Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 15.8 Teorema de Stokes 1135
Interpretación física del rotacional
C
α
α
(, x y , z)
Disco S
Figura 15.66
α
F N
T
F
F T
N
El teorema de Stokes proporciona una interesante interpretación física del rotacional. En
un campo vectorial F, sea un pequeño disco circular de radio , centrado en x, y, z y
con frontera C, como se muestra en la figura 15.66. En cada punto en la circunferencia
C, F tiene un componente normal F N y un componente tangencial F T. Cuanto más
alineados están F y T mayor es el valor de F T. Así, un fluido tiende a moverse a lo largo
del círculo en lugar de a través de él. Por consiguiente, se dice que la integral de línea
alrededor de mide la circulación alrededor de C. . Es decir,
C
S
circulación de F alrededor de C
C
F T ds circulation of F around C.
S
( x , y , z)
rot F
N
Ahora considérese un pequeño disco centrado en algún punto x, y, z de la superficie
S, como se muestra en la figura 15.67. En un disco tan pequeño, rot F es casi constante,
porque varía poco con respecto a su valor en x, y, z. Es más rot F N es casi constante
en S, porque todos los vectores unitarios normales en son prácticamente iguales. Por
consiguiente, del teorema de Stokes se sigue que
S
S
S α
C
F T ds S curl F N dS
rot F
curl F N S dS
rot F
Figura 15.67
curl rot F F N2 .
Por tanto,
F T ds
curl rot F F N C
2
circulación circulation of de Faround alrededor C de C
area área of de disk disco S S
rate tasa of o ritmo circulation. de circulación.
Suponiendo que las condiciones son tales que la aproximación mejora con discos cada vez
más pequeños 0, se sigue que
→
curl rot F F N lím lim
1
→0 2 C
F T ds
a lo que se le conoce como rotación de F respecto de N. Esto es,
rot Fx, y, z · N rotación de F respecto de N en x, y, z.
En este caso, la rotación de F es máxima cuando rot F y N tienen la misma dirección.
Normalmente, esta tendencia a rotar variará de punto a punto de la superficie S, y el teorema
de Stokes
S curl rot F F N dS F dr C
Integral de superficie
Integral de línea
afirma que la medida colectiva de esta tendencia rotacional considerada sobre toda la
superficie S (la integral de superficie) es igual a la tendencia de un fluido a circular alrededor
de la frontera C (integral de línea).