Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1072 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Supóngase que C es una trayectoria compuesta de las curvas suaves C 1 , C 2 , . . . , C n .
Si f es continua en C, se puede mostrar que
f x, y ds f x, y ds f x, y ds C
C 1
C . . . f x, y ds.
2
C n
Esta propiedad se utiliza en el ejemplo 3.
EJEMPLO 3
Evaluación de una integral de línea
sobre una trayectoria
y
Evaluar x ds, donde C es la curva suave a trozos mostrada en la figura 15.10.
C
C = C 1
+ C 2
1
y = x
(1, 1)
Solución Para empezar, se integra, en sentido ascendente sobre la recta y x, usando la
parametrización siguiente.
C 1
y = x 2
C 1 : x t, y t, 0 ≤ t ≤ 1
En esta curva, rt ti tj, lo que implica que xt 1 y yt 1. Por tanto,
(0, 0)
Figura 15.10
C 2
1
x
xt 2 yt 2 2
y se tiene
1
x ds C 1
t2 dt 2
0
2 1 t2 2
0 2 .
A continuación, se integra, en sentido descendente, sobre la parábola y x 2 , usando la
parametrización
C 2 : x 1 t, y 1 t 2 , 0 ≤ t ≤ 1.
En esta curva, rt 1 ti 1 t 2 j, lo cual implica que xt 1 y y¢(t)
2(1 t). Por tanto,
xt 2 yt 2 1 41 t 2
y se tiene
1
x ds C 2
1 t1 41 t 2 dt
0
1
12 532 1.
Por consiguiente,
1 8 2 3 1 41 t2 32 1 0
x ds x ds x ds 2
C
C 1
C 2
2 1 12 532 1 1.56.
En parametrizaciones dadas por rt xti ytj ztk, es útil recordar la forma
de ds como
ds rt dt xt 2 yt 2 zt 2 dt.
Esto se usa en el ejemplo 4.