Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

906 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
42.
Trayectoria:
Puntos:
Trayectoria:
Puntos:
En los ejercicios 43 a 46, analizar la continuidad de las funciones
f y g. Explicar cualquier diferencia.
En los ejercicios 47 a 52, utilizar un sistema algebraico por
computadora para representar gráficamente la función y hallar
(si existe).
En los ejercicios 53 a 58, utilizar las coordenadas polares para
hallar el límite. [Sugerencia: Tomar y y
observar que
implica
En los ejercicios 59 a 62, usar las coordenadas polares y la regla
de L’Hôpital para encontrar el límite.
En los ejercicios 63 a 68, analizar la continuidad de la función.
En los ejercicios 69 a 72, analizar la continuidad de la función
compuesta
En los ejercicios 73 a 78, hallar cada límite.
f g.
r → 0.]
x, y→0, 0
y r sin ,
x r cos
Path:
Points:
Path:
Points:
xercises 43– 46, discuss the continuity of the functions and
xplain any differences.
xercises 47–52, use a computer algebra system to graph the
tion and find
(if it exists).
48.
50.
In Exercises 53–58, use polar coordinates to find the limit.
Hint: Let and and note that
implies
53. 54.
55. 56.
57. 58.
In Exercises 59– 62, use polar coordinates and L’Hôpital’s Rule
to find the limit.
59. 60.
61.
62.
In Exercises 63– 68, discuss the continuity of the function.
63. 64.
65. 66.
67.
68.
In Exercises 69–72, discuss the continuity of the composite
function
69.
70.
71. 72.
In Exercises 73–78, find each limit.
a)
b)
73. 74.
75. 76.
77. 78. fx, y y y 1
f x, y 3x xy 2y
fx, y
1
x
y
fx, y
x
y
fx, y x 2 y 2
fx, y x 2 4y
lím
y→0 fx, y y f x, y
y
lím
x→0 fx x, y f x, y
x
gx, y x 2 y 2
gx, y 2x 3y
ft
1
1 t
ft
1
t
gx, y x 2 y 2
ft
1
t
gx, y 2x 3y
ft t 2
f g.
fx, y
sen x 2 y 2
x 2 y 2 , x 2 y 2
1, x 2 y 2
fx, y
sen xy
xy , xy 0
1, xy 0
fx, y, z
xy sen z
f x, y, z
sen z
e x e y fx, y, z
z
x 2 y 2 4
fx, y, z
1
x 2 y 2 z 2
lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2 ln x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
1 cos x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0
sen x 2 y 2
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
sen x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0 sen x2 y 2
lím
x, y → 0, 0 cos x2 y 2 lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0
x 3 y 3
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
xy 2
x 2 y 2
r → 0.]
x, y → 0, 0
y r sen ,
x
r cos
[
fx, y
6xy
x 2 y 2 1
fx, y
5xy
x 2 2y 2 fx, y
x 2 y 2
x 2 y
fx, y
x 2 y
x 4 2y 2 fx, y sen 1 x
cos 1 x
fx, y sen x sen y
lím
x, y → 0, 0 f x, y
gx, y
x 2 2xy 2 y 2 ,
x 2 y 2
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
x 2 2xy 2 y 2 ,
x 2 y 2
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
4x 2 y 2
x 2 y 2 ,
2,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
4x 2 y 2
x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
4x 4 y 4
2x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
4x 4 y 4
2x 2 y 2 ,
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
x 4 y 4
x 2 y 2 ,
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
x 4 y 4
x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
f
0.0001, 0.0001
0.001, 0.001 ,
0.01, 0.01 ,
0.25, 0.25 ,
1, 1 ,
y
x
0.000001, 0
0.001, 0 ,
0.01, 0 ,
0.25, 0 ,
1, 0 ,
y 0
y
x
−3
−4
4
−2
−3
3
2
z
fx, y
2x y 2
2x 2
y
Chapter 13
Functions of Several Variables
0.0001, 0.0001
0.001, 0.001,
0.01, 0.01,
0.25, 0.25,
1, 1,
y x
0.000001, 0
0.001, 0,
0.01, 0,
0.25, 0,
1, 0,
y 0
y
x
−3
−4
4
−2
−3
3
2
z
fx, y 2x y2
2x 2 y
42.
