Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

746 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Área de una superficie de revolución
La versión, en coordenadas polares, de las fórmulas para el área de una superficie de revolución
se puede obtener a partir de las versiones paramétricas dadas en el teorema 10.9,
usando las ecuaciones x r cos y y r sen sin .
NOTA Al aplicar el teorema 10.15,
hay que verificar que la gráfica de
r f se recorra una sola vez en el
intervalo ≤ ≤ . Por ejemplo, la
circunferencia dada por r cos se
recorre sólo una vez en el intervalo
0 ≤ ≤ .
■
TEOREMA 10.15
ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
Sea f una función cuya derivada es continua en un intervalo a ≤ ≤ b. El área de la
superficie generada por revolución de la gráfica de r = f(), desde hasta = b,
alrededor de la recta indicada es la siguiente.
S 2
S 2
1. sen
Alrededor del eje polar.
2. Alrededor de la recta .
2
f sin f 2 f 2 d
f cos f 2 f 2 d
EJEMPLO 5
Hallar el área de una superficie de revolución
Hallar el área de la superficie obtenida por revolución de la circunferencia r ƒ()
cos alrededor de la recta como se ilustra en la figura 10.57.
π
2
2,
2
r = cos θ
1
0
0
Toro
a)
Figura 10.57
b)
Solución Se puede usar la segunda fórmula dada en el teorema 10.15 con f( )
sen . Puesto que la circunferencia se recorre sólo una vez cuando aumenta de 0 a ,
se tiene
S 2
20
20
0
cos 2
d
1 cos 2 d
sin sen2
2
f cos f 2 f 2 d
cos cos cos 2
0
2
.
sin 2
sen
d
Fórmula para el área de una
superficie de revolución.
Identidad trigonométrica.
Identidad trigonométrica.