 f y x x, y 1 f y x, y ,

1 f x x 1 , y f x x, y

2

1

z z 1 z 2 f x x 1 , y x f y x x, y 1 y.


y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

z 1 z 2 .




function of

and

dw

dt

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

t,

w

t,

h

g

y h t ,

x

g t

y.

x

f

w f x, y ,

de lo que se deduce que




and

such that



it follows that



differentiable.


and


function of and

you know that



w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

dw

dt

lím

t→0

w

t

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt

0 dx

dt

0 dy

dt

w

t

w

x

x

t

w

y

y

t

1

x

t

2

y

t

t 0

x, y → 0, 0 .

2 → 0

1


y,

x

f

t

y

x

t,

h

g

PROOF

f

y → 0.

x → 0

2 → 0

1→ 0

y y,

y y 1

x x 1 x x

f y


z z 1 z 2 1 f x x, y x 2 f y x, y y

2 f y x x, y 1 f y x, y ,

1 f x x 1 , y f x x, y

2

1

z z 1 z 2 f x x 1 , y x f y x x, y 1 y.


y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

z 1 z 2 .




function of

and

dw

dt

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

t,

w

t,

h

g

y h t ,

x

g t

y.

x

f

w f x, y ,




and

such that



it follows that



differentiable.


and


function of and

you know that



w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

dw

dt

lím

t→0

w

t

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt

0 dx

dt

0 dy

dt

w

t

w

x

x

t

w

y

y

t

1

x

t

2

y

t

t 0

x, y → 0, 0 .

2 → 0

1


y,

x

f

t

y

x

t,

h

g

PROOF

f

y → 0.

x → 0

2 → 0

1→ 0

y y,

y y 1

x x 1 x x

f y


z z 1 z 2 1 f x x, y x 2 f y x, y y

2 f y x x, y 1 f y x, y ,

1 f x x 1 , y f x x, y

2

1

z z 1 z 2 f x x 1 , y x f y x x, y 1 y.


y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

1 2




function of

and

dw

dt

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

t,

w

t,

h

g

y h t ,

x

g t

y.

x

f

w f x, y ,




and

such that



it follows that



differentiable.


and


function of and

you know that



w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

dw

dt

lím

t→0

w

t

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt

0 dx

dt

0 dy

dt

w

t

w

x

x

t

w

y

y

t

1

x

t

2

y

t

t 0

x, y → 0, 0 .

2 → 0

1


y,

x

f

t

y

x

t,

h

g

PROOF

f

y → 0.

x → 0

2 → 0

1→ 0

y y,

y y 1

x x 1 x x

f y


z z 1 z 2 1 f x x, y x 2 f y x, y y

2 f y x x, y 1 f y x, y ,

1 f x x 1 , y f x x, y

2

1

z z 1 z 2 f x x 1 , y x f y x x, y 1 y.


y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

z 1 z 2 .




function of

and

dw

dt

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

t,

w

t,

h

g

y h t ,

x

g t

y.

x

f

w f x, y ,




and

such that



it follows that



differentiable.


and


function of and

you know that



w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

dw

dt

lím

t→0

w

t

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt

0 dx

dt

0 dy

dt

w

t

w

x

x

t

w

y

y

t

1

x

t

2

y

t

t 0

x, y → 0, 0 .

2 → 0

1


y,

x

f

t

y

x

t,

h

g

PROOF

f

y → 0.

x → 0

2 → 0

1→ 0

y y,

y y 1

x x 1 x x

f y


z z 1 z 2 1 f x x, y x 2 f y x, y y

2 f y x x, y 1 f y x, y ,

1 f x x 1 , y f x x, y

2

1

z z 1 z 2 f x x 1 , y x f y x x, y 1 y.


y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

z 1 z 2 .




function of

and

dw

dt

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

t,

w

t,

h

g

y h t ,

x

g t

y.

x

f

w f x, y ,




and

such that



it follows that



differentiable.


and


function of and

you know that



w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

dw

dt

lím

t→0

w

t

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt

0 dx

dt

0 dy

dt

w

t

w

x

x

t

w

y

y

t

1

x

t

2

y

t

t 0

x, y → 0, 0 .

2 → 0

1


y,

x

f

t

y

x

t,

h

g

PROOF

f

y → 0.

x → 0

2 → 0

1→ 0

y y,

y y 1

x x 1 x x

f y


z z 1 z 2 1 f x x, y x 2 f y x, y y

2 f y x x, y 1 f y x, y ,

1 f x x 1 , y f x x, y

2

1

z z 1 z 2 f x x 1 , y x f y x x, y 1 y.


y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

z 1 z 2 .




function of

and

dw

dt

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

t,

w

t,

h

g

y h t ,

x

g t

y.

x

f

w f x, y ,




and

such that



it follows that



differentiable.


and


function of and

you know that



w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

dw

dt

lím

t→0

w

t

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt

0 dx

dt

0 dy

dt

w

t

w

x

x

t

w

y

y

t

1

x

t

2

y

t

t 0

x, y → 0, 0 .

2 → 0

1


y,

x

f

t

y

x

t,

h

g

PROOF

f

y → 0.

x → 0

2 → 0

1→ 0

y y,

y y 1

x x 1 x x

f y


z z 1 z 2 1 f x x, y x 2 f y x, y y

2 f y x x, y 1 f y x, y ,

1 f x x 1 , y f x x, y

2

1

z z 1 z 2 f x x 1 , y x f y x x, y 1 y.


y

y

y

y 1

y

x

C,

B

z 1 f x x, y f x, y f x x 1 , y x.

x

x

x

x 1

x

y

B,

A

z 1 z 2 .




function of

and

dw

dt

w

x

dx

dt

w

y

dy

dt .

t,

w

t,

h

g

y h t ,

x

g t

y.

x

f

w f x, y ,

B Tablas de integración

Fórmulas

u n

1.

2.

u n du un1

C, n 1

n 1

1 du

u

lnu C

integrales con la forma a bu

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

u

a bu du 1 b 2 bu a ln a bu C

u

a bu du 1 a

2 b 2 a bu ln a bu C

u

a bu du 1 2

1

n b n 2a bu n2

u 2

a bu du 1 b 3 bu 2 2a bu a2 lna bu C

u 2

a bu 2 du 1 b 3bu

u 2

a bu 3 du 1 b 3 2a

a bu a 2

2a bu 2 ln a bu C

u 2

1

n 1, 2, 3

n 3a bu 2a

n3 n 2a bu a 2

n2 n 1a bun1 C,

1

ua bu du 1 a ln

u

a bu C

1

ua bu du a

1 1

2 a bu 1 a ln

u

a bu C

a bu n du 1 b 3

1

u

12.

a bu C

1

13.

u 2 a bu du 1 2 a a 2bu

2 ua bu 2b

a ln

u

a bu C

A-4

u 2 a bu du 1 a 1 u b a ln

a2

a bu 2a ln a bu C

a

n 1a bun1 C, n 1, 2

ApénDiCE B Tablas de integración A-5

integrales con la forma a bu cu 2 , b 2 4ac

1

14.

2

b 2 < 4ac

4ac b arctan 2cu b

2 4ac b C, 2

du

a bu cu2 b 2 > 4ac

15.

1

b 2 4ac ln 2cu b b2 2cu b b 2 4ac C,

u

a bu cu du 2c 1 ln a bu

2 cu2 b 1

a bu cu du 2

integrales con la forma a bu

16. u n a bu du

17.

18.

19.

20.

21.

22.

a

a

1

ua bu

1

u n a bu du

bu

u

bu

du 1 a bu32 2n 5b

u n an 1 u n1

u

a bu

1

a > 0

a ln a bu a a bu C,

du

2

a < 0

a arctan a bu C,

a

1 a bu 2n 3b

an 1 u n1 2

1

du 2a bu a

ua bu du

2

22a bu

du a bu C

3b 2

u n

a bu du 2

2

b2n 3 un a bu 32 na u n1 a bu du

2n 1b un a bu na

1

u n1 a bu du , n 1

a bu

u n1 du , n 1

u n1

a bu du

integrales con la forma a 2 ± u 2 , a > 0

23.

24.

25.

1

a 2 u du 1 2 a arctan u a C

1

u 2 a

du 2

1

a 2 ± u 2 du 1

n

1

a 2 u du 1

2 2a ln u a

a u C

2a 2 n 1

u

a 2 ± u 2 2n 3 1

n1 a 2 ± u 2 du , n 1

n1

integrales con la forma u 2 ± a 2 , a > 0

26.

27.

u 2 ± a 2 du 1 2 uu2 ± a 2 ± a 2 lnu u 2 ± a 2 C

u 2 u 2 ± a 2 du 1 8 u2u2 ± a 2 u 2 ± a 2 a 4 lnu u 2 ± a 2 C

28. u2 a 2

du u

u

2 a 2 a ln a u2 a 2

u

C

A-6 ApénDiCE B Tablas de integración

29.

30.

31.

32.

33.

u2

a 2

u

1 1

du

uu 2 a2 du u 2 a 2 a arcsec u

a C

u2 ± a 2

du u2 ± a 2

lnu u

u 2 u

2 ± a 2 C

1

u 2 ± a 2 du ln u u 2 ± a 2 C

a ln a u2 a 2

u

C

1

uu 2 a du 1 2 a arcsec u

a C

34.

35.

36.

u 2

u 2 ± a 2 du 1 2 uu2 ± a 2 a 2 ln u u2 ± a 2 C

1

u 2 u 2 ± a du u2 ± a 2

C

2 a 2 u

1

u 2 ± a 2 du ±u

32 a 2 u 2 ± a C 2

integrales con la forma a 2 u 2 , a > 0

37. a

38. u

39.

40.

41.

42.

43.

44.

a2

a2

45.

2 u 2 du 1 2 ua2 u 2 a 2 arcsen u a C

2 a 2 u 2 du 1 8 u2u2 a 2 a 2 u 2 a 4 arcsen u a C

u 2

du a

u

2 u 2 a ln a a2 u 2

u

C

u 2

du a2 u 2

arcsen u u 2 u

a C

1

a 2 u 2 du arcsen u a C

1 1

ua 2 u2 du

a ln a a2 u 2

u

C

u 2

a 2 u 2 du 1 2 ua2 u 2 a 2 arcsen u a C

1

u 2 a 2 u du a2 u 2

C

2 a 2 u

1

u

a 2 u 2 32 du

a 2 a 2 u C 2

ApénDiCE B Tablas de integración A-7

integrales con la forma sen u o cos u

46. sen u du cos u C

47.

48. sen 2 u du 1 u sen u cos u C

49.

2

50. sen n u du senn1 u cos u

n 1

51.

n n

sen n2 u du

52. u sen u du sen u u cos u C

53.

cos u du sen u C

cos 2 u du 1 u sen u cos u C

2

cos n u du cosn1 u sen u

n 1

n

n

cos n2 u du

u cos u du cos u u sen u C

54. 55.

1

56. 57.

58.

u u n cos u du u n sen u n n sen u du u n cos u n u n1 cos u du

u n1 sen u du

1

du cot u ± csc u C

1 ± sen u du tan u sec u C 1 ± cos u

1

sen u cos u du ln tan u C

integrales con la forma tan u, cot u, sec u, csc u

59. 60.

61.

tan u du lncos u C

sec u du lnsec u tan u C

cot u du lnsen u C

csc u du lncsc u cot u C

62. o

csc u du lncsc u cot u C

63. tan 2 u du u tan u C

64.

cot 2 u du u cot u C

65. sec 66. 2 u du tan u C

csc 2 u du cot u C

67.

68.

69.

70.

tan n u du tann1 u

n 1

tan n2 u du, n 1

cot n u du cotn1 u

n 1 cot n2 u du, n 1

sec n u du secn2 u tan u

n 1

csc n u du cscn2 u cot u

n 1

n 2

n 1 sec n2 u du, n 1

n 2

n 1 csc n2 u du, n 1

1

71. 72.

1 ± tan u du 1 2 u ± ln cos u ± sen u C

1

1

73.

74. du u tan u ± sec u C

1 ± sec u du u cot u csc u C

1 ± csc u

1

1 ± cot u du 1 2 u ln sen u ± cos u C

A-8 ApénDiCE B Tablas de integración

integrales con funciones trigonométricas inversas

75. arcsen u du u arcsen u 1 u 2 C

76.

77. arctan u du u arctan u ln1 u 2 C

78.

79.

80.

arcsec u du u arcsec u lnu u 2 1 C

arccsc u du u arccsc u lnu u 2 1

C

arccos u du u arccos u 1 u 2 C

arccot u du u arccot u ln1 u 2 C

integrales con la forma

e u

81. e u du e u C

82.

83. u n e u du u n e u n u n1 e u du

84.

ue u du u 1e u C

1

1 e u du u ln1 eu C

85.

86.

e au sen bu du

e au cos bu du

eau

a sen bu b cos bu C

a 2 b2 eau

a

a 2 2

cos bu b sen bu C

b

integrales con la forma ln u

87. ln u du u1 ln u C

88.

u ln u du u2

1 2 ln u C

4

89.

u n ln u du

un1

1 n 1 ln u C, n 1

n 12 90. ln u 2 du u 2 2 ln u ln u 2 C

91.

ln u n du uln u n n ln u n1 du

integrales con funciones hiperbólicas

92. cosh u du senh u C

93.

senh u du cosh u C

94. sech 2 u du tanh u C

95.

csch 2 u du coth u C

96. sech u tanh u du sech u C

97.

csch u coth u du csch u C

integrales con funciones hiperbólicas inversas (en forma logarítmica)

du

98. C

99.

u 2 ± a lnu 2 u2 ± a 2

du

100. ua 2 ± u 1 2 a ln a a2 ± u 2

u C

du

a 2 u 2 1

2a ln a u

a u C

1059997_ans_10.qxp 9/5/08 11:58 AM Page A102

Soluciones A102 Answers to Odd-Numbered de Exercises los ejercicios impares

Capítulo10

Sección 10.1 (página 706)

1. h 2. a 3. e 4. b 5. f 6. g 7. c 8. d

9. Vértice: 0, 0

11. Vértice: 5, 3

Foco: 2, 0 21

Foco: 4 , 3

19

Directriz: x 2

Directriz: x

−8 −6 −4 −2 2 4

13. Vértice: 1, 2 15. Vértice: 2, 2

Foco: 0, 2

Foco: 2, 1

Directriz: x 2

Directriz: y 3

−2

6

4

−2

y

17. Vértice: 4, 2

19. Vértice: 1, 0

Foco: 0,

Foco: 0, 0

Directriz:

21. y 2 8y 8x 24 0 23. x 2 32y 160 0

25. x 2 y 4 0 27. 5x 2 14x 3y 9 0

29. Centro: 0, 0

31. Centro: 3, 1

Focos: 0, ± 15

Focos: 3, 4 , 3, 2

Vértices: 0, ±4

Vértices: 3, 6 , 3, 4

e 15 4

e

3

4

2

1

y

(0, 0)

−4 −3 −2

2 3 4

−4

1

2

6

4

−4

−6

(−1, 2)

x

−5 2

y

(0, 0)

1

1

2

4

1

2

2

−3

6

x

x

x

−14 −12 −10 −8

−6

−6

6

4

5

y

−2 2 4 6 8

−2

−4

−4

Directriz:

(−5, 3)

(−2, 2)

−2

x 2

4

−4

4

−2

−4

y

(3, 1)

4

y

6

5

4

3

2

1

−6 −4 −2

−1

2

x

x

6

x

33. Centro:

Focos:

2, 3

2, 3 ± 5

Vértices: 2, 6 , 2, 0

e 5 3

35. Centro:

1

2, 1

1

Focos: 2 ± 2, 1 −3 3

1

Vértices: 2 ± 5, 1

Para obtener la gráfica,

despejar y y obtener

y 1 1 57 12x 12x 2 20 y

y 2 1 57 12x 12x 2 20.

Representar gráficamente estas ecuaciones en la misma pantalla.

3

37. Centro: 2, 1

1

3

Focos: 2 ± 2, 1 −2

4

1

Vértices: 2 , 1 , 7

2 , 1

Para obtener la gráfica,

despejar y y obtener

−3

y 1 1 7 12x 4x 2 8 y

y 2 1 7 12x 4x 2 8.

Representar gráficamente estas ecuaciones en la misma pantalla.

39. x 2 36 y 2 11 1 41. x 3 2 9 y 5 2 16 1

43. x 2 16 7y 2 16 1

45. Centro: 0, 0

47. Centro: 1, 2

Focos: 0, ± 10

Focos: 1 ± 5, 2

Vértices: 0, ±1

Vértices: 1, 2 , 3, 2

−8 −6

6 8

−2

49. Centro: 2, 3 51. Hipérbola degenerada

Focos: 2 ± 10, 3 La gráfica consta de dos rectas

Vértices: 1, 3 , 3, 3 y 3 ± 1 3 x 1

y

que se cortan en 1, 3 .

−2

−2

−4

−6

8

6

4

2

−4

−6

−8

1

y

2

4

6

x

x

−4

−1

−6

1

−2

−4

−5

y

−2

−4

1

−2

−4

−6

y

2

−3

3

2

6

4

(−2, 3)

−2

2

y

x

x

2

x

A-10 Soluciones de los ejercicios impares

Answers to Odd-Numbered Exercises

A103

53. Centro: 1, 3 55. Centro: 1, 3

Focos: 1, 3 ± 2 5 Focos: 1 ± 10, 3

Vértices: 1, 3 ± 2 Vértices: 1, 3 , 3, 3

Asíntotas:

Asíntotas:

1 1

y 3 x 3 3;

y 6 x 2 6 2 3;

1 1

y

y 6 x 2 6 2 3

−5

3 x

1

−7

3 3

57. x 2 1 y 2 25 1 59. y 2 9 x 2 2 9 4 1

61. y 2 4 x 2 12 1 63. x 3 2 9 y 2 2 4 1

65. a) 6, 3 : 2x 3 3y 3 0

6, 3 : 2x 3 3y 3 0

b) 6, 3 : 9x 2 3y 60 0

6, 3 : 9x 2 3y 60 0

67. Elipse 69. Parábola 71. Círculo

73. Círculo 75. Hipérbola

77. a) Una parábola es el conjunto de todos los puntos x, y

que equidistan de una recta fija y de un punto fijo que

no se encuentra en la recta.

b) Para la directriz y

Para la directriz x

k

h

p:

p:

x

y

h 2 k 2 4p y

4p x

k

h

c) Si P es un punto de la parábola, entonces la recta tangente a

la parábola en P forma ángulos iguales con la recta que pasa

por P y el foco, y con la recta que pasa por P y es paralela al

eje de la parábola.

79. a) Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos x, y para

los cuales el valor absoluto de la diferencia entre las distancias

a dos puntos fijos distintos es una constante.

b) El eje transversal es horizontal:

x h 2 y k 2

a 2 b 2 1

El eje transversal es vertical:

y k 2 x h 2

a 2 b 2 1

c) El eje transversal es horizontal:

y k b a x h y y k b a x h

El eje transversal es vertical:

y k a b x h y y k a b x h

81.

9

4 m 83. y 2ax 0 x ax

2

0

85. a) Demostración b) Demostración

87. x 0 2 3 3; Distancia de la colina: 2 3 3 1

89. 16 4 3 3 2 3 15.536 pies 2

91. a) y 1 180 x 2

b) 10 2 13 9 ln 2 13

3

128.4 m

93.

y p = 1 p = 1

4

28

Cuando p se incrementa, la gráfica de

p = 2

x 2 4py se hace más abierta.

p = 3 2

7

−5

1

−7

7

95. a) L 2a

b) Los alfileres se localizan en los focos y la longitud de la cuerda

es la suma constante de las distancias desde los focos.

y

97. 99. Demostración

16 17

14

13 101. e 0.1776

15

12

8 9 10 11

5 6 7 4

1 2 3 6 5

9 8 7

11 10

12

13

14

15

17 16

103. e 0.9671 105. 0, 25 3

107. Extremos del eje menor: 6, 2 , 0, 2

Extremos del eje mayor: 3, 6 , 3, 2

109. a) Área 2

b) Volumen 8 3

Área de la superficie 2 9 4 3 9 21.48

c) Volumen 16 3

4 6 3 ln 2 3


34.69

3

111. 37.96 113. 40 115. x 6 2 9 y 2 2 7 1

117. 119. Demostración

121. x 90 96 2 7 6.538

y 160 96 2 7 3.462

123. Hay cuatro puntos de intersección.

En

2 ac b 2

2a 2 b 2, 2 2a 2 b 2 , las pendientes de las rectas

tangentes son y e c a y y h a c.

Como las pendientes son negativos recíprocos, las rectas tangentes

son perpendiculares. De manera similar, las curvas son

perpendiculares en los otros tres puntos de intersección.

125. Falso. Ver la definición de parábola. 127. Verdadero

129. Verdadero 131. Problema Putnam B4, 1976


1. a)

t 0 1 2 3 4

x 0 1 2 3 2

y 3 2 1 0 1

b) y c) d)

3

2

1

14

15

12 13

8 9 10 11

5 6 7 4

1 2 3

9 8 7

11 10

13

12

15

14

17 16

y

4 3 2

6 5

1

4 3 2

1

16 17

x

y 3 x 2 , x 0

3

2

1

y

−16

−8

8

p = 1 2

16

x

−1

−1

1

3

x

−1 1 2 3

−1

x

A104



y

3. 5.

7.

y

7

−5 −3 −2 −1 1 2 3

3x 2y 11 0

6

4

3

2

1

x

y

4

−2

2

y x 1 2

4

x

8

25. 27.

−12

−4

x 3 2 y 2 2

1

16 25

2

29. 31.

6

−9 9

x 2

16

3

y 2

9

6

−6

1

1

−1

5

−3

y

y

9. 11.

y x 2 5, x 0

y

13. 15.

−4

−2

8

4

−1

1

2 x2 3

2

1

−4 −3 −2 −1 1 3 4

−2

−3

−4

−5

−6

4

1

8

2

3

12

x

x

x

y x 3 x

5

4

3

2

1

y

5

4

3

2

1

−4 −3 −1 1 2 3 4

y

x

−2

y ln x

y 1 x 3 , x > 0

33. Cada curva representa una porción de la recta y 2x 1.

Dominio Orientación Suave

a) < x < Hacia arriba Sí

dx dy

b) 1 x 1 Oscila No,

0

d d

cuando

0, ± , ±2 , . . .

c) 0 < x < Hacia abajo Sí

d) 0 < x < Hacia arriba Sí

35. a) y b) representan la parábola y 2 1 x 2 para 1 x 1.

La curva es suave. La orientación es de derecha a izquierda en el

inciso a) y en el inciso b)

4

4

37. a)

−1

−1

5

−2

−1

−1

1

2

3 4

x

−6

6

−6

6

y x 4 2

y

17. 19.

y 1 x,

6

21. 23.