Path:
Points:
Path:
Points:
In Exercises 43– 46, discuss the continuity of the functions and
Explain any differences.
43.
44.
45.
46.
In Exercises 47–52, use a computer algebra system to graph the
function and find
(if it exists).
47. 48.
49. 50.
51.
52.
In Exercises 53–58, use polar coordinates to find the limit.
Hint: Let and and note that
implies
53. 54.
55. 56.
57. 58.
In Exercises 59– 62, use polar coordinates and L’Hôpital’s Rule
to find the limit.
59. 60.
61.
62.
In Exercises 63– 68, discuss the continuity of the function.
63. 64.
65. 66.
67.
68.
In Exercises 69–72, discuss the continuity of the composite
function
69.
70.
71. 72.
In Exercises 73–78, find each limit.
a)
b)
73. 74.
75. 76.
77. 78. fx, y y y 1
f x, y 3x xy 2y
fx, y
1
x
y
fx, y
x
y
fx, y x 2 y 2
fx, y x 2 4y
lím
y→0 fx, y y f x, y
y
lím
x→0 fx x, y f x, y
x
gx, y x 2 y 2
gx, y 2x 3y
ft
1
1 t
ft
1
t
gx, y x 2 y 2
ft
1
t
gx, y 2x 3y
ft t 2
f g.
fx, y
sen x 2 y 2
x 2 y 2 , x 2 y 2
1, x 2 y 2
fx, y
sen xy
xy , xy 0
1, xy 0
fx, y, z
xy sen z
f x, y, z
sen z
e x e y fx, y, z
z
x 2 y 2 4
fx, y, z
1
x 2 y 2 z 2
lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2 ln x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
1 cos x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0
sen x 2 y 2
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
sen x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0 sen x2 y 2
lím
x, y → 0, 0 cos x2 y 2 lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0
x 3 y 3
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
xy 2
x 2 y 2
r → 0.]
x, y → 0, 0
y r sen ,
x
r cos
[
fx, y
6xy
x 2 y 2 1
fx, y
5xy
x 2 2y 2 fx, y
x 2 y 2
x 2 y
fx, y
x 2 y
x 4 2y 2 fx, y sen 1 x
cos 1 x
fx, y sen x sen y
lím
x, y → 0, 0 fx, y
g x, y
x 2 2xy 2 y 2 ,
x 2 y 2
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
f x, y
x 2 2xy 2 y 2 ,
x 2 y 2
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
g x, y
4x 2 y 2
x 2 y 2 ,
2,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
f x, y
4x 2 y 2
x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
g x, y
4x 4 y 4
2x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
f x, y
4x 4 y 4
2x 2 y 2 ,
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
g x, y
x 4 y 4
x 2 y 2 ,
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
f x, y
x 4 y 4
x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
g.
f
0.0001, 0.0001
0.001, 0.001 ,
0.01, 0.01 ,
0.25, 0.25 ,
1, 1 ,
y
x
0.000001, 0
0.001, 0 ,
0.01, 0 ,
0.25, 0 ,
1, 0 ,
y 0
y
x
−3
−4
4
−2
−3
3
2
z
fx, y
2x y 2
2x 2
y
906 Chapter 13 Functions of Several Variables
CAS
42.
Path:
Points:
Path:
Points:
In Exercises 43– 46, discuss the continuity of the functions and
Explain any differences.
43.
44.
45.
46.
In Exercises 47–52, use a computer algebra system to graph the
function and find
(if it exists).
47. 48.
49. 50.
51.
52.
In Exercises 53–58, use polar coordinates to find the limit.
Hint: Let and and note that
implies
53. 54.
55. 56.
57. 58.
In Exercises 59– 62, use polar coordinates and L’Hôpital’s Rule
to find the limit.
59. 60.
61.
62.
In Exercises 63– 68, discuss the continuity of the function.
63. 64.
65. 66.
67.
68.
In Exercises 69–72, discuss the continuity of the composite
function
69.
70.
71. 72.
In Exercises 73–78, find each limit.
a)
b)
73. 74.
75. 76.
