Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1048 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
Los dos ejemplos siguientes muestran cómo un cambio de variables puede simplificar
el proceso de integración. La simplificación se puede dar de varias maneras. Se puede
hacer un cambio de variables para simplificar la región R o el integrando f x, y, o ambos.
EJEMPLO 3
Un cambio de variables para simplificar una región
x + y = 1
3
y
2
R
1
x
−2
1 2 3
−1
−2
Figura 14.76
x + y = 4
x − 2y = −4
x − 2y = 0
Sea R la región limitada o acotada por las rectas
x 2y 0,
como se muestra en la figura 14.76. Evaluar la integral doble
R 3xy dA.
Solución
De acuerdo con el ejemplo 2, se puede usar el cambio siguiente de variables.
x 1 2u v
3
x 2y 4,
y
y 1 u v
3
x y 4,
y
x y 1
Las derivadas parciales de x y y son
x
u 2 3 ,
x
v 1 3 ,
y
u 1 3 ,
lo cual implica que el jacobiano es
x x
x, y
u, v u
y y
u v
3
2 1
3 3
1 1
3
y
y
v 1 3
2 9 1 9
1 3 .
Por tanto, por el teorema 14.5, se obtiene
R 3xy dA S 3
1
3 2u v 1 3 u v
x, y
4 0
1
1
4 9 2u2 uv v 2 dv du
9
1 4
1 2u2 v uv2
2 v3
3 0 du
4
9
1 4
1 8u2 8u 64
3 du
1 9 8u3
3 4u2 64
3 u 4 1
164
9 .
v
dv du
u,