−9

x 2

36

3

2

1

−2

−3

y 2

16

−6

1 2

x 1

1

3

x

9

y x 3 1,

x 2 y 2 64

−1

−6 −4 −2 2 4 6

2

−4

−4

−6

x 4 2

4

6

4

2

y

x > 0

y 1 2

1

x

8

1

−4

b) La orientación se invierte. c) La orientación se invierte.

d) Las respuestas varían. Por ejemplo,

x 2 sec t x 2 sec t

y 5 sen t y 5 sen t

tienen las mismas gráficas, pero sus orientaciones se invierten.

y x h

39. 41.

y k

y y 2

2 y 1

1 x x

x a 2 b 2 2 x 1

1

1

43. x 4t

45. x 3 2 cos

y 7t

y 1 2 sen

(La solución no es única) (La solución no es única)

47. x 10 cos

49. x 4 sec

y 6 sen

y 3 tan


51. x t

53. x t

y 6t 5;

y t 3 ;

x t 1

x tan t

y 6t 1

y tan 3 t


55. x t 3, y 2t 1 57. x t, y t 2

−4



A105

5

59. 61.

−2 16

5

−2 7

19. a) y d)

−8

8

(6, 5)

10

b) En t 1, dx dt 6,

dy dt 2 y dy dx 1 3.

1

c) y 3 x 3

−1

No es suave cuando 2n Suave en todas partes

4

4

63. 65.

−6 6

No es suave cuando

Suave en todas partes

67. Cada punto x, y en el plano es determinado por la curva plana

x f t), y g t . Para cada t, graficar x, y . Cuando t se incrementa,

la curva se traza en una dirección específica llamada orientación

de la curva.

69. x a b sen ; y a b cos

71. Falso. La gráfica de las ecuaciones paramétricas es la porción de

la recta y x cuando x 0.

73. Verdadero

440

440

75. a) x 3 cos t; y 3 3 sen t 16t2

30

60

b) c)

0

0

−4

400

No es home run

Home run

d) 19.4


1. 3 t 3. 1

dy 3

5. No es ni cóncava hacia arriba ni cóncava hacia

dx 4 , d 2 y

0;

dx 2 abajo

7. dy dx 2t 3, d 2 y dx 2 2

En t 1, dy dx 1, d 2 y dx 2 2; Cóncava hacia arriba

9. dy dx cot , d 2 y dx 2 csc 3

4

En 4, dy dx 1, d 2 y dx 2 2 2;

Cóncava hacia abajo

11. dy dx 2 csc , d 2 y dx 2 2 cot 3

En 6, dy dx 4, d 2 y dx 2 6 3;

Cóncava hacia abajo

13. dy dx tan , d 2 y dx 2 sec 4 csc 3

En 4, dy dx 1, d 2 y dx 2 4 2 3;

Cóncava hacia arriba

15. 2 3, 3 2 : 3 3x 8y 18 0

0, 2 : y 2 0

2 3, 1 2 : 3x 8y 10 0

17. 0, 0): 2y x 0

3, 1 : y 1 0

3, 3 : 2x y 9 0

0

0

−1

1

2 n −6 6

−4

400

21. a) y d)

b) En t 1, dx dt 3,

dy dt 0 y dy dx 0.

c) y 2

23. y ± 3 4 x 25. y 3x 5 y y 1

27. Horizontal: 1, 0 , 1, , 1, 2

Vertical: 2, 1 , 3 2, 1 , 5 2, 1

29. Horizontal: 4, 0

31. Horizontal: 5, 2 , 3, 2

Vertical: Ninguna

Vertical: Ninguna

33. Horizontal: 0, 3 , 0, 3 35. Horizontal: 5, 1 , 5, 3

Vertical: 3, 0 , 3, 0 Vertical: 8, 2 , 2, 2

37. Horizontal: Ninguna

Vertical: 1, 0 , 1, 0

39. Cóncava hacia abajo:

Cóncava hacia arriba:

41. Cóncava hacia arriba:

43. Cóncava hacia abajo:

Cóncava hacia arriba:

45. 4t 2 3t 9 dt 47.

1

49. 4 13 14.422 51. 70 5 156.525

53. 2 1 e

2

1.12

55.

1

12 ln 37 6 6 37 3.249 57. 6a 59. 8a

61. a)

35

b) 219.2 pies

c) 230.8 pies

4

63. a) b) 0, 0 , 4 3 2 3, 4 3 4 3

c) 6.557

65. a)

3

−1

0

0

−6

5

−3

3

− 3

−1

−4

(4, 2)

−4

8

< t < 0

0 < t <

t > 0

0 < t < 2

2 < t <

240

6

2

b) La velocidad media de la partícula en la segunda trayectoria

es el doble de la velocidad media de la partícula en la primera

trayectoria.

c) 4

2

e 2t

3

− 3

−1

4 dt

A106



67. S 2

69. S 2

b)

0

0

4

S 2

2

10 t 2 dt 32 10 317.907

a

a

sen cos 4 cos 2 1 d

b

f t

dx

dt

2

dy

dt

83. Demostración 85. 3 2 87. d 88. b 89. f 90. c

3

91. a 92. e 93. 4 , 8 5 95. 288

97. a) dy dx sen 1 cos ; d 2 y dx 2 1 a cos 1 2

1

b) y 2 3 x a 6 2 a 1 3 2

c) a 2n 1 , 2a

d) Cóncava hacia abajo en 0, 2 , 2 , 4 , etc.

e) s 8a

99. Demostración

2

101. a)

2

dt

5 5 1

6

12 a 2 5

5.330

71. a) 27 13 b) 18 13 73. 50 75.

81. a) S 2

b

2 2

dx dy

g t

dt

dt dt

77. Ver el teorema 10.7, forma paramétrica de la derivada en la página

721.

79. 6

y

9. 11.

y

13. 15.

−4

4

3

2

1

−3

5, 2.214 , 5, 5.356 2, 4 3 , 2, 3

17. 3.606, 0.588 19. 3.052, 0.960

y

21. a) b)

4 (4, 3.5)

3

2

1

(−3, 4)

−2

(4.214, 1.579)

−1 1 2 3 4 5

−1

−2

−1

5

4

3

2

1

1

x

x

3

2

1

y

2 2, 4 , 2 2, 5 4

−2

( −1, − 3)

(4, 3.5)

−1

(2, 2)

1 2 3

−1

−2

y

π

2

x

x

1

0

−3

−2

3

b) Círculo de radio 1 y centro en (0, 0) excepto el punto (–1, 0)

c) Cuando t crece de –20 a 0, la velocidad aumenta y cuando t

crece de 0 a 20, la velocidad disminuye.

1 2 3 4

23. c 24. b 25. a 26. d

27. r 3

29.

π

2

x

r

a

π

2

103. Falso:

d 2 y

dx 2

d g t

dt f t

f t

f t g t g t f t

f t

3

.

1 2

0

a

0

105. ≈ 982 pies


π

1. 3.

2

π

( 8, 2

(

π

2

3π

( −4, − 4

(

31. r 8 csc

33.

π

2

r

2

3 cos sen

π

2

2 4 6

0

1 2 3 4

0

2 4 6

0

1

2

0

0, 8

π

5. 7.

( 2, 2.36)

2

1.004, 0.996

1

0

2 2, 2 2 2.828, 2.828

y

1

x

−5 −4 −3 −2 −1 1

−1

−2

−3

−4

(−4.95, −4.95)

−5

35. r 9 csc 2 cos 37.

π

2

1 2 3 4 5 6 7

0

x 2 y 2 16

3

2

1

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−3

y

x



A107

39. x 2 y 2 3y 0 41.

43. x 3 0

45.

3

2

1

y

4

47. 49.

−9

1

4

2

1

−2 −1

1 2

y

2

x

3

x

x 2 y 2 arctan y x

12

9

6

3

−6

−9

−12

7

6

5

4

3

2

1

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

y

x 2 y 0

y

4

−4 5

9

x

x

69. Horizontal:

Vertical: 2, 7 6 , 3 2, 11 6

71. 5, 2 , 1, 3 2

2

73. 75.

−3 3

0, 0 , 1.4142, 0.7854 ,

1.4142, 2.3562

77.

π

79.

2

0

π

81. 83.

2

3

−2

2, 3 2 , 1 2 , 6 , 1 2 , 5 6

1 2 3

0

−12 12

7, 1.5708 , 3, 4.7124

2

π

2

π

2

10

−6

1

2

3

0

−4

−2

0 < 2

5

51. 53.

0 ≤ < 2

2

4

0

3

0

−10

5

−3

3

< <

2

55. 57.

−5

−3 3

0 ≤ < 4

−2

x h 2 y k 2 h 2 k 2

Radio:

Centro:

h 2

h, k

k 2

6, 2, 5 6

π

85. 87.

2

0

4 12

π

2

0, 2

2 4 6 10

0

−2

0 ≤ < 2

59. 17 61. ≈ 5.6

dy 2 cos 3 sen 1

63.

dx 6 cos 2 2 sen 3

5, 2 : dy dx 0

2, : dy dx 2 3

1, 3 2 : dy dx 0

65. a) y b) 67. a) y b)

4

5

π

89. 91.

π

93. 95.

2

20

2

0

2

π

2

π

2

1

2

0

−8

4

−4

5

10

5

−15 15

0

1

0

−4

c) dy dx 1

c)

−1

dy dx 3

−15

Larson Texts, Inc. • Final Pages • Calculus 9e • Short Long

A108



97. x = −1

99.

4

3

y = 2

π

111. a) b)

2

π

2

−6

101. El sistema de coordenadas rectangulares es una colección de

puntos de la forma (x, y), donde x es la distancia dirigida del eje

y al punto y y es la distancia dirigida del eje x al punto. Cada

punto tiene una representación única.

El sistema de coordenadas polares es una colección de puntos de

la forma r, , donde r es la distancia dirigida del origen O al

punto P y es el ángulo dirigido, medido en sentido positivo

(contrario a las manecillas del reloj), del eje polar al segmento

OP. En coordenadas polares la representación de cada punto no

es única.

103. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de r f en

r, es

dy

dx

Si f 0 y f 0, entonces es tangente en el polo.

π

105. a) b)

c)

−4

f cos f sen

f sen f )cos

2

π

2

1 2

6

0

.

−3 3

π

2

−1

1 2

0

3

113. 115.

−6

2

arctan 1 3 18.4

117.

16

ψ

119. Verdadero

121. Verdadero

θ

−20 22

3, 60


2

1

1. 8 sen2 d 3. 3 2 sen

2

d 5. 9

2

0

−12

−3

7. 3 9. 8 11. 3 2 13. 27 15. 4

2

3.5

17. 19.

−1 4

1

2

3

0

3 2

2

−3

−3

ψ

2

−2

1

θ

2

0

3

3

−2

2 3 3 2

2

21. 23.

−0.5

2 3 3 2

2

−9

9

1 2

0

−1 4

107. Demostración

109. a) r 2 sen 4 b)

2

2 sen cos

2

−6 6

4

−4

c) r 2 sen

d)

4

r 2 cos

4

−6 6

−4

r 2 cos

4

25.

27.

3

29. 31.

2 , 6 , 3

2 , 5 6 , 0, 0

33.

−2

3 3

1, 2 , 1, 3 2 , 0, 0

2 2

2

, 3 4 , 2 2

, 7 2 4 , 0, 0

9 27 3

2, 4 , 2, 4

1, 12 , 1, 5 12 , 1, 7 12 , 1, 11 12 ,

1, 13 12 , 1, 17 12 , 1, 19 12 , 1, 23 12

−10

−6 6

−6 6

−4

−4



A109

35. 37.

r = sec θ

4 2

1

r = cos θ

−4 5

73. Habrá puntos de intersección simultáneos. Pueden ser puntos de

intersección que no ocurren con las mismas coordenadas en las

dos gráficas.

−4 8

75. a)

S 2 f( )sen f( ) 2 f ( ) 2 d

−4

r = 2 + 3 cos θ

0.581, ±2.607 , 0, 0 , 0.935, 0.363 ,

2.581, ±1.376

0.535, 1.006

Las gráficas alcanzan polo en diferentes

tiempos (valores de ).

39. r = 2 r = 4 sen 2θ

41.

r = −3 + 2 senθ

−6

6

−9

9

−4

−6 r = 3 − 2sen θ

4

3 4 3 3 11 24

43. r = 4sen θ 45.

r = 2 cos θ

−6 6

4

5

−2

r = 1

−5

r = 2 − 3sen θ

1.5

6

2.5

b)

S 2 f( )cos f( ) 2 f ( ) 2 d

77. 40 2

79. a) 16

b)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

A 6.32 12.14 17.06 20.80 23.27 24.60 25.08

c) y d) Para 4 de área

1

Para 2 de área

3

Para 4 de área

4

8

12

12.57 : 0.42

25.13 : 1.57

37.70 : 2.73

2

e) No. Los resultados no dependen del radio. Las respuestas

varían.

81. Círculo

83. a) 12

La gráfica se vuelve más grande

y más extendida. La gráfica se refleja

en el eje y.

−10

1

14

−3

r = 2

−1.5

2

3 4 3 3

3 3 2

47. 5 a 2 4 49. a 2 2 2

51. a) x 2 y 2 3 2 ax 2

4

b) c) 15 2

−6 6

−4

53. El área encerrada por la función es a 2 4 si n es impar y es

si n es par.

55. 16 57. 4 59. 8

4

61. 63.

−1

2

−1

≈ 4.16 ≈ 0.71

1

65. 67. 36

−1

2

−1

≈ 4.39

a = 4 a = 6

0.5

−0.5

0.5

−0.5

a 2 2

b) an , n donde n 1, 2, 3, . . .

c) ≈ 21.26 d) 4 3 3

85. r 2 cos

87. Falso. Las gráficas de f 1 y g 1 coinciden.

89. Demostración


1.

4

3. e = 1.0 e = 0.5

e = 0.5

−4 8

e = 1.0

a) Parábola b) Elipse a) Parábola b) Elipse

c) Hipérbola c) Hipérbola

5. a) 5 e = 0.1 b)

5

−30

−4

−12

e = 1.5

−40

e = 0.25

e = 0.5

e = 0.75

e = 0.9

−30

Elipse

Parábola

Cuando e → 1 , la elipse

se vuelve más elíptica, y cuando

e → 0 , se vuelve más circular.

30

−9 9

e = 1.5

4

−8

−40

30

2 1 a

69. 2

e 71.

1 4a a 2a

2

21.87

A110



c) 80 e = 1.1 Hipérbola

e = 1.5

e = 2

Cuando e → 1 , la hipérbola

se abre más lentamente, y

−90

90 cuando e → , abre más

rápido.

7. c 8. f 9. a 10. e 11. b 12. d

13. e 1

15. e 1

Distancia 1

Distancia 4

π

2

−40

π

2

15

29. 31.

−6

18

−8

7

−15

−18

Parábola Girada 4 radianes en sentido

e 1

contrario a las manecillas del reloj.

5

8

33. 35. r

8 5 cos

6

−8 4

6

Parábola

Parábola

1

1

17. e 2

19. e 2

Distancia 6

Distancia

Elipse

Elipse

21. e 2

23. e 3

Distancia

Distancia

Hipérbola

Hipérbola

1

25. e 2

27.

Distancia 50

Elipse

π

2

1 2 3 4 5

π

2

π

2

5

2

1 3

4 6 8

10 20 40

0

0

0

0

−2

Elipse

e

1

2

π

2

π

2

1

−2

2 4 6 8

4

1 3 4

1

2

1

0

0

0

2

−3

Girada 6 radianes en el sentido de las manecillas del reloj.

37. r 3 1 cos 39. r 1 2 sen

41. r 2 1 2 cos 43. r 2 1 sen

45. r 16 5 3 cos 47. r 9 4 5 sen

49. r 4 2 cos

51. Si0 < e < 1, la cónica es una elipse.

Si e 1, la cónica es una parábola.

Si e > 1, la cónica es una hipérbola

53. Si los focos son fijos y e → 0, entonces d → . Para ver esto, comparar

las elipses.

r 1 2 1

, e

1 1 2)cos 2 , d 1 y

r 5 16

e 1 5

, d

1 1 4 cos 4 , 4 .

57. r 2 9

16

59. r

1 16 25 cos 2 2 1 25 9 cos 2

55. Demostración

61. ≈ 10.88 63. 3.37

7 979.21

65.

1 0.9372 cos

; 11 015 mi

67. r

149 558 278.0560

4 497 667 328

69. r

1 0.0167 cos

1 0.0086 cos

a) 3.591 10 18 km 2 ; 9.322 años

Perihelio: 147 101 680 km Perihelio: 4 459 317 200 km

Afelio: 152 098 320 km Afelio: 4 536 682 800 km

71. Las respuestas varían. Ejemplo de respuestas:

b) 0.361 ; Mayor ángulo con el rayo más pequeño

para generar un área igual.

c) Inciso a): 1.583 10 9 km;

1.698 10 8 km año

Inciso b): 1.610 10 9 km;

1.727 10 8 km año

73. Demostración

75. Sea r 1 ed 1 sen y r 2 ed 1 sen .

Los puntos de intersección de r 1 y r 2 son ed, 0 y ed, . Las

pendientes de las rectas tangentes a r 1 son –1 en ed, 0 y 1 en

ed, . Las pendientes de las rectas tangentes a r 2 son 1 en ed, 0

y –1 en ed, . Por lo anterior, tanto en ed, 0 como en ed, se

cumple m 1 m 2 1, de manera que las curvas se intersecan en

ángulos rectos.



A111

Ejercicios de repaso para el capítulo 10 (página 758)

1. e 2. c 3. b 4. d 5. a 6. f

7. Círculo 9. Hipérbola

1

Centro: 2 , 3

4

Centro:

Radio: 1

Vértices:

y

4, 3

4 ± 2, 3

y

39. a) dy dx 5 ; 41. a)

Tangentes horizontales:

ninguna

b) y 4x 13 5 b)

y

c) c)

4

4

dy dx 2t 2 ;

Tangentes horizontales:

ninguna

y 3 2 x

y

6

1

6

2

1

4

−1

11. Elipse

Centro:

Vértices:

−1

−1

−2

−2

y

1

1

2, 3

2

(2, −3)

)

2

1 3

, −

2 4)

2, 3 ± 2 2

3

x

x

−6

−4

−2

4

2

x

43. a)

b)

c)

−2 −1 1 2 3

−1

dy

dx

−2

t 1 2t 1 2

t 2 t 2 2 ;

Tangente horizontal:

4x

y

2

5x 1 x 1

3

2

y

x

1

3 , 1

2

−4 −2

2 4

x

−3

−4

−2

−1

−1

2 3

x

13. y 2 4y 12x 4 0 15. x 1 2 36 y 2 20 1

17. x 2 49 y 2 32 1 19. ≈ 15.87

21. 4x 4y 7 0 23. a) 0, 50 b) ≈ 38 294.49

25.

y

27.

y

6

2

−4 −2 2 4 6

−2

−4

−6

x

5

4

3

2

1

−3 −2 −1 1 2 3

−1

x

45. a)

b)

c)

dy

dx

4 cot ;

Tangentes horizontales: 5, 7 , 5, 1

y 3

x 5 2 2

16

1

y

8

6

4

−2

x 2y 7 0

y x 1 3 , x > 1

y

y

29. 31.

8

4

2

4

x

2

−4 −2 2 4

−2

x

−4

2 4 8

−4

−2

−4

x 2 y 2 36

x 2 2 y 3 2 1

33. Las respuestas varían. Ejemplo de respuesta:

x 5t 2

y 6 4t

35. x 4 cos 3 37.

5

y 4 3 sen

−7 8

47. a)

b)

c)

−2 2 4 6 8

−2

dy

dx

4 tan ;

Tangentes horizontales: ninguna

x 2 3 y 4 2 3 1

y

−4

−2

49. Horizontal: 5, 0

Vertical: Ninguna

2

4

−4

2

4

x

x

−5

A112



51. Horizontal: 2, 2 , 2, 0

Vertical: 4, 1 , 0, 1

53. a) y c)

2

89. Curva rosa 91. Curva rosa

π

2

π

2

−3 3

4

0

2

0

b)

1

2

55.

57. a) s 12 10 119.215 59. A 3

b) s 4 10 39.738

61.

π

63.

Rectangular: 0, 5 Rectangular:

y

y

65. 67.

1

−1

−2

−3

−4

−5

2

r

2

1

−2

dx d 4, dy d 1,

1 2 3 4

3π

( 5, 2

(

2 3 4 5

(4, − 4)

0

x

dy dx

π

2

(−1, 3)

3

2

1

−3 −2 −1

−1

−2

−3

1

4

( 3 , 1.56)

1 2

0.0187, 1.7320

1 2 3

0

x

5

93. 95.

−1

−1

97. a) ± 3

b) Vertical: 1, 0 , 3, , 1 2 , ±1.318

Horizontal: 0.686, ±0.568 , 2.186, ±2.206

2.5

c)

−5 1

−2.5

−6 6

99. Demostración 101.

9 9

103.

20 2

105. 4

107.

109.

1

2

2 , 3 4 , 1 2

2 , 7 4

0.5

, 0, 0

8

4

−4

x 2 y 4 x 2

4 2, 7 4 , 4 2, 3 4

10, 1.89 , 10, 5.03

69. x 2 y 2 3x 0 71.

2 2x 2 y 2

73. x 2 y 2 2 x 2 y 2 75. y 2 x 2 4 x 4 x

77. r a cos 2 sen 79. r 2 a 2 2

81. Círculo 83. Recta

π

2

π

2

111.

−0.5 0.5

−0.1

2

A 2 1 2

0

4

sen 2 cos 4 d 0.10

−6 6

2 4 8

85. Cardioide 87. Caracol

π

2

0

π

2

1

0

A 2 1 1

18 sen 2

9 d

2 0

2 12

1.2058 9.4248 1.2058 11.8364

113. 4a

115.

S 2

12

0

−4

2

1 4 cos sen

34 17 5 88.08

5 12

1

2

2

5 12

17 8 cos d

18 sen 2 d

1

0

2 4

0



A113

117. Parábola 119. Elipse

π

2

2 6 8

0

π

2

2

0

1

11. A 2 ab 13. r 2 2 cos 2

15. a) Primer plano: x 1 cos 70 150 375t

y 1 sen 70 150 375t

Segundo plano: x 2

y 2

cos 45 450t

sen 45 190

190

450t

b) cos 45 450t 190 cos 70 150

2

375t

sen 45 190 450t sen 70 150 375t

2 1 2

121. Hipérbola 123. r

π

2

10 sen

c)

280

2 3 4

0

17.

