Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

826 CAPÍTULO 11 Vectores y la geometría del espacio
El sistema de coordenadas esféricas es útil principalmente para superficies en el espacio
que tiene un punto o centro de simetría. Por ejemplo, la figura 11.76 muestra tres
superficies con ecuaciones esféricas sencillas.
z
z
z
φ = c
c
y
x
x
θ = c
y
x
y
Esfera:
ρ = c
Semiplano vertical:
θ = c
Semicono:
φ = c
( 0 < c < π 2 )
Figura 11.76
EJEMPLO 5
Conversión de coordenadas rectangulares
a coordenadas esféricas
Hallar una ecuación en coordenadas esféricas para la superficie representada por cada una
de las ecuaciones rectangulares.
a) Cono: x 2 y 2 z 2
b) Esfera: x 2 y 2 z 2 4z 0
Rectangular:
x 2 + y 2 + z 2 − 4z = 0
Esférica:
ρ = 4 cos φ
z
4
−2
1
2
1
2 y
x
Figura 11.77
Solución
a) Haciendo las sustituciones apropiadas de x, y y z en la ecuación dada se obtiene lo siguiente.
2
sen sin 2 cos 2 2
sen sin 2 sen sin 2 2
cos 2
2
sen sin 2 cos 2 sen 2 2
cos 2
≥ 0.
La ecuación representa el semicono superior, y la ecuación representa
el semicono inferior.
b) Como 2
x 2 y 2 z 2 y z cos , la ecuación dada tiene la forma esférica siguiente.
2
4 cos 0
se obtiene la ecuación esfé-
Descartando por el momento la posibilidad de que
rica
4 cos 0
o
Hay que observar que el conjunto solución de esta ecuación comprende un punto en el
cual de manera que no se pierde nada al eliminar el factor . La esfera representada
por la ecuación se muestra en la figura 11.77.
0,
4
x 2 y 2 z 2
sin 2
2
sen sin 2 2
cos 2
sen sin 2
1
cos 2
tan 2 1
4 cos
4 cos 0
4 cos .
0,
o
4 or 34
34
.