Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 13.4 Diferenciales 919
Diferenciabilidad
En la sección 3.9 se vio que si una función dada por y f(x) es diferenciable, se puede utilizar
la diferencial dy fx dx como una aproximación (para x pequeños) al valor
y f x x f x. Cuando es válida una aproximación similar para una función de
dos variables, se dice que la función es diferenciable. Esto se expresa explícitamente en
la definición siguiente.
DEFINICIÓN DE DIFERENCIABILIDAD
Una función f dada por z f x, y es diferenciable en x 0 , y 0 si z puede expresarse
en la forma
z f x x 0 , y 0 x f y x 0 , y 0 y 1 x 2 y
donde 1 y 2 → 0 cuando x, y → 0, 0. La función f es diferenciable en una
región R si es diferenciable en todo punto de R.
EJEMPLO 2
Mostrar que una función es diferenciable
Mostrar que la función dada por
f x, y x 2 3y
es diferenciable en todo punto del plano.
4
z
Solución Haciendo z f x, y, el incremento de z en un punto arbitrario x, y en el
plano es
z f x x, y y f x, y
Incremento de z.
x 2 2xx x 2 3y y x 2 3y
4
x
1
y
2xx x 2 3y
2xx 3y xx 0y
f x x, y x f y x, y y 1 x 2 y
Figura 13.34
−4
donde 1 x y 2 0. Como 1 → 0 y 2 → 0 cuando x, y → 0, 0, se sigue que f
es diferenciable en todo punto en el plano. La gráfica de f se muestra en la figura 13.34.
Debe tenerse en cuenta que el término “diferenciable” se usa de manera diferente para
funciones de dos variables y para funciones de una variable. Una función de una variable
es diferenciable en un punto si su derivada existe en el punto. Sin embargo, en el caso de
una función de dos variables, la existencia de las derivadas parciales f x y f y no garantiza
que la función sea diferenciable (ver ejemplo 5). El teorema siguiente proporciona una
condición suficiente para la diferenciabilidad de una función de dos variables. En el
apéndice A se da una demostración del teorema 13.4.
TEOREMA 13.4
CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA DIFERENCIABILIDAD
Si f es una función de x y y, para la que f x y f y son continuas en una región abierta
R, entonces f es diferenciable en R.