Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

834 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales
834 Chapter 12 Vector-Valued Functions
12.1 Funciones vectoriales
12.1 Vector-Valued Functions
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Analizar y dibujar una curva en el espacio dada por una función vectorial.
Extender Analyze and los conceptos sketch a space de límite curve y continuidad given by a vector-valued a funciones vectoriales. function.
Extend the concepts of limits and continuity to vector-valued functions.
Curvas en el espacio y funciones vectoriales
Space Curves and Vector-Valued Functions
En la sección 10.2 se definió una curva plana como un conjunto de pares ordenados
In ft, Section gt junto 10.2, con a plane sus ecuaciones curve was paramétricas defined as the set of ordered pairs ft, gt
together with their defining parametric equations
x f t y y gt
x ft and y g t
donde f y g son funciones continuas de t en un intervalo I. Esta definición puede extenderse
where de f manera and g are natural continuous al espacio functions tridimensional of t
an como interval sigue. I. Una This curva definition en el can espacio be C
es extended un conjunto naturally de todas three-dimensional las ternas ordenadas space as f t, follows. gt, ht A space junto curve con Csus is ecuaciones the set
paramétricas of all ordered triples ft, gt, ht
together with their defining parametric equations
x fft,
t,
y gt, gt,
yand
z z
hth t
donde where ƒ, f, g,
y and h son h are funciones continuous continuas functions de tof en t un on intervalo an I. I.
Antes Before de looking ver ejemplos at examples de curvas of en space el espacio, curves, se a introduce new type un of nuevo function, tipo called de función, a
llamada vector-valued función function, vectorial. is Este introduced. tipo de función This type asigna of function vectores maps a números real numbers reales. to
vectors.
r(t 0 )
x
r(t 0 )
r(t 0 )
r(t 0 )
y
r(t 1 )
y
r(t 1 )
r(t 1 )
r(t 1 )
Curve in a plane
z
r(t 2 )
r(t C 2 )
Curva en un plano
Curve in space
r(t 2 )
z
Curva en el espacio
r(t 2 ) C
x
Cy
Curve x C is traced out by the terminal point
of position vector r t .
Figure La curva 12.1C es trazada por el punto final
del vector posición r(t)
Figura 12.1
C
x
y
DEFINICIÓN
DEFINITION
DE
OF
FUNCIÓN
VECTOR-VALUED
VECTORIAL
FUNCTION
Una
A function
función
of
de
the
la forma
form
rt
r t
f ti
f t
i
gtj
Plano.
gtj
Plane
o
or
rt
r t
f ti
f t
i
gtj
gtj
htk Espacio.
htk Space
es
is
una
a vector-valued
función vectorial,
function,
donde
where
las funciones
the component
componentes
functions
ƒ,
f,
g
g,
y h
and
son
h
funciones
are
del
real-valued
parámetro
functions
t. Algunas
of the
veces,
parameter
las funciones
t. Vector-valued
vectoriales
functions
se denotan
are sometimes
como
rt
denoted
f t,
as r
gt
t
o rt
f t
, g
t
f t,
or
gt,
r t
ht.
f t , gt, ht .
Técnicamente, una curva en el plano o en el espacio consiste en una colección de puntos
y ecuaciones paramétricas que la definen. Dos curvas diferentes pueden tener la misma
Technically, a curve in the plane or in space consists of a collection of points and
the defining parametric equations. Two different curves can have the same graph. For
gráfica. Por ejemplo, cada una de las curvas dadas por
instance, each of the curves given by
r t sen t i cos t j
y
r t sen t 2 i cos t 2 j
has the unit circle as its graph, but these equations do not represent the same curve—
tiene como gráfica el círculo unidad o unitario, pero estas ecuaciones no representan la
because the circle is traced out in different ways on the graphs.
misma curva porque el círculo está trazado de diferentes maneras.
Be sure you see the distinction between the vector-valued function r and the
Es importante asegurarse de ver la diferencia entre la función vectorial y las funciones
reales ƒ, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r(t) es un vector, mien-
real-valued functions f, g, and h. All are functions of the real variable t, but r t is a
vector, whereas f t , g t , and h t are real numbers for each specific value of t .
tras que ƒ(t), g(t) y h(t) son números reales (para cada valor específico de t).
Vector-valued functions serve dual roles in the representation of curves. By
Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas.
letting the parameter t represent time, you can use a vector-valued function to
Tomando como parámetro t, que representa el tiempo, se puede usar una función vectorial
para representar el movimiento a lo largo de una curva. O, en el caso más general, se
represent motion along a curve. Or, in the more general case, you can use a vectorvalued
function to trace the graph of a curve. In either case, the terminal point of the
puede usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el
position vector r t coincides with the point x, y or x, y, z on the curve given by the
punto final del vector posición r(t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada
parametric equations, as shown in Figure 12.1. The arrowhead on the curve indicates
por las ecuaciones paramétricas, como se muestra en la figura 12.1. La punta de flecha
the curve’s orientation by pointing in the direction of increasing values of t.
en la curva indica la orientación de la curva apuntando en la dirección de valores crecientes
de t.