Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 12.4 Vectores tangentes y vectores normales 861
EJEMPLO 3
Hallar el vector unitario normal principal
Hallar Nt y N1 para la curva representada por
rt 3ti 2t 2 j.
Solución
Derivando, se obtiene
rt 3i 4tj
y
rt 9 16t 2
lo que implica que el vector unitario tangente es
Tt rt
rt
1
9 16t23i 4tj.
Vector unitario tangente.
Usando el teorema 12.2, se deriva Tt con respecto a t para obtener
y
Curva:
r(t) = 3ti + 2t 2 j
C
Tt
1
9 16t 24j 16t
9 16t 2 323i 4tj
3
1 N(1) = (−4i + 3j)
5
12
9 16t 2 324ti 3j
2
Tt 12
9 16t 2
9 16t 2 3 12
9 16t 2.
1
1
2
1 T(1) = (3i + 4j)
5
El vector unitario normal principal apunta
hacia el lado cóncavo de la curva
Figura 12.22
3
x
Por tanto, el vector unitario normal principal es
Nt Tt
Tt
1
9 16t24ti 3j.
Cuando t 1, el vector unitario normal principal es
Vector unitario normal principal.
N1 1 4i 3j
5
como se muestra en la figura 12.22.
z
C
El vector unitario normal principal puede ser difícil de evaluar algebraicamente. En curvas
planas, se puede simplificar el álgebra hallando
T
N
Tt xti ytj
y observando que Nt debe ser
Vector unitario tangente.
x
y
N 1 t yti xtj
o
N 2 t yti xtj.
En todo punto de una curva, un vector unitario
normal es ortogonal al vector unitario
tangente. El vector unitario normal
principal apunta hacia la dirección en que
gira la curva
Figura 12.23
Como xt 2 yt 2 1, se sigue que tanto N 1 t como N 2 t son vectores unitarios
normales. El vector unitario normal principal N es el que apunta hacia el lado cóncavo de
la curva, como se muestra en la figura 12.22 (véase ejercicio 94). Esto también es válido
para curvas en el espacio. Es decir, si un objeto se mueve a lo largo de la curva C en el
espacio, el vector Tt apunta hacia la dirección en la que se mueve el objeto, mientras que
el vector Nt es ortogonal a Tt y apunta hacia la dirección en que gira el objeto, como
se muestra en la figura 12.23.