Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables 965
TEOREMA 13.18
RECTA DE REGRESIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS
The Granger Collection
ADRIEN-MARIE LEGENDRE (1752-1833)
El método de mínimos cuadrados lo introdujo
el matemático francés Adrien-Marie
Legendre. Legendre es mejor conocido por
su trabajo en geometría. De hecho, su texto
“Elementos de Geometría” fue tan popular
en Estados Unidos que se usó durante un
periodo de más de 100 años y hubo 33 ediciones.
La recta de regresión de mínimos cuadrados para {(x 1
, y 1
),(x 2
, y 2
), . . . . (x n
,
y n
)} está dada por fx ax b, donde
i1
a
n n
DEMOSTRACIÓN Sea Sa, b la suma de los cuadrados de los errores para el modelo
fx ax b y el conjunto de puntos dado. Es decir,
Sa, b n
i1
n
i1
x i y i n
i1
x i n
fx i y i 2
y i
i1
n n
x i2
i1
n
x
i1
i 2
ax i b y i 2
y
b 1 n n
donde los puntos x i , y i representan constantes. Como S es una función de a y b, se pueden
usar los métodos de la sección anterior para encontrar el valor mínimo de S. Las primeras
derivadas parciales de S son
i1
y i a n
i1
x i .
S a a, b n
i1
2a n
S b a, b n
i1
i1
2a n
2x i ax i b y i
2ax i b y i
i1
x i2 2b n
i1
x i 2nb 2 n
x i 2 n
i1
i1
y i .
x i y i
Igualando estas dos derivadas parciales a 0, se obtienen los valores de a y b que indica el teorema.
Se deja como ejercicio aplicar el criterio de las segundas derivadas parciales (ver ejercicio
47) para verificar que estos valores de a y b dan un mínimo.
Si los valores de x están simétricamente distribuidos respecto al eje y, entonces
x i 0 y las fórmulas para a y b se simplifican:
y
x
i1
a n i y i
n
2
x i
i1
b 1 n n
i1
y i .
Esta simplificación es a menudo posible mediante una traslación de los valores x. Por
ejemplo, si los valores x en una colección de datos son los años 2005, 2006, 2007, 2008 y
2009, se puede tomar 2007 como 0.