Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 13.7 Planos tangentes y rectas normales 949
Saber que el gradiente Fx, 13.7 y, z es Tangent normal Planes a superficie and Normal F(x, Lines y, z) 0 949 permite
resolver diversos problemas relacionados con superficies y curvas en el espacio.
Elipsoide: x 2 + 2y 2 + 2z 2 = 20
z (0, 1, 3)
Recta tangente
Ellipsoid: x 2 + 2y 2 + 2z 4 2 = 20
Tangent line
z (0, 1, 3)
Tangent line
4
5
x
2
3
4 5 y
5
x
2
3
4 5 y
Paraboloide: x 2 + y 2 + z = 4
Figura 13.61
Figure Paraboloid: 13.61 x 2 + y 2 + z = 4
Figure 13.61
Knowing that the gradient Fx, y, z is normal to the surface given by
EJEMPLO Fx, y, z 50
allows Hallar you la ecuación to solve a variety de una of recta problems tangente dealing a with una surfaces curva and
curves in space.
Describir la recta tangente a la curva de intersección de las superficies
EXAMPLE x 2 2y 2 5 2zFinding 2 20 the Equation of Elipsoide. a Tangent Line to a Curve
x 2 y 2 z 4
Paraboloide.
Describe the tangent line to the curve of intersection of the surfaces
en el punto (0, 1, 3), como se muestra en la figura 13.61.
x 2 2y 2 2z 2 20
Ellipsoid
Soluciónx 2 Para y 2 comenzar, z 4 se calculan los gradientes Paraboloid de ambas superficies en el punto
(0,
at the
1, 3).
point (0, 1, 3), as shown in Figure 13.61.
Elipsoide
Paraboloide
Solution Begin by finding the gradients to both surfaces at the point (0, 1, 3).
Fx, y, z x 2 2y 2 2z 2 20 Gx, y, z x 2 y 2 z 4
Ellipsoid
Paraboloid
Fx, y, z 2xi 4yj 4zk Gx, y, z 2xi 2yj k
Fx, y, z x
F0, 1, 3 2 2y 2 2z 2 20 Gx, y, z x
4j 12k
G0, 1, 3 2 y 2 z 4
2j k
Fx, y, z 2xi 4yj 4zk
Gx, y, z 2xi 2yj k
El producto
F 0, 1,
vectorial
3 4j
de estos
12k
dos gradientes es un
G
vector
0, 1, 3
tangente
2j
a
k
ambas superficies en
el punto (0, 1, 3).
The cross product of these two gradients
is a vector
1
that is tangent to both surfaces at
the point 0, 1, 3 .
i j k
F0, 1, 3 G0, 1, 3 0 4 12 20i.
0i
2j
k
F 0, 1, 3 G 0, 1, 3 0 4 12 20i
Por tanto, la recta tangente a la curva
0
de
2
intersección
1
de las dos superficies en el punto
(0, 1, 3) es una recta paralela al eje x y que pasa por el punto (0, 1, 3).
So, the tangent line to the curve of intersection of the two surfaces at the point 0, 1, 3
is a line that is parallel to the x-axis and passes through the point 0, 1, 3 .
El ángulo de inclinación de un plano
The Angle of Inclination of a Plane
Otro uso del gradiente Fx, y, z es determinar el ángulo de inclinación del plano tangente
a una superficie. El ángulo de inclinación de un plano se define como el ángulo
Another 0 use of 2the entre
gradient
el plano
Fx,
dado
y, z
y
is
el
to
plano
determine
xy, como
the angle
se muestra
of inclination
en la figura
of the
13.62.
(El
tangent
ángulo
plane
de inclinación
to a surface.
de
The
un
angle
plano horizontal
of inclination
es por
of
definición
a plane is defined
cero.) Como
as the
el
angle
vector k
es normal
0
al plano
2 between
xy, se puede
the given
utilizar
plane
la fórmula
and the xydel
plane,
coseno
as
del
shown
ángulo
in Figure
entre dos
13.62.
planos
(dado
(The angle
en la
of
sección
inclination
11.5) para
of a horizontal
concluir que
plane
el ángulo
is defined
de inclinación
as zero.) Because
de un plano
the vector
con vectok
is
normal
normal
n está
to the
dado
xy-
por
plane, you can use the formula for the cosine of the angle
between two planes (given in Section 11.5) to conclude that the angle of inclination
of a plane with normal vector n is given by
cos n k
n k n k
cos
n
n
k
k
.
Ángulo de inclinación de un plano.
nn
k
. Angle of inclination of a plane
n
z
n
θ
k
y
θ
x
Ángulo The angle de inclinación
of inclination
Figura Figure 13.62