Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

752 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
EJEMPLO 1
Determinar una cónica a partir de su ecuación
x = − 15
2
Directriz
π
2
(3, π ) (15, 0)
5 10
15
r = 3 − 2 cos θ
0
La gráfica de la cónica es una elipse con
e 2 3 .
Figura 10.61
15
Dibujar la gráfica de la cónica descrita por r
.
3 2 cos
Solución
r
Para determinar el tipo de cónica, reescribir la ecuación como sigue
15
3 2 cos
5
.
1 23 cos
Escribir la ecuación original.
Por tanto, la gráfica es una elipse con e 2 3 . Se traza la mitad superior de la elipse localizando
gráficamente los puntos desde hasta como se muestra en la figura
10.61. Luego, empleando la simetría respecto al eje polar se traza la mitad inferior de la
elipse.
0
,
Dividir el numerador y el
denominador entre 3.
En la elipse en la figura 10.61, el eje mayor es horizontal y los vértices se encuentran
en (15, 0) y 3, . Por tanto, la longitud del eje mayor es 2a 18. Para encontrar la longitud
del eje menor, se usan las ecuaciones e ca y b 2 a 2 c 2 para concluir que
b 2 a 2 c 2 a 2 ea 2 a 2 1 e 2 .
Elipse.
Como e 2 3 , se tiene
b 2 9 2 1 2 3 2 45
lo cual implica que b 45 35. Por tanto, la longitud del eje menor es 2b 65.
Un análisis similar para la hipérbola da
b 2 c 2 a 2 ea 2 a 2 a 2 e 2 1.
Hipérbola.
EJEMPLO 2
Trazar una cónica a partir de su ecuación polar
Directriz
32
y =
5
3π
(−16,
2
(
4, π 2
)
)
π
2
4 8
r = 32
3 + 5 sen θ
a = 6
b = 8
La gráfica de la cónica es una hipérbola
con e 5 3.
Figura 10.62
0
Trazar la gráfica de la ecuación polar
Solución
Se divide el numerador y el denominador entre 3 y se obtiene
323
r
.
1 53 sen sin
Como e 5 la gráfica es una hipérbola. Como d 32 la directriz es la recta
y 32 3 > 1,
5 ,
5 . El eje transversal de la hipérbola se encuentra en la recta y los vértices
se encuentran en
r, 4,
2
y
r, 16, 3
2 .
Dado que la longitud del eje transversal es 12, puede verse que a 6. Para encontrar b, se
escribe
b 2 a 2 e 2 1 6 2 5 3 2 1 64.
32
r .
3 5 sin sen
2,
Por tanto, b 8. Por último, se usan a y b para determinar las asíntotas de la hipérbola
y obtener la gráfica que se muestra en la figura 10.62.