0

0

0.4145 h; sí

4

n = −5

1

n = −4

4

125. r 4 1 cos 127. r 5 3 2 cos

−6

6

−6

6

SP Solución de problemas (página 761)

y

1. a) 3. Demostración

−4

−4

10

4

4

)

1

−1,

4)

8

6

4

2

−6 −4 −2

−2

2

4

(4, 4)

6

x

−6

n = −3

−4

6

−6

n = −2

−4

6

5. a)

b) yc) Demostraciones

b)

r 2a tan sen

x 2at 2 1 t 2

−6

4

n = −1

6

−6

n = 0

4

6

c)

7. a)

b)

c)

y 2at 3 1 t 2

y 2 x 3 2a x

y 2 x 2 1 x 1 x

r cos 2 sec

π

2

−6

−4

4

n = 1

6

−6

−4

4

n = 2

6

−4

−4

1 2

0

4

n = 3

4

n = 4

−6

6

−6

6

d) y x, y x

e)

9. a)

5 1 5 1

, ±

2 2

2

b)

5

Demostración

c) a, 2

−6

−4

4

n = 5

6

−4

−4


n

4,

1, 2, 3, 4, 5 produce “campanas”;

produce “corazones”

5

n 1,

2,

3,

A114



Capítulo 11


1. a) 4, 2

3. a)

b)

y

b)

5. u v 2, 4 7. u v 6, 5

9. a) y d) 11. a) y d)

b) 3, 5

b) 2, 4

c) v 3i 5j

c) v 2i 4j

13. a) y d) 11. a) y d)

6

4

2

2 4 6

b) 1, 5 3

b) 0, 4 c) v 4j c) v i

17. a) 6, 10

b) 9, 15

10

c) d)

15

12

9

6

3

8

6

4

2

y

5

4

3

2

1

y

5

4

3

2

1

(3, 5)

v

y

(0, 4)

(3, 5)

1

v

v

21

2 , 35

2

y

21 35

18 ( ,

2 2

2v

(

7

v

2

(6, 10)

−2 2 4 6 8 10

−2

−3 3 6 9 12 15 18

−3

2

(2, 0)

(3, 5)

−1 1 2 3 4 5

−1

3

(4, 2)

v

4

(5, 5)

v

(6, 6)

(6, 2)

5

x

x

x

x

x

−2

(−9, −15) −12

−3v

−15

2, 10

3

y

5 (3, 5)

4

3

2

1

−8

6

4

2

y

1

( , 3 2

3

5

(−1,

v

3 2

−1

v

10

(2,

3

2

v

3

−1 1 2 3 4 5

−1

y

(

v

(3, 5)

−15 −12 −9 −6 −3 3 6

6

3

−6

−9

1

(

(

(

(8, 3)

−4 −2 2 4 8

(6, −1)

(−2, −4)

−6

6, 0

y

(−6, 0)

−6

−4

v

−2

v

3 4

,

2 3

5

3 j

2

(

4

2

−2

−4

y

x

x

x

x

x

y

19. 21.

x

x

8

23. a) 3 , 6 b) 2, 14 c) 18, 7

3

25. 3,

27. 4, 3

1

−1

−2

−3

29. 3, 5 31. 7 33. 5 35. 61

37. 17 17, 4 17 17 39. 3 34 34, 5 34 34

41. a) 2 b) 5 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1

43. a) 5 2 b) 13 c) 85 2 d) 1 e) 1 f) 1

y

45.

7

6

5

4

3

2

1

−1

y

u v 5 41 y u v 74

74 5 41

47. 0, 6 49. 5, 2 5 51. 3, 0 53. 3, 1

55.

2 3 2

, 3 2

2 2

57. 2 cos 4 cos 2, 2 sen 4 sen 2

59. Las respuestas varían. Ejemplo: un escalar es un número real simple

como 2. Un vector es un segmento de recta que tiene dirección

y magnitud. El vector 3, 1 , dado mediante sus componentes,

tiene dirección 6 y magnitud de 2.

61. a) Vector; tiene magnitud y dirección

b) Escalar; sólo tiene magnitud

2 1

63. a 1, b 1 65. a 1, b 2 67. a 3, b 3

69. a) ± 1 37 1, 6 71. a) ± 1 10 1, 3

b) ± 1 37 6, 1 b) ± 1 10 3, 1

10

8

6

4

2

y

2

−u

u

3

u

2

u

v

(3, 9)

u + v

1 2 3 4 5 6 7

(a)

(b)

−2 2 4 6 8 10

2

3

x

x

x

4

2

−2

y

2

1

u−

v

y

2w

u

y

(1, 1)

u

−v

u + 2w

4

(a)

(b)

1 2

6

x

x



A115

73. a) ± 1 5 4, 3

75.

b) ± 1 5 3, 4

4

3

2

1

y

77. a) a c) Las respuestas varían.

d) Magnitud 63.5, dirección 8.26

79. 1.33, 132.5 81. 10.7 , 584.6 lb 83. 71.3 , 228.5 lb

85. a) 0 b) 180

c) No, la resultante sólo puede ser menor o igual que la suma.

87. 4, 1 , 6, 5 , 10, 3

89. Tensión en el cable AC

Tensión en el cable BC

2 638.2 lb

1 958.1 lb

91. Horizontal: 1 193.43 pies s 93. 38.3 noroeste

Vertical: 125.43 pies s

882.9 km h

95. Verdadero 97. Verdadero 99. Falso. ai bj 2 a

101–103. Demostraciones 105. x 2 y 2 25


1. A 2, 3, 4 , B 1, 2, 2

3.

z

5.

z

1

2

3

4

x

(a)

(3, 4)

2

3

4

(b)

−1 1 2 3 4 5

6

5

4

3

(2, 1, 3) (−1, 2, 1)

y

x

x

(5, −2, −2)

2 2, 2 2

(5, −2, 2) −3

1

2

3

4

7. 3, 4, 5 9. 12, 0, 0 11. 0

13. Seis unidades arriba del plano xy

15. Tres unidades delante del plano yz

17. A la izquierda del plano xz

19. A menos de tres unidades del plano xz

21. Tres unidades debajo del plano xy, y debajo de ambos cuadrantes

I y III

23. Arriba del plano xy y por arriba de los cuadrantes II y IV, o debajo

del plano xy y debajo de los cuadrantes I y III

25. 69 27. 61 29. 7, 7 5, 14; Triángulo rectángulo

31. 41, 41, 14; Triángulo isósceles

33. 0, 0, 9 , 2, 6, 12 , 6, 4, 3

35.

3

2, 3, 5 37. x 0 2 y 2 2 z 5 2 4

39.

41.

x

x

1 2

1 2 y

y

3 2

3 2 z

z

0 2

4 2 10

25

Centro:

Radio: 5

1, 3, 4

3

2

1

−2

−3

1

2

3

y

43. x

1

Centro: 3 ,

Radio: 1

y 1, 0

1 2 z 2 1

45. Una esfera sólida con centro en (0, 0, 0) y 6 de radio

47. Interior de una esfera con 4 de radio y centrada en (2, –3, 4)

49. a) 2, 2, 2

51. a) 3, 0, 3

b) v 2i 2j 2k b) v 3i 3k

c)

z

c)

z

53. v 1, 1, 6

55. v 1, 0, 1

v 38

v 2

u

1

1

u

38 1, 1, 6 2

1, 0, 1

57. a) y d)

x

x

3

(0, 0, 0) 2

−2

v

2

(4, 1, 1)

4

b) 4, 1, 1 c) v 4i j k

59. 3, 1, 8

z

61. a) b)

x

z

c) d)

−3

−2

x

1 2

3

1

−2

1

2

3

−2

1

2

3

4

3

2

5

4

z

5

4

3

2

(3, 3, 4)

(−1, 2, 3)

3

2

−2

−3

5

4

3

2

1

2

−3

2

1

−3

−2

1

2

3

4

〈−2, 2, 2〉

4

y

y

〈2, 4, 4〉

3

〈 2

, 3, 3 〉

y

y

−3

−2

63. 1, 0, 4 65. 6, 12, 6 67. 2, 3, 5 2

69. a y b 71. a 73. Colineal 75. No colineal

x

3

x

2

−2

1

2

3

7

3

2

1

1

−1

−2

−3

z

5

4

3

2

1

3

2

−3

−2

〈−1, −2, −2〉

2

3

−2

x

−3

−3

−2

1

z

1

−3

−2

1

〈0, 0, 0〉

2

〈−3, 0, 3〉

−3

2

2

3

3

3

4

y

y

y

A116



77. AB \

CD \ 1, 2, 3

1, 2, 3

BD \ 2, 1, 1

AC \ 2, 1, 1

Porque AB \ CD \ y BD \ AC \ , los puntos dados forman los

vértices de un paralelogramo.

79. 0 81. 34 83.

85. a)

1

1

3 2, 1, 2 b) 3 2, 1, 2

87. a) 1 38 3, 2, 5 b) 1 38 3, 2, 5

89. a) ad) Las respuestas varían.

e) u

u

v

v

4, 7.5,

8.732

2

u 5.099

v 9.014

91. ± 7 3 93. 0, 10 2, 10 2 95. 1, 1, 1 2

97.

z

99. 2, 1, 2

1

−2

−1

1

2 −1

x

−2

0, 3, ±1

101. a)

z

b)

c)

a

a

0, a

1, a

b

b

0, b

2, b

0

1

103. x 0 es la distancia dirigida al plano yz

1

d) No es posible

v

1 u 1

x

y

y 0 es la distancia dirigida al plano xz

z 0 es la distancia dirigida al plano xy

105. x x

2

0 y y

2

0 z z

2

0 r 2 107. 0

109. a) T 8L L 2 18 2 , L > 18

b)

L 20 25 30 35 40 45 50

T 18.4 11.5 10 9.3 9.0 8.7 8.6

c) 30 L = 18

d) Demostración

e) 30 pulg

0 100

0

111. 3 3 1, 1, 1

113. La tensión en el cable AB:

La tensión en el cable AC:

La tensión en el cable AD:

202.919 N

157.909 N

226.521 N

115. x

2

y 3 2 z

4

3

2

−2

〈0, 3, 1〉

y

〈0, 3, −1〉

T = 8

1

3

2 44

9

± 5 5, ±2 5 5

10 10


1. a) 17 b) 25 c) 25 d) 17, 85 e) 34

3. a) 26 b) 52 c) 52 d) 78, 52 e) 52

5. a) 2 b) 29 c) 29 d) 0, 12, 10 e) 4

7. a) 1 b) 6 c) 6 d) i k e) 2

9. 20 11. 2 13. arccos 1 5 2 98.1

15. arccos 2 3 61.9 17. arccos 8 13 65 116.3

19. Ni uno ni otro 21. Ortogonal 23. Ni uno ni otro

25. Ortogonal 27. Triángulo rectángulo; las respuestas varían.

29. Triángulo agudo; las respuestas varían

1

31. cos 3

33. cos 0

2

cos 3

cos 3 13

2

cos 3

cos 2 13

35. 43.3 , 61.0 , 119.0

37. 100.5 , 24.1 , 68.6

39. Magnitud: 124.310 lb

29.48 , 61.39 , 96.53

41. 90 , 45 , 45 43. a) 2, 8 b) 4, 1

45. a)

5

1

2, 1 b) 2, 5 2

2 47. a) 2, 2, 2 b) 2, 1, 1

49. a)

8

0, 33 b) 2, 25 , 6

25 , 44

25

25

51. Ver la “Definición de producto punto”, página 783.

53. a) y b) están definidas. c) y d) no están definidas porque no es posible

encontrar el producto punto de un escalar y un vector o la

suma de un escalar y un vector.

55. Ver figura 11.29 en la página 787.

57. Sí

u v

v v v u

2 u u 2

u

v

u

v v u

v 2 u 2

1

v

1

u

u v

59. $12 351.25; ingreso total 61. a) ac) Las respuestas varían

63. Las respuestas varían 65. u

67. Las respuestas varían. Ejemplo: 12, 2 y 12, 2

69. Las respuestas varían. Ejemplo: 2, 0, 3 y 2, 0, 3

71. a) 8335.1 lb b) 47 270.8 lb

73. 425 pies-lb 75. 2 900.2 km-N

77. Falso. Por ejemplo: 1, 1 2, 3 5 y 1, 1 1, 4 5,

pero 2, 3 1, 4 .

79. arccos 1 3 54.7

81. a) 0, 0 , 1, 1

b) Para y x 2 en 1, 1 :

Para y x 1 3 en 1, 1 : ±3 10 10, ±

Para y x 2 en 0, 0 : ±1, 0

Para y x 1 3 en (0, 0 : 0, ±1

c) En 1, 1 : 45

En 0, 0 : 90



A117

83. a) 1, 0 , 1, 0

b) Para y 1 x 2 en 1, 0 : ± 5 5, 2 5 5

Para y x 2 1 en 1, 0 : ± 5 5, ±2 5 5

Para y 1 x 2 en 1, 0 : ± 5 5, ±2 5 5

Para y x 2 1 en ( 1, 0 : ± 5 5, 2 5 5

c) En

En

1, 0 :

1, 0 :

53.13

53.13

85. Demostración

87. a)

z

b) k 2 c) 60 d) 109.5

x

(k, 0, k)

89 a 91. Demostraciones


z

1. k

3. i

x

1

i

k

k k y

(k, k, 0)

1

−1

j

−k 1

(0, k, k)

y

x

1

i

1

−1

z

k

j

1

y

11 16 742

33. 35. 37. 10 cos 40 7.66 pies-lb

2

2

39. a) 84 sen

b) 42 2 59.40

c) 90 ; que es lo que debería esperarse. Cuando 90 , la

llave inglesa está horizontal

41. 1 43. 6 45. 2 47. 75

49. Al menos uno de los vectores es el vector cero.

51. Ver la “Definición del producto cruz de dos vectores en el espacio”,

página 792.

53. La magnitud del producto cruz aumentará en un factor de 4.

55. Falso. El producto cruz de dos vectores no está definido en un

sistema de coordenadas bidimensional.

57. Falso. Sea u 1, 0, 0 , v 1, 0, 0 y w 1, 0, 0 .

Entonces u v u w 0, excepto v w.



1. a)

100

0

0

y = 84 sen θ

z

180

5.

j

z

−1

−j

1

k

x

y

7. a) 20i 10j 16k 9. a) 17i 33j 10k

b) 20i 10j 16k b) 17i 33j 10k

c) 0

c) 0

11. 0, 0, 54 13. 1, 1, 1 15. 2, 3, 1

17.

z

19.

z

x

x

1

2

3

4

1

6

5

4

3

2

1

v

u

i

−1

4

6

1

y

y

2.94

21. 73.5, 5.5, 44.75 ,

11.8961 , 0.22

11.8961 , 1.79

11.8961

1.8

23. 3.6, 1.4, 1.6 ,

4.37 , 0.7

4.37 , 0.8

4.37

25. Las respuestas varían 27. 1 29. 6 5 31. 9 5

x

1

2

3

4

6

5

4

3

2

1

v

u

4

6

y

b) P 1, 2, 2 , Q 10, 1, 17 , PQ \ 9, 3, 15

(Hay muchas respuestas correctas.) Los componentes del vector

y los coeficientes de t son proporcionales porque la recta

es paralela a PQ \ .

1

c) 5 , 12

5 , 0 , 7, 0, 12 , 0, 7 3 , 1 3

3. a) Sí b) No

Ecuaciones Ecuaciones

Números

paramétricas a simétricas b

directores

x z

5. x 3t

y

3 5

y t

3, 1, 5

z 5t

7.

x 2 y z 3

x 2 2t

2 4 2

y 4t

2, 4, 2

z 3 2t

9. x 1 3t

y 2t

z 1 t

x 1

3

y

2

z 1

1

3, 2, 1

A118



4,

Ecuaciones Ecuaciones

Números

paramétricas a simétricas b

directores

x 5 y 3 z 2

11. x 5 17t

17 11 9

y 3 11t

17, 11, 9

z 2 9t

13. x 7 10t No es posible.

10, 2, 0

y 2 2t

z 6

15. x 2 17. x 2 3t 19. x 5 2t

y 3

y 3 2t

y 3 t

z 4 t z 4 t

z 4 3t

21. x

y

2

1

t

t

z 2 t

23. P 3,

25. P 7,

1,

6,

2 ; v

2 ; v

1, 2, 0

2, 1

27. L 1 L 2 y es paralela a L 3 . 29. L 1 y L 3 son idénticas.

31. 2, 3, 1 ; cos 7 17 51 33. No se cortan.

35.

z

4

7, 8, 1

2

4

6

8

−

10

x

−8

37. a) P

PQ \ 0, 0,

0,

1 , Q

2, 1 , PR \ 0, 2, 0 , R

3, 4, 0

3, 4, 1

(Hay muchas respuestas correctas.)

b) PQ \ PR \ 4, 3, 6

Las componentes del producto cruz son proporcionales a los

coeficientes de las variables en la ecuación. El producto cruz

es paralelo al vector normal.

39. a) Sí b) Sí 41. y 3 0

43. 2x 3y z 10 45. 2x y 2z 6 0

47. 3x 19y 2z 0 49. 4x 3y 4z 10 51. z 3

53. x y z 5 55. 7x y 11z 5 57.

59.

z

61. x z 0 63. 9x 3y 2z 21 0

65. Ortogonal 67. Ni uno ni otro; 83.5 69. Paralelo

71.

z

73.

z

x

)

x

2

6

6

4

2

y z 1

(−7, 10, 0)

−4 −6−8

2

1

0, − , − 7 2 2)

6 8

10

6

4

4

(3, 0, 0)

)

4

6 8 10

(7, 8, −1)

y

1

− , 0, − 10 3 3 )

(0, 0, 2)

(0, 6, 0)

6

y

y

4

(0, 0,

3

(0, −4, 0)

−4

x

3

−1

(

3

2

(2, 0, 0)

y

z

75. 77.

(6, 0, 0)

8

x

z

79. 81.

x

6

4

2

8

−6

(0, 0, 6)

2

4

8

y

6

y

Generado con Maple

5

x

(5, 0, 0)

v a, b, c

83. P 1 y P 2 son paralelos. 85. P 1 P 4 y es paralelo a P 2 .

87. Los planos tienen intersecciones en c, 0, 0 , 0, c, 0 y 0, 0, c

para cada valor de c.

89. Si c 0, z 0 es el plano xy; si c 0, el plano es paralelo al

eje x y pasa a través de los puntos (0, 0, 0) y (0, 1, –c)

91. a)

b) x

65.91

2

y 1 t

z 1 2t

93. 2, 3, 2 ; La recta no se encuentra en el plano.

95. No se cortan 97. 6 14 7 99. 11 6 6

101. 2 26 13 103. 27 94 188 105. 2 533 17

107. 7 3 3 109. 66 3

111. Ecuaciones paramétricas: x x 1 at, y y 1 bt y z z 1 ct

x x

Ecuaciones simétricas: 1 y y 1 z z 1

a b c

Se necesita un vector

paralelo a la recta y un punto

P x 1 , y 1 , z 1 en la recta.

113. Resolver simultáneamente las dos ecuaciones lineales que representan

los planos y sustituir los valores en una de las ecuaciones

originales. Después elegir un valor para t y dar las ecuaciones

paramétricas correspondientes a la recta de intersección.

115. a) Paralelos si el vector a 1 , b 1 , c 1 es un múltiplo escalar de

a 2 , b 2 , c 2 ; 0.

b) Perpendicular si a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0; 2.

117. cbx acy abz abc

119. Esfera: x 3 2 y 2 2 z 5 2 16

121. a)

Año 1999 2000 2001 2002

z (aprox.) 6.25 6.05 5.94 5.76

Año 2003 2004 2005

z (aprox.) 5.66 5.56 5.56

Generado con Maple

Las aproximaciones están más próximas a los valores actuales.

b) Las respuestas varían.

x

−2

2

3

−1

z

z

1

y

5

y



A119

123. a) 70 pulg.

b)

15

c) La distancia nunca es cero.

d) 5 pulg.

27. Paraboloide hiperbólico 29. Cono elíptico

3

z

1

z

−3

x

2 2 3 3

y

x

1

0

0

77

13, 48

23

1

125. 13, 127. 2, 4, 1 13

4 129. Verdadero 131. Verdadero

133. Falso. El plano 7x y 11z 5 y el plano 5x 2y 4z 1

son perpendiculares al plano

pero no son paralelos.


1. c 2. e 3. f 4. b 5. d 6. a

7. Plano 9. Cilindro circular recto

−3

3 2 1 −1

1

2

7 6

2

−2

2x 3y z 3

z

z

3

4

1

x −2

x

−3

4

5 y

15

9

4

y

31. Elipsoide 33.

x

2

z

35. 37.

−2

1

2

1

−2

z

2

−2

2 2

2

4

y

x

2π

−1

4

3

z

z

3

y

3

y

x

y

4

x

4

y

11. Cilindro parabólico 13. Cilindro elíptico

x

15. Cilindro 17. a)

z

b)

2

c)

1

d)

19. Elipsoide 21. Hiperboloide de una hoja

x

23. Hiperboloide de dos hojas 25. Paraboloide elíptico

x

4

2

x

2

3

2

3

4

2

3

−3

z

z

4

3

z

y

3

4

2

3

y

y

y

−3

x

x

3

3

2

20, 0, 0

10, 10, 20

0, 0, 20

0, 20, 0

2

3

2

−3

1

2 1 3

x

−2

−3

z

3

3

2

−2

−3

z

z

2

−3

−2

3

3

3

4

y

y

y

z

39. 41.

z

43. 45.

x

−2

−8

2

−4

8

x

3

2

12

−2

1

2

8

y

y

47. x 2 z 2 4y 49. 4x 2 4y 2 z 2 51. y 2 z 2 4 x 2

53. y 2z o x 2z

55. Sea C una curva plana y sea L una recta no contenida en un plano

paralelo. Al conjunto de todas las rectas paralelas a L y que cortan

a C se le llama un cilindro. C es llamada la curva directriz

del cilindro, y las rectas paralelas se llaman rectas generatrices.

57. Ver páginas 814 y 815. 59. 128 3

61. a) Eje mayor: 4 2 b) Eje mayor: 8 2

Eje menor: 4 Eje menor: 8

Focos: 0, ±2, 2 Focos: 0, ±4, 8

63. x 2 z 2 8y; Paraboloide elíptico

65. x 2 3 963 2 y 2 3 963 2 z 2 3 950 2 1

67. x at, y bt, z 0;

69. Verdadero

x at, y bt ab 2 , z 2abt a 2 b 2

71. Falso. Una traza de una elipsoide puede ser un único punto.

3

x

x

4

3

2

z

6

4

2

6 −2

−4

−6

z

2

−6

2

3

y

y

A120



73. La botella de Klein no tiene un interior ni un exterior. Se forma

insertando el extremo delgado abierto a través del costado de la

botella y uniéndolo a la base de la botella.


1. 7, 0, 5 3. 3 2 2, 3 2 2, 1 5. 2 3, 2, 3

7. 5, 2, 1 9. 2 2, 4, 4 11. 2, 3, 4

13. z 4 15. r 2 z 2 17 17. r sec tan

19. r 2 sen 2 10 z 2

21. x 2 y 2 9

23. x 3y 0

x

x

4, 6, 6

29. 4, 0, 2 31. 4 2, 2 3, 4 33.

35. 6, 2, 2 2 5

37. 0, 0, 12 39. 2 , 5 2 , 5 2 2

41. 2 csc csc 43. 7

45. 4 csc 47. tan 2 2

49. x 2 y 2 z 2 25 51. 3x 2 3y 2 z 2 0

x

3

3

2

4 3

−3

3

−3

z

6 5 5 6

z

6

5

z

3

3 4

y

y

y

25. x 2 y 2 z 2 5 27. x 2 y 2 2y 0

x

−2

x

2

2

1

2

1

1

2 2

x −1

−2

− 2

− 1

2

1

−2

z

z

2

z

2

1 1

−1 2

−2

−1

y

y

−2

y

Rectangulares

73.

75.

77.

4, 6, 3

4.698, 1.710, 8

7.071, 12.247,

14.142

79. 3, 2, 2

81.

