Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

842 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales
12.2 Derivación e integración de funciones vectoriales
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Derivar una función vectorial.
Integrar una función vectorial.
Derivación de funciones vectoriales
En las secciones 12.3 a 12.5 se estudian varias aplicaciones importantes que emplean
cálculo de funciones vectoriales. Como preparación para ese estudio, esta sección está
dedicada a las mecánicas de derivación e integración de funciones vectoriales.
La definición de la derivada de una función vectorial es paralela a la dada para funciones
reales.
DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
La derivada de una función vectorial r se define como
rt t rt
rt lím lim
t→0 t
para todo t para el cual existe el límite. Si r(t) existe, entonces r es derivable en t.
Si r(t) existe para toda t en un intervalo abierto I, entonces r es derivable en el intervalo
I. La derivabilidad de funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados
considerando límites unilaterales.
NOTA Además de la notación rt, otras notaciones para la derivada de una función vectorial son
D d dr
y
dt .
t rt,
dt rt, ■
z
r(t)
x
Figura 12.8
r(t + ∆t) − r(t)
r′(t)
r(t + ∆t)
y
La diferenciación de funciones vectoriales puede hacerse componente por componente.
Para ver esto, considérese la función dada por
rt f ti gtj.
Aplicando la definición de derivada se obtiene lo siguiente.
rt t rt
rt lim lím
t→0 t
f t ti gt tj f ti gtj
lím lim
t→0 t
lim lím
t→0
lím lim
t→0
fti gtj
f t t f t
t i gt t gt
t j
f t t f t
t
i lim
lím
t→0
gt t gt
t j
Este importante resultado se enuncia en el teorema de la página siguiente. Nótese que la
derivada de la función vectorial r es también una función vectorial. En la figura 12.8 se ve
que rt es un vector tangente a la curva dada por rt y que apunta en la dirección de los
valores crecientes de t.