Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

Solución de problemas 761
P.S. Problem Solving 761
SP
P.S.
Solución de problemas
PROBLEM SOLVING
1.
1.
Considerar
Consider the
la
parabola
parábola
x x2 y la cuerda focal y 3 2
4y
4y
and the focal chord y 4 3 4x x 1. 1.
a)
(a)
Dibujar
Sketch
la
the
gráfica
graph
de
of
la
the
parábola
parabola
y
and
la cuerda
the focal
focal.
chord.
b)
(b)
Mostrar
Show that
que
the
las
tangent
rectas tangentes
lines to the
a la
parabola
parábola
at
en
the
los
endpoints
extremos
de
of
la
the
cuerda
focal
focal
chord
se
intersect
cortan en
at
ángulo
right angles.
recto.
c)
(c)
Mostrar
Show that
que
the
las
tangent
rectas tangentes
lines to the
a la
parabola
parábola
at
en
the
los
endpoints
extremos
de
of
la
the
cuerda
focal
focal
chord
se
intersect
cortan en
on
la
the
directriz
directrix
de
of
la
the
parábola.
parabola.
2.
2.
Considerar
Consider the
la
parabola
parábola
x 2
4py
4py
and
y una
one
de
of
sus
its
cuerdas
focal chords.
focales.
a)
(a)
Mostrar
Show that
que
the
las
tangent
rectas tangentes
lines to the
a la
parabola
parábola
at
en
the
los
endpoints
extremos
de
of
la
the
cuerda
focal
focal
chord
se
intersect
cortan en
at
ángulos
right angles.
rectos.
b)
(b)
Mostrar
Show that
que
the
las
tangent
rectas tangentes
lines to the
a la
parabola
parábola
at
en
the
los
endpoints
extremos
de
of
la
the
cuerda
focal
focal
chord
se
intersect
cortan en
on
la
the
directriz
directrix
de
of
la
the
parábola.
parabola.
3.
3.
Demostrar
Prove Theorem
el teorema
10.2, Reflective
10.2, la
Property
propiedad
of
de
a Parabola,
reflexión
as
de
shown
una
parábola,
in the figure.
como se ilustra en la figura.
y
P
F
x
4. Consider the hyperbola
4. Considerar la hipérbola
x 2
xa y2
2
a y2 b 1 2
2 b 1 2
with foci F 1 and F 2 , as shown in the figure. Let T be the tangent
con line focos at a point F 1 y FM
2 , on como the se hyperbola. ilustra en Show la figura. that Sea incoming T la recta rays tangente
light en aimed un punto at one M focus de la hipérbola. are reflected Mostrar by a que hyperbolic los rayos mirror de luz
of
incidente toward the en other un foco focus. son reflejados por un espejo hiperbólico
hacia el otro foco.
y
y
y
M
F 1
F 1
b
b
T aM
T a
F 2
F 2
y
A
Aθ
O
x
θ
O
B
P B
P
a c
a c
x
Figure for 4 Figure for 5
5. Figura Consider para a circle 4 of radius a tangent Figura to the para y-axis 5 and the line
x 2a, as shown in the figure. Let A be the point where the
5. Considerar segment OBun intersects círculo con the circle. radio aThe tangente cissoid al of eje Diocles y y a consists la recta
xof all 2a, points como Pse such ilustra that en OPla figura. AB. Sea A el punto en el cual el
segmento (a) Find a OB polar corta equation el círculo. of the La cissoid. cisoide de Diocles consiste de
todos los puntos P tales que OP AB.
(b) Find a set of parametric equations for the cissoid that does
a) Hallar not contain una ecuación trigonometric polar de functions. la cisoide.
b) (c) Hallar Find a un rectangular conjunto de equation ecuaciones of the paramétricas cissoid. para la cisoide
que no contengan funciones trigonométricas.
c) Hallar la ecuación rectangular de la cisoide.
6. Considerar the la region región bounded limitada by por the la ellipse elipse xx 2 a 2 a 22 yy 2 b 2 b 22 1, 1,
with con excentricidad
eccentricity e e ca.
ca.
(a) Mostrar Show that que the el area área of de the la región region es is ab. ab.
(b) Mostrar Show that que the el solid volumen (oblate del spheroid) sólido (esferoide generated oblato) by revolving generado
the por region revolución about the de minor la región axis en of the torno ellipse al eje has menor a volume de la
elipse of V es
V 4and 2
4 2
b3 b3a y surface el área area de la ofsuperficie es
(c) Show that the solid (prolate spheroid) generated by
c) Comprobar que el volumen del sólido (esferoide prolato)
revolving the region about the major axis of the ellipse has a
generado por revolución de la región alrededor del eje mayor
volume of V 4ab
de la elipse es V 4ab 2 3 2 and a surface area of
3 y el área de la superficie es
7. The curve given by the parametric equations
7. La curva descrita por las ecuaciones paramétricas
y yt t1 t2
xt and yt t1 t2
xt 1 t2
1 t t2
2
1 t 2
is called
1
a
strophoid.
t 2
1 t 2
(a) se denomina Find a rectangular estrofoide. equation of the strophoid.
(b) a) Hallar Find a una polar ecuación equation rectangular of the strophoid. de la estrofoide.
(c) b) Hallar Sketch una a graph ecuación of the polar strophoid. de la estrofoide.
(d) c) Trazar Find the una equations gráfica de of la the estrofoide. two tangent lines at the origin.
(e) d) Hallar Find the la ecuación points on de the las graph dos rectas at which tangentes the tangent el origen. lines are
horizontal.
e) Hallar los puntos de la gráfica en los que las rectas tangentes
8. Find son a rectangular horizontales. equation of the portion of the cycloid given by
the parametric equations x a sin and y a1 cos ,
8. Hallar una ecuación rectangular para la porción de la cicloide
0 , as shown in the figure.
dada por las ecuaciones paramétricas x a( sen ) y y a
(1 cos y ), 0 ≤ ≤ , como se muestra en la figura.
y
2a
2a
O
S 2a 2 b2
e ln 1 e
1 e .
S 2b 2 2
S 2b 2 2 ab ab e
e
x
O
aπ
9. Consider the cornu spiral given by
t
t
9. Considerar
and yt
la espiral de Cornu dada
sin
por u xt cos u 2
2
0 2 du.
0
(a)
t
y yt sin u xt Use a
t
graphing
cos u 2
2
0 2 du.
0 2 du utility to graph the spiral over the interval
t .
sen
(b) Show that the cornu spiral is symmetric with respect to the
a) Usar origin. una herramienta de graficación para representar la espiral
en el intervalo ≤ t ≤
(c) Find the length of the cornu spiral
.
from t 0 to t a. What
b) Mostrar is the length que la of espiral the spiral cornu from es tsimétrica to respecto t ? al origen.
c) Hallar la longitud de la espiral cornu desde t 0 hasta t a.
¿Cuál es la longitud de la espiral desde t hasta t ?
aπ
2 du x
arcsin e.
arcsen arcsin e.