83. 3.536, 3.536, 5 5, 3 4, 5 7.071, 2.356, 2.356

85. 2.804, 2.095, 6 3.5, 2.5, 6 6.946, 5.642, 0.528

87. 1.837, 1.837, 1.5 2.598, 2.356, 1.5) 3, 3 4, 3

89. d 90. e 91. c 92. a 93. f 94. b

95. Rectangulares a cilíndricas:

r 2 x 2 y 2 , tan y x, z z

Cilíndricas a rectangulares:

x r cos , y r sen , z z

97. Rectangulares a esféricas:

2

x 2 y 2 z 2 , tan y x, arccos z x 2 y 2 z 2

Esféricas a rectangulares:

x sen cos , y sen sen , z cos

99. a) r 2 z 2 25 b) 5

101. a) r 2 z 1 2 1 b) 2 cos

103. a) r 4 sen b) 4 sen sen 4 sen csc

105. a) r 2 9 cos 2 sen 2

a)

2

9 csc 2 cos 2 sen 2

z

z

107. 109.

2

3

x

5

2 , 4 3 , 3

2

5

3

2

1

2 3

z

111. 113.

a

30 °

y

Cilíndricas

7.211, 0.983, 3

5, 9, 8

14.142, 2.094,

14.142

3.606,

0.588, 2

2.833, 0.490,

1.5

x

−a

a

2

z

Esféricas

7.810, 0.983, 1.177

9.434, 0.349, 0.559

20, 2 3, 4

4.123, 0.588,

1.064

3.206, 0.490,

2.058

a

a

− a

y

−6

53. x 2 y 2 z 2 2 4 55. x 2 y 2 1

z

z

5

2

4

3

1

2

−2

−2

x 2

1 1

2 y

−2 −3

− 1

x 3

1

2 2

3

y

− 2

57. 4, 4, 2 59. 4 2, 2, 4

61. 2 13, 6, arccos 3 13 63. 13, , arccos 5 13

65. 10, 6, 0 67. 36, , 0

69. 3 3, 6, 3 71. 4, 7 6, 4 3

x

y

115. Rectangulares: 0 x 10 117. Esféricas: 4 6

0 y 10

0 z 10

119. Cilíndricas: r 2 z 2 9, r 3 cos , 0

121. Falso. r z representa un cono.

123. Falso. Ver página 823. 125. Elipse


1. a) u 3, 1 b) u 3i j c) 2 5 d) 10i

v 4, 2

3. v 4, 4 3 5. 5, 4, 0

x

2

2

y



A121

7. Arriba del plano xy y a la derecha del plano xz o debajo del plano

xy y a la izquierda del plano xz.

9. x 3 2 y 2 2 z 6 2 225

4

11. x 2 2 y 3 2 z 2 9

Centro:

Radio:

2, 3, 0

3

13. a) y d) b) u 2, 5, 10

z

c) u 2i 5j 10k

x

(2, −1, 3)

3

4

5

15. Colineales 17. 1 38 2, 3, 5

19. a) u 1, 4, 0 , v 3, 0, 6 b) 3 c) 45

21. Ortogonales 23. arccos

2 6

4

15 25.

27. Las respuestas varían. Ejemplo: 6, 5, 0 , 6, 5, 0

29.

15

31. 14 , 5 7 , 5

u u 14 u 2

14

33. 1 5 2i j o 1 5 2i j

35. 4 37. 285 39. 100 sec 20 106.4 lb

41. a) x 3 6t, y 11t, z 2 4t

b) x 3 6 y 11 z 2 4

43. a) x 1, y 2 t, z 3 b) Ninguno

c)

z

x

−4

3

2

1

1

2

3

−2

−8

−9

−10

(4, 4, −7)

(2, 5, −10)

4

−2

2

4

2

−2

−4

5

y

−4

4

y

8

51. 7 53. 35 7

55. Plano 57. Plano

z

z

3 2

(0, 0, 2)

3

2

y

y

(0, 3, 0)

6

6

x (6, 0, 0)

x

59. Elipsoide 61. Hiperboloide de dos hojas

z

z

2

2

−2

−4

y

5 5

4

y

x

x

5

−2

63. Cilindro

z

2

2

x

y

−2

65. Sea y 2 x y girar alrededor del eje x.

67. x 2 z 2 2y

69. a) 4, 3 4, 2 b) 2 5, 3 4, arccos 5 5

71. 50 5, 6, arccos 1 5

73. 25 2 2, 4, 25 2 2

75. a) r 2 cos 2 2z b) 2 sec 2 cos csc 2

5 2

2

z

77. x

79. x

y 2 25

4

3

2 y

x

3

y

z

3

3 4

4 321 y

x

−3

45. a) x t, y 1 t, z 1 b)

z

c)

47. 27x 4y 32z 33 0 49. x 2y 1

x

−4

4

−2

2

x

−2

−4

z

−2

2

4

3

2

−4 −3 −2 1

2

3

4 −2

−3

−4

−4

−3

4

2 3 4

y

x

x y 1, z 1

−4

4

−2

2

4

2

−2

z

−2

2

−4

4

y


1–3. Demostraciones 5. a) 3 2 2 2.12 b)

1

7. a) 2 b) 2 abk k

1

c) V 2 ab k 2

1

V 2

(área de la base) altura

z

9. a) b)

2

−3

−3

−2

1

2

1

3

3 y

3

x −2

x −2

11. Demostración

5 2.24

2

3 y

A122



13. a) Tensión: 2 3 3 1.1547 lb

Magnitud de u: 3 3 0.5774 lb

b) T sec ; u tan ; Dominio: 0 90

c)

0 10 20 30

T 1 1.0154 1.0642 1.1547

u 0 0.1763 0.3640 0.5774

40 50 60

T 1.3054 1.5557 2

u 0.8391 1.1918 1.7321

d)

2.5

e) Ambas son funciones

crecientes.

T

⎜⎜u ⎜⎜

0 60

0

f ) lím T y lím u

→ 2

→ 2

Sí. Cuando aumenta, también aumentan T y u .

15. 0, 0, cos sen cos sen ; demostración

PQ \

n

17. D

n

w u v u v w u v w

u v u v u v

19. Demostración

Capítulo 12


,

1. , 1 1, 3. 0,

5. 0, 7.

9. a)

1

1

1

2 i b) j c) 2 s 1 2 i sj d) 2 t t 4 i tj

11. a) ln 2i

1

b) No es posible

2 j 6k

c) ln t 4 i

1

t 4 j 3 t 4 k

d) ln 1 t i

t

1 t j 3 tk

13.

15.

t 1

r t

25t

3ti tj 2tk

x 3t, y t, z 2t

17. r t 2 t i 5 t j 3 12t k

x 2 t, y 5 t, z 3 12t

19. t 2 5t 1 ; No, el producto punto es un escalar.

21. b 22. c 23. d 24. a

25. a) 20, 0, 0 b) 10, 20, 10

c) 0, 0, 20 d) 20, 0, 0

y

27. 29.

y

31. 33.

−3

z

35. 37.

z

39. 41.

−3

z

43. 45.

x

Parábola

Hélice

47.

z

2π

a) La hélice se traslada hacia atrás sobre el

eje x.

b) La altura de la hélice aumenta a mayor

velocidad.

π

c) La orientación de la gráfica se invierte.

−2

−2

d) El eje de la hélice es el eje x.

2

e) El radio de la hélice aumenta de 2 a 6.

x

3

(2, −2, 1)

x

−3

3

−2

3

3

x

−2

−1

2

1

5

4

6

4

3

2

1

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−2

2

1

1

−2

−3

−4

−5

2

(1, 2, 3)

3

−2 −3

y

2 3

3

4

(0, 6, 5)

5 6

y

y

−3

3

x

2

x

−2

−4

−6

49 a 55. Las respuestas varían.


r 1 t ti t 2 j, 0 t 2

r 2 t 2 t i 4j, 0 t 2

r 3 t 4 t j, 0 t 4

x

x

y

−12 −9

x

z

6

4

2

−6

−1

2 1

7

)

7

6

5

4

3

2

−5 −4 −3 −2 −1

−2

−3

−3

−6

−9

−12

z

12

9

6

3

16

2, 4,

3 )

2

y

z

y

5

1 2 3 4 5

)

2

3

6 9 12

y

16

−2, 4, −

3 )

−2

3

y

y

x

x



A123

z

59. 61.

( 2, − 2, 4)

( − 2, 2, 4)

63.

−3

r t 1 sen t i 2 cos tj 1 sen t k y

r t 1 sen t i 2 cos tj 1 sen t k

65.

z

x

x

69. i j 71. 0 73. i j k

75. , 0 , 0, 77. 1, 1

79. 2 n , 2 n , n es un entero.

81. a)

b)

c)

s t

s t

s t

t 2 i

t 2

t 2 i

t

2 i

t

3 j

t

2 j

t

3 j

tk

3 k

tk


x

−3

3

x

2

3

4

7

−2

2

6

−1

1

2

3

x

5

3

−3

3

z

3

2

1

−1

5

(0, 0, 2)

z

−1

1 2 3

r t ti tj 2t 2 k

(2, 2, 0)

3

−2

2

16

12

8

4

4

z

y

r t ti tj 4 t 2 k

67. Sea x t, y 2t cos t y z 2t sen t. Entonces

y 2 z 2 2t cos t 2 2t sen t 2 4t 2 cos 2 t

4t 2 cos 2 t sen 2 t 4t 2 .

Porque x t, y 2 z 2 4x 2 .

4

8 12 16

y

y

y

y

−3

3

x

r t 1.5 cos ti 1.5 sen tj

0 t 2

4

z

r t 2 sen ti 2 cos tj

4 sen 2 tk

3

y

4t 2 sen 2 t

1 tk,

85 a87. Demostraciones 89. Sí; sí 91. No necesariamente

93. Verdadero 95. Verdadero


1

1. r 2 4i 2j

3. r 2 4i 2 j

r 2 4i j 1

r 2 4i

r′

r

x

2 4 6 8

2

−2

−4

r t 0 es tangente a la


curva en t 0 .

curva en t 0 .

5. r 2 j

7. r 0 i j

r 2 i

r 0 i 2j

r t

t 0 .

es tangente a la


1 2 3

0

curva en t 0 .

curva en

9. r 3 2

2j

z

3

3π

0, −2,

2 k ) 2π

r

r′

3

2i k

2

11. 3t 2 i 3j 13. 2 sen ti 5 cos tj

15. 6i 14tj 3t 2 k 17. 3a sen t cos 2 ti 3a sen 2 t cos tj

19. e t i 5te t 5e t k

21. sen t t cos t, cos t t sen t, 1

23. a) 3t 2 i tj b) 6ti j c) 18t 3 t

25. a) 4 sen ti 4 cos tj b) 4 cos ti 4 sen tj c) 0

27. a)

1

ti j 2 t 2 k b) i tk c) t 3 2 t

29. a) t cos t, t sen t, 1

b) cos t t sen t, sen t t cos t, 0 c) t

31.

r 1 4 1

r 1 4 4 2 1

2 i 2 j k

r 1 4 1

r 1 4 2

4

4

2 2 i 2 2 j 4k

x

4

2

y

r′

r′

⎜⎜r′⎜⎜

r″

⎜⎜r″⎜⎜

(4, 2)

y

(0, 1)

r

z

1

r′

x

y

)

x

−2

2

1

3

2

1

y

y

r

r π

r

2 1 2

(4, 1 2

(1, 1)

r ′

y

(

4 j

x

x

A124



33. , 0 , 0, 35. n 2, n 1 2

37. , 39. , 0), 0,

41. 2 n , 2 n , n es un entero.

43. a) i 3j 2tk b) 2k c) 8t 9t 2 5t 4

d) i 9 2t j 6t 3t 2 k

e) 8t 3 i 12t 2 4t 3 j 3t 2 24t k

f ) 10 2t 2 10 t 2

45. a) 7t 6 b) 12t 5 i 5t 4 j

7 sen t cos t

47. t arccos

9 sen 2 t 16 cos 2 t 9 cos 2 t 16 sen 2 t

5

Máximo:

1.855

4 4

Mínimo:

Ortogonal:

1.287

n

n es un entero.

2 ,

−1 7

0

49. r t 3i 2tj 51. r t 2ti 2k

2

53. t 2 i tj tk C 55. ln ti tj 5 t 5 2 k C

57. t 2 t i t 4 j 2t 3 2 k C

1

59. tan ti arctan tj C 61. 4i 2 j k

63. ai aj 2 k

65. 2i e 2 1 j e 2 1 k

67. 2e 2t i 3 e t 1 j 69. 600 3ti 16t 2 600t j

71. 2 e t 2 2 i e t 2 j t 1 k

73. Ver la “Definición de la derivada de una función vectorial” y la

figura 12.8 en la página 842.

75. Las tres componentes de u son funciones crecientes de t en t t 0 .


85. a)

5

La curva es una cicloide.

b) El máximo de r es 2; el mínimo de r es 0. El máximo

y el mínimo de r es 1.

87. Demostración 89. Verdadero

91. Falso: Sea r t cos ti sen tj k, entonces d dt r t 0,

pero r t 1.


1. v 1 3i j

3. v 2 4i j

a 1 0

a 2 2i

2

−2

−4

0

0

y

(3, 0)

4

3

4

v

6

x

7

4

40

4

2

−2

−4

y

2

(4, 2)

4

6

a

8

v

x

5. v 1 2i 3j

7. v 4 2 i 2 j

a 1 2i 6j

a 4 2 i 2 j

9. v

a

4

2

8

7

6

5

4

3

2

1

y

11. v t i 5j 3k 13. v t i 2tj tk

v t 35

v t 1 5t 2

a t 0

a t 2j k

15. v t i j t 9 t 2 k

v t 18 t 2 9 t 2

a t 9 9 t 2 3 2 k

17. v t

v t

4i

5

3 sen tj 3 cos tk

a t 3 cos tj 3 sen tk

19. v t e t cos t e t sen t i e t sen t e t cos t j e t k

v t e t 3

a t 2e t sen ti 2e t cos tj e t k

21. a) x 1 t b) 1.100, 1.200, 0.325

y 1 2t

1 3

z 4 4 t

23. v t t i j k

r t t 2 2 i j k

r 2 2 i j k

25. v t t 2 9

2 2 j t2 1

2 2 k

r t t 3 9

6 2 t 14

3 j t3 1

6 2 t 1

3 k

17

r 2 3 j 2

3 k

27. v t sen ti cos tj k

r t cos ti sen tj tk

r 2 cos 2 i sen 2 j 2k

29. r t 44 3ti 10 44t 16t 2 j

50

0

0

y

a

(1, 1)

v

−1 2 3 4 5 6 7 8

2i

j

( π, 2)

a

π

v

2π

x

300

v

(

31. v 0 40 6 pies s; 78 pies 33. Demostración

35. a) y 0.004x 2 0.37x 6

r t ti 0.004t 2 0.37t 6 j

x

−3

3

−3

y

a

2, 2)

3

x



A125

b)

18

c) 14.56 pies

d) Velocidad inicial: 67.4 pies s;

20.14

b)

t 0 4 2 2 3

Velocidad 3 3 10 2 6 3 13 2 3

37. a)

b)

0

0

r t

100

0

0

El ángulo mínimo parece ser 0 20 .

c)

39. a)

0

v 0

19.38

28.78 pies s; 58.28 b) v 0

41. 1.91

43. a)

5

b)

15

0

0

θ 0 = 20 θ 0 = 25

θ 0 = 10 θ 0 = 15

120

440

3 cos 0 ti 3 440

3 sen 0 t 16t2 j

500

Altura máxima: 2.1 pies

Rango: 46.6 pies

c) : 40

d)

50

0

0


Rango: 227.8 pies

200

32 pies s

300

y

c) d) La velocidad aumenta cuando

8

el ángulo entre v y a se encuentra

en el intervalo 0, 2 , y dis-

6

4

2

minuye cuando el ángulo se encuentra

en el intervalo 2, x

.

−8 −4 −2 2 4 6 8

−2

−4

−6

−8

61. La velocidad de un objeto tiene magnitud y dirección de movimiento,

mientras que la rapidez sólo tiene magnitud.

63. a) Velocidad: r 2 t 2r 1 2t

Aceleración: r 2 (t 4r 1 (2t

b) En general, si r 3 t r 1 t , entonces:

Velocidad: r 3 t r 1 t

Aceleración: r 3 (t 2

r 1 ( t

65. Falso; la aceleración es la derivada de la velocidad.

67. Verdadero.


y

y

1. 3.

x

x

0

0


Rango: 136.1 pies

e)

60

f)

0

0

200

140


Rango: 666.1 pies

Altura máxima: 51.0 pies Altura máxima: 249.8 pies

Rango: 117.9 pies Rango: 576.9 pies

45. Altura máxima: 129.1 m

Rango: 886.3 m

47. v t b 1 cos t i sen tj

a t b 2 sen ti cos tj

a) v t 0 cuando t 0, 2 , 4 , . . .

b) v t es máximo cuando t , 3 , . . .

49. v t b sen ti b cos tj

v t r t 0

51. a t b 2 cos ti sen tj 2

r t ; a t es un múltiplo

negativo de un vector unitario desde (0, 0) hasta cos t, sen t ,

así a t está dirigida hacia el origen.

53. 8 10 pies s 55 a 57. Demostraciones

59. a) v t 6 sen ti 3 cos tj

v t 3 3 sen 2 t 1

a t 6 cos ti 3 sen tj

0

0

300

0

0

800

600

5. T 1 2 2 i j 7. T 4 2 2 i j

9. T e 3ei j 9e 2 1 0.9926i 0.1217j

11. T 0 2 2 i k 13. T 0 10 10 3j k)

x t

x 3

y 0

y 3t

z t

z t

1

15. T 4 2 2, 2, 0

x 2 2 t

y 2 2 t

z 4

1

z

17. T 3 19 1, 6, 18

18

x 3 t

15

12

y 9 6t

9

z 18 18t

6

3

3

6

9 −3

x

12

15

18

19. Recta tangente: x 1 t, y t, z 1

r 1.1 1.1, 0.1, 1.05

21. 1.2 23. N 2 5 5 2i j

25. N 2 5 5 2i j

27. N 1 14 14 i 2j 3k

29. N 3 4 2 2 i j

y

1

2t

A126



a 0.

31. v t 4i

33. v t 8ti

a t 0

a t 8i

T t i

T t i

N t no está definido. La N t no está definido. La

trayectoria es una recta y trayectoria es una recta y

la velocidad es constante. la velocidad es variable.

35. T 1 2 2 i j 37. T 1 5 5 i 2j

N 1 2 2 i j N 1 5 5 2i j

a T 2

a T 14 5 5

a N 2

a N 8 5 5

39. T 0 5 5 i 2j 41. T 2 2 2 i j

N 0 5 5 2i j N 2 2 2 i j

a T 7 5 5

a T 2e 2

a N 6 5 5

a N 2e 2

43. T t 0

N t 0

cos t 0 i

sen t 0 i

sen t 0 j

cos t 0 j

a T

2

a N

3

t 0

45. T t

N t

sen

cos

t i

t i

cos

sen

t j

t j

a T 0

a N a 2

47. v t a ; La velocidad es constante porque

49. r 2 2i

1

2 j T

T 2 17 17 4i j

N 2 17 17 i 4j

51.

53.

3

2

1

y

2, 1 2

)

)

1

r 1 4 i 1 4 j

T 1 4 5 5 2i j

N 1 4 2 5 5 1 2 i j

−2 −1

1 2

−1 1, 1 4)

r 4 2 i 2 j

T 4 2 2 i j

N 4 2 2 i j

−1

3

2

1

1

−1

y

y

2

N

T

N

1

3

)

T

N

T

(

x

x

2, 2)

x

55. T 1 14 14 i 2j 3k

N 1 no está definido.

a T no está definida.

a N no está definida.

57. T

N

3

3

5 5

1 2 i

3 2 i

3 2 j

1 2 j 2k

a T 0

a N 1

59. T 1

N 1

6 6 i

30 30

2j

5i

k

2j k

a T 5 6 6

a N 30 6

61. T 0 3 3 i j k

N 0 2 2 i j

a T 3

a N 2

1

5

63. T 2 4i 3j

N 2 k

a T 0

a N 3

65. T 2 149 149 i 12j 2k

N 2 5 513 5 513 74i 6j k

z

a T 74 149 149

4

a N 5 513 149

x

T

2

N

x 4

2

4

6

8

T

67. Sea C una curva suave representada por r en un intervalo abierto I.

El vector unitario tangente T t en t se define como

T t

r t

r t

, r t 0.

El vector unitario normal principal N t en t se define como

N t

T t

T t

, T t 0.

Las componentes tangencial y normal de la aceleración se definen

como sigue a t a T T t a N N t .

69. a) El movimiento de la partícula es en línea recta.

b) La velocidad de la partícula es constante.

1

71. a) t 2: a T 2 2 2, a N 2 2 2

t 1: a T 0, a N

2

3

t 2: a T 2 2 2, a N 2 2 2

b)

1

t 2: creciente porque a T > 0.

a 0.

t 1: máximo porque

t

3

2 : T

decreciente porque a T < 0.

73. T 2 17 17 4i k

N 2 j

B 2 17 17 i 4k

75. T 4 2 2 j k

N 4 2 2 j k

B 4 i

N

4π

2π

3

z

3

y

y



A127

77. T 3 5 5 i 3j k

1

N 3 2 3i j

B 3 5 10 i 3j 4k

32 v 0 sen 32t

79. a T

v

2

0 cos 2 v 0 sen 32t 2

a N

32v 0 cos

v 02 cos 2 v 0 sen 32t 2

En la altura máxima a T 0 y a N 32.

81. a)

b)

r t

70

60 3ti 5 60t 16t 2 j

c)

d)

0

0

400

Altura máxima 61.245 pies

Rango 398.186 pies

v t 60 3i 60 32t j

v t 8 16t 2 60t 225

a t 32j

t 0.5 1.0 1.5

5.

6a

7. a) r t 50t 2 i 3 50t 2 16t 2 j

b)

649

8 81 pies c) 315.5 pies d) 362.9 pies

9.

z

11.

x

−a

4

3

2

(0, 0, 0)

1

2

3 −1

−2

a

−a

26

3 17 2

z

13. 15. 8.37

(a, 0, 2 πb)

2πb

y

1

−2 −3

2

3

a

4

(−1, 4, 3)

5

x

y

(0, −1, 0)

−12 6

−9

−6

21 18 15 12 9 6 −3

−6

−9

x (6 π, 0, −1) −12

z

6

9

y

Velocidad 112.85 107.63 104.61

t 2.0 2.5 3.0

πb

e)

La velocidad es decreciente cuando y tienen signos

opuestos.

83. a) 4 625 2 1 314 mi h

b) a T 0, a N 1 000 2

a T 0 porque la velocidad es constante

85. a) La componente centrípeta se cuadruplica.

b) La componente centrípeta se reduce a la mitad.

87. 4.82 mi s 89. 4.67 mi s

91. Falso; la aceleración centrípeta puede ocurrir con velocidad

constante.

