Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1108 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
x
Figura 15.43
EXPLORACIÓN
Para el toro del ejemplo 7, describir
la función ru, v para u fijo.
Después describir la función ru, v
para v fijo.
z
y
EJEMPLO 7
Hallar el área de una superficie
Hallar el área de la superficie del toro dado por
ru, v 2 cos u cos vi 2 cos u sen sin vj sen sin uk
donde el dominio D está dado por 0 ≤ u ≤ 2 y 0 ≤ v ≤ 2. (Ver la figura 15.43.)
Solución Para empezar se calculan r u y r v .
r u sin senu cos vi sen sin u sen sin vj cos uk
r v 2 cos u sen sin vi 2 cos u cos vj
El producto vectorial de estos dos vectores es
i
j k
r u r v sin senu cos v sin sen u sen sin v cos u
2 cos u sen sin v 2 cos u cos v 0
2 cos u cos v cos ui sen sin v cos uj sen sin uk
lo cual implica que
r u r v 2 cos ucos v cos u 2 sin v cos u 2 sin 2 u
2 cos ucos 2 ucos 2 v sen sin 2 v sen sin 2 u
2 cos ucos 2 u sen sin 2 u
2 cos u.
Por último, el área de la superficie del toro es
A D r u r v dA
0
2
0 0
2
82
.
2
4
2 cos u du dv
dv
sen sen 2 sen
Si la superficie S es una superficie de revolución, se puede mostrar que la fórmula para
el área de la superficie, dada en la sección 7.4, es equivalente a la fórmula dada en esta sección.
Por ejemplo, supóngase que f sea una función no negativa tal que sea continua
sobre el intervalo a, b. Sea S la superficie de revolución formada por revolución de la gráfica
de f, donde a ≤ x ≤ b, en torno al eje x. De acuerdo con la sección 7.4, se sabe que
el área de la superficie está dada por
b
Surface area 2
Área de la superficie
Para representar S paramétricamente, sea x u, y f u cos v, y z f u sin v, donde
a ≤ u ≤ b y 0 ≤ v ≤ 2. Entonces,
ru, v ui f u cos vj f u sen sin vk.
Tratar de mostrar que la fórmula
Surface area D r u r v dA
Área de la superficie
es equivalente a la fórmula dada arriba (ver ejercicio 58).
a
f x1 fx 2 dx.
f