Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1030 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
El ejemplo 2 es poco usual en el sentido de que con los seis posibles órdenes de integración
se obtienen integrales de dificultad comparable. Tratar de emplear algún otro de
los posibles órdenes de integración para hallar el volumen del elipsoide. Por ejemplo, con
el orden dx dy dz se obtiene la integral
Si se resuelve esta integral, se obtiene el mismo volumen que en el ejemplo 2. Esto es
siempre así; el orden de integración no afecta el valor de la integral. Sin embargo, el orden
de integración a menudo afecta la complejidad de la integral. En el ejemplo 3, el orden de
integración propuesto no es conveniente, por lo que se puede cambiar el orden para simplificar
el problema.
EJEMPLO 3
Evaluar
0
4
V 8
16z 2 2 164y
2 z 2 2
0 0
2 2
0 x
Cambiar el orden de integración
1
3
sen sin y 2 dz dy dx.
dx dy dz.
3
2
z
π
Q: 0 ≤ x ≤
2
π
x ≤ y ≤ 2
1 ≤ z ≤ 3
( , , 3)
π
2
π
2
Solución Obsérvese que después de una integración en el orden dado, se encontraría la
integral 2 sin seny y 2 dy,
que no es una función elemental. Para evitar este problema, se cambia
el orden de integración a dz dx dy, de manera que y sea la variable exterior. Como se
muestra en la figura 14.56, la región sólida Q está dada por
x ≤ y ≤
0 ≤ x ≤
1 ≤ z ≤ 3
2 , 2 ,
y la proyección de Q en el plano xy proporciona los límites
0 ≤ y ≤
2
y
0 ≤ x ≤ y.
Por tanto, la evaluación de la integral triple usando el orden dz dx dy produce
0
2
0
y
1
3
sen y 2
dz dx dy
0
2
y
z sen y 2 3
dx dy
0
1
1
2
0
2
y
0
sen y 2
dx dy
( , , 1)
π π
2 2
2
0
2
x sen y 2
y
0
dy
π
2
x
y = x
Figura 14.56
π
2
y
2
1.
2
0
y sen y 2
cos y 2 2
0
dy