Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 14.4 Centro de masa y momentos de inercia 1019
CAS
En los ejercicios 41 a 46, dar la integral doble requerida para
hallar el momento de inercia I, con respecto a la recta dada, de la
lámina limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones.
Utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral
doble.
41. x 2 y 2 b 2 , recta:
42. y 0, y 2, x 0, x 4, k, recta: line: x 6
43.
44.
y x, y 0, x 4,
y a 2 x 2 , y 0,
recta:
recta:
45. y a 2 x 2 , y 0, x ≥ 0,
recta:
46. y 4 x 2 , y 0, recta:
k, line: x a a > b
kx, line: x 6
ky, line: y a
k, line: y 2
Desarrollo de conceptos
ka y, line: y a
47. Dar las fórmulas para hallar los momentos y el centro de
masa de una lámina plana de densidad variable.
48. Dar las fórmulas para hallar los momentos de inercia con
respecto a los ejes x y y de una lámina plana de densidad
variable.
49. Con las propias palabras, describir qué mide el radio de giro.
Para discusión
50. El centro de masa de la lámina de densidad constante
mostrado en la figura es 2, 8 5. Hacer una conjetura acerca
de cómo cambiará el centro de masa x, y si la densidad
ρ(x, y) no es constante. Explicar. (Hacer la conjetura sin
realizar cálculo alguno.)
y
Hidráulica En los ejercicios 51 a 54, determinar la posición del eje
horizontal y a en el que debe situarse una compuerta vertical en una
presa para lograr que no haya momento que ocasione la rotación
bajo la carga indicada (ver la figura). El modelo para es
y a y I y
hA
donde y es la coordenada y del centroide de la compuerta, Iy es
el momento de inercia de la compuerta con respecto a la recta
y y, h es la profundidad del centroide bajo la superficie y A es
el área de la compuerta.
y
h
51. y
52.
53. y
54.
b
b
y = L
x
y = L
y=
L
y = y
y a = y − I y
hA
x
a
y
y
y a
d
d
b
y = L
x
y = L
4
3
a
x
2
1
1
2
8
(2,
5)
a) x, y ky b)
c) x, y kxy d)
3
4
x
x, y k2 x
x, y k4 x4 y
x
55. Demostrar el teorema de Pappus siguiente: sea R una región
plana y sea L una recta en el mismo plano tal que L no corta el
interior de R. Si r es la distancia entre el centroide de R y la
recta, entonces el volumen V del sólido de revolución generado
por revolución de R en torno a la recta está dado por V 2 rA,
donde A es el área de R.
PROYECTO DE TRABAJO
Centro de presión sobre una vela
El centro de presión sobre una vela es aquel punto x p , y p en el cual
puede suponerse que actúa la fuerza aerodinámica total. Si la vela se
representa mediante una región plana R, el centro de presión es
x p R xy dA
R y dA
y
y p R y 2 dA
R y dA .
Considerar una vela triangular con vértices en (0, 0), (2, 1) y (0, 5).
Verificar los valores de cada integral.
a) R y dA 10 b) R xy dA 35 c) R y2 dA 155
6
6
Calcular las coordenadas x p , y p del centro de presión. Dibujar una
gráfica de la vela e indicar la localización del centro de presión.