Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 15.2 Integrales de línea 1071
Para evaluar una integral de línea sobre una curva plana C dada por r(t) x(t)i y(t)j,
se utiliza el hecho de que
ds rt dt xt 2 yt 2 dt.
Para una curva en el espacio hay una fórmula similar, como se indica en el teorema 15.4.
TEOREMA 15.4
EVALUACIÓN DE UNA INTEGRAL DE LÍNEA COMO INTEGRAL DEFINIDA
Sea f continua en una región que contiene una curva suave C. Si C está dada por
rt xti ytj, donde a ≤ t ≤ b, entonces
b
f x, y ds f xt, ytxt 2 yt 2 dt.
a
C
Si C está dada por rt xti ytj ztk, donde a ≤ t ≤ b, entonces
b
f x, y, z ds f xt, yt, ztxt 2 yt 2 zt 2 dt.
a
C
Obsérvese que si f x, y, z 1, la integral de línea proporciona la longitud de arco de
la curva C, como se definió en la sección 12.5. Es decir,
C
b
1 ds a
rt dt longitud length of de curve arco C. de la curva C.
z
EJEMPLO 2
Evaluación de una integral de línea
1
Evaluar
(0, 0, 0)
1
x
Figura 15.9
C
1
(1, 2, 1)
2
y
x C
2 y 3z ds
donde C es el segmento de recta mostrado en la figura 15.9.
Solución
Para empezar se expresa la ecuación de la recta en forma paramétrica:
x t, y 2t,
y
z t, 0 ≤ t ≤ 1.
Entonces, xt 1, yt 2, y
zt 1, lo cual implica que
xt 2 yt 2 zt 2 1 2 2 2 1 2 6.
NOTA En el ejemplo 2, el valor de la
integral de línea no depende de la
parametrización del segmento de recta
C (con cualquier parametrización suave
se obtendrá el mismo valor). Para convencerse
de esto, probar con alguna otra
parametrización, como por ejemplo
x 1 2t, y 2 4t, z 1 2t,
1 2 ≤ t ≤ 0, o x t, y 2t,
z t, 1 ≤ t ≤ 0.
■
Por tanto, la integral de línea toma la forma siguiente.
1
x 2 y 3z ds t 2 2t 3t6 dt
0
C
6
6
t 3 3 t2
2 1 0
56
6
0
1
t 2 t dt