93. a) Demostración b) Demostración 95 a 97. Demostraciones


1.

y

3.

y

3

−3

−6

0

40

−20

(0, 0)

Velocidad 104 105.83 109.98

a N

a T

x

6 9

(9, −3)

4

1

a T

(0, 0)

a N

(1, 1)

1

x

2 a 2 b 2

17. a) 2 21 9.165 b) 9.529

c) Aumenta el número de segmentos de recta d) 9.571

19. a) s 5t b) r s 2 cos

5 i 2 sen s 5 j s

5 k

c) s 5: 1.081, 1.683, 1.000

s 4: 0.433, 1.953, 1.789

d) Demostración

2

21. 0 23. 5 25. 0 27. 2 2 29. 1

1

31. 4 33. 1 a 35. 2 4a 1 cos t

37.

3 12

5 1 5t 2 3 2 39. 25 41. 125 43. 7 26 676

45. K 0, 1 K no está definido.

47. K 4 17 3 2 , 1 K 17 3 2 4 49. K 4, 1 K 1 4

51. K 1 a, 1 K a

53. K 12 145 3 2 , 1 K 145 3 2 12

55. a) x 2 2 y 2 1

b) Porque la curvatura no es tan grande, el radio de curvatura es

mayor.

57. x 1 2 y

5 2 1 2

59. x 2 2 y 3 2 8

−6

x

( a, 0, 0)

4

−4

(1, 2)

2

y

6

2

−6

6

0

(0, 1)

3

3 10

13 13 8 27

A128



y

61. 63. a) 1, 3 b) 0

65. a) K → cuando x → 0 (No es máximo) b) 0

67. a) 1 2, ln 2 2 b) 0

69. a) ± arcsenh 1 , 1 b) 0

71. 0, 1 73. 2 K , 0

75. a)

b) Plano: K

Espacio: K

T t r t r t

r t r

3

t

77. K y ; Sí, por ejemplo, y x 4 tiene curvatura 0 en su mínimo

relativo (0,0). La curvatura es positiva en cualquier otro

punto de la curva.

79. Demostración

81. a) K

2 6x 2 1

16x 6 16x 4 4x 2 1 3 2

b) x 0: x 2 y

2

1 1

2

2 4

f

x 1: x 2 y

2

1 5

2 4

c)

π

−2π

s

−3

π

B

A

a

b

5

−2

dT

ds

x

x t

2

y t

2

z t

2

dt

3

T

La curvatura tiende a ser mayor cerca de los extremos de la

función y disminuye cuando x → ± . Sin embargo, f y K

no tienen los mismos números críticos.

Números críticos de f: x 0, ± 2 2 ±0.7071

Números críticos de K: x 0, ±0.7647, ±0.4082

1

83. a) 12.25 unidades b) 2 85 a 87. Demostraciones

1

89. a) 0 b) 0 91. 4 93. Demostración

95. K 1 4a csc 2 97. 3 327.5 lb

Mínimo: K 1 4a

No hay un máximo.

99. Demostración

101. Falso. Ver la exploración en la página 869. 103. Verdadero



1. a) Todos son reales, excepto 2 n , n es un entero

b) Continuo excepto en t 2 n , n es un entero

3. a) 0, b) Continuo para todo t > 0

s

−2

a

b

r

t dt

5. a) i 2k b) 3i 4j

c) 2c 1 i c 1 2 j c 1k

d) 2 ti t t 2 j t 3 3 k

y

z

7. 9.

−4 −2 −1 1 2 4

z

11. 13.

3

x

−2

2

−2

−4

1

4

2

1

3

2

1

1 2

x

y

4i k

15. r 1 t 3ti 4tj, 0 t 1

r 2 t 3i 4 t j, 0 t 4

r 3 t 3 t i, 0 t 3

17. r t 2 7t, 3 4t, 8 10t

(La respuesta no es única.)

19.

z

21.

x t, y t, z 2t 2

5

−3

2

1 2 3

y

3

x

23. a) 3i j b) 0 c) 4t 3t 2

d) 5i 2t 2 j 2t 2 k

e) 10t 1 10t 2 2t 1

8

f ) 3 t3 2t 2 i 8t 3 j 9t 2 2t 1 k

25. x t y y t son funciones crecientes en t t 0 y z t es una función

decreciente en t t 0 .

27. sen ti t sen t cos t j C

1

29. 2 t 1 t 2 ln t 1 t 2 C

32

31. 3 j 33. 2 e 1 i 8j 2k

35. r t t 2 1 i e t 2 j e t 4 k

37. v t 4i 3t 2 j k

v t 17 9t 4

a t 6tj

39. v t 3 cos 2 t sen t, 3 sen 2 t cos t, 3

v t 3 sen 2 t cos 2 t 1

a t 3 cos t 2 sen 2 t cos 2 t , 3 sen t 2 cos 2 t sen 2 t , 0

1

41. x t t, y t 16 8t, z t 2 2 t

r 4.1 0.1, 16.8, 2.05

43. 191.0 pies 45. 38.1 m s

2

x

x

3

2

1

3

2

1

z

2

1

1 2

1

y

y



A129

47. v i 3j

49. v i 1 2 t j

v i 2tj tk

a N no existe.

a N 1 2t 4t 1

51. v e t i e t j

53.

v e 2t e 2t v 1 5t 2

a e t i e t j

a 2j k

a T

e 2t e 2t

5t

a T

e 2t e 2t 1 5t 2

a N

2

5

a N

e 2t e 2t 1 5t 2

55. x 3t 1

57. 4.58 mi s

y t 3

z t 3

59.

y

61.

y

5 13

63. z (−9, 6, 12)

65.

x

v 10

a 0

a T 0

−4 −2

12

10

8

6

4

2

2

2

−4

−6

−8

−10

−12

−14

−16

3 29

65 2

67. 0 69. 2 5 4 5t 2 3 2 71. 2 3

73. K 17 289; r 17 17 75. K 2 4; r 2 2

77. La curvatura cambia bruscamente de cero a una constante no

cero en los puntos B y C.


1. a) a b) a c) K a

3. Velocidad inicial: 447.21 pies s; 63.43

5a 7. Demostraciones

4

9. Tangente unitario: 5 , 0, 3 5

Normal unitario:

3

Binormal: 5 , 0, 4 5

0, 1, 0

2

3

4

x

(0, 0)

2

(0, 0, 0)

2 4

6 8

10

3π

z

4 6 8 10 12 14

6π

T

B

1

N

T

B

4

(10, −15)

y

60


y

x

N

x

v 4t 1 2 t

a 1 4t t j

a T 1 4t t 4t 1

4

6

8

(8, 0, 0)

10

2

−10 −2 2 10

−10

π

2

z

π

0, 8, 2

4

6

8

)

)

y

x

2

13. a) b) 6.766

c) K 2

t 2 2 2

t 2 1 3 2

K 0 2

K 1

2

2

2

1 3 2 1.04

K 2 0.51

5

d) e) lím K 0

t→

f ) Cuando t → , la gráfica forma una espiral hacia afuera y

la curva decrece.

Capítulo 13


1. No es una función porque para algunos valores de x y y (por ejemplo

x y 0) hay dos valores de z.

3. z es una función de x y y. 5. z no es una función de x y y.

7. a) 6 b) 4 c) 150 d) 5y e) 2x f ) 5t

9. a) 5 b) 3e 2 c) 2 e d) 5e y e) xe 2 f ) te t

11. a)

2

3

10

3 b) 0 c) 2 d) 3

13. a) 2 b) 3 sen 1 c) 3 3 2 d) 4

15. a)

25 9

4 b) 6 c) 4 d) 4

17. a) 2, x 0 b) 2y y, y 0

19. Dominio: x, y : x,

y son cualquier número real

Rango: z 0

21. Dominio: x, y : y 0

Rango: Todos los números reales

23. Dominio: x, y : x 0, y 0


25. Dominio: x, y : x 2 y 2 ≤ 4

Rango: 0 ≤ z ≤ 2

27. Dominio:

Rango: 0

x, y :

z

1 ≤ x y ≤ 1

29. Dominio: x, y : y < x 4


31. a) 20, 0, 0 b) 15, 10, 20

c) 20, 15, 25 d) 20, 20, 0

33.

z

35.

z

x

5

−3 3

0 5

0

5

3

2

2 1

3

1

2 3

−2

4

y

4

x

5

4

1

2

3

y

A130



z

37. 39.

1

−2

2

2

y

x

z

8

6

4

2

67.

Tasa de inflación

Tasa de impuesto 0 0.03 0.05

0 $1 790.85 $1 332.56 $1 099.43

0.28 $1 526.43 $1 135.80 $937.09

4

x

4

y

0.35 $1 466.07 $1 090.90 $900.04

z

41. 43.

z

z

69. 71.

2

4

z

45. c 46. d 47. b 48. a

49. Rectas: x y c

51. Elipses: x 2 4y 2 c

y

(excepto x 2 4y 2 0

4

que es el punto 0, 0

53. Hipérbolas: xy c 55. Círculos que pasan por 0, 0

y

y con centro en 1 2c , 0

6

57. 59.

−9

x

−2

−1

2

−2

1

−1

−6

2

1

4

c = −1 c = 0

y

x

c = 4

c = 2

c = 6

c = 5

c = 4

c = 3

c = 2

c = 1

x

c = −1

c = −2

c = −3

c = −4

c = −5

c = −6

9

3

c = −

2

c = −2

61. La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de todos

los puntos x, y, z para los cuales z f x, y y donde x, y está

en el dominio de f. La gráfica puede ser interpretada como una superficie

en el espacio. Las curvas de nivel son los campos escalares

f x, y c, donde c es una constante.

63. f x, y x y; las curvas de nivel son las rectas y 1 c x.

65. La superficie puede tener la forma de una silla de montar. Por

ejemplo, sea f x, y xy. La gráfica no es única: cualquier traslación

vertical producirá las mismas curvas de nivel.

x

−6

2

1

c = −

2

2

c = −1

y

y

4

−4

c = 0

c = 1

c = 2

c = 3

c = 4

−2 2

−2

c = 1

y

x

c = 2

x

2

3

c =

2

1

c =

2

6

−2

x

z

73. 75. a) 243 pies-tablón

2

b) 507 pies-tablón

− 2

2

x

77. c = 600 y c = 300 79. Demostración

c = 500

c = 400

−30

2

−1

1

1

30

−30

− 2

1

1

2

2

y

c = 200

c = 100

c = 0

30

y

x

81. C 1.20xy 1.50 xz yz

520

83. a) k 3

b) P 520T 3V

Las curvas de nivel son rectas.

85. a) C b) A c) B

87. a) No; las curvas de nivel son irregulares y están espaciadas

esporádicamente.

b) Utilizar más colores.

89. Falso: sea f x, y 4. 91. Verdadero


1 a 3. Demostraciones 5. 1 7. 12 9. 9, continua

11. e 2 , continua 13. 0, continua para y 0

1

15. 2, continua, excepto en 0, 0 17. 0, continua

19. 0, continua para xy 1, xy 1

21. 2 2, continua para x y z ≥ 0 23. 0

25. No existe el límite. 27. 4 29. No existe el límite.

31. No existe el límite. 33. 0

35. No existe el límite. 37. Continua, 1

− 4

4

x

− 4

4

y



A131

39.

x, y 1, 0 0.5, 0 0.1, 0 0.01, 0 0.001, 0

51. No existe el límite.

z

f x, y 0 0 0 0 0

y 0: 0

−3

2

−3

41.

x, y 1, 1 0.5, 0.5 0.1, 0.1

f x, y

1

2

1

2

1

2

x, y 0.01, 0.01 0.001, 0.001

f x, y

1

2

y x: 1 2

No existe el límite.

Continua excepto en

x, y 1, 1 0.25, 0.5 0.01, 0.1

f x, y

1

2

x, y 0.0001, 0.01 0.000001, 0.001

f x, y

1

2

x y 2 :

x, y 1, 1 0.25, 0.5 0.01, 0.1

f x, y

1

2

x, y 0.0001, 0.01 0.000001, 0.001

f x, y

1

2

1

2

1

2

x y 2 : 1 2

No existe el límite.

Continua excepto en 0, 0

43. f es continua. y es continua excepto en (0, 0). y tiene una discontinuidad

removible en (0, 0).

45. f es continua. g es continua excepto en (0, 0).

g tiene una discontinuidad removible en (0, 0).

47. 0 49. No existe el límite.

x

1

2

z

0, 0

y

1

2

x

1

2

1

2

2

1

2

2

−2

z

1

2

2

y

x

3

−2

3

y

z y 4x 6y

f x, y x x 2 y 2

53. 0 55. 0 57. 1 59. 1 61. 0

63. Continua excepto en 0, 0, 0 65. Continua

67. Continua 69. Continua

71. Continua para y 2x 3 73. a) 2x b) 4

75. a) 1 y b) x y 2 77. a) 3 y b) x 2

79. Verdadero 81. Falso: sea f x, y

ln(x 2 y 2 , x 0, y 0

0, x 0, y 0 .

83. a) (1 a 2 a, a 0 b) No existe el límite.

c) No, el límite no existe. Trayectorias diferentes dan límites

distintos.

85. 0 87. 2 89. Demostración

91. Ver la “Definición del límite de una función de dos variables”, en

la página 899; mostrar que el valor de lím

x, y → x 0

, y 0

f x, y no es el

mismo para dos diferentes trayectorias hacia x 0 , y 0 .

93. a) Verdadero. Para hallar el primer límite, sustituir (2, 3) por

x, y . Para hallar el segundo límite, sustituir 3 por y para encontrar

una función de x. Entonces sustituir 2 por x.

b) Falso. La convergencia de una trayectoria no implica la convergencia

de todas las trayectorias.

c) Falso. Sea f x, y 4 x 2 2 y 3 2

x 2 2 y 3 2 2

.

d) Verdadero. Cuando se multiplica por cero a cualquier número

real, siempre se obtiene cero.


1. f x 4, 1 < 0

3. f y 4, 1 > 0

5. No. Porque al calcular la derivada parcial con respecto a y, se considera

a x constante. De manera que el denominador se considera

como una constante y no contiene variables.

7. Sí. Porque al calcular la derivada parcial con respecto a x, se considera

a y constante. De manera que tanto el numerador como el

denominador contienen variables.

9. f x x, y 2

11. f x x, y 2xy 3

f y x, y 5

f y x, y 3x 2 y 2

13. z x y

15. z x 2x 4y

z y x 2 y

17. z x ye xy 19. z x 2xe 2y

z y xe xy z y 2x 2 e 2y

21. z x 1 x

23. z x 2x x 2 y 2

z y 1 y

z y 2y x 2 y 2

25. z x x 3 3y 3 x 2 y

z y x 3 12y 3 2xy 2

27. h x x, y 2xe x2 y 2

29.

h y x, y 2ye x2 y 2 x

f y x, y y x 2 y 2

31. z x y sen xy 33. z x 2 sec 2 2x y

z y x sen xy

z y sec 2 2x y

A132



35. z x ye y cos xy

z y e y x cos xy sen xy

37. z x 2 cosh 2x 3y 39. f x x, y 1 x 2

z y 3 cosh 2x 3y f y x, y y 2 1

41. f x x, y 3

43. f x x, y 1 2 x y

f y x, y 2

f y x, y 1 2 x y

45. z x 1

47. z x 1

49.

1

z y 0

z y 2

1

1

z x 4

51. z x 4

1

1

z y 4

z y 4

53. g x 1, 1

g y 1, 1

2

2

55.

z

57.

y = 3

8

x

1

2

x = 2

18

59. H x x, y, z

H y x, y, z

cos x

2 cos x

2y

2y

3z

3z

H z x, y, z 3 cos x 2y 3z

61.

w x

x

63. F x x, y, z

x x 2 y 2 z 2

x 2 y 2 z 2

w y

y

F y x, y, z

y x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2

w z

z

F z x, y, z

z x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2

65. f x 3; f y 1; f z 2 67. f x 1; f y 1; f z 1

69. f x 0; f y 0; f z 1

71.

2

z

2

z

0

73.

x 2 x 2 2

2

z

y 2

2

z

y 2

2

z 2

z

2

z

6y

y x x y

y x

75.

2

z y 2

2

z

77.

x 2 x 2 y 2 3 2 x 2

x 2 y 2 3 2 y 2

2

z x 2

y x x y x 2 y 2 3 2 y x

2

z 2

z xy

2

z

79.

2

z

x 2 y 2 cos xy

2

z

y 2

2

z

10

6x

x 2 cos xy

2

z

2

z

y 2 6

xy cos xy sen xy

y x x y

81. x 2, y 2 83. x 6, y 4

85. x 1, y 1 87. x 0, y 0

8

y

x

160

2

4 3 4

z

2

z

x y

e x tan y

2e x sec 2 y tan y

2

z

x y

2

y

e x sec 2 y

89. z

z

x

y

sec y

x sec y tan y

2

z x 2 0

2

z y 2 x sec y sec 2 y tan 2 y

2

z y x 2

z x y sec y tan y

No existen valores de x y y tales que

91. z x y 2 x 2 x x 2 y 2 x y

z y 2y x 2 y 2

2

z x 2 x 4 4x 2 y 2 y 4 x 2 x 2 y 2 2

No existen valores de x y y tales que f x x, y f y x, y 0.

93. f xyy x, y, z

95. f xyy x, y, z

f yxy x, y, z

f yxy x, y, z

f yyx x, y, z

f yyx x, y, z

0

z 2 e x sen yz

97. 2

z x 2 2 z y 2 0 0 0

99. 2

z x 2 2 z y 2 e x sen y e x sen y 0

101. 2

z t 2 c 2 sen x ct c 2 2 z x 2

103. 2

z t 2 c 2 x ct 2 c 2 2 z x 2

105. z t e t cos x c c 2 2 z x 2

107. Sí, f x, y cos 3x 2y . 109. 0

111. Si z f x, y , entonces para encontrar f x se considera a y como

constante y se deriva con respecto a x. De la misma forma, para

encontrar f y

se considera a x como constante y se deriva con respecto

a y.

113.

z

x

2

z y 2 2 y 2 x 2 x 2 y 2 2

2

z y x 2 z x y 4xy x 2 y 2 2

4

2

4 2 4

y

115. Las derivadas parciales combinadas son iguales. Ver teorema 13.3.

117. a) 72 b) 72

100

119. IQ M

C , IQ M 12, 10 10

El IQ crece con una razón de 10 puntos por año de edad mental

cuando la edad mental es de 12 y la edad cronológica es de 10.

100M

IQ C

C , IQ 2 C 12, 10 12

El IQ disminuye con una razón de 12 puntos por año de edad mental

cuando la edad mental es de 12 y la edad cronológica es de 10.

121. Un incremento en el costo de la comida y alojamiento o en el de

la matrícula causará una disminución del número de solicitantes.

123. T x 2.4 m, T y 9 m

125. T PV nR ⇒ P V nR

P nRT V ⇒ P V nRT V 2

V nRT P ⇒ V T nR P

T P P V V T nRT VP nRT nRT 1

127. a) z x 0.92; z y 1.03

b) Cuando el consumo de la leche de sabor (x) crece, el consumo

de las leches light y descremada (z) disminuye. Cuando

el consumo de la leche baja en grasas (y) disminuye, el consumo

de la leche descremada también disminuye.

129. Falso; sea z x y 1. 131. Verdadero


Answers to Odd-Numbered Exercises A133

y x 41. Las respuestas varían. 43. Las respuestas varían.

133. a) f x x, y

4 4x 2 y 2 y 4

x 2 y 2 2 Ejemplo:

Ejemplo:

x x 1 x

1 y x

f y x, y

4 4x 2 y 2 y 4

x 2 y 2 2

2 0

2 2x x x 2

b) f x 0, 0 0, f y 0, 0 0


c) f xy 0, 0 1, f yx 0, 0 1

Sección 13.5 (página) 931

d) f xy o f yx o ambas no son continuas en 0, 0 .

135. a) f

1. 26t 3. e t sen t cos t 5. a) y b) e t

x 0, 0 1, f y 0, 0 1

7. a) y b) 2e 9. a) y b) 3 2t

b) y no existen cuando

2t

2 1

f x x, y f y x, y

y x.

4

11. 13.


11 29 29 2.04 e t e t 2; 1

1.

3.

5.

7.

9.

27.

dz 4xy 3 dx 6x 2 y 2 dy

dz 2 x dx y dy x 2 y 2 2

dz cos y y sen x dx x sen y cos x dy

dz e x sen y dx e x cos y dy

dw 2z 3 y cos x dx 2z 3 sen x dy 6z 2 y sen x dz

11. a)

b)

f 2, 1

dz

1, f 2.1, 1.05

0.05

1.05, z 0.05

13. a)

b)

f 2, 1

dz

11, f 2.1, 1.05

0.5

10.4875, z 0.5125

15. a) f 2, 1

z

e 2

1.1854

7.3891, f 2.1, 1.05 1.05e 2.1 8.5745,

b) dz 1.1084

17. 0.44 19. 0.012

21. Si z f x, y y x y y son incrementos de x y y, y x y y son

variables independientes, entonces el diferencial total de la variable

dependiente z es

dz z x dx z y dy f x x, y x f y x, y y.

23. La aproximación de z por dz se llama una aproximación lineal,

donde dz representa el cambio en la altura del plano tangente a

la superficie en el punto P x 0 , y 0 .

25. dA h dl l dh

∆h

h

dA

dA

l ∆l

A dA dl dh

∆A

dA

r h dV V V dV

0.1 0.1 8.3776 8.5462 0.1686

0.1 0.1 5.0265 5.0255 0.0010

0.001 0.002 0.1005 0.1006 0.0001

0.0001 0.0002 0.0034 0.0034 0.0000

29. a) dz 0.92 dx 1.03 dy

b) dz ±0.4875; dz z 8.1%

31. 10% 33. dC ±2.4418; dC C 19%

35. a) V 18 sen ft 3 ; 2

b) 1.047 ft 3

37. 10% 39. L 8.096 10 4 ± 6.6 10 6 microhenrys

w r 0

15. w s 4s, 4

17. w s 5 cos 5s t , 0

w t 4t, 0

w t cos 5s t , 0

19. w r 2r

2

21.

w 2r 2 3 w 1

23.

w

w

t 25. te

s

t 2 2s

s

3s 2 t 2 2 1

w

w

2st s

t

2t 2 t

se s2 t 2 1 2t 2

27.

y 2x 1

x

29.

y 2 x

2y x 1

x 2 y 2 y

31.

z x

z x

33.

x z

x y z

z y

z z

y z

y y z

35.

z sec 2 x y

z ze

37.

y

x sec 2 y z

x xe xz

z sec z

1

x y

y sec 2 y z y

e xz

39.

w y w

w y sen xy

41.

x x z

x z

w x z

w x sen xy z cos yz

y x z

y

z

w w y

w y cos yz w

z x z

z z

43. a) f tx, ty

tx ty

xy

t

tx 2 ty 2 x 2 y 2 tf x, y ; n 1

b)

45. a)

xf x x, y

f tx, ty

yf y x, y

e tx ty e x y xy

x 2 y 2

f x, y ; n

1f x, y

0

xe x y

xe x y

b) xf x x, y yf y x, y

y y

0

47. 47 49. dw dt w x dx dt w y dy dt

51.

dy f x x, y

dx f y x, y

z

x

f x x, y, z

f z x, y, z

z

y

fy x, y, z

f z x, y, z

53. 4 608 pulg 3 min; 624 pulg 2 min

55.

dT 1

dt mR V dp p dV

dt dt

57. 28m cm 2 s

59. Demostración 61. a) Demostración b) Demostración


A134




1. 1 3. 1 5. e 7. 9. 2 3 3 11.

e x yi j ; 26

13. 2 x y 15. 2 3 2 cos 2x y 17. 6

19. 8 5 21. 3i 10j 23. 4i j 25. 6i 10j 8k

27. 3 2 29. 2 5 5 31. 2 x y i xj ; 2 2

33. tan yi x sec 2 yj, 17 35.

