Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1034 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
EJEMPLO 6
Momentos de inercia de una región sólida
Hallar los momentos de inercia con respecto a los ejes x y y de la región sólida comprendida
entre el hemisferio
z 4 x 2 y 2
y el plano xy, dado que la densidad en (x, y, z) es proporcional a la distancia entre
(x, y, z) y el plano xy.
0 ≤ z ≤ 4 − x 2 − y 2 sen
x
− 4 − x 2 ≤ y ≤ 4 − x 2
−2 ≤ x ≤ 2
Hemisferio:
z = 4 − x 2 − y 2
2
2
Densidad variable: x, y, z kz
Figura 14.62
z
Base circular:
x 2 + y 2 = 4
2
y
Solución La densidad de la región está dada por x, y, z kz. Considerando la
simetría de este problema, se sabe que I x I y , y sólo se necesita calcular un momento,
digamos I x . De acuerdo con la figura 14.62, se elige el orden dz dy dx y se escribe
I x y 2 z 2 x, y, z dV
Q
2
k
k
y 2 4 x 2 y 2
4x 2
k 2
42
2 4x 2
4 x 2 2 y 4 dy dx
4x
4
2
k 2
4 x2 2 y y5 4x
2 5 2
dx
4x 2
4
k 2
8
5 4 x2 52 dx
4k
4k
2
2
4x 2 4x 2 y 2
4x 0
2 4x
2
2
y 2 z 2
4x 2 z 4 4 4x2 y 2
2 4x
2
2 0
2
2
2
50
50
256k
5 5
32
8k.
2
4 x 2 52 dx
64 cos 6 d
Por tanto, I x 8k I y .
y 2 z 2 kz dz dy dx
dy dx
4 x2 y 2 2
4 dy dx
x 2 sin .
Fórmula de Wallis.
En el ejemplo 6, los momentos de inercia con respecto a los ejes x y y son iguales. Sin
embargo, el momento con respecto al eje z es diferente. ¿Parece que el momento de inercia
con respecto al eje z deba ser menor o mayor que los momentos calculados en el ejemplo
6? Realizando los cálculos, se determina que
I z 16
3 k.
Esto indica que el sólido mostrado en la figura 14.62 presenta resistencia mayor a la
rotación en torno a los ejes x o y que en torno al eje z.