77. 78. fx, y y y 1
f x, y 3x xy 2y
fx, y
1
x
y
fx, y
x
y
fx, y x 2 y 2
fx, y x 2 4y
lím
y→0 fx, y y f x, y
y
lím
x→0 fx x, y f x, y
x
gx, y x 2 y 2
gx, y 2x 3y
ft
1
1 t
ft
1
t
gx, y x 2 y 2
ft
1
t
gx, y 2x 3y
ft t 2
f g.
fx, y
sen x 2 y 2
x 2 y 2 , x 2 y 2
1, x 2 y 2
fx, y
sen xy
xy , xy 0
1, xy 0
fx, y, z
xy sen z
f x, y, z
sen z
e x e y fx, y, z
z
x 2 y 2 4
fx, y, z
1
x 2 y 2 z 2
lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2 ln x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
1 cos x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0
sen x 2 y 2
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
sen x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0 sen x2 y 2
lím
x, y → 0, 0 cos x2 y 2 lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0
x 3 y 3
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
xy 2
x 2 y 2
r → 0.]
x, y → 0, 0
y r sen ,
x
r cos
[
f x, y
6xy
x 2 y 2 1
f x, y
5xy
x 2 2y 2 f x, y
x 2 y 2
x 2 y
f x, y
x 2 y
x 4 2y 2 f x, y sen 1 x
cos 1 x
f x, y sen x sen y
lím
x, y → 0, 0 fx, y
gx, y
x 2 2xy 2 y 2 ,
x 2 y 2
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
x 2 2xy 2 y 2 ,
x 2 y 2
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
4x 2 y 2
x 2 y 2 ,
2,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
4x 2 y 2
x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
4x 4 y 4
2x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
4x 4 y 4
2x 2 y 2 ,
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
x 4 y 4
x 2 y 2 ,
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
x 4 y 4
x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
g.
f
0.0001, 0.0001
0.001, 0.001 ,
0.01, 0.01 ,
0.25, 0.25 ,
1, 1 ,
y
x
0.000001, 0
0.001, 0 ,
0.01, 0 ,
0.25, 0 ,
1, 0 ,
y 0
y
x
−3
−4
4
−2
−3
3
2
z
fx, y
2x y 2
2x 2
y
906 Chapter 13 Functions of Several Variables
CAS
42.
Path:
Points:
Path:
Points:
In Exercises 43– 46, discuss the continuity of the functions and
Explain any differences.
43.
44.
45.
46.
In Exercises 47–52, use a computer algebra system to graph the
function and find
(if it exists).
47. 48.
49. 50.
51.
52.
In Exercises 53–58, use polar coordinates to find the limit.
Hint: Let and and note that
implies
53. 54.
55. 56.
57. 58.
In Exercises 59– 62, use polar coordinates and L’Hôpital’s Rule
to find the limit.
59. 60.
61.
62.
In Exercises 63– 68, discuss the continuity of the function.
63. 64.
65. 66.
67.
68.
In Exercises 69–72, discuss the continuity of the composite
function
69.
70.
71. 72.
In Exercises 73–78, find each limit.
a)
b)
73. 74.
75. 76.
77. 78. fx, y y y 1
f x, y 3x xy 2y
fx, y
1
x
y
fx, y
x
y
fx, y x 2 y 2
fx, y x 2 4y
lím
y→0 fx, y y f x, y
y
lím
x→0 fx x, y f x, y
x
gx, y x 2 y 2
gx, y 2x 3y
ft
1
1 t
ft
1
t
gx, y x 2 y 2
ft
1
t
gx, y 2x 3y
ft t 2
f g.
fx, y
sen x 2 y 2
x 2 y 2 , x 2 y 2
1, x 2 y 2
fx, y
sen xy
xy , xy 0
1, xy 0
fx, y, z
xy sen z
f x, y, z
sen z
e x e y fx, y, z
z
x 2 y 2 4
fx, y, z
1
x 2 y 2 z 2
lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2 ln x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
1 cos x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0
sen x 2 y 2
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
sen x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0 sen x2 y 2
lím
x, y → 0, 0 cos x2 y 2 lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0
x 3 y 3
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
xy 2
x 2 y 2
r → 0.]
