Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 13.8 Extremos de funciones de dos variables 957
z f(x, y) = y 2 − x 2
El criterio de las segundas derivadas parciales
El teorema 13.16 afirma que para encontrar extremos relativos sólo se necesita examinar
los valores de f x, y en los puntos críticos. Sin embargo, como sucede con una función de
una variable, los puntos críticos de una función de dos variables no siempre son máximos
o mínimos relativos. Algunos puntos críticos dan puntos silla que no son ni máximos relativos
ni mínimos relativos.
Como ejemplo de un punto crítico que no es un extremo relativo, considérese la superficie
dada por
y
f x, y y 2 x 2
Paraboloide hiperbólico.
x
Punto silla en 0, 0, 0:
f x 0, 0 f y 0, 0 0
Figura 13.69
que se muestra en la figura 13.69. En el punto (0, 0), ambas derivadas parciales son 0. Sin
embargo, la función f no tiene un extremo relativo en este punto ya que en todo disco abierto
centrado en (0, 0) la función asume valores negativos (a lo largo del eje x) y valores positivos
(a lo largo del eje y). Por tanto, el punto (0, 0, 0) es un punto silla de la superficie.
(El término “punto silla” viene del hecho de que la superficie mostrada en la figura 13.69
se parece a una silla de montar.)
En las funciones de los ejemplos 1 y 2, fue relativamente fácil determinar los extremos
relativos, porque cada una de las funciones estaba dada, o se podía expresar, en forma de
cuadrado perfecto. Con funciones más complicadas, los argumentos algebraicos son
menos adecuados y es mejor emplear los medios analíticos presentados en el siguiente criterio
de las segundas derivadas parciales. Es el análogo, para funciones de dos variables,
del criterio de las segundas derivadas para las funciones de una variable. La demostración
de este teorema se deja para un curso de cálculo avanzado.
TEOREMA 13.17
CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES
Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta
que contiene un punto (a, b) para el cual
f x a, b 0
y
f y a, b 0.
Para buscar los extremos relativos de f, considérese la cantidad
d f xx a, bf yy a, b f xy a, b 2 .
1. Si d > 0 y f xx a, b > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en a, b.
2. Si d > 0 y f xx a, b < 0, entonces f tiene un máximo relativo en a, b.
3. Si d < 0, entonces a, b, f a, b es un punto silla.
4. Si d 0 el criterio no lleva a ninguna conclusión.
NOTA Si d > 0, entonces f xx
a, b y f yy a, b deben tener el mismo signo. Esto significa que
f xx
a, b puede sustituirse por f yy a, b en las dos primeras partes del criterio. ■
Un recurso conveniente para recordar la fórmula de d en el criterio de las segundas
derivadas parciales lo da el determinante 2 2
d f xxa, b f xy a, b
f yx a, b f yy a,
donde f xy a, b f yx a, b de acuerdo al teorema 13.3.