Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

920 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
dz
x
∂ z
∂y ∆y
∂ z
∆x
∂x
(x, y)
z
y
∆z 2
∆z 1
(x + ∆x, y)
(x + ∆x, y + ∆y)
El cambio exacto en z es z.
Este cambio puede aproximarse mediante
la diferencial dz.
Figura 13.35
∆z
Aproximación mediante diferenciales
El teorema 13.4 dice que se puede elegir x x, y y suficientemente cerca de (x, y)
para hacer que e 1
x y e 2
y sean insignificantes. En otros términos, para x y y pequeños,
se puede usar la aproximación
z dz.
Esta aproximación se ilustra gráficamente en la figura 13.35. Hay que recordar que las
derivadas parciales zx y zy pueden interpretarse como las pendientes de la superficie
en las direcciones de x y de y. Esto significa que
dz z z
x
x y y
representa el cambio en altura de un plano tangente a la superficie en el punto x, y, f x, y.
Como un plano en el espacio se representa mediante una ecuación lineal en las variables x,
y y z, la aproximación de z mediante dz se llama aproximación lineal. Se verá más acerca
de esta interpretación geométrica en la sección 13.7.
EJEMPLO 3
Uso de la diferencial como una aproximación
f(x + ∆x, y + ∆y) f(x, y)
z = 4 − x 2 − y 2
x
2
2
z
(1, 1)
(1.01, 0.97)
Cuando x, y se desplaza de 1, 1 al punto
1.01, 0.97, el valor de fx, y cambia
aproximadamente en 0.0137
Figura 13.36
2
y
Utilizar la diferencial dz para aproximar el cambio en z 4 x 2 y 2 cuando x, y
se desplaza del punto (1, 1) al punto (1.01, 0.97). Comparar esta aproximación con el cambio
exacto en z.
Solución Se hace (x, y) = (1, 1) y (x + x, y + y) = (1.01, 0.97) y se obtiene dx =
x = 0.01 y dy = y = –0.03. Por tanto, el cambio en z puede aproximarse mediante
z dz z z
dx
x y dy
Cuando x 1 y y 1, se tiene
z 1
2 0.01
En la figura 13.36 se puede ver que el cambio exacto corresponde a la diferencia entre las
alturas de dos puntos sobre la superficie de un hemisferio. Esta diferencia está dada por
z f 1.01, 0.97 f 1, 1
4 1.01 2 0.97 2 4 1 2 1
2 0.0137.
Una función de tres variables w f x, y, z se dice que es diferenciable en x, y, z si
w f x x, y y, z z f x, y, z
puede expresarse en la forma
1
2 0.03
x
4 x 2 y 2 x
0.02
2
w f x x f y y f z z 1 x 2 y 3 z
y
4 x 2 y 2 y.
2 0.01 0.0141.
donde 1 , 2 , y 3 → 0 cuando x, y, z → 0, 0, 0. Con esta definición de diferenciabilidad,
el teorema 13.4 puede extenderse de la siguiente manera a funciones de tres variables:
si f es una función de x, y y z, donde f, f x , f y , y f z son continuas en una región abierta
R, entonces f es diferenciable en R.
En la sección 3.9 se utilizaron las diferenciales para aproximar el error de propagación
introducido por un error en la medida. Esta aplicación de las diferenciales se ilustra en el
ejemplo 4.