Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 14.3 Cambio de variables: coordenadas polares 1011
61. Para pensar Considerar el programa escrito en el ejercicio 78
de la sección 14.2 para aproximar integrales dobles en coordenadas
rectangulares. Si el programa se usa para aproximar la
integral doble
R fr, dA
en coordenadas polares, ¿cómo hay que modificar ƒ para introducirla
al programa? Como los límites de integración son constantes,
describir la región plana de integración.
62. Aproximación Las secciones transversales horizontales de un
bloque de hielo desprendido de un glaciar tienen forma de
un cuarto de un círculo con radio aproximado de 50 pies. La
base se divide en 20 subregiones como se muestra en la figura.
En el centro de cada subregión, se mide la altura del hielo,
dando los puntos siguientes en coordenadas cilíndricas.
a) Aproximar el volumen del sólido.
b) El hielo pesa aproximadamente 57 libras por pie cúbico.
Aproximar el peso del sólido.
c) Aproximar el número de galones de agua en el sólido si hay
7.48 galones de agua por pie cúbico.
CAS Aproximación En los ejercicios 63 y 64, utilizar un sistema
algebraico por computadora y aproximar la integral iterada.
63.
64.
π
2
2 5
40
4 4
0 0
5, 16 , 7, 15, 16 , 8, 25, 16 , 10, 35, 16 , 12, 45, 16 , 9,
5, 3
3
3
3
3
16 , 9, 15, 16 , 10, 25, 16 , 14, 35, 16 , 15, 45, 16 , 10,
5, 16, 5 9, 15, 16, 5 11, 25, 16, 5 15, 35, 16, 5 18, 45, 16, 5 14,
5, 7
16, 5, 15, 7
16, 8, 25, 7
16, 11, 35, 7
16, 16, 45, 7
3π
8
10 20 30 40 50
r1 r 3 sen sin dr d
5re r dr d
π
4
π
8
Aproximación En los ejercicios 65 y 66, determinar qué valor
se aproxima más al volumen del sólido entre el plano xy y la función
sobre la región. (Realizar la elección a la vista de un dibujo
del sólido y no efectuando cálculo alguno.)
65. ƒ(x, y) 15 2y; R: semicírculo: x 2 y 2 16, y ≥ 0
a) 100 b) 200 c) 300 d) 200 e) 800
66. ƒ(x, y) xy 2; R: cuarto de círculo: x 2 y 2 9, x ≥ 0, y ≥ 0
a) 25 b) 8 c) 100 d) 50 e) 30
0
16, 12
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 67 y 68, determinar si la
declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o
dar un ejemplo que demuestre que es falsa.
67. Si R fr, dA > 0, entonces fr, > 0 para todo r, en R.
68. Si fr, es una función constante y el área de la región S es el doble
del área de la región R, entonces 2 R fr, dA S fr, dA.
69. Probabilidad El valor de la integral
2
dx se requiere
en el desarrollo de la función de densidad de probabi-
ex2
lidad normal.
a) Utilizar coordenadas polares para evaluar la integral impropia.
I 2
e x2 2
dx
e y2 2
dy
b) Utilizar el resultado del inciso a) para calcular I.
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre
este problema, ver el artículo “Integrating e x2 Without Polar Coordinates”
de William Dunham en Mathematics Teacher.
70. Utilizar el resultado del ejercicio 69 y un cambio de variables
para evaluar cada una de las integrales siguientes. No se requiere
hacer ninguna integración.
a)
b)
e x 2 dx
e 4x 2 dx
71. Población La densidad de población en una ciudad se
aproxima mediante el modelo ƒ(x, y) 4 000e 0.01(x2 y 2) ,
x 2 y 2 ≤ 49, donde x y y se miden en millas. Integrar la función
de densidad sobre la región circular indicada para aproximar
la población de la ciudad.
72. Probabilidad Hallar k tal que la función
fx, y
ke x2 y 2 ,
0,
sea una función de densidad de probabilidad.
73. Para pensar Considerar la región limitada o acotada por las
gráficas de y 2, y 4, y x y y 3x y la integral doble
R f dA. Determinar los límites de integración si la región
R está dividida en a) elementos representativos horizontales,
b) elementos representativos verticales y c) sectores polares.
74. Repetir el ejercicio 73 con una región R limitada o acotada por
la gráfica de la ecuación x 2 2 y 2 4.
75. Mostrar que el área A del sector polar R (ver la figura) es
A rr, donde r r 1 r 2 2 es el radio promedio de R.
∆θ
r 1
r 2
R
∆r
e x2 y 2 2
dA
x ≥ 0, y ≥ 0
elsewhere en resto
I