Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

824 CAPÍTULO 11 Vectores y la geometría del espacio
Rectangular:
x 2 + y 2 = 4z 2
3
z
Cilíndrica:
r 2 = 4z 2
EJEMPLO 3
Conversión de coordenadas rectangulares
a coordenadas cilíndricas
Hallar una ecuación en coordenadas cilíndricas para la superficie representada por cada
ecuación rectangular.
6
x
4
4 6
y
a)
b)
x 2 y 2 4z 2
y 2 x
Solución
Figura 11.71
a) Según la sección anterior, se sabe que la gráfica de x 2 y 2 4z 2 es un cono “de dos
hojas” con su eje a lo largo del eje z, como se muestra en la figura 11.71. Si se sustituye
x 2 y 2 por r 2 , la ecuación en coordenadas cilíndricas es
x 2 y 2 4z 2 Ecuación rectangular.
r 2 4z 2 .
Ecuación cilíndrica.
b) La gráfica de la superficie y 2 x es un cilindro parabólico con rectas generatrices
paralelas al eje z, como se muestra en la figura 11.72. Sustituyendo y 2 por r 2 sen 2 q y
x por r cos q, se obtiene la ecuación siguiente en coordenadas cilíndricas.
x
Rectangular:
y 2 = x
4
Figura 11.72
Cilíndrica:
r = csc θ cot θ
z
2
1
2
y
rr sen sin 2
r 2 sen sin 2
y 2 x
r cos
cos 0
cos 0
r sin sen 2 r cos
sen sin 2
r csc cot
Ecuación rectangular.
Sustituir y por r sen q y x por r cos q.
Agrupar términos y factorizar.
Dividir cada lado entre r.
Despejar r.
Ecuación cilíndrica.
Hay que observar que esta ecuación comprende un punto en el que r 0, por lo cual
nada se pierde al dividir cada lado entre el factor r.
La conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas es más sencilla
que la conversión de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares, como se muestra
en el ejemplo 4.
Cilíndrica:
r 2 cos 2 θ + z 2 + 1 = 0
3
z
EJEMPLO 4
Conversión de coordenadas cilíndricas
a coordenadas rectangulares
Hallar una ecuación en coordenadas rectangulares de la superficie representada por la
ecuación cilíndrica
r 2 cos 2 z 2 1 0.
Solución
x
3
2
Rectangular:
y 2 − x 2 − z 2 = 1
Figura 11.73
−1
−2
−3
2
3
y
r 2 cos 2
r 2 cos 2
r 2 cos 2 z 2 1 0
sen 2 z 2 1 0
sen 2
sin 2
r 2 sin 2 z 2 1
x 2 y 2 z 2 1
y 2 x 2 z 2 1
Ecuación cilíndrica.
Identidad trigonométrica.
Sustituya r cos q por x y r sen q por y.
Ecuación rectangular.
Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje se encuentra a lo largo del eje y, como se muestra
en la figura 11.73.