Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1142 1142 Chapter CAPÍTULO
15 15 15 Vector Análisis Analysisvectorial
CAS
CAS6. 6. Considerar the the line la line integral de línea
y n ydx
n dx x n xdy
n dy
C
C
where
where donde C
Cis is the es the la frontera boundary of de of the la the región region region que lying lying yace between entre las the the gráficas graphsde
of
of y y a 2 a 2 x 2 x 2 a a > > 0
0y
y
y 0.
0.
(a) (a) Use Usar Use a a un computer sistema algebraico system por to computadora to verify verify Green’s para verificar Theoremel
for teorema for n,
n, an an odd de odd Green integer para from from n, 1 un 1 through entero 7. impar 7. de 1 a 7.
(b) (b) Use Usar Use a a un computer sistema algebraico system por to computadora to verify verify Green’s para verificar Theoremel
for teorema for n,
n, an an even de even Green integer para from from n, un 2 2 entero through par 8.
8. de 2 a 8.
(c) (c) For Para For n
an nun an odd entero odd integer, impar make n, make conjeturar a a conjecture acerca about about del valor the the value de value la of inte-
of
the gral.
the integral.
7. 7. 7. Use Use Utilizar a line a line una integral integral to to find de find línea the the area para area calcular bounded el by by área one one limitada arch arch of of the o the aco-
cycloid tada por x x un arco a a de sin la sin cicloide , y ,
y a a1 1 cos cos , 0 ,
0 2 2 ,
,
as as shown shown
x in in
a the the
figure.
figure.
sen sin , y a1 cos , 0 ≤ ≤ 2
y
y
y
y
como se muestra en la figura.
2a
2a y
1
1y
2a
1
8. Utilizar una integral de línea para hallar el área limitada o acotada
por 1
x t los dos lazos y t de sin la t, curva 0 ocho t 2
2 sin 1
x t 2t, y t sin t, 0 t 2
2 sin 2t, x
x
−1
−1
1
1
x
x
−1 −1
−1 1
2 π
a2 π
a
Figure for for 7 7 2 πa
x
−1
Figure for for 8
8
8. 8. Use Use Figura a line a line para integral 7 to to find find the the area area bounded Figura by by para the the two 8
two loops loops of
of
the the eight eight curve
curve
x
xt 1 as as shown shown yt sin t, 0 ≤ t ≤ 2
2in sen sin the the 2t,
figure.
figure. sen
9. 9. The The force force field field F Fx, x, y y x x y iy i x
que se muestra en la figura.
2 x 2 1 1j
acts j
acts on on an an object
object
moving from from the the point point 0, 0, 0
0to to the the point point 0, 0, 1 1 , as ,
as shown shown in
in
9. the the El figure.
campo figure. de fuerzas Fx, y x yi x 2 1j actúa sobre
yun y objeto que se mueve del punto 0, 0 al punto 0, 1, como se
muestra en la figura.
1
1 y
1
x
x
1
1
x
(a) (a) Find Find the the work work done done if if the the object 1
object moves moves along along the the path
path x x 0,
0,
0 0 y y 1.
1.
a) Hallar el trabajo realizado si el objeto sigue la trayectoria
(b) (b) Find Find the the work work done done if if the the object object moves moves along along the the path
path
0, 0 ≤ y ≤ 1.
x x y y y 2 y,
2 0 ,
0 y y 1.
1.
b) Hallar el trabajo realizado si el objeto sigue la trayectoria
(c) (c) Suppose the the object object moves moves along along the the path
path x x c cy y y
x y 2 , 0 ≤ y ≤ 1.
2 y,
2 ,
0 0 y y 1,
1, c c > > 0.
0. Find Find the the value value of of the the constant c
cthat
that
c) Supóngase minimizes the the que work.
work. el objeto sigue la trayectoria x cy y 2 ,
0 ≤ y ≤ 1, c > 0. Hallar el valor de la constante c que minimiza
el trabajo.
10. 10. 10. The The El force campo force field field de Ffuerzas Fx, x, y y Fx, 3x 3x 2 y y 2 y i 2 3x i 2x 2 y 2x 23 i y 3 y j
is j2x is shown 3 shown yj se in in muestra the
the
figure figure en la below. below. figura. Three Three Tres partículas particles move se move mueven from from the del the point punto
point 1, 1, 1
11
to al to the punto
the
point
point 2, 2, 4
2, 4a 4
along along largo different de trayectorias paths. paths. Explain diferentes. why why the Explicar the work work done por done qué is
is el
the the trabajo same same for realizado for each each particle, es el and mismo and find find con the the las value value tres of of partículas, the the work.
work. y hallar
el valor del trabajo.
y
y
y
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
x
x
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
6 x
1 2 3 4 5 6
11. 11. 11. Let Let Sea S
Sbe S be una a a superficie smooth oriented suave orientada, surface with con with vector normal normal vector
vector
N,
N, aco-
bounded tada por by by una a a curva smooth suave simple simple closed closed cerrada curve curve C.
C. Sea Let Let v
un vbe be vector a
a
constante. vector, Demostrar and and prove prove que that
that
S
S
S2v N dS Cv r dr.
2v
2vN N dS
dS
v v r r dr.
dr.
C
C
12. Comparar el área de la elipse 2
x con la magnitud del
y2
12. How does the area of the ellipse 2
x 2 y 2
12. How does the area of the ellipse 2 y 2
2 1
1
compare with with the
the
trabajo realizado por el campo
a 2 a 2 de fuerzas
b 2 b 2 magnitude of of the the
Fx, y 1 work work
2 yi 1 done done by by the the force force field
field
1
F x, y
2 xj
sobre una
2 yi 1
1
F x, y
2 yi partícula
2 xj 1
2 xj que da una vuelta alrededor de la elipse (ver
on on a la a figura).
particle that that moves moves once once around the the ellipse ellipse (see (see figure)?
y
y y
1
1 1
x
−1
−1 −1
1
1 1
−1
−1 −1
13. 13. 13. A A cross Una cross sección section of transversal of Earth’s del magnetic campo field field magnético can can be be de represented la Tierra as puede
as
a a vector representarse vector field field in in como which which un the campo the center center vectorial of of Earth Earth en el is is cual located el centro at at the
the de la
origin origin Tierra and and se the localiza the positive en el y-origen axis axis points y points el eje in y in the positivo the direction apunta of en of the direc-
the
magnetic ción del north north polo pole. norte pole. The magnético. The equation La for for ecuación this this field field para is
is este campo es
F Fx, Fx, y yyM Mx, Mx, y iy yi i Nx, Nx, Nx, y jy yj
j
m
m
m
x 2 y 2 3xyi 2y 2 x 2 j
x 2 y 252 52 3xyi 2y 2 x 2 j
x 2 y 2y 2 x 2 j
252
donde es el momento magnético de la Tierra. Demostrar que
where
where m
mis is the the magnetic moment of of Earth. Earth. Show Show that that this
this
este campo vectorial es conservativo.
vector vector field field is is conservative.