Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

A118
Answers to Odd-Numbered Exercises
Soluciones de los ejercicios impares A-25
4,
Ecuaciones Ecuaciones
Números
paramétricas a simétricas b
directores
x 5 y 3 z 2
11. x 5 17t
17 11 9
y 3 11t
17, 11, 9
z 2 9t
13. x 7 10t No es posible.
10, 2, 0
y 2 2t
z 6
15. x 2 17. x 2 3t 19. x 5 2t
y 3
y 3 2t
y 3 t
z 4 t z 4 t
z 4 3t
21. x
y
2
1
t
t
z 2 t
23. P 3,
25. P 7,
1,
6,
2 ; v
2 ; v
1, 2, 0
2, 1
27. L 1 L 2 y es paralela a L 3 . 29. L 1 y L 3 son idénticas.
31. 2, 3, 1 ; cos 7 17 51 33. No se cortan.
35.
z
4
7, 8, 1
2
4
6
8
−
10
x
−8
37. a) P
PQ \ 0, 0,
0,
1 , Q
2, 1 , PR \ 0, 2, 0 , R
3, 4, 0
3, 4, 1
(Hay muchas respuestas correctas.)
b) PQ \ PR \ 4, 3, 6
Las componentes del producto cruz son proporcionales a los
coeficientes de las variables en la ecuación. El producto cruz
es paralelo al vector normal.
39. a) Sí b) Sí 41. y 3 0
43. 2x 3y z 10 45. 2x y 2z 6 0
47. 3x 19y 2z 0 49. 4x 3y 4z 10 51. z 3
53. x y z 5 55. 7x y 11z 5 57.
59.
z
61. x z 0 63. 9x 3y 2z 21 0
65. Ortogonal 67. Ni uno ni otro; 83.5 69. Paralelo
71.
z
73.
z
x
)
x
2
6
6
4
2
y z 1
(−7, 10, 0)
−4 −6−8
2
1
0, − , − 7 2 2)
6 8
10
6
4
4
(3, 0, 0)
)
4
6 8 10
(7, 8, −1)
y
1
− , 0, − 10 3 3 )
(0, 0, 2)
(0, 6, 0)
6
y
y
4
(0, 0,
3
(0, −4, 0)
−4
x
3
−1
(
3
2
(2, 0, 0)
y
z
75. 77.
(6, 0, 0)
8
x
z
79. 81.
x
6
4
2
8
−6
(0, 0, 6)
2
4
8
y
6
y
Generado con Maple
5
x
(5, 0, 0)
v a, b, c
83. P 1 y P 2 son paralelos. 85. P 1 P 4 y es paralelo a P 2 .
87. Los planos tienen intersecciones en c, 0, 0 , 0, c, 0 y 0, 0, c
para cada valor de c.
89. Si c 0, z 0 es el plano xy; si c 0, el plano es paralelo al
eje x y pasa a través de los puntos (0, 0, 0) y (0, 1, –c)
91. a)
b) x
65.91
2
y 1 t
z 1 2t
93. 2, 3, 2 ; La recta no se encuentra en el plano.
95. No se cortan 97. 6 14 7 99. 11 6 6
101. 2 26 13 103. 27 94 188 105. 2 533 17
107. 7 3 3 109. 66 3
111. Ecuaciones paramétricas: x x 1 at, y y 1 bt y z z 1 ct
x x
Ecuaciones simétricas: 1 y y 1 z z 1
a b c
Se necesita un vector
paralelo a la recta y un punto
P x 1 , y 1 , z 1 en la recta.
113. Resolver simultáneamente las dos ecuaciones lineales que representan
los planos y sustituir los valores en una de las ecuaciones
originales. Después elegir un valor para t y dar las ecuaciones
paramétricas correspondientes a la recta de intersección.
115. a) Paralelos si el vector a 1 , b 1 , c 1 es un múltiplo escalar de
a 2 , b 2 , c 2 ; 0.
b) Perpendicular si a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0; 2.
117. cbx acy abz abc
119. Esfera: x 3 2 y 2 2 z 5 2 16
121. a)
Año 1999 2000 2001 2002
z (aprox.) 6.25 6.05 5.94 5.76
Año 2003 2004 2005
z (aprox.) 5.66 5.56 5.56
Generado con Maple
Las aproximaciones están más próximas a los valores actuales.
b) Las respuestas varían.
x
−2
2
3
−1
z
z
1
y
5
y