x, y → 0, 0
y r sen ,
x
r cos
[
fx, y
6xy
x 2 y 2 1
fx, y
5xy
x 2 2y 2 fx, y
x 2 y 2
x 2 y
fx, y
x 2 y
x 4 2y 2 fx, y sen 1 x
cos 1 x
fx, y sen x sen y
lím
x, y → 0, 0 fx, y
gx, y
x 2 2xy 2 y 2 ,
x 2 y 2
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
x 2 2xy 2 y 2 ,
x 2 y 2
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
4x 2 y 2
x 2 y 2 ,
2,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
4x 2 y 2
x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
4x 4 y 4
2x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
4x 4 y 4
2x 2 y 2 ,
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
x 4 y 4
x 2 y 2 ,
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
x 4 y 4
x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
g.
f
0.0001, 0.0001
0.001, 0.001 ,
0.01, 0.01 ,
0.25, 0.25 ,
1, 1 ,
y
x
0.000001, 0
0.001, 0 ,
0.01, 0 ,
0.25, 0 ,
1, 0 ,
y 0
y
x
−3
−4
4
−2
−3
3
2
z
fx, y
2x y 2
2x 2
y
906 Chapter 13 Functions of Several Variables
CAS
42.
Path:
Points:
Path:
Points:
In Exercises 43– 46, discuss the continuity of the functions and
Explain any differences.
43.
44.
45.
46.
In Exercises 47–52, use a computer algebra system to graph the
function and find
(if it exists).
47. 48.
49. 50.
51.
52.
In Exercises 53–58, use polar coordinates to find the limit.
Hint: Let and and note that
implies
53. 54.
55. 56.
57. 58.
In Exercises 59– 62, use polar coordinates and L’Hôpital’s Rule
to find the limit.
59. 60.
61.
62.
In Exercises 63– 68, discuss the continuity of the function.
63. 64.
65. 66.
67.
68.
In Exercises 69–72, discuss the continuity of the composite
function
69.
70.
71. 72.
In Exercises 73–78, find each limit.
a)
b)
73. 74.
75. 76.
77. 78. fx, y y y 1
f x, y 3x xy 2y
fx, y
1
x
y
fx, y
x
y
fx, y x 2 y 2
fx, y x 2 4y
lím
y→0 fx, y y f x, y
y
lím
x→0 fx x, y f x, y
x
gx, y x 2 y 2
gx, y 2x 3y
ft
1
1 t
ft
1
t
gx, y x 2 y 2
ft
1
t
gx, y 2x 3y
ft t 2
f g.
fx, y
sen x 2 y 2
x 2 y 2 , x 2 y 2
1, x 2 y 2
fx, y
sen xy
xy , xy 0
1, xy 0
fx, y, z
xy sen z
f x, y, z
sen z
e x e y fx, y, z
z
x 2 y 2 4
fx, y, z
1
x 2 y 2 z 2
lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2 ln x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
1 cos x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0
sen x 2 y 2
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
sen x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0 sen x2 y 2
lím
x, y → 0, 0 cos x2 y 2 lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0
x 3 y 3
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
xy 2
x 2 y 2
r → 0.]
x, y → 0, 0
y r sen ,
x
r cos
[
fx, y
6xy
x 2 y 2 1
fx, y
5xy
x 2 2y 2 fx, y
x 2 y 2
x 2 y
fx, y
x 2 y
x 4 2y 2 fx, y sen 1 x
cos 1 x
fx, y sen x sen y
lím
x, y → 0, 0 fx, y
gx, y
x 2 2xy 2 y 2 ,
x 2 y 2
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
x 2 2xy 2 y 2 ,
x 2 y 2
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
4x 2 y 2
x 2 y 2 ,
2,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
4x 2 y 2
x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
4x 4 y 4
2x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
4x 4 y 4
2x 2 y 2 ,
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
x 4 y 4
x 2 y 2 ,
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
x 4 y 4
x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
g.
f
0.0001, 0.0001
0.001, 0.001 ,
0.01, 0.01 ,
0.25, 0.25 ,
1, 1 ,
y
x
0.000001, 0
0.001, 0 ,
0.01, 0 ,
0.25, 0 ,
1, 0 ,
y 0
y
x
−3
−4
4
−2
−3
3
2
z
fx, y
2x y 2
2x 2
y
906 Chapter 13 Functions of Several Variables
CAS
42.
