Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 10.2 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 719
En los ejercicios 43 a 50, emplear los resultados de los ejercicios
39 a 42 para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para
la recta o para la cónica.
43. Recta: pasa por (0, 0) y (4, 7)
44. Recta: pasa por (1, 4) y (5, 2)
45. Círculo: centro: (3, 1); radio: 2
46. Círculo: centro: (6, 2); radio: 4
47. Elipse: vértices (10, 0); foco: (8, 0)
48. Elipse: vértices: (4, 7), 4, 3; foco: (4, 5), 4, 1
49. Hipérbola: vértice: ±4, 0; foco: ±5, 0
50. Hipérbola: vértice: 0, ±1; foco: 0, ±2
En los ejercicios 51 a 54, hallar dos conjuntos diferentes de ecuaciones
paramétricas para la ecuación rectangular.
51. y 6x 5 52. y 4(x 1)
53. y x 3 54. y x 2
En los ejercicios 55 a 58, encontrar un conjunto de ecuaciones
paramétricas para la ecuación rectangular que satisface la
condición dada.
51. y 2x 5, t 0 en el punto (3, 1)
56. y 4x 1, t 1 en el punto (2, 7)
57. y x 2 , t 4 en el punto (4, 16)
58. y 4 x 2 , t 1 en el punto (1, 3)
En los ejercicios 59 a 66, emplear una herramienta de graficación
para representar la curva descrita por las ecuaciones
paramétricas. Indicar la dirección de la curva e identificar todos
los puntos en los que la curva no sea suave.
59. Cicloide: x 2 sin sen, y 21 cos
60. Cicloide: x
61. Cicloide alargada: x
sin , y 1 cos
3 2 sin , y 1 3 2 cos
62. Cicloide alargada: x 2 4 sen sin , y 2 4 cos
63. Hipocicloide: x 3 cos 3 , y 3 sen sin 3
64. Cicloide corta: x 2 sen sin , y 2 cos
65. Hechicera o bruja de Agnesi: x 2 cot , y 2 sen sin 2
66. Hoja o folio de Descartes: x
3t 3t2
1 t3, y
1 t 3
Desarrollo de conceptos
67. Explicar el proceso del trazado de una curva plana dada por
ecuaciones paramétricas. ¿Qué se entiende por orientación
de la curva?
68. Asociar cada conjunto de ecuaciones paramétricas con su
gráfica correspondiente. [Las gráficas están etiquetadas a),
b), c), d), e) y f).] Explicar el razonamiento.
a) y
b)
−2
−1
2
−2
1
sen
2
x
sen
4
2
1
y
−3−2−1
1 2 3
−2
−4
x
69. Cicloide corta Un disco de radio a rueda a lo largo de una
recta sin deslizar. La curva trazada por un punto P que se encuentra
a b unidades del centro (b < a) se denomina cicloide
corta o acortada (ver la figura). Usar el ángulo para hallar un
conjunto de ecuaciones paramétricas para esta curva.
2a
Desarrollo de conceptos (continuación)
y
c) y
d)
e) y
f)
P
i)
ii)
iii) Curva de Lissajous: x 4 cos , y 2 sen sin 2
iv) Evoluta de una elipse: x cos 3 , y 2 sen sin 3
v) Evolvente o involuta de un círculo:
x cos sen y sen sin
vi) Curva serpentina: x cot , y 4 sen sin cos
θ
b
4
−1 −1
1
a
(0, a − b)
3
2
1
−3 −2 −1
−3
1 2 3 4
1
x t 2 1,
x sen sin 2 1,
( πa, a + b)
2
3
y t 2
sin ,
y sin sen 2
Figura para 69 Figura para 70
x
x
x
70. Epicicloide Un círculo de radio 1 rueda sobre otro círculo de
radio 2. La curva trazada por un punto sobre la circunferencia
del círculo más pequeño se llama epicicloide (ver la figura).
Usar el ángulo para hallar un conjunto de ecuaciones
paramétricas de esta curva.
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 71 a 73, determinar si la
afirmación es verdadera o falsa. En caso de que sea falsa, explicar
por qué o dar un ejemplo que muestre que es falsa.
71. La gráfica de las ecuaciones paramétricas x t 2 y y t 2 es la
recta y x.
72. Si y es función de t y x es función de t, entonces y es función
de x.
4
3
1
−1 −1
1
y
4
−2
−2
−3
−4
y
θ
1
4
3
2
y
1 2 3 4
cos
2
3
(x, y)
3
x
x
4
x