Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

964 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
El método de mínimos cuadrados
En muchos de los ejemplos en este texto se han empleado modelos matemáticos, como
en el caso del ejemplo 2, donde se utiliza un modelo cuadrático para el beneficio. Hay
varias maneras para desarrollar tales modelos; una es la conocida como el método de mínimos
cuadrados.
Al construir un modelo para representar un fenómeno particular, los objetivos son
simplicidad y precisión. Por supuesto, estas metas entran a menudo en conflicto. Por ejemplo,
un modelo lineal simple para los puntos en la figura 13.74 es
y 1.8566x 5.0246.
Sin embargo, la figura 13.75 muestra que si se elige el modelo cuadrático, ligeramente más
complicado,* es
y 0.1996x 2 0.7281x 1.3749
se logra mayor precisión.
y
y = 1.8566x − 5.0246
y
y = 0.1996x 2 − 0.7281x + 1.3749
15
10
(11, 17)
(9, 12)
15
10
(11, 17)
(9, 12)
(7, 6)
5
(2, 1) (5, 2)
5 10
Figura 13.74
x
(7, 6)
5
(2, 1) (5, 2)
5 10
Figura 13.75
x
y
(x 1
, y 1
)
Como medida de qué tan bien se ajusta el modelo y fx a la colección de puntos
x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 , . . . , x n , y n
se pueden sumar los cuadrados de las diferencias entre los valores reales y y los valores
dados por el modelo para obtener la suma de los cuadrados de los errores o errores
cuadráticos
d 1
d 2
d 3
y = f(x)
S n
i1
fx i y i 2 .
Suma de los cuadrados de los errores o errores cuadráticos.
(x 3
, y 3
)
(x 2
, y 2
)
x
Suma de los cuadrados de los errores:
2
S d 12 d 22 d 3
Figura 13.76
Gráficamente, S puede interpretarse como la suma de los cuadrados de las distancias verticales
entre la gráfica de f y los puntos dados en el plano (los puntos de los datos), como
se muestra en la figura 13.76. Si el modelo es perfecto, entonces S = 0. Sin embargo, cuando
la perfección no es posible, podemos conformarnos con un modelo que haga mínimo
el valor de S. Por ejemplo, la suma de los errores cuadráticos en el modelo lineal en la figura
13.74 es S 17. En estadística, al modelo lineal que minimiza el valor de S se le llama
recta de regresión o por mínimos cuadrados. La demostración de que esta recta realmente
minimiza S requiere minimizar una función de dos variables.
* En el ejercicio 37 se describe un método para hallar el modelo de mínimos cuadrados para una colección de
datos.