Path:
Points:
Path:
Points:
In Exercises 43– 46, discuss the continuity of the functions and
Explain any differences.
43.
44.
45.
46.
In Exercises 47–52, use a computer algebra system to graph the
function and find
(if it exists).
47. 48.
49. 50.
51.
52.
In Exercises 53–58, use polar coordinates to find the limit.
Hint: Let and and note that
implies
53. 54.
55. 56.
57. 58.
In Exercises 59– 62, use polar coordinates and L’Hôpital’s Rule
to find the limit.
59. 60.
61.
62.
In Exercises 63– 68, discuss the continuity of the function.
63. 64.
65. 66.
67.
68.
In Exercises 69–72, discuss the continuity of the composite
function
69.
70.
71. 72.
In Exercises 73–78, find each limit.
a)
b)
73. 74.
75. 76.
77. 78. fx, y y y 1
f x, y 3x xy 2y
fx, y
1
x
y
fx, y
x
y
fx, y x 2 y 2
fx, y x 2 4y
lím
y→0 fx, y y f x, y
y
lím
x→0 fx x, y f x, y
x
gx, y x 2 y 2
gx, y 2x 3y
ft
1
1 t
ft
1
t
gx, y x 2 y 2
ft
1
t
gx, y 2x 3y
ft t 2
f g.
fx, y
sen x 2 y 2
x 2 y 2 , x 2 y 2
1, x 2 y 2
fx, y
sen xy
xy , xy 0
1, xy 0
fx, y, z
xy sen z
f x, y, z
sen z
e x e y fx, y, z
z
x 2 y 2 4
fx, y, z
1
x 2 y 2 z 2
lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2 ln x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
1 cos x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0
sen x 2 y 2
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
sen x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0 sen x2 y 2
lím
x, y → 0, 0 cos x2 y 2 lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0
x 3 y 3
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
xy 2
x 2 y 2
r → 0.]
x, y → 0, 0
y r sen ,
x
r cos
[
fx, y
6xy
x 2 y 2 1
fx, y
5xy
x 2 2y 2 fx, y
x 2 y 2
x 2 y
fx, y
x 2 y
x 4 2y 2 fx, y sen 1 x
cos 1 x
fx, y sen x sen y
lím
x, y → 0, 0 fx, y
gx, y
x 2 2xy 2 y 2 ,
x 2 y 2
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
x 2 2xy 2 y 2 ,
x 2 y 2
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
4x 2 y 2
x 2 y 2 ,
2,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
4x 2 y 2
x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
4x 4 y 4
2x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
4x 4 y 4
2x 2 y 2 ,
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
x 4 y 4
x 2 y 2 ,
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
x 4 y 4
x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
g.
f
0.0001, 0.0001
0.001, 0.001 ,
0.01, 0.01 ,
0.25, 0.25 ,
1, 1 ,
y
x
0.000001, 0
0.001, 0 ,
0.01, 0 ,
0.25, 0 ,
1, 0 ,
y 0
y
x
−3
−4
4
−2
−3
3
2
z
fx, y
2x y 2
2x 2
y
906 Chapter 13 Functions of Several Variables
CAS
42.
Path:
Points:
Path:
Points:
In Exercises 43– 46, discuss the continuity of the functions and
Explain any differences.
43.
44.
45.
46.
In Exercises 47–52, use a computer algebra system to graph the
function and find
(if it exists).
47. 48.
49. 50.
51.
52.
In Exercises 53–58, use polar coordinates to find the limit.
Hint: Let and and note that
implies
53. 54.
55. 56.
57. 58.
In Exercises 59– 62, use polar coordinates and L’Hôpital’s Rule
to find the limit.
59. 60.
61.
62.
In Exercises 63– 68, discuss the continuity of the function.
63. 64.
65. 66.
67.
68.
In Exercises 69–72, discuss the continuity of the composite
function
69.
70.
71. 72.
In Exercises 73–78, find each limit.
a)
b)
73. 74.
75. 76.
