Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

722 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
EJEMPLO 1
Derivación o diferenciación y forma paramétrica
Hallar dydx para la curva dada por x sin sen t y y cos t.
AYUDA DE ESTUDIO La curva del ejemplo
1 es una circunferencia. Emplear la
fórmula
dy
dx tan t
para hallar su pendiente en los puntos
(1, 0) y (0, 1).
Solución
dy
dx dydt
dxdt sin sen t
cos t
tan t
Como dydx es función de t, puede emplearse el teorema 10.7 repetidamente para
hallar las derivadas de orden superior. Por ejemplo,
d
d 2 y
dt dy
dx
dx dx d dy
dx 2 dxdt
d
d 3 y
dx dx d d 2 y
2 dt d 2 y
2
3 dx dx
.
dxdt
Segunda derivada.
Tercera derivada.
EJEMPLO 2
Hallar pendiente y concavidad
Para la curva dada por
x t
y
y 1 4 t 2 4,
t ≥ 0
y
3
(2, 3)
t = 4
m = 8
hallar la pendiente y la concavidad en el punto 2, 3.
Solución Como
dy
dx dydt
dxdt 12t
12t t 12 32
se puede hallar que la segunda derivada es
Forma paramétrica de la
2
1
d
d 2 y
dx dt dydx
2 dxdt
d
dt t 32
dxdt
32t12
12t12 3t.
Forma paramétrica de la
segunda derivada.
−1
−1
1
2
x
En x, y 2, 3, se tiene que t 4, y la pendiente es
dy
dx 4 32 8.
x =
t
y = 1 4 (t2 − 4)
En (2, 3), donde t 4, la gráfica es cóncava
hacia arriba
Figura 10.31
Y, cuando t 4, la segunda derivada es
d 2 y
34 12 > 0
dx2 por lo que puede concluirse que en (2, 3) la gráfica es cóncava hacia arriba, como se muestra
en la figura 10.31.
Como en las ecuaciones paramétricas x f t y y gt no se necesita que y esté
definida en función de x, puede ocurrir que una curva plana forme un lazo y se corte a sí
misma. En esos puntos la curva puede tener más de una recta tangente, como se muestra
en el ejemplo siguiente.