Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares 743
PARA MAYOR INFORMACIÓN
Para más información sobre el uso de
la tecnología para encontrar puntos de
intersección, consultar el artículo
“Finding Points of Intersection of
Polar-Coordinate Graphs” de Warren
W. Esty en Mathematics Teacher.
Puntos de intersección de gráficas polares
Debido a que un punto en coordenadas polares se puede representar de diferentes maneras,
hay que tener cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas. Por ejemplo,
considérense los puntos de intersección de las gráficas de
r 1 2 cos
y
mostradas en la figura 10.53. Si, como se hace con ecuaciones rectangulares, se trata de
hallar los puntos de intersección resolviendo las dos ecuaciones en forma simultánea, se
obtiene
r 1 2 cos
1
1 2 cos
cos 0
2 , 3
2 .
r 1
Primera ecuación.
Sustitución de r 1 de la segunda ecuación en la primera ecuación.
Simplificación.
Despejar .
Los puntos de intersección correspondientes son 1, 2 y 1, 32. Sin embargo, en la
figura 10.53 se ve que hay un tercer punto de intersección que no apareció al resolver
simultáneamente las dos ecuaciones polares. (Ésta es una de las razones por las que es
necesario trazar una gráfica cuando se busca el área de una región polar.) La razón por la
que el tercer punto no se encontró es que no aparece con las mismas coordenadas en ambas
gráficas. En la gráfica de r 1, el punto se encuentra en las coordenadas 1, , mientras
que en la gráfica de r 1 2 cos , el punto se encuentra en las coordenadas 1, 0.
El problema de hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares se puede comparar
con el problema de encontrar puntos de colisión de dos satélites cuyas órbitas alrededor
de la Tierra se cortan, como se ilustra en la figura 10.54. Los satélites no colisionan
mientras lleguen a los puntos de intersección en momentos diferentes (valores de ). Las
colisiones sólo ocurren en los puntos de intersección que sean “puntos simultáneos”, puntos
a los que llegan al mismo tiempo (valor de ).
NOTA Puesto que el polo puede representarse mediante 0, , donde es cualquier ángulo, el
polo debe verificarse por separado cuando se buscan puntos de intersección.
■
Caracol: r 1 2 cos
2
Círculo:
r 1
1
0
Tres puntos de intersección: 1, 2,Las trayectorias de los satélites pueden cruzarse sin
1, 0, 1, 3 2
causar colisiones
Figura 10.53
Figura 10.54