77. 78. fx, y y y 1
f x, y 3x xy 2y
fx, y
1
x
y
fx, y
x
y
fx, y x 2 y 2
fx, y x 2 4y
lím
y→0 fx, y y f x, y
y
lím
x→0 fx x, y f x, y
x
gx, y x 2 y 2
gx, y 2x 3y
ft
1
1 t
ft
1
t
gx, y x 2 y 2
ft
1
t
gx, y 2x 3y
ft t 2
f g.
f x, y
sen x 2 y 2
x 2 y 2 , x 2 y 2
1, x 2 y 2
f x, y
sen xy
xy , xy 0
1, xy 0
f x, y, z
xy sen z
f x, y, z
sen z
e x e y f x, y, z
z
x 2 y 2 4
f x, y, z
1
x 2 y 2 z 2
lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2 ln x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
1 cos x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0
sen x 2 y 2
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
sen x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0 sen x2 y 2
lím
x, y → 0, 0 cos x2 y 2 lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0
x 3 y 3
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
xy 2
x 2 y 2
r → 0.]
x, y → 0, 0
y r sen ,
x
r cos
[
fx, y
6xy
x 2 y 2 1
fx, y
5xy
x 2 2y 2 fx, y
x 2 y 2
x 2 y
fx, y
x 2 y
x 4 2y 2 fx, y sen 1 x
cos 1 x
fx, y sen x sen y
lím
x, y → 0, 0 fx, y
gx, y
x 2 2xy 2 y 2 ,
x 2 y 2
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
x 2 2xy 2 y 2 ,
x 2 y 2
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
4x 2 y 2
x 2 y 2 ,
2,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
4x 2 y 2
x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
4x 4 y 4
2x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
4x 4 y 4
2x 2 y 2 ,
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
x 4 y 4
x 2 y 2 ,
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
x 4 y 4
x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
g.
f
0.0001, 0.0001
0.001, 0.001 ,
0.01, 0.01 ,
0.25, 0.25 ,
1, 1 ,
y
x
0.000001, 0
0.001, 0 ,
0.01, 0 ,
0.25, 0 ,
1, 0 ,
y 0
y
x
−3
−4
4
−2
−3
3
2
z
fx, y
2x y 2
2x 2
y
906 Chapter 13 Functions of Several Variables
CAS
42.
Path:
Points:
Path:
Points:
In Exercises 43– 46, discuss the continuity of the functions and
Explain any differences.
43.
44.
45.
46.
In Exercises 47–52, use a computer algebra system to graph the
function and find
(if it exists).
47. 48.
49. 50.
51.
52.
In Exercises 53–58, use polar coordinates to find the limit.
Hint: Let and and note that
implies
53. 54.
55. 56.
57. 58.
In Exercises 59– 62, use polar coordinates and L’Hôpital’s Rule
to find the limit.
59. 60.
61.
62.
In Exercises 63– 68, discuss the continuity of the function.
63. 64.
65. 66.
67.
68.
In Exercises 69–72, discuss the continuity of the composite
function
69.
70.
71. 72.
In Exercises 73–78, find each limit.
a)
b)
73. 74.
75. 76.
77. 78. fx, y y y 1
f x, y 3x xy 2y
fx, y
1
x
y
fx, y
x
y
fx, y x 2 y 2
fx, y x 2 4y
lím
y→0 fx, y y f x, y
y
lím
x→0 fx x, y f x, y
x
g x, y x 2 y 2
g x, y 2x 3y
f t
1
1 t
f t
1
t
g x, y x 2 y 2
f t
1
t
g x, y 2x 3y
f t t 2
f g.
fx, y
sen x 2 y 2
x 2 y 2 , x 2 y 2
1, x 2 y 2
fx, y
sen xy
xy , xy 0
1, xy 0
fx, y, z
xy sen z
f x, y, z
sen z
e x e y fx, y, z
z
x 2 y 2 4
fx, y, z
1
x 2 y 2 z 2
lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2 ln x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
1 cos x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0
sen x 2 y 2
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
sen x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0 sen x2 y 2
lím
x, y → 0, 0 cos x2 y 2 lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0
x 3 y 3
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
xy 2
x 2 y 2
r → 0.]
