Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

886 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
13.1 Introducción a las funciones de varias variables
■ Entender la notación para una función de varias variables.
■ Dibujar la gráfica de una función de dos variables.
■ Dibujar las curvas de nivel de una función de dos variables.
■ Dibujar las superficies de nivel de una función de tres variables.
■ Utilizar gráficos por computadora para representar una función de dos
variables.
EXPLORACIÓN
Comparación de dimensiones
Sin usar una herramienta de graficación,
describir la gráfica de cada
función de dos variables.
a)
b)
c)
d)
z x 2 y 2
z x y
z x 2 y
z x 2 y 2
e) z 1 x 2 y 2
Funciones de varias variables
Hasta ahora en este texto, sólo se han visto funciones de una sola variable (independiente).
Sin embargo, muchos problemas comunes son funciones de dos o más variables. Por ejemplo,
el trabajo realizado por una fuerza W FD y el volumen de un cilindro circular recto
V r 2 h son funciones de dos variables. El volumen de un sólido rectangular V lwh
es una función de tres variables. La notación para una función de dos o más variables es similar
a la utilizada para una función de una sola variable. Aquí se presentan dos ejemplos.
y
z f x, y x 2 xy
2 variables
w f x, y, z x 2y 3z
Función de 2 variables.
Función de 3 variables.
3 variables
DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado
(x, y) de D le corresponde un único número real f(x, y), entonces se dice que f es
una función de x y y. El conjunto D es el dominio de f, y el correspondiente
conjunto de valores f(x, y) es el rango de f.
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MARY FAIRFAX SOMERVILLE (1780-1872)
Somerville se interesó por el problema de
crear modelos geométricos de funciones de
varias variables. Su libro más conocido,
The Mechanics of the Heavens, se publicó
en 1831.
En la función dada por z f x, y, x y y son las variables independientes y z es la
variable dependiente.
Pueden darse definiciones similares para las funciones de tres, cuatro o n variables
donde los dominios consisten en tríadas (x 1
, x 2
, x 3
), tétradas (x 1
, x 2
, x 3
, x 4
) y
n-adas (x 1
, x 2
, . . ., x n
). En todos los casos, rango es un conjunto de números reales. En este
capítulo, sólo se estudian funciones de dos o tres variables.
Como ocurre con las funciones de una variable, la manera más común para describir
una función de varias variables es por medio de una ecuación, y a menos que se diga
explícitamente lo contrario, se puede suponer que el dominio es el conjunto de todos los
puntos para los que la ecuación está definida. Por ejemplo, el dominio de la función dada
por
f x, y x 2 y 2
se supone que es todo el plano xy. Similarmente, el dominio de
f x, y ln xy
es el conjunto de todos los puntos x, y en el plano para los que xy > 0. Esto consiste en
todos los puntos del primer y tercer cuadrantes.