Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

762 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
10. Una partícula se mueve a lo largo de la trayectoria descrita
por las ecuaciones paramétricas x 1t y y sen sin tt, con
1 ≤ t < , como se muestra en la figura. Hallar la longitud de
esta trayectoria.
y
11. Sean a y b constantes positivas. Hallar el área de la región del
primer cuadrante limitada por la gráfica de la ecuación polar
12. Considerar el triángulo rectángulo de la figura.
a) Mostrar que el área del triángulo es
b) Mostrar que
c) Usar el inciso b) para deducir la fórmula para la derivada de
la función tangente.
Figura para 12 Figura para 13
13. Determinar la ecuación polar del conjunto de todos los puntos
r, , el producto de cuyas distancias desde los puntos 1, 0 y
1, 0 es igual a 1, como se observa en la figura.
14. Cuatro perros se encuentran en las esquinas de un cuadrado con
lados de longitud d. Todos los perros se mueven en sentido contrario
al de las manecillas del reloj a la misma velocidad y en
dirección al siguiente perro, como se muestra en la figura. Hallar
la ecuación polar de la trayectoria de un perro a medida que se
acerca en espiral hacia el centro del cuadrado.
d
d
α
1
−1
r ab
a sen sin b cos ,
1
tan
d
0
0 ≤
d
≤
sec 2 d.
1
2 .
A 1 2
1
(−1, 0) (1, 0)
−1 1
−1
y
x
0
sec 2 d.
x
15. Un controlador de tráfico aéreo ubica a la misma altitud dos
aviones que vuelan uno hacia el otro (ver la figura). Sus trayectorias
de vuelo son 20° y 315°. Un avión está a 150 millas del
punto P con una velocidad de 375 millas por hora. El otro se
encuentra a 190 millas del punto P con una velocidad de 450
millas por hora.
190 millas
a) Hallar ecuaciones paramétricas para la trayectoria de cada
avión donde t es tiempo en horas, y t 0 corresponde al
instante en que el controlador de tráfico aéreo localiza a los
aviones.
b) Emplear el resultado del inciso a) para expresar la distancia
entre los aviones como función de t.
c) Usar una herramienta de graficación para representar la función
del inciso b). ¿Cuándo será mínima la distancia entre los
aviones? Si los aviones deben conservar una distancia entre
ellos de por lo menos tres millas, ¿se satisface este requerimiento?
16. Usar una herramienta de graficación para trazar la curva que se
muestra abajo. La curva está dada por
r e cos
2 cos 4 sen sin 5
12 .
¿Sobre qué intervalo debe variar
y
20°
150 millas
45°
P
para generar la curva?
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre esta
curva, consultar el artículo “A Study in Step Size” de Temple H. Fay
en Mathematics Magazine.
17. Usar una herramienta de graficación para representar la ecuación
polar r cos 5 n cos , para 0 ≤ < y para los
enteros desde n 5 hasta n 5. ¿Qué valores de n producen
la porción de la curva en forma de “corazón”? ¿Qué valores de
n producen la porción de la curva en forma de “campana”? (Esta
curva, creada por Michael W. Chamberlin, fue publicada en The
College Mathematics Journal.)
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