x, y → 0, 0
y r sen ,
x
r cos
[
fx, y
6xy
x 2 y 2 1
fx, y
5xy
x 2 2y 2 fx, y
x 2 y 2
x 2 y
fx, y
x 2 y
x 4 2y 2 fx, y sen 1 x
cos 1 x
fx, y sen x sen y
lím
x, y → 0, 0 fx, y
gx, y
x 2 2xy 2 y 2 ,
x 2 y 2
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
x 2 2xy 2 y 2 ,
x 2 y 2
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
4x 2 y 2
x 2 y 2 ,
2,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
4x 2 y 2
x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
4x 4 y 4
2x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
4x 4 y 4
2x 2 y 2 ,
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
x 4 y 4
x 2 y 2 ,
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
x 4 y 4
x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
g.
f
0.0001, 0.0001
0.001, 0.001 ,
0.01, 0.01 ,
0.25, 0.25 ,
1, 1 ,
y
x
0.000001, 0
0.001, 0 ,
0.01, 0 ,
0.25, 0 ,
1, 0 ,
y 0
y
x
−3
−4
4
−2
−3
3
2
z
f x, y
2x y 2
2x 2
y
906 Chapter 13 Functions of Several Variables
CAS
42.
Path:
Points:
Path:
Points:
In Exercises 43– 46, discuss the continuity of the functions and
Explain any differences.
43.
44.
45.
46.
In Exercises 47–52, use a computer algebra system to graph the
function and find
(if it exists).
47. 48.
49. 50.
51.
52.
In Exercises 53–58, use polar coordinates to find the limit.
Hint: Let and and note that
implies
53. 54.
55. 56.
57. 58.
In Exercises 59– 62, use polar coordinates and L’Hôpital’s Rule
to find the limit.
59. 60.
61.
62.
In Exercises 63– 68, discuss the continuity of the function.
63. 64.
65. 66.
67.
68.
In Exercises 69–72, discuss the continuity of the composite
function
69.
70.
71. 72.
In Exercises 73–78, find each limit.
a)
b)
73. 74.
75. 76.
77. 78. f x, y y y 1
f x, y 3x xy 2y
f x, y
1
x
y
f x, y
x
y
f x, y x 2 y 2
f x, y x 2 4y
lím
y→0 f x, y y f x, y
y
lím
x→0 f x x, y f x, y
x
gx, y x 2 y 2
gx, y 2x 3y
ft
1
1 t
ft
1
t
gx, y x 2 y 2
ft
1
t
gx, y 2x 3y
ft t 2
f g.
fx, y
sen x 2 y 2
x 2 y 2 , x 2 y 2
1, x 2 y 2
fx, y
sen xy
xy , xy 0
1, xy 0
fx, y, z
xy sen z
f x, y, z
sen z
e x e y fx, y, z
z
x 2 y 2 4
fx, y, z
1
x 2 y 2 z 2
lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2 ln x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
1 cos x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0
sen x 2 y 2
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
sen x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0 sen x2 y 2
lím
x, y → 0, 0 cos x2 y 2 lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
x 2 y 2
x 2 y 2 lím
x, y → 0, 0
x 3 y 3
x 2 y 2
lím
x, y → 0, 0
xy 2
x 2 y 2
r → 0.]
x, y → 0, 0
y r sen ,
x
r cos
[
fx, y
6xy
x 2 y 2 1
fx, y
5xy
x 2 2y 2 fx, y
x 2 y 2
x 2 y
fx, y
x 2 y
x 4 2y 2 fx, y sen 1 x
cos 1 x
fx, y sen x sen y
lím
x, y → 0, 0 fx, y
gx, y
x 2 2xy 2 y 2 ,
x 2 y 2
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
x 2 2xy 2 y 2 ,
x 2 y 2
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
4x 2 y 2
x 2 y 2 ,
2,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
4x 2 y 2
x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
4x 4 y 4
2x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
4x 4 y 4
2x 2 y 2 ,
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
gx, y
x 4 y 4
x 2 y 2 ,
1,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
fx, y
x 4 y 4
x 2 y 2 ,
0,
x, y 0, 0
x, y 0, 0
g.
f
0.0001, 0.0001
0.001, 0.001 ,
0.01, 0.01 ,
0.25, 0.25 ,
1, 1 ,
y
x
0.000001, 0
0.001, 0 ,
0.01, 0 ,
0.25, 0 ,
1, 0 ,
y 0
y
x
−3
−4
4
−2
−3
3
2
z
f x, y
2x y 2
2x 2
y
906 Chapter 13 Functions of Several Variables
CAS
sen