37.

xi yj zk

39. yz yzi 2xzj 2xyk ;

x 2 y 2 z 2, 1 33

41.

z

x

9

x

3

(3, 2, 1)

6

3

y

43. a) 5 2 12 b) 5 c) 5 d) 11 10 60

45. 13 6

47. a) Las respuestas varían. Ejemplo: 4i j

b)

2 1 2 1

5 i 10 j c) 5 i 10 j

En dirección opuesta al gradiente

49. a)

z

7

25

1

8

3

57. a) 6i 4j b) 13 13 3i 2j c)

d)

y

59. La derivada direccional de z f x, y en la dirección de

u cos i sen j es

D u f x, y

t

si el límite existe.

61. Ver la definición en la página 936. Ver las propiedades en la página

937.

63. El vector gradiente es normal a las curvas de nivel.

1

625

−3 −2 −1

65. 7i 24j

67. 69.

1671

3

2

1

−2

−3

f x t cos , y t sen f x, y

lím

t→0

B

1

1994

2

3

x

1800

y 2

y

10x

3

2 x 1

2

b)

D u f 4, 3 8 cos 6 sen

D u

f

12

y

71. a)

A

500

z

1800

8

4

−4

π

2π

θ

−8

−12


c) 2.21, 5.36 f )

Direcciones en las cuales

no hay cambio en f

d) 0.64, 3.79

Direcciones de mayor tasa

de cambio en f

e) 10; magnitud de la mayor

razón de cambio

Ortogonal a la curva de nivel

51. 2i 3j 53. 3i j

55. a) 16i j b) 257 257 16i j c) y 16x 22

d)

y

−6

6

4

2

y

−4 2 4 6

−2

−4

−6


x

x 6

6 y

b) El calor no cambia en las direcciones perpendiculares al gradiente:

± i 6j .

c) El aumento es mayor en la dirección del gradiente:

1

3i 2 j.

73. Verdadero 75. Verdadero

77. f x, y, z e x cos y 1 2 z 2 C


c)

z

3

−2

−1

2 y

2

x

−15 −10 −5

−5

−10

5

10

15

x


1. La superficie de nivel se puede escribir como 3x 5y 3z 15,

que es la ecuación de un plano en el espacio.

3. La superficie de nivel se puede escribir como 4x 2 9y 2 4z 2 0,

que es la ecuación de un cono elíptico en el espacio que se encuentra

en el eje z.


A-42

A135

Soluciones de los ejercicios impares

1

5. 7.

x

71. F x, y, z

2 y 2 z 2

13 3i 4j 12k 6 6 i j 2k

1

1

9. 145 145 12i k 11.

a 2 b 2 c 2

13 4i 3j 12k

13. 3 3 i j k 15. 113 113 i 6 3j 2k

F x x, y, z 2x a 2

17. 4x 2y z 2 19. 3x 4y 5z 0

F y x, y, z 2y b 2

21. 2x 2y z 2 23. 2x 3y 3z 6

F z x, y, z 2z c 2

25. 3x 4y 25z 25 1 ln 5 27. x 4y 2z 18

2x 0 2y 0

2z 0

Plano: x x

29. 31.

a 2 0 y y

b 2 0 z z

c 2 0 0

6x 3y 2z 11

x y z 9

x 3 y 3 z 3

x 0 x y 0 y z 0 z

1

33. 2x 4y z 14 35. 6x 4y z 5

a 2 b 2 c 2

x 1 y 2 z 4 x 3 y 2 z 5 73. F x, y, z a 2 x 2 b 2 y 2 z 2

2 4 1

6 4 1

F x x, y, z 2a 2 x

37. 10x 5y 2z 30

F y x, y, z 2b 2 y

x 1 y 2 z 5

F z x, y, z 2z

10 5 2

Plano: 2a 2 x 0 x x 0 2b 2 y 0 y y 0 2z 0 z z 0 0

39. x y 2z 2

a 2 x 0 x b 2 y 0 y z 0 z 0

x 1 y 1 z 4

Por lo tanto, el plano pasa por el origen.

1 1 2

75. a) P 1 x, y 1 x y

1

b) P 2 x, y 1 x y 2

41. a) b) no son ortogonales

x2 1

x 1 y 1 z 1 1

xy 2 y2

1

1 1 1 2 ,

c) Si x 0, P 2 0, y 1 y 2 y2 .

x 3 y 3 z 4 16

Éste es el polinomio de Taylor de segundo grado para e y .

43. a) b) no son ortogonales

1

4 4 3 25 ,

Si y 0, P 2 x, 0 1 x 2 x2 .

x 3 y 1 z 2

Éste es el polinomio de Taylor de segundo grado para e x .

45. a) b) 0, son ortogonales

1 5 4

d)

x y f x, y P 1 x, y P 2 x, y

47. 86.0 49. 77.4 51. 0, 3, 12 53. 2, 2, 4

55. 0, 0, 0 57. Demostración

0 0 1 1 1


0 0.1 0.9048 0.9000 0.9050

61. 2, 1, 1 o 2, 1, 1

63. F x x 0 , y 0 , z 0 x x 0 F y x 0 , y 0 , z 0 y y 0

0.2 0.1 1.1052 1.1000 1.1050

F z x 0 , y 0 , z 0 z z 0 0

0.2 0.5 0.7408 0.7000 0.7450

65. Las respuestas varían.

67. a) Recta: x 1, y 1, z 1 t

1 0.5 1.6487 1.5000 1.6250

Plano: z 1

6

b) Recta:

e) f

77. Demostración

x 1, y 2 25 t, z 4

5 t

z

P

Plano: 6y 25z 32 0

2

P

z

z

1 4

c)

2

x

1

−1

3

y

x

1

−2

2 2

−1

3

y

x

−2

2

1

−2

−4

2

−2

y

69. a) x 1 t b)

y 2 2t

z 4

48.2

8

x

8

z

(1, 2, 4)

6

y


1. Mínimo relativo: 1, 3, 0 3. Mínimo relativo:

5. Mínimo relativo: 1, 3, 4


9. Máximo relativo: 5, 1, 2



15. Máximo relativo: 0, 0, 4

0, 0, 1

A136



z

17. 19.

4

−4

4

y

5

x

−4

Máximo relativo: 1, 0, 2 Mínimo relativo: 0, 0, 0

Mínimo relativo: 1, 0, 2 Máximos relativos: 0, ±1, 4

Puntos silla: ±1, 0, 1

21. Máximo relativo: 40, 40, 3 200

23. Puntos silla: 0, 0, 0 25. Puntos silla: 1, 1, 1

27. No hay números críticos.

29. z nunca es negativo. Mínimo: z 0 cuando x y 0.

z

60

40

z

6

5

−4

4

x

−4

4

y


45. Máximo absoluto: 4, 0, 21

Mínimo absoluto: 4, 2, 11

47. Máximo absoluto:

Mínimo absoluto:

0, 1, 10

1, 2, 5

49. Máximos absolutos: ±2, 4, 28


51. Máximos absolutos: 2, 1, 9 , 2, 1, 9

Mínimos absolutos:

53. Máximo absoluto:

x,

1, 1, 1

x, 0 , x 1


55. El punto A es un punto silla.


Ejemplo de respuesta:

75

60

45

30

z


Ejemplo de respuesta:

7

6

z

3

x

31. Información insuficiente. 33. Punto silla.

35. 4 < f xy 3, 7 < 4

37. a) 0, 0 b) Punto silla. 0, 0, 0 c)

d)

z

x

2

y

1

2

Punto silla

(0, 0, 0)

39. a) 1, a , b, 4 b) Mínimos absolutos: 1, a, 0 , b, 4, 0

c) 1, a , b, 4 d)

41. a) 0, 0 b) Mínimo absoluto: 0, 0, 0 c)

d)

z

6

3

2

−2

y

−2

−2

4 2

6

x

Mínimo

absoluto

(b, −4, 0)

z

6

−2

−4

4

0, 0

y

Mínimo

absoluto

(1, a, 0)

0, 0

x

2

2

0, 0, 1 .

No hay extremos

Punto silla

61. Falso. Sea f x, y 1 x y en el punto

63. Falso. Sea f x, y x 2 y 2 (ver ejemplo 4 de la página 958).


1. 3 3. 7 5. x y z 3 7. 10, 10, 10

9. 9 pies 9 pies 8.25 pies; $26.73

11. Sea a b c k.

4

4

V 4 abc 3 3 ab k a b 3 kab a 2 b ab 2

4

V a 3 kb 2ab b 2 0 kb 2ab b 2 0

4

V b 3 ka a 2 2ab 0 kb a 2 2ab 0

Así, a b y b k 3. Por tanto, a b c k 3.

13. Sean x, y y z la longitud, ancho y altura, respectivamente, y sea V

el volumen dado. Entonces V 0 xyz y z V 0 xy. El área de la

superficie es

S 2xy 2yz 2xz 2 xy V 0 x V 0 y .

S x 2 y V 0 x 2 0 x 2 y V 0 0

S y 2 x V 0 y 2 0 xy 2 V 0 0

Así, x 3

V 0 , y 3

V 0 , y z 3

V 0 .

15. x 1 3; x 2 6 17. Demostración

19. x 2 2 0.707 km

y 3 2 2 3 6 1.284 km

21. a) S x 2 y 2 x 2 2 y 2 2

x 4 2 y 2 2

24

20

S

y

6

x

−3

La superficie tiene un mínimo.

3

y

0

x

6

4 2

2 4 6

Mínimo

absoluto (0, 0, 0)

y

4

2

4

6

8

x

2 4 6

8

y


b)

c)

d)

x 2 , y 2 0.05, 0.90

e) x 4 , y 4 0.06, 0.45 ; S 7.266

f ) S x, y da la dirección de la máxima tasa de decrecimiento

de S. Usar S x, y para encontrar un máximo.

23. Expresar la ecuación a maximizar o minimizar como una función

de dos variables. Tomar las derivadas parciales e igualarlas a cero

o indefinido para obtener los puntos críticos. Utilizar el criterio de

las segundas derivadas parciales para extremos relativos utilizando

los puntos críticos. Verificar los puntos frontera.

25. a) y

3 b) 6 27. a) y 2x 4 b) 2

37

175

29. y

31. y

33. a) y 1.6x 84

b) 250

c) 1.6

35. y 14x 19

41.4 bushels por acre

37.

−9

S x

S y

Answers to Odd-Numbered Exercises A137

120

x

x 2

b)

x 2 y 2 x 2 2 y 2 2

x 4

x 4 2 y 2 2

−1 14

y

y 2

−20

x 2 y 2 x 2 2 y 2 2

y 2

45. a) ln P 0.1499h 9.3018 b) P 10,957.7e 0.1499h

14,000

x 4 2 y 2 2

c) d) Demostración

12 i 1 2

2 10 j

186.0

t 1.344;

3

4 x 4

43 x 7

43

7

(4, 2)

(1, 1)

−2

(0, 0)

10

−1

0

50

y = 37 x +

7

43 43

(3, 4)

a n

4

x i b n

3

x i

i 1 i 1

a n

x

3

i b n

x

2

i

i 1 i 1

a n

x

2

i b n

x i

i 1 i 1

3

7 x2 6

5 x 26

35

8

39. y

41. y x 2 x

( −2, 0)

(5, 5)

( −1, 0)

−2

(1, 2)

(0, 1)

(2, 5)

1

c n n

2

x i

i 1 i 1

c n n

x i

i 1 i 1

n

cn y i

i 1

6

80

x i y i

−5

x i

2

y i

148 x 945

148

8

−6

(0, 6)

(0, 0)

(4, 3)

−4 18

(5, 0)

(8, − 4)

(10, −5)

14

−2

175 945

y = − x +

148 148

(3, 6)

(2, 2)

(4, 12)

7

47. Demostración


y

1. 3.

12

10

8

6

4

2

f 5, 5 25

f 2, 2 8

5. f 1, 2 5 7. f 25, 50 2 600

9. f 1, 1 2 11. f 3, 3, 3 27 13. f 1 3, 1 3, 1 3

5

15. Máximos: f 2 2, 2 2 2

5

f 2 2, 2 2 2

1

Mínimos: f 2 2, 2 2

17. 19. 2 2 21. 3 2 23. 11 2

25. 0.188 27. 3 29. 4, 0, 4

31. Los problemas de optimización que tienen restricciones sobre los

valores que pueden ser usados para producir las soluciones óptimas

se conocen como problemas de optimización restringidos.

33. 3 35. x y z 3

37. 9 pies 9 pies 8.25 pies; $26.73 39. a b c k 3

41. Demostración 43. 2 3a 3 2 3b 3 2 3c 3

45. 3

360 3 4

360 3 3 360 pies

v

47. y h 2 3 0

r

3

49. Demostración

2

2

51. P 15 625 18, 3 125 226 869

53.

55. a)

b)

−2 24

−2,000

Restricción

2

4

f 2 2, 2 2

f 8, 16, 8 1024

v 0

x 191.3

y 688.7

Costo $55 095.60

g 3, 3, 3

6

Curvas de nivel

8

3

2

γ

10

12

x

1

8

−4

2

1

2

4

−4

y

Restricción

4

Curvas de nivel

1

3

x

43. a)

y 0.22x 2 9.66x 1.79

α

3

3

β

Los valores máximos ocurren cuando .

A138




1.

z

2

25. Las respuestas varían. Ejemplo:

z

3

−2

x

2

−2

3

y

−1

3

y

3

3. a)

b) g es una traslación vertical de f dos unidades hacia arriba.

c) g es una traslación horizontal de f dos unidades hacia la derecha.

d)

z

z

y

5. 7.

9.

−2

−3

x

−2

x

x

2

1

2

−2

5

4

5

4


3

3 3

−3

z

2 1

z

2

2

c = 10

−3

2

y

c = 1

y

z = f (1, y)

y

x

z = f (x, 1)

x, t cne n2 t

cos nx

11. Límite: 2

13. Límite: 0

Continua excepto en 0, 0 Continua

15. f x x, y e x cos y 17. z x e x

f z y e y

y x, y e x sen y

19. g x x, y y y 2 x 2 x 2 y 2 2

g y x, y x x 2 y 2 x 2 y 2 2

21. f x x, y, z yz x 2 y 2 23. u

f y x, y, z xz x 2 y 2 x

u t x, t cn 2 e n2 t

sen nx

f z x, y, z arctan y x

x

2

5

4

4

1

−4 1

−1

−4

2

y

c = −12


y

c = −2

c = 2

4

c = 12

x

x

27. f xx x, y

f yy x, y

6

12y

f xy x, y f yx x, y 1

29. h xx x, y

h yy x, y

y cos x

x sen y

h xy x, y h yx x, y cos y sen x

31. 2

z x 2 2 z y 2 2 2 0

33.

2

z 2

z 6x 2 y 2y 3 6x 2 y 2y 3

x 2 y 2 x 2 y 2 3 x 2 y 2 3 0

35. xy cos xy sen xy dx x 2 cos xy dy

37. 0.6538 cm, 5.03% 39. ± pulg 3

41. dw dt 8t 1 4t 2 t 4

43. w

w

r

t

4r 2 t

4r 2 t

4rt 2

rt 2 t 3

4r 3 2r

2r

t 2

t 2

45. z x 2x y y 2z

z y x 2y z y 2z

47.

2

50 49. 3 51. 4, 4 , 4 2 53.

55. a) 54i 16j b)

27

793 i 8

793 j c) y

d)

y

1, 1, 3

57. Plano tangente: 4x 4y z 8

Recta normal: x

59. Plano tangente: z

2

4

4t, y 1 4t, z 4 t

Recta normal: x 2, y 3, z 4 t

61. x 2 1 y 2 1 z 5 4 63. 36.7

65. Mínimo relativo: 67. Mínimo relativo:

4, 4 3 , 2 z

−2

x

2

−6

6

4

2

−2

z

−4

6

4

2

−2

−4

−6

4

2

6

( −4, 4 , −2

3 )

Vector normal

unitario

6

y

x

Recta tangente

69. Las curvas de nivel son hipérbolas. El punto crítico (0,0) puede

ser un punto silla o un extremo.

x

4

20

−20

−24

2 , 0 , 1 2

3 4

(1, 1, 3)

27

8 x 65

8

y



A139

71. x 1 94, x 2 157 73. f 49.4, 253 13 201.8

75. a) y 0.004x 2 0.07x 19.4 b) 50.6 kg

77. Máximo: f 1 3, 1 3, 1 1

3 3

79. x 2 2 0.707 km; y 3 3 0.577 km;

z 60 3 2 2 3 6 8.716 km


1. a) 12 unidades cuadradas b) Demostración c) Demostración

3. a) y 0 z 0 x x 0 x 0 z 0 y y 0 x 0 y 0 z z 0 0

b) x 0 y 0 z 0 1 ⇒ z 0 1 x 0 y 0

Entonces el plano tangente es

1

1

1

y 0 x x

x 0 y 0 x 0 y y

0 x 0 y 0 x 0 y 0 z 0.

0 x 0 y 0

Intersecciones:

y

5. a) k = 0 k = 1 k = 2 b)

7.

9. a)

b)

11. a)

b)

c)

d)

V

g(x, y)

Valor máximo: 2 2 Valores máximo y mínimo: 0

El método de los multiplicadores

de Lagrange no se aplica

porque g x 0 , y 0 0.

d

dt

30

0 4

−5

1

3 bh 9

2

1

−1

−1

−3

−4

1

arctan

k = 3

2 3 150 2 3 150 5 3 150 3

3

3x 0 , 0, 0 , 0, 3y 0 , 0 , 0, 0,

x 0 y 0

3 4

y

x 50

x

arctan

2

g(x, y)

1

x f x

y f y

xCy 1 a ax a 1 yCx a 1 a y 1 a 1

ax a Cy 1 a 1 a x a C y 1 a

Cx a y 1 a a 1 a

Cx a y 1 a

f x, y

f tx, ty C tx a ty 1 a

Ctx a y 1 a

tCx a y 1 a

tf x, y

x 32 2t

y 32 2t 16t 2

16 8 2t 2 25t 25 2

64t 4 256 2t 3 1024t 2 800 2t 625

No; la razón de cambio de es

mayor cuando el proyectil está

más cerca de la cámara.

e) es máximo cuando t 0.98 segundos.

No; el proyectil alcanza su máxima altura cuando t 2

1.41 segundos.

y

−2 −1

−1

−2

−3

−4

k = 0 k = 1 k = 2

32 2t 16t2

32 2t 50

1

2 3 4

k = 3

x

z

13. a) b)

c)

15. a)

b)

±1, 0, e 1

0, 0, 0

Mínimo: 0, 0, 0

Mínimos: ±1, 0, e 1

Máximos: 0, ±1, 2e 1 Máximos: 0, ±1, 2e 1

Puntos silla: ±1, 0, e 1 Puntos silla: 0, 0, 0

> 0

< 0

Mínimo: 0, 0, 0

Mínimos:

Máximos: 0, ±1, e 1 Máximos: 0, ±1, e 1

Puntos silla:

Puntos silla:

±1, 0, e 1

c) Altura

d) dl 0.01, dh 0: dA 0.01

dl 0, dh 0.01: dA 0.06


Capítulo 14


1. 2x 2 3. y ln 2y 5. 4x 2 x 4 2

7. y 2 ln y 2 y 2 9. x 2 (1 e x2 x 2 e x2 11. 3

8 1

1

2

13. 3 15. 2 17. 2 19. 3 21. 1 629 23. 3 25. 4

1

27. 29. 2 1

2 32 8 31. 2 33. Diverge 35. 24

16 8

9

37. 3 39. 3 41. 5 43. ab 45. 2

y

y

47. 49.

3

2

1

0

y

51. 53.

8

6

4

2

0

4

x

4

ln 10

x

1 2 3 4

f x, y dy dx

1

10

e x

2

1

2 3

2

f x, y dy dx

x

x

y

6 cm

6 cm

−2 −1 1 2

0

− 2 − 1 1 2

0

2

1

x

4 y 2

y

4 y 2 f x, y dx dy

y

1

3

1

−1

4

3

2

−1

y

1

z

1 cm

1 cm

2

f x, y dx dy

y

x

x

A140



55.

y

69.

y

3

2

0

1

0

2

dy dx

0

2

0

1

dx dy 2

3

2

1

1

1 2

3

x

1

2

3

x

57.

1

y

71.

0

1

2

2x

y

4e y2 dy dx e 4 1 53.598

− 1

1

x

1

59.

1

0

y

1 y 2

1 y 2 dx dy

1

1

0

1 x 2

dy dx

2

1

x

3

2

1

−1

1 2 3 4

x

1 1

0 y

1664

73. 105 75.

y

77. a)

sen x 2 dx dy

ln 5 2

1

1 cos 1 0.230

2

61.

63.

2

1

2

1

0

65. La primera integral surge utilizando rectángulos representativos

verticales. Las dos segundas surgen utilizando rectángulos representativos

horizontales.

Valor de las integrales: 15 625 24

y

67.

3

2

1

y

y

2

0

x

dy dx

1

x = 3 y

1

(1, 1)

2 1

0 x 2

x

2

1

3

y

2

2

4

0

x

4 x

dy dx

0

2

0

x

2

y 2

0

2

dy dx

dx dy

0

1

x 1 y 3 dy dx

y

4 y

dx dy 4

0

1

0

2y

x 3

dx dy 1

x

26

9

dy dx

5

12

b) x 2 y xy 2 dy dx c)

79. 20.5648 81. 15 2

83. Una integral iterada es una integral de una función de varias variables.

Se integra con respecto a una variable mientras las otras

variables se mantienen constantes.

85. Si los cuatro límites de integración son constantes, la región de

integración es rectangular.

87. Verdadero


1. 24 (la aproximación es exacta)

160

3. Aproximación: 52; Exacto: 3 5. 400; 272

y

y

7. 9.

3

2

1

4

2

−2

0

8

3

x

x 2 32

1 2

x = y 3

2 4 6 8

x = 4 2y

3

8 36

x

(8, 2)

x

6

4

2

67 520 693

2

(3, 6)

4

6

x

1

2

3

x



A141

y

11. 13.

a

x

−a

a

3

0

5

0

0

3

0

5

xy dy dx

xy dx dy

225

4

225

4

57.

2

1

y

y = cos x

15.

17.

19.

0

21. 4 23. 4 25. 12 27. 8 29. 1 31. 32 2 3

1 x

2 4

1

33. 35. x 2 32

xy dy dx

dy dx

8

3

37. 2

39.

41.

43.

0 4y 3

4 3x 4

0

2

0

4

3

3

0

2

0 0

2 2 1 x 1 2

0 0

x 2

4 2 4 x 2

0 0

2 2 2 y 1 2

45.

