Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 11.1 Vectores en el plano 769
EJEMPLO 4
Hallar un vector unitario
y
v
Hallar un vector unitario en la dirección de v 2, 5 y verificar que tiene longitud 1.
Solución
Por el teorema 11.3, el vector unitario en la dirección de v es
v
v 2, 5
2 2 5 1
2 29 2, 5 2
29 , 5
29 .
Este vector tiene longitud 1, porque
2
29 2
5
29 2
4
29 25
29 29
29 1.
u
u + v
Desigualdad del triángulo
Figura 11.9
x
Generalmente, la longitud de la suma de dos vectores no es igual a la suma de sus longitudes.
Para ver esto, basta tomar los vectores u y v de la figura 11.9. Considerando a u
y v como dos de los lados de un triángulo, se puede ver que la longitud del tercer lado es
u v , y se tiene
u v ≤ u v .
La igualdad sólo se da si los vectores u y v tienen la misma dirección. A este resultado se
le llama la desigualdad del triángulo para vectores. (En el ejercicio 91, sección 11.3, se
pide demostrar esto.)
Vectores unitarios canónicos o estándar
A los vectores unitarios 1, 0 y 0, 1 se les llama vectores unitarios canónicos o estándar
en el plano y se denotan por
i 1, 0
y
j 0, 1
Vectores unitarios canónicos o estándar.
2
1
y
j = 〈0, 1〉
i = 〈1, 0〉
1
Vectores unitarios canónicos o estándar i y j
Figura 11.10
2
x
como se muestra en la figura 11.10. Estos vectores pueden usarse para representar
cualquier vector de manera única, como sigue.
Al vector v v 1 i v 2 j se le llama una combinación lineal de i y j. A los escalares v 1
y v 2 se les llama las componentes horizontal y vertical de v.
EJEMPLO 5
Expresar un vector como combinación lineal
de vectores unitarios
Sea u el vector con punto inicial 2, 5 y punto final 1, 3, y sea v 2i j. Expresar
cada vector como combinación lineal de i y j.
a) u b) w 2u 3v
Solución
a)
b)
v v 1 , v 2 v 1 , 0 0, v 2 v 1 1, 0 v 2 0, 1 v 1 i v 2 j
u q 1 p 1 , q 2 p 2
1 2, 3 5
3, 8 3i 8j
w 2u 3v 23i 8j 32i j
6i 16j 6i 3j
12i 19j