Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

736 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
EJEMPLO 6
Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales
π
(4, π)
( 3,
2π
3 )
( 3,
4π
3 )
π
2
3π
2
( 1,
π
3)
( 1,
5π
3 )
Rectas tangentes horizontales y verticales
de r 21 cos
Figura 10.47
0
Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales a la gráfica de r 21 cos .
Solución Se usa y r sin sen,
se deriva y se iguala a 0.
y r sen sin 21 cos sen sin
dy
21 cos cos sin sensin sen
d
Por tanto, cos 1 2 y cos 1, y se concluye que cuando
43, y 0. De manera semejante, al emplear x r cos , se tiene
dx
2 sin sen 4 cos sin sen 2 sin sen2 cos 1 0.
d
22 cos 1cos 1 0
x r cos 2 cos 2 cos 2
Por tanto, sen q = 0 o cos 1 2dyd , y se concluye que 0 cuando q = 0, , /3 y
5/3. A partir de estos resultados y de la gráfica que se presenta en la figura 10.47, se concluye
que la gráfica tiene tangentes horizontales en (3, 2/3) y (3, 4/3), y tangentes verticales
en (1, /3), (1, 5/3) y (4, ). A esta gráfica se le llama cardioide. Obsérvese que
cuando q = 0 ambas derivadas ( y ) son cero (es decir, se anulan). Sin embargo,
esta única información no permite saber si la gráfica tiene una recta tangente horizontal
o vertical en el polo. Pero a partir de la figura 10.47 se puede observar que la gráfica
tiene una cúspide (o punto anguloso o cuspidal) en el polo.
dyd
dyd
dxd
dyd 0
23,
El teorema 10.11 tiene una consecuencia importante. Supóngase que la gráfica de
r f pasa por el polo cuando y f 0. Entonces la fórmula para dydx se
simplifica como sigue.
dy
dx f sen sin f cos
f sen sin 0
f cos f sin f cos 0 sen sin
tan
sen
cos
Por tanto, la recta
es tangente a la gráfica en el polo, 0, .
f( θ) = 2 cos 3θ
π
2
TEOREMA 10.12 RECTAS TANGENTES EN EL POLO
Si f 0 y f 0, entonces la recta es tangente a la gráfica de
r f . en el polo.
π
2
0
El teorema 10.12 es útil porque establece que los ceros de r f pueden usarse para
encontrar las rectas tangentes en el polo. Obsérvese que, puesto que una curva polar puede
cruzar el polo más de una vez, en el polo puede haber más de una recta tangente. Por ejemplo,
la curva rosa
3π
2
Esta curva rosa tiene, en el polo, tres rectas
tangentes 6, 2, y
56
Figura 10.48
f 2 cos 3
tiene tres rectas tangentes en el polo, como se ilustra en la figura 10.48. En esta curva,
f 2 cos es 0 cuando es 6, 2, y 56. La derivada ƒ() 6 sen
no es 0 en estos valores de .
3