4y x 2 2y 2 dx dy

0 2 2 y 1 2

47. 81 2 49. 1.2315 51. Demostración

y

53.

1

0

2x

1 x

2 y

0 0

1 x

−a

1 1

1 4 x 2

y

x 2 y 2 dy dx 1

2 ln 5 2

4

y

x 2 y dx dy 2

4 x

4 y

4 y

25 y 2

0

4 x 2

y = 2x

x dy dx

2y dy dx

x

2y dx dy

x dx dy 25

4

5

1 x 2 dy dx

0

y dy dx

2

6

5

2

3

2x x 2 y 2 dy dx

y 2 dy dx

2

y 2

6

5

25 x 2

3

0

16

3

y

x 2 y dx dy 1

2 2 ln 5 2

x dy dx 25

0

0

1

59. 2 61. 3 63. e 1 2 65. 25 645.24

67. Ver la definición de integral doble en la página 994. La integral

doble de una función f x, y 0 sobre la región de integración

da el volumen de esa región.

69. a) La caída de nieve total en el país R

b) El promedio de caída de nieve en el país R

1

71. No; 6 es el valor más grande posible. 73. Demostración; 5

7

75. Demostración; 27 77. 2 500 m 3 79. a) 1.784 b) 1.788

81. a) 11.057 b) 11.041 83. d

85. Falso. V 8

1 x 2 y 2 dx dy.

0 0

1

87. 2 1 e 89. R: x 2 y 2 9 91. 0.82736

93. Problema Putnam A2, 1989


1. Rectangular 3. Polar

5. La región R es un medio círculo de radio 8. Se puede describir en

coordenadas polares como

R r, : 0 r 8, 0 .

7. La región R es una cardioide con a b 3. Se puede describir

en coordenadas polares como

R r, : 0 r 3 3 sen , 0 2 .

9. 4

11. 0

π

2

0

π

2

arccos y

8

1

sen x 1 sen 2 x dx dy

1

π

2

1 y 2

0

x

1

3 2 2 1

π

2

4

0

1

2

13. 5 5 6

15.

π

2

9

8 3 2 32

π

2

1

2

1

x

55.

0

−3

1

1 2

y 2

e x2 dx dy 1 e 1 4 0.221

1

−1

−1

−3

y

3 x 2 + y 2 = 4

1

3

x

2

2

4 x 2

4 x 2 4 y 2 dy dx

64

3

17. a 3 3 19. 4 21. 243 10 23. 3 25.

4 2 2

4 2

27. r 2 dr d

3

0

1

0

2

3

0

2

1

2

0

2 sen 1

A142



29.

3 1 250

31. r dr d

2

33. 35.

0 1

64 8 3

64

37. 9 3 4 39. 2 4 2 3 2 41. 1.2858

43. 9 45. 3 2 47.

π

49. 51.

53.

55. Sea R una región acotada por las gráficas de r g 1 y r g 2

y las rectas a y b. Al utilizar coordenadas polares para

evaluar una integral doble sobre R, R puede ser particionada en

pequeños sectores polares.

57. Las regiones r-simples tienen límites fijos para y límites variables

para r.

Las regiones -simples tienen límites variables para y límites

fijos para r.

59. a)

b)

c) Escoger la integral en el apartado b) porque los límites de integración

son menos complicados.

61. Insertar un factor de r; sector de un círculo 63. 56.051 65. c

67. Falso. Sea f r, r 1 y sea R un sector donde 0 r 6 y

0 .

69. a) 2 (b) 2 71. 486 788

73. a)

75.

3

b)

c)

A

0

2

2

3

2

0

3

4

2

0

4 2

3

2

2 y 3

2 3x

2 3 2

3 4 csc

4

r 2 cos sen dr d

r = 1

π

2

y

0

3

r 2

2

2

9 x 2

9 x 2 f x, y dy dx

f r cos , r sen

2 csc

r = 2 cos θ

r = 4 sen 3θ

r = 2

f dx dy

f dy dx

r 2

1

2


1. m 4 3.

3

1 3 4

m 1 8

0

0

f r dr d

4

3

2

r dr d

4 3

2 3

x

16

3

3x

r 1 r 2

2

π

2

f dy dx

1

r = 1 + cos θ

r = 3 cos θ

4

4 3

r 2 r 1 r r

x

4

0

f dy dx

5. a) m ka 2 , a 2, a 2 b) m ka 3 2, a 2, 2a 3

c)

7. a)

m

m

ka 3 2, 2a 3, a 2

ka 2 2, a 3, 2a 3 b) m ka 3 3, 3a 8, 3a 4

c) m ka 3 6, a 2, 3a 4

9. a)

a

a

5, a b)

2 2 2

5, 2a 3

c)

2 a 2 15a 75

, a 3 a 10 2

11. m k 4, 2 3, 8 15 13. m 30k, 14 5, 4 5

15. a) m k e 1 ,

1

e 1 , e 1

4

b) m

k

e

4 e2 1 ,

1

2 e 2 1 , 4 e3 1

9 e 2 1

17. m 256k 15, 0, 16 7 19. m

2kL L ,

2 , 8

21. m

23. m

k a 2

8 , 4 2a

, 4a 2 2

3 3

k

8 1 5e e 4 ,

13

e 4 5 , 8 e 6 7

27 e 6 5e 2

2

25. m k 3, 81 3 40 , 0

27. x 3b 3 29. x a 2 31. x a 2

y 3h 3 y a 2 y a 2

33. I x kab 4 4

35. I x 32k 3

I y kb 2 a 3 6

I y 16k 3

I 0 3kab 4 2ka 3 b 2 12 I 0 16k

x 3a 3

x 2 3 3

y 2b 2

y 2 6 3

37. I x 16k

39. I x 3k 56

I y 512k 5

I y k 18

I 0 592k 5

I 0 55k 504

x 4 15 5

x 30 9

y 6 2

y 70 14

41. 2k

b b 2 x 2

x a 2 k b 2

dy dx b

b 0

4

4a 2

43.

45.

4 x

42 752k

kx x 6 2 dy dx

0 0

315

a a 2 x 2

k a y y a 2 dy dx ka 7 17

5

0 0

16 15

47. Ver definiciones en la página 1014. 49. Las respuestas varían.

51. L 3 53. L 2 55. Demostración


1. 24

1

3. 12 5. 2 4 17 ln 4 17

4

7. 27 31 31 8 9. 2 1 11.

13. 2 a a a 2 b 2 15. 48 14 17. 20

19.

1 x

27 5 5

5 4x 2 dy dx

12

1.3183

21.

0 0

3

1

23. 1 4x 2 4y 2 dy dx 1.8616 25. e

0

3

0

1

9 x 2

9 x 2 1 4x 2 4y 2 dy dx

37 37 1 117.3187

6



A143

27. 2.0035 29.

31.

33.

35. Si f y sus primeras derivadas parciales son continuas sobre una

región cerrada R en el plano xy, entonces el área de la superficie

dada por z f x, y sobre la región R es

37. No. La gráfica no cambia de tamaño ni de forma, sólo de posición.

Por lo anterior, el área de la superficie no crece.

39. 16 41. (a) 812 609 cm 3 (b) 100 609 cm 2


1. 18 3. 10 5. 2 1 1 e 7. 3 9.

11. 2.44167 13.

15.

17.

19. 15 21. 4 a 3 3 23. 15 25. 10

27.

z

29.

31.

V

V

256

x

x

4

2

4 10

0

R

0

0

2

3

1

0

−1

0

0

1

x

0

4 x 2

4

3

4

x

z

6

1

6

12 4z 3

1

1

1 y 2

2

0

z

1

1

V

1

4 x 2 1 e 2x dy dx

16 x 2

15

6 y 2

3

1

1

y

1

1 e 2xy x 2 y 2 dy dx

1 f x x, y 2 f y x, y 2 dA.

y

0

16 x 2 x 2 y 2 2

80 x 2 y 2

256

dz dy dx

5

6 y 2 0

6 x 2 y 2

12 4z 3x 6

y

1 9 x 2 y 2 9 y 2 x 2 dy dx

0

5 x

0

1

0

0

1

5 x y

dz dx dy

dy dx dz

dz dy dx

1

z

40

dz dy dx

dy dz dx

324

5

33.

35.

37.

39. m 8k 41. m 128k 3

x

z 1

43.

0

1

0

1

0

1

0

1

0

M yz

M xz

M xy

45. x será más grande que 2, mientras que y y z no cambian.

47. x y z no cambian, mientras que y será más grande que 0.

49.

3

0, 0, 3h 4 51. 0, 0, 2 53. 5, 6, 5 4

55. a) I x 2ka 5 3

b) I x ka 8 8

I y 2ka 5 3

I y ka 8 8

I z 2ka 5 3

I z ka 8 8

57. a) I x 256k

b) I x 2 048 k 3

I y 512k 3

I y 1 024 k 3

256k

I z 2 048 k 3

59. Demostración 61.

63. a)

0 0 0

1 3 x

0 0 0

3 1 1

0 0

3

b) x y 0, por simetría

1

2 4 x 2

z

m

c)

1

3

3

3

4

m

0 0

2z z 2

0

1

1 1 x 0

1 x 1 y

0

x

3

1 z

3

2

I z

0

3

m

y

9 x 2

4

3

k

k

k

k

2

I z

2

xyz dz dy dx,

xyz dy dz dx,

xyz dx dy dz,

9 x 2 0

4

9 x 2

0 0 0

b b b

0 0 0

b b b

0 0 0

b b b

0

1 y 2

0

b

9 y 2

0

9 x 2 xyz dy dz dx,

9 y 2 xyz dx dy dz,

1 z

0

2

2

b

2

dx dy dz,

1 z

dz dy dx

0

b

xyz dz dy dx,

1 dy dx dz

1 dy dz dx

xy dz dy dx

x 2 y dz dy dx

xy 2 dz dy dx

xyz dz dy dx

1

1

4 x 2

4 x 2 0

4 x 2 y 2

4 x 2

0 y 0

3 1 x

0 0 0

1 3 1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1 x

4 x 2 0

4 x 2 y 2

4 x 2 0

4 x 2 y 2

3 0

1 y 1 y 2

0

y

3

xyz dz dx dy,

xyz dy dx dz,

xyz dx dz dy

0

1 1 1 x

0 2z z 2 0

1 1 1 x 1 x

x 2 y 2 x 2 y 2 z 2 dz dy dx

kz dz dy dx

kz 2 dz dy dx

kz x 2

y 2 dz dy dx

65. Ver “Definición de Integral Triple” en la página 1027 y el teorema

14.4, “Evaluación por integrales iteradas” en la página 1028.

3

3

4

0

3

0

3

3

4

0

9 y 2

9 y 2 0

4

9 x 2

9 x 2 xyz dy dx dz,

9 y 2

9 y 2 xyz dx dz dy

dx dz dy,

0

xyz dz dx dy,

1 dy dx dz,

1 dy dz dx,

A144



67. a) El sólido B.

b) El sólido B tiene el momento de inercia mayor porque es más

denso.

c) El sólido A llegará primero abajo. Como el sólido B tiene un

momento de inercia mayor, tiene una resistencia mayor al

movimiento de rotación.

69. 3 71.

73. Q: 3z 2 y 2 2x 2 1; 4 6 45 0.684

75. a 2, 16 3 77. Problema Putnam B1, 1965


52

1. 27 3. 45 5. 8 7. e 4 3

z

9.

z

11.

13. Cilíndrica:

Esférica:

15. Cilíndrica:

Esférica:

17. 2a 3 9 (3 4 19. 16 21. 2a 3 9 3 4

23. 48k 25. r 02 h 3 27. 0, 0, h 5

29.

13

1

2

3

x

I z

16 2

31. Demostración 33. 9 2 35.

37. k a 4 39. 0, 0, 3r 8 41. k 192

43. Rectangulares a cilíndricas: r 2 tan

x 2 y 2

y x

z z

Cilíndricas a rectangulares: x

y

r cos

r sen

z z

45.

2 g 2 h 2

r cos , r sen

f r cos , r sen , z r dz dr d

1

3

2

1

4k

g 1

47. a) r constante: cilindro circular recto en torno al eje z.

constante: plano paralelo al eje z.

z constante: plano paralelo al plano xy.

b) constante: esfera.

constante: plano paralelo al eje z.

constante: cono.

49.

1

51. Problema Putnam A1, 2006

2

2

a 4

3

2

1 e 9 4

0

0

2

2

0

2

0

0

0

2

0

2

0

4

r 0

0

2

0

3

0

2

arctan 1 2

2 a

y

4

0

arctan 1 2

h 1 r cos , r sen

r 2 r 2 cos dz dr d 0

cot

a

2a cos

a sec

h r 0 r r 0

4 sec

0

csc

0

a a 2 r 2

x

4

r 3 dz dr d 3mr 02 10

4

64 3 3

3

sen 2 cos d d d

3

sen 2 cos

3

sen 2 cos d d d 0

d

d

r 2 cos dz dr d 0

4

y

d 0


1

1. 2 3. 1 2v 5. 1 7.

v

9. 11.

13.

15. 3 17. 36 19. e 1 2 e 2 ln 8 0.9798 21. 96

100 2

23. 12 e 4 1 25. 9 27. 5 a5 2 29. Uno

y

v

31. a)

b) ab c) ab

33. Ver la “Definición de jacobiano” en la página 1045. 35. u 2 v

37. uv 39.

2

sen 41. Problema Putnam A2, 1994


1. x x 3 x 3 ln x 2

y

3. 5.

7.

9.

11.

1

8

R

3

2

1

29

6

3

(0, 1)

0 0

3

5

3xy dA

y = x + 1

3 x 3

25 x 2

5

4

4 1 x 1 x 2

0 0

1

1

4 3

2 3

(1, 0)

b

2

dy dx

1 2 x 2

1 2 x

25 x 2 dy dx

5

2 3

2 3 1 x

R

3

u

25 y 2

3xy dy dx

a

x

0

1 2 x 2

1

0

25 y 2 dx dy

25 y 2

3 3y

36

4 25

dx dy

y 2

25 2 12 25 arcsen 3 5 67.36

dy dx 4 1 2

0

x

e 2u

3xy dy dx

dx dy

4

4

3

2

1

1

−1

−2

4

8 3

4 3

y

v

1

3

(1, 0)

(1, −1)

3

2

1 1 4y 2 2

1 1 4y 2 2

1

4 x

1 2 x

S

y = 9 − x 2

2

2

3xy dy dx

1

3

25 y 2 dx dy

dx dy

(3, 0)

(3, −1)

u

4

u

x

4

3

164

9



A145

13.

2

15. Ambas integraciones son sobre la región común R, como se muestra

en la figura. Ambas integrales dan

2

5

y

x 3

x 1

dy dx 2 2

y = 1 x

2

1

0

x 1

dy dx

4

3

2

y 3

1 y 2 1

4

3 2.

dx dy

9

2

11. Si a, k > 0, entonces 1


ka 2 o a 1 k.

15. Entre más grande sea el ángulo entre el plano dado y el plano xy,

más grande es el área de la superficie. Así, z 2 < z 1 < z 4 < z 3 .

17. Los resultados no son los mismos. El teorema de Fubini no es válido

porque f no es continua en la región 0 x 1, 0 y 1.

(2, 1)

1

1

y = 8 − x

2

2

R

x

1 2 3

−1

3 296

40

17. 15 19. 3 21. 13.67 C 23. k 1, 0.070 25. c

27. Verdadero 29. Verdadero 31. h 3 6 ln 2 1 2

33. 9 2 35. h 3 3

37. a) r 3 cos 2

4

Capítulo 15


1. d 2. c 3. e 4. b 5. a 6. f

7. 2

9. x 2 y 2

y

y

5

1

x

−4

−5

5

x

−6 6

−4

−5

324 5

−4

b) 9 c) 3 3 16 2 20 20.392

39. a)

936

m k 4, 32 b) m 17k 30, 1 309 , 784

45 , 64

55

663

41. I x

I y

ka 2 b 3 6

ka 4 b 4

I 0 2ka 2 b 3 3ka 4 b 12

x a 2

y b 3

43.

101 101 1

6

45.

1

37

6

37 1

47. a) 30 415.74 pies 3 b) 2081.53 pies 2 49.

51.

32 2

abc 3 a 2 b 2 c 2 53. 8 15 55. 3 2 3

57. 0, 0, 1 4 59. 3a 8, 3a 8, 3a 8 61. 833k 3

63. a)

1

3 2a h

2

b) 0, 0,

3 h2 3a h

4 3a h

c) 0, 0, 3 8 a

d) a e) 30 h 3 20a 2 15ah 3h 2 f ) 4 a 5 15

65. El volumen de un toro generado por un círculo de radio 3, con

centro en (0, 3, 0) al girar sobre el eje z.

67. 9 69. 5 ln 5 3 ln 3 2 2.751


1

1. 8 2 2 3. a) a g) Demostraciones 5. 3

z

7. 9. 4

(3, 3, 6)

x

(3, 3, 0)

0

3

3

2

0

2x

6

5

4

x

6 x

(0, 0, 0)

6

(0, 6, 0)

y

dy dz dx 18

11. 3 y

13.

15. 3

17.

−4

z

19. 21. 2xi

x

2

−4

2

x 4

1

4

2

1

4

z

z

1

4

4

2

y

y

x

y

−2 −1 1 2

−1

23. 10x 3y i 3x 2y j 25. 6yzi 6xzj 6xyk

27. 2xye x 2 i e x 2 j k

29. xy x y y ln x y i xy x y x ln x y j

31 a 33. Demostraciones 35. Conservativo porque N x M y.

37. No conservativo porque N x M y.

39. Conservativo: f x, y xy K

41. Conservativo: f x, y x 2 y K

−2

16x 2 y 2

2

−1 1 2

−2

2

1

−2

4yj

y

y

x

x

A146



43. No conservativo 45. No conservativo

47. Conservativo: f x, y e x cos y K 49. 4i j 3k

51. 2k 53. 2x x 2 y 2 k

55. cos y z i cos z x j cos x y k

1

57. Conservativo: f x, y, z 2 x2 y 2 z 2 K

59. No conserv ativo 61. Conservativo: f x, y, z xz y K

63. 2x 4y 65. cos x sen y 2z 67. 4 69. 0

71. Ver la “Definición de campo vectorial” en la página 1058. Algunos

ejemplos físicos de campos vectoriales son los campos de velocidades,

campos gravitacionales y campos de fuerza eléctrica.

73. Ver la “Definición del rotacional de un campo vectorial” en la página

1064.

75. 9xj 2yk 77. zj yk 79. 3z 2x 81. 0


91. f x, y, z F x, y, z x 2 y 2 z 2

1

ln f

2 ln x2 y 2 z 2

x

ln f

x 2 y 2 z i y

2 x 2 y 2 z j z

2 x 2 y 2 z k 2

93.


1.

r t

3. r t

5. r t 3 cos ti 3 sen tj, 0 t 2 7. 20 9. 5 2

11. a) C: r t ti tj, 0 t 1 b) 2 2 3

13. a) C: r t cos ti sen tj, 0 t 2 b) 2

15. a) C: r t ti, 0 t 1 b) 1 2

ti,

0 t 1

17. a) C: r t 2

3

t i

t j,

t 1 j, 1

2

t

t

2

3

19

b) 6 1 2

ti, 0 t 1

19. a)

23

C: r t i tk, 0 t 1 b) 6

i tj k, 0 t 1

21. 8 5 1 4 2 3 795.7 23. 2

25.

1 9

k 12 41 41 27 27. 1 29. 2 31. 4

33. 249.49 35. 66 37. 0 39. 10 2

41. Positivo 43. Cero

236

45. a) 3 ; la orientación es de izquierda a derecha, así que el valor

es positivo.

236

F

f 2

f n F x, y, z n x 2 y 2 z 2 n

f n n x 2 y 2 2

n 1 xi yj zk

z

x 2 y 2 z 2

nf n 2 F

95. Verdadero

97. Falso. El rotacional de f sólo tiene significado para campos vectoriales,

que consideran la dirección.

ti tj,

2 t i 2 tj,

ti,

3i t 3 j,

9 t i 3j,

12 t j,

0 t 1

1 t 2

0 t 3

3 t 6

6 t 9

9 t 12

b) 3 ; la orientación es de derecha a izquierda, así que el valor

es negativo.

47.

49.

F t 2ti tj

r t i 2j

F t r t 2t 2t 0

F dr 0

C

F t t 3 2t 2 i t t 2 2 j

r t i 2tj

F t r t t 3 2t 2 2t 2 t 3 0

F dr 0

C

51. 1 010 53.

190

63

11

3 55. 25 57. 2 59. 6 61.

1

63. 5h 65. 2 67. h 4 2 5 ln 2 5

1

69. 120 25 5 11

71. a) 12 37.70 cm 2 b) 12 5 7.54 cm 3

c)

z

73. I x I y a 3

75. a)

b)

c) Volumen 2 3

2 9 y 2 1 4 y2

0

9 1 y 2

dy

9

27 2 42.412 cm 3

77. 1 750 pies-lb

79. Ver la “Definición de integral de línea” y el teorema 15.4, “Evaluación

de una integral de línea como integral definida”.

81. z 3 , z 1 , z 2 , z 4 ; Entre más grande sea la altura de la superficie sobre

la curva y x, más grande es el área de la superficie lateral.

83. Falso: xy ds 2 t 2 dt.

C

0

85. Falso: las orientaciones son diferentes. 87.


1. a)

b)

3. a)

b)

−3

3

x

x

9 cm 2 28.274 cm 2

1

t 2

0

2

0

0

3

0

4

3

3

5

4

2t 4 dt

sen 2 cos 2 sen 4 cos d

sec tan 2 sec 3 d 1.317

t

2 t 1

3

2

1

3

z

y

1

11

15

t 1

2 t

3

4

dt 1.317

y

11

15

12

316

3



A147

5. Conservativo 7. No conservativo 9. Conservativo

1

1

11. a) 1 b) 1 13. a) 0 b) 3 c) 2

64 64

15. a) 64 b) 0 c) 0 d) 0 17. a) 3 b) 3

2 17

19. a) 32 b) 32 21. a) 3 b) 6 23. a) 0 b) 0

25. 72 27. 1 29. 0 31. a) 2 b) 2 c) 2

33. 11 35. 30 366 37. 0

39. a) dr i j dt ⇒ 175 dt 8 750 pies-lb

b)

8 750 pies-lb

41. Ver teorema 15.5, “Teorema fundamental de las integrales de línea”

en la página 1084.

43. a) 2 b) 2 c) 2 d) 0

45. Sí, porque el trabajo necesario para ir de un punto a otro es independiente

de la trayectoria seguida.

47. Falso. Sería verdadero si F fuera conservativo.

49. Verdadero 51. Demostración

53. a) Demostración b) c)

d) 2 ; no contradice el teorema 15.7 porque F no es continuo

en (0, 0) en la región R encerrada por C.

e) arctan x 1 y

y 1 x y i x y 2

2 1 x y j 2


1. 30 3. 0 5. 19.99 7. 2 9. 56 11. 3 13. 0

1

225

15. 0 17. 12 19. 32 21. 23. 2 25. a 2 27.

29. Ver teorema 15.8 en la página 1093. 31. Demostración

33.

