Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

860 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales
La recta tangente a una curva en un punto es la recta que pasa por el punto y es paralela
al vector unitario tangente. En el ejemplo 2 se usa el vector unitario tangente para
hallar la recta tangente a una hélice en un punto.
EJEMPLO 2
Hallar la recta tangente a una curva en un punto
Hallar Tt y hallar después un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente
a la hélice dada por
rt 2 cos ti 2 sen sin tj tk
en el punto
2,2,
4 .
−3
Curva:
r(t) = 2 cos ti + 2 sen tj + tk
x
3
6
5
z
π
( 2, 2,
4)
Recta
tangente
La recta tangente a una curva en un punto
está determinada por el vector unitario
tangente en el punto
Figura 12.21
C
3
y
Solución La derivada de rt es rt 2 sen sin ti 2 cos tj k, lo que implica que
rt 4 sen sin 2 t 4 cos 2 t 1 5. Por consiguiente, el vector unitario tangente es
Tt rt
rt
Vector unitario tangente.
En el punto 2,2, 4, t 4 y el vector unitario tangente es
T
4
Usando los números directores a 2, b 2, y c 1, y el punto (x 1
, y 1
, z 1
)
se obtienen las ecuaciones paramétricas siguientes (dadas con el pará-
2,2, 4,
metro s).
1 2 sen sin ti 2 cos tj k.
5
1 5 22 2 i 22 2 j k
1 2 i 2 j k.
5
z z 1 cs
4 s
x x 1 as 2 2s
y y 1 bs 2 2s
Esta recta tangente se muestra en la figura 12.21.
En el ejemplo 2 hay una cantidad infinita de vectores que son ortogonales al vector
tangente Tt. Uno de estos vectores es el vector Tt. Esto se desprende de la propiedad
7 del teorema 12.2. Es decir,
Tt Tt Tt 2 1 Tt Tt 0.
Normalizando el vector Tt, se obtiene un vector especial llamado el vector unitario
normal principal, como se indica en la definición siguiente.
DEFINICIÓN DE VECTOR UNITARIO NORMAL PRINCIPAL
Sea C una curva suave en un intervalo abierto I representada por r. Si Tt 0,
entonces el vector unitario normal principal en t se define como
Nt Tt
Tt .