1

35. 21 37. 3 a 2 2 39. 3 3 2

41. a) 51 2 b) 243 2

N M

43. F dr M dx N dy

dA 0;

C

C

R x y

I 2 cuando C es un círculo que contiene al origen.

19

45. 47 a 49. Demostraciones

2


1. e 2. f 3. b 4. a 5. d 6. c

7. y 2z 0

9. x 2 z 2 4

Plano

Cilindro

z

11. 13.

x

−4

2

dr

0, 8 5

8

15 , 8

x

5

3

2

z

3

2

1

i

3 4 5

2

y

y

0

50

1

25 50 t j dt ⇒ 7

9

x

x

0

9

50

5

6

50 t dt

3

−3

z

9

6

z

3

6

4

9

5

y

y

9

2

15.

17. El paraboloide se refleja (invertido) en el plano xy.

19. La altura del paraboloide aumenta de 4 a 9.

21. r u, v ui vj vk

1

1

23. r u, v 2u cos vi uj 3u sen vk, u 0, 0 v 2 o

r x, y xi 4x 2 9y 2 j zk

25. r u, v 5 cos ui 5 sen uj vk

27. r u, v ui vj u 2 k

29. r u, v v cos ui v sen uj 4k, 0 v 3

u

31. x u, y

2 cos v, z u

sen v, 0 u 6, 0 v 2

2

33. x sen u cos v, y sen u sen v, z u

0 u , 0 v 2

35. x y 2z 0 37. 4y 3z 12 39. 8 2

41. 2 ab 43. ab 2 a 2 1

45. 6 17 17 1 36.177

47. Ver la “Definición de superficie paramétrica” en la página 1102.


z

z

53. a) b)

55.

57.

−3

−2

−3

−2

2

1

3 −1 2

3

x

z

c) d)

El radio del círculo generador que es girado en torno al eje z es b,

y su centro está a a unidades del eje de revolución.

400

−4

2

x

3

3

12

x

y

x 12

y

−9

−12

m 2

−2

4

x

−6

6

4π

2π

5

4

3

z

z

2

4

−4

9

4

3

2 13 2 ln 3 13 2 ln 2

−6

y

y

6

y

x

6

4

12

z

6

y

A148



59. Las respuestas varían. Ejemplo de respuesta: Sea

x 2 u 5 cos v cos 3 u

y 2 u 5 cos v sen 3 u

z 5u 2 u sen v

donde u y v .


1. 12 2 3. 2 5. 27 3 8 7. 391 17 1 240

364

9. 11.47 11. 3 13. 12 5 15. 8 17. 3

4

19. 32 3 21. 486 23. 3 25. 3 2 27. 20

29. 384 31. 0 33. Demostración 35. 2 a 3 h 37. 64

39. Ver el teorema 15.10, “Cálculo de integral de superficie” en la página

1112.

41. Ver la “Definición de la integral de flujo” en la página 1118; ver

el teorema 15.11, “Cálculo de integral de flujo” en la página 1118.

z

43. a) b) Si un vector normal a un punto

P sobre una superficie se

4

−6

mueve alrededor de la banda

−6

de Möbius, éste apuntará en

x 6

la dirección opuesta.

c)

z

d) Construcción

4

e) Una banda con doble vuelta

y doble longitud que la banda

−2

de Möbius.

Círculo


1. a 3. 18 5. 7.

y3a 4 4 9. 0 11. 108

13. 0 15. 2 304 17. 1 024 3 19. 0

21. Ver teorema 15.12, “El teorema de la divergencia” en la página

1124. 23 a 29. Demostraciones


1. xz e z i yz 1 j 2k 3. 2 1 1 x 2 j 8xk

5. z x 2e y2 z 2 i yzj 2ye x2 y 2 k 7. 18 9. 0

8

11. 12 13. 2 15. 0 17. 3 19. a 5 4 21. 0

23. Ver el teorema 15.13, “El teorema de Stokes” en la página 1132.

25 a 27. Demostraciones 29. Problema Putnam A5, 1987


1. x 2 5

3. 4x y i xj 2zk

x

3

x

2

3

2

z

2

−4

−4

2

4

6

y

y

5. Conservativo: f x, y y x K

1

7. Conservativo: f x, y 2 x2 y 2 1

3 x3 1

3 y3 K

9. No conservativo 11. Conservativo: f x, y, z x yz K

13. a) div F 2x 2xy x 2 b) rot F 2xzj y 2 k

5 3 19 cos 6 13.446

15. a) div F y sen x x cos y xy

b)

17. a)

rot F

div F

xzi

1 1

yzj

x 2 2xy 2yz

b) rot F z 2 i y 2 k

19. a) div F

2x 2y

x 2 y 2 1

b) rot F

2x 2y

x 2 y k 2

21. a)

125

3 b) 2 23. 6 25. a) 18 b) 18

27. 9a 2 5 29. 31. 1

33.

4

8

2 2 35. 36 37. 3 39. 3 3 4 2 7.085

41. 6 43. a) 15 b) 15 c) 15

45. 1 47. 0 49. 0

51.

z

x

z

53. a) b)

z

c) d)

Círculo

e) 14.436 f ) 4.269

55.

z

x

−4

−3

3

4

−4

2

4

x

−4

−3

4 3

x

6

−2

2

−2

2

3

−2

−3

3

2

−2

−3

−4

−3

−2

−3

0

57. 66 59. 2a 6 5 61. Demostración

4

2

3

3

−4

y

4

4

y

y

y

−4 −3

3

4

x

−4

−3

4 3

x


1. a) 25 2 6 k b) 25 2 6 k

3. I I y 13 3 27 32 2 x 13 3 27 32 2 ;

;

I z 18 13

13 5

5. Demostración 7. 3a 2 9. a) 1 b) 15 c) 2

11. Demostración

13. M 3mxy x 2 y 2 5 2

M y 3mx x 2 4y 2 x 2 y 2 7 2

N m 2y 2 x 2 x 2 y 2 5 2

N x 3mx x 2 4y 2 x 2 y 2 7 2

Por lo tanto, N x M y y F es conservativo.

2

3

−1

−2

−3

3

1

−2

−3

z

z

−2

2

2

3

3

−4

−4

4

4

y

y

Índice analítico

A

Aceleración, 850, 851, 875, 876

componente centrípeta de la, 863

componente normal de la, 862-864, 875

componente tangencial de la, 862-864,

875

Análisis vectorial, 1057

Ángulo de incidencia, 698

Ángulo de inclinación de un plano, 885, 949

Ángulo de reflexión, 698

Ángulo entre dos vectores, 784

Apolonio, 696

Arco de una cicloide, 724

Área, 695, 983, 984

Área de una región plana, 986

Área de una región polar, 741, 742

Área de una superficie, 1020, 1021, 1023

Área de una superficie de revolución, 721,

726, 746

Área de un sector circular, 741

Área en coordenadas polares, 741

Asteroide Apolo, 754

Axiomas del espacio vectorial, 768

B

Banda de Möbius, 1111

Bernoulli, James, 717, 731

Bernoulli, John, 717

Bruja de Agnesi, 841

C

Cálculo, 696, 721

Cálculo en el espacio, 812

Cálculo vectorial, 812

Campo cuadrático inverso, 1059

Campo de fuerzas central, 1059

Campo escalar, 889

Campos de fuerzas eléctricas, 1059

Campos de velocidad, 1059

Campos gravitatorios, 1059

Campos vectoriales conservativos, 1061,

1062, 1065, 1083, 1086

Campo vectorial, 1057, 1058, 1060, 1061,

1074

divergencia de un, 1066

rotacional de un, 1064

Campo vectorial continuo, 1058

Cantidades escalares, 764

Caracol con hoyuelo, 737

Caracol con lazo interior, 737

Caracol convexo, 737

Cardioide, 736, 737, 744

Centro de masa, 1012, 1014, 1032

Cicloide, 716, 717, 724

Cicloide alargada, 723

Cilindro, 812, 822

Cilindro parabólico, 836

Cometa Hale-Bopp, 757

Cometa Halley, 705, 753

Componentes vectoriales, 787

Concoide, 739

Condiciones equivalentes, 1088

Cónica, 695, 696, 699, 705, 737, 752

gráfica de la, 752

Cónica degenerada, 696

Cono, 822

Cono elíptico, 763, 813, 815

Continuidad, 885, 921

Continuidad de una función compuesta, 903

Continuidad de una función de dos variables,

902

Continuidad de una función de tres variables,

903

Continuidad de una función vectorial, 837

Continuidad removible o evitable, 902

Coordenadas cilíndricas, 763, 822, 824, 983,

1038

Coordenadas esféricas, 763, 822, 824, 983,

1038, 1041

Coordenadas polares, 695, 731, 732, 744,

1004, 1007, 1022

Coordenadas rectangulares, 731, 732, 741

curvatura en, 874

Copérnico, Nicolás, 699

Cosenos directores, 783, 786

Crick, Francis, 835

Cuaterniones, 766

Curva, 695, 711, 723, 850, 852, 1076

Curva directriz, 812

Curva generadora, 812, 818

Curva polar, 735

Curva rosa, 734, 736, 737

Curvas de nivel, 885, 889, 940, 970

Curvas en el espacio, 833, 834, 869

Curvas en el plano, 833

Curva serpentina, 759

Curvas planas, 711, 834, 869

Curva suave, 716, 1069

Curvatura, 875, 876

centro de, 874

círculo de, 874

radio de, 874

Curvatura de una curva, 833, 869, 872

Cúspides, 844

D

D’Alembert, Jean Le Rond, 908

De Laplace, Pierre Simon, 1038

Derivación, 929

Derivación de funciones vectoriales, 843

Derivada de una función vectorial, 842, 845

propiedades de la, 844

Derivada direccional, 885, 933-936, 941

Derivada parcial, 885, 908, 909, 911, 927

Derivada parcial de orden superior, 912

Derivada parcial implícita, 885

Diferenciabilidad, 885, 919, 921

Diferenciación parcial implícita, 829

Diferenciales, 918, 920

Diferencia total, 918

Directriz, 697,750

Directriz horizontal abajo del polo, 751

Directriz horizontal arriba del polo, 751

Directriz vertical, 751

Directriz vertical a la derecha del polo, 751

Directriz vertical a la izquierda del polo,

751

Disco, 898

abierto, 898

cerrado, 898

Discontinuidad inevitable o no removible,

902

Distancia de un punto a una recta en el

espacio, 806

Distancia de un punto a un plano, 805

Distancia entre dos planos paralelos, 806

Divergencia, 1066

Dominio de una función, 835, 886, 887, 888

E

Ecuación de Laplace, 978

Ecuación de una recta normal, 885

Ecuación de una recta tangente, 949

Ecuación de un cilindro, 812

Ecuación de un plano tangente, 885

Ecuaciones de la elipse, 696

Ecuaciones de la hipérbola, 696

Ecuaciones de la parábola, 695, 696

Ecuaciones de planos en el espacio, 763

Ecuaciones de rectas en el espacio, 763

Ecuaciones de superficies cilíndricas, 763

Ecuaciones de superficies cuadráticas, 763

Ecuaciones paramétricas, 695, 711-715, 721,

723, 735, 800, 801, 834, 836, 1102

Ecuaciones polares de las cónicas, 750, 751

Ecuaciones simétricas, 800, 801

Ecuación estándar o canónica de la

circunferencia, 696

Ecuación estándar o canónica de la elipse, 699

Ecuación estándar o canónica de la esfera,

778

Ecuación estándar o canónica de la

hipérbola, 703

I-57

ÍNDICE

I-58 ÍNDICE ANALÍtICo

Ecuación estándar o canónica de la parábola,

697

Ecuación estándar o canónica del plano en el

espacio, 801, 802

forma general, 801

Ecuación general de segundo grado, 696

Ecuación polar, 737, 752

Ecuación rectangular, 711, 713-715, 733

Ecuación rectangular en forma polar, 732

Eje polar, 731

Eliminación del parámetro, 713

Elipse, 695, 696, 699, 701, 703, 705, 714,

814-816, 835

área de la, 702

centro de la, 699

eje mayor de la, 699

eje menor de la, 699

excentricidad de la, 701

foco de la, 699

perímetro de la, 701, 702

propiedad de reflexión de la, 701

recta tangente de la, 701

vértices de la, 699

Elipsoide, 763, 813, 814, 888

Elipsoide centrado, 817

Energía, 1089

Energía cinética, 1089

Energía potencial, 1089

Entorno, 898

Epicicloide, 724, 8444

Errores cuadráticos, 964

Esfera, 776, 812

Espacio vectorial, 768

Espiral de Arquímedes, 725, 733, 749

Espiral de Cornu, 761

Espiral hiperbólica, 739

Espiral logarítmica, 749

Estrofoide, 739, 761

Euler, Leonhard, 908

Excentricidad, 750

Explorer 55, 709

Extremos absolutos, 885, 954, 959

Extremos de funciones, 962

Extremos relativos, 885, 954, 955, 956

F

Faraday, Michael, 1089

Flujo, 1129

Foco, 697, 699, 703

Forma paramétrica de la derivada, 721

Fórmula de Wallis, 997

Fórmulas para la curvatura, 873

Franjas de Moiré, 917

Fubini, Guido, 996

Fuerza de fricción, 876

Fuerza de rozamiento, 876

Fuerza resultante, 770

Función, 715

Función compuesta, 887

Función continua, 902

Función de densidad, 1012

Función de dos variables, 886

Función de potencial, 1057

Función de posición, 853, 855

Función de producción de Cobb-Douglas,

891, 973

Función de tres variables, 941

Funciones componentes, 834

Funciones vectoriales, 833, 834, 836, 837,

850, 869

Función longitud de arco, 870

Función polinomial, 887, 902

Función racional, 887, 902

Función radio, 818

G

Galilei, Galileo, 716, 717

Gauss, Carl Friedrich, 1124

Geometría del espacio, 763

Gibbs, Josiah Willard, 793, 1069

Gradiente, 885, 933, 938, 940, 941, 950,

1058, 1065

propiedades del, 937

Gráfica de las ecuaciones paramétricas, 711,

713

Gráfica de una ecuación polar, 695

Gráfica de una elipse, 714

Gráfica de una función de dos variables, 888,

936

Gráfica polar, 695, 732-734, 741, 743

Gráficas polares especiales, 695, 731, 737

H

Hamilton, William Rowan, 766

Hélice, 835

Herschel, Caroline, 705

Hipérbola, 695, 696, 703, 705, 814

asíntotas de la, 703, 752

centro de la, 703

eje conjugado, 703

eje transversal de la, 703, 752

excentricidad de la, 704

ramas de la, 704

vértices de la, 703

Hiperboloide, 822

Hiperboloide de dos hojas, 813, 814, 816

Hiperboloide de una hoja, 813, 814

Hoja (o folio) de Descartes, 749

Huygens, Christian, 717

Hypatia, 696

I

Igualdad de las derivadas parciales, 913

Incremento, 918

Integración, 988

Integración de una función vectorial, 846

Integración múltiple, 983

Integral de línea, 1057, 1070-1074

Integral elíptica, 702

Integrales de flujo, 1118, 1119

Integrales de línea, 1069, 1077, 1078, 1088,

1096, 1097

teorema fundamental de, 1083-1085

Integrales de superficie, 1112-1114, 1116

Integrales dobles, 983, 992-995, 997, 1004,

1047

propiedades de las, 994

Integral iterada, 983, 984, 985, 989, 996

Integral simple, 994

Integrales triples, 983, 1027, 1038, 1041

Intersección, 741

Isobaras, 885, 889

Isotermas, 889

J

Jacobiano, 983, 1045

K

Kepler, Johannes, 699, 702, 753

Kovalevsky, Sonya, 898

L

Lagrange, Joseph-Louis, 970

Laplace, Pierre Simon, 1069

Legendre, Adrien-Marie, 965

Leibniz, Gottfried, 717, 908

Lemniscata, 737

Ley de Coulomb, 1059

Ley de Gauss, 1121

Ley de gravitación de Newton, 1059

Leyes de Kepler, 750, 753, 754

L’Hôpital, Guillaume, 717

Límites interiores de integración, 985

Límites exteriores de integración, 985

Líneas de contorno, 889

Líneas equipotenciales, 889

Límite, 898

Límite de una función de dos variables, 899

Límite de una función vectorial, 837

Longitud de arco, 723, 726, 833, 869, 875,

876

Longitud de arco de una curva, 695, 721

Longitud de arco de una curva en el espacio,

869

Longitud de arco de una curva polar, 745

Longitud de arco de una gráfica polar, 695

Longitud de arco en forma paramétrica, 724

Longitud de la cuerda focal, 698

Longitud de un múltiplo escalar, 768

Lugar geométrico, 696

M

Mapa topográfico, 889

Masa, 115

ÍNDICE ANALÍtICo I-59

Máximo relativo, 954, 957

Maxwell, James, 766

Método de los multiplicadores de Lagrange,

970, 971, 974

Método de mínimos cuadrados, 885, 964

Mínimo relativo, 954, 957

Modelos matemáticos, 964

Momentos de inercia, 1012, 1016, 1032

Momentos de masa, 1014

Multiplicador de Lagrange, 885, 970-972, 974

Múltiplo escalar, 766, 778

N

Negativo escalar, 766

Newton, Isaac, 717, 731, 753, 908, 1069

Nodo, 844

Noether, Emmy, 768

Norma, 992, 1005

Normalización de v, 768

Notación para producto escalar, 793

Notación para producto vectorial, 793

Número escalar, 764

Números de dirección, 800

O

octante, 775

operador diferencial, 1064

optimización, 885

Órbitas elípticas, 705

Órbitas hiperbólicas, 705

Órbitas parabólicas, 705

orientación de la curva, 712

P

Parábola, 696, 697, 699, 705, 751, 815, 816,

852

cuerda focal de la, 697

eje de la, 697

lado recto (latus rectum) de la, 697

propiedad de reflexión, 698, 701

Paraboloide, 822, 997, 1028

Paraboloide elíptico, 813, 816, 817

Paraboloide hiperbólico, 813, 815, 817

Parámetro, 711, 712

Parámetro longitud de arco, 870, 871

Participación polar interna, 1005, 1027

Pascal, Blaise, 716

Pendiente, 721, 735, 800

Pendiente de una línea tangente a una curva,

695, 721

Pendiente de una línea tangente a una gráfica

polar, 695

Pendiente de una recta secante, 721

Pendiente de una recta tangente a una gráfica

polar, 732, 735

Pendiente en forma polar, 735

Plano, 763, 804, 805, 812

punto interior del, 898

Plano en el espacio, 800, 801

Plano tangente, 945-947, 1105

Plano xy, 775

Plano xz, 775

Plano yx, 775

Polo, 695, 731, 736, 743, 822

Posición canónica de un vector, 765

Problema de la braquistocrona, 711, 717

Problema de la tautocrona, 711, 717

Producto cruz. Véase Producto vectorial

Producto de un vector por un escalar, 783

Producto escalar, 783, 788

propiedades del, 783

Producto escalar de dos vectores, 763, 783,

805

Producto mixto. Véase triple producto

escalar

Producto vectorial, 792, 793, 795, 805

propiedades algebraicas del, 793, 794

propiedades geométricas del, 792, 794

Propiedad asociativa, 767

Propiedad conmutativa, 767, 783

Propiedad de la identidad aditiva, 767

Propiedad del inverso aditivo, 767

Propiedad distributiva, 767, 783

Propiedades de la elipse, 696

Propiedades de la hipérbola, 696

Propiedades de la parábola, 696

Propiedades de las operaciones con vectores,

767

Punto frontera, 898

Punto interior, 904

Puntos colineales, 778

Puntos críticos, 955

R

Radio de giro, 1017

Rango, 886

Rapidez, 875, 876

Recta, 696, 763, 800, 805

Recta de regresión de mínimos cuadrados,

964, 965

Recta de intersección de dos planos, 803

Recta en el espacio, 800

Recta normal, 945, 946

Recta radial, 731, 733, 742

Rectas generatrices, 812

Rectas tangentes en el polo, 736

Recta tangente, 721, 723, 735

Recta tangente horizontal, 735, 736

Recta tangente vertical, 735, 736

Recta vertical, 733

Región abierta, 898, 904

Región cerrada, 898

Región de integración, 985, 987

Región horizontalmente simple, 986

Región verticalmente simple, 986

Regla de la cadena, 885, 925-927, 928-930

Regla de Simpson, 1024

Representación gráfica de las cónicas, 750

Rotacional, 1057, 1066, 1135, 1136

Rumbo, 771

S

Sección cónica, 696

Sectores polares, 1004

Segmento de recta dirigido, 764, 765

longitud, 764

punto final, 764

punto inicial, 764

Segunda ley del movimiento de Newton, 854

Segundas derivadas parciales, 957, 958

Semielipsoide, 836

Sistema de coordenadas bidimensional, 775,

776

Sistema de coordenadas cilíndricas, 822

Sistema de coordenadas esféricas, 824

Sistema de coordenadas polares, 695

Sistema de coordenadas rectangulares

tridimensional, 775

Sistema de coordenadas tridimensional, 763,

775

Sistema dextrógiro, 775, 794

Sistema levógiro, 775, 794

Somerville, Mary Fairfax, 886

Stockes, George Gabriel, 1132

Suma de los cuadrados de los errores, 964

Suma de Riemann, 993

Suma de vectores, 766, 783

Superficie, 1117

Superficie orientada, 117

Superficie reflectante, 698

Superficies cuádricas, 813, 816

Superficies de nivel, 885, 886, 891, 950

Superficies de revolución, 763, 818

curva generadora, 818

Superficies paramétricas, 1102, 1103, 1106,

1116

Sustracción de vectores, 766

T

tangente, 698

tangente horizontal, 723

teorema de Fubini, 996

teorema de Green, 1057, 1093-1098

teorema de la divergencia, 1124, 1126-

1129

teorema de Lagrange, 971

teorema de Stockes, 1057, 1132-1134

trabajo, 789, 1074, 1075, 1087

transformación de coordenadas, 732

trayectoria, 1069, 1086

triple producto escalar, 796, 797

V

Valor promedio de una función, 999

Variables dependientes, 886

ÍNDICE

I-60 ÍNDICE ANALÍtICo

Variables independientes, 886

Vector aceleración, 852

Vector cero (o nulo), 765, 777

Vector de dirección, 800

Vector de posición, 850, 854

Vector en el plano, 764, 765

longitud (o magnitud), 765

Vectores, 763, 764, 768, 775, 800, 805

Vectores bidimensionales, 792

Vectores normales, 833, 859, 1105

Vectores ortogonales, 785

Vectores paralelos, 778

Vectores tangentes, 833, 859

Vectores tridimensionales, 775, 792

Vectores unitarios estándar o canónicos, 764,

769, 777, 779

combinación lineal de, 769

componente horizontal, 769

componente vertical, 769

Vector resultante, 766

Vector tangente, 850

Vector unitario en la dirección de v, 768

Vector unitario normal principal, 860, 861

Vector unitario tangente, 859, 861

Vector velocidad, 850

Velocidad, 850, 851

Velocidad angular, 1017

Vértice, 697, 699

Volumen, 992, 993, 1027

Volumen de una región sólida, 994

W

Watson, James D., 835

Weierstrass, Karl, 898, 955

Wren, Christopher, 724

Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

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